Nederlandse samenvatting “The production of useful work is limited by the laws of thermodynamics, but the production of useless work seems to be unlimited.” Donald Simanek
Geometrische resolutie van ruimte-tijd singulariteiten In algemene relativiteit wordt verondersteld dat de ruimte-tijd geen op voorhand vastgelegde structuur is, maar door middel van een dynamisch metrisch veld wordt beschreven. De gravitationele aantrekking tussen materie manifesteert zich dan op de volgende wijze: de dynamica van het metrische veld is gerelateerd aan de distributie van de materie doorheen het universum, en de propagatie van materie in de ruimte-tijd wordt be¨ınvloed door het metrische veld dat de voorstelling vormt van het universum. Sinds ontdekt werd dat de materiedeeltjes en de microscopische krachten gehoorzamen aan kwantummechanische wetten, is het dus wegens consistentie noodzakelijk om ook het metrische veld te kwantiseren. E´en van de onderzoeksrichtingen naar een consistente theorie van kwantumgravitatie heeft tot snaartheorie geleid. Snaartheorie beschrijft de gravitationele interactie door middel van gravitonen, die de kwanta zijn van de zwaartekracht. In snaartheorie wordt verondersteld dat, op de kleinste afstandsschalen, elementaire deeltjes geen puntdeeltjes zijn maar daarentegen ´e´endimensionale snaren zijn. Het gedrag van snaren op tijdsafhankelijke achtergronden zoals ons uitdijend universum is echter nog niet volledig begrepen. Algemene relativiteit voorspelt het bestaan van gravitationele singulariteiten op het klassieke niveau: ons universum nam een aanvang met de oerknal, en zware sterren kunnen ineenstorten tot zwarte gaten. Een theorie die kwantumgravitationele effecten kan beschrijven zou ons begrip over dit soort singulariteiten moeten verbeteren. Bovendien doet het bestaan van ruimte-tijdsingulariteiten de vraag rijzen of de propagatie van kwantumvelden doorheen 251
252
NEDERLANDSE SAMENVATTING
een singulariteit mogelijk is, en indien ja, hoe dat zou moeten worden geformuleerd. Snaartheorie kan reeds sommige tijdsachtige singulariteiten beschrijven maar nog geen ruimteachtige singulariteiten zoals de oerknal. Nabij singulariteiten interageren snaren vaak sterk en een formulering van snaartheorie die toelaat om sterke interacties tussen snaren in rekening te brengen wordt gegeven door matrix theorie. Modellen in matrix theorie die singulariteiten beschrijven hebben vaak een duale beschrijving in de vorm van een kwantumvelden theorie die gedefinieerd is op een supplementaire singuliere ruimte-tijd. In mijn thesis wordt onderzocht hoe de propagatie van kwantumvelden doorheen een singulariteit te defini¨eren. We gebruiken een geometrisch regularisatievoorschrift om de evolutie van een vrij scalair veld, alsook van een vrije snaar, doorheen een singulariteit op een niet-ambigu¨e manier te defini¨eren. Merkwaardig genoeg suggereert de geometrische regularisatie dat er aan de evolutie doorheen de singulariteit een zeker discreet gedrag gerelateerd is. We onderzoeken eveneens een belangrijke klassie van tijdsafhankelijke achtergronden die onderzocht kunnen worden in snaartheorie. Deze klasse wordt gevormd door de vlakke zwaartekrachtsgolven. Deze vlakke golven kunnen gebruikt worden om de effecten vanwege sterke kromming nabij een singulariteit te onderzoeken. Onze studie toont aan dat het nodig is om in rekening te nemen dat de snaren sterk kunnen interageren nabij de singulariteit. Om een beter begrip te krijgen van matrix theorie op een vlakke golfachtergrond, onderzoeken we oplossingen die D-branen beschrijven in vlakke golfachtergrond. D-branen zijn objecten die voorkomen in snaartheorie naast snaren, en ze zijn belangrijk voor de formulering van matrix theorie.
