Nekonečné číselné řady
January 21, 2015
IMA 2015
Příklad ∞ X
0 = 0 + 0 + ... + 0 + ... =?
n=1
IMA 2015
Příklad ∞ X n=1
n2
1 1 1 1 1 = + + + ... + 2 + ... =? +n 2 6 12 n +n
s1 =
1 2
s2 =
2 3
s3 =
3 4
........
IMA 2015
Příklad (pokr.) n X
n X 1 1 1 sn = = − 2+i i i i + 1 i=1 i=1
=
n X 1 i=1
i
−
n X
=
1 1 n =1− = i +1 n+1 n+1 i=1
IMA 2015
Definice (Součet řady) Součet nekonečné řady je definován prostřednictvím limity posloupnosti částečných součtů jako lim sn .
n→∞
Příklad (dokončení) ∞ X n=1
n2
n 1 = lim sn = lim = 1. n→∞ n + 1 + n n→∞
IMA 2015
Definice ( Konvergence řady) Má-li posloupnost částečných součtů konečnou limitu, tzn. lim sn = s,
n→∞
pak říkáme, že řada je konvergentní. Pokud uvedená limita neexistuje nebo je nevlastní, pak říkáme, že řada je divergentní.
IMA 2015
(Geometrická řada) a1 + a1 .q + a1 .q 2 + · · · + a1 .q n−1 + · · · geometrická řada konverguje ak a1 = 0, q ∈ R ∨ a1 6= 0, |q| < 1. součet je
0
∨
a1 1−q
IMA 2015
Příklad 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... s1 = 1, s2 = 2...sn = n ⇒ lim sn = ∞ n→∞
1 − 1 + 1 − 1 + ...(−1)n+1 · 1 + ... s1 = 1, s2 = 0...s2n+1 = 1, s2n = 0 ⇒ lim sn neexistuje n→∞
1+
1 2
+
1 4
+ ... +
1 2n
+ ...
geom. řada, q = 1+
4 3
+
16 9
+ ... +
n 4 3
geom. řada, q =
1 ∈ (−1, 1) ⇒ řada konverguje 2 + ... 4 6∈ (−1, 1) ⇒ řada diverguje 3 IMA 2015
Definice (Absolutní konvergence) Pokud konverguje řada ∞ P
∞ P
|an |, potom konverguje také řada
n=1
an , přičemž říkáme, že řada
n=1
Pokud konverguje řada říkáme, že řada
∞ P
∞ P
∞ P
an konverguje absolutně.
n=1
an , avšak řada
n=1
∞ P
|an | diverguje, pak
n=1
an konverguje neabsolutně (relativně).
n=1
IMA 2015
Definice (Podmínky konvergence) U konvergentních řad lze zavést tzv. zbytek řady po n-tém součtu jako Rn = s − sn , podmínku konvergence řady lze vyjádřit také tak, že nekonečná řada konverguje právě tehdy, pokud k libovolnému kladnému číslu ε existuje takové N (ε), že pro libovolné n > N (ε) platí nerovnost |Rn | = |s − sn | < ε.
IMA 2015
Věta (Nutná podmínka konvergence řady) Jestliže řada
P
an konverguje, potom lim an = 0. n→∞
IMA 2015
Příklad (Nutná podmínka konvergence řady) řada 1 +
√1 2
+
1 √ 3 2
+ ... +
1 √ n
2
+ diverguje
1 lim √ = 1. n n→∞ 2 řada
∞ P n=1
1 n 2 +n
konverguje lim
n→∞ n 2
lim
n→∞
ale řada
1 = 0. +n 1 = 0, n
∞ P 1 n DIVERGUJE!!
n=1
IMA 2015
Věta (Nutná a postačující podmínka konvergence řady) P
Pokud součet řady an vyjádříme ve tvaru s = sn + Rn , kde sn je n-tý částečný součet a Rn je zbytek řady po n-tém částečném součtu, pak nutnou a postačující podmínku konvergence této řady lze vyjádřit vztahem lim Rn = lim (s − sn ) = 0
n→∞
n→∞
Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě tzv. Bolzanova-Cauchyova kritéria. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému ε > 0 takové číslo N (ε), že pro libovolná m > N (ε), n > N (ε) platí |sm − sn | < ε
IMA 2015
( Kritéria konvergence)
IMA 2015
Věta ( Srovnávací kritérium) Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s P P kladnými členy an , bn , přičemž pro všechna n platí an < bn . P Řadu an označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě P P P bn a řadu bn jako majorantní řadu (majorantu) k řadě an . P Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. bn , P konverguje také minoranta, tedy an . Diverguje-li minoranta P P an , diverguje také majoranta, tedy bn . Příklad ( Srovnávací kritérium) ∞ P n=1 ∞ P n=1
1 (n+1)2 √1 n
∞ P
porovnejte s
porovnejte s
n=1
1 n 2 +n
∞ P 1 n=1
n
IMA 2015
Věta ( Podílové kritérium) Při podílovém (d’Alembertově) kritériu konverguje řada s kladnými P členy an tehdy, existuje-li reálné číslo q < 1 a přirozené číslo n0 , an+1 takové, že pro každé n > n0 , platí an+1 an < q. Pokud je an ≥ 1, pak řada diverguje. Věta ( Limitní podílové kritérium) P
Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy an veličinu L = lim an+1 , pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium n→∞ an P konvergence, podle kterého je řada an konvergentní pro L < 1, divergentní pro L > 1, a pro L = 1, může být konvergentní nebo divergentní.
