NÉHÁNY GONDOLAT A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL

MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK

NÉHÁNY GONDOLAT A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL LÉNÁRT IMRE – RAPPAI GÁBOR A következtetéses statisztika egyik módszercsaládját a statisztikai becslések alkotják. A becslés során mintabeli információk alapján adunk közelítő értéket valamely alapsokasági jellemzőre (paraméterre). Kézenfekvő, hogy mivel nem a teljes alapsokaság információit használjuk, a végeredményt képező becsült érték nem feltétlenül egyezik meg a becsülni kívánt jellemzővel, azaz statisztikai hibát követünk el. A becslések „jóságára” vonatkozóan két – sok tekintetben egymás ellen „dolgozó” – kritériumot szokás megfogalmazni, ezek a megbízhatóság, és a pontosság. Ez a két kritérium pontbecslések esetén nem alkalmazható, hiszen a pontbecslések megbízhatóságával – azzal, hogy egy pontbecslés milyen valószínűséggel esik egybe a becsülni kívánt sokasági jellemzővel – sok esetben nem érdemes foglalkozni (elegendő arra gondolni, hogy folytonos esetben annak valószínűsége, hogy egy becslőfüggvénnyel éppen eltaláljuk a célt, nulla). Ezért ezek a kritériumok intervallumbecslések esetén nyerik el igazi értelmüket, hiszen akkor megbízhatóbb az intervallumbecslés, ha az általa meghatározott konfidenciaintervallum nagyobb valószínűséggel tartalmazza az alapsokasági paramétert. A konfidenciaintervallum fogalmának bevezetése után könnyen értelmezhető a második, pontossági kritérium is: pontosabb az a becslés, amely rövidebb (szűkebb) konfidencia-intervallumot eredményez. Ez az eszmefuttatás természetesen csak a torzítatlan becslőfüggvények esetén helyes. Mivel a bevezető gondolatok közismertek, nem gondoljuk, hogy ennél részletesebb kifejtésre van szükség ahhoz, hogy az általunk vizsgált kérdéssel foglalkozzunk. Előbbi fejtegetésünk alapján azt várnánk, hogy a statisztikai gyakorlat mindenkor törekszik az adott megbízhatósági szinten legpontosabb, illetve az ezzel ekvivalens adott intervallum-hosszúság esetén a legmegbízhatóbb becslés meghatározására. Rövid tanulmányunkban egy ellenpéldára hívjuk fel a figyelmet, valamint megoldást javasolunk a kérdés megoldására. TÁRGYSZÓ: Intervallumbecslés. Varianciabecslés. Legszűkebb intervallum.

A

sokasági szórásnégyzet (variancia) intervallumbecslése viszonylag gyakori probléma a gazdasági elemzésekben. Statisztikus körökben triviálisnak számít a feladat elvégzése: normális eloszlású alapsokaság és n elemű, független azonos eloszlású (FAE-) minta esetén – amennyiben a várható értéket mintából becsüljük – ismert,1 hogy az 1

Lásd Hunyadi–Mundruczó–Vita (1996): Statisztika. Aula Kiadó, Budapest, 362–363. old. Statisztikai Szemle, 79. évfolyam, 2001. 7. szám

614

LÉNÁRT IMRE – RAPPAI GÁBOR

[(n - 1)s ]

s 2 változó (n–1) szabadságfokú c 2 eloszlást követ, vagyis felírható az alábbi összefüggés: 2

ìï (n - 1)s 2 < c 2 üï = 1 - a Pr íc 2a < f ý ïþ ïî s2

/1/

ahol: 1 - a – a becslés során alkalmazni kívánt megbízhatósági szint, s 2 – a mintabeli korrigált variancia, s 2 – a becsülni kívánt alapsokasági variancia,

c 2a ; c 2f … – az (n–1) szabadságfokú c 2 eloszlás megfelelő kvantilisei.

