Néhány szó a mátrixokról

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 1

Néhány szó a mátrixokról Az

⎛ a 11 a 12 ... a 1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ A=⎜ : : : ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ a ... a m2 mn ⎠ ⎝ m1

táblázatot, ahol aij∈H (i=1,…,m, j=1,…,n) a H elemeiből képzett m×n típusú valós mátrixnak nevezzük. Továbbá azt mondjuk, hogy A-nak m sora és n oszlopa van, és hogy aij az A i-deik sorának j-edik eleme. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 2

Az n×n típusú mátrixokat n-edrendű kvadratikus (négyzetes) mátrixoknak nevezzük. Minden kvadratikus mátrixhoz hozzárendelünk egy valós számot, a mátrix determinánsát. Definíció: másodrendű mátrixok determinánsa

⎛ a 11 a 12 ⎞ ⎟⎟ = a 11 ⋅ a 22 − a 12 ⋅ a 21 det⎜⎜ ⎝ a 21 a 22 ⎠ Példa:

⎛6 4⎞ ⎟⎟ = 6 ⋅ 7 − 4 ⋅ 3 = 30 det ⎜⎜ ⎝3 7⎠

A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 3

Definíció: harmadrendű mátrix determinánsa

(első sor szerinti kifejtéssel) ⎛ 2 4 −1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎛ 0 3⎞ ⎛0 1 ⎞ ⎛3 1 ⎞ ⎟⎟ = ⎟⎟ −1⋅ det⎜⎜ ⎟⎟ − 4 ⋅ det⎜⎜ det⎜ 0 3 1 ⎟ = 2 ⋅ det⎜⎜ ⎝ 5 1⎠ ⎝ 5 − 2⎠ ⎝1 − 2⎠ ⎜ 5 1 − 2⎟ ⎠ ⎝

+

-

+

+

+ -

+

= + 2·(-7) - 4·(-5) + (- 1)·(-15) = 21


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 4

R3, a három dimenziós euklideszi tér Vektoralgebra R3 = R×R×R = { (a,b,c) | a,b,c∈R }

Ebben a részben az R3 elmeit – a könnyebb áttekinthetőség érdekében – aláhúzással jelöljük A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 5

Definíció: műveletek R3-ban

Összeadás Ha a = (a1,a2,a3) és b = (b1,b2,b3), akkor

a + b = ( a1+b1 , a2+b2 , a3+b3 ) Szorzás számmal Ha a = (a1,a2,a3) és t∈R, akkor

t · a = ( t · a1 , t · a2 , t · a3 ) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 6

Skaláris szorzás Ha a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3), akkor

< a , b > = a ⋅ b = a1⋅b1 + a2⋅b2 + a3⋅b3 Példa:

Ha a = (2,5,-1), b = (4,-3,7), akkor: a ⋅ b = 2⋅4 + 5⋅(-3) + (-1)⋅7 = -14 Definíció: merőlegesség

a és b merőlegesek, ha a ⋅ b = 0 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 7

Példa: Az a = (2,1,-1) és a b = (4,-3,5) vektorok merőlegesek, mert a ⋅ b = 2⋅4 + 1⋅(-3) + (-1)⋅5 = 0 Definíció: vektor hossza (normája)

Az a = (a1,a2,a3) vektor hossza (normája):

| a |= a + a + a 2 1

2 2

2 3


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 8

A vektor geometriai fogalma Helyzetvektorok

Szabadvektorok Az irányított szakaszok halmazán az eltolás, mint ekvivalencia reláció, által generált osztályok

helyzetvektorok

pontok


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 9

Vektor jellemzői: • hossz (nagyság): | a | • irány • helyzetvektor esetén: a vonatkoztatási pont helye

A hossz tulajdonságai:

Speciális vektorok:

• | a | ≥ 0 ( | a | = 0 ⇔ a =0 ) • | λ⋅ a | = | λ | ⋅ | a | •|a+b|≤|a|+|b| • nullvektor: 0 • egységvektor: | v | = 1


