Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvényt; most itt az ideje, hogy változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hogy belátjuk: egészen meglepő mutatványokat vihetünk végbe a segítségével. Ez az írás éppen erről szól. Persze, feltehető a kérdés, hogy miért pont most? A válasz az, hogy az olyan ügyes / ingyenes rajzoló programok, mint amilyen a Graph is, nagyon megkönnyítik az amúgy eléggé bonyodalmas munkát: ~ segítenek leellenőrizni a képleteket, függvényábrázolással; ~ gyorsan és pontosan elkészítik a függvények grafikonját. Erre mondják, hogy aranyat ér. A feladat és megoldása keletkezési körülményeiről A műszaki életben gyakran találkozunk anyagok, szerkezetek, berendezések jelleggörbéjével, más néven karakterisztikájával. Ezt általában méréssel veszik fel. Ezek a grafikusan ( is ) adott függvények gyakran bonyolultak, képük sokszor nem egyenes, ill. sík, hanem valamilyen görbe vonal, ill. felület. Egy görbe vonal azonban sokszor egyenes szakaszokkal közelíthető, ezáltal a jelleggörbe nemlineáris függvénye helyettesíthető lineáris függvények sorával. Erre mutat példát az 1. ábra is – [ 1 ].
1. ábra Itt két különböző anyag σ = f ( ε ) szakító - diagramja látható, feltüntetve az egyenesekkel való közelítés megvalósítási módját is. Egy másik példát is megmutatunk a 2. ábrán – [ 2 ]. Ezen az szemlélhető, hogy egy elektromos erősítő töröttvonal alakúnak vett I = f ( U ) karakterisztikáját hogyan lehet részfüggvényekből összerakni. Ez az ábra már közvetlenül csatlakozik írásunk témájához.
2
2. ábra A könyvekben néha azt írják, hogy az egyenesekkel való közelítéssel a műszaki feladat kényelmesen megoldható. Ez nem egészen igaz minden esetben; ugyanis: ha a karakterisztika közelítő egyenes szakaszainak különálló lineáris függvényeivel dolgozunk, akkor a szakaszhatárok kezdő és végpontjaival összefüggő többi mennyiségre vonatkozó kezdő és végpontokat a számítás során meg kell keresni, mert pl. azok valamely levezetett függvény számítási határai, akkor a megoldás komolyabb nehézségekbe ütközhet. Ezzel szemben, ha a karakterisztikát egyetlen – akár sok részből összetett – függvénnyel írjuk le, akkor a leíró függvény a karakterisztika töréspontjait ugyanúgy kezeli, mint bármely szakasz közbenső pontját. Ez komoly könnyebbséget jelenthet. Az már egy másik kérdés, hogy a karakterisztika különböző egyenes szakaszait egységesen kezelő közelítő függvény már nem lineáris, miközben a lineáris közelítéssel a megoldás során fellépő egyenletek linearitását próbáltuk biztosítani. Szóval, amit megnyertünk a réven, azt elvesztettük a vámon. Vagy mégsem? Erre a választ annak a konkrét feladatnak a megoldása során kaphatjuk meg, amelyben a karakterisztika szerepet kapott. A 2. ábra első sorában ábrázolt függvényt az alatta lévő „egységfüggvényekkel” kétféleképpen is össze lehet állítani. Látható, hogy mindegyik összetevő függvény a teljes értelmezési tartományon értelmezve van, nem csak annak valamely szakaszán. Éppen ez az a – címben is említett – keletkezési körülmény, ami hosszas elmélkedés és a segítő technika megjelenése után a jelen írás eredményeihez is vezetett. Az összetett feladatok – legyenek azok bármik is – megoldása ma már lényegesen támaszkodik a számítógépes segítségre, az azonban ma sem mindegy, hogy a legyőzendő nehézségek milyen nagyok.
3
A feladat Most tekintsük a 3. ábrát!
3. ábra Feladatul tűztük ki magunknak, hogy felállítjuk a 3. ábra szerinti, 4 darab egyenes szakaszból álló töröttvonallal jellemezhető karakterisztikának a teljes értelmezési tartományon működő egyetlen egyenletét. Adott:
x1 , x 2 ; m1 , m 2 , m1 , m 2 .
