Nelineární odezva ocelových konstrukcí na statické zatížení Nonlinear Response of Steel Structures on Statical Loading

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA STAVEBNÍ Ústav stavební mechaniky Faculty Of Civil Engineering Institute of Structural Mechanics

Nelineární odezva ocelových konstrukcí na statické zatížení Nonlinear Response of Steel Structures on Statical Loading

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS

AUTOR PRÁCE

ANNA NEZBEDOVÁ

AUTHOR

VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR

BRNO 2013

prof. Ing. ZDENĚK KALA, Ph.D.

Nelineární odezva ocelových konstrukcí na statické zatížení

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Studijní program

B3607 Stavební inženýrství

Typ studijního programu

Bakalářský studijní program s prezenční formou studia

Studijní obor

3647R013 Konstrukce a dopravní stavby

Pracoviště

Ústav stavební mechaniky

ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Student

Anna Nezbedová

Název


Vedoucí bakalářské práce

prof. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D.

Datum zadání bakalářské práce

30. 11. 2012

Datum odevzdání bakalářské práce

24. 5. 2013

V Brně dne 30.11.2012

.............................................

.............................................

prof. Ing. Drahomír Novák, DrSc.

prof. Ing. Rostislav Drochytka, CSc.

Vedoucí ústavu

Děkan Fakulty stavební VUT


Podklady a literatura Galambos T.V. Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures, John Wiley & Sons, p.944, 1998. EN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for building, Brussels, CEN, 2006. Zásady pro vypracování Nastudovat přehled dostupných výpočtových postupů používaných pro nelineární statickou analýzu ocelových prutových prvků. Zhodnoťte jednotlivé postupy z hlediska náročnosti, přesnosti a oblasti použití. Předepsané přílohy

............................................. prof. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. Vedoucí bakalářské práce


Abstrakt Tato práce se zabývá nelineární odezvou ocelových konstrukcí na statické zatížení. Jsou zde odvozeny vzorce pro nelineární analýzu tlačených, ohýbaných a tažených prutů. U tlačených prvků je popsána problematika vzpěru, u ohýbaných klopení a taženými prvky jsou lana. Jako příklad je proveden výpočet dvoupolové visuté ocelové lávky pro pěší asymetricky zatížené. Jako další možný výpočtový postup je popsána metoda konečných prvků.

Klíčová slova nelineární analýza, statika, ocelový prut, stabilita, vzpěr, klopení, lano, metoda konečných prvků

Abstract This paper deals with the nonlinear response of steel structures to static loads. There are formulas derived for nonlinear analysis compressed, bended and tension members. By compressed elements, there is described the issue of buckling, by the bended, it is lateral-torsional buckling and tension elements are cables. As an example there is an calculation of a suspension two spans pedestrian steel bridge under load action of asymetrical loads. As another possible calculation process, the finite elements method is described. Keywords nonlinear analysis, static, steel member, stability, buckling, lateral-torsional buckling, cable, finite elements method

Bibliografická citace VŠKP NEZBEDOVÁ, Anna. Nelineární odezva ocelových konstrukcí na statické zatížení. Brno, 2013. 57 s., Bakalářská práce. Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky. Vedoucí práce prof. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D..


Prohlášení:

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatně a že jsem uvedla všechny použité informační zdroje.

V Brně dne ………………..

.………………………………………. podpis autora


Poděkování:

Na tomto místě bych ráda poděkovala vedoucímu mé bakalářské práce panu prof. Ing. Zdeňku Kalovi, Ph.D. za odborné vedení, cenné rady, připomínky a pomoc v průběhu zpracování této práce.


Obsah 1

ÚVOD ....................................................................................................................... 9

2

VZPĚR .................................................................................................................... 11 2.1

Stabilita a vzpěrná pevnost prutů ..................................................................... 11

2.1.1

3

2.2

Prut oboustranně kloubově podepřený ............................................................. 12

2.3

Konzolový prut ................................................................................................. 15

2.4

Pevnostní pojetí vzpěru a posouzení prutů na vzpěr ........................................ 17

2.5

Prut s počátečním zakřivením .......................................................................... 17

KLOPENÍ ................................................................................................................ 20 3.1

4

Eulerovo řešení stability přímého pružného prutu .................................... 12

Klopení prutu s počátečním zakřivením ........................................................... 33

LANA...................................................................................................................... 40 4.1

Zjednodušený způsob výpočtu dvoupolové visuté ocelové lávky pro pěší

s tuhými a netuhými kabely za působení asymetrického zatížení............................... 40 4.1.1

Zjednodušený způsob výpočtu kinematických posuvů dvoupolové visuté

ocelové lávky pro pěší ............................................................................................. 42 4.1.2

Zjednodušený způsob výpočtu celkových posuvů dvoupolové visuté

ocelové lávky pro pěší ............................................................................................. 43 4.1.3

Technická metoda výpočtu posuvů konstrukce s ohybovou tuhostí ......... 46

4.1.4

Numerická analýza posuvů dvoupolové visuté konstrukce ...................... 48

5

METODA KONEČNÝCH PRVKŮ ....................................................................... 51

6

ZÁVĚREČNÁ SHRNUTÍ PRÁCE ........................................................................ 53

7

SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ ........................................................................ 54 7.1

Knihy ................................................................................................................ 54

7.2

Skripta............................................................................................................... 54

7.3

Články v časopisech a sbornících ..................................................................... 54


8

7.4

Přednášky ......................................................................................................... 55

7.5

Normy ............................................................................................................... 55

SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMBOLŮ............................................. 56

Seznam ilustrací a seznam tabulek Obr. 2-1 Stabilitní stavy tělesa ........................................................................................ 11 Obr. 2-2 Prut zatížený tlakovou silou s ohledem na její velikosti vůči Fcr ..................... 12 Obr. 2-3 Schéma tlačeného oboustranně kloubově podepřeného prutu .......................... 12 Obr. 2-4 Tvar vybočení prutu v závislosti na vlastním čísle k ........................................ 14 Obr. 2-5 Schéma vybočení tlačeného konzolového prutu .............................................. 15 Obr. 2-6 Schéma vybočení prutu s počátečním zakřivením ........................................... 17 Obr. 2-7 Závislost napětí na štíhlosti .............................................................................. 19 Obr. 2-8 Součinitel vzpěrnosti ........................................................................................ 19 Obr. 3-1 Schéma ohýbaného prutu namáhaného klopením ............................................ 20 Obr. 3-2 Nahrazení ohybového momentu dvojicí sil ...................................................... 21 Obr. 3-3 Klopení prutu z I profilu ................................................................................... 23 Obr. 3-4 Pootočení klopeného prutu ............................................................................... 24 Obr. 3-5 Prut namáhaný ohybovými momenty ............................................................... 26 Obr. 3-6 Prut namáhaný dvojicí sil ................................................................................. 27 Obr. 3-7 Schéma označení působících sil, vzdáleností a úhlů ........................................ 28

Tabulka 4-1 Numerická analýza asymetricky zatížené dvoupolové visuté lávky pro pěší ......................................................................................................................................... 50


