Nelineární dynamika a její aplikace. 2. července 2012

Nelinea´rnı´ dynamika a jejı´ aplikace Lenka Prˇibylova´ 2. cˇervence 2012

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Tiráž Nelineární dynamika a její aplikace Multimediální elektronický výukový materiál

Přibylová, Lenka 1. vydání, 2012 Vydala Masarykova univerzita, Brno 2012 Publikováno na Elportále, ISSN 1802-128X *4#/ © 2012 Masarykova univerzita

Obsah Dynamické systémy Lineární algebra – opakování Spojité dynamické systémy Lineární systém – opakování Nelineární autonomní systém Diskrétní dynamické systémy Lineární systém – opakování Nelineární autonomní systém Systémy závislé na parametrech, bifurkace Jednoparametrické bifurkace ve spojitém případě Bifurkace sedlo-uzel, fold, limitní bod Hystereze a náhlé skoky Teorie katastrof Další jednoparametrické bifurkace počtu singulárních bodů

5 21 23 24 72 95 96 126 144 150 151 171 179 192

Hopfova bifurkace Víceparametrické bifurkace Redukce na centrální varietu Jednoparametrické bifurkace v diskrétním případě Bifurkace typu fold, sedlo-uzel Bifurkace typu flip Zdvojování periody a univerzalita Deterministický chaos Neimark-Sackerova bifurkace Poincarého zobrazení a bifurkace cyklů Chaos ve spojitých systémech Model Lorenzova atraktoru Literatura, software a applety

196 212 227 244 245 248 252 256 282 286 291 295 303

Dynamicke´ syste´my Definice: Dynamicky´m syste´mem rozumı´me trojici { T, X, ϕt }, kde ( T, +) je cˇ´ıselna´ grupa (cˇas), X je metricky´ prostor, ktery´ nazy´va´me fa´zovy´m prostorem, a ϕt je parametricky´ syste´m evolucˇnıćh opera´toru˚ s parametrem t ∈ T definovanyćh jako zobrazenı´ ϕt : X → X, ktere´ zobrazuje pocˇa´tecˇnı´ stav x0 ∈ X na neˇjaky´ stav xt = ϕt x0 ∈ X. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe T = Z mluvı´me o diskre´tnı´m dynamicke´m syste´mu, je-li T = R mluvı´me o spojite´m dynamicke´m syste´mu. Pozna´mka 1. Fakticky může jít o cokoliv měřitelného, co se mění v čase. . . Teplota hrnku kafe, kurz koruny, počet studentů v daném semestru. . .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice: Deterministicky´m dynamicky´m syste´mem rozumı´me syste´m { T, X, ϕt } splnˇujıćı´ podmıńku ϕ0 = id, kde id je identita na X, tj. ∀x ∈ X : idx = x. Tato vlastnost rˇ´ıka´, zˇe syste´m spontańneˇ nemeˇnı´ svu˚j stav. Pozna´mka 2. Touto podmínkou vylučujeme náhodné jevy, např. kurz koruny nebo počet studentů v daném semestru. . . i když prakticky vše je důsledkem toho, co již bylo. . . anebo tomu tak není? Z hlediska kvantové mechaniky je zase vše náhodné. Takže jde vlastně o náš přístup k věci.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice: Autonomnı´m dynamicky´m syste´mem rozumı´me deterministicky´ syste´m { T, X, ϕt } splnˇujıćı´ podmıńku ϕt + s = ϕt ◦ ϕs , tj. ∀x ∈ X : ϕt+s x = ϕt (ϕs x), pokud jsou definovańy obeˇ strany rovnice. Tato vlastnost rˇ´ıka´, zˇe se „za´kony evoluce“ nemeˇnı´ beˇhem cˇasu. Pozna´mka 3. Autonomní systémy jsou dány předchozími v čase měnícími se stavy, nikoliv samotným časem. Typickýcm spojitým příkladem je v čase měnící se stav x (t) podle obyčejné diferenciální rovnice x˙ = f ( x ). Typickým diskrétním příkladem je v čase skokově měnící se stav x (n + 1) = f ( x (n)).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x˙ (t) = x (t) + t x˙ (t) = ( x (t) + 1)2 x ( n + 1) =

x (n) n2

x ( n + 1) =

x (n) 2

nenı´ autonomnı´ je autonomnı´ nenı´ autonomnı´ je autonomnı´

Mezi autonomnı´ rovnice se lehce zahrnou i ty, ktere´ jsou vysˇsˇ´ıho rˇa´du, tj. obsahujı´ v prˇ´ıpadeˇ diferencia´lnıćh rovnic i derivace vysˇsˇ´ıho rˇa´du nebo v prˇ´ıpadeˇ diferencˇnıćh rovnic cˇleny posloupnosti za´visı´ na konecˇne´m pocˇtu prˇedchozıćh cˇlenu˚.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x¨ (t) + x˙ (t) + 2x (t) = 0 mu˚zˇeme zapsat jako syste´m x˙ 1 (t) = x˙ 2 (t) =

x2 ( t )

−2x1 (t) − x2 (t),

kde x = x1 a x˙ = x2 . Vektoroveˇ je to za´pis x˙ 1 (t) f 1 ( x1 (t), x2 (t)) x2 ( t ) = = , x˙ 2 (t) f 2 ( x1 (t), x2 (t)) −2x1 (t) − x2 (t) x1 ( t ) f1 af= . Je-li funkce x linea´rnı´ (jako v x2 ( t ) f2 tomto prˇ´ıpadeˇ), mluvı´me o linea´rnı´ rovnici a lze jej zapsat maticoveˇ 0 1 takto x˙ = Ax. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ je matice A = . −2 −1 V autonomnı´m linea´rnı´m syste´mu jsou prvky matice cˇ´ısla. V obecne´m linea´rnı´m syste´mu to mohou by´t funkce cˇasu. tj. x˙ = f(x), kde x =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x (n + 2) + x (n + 1) + 2x (n) = 0 mu˚zˇeme zapsat jako syste´m x1 ( n + 1) =

x2 ( n)

x2 ( n + 1) =

−2x1 (n) − x2 (n),

kde x (n) = x1 (n) a x (n + 1) = x2 (n). Vektoroveˇ je to za´pis x1 ( n + 1) f 1 ( x1 (n), x2 (n)) x2 ( n) = = , x2 ( n + 1) f 2 ( x1 (n), x2 (n)) −2x1 (n) − x2 (n) x1 ( n) f1 tj. x(n + 1) = f(x(n)), kde x = af= . Stejneˇ jako ve x2 ( n) f2 spojite´m prˇ´ıpadeˇ mluvı´me o linea´rnı´ rovnici, pokud ji mu˚zˇeme zapsat maticoveˇ jako x(n + 1) = Ax(n).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Neautonomnı´ syste´my lze zapsat jako autonomnı´ ve vysˇsˇ´ı dimenzi: x¨ (t) − x˙ (t) + et x2 (t) = 0 mu˚zˇeme zapsat pomocı´ substituce x = x1 , x˙ = x2 , t = x3 jako syste´m x˙ 1 = x˙ 2 = x˙ 3 =

x2 x3 2 x2 − e x1

1

nebo vektoroveˇ       x2 x˙ 1 f 1 ( x1 , x2 , x3 )  x˙ 2  =  f 2 ( x1 , x2 , x3 ) =  x2 − e x3 x2  , 1 x˙ 3 f 3 ( x1 , x2 , x3 ) 1 

   x1 f1 tj. x˙ = f(x), kde x =  x2  a f =  f 2 . x3 f3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Podobneˇ pro diskre´tnı´ syste´my: x (n + 2) − x (n + 1) + nx 2 (n) = 0 mu˚zˇeme zapsat pomocı´ substituce x1 (n) = x (n), x2 (n) = x (n + 1), x3 (n) = n jako syste´m x1 ( n + 1) =

x2 ( n)

x2 ( n + 1) = x3 ( n + 1) =

x2 (n) − x3 (n) x12 (n) x3 ( n) + 1

nebo vektoroveˇ       x2 ( n) x1 ( n + 1) f 1 ( x1 (n), x2 (n), x3 (n))  x2 (n + 1) =  f 2 ( x1 (n), x2 (n), x3 (n)) = x2 (n) − x3 (n) x2 (n) , 1 x3 ( n + 1) f 3 ( x1 (n), x2 (n), x3 (n)) x3 ( n) + 1     f1 x1 ( n) tj. x(n + 1) = f(x(n)), kde x(n) =  x2 (n) a f =  f 2 . x3 ( n) f3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice: Trajektorie s pocˇa´tecˇnı´m bodem x0 ∈ X je usporˇa´dana´ podmnozˇina fa´zove´ho prostoru X

{x ∈ X : x = ϕt x0 , ∀t ∈ T, pro ktere´ je ϕt x0 definovańo} V prˇ´ıpadeˇ spojite´ho syste´mu jde o orientovane´ krˇivky v X, v prˇ´ıpadeˇ diskre´tnı´ho syste´mu jsou to posloupnosti bodu˚ v X. Fa´zovy´m portre´tem dynamicke´ho syste´mu rozumı´me rozmı´steˇnı´ trajektoriı´ ve fa´zove´m prostoru X. Trajektorie je pru˚meˇtem grafu rˇesˇenı´ pocˇa´tecˇnı´ u´lohy v T × X do fa´zove´ho prostoru X. Prˇı´klad. Nakreslete graf rˇesˇenı´ a trajektorii rovnice x˙ = − x s pocˇa´tecˇnı´m bodem (podmıńkou) x0 = 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Trajektorie diskre´tnı´ho syste´mu mu˚zˇeme take´ zakreslovat pomocı´ tzv. pavucˇinove´ho diagramu: xn+1

x

f (x)

xn

Prˇı´klad. Nakreslete trajektorii x (n + 1) = 12 x (n) s pocˇa´tecˇnı´m bodem (podmıńkou) x (0) = 1. Nakreslete ji v X i v T × X. Nakreslete take´ pavucˇinovy´ diagram (x (n + 1) versus x (n)). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice: Dynamicky´ syste´m D1 = { T, R n , ϕt } se nazy´va´ topologicky ekvivalentnı´ dynamicke´mu syste´mu D2 = { T, R n , ψ t }, jestlizˇe existuje homeomorfismus h : R n → R n , ktere´ zobrazuje trajektorie syste´mu D1 na trajektorie syste´mu D2 , prˇicˇemzˇ zachova´va´ jejich orientaci. Cˇasto v takove´m prˇ´ıpadeˇ mluvı´me take´ o (topologicky) ekvivalentnıćh fa´zovyćh portre´tech. Pozna´mka 4. Homeomorfismus je invertibilní zobrazení, které je spojité a jehož inverzní zobrazení je také spojité. Pozna´mka 5. Trajektorie systému D1 se tedy dají jednoznačně přiřadit (i s orientací, resp. uspořádáním) k trajektoriím systému D2 tak, aby si vzájemně odpovídaly „sousední“ body, lokální okolí. Nezajímají nás geometrické vzdálenosti a vztahy, ale topologické vlastnosti.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Topologicky ekvivalentnı´ spojita´ dynamika v rovineˇ:

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Topologicky ekvivalentnı´ spojita´ dynamika v rovineˇ:

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice: Bod x0 ∈ X nazy´va´me singula´rnı´m bodem (nebo te´zˇ rovnova´zˇny´m, staciona´rnı´m, pevny´m bodem) dynamicke´ho syste´mu, jestlizˇe pro vsˇechna t ∈ T platı´ ϕt x 0 = x 0 .

Definice: Cyklem rozumı´me periodickou trajektorii L, ktera´ nenı´ singula´rnı´m bodem, splnˇujıćı´ ∀x0 ∈ L ϕt+ T0 x0 = ϕt x0 , pro neˇjake´ T0 > 0, ∀t ∈ T. Nejmensˇ´ı takove´ T0 nazy´va´me periodou cyklu L.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pozna´mka 6. V systému s cyklem vznikají periodické oscilace. Cyklus spojitého systému je uzavřená křivka v X. Cyklem diskrétního systému je konečná uspořádaná k-tice bodů z X. Limitním cyklem rozumíme cyklus, v jehož okolí nejsou jiné cykly. Pozna´mka 7. U diskrétního systému x(n + 1) = f(x(n)) mluvíme často o cyklu délky k = T0 , protože jde o uspořádanou k-tici x (0), x (1), x (2), . . . x ( k − 1), pro kterou platí x(1) = f(x(0)), x(2) = f(x(1)), . . . , x(k) = x(0) = f(x(k − 1)). Uvědomme si navíc, že x(0) = f(x(k − 1)) = f(f(x(k − 2))) = · · · = f(k) (x(0)) a tedy x(0) je nutně pevným bodem dynamického systému x(n + 1) = f(k) (x(n)).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice: Invariantnı´ mnozˇinou S rozumı´me podmnozˇinu X splnˇujıćı´ x0 ∈ S ⇒ ϕt x0 ∈ S ∀t ∈ T.

Pozna´mka 8. Singulární bod i cyklus jsou invariantní množiny. Definice: Invariantnı´ mnozˇina S se nazy´va´ stabilnı´, jestlizˇe • ∀U ⊃ S libovolneˇ male´ okolı´ invariantnı´ mnozˇiny existuje okolı´ V ⊃ S takove´, zˇe ∀x ∈ V a ∀t > 0 platı´ ϕt x ∈ U (tento typ stability nazy´va´me Ljapunovskou stabilitou), • existuje okolı´ U0 ⊃ S takove´, zˇe ̺(ϕt x, S) → 0 pro x ∈ U0 a t → ∞, kde ̺ je metrikou ve fa´zove´m prostoru. Tento typ stability nazy´va´me asymptotickou stabilitou. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Linea´rnı´ algebra - opakovańı´ Pro vlastnı´ cˇ´ıslo (vlastnı´ hodnotu) matice A ∈ R n×n prˇ´ıslusˇne´ vlastnı´mu vektoru v ∈ R n platı´ Av = λv, tj. vlastnı´ cˇ´ısla hleda´me jako korˇeny charakteristicke´ho polynomu det(A − λI) = 0. Matice A ma´ cˇasto v komplexnı´m oboru n ru˚znyćh vlastnıćh hodnot {λ1 , . . . , λn } a prˇ´ıslusˇne´ vlastnı´ vektory {vλ1 , . . . , vλn } tvorˇ´ı ba´zi C n . Matice T tvorˇena´ vlastnı´mi vektory (po sloupcıćh) pak splnˇuje   λ1 · · · 0   .. A·T = T· 0 . 0 . 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

···

λn

V prˇ´ıpade ˇ na´sobnyćh vlastnıćh hodnot mu˚zˇe obsahovat bloky tvaru λ 1 , prˇicˇemzˇ sloupce matice T v tomto prˇ´ıpadeˇ tvorˇ´ı tzv. 0 λ zobecneˇne´ vlastnı´ vektory. Jde o vektor splnˇujıćı´ Av = λv a dalsˇ´ı vektor w, ktery´ splnˇuje Aw = λw + v. Pokud je na´sobnost vlastnı´ hodnoty vysˇsˇ´ı nezˇ dva, bude se takto vytva´rˇet kaska´da zobecneˇnyćh vlastnıćh vektoru˚ wi+1 splnˇujıćı´ Awi+1 = λwi+1 + wi , ktera´ bude spolu s vektorem v tvorˇit ba´zi prostoru zobecneˇnyćh vlastnıćh vektoru˚. Linea´rnı´ regula´rnı´ transformace A 7→ T−1 AT prˇeva´dı´ na komplexnı ´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar. Rea´lny´ tvar s rea´lny´m blokem α β dostaneme, pokud pouzˇijeme mı´sto komplexneˇ sdruzˇenyćh −β α vektoru˚ v a v rea´lnou a imagina´rnı´ cˇa´st u a w vektoru v = u + iw.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Spojite´ dynamicke´ syste´my Nejprve budeme studovat deterministicky´ autonomnı´ dynamicky´ syste´m, ktery´ je dań syste´mem diferencia´lnıćh rovnic: Definice: Autonomnı´m syste´mem diferencia´lnıćh rovnic rozumı´me syste´m x˙ = f(x), (1) kde x ∈ X = R n a vektorova´ funkce f : R n → R n je dostatecˇneˇ hladka´. Symbolem x˙ rozumı´me derivaci x podle cˇasu t ∈ T = R. Pozna´mka 9. Singulární body autonomního systému (1) splňují systém rovnic f(x) = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Linea´rnı´ syste´m - opakovańı´ Uvazˇujme linea´rnı´ autonomnı´ syste´m x˙ = Ax,

(2)

kde x ∈ X = R n a A ∈ R n×n . Necht’λ ∈ C je vlastnı´ cˇ´ıslo matice A a v prˇ´ıslusˇny´ vlastnı´ vektor. • V prˇ´ıpadeˇ λ ∈ R je t 7→ eλt v rea´lny´m rˇesˇenı´m rovnice (2). • V prˇ´ıpadeˇ λ ∈ R, ktere´ je k-na´sobny´m korˇenem charakteristicke´ho polynomu jsou t 7→ eλt

i

ti− j v

∑ (i− j)j!

, i = 1, . . . k rea´lny´mi rˇesˇenı´mi

j =1

rovnice (2), kde vi je syste´m k zobecneˇnyćh vlastnıćh vektoru˚ (Av1 = λv1 a Avi = λvi + vi−1 pro i > 1). • V prˇ´ıpadeˇ λ = α ± iβ je vlastnı´ vektor v = u ± iw a rea´lny´mi rˇesˇenı´mi rovnice (2) jsou pak ⊳⊳

⊳

⊲

t 7→ eαt (cos βt · u − sin βt · w), t 7→ eαt (sin βt · u + cos βt · w). ⊲⊲

V prˇ´ıpadeˇ na´sobnyćh komplexnıćh vlastnıćh cˇ´ısel je situace slozˇiteˇjsˇ´ı, ale analogicka´. Uvedena´ rˇesˇenı´ jsou linea´rneˇ neza´visla´ a tvorˇ´ı ba´zi prostoru rˇesˇenı´. Jejich linea´rnı´ kombinace je take´ rˇesˇenı´m (2). Maticove´ zobrazenı´ t 7→ Φ(t) teˇchto rˇesˇenı´ se nazy´va´ fundamenta´lnı´ matice rˇesˇenı´ prˇ´ıslusˇne´ho homogennı´ho linea´rnı´ho syste´mu (2).

Singula´rnı´m bodem syste´mu (2) je pocˇa´tek, ktery´ je asymptoticky (dokonce exponencia´lneˇ) stabilnı´, pokud majı´ vsˇechny vlastnı´ hodnoty za´pornou rea´lnou cˇa´st. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe ma´ neˇktera´ vlastnı´ hodnota kladnou rea´lnou cˇa´st, je pocˇa´tek nutneˇ nestabilnı´. V prˇ´ıpadeˇ nulove´ vlastnı´ hodnoty ma´ syste´m (2) konstantnı´ nenulova´ rˇesˇenı´ (pocˇa´tek tedy nemu˚zˇe by´t asymptoticky stabilnı´), v prˇ´ıpadeˇ ryze imagina´rnıćh vlastnıćh hodnot existujı´ periodicka´ rˇesˇenı´ (a take´ nemu˚zˇe by´t pocˇa´tek asymptoticky stabilnı´).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Linea´rnı´ diferencia´lnı´ rovnice by´vajı´ cˇasto zapsańy ve tvaru 0 = am x (m) (t) + am−1 x (m−1) (t) + · · · + a1 x˙ (t) + a0 x (t). V takove´m prˇ´ıpadeˇ hleda´me vlastnı´ cˇ´ısla jako korˇeny charakteristicke´ho polynomu p ( λ ) = a m λ m + a m −1 λ m −1 + · · · + a0 .

Pozna´mka 10. Podkud je levá strana rovnice nenulová, tj. ve tvaru f (t) = . . . (nehomogenní rovnice), pak obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice a obecného řešení příslušné lineární homogenní rovnice (s nulovou levou stranou).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Polynom p(λ) je ve skutecˇnosti charakteristicky´m polynomem det( A − λI ) linea´rnı´ho syste´mu x˙ 1 (t)

= x2 ( t ), .. . x˙ m−1 (t) = xm (t), x˙ m (t) = − a1m ( am−1 xm (t) + · · · + a0 x1 (t)), kde x1 (t) = x (t) Prˇı´klad . Dokažte uvedené tvrzení pro 0 = a x¨ + b x˙ + cx tj. ukažte, že kořeny p(λ) jsou vlastní čísla Jacobiho matice jistého dvourozměrného lineárního systému.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Najděte obecné řešení lineárního systému x˙ 1 x˙ 2 ˇ esˇenı´: R 4 A= −1

= 4x1 + 5x2 = − x1 − 2x2 .

5 −2 4 − λ 5 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) = 0 − 1 − 2 − λ 5 1 5 v1 = λ1 = 3 : − 1 − 1 −5 5 5 1 v2 = λ2 = −1 : −1 −1 −1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= 4x1 + 5x2 = − x1 − 2x2 .

5 −2 4 − λ 5 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) = 0 − 1 − 2 − λ 1 5 5 λ1 = 3 : v1 = − 1 −5 − 1 5 5 1 λ2 = −1 : v2 = −1 −1 −1 Matice syste´mu ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Najděte obecné řešení lineárního systému x˙ 1 x˙ 2

= 4x1 + 5x2 = − x1 − 2x2 .

ˇ esˇenı´: R 4 A= −1

5 −2 4 − λ 5 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) = 0 − 1 − 2 − λ 1 5 5 v1 = λ1 = 3 : − 1 −5 − 1 5 5 1 λ2 = −1 : v2 = −1 −1 −1 Matice syste´mu ma´ vlastnı´ cˇ´ısla λ1 = 3 a λ2 = −1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= 4x1 + 5x2 = − x1 − 2x2 .

ˇ esˇenı´: R 4 A= −1

5 −2 4 − λ 5 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) = 0 − 1 − 2 − λ 1 5 5 v1 = λ1 = 3 : − 1 −5 − 1 5 5 1 λ2 = −1 : v2 = −1 −1 −1 a prˇ´ıslusˇne´ vlastnı´ vektory splnˇujı´ Av1 = 3v1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= 4x1 + 5x2 = − x1 − 2x2 .

5 −2 4 − λ 5 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) = 0 − 1 − 2 − λ 1 5 5 λ1 = 3 : v1 = − 1 −5 − 1 5 5 1 λ2 = −1 : v2 = −1 −1 −1 a Av2 = −v2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= Tu˙ = u˙ = u˙ 1 = u˙ 2 u˙ 1 = u˙ 2 = x˙

Ax ATu T−1 ATu 3 0 u1 0 −1 u2 3u1

− u2

ˇ esˇenı´: u1 (t) = c1 e3t , u2 (t) = c2 e−t R 3t u1 5 1 c e x=T = (v1 , v2 ) 1 −t = c1 e3t + c2 e − t = u2 −1 −1 c2 e 5c1 e3t + c2 e−t . −c1 e3t − c2 e−t

Zaved’me vhodnou linea´rnı´ transformaci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= Tu˙ = u˙ = u˙ 1 = u˙ 2 u˙ 1 = u˙ 2 = x˙

Ax ATu T−1 ATu 3 0 u1 0 −1 u2 3u1

− u2

ˇ esˇenı´: u1 (t) = c1 e3t , u2 (t) = c2 e−t R 3t u1 5 1 c e x=T = (v1 , v2 ) 1 −t = c1 e3t + c2 e − t = u2 −1 −1 c2 e 5c1 e3t + c2 e−t . −c1 e3t − c2 e−t 3 0 Matice syste´mu bude v Jordanoveˇ tvaru , pokud 0 −1 T = ( v1 , v2 ) . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= Tu˙ = u˙ = u˙ 1 = u˙ 2 u˙ 1 = u˙ 2 = x˙

Ax ATu −1 T ATu 3 0 u1 0 −1 u2 3u1

− u2


Syste´m se tedy rozpadne na dveˇ samostatne´ rovnice. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= Tu˙ = u˙ = u˙ 1 = u˙ 2 u˙ 1 = u˙ 2 = x˙

Ax ATu −1 T ATu 3 0 u1 0 −1 u2 3u1

− u2



⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= Tu˙ = u˙ = u˙ 1 = u˙ 2 u˙ 1 = u˙ 2 = x˙

Ax ATu −1 T ATu 3 0 u1 0 −1 u2 3u1

− u2


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= Tu˙ = u˙ = u˙ 1 = u˙ 2 u˙ 1 = u˙ 2 = x˙

Ax ATu −1 T ATu 3 0 u1 0 −1 u2 3u1

− u2

ˇ esˇenı´: u1 (t) = c1 e3t , u2 (t) = c2 e−t R 3t 5 1 u1 c e x=T + c2 e − t = = (v1 , v2 ) 1 −t = c1 e3t −1 −1 u2 c2 e 5c1 e3t + c2 e−t . −c1 e3t − c2 e−t ˇ esˇenı´ pu˚vodnı´ho syste´mu tedy dostaneme zpeˇtnou transformacı´. R ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= − x1 + 6x2 = 2x1 + 3x2 .