Keresett: y f x1 , x 2 , m1 , m2 , m1 , m2 ;x.
A megoldás Ahogyan az a felvezetés alapján már várható, a megoldást a teljes értelmezési tartományon működő egységfüggvényekből rakjuk össze. Bár ezek már viszonylag régóta ismertek, a műszaki élet mindennapjaiban mégsem sűrűn találkozunk velük. Ennek bizonyára az az egyik oka, hogy ha nem is olyan elegáns, de megbízhatóan működő egyéb megoldások is rendelkezésre állnak. Ez a helyzet pl. a tartók igénybevételi függvényeinek leírása esetében is. Bevezető jellegű, matematikával foglalkozó könyvekben is találkozhatunk a mondott speciális függvényekkel – [ 3 ] , [ 4 ].
4
Megoldásunk „lelke” az ( egyik ) egységfüggvény, melynek alapalakját és annak keletkezését a 4. ábrán szemlélhetjük.
4. ábra Ebből egy nyújtás / zsugorítással, majd eltolással – ld. az 5. ábrát is! – : 1 m m y (0) x x y (1) x x y (2) y (0) x x 0 x x 0 . 2 2 2
5. ábra A 3. ábra függvényének összetevő függvényeit egyenként felírjuk, majd konkrét adatokkal ábrázoljuk. Az ábrázolás adatai, a 3. ábrának megfelelően:
2 4 1 m1 3; m2 ; m1 ; m2 ; 5 3 3 x1 2; x 2 3. Ha jól dolgoztunk, a Graph - os végeredmény a 3. ábra szerinti lesz.
5
A munkát három részre bontjuk: először a jobb oldali, másodszor a baloldali grafikon résszel foglakozunk, harmadszor pedig egyesítjük a két felet.
A.) A jobb oldali grafikon - rész és függvényének előállítása 1.) y1
1 m1 x m1 x . 2
Grafikonja a 6. ábrán látható.
y1 y
f(x)=1/2*(3*x+abs(3*x))
4
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
6. ábra
2
3
4
5
6
6
1
2.) y 2 m1 x x1 m1 x x1 . 2
Grafikonja a 7. ábrán látható.
y2 3
y
f(x)=-1/2*(3*(x-2)+abs(3*(x-2)))
2
1
x -4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
7. ábra
2
3
4
5
6
7
7
3. ) Most – érdekessége miatt – képezzük az előző két függvényösszegét!
1 1 y1 y 2 m1 x m1 x m1 x x1 m1 x x1 . 2 2 Grafikonja a 8. ábrán látható.
y1 + y2 y
f(x)=1/2*(3*x+abs(3*x))-1/2*(3*(x-2)+abs(3*(x-2)))
6
4
2
x -8
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
8. ábra
4
6
8
10
8
4.) y 3
1 m 2 x x1 m 2 x x1 . 2
Grafikonja a 9. ábrán látható.
y3 8
y
f(x)=1/5*(x-2+abs(x-2))
7 6 5 4 3 2 1
x -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1 -2 -3 -4 -5
9. ábra
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9
5.) y( jobb) y1 y 2 y3
1 m1 x m1 x 2 1 m1 x x1 m1 x x1 2 1 m 2 x x1 m 2 x x1 . 2 Grafikonja a 10. ábrán látható.
y(jobb ) = y1 + y2 + y3 y
f(x)=1/5*(x-2+abs(x-2))+1/2*(3*x+abs(3*x))-1/2*(3*(x-2)+abs(3*(x-2)))
10
8
6
4
2
x -6
-4
-2
2
4
-2
-4
10. ábra
6
8
10
12
14
10
B.) A bal oldali grafikon - rész és függvényének előállítása 6.) y 4
1 m1 x m1 x . 2
Grafikonja a 11. ábrán látható.
y4 y
f(x)=2/3*(x-abs(x))
3 2.5 2 1.5 1 0.5
x -3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3
-3.5
11. ábra
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
11
1
7.) y 5 m1 x x 2 m1 x x 2 . 2
Grafikonja a 12. ábrán látható.
