1. fejezet Az elektromechanikai energia´ atalak´ıt´ as Nagyon sokf´ele berendez´es van, ami villamos energi´at alak´ıt mechanikai energi´av´a ´es ford´ıtva. Ezeknek a berendez´eseknek a fel´ep´ıt´ese k¨ ul¨onb¨oz˝o lehet, a funkci´ojuknak megfelel˝oen. Ezek k¨oz¨ott vannak olyanok, melyeket folytonos energia´atalak´ıt´asra haszn´alnak, ezek a motorok ´es gener´atorok. M´as eszk¨oz¨oket transzl´aci´os er˝ot hoz l´etre amikor sz¨ uks´eges. Ilyen eszk¨oz¨ok egyes aktu´atorok. A k¨ ul¨onb¨oz˝o ´atalak´ıt´oknak lehet, hogy a fel´ep´ıt´es¨ uk k¨ ul¨onb¨oz˝o, de a m˝ uk¨od´es¨ uk hasonl´o elveken alapul. A k¨ovetkez˝okben olyan ´atalak´ıt´okkal foglalkozunk, ahol az energia´atalak´ıt´as k¨ozege a m´agneses t´er.
1.1.
Energia´ atalak´ıt´ as folyamata
Nagyon sokf´ele m´odszer l´etezik az energia´atlak´ıt´o berendez´es erej´enek, nyomat´ek´anak sz´am´ıt´as´ara. Itt azt a m´odszert alkalmazzuk, mely energiamegmarad´as elv´en alapul (energi´at nem lehet l´etrehozni, se megsz¨ untetni, csak ´atalak´ıtani). Az elektromechanikai a´talak´ıt´oknak h´arom alapvet˝o r´esze van: egy villamos rendszer, egy mechanikai rendszer, ´es az ˝oket ¨osszekapcsol´o t´er, ahogy az ´abra is mutatja.
1.1. ´abra. Az elektromehcanikai ´atalak´ıt´o rendszer. A villamos energia vesztes´eg, h˝ovesztes´eg ami az energi´atalak´ıt´o tekercs´eben foly´o a´ramt´ol van (i2 R). A m´agneses t´er vesztes´ege a vasvesztes´eg, ami a vasmagban v´altoz´o m´agneses t´ert˝ol van. A mechanikai vesztes´eg pedig a mozg´o alkatr´esz surl´od´as´ab´ol ´es l´egellen´all´as´ab´ol sz´armazik. Az el˝obbi vesztes´ege mindegyike meleged´es form´aly´aban jelentkezik. 1
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
Most vegy¨ unk egy dt id˝ointervallumot, ami alatt a villamos energia n¨oveked´es dWe (i2 R n´elk¨ ul). A dt id˝o alatt dWf az az energia, amivel a k´et rendszert o¨sszekapcsol´o m´agneses teret t´apl´altam (vagy t´arolja vagy vesztes´eg vagy is-is), ´es dWm pedig a dt id˝o alatt ´atalak´ıtott mechanikai energia, melyeknek az ¨osszef¨ ugg´ese a k¨ovetkez˝o: dWe = dWm + dWf .
(1.1)
A vasvesztes´eg ´altal´aban kicsi, ´es ha elhanyagoljuk, akkor dWf a t´arolt energia megv´altoz´asa lesz. Hasonl´oan, ha a surl´od´asb´ol ´es l´egellen´all´asb´ol sz´armaz´o vesztes´eget elhanyagoljuk, dWm a hasznos mechanikai energia.
1.2.
M´ agneses t´ er energi´ aja
Vegy¨ uk az ´abr´an l´athat´o elektromechanikai rendszert. A mozg´o r´eszt egyens´ ulyi a´llapotban tartja egy rug´o. Tegy¨ uk fel, hogy a mozg´o r´eszt nem mozdul, a l´egr´es a´lland´o, amikor az ´aramot megn¨ovelj¨ uk 0-r´ol i-re. Fluxust l´etes´ıt¨ unk a m´agneses k¨orben. Term´eszetesen dWm =0, teh´at dWe =dWf . .