1

ÚVOD

Při návrhu ocelových konstrukcí je cílem navrhovat konstrukce spolehlivé a hospodárné. U prutových ocelových konstrukcí se snažíme, aby zatížení bylo přenášeno především tahem nebo tlakem, ohybem a méně kroucením. Ocel má vysokou pevnost, a proto jsou ocelové prvky subtilní a lehké, což se příznivě projevuje při přepravě a montáži a vytváří to menší požadavky na základy stavby. Pouze konstrukcemi z oceli lze překonat velká rozpětí, dosáhnout velkých výšek a přenést relativně velká zatížení [9]. Jedním z nedostatků prutových ocelových konstrukcí je nebezpečí zřícení v důsledku ztráty stability dlouhých a štíhlých prutů. Poruchy vzniklé stabilitním poškozením jsou velmi záludné zejména proto, že nejsou předem signalizovány zvětšováním deformací a dochází k nim náhle a překvapivě. V globální analýze konstrukce lze pružnostní výpočet uplatnit vždy, pro výpočet podle plastické analýzy musí být splněny určité podmínky, viz např. [8], [9]. U prutových ocelových konstrukcí můžeme plastickou analýzu aplikovat především u ohýbaných prvků tehdy, pokud mají průřezy velkou rotační kapacitu. Norma EUROCODE 3 umožňuje modelovat plastické klouby s dostačující rotační kapacitou pro plastickou redistribuci vnitřních sil u průřezů první třídy. Již z názoru plyne, že u velmi štíhlých prutů není tato schopnost velká, protože jejich únosnost je limitována především stabilitními jevy. Většina běžných výpočtů staticky zatížených stavebních konstrukcí vystačí s lineární statickou analýzou, která poskytuje vnitřní síly, jež jsou základem návrhu ocelových konstrukcí podle norem pro navrhování, viz EUROCODE 3. Existují ale případy namáhání, kdy se nevyhneme použití nelineárního výpočtu. U tlačených prutů se jedná o vzpěr, u ohýbaných o klopení a taženými prvky chovajícími se nelineárně jsou lana. Únosnost štíhlých prvků řešených s vlivem vzpěru a klopení je snížena vlivem nevyhnutelných počátečních imperfekcí, jejichž působení musí být ve výpočtech zohledněno. Nelineárním výpočtem by bylo možné posuzovat i kroucení nosníků, ale u běžných konstrukcí plně vystačíme s lineárním výpočtem, neboť pootočení běžně nejsou natolik velká, aby bylo s nelinearitami potřeba počítat. 9


U ocelových konstrukcí se dále můžeme setkat s boulením plechu, které také podléhá nelineárnímu výpočtu. Tato práce se však zabývá posouzením pouze prutů a nikoli stěn, proto již zde není boulení nijak šířeji zahrnuto. Je třeba poznamenat, že práce se zaměřuje na geometrické nelinearity ocelových konstrukcí, můžeme se ale setkat i s nelinearitami fyzikálními. V běžné praxi se ocelové konstrukce navrhují na základě pružného výpočtu tak, aby srovnávací napětí v základním materiálu prutů v žádném místě ocelové konstrukce pro žádnou kombinaci zatěžovacích stavů nepřekročilo charakteristickou hodnotu meze kluzu uvedenou v normě pro navrhování. Výjimku mohou tvořit vzorce pro posouzení svarových nebo šroubových spojů, nicméně pro jejich návrh je obvyklé použití vnitřních sil získaných z pružnostního výpočtu. Reálná únosnost oceli je ale mnohem vyšší, čehož se dá využít například u posouzení stávajících konstrukcí na jednorázové mimořádné zatížení, u kterého uvažujeme v materiálu jen velmi malou rezervu. Posuzují se na tzv. mezní plastickou únosnost. Průřezy tlačené a tažené mají v porovnání s ohýbanými průřezy velmi malou (prakticky zanedbatelnou) plastickou rezervu, a proto výpočet pro ně nemá opodstatnění a běžně se nepoužívá. Ohýbaný průřez po dosažení meze kluzu v krajních vláknech (odpovídá meznímu pružnému stavu) prochází pružno-plastickým stavem, až do mezního plastického stavu, kdy je meze kluzu dosaženo v celém průřezu a vzniká tzv. plastický kloub. Podobně lze uvažovat mezní plastickou únosnost celé konstrukce, kdy pokud zatížení přesáhne hranici pro elastické namáhání, vznikají v konstrukci plastické klouby. Jejich počet závisí na statické neurčitosti konstrukce. Podíl únosnosti plastické a průžné se nazývá plastickou rezervou. Obecně se dá říct, že čím vícekrát je konstrukce staticky neurčitá, tím větší má plastickou rezervu. Běžně rezerva činí několik desítek procent. Je nutno zdůraznit, že navrhování nových konstrukcí podle teorie plasticity by sice vedlo k úspoře materiálu a tím pádem i nákladů, ale riziko překročení mezního stavu by bylo mnohem vyšší, a proto se takto nové konstrukce takřka nenavrhují. Analýza únosnosti konstrukce s využitím plastických rezerv v základním materiálu může být více než pro nově navrhované konstrukce účelná pro posouzení stávajících konstrukcí vyžadujících verifikaci jejich spolehlivosti z hlediska životnosti.

10


2

VZPĚR

Poznání v oblasti pružné stability začíná objevem, který švýcarský matematik Leonhard Euler (1707- 1783) uveřejnil ve svém slavném pojetí „De curvis elasticis“ v roce 1744 [1].

2.1

Stabilita a vzpěrná pevnost prutů

Obr. 2-1 Stabilitní stavy tělesa

Stabilita je schopnost soustavy vracet se do původního stavu, jakmile pomine příčina, která vychýlení vyvolala.

11


2.1.1 Eulerovo řešení stability přímého pružného prutu

Obr. 2-2 Prut zatížený tlakovou silou s ohledem na její velikosti vůči Fcr

Kritická síla

2.2

je taková síla, která udrží prut ohnut.

Prut oboustranně kloubově podepřený

Obr. 2-3 Schéma tlačeného oboustranně kloubově podepřeného prutu

(2)

( )

( )

(2-1)

(2-2)

12


(2-3)

Označíme

.

(2-4) Obecné řešení rovnice je

(

)

(

)

(2-5)

Z okrajových podmínek lze určit

( )

(

Rovnice

)

()

(

)

(2-6)

je splněna pokud:

… prut je přímý, je to tzv. triviální řešení nebo

(

)

… pro vybočený prut, je splněno pro

,

kde Dosazením do (2-5) lze obdržet řešení ve tvaru

(2-7)

což odpovídá vlastnímu tvaru vybočení.

13


(2-8)

(2-9)

Obr. 2-4 Tvar vybočení prutu v závislosti na vlastním čísle k

Vlastní číslo je pro

, jedná se o Eulerovu kritickou sílu. Kritická síla nemá přímý

význam pro posouzení a návrh konstrukce, ale je horní hranicí únosnosti skutečného imperfektního sloupu namáhaného osovým tlakem. Prut vybočí při síle protože

, známe tvar vyboření (sinusoida), ale neznáme jeho velikost,

je neurčeno. … stabilní stav … indiferentní stav … nestabilní stav

14


2.3

Konzolový prut

Obr. 2-5 Schéma vybočení tlačeného konzolového prutu

(

)

(

(2-10)

)

(2-11)

(2-12)

(2-13) Řešení diferenciální rovnice je

(

Máme tři neznámé

,

,

)

a tři okrajové podmínky

(

)

( )

(2-14)

,

( )

a

()

.

15


(2-15)

(2-16) (

)

(

)

(2-17)

(2-18)

(2-19) (

)

(

)

Řešení je možné, pokud determinant soustavy roven nule, tedy Pro nejnižší kořen

(2-20) (

)

.

obdržíme

(2-21)

To je 4x menší číslo, než u kloubově uloženého prutu. Průhyb je určen:

(

kde

)

(2-22)

je neurčitá veličina.

