Název: Dynamická měření tuhosti pružiny a torzní tuhosti nylonového vlákna Autor: Doc. RNDr. Milan Rojko, CSc. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: fyzika, matematika Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický celek: Mechanika tuhých těles Stručná anotace: Žáci měří elastické parametry pružin a pružných vláken dynamickou metodou.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Výukové materiály
Dynamická měření tuhosti pružiny a torzní tuhosti nylonového vlákna Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Stativ, LabQuest, siloměr Vernier, sonar Go!Motion, pružina, nylonové vlákno, sada závěsných závaží, délkové měřítko, rychlováhy, „špejlová činka“, modul optická závora, stopky. Teorie: 1.Tuhost pružiny k je zavedena jako deformační síla připadající na jednotkovou deformaci: k=
F ∆x
Pro periodu elastického kyvadla platí T = 2π
m , kde T je perioda kmitů, m hmotnost k
závaží zavěšeného na pružině + 1/3 hmotnosti pružiny (korekce), k tuhost pružiny. Vliv odporu vzduchu není ve vztahu uvažován.
4π 2 Pro tuhost k tak vychází: k = 2 ⋅ m T
(kg/s2).
(1)
2. Torzní tuhost kt obdobně udává moment síly M potřebný na jednotkovou deformaci (1rad) ve zkrutu: kt =
M ϕ
(N·m/rad).
Pro periodu torzních kmitů platí obdobný vztah T = 2π
J , kde T je perioda torzních kt
kmitů, J moment setrvačnosti objektu zavěšeného na vláknu vzhledem k ose vlákna, kt torzní tuhost vlákna. Pro torzní tuhost kt tak vychází: k t =
4π 2 ⋅ J (N·m/rad) T2
(2)
Pro moment setrvačnosti „špejlové činky“ která bude zavěšována na vlákno platí: J = 2 · Jk + Jš = 2·(0,4 MR2 + Mr2) + 1/12 m l 2
(kg·m2)
J … moment setrvačnosti zavěšené „špejlové činky“ vzhledem k ose vlákna Jk = 0,4 MR2 + Mr2 moment setrvačnosti olůvka v zhledem k ose vlákna Jš = 1/12 m l 2 moment setrvačnosti špejle, m hmotnost špejle , l délka špejle Postup práce A: 1. Na stojan žáci upevní siloměr a na jeho háček zavěsí pružinu se závažím.
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
(3)
2. Přesně pod závaží položí sonar Go!Motion. Výšku stojanu upraví tak, aby minimální vzdálenost závaží od sonaru neklesla při kmitání pod 15 cm. Sonar přepnou do režimu „vozíček“ a zapojí jej do USB portu počítače. 3. Spustí program Logger Pro. Měřit budou automaticky nastavenou časovou závislost y = f(t) a v = f(t). 5. Po ustálení závaží v rovnovážné poloze vynulují čidlo (Experiment→Nulovat...). Pak rozkmitají pružinu a spustí Sběr dat. Na pracovní ploše se současně objeví všechny potřebné závislosti a z nich provedou vyhodnocení. Výsledky A: Výsledky žáci zapíší tabulky v pracovním listu Příklad výsledku: mp (kg) mz 0,014 0,100
k=
m =1/3 mp+ mz (kg) 0,1047
T (s) 1,190
k (N/m) 2,918
F 0,981 N N = = 2,928 ∆x 0,335 m m
Z několika výsledků určí průměrné hodnoty tuhosti pružin a odhadnou chybu měření. Postup práce B: 1.Žáci změří hmotnost M olůvka a hmotnost m špejle a délku l špejle a ze vztahu (3) vypočítají moment setrvačnosti J. Upevní nylonové vlákno se „špejlovou“ činkou na stojan do vhodné výšky. Činku vychýlí asi o 30o z rovnovážné polohy a nechají torzně kmitat. Vzhledem k velikosti periody torzních kmitů (desítky sekund) lze s dostatečnou přesností měřit periodu stopkami. Měření s daným vláknem několikrát opakují. Z výsledků určí průměrnou hodnoty torzní tuhosti vlákna a odhadnou chybu měření. Výsledky B : Výsledky žáci zapíší do tabulky v pracovním listu Příklad výsledku: R poloměr kuliček 0,0085 m M hmotnost kuliček 0,023 g r vzdálenost kuliček od středu špejle 0,175 m l délka špejle 0, 35 m T (s) J (kg·m2) m hmotnost špejle 0,0013 kg 0,0141 44,5 T perioda torzních kmitů T = 44,5 s J moment setrvačnosti špejlové činky J = 2 · Jk + Jš = 2·(0,4 MR2 + Mr2) + 1/12 m l 2 = 0,0141 kg·m2 Délka nylonového vlákna 0,5 m Průměr vlákna 0,0085 m Diskuze Žáci diskutují vliv odporu vzduchu na výsledky měření. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
kt (N·m/rad) 0,00028
Další aplikace, možnosti, rozšíření, zajímavosti, … Možnost měření periody kmitů elastického kyvadla světelnou závorou místo sonarem. Srovnání výsledků k s přímým měřením tuhosti pružiny k = F/∆x. Diskuse o vlivech patrametrů vlákna (délka, průměr, materiál) na torzní tuhost.