1.2. ´abra. P´elda elektromechanikai rendszerre. Ha a vasvesztes´eget elhanyagoljuk, a villamos rendszerbe t´apl´alt minden energia a m´agneses t´erben halmoz´odik fel. Mivel u = dΨ/dt, ´es dWe = ui dt, ez´ert dWf = i dΨ.
(1.2)
. Az a´ram ´es a fluxuskapcsol´od´as kapcsolat´at mutatja az ´abra, k¨ozepes l´egr´esm´eret mellett. A m´agneses t´er energi´aj´at mutatja a pirossal sraffozott r´esz. Ha a fluxuskapcsol´od´ast 0-t´ol Ψ-ig n¨ovelj¨ uk, a m´agneses t´erben felhalmozott energia Z Ψ Wf = i dΨ. (1.3) 0
Ez az integr´al, a z¨oldel sraffozott ter¨ uletet jelenti a 1.3. ´abr´an. Legyen Hv a vasmag m´agneses t´erer˝oss´ege, Hl a l´egr´es m´agneses t´erer˝oss´ege, lv a vasmag m´agneses hossza, ll a l´egr´es hossza. Ampere t¨orv´eny´et fel´ırva a 1.2. a´br´an l´athat´o feladatra Ni = Hc lc + Hl ll (ll = 2g), ´es tudjuk, hogy Ψ = NΦ = NAB, mert
2
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
1.3. ´abra. A 1.2. ´abr´ahoz tartoz´o Ψ − i karakterisztika. a t´agul´ast elhanyagoljuk. Ebb˝ol a k´et egyyenletb˝ol ´es a 1.2-as egyenletb˝ol a k¨ovetkez˝ot kapjuk, Z H c lc + H l l l NA dB, (1.4) Wf = N ahol Hl = B/µ0 .
Wf =
Z
=
Z
! Z B Hc lc + ll A dB = µ0 Hc dB · Vv +
! B Hc dB lc A + dB ll A µ0
B2 · Vl = w f v · Vv + w f l · Vl 2µ0
(1.5)
= Wf v + Wf l ´ Altal´ aban, a l´egr´esben t´arolt energia (Wf l ) j´oval nagyobb mint a vasmagban t´arolt energia (Wf v ). T¨obbs´eg´eben Wf v elhanyagolhat´o. Line´aris m´agneses rendszerben Hv = Bv /µv , teh´at Z Bv B2 wf v = dBv = c . (1.6) µv 2µv ´ 1. PELDA A 1.2. ´abr´an l´athat´o aktu´ator m´ereteit mutatja a jobboldali ´abra. A vasmag anyaga ac´el¨ontv´eny (cast steel). A tekercs menetsz´ama 250, ´es a tekercs ellen´all´asa 5Ω. A l´egr´es hossza 5mm, ´es egy egyen´aram´ u forr´asr´ol t´apl´aljuk a m´agneses k¨ort, ami 1T indukci´ot eredm´enyez a l´egr´esben. (a) Mekkora a dc forr´as fesz¨ ults´ege. (b) Mekkora a rendszer t´arolt energi´aja.
1.4. ´abra. A feladat m´eretei.
(a) Hv =670A/m, lv ≈ 60cm, Hl = 795774,71 A/m, i=33,439 A, teh´at a forr´as fesz¨ ults´ege Udc =33,439 · 5 = 167,195V. 3
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
(b) A vasmag energias˝ ur˝ us´ege Z 1 1 1 wf v = H dB ≈ · B · H = · 1 · 670 = 335J/m3. 2 2 0 A vasmag energias˝ ur˝ us´ege a B-tengely ´es a B − H karakterisztika k¨oz¨otti ter¨ ulet. A vasmag t´erfogata Vv =0,003m3 , teh´at a vasmagban t´arolt energia, Wf v = wf v · Vv = 1, 005J. A l´egr´es energias˝ ur˝ us´ege wf l =
B2 = 397887, 36J/m3, 2 · µ0
´es a l´egr´es t´erfogata Vl =0,05· 10−3 m3 , teh´at a l´egr´esben t´arolt energia Wf l = wf l · Vl = 19, 8944J. A m´agneses k¨or teljes energi´aja Wf =Wf v + Wf c = 20,9 J.
1.2.1.
