Nem, alacsony valószínűségeket nem vonzó eladni : egy megjegyzés

Eredeti elektronikus változat: http://ssrn.com/abstract=2196916 © Copyright 2013 by N. N. Taleb. fordítás: [email protected]

Nem, alacsony valószínűségeket nem „vonzó eladni”: egy megjegyzés Nassim Nicholas Taleb 2013. január

KIVONAT: Köszönhetően az out-of-money opciók hozamai konvexitásának, egy extrém alacsony valószínűségű nagy elmozdulás a múltbeli adatokból láthatatlan, így racionálisan indokolt a megvételük, vagy legalábbis indokolt a túlzott óvatosság a nekik való kitettséggel szemben, különösen mivel ezek az opciók szélsőségesen nem-lineáris reakciókat mutatnak a piaci mozgásokra. Például, a részvénypiacok legalább 2000 évnyi adata szükséges annak megerősítéséhez, hogy néhány farok-esemény opciója „drága”. A cikk bemutatja Ilmanen (2012) hibáit, amely kimerítő listát nyújt a kis valószínűségű eseményekre való biztosítások eladásának előnyeiről. A tanulmány túlmutat Ilmanen (2012)-n, és egy olyan megközelítést javasol az opciók hozamának és kockázatának vizsgálatára, amely a széleken való nem-linearitáson alapszik. Korábbi cikkében felvetett kérdésekre válaszolva1 (2012. szeptember/október), Antti Ilmanen arra következtet – látszólag nagy mennyiségű „empirikus” magyarázattal a háta mögött, és nagyszámú tanulmányt idézve - hogy a befektetőknek nem pusztán biztosítatlanul kellene lenniük, de azt is figyelembe kellene venniük, hogy eladjanak ilyen biztosításokat. A volatilitás eladása a baloldali szélen „értéket ad hosszú távon”. Ebbe beleérti a carry-trade stratégiákat, mert ezek is farok-események kockázat-biztosításának eladását jelentik. Talán Ilmanen kényelmi okokból túl sok cikket és érvet idézett. Csakúgy, mint egy komplikált detektív-regényben, ahol gyakran a legtöbb alibivel rendelkező szereplőről derül ki, hogy ő a gyilkos, az „alátámasztó” érvek felsorolása álcázza a módszertan központi hibáját: egy kombinációját a (1) hiányos bizonyítékok tévedésének és (2) annak, hogy hiányoznak a hibák nemlineáris hatásai és aszimmetriái (a modell eredményeitől való eltérések jóval több kárt okoznak, amikor valaki téved, mint amennyi hasznot akkor, amikor igaza van). Pusztán ezeket a farok-eseményekre történő nemlineáris válaszokat hozzáadva, az eredmények megfordítását okozza. Továbbá, mivel Ilmanen cikke ismerteti a kis valószínűségű események megvétele elleni összes érvet, cáfolva ezt a cikket lehetővé válik az uralkodó érvek cáfolata, amelyek a kis esélyek felülárazását állítják a pénzügyekben. Így kiderül, hogy nincs egyetlen tanulmány sem, ami meggyőzően bizonyítaná az alacsony valószínűségek felülárazását a pénzügyben vagy a gazdaságtanban. Két elefánt van a porcelánboltban, a központi (vagyis nem-lineáris) bizonyíték kizárásának formájában: Első elefánt. Ilmanen az elemzéséből kihagyta az 1987-es részvénypiaci összeomlást. De az opciók kockázati görbéjének konvexitása miatt az ilyen összeomlásokból adódó hozam konvex az „in-the-money”-ságtól való távolságra nézve. Így, egy nagyon szélsőséges (de szemléletes) esetben egy, az ártól 20 szórásnyira elhelyezkedő opció 230,000-szer annyit hoz, mint a napi időérték-vesztesége, egy 20 szórásnyi mozgás megtörténtekor (azaz az eltérés a számított (implied) volatilitástól, amelyen az opciót megvették). Ezért szükséges több mint 2000 évnyi adat bemutatása, az 1987-es összeomlás kihagyásával – nagyvonalúan feltételezve a környezet stabilitását – hogy kimondja, ezeknek az opcióknak az eladás „biztonságos”. Még azok az opciók is, amelyek közelebb vannak az árhoz (és amelyekkel gyakran kereskednek), elég nagy nyereséget biztosítanak ahhoz, hogy eltiltson minket attól, hogy kijelentéseket tegyünk pár évtized adatai alapján; például egy 12 szórásnyi távolságra lévő opció nyeresége 5000 napi időérték-veszteségnek felel meg. Egy másik félteértés ezeknek a hozamoknak az úttól való függőségére vonatkozik, amely keveredik a hozam aszimmetriájával. Amikor a számított volatilitás négyszereződik, egy 15 szórásnyira lévő out-of-the-money opció 1

