Kosinov´a vˇeta pro ˇctyˇru´heln´ık ˇ ’astn´a Mgr. Barbora St Pˇr´ırodovˇedeck´ a fakulta Masarykovy University e-mail:
[email protected]
Abstrakt Pˇri ˇreˇsen´ı mnoha u ´loh v euklidovsk´e geometrii se vyuˇz´ıv´a velmi dobˇre zn´am´a kosinov´a vˇeta ud´ avaj´ıc´ı vztah mezi d´elkami stran a velikost´ı vnitˇrn´ıho u ´hlu v troj´ uheln´ıku. Tak´e ve ˇctyˇru ´heln´ıku vˇsak existuj´ı zaj´ımav´e a jednoduch´e vztahy mezi jednotliv´ ymi prvky (d´elkami stran a u ´hlopˇr´ıˇcek, velikostmi vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u). Tento ˇcl´anek se zab´ yv´a tzv. kosinovou vˇetou ” pro ˇctyˇru ´heln´ık“ a dalˇs´ımi vztahy v obecn´em ˇctyˇru ´heln´ıku, jejich d˚ ukazy a vz´ajemn´ ymi souvislostmi.
1
´ Uvod
Chceme-li se zab´ yvat vztahy mezi prvky ˇctyˇru ´heln´ıka v euklidovsk´e geometrii, je nejprve nutn´e shodnout se na pouˇzit´em znaˇcen´ı. Je-li d´an ˇctyˇru ´heln´ık ABCD (viz obr. 1), je obvykl´e znaˇcit velikosti jeho stran p´ısmeny a, b, c, d, velikost u ´hlopˇr´ıˇcky AC p´ısmenem e a velikost u ´hlopˇr´ıˇcky ˇ BD p´ısmenem f . Reck´a p´ısmena α, β, γ, δ znaˇc´ı velikosti vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u (tyto u ´hly mohou b´ yt nekonvexn´ı), velk´e p´ısmeno S obsah ˇctyˇru ´heln´ıka a mal´e p´ısmeno s polovinu obvodu ˇctyˇru ´heln´ıka (s = 12 (a + b + c + d)).
Obr´azek 1: Oznaˇcen´ı prvk˚ u ve ˇctyˇru ´heln´ıku Tvrzen´ı zmiˇ novan´a v ˇcl´anku je moˇzn´e naj´ıt v r˚ uzn´ ych uˇcebnic´ıch a sb´ırk´ach u ´loh pod r˚ uzn´ ymi n´azvy. Vˇsechny uveden´e d˚ ukazy jsou p˚ uvodn´ı, ˇcasto vˇsak pro svoji jednoduchost jsou jinde uvedeny ve velmi podobn´em znˇen´ı.
2
Obsah ˇ ctyˇ ru ´ heln´ıka
Pro libovoln´ y ˇctyˇru ´heln´ık ABCD plat´ı (4S)2 = 4e2 f 2 − (a2 − b2 + c2 − d2 )2 .
(1)
D˚ ukaz Oznaˇcme nejprve α1 = |^BAC|, α2 = |^CAD| (vˇzdy konvexn´ı, viz obr. 2). Vyuˇzijeme platnosti kosinov´e vˇety postupnˇe v 4ABC, 4ACD, 4ABD: b2 = e2 + a2 − 2ea cos α1 2
2
2
(2)
c = e + d − 2ed cos α2
(3)
f 2 = a2 + d2 − 2ad cos(α1 ± α2 )
(4)
V posledn´ı rovnosti znam´enko plus odpov´ıd´a pˇr´ıpadu, kdy vnitˇrn´ı u ´hly u vrchol˚ u B a D
Obr´azek 2: K d˚ ukazu tvrzen´ı (1) ˇctyˇru ´heln´ıka jsou oba konvexn´ı, znam´enko m´ınus je vyuˇzito, je-li jeden z tˇechto u ´hl˚ u nekonvexn´ı. 2 2 2 Dosad’me nyn´ı do prav´e strany dokazovan´e rovnosti za b , c , f ze vztah˚ u (2), (3) a (4) a upravme: 4e2 f 2 − (a2 − b2 + c2 − d2 )2 = = 4e2 (a2 + d2 − 2ad cos(α1 ± α2 )) − (−e2 + 2ea cos α1 + e2 − 2ed cos α2 )2 = = 4e2 (a2 + d2 − 2ad cos(α1 ± α2 ) − (a cos α1 + d cos α2 )2 ) = = 4e2 (a2 + d2 − 2ad cos(α1 ± α2 ) − a2 cos2 α1 − d2 cos2 α2 + 2ad cos α1 cos α2 ) = = 4e2 (a2 (1 − cos2 α1 ) + d2 (1 − cos2 α2 ) − 2ad cos(α1 ± α2 ) + 2ad cos α1 cos α2 ) = = 4e2 (a2 sin2 α1 + d2 sin2 α2 ± 2ad sin α1 sin α2 ) = = 4e2 (a sin α1 ± d sin α2 )2 = 1 1 = 16( ea sin α1 ± ed sin α2 )2 = 2 2 = (4S)2 V pr˚ ubˇehu u ´prav je pouˇzit souˇctov´ y vzorec pro funkci kosinus, v pˇredposledn´ım ˇr´adku se v z´avorce vyskytuje souˇcet resp. rozd´ıl obsah˚ u troj´ uheln´ık˚ u ABC a ACD, coˇz pˇri uveden´em pouˇzit´ı znam´enka plus resp. m´ınus d´av´a obsah ˇctyˇru ´heln´ıka ABCD.