Energia, koenergia
Az elektromechanikai rendszer Ψ − i karakterisztik´aja f¨ ugg a l´egr´es m´eret´et˝ol. Nagy l´egr´es eset´en a karakterisztika j´o k¨ozel´ıt´essel line´aris lesz, ezt mutatja a 1.5. a´bra. Egy adott l´egr´esm´eret eset´eben a t´arolt energia a Ψ − i karakterisztika f¨ol¨otti pirossal sraffozott r´esz lesz a 1.5. ´abra baloldali ´abr´aj´an. A karakterisztika alatti ter¨ ulet pedig az u ´ n. koenergia, melynek a k´eplete Z i ′ Wf = Ψ di. (1.7) 0
.
1.5. ´abra. (B)-Ψ − i karakterisztika k¨ ul¨onb¨oz˝o l´egr´esre, (J)-Az energia ´es koenergia. Ennek a mennyis´egnek nincs fizikai jelent´ese. Viszont sz´am´ıthat´o bel˝ole er˝o, nyomat´ek az elektromechanikai rendszer eset´eben. Fontos megjegyezni, ha Wf′ > Wf , akkor a karakterisztika nemline´ais, ha Wf′ = Wf akkor line´aris. 4
Marcsa D´aniel
1.3.
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
Mechanikai er˝ o az elektrom´ agneses rendszerben
A 1.2. ´abr´an l´athat´o rendszerben, a mozg´o r´esz elmozdul az eredti a´llapot´ab´ol (x = x1 ) egy m´asik pozic´ı´oba (x = x2 ), teh´at a mozg´as v´eg´en cs¨okken a l´egr´es. Ha a mozg´o r´esz lassan mozog, az ´aram k¨ozel´ıt˝oleg ´alland´o marad a mozg´as alatt. Teh´at a m˝ uk¨od´esi pont eltol´odik a-pontb´ol b-pontba. Az energiav´altoz´asok a k¨ovetkez˝ok´eppen alakulnak, Z Z Ψ2 i dΨ = az abcd ter¨ ulet, (1.8) dWe = ui dt = Ψ1
dWf = 0bc ter¨ ulet − 0ad ter¨ ulet,
(1.9)
dWm = abcd ter¨ ulet + 0bc ter¨ ulet − 0ad ter¨ ulet = 0ab ter¨ ulet.
(1.10)
1.6. ´abra. Az elektromechanikai rendszer m˝ uk¨od´esi pontj´aban mozg´asg¨orb´eje. (B)Konstans ´aram eset´eben, (J) - konstans fluxuskapcsol´od´as eset´eben. Teh´at, ha mozg´as k¨ozben az a´ram nem v´altozik meg, akkor a mechanikai munka a jobboldali ´abra sraffozott r´esze lesz, ami nem m´as mint a koenergia n¨oveked´ese, teh´at dWm = dWf′ . Ha fm a mechanikai er˝o, melynek k¨ovetkezt´eben dx elmozdul´as j¨on l´etre, akkor fm dx = dWm = dWf′ , melyb˝ol integ´al´as ut´an a k¨ovetkez˝ot kapjuk, fm =
∂Wf′ (i, x) |i=konstans . ∂x
(1.11)
A m´asodik eset az, amikor a rel´e mozg´o r´esz´enek a mozg´asa nagyon gyorsan k¨ovetkezik be. Ilyenkor a fluxuskapcsol´od´as k¨ozel ´alland´o marad, ezt mutatja a 1.6. a´bra jobboldali ´abr´aja. Ebben az esetben a machanikai munka szint´en a sraffozott r´esz lesz, ami a m´agneses t´er energi´aj´anak a cs¨okken´ese. Teh´at fm dx = dWm = −dWf , 5
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