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Pracovní list pro žáka
Dynamická měření tuhosti pružiny a torzní tuhosti nylonového vlákna Pomůcky: Stativ, LabQuest, siloměr Vernier, sonar Go!Motion, pružina, nylonové vlákno, sada závěsných závaží, délkové měřítko, rychlováhy, „špejlová činka“, modul optická závora. Teorie: 1.Tuhost pružiny k je zavedena jako deformační síla připadající na jednotkovou deformaci: k=
F ∆x
(N/m) .
Pro periodu elastického kyvadla platí T = 2π
m , kde T je perioda kmitů, m hmotnost k
závaží zavěšeného na pružině + 1/3 hmotnosti pružiny (korekce), k tuhost pružiny. Vliv odporu vzduchu není ve vztahu uvažován. Pro tuhost k tak vychází: k =
4π 2 ⋅m T2
(N/m)
(1)
2. Torzní tuhost kt obdobně udává moment síly M potřebný na jednotkovou deformaci (1rad) ve zkrutu: kt =
M ϕ
(N·m/rad).
Pro periodu torzních kmitů platí obdobný vztah T = 2π
J , kde T je perioda torzních kt
kmitů, J moment setrvačnosti objektu zavěšeného na vláknu vzhledem k ose vlákna, kt torzní tuhost vlákna.
4π 2 Pro torzní tuhost kt tak vychází: k t = 2 ⋅ J (N·m/rad) T
(2)
Pro moment setrvačnosti „špejlové činky“, která bude zavěšována na vlákno, platí: J = 2 · Jk + Jš = 2·(0,4 MR2 + Mr2) + 1/12 m l 2
(kg·m2)
J … moment setrvačnosti zavěšené „špejlové činky“ Jk = 0,4 MR2 + Mr2 moment setrvačnosti olůvka v zhledem k ose o Jš = 1/12 m l 2 moment setrvačnosti špejle v zhledem k ose o m... hmotnost špejle l ...délka špejle
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
(3)
Postup práce A: 1. Na stojan upevněte siloměr a na jeho háček zavěste pružinu se závažím. 2. Přesně pod závaží položte sonar Go!Motion. Výšku stojanu upravte tak, aby minimální vzdálenost závaží od sonaru neklesla při kmitání pod 15 cm. Sonar přepněte do režimu „vozíček“ a zapojte jej do USB portu počítače. 3. Spustěte program Logger Pro. Měřit budete automaticky nastavenou časovou závislost y = f(t) a v = f(t). 5. Po ustálení závaží v rovnovážné poloze vynulujte čidlo (Experiment→Nulovat...). Pak rozkmitejte pružinu a spustěte Sběr dat. Na pracovní ploše se současně objeví všechny potřebné závislosti a z nich provedete vyhodnocení. Výsledky A: Výsledky zapisujte do tabulky. Tabulka pro zápis výsledků 1: mp (kg) mz m = mp+ mz (kg)
T (s)
k (N/m)
Určete nejpravděpodobnější hodnoty tuhosti pružin a odhadněte chybu měření. Postup práce B: 1. Změřte hmotnost M olůvka a hmotnost m špejle a délku l špejle a ze vztahu (3) vypočtěte moment setrvačnosti J. 2. Upevněte nylonové vlákno se „špejlovou činkou“ na stojan do vhodné výšky. Činku vychýlte asi o 30o z rovnovážné polohy a nechte torzně kmitat. Vzhledem k velikosti periody torzních kmitů (desítky sekund) lze s dostatečnou přesností měřit periodu stopkami. 3. Vyčíslete kt podle (2).. 4. Měření s daným vláknem několikrát opakjte Výsledky B : T (s) kt (N·m/rad) J (kg·m2) Výsledky zapisujte do tabulky. Tabulka pro zápis výsledků 2:
Z výsledků určete nejpravděpodobnější hodnotu torzní tuhosti vlákna a odhadněte chybu svého měření. Diskuze Diskutujte vliv odporu vzduchu na výsledky měření. Další aplikace, možnosti, rozšíření, zajímavosti, … Srovnání výsledků k s přímým měřením tuhosti pružiny k = F/∆x. Diskuse o vlivech patrametrů vlákna (délka, průměr, materiál) na torzní tuhost. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