Az /1/ feladat megoldása egyszerű, a konfidencia-intervallum az alábbi formájú lesz:

ìï (n - 1)s 2 (n - 1)s 2 üï = 1 - a 2 < s < Pr í ý 2 c 2a ïþ ïî c f

/2/

A statisztikai gyakorlat – valószínűleg az ember természetes szimmetriaérzékének kielégítésére – a c 2 eloszlás megfelelő kvantiliseit az ún. „farokvalószínűségekben” szimmetrikusan2 határozza meg, vagyis:

{

}

{

}

Pr c 2 £ c a2 = Pr c 2f £ c 2 = a 2

/3/

Mindez olyan mértékben bevett gyakorlat, hogy a c 2 eloszlás kvantiliseit tartalmazó standard táblák nem is teszik lehetővé más elven képződő kritikus értékek meghatározását. A /3/ képletben is alkalmazott gyakorlat egyáltalán nem kifogásolható szimmetrikus eloszlások esetén (így például a várhatóérték-becslés esetén teljesen korrekt), ugyanis belátható, hogy szimmetrikus sűrűségfüggvénnyel rendelkező becslőfüggvény esetén a /3/ képletben rejlő elv alapján meghatározott intervallum egyben az adott (1–a) megbízhatósági szinten a minimális hosszúságú intervallum is, ráadásul ez esetben az intervallum a pontbecslés körül szimmetrikusan helyezkedik el, vagyis könnyen értelmezhető a népszerű qˆ ± D formában.3

Ugyanakkor aszimmetrikus eloszlású statisztika esetén – empirikusan is könnyen belátható – a legrövidebb intervallum és a farokvalószínűségekben szimmetrikus intervallum nem esik egybe. 2 A kvantilisek szimmetriáját itt és a továbbiakban úgy értelmezzük, hogy a kvantilis tartalma (tehát nem értéke) a mediánra szimmetrikus. Így például szimmetrikus kvantilisek a kvartilisek, vagy az első és a kilencedik decilis, vagy az első és a kilencvenkilencedik percentilis. 3

Az általános statisztikai jelölésrendszernek megfelelően qˆ a pontbecslés értéke, D az ún. hibahatár.

615

A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL

Tekintsük a következő egyszerű példát! Becsüljük az alapsokasági szórásnégyzetet 6 elemű minta alapján. /2/-ből tudjuk, hogy az intervallum alsó és felső határa csak az

(n - 1)s 2 c 2k

=

5s 2 c 2k

változó nevezőjében szereplő kvantilis értékében, c 2k -ban különbözik. Az 5 szabadságfokú c 2 eloszlás néhány nevezetes kvantilise:

{ } Pr {χ < 1,145} = 0 ,05 Pr {χ < 12 ,832} = 0 ,975 Pr {χ < ¥} = 1 Pr χ 52 < 0 ,831 = 0 ,025 2 5

2 5

2 5

Az előbbiekből következően akár 2 különböző intervallumot is kijelölhetünk adott, esetünkben például 95 százalékos megbízhatósági szinten:

é ù 5s 2 5s 2 0 ; = = 4,367 s 2 ú , illetve ê lim 2 2 1,145 êëc ®¥ c úû

é 5s 2 ù 5s 2 = 0,389 s 2 ; = 6,017 s 2 ú . ê 0,831 êë 12,832 úû

Az intervallumok hossza láthatóan függ s 2 értékétől, a két intervallum hosszának nagyságrendi relációja azonban nem. Látható, hogy a második – kvantiliseiben szimmetrikus – intervallum minden mintabeli korrigált szórásnégyzet esetén hosszabb. Amennyiben elfogadjuk, hogy az intervallumbecslés során célunk olyan minimális hosszúságú intervallum meghatározása, amelyben rögzített valószínűséggel (megbízhatósági szinten) található a becsülni kívánt jellemző, úgy az /1/ feladat kiegészítendő egy feltétellel: ìï (n - 1)s 2 < c 2 üï = 1 - a Pr íc 2a < f ý ïî ïþ s2

(

c 2f

- c 2a

® min

)

/4/

Elméleti úton könnyen belátható, hogy ha b

ò f ( x)dx = 1 - a

a

konstans, vagyis a megbízhatósági szint adott, akkor egymóduszú sűrűségfüggvény (vagyis egy inflexiós ponttal rendelkező eloszlásfüggvény) esetén b - a minimuma ott van, ahol f (a ) = f (b ) .