∂Wf (Ψ, x) |Ψ=konstans . (1.12) ∂x Fontos megjegyezni, hogy a gyors mozg´as eset´eben a villamos rendszer bemenete nulla (i dΨ=0), mert a fluxuskapcsol´od´as ´alland´o, teh´at a kimeneti mechanikai energi´at teljes eg´esz´eben a m´agneses t´er energi´aja adja. fm = −
´ 2. PELDA Egy elektrom´agneses rendszer Ψ − i kapcsolata a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´ennyel adott Ψg 2 i= 0, 09
ahol az ´aram 4A ´es a l´egr´es m´erete (g) 5cm. Sz´am´ıtsa ki a mozg´o r´esz a´ltal v´egzett mechanikai munk´at a (a) koenergi´ab´ol ´es az (b) energi´ab´ol. (a) A Ψ − i kapcsolat ´atrendezhet˝o Ψ-re, 0, 09i1/2 Ψ= , g amib˝ol a rendszer koenergi´aja Z i Z i 0, 18 3/2 0, 09i1/2 ′ di = i J [joule], Wf = Ψ di = g 3g 0 0 melyb˝ol az er˝o a (1.11)-es ¨osszef¨ ugg´essel sz´am´ıthat´o, ∂Wf′ (i, g) 0, 18 fm = |i=konstans = − 2 i3/2 , ∂g 3g melybe behelyettes´ıtve g = 0,05m ´es i = 3A, az er˝o fm = -124,7N [newton]. (b) A rendszer energi´aja Wf =
Z
Ψ
i dΨ =
0
Z
Ψ 0
Ψg 2 g 2 Ψ3 , dΨ = 0, 09 0, 09 3
melyb˝ol az er˝o a (1.12)-es ¨osszef¨ ugg´essel sz´am´ıthat´o, ∂Wf (Ψ, g) Ψ3 2g fm = − |Ψ=konstans = − . ∂g 3 · 0, 092 melybe behelyettes´ıtve a Ψ=3,12Wb ´es g = 0,05m, az er˝o fm = -124,7N-ra ad´odik. Ahogy lehet l´atni, az er˝o sz´am´ıt´asa energi´aval ´es koenergi´aval azonos eredm´enyre vezet. Azonban, hogy melyik m´odszert alkalmazzuk az er˝o sz´am´ıt´as´ara az a´ltal´aban feladatf¨ ugg˝o.
1.3.1.
Line´ aris rendszer
Vegy¨ uk az 1.2. ´abr´an l´athat´o rendszert. Ha a vasmag reluktanci´aja elhanyagolhat´o a l´egr´es´ehez k´epest, a Ψ − i kapcsolat line´aris lesz. Ebben az ide´alis rendszerben Ψ = L(x)i,
6
(1.13)
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
ahol L(x) a tekercs induktivit´asa (¨onindukci´os t´enyez˝oje), ami f¨ ugg a l´egr´es m´eret´et˝ol. A m´agneses t´er energi´aja Z Ψ Z Ψ Ψ Ψ2 Wf = i dΨ = dΨ = . (1.14) 2L(x) 0 0 L(x) A fenti ¨osszef¨ ugg´est felhaszn´alva a mechanikai er˝o ! Ψ2 dL(x) 1 dL(x) Ψ2 ∂ |Ψ=konstans = = i2 . fm = − 2 ∂x 2L(x) 2L(x) dx 2 dx Line´aris rendszer eset´eben Wf = Wf′ = 12 L(x)i2 , teh´at a koenergi´ab´ol az er˝o ! 1 dL(x) ∂ 1 L(x)i2 |i=konstans = i2 . fm = ∂x 2 2 dx
(1.15)
(1.16)
Ha a rel´en´el a vasmag reluktanci´aj´at elhanyagoljuk, Ni = Hl ·2g = Bl /µ0 ·2g. A rendszer energi´aj´at pedig a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´am´ıthatjuk, Wf =
Bl2 B2 · l´egr´es t´erfogata = l · Al 2g, 2µ0 2µ0
(1.17)
ahol Al a l´egr´es keresztmetszete. A fenti ¨osszef¨ ugg´esb˝ol a mechanikai er˝o ∂ fm = ∂g
Bl2 · Al · 2g 2µ0
!