Vrij scalair veld op het parabolisch orbifold In de context van matrixmodellen voor tijdsafhankelijke singulariteiten speelt de evolutie van kwantumvelden op een singuliere ruimte-tijd een belangrijke rol, wat aanleiding geeft tot singuliere tijdsafhankelijke termen in de Hamiltoniaan. Daarom heb ik tijdens mijn eerste project het voorkomen van singuliere tijdsafhankelijke termen in de Hamiltoniaan onderzocht. In een eerder project hadden mijn medewerkers Ben Craps en Oleg Evnin overwogen hoe zulke Hamiltonianen te regulariseren door middel van de meest conservatieve benadering die hen zou toelaten een unitaire evolutie doorheen de singulariteit te defini¨eren [94]. Deze benadering, die zij “minimale subtractie” noemden, bestaat erin om de singuliere tijdsafhankelijke termen in de Hamiltoniaan in distributionele zin te defini¨eren terwijl de operatorstructuur van de Hamiltoniaan onveranderd wordt gehouden (deze aanpak is relevant als de transitie doorheen de singulariteit wordt gedomineerd door een enkele term in de Hamiltoniaan). De neutralisatie van de divergentie houdt rechtstreeks verband met de negatieve contributies vanwege de distributies. We ontdekten dat dit
253 voorschrift afweek van een geometrische regularisatie omdat de negatieve functiewaarden geassocieerd met de distributies onverenigbaar zijn met een geometrische interpretatie. Voor een geometrische resolutie van veldendynamica op een singulaire ruimte-tijdachtergrond, moet men in het algemeen de specificaties van de “minimale subtractie” aanpak verzwakken en wijzigingen in de operatorstructuur van de Hamiltoniaan, alsook wijzigingen in de tijdsafhankelijke termen, toelaten in de buurt van de singulariteit. Als een specifiek voorbeeld bekeken we de propagatie van een massief scalair veld in een singuliere ruimte-tijd. We onderzochten het zogenaamde parabolische orbifold, hetgeen de singuliere limiet van het reguliere nulbraan is. Het parabolische orbifold ontstaat wanneer men in vlakke Minkowski ruimte-tijd een identificatie maakt langs ´e´en van de twee richtingen op de lichtkegel (de andere richting wordt ge¨ınterpreteerd als de tijdsrichting). Vanwege deze identificatie wordt een singulariteit gecre¨eerd die een speelgoedmodel biedt om singulariteiten te onderzoeken (vergelijk bevoorbeeld, bij wijze van eenvoud, met de singuliere tip van een kegel die ontstaat door een vlak oppervlak te vouwen). Het nulbraan is een vierdimensionaal orbifold met een vrije parameter R. In de limiet R → 0 reduceert de nulbraan geometrie zich tot een produkt van het parabolische orbifold met de re¨ele as, en in deze zin is het nulbraan een geometrische regularisatie van het parabolische orbifold. Eerder hadden Liu et al [84, 86] het parabolische orbifold reeds onderzocht in de context van perturbatieve snaartheorie. Overeenkomstig met ons geometrische resolutievoorschrift, hebben we eerst de evolutie van het vrije scalair veld op het reguliere nulbraan geanalyseerd alvorens de singuliere limiet te nemen. Om in staat te zijn de singuliere limiet te onderzoeken, introduceren we een nieuw co¨ordinatensysteem op het nulbraan dat globaal gedefinieerd is en een wel-gedefinieerde limiet heeft. We