ˇ esˇenı´: R −1 − λ 6 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0 2 3 − λ −6 6 1 λ1 = 5 : v1 = 2 − 2 1 2 6 3 λ2 = −3 : v2 = 2 6 −1 5t 1 3 c1 e5t c1 e + 3c2 e−3t x= = . 1 −1 c2 e−3t c1 e5t − c2 e−3t

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= − x1 + 6x2 = 2x1 + 3x2 .

ˇ esˇenı´: R −1 − λ 6 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0 2 3 − λ −6 6 1 λ1 = 5 : v1 = 2 − 2 1 2 6 3 λ2 = −3 : v2 = 2 6 −1 5t 1 3 c1 e5t c1 e + 3c2 e−3t x= = . 1 −1 c2 e−3t c1 e5t − c2 e−3t

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= − x1 + 6x2 = 2x1 + 3x2 .

ˇ esˇenı´: R −1 − λ 6 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0 2 3 − λ −6 6 1 λ1 = 5 : v1 = 2 − 2 1 2 6 3 λ2 = −3 : v2 = 2 6 −1 5t 1 3 c1 e5t c1 e + 3c2 e−3t x= = . 1 −1 c2 e−3t c1 e5t − c2 e−3t Najdeme vlastnı´ cˇ´ısla ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= − x1 + 6x2 = 2x1 + 3x2 .

ˇ esˇenı´: R −1 − λ 6 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0 2 3 − λ −6 6 1 λ1 = 5 : v1 = 2 − 2 1 2 6 3 v2 = λ2 = −3 : 2 6 −1 5t 1 3 c1 e5t c1 e + 3c2 e−3t x= = . 1 −1 c2 e−3t c1 e5t − c2 e−3t a prˇ´ıslusˇne´ vlastnı´ vektory. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= − x1 + 6x2 = 2x1 + 3x2 .

ˇ esˇenı´: R −1 − λ 6 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0 2 3 − λ −6 6 1 λ1 = 5 : v1 = 2 − 2 1 2 6 3 v2 = λ2 = −3 : 2 6 −1 5t 1 3 c1 e + 3c2 e−3t c1 e5t x= = . 1 −1 c2 e−3t c1 e5t − c2 e−3t a prˇ´ıslusˇne´ vlastnı´ vektory. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= − x1 + 6x2 = 2x1 + 3x2 .

ˇ esˇenı´: R −1 − λ 6 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0 2 3 − λ −6 6 1 λ1 = 5 : v1 = 2 − 2 1 2 6 3 λ2 = −3 : v2 = 2 6 −1 5t c1 e + 3c2 e−3t c1 e5t 1 3 = . x= 1 −1 c2 e−3t c1 e5t − c2 e−3t ˇ esˇenı´ je na´sobkem matice slozˇene´ z vlastnıćh vektoru˚ a vektoru R exponencia´l. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Najděte obecné řešení lineárního systému x˙ 1 x˙ 2 ˇ esˇenı´: R 3 A= 2

= 3x1 − 2x2 = 2x1 − 1x2 .

−2 −1 3 − λ −2 2 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ + 1 = (λ − 1) = 0 2 − 1 − λ 1 2 −2 v1 = λ1 = 1 : 1 2 −2 1 2 −2 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : v2 = 1 2 −2 1 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= 3x1 − 2x2 = 2x1 − 1x2 .

−2 −1 3 − λ −2 2 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ + 1 = (λ − 1) = 0 2 − 1 − λ 2 −2 1 λ1 = 1 : v1 = 2 −2 1 1 2 −2 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : v2 = 1 2 −2 1 2 Matice syste´mu ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= 3x1 − 2x2 = 2x1 − 1x2 .

ˇ esˇenı´: R 3 A= 2

−2 −1 3 − λ −2 2 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ + 1 = (λ − 1) = 0 2 − 1 − λ 2 −2 1 v1 = λ1 = 1 : 2 −2 1 1 2 −2 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : v2 = 1 2 −2 1 2 Matice syste´mu ma´ dvojna´sobne´ vlastnı´ cˇ´ıslo λ1 = 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= 3x1 − 2x2 = 2x1 − 1x2 .


−2 −1 3 − λ −2 2 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ + 1 = (λ − 1) = 0 2 − 1 − λ 2 −2 1 v1 = λ1 = 1 : 2 −2 1 1 2 −2 1 v2 = 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : 2 −2 1 2 s deficientnı´m vlastnı´m vektorovy´m prostorem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= 3x1 − 2x2 = 2x1 − 1x2 .


−2 −1 3 − λ −2 2 2 det( A − λI ) = = λ − 2λ + 1 = (λ − 1) = 0 2 − 1 − λ 2 −2 1 λ1 = 1 : v1 = 2 −2 1 1 2 −2 1 v2 = 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : 2 −2 1 2 Vytvorˇ´ıme proto druhy´ vektor splnˇujıćı´ Av2 = λ1 v2 + v1 . Vektory {v1 , v2 } tvorˇ´ı ba´zi tzv. zobecneˇne´ho prostoru vlastnıćh vektoru˚.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= ATu −1 u˙ = T ATu u˙ 1 1 1 u1 = u˙ 2 0 1 u2 u˙ 1 = u1 + u2 u˙ 2 = u2 Tu˙

u2 (t) = c2 et , dosazenı´m do prvnı´ rovnice ma´me

ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

) et Odtud u 1 = ( c1 + c2 t u1 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x=T = ( v1 , v2 ) = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = u2 1 c2 e t 2 ( c1 + c2 t + c2 ) e t . ´ rnı´ transformaci. t linea 1 vhodnou Zaved (c1 + c’me 2 t + 2 c2 ) e ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= ATu −1 u˙ = T ATu u˙ 1 1 1 u1 = u˙ 2 0 1 u2 u˙ 1 = u1 + u2 u˙ 2 = u2 Tu˙


ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

) et Odtud u 1 = ( c1 + c2 t u1 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x=T = ( v1 , v2 ) = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = u2 1 c2 e t 2 ( c1 + c2 t + c2 ) e t Pro T c=t(+ v11, vc 2))ebude ´ mu v Jordanoveˇ tvaru. t . matice syste ( c1 + 2 2 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

= ATu u˙ = T−1 ATu u˙ 1 1 1 u1 = u˙ 2 0 1 u2 u˙ 1 = u1 + u2 u˙ 2 = u2 Tu˙


ˇ esˇenı´: R

u˙´1me: − u1 = c 2 e t Na´sobenı´m ´ va matic dosta 1 1 du1 e−t = 1 1 1 c2 .0 −1 u2˙ 1 e−t − 3 u1−e− 2t = dt = T−1 AT = 2 −2 2 −1 2 −2 1 21 1 21 t 1 1u1 = (c1 + c2 t)e Odtud = . 0 u11 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x V=pr Tˇ´ıpadeˇ, zˇ=e (by v1sˇ, lo v2 )o nedeficientnı = (c1 +vlastnı c2 t)ećh vektoru + c2˚e a 1 = ´ prostor u 1 c2 e t 2 nevytva´2rˇeli bychom zobecneˇny´ vlastnı´ vektor, byla by v prave´m ( c1 + c2 t + c2 ) e t . hornı matice nula. (c +´m c rohu t + 1 cJordanovy ) et ⊳⊳

1

⊳

⊲

2

⊲⊲

2 2

x = Tu

⇒



ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

) et Odtud u 1 = ( c1 + c2 t u1 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x=T = ( v1 , v2 ) = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = u2 1 c2 e t 2 Syste´m se tentokra ( c1 + c2 t + c2 )et ´ t nerozpadne na dveˇ samostatne´ rovnice, ale lze . jej tˇ it”. (c1”zespodu + c2 t + 21 vyr c2 )ˇees ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒



ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

) et Odtud u 1 = ( c1 + c2 t u1 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x=T = ( v1 , v2 ) = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = u2 1 c2 e t 2 ( c1 + c2 t + c2 ) e t . (c1 + c2 t + 21 c2 )et ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒



ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

) et Odtud u 1 = ( c1 + c2 t u1 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x=T = ( v1 , v2 ) = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = u2 1 c2 e t 2 ( c1 + c2 t + c2 ) e t . Jde (c1 o+nehomogennı c2 t + 21 c2 )et ´ linea´rnı´ diferencia´lnı´ rovnici 1. rˇa´du. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒



ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

Odtud u ) et 1 = ( c1 + c2 t u1 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x=T = ( v1 , v2 ) = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = u 1 c2 e t 2 Mu˚zˇeme2 ji rˇesˇit napr − λ t 1 ´m faktorem e nebo variacı´ (c1 + c2 t + c2 )et ˇ. vyna´sobenı −t konstanty. bude rychlejsˇ´ı. t ´. faktorem e 1 ´ sobenı (c1 + c2 t +Na 2 c2 ) e ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒



ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

Odtud u ) et 1 = ( c1 + c2 t ( c1 + c2 t ) e t u1 t 1 t 1 = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = x=T = ( v1 , v2 ) 1 u2 c2 e t 2 ( c1 + c2 t + c2 ) e t . (c1 + c2 t + 21 c2 )et ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒



ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

) et Odtud u 1 = ( c1 + c2 t u1 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x=T = ( v1 , v2 ) = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = u2 1 c2 e t 2 ( c1 + c2 t + c2 ) e t ˇ esˇenı´ pu˚vodnı . R (c1 + c2 t + 21 c2 ´)ho et syste´mu dostaneme zpeˇtnou transformacı´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒



ˇ esˇenı´: R

u˙ 1 − u1

u˙ 1 e−t − u1 e−t

= c2 e t =

du1 e −t dt

= c2 .

) et Odtud u 1 = ( c1 + c2 t u1 ( c1 + c2 t ) e t t 1 t 1 x=T = ( v1 , v2 ) = ( c1 + c2 t ) e + c2 e 1 = u2 1 c2 e t 2 ( c1 + c2 t + c2 ) e t . (c1 + c2 t + 21 c2 )et ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= x1 − 4x2 = x1 + x2 .

1 − λ −4 −4 2 , det( A − λI ) = = λ − 2λ + 5 = 0 1 1 1 − λ −2i −4 2i λ1 = 1 + 2i : v1 = 1 − 2i 1 2i −4 −2i λ2 = 1 − 2i : v = 1 2i ! 2 1 (1+2i ) t 2i −2i c1 e x= . 1 1 c2 e(1−2i)t

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= x1 − 4x2 = x1 + x2 .

1 − λ −4 −4 2 , det( A − λI ) = = λ − 2λ + 5 = 0 1 1 − λ 1 −2i −4 2i λ1 = 1 + 2i : v1 = 1 − 2i 1 2i −4 −2i λ2 = 1 − 2i : v = 1 2i ! 2 1 (1+2i ) t 2i −2i c1 e x= . 1 1 c2 e(1−2i)t Matice syste´mu ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= x1 − 4x2 = x1 + x2 .

1 − λ −4 −4 2 , det( A − λI ) = = λ − 2λ + 5 = 0 1 1 − λ 1 −2i −4 2i λ1 = 1 + 2i : v1 = 1 − 2i 1 2i −4 −2i λ2 = 1 − 2i : v = 1 2i ! 2 1 (1+2i ) t 2i syste −2i´ mu ma c1é komplexneˇ sdruzˇena´ vlastnı´ cˇ´ısla λ = 1 ± 2i. x Matice = . 1,2 1 1 c2 e(1−2i)t √ 2 ± 4 − 20 = 1 ± 2i λ1,2 = 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= x1 − 4x2 = x1 + x2 .


1 − λ −4 −4 2 , det( A − λI ) = = λ − 2λ + 5 = 0 1 1 − λ 1 −2i −4 2i λ1 = 1 + 2i : v1 = 1 − 2i 1 −2i 2i −4 v = λ2 = 1 − 2i : 1 1 2i ! 2 (1+2i ) t 2i −2i c1 e x= . 1 1 c2 e(1−2i)t a prˇ´ıslusˇne´ komplexnı´ vlastnı´ vektory splnˇujı´ Av1 = (1 + 2i )v1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= x1 − 4x2 = x1 + x2 .


1 − λ −4 −4 2 , det( A − λI ) = = λ − 2λ + 5 = 0 1 1 − λ 1 −2i −4 2i λ1 = 1 + 2i : v1 = 1 − 2i 1 −2i 2i −4 v = λ2 = 1 − 2i : 1 1 2i ! 2 (1+2i ) t 2i −2i c1 e x= . 1 1 c2 e(1−2i)t a Av2 = (1 − 2i )v2 , jsou komplexneˇ sdruzˇene´ v1 = v2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= x1 − 4x2 = x1 + x2 .


1 − λ −4 −4 2 , det( A − λI ) = = λ − 2λ + 5 = 0 1 1 − λ 1 −2i −4 2i λ1 = 1 + 2i : v1 = 1 − 2i 1 2i −4 −2i λ2 = 1 − 2i : v = 1 2i ! 2 1 (1+2i ) t 2i −2i c1 e x= . 1 1 c2 e(1−2i)t ˇ esˇenı´ v komplexnı´m oboru tedy najdeme jizˇ zna´mou metodou R vlastnıćh vektoru˚, prˇitom c1 , c2 ∈ C.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Oznacˇme u = Re v1 a w = Im v1 , tedy v1 = u + iw a v2 = u − iw. Pak platı´ t c e (cos 2t + i sin 2t) x = (u + iw, u − iw) 1 t c2 e (cos 2t − i sin 2t)

= c1 et cos 2tu − c1 et sin 2tw + c2 et cos 2tu − c2 et sin 2tw +ic1 et cos 2tw + ic1 et sin 2tu − ic2 et cos 2tw − ic2 et sin 2tu = (c1 + c2 )et cos 2tu − (c1 + c2 )et sin 2tw +i (c1 − c2 )et cos 2tw + i (c1 − c2 )et sin 2tu = et (k1 cos 2t + k2 sin 2t)u + et (k2 cos 2t − k1 sin 2t)w

Maticoveˇ lze rˇesˇenı´ zapsat jako k1 et x = TR k2 et cos 2t sin 2t kde T = (u, w) a R = je matice rotace o u´hel 2t. − sin 2t cos 2t

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



Maticoveˇ lze rˇesˇenı´ zapsat jako k1 et x = TR k2 et cos 2t sin 2t kde = (u, )aR = je matice rotace o u´hel 2t. ˇ esˇTenı R ´ mu ˚ zˇw eme rozepsat. − sin 2t cos 2t

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



Maticoveˇ lze rˇesˇenı´ zapsat jako k1 et x = TR k2 et cos 2t sin 2t je matice rotace o u´hel 2t. kde T = (u, w) a R = Upravujeme. − sin 2t cos 2t

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



Maticoveˇ lze rˇesˇenı´ zapsat jako k1 et x = TR k2 et cos 2t sin 2t kde T = (u, w) a R = je matice rotace o u´hel 2t. Upravujeme. − sin 2t cos 2t

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



Maticoveˇ lze rˇesˇenı´ zapsat jako k1 et x = TR k2 et Konstanty k1 = c1 + c2 acos k2 2t = i (csin c2 ) jsou obecneˇ komplexnı´, 1 −2t je ´matice rotace o u´hel 2t. kde T = jsou (u, w )álne R´ ,= pokud rea dosta ´ me ´ lne´2trˇesˇenı x. −´ va sin 2t reacos

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= c1 et cos 2tu − c1 et sin 2tw + c2 et cos 2tu − c2 et sin 2tw +ic1 et cos 2tw + ic1 et sin 2tu − ic2 et cos 2tw − ic2 et sin 2tu ˇResˇenı´ se budou pot spira´le vzdalovat od poc2tw ˇ a´tku. Je zrˇejme´, zˇe = (c1 + c2 )e cos 2tu − (c1 + c2 )et sin x1 (0) = k1 , x2 (0) = k2t. t +i (c1 − c2 )e cos 2tw + i (c1 − c2 )e sin 2tu = et (k1 cos 2t + k2 sin 2t)u + et (k2 cos 2t − k1 sin 2t)w

Maticoveˇ lze rˇesˇenı´ zapsat jako k1 et x = TR k2 et cos 2t sin 2t je matice rotace o u´hel 2t. kde T = (u, w) a R = − sin 2t cos 2t

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Nelinea´rnı´ autonomnı´ syste´m Nelinea´rnı´ u´lohu (1) se singula´rnı´m bodem x0 lze posunutı´m tohoto bodu do pocˇa´tku prˇeve´st na tvar x˙ = Ax + g(x), kde A = Df(x0 ) je Jacobiho matice f v singula´rnı´m bodeˇ x0 a g(x) = o (k x k) pro k x k→ 0, cozˇ znamena´, zˇe

k g( x ) k = 0. k x k→0 k x k lim

Cˇasto dokonce k g(x) k≤ k k x k2 na k x k< a (a > 0, k > 0). Je-li t 7→ Φ(t) fundamenta´lnı´ matice rˇesˇenı´ prˇ´ıslusˇne´ho homogennı´ho linea´rnı´ho syste´mu tvaru (2), pak metodou variace konstanty dosta´va´me rˇesˇenı´ u´lohy (3) s pocˇa´tecˇnı´ podmıńkou x(t0 ) = ξ tvaru x(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 )ξ + Φ(t) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z t t0

Φ−1 (s)g(x(s)) ds.

(3)

V prˇ´ıpadeˇ, zˇe A ma´ pouze vlastnı´ hodnoty se za´porny´mi rea´lny´mi cˇa´stmi odtud lze (pomocı´ Gronwallova lemmatu) uka´zat, zˇe existujı´ a, b, c > 0 takove´, zˇe kazˇde´ rˇesˇenı´ (3) s pocˇa´tecˇnı´ podmıńkou x(0) = ξ , k ξ k≤ b splnˇuje pro t ≥ t0

k x(t) k≤ c k ξ k e− a(t−t0 ) .

Dosta´va´me tedy na´sledujıćı´ tvrzenı´: Veˇta (Ljapunovova veˇta): Uvazˇujme syste´m (1) a jeho singula´rnı´ bod x0 . Oznacˇme J = Df(x0 ) Jacobiho matici v bodeˇ x0 . Pak x0 je stabilnı´, jestlizˇe vsˇechna vlastnı´ cˇ´ısla λ1 , λ2 , . . . , λn matice J splnˇujı´ Re λi < 0. (Takovy´ singula´rnı´ bod nazy´va´me atraktorem.)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pozna´mka 11. „Obrácením běhu času“, tj. pro t → −∞, můžeme analogicky odvodit Ljapunovovu větu pro nestabilní „odpuzující“ singulární bod (tzv. repeler). V takovém případě musí všechna vlastní čísla splňovat Re λi > 0. Definice: Singula´rnı´ bod x0 syste´mu (1) nazveme hyperbolicky´m singula´rnı´m bodem, jestlizˇe zˇa´dna´ z vlastnıćh hodnot prˇ´ıslusˇne´ Jacobiho matice J = Df(x0 ) nelezˇ´ı na imagina´rnı´ ose.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta (Grobmanova-Hartmanova, veˇta o linearizaci): Syste´m (1) je v okolı´ sve´ho hyperbolicke´ho singula´rnı´ho bodu x0 loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ se svou linearizacı´ x˙ = Df(x0 )x.

Du˚kaz naleznete naprˇ. v origina´lnı´m cˇlańku a take´ v mnoha monografiıćh. Pozna´mka 12. Systémy tvaru (1) v okolí hyperbolických singulárních bodů x0 a y0 jsou tedy lokálně topologicky ekvivalení právě tehdy, když tyto singulární body mají stejný počet n− a n+ vlastních hodnot s Re λ < 0 a Re λ > 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pozna´mka 13. Fázové portréty v rovině. Uvažujme dvourozměrný systém x˙ = f(x),

x = ( x1 , x2 ) T ∈ R2 ,

kde f je hladká funkce. Předpokládejme, že x = x0 je singulární bod, tj. f(x0 ) = 0, a J = Df(x0 ) je příslušná Jacobiho matice v tomto bodě. Matice J má pak dvě vlastní hodnoty λ1 , λ2 , které jsou kořeny charakteristické rovnice det(J − λI) = λ2 − σλ + ∆ = 0,

kde σ = tr J = λ1 + λ2 je stopa Jacobiho matice a ∆ = det J = λ1 λ2 je její determinant. Veˇta: Postacˇujıćı´mi podmıńkami asymptoticke´ stability singula´rnı´ho bodu spojite´ho syste´mu (1) v rovineˇ jsou podmıńky ∆ = det J > 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

a

σ = tr J < 0.

Topologicka´ klasifikace hyperbolicke´ho singula´rnı´ho bodu v rovineˇ: (n+ , n− )

Vlastn´ı hodnoty

Fázov´ y portrét

Stabilita

uzel (0, 2)

stabiln´ı ohnisko

(1, 1)

sedlo

nestabiln´ı

uzel nestabiln´ı

(2, 0) ohnisko

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x + y2

x˙

=

y˙

= −y + x − 2y2

v okolí jeho singulárního bodu. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ body jsou dva 0, 0 a −1/9, −1/3 . Jacobiho matice je 1 2y 1 0 J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = , 1 −1 1 −1 − 4y 1 − λ 0 = −(1 − λ)(1 + λ), 0, 0 je SEDLO. det(J − λI) = 1 −1 − λ

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


x˙

=

y˙

= −y + x − 2y2

v okolí jeho singulárního bodu. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ body jsou dva 0, 0 a −1/9, −1/3 . Jacobiho matice je 1 2y 1 0 J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = , 1 −1 1 −1 − 4y 1 − λ 0 det(J − λI) = = −(1 − λ)(1 + λ), 0, 0 je SEDLO. 1 −1 − λ

Z nulovosti prave´ strany prvnı´ rovnice ma´me x = −y2 , cozˇ da´va´ po dosazenı´ do prave´ strany druhe´ rovnice −y − y2 − 2y2 = −y(1 + 3y) = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


x˙

=

y˙

= −y + x − 2y2

v okolí jeho singulárního bodu. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ body jsou dva 0, 0 a −1/9, −1/3 . Jacobiho matice je 1 0 1 2y , J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = 1 −1 1 −1 − 4y 1 − λ 0 det(J − λI) = = −(1 − λ)(1 + λ), 0, 0 je SEDLO. 1 −1 − λ

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


x˙

=

y˙

= −y + x − 2y2

v okolí jeho singulárního bodu. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ body jsou dva 0, 0 a −1/9, −1/3 . Jacobiho matice je 1 0 1 2y , J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = 1 −1 1 −1 − 4y 1 − λ 0 det(J − λI) = = −(1 − λ)(1 + λ), 0, 0 je SEDLO. 1 −1 − λ

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


x˙

=

y˙

= −y + x − 2y2

v okolí jeho singulárního bodu. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ body jsou dva 0, 0 a −1/9, −1/3 . Jacobiho matice je 1 2y 1 0 J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = , 1 −1 1 −1 − 4y 1 − λ 0 det(J − λI) = = −(1 − λ)(1 + λ), 0, 0 je SEDLO. 1 −1 − λ Vlastnı´ cˇ´ısla splnˇujı´ det(J − λI) = 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


x˙

=

y˙

= −y + x − 2y2

v okolí jeho singulárního bodu. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ body jsou dva 0, 0 a −1/9, −1/3 . Jacobiho matice je 1 2y 1 0 J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = , 1 −1 1 −1 − 4y 1 − λ 0 det(J − λI) = = −(1 − λ)(1 + λ), 0, 0 je SEDLO. 1 −1 − λ λ1 = 1 > 0, λ2 = −1 < 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

  2 1 − 1 1  3 J − ,− = 1 , 9 3 1 3 2 1 − λ − 3 = (1 − λ) 1 − λ + 2 = λ2 − 4 λ + 1, det(J − λI) = 1 1 3 3 3 − λ 3 1 1 − , − je NESTABILNI´ OHNISKO. 9 3 V programu XPPAUT spust’te priklad1.ode

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


Vlastnı´ cˇ´ısla splnˇujı´ det(J − λI) = 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


λ1,2 ⊳⊳

⊳

√ 2 5 = ±i 3 3 ⊲

⊲⊲


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

V tomto okamzˇiku shrnˇme informace pro spojity´ autonomnı´ syste´m. Na nelinea´rnı´ syste´m mu˚zˇeme v okolı´ hyperbolickyćh singula´rnıćh bodu˚ hledeˇt jako na mı´rneˇ deformovany´ linea´rnı´ syste´m (mluvı´me o tzv. perturbovane´m syste´mu), jehozˇ chovańı´ se od nelinea´rnı´ho nijak kvalitativneˇ nelisˇ´ı. Pro stabilitu cˇi nestabilitu singula´rnı´ho bodu jsou podstatna´ znameńka rea´lne´ cˇa´sti vlastnıćh hodnot matice (pouze !!!) prvnıćh parcia´lnıćh derivacı´ funkce f , tzv. Jacobiho matice. Oscilace jsou zpu˚sobeny komplexnı´mi vlastnı´mi hodnotami.