16


2.4 -

Pevnostní pojetí vzpěru a posouzení prutů na vzpěr Stabilitní pojetí vzpěru: Vycházíme z ideálního (přímého), centricky zatíženého prutu.

-

Pevnostní pojetí vzpěru: Vycházíme z reálného prutu s imperfekcemi. Tyto imperfekce lze rozdělit do pěti skupin: 1. Pruty nejsou ideálně přímé, ale zakřivené působením různých vlivů při výrobě. Rovněž konstrukce složené z těchto prutů se odchylují od ideálního tvaru předpokládaného v projektu. 2. Průřezy prutů také vykazují rozměrové odchylky od nominálního tvaru uvažovaného v projektu. 3. Pruty vykazují vlastní pnutí v důsledku výroby, popř. montáže. 4. Fyzikálně-mechanické vlastnosti oceli mají určité odchylky. 5. Zatížení nepůsobí ideálně v předpokládaných pozicích.

2.5

Prut s počátečním zakřivením

Obr. 2-6 Schéma vybočení prutu s počátečním zakřivením

(2-23)

(2-24)

17


(

)

(

)

(2-25)

(2-26)

(

(

)

(2-27)

(

)

(2-28)

(

)

(2-29)

)

(

)

(2-30)

(2-31)

(2-32)

Uvedený vztah (2-32) je použit i v EC3: ČSN EN 1993-1-1:1992 na str. 75. Často se uvažuje, že uvedené imperfekce se nahrazují jedinou ekvivalentní, tzv. výchylkou počátečně zakřiveného prutu. Postup výpočtu je pak následující: 1. Nahradíme výchylky ekvivalentní výchylkou. 2. Určíme zvětšení konečné výchylky od tlakové síly.

18


3. Napětí v extrémně tlačených vláknech položíme rovno mezi kluzu. (Tlak uvažujeme kladně.)

(

Označíme-li ̅

)

, pak je možno zakreslit závislost ̅ na

(2-33)

takto:

Obr. 2-7 Závislost napětí na štíhlosti

Vydělíme-li takto odvozené hodnoty ̅ mezí kluzu

, obdržíme bezrozměrná čísla

klesající od jedničky v závislosti na .

Obr. 2-8 Součinitel vzpěrnosti

19


3

KLOPENÍ

První teoretické studie problému stability ohybu pro nosník úzkého (thin) obdélníkového průřezu zpracovali nezávisle na sobě Prandtl [4] a Michell [14], a to již v roce 1899. Prakticky významnou analýzu klopení (lateral-torsional buckling) příčně zatížených tenkostěnných ocelových prutů předložil poprvé S. P. Timošenko [16] v roce 1905. Zabýval se stabilitou rovinného ohybu nosníku průřezu I s uvážením vlivu ohybové tuhosti pásnic při vybočení z roviny prvotní deformace. Diferenciální rovnice stability řešil mocninovými řadami (power series). Později, v r. 1910, aplikoval na uvedený problém energetickou metodu [6]. V této kapitole je uvedeno analytické odvození stavu napjatosti oboustranně kloubově uloženého nosníku průřezu I namáhaného ohybem. Při řešení jsme vycházeli především z prací [7] a [12].

Obr. 3-1 Schéma ohýbaného prutu namáhaného klopením

Okrajové podmínky na začátku a na konci prutu zabraňují posuvu v a pootočení .

( )

( )

(3-1)

( )

( )

(3-2)

20


(

)

(

)

(3-3)

(

)

(

)

(3-4)

Ohybový moment M působící na koncích nosníku nahradíme dvojicí sil

, které

působí v těžištích pásnic.

(3-5) Řešíme-li ideální prut bez imperfekcí, tak při dosažení jisté kritické hodnoty ohybového momentu

dojde k rozdvojení rovnováhy a prut vybočí ohybem kolem osy z a

zkroucením, viz Obr. 3-1 a Obr. 3-2. Analogicky se vztahem (3-5) uvažujeme

(3-6)

Obr. 3-2 Nahrazení ohybového momentu dvojicí sil

Zdeformovaná část prutu po vybočení je v rovnováze v důsledku působení vnějších a vnitřních sil. Na konci prutu působí dvojice vnějších sil část v rovnováze, musí na paprscích sil

. Aby byl prut nebo jeho

působit stejně velké síly, ale opačného

směru, viz Obr. 3-3. Tyto síly by takto působily jako vnitřní síly pouze v případě

21


nevybočeného prutu, u vybočeného prutu je třeba je nahradit ekvivalentní soustavou sil, která bude mít v prostoru stejné statické působení a bude působit na prut (průřez) po vybočení. Uvažujme vnitřní síly působící na průřez, který se v důsledku vybočení pootočí o úhel φ (viz Obr. 3-3) a zapišme momentovou podmínku k ose z´

(3-7)

(3-8)

22


Obr. 3-3 Klopení prutu z I profilu

Dosazením z (3-8) do (3-7) lze psát

( (

) )

(3-9)

23


Obr. 3-4 Pootočení klopeného prutu

24


Pro velmi malé úhly platí, že

. S použitím (3-9) a (3-6) dostáváme

(3-10) Obdobně zapíšeme momentovou podmínku k ose y´

(

Pro velmi malé úhly platí, že

)

(3-11)

. S uvážením (3-11) a (3-6) lze psát

(3-12)

Rovnovážné momenty

(vnější moment) a

a

(vnitřní momenty) působící na část vybočeného prutu jsou zobrazeny na obr. 5. Tato rovnováha by však bez dalšího platila pouze pro a

a

, kde

. Pokud

, tak je průřez navíc ještě namáhán vnitřním krouticím

momentem, který vzniká v důsledku nenulového pootočení dv/dx zdeformovaného prutu v rovině x-y,

(3-13)

25


Zdeformovaný prut zobrazený na Obr. 3-6 je v rovnováze. Prut je zatížen silami (3-6), jejichž paprsky jsou rovnoběžky

Obr. 3-5 Prut namáhaný ohybovými momenty

26


Obr. 3-6 Prut namáhaný dvojicí sil

27


Obr. 3-7 Schéma označení působících sil, vzdáleností a úhlů

28


̅ , ̅,

Označme osy průřezu zdeformovaného prutu na Obr. 3-7 jako

̅ a zapišme

výsledné hodnoty momentů působících na průřez

̅

Pro úhel

(3-14)

platí, že

. Pro velmi malé úhly

lze psát, že

a

a tedy vztah (3-14) lze zapsat jako

̇

̅

(3-15)

Obdobně zapíšeme momentovou podmínku k ose ̅

̅

Pro velmi malé hodnoty

(3-16) lze psát

a pak

̇ ̅

(3-17)

Souhrnně lze tedy konstatovat, že na průřez vybočeného prutu působí v rovině prvotního ohybu ohybový moment moment

a dále kroutící moment ̅

(3-17) a ohybový

(3-10) kolem "měkčí" osy z´.

Známe-li vnitřní momenty působící na průřez, můžeme zapsat diferenciální rovnici ohybové čáry (3-18) a diferenciální rovnici vázaného kroucení (3-19) tenkostěnných otevřených průřezů.

(3-18)

29


(3-19)

kde E je modul pružnosti v tahu a tlaku [Pa]. G je modul pružnosti ve smyku [Pa]. je moment tuhosti v prostém kroucení [ je výsečový moment setrvačnosti [

].

].