616


A bizonyítás elve a Riemann-integrál fogalomrendszerére épül. Az eljárás során tételezzük fel, hogy olyan 1–a megbízhatósági szintet választottunk, ahol a bal oldali farokvalószínűség felső határa kisebb, a jobb oldalié nagyobb, mint az adott c2 eloszlás sűrűségfüggvényének maximumhelye. (Ez – könnyen beláthatóan – nem korlátozó feltétel.) A c2 eloszlás sűrűségfüggvénye az értelmezési tartományon szakaszosan szigorúan monoton, maximumpontjától balra növekvő, jobbra csökkenő. Induljunk ki abból, hogy az 1–a megbízhatósági szinthez tartozó konfidencia-intervallum hossza b–a, és teljesül az f (a ) = f (b ) összefüggés. Csökkentsük egy végtelenül kis egységgel (e) a-t. Ekkor az intervallum hosszabb lett (b–(a–e)), a megbízhatósági szint szintén növekedett (1– α+f(a–e)). Annak érdekében, hogy a két farokvalószínűség összege a maradjon (vagyis a megbízhatósági szint ne változzon), b-t is csökkenteni kell, azonban a szigorú monotonitásból következőleg f(a–e)f(b) (fordított esetre hasonlóan belátható). Ha a-t egy végtelenül kis egységgel növeljük a farokvalószínűségek összege akkor és csak akkor marad az általunk választott a, ha b-t is növeljük. Mivel a-nál a sűrűségfüggvény szigorúan monoton növekvő, b-nél pedig csökkenő, ezért f(a+e)>f(b+e). Ebből adódóan b-t nagyobb mértékben kell növelni (legyen a növekmény e+k), mint a-t, hiszen csak ekkor lesz a sűrűségfüggvény alatti terület (a megbízhatósági szint) azonos. Mivel a (b+e+k)–(a+e) távolság nagyobb lesz, mint a kiindulási állapotban b–a, a növelésével nem érhetjük el célunkat. Ellenkező esetben, ha a-t csökkentjük, sokkal kedvezőbb eredményre jutunk: a végtelenül kis egységgel való csökkentésével a és b viszonya a következő lehet: 1. f(a–e)=f(b–e): elértük a bizonyítandó állapotot, 2. f(a–e) még mindig nagyobb f(b–e)-nél.

A 2. esetben a-nak egy végtelenül kis egységgel való csökkentése azt eredményezi, hogy a sűrűségfüggvény alatti terület, vagyis a megbízhatósági szint f(b)-vel csökken, és f(a–e)-vel nő. Mivel a sűrűségfüggvény maximumától jobbra szigorúan monoton csökkenő, ezért f(b–e)>f(b), ebből következik (hiszen a 2. esetet vizsgáljuk), hogy f(a–e)>f(b), tehát a sűrűségfüggvény alatti terület összességében növekszik. Ahhoz, hogy a terület ne változzon, b-t nem elég e-vel, hanem ennél nagyobb értékkel kell csökkenteni, ennek következtében az 1–a megbízhatósági szintet eredményező tartomány hossza rövidül. Ezt egészen addig folytathatjuk, míg f(a)=f(b), azaz beláttuk, hogy adott megbízhatósági szinten ez a legrövidebb intervallum. Az előbbi összefüggést kihasználva,4 az adott megbízhatósági szinthez tartozó, minimális hosszúságú intervallumot eredményező c 2k kritikus értékek5 táblába rendezhetők. (Lásd az 1. táblát.) 4 Ez a megoldás természetesen csak azon c2 eloszlások esetén létezik, amelyeknél a sűrűségfüggvény egymóduszú; így a monoton csökkenő sűrűségfüggvények esetén (szabadságfok nem nagyobb, mint 2) a legrövidebb intervallum az „első” 1 - a százalékhoz tartozó intervallum.

617

A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 1. tábla

A minimális hosszúságú intervallumhoz tartozó kritikus c 2 értékek különböző mintanagyság és megbízhatósági szint esetén c 2 alsó Szabadságfok

c 2 felső

c 2 alsó

0,9

c 2 felső

c 2 alsó

0,95

c 2 felső 0,99

megbízhatósági szint esetén

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200

0,0000 0,0000 0,0121 0,1676 0,4764 0,8827 1,3547 1,8746 2,4313 3,0173 3,6276 4,2582 4,9063 5,5696 6,2462 6,9347 7,6339 8,3427 9,0603 9,7859 10,5188 11,2586 12,0046 12,7565 13,5139 14,2764 15,0437 15,8155 16,5917 17,3718 25,3568 33,5908 41,9994 50,5391 59,1821 67,9091 76,7061 121,4472 167,0215