hebben ook een veralgemeende nulbraan metriek beschouwd (dit is in essentie het nulbraan met twee extra vrije parameters). De essenti¨ele stap in de oplossing van het probleem was om de kwantummechanische evolutie op het nulbraan te verlaten in gekende evolutievergelijkingen van een dynamische groep (in dit geval de twee-foton groep bekend in kwantumoptica). Niettegenstaande het ogenschijnlijk sterk singuliere gedrag van de limiterende Hamiltoniaan (de singuliere termen kunnen zelfs niet als distributies geschreven worden) is de kwantummechanische evolutie doorheen de singulariteit goed-gedefinieerd. Het commutatie-gedrag van de verschillende operatortermen in de Hamiltoniaan compenseren het singuliere gedrag precies. Maar we vinden dat de singuliere limiet slechts bestaat voor een discrete deelverzameling van de mogelijke parameterwaarden binnen de familie van veralgemeende nulbraangeometrie¨en. We kunnen deze deelverzameling labelen door ´e´en natuurlijk getal. Zoals verwacht kan worden, maakt het originele nulbraan deel uit van deze deelverzameling. De evolutie van de modes van het scalaire veld wordt volledig bepaald door
254
NEDERLANDSE SAMENVATTING
zijn modefuncties (die zelfde modefuncties treden ook naar voor in de beschrijving van snaren op het nulbraan). Als we onze resultaten vergelijken met Liu et al [84, 86] vinden we dezelfde modefuncties behalve in de exponti¨ele factor die de golf in de X-richting karakteriseert waar we een extra sign(t) factor hebben bij de co¨ ordinaat X. Het effect ervan is dat de positie en de snelheid in de Xrichting voor alle deeltjes wordt gereflecteerd als ze doorheen de singulariteit gaan. Het verschil treedt op vanwege ons nieuw co¨ordinatensysteem dat niet faalt in de oorsprong t = 0. Als we naar de discrete deelverzameling kijken waarvoor de singuliere limiet bestaat, merken we op dat hun modefuncties equivalent zijn aan elkaar op een (globale) fasesprong ter hoogte van de singulariteit na. Deze treedt op omdat de veldmodes in de oorsprong een aantal focale punten kruisen, en het aantal is proportioneel met het natuurlijk getal dat de het element uit de deelverzameling karakteriseert.
Vrije snaar op een singuliere vlakke golf Vlakke gravitationele golven vormen een analytisch oplosbare achtergrond voor de propagatie van snaren. In samenwerking met Ben Craps en Oleg Evnin heb ik de evolutie van een vrije snaar op een singuliere vlakke golf onderzocht [120]. De benadering van een vrije snaar kan gezien worden als een eerste stap vooraleer perturbatieve snaartheorie op zulk een singuliere achtergrond te onderzoeken. We hebben ons geconcentreerd op vlakke golven met een schaalonafhankelijk profiel ten opzichte van de coordinaat x+ , ds2 = −2dx+ dx− − λ
X xi 2 i
x+
+
X
dxi
2
.
(I.11)
i
Dit soort profiel ontstaat op een natuurlijke wijze via een Penrose limiet van kosmologische singulariteiten. De co¨ ordinaten die loodrecht staan op de lichtkegelrichtingen x+ en x− noteren we met xi en we gebruiken x+ om de lichtkegeltijd aan te duiden. De schaal-invariantie betekent dat de vlakke golf-metriek invariant is ten opzichte van herschalingen in de lichtkegel-co¨ordinaten (x+ , x− ) → (Cx+ , x− /C).