Nic nevı´me o situaci, kdy vlastnı´ hodnoty majı´ v singula´rnı´m bodeˇ nulovou rea´lnou cˇa´st, tj. v prˇ´ıpadeˇ, kdy nejde o hyperbolicky´ singula´rnı´ bod.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Model Michaelis-Mentenove´, enzymaticka´ kinetika Chemicke´ a biochemicke´ reakce je vhodne´ popisovat pomocı´ diferencia´lnıćh rovnic. Elementa´rnı´ reakce podle´hajı´ kineticke´ rovnici, ktera´ popisuje rychlost, se kterou interagujı´ dveˇ la´tky a vytva´rˇejı´ trˇetı´: k

A+B → C Koncentrace la´tek se znacˇ´ı v hranatyćh za´vorkaćh a uvedenou reakci mu˚zˇeme popsat rovnicı´ d[C ] dt

= k[ A][ B],

kde derivace koncentrace [C ] je okamzˇita´ zmeˇna koncentrace [C ], tedy rychlost, s jakou je tvorˇen produkt reakce. Konstanta k je rychlostnı´ konstanta, ktera´ vlastneˇ konstantou nenı´ – za´visı´ naprˇ. na teploteˇ nebo homogeniteˇ smeˇsi. Budeme ale prˇedpokla´dat, zˇe se teplota nemeˇnı´ a la´tky jsou dobrˇe promıćhane´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇtsˇina biochemickyćh reakcı´ probı´ha´ obeˇma smeˇry: k+

A+B⇄ C k−

Zmeˇna koncentrace [ A] pak splnˇuje d[ A ] dt

= −k + [ A][ B] + k − [C ].

Ve skutecˇnosti je veˇtsˇina reakcı´ slozˇiteˇjsˇ´ı a bude tedy popsańa syste´mem diferencia´lnıćh rovnic.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Enzymy E jsou katalyza´tory chemickyćh reakcı´, prˇi kteryćh poma´hajı´ ze substra´tu S vytvorˇit produkt P, prˇicˇemzˇ z reakce vycha´zejı´ samy v nezmeˇneˇne´ formeˇ. Substrát

Enzym

Produkt

Komplex enzym-substrát

k1

k2

E+S ⇄ C → E+P k −1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Kineticke´ rovnice reakcı´ tedy mu˚zˇeme popsat na´sledujıćı´mi diferencia´lnı´mi rovnicemi: d[S ] dt d[ E ] dt d[ C ] dt d[ P ] dt

= k −1 [C ] − k1 [S][ E], = (k −1 + k2 )[C ] − k1 [S][ E], = k1 [S][ E] − (k2 + k −1 )[C ], = k 2 [ C ].

Navıć prˇedpokla´da´me, zˇe produkt P okamzˇiteˇ odebı´ra´me, aby nesˇel do zpeˇtne´ reakce. Je evidentnı´, zˇe platı´ d[ E ] dt

+

d[C ] dt

= 0,

tj. [ E] + [C ] = e0 je pocˇa´tecˇnı´ koncentrace enzymu, [ E] tedy mu˚zˇeme eliminovat. Rovnici produktu mu˚zˇeme oddeˇlit a integrovat zvla´sˇt’.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

´ pravou tedy dosta´va´me dveˇ diferencia´lnı´ Oznacˇme [S] = s a [C ] = c. U rovnice: s˙ c˙

= k −1 c − k 1 s ( e0 − c ) , = k 1 s ( e0 − c ) − ( k 2 + k −1 ) c

s pocˇa´tecˇnı´mi podmıńkami c(0) = 0 a s(0) = s0 >> e0 . Prˇı´klad. Dokazˇte, zˇe pocˇa´tek je asymptoticky stabilnı´ singula´rnı´ bod. Prˇı´klad. Nakreslete fa´zovy´ portre´t a graficky analyzujte syste´m a nakreslete prˇiblizˇneˇ tvar rˇesˇenı´ s uvedenou pocˇa´tecˇnı´ podmıńkou. Prˇı´klad. Prozkoumejte model v programu XPPAUT. Spust’te XPPAUT a otevrˇte soubor MichaelisMenten.ode.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prostudujte cˇlańek o modelu diety.

Prozkoumejte model v programu XPPAUT.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Diskre´tnı´ dynamicke´ syste´my Definice: Autonomnı´m syste´mem diferencˇnıćh rovnic rozumı´me syste´m x(n + 1) = f(x(n)), (4) kde x(n) ∈ X = R m a vektorova´ funkce f : R m → R m je dostatecˇneˇ hladka´. Pozna´mka 14. Pevné body x0 autonomního systému (4) splňují systém rovnic f( x0 ) = x0 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Linea´rnı´ syste´m - opakovańı´ Uvazˇujme linea´rnı´ diferencˇnı´ autonomnı´ syste´m x(n + 1) = Ax(n),

(5)

kde x(n) ∈ R m , A ∈ R m×m , n ∈ N0 s pocˇa´tecˇnı´ podmıńkou x(0) = x0 . Odtud x(n) = An x0 . Necht’λ ∈ C je vlastnı´ cˇ´ıslo matice A a v prˇ´ıslusˇny´ vlastnı´ vektor. • V prˇ´ıpadeˇ λ ∈ R je x(n) = λn v rea´lny´m rˇesˇenı´m rovnice (5). • V prˇ´ıpadeˇ λ ∈ R, ktere´ je k-na´sobny´m korˇenem charakteristicke´ho polynomu se zobecneˇny´mi vlastnı´mi vektory vi , i = 1, . . . , k, jsou i

x ( n) =

ni− j v

∑ λn−i+ j (i− j)j! , i = 1, . . . k rea´lny´mi rˇesˇenı´mi rovnice (5).

j =1

β

• V prˇ´ıpadeˇ λ = α ± iβ, ϕ = arctg α , je vlastnı´ vektor v = u ± iw a rea´lny´mi rˇesˇenı´mi rovnice (5) jsou pak ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x(n) = |λ|n (cos ϕn · u ± sin ϕn · w), x(n) = |λ|n (sin ϕn · u + cos ϕn · w).

V prˇ´ıpadeˇ na´sobnyćh komplexnıćh vlastnıćh cˇ´ısel je situace slozˇiteˇjsˇ´ı, ale analogicka´. Oznacˇme vlastnı´ hodnoty sestupneˇ |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ · · · ≥ |λm |. Protozˇe x0 mu˚zˇeme zapsat jako linea´rnı´ kombinaci neza´vislyćh vlastnıćh vektoru˚ {vλ1 , . . . , vλm } (tvorˇ´ı ba´zi): x 0 = k 1 v λ1 + k 2 v λ2 + · · · + k m v λ m ,

mu˚zˇeme rˇesˇenı´ x(n) zapsat obdobneˇ jako v na´sledujıćı´m prˇ´ıpadeˇ ru˚znyćh vlastnıćh hodnot vytknutı´m λ1n takto x ( n)

= A n ( k 1 v λ1 + k 2 v λ2 + · · · + k m v λ m ) = k1 λ1n vλ1 + k2 λ2n vλ2 + · · · + k m λnm vλm n n = λ1n k1 vλ1 + k2 λλ21 vλ2 + · · · + k m λλm1 vλm

Pevny´m bodem syste´mu (5) je pocˇa´tek, ktery´ je asymptoticky (dokonce exponencia´lneˇ) stabilnı´, pokud |λ1 | < 1. V prˇ´ıpadeˇ |λ1 | > 1 je pocˇa´tek nutneˇ nestabilnı´. Je-li |λ1 | = 1, nemu˚zˇe by´t pocˇa´tek asymptoticky stabilnı´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Linea´rnı´ diferencˇnı´ rovnice by´vajı´ cˇasto zapsańy ve tvaru 0 = a m x ( n + m ) + a m −1 x ( n + m − 1 ) + · · · + a0 x ( n ) . V takove´m prˇ´ıpadeˇ hleda´me vlastnı´ cˇ´ısla jako korˇeny charakteristicke´ho polynomu p ( λ ) = a m λ m + a m −1 λ m −1 + · · · + a0 .

Pozna´mka 15. Podkud je levá strana rovnice nenulová, tj. ve tvaru f (t) = . . . (nehomogenní rovnice), pak obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice a obecného řešení příslušné lineární homogenní rovnice (s nulovou levou stranou).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Polynom p(λ) je ve skutecˇnosti charakteristicky´m polynomem det( A − λI ) linea´rnı´ho syste´mu x1 ( n + 1)

= x2 ( n), .. . x m −1 ( n + 1 ) = x m ( n ) , xm (n + 1) = − a1m ( am−1 xm (n) + · · · + a0 x1 (n)), kde x1 (n) = x (n).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Najděte obecné řešení lineárního systému


1 2 3 2

x1 ( n + 1)

=

x1 (n) + 12 x2 (n)

x2 ( n + 1)

=

x1 (n) + 32 x2 (n).

1 1 − λ 2 = λ2 − 5 λ + 1 = ( λ − 2)( λ − 1 ) = 0 det( A − λI ) = 3 2 2 1 2 −λ −1 21 1 λ1 = 2 : v1 = 2 1 − 21 1 1 1 2 2 v2 = λ2 = 12 : −1 1 1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



1 2 3 2

x1 ( n + 1)

=

x1 (n) + 12 x2 (n)

x2 ( n + 1)

=

x1 (n) + 32 x2 (n).

1 1 − λ 2 = λ2 − 5 λ + 1 = ( λ − 2)( λ − 1 ) = 0 det( A − λI ) = 3 2 2 1 2 −λ −1 21 1 λ1 = 2 : v1 = 2 1 − 21 1 1 1 2 2 v2 = λ2 = 12 : −1 1 1 Matice syste´mu ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



1 2 3 2

x1 ( n + 1)

=

x1 (n) + 12 x2 (n)

x2 ( n + 1)

=

x1 (n) + 32 x2 (n).

1 1 − λ 2 = λ2 − 5 λ + 1 = ( λ − 2)( λ − 1 ) = 0 det( A − λI ) = 3 2 2 1 2 −λ −1 21 1 λ1 = 2 : v1 = 2 1 − 21 1 1 1 2 2 v2 = λ2 = 12 : −1 1 1 Matice syste´mu ma´ vlastnı´ cˇ´ısla λ1 = 2 a λ2 = 21 . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



1 2 3 2

x1 ( n + 1)

=

x1 (n) + 12 x2 (n)

x2 ( n + 1)

=

x1 (n) + 32 x2 (n).

1 1 − λ 2 = λ2 − 5 λ + 1 = ( λ − 2)( λ − 1 ) = 0 det( A − λI ) = 3 2 2 1 2 −λ −1 21 1 λ1 = 2 : v1 = 2 1 − 21 1 1 1 2 2 v2 = λ2 = 12 : −1 1 1 a prˇ´ıslusˇne´ vlastnı´ vektory splnˇujı´ Av1 = 2v1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



1 2 3 2

x1 ( n + 1)

=

x1 (n) + 12 x2 (n)

x2 ( n + 1)

=

x1 (n) + 32 x2 (n).

1 1 − λ 2 = λ2 − 5 λ + 1 = ( λ − 2)( λ − 1 ) = 0 det( A − λI ) = 3 2 2 1 2 −λ −1 21 1 λ1 = 2 : v1 = 2 1 − 21 1 1 1 2 2 v2 = λ2 = 12 : −1 1 1 a Av2 = 21 v2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

x ( n + 1)

= Ax(n) Tu(n + 1) = ATu(n) = T−1 ATu(n) 2 0 u1 ( n ) = u2 ( n ) 0 12 u1 (n + 1) = 2u1 (n) u2 (n + 1) = 12 u2 (n)

u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )

ˇ esˇenı´: u1 (n) = c1 2n , u2 (n) = c2 1 n R 2 c1 2n u1 n 1 x=T = ( v1 , v2 ) = c 2 + c2 n 1 u2 2 c2 12 ! n c1 2n + c2 21 n . c1 2n+1 − c2 12 Zaved’me vhodnou linea´rnı´ transformaci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 n 2

1 −1

=

x = Tu

⇒

x ( n + 1)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )

ˇ esˇenı´: u1 (n) = c1 2n , u2 (n) = c2 1 n R 2 c1 2n u1 1 n 1 1 n x=T = ( v1 , v2 ) = c 2 + c = n 1 2 2 u2 2 −1 c2 12 ! n c1 2n + c2 21 n . c1 2n+1 − c2 12 2 0 Matice syste´mu bude v Jordanoveˇ tvaru , pokud 0 21 T = ( v1 , v2 ) . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

x ( n + 1)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )

ˇ esˇenı´: u1 (n) = c1 2n , u2 (n) = c2 1 n R 2 c1 2n u1 n 1 x=T = ( v1 , v2 ) = c 2 + c2 n 1 u2 2 c2 12 ! n c1 2n + c2 21 n . c1 2n+1 − c2 12

1 n 2


⊳

⊲

⊲⊲

1 −1

=

x = Tu

⇒

x ( n + 1)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )


1 n 2


⊳

⊲

⊲⊲

1 −1

=

x = Tu

⇒

x ( n + 1)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )

ˇ esˇenı´: u1 (n) = c1 2n , u2 (n) = c2 1 n R 2 c1 2n u1 n 1 x=T = ( v1 , v2 ) = c 2 + c2 n 1 u2 2 c2 21 ! n c1 2n + c2 21 n . c1 2n+1 − c2 12 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 n 2

1 −1

=

x = Tu

⇒

x ( n + 1)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )


1 n 2

1 −1

=

ˇ esˇenı´ pu˚vodnı´ho syste´mu tedy dostaneme zpeˇtnou transformacı´. R

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Najděte obecné řešení lineárního systému x1 ( n + 1)

= −4x1 (n) + 9x2 (n) x2 (n + 1) = −4x1 (n) + 8x2 (n). ˇ esˇenı´: R −4 A= −4

9 8 −4 − λ 9 2 2 det( A − λI ) = = λ − 4λ + 4 = (λ − 2) = 0 − 4 8 − λ 3 −6 9 v1 = λ1 = 2 : 2 −4 6 −6 9 3 1 v2 = Av2 = λ1 v2 + v1 : −4 6 2 1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



9 8 −4 − λ 9 2 2 det( A − λI ) = = λ − 4λ + 4 = (λ − 2) = 0 − 4 8 − λ −6 9 3 λ1 = 2 : v1 = −4 6 2 −6 9 3 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : v2 = −4 6 2 1 Matice syste´mu ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



9 8 −4 − λ 9 2 2 det( A − λI ) = = λ − 4λ + 4 = (λ − 2) = 0 − 4 8 − λ −6 9 3 v1 = λ1 = 2 : −4 6 2 −6 9 3 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : v2 = −4 6 2 1 Matice syste´mu ma´ dvojna´sobne´ vlastnı´ cˇ´ıslo λ1 = 2. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



9 8 −4 − λ 9 2 2 det( A − λI ) = = λ − 4λ + 4 = (λ − 2) = 0 − 4 8 − λ −6 9 3 v1 = λ1 = 2 : −4 6 2 −6 9 3 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : v2 = −4 6 2 1 s deficientnı´m vlastnı´m vektorovy´m prostorem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



9 8 −4 − λ 9 2 2 det( A − λI ) = = λ − 4λ + 4 = (λ − 2) = 0 − 4 8 − λ −6 9 3 λ1 = 2 : v1 = −4 6 2 −6 9 3 1 Av2 = λ1 v2 + v1 : v2 = −4 6 2 1 Vytvorˇ´ıme proto druhy´ vektor splnˇujıćı´ Av2 = λ1 v2 + v1 . Vektory {v1 , v2 } tvorˇ´ı ba´zi zobecneˇne´ho prostoru vlastnıćh vektoru˚.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

Tu(n + 1)

= ATu(n)

= T−1 ATu(n) 2 1 u1 ( n ) = 0 2 u2 ( n ) u1 (n + 1) = 2u1 (n) + u2 (n) u2 (n + 1) = 2u2 (n)

u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )

u2 (n) = c2 2n , dosazenı´m do prvnı´ rovnice ma´me

ˇ esˇenı´: R

u1 (n + 1) − 2u1 (n) = c2 2n u1 (n + 1)2−n − 2u1 (n)2−n = u1 ( n ) 2 n −1

Odtud

u1 ( n +1 ) 2n

−

= c1 + c2 n, tj.

) = ( c 1 + c 2 n ) 2 n −1 1 (ńtransformaci. ´ rnı Zaved’me vhodnou lineau ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

u1 ( n ) 2 n −1

= c2 .

x = Tu

⇒

Tu(n + 1)

= ATu(n)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )


ˇ esˇenı´: R


Odtud

u1 ( n +1 ) 2n

−

u1 ( n ) 2 n −1

= c2 .

= c1 + c2 n, tj. n −1

u1 (n) syste = (c´1mu + cv2 nJordanove )2 Pro T = (v1 , v2 ) bude matice ˇ tvaru. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

Tu(n + 1)

= ATu(n)

= T−1 ATu(n) u1 ( n ) 2 1 = 0 2 u2 ( n ) u1 (n + 1) = 2u1 (n) + u2 (n) u2 (n + 1) = 2u2 (n)

u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )


ˇ esˇenı´: R

n n´ me: + 1) −2u1 (n ) = c Na´sobenı´m ´(va 22 matic dosta u1 1 −1 −4 9 3 1 0 1 3 1 T−1 AT = = −2 3 −4 8 2 1 −4 6 2 1 u (n) u ( n +1 ) −n −n 2 1 u1 (n + 1)2 − 2u1 (n)2 = 1 2n − 21n−1 = c2 . = . 0 2 u (n) 1 Odtud = csˇ1lo+ocnedeficientnı 2 n, tj. V prˇ´ıpadeˇ2,n−zˇ1e by ´ prostor vlastnıćh vektoru˚ a nevytva´rˇeli bychom zobecneˇny´ vlastnı´ vektor, byla by v prave´m ( c 1 + c 2 n ) 2 n −1 hornı´m rohu Jordanovyumatice 1 ( n) =nula. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

Tu(n + 1)

= ATu(n)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )


ˇ esˇenı´: R

u1 (n + 1) − 2u1 (n) = c2 2n u1 (n + 1)2−n − 2u1 (n)2−n = u (n)

u1 ( n +1 ) 2n

−

u1 ( n ) 2 n −1

= c2 .

1 Odtud = c1 + c2 n, tj. 2 n −1 Syste´m se tentokra´t nerozpadne na dveˇ samostatne´ rovnice, ale lze n −1 jej ”zespodu vyrˇesˇit”. u1 (n) = (c1 + c2 n)2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

Tu(n + 1)

= ATu(n)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )


ˇ esˇenı´: R


Odtud

u1 ( n +1 ) 2n

−

= c1 + c2 n, tj. u1 ( n ) = ( c 1 + c 2 n ) 2 n −1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

u1 ( n ) 2 n −1

= c2 .

x = Tu

⇒

Tu(n + 1)

= ATu(n)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )


ˇ esˇenı´: R

u1 (n + 1) − 2u1 (n) = c2 2n u1 (n + 1)2−n − 2u1 (n)2−n = u (n)

u1 ( n +1 ) 2n

−

u1 ( n ) 2 n −1

= c2 .

1 Odtud = c1 + c2 n, tj. 2 n −1 Jde o nehomogennı´ linea´rnı´ diferencˇnı´ rovnici 1. rˇa´du. Mu˚zˇeme ji − n n ) 2 n −1 rˇesˇit naprˇ. vyna´sobenı´mufaktorem 2 variacı´ konstanty. 1 ( n) = ( c12 + cnebo ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x = Tu

⇒

Tu(n + 1)

= ATu(n)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )


ˇ esˇenı´: R


Odtud

u1 ( n +1 ) 2n

= c1 + c2 n, tj.

= (c1 +ˇ´ı.c2 n)2 Na´sobenı´ faktorem 2−n ubude 1 ( n) rychlejs ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

−

n −1

u1 ( n ) 2 n −1

= c2 .

x = Tu

⇒

Tu(n + 1)

= ATu(n)


u ( n + 1) u1 ( n + 1 ) u2 ( n + 1 )

ˇ esˇenı´: u2 (n) = c2 2n , dosazenı´m do prvnı´ rovnice ma´me R u (n) Posloupnost w(n) = 21n−1 ma´ konstantnı´ diference, je to linea´rnı´ posloupnost s diferencı u1´(cn2 .+ 1) − 2u1 (n) = c2 2n u1 (n + 1)2−n − 2u1 (n)2−n = u1 ( n ) 2 n −1

Odtud

u1 ( n +1 ) 2n

−

= c1 + c2 n, tj. u1 ( n ) = ( c 1 + c 2 n ) 2 n −1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

u1 ( n ) 2 n −1

= c2 .