Zderivováním rovnice (3-19) a dosazením rovnice (3-18) dostaneme

(3-20)

Okrajové podmínky definující prosté podepření jsou

( ) ( )

() ()

( ) ( )

() ()

(3-21)

Rovnici (3-20) můžeme zapsat ve tvaru

(3-22)

Nechť

(3-23)

30


(3-24)

Pak rovnice (3-22) vypadá takto:

(3-25)

Kořeny diferenciální rovnice jsou

(

)

(3-26)

kde

[

√

]

√

√

√

(3-27)

(3-28)

(3-29)

Výraz pro úhel pootočení lze zapsat ve tvaru:

(3-30)

31


jsou integrační konstanty závislé na okrajových podmínkách a

kde √

. Pokud dosadíme okrajové podmínky (3-21) do (3-30), dostaneme čtyři

homogenní rovnice:

[

]{ }

(3-31)

Netriviální řešení dostaneme, položíme-li determinant koeficientů roven nule. Rozložení determinantu vede na následující rovnici:

(

)

(3-32)

Vzhledem k tomu, že výraz před násobícím znaménkem není roven nule, musí se vlastní číslo nacházet v rovnici

(3-33) Rovnice (3-33) platí, pokud Nahrazením

, kde

výrazem (3-29) dostaneme:

[

Nejnižší vlastní číslo je pro

]

(3-34)

. Dosazením (3-23) a (3-24) do (3-34) dostaneme

√

√

(3-35)

32


Ve vztahu (3-35) je jeden kořen kladný a druhý záporný. Běžně se užívá pouze kladný kořen ve tvaru

√

3.1

√

(3-36)

Klopení prutu s počátečním zakřivením

Uvažujeme prut s počátečním zakřivením afinním k tvaru počátečního vybočení, odpovídajícímu sinusoidě.

( )

(

)

(3-37)

( )

(

)

(3-38)

Příslušné diferenciální rovnice mají tvar:

(

)

(

(3-39)

)

(3-40)

Rovnice (3-39) představuje upravenou rovnici ohybové čáry (3-18) a druhá rovnice (331) vyjadřuje upravenou rovnici vázaného kroucení tenkostěnných otevřených průřezů. Pokud rovnici (3-40) jednou zderivujeme, dostaneme:

33


(

)

(3-41)

Úpravou rovnice (3-39) dostaneme vztah (3-42),

(

)

(3-42)

který dosadíme do rovnice (3-41)

(

(

)

)

(3-43)

Rovnici (3-43) upravíme tak, aby na pravé straně byly obsaženy členy počátečního zakřivení a pootočení.

(3-44)

Řešení (3-44) lze uvažovat ve tvaru

( )

(

)

(3-45)

( )

(

)

(3-46)

Dosazením (3-37), (3-38), (3-45) a (3-46) do (3-44) dostaneme

34


(

) (

(

)

) (3-47) (

)

(

)

Úpravou (3-47) pak získáme

(3-48)

Rovnici (3-48) vynásobíme

a dostaneme

(

) (3-49)

Dále upravíme (3-49) tak, aby obsahovala členy z (3-36)

(

(

)

) (3-50)

Rovnice (3-50) v sobě zahrnuje

(3-36), tudíž lze psát, že

35


(

)

(3-51)

Pravou stranu rovnice (3-51) upravíme vynásobením prvního členu zlomkem Dále vytknutím

(

.

na pravé straně obdržíme

)

(

)

(3-52)

Lze psát

(3-53)

Dosazením (3-53) do (3-52) dostáváme

(

)

(

)

(3-54)

Úpravou (3-54) dostaneme vztah

(3-55)

Osamostatníme

(3-56)

36


a vyjádříme celkové pootočení, které se skládá z počátečního pootočení v důsledku působení ohybového momentu

a pootočení

.

(3-57)

Tedy pro celkové pootočení lze psát

(3-58)

Podobný vztah je třeba získat také pro počáteční a koncové zakřivení. Vyjdeme-li z rovnice (3-39), lze psát

(

)

(

)

(

)

(3-59)

Dosazením (3-58) do (3-59) a úpravou získáme

(3-60)

Dále dosadíme za

z (3-53) a dostaneme

(3-61)

37


Úpravou (3-61) obdržíme

(3-62)

a tedy obdobně jako (3-55) lze psát

(3-63)

Celkové zakřivení

dostaneme po osamostatnění

(3-64)

jako

(3-65)

Tedy pro celkové zakřivení lze psát

(3-66)

což je vztah obdobný k (3-58). Dosadíme-li do (3-45) z (3-64), dostaneme

38


( )

(

)

(3-67)

a obdobně po dosazení z (3-56) do (3-46) získáme

( )

(

)

(3-68)

Největší napětí v polovině prutu je od prostého ohybu, sekundárního ohybu a vázaného kroucení

( ( ) ( )

(

( )) )

(3-69)

39


4

LANA

Ve stavební i technické praxi se poměrně často setkáváme s konstrukcemi, jejichž základním nosným prvkem je lano o jednom nebo více polích, popř. soustava lan. Jsou to např. lanové střechy vhodné pro zastřešení velkých prostorů, visuté a zavěšené lanové mosty, lanovky apod. Zanedbáme-li ve statickém řešení lana jeho velmi malou tuhost v ohybu, dostáváme tzv. dokonale ohebné vlákno, pod nímž si představujeme lano nehmotné, neprodloužitelné, které má ve všech průřezech ohybové momenty M = 0. Dokonale ohebné vlákno přenáší jen tah a jeho geometrický tvar je závislý na zatížení. Změnou polohy nebo směru či velikosti zatížení se geometrický tvar vlákna výrazně mění. V důsledku toho se musí počítat tvar průvěsové čary lana pro každé zatížení zvlášť. Neplatí princip super pozice, jedná se tedy o nelineární úlohu. V této práci se budeme zabývat posouzením zahrnutí vlivu ohybové tuhosti do analytického výpočtu průhybu lana dvoupolové asymetricky zatížené visuté lávky pro pěší. Dále porovnáme průhyby lávky s použitím lana kruhového průřezu a nosníku profilu I.

4.1

Zjednodušený způsob výpočtu dvoupolové visuté ocelové lávky pro pěší s tuhými a netuhými kabely za působení asymetrického zatížení

Visuté

mosty

jsou

díky

svému

technickému

provedení

a

vynikajícímu

architektonickému vzhledu velmi používané pro překlenutí malých i velkých rozpětí. Jedna z nejstarších a dodnes úspěšně používaných visutých lávek pro pěší je ocelový předpjatý most. Hlavní nosné prvky těchto moderních ocelových mostů jsou ocelové pásy nebo vysokopevnostní lana z ocelových drátů. Konstrukční výška těchto prvků je nízká. Provozní požadavky na hodnoty prověšení nosných prvků takových mostů jsou poměrně striktní. To vyvolává vysoké tahové síly uvnitř nosných konstrukcí, které vyžadují ocel vyšších pevností a dobrého stavu. Jedním z nejzávažnějších nedostatků visutých mostů je jejich nadměrná deformace způsobená asymetrickým zatížením.