Ilmanen, Antti, 2012, " Do Financial Markets Reward Buying or Selling Insurance and Lottery Tickets?” (A pénzügyi piacok a biztosítások és lottó-szelvények vételét vagy eladását jutalmazzák?) Financial Analysts Journal, September/October, Vol. 68, No. 5 : 26 - 36. Ilmanen cikkének kivonata: "A biztosítás, vagy lottószelvény-szerű jellemzőkkel rendelkező pénzügyi termékek eladásának pozitív hosszú távú bevételt kell biztosítania, ha a befektetők eléggé kedvelik a pozitív ferdeséget ahhoz, hogy túlfizessék ezeket a karakterisztikákat. A gyakorlati bizonyítékok egyértelműek: Biztosítások és lottószelvények eladása pozitív hosszú-távú bevételt hoz a befektetési környezetek széles tartományában. Ezzel szemben, a piaci katasztrófa elleni biztosítás vásárlása és spekulatív lottószelvény-szerű befektetések tartása szegényes hosszú-távú jutalommal kecsegtet. Így, a kis kockázatok elviselésének gyakran nagy a hozama, a nagy kockázatok elviselésének nem. "

4-szórásnyi közelségbe kerül, és az értéke a 3300-szorosává válik. A számított volatilitás (a különböző volatilitás indexekkel ábrázolva, mint amilyen a Chicagói Opciós Tőzsde volatilitás indexe, vagyis a VIX) legalább hat alkalommal négyszereződött meg az elmúlt negyedszázadban. Az 1. táblázat mutatja az opciók konvexitását a volatilitás változásában. Ezek a változások a volatilitásban idézik elő az opcionalitás második rétegét, amely hiányzik Ilmanen elemzéséből – lehetőségekkel az opció tulajdonosának, és egy korlátozással az eladónak. (Egy nagy nyilvánosságot kapott bukás volt a spekuláns Victor Niederhoffer opciós portfoliójának tönkremenetele, ami a volatilitás robbanásszerű változása miatt, és nem a piaci mozgás okán következett be; ráadásul az opciók, amelyek csődbe juttatták az alapját, pár hét múlva lejártak értéktelenül. Ugyanez történt a Long-Term Capital Management-el 1998-ban.) 1. Táblázat. A számított volatilitás robbanásának hatása az opciók árazására, az eredeti opciós

prémium többszörösével kifejezve. Az at-the-money opciók lineárisak a volatilitásra, miközben az out-of-money opciók egyre konvexebbek.2

ATM 5  OTM 10  OTM 15  OTM 20  OTM

Volatilitás Volatilizás Volatilitás duplázódása triplázódása négyszereződése 2 3 4 5 10 16 27 79 143 302 1486 3298 7686 72741 208429