3
Brahmagupt˚ uv vzorec
Pro libovoln´ y ˇctyˇru ´heln´ık ABCD plat´ı p S ≤ (s − a)(s − b)(s − c)(s − d), rovnost nast´av´a pr´avˇe pro tˇetivov´ y ˇctyˇru ´heln´ık.1
Zobecnˇ en´ı Pro libovoln´ y ˇctyˇru ´heln´ık ABCD plat´ı S 2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2
α+γ 2
.
(5)
Souvislosti Z uveden´eho vztahu plyne, ˇze ˇctyˇru ´heln´ık s nejvˇetˇs´ım obsahem pˇri zadan´ ych d´elk´ach stran je ˇctyˇru ´heln´ık tˇetivov´ y.
D˚ ukaz M´ame-li urˇcit obsah ˇctyˇru ´heln´ıka, je vhodn´e vyj´adˇrit jej jako souˇcet resp. rozd´ıl obsah˚ u troju ´heln´ık˚ u ABD a BCD (viz obr. 3): 1 1 S = ad sin α + bc sin γ (6) 2 2 Absolutn´ı hodnota je v uveden´em vztahu nutn´a, nebot’ α a γ znaˇc´ı velikosti vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u
Obr´azek 3: K d˚ ukazu tvrzen´ı (5) ve ˇctyˇru ´heln´ıku, a tyto u ´hly mohou b´ yt nekonvexn´ı. Sinus nekonvexn´ıho u ´hlu je z´aporn´ y, coˇz odpov´ıd´a odeˇcten´ı obsah˚ u uveden´ ych troj´ uheln´ık˚ u. Pokraˇcujme d´ale umocnˇen´ım obou stran rovnosti na druhou a podobn´ ymi u ´pravami jako v pˇredchoz´ım d˚ ukazu ( goniometrick´a jedniˇcka“, ” souˇctov´ y vzorec pro funkci kosinus, nav´ıc vzorec pro kosinus dvojn´asobn´eho u ´hlu). a2 d2 b2 c2 abcd sin2 α + sin2 γ + sin α sin γ = 4 4 2 b2 c2 abcd a2 d2 = (1 − cos2 α) + (1 − cos2 γ) + (cos α cos γ − cos(α + γ)) = 4 4 2 a2 d2 b2 c2 a2 d2 b2 c2 abcd abcd 2 2 2 α+γ = + − cos α − cos γ + cos α cos γ − abcd cos + = 4 4 4 4 2 2 2 1 1 α+γ = (ad + bc)2 − (ad cos α − bc cos γ)2 − abcd cos2 4 4 2
S2 =
1
Brahmagupta (598–670), indick´ y matematik a astronom. V´ıce o Brahmaguptovi viz napˇr. [1], [2], v´ıce o uveden´ ych vztaz´ıch viz napˇr. [3], [4] a [5].
Pouˇzijeme-li nyn´ı pro vyj´adˇren´ı v´ yraz˚ u ad cos α a bc cos γ kosinovou vˇetu v 4ABD a 4BCD f 2 = a2 + d2 − 2ad cos α, f 2 = b2 + c2 − 2bc cos γ, dost´av´ame postupn´ ymi u ´pravami 1 α+γ 1 S 2 = (ad + bc)2 − (ad cos α − bc cos γ)2 − abcd cos2 = 4 4 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α+γ = (ad + bc) − (a + d − f − b − c + f ) − abcd cos = 4 16 2 α+γ 1 = = (4(ad + bc)2 − (a2 + d2 − b2 − c2 )2 ) − abcd cos2 16 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α+γ = (2ad + 2ac − a − d + b + c )(2ad + 2ac + a + d − b − c ) − abcd cos = 16 2 1 2 2 2 2 2 α+γ = ((b + c) − (a − d) )((a + d) − (b − c) ) − abcd cos = 16 2 1 2 α+γ = (b + c − a + d)(b + c + a − d)(a + d − b + c)(a + d + b − c) − abcd cos = 16 2 2 α+γ = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos 2
4
Kosinov´ a vˇ eta pro ˇ ctyˇ ru ´ heln´ık (Bretschneiderova vˇ eta)
Pro libovoln´ y ˇctyˇru ´heln´ık ABCD plat´ı2 e2 f 2 = a2 c2 + b2 d2 − 2abcd cos(α + γ).