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 10

Műveletek a geometriai értelemben vett vektorokkal Definíció: összeadás

Az összeadás tulajdonságai: •a+b=b+a •a+(b+c)=(a+b)+c •a+0=a •a+(-a)=0 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 11

Definíció: szorzás számmal

A számmal való szorzás tulajdonságai: •t·(s·a)=(t·s)·a •1·a=a •(t+s)·a= t·a+s·a •t·(a+b)=t·a+t·b A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 12

Definíció: lineáris kombináció

Az a1 , a2 , … , an vektoroknak a t1 , t2 , … , tn számokkal képzett lineáris kombinációja a

t1 · a1 + t2 · a2 + …+ tn · an vektor.


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 13

Definíció: skaláris szorzás

a ⋅ b = | a | ⋅ | b | ⋅ cosα

Egy fizikai példa: W = F ⋅ r ⋅ cosα = F ⋅ r

Megjegyzés:

a és b pontosan akkor merőlegesek, ha a ⋅ b = 0 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 14

Megjegyzés:

A koordinátarendszer és a koordináta fogalmának bevezetésekor kiderül, hogy az R3 halmaz azonosítható a geometriai vektorokkal, továbbá hogy az előzőekben definiált vektorműveletek – a vektoroknak egy adott derékszögű koordinátarendszerbeli koordinátáit tekintve – egybeesnek az R3-beli műveletekkel.


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 15

Vektoriális szorzás Az a és a b vektorok vektoriális szorzatán azt az a×b-vel jelölt vektort értjük, melyre • | a × b | = | a | ⋅ | b | ⋅ sinα • a ⊥ a×b ⊥ b • (a , b , a×b) jobbsodrású rendszer


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 16

Egy fizikai példa:

F = q ⋅ (v × B)

Vegyes szorzás

abc = a ⋅ ( b × c )


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 17

A vektoriális szorzás tulajdonságai • a × b = - (b × a) •(a+b)×c =a×c+b×c •(t⋅a)×b=t⋅(a×b) Tétel:

Az a és a b vektorok pontosan akkor párhuzamosak, ha a × b = 0


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 18

Definíció: derékszögű koordinátarendszer

Ha az i , j , k egységvektorok • páronként merőlegesek • ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak • O a tér egy rögzített pontja akkor az (O, i , j , k ) négyest derékszögű koordinátarendszernek nevezzük.


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 19

Elnevezések:

i , j , k : bázisvektorok { i , j , k } : bázis (ortonormált vektorrendszer) O : a koordinátarendszer kezdőpontja


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 20

Tétel:

Minden v vektor egyértelműen előállítható i , j , k bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

az

v = v1 · i + v2 · j + v3 · k Definíció: koordináták

A v1, v2, v3 számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 21

Megjegyzés:

Egy vektor koordinátái különböző rendszerekben különbözőek !

koordináta-

A koordinátarendszer megválasztása befolyásolhatja a számítások bonyolultságát:


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 22

Definíció: pont koordinátái

Egy pont koordinátáinak a pontba mutató helyzetvektor koordinátáit nevezzük.

P = (v1, v2, v3 ) Ha adott egy koordinátarendszer, akkor R3 és a geometriai tér pontjai (vektorai) között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ennek alapján a geometriai problémák R3–beli számításokkal megoldhatók („a vektorok koordinátáival kell számolni”) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 23

Skaláris szorzás alkalmazásai Megjegyzés:

A skaláris szorzás a ⋅ b = | a | ⋅ | b | ⋅ cosα definíciója – a vektoroknak egy adott derékszögű koordinátarendszerbeli koordinátáit tekintve – egybeesik az R3-beli skaláris szorzással: ha a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3), akkor a ⋅ b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 24

Vektorok szögének kiszámítása

a⋅b cos α = = | a |⋅| b |

a 1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b 2 + a 3 ⋅ b 3 a 12 + a 22 + a 32 ⋅ b12 + b 22 + b 32

Példa: az a = (2,-4,5) és a b = (3,1,2) vektorok szöge: a ⋅b cos α = = | a |⋅| b |