y5 4.5
y
f(x)=2/3*(-(x+3)+abs(x+3))
4
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5
x -5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5 -0.5 -1 -1.5 -2
12. ábra
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
12
8.) y 4 y5
1 1 m1 x m1 x m1 x x 2 m1 x x 2 . 2 2
Grafikonja a 13. ábrán látható.
y4 + y5 6
y
f(x)=2/3*(x-abs(x))+2/3*(-(x+3)+abs(x+3))
5 4 3 2 1
x -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
13. ábra
2
3
4
5
6
7
8
9
13
9.) y 6
1 m 2 x x 2 m2 x x 2 . 2
Grafikonja a 14. ábrán látható.
y6 6
y
f(x)=1/6*(x+3-abs(x+3))
5 4 3 2 1
x -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
14. ábra
2
3
4
5
6
7
8
9
14
10.)
y(bal) y 4 y 5 y 6 1 m1 x m1 x 2 1 m1 x x 2 m1 x x 2 2 1 m2 x x 2 m2 x x 2 . 2 Grafikonja a 15. ábrán látható.
y ( bal ) = y4 + y5 + y6 6
y
f(x)=1/6*(x+3-abs(x+3))+2/3*(x-abs(x))+2/3*(-(x+3)+abs(x+3))
5 4 3 2 1
x -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
15. ábra
C. Az összegzett grafikonrészek függvényének előállítása
3
4
5
6
7
8
9
15
11.)
1 y y( jobb) y(bal) m1 x m1 x 2 1 m1 x x1 m1 x x1 2 1 m 2 x x1 m 2 x x1 2 1 m1 x m1 x 2 1 m1 x x 2 m1 x x 2 2 1 m2 x x 2 m2 x x 2 . 2 Grafikonja a 16. ábrán látható.
y = y ( jobb ) + y ( bal ) f(x)=1/6*(x+3-abs(x+3))+2/3*(x-abs(x))+2/3*(-(x+3)+abs(x+3))+1/5*(x-2+abs(x-2))+1/2*(3*x+abs(3*x))-1/2*(3*(x-2)+abs(3*(x-2)))
10
8
6
4
2
x -12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
16. ábra
4
6
8
10
12
16
Megállapíthatjuk, hogy a 16. ábra képe egyezik a 3. ábráéval. ☻ Most nézzünk néhány fontos speciális esetet!
S1.) m1 m1 m1 ; m 2 m 2 m 2 ; x 2 x1 . Ekkor az y függvény átalakítások után az alábbi alakot veszi fel:
y* m 2 x
m 2 m1 x x1 x x1 ; 2
még más alakban is:
x m1 m 2 x y* m 2 x x1 1 1 . 2 x1 x1 2 Az ábrázoláshoz az m1 3; m 2 ; x1 2 adatokat vettük fel. 5 y* grafikonja a 17. ábrán látható.
y*
f(x)=2/5*x+13/10*2*(abs(x/2+1)-abs(x/2-1))
10
8
6
4
2
x -12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
-10
17. ábra
4
6
8
10
12
14
17
S2.) m1 m 2 m. Ekkor nyilvánvalóan:
y ** m x.
S3.) m1 m, m 2 0. Ekkor y* - ból:
x y x m x x 1 y *** x1 1 1 . 1 1 , 2 x1 x1 x1 2 x1 ahol
y1 m x1. Az ábrázolást az m1 3; x1 2 adatokkal elvégezve kaptuk a 18. ábrát. y
f(x)=3*(abs(x/2+1)-abs(x/2-1))
10
8
6
4
2
x -14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
-8
-10
18. ábra Ezt a különösen érdekes függvényt mindjárt alkalmazzuk is.