( c 1 + c 2 n ) 2 n −1 = ( v1 , v2 ) = c 2n 2 (3c1 + 3c2 n + 2c2 )2n−1 n −1 3 n 1 ( c1 + c2 n )2 + c2 2 = . 2 1 ( c1 + c2 n + c2 )2n

x=T

u1 u2

ˇ esˇenı´ pu˚vodnı´ho syste´mu dostaneme zpeˇtnou transformacı´. R ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

( c 1 + c 2 n ) 2 n −1 = ( v1 , v2 ) = c 2n 2 (3c1 + 3c2 n + 2c2 )2n−1 n −1 3 n 1 ( c1 + c2 n )2 + c2 2 = . 2 1 ( c1 + c2 n + c2 )2n

x=T

⊳⊳

⊳

⊲

u1 u2

⊲⊲

Nelinea´rnı´ autonomnı´ syste´m Nelinea´rnı´ u´lohu (4) s pevny´m bodem x0 lze posunutı´m tohoto bodu do pocˇa´tku prˇeve´st na tvar x(n + 1) = Ax(n) + g(x(n)),

(6)

kde A = Df(x0 ) je Jacobiho matice f v singula´rnı´m bodeˇ x0 a g(x) = o (k x k) pro k x k→ 0, cˇasto dokonce k g(x) k≤ k k x k2 na k x k< a (a > 0, k > 0). Podobneˇ jako pro spojity´ syste´m lze pomocı´ diskre´tnı´ analogie Gronwallova lemmatu uka´zat, zˇe v prˇ´ıpadeˇ, zˇe A ma´ pouze vlastnı´ hodnoty s absolutnı´ hodnotou mensˇ´ı nezˇ 1, existujı´ 0 < a < 1 a b, c > 0 takove´, zˇe kazˇde´ rˇesˇenı´ (6) s pocˇa´tecˇnı´ podmıńkou x(0) = ξ , k ξ k≤ b splnˇuje pro n ≥ n0

k x(n) k≤ c k ξ k an−n0 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Dosta´va´me tedy analogii Ljapunovovy veˇty pro diskre´tnı´ prˇ´ıpad, tedy na´sledujıćı´ tvrzenı´: Veˇta (analogie Ljapunovovy veˇty): Uvazˇujme syste´m (4) a jeho pevny´ bod x0 . Oznacˇme J = Df(x0 ) Jacobiho matici v bodeˇ x0 . Pak x0 je stabilnı´, jestlizˇe vsˇechna vlastnı´ cˇ´ısla λ1 , λ2 , . . . , λn matice J splnˇujı´ |λi | < 1. (Takovy´ pevny´ bod nazy´va´me atraktorem.) Definice: Pevny´ bod x0 syste´mu (4) nazveme hyperbolicky´m pevny´m bodem, jestlizˇe zˇa´dna´ z vlastnıćh hodnot prˇ´ıslusˇne´ Jacobiho matice J = Df(x0 ) nema´ jednotkovou velikost.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta (analogie Grobmanovy-Hartmanovy veˇty o linearizaci): Syste´m (4) je v okolı´ sve´ho hyperbolicke´ho pevne´ho bodu x0 loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ se svou linearizacı´ x(n + 1) = Df(x0 )x(n).

Pozna´mka 16. Fázové portréty dvou systémů tvaru (4) v okolí hyperbolických pevných bodů x0 a y0 jsou lokálně topologicky ekvivalení právě tehdy, když tyto pevné body mají stejný počet m− a m+ vlastních hodnot s |λ| < 1 a |λ| > 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pozna´mka 17. Fázové portréty v rovině. Uvažujme dvourozměrný systém x(n + 1) = f(x(n)),

x = ( x1 , x2 ) T ∈ R2 ,

kde f je hladká funkce. Předpokládejme, že x = x0 je pevný bod zobrazení f , tj. f(x0 ) = x0 , a J = Df(x0 ) je příslušná Jacobiho matice. Matice J má pak dvě vlastní hodnoty λ1 , λ2 , které jsou kořeny charakteristické rovnice det(J − λI) = λ2 − σλ + ∆ = 0, kde σ = tr J = λ1 + λ2 je stopa Jacobiho matice a ∆ = det J = λ1 λ2 je její determinant.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta: Postacˇujıćı´mi podmıńkami asymptoticke´ stability pevne´ho bodu diskre´tnı´ho syste´mu (4) v rovineˇ jsou podmıńky

|∆| = | det J| < 1, 1 − σ + ∆ = 1 − tr J + det J > 0 1 + σ + ∆ = 1 + tr J + det J > 0.

Pozna´mka 18. Dostali jsme zcela analogické výsledky jako ve spojitém případě. Nelineární systém můžeme v okolí hyperbolických pevných bodů vnímat jako mírně deformovaný lineární systém, jehož chování se od nelineárního nijak kvalitativně neliší.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Topologicka´ klasifikace hyperbolicke´ho pevne´ho bodu v rovineˇ: (m+ , m− )

vlastn´ı hodnoty

fázov´ y portrét

stabilita

uzel (0,2)

stabiln´ı ohnisko

(1,1)

sedlo

nestabiln´ı

uzel (2,0)

nestabiln´ı ohnisko

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x ( n + 1)

= rx (n)(1 − y(n)), y ( n + 1) = x ( n)

v okolí jeho pevných bodů pro r ∈ (0, 1). ˇ esˇenı´: R Pevne´ body jsou dva 0, 0 a r −r 1 , r −r 1 . Jacobiho matice je r (1 − y) −rx r 0 J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = , 1 1 0 0 r − λ 0 = −λ(r − λ), 0, 0 je STABILNI´ UZEL. det(J − λI) = 1 −λ ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= rx (n)(1 − y(n)), y ( n + 1) = x ( n)

v okolí jeho pevných bodů pro r ∈ (0, 1). ˇ esˇenı´: R Pevne´ body jsou dva 0, 0 a r −r 1 , r −r 1 . Jacobiho matice je r (1 − y) −rx r 0 J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = , 1 1 0 0 r − λ 0 = −λ(r − λ), 0, 0 je STABILNI´ UZEL. det(J − λI) = 1 −λ Z druhe´ rovnice ma´me y = x, cozˇ da´va´ po dosazenı´ do prvnı´ rovnice rx (1 − x ) = x.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= rx (n)(1 − y(n)), y ( n + 1) = x ( n)


⊳

⊲

⊲⊲


= rx (n)(1 − y(n)), y ( n + 1) = x ( n)


⊳

⊲

⊲⊲


= rx (n)(1 − y(n)), y ( n + 1) = x ( n)

v okolí jeho pevných bodů pro r ∈ (0, 1). ˇ esˇenı´: R Pevne´ body jsou dva 0, 0 a r −r 1 , r −r 1 . Jacobiho matice je r (1 − y) −rx r 0 J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = , 1 1 0 0 r − λ 0 = −λ(r − λ), 0, 0 je STABILNI´ UZEL. det(J − λI) = 1 −λ Vlastnı´ cˇ´ısla splnˇujı´ det(J − λI) = 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


= rx (n)(1 − y(n)), y ( n + 1) = x ( n)

v okolí jeho pevných bodů pro r ∈ (0, 1). ˇ esˇenı´: R Pevne´ body jsou dva 0, 0 a r −r 1 , r −r 1 . Jacobiho matice je r (1 − y) −rx r 0 J = Df( x, y) = , tj. J(0, 0) = , 1 1 0 0 r − λ 0 = −λ(r − λ), 0, 0 je STABILNI´ UZEL. det(J − λI) = 1 −λ λ1 = 0 < 1, λ2 = r < 1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 1−r , 0 1 1 − λ 1 − r = λ2 − λ − ( 1 − r ) , det(J − λI) = 1 −λ r −1 r −1 je NESTABILNI´ (sedlo nebo uzel). r , r J

⊳⊳

r −1 r −1 r , r

⊳

⊲

⊲⊲

=

1 1−r , 0 1 1 − λ 1 − r = λ2 − λ − ( 1 − r ) , det(J − λI) = 1 −λ r −1 r −1 je NESTABILNI´ (sedlo nebo uzel). r , r r −1 r −1 r , r

J

=

Vlastnı´ cˇ´ısla splnˇujı´ det(J − λI) = 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

=

1 1−r , 0 1 1 − λ 1 − r = λ2 − λ − ( 1 − r ) , det(J − λI) = 1 −λ r −1 r −1 je NESTABILNI´ (sedlo nebo uzel). r , r

−1 ±

p

r −1 r −1 r , r

J

λ1,2 = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 + 4(1 − r ) 2

Pozna´mka 19. Proč pro spojitý případ je u vlastních hodnot kritickou mezí Re λ = 0 a pro diskrétní |λ| = 1? Uvažujme nejjednodušší lineární diferenciální rovnici s vlastní hodnotou λ x˙ = λx. Jejím řešením je x (t) = ceλt = c(eλ )t . Tato funkce bude konvergovat k počátku, pokud |eλ | < 1, resp. Re λ < 0. Pro opačné nerovnosti bude divergovat. Analogická lineární diferenční rovnice s vlastní hodnotou λ je x (n + 1) = λx (n). Jejím řešením je x (n) = cλn . Tato posloupnost bude konvergovat k počátku, pokud |λ| < 1 a pro opačnou nerovnost bude divergovat.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Co se stane s trajektoriemi v okolı´ singula´rnı´ho bodu, ktery´ nenı´ hyperbolicky´, je tezˇke´ rˇ´ıct. Rozhodneˇ na´m na odpoveˇd’ na tuto ota´zku nestacˇ´ı zna´t pouze prvnı´ derivace funkcı´ popisujıćıćh dynamiku. Ukazuje se, zˇe je situace jesˇteˇ daleko slozˇiteˇjsˇ´ı, nezˇ by se na prvnı´ pohled mohlo zda´t. Nelinea´rnı´ perturbace mohou v okolı´ singula´rnıćh bodu˚ ovlivnˇovat nejenom jejich stabilitu, ale mohou by´t pu˚vodci nelinea´rnıćh jevu˚, ktere´ jsme zatı´m nevideˇli.

Nelinea´rnı´ dynamika mu˚zˇe vysveˇtlovat vznik limitnıćh cyklu˚ (v ekonomii modelovat vznik endogennıćh hospoda´rˇskyćh cyklu˚, v biologii cykly populacı´ preda´tora a korˇisti), hysterezi a bistabilnı´ stavy (v enzymaticke´ kinetice modeluje biochemicke´ procesy deˇlenı´ bunˇky, v neuroscience modeluje excitabilitu neuronu˚, v populacˇnı´ biologii jevy nenada´lyćh prˇemnozˇenı´ apod.), da´le naprˇ. vznik chaoticke´ho chovańı´ a citlivosti na pocˇa´tecˇnı´ podmıńky (v modelech pocˇası´, populacˇnıćh modelech nebo modelech srdecˇnı´ho rytmu). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Vsˇechny tyto modely majı´ spolecˇne´ to, zˇe v ”beˇzˇne´”situaci jsou usta´leny pra´veˇ do stabilnı´ho stavu, stabilnı´ho singula´rnı´ho bodu a vychy´lenı´ z pocˇa´tecˇnıćh podmıńek nebo mala´ zmeˇna parametru˚ syste´mu toto nijak kvalitativneˇ neovlivnı´. V situaci, kdy tyto ”beˇzˇne´”hodnoty parametru˚ opustı´me, mu˚zˇe dojı´t (a ve vy´sˇe uvedenyćh modelech take´ docha´zı´) ke kvalitativnı´ zmeˇneˇ chovańı´ dynamicke´ho syste´mu. Tato zmeˇna se nazy´va´

BIFURKACE DYNAMICKE´HO SYSTE´MU.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Syste´my za´visle´ na parametrech, bifurkace Uvazˇujme syste´m diferencia´lnıćh rovnic s parametrem tvaru x˙ = f(x, ε ),

(7)

kde x ∈ X = R m je vektor promeˇnnyćh, ε ∈ R k je vektor parametru˚ a vektorova´ funkce f : R m × R k → R m je dostatecˇneˇ hladka´. Jestlizˇe f(x0 , ε 0 ) = 0, ma´ syste´m (7) singula´rnı´ bod x0 pro parametr ε = ε 0 a linearizovany´ syste´m v tomto bodeˇ je u˙ = Df(x0, ε 0 )u, kde Df(x0, ε 0 ) znacˇ´ı Jacobiho matici v bodeˇ x0 pro parametr ε = ε 0 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Je-li pro ε 0 singula´rnı´ bod x0 hyperbolicky´, je linea´rnı´ transformace Df(x0 , ε 0 ) : R m → R m invertibilnı´ a veˇta o implicitnı´ funkci zarucˇuje loka´lneˇ existenci a jednoznacˇnost krˇivky ε 7→ β (ε ), ktera´ splnˇuje β (ε 0 ) = x0 a f(β (ε ), ε ) ≡ 0, tedy β (ε ) odpovı´da´ singula´rnı´mu bodu pro parametr ε .

Navıć, pokud Df(x0, ε 0 ) ma´ m+ a m− vlastnıćh hodnot s kladnou resp. za´pornou rea´lnou cˇa´stı´, bude mı´t v okolı´ ε 0 Jacobiho matice Df(β (ε ), ε ) stejny´ pocˇet m+ a m− vlastnıćh hodnot s kladnou resp. za´pornou rea´lnou cˇa´stı´.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Uvazˇujme syste´m diferencˇnıćh rovnic s parametrem tvaru x ( n + 1 ) = f ( x ( n ), ε ) ,

(8)

kde x ∈ X = R m je vektor promeˇnnyćh, ε ∈ R k je vektor parametru˚ a vektorova´ funkce f : R m × R k → R m je dostatecˇneˇ hladka´. Jestlizˇe f(x0 , ε 0 ) = x0 , ma´ syste´m (8) pevny´ bod x0 pro parametr ε = ε 0 a linearizovany´ syste´m v tomto bodeˇ je u(n + 1) = Df(x0 , ε 0 )u(n), kde Df(x0, ε 0 ) znacˇ´ı Jacobiho matici v bodeˇ x0 pro parametr ε = ε 0 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Je-li pro ε 0 pevny´ bod x0 hyperbolicky´, je linea´rnı´ transformace Df(x0 , ε 0 ) − I : R m → R m invertibilnı´ a veˇta o implicitnı´ funkci zarucˇuje loka´lneˇ existenci a jednoznacˇnost krˇivky ε 7→ β (ε ), ktera´ splnˇuje β (ε 0 ) = x0 a f(β (ε ), ε ) ≡ β (ε ), tedy β (ε ) odpovı´da´ pevne´mu bodu pro parametr ε .

Navıć, pokud Df(x0, ε 0 ) ma´ m+ a m− vlastnıćh hodnot s velikostı´ veˇtsˇ´ı resp. mensˇ´ı nezˇ 1, bude mı´t v okolı´ ε 0 Jacobiho matice Df(β (ε ), ε ) stejny´ pocˇet m+ a m− vlastnıćh hodnot s velikostı´ veˇtsˇ´ı resp. mensˇ´ı nezˇ 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Hyperbolicky´ rovnova´zˇny´ bod bude mı´t tedy pro parametry ε dostatecˇneˇ blı´zke´ ε 0 stejne´ kvalitativnı´ vlastnosti (stabilitu, nestabilitu, dimenze stabilnı´ a nestabilnı´ variety). V okolı´ hyperbolicke´ho rovnova´zˇne´ho bodu za´visle´ho na parametru je tedy tento syste´m tzv. struktura´lneˇ stabilnı´, tj. perturbovany´ syste´m je s nı´m loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe ma´ Jacobiho matice Df(x0, ε 0 ) neˇjakou vlastnı´ hodnotu s nulovou rea´lnou cˇa´stı´ ve spojite´m prˇ´ıpadeˇ nebo s velikostı´ rovnou 1 v diskre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ (m0 6= 0), nenı´ zarucˇena existence ani jednoznacˇnost krˇivky β (ε ), tj. prˇi perturbaci mu˚zˇe dojı´t k zańiku rovnova´zˇne´ho bodu (v kazˇde´m okolı´ ε 0 ), nebo k vzniku nove´ veˇtve rovnova´zˇnyćh rˇesˇenı´ (odtud vznikl na´zev, rozveˇtvenı´ = bifurkace) a samozrˇejmeˇ prˇi prˇechodu ε 0 mu˚zˇe dojı´t ke zmeˇneˇ stability, dimenze stabilnı´ a nestabilnı´ variety, tedy obecneˇ k loka´lnı´ kvalitativnı´ zmeˇneˇ chovańı´ syste´mu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice: Loka´lnı´ bifurkacı´ syste´mu (7) resp. (8) v okolı´ rovnova´zˇne´ho bodu (x0 , ε 0 ) s kritickou hodnotou parametru ε = ε 0 rozumı´me vy´sˇe uvedenou kvalitativnı´ zmeˇnu dynamiky v okolı´ kriticke´ hodnoty ε 0 , tj. fa´zove´ portre´ty v okolı´ singula´rnı´ho bodu x0 prˇi prˇechodu prˇes bifurkacˇnı´ parametr ε 0 nejsou loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´. Pozna´mka 20. V okolí nehyperbolického singulárního bodu, kde dochází k bifurkaci, je systém strukturálně nestabilní.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Jednoparametricke´ bifurkace ve spojite´m prˇı´padeˇ V na´sledujıćıćh kapitolaćh se zblı´zka podı´va´me na situace, kdy se chovańı´ spojite´ho syste´mu loka´lneˇ kvalitativneˇ meˇnı´ pra´veˇ dı´ky nehyperboliciteˇ singula´rnı´ho bodu. Pu˚jde o bifurkace za´visle´ na zmeˇneˇ jednoho parametru, proto mluvı´me o jednoparametricke´ bifurkaci, neˇkdy o bifurkaci kodimenze jedna. V prostoru k parametru˚ je totizˇ takova´ bifurkacˇnı´ hranice oddeˇlujıćı´ od sebe struktura´lneˇ stabilnı´ oblasti (k − 1)- rozmeˇrnou varietou, ma´ tedy kodimenzi 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bifurkace sedlo-uzel, fold, limitnı´ bod Uvazˇujme diferencia´lnı´ rovnice s parametrem tvaru x˙ = ε − x2 ,

x ∈ R, ε ∈ R.

(9)

Singula´rnı´ body splnˇujı´ f ( x, ε) := ε − x2 = 0, tj. lezˇ´ı na krˇivce ε = x2 . Pro ε < 0 syste´m (9) nema´ zˇa´dny´ singula´rnı´ bod, pro ε = √ 0 je singula´rnı´ bod x0 = 0 a pro ε > 0 jsou singula´rnı´ body dva x = ± ε. Parametr ε = 0 je tedy bifurkacˇnı´ hodnotou a prˇi jeho prˇechodu v okolı´ pocˇa´tku docha´zı´ k loka´lnı´ bifurkaci typu fold (ohyb). Bod ( x0 , ε 0 ) = (0, 0) je tzv. limitnı´m bodem. Vsˇimneˇte si, zˇe vlastnı´ hodnota λ = D f (0, 0) = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bifurkacˇnı´ diagram bifurkace typu fold: 0 ε<0

ε=0

√ − ε

√

ε x

ε>0

x

LP ε

Krˇivka odpovı´dajıćı´ stabilnı´mu singula´rnı´mu bodu se zakresluje plnou cˇarou (plny´ bod), nestabilnı´mu bodu pak cˇa´rkovaneˇ (pra´zdny´ bod). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta: Prˇedpokla´dejme, zˇe jednodimenziona´lnı´ jednoparametricky´ syste´m (rovnice) x˙ = f ( x, α),

x ∈ R, α ∈ R,

(10)

kde f je hladka´ funkce, ma´ pro α = 0 singula´rnı´ bod x = 0 a λ = f x (0, 0) = 0. Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky f xx (0, 0) 6= 0 f α (0, 0) 6= 0

podmıńka nedegenerovanosti, podmıńka transverzality.

Pak je (10) v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v norma´lnı´ formeˇ fold bifurkace y˙ = ±ε ± y2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bifurkace tohoto typu (fold) se nazy´va´ take´ bifurkace sedlo-uzel. Syste´m (9) je tzv. norma´lnı´m tvarem pro bifurkaci sedlo-uzel. Znameńko f xx (0, 0) pak urcˇuje znameńko u x2 v norma´lnı´m tvaru, znameńko f α (0, 0) urcˇuje znameńko u ε. Kazˇda´ jednoparametricka´ diferencia´lnı´ rovnice tvaru (10) splnˇujıćı´ podmıńky veˇty je loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ s jejı´m norma´lnı´m tvarem. Ti, kterˇ´ı chteˇjı´ veˇdeˇt, jak najı´t onen nezna´my´ homeomorfismus z definice topologicke´ ekvivalence, klikneˇte ZDE. Podmıńka nedegenerovanosti zarucˇuje, zˇe nejde o jiny´ typ bifurkace, podmıńka transverzality zarucˇuje, zˇe prˇi prˇechodu parametru prˇes kritickou hodnotu skutecˇneˇ docha´zı´ ke kvalitativnı´ zmeˇneˇ (vzniku cˇi zańiku singula´rnıćh bodu˚). Ve vıćerozmeˇrne´m prˇ´ıpadeˇ k te´to bifurkaci docha´zı´ v prˇ´ıpadeˇ, zˇe Jacobiho matice J ma´ pra´veˇ jednu vlastnı´ hodnotu s nulovou rea´lnou cˇa´stı´, a to λ = 0, hleda´me tedy det J = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Jednoduchy´m vıćerozmeˇrny´m prˇ´ıpadem je dvourozmeˇrny´ syste´m x˙ y˙

= ε − x2 , = −y,

jehozˇ centra´lnı´ varieta je osa x, jejı´zˇ dynamika je vy´sˇe popsańa, a osa y je stabilnı´ jednorozmeˇrnou varietou. Prˇi prˇechodu prˇes bifurkacˇnı´ hodnotu parametru ε = 0 tedy docha´zı´ ke kvalitativnı´ zmeˇneˇ - typu sedlo-uzel. Odtud na´zev bifurkace.

y

y

x

ε<0

ε=0 Animace.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ε>0

Model vy´lovu Uvazˇujme konstantneˇ lovenou populaci (naprˇ. tunˇa´ku˚) modelovanou logistickou rovnicı´ x˙ = rx (1 − Kx ) − h = f ( x, h) s mı´rou ru˚stu r > 0, vy´lovem h > 0 a kapacitou prostrˇedı´ K > 0. Vy´lov h je parametrem, ktery´ ovlivnˇuje existenci rovnova´zˇne´ho stavu q 2 ∗ K x1,2 = 2 ± K4 − hK r .

Bifurkace typu fold nasta´va´ v prˇ´ıpadeˇ, zˇe pro singula´rnı´ bod v kriticke´ hodnoteˇ parametru platı´ f x ( x ∗ , h∗ ) = r −

2r ∗ Kx

tj. pokud platı´ x∗ = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

K 2,

= 0,

cozˇ je pra´veˇ splynutı´ singula´rnıćh bodu˚ x1 a x2 v jediny´. To nasta´va´ pro kritickou hodnotu parametru h: h∗ =

rK 4 .

ˇ ny podmıńky Protozˇe f xx = − 2r K 6 = 0 a f h = −1 6 = 0, jsou splne nedegenerovanosti a transverzality bifurkace typu fold. Pokud vy´lov prˇekrocˇ´ı tuto prahovou hodnotu h∗ , populace nutneˇ vymrˇe.

0

K 2

Prˇı´klad. Analyzujte model v programu Matcont.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Ukažte, že v parametrickém systému x˙ y˙

= x−y+1

= y2 − 2x − ε

dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru ε a nakreslete bifurkační diagram. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ bod splnˇuje y2 − 2(y − 1) − ε = 0, tj. y1,2 = 1 ± pro ε 0 = 1 je singula´rnı´ bod [0, 1] limitnı´, pro ε < 1 singula´rnı´ body nejsou √ √ pro ε > 1 jsou singula´rnı´ body dva [± ε − 1, 1 ± ε − 1].

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√

ε−1


= x−y+1

= y2 − 2x − ε

dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru ε a nakreslete bifurkační diagram. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ bod splnˇuje y2 − 2(y − 1) − ε = 0, tj. y1,2 = 1 ± pro ε 0 = 1 je singula´rnı´ bod [0, 1] limitnı´, pro ε < 1 singula´rnı´ body nejsou √ √ pro ε > 1 jsou singula´rnı´ body dva [± ε − 1, 1 ± ε − 1]. Dosazenı´m x = y − 1 do prave´ strany druhe´ rovnice.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√

ε−1


= x−y+1

= y2 − 2x − ε

dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru ε a nakreslete bifurkační diagram. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ bod splnˇuje y2 − 2(y − 1) − ε = 0, tj. y1,2 = 1 ± pro ε 0 = 1 je singula´rnı´ bod [0, 1] limitnı´, pro ε < 1 singula´rnı´ body nejsou √ √ pro ε > 1 jsou singula´rnı´ body dva [± ε − 1, 1 ± ε − 1]. y1,2 = ⊳⊳

⊳

⊲

2± ⊲⊲

p

4 − 4(2 − ε) 2

√

ε−1


= x−y+1

= y2 − 2x − ε

dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru ε a nakreslete bifurkační diagram. ˇ esˇenı´: R Singula´rnı´ bod splnˇuje y2 − 2(y − 1) − ε = 0, tj. y1,2 = 1 ± pro ε 0 = 1 je singula´rnı´ bod [0, 1] limitnı´, pro ε < 1 singula´rnı´ body nejsou √ √ pro ε > 1 jsou singula´rnı´ body dva [± ε − 1, 1 ± ε − 1].