IMA 2015
Příklad (Podílové kritérium) ∞ P (n!)2 n=1
(2n)!
an+1 lim = lim n→∞ an n→∞ ∞ P n=1
((n+1)!)2 (2n+2)! (n!)2 (2n)!
=
1 < 1 ⇒ řada konverguje 4
n n+1
an+1 = lim n→∞ an n→∞ lim
n+1 n+2 n n+1
= 1 ⇒ neumíme rozhodnout, ale
lim an = 1 6= 0 ⇒ z nutní podm. konvergence: řada diverguje
n→∞
IMA 2015
Příklad (Podílové kritérium, pokr.) ∞ P n! n=1
nn
an+1 lim = lim n→∞ an n→∞
(n+1)! (n+1)n+1 n! nn
=
1 < 1 ⇒ řada konverguje e
∞ P 1 n=1
n
an+1 = lim n→∞ an n→∞ lim
1 n+1 1 n
= 1 ⇒ neumíme rozhodnout.
Z předch. příkladu víme, že řada diverguje.
IMA 2015
Příklad (Podílové kritérium, pokr.) ∞ P n=1
1 n 2 +n
an+1 lim = lim n→∞ an n→∞
1 (n+1)2 +n+1 1 n 2 +n
= 1 ⇒ neumíme rozhodnout.
Z předch. příkladu víme, že řada konverguje
IMA 2015
Věta ( Odmocninové kritérium) Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s P kladnými členy an konverguje, pokud existuje reálné číslo q < 1 √ a přirozené číslo n0 , že pro každé n > n0 , platí n an < q. Pro √ n a ≥ 1 řada diverguje. n Věta ( Limitní odmocninové kritérium)
P √ Pokud pro řadu s kladnými členy an zavedeme K = lim n an , n→∞ pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro K < 1, divergentní pro K > 1 a pro K = 1 může konvergovat nebo divergovat.
IMA 2015
Příklad ( Odmocninové kritérium) řada 1 − 5 + lim
n→∞
√ n
52 22
−
53 33
n
+ ... + (−1)n−1 n5 n + ... je konvergentní
r n n (−1)n−1 n5 n = lim n5 = 0 n→∞ n→∞
an+1 = lim
IMA 2015
Věta ( Raabeovo kritérium) P
Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy an konvergentní tehdy, pokud existuje takové přirozené číslo n0 , že pro všechna n > n0 , platí n(1 − an+1 an ) > 1. Jestliže P n(1 − an+1 ) ≤ 1, pak řada a diverguje. n an Věta ( Limitní Raabeovo kritérium) P
Jestliže pro řadu s kladnými členy an zavedeme M = lim n(1 − an+1 an ), pak na základě limitního Raabeova kritéria n→∞ určíme, že řada konverguje pro M > 1, diverguje pro M < 1 a pro M = 1 může konvergovat i divergovat.
IMA 2015
Věta ( Integrální kritérium) P
Nechť an je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako an = f (n). Pokud ve funkci f (n), nahradíme diskrétní proměnnou n, spojitou proměnnou x, přičemž f (x), bude spojitou a nerostoucí funkcí na intervalu ha, ∞), kde a > 0, pak podle tzv. integrálního P kritéria je řada an konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál
R∞
f (x)dx. Pokud integrál
a
diverguje také řada
P
R∞ a
f (x)dx diverguje, pak
an .