=
Bl2 · 2Al . 2µ0
(1.18)
A l´egr´es teljes keresztmetszete ebben a p´eld´aban 2Al , ez´ert az er˝o per a l´egr´es egys´egkeresztmetszete, B2 (1.19) Fm = l N/m2 , 2µ0 ahol Fm a m´agneses nyom´as. ´ 3. PELDA Az ´abr´an l´athat´o m´agneses k¨ornek a k¨ovetkez˝ok a param´eterei: N=500, i=2A, l´egr´es sz´eless´ege = 2cm, l´egr´es m´elys´ege = 2cm, l´egr´es hossza = 1mm. A vasmag reluktanci´aj´at, a sz´ort fluxust ´es a sz´or´od´ast elhanyagoljuk. (a) Hat´arozza meg a vonz´oer˝ot a l´egr´es k´et oldala k¨oz¨ott. (b) Hat´arozza meg a l´egr´esben t´arolt energi´at. (a)
1.7. ´abra. A feladat.
Bl2 N 2 i2 5002 · 22 −7 fm = · Al = µ0 2 Al = 4π10 · · (2 · 10−2 · 2 · 10−2) = 251, 3274 N −3 2 2µ0 2ll 2 · (1 · 10 ) 7
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
(b) Wf =
Bl2 B2 · Vl = l · Al · ll = 251, 3274 mJ. 2µ0 2µ0
´ 4. PELDA Egy m´agneses emel˝orendszert mutat a 1.8. ´abra, aminek a keresztmetszete 6·6 cm2 . A tekercs menetsz´ama 300, ´es az ellen´all´asa 6Ω. A vasmag reluktanci´aj´at ´es a m´agneses t´er sz´or´od´as´at a l´egr´esben elhanyagoljuk. (a) A l´egr´es 5mm ´es 120V-os dc forr´ast kapcsolunk a tekercsre. Hat´arozza meg a (i) a t´arolt energi´at, (ii) az emel˝oer˝ot. (b) A l´egr´es szint´en 5mm, azonban most egy 120V (rms) ac forr´ast kapcsolunk a m´agneses k¨orre, aminek 60Hz a frekvenci´aja. Hat´arozza meg az emel˝oer˝o a´tlag´at.
1.8. ´abra. A 4. p´elda ´abr´aja, ´es az indukci´o, ´aram ´es er˝o id˝of¨ uggv´enye. (a) A tekercs ´arama I=120/6 = 20A. Mivel a vasmag reluktanci´aj´at elhanyagoljuk, a vasmag energi´aja is elhanyagolhat´o. Teh´at a teljes energia a l´egr´esben van. Bg =
µ0 NI = 0, 754T. 2ll
A m´agneses t´er energi´aja
Bg2 · Vl = 8, 1434J. 2µ0 Az energi´ab´ol k¨onnyen megat´arozhat´o az emel˝oer˝o Wf =
fm =
Bg2 · Al = 1628, 678N. 2µ0
(b) V´altakoz´o´aram´ u gerjeszt´es eset´en a tekercs impedanci´aja Z = R + jωL. A tekercs induktivit´asa N2 N 2 µ0 Al L= = = 40, 7mH → Z = 6 + j15, 343Ω. Rml ll A tekercs ´arama Irms = p
120 62 + 15, 3432
= 7, 284A
A fluxuss˝ ur˝ us´eg Bl = (µ0 Ni)/(2ll ). A fluxuss˝ ur˝ us´eg ar´anyos az a´rammal, ´es szinuszosan v´altakozik, ahogy a 1.8. ´abra mutatja. A fluxuss˝ ur˝ us´eg n´egyzetes k¨oz´ep´ert´eke Brms =
µ0 NIrms = 0, 2746T. 2ll 8
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
Az emel˝oer˝o k´eplete fm =
Bl2 · 2Al ∝ Bl2 , 2µ0
teh´at az er˝o az indukci´o n´egyzet´evel ar´anyosan v´altozik, ahogy az 1.8. a´bra is mutatja, fm |a´tlag =
B2 Bl2 |a´tlag · 2Al = rms |a´tlag · 2Al = 216, 02N, 2µ0 2µ0
ami k¨ozel nyolcada az egyenfesz¨ ults´egn´el kapott er˝onek. Az emel˝omagneseket a´ltal´aban dc forr´asr´ol t´apl´alj´ak.
1.4.