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√

ε−1

Jacobiho matice ma´ tvar Df( x, y) =

v singula´rnı´m bodeˇ tedy √ √ 1 J = Df(± ε − 1, 1 ± ε − 1) = −2

1 −2

−1 , 2y

− √1 . 2 ( 1 ± ε − 1)

√ det J = ±2 √ε − 1 = λ1 λ2 tr J = 3 ± 2 ε − 1 = λ1 + λ2 > 0 pro ε > 1 v okolı´ 1. √ √ Bod [ ε − √ 1] je tedy nestabilnı´ uzel √ 1, 1 + ε − a bod [− ε − 1, 1 − ε − 1] sedlo. V kriticke´ hodnoteˇ parametru ε 0 = 1 docha´zı´ k bifurkaci typu sedlo-uzel.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x˙

=

x−y+1

y˙

= y2 − 2x − ε



1 −2

−1 , 2y

− √1 . 2 ( 1 ± ε − 1)


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



1 −2

−1 , 2y

− √1 . 2 ( 1 ± ε − 1)


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



1 −2

−1 , 2y

− √1 . 2 ( 1 ± ε − 1)


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



1 −2

−1 , 2y

− √1 . 2 ( 1 ± ε − 1)


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



1 −2

−1 , 2y

− √1 . 2 ( 1 ± ε − 1)


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x

nestabiln´ı uzel

LP 0 1

ε sedlo

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pro hledańı´ vhodnyćh ”adeptu˚”pro jednoparametrickou bifurkaci sedlo-uzel vıćerozmeˇrne´ho vıćeparametricke´ho syste´mu tvaru (7) x˙ = f(x, ε ) mu˚zˇeme pouzˇ´ıt jednoduchy´ algoritmus. Hleda´me rˇesˇenı´ soustavy rovnic: f(x, ε ) det Df(x, ε )

= 0, = 0

vzhledem k x a jednomu vybrane´mu parametru. Kromeˇ jedne´ tedy fixujeme vsˇechny slozˇky ε . Zda skutecˇneˇ docha´zı´ k bifurkaci sedlo-uzel mu˚zˇeme oveˇrˇit azˇ spocˇtenı´m vlastnıćh hodnot Jacobiho matice Df(x, ε ) v okolı´ kriticke´ hodnoty ε 0 , prˇitom Jacobiho matice je vypocˇtena v singula´rnı´m bodeˇ x = β (ε ), ktery´ za´visı´ na parametru. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Druha´ mozˇnost je vhodneˇ transfomovat syste´m (7) tak, aby se ”vyloupla”jedna diferencia´lnı´ rovnice, ktera´ bifurkaci zpu˚sobuje a zde pouzˇ´ıt veˇtu o jednodimenziona´lnı´ jednoparametricke´ bifurkaci ˇ ´ıka´ se tomu redukce syste´mu na centra´lnı´ varietu. sedlo-uzel. R

Kdyzˇ se nad tı´mto trochu zamyslı´me, zjistı´me, zˇe ani jedno nebude pro slozˇiteˇjsˇ´ı syste´my ”rucˇneˇ”spocˇitatelne´. Proto pro vıćerozmeˇrne´ syste´my nastupujı´ kontinuacˇnı´ programy jako je XPPAUT s AUTO nebo Matcont, v jejichzˇ pozadı´ ovsˇem jedna z teˇchto metod beˇzˇ´ı alesponˇ numericky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Hystereze a na´hle´ skoky Syste´m s hysterezı´ ma´ pameˇt’. V deterministicke´m syste´mu bez hystereze je mozˇne´ prˇedpoveˇdeˇt vy´stup pouze v za´vislosti na cˇase, v syste´mu s hysterezı´ to nelze, kromeˇ cˇasu musı´me zna´t i ”cestu”vstupu, tedy trajektorii, kterou vstup prosˇel, nezˇ dosa´hl urcˇite´ hodnoty. Hystereze vykazuje typicky zpozˇdeˇnı´ prˇi na´vratu do pu˚vodnı´ho stavu. Zna´ma´ je hystereze u feromagnetickyćh materia´lu˚, ktere´ po vystavenı´ magneticke´mu poli vykazujı´ neˇjakou dobu magneticke´ vlastnosti, pote´ dojde k zańiku vnitrˇnı´ho magneticke´ho pole. Tento jev se ale objevuje i v jinyćh oborech - biologii, medicıńeˇ, ekonomii apod.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2. stabiln´ı stav ferromagnetu - zmagnetizovan´ y

LP

LP

1. stabiln´ı stav ferromagnetu - nezmagnetizovan´ y parametr - s´ıla vnˇejˇs´ıho magnetického pole

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Model populace obalecˇe Choristoneura Occidentalis Spruce Budworm Model V roce 1978 byl vytvorˇen model populace obalecˇe, ktery´ je v Kanadeˇ sˇku˚dcem jehlicˇnatyćh lesu˚. Model umozˇnil pochopit dynamiku populace obalecˇe a mechanismus vzniku skokovyćh zmeˇn, kdy docha´zı´ k jeho prˇemnozˇenı´. Na za´kladeˇ modelu je mozˇne´ populaci obalecˇe rˇ´ıdit. Populace obalecˇe bude modelovańa logisticky´m modelem ru˚stu N N˙ = rN 1 − , K kde N je populace, r > 0 mı´ra ru˚stu populace a K > 0 kapacita prostrˇedı´ (v prˇ´ıpadeˇ obalecˇe je dańa hustotou jehlicˇ´ı). Singula´rnı´ bod N = K je asymptoticky stabilnı´, pocˇa´tek nestabilnı´, rˇesˇenı´ lze dokonce nale´zt v explicitnı´m tvaru.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

V modelu populace obalecˇe je na prave´ straneˇ navıć funkce predace BN 2 pta´ky p( N ) = 2 (analyzujte pru˚beˇh funkce), ktera´ ma´ A + N2 sigmoidnı´ charakter ( A, B > 0), tj. BN 2 N ˙ N = rB N 1 − − 2 , (11) K A + N2 prˇicˇemzˇ r B > 0 znacˇ´ı nikoliv mı´ru ru˚stu populace (birth - death rate), ale mı´ru prˇ´ıru˚stku noveˇ vylı´hle´ populace, birth rate. V te´to rovnici lze zmensˇit pocˇet parametru˚ (zmeˇnou meˇrˇ´ıtka populace N Bt Ar B K a cˇasu) substitucı´ x = , τ = ,r= ,q= a dostaneme tak A A B A x x2 x˙ = rx 1 − − . (12) q 1 + x2 Je zrˇejme´, zˇe x = 0 je nestabilnı´ singula´rnı´ bod (procˇ?). Dalsˇ´ı singula´rnı´ body splnˇujı´ rovnici x x = . r 1− q 1 + x2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Graficky mu˚zˇeme singula´rnı´ body najı´t jako pru˚secˇ´ıky prˇ´ımky s nelinea´rnı´ krˇivkou:

r

x1

x2

x3

x2

x3

q

f (x)

x1

Je zrˇejme´, zˇe v prˇ´ıpadeˇ vyznacˇene´m na obra´zku jsou nenulove´ singula´rnı´ body trˇi, vneˇjsˇ´ı dva stabilnı´, vnitrˇnı´ nestabilnı´. Prˇi male´ zmeˇneˇ parametru˚ mu˚zˇe dojı´t k zańiku jednoho z teˇchto stabilnıćh ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

bodu˚. Prˇi zańiku bodu x1 tedy docha´zı´ i prˇi relativneˇ nı´zke´ velikosti populace k prudke´mu prˇemnozˇenı´, ktere´ navıć vykazuje hysterezi. Varietu odpovı´dajıćı´ singula´rnı´m bodu˚m mu˚zˇeme zobrazit za´visle na obou parametrech - r a q.

0 2 4

q 6 8

10

10 0

8 6

0,5

x 4

1

2 0

1,5

r

2

Tento typicky´ ohyb (fold - prˇelozˇenı´) vznika´ v blı´zkosti tzv. katastrofy bodu vratu - cusp catastrophe. Jde o bifurkaci dvouparametrickou. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Sche´ma bifurkacˇnı´ho diagramu se v takove´m prˇ´ıpadeˇ zakresluje do prostoru parametru˚, ktery´ je bifurkacˇnı´mi hranicemi (odpovı´dajı´ limitnı´m bodu˚m bifurkace sedlo-uzel) rozdeˇlen na struktura´lneˇ stabilnı´ oblasti, tj. oblasti s topologicky ekvivalentnı´mi fa´zovy´mi portre´ty.

r cusp 1 2

1 singulárn´ı bod

3 singulárn´ı body

0

q

Prˇı´klad. Analyzujte model v programu XPPAUT a vykreslete bifurkacˇnı´ diagram pomocı´ programu AUTO nebo v programu Matcont. Zkuste interaktivnı´ aplet ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Model vznıćenı´ Prostudujte model vznıćenı´. Hezky cˇesky.

Model koroze homogennı´ho kovu Vytvorˇte ode soubor podle veˇdecke´ho cˇlańku.

Prˇı´klad. Najdeˇte model (v knize, cˇlańku), ktery´ je popsań diferencia´lnı´m syste´mem, v neˇmzˇ docha´zı´ k bifurkaci sedlo-uzel.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Teorie katastrof Katastrofa bodu vratu - cusp catastrophe - je jednou z tzv. elementa´rnıćh katastrof, ktere´ vznikajı´ v dynamickyćh syste´mech. Velmi typicke´ jsou takove´ syste´my, ktere´ majı´ pomalou zmeˇnu rˇ´ıdıćıćh parametru˚ a rychlou zmeˇnu stavovyćh promeˇnnyćh, k prˇechodu do rovnova´hy tedy docha´zı´ te´meˇrˇ okamzˇiteˇ. Pokud v takove´m prˇ´ıpadeˇ varieta rovnova´zˇnyćh stavu˚ vykazuje ohyb naprˇ. typu cusp, zmeˇna parametru˚ ma´ za na´sledek v prˇedchozı´ cˇa´sti popsany´ jev hysterese a na´hle´ho skoku. Na druhou stranu, pokud v dynamicke´m syste´mu pozorujeme jev hysterese, na´hle´ skoky a bistabilitu (dva ru˚zne´ stabilnı´ stavy), mu˚zˇeme se domnı´vat, zˇe bude mozˇne´ toto chovańı´ vysveˇtlit modelem, ve ktere´m docha´zı´ ke katastrofeˇ.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Za´kladnı´mi elementa´rnı´mi katastrofami jsou fold, cusp, swallowtail a butterfly katastrofy, ktere´ jsou jevy na jednorozmeˇrne´m stavove´m prostoru s jednı´m azˇ cˇtyrˇmi bifurkacˇnı´mi parametry. Bifurkaci typu fold a cusp jsme jizˇ vysveˇtlili, k dvourozmeˇrne´ bifurkaci typu cusp se jesˇteˇ vra´tı´me. Doneda´vna se zda´lo, zˇe bychom mohli takto katalogizovat katastroficke´ chovańı´ dynamickyćh syste´mu˚ pro ru˚zne´ dimenze stavovyćh prostoru˚ a kontrolnıćh parametru˚. V roce 1985 ale Arnold, Gusein-Zade a Varchenko uka´zali, zˇe od dimenze 11 je pocˇet takovyćhto katastrof nekonecˇny´. To ale nic nemeˇnı´ na tom, zˇe za´kladnı´ elementa´rnı´ katastrofy mohou popisovat a vysveˇtlovat chovańı´ mnohyćh dynamickyćh syste´mu˚, protozˇe ve struktura´lneˇ nestabilnı´ oblasti parametru˚ by´va´ cˇasto jen jeden (fold bifurkace) nebo dva parametry (cusp bifurkace), prˇitom ostatnı´ parametry dynamicke´ho syste´mu sice ovlivnˇujı´ syste´m jako celek, ale nikoliv dramaticky´m zpu˚sobem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇ´ıklady takovyćhto dynamickyćh jevu˚ najdeme v mnohyćh oblastech. Ve fyzice to mu˚zˇe by´t prˇechod la´tky z plynne´ho do kapalne´ho stavu a naopak (stavova´ promeˇnna´ je hustota) v za´vislosti na teploteˇ a tlaku (kontrolnı´ bifurkacˇnı´ parametry). Skokova´ zmeˇna je zde var a kondezace. Prˇi vysoke´m tlaku jizˇ plyn od kapaliny nerozlisˇujeme prˇesˇli jsme kriticky´ bod vratu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Dalsˇ´ı oblastı´, kde hysterese vysveˇtluje prˇ´ıcˇinu na´hlyćh skoku˚ je biologie (viz model prˇemnozˇenı´ obalecˇe). Ukazuje se ale, zˇe take´ na biochemicke´ u´rovni tento matematicky´ model vysveˇtluje tzv. biochemicke´ prˇepıńacˇe. Neuron vysˇle signa´l, bunˇka se zacˇne deˇlit, rytmus srdce se zmeˇnı´. Jak dojde k te´to skokove´ zmeˇneˇ? Vstupnı´ napeˇtı´ u v axonu se nemeˇnı´ skokoveˇ, ale postupneˇ, prˇesto najednou prˇekrocˇ´ı kritickou hranici a axonem projde signa´l. Deˇlenı´ bunˇky ovlivnˇuje koncentrace cyklinu. Procˇ dojde k jednora´zove´mu deˇlenı´ prˇi prˇekrocˇenı´ urcˇite´ koncentrace a da´le se jizˇ bunˇka nedeˇlı´? A kde mechanismus havaruje a dojde k nekontorlovane´mu deˇlenı´ a vzniku rakoviny? Kde je hranice, ktera´ beˇzˇny´ tep srdce zmeˇnı´ na arytmii? Modernı´ biochemie hleda´ odpoveˇd’ pra´veˇ v matematicke´m modelu s hysteresı´. Za poslednıćh 20 let tato disciplıńa prodeˇlala obrovsky´ rozvoj pra´veˇ dı´ky matematicky´m modelu˚m. Strańky matematicke´ho biologa Prof. Johna J. Tysona. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Ekonomie je oblastı´, kam vstupuje matematicke´ nelinea´rnı´ modelovańı´, teorie bifurkacı´ a teorie katastrof paradoxneˇ pomalu, i kdyzˇ prvnı´ pokusy zasahujı´ jizˇ do 70. let minule´ho stoletı´. Je na va´s to zmeˇnit. Na´hle´ skoky a hysterese jsou prˇece typicky´mi jevy na financˇnıćh trzıćh, v dynamice mı´ry nezameˇstnanosti nebo mezd. Inspiraci mu˚zˇete cˇerpat na strańkaćh ekonomu˚, kterˇ´ı nelinea´rnı´ modely propagujı´: Strańky Prof. J. Barkley Rossera. Strańky Prof. Petera Flaschela. Strańky Prof. Oliviera Bruna.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Psychologie, sociologie ...

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Dalsˇı´ jednoparametricke´ bifurkace pocˇtu singula´rnıćh bodu˚ Norma´lnı´ forma transkriticke´ bifurkace x˙ = εx − x2

(13)

Norma´lnı´ forma vidlicˇkove´ (pitchfork) bifurkace x˙ = εx − x3

(14)

Prˇı´klad. Nakreslete jejich bifurkacˇnı´ diagramy. Nejdrˇ´ıve analyzujte rucˇneˇ, pote´ vyuzˇijte Matcont nebo XPPAUT a AUTO.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


x ∈ R, α ∈ R,

(15)

kde f je hladka´ funkce tvaru f ( x, α) = xg ( x, α), ma´ pro α = 0 nehyperbolicky´ singula´rnı´ bod x = 0 (λ = f x (0, 0) = 0). Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky gx (0, 0) 6= 0 gα (0, 0) 6= 0


Pak je (15) v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v norma´lnı´ formeˇ transkriticke´ bifurkace y˙ = ±εy ± y2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


x ∈ R, α ∈ R,

(16)

kde f je v okolı´ pocˇa´tku licha´ funkce, ma´ pro α = 0 nehyperbolicky´ singula´rnı´ bod x = 0 (λ = f x (0, 0) = 0). Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky f xxx (0, 0) 6= 0 f xα (0, 0) 6= 0


Pak je (16) v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v norma´lnı´ formeˇ vidlicˇkove´ bifurkace y˙ = ±εy ± y3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pozna´mka 21. Jak v případě fold, tak v případě transkritické bifurkace znaménko u y2 odpovídá znaménku levé strany podmínky nedegenerovanosti. Podobně u vidličkové bifurkace je znaménko u y3 znaménkem levé strany podmínky nedegenerovanosti. Znaménko u ε odpovídá znaménku levé strany podmínky transversality.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Hopfova bifurkace take´ Andronovova bifurkace nebo bifurkace vzniku limitnı´ho cyklu.

Uvazˇujme syste´m diferencia´lnıćh rovnic s parametrem tvaru x˙ = y˙ =

µx − y − x ( x2 + y2 ), x + µy − y( x2 + y2 ),

(17)

kde x, y ∈ R a µ ∈ R je parametr. Singula´rnı´m bodem mu je syste´ µ −1 pocˇa´tek a Jacobiho matice syste´mu v neˇm ma´ tvar . Vlastnı´ 1 µ hodnoty jsou tedy λ1,2 = µ ± i. Pro µ < 0 je tedy pocˇa´tek stabilnı´m ohniskem, pro µ > 0 je nestabilnı´m ohniskem. Kriticka´ hodnota parametru µ = 0 je bifurkacˇnı´ hodnotou Hopfovy bifurkace, prˇi jejı´m prˇechodu se meˇnı´ kvalitativnı´ vlastnost - stabilita - singula´rnı´ho bodu. Syste´m (17) je norma´lnı´m tvarem Hopfovy bifurkace. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Zaved’me komplexnı´ promeˇnnou z = x + iy. Pak z˙ = x˙ + i y˙ = µ( x + iy ) + i ( x + iy ) − ( x + iy )( x 2 + y2 ), tj. z˙ = (µ + i )z − z|z|2 .

Euleru˚v tvar komplexnı´ho cˇ´ısla z = ρeiϕ pak da´va´ pola´rnı´ tvar syste´mu (17): ρ˙ ϕ˙

= ρ ( µ − ρ2 ), = 1.

(18) (19)

Rovnice (18) je norma´lnı´m tvarem vidlicˇkove´ bifurkace. Pro µ ≤ 0 je tedy pocˇa´tek jediny´m stabilnı´m singula´rnı´m bodem rovnice (18). Pro √ µ > 0 vznika´ dalsˇ´ı singula´rnı´ bod ρ = µ (za´pornou hodnotu mu˚zˇeme vynechat, nema´ v te´to reprezentaci smysl, jde o vzda´lenost). √ Pocˇa´tek je v tomto prˇ´ıpadeˇ µ > 0 nestabilnı´, singula´rnı´ bod ρ = µ je stabilnı´. Tento odpovı´da´ stabilnı´mu limitnı´mu cyklu v okolı´ pocˇa´tku. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

0

0 ρ

µ<0

ρ µ=0

y

x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√

0

ρ µ>0

y

x

µ

y

x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta: Prˇedpokla´dejme, zˇe dvoudimenziona´lnı´ jednoparametricky´ syste´m x˙ = f(x, α), (20) kde x ∈ R2 , α ∈ R, f = ( f 1 , f 2 ) T hladka´ funkce, ma´ pro α z okolı´ 0 singula´rnı´ bod x = 0 a J = Df(0, 0) ma´ vlastnı´ hodnoty λ1,2 = µ(α) ± iω (α), kde µ(0) = 0 a ω (0) = ω0 > 0. Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky l1 ( 0 ) 6 = 0

podmıńka nedegenerovanosti,

µα (0) 6 = 0

podmıńka transverzality.

Pak je (20) v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v norma´lnı´ formeˇ Hopfovy bifurkace u˙ v˙

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

= ±εu − v ± u(u2 + v2 ), = u + ±εv ± v(u2 + v2 ).

Pozna´mka 22. Číslo l1 (0) se nazývá první ljapunovův koeficient nebo první ljapunovovo číslo. Jeho znaménko určuje znaménko u nelineárních členů v normálním tvaru. V případě, že l1 (0) < 0, je systém ekvivalentní námi dříve studovanému se stabilním limitním cyklem, mluvíme o superkritické Hopfově bifurkaci. V případě l1 (0) > 0 jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci s nestabilním limitním cyklem. Pokud je první ljapunovův koeficient nulový, jde o Bautinovu bifurkaci, kterou je třeba popsat dvěma parametry a při které dochází např. k vzniku a zániku dvou blízkých limitních cyklů. Výpočet ljapunovova koeficientu je založen na transformaci původního systému do lokálně topologicky ekvivalentního systému v normální formě. My si uvedeme pouze ”kuchařku”na jeho výpočet. Znaménko u ε určuje zase podmínka transversality. Ve vıćerozmeˇrne´m prˇ´ıpadeˇ k te´to bifurkaci docha´zı´ v prˇ´ıpadeˇ, zˇe Jacobiho matice J ma´ pra´veˇ dveˇ ryze imagina´rnı´ komplexneˇ sdruzˇene´ vlastnı´ hodnoty. Ve dvourozmeˇrne´m prˇ´ıpadeˇ tedy hleda´me tr J = 0 za prˇedpokladu det J > 0. Perioda cyklu vznikajıćı´ho v okolı´ pocˇa´tku je ˇ e rˇesˇenı´ (20) je blı´zke´ funkci eiωt = cos ωt + i sin ωt. T = 2π ω , protoz ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Matice J = Df(0, 0) ma´ podle prˇedpokladu˚ dveˇ ryze imagina´rnı´ vlastnı´ hodnoty λ1,2 = ±iω0 . Jim prˇ´ıslusˇne´ (komplexnı´) vlastnı´ vektory v, v jsou take´ komplexneˇ sdruzˇene´. Oznacˇme T matici slozˇenou z rea´lne´ a imagina´rnı´ cˇa´sti vlastnı´ho vektoru prˇ´ıslusˇne´ho vlastnı´ hodnoteˇ −iω0 , tj. T = (Re v, Im v). Pak platı´ T a transformace

−1

JT =

0 ω0

− ω0 0

x = Tu pak prˇeva´dı´ syste´m x˙ = f(x, 0) = Jx + F(x), na syste´m u˙ = T−1 JTu + T−1 F(Tu ). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

(21)

P ( u1 , u2 ) = T−1 F(Tu) je podstatna´ pro Q ( u1 , u2 ) vy´pocˇet prvnı´ho ljapunovova koeficientu l1 (0) a urcˇuje stabilitu nebo nestabilitu limitnı´ho cyklu vznikajıćı´ho v okolı´ kriticke´ hodnoty Hopfovy bifurkace.

Pra´veˇ nelinea´rnı´ cˇa´st

Oznacˇme P111 3. derivaci nelinea´rnı´ cˇa´sti prvnı´ho rˇa´dku podle prvnı´ slozˇky u1 vektoru u = (u1 , u2 ) T v nule, tj. P111 =

∂3 P ( u1 ,u2 ) |u1 =0,u2 =0 . ∂u31

Podobneˇ naprˇ. Q12 bude znacˇit 2. derivaci nelinea´rnı´ cˇa´sti druhe´ho rˇa´dku podle prvnı´ a druhe´ slozˇky vektoru u v nule, tj. Q12 = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

∂2 Q ( u1 ,u2 ) ∂u1 ∂u2 | u1 =0,u2 =0 .