IMA 2015
Příklad ( Integrální kritérium) ∞ P 1 n=1
n
Zx
lim
x→∞
1 = lim (ln |x| − ln 1) = ∞ ⇒ n x→∞
1
řada diverguje ∞ P n=1
1 n2
Zx
lim
x→∞
1 1 = lim 1 − n 2 x→∞ x
1
řada konverguje
IMA 2015
=1⇒
Příklad ( Integrální kritérium, pokr.) ∞ P 1 np , p > 1
n=1
Zx
lim
x→∞
1 1 1 = lim − p x→∞ n p − 1 (p − 1)x p−1
1
řada konverguje
IMA 2015
=
1 ⇒ p−1
Věta ( Leibnitzovo kritérium) ∞ P
Pro alternující řady, které zapíšeme jako
(−1)n+1 an , kde
n=1
an > 0, lze použít Leibnitzovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud a1 > a2 > a3 > ... a zároveň lim an = 0. n→∞
Příklad ( Leibnitzovo kritérium) 1 1 1 1 + − + ... + (−1)n+1 + ... 2 3 4 n 1 1 1 > a lim an = lim =0⇒ n→∞ n n n + 1 n→∞ řada konverguje, ale relativně. 1−
IMA 2015
(Operace s nekonečnými řadami) ∞ X
an = a1 + a2 + · · · + an + · · ·
n=0 ∞ X
bn = b1 + b 2 + · · · + b n + · · ·
n=0
součet ∞ X
(an + bn ) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + · · · + (an + bn ) + · · ·
n=0
rozdíl ∞ X
(an − bn ) = (a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) + · · · + (an − bn ) + · · ·
n=0
IMA 2015
(Operace s nekonečnými řadami) součin (a1 .b1 ) + (a1 .b2 + a2 .b1 ) + (a1 .b3 + a2 .b2 + a3 .b1 ) + · · · +
+(a1 .bn + a2 .bn−1 + a3 .bn−2 + · · · + an .b1 ) + · · · přerovnání
IMA 2015
(Výpočet součtu a odhad součtu, příklady)
IMA 2015
(Alternující řady) Nechť posloupnost {an }∞ n=1 je nerostoucí s limitou 0. Potom pro součet a n−tý částečný součet sn řady a1 − a2 + a 3 − a4 + · · · + (−1)n−1 an + · · · platí |s − sn | ≤ an+1 . n Uvažujme o řadě 1 − 12 + 232 − 342 + · · · + (−1)n−1 2n−1 + ··· Pro limitu n−tého člena platí lim an = 0 a posloupnost je n→∞ nerostoucí, co zjistíme porovnáním n−tého a n + 1− ního členu v abs. hodnotě (proč abs. hodnota?): n n ≥ n+1 an ≥ an+1 ⇐⇒ 2n−1 2n ⇐⇒ 2 · n ≥ n−1 2 .(n + 1) ⇐⇒ 2n ≥ n + 1 ⇐⇒ n ≥ 1. Poslední nerovnost ukazuje, že posloupnost je nerostoucí pro všechny přirozené čísla. Proto součet prvních n členů se liší od nekonečného součtu maximálně o n+1 2n . Součet prvních 10 členů se liší od součtu max. o 211 10 . IMA 2015
(Odhad pomocí geom. řady) Nechť řada
∞ P
an je absolutně konvergentní a nechť existují
n=1
a > 0, |q| < 1 také, že |an+k | ≤ a.q k−1 pro k = 1, 2, · · · . Potom pro součet a n−tý částečný součet sn řady platí |s − sn | ≤
a . 1−q
1 1 1 Uvažujme o řadě 1 + 1! + 2! + · · · + n! + · · · . Udělejte odhad chyby, které se dopustíme, když sečteme prvních 5 členů. Z předchozích příkladů víme, že se jedná o abs. konvergentní řadu. Pro (4 + k)! platí: (4 + k)! = 1.2.3.4.5.6. · · · (4 + k) ≥ 1.2.3.4.5.6.6.6. · · · .6 = 5!.6k−1. Potom pro k = 1, 2, · · ·
1 1 ≤ (4 + k)! 5!
k−1 1 6
.
Aplikujeme předošlé tvrzení o odhadu a dostáváme: |s − s5 | ≤
1 5!
1−
1
1 6
⇒ |s −
65 | ≤ 5! 24 1− IMA 2015
1 6
=
1 6 = . 5.5! 100
(Odhad pomocí integrálu) ∞ P
Nechť řada
an je absolutně konvergentní a nechť existuje
n=1
nerostoucí funkce f (x) taká, že f (n) = |an | pro n ≥ N , přičemž N je přirozené číslo. Potom pro součet a N −tý částečný součet sN řady platí |s − sN | ≤ lim
Zx
f (t)dt.
x→∞ N
Nechť α > 1. Víme, že 11α + 21α + · · · + n1α + · · · . Udělejte odhad chyby, které se dopustíme, když sečteme prvních N členů. Aplikujeme předošlé tvrzení o odhadu a dostáváme:
Zx |s − sN | ≤ lim
x→∞
1 1 dt = lim tα x→∞ (1 − α)t α−1
h
ix
=
N
N
lim x→∞
h
1 1 − (1 − α)x α−1 (1 − α)N α−1 IMA 2015
i
=
1 . (α − 1)N α−1