Második elefánt. Ilmanen tárgyalja a „carry-trade”-et, de figyelmen kívül hagyja a banki hitelek katasztrofális hatását (kis valószínűségek eladása) a 2008-as összeomlásban (valamint ezen banki kölcsönöket az 1982 és 1991-es hitel-problémák időszaka alatt); még egy 2004-es cikkemet is idézi, amely a banki kölcsönöket a farokesemények eladásának tartományába sorolja. 3 2008 veszteségei, ami a Nemzetközi Valutaalap (IMF) becslése szerint több mint 5000 milliárd dollár volt (a kormányzati transzferek és szanálások előtt), ellensúlyozták a gazdaságtan történetében történt minden egyes farok-esemény eladásából származó nyereséget. Kizárni az 1987-es összeomlást, és a bankhitelek bedőlését ugyanolyan, mintha azt állítanánk, hogy a XX. század kivételesen békés volt, leszámítva az I. és a II. Világháborút. Ez a két téves következtetés önmagában pusztító lenne az egész elképzelésre nézve. De vizsgáljuk meg a további hibákat a nem-linearitás félreértésével kapcsolatban. A konvexitás torzítása. Ilmanen elköveti azt a súlyos hibát, hogy figyelmen kívül hagyja a Jensen egyenlőtlenség hatását a VIX és az aktuális volatilitás közötti különbség nem-linearitására. A VIX, tervezése alapján, olyan bevételt biztosít, ami közelebb áll a variancia cseréhez (variance swap). Tegyük fel, hogy „megvettük” a VIX-et 10%-on – azaz opciós alkotóelemeket vásároltunk, amelyek a volatilitás egy olyan kombinációja, ami megfelel a VIX-nek azon a szinten. A nem-linearitás miatt, ez hasznot húzhat egy 4%-os volatilitási időszakból, amit követ egy 15%-os időszak, átlagosan 9.5%-ot; úgy tűnik, Ilmanen ezt a 0.5 százalékpontos eltérést veszteségként kezeli. A VIX helytelen használata. A VIX használata a kis valószínűségek mérésére helytelen. A VIX nem eléggé reprezentálja a „széleket”; az értékét az at-the-money opciók dominálják, és a tény, hogy ezek az at-the-money opciók drágák lehetnek, nem befolyásolja az érveket, mert mi a szélekkel foglalkozunk. Amikor a vastag szélekre fogadok, szoktam eladni at-the-money opciókat, mert biztonsággal mondhatjuk – egyetértésben Ilmanen-el – hogy a linearitásuk miatt nyilvánvalóan drágák, és egy ilyen állítás robosztus az első elefántra. A nevetséges tévedés. A való életnek kevés köze van olyan lottó-szelvényekhez, amelyeknek a valószínűsége és a maximális nyereménye általánosan ismert. Ilmanen említi a „távoli lövés torzításának” nevezett jelenséget, miközben cikkeket idéz a korlátos és a bináris hozamokról nem kapcsolódó területeken (amit én a „nevetséges tévedésnek” hívok.) Ezek a csomagok, melyeket Ilmanen cikke által idézett több tanulmány is tárgyal4, nem 2

N.N. Taleb and R. Douady „Mathematical Definition and Mapping of (Anti)Fragility” (Az anti(fragilitás) matematikai definíciója és feltérképezése) - következő Quantitative Finance - bemutatja, hogyan lehet felismerni a szélsőséges veszteségek valószínűségét a hozamgörbe konvexitásától a szórás változásaiig. 3

N.N. Taleb, “Bleed or Blowup? Why Do We Prefer Asymmetric Payoffs?” (Elvérzés, vagy felrobbanás? Miért preferáljuk az aszimmetrikus hozamokat?) Journal of Behavioral Finance, vol. 5, no. 1 (2004):2–7 4

Például, Joseph Golec and Maurry Tamarkin, “Bettors Love Skewness, Not Risk, at the Horse Track”, Journal of Political Economy, vol. 106, no. 1 (February 1998):205–225; Erik Snowberg and Justin Wolfers, “Explaining the Favorite–Long Shot Bias: Is It Risk-Love or is perceptions?” Journal of Political Economy, vol. 118, no. 4 (August 2010):723–746.

érzékenyek a vastag szélekre (nincsenek igazán kitéve a felrobbanó farok-események veszteségeinek); írtam egy rövid megjegyzést erről a problémáról.5 Ilmanen szintén összetévesztette a volatilitás emelkedésére játszó kereskedést (ami többé-kevésbé konvex stratégia) a magas, vagy alacsony volatilitású részvényekbe való befektetésekkel. Végül, összekapcsolva mindezeket a hibákat, ez egy félreértése annak a hatásnak, amit az out-of-the-money opciók hozamának súlyos nem-linearitása fejt ki a következményre és a döntésekre. Ellenőrizzük a repülőgépekre felszálló utasokat „bizonyítékok” nélkül, hogy nem terroristák-e, egyszerűen azért, mert terroristák felengedése a gép fedélzetére szörnyű következményekkel járna; hasonlóan, van néhány következtetési hiba, amit az emberek nem hajlandóak elkövetni. Ilmanen-nek nem sikerült ezt megértenie a széleken, a különbség a bizonyíték hiánya és a hiány bizonyítéka között összekeveredett. Sajnos, az ilyen érvek – amik a múltból való szuper-naív következtetésen alapulnak, nem a törékenység felbecsüléséből – a bankok felrobbanásához vezettek 2008-ban: „Empirikus bizonyítékaik” voltak rá, hogy a bevételeik „biztonságosak”. Nassim N. Taleb Polytechnic Institute of New York University and Universa Investments