Forg´ og´ epek
Az eddigiekben olyan elektrom´agneses (elektromechanikai) rendszerrel foglalkoztunk, amely transzl´aci´os mozg´ast hoz l´etre. Azonban, a legt¨obb energia´atalak´ıt´o, k¨ ul¨on¨osen a nagyobb teljes´ıtm´eny¨ uek, forg´omozg´ast hoznak l´etre. A forg´o elektrom´agneses rendszer f˝obb r´eszeit a 1.9. ´abra mutatja. A r¨ogz´ıtett r´esz az ´all´or´esz (szt´ator), a mozg´o r´esz a forg´or´esz (rotor). A forg´or´esz egy tengelyen van, ´es szabadon tud forogni az a´ll´or´esz k´et p´olusa k¨oz¨ott.
1.4.1.
Egy gerjeszt´ est tartalmaz´ o eset
Az egy gerjeszt´est tartalmaz´o forg´omozg´ast v´egz˝o elektrom´agneses rendszer nagyon hasonl´o az eddig t´argyalt transzl´aci´os mozg´ast v´egz˝o rendszerekkel. A k¨ ul¨onbs´eg a mozg´as fajt´aj´ab´ol fakad, vagyis forg´omozg´as eset´eben a sz¨ogelfordul´as szerint kell deriv´alni. Energia Koenergia ´ Altal´anos esetben dWf = i dΨ - M dΘ RΨ
Wf (Ψ, Θ) = i=
0
dWf′ = i dΨ + M dΘ
i(Ψ, Θ)dΨ
Wf′ (i, Θ) =
∂Wf (Ψ,Θ) ∂Ψ
M =−
∂Wf (Ψ,Θ) ∂Θ
Ri 0
Ψ(i, Θ)di
Ψ=
∂Wf′ (i,Θ) ∂i
M=
∂Wf′ (i,Θ) ∂Θ
Line´aris esetben Wf (Ψ, Θ) = M=
1 2
Ψ L(Θ)
2
1 Ψ2 2 L(Θ)
dL(Θ) dΘ
Wf′ (i, Θ) = 21 i2 L(Θ)
= 12 i2 dL(Θ) dΘ
9
M = 21 i2 dL(Θ) dΘ
Marcsa D´aniel
1.4.2.
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
K´ et gerjeszt´ est tartalmaz´ o eset
K´et gerjeszt´est akkor tartalmaz egy forg´o elektrom´agneses rendszer, amikor az a´ll´or´esz ´es forg´or´esz egyar´ant tekercselt. A forg´or´esz tekercs´et r¨ogz´ıtett kef´eken ´es a forg´or´eszre helyezett cs´ usz´ogy˝ ur˝ un kereszt¨ ul t´apl´aljuk.
1.9. ´abra. A forg´o elektrom´agneses rendszer alapfel´ep´ıt´ese. Ebben az esetben a fenti egyenletek a k¨ovetkez˝ok´eppen alakulnak, dWf = dWe − dWm , ahol dWe = us is dt + ur ir dt = is dΨs + ir dΨr ,
(1.20)
dWm = MdΘ.
(1.21)
´es Teh´at a m´agneses t´er energi´aj´anak ´es a koenergi´anak a megv´altoz´asa, dWf (is , ir , Θ) = is dΨs + ir dΨr − MdΘ,
(1.22)
dWf′ (Ψs , Ψr , Θ) = Ψs dis + Ψr dir + MdΘ,
(1.23)
melyekb˝ol a nyomat´ek k´eplete M =−
∂Wf (is , ir , Θ) ∂Θ
vagy M =
∂Wf′ (Ψs , Ψr , Θ) . ∂Θ
(1.24)
A fenti egyenletek ´altal´anos esetre igazak. Azonban akkor, ha a m´agneses rendszer line´aris, az ´all´or´esztekercs fluxuskapcsol´od´asa (Ψs ), ´es a forg´or´esztekercs fluxuskapcsol´od´asa (Ψr ) felirhat´o induktivit´asokkal, melyek f¨ uggnek a forg´or´esz pozici´oj´at´ol, vagyis Θ-t´ol. Ψs = Lss is + Lsr ir , Ψr = Lrs is + Lss ir ,
(1.25)