40


Existují metody, které se používají pro snížení deformovatelnosti takových konstrukcí. Běžně se používají mostovky z těžkého železobetonu nebo předpjatý beton. V poslední době jsou rozšířeny visuté lávky o více polích a jsou známa různá konstrukční řešení. Vzhledem k horizontálním posuvům středního pilíře a většímu množství možného umístění zatížení se stává chování takových struktur složitější. Tento fakt bezpochyby činí výpočty náročnějšími, čelí totiž geometrickým nelinearitám. Je třeba poznamenat, že absolutní pružnost kabelů je teoretický pojem, neboť výše uvedené prvky reálných konstrukcí mají určitou průřezovou tloušťku a ohybovou tuhost konečné velikosti (nerovnou nule). Je známo, že se za účelem snížení posuvů visutých mostů vyvolaných asymetrickým zatížením a osamělými břemeny se používají tzv. “tuhé” visuté prvky. Tyto upevňovací prvky, kombinující schopnost tahu a ohybu, nejen efektivně stabilizují počáteční formu mostu, ale i umožňují vyhnout se použití drahého předpětí nebo železobetonové mostovky. Tyto “tuhé” konstrukční prvky jsou vyrobeny z průřezů válcovaných za tepla nebo svařovaných. Vzhledem k možné koncentraci napětí se doporučuje podepřít takovou visutou konstrukci, tzn. navrhovat prvky jako rozdělené. Je třeba poznamenat, že chování vícepolových visutých ocelových mostů není zcela zahrnuté, zejména s ohledem na ohybovou tuhost podpůrných prvků. Tato práce popisuje dvoupolové ocelové visuté lávky pro pěší rozděleného typu s ohybovou tuhostí, analyzuje chování těchto struktur v rámci asymetrického zatížení. Zabývá se kinematickými posuvy nosných visutých kabelů těchto mostů a poskytuje výrazy pro jejich analytický výpočet. Efektivita stabilizací posuvů visutých mostů je diskutována a dále metody technického navrhování napětí a posunutí asymetricky zatěžovaných visutých konstrukcí ocelových mostů, vyhodnocující vliv ohybové tuhosti. Numerické experimenty ukazují východisko pro správnost rozvinuté zjednodušené analytické metody.

41


4.1.1 Zjednodušený způsob výpočtu kinematických posuvů dvoupolové visuté ocelové lávky pro pěší Hlavním nosným prvkem dvoupolové visuté ocelové lávky pro pěší rozděleného typu je pružný kabel, který počítáme jako strukturu čelící geometrickým nelinearitám. Předpokládáme podpůrnou ocelovou konstrukci visuté lávky o dvou polích. Visuté prvky této struktury jsou pevně podepřeny v oblasti koncových pilířů. Prostřední pilíř konstrukce je horizontálně posouvatelný (Obr. 4-1).

Obr. 4-1. Analytický model dvoupolové konstrukce rozděleného typu

Při výpočtu jednopásového visutého mostu se předpokládá, že nosný visutý kabel je naprosto pružný, tzn. je bez ohybové tuhosti EI. Pod vlastní tíhou má ohebný kabel tvar blízký parabole druhého stupně. Kabel namáhaný soustředěným nebo asymetrickým zatížením změní svou původní podobu. Taková deformace je dána posuvy kinematického původu. Je třeba poznamenat, že míra nárůstu zakřivení kabelu vyvolaná kinematickými posuvy překročí nárůst způsobený pružnými deformacemi. To znamená, že kinematické posuvy mohou být pro přetvárnost kabelu nebezpečnější než svislé posuvy způsobené pružnými deformacemi. Zjednodušený technický způsob (odhad) byl vyvinut pro analýzu kinematických posuvů ocelových visutých mostů rozděleného typu. Předpokládá se, že osová tuhost kabelu je rovna EA   . Kinematické posuvy způsobené asymetrickým zatížením budou uvažovány v souladu s tímto předpokladem. Podle rovnosti délky pravého a levého visutého prvku sl  sr , se může vodorovný kinematický posuv prostředního pilíře vypočítat následujícím způsobem:

42


h 



4  f 0  f l 2   f 0  f r 2 3L



(4-1)

kde L – délka rozpětí visutého kabelu, [m]; f 0 − počáteční prověšení visutého kabelu, [m]; f l − svislý kinematický posuv uprostřed levého pole, [m]; f r − svislý kinematický posuv uprostřed pravého pole, [m]. Potom se tahová síla rovnovážného stavu ( H l  H r ) používá pro výpočet svislého kinematického posuvu levého rozpětí:

f l   f 0 

 p  g  f 0  f r  g

(4-2)

kde g – stálé zatížení, [kN/m]; p – dočasné zatížení [kN/m]. Za pomoci geometrických rovnic se svislý kinematický posuv pravého rozpětí určí:

f r   f 0 

3 Lh 8 p  g

g f 02 

(4-3)

Je třeba zmínit, že levý kinematický posuv směřuje dolů a pravý nahoru (Obr. 4-1). 4.1.2 Zjednodušený způsob výpočtu celkových posuvů dvoupolové visuté ocelové lávky pro pěší Celkový posuv kabelu zahrnuje kinematické a elastické posuvy. Elastické posuvy jsou způsobeny prodloužením pod tahovou silou H. Při výpočtu výše uvedených posuvů se předpokládá, že nosné kabely lávky pod asymetrickým zatížením prodělají nejprve kinematické a teprve potom elastické posuvy. Aby bylo možné určit celkový (kinematický a elastický) posuv, použije se známá rovnováha deformovaného stavu: s

g

 s

el

0

(4-4)

kde:

43


s  s  s g

s

el

1



(4-5)

k1

HL EA

(4-6)

kde s1 a s k1 − délka kabelu po elastické deformaci a před ní, [m]; H − tahová síla, [kN]; E – modul pružnosti, [ MN/m 2 ]; A – plocha průřezu, [ m 2 ]. Délka kabelu před pružnou deformací s k1

s k1  L 

8 f 02 3L

(4-7)

a po pružné deformaci s1 :

8 f 0  f el  3L  h 

2

s1  L  h 

(4-8)

kde h − vodorovný posuv prostředního pilíře. Pomocí výrazů (4-4) – (4-8) bude rovnice pro celkový posuv kabelu uprostřed rozpětí vypadat takto:

HL2 3 f  2 f 0 f el  0.375hL  0 EA8 2 el

(4-9)

Tahová síla levého H l a pravého H r rozpětí jsou následující:

gpL2 , H  l 8f0 fl

(4-10)

44


2 gL H  , r 8f0 fr

(4-11)

kde f l a f r − celkové posuvy levého a pravého pole. Řešením rovnic (4-9), (4-10) a (4-11) dostaneme výrazy kubické rovnice pro výpočet hodnot posuvů levého a pravého pole: 3g  p L  h  L2 0 64 EA 2

f l 3  3 f 0 f l 2  2 f 02 f l  0.375Lhf l  0.375Lhf 0 

3g L  h  L2 0 64 EA

(4-12)

2

f r3  3 f 0f r2  2 f 02f r  0.375Lhf r  0.375Lhf 0 

(4-13)

Vodorovný posuv prostředního pilíře vyvolaný kinematickými a elastickými posuvy lze vypočítat pomocí rovnic (4-14) a (4-15):

s0  sl  sel ,l

(4-14)

s0  sr  sel ,r

(4-15)

Potom:

h 

Vyřešit

3 4 gL3  f 0  f l 2   f 0  f r 2  g  p L  3L 16 f 0  f l EA 16 f 0  f r EA

kubickou





rovnici

pomocí

moderních

matematických

(4-16)

metod

nebo

matematických programovacích operátorů (Mathcad, Maple, Matlab, atd.) není obtížné. Nicméně návrh visutých mostů má vzít do úvahy provozní požadavky (např. mezní posuvy mostu), a určit parametry průřezů kabelu. V takovém případě není rovnice třetího řádu použitelná a výpočet bude poměrně komplikovaný.