Prvnı´ ljapunovu˚v koeficient pak vypocˇteme podle vzorce l1 ( 0 )

=

1 8ω ( P111 + P122 + Q112 + Q222 ) + 8ω1 2 [ P12 ( P11 + P22 ) − Q12 ( Q11 0

+ Q22 ) − P11 Q11 + P22 Q22 ].

Je super, zˇe ma´me kontinuacˇnı´ numericke´ programy jako XPPAUT a nemusı´me to vzˇdy deˇlat...

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Chemicky´ model Brusela´tor Uvazˇujme chemicke´ reakce A B+X 2X + Y X

k

→1 X k

→2 Y + C k

→3 3X k

→4

D

za prˇedpokladu, zˇe C a D da´le do reakcı´ nevstupujı´ a koncentrace [ A] a [ B] se udrzˇujı´ konstantnı´, kineticke´ rovnice reakce popisuje syste´m d[ X ] dt d[ Y ] dt

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

= k1 [ A] − k2 [ B][ X ] + k3 [ X ]2 [Y ] − k4 [ X ], = k2 [ B][ X ] − k3 [ X ]2 [Y ].

q q q Oznacˇme x = [ X ] kk3 , y = [Y ] kk3 , a = [ A] kk1 kk3 , b = [ B] kk2 , τ = k4 t, 4 4 4 4 4 pak lze syste´m zjednodusˇit na tvar x˙ = y˙ =

a − (b + 1) x + x2 y,

bx − x2 y.

Prˇı´klad. Ukazˇte, zˇe pro b = 1 + a2 docha´zı´ v syste´mu (22) k superkriticke´ Hopfoveˇ bifurkaci.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

(22)

Selkovu˚v model glykoly´zy Prˇı´klad. Prostudujte dynamiku modelu glykoly´zy, ktery´ ma´ (po zmensˇenı´ pocˇtu parametru˚) tvar x˙ = y˙ =

− x + ay + x2 y, b − ay − x2 y.

Analyzujte pomocı´ XPPAUTu nebo Matcontu. Pu˚vodnı´ Selkovu˚v cˇlańek. Animace.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

(23)

Model neuronu FitzHugh-Nagumu˚v Model V roce 1948 provedl Alan Lloyd Hodgkin pokusy, prˇi kteryćh zava´deˇl stejnosmeˇrny´ proud ru˚znyćh velikostı´ do axonu˚ nervovyćh buneˇk a sledoval, zˇe neˇktere´ hodnoty proudu vyvolaly se´rie impulzu˚ o ru˚znyćh frekvencıćh, jine´ vyvola´valy jen jeden impulz nebo byly bez odezvy. V roce 1952 pak A. L. Hodgkin a Andrew Fielding Huxley publikovali se´rii cˇlańku˚, ve kteryćh popsali toky elektrickyćh proudu˚ povrchovou membrańou nervove´ho vla´kna matematicky´m modelem, ktery´ je dnes zna´my´ jako Hodgkin-Huxleyho model. Sesta´va´ ze soustavy 4 nelinea´rnıćh diferencia´lnıćh rovnic, ktere´ velmi dobrˇe popisujı´ chovańı´ neuronu. V roce 1961 Richard FitzHugh publikoval zjednodusˇeny´ model, ktery´ vykazuje obdobne´ chovańı´, protozˇe je zjednodusˇenı´m projekce 4-rozmeˇrne´ho Hodgkin-Huxleyho modelu na jeho tzv. centra´lnı´ varietu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

V˙ = w˙ =

V ( a − V )(V − 1) − w + I, bV − cw.

(24)

V zastupuje membrańove´ napeˇtı´, I je velikost vstupujıćı´ho proudu. Ostatnı´ parametry i stavova´ promeˇnna´ w vycha´zejı´ z popisu kinetiky chemickyćh reakcı´ na membrańeˇ axonu (prˇenos signa´lu je zprostrˇedkovań zmeˇnami koncetracı´ iontu˚ K + , Na+ , Cl − a anionty bı´lkovin). Druha´ rovnice je obnovovacı´, ma´ pomalejsˇ´ı odezvu a umozˇnˇuje vznik impulzu, ktery´ na´sledneˇ ukoncˇ´ı. Na paramer a neklademe zatı´m znameńkove´ podmıńky, b, c > 0. Prˇı´klad. Najdeˇte podmıńky pro vznik Hopfovy bifurkace a ukazˇte, zˇe pokud vznika´, jde o superkritickou bifurkaci. Prˇı´klad. Vytvorˇte bifurkacˇnı´ diagram pro vhodne´ parametry.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Model sˇı´rˇenı´ reklamy Prˇı´klad. Na za´kladeˇ veˇdecke´ho cˇlańku vytvorˇte ode soubor a pomocı´ XPPAUTu oveˇrˇte tvrzenı´ z kapitoly 2.1 o vzniku superkriticke´ Hopfovy bifurkace. Prˇı´klad. Spocˇteˇte kritickou hodnotu parametru α Hopfovy bifurkace a prvnı´ ljapunovu˚v koeficient.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Model deˇlenı´ bunˇky Otevrˇte webovou strańku modelu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Vıćeparametricke´ bifurkace Co se stane, pokud budeme meˇnit vıće nezˇ jeden parametr dynamicke´ho syste´mu? V okolı´ hyperbolicke´ rovnova´hy nic moc, rovnova´ha v neˇjake´m okolı´ zu˚stane sta´le hyperbolicka´. Pokud ale budeme sledovat krˇivku kriticke´ho parametru neˇjake´ jednoparametricke´ bifurkace, mu˚zˇe druhy´ parametr zpu˚sobit • jesˇteˇ dalsˇ´ı vlastnı´ hodnoty dosa´hnou kriticke´ hodnoty (nulova´ rea´lna´ cˇa´st v prˇ´ıpadeˇ spojite´ho, jednotkova´ velikost v prˇ´ıpadeˇ diskre´tnı´ho syste´mu) • nebo narusˇenı´ neˇktere´ z podmıńek zarucˇujıćıćh bifurkaci dane´ho typu - at’ uzˇ narusˇenı´m podmıńky typu vlastnı´ hodnoty nebo narusˇenı´m podmıńky nedegenerovanosti.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Spojity´m prˇ´ıkladem mu˚zˇe by´t • jizˇ zmıńeˇna´ bifurkace typu cusp (bod vratu), kdy je narusˇena podmıńka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), • Bogdanov-Takensova bifurkace, kdy ryze komplexnı´ vlastnı´ hodnoty splynou v nule • nebo fold-Hopf bifurkace, kdy vznika´ kromeˇ ryze komplexnı´ho pa´ru vlastnıćh hodnot jesˇteˇ nulova´ vlastnı´ hodnota.

Uvedeme si pouze neˇktere´ norma´lnı´ tvary a nakreslı´me bifurkacˇnı´ diagramy v okolı´ kritickyćh hodnot parametru˚.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta: Prˇedpokla´dejme, zˇe jednodimenziona´lnı´ dvouparametricky´ syste´m (rovnice) x˙ = f ( x, α),

x ∈ R, α = (α1 , α2 ) T ∈ R2 ,

kde f je hladka´ funkce, ma´ pro α = 0 singula´rnı´ bod x = 0 a platı´ λ = f x (0, 0) = 0, f xx (0, 0) = 0. Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky f xxx (0, 0) 6= 0 ( f α1 f xα2 − f α2 f xα1 )(0, 0) 6= 0


Pak je uvedeny´ nelinea´rnı´ syste´m v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v norma´lnı´ formeˇ bifurkace bodu vratu - cusp y˙ = ε 1 + ε 2 y ± y3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Na prˇ´ıkladu te´to bifurkace bodu vratu si uka´zˇeme, jak vypada´ bifurkacˇnı´ diagram pro dva parametry. Singula´rnı´ body lezˇ´ı na varieteˇ M : ε 1 + ε 2 y ± y3 = 0, prˇitom nulova´ prvnı´ derivace, tedy podmıńka pro bifurkaci typu fold (sedlo-uzel) je splneˇna na krˇivce splnˇujıćı´ navıć ε 2 ± 3y2 = 0. Pokud z teˇchto dvou rovnic vyloucˇ´ıme y, dostaneme krˇivku typicke´ho tvaru V 27ε21 + 4ε32 = 0 resp. 27ε21 − 4ε32 = 0 s bodem vratu v pocˇa´tku.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y M

ε1

T2 T1

ε2

Jednotlive´ veˇtve T1 , T2 odpovı´dajı´ zańiku˚m dvojice singula´rnıćh bodu˚ v ohybech variety M, tedy jsou to bifurkacˇnı´ hranice bifurkace sedlo-uzel. Bifurkace bodu vratu (cusp) implikuje vznik hystereze.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

0 T2

2

ε2

1 T2

T1

27ε21 = 4ε32 T1

2

0

ε1

1

Oblasti oznacˇene´ 1 a 2 jsou struktura´lneˇ stabilnı´ oblasti, ve kteryćh ma´ syste´m 3 resp. 1 singula´rnı´ bod. T1 a T2 odpovı´dajı´ jednoparametricke´ bifurkaci typu fold, jsou to hranice kodimenze 1 v 2-rozmeˇrne´m prostoru parametru˚. Jejich pru˚nikem je bod vratu, ktery´ ma´ dimenzi 0, tedy kodimenzi 2 v 2-rozmeˇrne´m prostoru parametru˚. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Obecneˇ v k-rozmeˇrne´m prostoru parametru˚ bude mı´t jednoparametricka´ bifurkace kodimenzi 1, bude tedy (k − 1)-rozmeˇrnou varietou. Pru˚niky variet prˇ´ıslusˇnyćh jednoparametricke´ bifurkaci budou variety prˇ´ıslusˇne´ vıćeparametricky´m bifurkacı´m vysˇsˇ´ı kodimenze.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta: Prˇedpokla´dejme, zˇe dvoudimenziona´lnı´ dvouparametricky´ syste´m x˙ = f(x, α), x ∈ R2 , α ∈ R2 ,

kde f = ( f 1 , f 2 ) T je hladka´ funkce, ma´ pro α = 0 singula´rnı´ bod x = 0 a J = Df(0, 0) ma´ vlastnı´ hodnoty λ1,2 = µ(α) ± iω (α), kde µ(0) = 0, ω (0) = ω0 > 0 a l1 (0) = 0. Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky

α → (µ(α), l1 (α))

T

l2 (0) 6= 0, je v α = 0 regula´rnı´.

Pak je uvedeny´ nelinea´rnı´ syste´m v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v komplexnı´ norma´lnı´ formeˇ Bautinovy bifurkace z˙

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

= (ε 1 + i )z + ε 2 z|z|2 + sgn l2 (0)z|z|4 .

Cˇ´ıslo l2 (0) je tzv. druhy´ ljapunovu˚v koeficient a jeho vy´pocˇet je zalozˇen na podobne´m principu, jako vy´pocˇet prvnı´ho. Nebudeme jej uva´deˇt, lze jej najı´t v literaturˇe naprˇ. Kuzneˇcov str. 310. Bautinova bifurkace zpu˚sobuje, zˇe vlivem druhe´ho parametru docha´zı´ k narusˇenı´ podmıńky nedegenerovanosti u Hopfovy bifurkace. Zavedenı´m pola´rnıćh sourˇadnic z = ρeiϕ dosta´va´me norma´lnı´ formu ve tvaru (prˇ´ıpad sgn l2 (0) = −1) ρ˙ ϕ˙

= ρ ( ε 1 + ε 2 ρ2 − ρ4 ), = 1,

Prˇitom rovnova´zˇna´ rˇesˇenı´ prvnı´ rovnice odpovı´dajı´ limitnı´m cyklu˚m. Je zrˇejme´, zˇe ρ = 0 odpovı´dajıćı´ pocˇa´tku je vzˇdy singula´rnı´m bodem. Kvadraticka´ rovnice ale mu˚zˇe mı´t 0 azˇ 2 rˇesˇenı´ - mohou tedy vznikat a zanikat limitnı´ cykly.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bifurkacˇnı´ diagram ukazuje hranicˇnı´ krˇivku Hopfovy bifurkace H = {(ε 1 , ε 2 ) : ε 1 = 0 } a krˇivku zańiku dvou limitnıćh cyklu˚ T = {(ε 1 , ε 2 ) : ε22 + 4ε 1 = 0, ε 2 > 0} rozdeˇlujıćı´ parametrickou rovinu na struktura´lneˇ stabilnı´ oblasti spolu s prˇ´ıslusˇny´mi fa´zovy´mi portre´ty. 0 2 3

ε2 3

H+

T 2

T

1 1

0 H−

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ε1

Veˇta: Prˇedpokla´dejme, zˇe dvoudimenziona´lnı´ dvouparametricky´ syste´m x˙ = f(x, α), x ∈ R2 , α ∈ R2 , (25)

kde f = ( f 1 , f 2 ) T je hladka´ funkce, ma´ pro α = 0 singula´rnı´ bod x = 0 a J = Df(0, 0) 6= 0 ma´ dveˇ nulove´ vlastnı´ hodnoty. Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky

= sgn(b20 ( a20 + b11 )) 6= 0, (x, α) → (f(x, α), tr Df(x, α), det Df(x, α)) je v pocˇa´tku regula´rnı´. s

Pak je syste´m (25) v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v norma´lnı´ formeˇ Bogdanov-Takensovy bifurkace

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y˙ 1

= y2

y˙ 2

= ε 1 + ε 2 y1 + y21 + sy1 y2

Cˇ´ısla a20 , b11 a b20 , z podmıńky nedegenerovanosti jsou prˇ´ıslusˇne´ koeficienty Taylorovyćh rozvoju˚ F1 (y1 , y2 ) = 12 a20 y21 + . . . a

F2 (y1 , y2 ) = 12 b20 y21 + b11 y1 y2 + . . .

transformovane´ prave´ strany syste´mu (25) transformacı´ x = Ty na tvar y˙ 1 0 1 y1 F1 (y1 , y2 ) = + y˙ 2 0 0 y2 F2 (y1 , y2 ) pomocı´ matice T slozˇene´ z vlastnıćh vektoru˚ Df(0, 0) (analogicky´ postup jsme pouzˇili u vy´pocˇtu prvnı´ho ljapunovova koeficientu).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bogdanov-Takensova bifurkace se neˇkdy nazy´va´ take´ double-zero, protozˇe v kriticke´ hodnoteˇ parametru˚ α = 0 ma´ syste´m dveˇ nulove´ vlastnı´ hodnoty. V okolı´ α = 0 mohou tedy vlastnı´ hodnoty meˇnit znameńko a mohou prˇecha´zet i prˇes imagina´rnı´ osu. Docha´zı´ k degenerovańı´ Hopfovy bifurkace i bifurkace sedlo-uzel (fold), cozˇ zpu˚sobuje zańik limitnı´ho cyklu na tzv. smycˇce separatrix sedla. Analy´zou syste´mu v norma´lnı´m tvaru Bogdanov-Takensovy bifurkace pro s = −1 zı´ska´me bifurkacˇnı´ diagram s hranicˇnı´ krˇivkou Hopfovy bifurkace H = {(ε 1 , ε 2 ) : ε 1 = 0, ε 2 < 0 } a krˇivkou zańiku dvou limitnıćh bodu˚ (bifurkace sedlo-uzel) T = {(ε 1 , ε 2 ) : 4ε 1 − ε22 = 0} rozdeˇlujıćı´ parametrickou rovinu na struktura´lneˇ stabilnı´ oblasti spolu s prˇ´ıslusˇny´mi fa´zovy´mi portre´ty. Ve trˇetı´m kvadrantu ale navıć docha´zı´ k neloka´lnı´ bifurkaci zańiku smycˇky separatrix (jde o tzv. homoklinickou bifurkaci smycˇky separatrix sedla), ktera´ ma´ v okolı´ pocˇa´tku tvar 6 2 P = {(ε 1 , ε 2 ) : ε 1 = − 25 ε 2 + o (ε22 ), ε 2 < 0}. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

0 T+ 4 ε2 T+ 1 4

P

1 0

ε1

P 3

3 H

2

T− 2 ,H

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

T−

Vsˇechny uvedene´ jedno a dvouparametricke´ bifurkace spojityćh syste´mu˚ byly loka´lnı´mi bifurkacemi v okolı´ singula´rnıćh bodu˚. V jejich blı´zkosti ale obecneˇ vznikajı´ take´ neloka´lnı´ bifurkace (zdvojenı´ limitnı´ho cyklu, smycˇka separatrix sedla). Dalsˇ´ı bifurkace mohou vznikat naprˇ. v okolı´ homoklinickyćh a heteroklinickyćh trajektoriı´, tedy trajektoriı´ vystupujıćıćh z jednoho singula´rnı´ho bodu a navracejıćıćh se do neˇj nebo jine´ho singula´rnı´ho bodu. Toto je ovsˇem jizˇ nad ra´mec nasˇeho ucˇiva. Vy´znamnou bifurkacı´ z hlediska dynamiky a aplikacı´ je Sˇilnikovova bifurkace, ktera´ mu˚zˇe vzniknout azˇ pro trojrozmeˇrny´ syste´m s homoklinickou trajektoriı´ vycha´zejıćı´ ze sedlo-ohniska (dveˇ vlastnı´ hodnoty komplexneˇ sdruzˇene´ se za´pornou rea´lnou cˇa´stı´ a jedna kladna´ rea´lna´ vlastnı´ hodnota). V jeho okolı´ mu˚zˇe dojı´t k „divoke´“ dynamice se spocˇetneˇ mnoha cykly a ke vzniku tzv. spira´lnı´ho atraktoru. Dalsˇ´ı vy´znamnou neloka´lnı´ bifurkacı´ limitnı´ho cyklu je bifurkace blue-sky. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Redukce na centra´lnı´ varietu Podrobneˇ jsme prozkoumali syste´my v okolı´ hyperbolickyćh singula´rnıćh bodu˚ i rovnice cˇi syste´my, ktere´ majı´ vlastnı´ hodnoty s nulovou rea´lnou cˇa´stı´. Co se bude dı´t v situaci, kdy neˇktere´ vlastnı´ hodnoty majı´ nulove´ a jine´ nenulove´ rea´lne´ cˇa´sti rˇ´ıka´ na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta (Veˇta o centra´lnı´ varieteˇ): Necht’ x0 = 0 je singula´rnı´ bod syste´mu (1), ktery´ nenı´ hyperbolicky´ (tj. pocˇet vlastnıćh cˇ´ısel s nulovou rea´lnou cˇa´stı´ n0 6= 0). Pak v okolı´ pocˇa´tku existuje hladka´ invariantnı´ varieta W c (0), ktera´ je loka´lneˇ dańa grafem funkce ν : R n0 → R n− × R n+ , ktera´ splnˇuje ν (0) = 0 a Dν (0) = 0. Varietu W c (0) nazy´va´me centra´lnı´ varietou. Du˚kaz te´to veˇty je zalozˇen na Banachoveˇ veˇteˇ o kontrakci. Lze jej nale´zt naprˇ. v Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, Springer 1999 str. 286-297. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Uvazˇujme syste´m (1) se singula´rnı´m bodem x0 a vlastnı´mi hodnotami Df(x0 ) s nekladny´mi rea´lny´mi cˇa´stmi (tj. n0 6= 0, n− 6= 0 a n+ = 0) prˇevedeny´ do tvaru x˙ = y˙ =

Ac x + g1 (x, y) As y + g2 (x, y).

(26)

Nulove´ rˇesˇenı´ je v takove´m prˇ´ıpadeˇ stabilnı´ (ne nutneˇ asymptoticky). Podle veˇty o centra´lnı´ varieteˇ existuje v okolı´ pocˇa´tku (0, 0) invariantnı´ centra´lnı´ varieta dana´ grafem funkce ν : R n0 → R n− , tj. y = ν (x). Dynamika na centra´lnı´ varieteˇ bude v okolı´ pocˇa´tku dańa rovnicı´ u˙ = Ac u + g1 (u, ν (u)),

u ∈ R n0 .

Trajektorie syste´mu (26), ktere´ nelezˇ´ı na centra´lnı´ varieteˇ, se k nı´ exponencia´lneˇ prˇiblizˇujı´ pro t → ∞. Chovańı´ takove´ho syste´mu je tudı´zˇ mozˇne´ redukovat na chovańı´ na jeho atraktoru, ktery´m je invariantnı´ centra´lnı´ varieta. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

(27)

Definice: Rovnice (27) se nazy´va´ redukcı´ rovnice (26) na centra´lnı´ varietu. Pozna´mka 23. Je evidentní, že pokud je stabilní počátek redukovaného systému, je stabilní také singulární bod x0 původního systému (1) s n+ = 0. Vzhledem k tomu, zˇe centra´lnı´ varieta je v okolı´ pocˇa´tku hladka´, bude platit y˙ = Dν (x)x˙ , tj. dosazenı´m y = ν (x) a pravyćh stran rovnic syste´mu (26) dosta´va´me rovnici pro centra´lnı´ varietu As ν (x) + g2 (x, ν (x)) = Dν (x)(Acx + g1 (x, ν (x))).