6
8
10
12
14
18
Ez megfelel a tökéletesen rugalmas – ideálisan képlékeny test anyagmodelljének, így az
x , x1 F ; y*** , y1 F jelölésekkel y*** - ból kapjuk, hogy: F () . 1 1 . 2 F F
(A1)
Most foglalkozzunk y* - gal! Ez megfelel a tökéletesen rugalmas – lineárisan felkeményedő test anyagmodelljének, így az m1 E, m 2 E k további jelölésekkel y* - ból kapjuk, hogy:
E Ek () E k F 1 1 . 2 F F
(A2)
Az eddigi jelölések megnevezése: ~ σ : a normálfeszültség ( előjeles nagysága ); ~ ε : a fajlagos nyúlás; ~ σF: a folyáshatár ~ εF: a folyási nyúlás ~ E : a rugalmassági modulus; ~ Ek: a felkeményedési modulus. Az ( A 1 ) és ( A 2 ) diagramok középpontos szimmetriával bírnak, ahol a centrum: az origó. A szimmetrikus jelleggörbével bíró anyag( - modell ) esetén az anyag húzásra és nyomásra egyformán viselkedik. A 11.) pontbeli általánosabb eset aszimmetrikus diagramjára az Olvasó már önállóan is elvégezheti az átbetűzést.
A töréspontok lekerekítéséről Látjuk, hogy az abszolútértékes függvények töréspontot is tartalmaznak. Ez néha gondot okozhat, pl. a függvény differenciálhányadosának meghatározásánál. Ennek elkerülésére is szolgál az [ 5 ] - ből vett ötlet a töréspontok / sarkok lekerekítésére. Ezt a 19. ábrával szemléltetjük. Az ábrák függvényei:
y x x2 ; y x2 a2 . Látjuk, hogy milyen lekerekítő hatása van egy 0 < a < 1 érték alkalmazásának.
19
6
y
f(x)=abs(x) f(x)=sqrt(sqr(x)+sqr(0.2))
5
4
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
19. ábra Akalmazzuk ezt az eljárást ( A 1 ) - re! Ekkor azt kapjuk, hogy
F () . 2
1 k 2 F 2
2 1 k 2 , F
ahol
0 k 1. A 20. ábra a 18. ábra adataival és k = 0,2 - vel készült.
(A3)
20 y
f(x)=3*(abs(x/2+1)-abs(x/2-1))
10
f(x)=3*(sqrt(sqr(x/2+1)+sqr(0.2))-sqrt(sqr(x/2-1)+sqr(0.2)))
8
6
4
2
x -14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
-2
-4
-6
-8
-10
20. ábra Hasonlóan eljárva ( A 2 ) - vel:
E Ek () E k F 2
1 k 2 F 2
2 1 k 2 . F
(A4)
A már eddig is alkalmazott számértékekkel a függvény grafikonja a 21. ábrán látható.
21
y
f(x)=2/5*x+13/10*2*(abs(x/2+1)-abs(x/2-1)) f(x)=2/5*x+13/10*2*(sqrt(sqr(x/2+1)+sqr(0.2))-sqrt(sqr(x/2-1)+sqr(0.2)))
10
8
6
4
2
x -12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
-2
-4
-6
-8
-10
21. ábra
Összefoglalás Ebben a dolgozatban letisztáztuk, rendezetten összefoglaltuk egy sok évvel ezelőtti elgondolásunk néhány eredményét. Minthogy a szilárdságtani szakirodalomban ezzel így még nem találkoztunk, ezért is érdekes lehet a nemlineáris anyagmodellekkel foglakozó érdeklődő Olvasók számára.
Egy önállóan megoldandó feladat Írja fel a 22. ábrán látható függvény általános, majd pedig az ábrára vonatkozó konkrét kifejezését! Végezze el ugyanezt a lekerekített változatra is!
22 10
y
8
6
4
2
x -10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
22. ábra Irodalom: [ 1 ] – V. I. Feodosyev: Strength of Materials MIR, Moscow, 1968. [ 2 ] – V. M. Ovszjanko: Szintez elektronnüh modelej deformírujemüh objektov Nauka i Tehnika, Minszk, 1982. [ 3 ] – J. M. Gelfand ~ E. G. Glagoljeva ~ A. A. Kirillov ~ E. E. Snol: A koordináta - módszer Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975. [ 4 ] – Ja. B. Zeldovics ~ A. D. Miskisz: Az alkalmazott matematika elemei Gondolat, Budapest, 1978. [ 5 ] – Ja. B. Zeldovics: Ismerkedés a felsőbb matematikával és fizikai alkalmazásaival Gondolat Kiadó, Budapest, 1981. Mir Kiadó, Moszkva, 1981. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2009. szeptember 27.