5

N.N. Taleb, “A Short Note to Explain Why ‘Prediction Markets’ & Game Setups Have Little to Do with Real-World Exposures,”, in Metaprobability, Convexity, and Heuristics, the Technical Companion for the Incerto, electronic book, www.fooledbyrandomness.com

KIEGÉSZÍTŐ MEGJEGYZÉSEK ÉS LEVEZETÉSEK Gyakran elkövetett hiba az idősorok értelmezésében összekeverni egy becsült értéket a „valódi” paraméterrel, anélkül, hogy kapcsolatot létesítenénk a statisztikai folyamat megvalósításából becslő és a becsült érték között. Legyen egy eloszlás valódi átlaga statisztikai értelemben, míg megfigyelés számtani átlaga. Figyeld meg, hogy tudományos állítások csak -re tehetők, *-re nem. A vitát *-ra korlátozni csupán szakírói fogás. * összetévesztése -mel az, amit a szerző „Pinker-hibának” nevez, míg a hívő szakírók „empirikus bizonyítéknak”, ahogy a tudomány és a tudományos magyarázatok olyan elméletekről és állítások értelmezéséről szólnak, amelyek kívül esnek egy mintán, nem vitáznak arról, hogy ez a mintára korlátozódik. Tegyük fel, hogy megelégedünk a szokásos statisztikai konvergenciával, ahol a becslésünk megközelíti a valódi átlagot (valószínűségi konvergencia, vagyis ). A probléma az, hogy véges -re, a folyamat minden megvalósulására, amikor az eloszlás balra-dőlt, mondjuk a 0 határolja az egyik oldalon, és egymóduszú, , egyszerűen, a távoli baloldali szél kisebb valószínűséggel mutatkozik meg az eloszlásban, miközben jelentős a hozzájárulása az első momentumhoz. Egy egyszerű módja, hogy ezt belássuk: a tanulmány feltételezi, hogy valaki erős következtetéseket képes levezetni egy egyszerű történeti útvonalból, nem véve tekintetbe az érzékenységet az ellentétes tényekre és a minta teljességére. Azt feltételezi, hogy amit lát egy idősorból, az a teljes történet.

1. Ábra: A kis minta hatása, és a naiv empirizmus: Amikor valaki olyan történelmi hozamokat vizsgál, amely balra tolódott, és a legtöbb hiányzó megfigyelés a baloldali szélen van, akkor a legrosszabb az eltérés a megfigyelt és a valódi átlag között.

Most aggodalomra ad okot számunkra a csonk, vagy farok-torzítás, vagyis a különbség és * között, vagy, hogy a farok-események lehetséges hozzájárulása nem látható az elemzéshez használt ablakban. Amikor a hozam a széleken erőteljes a konvex válaszokból, a csonk szélsőségesen naggyá válik. Ezért ennek a megjegyzésnek a további része túl fog mutatni az Ilmanen (2012)-n, hogy megmagyarázza a hozamok konvexitását a széleken, és általánosítsa a tesztelési stratégiák klasszikus hibáit a felrobbanó szélek kitettségével egy véges egyszerű történeti mintán. Ez a meta-valószínűség (vagy metamodell) ötletén fog alapulni: a hibák hatását nézzük a modellekben és reprezentációkban. Minden, amire szükség van, egy érv egy nagyon kicsi valószínűségű nagy nyereségre a szélen (pusztító az opció eladójának) visszafordítani a messzire-lövés érveket és gazdaságtalanná tenni egy távoli opció eladását. Mindössze egy kis modell hibán múlik az érvelés megfordítása.

Az opciós csomagok nem-linearitása Van egy keveredési hatás a farok-események ritkasága és a nagyon konvex nyereség között, amikor előfordul, egy olyan konvexitás, ami általában kimaradt a szakirodalomból. Ennek a pontnak az illusztrálására összeállítottunk egy „theta-nyereség” (vagy időérték-nyereség) mértéket egy opció delta-neutrális csomagjára, -ban nézve eltérésének nagyságát -val megadva .