(I.12)
Vanwege de schaal-onafhankelijkheid van het singuliere profiel zullen we veronderstellen dat onze klasse van geregularizeerde profiel ook schaal-onafhankelijk is, bovenop de beperking dat onze geresolveerde klasse een oplossing vormt van de veralgemeende Einsteinvergelijkingen in snaartheorie (de achtergrond consistentiecondities). Dus regulariseren we het singuliere schaal-onafhankelijke
255 profiel als λ
X xi 2 i
x+
→
X 2 λ Ω(x+ /) xi , 2 i
lim Ω(η) ∼
η→±∞
1 , η2
(I.13)
waar we λ de “normalisering” van het golfprofiel noemen, met de unieke resolutieparameter en met Ω het geregulariseerde profiel. Vanwege de schaalonafhankelijkheid is er slechts ´e´en dimensionele parameter (i.e. ) die kan optreden in de geregulariseerde metriek. Dit is de resolutieparameter die we zullen verwijderen in de singuliere limiet. De schaalinvariantie laat ons toe de propagatie doorheen de singulariteit op te lossen zonder verdere specificatie van de geregulariseerde metriek. Opdat de achtergrondsmetriek voldoet aan de consistentie condities in snaartheorie voegen we een dilatonveld toe. Het dilaton is een oscillatiemode van de snaar, zoals het graviton, maar het bepaald ook de snaarkoppeling. De consistentie condities voor de ruimte-tijd achtergrond relateren de kromming van de metriek aan de spatiotemporele variatie van het dilaton. Vanzelfsprekend eisen we ook dat het dilaton doorheen de singulariteit kan propageren en we bewijzen dat dit mogelijk is. In lichtkegel-ijk is de Schr¨ odinger golfvergelijking voor de snaar bepaald door een Hamiltoniaan die opgedeeld kan worden in een som van kwadratische Hamiltonianen met een tijdsafhankelijke frequentie, waarvan elke deelhamiltoniaan het gedrag van een andere oscillatiemode van de snaar bepaalt. Daarom kunnen we alle snaarmodes initieel als afzonderlijk beschouwen. Wanneer de resolutieparameter wordt verwijderd, divergeren de frequenties op t = 0. Vanwege de kwadratische afhankelijkheid van deze Hamiltonian in functie van de positie- en impulsoperatoren, kunnen we met behulp van een semiklassieke benadering een exacte oplossing vinden voor de Schr¨odinger vergelijking. Dit betekent dat de golffunctie voor de snaar volledig bepaald is door oplossingen van de klassieke bewegingsvergelijkingen met gepaste randvoorwaarden. We merken op dat de bewegingsvergelijking voor de snaaroscillaties gerelateerd zijn aan de propagatie van het massamiddelpunt (of nulmode) van de snaar. Meer in het bijzonder, het enige verschil tussen de vergelijkingen voor de ge¨exciteerde snaarmodes en de nulmode is het kwadraat van het modegetal dat bijdraagt tot de tijdsafhankelijke frequentie in de Hamiltoniaan. Maar het modegetal is een eindige term in vergelijking met de (divergerende) tijdsafhankelijke frequentie en we kunnen rigoureus bewijzen dat het modegetal het bestaan van de singuliere limiet niet be¨ınvloedt. We beschouwen het modegetal als een kleine perturbatie en we bepalen een grens hoeveel de oplossingen van de ge¨exciteerde modes kunnen verschillen ten opzichte van de nulmode. In de singuliere limiet verdwijnt het verschil tussen de oplossingen en we kunnen bewijzen dat de ge¨exciteerde modes doorheen de singulariteit kunnen propageren als de nulmode propageert. In een eerdere publicatie hadden
256
NEDERLANDSE SAMENVATTING
Evnin en Nguyen [119] reeds bewezen onder welke condities de nulmode kan propageren doorheen de singulariteit, wat leidt tot een discreet spectrum in de parameter λ die optreedt in het profiel van de vlakke golf. Dus, net als in het geval van het vrije scalair veld op het parabolische orbifold, bekomen we ook hier een discreet spectrum dat gerelateerd is aan de propagatie doorheen de singulariteit. De nulmode (en de ge¨exciteerde modes) kunnen slechts doorheen de vlakke golf-singulariteit propageren (in een generiek geval) voor een discrete verzameling in λ. Het precieze spectrum in λ wordt bepaald door de vorm van het geregulariseerde profiel Ω(η). Maar de schaalinvariantie van de resolutie heeft ons toegelaten om de propagatie doorheen de singulariteit te bepalen zonder enige verdere specificatie van het geregulariseerde profiel Ω(η) behalve asymptotisch (I.13). We hebben ontdekt dat alle oscillatiemodes van de snaar afzonderlijk doorheen de singulariteit kunnen propageren, maar opdat de snaar in haar geheel doorheen de singulariteit kan propagaren, moeten we opleggen dat de excitatieenergie van de snaar eindig blijft gedurende de transitie doorheen de singulariteit. We vinden dat dit alleen het geval kan zijn als de “normalisatie” λ van het vlakke golfprofiel voldoet aan de conditie 2 1 1 , (I.14) λ= − N+ 4 2 waar N een natuurlijk getal is (N = 0 komt bijvoorbeeld overeen met Minkowski ruimte-tijd of met het lichtachtig reflectorvlak uit [95]). Maar voor λ < 0 divergeert het dilaton nabij de singulariteit en de snaarkoppeling wordt onbegrensd sterk. Zo wordt perturbatieve snaartheorie ongeldig. Dus het is onmogelijk dat de totale excitatie-energie eindig blijft onder de veronderstelling dat de snaar vrij is (opdat het beschouwen van een vrije snaar een consistente benadering zou zijn is het vereist dat de interactie tussen de snaren klein is). Aangezien perturbatieve snaartheorie op die manier ongeldig wordt nabij de singulariteit, motiveert dit ons om matrixmodellen van singuliere vlakke golven te onderzoeken, want deze matrixmodellen laten toe om sterke interacties tussen snaren te beschouwen.