2,7055 4,6052 6,2595 7,8643 9,4338 10,9584 12,4423 13,8922 15,3136 16,7108 18,0874 19,4462 20,7895 22,1190 23,4362 24,7424 26,0386 27,3257 28,6046 29,8759 31,1401 32,3978 33,6495 34,8954 36,1362 37,3719 38,6029 39,8296 41,0521 42,2706 54,2764 66,0371 77,6250 89,0828 100,4379 111,7095 122,9113 178,1668 232,5908

0,0000 0,0000 0,0032 0,0847 0,2962 0,6070 0,9892 1,4250 1,9026 2,4139 2,9532 3,5162 4,0994 4,7005 5,3171 5,9477 6,5908 7,2453 7,9100 8,5842 9,2670 9,9579 10,6562 11,3614 12,0731 12,7908 13,5142 14,2430 14,9769 15,7155 23,3190 31,2176 39,3235 47,5851 55,9695 64,4537 73,0212 116,7580 161,4865

3,8415 5,9915 7,8168 9,5303 11,1914 12,8024 14,3686 15,8966 17,3923 18,8604 20,3050 21,7289 23,1348 24,5247 25,9003 27,2631 28,6142 29,9546 31,2854 32,6073 33,9208 35,2267 36,5254 37,8176 39,1034 40,3835 41,6579 42,9273 44,1916 45,4513 57,8362 69,9306 81,8203 93,5554 105,1687 116,6826 128,1137 184,3725 239,6419

0,0000 0,0000 0,0001 0,0175 0,1010 0,2640 0,4962 0,7856 1,1221 1,4978 1,9069 2,3444 2,8069 3,2912 3,7949 4,3161 4,8530 5,4041 5,9683 6,5444 7,1316 7,7289 8,3358 8,9515 9,5755 10,2073 10,8464 11,4923 12,1448 12,8034 19,6700 26,9189 34,4373 42,1586 50,0399 58,0517 66,1724 107,9520 151,0304

6,6349 9,2104 11,3450 13,2855 15,1269 16,9013 18,6213 20,2955 21,9308 23,5328 25,1056 26,6530 28,1781 29,6831 31,1703 32,6413 34,0974 35,5402 36,9706 38,3895 39,7979 41,1967 42,5861 43,9672 45,3400 46,7056 48,0639 49,4156 50,7609 52,1003 65,2189 77,9614 90,4372 102,7116 114,8273 126,8133 138,6908 196,9060 253,8243

5 A kritikus értékek itt a megfelelő rendű kvantilist jelentik. Bár a kritikus érték kifejezést inkább a statisztikai hipotézisvizsgálatok tárgyalásánál szokták használni, tekintve, hogy tartalmilag itt is hasonló jelentése van, ilyen környezetben való alkalmazása vélhetően nem lesz zavaró.

618


Annak érdekében, hogy a „hagyományos”, illetve a minimális intervallumhosszt eredményező kritikus értékek viszonya érzékelhető legyen tekintsük a 2. táblát. 2. tábla

A kvantiliseiben szimmetrikus, illetve a minimális hosszúságú intervallumhoz tartozó kritikus c 2 értékek c 2 alsó Szabadságfok

Típus

c 2 felső

c 2 alsó

0,9

c 2 felső

c 2 alsó

0,95

c 2 felső 0,99


10 10 20 20 30 30 50 50 100 100

hagyományos minimális hosszúságú hagyományos minimális hosszúságú hagyományos minimális hosszúságú hagyományos minimális hosszúságú hagyományos minimális hosszúságú

3,9403 3,0173 10,8508 9,7859 18,4927 17,3718 34,7642 33,5908 77,9294 76,7061

18,3070 16,7108 31,4104 29,8759 43,7730 42,2706 67,5048 66,0371 124,3421 122,9113

3,2470 2,4139 9,5908 8,5842 16,7908 15,7155 32,3574 31,2176 74,2219 73,0212

20,4832 18,8604 34,1696 32,6073 46,9792 45,4513 71,4202 69,9306 129,5613 128,1137

2,1558 1,4978 7,4338 6,5444 13,7867 12,8034 27,9908 26,9189 67,3275 66,1724

25,1881 23,5328 39,9969 38,3895 53,6719 52,1003 79,4898 77,9614 140,1697 138,6908