(28)

ˇ esˇenı´ y = ν (x) mu˚zˇeme aproximovat Taylorovy´m polynomem R alesponˇ 2. stupneˇ (pro dostatecˇneˇ hladkou f ma´me loka´lneˇ zarucˇenu dostatecˇnou hladkost), navıć nutneˇ ν (0) = 0 a Dν (0) = 0. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad . Redukujte systém x˙ y˙

= − xy

= −y + x 2 − y2

na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. ˇ esˇenı´: R Pocˇa´tek [0, 0] je singula´rnı´ bod. Jacobiho matice je −y −x 0 0 D f ( x, y) = , tj. D f (0, 0) = . 2x −1 − 2y 0 −1 Vlastnı´ hodnoty jsou tedy λ1 = 0, λ2 = −1. Hleda´me tedy centra´lnı´ ∞

varietu jako graf funkce y = ν( x ) =

k =2

rˇesˇenı´m ⊳⊳

⊳

⊲

∑ ak x k v okolı´ pocˇa´tku, ktera´ je

−ν( x ) + x2 − ν2 ( x ) = ν′ ( x )(− xν( x )). ⊲⊲


= − xy

= −y + x 2 − y2

na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. ˇ esˇenı´: R Pocˇa´tek [0, 0] je singula´rnı´ bod. Jacobiho matice je −y −x 0 0 , tj. D f (0, 0) = . D f ( x, y) = 2x −1 − 2y 0 −1 Vlastnı´ hodnoty jsou tedy λ1 = 0, λ2 = −1. Hleda´me tedy centra´lnı´ ∞


k =2


⊳

⊲


−ν( x ) + x2 − ν2 ( x ) = ν′ ( x )(− xν( x )). ⊲⊲


= − xy

= −y + x 2 − y2



k =2


⊳

⊲


−ν( x ) + x2 − ν2 ( x ) = ν′ ( x )(− xν( x )). ⊲⊲


= − xy

= −y + x 2 − y2



k =2


⊳

⊲


−ν( x ) + x2 − ν2 ( x ) = ν′ ( x )(− xν( x )). ⊲⊲


= − xy

= −y + x 2 − y2



k =2


⊳

⊲


−ν( x ) + x2 − ν2 ( x ) = ν′ ( x )(− xν( x )). ⊲⊲


= − xy

= −y + x 2 − y2



k =2


⊳

⊲


−ν( x ) + x2 − ν2 ( x ) = ν′ ( x )(− xν( x )). ⊲⊲

Dosazenı´m Taylorova rozvoje funkce ν( x ) dosta´va´me ∞

−

∞

∑ ak x k + x2 − ∑ ak x k

k =2

k =2

2

= −x

∞

∞

k =2

k =2

∑ ak x k ∑ ak kxk−1

Porovnańı´m koeficientu˚ dostaneme a2 = 1, a3 = 0 a a4 = 1, tj. ν ( x ) = x 2 + x 4 + O ( x 5 ). Dynamika na centra´lnı´ varieteˇ pak bude dańa rovnicı´ ∞

x˙ = − xν( x ) = −

∑ a k x k +1 = − x 3 − x 5 + O ( x 6 ) .

k =2

Pocˇa´tek je tedy asymptoticky stabilnı´. Program XPPAUT, spust’te priklad2.ode

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


∞

−

∑ ak x k + x2 − ∑ ak x k

k =2

k =2

2

= −x

∞

∞

k =2

k =2



x˙ = − xν( x ) = −

∑ a k x k +1 = − x 3 − x 5 + O ( x 6 ) .

k =2

Pocˇa´tek je tedy asymptoticky stabilnı´. Program XPPAUT, spust’te priklad2.ode x2 : ⊳⊳

⊳

⊲

− a2 + 1 = 0 ⊲⊲


∞

−

∑ ak x k + x2 − ∑ ak x k

k =2

k =2

2

= −x

∞

∞

k =2

k =2



x˙ = − xν( x ) = −

∑ a k x k +1 = − x 3 − x 5 + O ( x 6 ) .

k =2


⊳

⊲

− a3 = 0 ⊲⊲


∞

−

∑ ak x k + x2 − ∑ ak x k

k =2

k =2

2

= −x

∞

∞

k =2

k =2



x˙ = − xν( x ) = −

∑ a k x k +1 = − x 3 − x 5 + O ( x 6 ) .

k =2


⊳

⊲

− a4 − a22 = − a22 · 2 ⊲⊲


−

∞

∑ ak x k + x2 − ∑ ak x k

k =2

k =2

2

= −x

∞

∞

k =2

k =2



x˙ = − xν( x ) = −

∑ a k x k +1 = − x 3 − x 5 + O ( x 6 ) .

k =2


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


−

∞

∑ ak x k + x2 − ∑ ak x k

k =2

k =2

2

= −x

∞

∞

k =2

k =2



x˙ = − xν( x ) = −

∑ a k x k +1 = − x 3 − x 5 + O ( x 6 ) .

k =2


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


−

∞

∑ ak x k + x2 − ∑ ak x k

k =2

k =2

2

= −x

∞

∞

k =2

k =2



x˙ = − xν( x ) = −

∑ a k x k +1 = − x 3 − x 5 + O ( x 6 ) .

k =2

Pocˇa´tek je tedy asymptoticky stabilnı´. XPPAUT, spust’´tevariete priklad2.ode V leve´m okolı´ Program pocˇa´tku je na invariantnı ˇ x˙ > 0, trajektorie smeˇrˇujı´ k pocˇa´tku, v prave´m okolı´ je x˙ < 0, trajektorie smeˇrˇujı´ k pocˇa´tku. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


−

∞

∑ ak x k + x2 − ∑ ak x k

k =2

k =2

2

= −x

∞

∞

k =2

k =2



x˙ = − xν( x ) = −

∑ a k x k +1 = − x 3 − x 5 + O ( x 6 ) .

k =2


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Jednoparametricke´ bifurkace v diskre´tnı´m prˇı´padeˇ Po spojityćh bifurkacıćh podobneˇ analyzujme diskre´tnı´ jednoparametricke´ bifurkace. Znovu pu˚jde o situaci, kdy se chovańı´ syste´mu loka´lneˇ kvalitativneˇ meˇnı´ dı´ky nehyperboliciteˇ pevne´ho bodu. Zacˇneme s bifurkacemi za´visly´mi na zmeˇneˇ jednoho parametru, ktera´ zpu˚sobı´, zˇe neˇktera´ z vlastnıćh hodnot prˇecha´zı´ prˇes hranici jednotkove´ho kruhu v Gaussoveˇ rovineˇ.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bifurkace typu fold, sedlo-uzel Uvazˇujme diferencˇnı´ rovnici s parametrem tvaru x ( n + 1) = ε + x ( n) − x ( n)2 ,

x (n) ∈ R, ε ∈ R.

(29)

Pevne´ body splnˇujı´ f ( x, ε) := ε + x − x2 = x, tj. lezˇ´ı na krˇivce ε = x2 . Pro ε < 0 syste´m (29) nema´ zˇa´dny´ pevny´ bod, √ pro ε = 0 je pevny´ bod x0 = 0 a pro ε > 0 jsou pevne´ body dva x = ± ε. Parametr ε = 0 je tedy bifurkacˇnı´ hodnotou a prˇi jeho prˇechodu v okolı´ pocˇa´tku docha´zı´ k loka´lnı´ bifurkaci typu fold (ohyb). Bod ( x0 , ε 0 ) = (0, 0) je tzv. limitnı´m bodem. Vsˇimneˇte si, zˇe vlastnı´ hodnota λ = D f (0, 0) = 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta: Prˇedpokla´dejme, zˇe jednodimenziona´lnı´ jednoparametricky´ syste´m (rovnice) x ( n + 1) = f ( x ( n), α ),

x (n) ∈ R, α ∈ R,

(30)

kde f je hladka´ funkce, ma´ pro α = 0 pevny´ bod x = 0 a λ = f x (0, 0) = 1. Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky f xx (0, 0) 6= 0 f α (0, 0) 6= 0


Pak je (30) v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v norma´lnı´ formeˇ y ( n + 1) = ε + y ( n) ± y ( n)2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x(n + 1)

f (x(n), α)

x(n + 1) f (x(n), α)

x(n + 1) f (x(n), α)

x2

x(n)

x(n)

x(n)

x1

α<0

α=0

α>0

Ve vıćerozmeˇrne´m prˇ´ıpadeˇ k te´to bifurkaci docha´zı´ v prˇ´ıpadeˇ, zˇe Jacobiho matice J ma´ pra´veˇ jednu vlastnı´ hodnotu λ = 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bifurkace typu flip Uvazˇujme diferencˇnı´ rovnici s parametrem tvaru x (n + 1) = −(1 + ε) x (n) + x3 (n),

x (n) ∈ R, ε ∈ R.

(31)

Pevne´ body splnˇujı´ f ( x, ε) := −(1 + ε) x + x3 = x, tj. lezˇ´ı na krˇivkaćh x = 0 a 2 + ε = x2 . Syste´m (31) ma´ vzˇdy nulovy´ pevny´ bod, pro ε < 0 je tento bod stabilnı´, pro√ε > 0 je nestabilnı´. Syste´m mu˚zˇe mı´t jesˇteˇ dalsˇ´ı dva pevne´ body x = ± 2 + ε. Parametr ε = 0 je bifurkacˇnı´ hodnotou a prˇi jeho prˇechodu v okolı´ pocˇa´tku docha´zı´ k loka´lnı´ bifurkaci, meˇnı´ se stabilita pocˇa´tku. Vsˇimneˇte si, zˇe vlastnı´ hodnota λ = D f (0, 0) = −1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√ Pevne´ body x = ± 2 + ε pro male´ ε nejsou stabilnı´,√protozˇe D f ( x, ε) = −1 − ε + 3x2 je pro pevne´ body v x = ± 2 + ε veˇtsˇ´ı nezˇ 1. Co se tedy deˇje s trajektoriemi zacˇ´ınajıćı´mi v okolı´ pocˇa´tku pro mala´ kladna´ ε? Podı´vejme se blı´zˇe na cykly de´lky 2. To jsou pevne´ body zobrazenı´ f (2) , tj. platı´ f (2) ( x, ε) = −(1 + ε)(−(1 + ε) x + x3 ) + (−(1 + ε) x + x3 )3 = x Tuto rovnici lze upravit na tvar x ( x4 − x2 − x2 ε + 1)(−ε − 2 + x2 )(−ε + x2 ) = 0. Je zrˇejme √´ , zˇe mezi cykly de´lky 2 budou√i pevne´ body x = 0 a x = ± 2 + ε. Navıć jsou tu ale x = ± ε, ktere´ budou v okolı´ pocˇa´tku √ stabilnı´, protozˇe D f (2) (± ε, ε) = 1 − 4ε + 4ε2 ∈ (0, 1) pro ε ∈ (0, 1). Vzhledem k vzniku teˇchto cyklu˚ de´lky 2 v okolı´ pocˇa´tku se tato bifurkace nazy´va´ take´ bifurkace zdvojenı´ periody. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta: Prˇedpokla´dejme, zˇe jednodimenziona´lnı´ jednoparametricky´ syste´m (rovnice) x ( n + 1) = f ( x ( n), α ),

x (n) ∈ R, α ∈ R,

(32)

kde f je hladka´ funkce, ma´ pro α = 0 pevny´ bod x = 0 a λ = f x (0, 0) = −1. Prˇedpokla´dejme, zˇe jsou splneˇny podmıńky 2 1 1 2 ( f xx (0, 0)) + 3 f xxx (0, 0)

6= 0 f xα (0, 0) 6= 0


Pak je (32) v okolı´ pocˇa´tku loka´lneˇ topologicky ekvivalentnı´ syste´mu v norma´lnı´ formeˇ y(n + 1) = −(1 + ε)y(n) ± y3 (n).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x(n + 1)

x(n + 1)

x1

x(n)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

f (x(n), α)

f (x(n), α)

f (x(n), α)

α<0

x(n + 1)

x(n)

α=0

x(n)

x2

α>0

Zdvojovańı´ periody a univerzalita Uvazˇujme logistickou rovnici x (n + 1) = ax (n)(1 − x (n)),

(33)

kde a je kladny´ parametr. Prˇı´klad. Ukazˇte, zˇe v syste´mu docha´zı´ k flip bifurkaci. Najdeˇte kritickou hodnotu parametru a, ve ktere´m dojde k rozdvojenı´. Prˇı´klad. Proved’te analy´zu stability cyklu de´lky 2. Kdy a jak dojde k destabilizaci?

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad. Prostudujte chovańı´ logisticke´ rovnice v XPPAUTu. Spust’te postupneˇ logistic.ode, cobweb.ode a logbif.ode. Otevrˇte i soubory a prostudujte, jak jsou vytvorˇeny. Hezke´ applety. Pozna´mka 24. Zdvojování periody způsobuje vznik cyklů délky 2, 4, 8 atd. pro kritické hodnoty parametru a2 , a4 , a8 , . . . Tato tzv. Feigenbaumova kaskáda zdvojování periody je obecný fenomén a číslo µ F = lim

k→∞

a 2 k − a 2 k −1 . = 4.6692 a 2 k +1 − a 2 k

se nazývá Feigenbaumovo číslo. Nejpřekvapivější je, že tato konstanta je univerzální pro mnoho diferenčních systémů, ve kterých dochází ke kaskádové flip bifurkaci. Prˇı´klad. Rickerova rovnice populacˇnı´ dynamiky x (n + 1) = ax (n)e− x (n). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Logisticky´ model ru˚stu populace Pokud y(n) oznacˇuje velikost nebo hustotu populace v cˇase n a r je mı´ra ru˚stu te´to populace, bude rovnice y(n + 1) − y(n) = r (y(n))y(n) popisovat diskre´tnı´ dynamiku populace. Mı´ra ru˚stu mu˚zˇe za´viset na mnoha faktorech. Nejjednodusˇsˇ´ı model (Malthusu˚v) uvazˇuje r = const. Nevy´hodou takove´ho modelu je ovsˇem to, zˇe asymptoticke´ chovańı´ neodpovı´da´ realiteˇ, populace bud’ vymrˇe nebo populace nekonecˇneˇ roste. Typicke´ biologicke´ a ekologicke´ modely prˇedpokla´dajı´ jistou kapacitu prostrˇedı´ K, kterou nelze dlouhodobeˇ prˇekrocˇit, protozˇe prostrˇedı´ by populaci neuzˇivilo. Nejjednodusˇsˇ´ım a cˇasto pouzˇ´ıvany´m modelem je proto logisticky´ model, kde mı´ra ru˚stu r linea´rneˇ klesa´ s velikostı´ populace k nule, tj. y ( n) (34) y ( n + 1) − y ( n) = r 1 − y ( n). K ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pokud je r 6= 0 (trivia´lnı´ prˇ´ıpad), mu˚zˇeme prove´st transformaci 1+r y ( n) = Kx (n), kterou zmensˇ´ıme pocˇet parametru˚ a dosta´va´me r logistickou rovnici: x (n + 1) = ax (n)(1 − x (n)),

kde a = 1 + r.

Prˇı´klad. Pouvazˇujte, jak by vypadal model, kde by mı´ra ru˚stu klesala s velikostı´ populace exponencia´lneˇ. Srovnejte s Rickerovou rovnicı´.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Deterministicky´ chaos Co je to chaos? Slovo chaos se odvozuje z rˇecke´ho χαoς a znamena´ neprˇedvı´datelnost. Deterministicky´ chaos je neperiodicke´ deterministicke´ chovańı´, ktere´ je • velice citlive´ na pocˇa´tecˇnı´ podmıńky, • topologicky transitivnı´ - cozˇ znamena´, zˇe libovolny´ interval transformuje na libovolny´ dalsˇ´ı interval • ma´ huste´ periodicke´ trajektorie ˇ EDVI´DATELNY ´ PR ´ !!! ´ NEZNAMENA DETERMINISTICKY

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Necht’ f : I → I je spojite´ zobrazenı´ na I = h0, 1i. Uvazˇujme diskre´tnı´ dynamicky´ syste´m {N, I, f n }, kde n ∈ N. Necht’ J, K ⊂ I jsou uzavrˇene´ intervaly. ˇ ekneme, zˇe J pokry´va´ K pod f , zapisujeme J ⇀ K, Definice: R jestlizˇe existuje uzavrˇeny´ interval L ⊂ J tak, zˇe f ( L) = K. L

1

K

0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

J

1

Veˇta (O pevne´m bodeˇ): Jestlizˇe J ⇀ J pod f , pak ma´ f v J pevny´ bod. Du˚kaz. Necht’J = h a, bi. Podle definice existuje uzavrˇeny´ interval L ⊂ J takovy´, zˇe f ( L) = J, tedy existuje c, d ∈ L splnˇujıćı´ f (c) = a ≤ c a f (d) = b ≥ d. Podle veˇty o strˇednı´ hodnoteˇ naby´va´ spojita´ funkce g( x ) = f ( x ) − x nulove´ hodnoty na L ⊂ J.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

L

1 b

J

a

0

a

d

c b

1

Uveˇdomme si nynı´, zˇe pokud I0 ⇀ I1 ⇀ · · · ⇀ In pod f , pak existuje uzavrˇeny´ interval J ⊂ I0 tak, zˇe f (k) ( J ) ⊂ Ik pro vsˇechna k = 0, 1, . . . , n − 1 a f (n) ( J ) = In . Volbou In = I0 dosta´va´me s pouzˇitı´m veˇty o pevne´m bodeˇ na´sledujı´ tvrzenı´: ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Veˇta: Jestlizˇe I0 ⇀ I1 ⇀ · · · ⇀ In−1 ⇀ I0 pod f , pak ma´ f (n) v I0 pevny´ bod x, pro ktery´ platı´ f (i) ( x ) ∈ Ii pro i = 0, 1, . . . , n − 1. Veˇta (Li-Yorke): Uvazˇujme spojite´ zobrazenı´ f : I → I, ktere´ ma´ cyklus de´lky 3. Pak ma´ f take´ cykly libovolne´ de´lky n ≥ 1. Du˚kaz. Uvazˇujme cyklus de´lky 3 { p1 , p2 , p3 }, tj. p2 = f ( p1 ), p3 = f ( p2 ), p1 = f ( p3 ) Bez u´jmy na obecnosti mu˚zˇeme prˇedpokla´dat, zˇe p1 < p2 < p3 . Oznacˇme dva intervaly I1 = h p1, p2 i a I2 = h p2, p3 i. Pak I1 pokry´va´ I2 a I2 pokry´va´ I1 i I2 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Perioda 3 implikuje chaos: 1

f (p2) f (p1)

f (p3) I1 0

p1

I2 p2

p3

1

Pro libovolne´ n ∈ N ma´ tedy f (n) pevny´ bod, protozˇe platı´ I1 ⇀ I2 ⇀ · · · ⇀ I2 ⇀ I1 , kde I2 je zde obsazˇeno (n − 1)-kra´t. Tento pevny´ bod nemu˚zˇe odpovı´dat cyklu de´lky k < n (kromeˇ k = 3, ktery´ je prˇedpokla´dań), protozˇe pokud ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

by platilo f (k) ( x ) = x pro k < n, pak x ∈ I1 ∩ I2 = { p2 }, cozˇ je jediny´ cyklus, na´mi prˇedpokla´dany´ de´lky 3.

√ Prˇı´klad. Ukazˇte, zˇe pro a F = 1 + 2 2 ma´ logisticka´ rovnice (33) cyklus de´lky 3, prˇicˇemzˇ pro tuto kritickou hodnotu parametru docha´zı´ k bifurkaci typu fold, prˇicˇemzˇ stabilnı´ a nestabilnı´ 3 cykly vznikajı´ pro a > a F a zaniknou na a = a F . Bifurkacˇnı´ diagram logisticke´ho zobrazenı´:

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Tent map - stanove´ zobrazenı´ Tent map je prˇ´ıkladem jednoduche´ho zobrazenı´ h0, 1i na h0, 1i, ktere´ vykazuje chaoticke´ chovańı´. ( 2x x ∈ h0, 12 i T(x) = 2 − 2x x ∈ ( 12 , 1i 1 T (x)

0 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 2

1

Co vıć, dynamicky´ syste´m prˇ´ıslusˇny´ logisticke´mu zobrazenı´ na h0, 1i je topologicky ekvivalentnı´ syste´mu {N, h0, 1i, T n }, a proto vykazuje take´ chaos. Tote´zˇ platı´ pro jake´koliv jine´ zobrazenı´ h0, 1i na h0, 1i, ktere´ ma´ jedno maximum. Na jednoduche´m stanove´m zobrazenı´ si uka´zˇeme procˇ - za´kladnı´m mechanismem je ”stretch and fold”, natazˇenı´ a ohyb. Cˇ´ıslo x ∈ h0, 1i ma´ bina´rnı´ za´pis x = 0.ω1 ω2 ω3 · · · =

ω1 2

+

ω2 22

+

ω3 23

+...,

kde ωk jsou cifry 0 nebo 1. Pokud x ∈ h0, 21 i, pak T ( x ) = T (0.ω1 ω2 ω3 . . . ) = 0.ω2 ω3 . . . Pokud x ∈ ( 21 , 1i, pak 1 − x ∈ h0, 21 ) splnˇuje T (1 − x ) = T (0.ω1 ω2 ω3 . . . ) = 0.ω2 ω3 . . . . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇitom ale protozˇe 1−x =

1 2

−

ω0 2

+

1 22

−

ω1 22

+

1 23

−

ω2 23

+...,

je bina´rnı´ za´pis x a 1 − x komplementa´rnı´ (na mı´steˇ nuly stojı´ jednicˇka a naopak). Oznacˇ´ıme-li komplementy ωk a ω k , platı´ ( 0.ω2 ω3 . . . x ∈ h0, 12 i, T ( x ) = T (0.ω1 ω2 ω3 . . . ) = 0.ω2 ω 3 . . . x ∈ ( 12 , 1i. Trajektorii x, T ( x ), T (2) ( x ), . . . stanove´ho zobrazenı´ si proto mu˚zˇeme prˇedstavit jako posun (prˇ´ıpadneˇ komplement posunu) v bina´rnı´m za´pise pocˇa´tecˇnı´ hodnoty x. Jesˇteˇ si uveˇdomme, zˇe metrika ∞

d(0.a1 a2 a3 . . . , 0.b1 b2 b3 . . . ) =

| a k − bk | 2k k =1

∑

vytva´rˇ´ı na h0, 1i u´plny´ metricky´ prostor (je analogicka´ beˇzˇne´ metrice decima´lnı´). Dosta´va´me takto na´sledujıćı´ vlastnosti. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

• Citlivost na pocˇa´tecˇnı´ podmıńky - prˇedpokla´dejme, zˇe zna´me pocˇa´tecˇnı´ podmıńku x0 azˇ do N-te´ho bina´rnı´ho mı´sta. Uvazˇujme (nespocˇetnou) mnozˇinu cˇ´ısel, ktera´ majı´ stejny´ zacˇa´tek bina´rnı´ho za´pisu, lisˇ´ı se azˇ od mocniny 2− N a jejich trajektorie. Po N iteracıćh se tyto blı´zke´ trajektorie sta´vajı´ zcela na´hodny´mi a neexistuje zˇa´dny´ vztah k pocˇa´tecˇnı´ podmıńce. • Topologicka´ transitivnost (mixovańı´) - uvazˇujme interval pocˇa´tecˇnıćh hodnot, ktere´ se lisˇ´ı poprve´ na N-te´m bina´rnı´m mı´steˇ. Po N iteracıćh dojde k posunu o teˇchto N mı´st a interval se rozprostrˇe na cely´ h0, 1i. • Ma´ huste´ periodicke´ trajektorie - bina´rnı´ za´pis kazˇde´ho raciona´lnı´ho cˇ´ısla je zakoncˇen opakujıćı´ se skupinou cifer, a proto generuje periodicke´ trajektorie (vcˇetneˇ pevnyćh bodu˚). Iraciona´lnı´ cˇ´ısla majı´ bina´rnı´ za´pis, ktery´ se neopakuje. Proto jsou periodicke´ trajektorie huste´ (jsou libovolneˇ blı´zko jine´ dane´ trajektorii) v mnozˇineˇ chaotickyćh trajektoriı´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad. Ukazˇte, zˇe h : x ֌ sin2 πx 2 je homeomorfismus na h0, 1i a platı´ f (h( x )) = h( T ( x )) pro logisticke´ zobrazenı´ f ( x ) = 4x (1 − x ). Pozna´mka 25. Mluvíme o topologicky konjugovaných zobrazeních (T = h−1 ◦ f ◦ h) a topologicky ekvivalentní dynamice systémů {N, h0, 1i, f n } a {N, h0, 1i, T n }.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Jak meˇrˇit chaos? Uvazˇujme trajektorii x (n) splnˇujıćı´ pocˇa´tecˇnı´ u´lohu x (n + 1) = f ( x (n)), x0 = x Pro tuto trajektorii definujme cˇ´ıslo 1 n→∞ n

λ( x ) = lim

n

∑ ln | f ′ (xν )|

ν =1

Toto cˇ´ıslo prˇedstavuje mı´ru separace infinitesima´lneˇ blı´zkyćh trajektoriı´ od te´to trajektorie: dn | f (n) ( x + ε) − f (n) n( x )| = = eλn , ε → 0 ε ε

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice: Cˇ´ıslo λ( x ) (pokud limita existuje) oznacˇujeme jako Ljapunovu˚v exponent trajektorie. Pokud je x pevny´m bodem zobrazenı´ f , definujeme λ( x ) = −∞. Pokud pode´l trajektorie x (n) docha´zı´ ke kontrakci, je λ( x ) < 0, v prˇ´ıpadeˇ asymptoticke´ expanze je λ( x ) > 0.