45


Za účelem získání zjednodušených technických (odhadovaných) výrazů pro posuvy visuté lávky, pří uplatnění rovnice (4-9) a s přihlédnutím k rovnici (4-10), bude použit zjednodušený výraz pro výpočet celkového posuvu levého kabelu takto: 3g  p L  h  L2 64 EA 2

f l   f 0 

f 02  0.375Lhf 0 

(4-17)

Tento vzorec umožňuje při známém vodorovném posuvu prostředního pilíře redukovat rozsah iteračního výpočtu. Z rovnováhy tahových sil ( H l  H r ) může být vypočten posuv pravého kabelu: g  f 0  f l L  h  f r   f 0   p  g L  h2

2

(4-18)

Je třeba poznamenat, že se v tomto případě vodorovný posuv prostředního pilíře vypočítá dle rovnice (4-16). 4.1.3 Technická metoda výpočtu posuvů konstrukce s ohybovou tuhostí Konstrukce s ohybovou tuhostí je konstrukce, která převezme zatížení pomocí protahování a ohýbání. Tyto prvky, kombinující schopnost tahu a ohybu, stabilizují počáteční geometrický tvar. Ohybová tuhost konstrukce se odhaduje pomocí parametru poddajnosti kL. Čím větší je parametr poddajnosti kL, tím větší je pružnost struktury a naopak, čím menší je hodnota parametru kL, tím pevnější je struktura. Dá se předpokládat, že pokud kL  1 , struktura je velmi pevná, a když kL  10 , strukturu můžeme považovat za absolutně pružnou. Koeficient poddajnosti k se vypočítá následovně:

k

H EI

(4-19)

Pro analýzu celkových posuvů dvoupolové ocelové visuté lávky byl vypracován technický vzorec (odhad). Analytický model je zobrazen na Obr. 4-1.

46


Tahové síly působící na pravé a levé straně jsou rovny:

Hl 

g  p L  h 2  48EIf l 8

 f 0  f l 

5L2

(4-20)

g L  h  48EIf r  8 5L2 Hr   f 0  f r  2

(4-21)

kde I – moment setrvačnosti průřezu, [ m 4 ] Podobně jako v případě pružného kabelu, pokud nahradíme výraz (4-9) rovnicemi (420) a (4-21), získáme kubickou rovnici potřebnou k výpočtu posuvů pravého a levého kabelu: f l 3  3 f 0 f l 2  2 f 02 f l  0.375Lhf l  0.375Lhf 0  15g  p L  h  L2  1152 EIf l  0 320 EA 2

(4-22)

f r3  3 f 0 f r2  2 f 02 f r  0.375Lhf r  0.375Lhf 0  15 g L  h  L2  1152 EIf 2 0 320 EA 2



(4-23)

Vodorovný posuv středního pilíře bude podle rovnic (4-14) a (4-15) roven:

h 

4 4  f 0  f l 2   f 0  f r 2  5g  p L  384 EIf l  3L 80 L f 0  f l EA



5 gL4  384 EIf r  80 L f 0  f r EA



(4-24)

Za účelem zjednodušení vypočteme celkový posuv pravého kabelu (uprostřed druhého rozpětí) prostřednictvím podmínky rovnosti tahových sil ( H l  H r ) následovně:

47


5 g  f 0  f l L  h   5 p  g L  h  f 0 f r   4 384 EIf 0  5 p  g L  h  4

4

(4-25)

384 EIf 0 f l  4 384 EIf 0  5 p  g L  h 

5g  p  f 0  f r L  h   5 g L  h  f 0  4 384 EIf 0  5 g L  h  4

f l  

4

(4-26)

384 EIf 0 f r 4 384 EIf 0  5 g L  h 

Rovnice (4-22)–(4-26) ukazují, že posun kabelů visutého mostu závisí nejen na tuhosti jejich průřezu, ale také na ohybové tuhosti. 4.1.4 Numerická analýza posuvů dvoupolové visuté konstrukce Za účelem zjištění vlivu zahrnutí ohybové tuhosti do výpočtu a také pro zjištění podílu kinematických posuvů na celkových byl vytvořen v programovacím jazyce Deplhi 6 jednoduchý výpočetní program, počítající posuvy podle vzorců (4-1), (4-2), (4-3), (416), (4-17), (4-18), (4-24), (4-25), (4-26). Do programu je možné zadávat vstupní hodnoty A, E, L, f0, I, p a g. V Tabulce 1 jsou uvedeny hodnoty posuvů pro zvolenou konstrukce dle Obr. 2. Jako vstupní hodnoty byly zvoleny E=210 GPa, g=10 kN, p=10 kN, L=40 m. Počáteční hodnoty prověšení kabelu jsou zvoleny

f 0  L / 50  0,8 ,

f 0  L / 40  1,0

a

f 0  L / 32  1,25. Proměnnými hodnotami jsou plochy průřezů A a momenty

setrvačnosti I. Ty jsou voleny tak, aby odpovídaly profilům IPE 450, 550, 600 a kruhovým profilům srovnatelných ploch průřezů.

48


Obr. 4-2. Analytický model dvoupolové konstrukce rozděleného typu

Analýza výsledků uvedených v Tabulce 4-1 ukazuje, že kinematický posuv má na celkovém posuvu velký podíl, který se zvyšuje s rostoucí plochou průřezu. Také roste se zvětšující se hodnotou počátečního prověšení. Výsledky posuvů spočítané vzorci zahrnujícími vliv ohybové tuhosti a nezahrnujícími ji se u kruhového průřezu lana liší řádově v jednotkách milimetrů. Zjednodušené vzorce jsou tedy pro tento typ visutých mostů vhodné. Naopak u mostů z profilů IPE se výsledky těchto vzorců liší od vzorců s ohybovou tuhostí až o 30 % u vodorovného posuvu středního pilíře a vůbec nejcitlivější jsou posuvy pravého (nezatíženého) pole, které se liší až o 83 %. Snižují se s rostoucím počátečním průvěsem.

49

f0 =1,25

f 0=1,0

f 0=0,8

kruhový d=150

kruhový d=120

kruhový d=110

profil IPE 600

profil IPE 550

profil IPE 450

kruhový d=150

kruhový d=120

kruhový d=110

profil IPE 600

profil IPE 550

profil IPE 450

kruhový d=150

kruhový d=120

kruhový d=110

profil IPE 600

profil IPE 550

profil IPE 450

A=0,00988 0,026 I=0,000337 A=0,0134 0,026 I=0,0006712 A=0,0156 0,026 I=0,00092080 A=0,009514 0,026 I=7,184E-6 A=0,011307 0,026 I=1,0175E-5 A=0,017668 0,026 I=2,484E-5 A=0,00988 0,040 I=0,000337 A=0,0134 0,040 I=0,0006712 A=0,0156 0,040 I=0,00092080 A=0,009514 0,040 I=7,184E-6 A=0,011307 0,040 I=1,0175E-5 A=0,017668 0,040 I=2,484E-5 A=0,00988 0,063 I=0,000337 A=0,0134 0,063 I=0,0006712 A=0,0156 0,063 I=0,00092080 A=0,009514 0,063 I=7,184E-6 A=0,011307 0,063 I=1,0175E-5 A=0,017668 0,063 I=2,484E-5 0,331 -0,459 0,076 0,504 -0,366 0,075 0,497