A 2. tábla alapján meghatározható, hogy az intervallum – a becsült varianciától nem független – hossza milyen arányban haladja meg hagyományos esetben a minimálisan szükséges intervallumhosszt. Megfigyelhető, hogy a 2. táblában az intervallumot kijelölő kritikus c 2 értékek a mintanagyság (tehát a szabadságfok) növelésével párhuzamosan tartanak a kvantilisekben szimmetrikus kritikus értékekhez. Mindez a c 2 eloszlás és a standard normális eloszlás összefüggésének ismeretében – vagyis annak tudatában, hogy a szabadságfok növelésével a c 2 eloszlás közelít a szimmetrikushoz – nem meglepő. Látható, hogy a 2. táblába foglalt kritikus értékek – noha a minimális hosszúságú intervallumot eredményezik – nem idéznek elő a pontbecslésre (mintabeli varianciára) szimmetrikus intervallumot. Ha ilyen „középpontosan szimmetrikus” intervallumot igénylünk,6 az /1/ feladat nem a /4/-ben meghatározott feltétellel bővül, hanem a következő egyenlőséget tartalmazza:

s2 -

(n - 1)s 2 = (n - 1)s 2 - s 2 c 2f

c a2

,

/5/

ebből – egyszerű átrendezéssel – következik:

c 2f =

(n - 1)c 2a 2c 2a - (n - 1)

,

/6/

6 Belátható, hogy ez az empirikusan legkevésbé megmagyarázható „igény”. Az intervallum ilyen módon történő kijelölése inkább elméleti jellegű probléma.

619


így /2/ a következőképpen módosul

ìï (n - 1)s 2 < s 2 < (n - 1)s 2 üï = 1 - a , Pr í2 s 2 ý ïî c 2a c 2a ïþ

/7/

ahol a vizsgálat (n–1) szabadságfokú c2 eloszlásra vonatkozik. Mivel s 2 ³ 0 és s 2 nem negatív, így

2-

(n - 1) ³ 0 c 2a

,

vagyis c 2a ³ (n - 1) 2 . Mindez azt jelenti, hogy ha szimmetrikus intervallumot akarunk, az alsó kritikus értéknek meg kell haladnia7 a szabadságfok (a c2 eloszlás ismert tulajdonsága alapján a várható érték) felét. Mindezek alapján két megállapítást tehetünk: 1. nem feltétlenül képzelhető el minden mintanagyság (szabadságfok) és minden megbízhatósági szint esetén szimmetrikus intervallum, hiszen az alsó kritikus értékhez tartozó farokvalószínűség determinálja a maximális megbízhatósági szintet (ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy mindaddig, amíg a szabadságfok feléhez nem tartozik legalább a 2 bal oldali farokvalószínűség, addig 1–a megbízhatósággal, n elemű mintából nem lehet értékben szimmetrikus varianciabecslést készíteni); 2. adott szabadságfok és megbízhatósági szint esetén a szimmetrikus intervallumot eredményező kritikus értékek táblába rendezhetők.

A 3. tábla a szimmetrikus intervallumokat eredményező kritikus értékeket tartalmazza különböző szabadságfok és megbízhatósági szint mellett. 3. tábla

Kritikus értékek szimmetrikus intervallum képzéséhez c 2 alsó Szabadságfok

c 2 felső 0,9

c 2 alsó

c 2 felső 0,95

c 2 alsó

c 2 felső 0,99


11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5,5777 6,3084 7,0400 7,7829 8,5614 9,3098 10,0761 10,8412 11,6462 12,4300

394,9711 122,7473 84,7428 69,5866 60,4936 56,8639 54,3423 52,9927 51,5505 51,1523

8,6746 9,3926 10,1192 10,8532

422,2633 215,3272 155,2552 127,2062 (A tábla folytatása a következő oldalon.)

7 Az egyenlőtlenség nem teljesülhet egyenlőség formájában, ugyanis ekkor a /6/ egyenletben számított felső kritikus érték számítása során nullával kellene osztani.