(O( Ahol O(

) – O( ) az európai típusú ára a

(strike price), az opció lejárati ideje

)– időpontban az alaptermék kezdeti

, és az árazásra „számított” szórásként

akár call vagy put, köszönhetően a hedgelés delta-neutrális voltának, a paritás miatt

(1)

-t használva.

ára mellett,

a célár

hozama ugyannyi, O

fdezési arányt használva (a put-call

negatív, ha O egy call opció és pozitív, ha put).

az opció értékének diszkrét változása egy változó módosulna). A

időnövekmény alatt (egy opció változása anélkül, hogy bármi más

növekménnyel ez egyetlen kereskedési nap lenne. Feltesszük, hogy az alapkamat 0,

nem veszítve ezzel az általánosságból (ekvivalensen ki lehetne fejezni a problémát egy kockázat-mentes mérték alapján). Amit az (1) egyenlet tesz, hogy kifejezi a Fokker-Plank-Kolmogorov differenciál-egyenletet (Black Scholes), diszkrét esetben, távol a elvárásának 0-nak kell lennie, ahogy

határértéktől. A normál Black-Scholes világban

egy Gauss eloszlást követ

várható értékkel. De nem a Black Scholes

világban vagyunk, és meg kell vizsgálnunk a hozamokat a lehetséges eloszlásokra.

használata semlegesíti a

„drágaság” hatását az opcióra, ahogy egy többszörösét fogjuk használni, mint szórását; ha az opció 15.87%-os volatilitással árazódott, akkor egységnyi szórás körülbelül 1% elmozdulásnak felel meg, . Nyilvánvalóan minden nélkül, vagy amikor

-ra

,

a lejárat közelében (egy opció fedezeti pontja időérték

), egységnyi átlagos eltérés távolságban van), és

.

Konvexitás és felrobbanó hozamok Ami aggodalmat okoz számunkra, az a robbanásveszélyes nem-linearitás a széleken. Vizsgáljuk meg számos

hozamát

, más szóval, hogy hány „szigma” távolságban helyezkedik el a strike az ártól. Egy

körülbelül 20 out-of-the-money csomag, amelyre =20, az 1987-es összeomlás 229,000 napi időérték-veszteséget ad ki, amit 900 évnyi idő-prémium kiesésre való várakozás eredményezne. Hasonló érvelés lenne elvégezhető a másodlagos hitelekre. Ez alapján állíthatjuk, hogy legalább 900 év adataira lenne szükségünk, hogy kimondhassuk, hogy ezek a 20 szórásnyi mélységű out-of-the-money opciók „drágák”, annak érdekében, hogy megfeleljen a gyakoriságnak, ami szállítja ezt a hozamot, és több, mint 2000 év adata, hogy konzervatív állításokat tehessünk. Világos, amint láthatjuk, hogy =0 esetén a hozam lineáris, nincsen rejtett farok-hatás.

2. Ábra: Az extrém konvexitás egy szélsőségesen out-of-the-money opcióra, =20. Látható hogy a hatás teljességgel kimutathatatlan a „szabályos” nézőpontból. Megoldás a szórás perturbációjára a Taleb-Douady átviteli módszer szerint (bemutatva az 1. Táblázatban).

3. Ábra: Különbségek a konvexitás szintjében. Eredmények a értékekre és -re, a feltételezett „szigmányi” eltérések mellett.

=

csomagra

Láthatóan a konvexitást súlyosbítja a folyamat vastag-szélűsége: intuitívan, egy vastag szélű folyamat konvex transzformációja, mondjuk egy hatvány-törvény, nagymértékben vastagabb szélekkel rendelkező hatvány-törvényt hoz létre. A variancia-swap például ½ -szeres farok-kitevőt eredményez a mögöttes alaptermék eloszlásához képest, így végtelen szórású lenne 3/2-es farok-kitevővel, a szakirodalom által tárgyalt „harmadfokú” kitevő alapján (Gabaix et al, 2003; Stanley et al, 2000) és néhány out-of-the-money opció konvexebb a variancia-swap-nál, akár 1/5-ös farok-kitevőt létrehozva egy széles ingadozás végén. Konkrét opciókra talán nincsen egzakt konvex transzformáció. De Monte Carlo szimulációval képet kaphatunk az eloszlás alakjáról és arról, hogy milyen mértékű a ferdesége.

