LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar dan salah). Contoh : 1. Gadis itu cantik. 2. Bersihkan lantai itu. 3. Pernyataan/kalimat tertutup adalah kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus bernilai benar atau salah. Contoh : 1. 2 adalah bilangan prima. (Pernyataan bernilai benar) 2. 13 adalah bilangan genap. (Pernyataan bernilai salah) 3. Jakarta adalah ibukota Republik Indonesia(Pernyataan bernilai benar) B. KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI NAMA PERNYATAAN KONJUNGSI
LAMBANG LOGIKANYA
KATA PENGHUBUNG “ dan”
DISJUNGSI IMPLIKASI
“ atau ” “ Jika….maka…”
BIIMPLIKASI
“ .…Jika dan hanya jika….”
1
TABEL KEBENARAN DARI MASING-MASING PERNYATAAN a. Konjungsi (Konjungsi hanya bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar)
p B B S S
B S S S
q B S B S
b. Disjungsi (Disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah)
p B B S S
B B B S
q B S B S
c. Implikasi (Implikasi hanya bernilai salah jika pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah)
p B B S S
q
B S B B
B S B S
d. Biimplikasi (Biimplikasi hanya bernilai benar pernyataan benar atau kedua pernyataan salah)
p B B S S
q
B S S B
B S B S
jika
kedua
2
C. TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN KONTINGENSI Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah. Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang bukan tautologi atau bukan kontradiksi. Contoh : Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut tautologi,kontradiksi atau kontingensi. a. p ~ p
merupakan
p ~ p c. p q q b.
Jawab : a. Tabel kebenaran
p
p ~ p
~ p
B S S S S B Karena tabel kebenaran dari maka pernyataan kontradiksi b. Tabel kebenaran
p
p ~ p selalu bernilai salah
p ~ p adalah merupakan penyataan
p ~ p
~ p
B S S S B B Karena tabel kebenaran dari
p ~ p bukan tautologi dan kontradiksi maka pernyataan p ~ p adalah merupakan penyataan kontingensi
3
c. Tabel kebenaran
p q q
(p
q)
q
B B S S
B S S S
B S B S
B S B S
B B B B
p q q bukan tautologi pernyataan p q q adalah
Karena tabel kebenaran dari dan
kontradiksi
maka
merupakan penyataan kontingensi D. INGKARAN PERNYATAAN MAJEMUK
~ p q ~ p ~ q ~ p q ~ p ~ q ~ p q p ~ q ~ p q p ~ q ~ p q
Contoh : 1. Ayah pergi ke kantor dan Ibu pergi ke pasar. Ingkaran (negasi) : Ayah tidak pergi ke kantor atau Ibu tidak pergi ke pasar 2. Badu belajar Fisika atau Matematika. Ingkaran (negasi) : Badu tidak belajar Fisika dan Matematika 3. Hari ini turun hujan dan angin bertiup kencang. Ingkaran (negasi) : ................................................................................. 4. Ani lulus ujian atau tidak lulus SNM-PTN Ingkaran (negasi) : ................................................................................. 5. Jika Ali ke sekolah, maka Ibu di rumah. Ingkaran (negasi) : Ali ke sekolah dan Ibu tidak di rumah
4
6. Tono minum obat jika dan hanya jika ia sakit. Ingkaran (negasi) : Tono minum obat dan ia tidak sakit atau Tono tidak minum obat dan ia sakit 7. Jika Sari rajin belajar, maka ia naik kelas. Ingkaran (negasi) : ................................................................................. 8. Tuti menangis jika dan hanya jika ia sedih. Ingkaran (negasi) : ................................................................................. E. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI KONVERS INVERS KONTRAPOSISI
pq q p ~ p ~ q ~ q ~ p
Contoh : 1. Jika Carli pandai, maka ia lulus tes. Konvers : Jika Carli lulus tes, maka Ia pandai Invers : Jika Carli tidak pandai maka Ia tidak lulus tes Kontraposisi : Jika carli tidak lulus tes maka tidak pandai 2. Jika Ayah ke kantor, Konvers Invers Kontraposisi
maka ia mengendarai mobil atau motor. : : :
F. PERNYATAAN BERKUANTOR Kuantor berarti pengukur kualitas atau jumlah. Kuantor terbagi menjadi 2 yaitu kuantor khusus (kuantor eksistensial) dan kuantor umum (kuantor universal).
5
JENIS KUANTOR Kuantor Universal Kuantor Eksistensial
LAMBANG KUANTOR
NEGASI
CONTOH KATA Semua, setiap, seluruh. Ada, beberapa, sekurang-kurangnya satu
Contoh : Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut ini 1. 2. 3. 4. 5. Ada bilangan asli bertanda negatif. 6. Kuadrat setiap bilangan real adalah positif. 7. Ada bilangan prima yang habis dibagi 2. 8. Setiap bilangan asli ialah bilangan cacah. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini : 1. Semua siswa hormat kepada guru. Ingkaran (negasi) : 2. Beberapa murid mengganggap matematika sukar. Ingkaran (negasi) : 3. Setiap siswa SMA Santa Angela Bandung berseragam batik. Ingkaran (negasi) : 4. Ada burung yang tidak bisa terbang. Ingkaran (negasi) : 5. Seluruh tamu undangan menyalami pengantin. Ingkaran (negasi) : G. PENARIKAN KESIMPULAN Ada beberapa cara penarikan kesimpulan diantaranya : 1. Modus Ponen
6
2. Modus Tollens
3. Silogisme
Contoh : 1. Tuliskan kesimpulan dari premis-premis berikut ini :
2. Tuliskan kesimpulan dari premis-premis berikut ini Diketahui premis-premis sebagai berikut : P1 : Jika Ana mengerjakan tugas dengan baik maka hatinya tenang. P2 : Jika hati ana tenang maka ia akan berhasil dalam belajarnya.
7
Diketahui premis-premis sebagai berikut : P1 : Jika Badu rajin belajar, maka ia akan naik kelas. P2 : Badu rajin belajar.
Diketahui premis-premis sebagai berikut : P1 : Jika hari hujan, maka Ana membawa payung. P2 : Ana tidak membawa payung.
Diketahui premis-premis sebagai berikut : P1 : Jika budi tidak kuliah di perguruan tinggi maka budi tidak lulus ujian P2 : Budi tidak kuliah di perguruan tinggi atau budi menjadi sarjana P3 : Budi tidak menjadi sarjana
8