Supergravitatie Dp-braan oplossingen Matrixmodellen die een beschrijving vormen van snaartheorie in de limiet van sterke snaarkoppeling, worden geformuleerd in functie van de effectieve actie van D0-branen (of D1-branen). Dus, als we de eigenschappen van matrixmodellen van singuliere vlakke golven beter willen onderzoeken (zoals bijvoorbeeld het matrix oerknalmodel van Craps et al [107] of the vlakke golf matrixmodellen van Blau en O’Loughlin [112]) dan moeten we de formulering van D-branen in een asymptotisch vlakke golf-achtergrond bestuderen. D-branen zijn branen
257 die voldoen aan specifieke randvoorwaarden (ze karakteriseren de eindpunten van open snaren) en ze spelen een belangrijke rol als de effectieve vrijheidsgraden in matrix theorie. De branen die optreden in snaartheorie zijn dynamische objecten, maar ze kunnen ook beschreven worden als klassieke ruimte-tijd oplossingen in superzwaartekracht. Superzwaartekracht is een uitbreiding van algemene relativiteit die fermionen in zijn spectrum bevat (alle materie die we kennen bestaat uit fermionen). Superzwaartekracht is de laag-energetische benadering voor snaartheorie: het is een geldige benadering wanneer er onvoldoende energie beschikbaar is om de hogere oscillatiemodes van de snaar te exciteren. Daarom kunnen de D-branen op het klassieke niveau, waar ze massief zijn, kunnen beschreven worden door een metriek, een dilaton en een ijkveld (het ijkveld treedt op omdat het D-braan geladen is). De standaard matrix model Hamiltoniaan bescrhijft elf-dimensionale statische Minkowski ruimtetijd. De laag-energetische beschrijving van de matrix model Hamiltoniaan wordt gegeven door snaartheorie in een superzwaartekracht achtergrond van D0-branen [105]. Het matrix oerknalmodel [107] is een tijdsafhankelijk model en wordt geformuleerd in termen van D1-branen in een tijdsafhankelijke vlakke golf-achtergrond. Dit betekent dat we ge¨ınteresseerd zijn in de klassieke oplossingen in superzwaartekracht die tijdsafhankelijke D-branen beschrijven in een asymptotisch vlakke golf achtergrond beschrijft in superzwaartekracht. Asymptotisch heeft die ruimte-tijd metriek het karakter van een vlakke golf, maar de aanwezigheid van D-branen in de oorsprong zal de metriek veranderen voor eindige afstanden ten opzicht van het braan. Een eenvoudiger probleem is de formulering van D1branen die gealigneerd zijn met de lichtkegel (in andere woorden, het “wereldvlak van de braan” is evenwijdig met de bewegingsrichting van de vlakke golf). In samenwerking met Ben Craps, Oleg Evnin en Federico Galli heb ik de metriek ontdekt die extremale D1-branen in een asymptotisch vlakke golfachtergrond beschrijft, en we hebben deze oplossingen voor D1-branen in superzwaartekracht uitgebreid naar hoger-dimensionale Dp-branen (met p ≥ 1) [136]. Momenteel bestuderen we de uitbreiding van deze p-braan oplossingen tot een configuratie van D0-branen.