4. Ábra: A valószínűségi térben. A hozamok eloszlásának hisztogramja számolva az alaptermék eloszlására =3 farok-kitevővel.

=10-re hatvány-törvény szerinti hozamokkal

(Érdemes ránagyítani, még -600-nál is van egy pötty! – a ford.)

1. Lábjegyzet: Ez a konvexitási hatás enyhíthető némi dinamikus fedezéssel, feltéve, hogy nincsenek ugrások, de a sztochasztikus folyamat „helyi ideje” miatt, lényegében néhány kisebb eltérés is tudja szállítani a nagyobbak költségét: egy -10 szigmás mozgást követő 5 szigmás korrekció végül sokkal többe kerülhet, mint egy újabb -5 szigmás esés. A farok-események érkezhetnek egy volatilis oda-vissza pattogó minta-útvonalból.

A törékenység heurisztika és a nem-lineáris kitettség a volatilitással szemben Az opciós portfoliók legtöbb vesztesége általában a számított volatilitásnak (implied volatility) való kitettség miatt hajlamos bekövetkezni, mert úgy viselkednek, mintha a piac egy farok-eseményt tapasztalt volna (például 2008-ban). A 3. ábrához hasonló eredményt látnánk a számított volatilitás változásában: a volatilitás egy 5x-ösére robbanása egy 10 szigmás opcióban 270x-es nyereséget eredményez (a VIX-nek volt legalább öt olyan robbanásszerű emelkedése, amikor elérte az 5x-ösét, 1987 óta). (Egy nagy nyilvánosságot kapott bukás volt a spekuláns Victor Niederhoffer opciós portfoliójának tönkremenetele, ami a volatilitás robbanásszerű változása miatt, és nem a piaci mozgás okán következett be; ráadásul az opciók, amelyek csődbe juttatták az alapját, pár hét múlva lejártak értéktelenül.) Taleb and Douady (2012), Taleb Canetti et al (2012) törékenység heurisztikája azonosítja a szignifikáns paraméterekre való konvexitást, mintegy a modell-hibával és a reprezentációval szembeni törékenység mértékét: tétel szerint a modell hiba közvetlenül feltérképezi a paraméterek nem-linearitását. A heurisztika megfelel a paraméter perturbációjának, megmondja egy valószínűség-eloszlás léptékét és a várt elégtelenség hatását; ugyanez a tétel állítja, hogy a nyereség és veszteség közötti aszimmetria (a konvexitás) közvetlenül feltérképezi a kitettséget a modell-hibának és a törékenységnek. A gyakorlat lehetővé teszi számunkra újraértelmezni a hozam konvexitásának elképzelését a rangsor hatások alapján.

1. Táblázat – Mutatja az eredmények különbségét (az opciós prémium valós érték feletti részének többszörösével kifejezve) a volatilitás 2, 3, és 4-szereződésekor. Egy 5 szórásnyi mélységben out-of-the-money opció 16-szoros hozamot termel, amikor a számított volatilitás 4-szeződik. a még távolabbi out-of-the-money opciók nyeresége exponenciális. Figyeljük meg az at-the-money opciók linearitását.

Következtetés: Aszimmetria a döntés-hozatalban A farok-események túlárazásának állítása (vagy az alulárazásának cáfolata) konvex eszközökkel kifejezve a „bizonyítékok” rendkívüli mennyiségét követeli meg, a folyamat egy sokkal hosszabb idősorát és erős feltételezéseket az időbeli homogenitásról. Az out-of-the-money opciók annyira konvexek azokra az olyan eseményekre, hogy egy egyszeri összeomlás (mondjuk minden 50, 100, 200, vagy akár 900 évben) elegendő lehet, hogy igazolja a szkepticizmusunkat az eladásukkal szemben (vagyis az eladásuk elkerülését) – amelyeknek a konvexitása illeszkedik a ritka esemény gyakoriságához. Minél távolabbiak, annál kevesebb állítható az „értékükről”, vagy arról, hogy „drágák” lennének, stb. Talán tehet kijelentések tenni a „korlátos” változókról, de nem a széleken.

Köszönetnyilvánítás Bruno Dupire, Xavier Gabaix, Mark Spitznagel, Michael Mauboussin, Phil Maymin, Aaron Brown, Brandon Yarkin, Yechezkel Zilber