Je-li pro omezenou trajektorii Ljapunovu˚v exponent kladny´, je trajektorie nutneˇ chaoticka´. Prˇı´klad. Ukazˇte, zˇe Ljapunovu˚v exponent stanove´ho zobrazenı´ je ln 2. Prˇı´klad. Pro ktera´ p jsou trajektorie x (n + 1) = Tp ( x (n)) chaoticke´? ( px x ∈ h0, 21 i Tp ( x ) = p(1 − x ) x ∈ ( 12 , 1i ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Ve vıće dimenzıćh za´visı´ mı´ra separace blı´zkyćh trajektoriı´ na pocˇa´tecˇnı´m smeˇru separace, proto se definuje Ljapunovovo spektrum (n hodnot v bazickyćh smeˇrech, rˇazene´ dle velikosti) a maxima´lnı´ Ljapunovu˚v exponent. Program Xppaut umı´ maxima´lnı´ Ljapunovu˚v exponent trajektorie numericky vypocˇ´ıtat. Samozrˇejmeˇ ale nepocˇ´ıta´ limitu, ale pouze prˇiblizˇnou konecˇnou sumu. Hodnoty Ljapunovovyćh exponentu˚ jsou invariantnı´ vzhledem k sˇiroke´mu spektru transformacı´ sourˇadnic (ergodicka´ teorie, Osedelec) a limity existujı´ pro skoro vsˇechna x a na x neza´visı´. Pro invertibilnı´ ∂f f : X → X, ktere´ ma´ invertibilnı´ , se Ljapunovovy exponenty ∂xi nemeˇnı´.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Chaoticky´ atraktor Cˇasto rozlisˇujeme disipativnı´ a konzervativnı´ syste´my. • V konzervativnıćh syste´mech platı´ neˇjaky´ za´kon zachovańı´, obecneˇ je zachova´vań objem fa´zove´ho prostoru v cˇase. Syste´m je uzavrˇeny´, trajektorie jsou cˇasto cykly. Idea´lnı´ kyvadlo :

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

• V disipativnıćh syste´mech se neˇjaka´ energie ztraćı´, syste´m je otevrˇeny´ a objem fa´zoveho prostoru v cˇase se zmensˇuje. Takovy´ syste´m v cˇase speˇje k atraktoru - rovnova´zˇne´mu bodu, limitnı´mu cyklu nebo jine´mu atraktoru. Tlumene´ kyvadlo :

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

V disipativnıćh syste´mech mohou existovat take´ atraktory vykazujıćı´ chaoticke´ chovańı´ (diskre´tnı´ i spojite´). Atraktorem je vlastneˇ jedina´ nekonecˇna´ chaoticka´ trajektorie. Maxima´lnı´ Ljapunovu˚v exponent takove´ho atraktoru je kladny´ a atraktor typicky vykazuje tzv. frakta´lnı´ strukturu (sobeˇpodobnost). Nazy´va´ se chaoticky´m nebo podivny´m atraktorem. Podivne´ chaoticke´ atraktory v diskre´tnı´m 2D syste´mu:

Java applet. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


Java applet. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


Java applet. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


Java applet. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


Java applet. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


Java applet. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ˇ ´ızenı´ chaosu metodou OGY R V roce 1990 Ott, Grebogi a Yorke uvedli praktickou metodu (u´speˇsˇnou i v aplikacıćh) stabilizace nestabilnıćh chaotickyćh cyklu˚. Metoda je zalozˇena na faktu, zˇe chaoticky´ atraktor obsahuje nekonecˇne´ huste´ mnozˇstvı´ nestabilnıćh cyklu˚. Ty jsou stabilizovańy maly´mi perturbacemi kontrolnı´ho parametru a. Uvazˇujme zobrazenı´ x ( n + 1) = f( x ( n), a ),

(35)

kde a je dostupny´ parametr, ktery´ mu˚zˇeme zmeˇnit v neˇjake´m okolı´ sve´ ”nomina´lnı´”hodnoty a0 . Oznacˇme x∗ ( a) nestabilnı´ pevny´ bod zobrazenı´ (35). V male´m okolı´ a0 mu˚zˇeme aproximovat x(n + 1) − x∗ ( a0 ) = Df(x∗ ( a0 ), a0 )(x(n) − x∗ ( a0 )) + c( a − a0 ),

(36)

∂f ∗ kde c = ∂a (x ( a0 ), a0 ) je sloupcovy´ vektor. Vzhledem k transitivnosti a hustoteˇ chaoticke´ trajektorie musı´ v neˇjake´m male´m okolı´ x∗ ( a0 ) pro ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

neˇjake´ x(n) platit a − a0 = −k · (x(n) − x∗ ( a0 ))

(37)

Substitucı´ (37) do (36) dostaneme x(n + 1) − x∗ ( a0 ) = ( Df(x∗ ( a0 ), a0 ) − ck)(x(n) − x∗ ( a0 )). Volbou k = (k1 , . . . , k m ) mu˚zˇeme dosa´hnout stability regulovane´ho pevne´ho bodu, tj. najdeme k tak, aby

| Df( x ∗ ( a0 ), a0 ) − ck| < 1.

ˇ ´ızenı´ chaosu v Henonoveˇ zobrazenı´ R

Prostudujte veˇdecky´ cˇlańek. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ˇ ´ızenı´ chaosu v logisticke´m zobrazenı´ R Uvazˇujme logistickou rovnici (33), ve ktere´ rˇ´ıdı´me chaos neusta´ly´mi pulzy xi = kxi po p iteracıćh. Definujme zobrazenı´ F ( x ) = k f ( p) ( x ). Pevny´ bod x ∗ regulovane´ho zobrazenı´ F ( x ) tedy bude splnˇovat k f ( p) ( x ∗ ) = x ∗ a bude stabilnı´, pokud

|kD f ( p) ( x ∗ )| < 1. x D f ( p) ( x ), dosta´va´me podmıńku pro f ( p) ( x ) oblast kontrolovatelnyćh hodnot: |C p ( x )| < 1.

Oznacˇ´ıme-li C p ( x ) =

Vy´pocˇet C p v Maplu Simulace v Matlabu, spust’te chaoscontrol.m

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Neimark-Sackerova bifurkace Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojite´ syste´my. Vznika´ prˇi prˇechodu komplexneˇ sdruzˇenyćh vlastnıćh hodnot prˇes hranici jednotkove´ho kruhu a v jejı´ souvislosti se objevuje limitnı´ cyklus. Uvedeme si pouze norma´lnı´ formu v maticove´m tvaru, kde je velmi dobrˇe viditelna´ souvislost s norma´lnı´ formou spojite´ Hopfovy bifurkace.

x ( n + 1) y ( n + 1)

− sin θ x ( n) cos θ y ( n) cos θ − sin θ a −b x ( n) +( x2 (n) + y2 (n)) , sin θ cos θ b a y ( n)

= (1 + α )

cos θ sin θ

kde θ = θ (α), a = a(α), b = b(α) jsou hladke´ funkce splnˇujıćı´ 0 < θ (0) < π a a(0) < 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Tento syste´m ma´ pevny´ bod [ x, y] = [0, 0] s Jacobiho maticı´ cos θ − sin θ J = (1 + α ) sin θ cos θ a vlastnı´mi hodnotami λ1,2 = (1 + α)e±iθ . Pro α = 0 jsou hodnoty na jednotkove´m kruhu a pevny´ bod nenı´ hyperbolicky´. Podobneˇ jako u Hopfovy bifurkace mu˚zˇeme transformacı´ z(n) = x (n) + iy (n) prˇeve´st syste´m na jednu komplexnı´ rovnici, ktera´ ma´ v pola´rnı´m tvaru z(n) = ρ(n)eiϕ(n) za´pis: ρ ( n + 1)

= ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2 (n)) + ρ4 (n) R(ρ(n), α),

ϕ ( n + 1)

=

ϕ ( n) + θ ( α ) + ρ2 ( n) Q ( ρ ( n), α ),

kde R a Q jsou hladke´ funkce. Podobneˇ jako v prˇ´ıpadeˇ Hopfovy bifurkace ρ = 0 je stabilnı´ pevny´ bod pro α < 0 a nestabilnı´ pro α > 0. Pro mala´ α > 0 ma´ navıć stabilnı´ pevny´ bod r α ρ0 ( α ) = − + O ( α ), a(α) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ktery´ odpovı´da´ vzda´lenosti od pocˇa´tku. Vznika´ tedy stabilnı´ limitnı´ cyklus, prˇitom rotace v prˇiblizˇne´ vzda´lenosti ρ0 (α) je prˇiblizˇneˇ o u´hel θ ( α ). Neimark-Sackerova bifurkace:

x

α<0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y

y

y

x

x

α=0

α>0

Podobneˇ jako ve spojite´m prˇ´ıpadeˇ, i zde docha´zı´ bud’ k superkriticke´ bifurkaci (vzniku stabilnı´ho limitnı´ho cyklu) nebo k subkriticke´ bifurkaci (vzniku nestabilnı´ho limitnı´ho cyklu). Veˇtu o ekvivalenci se syste´mem v norma´lnı´m tvaru si uva´deˇt nebudeme, jen podotkneme, zˇe k podmıńka´m nedegenerovanosti a transversality se objevuje jesˇteˇ dalsˇ´ı podmıńka, ktera´ vylucˇuje tzv. silnou rezonanci. Jako odrazovy´ mu˚stek pro studium N-S bifurkace uved’me strańku Scholarpedia.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Poincare´ho zobrazenı´ a bifurkace cyklu˚ Uvazˇujme nynı´ znovu spojity´ m-rozmeˇrny´ syste´m (1) x˙ = f(x). Prˇedpokla´dejme navıć, zˇe syste´m (1) ma´ periodickou trajektorii L. V neˇjake´m bodeˇ x0 ∈ L uvazˇujme hladkou m − 1-rozmeˇrnou varietu (naprˇ. nadrovinu) Σ = { g(x) = 0 : g : R m → R, g(x0 ) = 0}, ktera´ je tzv. transverza´lnı´, cozˇ znamena´, zˇe nenı´ v bodeˇ x0 tecˇna´ L, tedy rˇezˇe cyklus L. V anglicˇtineˇ se jı´ proto rˇ´ıka´ Poincare´ cross-section Σ. Podmıńku transverzality mu˚zˇeme zapsat pomocı´ gradientu funkce g (norma´love´ho vektoru Σ) takto:

h∇ g(x0 ), f(x0 )i 6= 0, ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

tedy norma´lovy´ vektor Σ nesmı´ by´t kolmy´ k trajektorii cyklu L. Je zrˇejme´, zˇe takovou varietou mu˚zˇe by´t naprˇ´ıklad rovina kolma´ k L v x0 : g(x) = hf(x0 ), (x − x0 )i = 0. Na te´to varieteˇ v okolı´ x0 nynı´ definujeme zobrazenı´ P : Σ → Σ, ktere´ zobrazuje bod x trajektorie ϕt x syste´mu (1) na na´sledujıćı´ pru˚secˇ´ık te´to trajektorie s varietou Σ. Poincare´ho zobrazenı´: L

x0 Σ P (x)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x

Zobrazenı´ P se nazy´va´ Poincare´ho zobrazenı´ prˇ´ıslusˇne´ cyklu L. Loka´lneˇ takto definujeme diskre´tnı´ dynamicky´ syste´m {N, Σ, Pn } s pevny´m bodem x0 ∈ L. Pokud na m − 1-rozmeˇrne´ Σ zvolı´me sourˇadny´ syste´m s pocˇa´tkem v x0 , bude mozˇne´ v teˇchto sourˇadnicıćh ξ = (ξ1 , . . . , ξm−1 ) zapsat Poincare´ho zobrazenı´ jako diferencˇnı´ syste´m ξ (n + 1) = P(ξ (n)) s pevny´m bodem 0 a maticı´ linearizovane´ho syste´mu DP(0). Cyklus L bude stabilnı´ (atrahujıćı´), pokud budou vlastnı´ hodnoty DP(0) v absolutnı´ hodnoteˇ mensˇ´ı jedne´ (a nestabilnı´ v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ). Lze uka´zat, zˇe vlastnı´ hodnoty matice linearizovane´ho syste´mu neza´visı´ ani na volbeˇ bodu x0 , ani na volbeˇ Σ a ani na volbeˇ sourˇadnic. Bifurkace diskre´tnıćh syste´mu˚ tedy mohou nasta´vat i pro spojite´ syste´my.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bifurkace Poincare´ho zobrazenı´ typu fold je prˇ´ıcˇinou vzniku a zańiku dvou cyklu˚ (stabilnı´ho a nestabilnı´ho - Bautinova bifurkace). ”Ohyb”cyklu, bifurkace typu fold:

stav

nestabiln´ı cyklus

stabiln´ı cyklus

subkritická Hopf

zánik dvojice cykl˚ u na ohybu ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

parametr

Zdvojenı´ periody Poincare´ho zobrazenı´ bude znamenat zdvojenı´ limitnı´ho cyklu:

K takove´ bifurkaci limitnı´ho cyklu mu˚zˇe dojı´t azˇ pro spojite´ trojdimenziona´lnı´ syste´my (v rovineˇ nemu˚zˇe dojı´t k protnutı´ trajektorie) a na´sledne´ postupne´ zdvojovańı´ periody vede k existenci chaosu i ve spojityćh syste´mech.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Chaos ve spojityćh syste´mech Chaos ve spojityćh autonomnıćh syste´mech nemu˚zˇe nastat v prˇ´ıpadeˇ jedno a dvoudimenziona´lnı´ho syste´mu. Existujı´ ale velmi jednoduche´ trˇ´ırozmeˇrne´ autonomnı´ syste´my, ktere´ chaos vykazujı´. Jesˇteˇ v pocˇa´tku 19. stoletı´ se prˇedpokla´dalo, zˇe pokud budeme zna´t mechanismus prˇ´ırodnı´ho za´kona, budeme moci prˇedpovı´dat budoucı´ chovańı´ prˇ´ırody. Na konci 19. stoletı´ ale Henri Poincare´ prˇedbeˇhl svou dobu a objevil homoklinicke´ trajektorie v dynamicke´m syste´mu, ktery´ je zna´m jako proble´m trˇ´ı teˇles a byl formulovań Isaacem Newtonem v Principiıćh v druhe´ polovineˇ 17.stoletı´. Jde o syste´m diferencia´lnıćh rovnic popisujıćı´ gravitacˇnı´ pu˚sobenı´ trˇ´ı teˇles. Pu˚vodneˇ sˇlo samozrˇejmeˇ o Slunce, Zemi a Meˇsıć. Pokud ale nebudeme trvat na hmotnostech a vzda´lenostech, ktere´ jsou urcˇeny nasˇ´ı Slunecˇnı´ soustavou, dosta´va´me obecny´ syste´m, ktery´ ma´ prˇekvapiveˇ rozmanite´ dynamicke´ chovańı´, dokonce i chaoticke´. Proble´m trˇ´ı teˇles od Miroslava Brozˇe z MFF UK. Scholarpedia. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

V roce 1927 Van der Pol pouka´zal na ”irregula´rnı´ sˇum”v obvodu ra´dia (RLC obvod). Azˇ kolem roku 1960 se uka´zalo, zˇe i v dynamicke´m syste´mu Van der Polova oscila´toru skutecˇneˇ vznikajı´ homoklinicke´ trajektorie a chaoticke´ jevy. Mimochodem podobne´ chovańı´ vykazuje take´ nelinea´rnı´ oscila´tor a nelinea´rnı´ kyvadlo. Kyvadla a pruzˇinky jsou vu˚bec peˇkne´ hracˇky: Pruzˇina a kyvadlo. Dvojite´ kyvadlo. Virtua´lnı´ nelinea´rnı´ laboratorˇ

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Ve stejne´ dobeˇ se pokousˇel meteorolog Edward Norton Lorenz porozumneˇt chyba´m, ktere´ vznikaly prˇi pouzˇitı´ linea´rnıćh technik v predikcıćh pocˇası´. Pouzˇil jeden z prvnıćh pocˇ´ıtacˇu˚ pro simulaci atmosfe´ricke´ dynamiky a dı´ky chybeˇ v zaokrouhlenı´ objevil chaos a jeho citlivost na pocˇa´tecˇnı´ podmıńky.

V roce 1963 spolu se Saltzmanem publikovali redukovany´ syste´m popisujıćı´ atmosfe´ru, syste´m trˇ´ı nelinea´rnıćh diferencia´lnıćh rovnic vykazujıćı´ chaos dnes zna´my´ jako model Lorenzova atraktoru. Lorenz dal pozdeˇji prˇedna´sˇce na toto te´ma slavny´ na´zev Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas? To zpu˚sobilo popularitu spojenı´ ”efekt moty´lıćh krˇ´ıdel”, ktery´ popisuje citlivost na pocˇa´tecˇnı´ podmıńky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Od te´ doby je Laplaceu˚v determinismus porazˇen. Pocˇası´ nikdy nebudeme umeˇt prˇedpovı´dat na rok doprˇedu. Hra na burze bude take´ vzˇdy ota´zka kra´tkodobyćh rychlyćh transakcı´. Nedoka´zˇeme prˇedpoveˇdeˇt budoucnost, deterministicky´ chaos na´s vzˇdy zavede do jinyćh ulicˇek. Na druhe´ straneˇ ale spolu s chaoticky´m atraktorem lide´ objevili skryty´ rˇa´d na´hodne´ho. Vznik pravidelna z nepravidelna - naprˇ. Turingu˚v mechanismus vzniku vzoru˚ v prˇ´ırodeˇ. A kra´su frakta´lu˚. Turingovy vzory v prˇ´ırodeˇ. Galerie frakta´lu˚. Frakta´ly vıć matematicky. Mandelbrotova mnozˇina a benediktıńsky´ mnich.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Model Lorenzova atraktoru V roce 1963 publikoval Lorenz zjednodusˇeny´ model vycha´zejıćı´ z Rayleigho pu˚vodnı´ho proble´mu hydrodynamiky kapaliny o vy´sˇce H a rozdı´lem teplot dolnı´ho a hornı´ho povrchu ∆T. Rovnice popisujıćı´ proudeˇnı´ vznikajıćı´ vedenı´m tepla si uva´deˇt nebudeme (jde o parcia´lnı´ diferencia´lnı´ rovnice), zmıńı´me se ale o neˇkteryćh aspektech modelu. Dalsˇ´ı parametry, ktere´ v modelu vystupujı´ jsou gravitacˇnı´ zrychlenı´ g, tepelna´ roztazˇnost α, viskozita ν a tepelna´ vodivost kapaliny κ. Jak se zvysˇuje rozdı´l teplot povrchu˚ ∆T, vedenı´ tepla se sta´va´ nestabilnı´ a vznika´ cirkulace kapaliny. Mu˚zˇete ho sledovat v hrnku horke´ ka´vy jako tmave´ skvrny...

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Rayleigh uka´zal, zˇe tato periodicka´ rˇesˇenı´ vznikajı´, pokud R≡

gαH 3 ∆T νκ

> Rc ≡

π 4 ( 1 + a2 ) 3 . a2

Cˇ´ıslo R se nazy´va´ Rayleigho cˇ´ıslo. Pokud se ∆T bude da´l zvysˇovat, Reyleigho proudeˇnı´ se znestabilnı´ a vzniknou aperiodicka´ rˇesˇenı´.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Tato proudeˇnı´ lze napsat pomocı´ jistyćh funkcı´, ktera´ jsou rˇesˇenı´m na´sledujıćı´ho syste´mu (jsou to pomocne´ funkce, neodpovı´dajı´ prostorovy´m sourˇadnicı´m). x˙ y˙ z˙ kde σ = κν , r =

R Rc

ab=

= −σ ( x − y ), = rx − y − xz, = −bz + xy,

4 . ( 1 + a2 )

Prˇı´klad. Ukazˇte, zˇe pro r < 1 ma´ syste´m jedinou stabilnı´ rovnova´hu, ktera´ fyzika´lneˇ odpovı´da´ syste´mu bez proudeˇnı´ (vyrovnańı´ teplot).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad. Ukazˇte, zˇe pro r > 1 bude pocˇa´tek nestabilnı´ a dva dalsˇ´ı symetricke´ body budou stabilnı´ pro r > 1 blı´zka´ jedne´. Fyzika´lneˇ odpovı´dajı´ tato rˇesˇenı´ stabilnı´mu Rayleigho proudeˇnı´:

Charakteristicky´ polynom prˇ´ıslusˇny´ teˇmto symetricky´m bodu˚m je λ3 + (σ + b + 1)λ2 + (r + σ )bλ + 2σb(r − 1), kde pro r > 1 jsou vsˇechny koeficienty kladne´ a tudı´zˇ ma´ alesponˇ jeden za´porny´ korˇen. Dalsˇ´ı dva mohou by´t i komplexnı´. Docha´zı´ u teˇchto dvou vlastnıćh hodnot k prˇechodu imagina´rnı´ osy, tj. k destabilizaci rovnova´hy a vzniku limitnı´ho cyklu v du˚sledku Hopfovy bifurkace? Pokusme se najı´t tuto kritickou hodnotu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pro kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace lezˇ´ı komplexneˇ sdruzˇena´ vlastnı´ cˇ´ısla na imagina´rnı´ ose, tj. pro charakteristicky´ polynom a jeho vlastnı´ cˇ´ısla λ1 a ±iω platı´

(λ − λ1 )(λ − iω )(λ + iω ) = 0, tj. λ3 − λ1 λ2 + ω 2 λ − λ1 ω 2 = 0. Pro kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace tedy platı´ nutna´ podmıńka

(σ + b + 1)(r + σ )b = 2σb(r − 1), tj. r∗ =

σ ( σ + b + 3) . σ−b−1

Protozˇe r > 1, musı´ by´t navıć σ > b + 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Prˇı´klad. Vhodneˇ zvolte parametry a vykreslete fa´zove´ portre´ty v neˇktere´m z vhodnyćh softwaru˚ tak, aby byl videˇt jev Hopfovy bifurkace. Prˇı´klad. V programu Matcont nebo Xppaut se pokuste nakreslit bifurkacˇnı´ diagram pro parametry blı´zke´ Hopfoveˇ bifurkaci. Vsˇimneˇte si, zˇe jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci se vznikem nestabilnı´ho limitnı´ho cyklu.

A divne´ veˇci zacˇnou se dı´t... Homoklinicka´ trajektorie sedla

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Fa´zove´ portre´ty pro ru˚zna´ r:

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Bifurkacˇnı´ diagram Lorenzova syste´mu pro Prandtlovo cˇ´ıslo σ = 10:

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Literatura, software a applety • Kontinuacˇnı´ balı´k Matcont pro Matlab http://www.matcont.ugent.be/ • Program Xppaut s kontinuacˇnı´m Auto http://www.math.pitt.edu/ bard/xpp/xpp.html • Applety pro ODR a bifurkace http://techmath.uibk.ac.at/numbau/alex/dynamics/bifurcation • Nelinea´rnı´ laboratorˇ http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear • Applety pro chaos a frakta´ly http://www.student.math.uwaterloo.ca/˜pmat370/JavaLinks.html

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Reference [1] Kuznetsov Y.A., Elements of Applied Bifucation Theory, Second Edition, Applied Mathematical Sciences 112, Berlin, Heidelgerg, New York, Springer-Verlag, 1995, 1998. [2] Chicone C., Ordinary Differential Equations with Applications, Springer Verlag, 1998. [3] Edelstein-Keshet L., Mathematical Models In Biology, New York: McGraw Hill Text, 1988. [4] Jackson E. A., Perspectives of nonlinear dynamics, Volume 2, Cambridge University Press, 1990. [5] Seydel R., Practical Bifurcation and Stability Analysis, Third Edition, Springer-Verlag, 2010. [6] Lynch S., Dynamical Systems with Applications using Maple, Second Edition, Birkhaüser Boston, 2010. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

[7] Hirsch M.W., Smale S., Devaney R.L., Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos, Elsevier Academic Press, 2004 [8] Alligood, K., Sauer, T., Yorke, J., Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, New York, Springer-Verlag, 1997. [9] Murray, J. D., Mathematical Biology, Berlin, Springer-Verlag, 1993. [10] Fall Ch.P., Marland E. S., Wagner J. M., Tyson J. J., Computational Cell Biology, Springer-Verlag, New York, 2002 [11] Fitzhugh, R., Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane, Biophys. J. 1 (1961), 445. [12] Lorenz, E., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci. 20 (1963), 130. [13] Zeeman, E. C., Catastrophe theory, Scientific American, 234(4) (1980) 65–83. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Pouzˇite´ obra´zky: str. 182 varieta je z cˇlańku E. C. Zeemana [13] str. 185 – 192 jsou ilustrace z knihy J. D. Murrayho [9] str. 274 – 279 jsou obra´zky vytvorˇene´ Java appletem na http://sprott.physics.wisc.edu/java/attract/attract.htm Kapitola Model Lorenzova atraktoru pouzˇ´ıva´ obra´zky z knihy E. A. Jacksona [4].

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

KONEC

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Nelineární dynamika a její aplikace. 2. července 2012

Recommend Documents