2 ⋅ 3 + ( −4 ) ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 2 2 + (−4) 2 + 52 ⋅ 32 + 12 + 2 2

=

12 = 0.48 45 ⋅ 14

⇒ α = 68° A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 25

A koordinátatengelyre eső merőleges vetület

Vetületek hossza ( = koordináták ): v1 = v ⋅ i , v2 = v ⋅ j , v3 = v ⋅ k Vetületvektorok: v1 = v1 ⋅ i = (v ⋅ i) ⋅ i v2 = v2 ⋅ j = (v ⋅ j) ⋅ j v3 = v3 ⋅ k = (v ⋅ k) ⋅ k v = (v ⋅ i) ⋅ i + (v ⋅ j) ⋅ j + (v ⋅ k) ⋅ k A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 26

Tetszőleges (irányvektorával megadott) egyenesre eső merőleges vetület

A v vetületének hossza az a–val párhuzamos egyenesre vonatkozóan:

| d | = v ⋅ a0 Vetületvektor:

d = (v ⋅ a0) ⋅ a0

1 Ahol a = ⋅ a az a≠0 vektorral egyirányú egységvektor. a 0


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 27

Tétel: vektoriális szorzat kiszámítása koordinátákkal

Ha a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3), akkor

a × b = ( a2⋅b3-a3⋅b2 , -a1⋅b3+a3⋅b1 , a1⋅b2-a2⋅b1 ) Könnyebben megjegyezhető formában: Emlékeztető:

⎛ i ⎜ a × b = det ⎜ a 1 ⎜b ⎝ 1

j a2 b2

k⎞ ⎟ a3 ⎟ b 3 ⎟⎠

• | a × b | = | a | ⋅ | b | ⋅ sinα • a ⊥ a×b ⊥ b • (a , b , a×b) jobbsodrású rendszer A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 28

Példa:

Az a = (4,5,-1) és a b = (2,3,6) vektorok vektoriális szorzata:

⎛i j k ⎞ ⎟ ⎜ ⎛ 4 − 1⎞ ⎛ 5 − 1⎞ ⎟⎟ ⋅ j + ⎟⎟ ⋅ i − det ⎜⎜ a × b = det ⎜ 4 5 − 1⎟ = det ⎜⎜ ⎝2 6 ⎠ ⎝3 6 ⎠ ⎜2 3 6 ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 4 5⎞ ⎟⎟ ⋅ k = 33 ⋅ i − 26 ⋅ j + 2 ⋅ k = (33,−26,2) + det ⎜⎜ ⎝ 2 3⎠ A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 29

A vektoriális szorzás geometriai alkalmazása: háromszög területe Példa:

A = (1,3,0) B = (5,8,-1) C = (3,6,6)

|a×b| T= 2

Ekkor a = (4,5,-1), b = (2,3,6), így a×b = (33,-26,2),

|a×b| 1 1 2 2 2 T= = ⋅ 33 + (−26) + 2 = ⋅ 1769 = 21 2 2 2 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 30

A vegyes szorzat kiszámítása koordinátákkal

⎛ a1 ⎜ abc = det ⎜ b1 ⎜c ⎝ 1

a2 b2 c2

a3 ⎞ ⎟ b3 ⎟ c 3 ⎟⎠

Emlékeztető:

abc = a ⋅ ( b × c )


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 31

A vegyes szorzás geometriai alkalmazása: tetraéder térfogata

Példa:

A = (1,3,0) B = (5,8,-1) C = (3,6,6) D = (-4,-3,0)

| abc | V= 6

Ekkor a = (4,5,-1), b = (2,3,6), c = (-5,-6,0), 5 − 1⎞ ⎛ 4 ⎜ ⎟ abc = det ⎜ 2 3 6 ⎟ = −9 ⎜−5 − 6 0 ⎟ ⎝ ⎠

| abc | | −9 | V= = = 1,5 6 6


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 32

Egyenes előállítása R→R3 függvénnyel

Az r0 helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, v irányvektorú egyenest állítja elő a következő függvény:

r(t) = r0 + t ⋅ v , t∈R

Megjegyzés: A t paraméterértékek és az egyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést jelent a fenti függvénykapcsolat. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektoralgebra ________________________________________________