0,331 -0,459 0,083 0,584 -0,325 0,082 0,579

0,331 -0,459 0,087 0,622 -0,306 0,086 0,617

0,331 -0,459 0,078 0,524 -0,356 0,055 0,414

0,331 -0,459 0,080 0,550 -0,343 0,061 0,461

0,331 -0,459 0,086 0,613 -0,310 0,074 0,558

0,265 -0,368 0,057 0,509 -0,241 0,056 0,504

0,265 -0,368 0,064 0,610 -0,190 0,064 0,606

0,265 -0,368 0,068 0,657 -0,166 0,067 0,653

0,265 -0,368 0,059 0,534 -0,228 0,043 0,444

0,265 -0,368 0,061 0,568 -0,211 0,048 0,494

0,265 -0,368 0,067 0,646 -0,171 0,059 0,599

0,212 -0,294 0,045 0,538 -0,128 0,044 0,534

0,212 -0,294 0,053 0,657 -0,068 0,052 0,654

0,212 -0,294 0,057 0,711 -0,040 0,056 0,708

0,212 -0,294 0,047 0,569 -0,113 0,035 0,488

0,212 -0,294 0,049 0,609 -0,092 0,040 0,542

0,212 -0,294 0,056 0,699 -0,046 0,049 0,656

-0,355

-0,317

-0,298

-0,189

-0,207

-0,227

-0,234

-0,184

-0,161

-0,110

-0,116

-0,115

-0,123

-0,064

-0,036

-0,031

-0,027

-0,008

83,48

76,08

73,00

114,44

102,29

84,65

71,84

62,97

59,48

93,02

82,97

67,95

58,28

49,09

45,67

72,23

64,08

51,72

66,59

57,22

53,65

80,04

71,84

59,33

52,55

43,72

40,58

59,63

53,59

44,20

39,66

32,40

29,94

43,43

39,11

32,31

2,02

1,56

1,51

30,09

24,07

14,28

1,67

1,33

1,30

26,53

21,11

12,50

1,44

1,18

1,18

23,93

19,03

11,32

1,32

0,89

0,81

20,99

16,25

9,02

0,94

0,64

0,58

16,85

12,99

7,22

0,71

0,49

0,45

14,17

10,95

6,16

3,15

2,61

2,63

46,89

39,71

26,67

3,13

2,99

3,29

51,77

45,08

33,16

4,00

5,95

9,89

72,76

70,68

82,58

kinematické posuvy celkové posuvy bez EI celkové posuvy s EI Δfrk Δhc0 Δfl c0 Δf rc0 Δhc1 Δfl c1 Δf rc1 Δhk/Δhc1 Δflk/Δflc1 100-(Δhc2/Δhc1) 100-(Δflc2/Δflc1) 100-(Δfrc2/Δfrc1) Δhk Δf l k % % % % % [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m]


Tabulka 4-1 Numerická analýza asymetricky zatížené dvoupolové visuté lávky pro pěší

50


5

METODA KONEČNÝCH PRVKŮ

Jedním z dalších dostupných výpočtových postupů pro nelineární statickou analýzu ocelových prutových konstrukcí je metoda konečných prvků. Výhodou metody konečných prvků je její obecnost ve vztahu k zatížení, tvaru konstrukce a okrajovým podmínkám. Jednou z nevýhod je vyšší výpočtová náročnost nelineárních výpočtových modelů, která však s přihlédnutím k výkonu soudobých počítačů není u modelů prutových konstrukcí omezujícím faktorem. Výjimku mohou tvořit výpočty s velkým počtem kombinací zatěžovacích stavů. Pro analýzu mezních stavů konstrukcí s velkým počtem kombinací zatěžovacích stavů musí být řešena každá kombinace samostatným nelineárním výpočtem. Dalším omezením nelineární statické analýzy je nutnost znát všechny počáteční imperfekce, které mohou mít na mezní stavy ocelových konstrukcí významný vliv z hlediska bezpečnosti a spolehlivosti. Počáteční imperfekce můžeme pro naše použití rozdělit na geometrické a materiálové [17][18]. Některé geometrické imperfekce jsou uvedeny v tolerančních normách pro výrobu, v globální analýze však mohou chybět zejména informace o globálních imperfekcích konstrukce jako celku. V některých případech se globální počáteční imperfekce může uvažovat podle prvního tvaru vybočení, problematické je ale nalezení správného měřítka této imperfekce, dále je (v porovnání s lineárním řešením) relativně náročné nelineární řešení opakovat pro analýzu mezních stavů pro každou kombinaci zatěžovacích stavů. Tyto a další důvody jsou příčinou, proč jsou postupy návrhu ocelových prutových konstrukcí podle norem EUROCODES orientovány na využití vnitřních sil a momentů obdržených z lineárního řešení, přičemž nelineární vlivy jsou zohledněny s pomocí vzpěrnostních součinitelů vypočtených s pomocí relativních štíhlostí jednotlivých prutů. Relativní štíhlosti se vypočtou s pomocí stabilitního řešení, jehož primárním výstupem je Eulerova kritická síla, při níž dochází k vybočení konstrukce. Korektní výpočet vyžaduje provedení stabilitního výpočtu a Eulerovy kritické síly pro každý zatěžovací stav, což je výpočtově relativně náročné. Komerční počítačové programy (RFEM, Scia Engineer, atd.) umožňují odborný odhad vzpěrných délek a příslušných štíhlostí, což ale zatěžuje výpočtáře zvýšenou odpovědností za nebezpečný, nebo naopak neekonomický návrh. Obliba stabilitního řešení se vzpěrnou

51


délkou spočívá především v transparentnosti a relativně snadné kontrole celého postupu návrhu ocelové konstrukce, který vycházejíce z vnitřních sil a momentů lineárního řešení prutové konstrukce má oporu v normě EUROCODE 3, jejíž postupy umožňují řešení a návrh s pomocí odhadu jednoho relativně transparentního parametru – vzpěrné délky. Fyzikálně

nelineární

řešení

se

používá

především

u

prutových

konstrukcí

s dominantním namáháním na ohyb, pokud ovšem průřezy mají dostatečnou rotační kapacitu. Podle elementární teorie plastických kloubů dosáhne prutová konstrukce své únosnosti, jakmile se vytvořil poslední plastický kloub, kterým se konstrukce změnila v tvarově neurčitý mechanizmus. [1] Složité celky ocelových prutových konstrukcí jsou zpravidla namáhány mnohačetnými kombinacemi zatěžovacích stavů a jejich prvky mohou být tudíž vystaveny kombinovanému namáhání, jehož vliv na materiálově nelineární chování je s pomocí prutových modelů komplikované vyšetřovat. Je-li využívána plasticita, a nebo jde-li o kombinaci obsahující stabilitní záležitosti, jsou přesné výpočty velmi složité a v praxi se proto často nahrazují poměrně jednoduchými, ale přibližně interakčními formulemi [9]. Pochybnosti o korektnosti prutových modelů nastávají také u krátkých prvků, které se z hlediska namáhání chovají více jako tělesa než jako pruty. Obecně lze v těchto případech doporučit nelineární modelování s pomocí 3D deskostěnových (shell) prvků.

52


6

ZÁVĚREČNÁ SHRNUTÍ PRÁCE

V práci jsme shrnuli možné nelineární chování ocelových konstrukcí za působení statického zatížení. Byly odvozeny základní vzorce pro analytický výpočet imperfektních prutů namáhaných tlakem a ohybem. Dále byla provedena analýza asymetricky zatížené dvoupolové ocelové visuté lávky pro pěší pomocí analytických vzorců, které porovnávaly vliv zahrnutí ohybové tuhosti do výpočtu. Dále byly porovnány průhyby různých průřezů ocelových nosníků a lan. V práci byly diskutovány dostupné výpočtové postupy pro nelineární statickou analýzu ocelových prutových konstrukcí. Jednotlivé postupy byly zhodnoceny z hlediska náročnosti, přesnosti a oblasti využití.