620

LÉNÁRT IMRE – RAPPAI GÁBOR (Folytatás.) 2

2

c alsó Szabadságfok

2

c felső

2

c alsó

0,9

2

c felső

c 2 felső

c alsó

0,95

0,99


21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200

13,2119 14,0146 14,8208 15,6292 16,4382 17,2570 18,0513 18,8520 19,6824 20,4955 28,7678 37,1975 45,7331 54,4191 63,1585 71,9659 80,8303 125,7980 171,4953

51,1544 51,1383 51,3243 51,6778 52,1754 52,6993 53,5435 54,3961 55,0699 55,9428 65,6213 76,2400 87,2044 98,0821 109,0891 120,0949 131,0890 185,7327 239,8694

11,5939 12,3410 13,0939 13,8523 14,6158 15,3842 16,1566 16,9334 17,7146 18,4993 26,5128 34,7361 43,0971 51,5643 60,1171 68,7428 77,4315 121,5903 166,5801

111,2872 101,2325 94,4715 89,7408 86,3498 83,8846 82,1020 80,8171 79,9047 79,2993 81,4178 89,1940 98,7176 108,9540 119,5343 130,2889 141,1360 195,7332 250,1950

15,1249 1816,9309 22,3455 190,5399 29,9351 151,6432 37,7593 145,9891 45,7587 148,8618 53,5897 157,7360 61,8087 165,4737 70,1227 174,2379 112,6998 224,2050 156,8310 275,9604

Látható, hogy 12 eleműnél kisebb minta esetén a szokásos megbízhatósági szinteken nem lehet a pontbecslésre szimmetrikus intervallumot becsülni (a 10 szabadságfokú c2 eloszlás esetén az 5-höz tartozó jobb oldali farokvalószínűség mindössze 0,8911). Ismét felhívjuk a figyelmet arra a tényre, hogy a három – különböző megfontolások alapján képzett – becslés esetében a mintanagyság (szabadságfok) növelésével a kritikus értékek közelítenek egymáshoz. A c2 eloszlás ezen – a „szimmetrikussá válásból” eredő – tulajdonságának illusztrálására tekintsük a 4. táblát. 4. tábla

A három különböző elven képzett intervallumbecslés kritikus értékei c 2 alsó Szabadságfok

Típus

c 2 felső

c 2 alsó

0,9

c 2 felső

c 2 alsó

0,95

c 2 felső 0,99


100 100 100 200 200 200

hagyományos minimális hosszúságú szimmetrikus hagyományos minimális hosszúságú szimmetrikus

77,9294 76,7061 80,8303 168,2785 167,0215 171,4953

124,3421 122,9113 131,0890 233,9942 232,5908 239,8694

74,2219 73,0212 77,4315 162,7280 161,4865 166,5801

129,5613 128,1137 141,1360 241,0578 239,6419 250,1950

67,3275 66,1724 70,1227 152,2408 151,0304 156,8310

140,1697 138,6908 174,2379 255,2638 253,8243 275,9604

621


Megfigyelhető, hogy a minimális hosszúságú intervallumhoz tartozó kritikus értékek alulról, a szimmetrikus intervallumhoz tartozó kritikus értékek pedig felülről (és lassabban) konvergálnak a „hagyományos” értékekhez. Összefoglalva megállapítható, hogy a szimmetrikus eloszlású becslőfüggvényekkel ellentétben az aszimmetrikus eloszlású becslőfüggvénnyel rendelkező alapsokasági variancia esetében a hagyományos intervallumbecslési eljárás nem eredményez adott megbízhatósági szinten minimális hosszúságú intervallumot. Ezért javasoljuk a varianciabecslés során az 1. táblában bemutatott kritikus értékek használatát. Megállapítható, hogy az így keletkező intervallumok nem lesznek szimmetrikusak a pontbecslésre, ám ez a varianciabecslés esetén nem is feltétlenül elvárt. SUMMARY It is a common practice in statistics that estimating the confidence intervals, quantiles of the distribution function belonging to the a 2 tail probabilities are used. It is also well known that in the case of asymmetric distributions this procedure does not yield narrowest confidence intervals. The first part of the paper, based on computer algorithms, gives the narrowest confidence limits for the widely used variance estimator. The second part shows that symmetric confidence intervals (in an equidistant sense) for the same problem can only be deduced in case of large samples, when the sample size overtakes certain limits. Some of these results are shown in the paper as well.

NÉHÁNY GONDOLAT A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL

Recommend Documents