VE 33

Legyen r = ( x , y , z ), r0= ( x0 , y0 , z0 ), v = ( v1 , v2 , v3 ). Ekkor a fenti vektorfüggvény koordinátákra bontva (az egyenes paraméteres egyenletrendszere):

x(t) = x0 + v1 ⋅ t y(t) = y0 + v2 ⋅ t , t∈R z(t) = z0 + v3 ⋅ t r0

v


Vektoralgebra ________________________________________________

Példa:

VE 34

r0 = ( 2,5,3 ), v = ( 4,-3,1 ). Ekkor az egyenes: x(t) = 2 + 4 ⋅ t y(t) = 5 – 3 ⋅ t , t∈R z(t) = 3 + 1 ⋅ t

Az egyenes néhány pontja és a hozzá tartozó paraméterérték: t1 = 0

P1 = (2,5,3)

t2 = 2

P2 = (10,-1,5)

t3 = -1

P3 = (-2,8,2)


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 35

Sík előállítása R2→R3 függvénnyel

Az r0 helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, az u és a v vektorokkal párhuzamos síkot állítja elő a következő függvény:

r(t,s) = r0 + t ⋅ u + s ⋅ v ,

(t,s)∈R2


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 36

Legyen r = (x,y,z), r0= (x0,y0,z0), u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3). Ekkor a fenti vektorfüggvény koordinátákra bontva:

x(t,s) = x0 + u1 ⋅ t + v1 ⋅ s y(t,s) = y0 + u2 ⋅ t + v2 ⋅ s , z(t,s) = z0 + u3 ⋅ t + v3 ⋅ s r0

u

t,s∈R

v


Vektoralgebra ________________________________________________

Példa:

VE 37

r0 = (2,5,3), u = (4,-3,1), v = (1,2,7) . Ekkor a sík: x(t,s) = 2 + 4 t + 1 ⋅ s y(t,s) = 5 – 3 ⋅ t + 2 ⋅ s , z(t,s) = 3 + 1 ⋅ t + 7 ⋅ s

t,s∈R

A sík néhány pontja és a hozzá tartozó paraméterérték: (t1,s1) = (0,0)

P1 = (2,5,3)

(t2,s2) = (1,2)

P2 = (8,6,18)

(t3,s3) = (-1,1)

P3 = (-1,10,9)


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 38

Sík normálvektoros előállítása

Az r0 helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, az n normálvektorú sík egyenlete:

〈 r - r0 , n 〉 = 0


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 39

Legyen r = (x,y,z), r0= (x0,y0,z0), n = (A,B,C) Ekkor a fenti egyenlet:

〈 r - r0 , n 〉 = 0 〈 (x,y,z) - (x0, y0, z0) , (A,B,C) 〉 = 0 〈 (x-x0 , y-y0, z-z0) , (A,B,C) 〉 = 0 A⋅(x-x0) + B⋅(y-y0) + C⋅(z-z0) = 0 A⋅x + B⋅y + C⋅z + (-A⋅x0 - B⋅y0 - C⋅z0 ) = 0 A⋅x + B⋅y + C⋅z + D = 0


Vektoralgebra ________________________________________________

VE 40

A⋅(x-x0) + B⋅(y-y0) + C⋅(z-z0) = 0 formula a sík általános egyenlete. A változók együtthatói a sík egy normálvektorának koordinátái. Az általános egyenletet elosztva a n=(A,B,C) normálvektor hosszával a sík normál egyenletét kapjuk: ahol

a⋅(x-x0) + b⋅(y-y0) + c⋅(z-z0) = 0 a=

c=

A A +B +C C 2

2

A +B +C 2

2

2

2

b=

d=

B A 2 + B2 + C 2

D A 2 + B2 + C 2


Néhány szó a mátrixokról

Recommend Documents