53


7

SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ

7.1

Knihy

[1]

BŘEZINA, Vladimír. Vzpěrná únosnost kovových prutů a nosníků. Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.

[2]

EULER, Leonhard. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes: Additamentum 1: De curvis elasticis. Lausanne a Ženeva, 1744.

[3]

KADLČÁK, Jaroslav. Statics of Suspension Cable Roofs. Rotterdam: A.A.Balkema, 1995. ISBN 90-5410-618-2.

[4]

PRANDLT, Ludwig. Kipp-Erscheinungen: Ein Fall von instabilem elastischem Gleichgewicht. Inaugural-Dissertation, Mnichov, 1899.

[5]

STRÁSKÝ, Jiří. Stress ribbon and cable-supported pedestrian bridges. London: Thomas Telford Publishing, 2005. ISBN 07277-3282-x.

[6]

TIMOŠENKO, Stepan Prokof'jevič. Ob ustojčivosti uprugich sistem: Priměnenije novoj metody k izslědovaniju ustojčivosti někotorych mostovych konstrukcij. Kijev: [s.n.], 1910. 182, [II] s.

[7]

TRAHAIR, N.S. The Behaviour and Design of Steel Structures. London: Chapman and Hall, 1977. ISBN 0-470-99154-2.

[8]

GALAMBOS, Theodore V. Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. USA: John Wiley & Sons, 1998. ISBN 0-471-12742-6.

7.2 [9]

7.3

Skripta STUDNIČKA, J. Ocelové konstrukce, Vydalo České vysoké učení technické v Praze, Nakladatelství ČVUT, Thákurova 1, 160 41, Praha 6.

Články v časopisech a sbornících

[10] GRIGORJEVA, T., A. JUOZAPAITIS and Z. KAMAITIS. Static Analysis and Simplified Design of Suspension Bridges Having Various Rigidity of Cables. Journal of Civil Engineering and Management. 2010, 16(3), 363– 371. DOI: 10.3846/jcem.2010.41.

54


[11] JUOZAPAITIS, A., S. IDNURM, G. KAKLAUSKAS, J. IDNURM and V. GRIBNIAK. Non-Linear Analysis of Suspension Bridges with Flexible and Rigid Cables. Journal of Civil Engineering and Management. 2010, 16(1), 149‒154. DOI: 10.3846/jcem.2010.14. [12] KALA, Zdeněk. Elastic Lateral-Torsional Buckling of Simply Supported Hot-Rolled Steel I-Beams with Random Imperfections, Procedia Engineering. 2013, 57, 504–514. DOI: 10.1016/j.proeng.2013.04.065 [13] KALA, Zdeněk. Fuzzy Probability Analysis of the Fatigue Resistance of Steel Structural Members under Bending. Journal of Civil Engineering and Management. 2008, 14(1), 67–72. DOI: 10.3846/1392-3730.2008.14.67-72. [14] MICHELL, A.G.M. Elastic stability of long beam under transverse forces. Philosophical Magazine. 1899, č. 48, s. 298-309. DOI: 10.1080/14786449908621336. [15] TARVYDAITĖ, Giedrė a JUOZAPAITIS, Algirdas. Dviejų tarpatramių kabamųjų vienajuosčių pėsčiųjų plieno tiltų kinematiniai poslinkai ir jų stabilizavimas. Statybinės konstrukcijos ir technologijos. 2010, 2(4), 155– 162. DOI: 10.3846/skt.2010.20. [16] TIMOŠENKO, Stepan Prokof'jevič. politěchničeskogo instituta 4, 1905.

Izvěstija

S.-Pětěrburgskogo

7.4 Přednášky [17] KALA, Zdeněk. Pružnost a plasticita I. Brno: VUT Brno, FAST, Ústav stavební mechaniky, 23.11.2010. Přednáška. [18] KALA, Zdeněk. Pružnost a plasticita I. Brno: VUT Brno, FAST, Ústav stavební mechaniky, 30.11.2010. Přednáška. [19] LEHKÝ, David. Stavební mechanika. Brno: VUT Brno, FAST, Ústav stavební mechaniky, 11.3.2013. Přednáška.

7.5

Normy [20] ČSN EN 1993-1-1 (731401).-EUROKÓD 3: Navrhování ocelových konstrukcí- Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla po pozemní stavby. Praha: Český normalizační institut, 2006. 96 s.

55


8

SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMBOLŮ

Veličina

Popis

Základní jednotka

A c1, c2 E F

plocha průřezu prutu integrační konstanty modul pružnosti v tahu a tlaku vnější síla

m2 Pa N

f0 Fcr

počáteční prověšení visutého kabelu kritická síla

m N

FM

dvojice sil nahrazující ohybový moment M

N

FM,cr fy G g

dvojice sil nahrazující ohybový moment Mcr mez kluzu oceli modul pružnosti ve smyku stálé zatížení

N Pa Pa N/m

h0 Hl Hr I

vzdálenost těžišť pásnic tahová síla v levém poli lávky tahová síla v pravém poli lávky moment setrvačnosti

m N N m4

It

moment tuhosti v prostém kroucení

m4

Iω k l L M Mcr Mx My'

výsečový moment setrvačnosti koeficient poddajnosti délka prutu délka rozpětí visutého kabelu ohybový moment kritická hodnota ohybového momentu kroutící moment k ose zdeformovaného prutu x ohybový moment k ose y'

m6 m m Nm Nm Nm Nm

My -

ohybový moment k ose zdeformovaného prutu y

Nm

Mz' N p

ohybový moment k ose z' normálová síla dočasné zatížení

Nm N N/m

Pcr s0 skl

Eulerova kritická síla pro vybočení ohybem okolo osy z počáteční délka kabelu délka kabelu před pružnou deformací

N m m

sl

délky levého visutého prvku

m

sl

délka kabelu po pružné deformaci

m

56


sr

délky pravého visutého prvku

m

v

vodorovný posuv prutu

m

v1

počáteční vybočení prutu

m

v2 w

vybočení prutu v důsledku působení ohybového momentu vybočení prutu

m m

W

průřezový modul

m3

ws Wy Wz

vybočení uprostřed prutu průřezový modul k ose y průřezový modul k ose z

m m3 m3

x

vzdálenost vyšetřovaného místa od počátku

m

z δ

počáteční vybočení v libovolném místě prutu vybočení konce konzolového prutu

m m

δ0 Δfel

největší počáteční vybočení prutu svislý elastický posuv uprostřed pole

m m

Δfl Δfl

svislý kinematický posuv uprostřed levého pole celkový svislý posuv levého pole

m m

Δfr

svislý kinematický posuv uprostřed pravého pole

m

Δfr Δh Δsel

celkový svislý posuv pravého pole vodorovný posuv středního pilíře visuté lávky změna dálky kabelu po pružné deformaci

m m m

Δsg

m

Δv2 λ

celková změna délky kabelu vzdálenost těžiště horní pásnice původního a vybočeného stavu vzdálenost těžiště dolní pásnice původního a vybočeného stavu štíhlost prutu

ρ1

vzdálenost dolní pásnice a středu otáčení

m

ρ2 σ

vzdálenost horní pásnice a středu otáčení napětí

m Pa

σmax φ

napětí v extrémně namáhaných vláknech pootočení prutu

Pa rad

φ1 φ2 χ

počáteční pootočení prutu pootočení prutu v důsledku působení ohybového momentu součinitel vzpěrnosti

rad rad -

Δv1

m m -

57

Nelineární odezva ocelových konstrukcí na statické zatížení Nonlinear Response of Steel Structures on Statical Loading

Recommend Documents