D˚ ukaz Porovn´an´ım dˇr´ıve uveden´ ych vztah˚ u (1) a (5) pro obsah ˇctyˇru ´heln´ıka s vyuˇzit´ım u ´pravy vztahu 1 (5) na tvar S 2 = 41 (a2 c2 + b2 d2 ) − 16 (a2 + d2 − b2 − c2 )2 − abcd cos(α + γ). 2
Souvislosti Pro zaj´ımavost je moˇzn´e kosinovou vˇetu pro ˇctyˇru ´heln´ık zapsat v podobˇe kosinov´e vˇety pro troj´ uheln´ık o stran´ach ef , ac, bd a vnitˇrn´ım u ´hlu α + γ: (ef )2 = (ac)2 + (bd)2 − 2(ac)(bd) cos(α + γ). Takov´ y troj´ uheln´ık skuteˇcnˇe lze sestrojit element´arn´ımi postupy z dan´eho ˇctyˇru ´heln´ıka.
5
Ptolemaiova nerovnost
V libovoln´em ˇctyˇru ´heln´ıku plat´ı ef ≤ ac + bd rovnost nast´av´a pr´avˇe pro tˇetivov´ y ˇctyˇru ´heln´ık.3 2
Carl Anton Bretschneider (1808–1878), nˇemeck´ y gymnazi´ aln´ı profesor. V´ıce viz napˇr. [6]. Klaudios Ptolemaios (asi 85–165), ˇreck´ y astronom, matematik, fyzik a zemˇepisec. V´ıce o Ptolemaiovi viz napˇr. [7], v´ıce o ptolemaiovˇe nerovnosti viz napˇr. [8] a [9]. 3
D˚ ukaz D˚ ukaz t´eto d˚ uleˇzit´e nerovnosti je snadn´ y, vyuˇzijeme-li jiˇz dok´azanou kosinovou vˇetu pro ˇctyˇru ´heln´ık. Postupn´ ymi u ´pravami dost´av´ame: e2 f 2 = a2 c2 + b2 d2 − 2abcd cos(α + γ) α+γ + 2abcd e2 f 2 = a2 c2 + b2 d2 − 4abcd cos2 2 2 2 2 2 α+γ e f = (ac + bd) − 4abcd cos 2 e2 f 2 ≤ (ac + bd)2 ef ≤ ac + bd
6
Z´ avˇ er
Mnoho u ´loh v euklidovsk´e geometrii poˇzaduje nalezen´ı vztah˚ u mezi zadan´ ymi parametry troju ´heln´ık˚ u a obecnˇe mnoho´ uheln´ık˚ u. Nˇekter´e z nich jsou sloˇzit´e a brzy upadnou v zapomnˇen´ı, nˇekter´e vˇsak svoj´ı jednoduchost´ı udivily nejednoho matematika. C´ılem tohoto ˇcl´anku bylo shrnout zaj´ımav´e vztahy pro obecn´ y ˇctyˇru ´heln´ık, podat jejich d˚ ukazy a prov´azat je vz´ajemn´ ymi souvislostmi.
Reference [1] Brahmagupta. Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta, 20. 9. 2006. [2] J. J. O’Connor, E. F. Robertson. Brahmagupta biography. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Brahmagupta.html, listopad 2000. [3] Brahmagupta’s formula. Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%27s formula, 3. 8. 2006. [4] Weisstein, Eric W. Brahmagupta’s Formula. From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptasFormula.html, 12. 3. 2004. [5] Weisstein, Eric W. Bretschneider’s Formula. From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html, 6. 3. 2004. [6] G´erard P. Michon. Practical Formulas. Numericana. http://home.att.net/ numericana/answer/formula.htm, 19. 8. 2006. [7] Ptolemy. Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy, 19. 9. 2006. [8] P. Leischner. Ptolemaiova vˇeta. MFI, 15: 129-135, 2005/2006. [9] P. Leischner. Ptolemaiova nerovnost. MFI, 15: 385-392, 2005/2006.