ahol Lss az ´all´or´esztekercs ¨onindukci´oja, Lrr a forg´or´esztekercs o¨nindukci´oja, Lsr ´es Lrs pedig a k¨olcs¨on¨os indukci´o az ´all´or´esz- ´es forg´or´esztekercs k¨oz¨ott. A (1.25)-¨os egyenlet m´atrixos alakban, is Lss Lsr Ψs . (1.26) = ir Lrs Lrr Ψr 10
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
Line´aris m´agneses rendszer eset´eben Lsr = Lrs . A (1.20)-as egyenletbe behelyettes´ıtve a (1.25)-¨os k´epletet a k¨ovetkez˝ot kapjuk dWf = is d(Lss is + Lsr ir ) + ir d(Lsr is + Lrr ir ) = Lss is dis + Lrr ir dir + Lsr d(is ir ), (1.27) melyb˝ol a t´er energi´aja Z Z is is dis + Lrr Wf = Lss 0
0
ir
ir dir + Lsr
Z
is ,ir 0
1 1 d(is ir ) = Lss i2s + Lrr i2r + Lsr is ir . (1.28) 2 2
A fenti ¨osszef¨ ugg´esb˝ol a nyomat´ek a k¨ovetkez˝o lesz, ∂Wf′ (is , ir , Θ) 1 dLss 1 2 dLrr dLsr |is ,ir =konstans = i2s + ir + is ir . (1.29) Θ 2 dΘ 2 dΘ dΘ A jobb oldal els˝o k´et tagja jelenti a forg´or´esz poz´ıci´oj´anak megfelel˝oen v´altoz´o o¨nindukci´o k¨ovetkezt´eben l´etrej¨ov˝o nyomat´ekot a g´epben. A nyomat´ek ezen komponens´et reluktancianyomat´eknak nevezik. A harmadik tag jelenti a k¨olcs¨on¨osindukci´o v´altoz´asa k¨ovetkezt´eben l´etrej¨ov˝o nyomat´ekot. M=
´ 5. PELDA Vegy¨ uk az 1.9. ´abr´an l´athat´o elektrom´agneses rendszernek azt az eset´et, amikor a forg´or´esznek nincs tekercsel´ese (vagyis egy reluktancia motorunk van), ´es az ´all´or´esz induktivit´as a rotor poz´ıci´oj´anak (Θ) a f¨ uggv´enye, Lss = L0 + L2 cos 2Θ, ahogy az 1.10. ´abr´an lehet l´atni. Az ´all´or´esz´aram, is = Ism sin(ωt). (a) ´Irja fel a forg´or´eszre hat´o nyomt´ek ¨osszef¨ ugg´es´et. (b) Legyen Θ = ωm t + δ, ahol ωm a forg´or´esz sz¨ogsebess´ege, ´es δ a forg´or´esz poz´ıci´oja a t=0 id˝opillanatban. ´Irja fel a nyomat´ek ´atlag´anak kifejez´es´et, ´es keresse meg a felt´etelt, mikor nem nulla a nyomat´ek ´atlaga.
1.10. ´abra. A forg´o elektrom´agneses rendszer alapfel´ep´ıt´ese. (a) Egyetekercses rendszer eset´en a nyomat´ek (vagy k´ettekercses esetn´el, ha ir =0) 1 2 d 1 dLss = Ism sin2 ωt (L0 + L2 cos 2Θ) = M = i2s 2 dΘ 2 dΘ 2 = −Ism L2 sin 2Θ sin2 ωtNm. (b) (1 − cos 2ωt) 2 2 M = −Ism L2 sin 2Θ sin2 ωt = −Ism L2 sin 2Θ = 2 i h 1 1 2 = −Ism L2 sin 2(ωm t + δ) − sin 2{(ωm + ω)t + δ} − sin 2{(ωm − ω)t + δ} . 2 2 11
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
A h´arom id˝oben szinuszosan v´altoz´o f¨ uggv´eny ´atlag´ert´eke nulla, mindaddig, am´ıg az egyik tagn´al a t egy¨ utthat´oja nulla nem lesz. A k¨ovetkez˝o esetekben van a´tlagos forgat´onyomat´ek: (i) ωm = 0 Az ´atlagos nyomat´ek nulla sz¨ogsebess´egn´el 1 2 Ma´tlag = − Ism L2 sin 2δ. 2 Az 1.10. ´abra baloldali ´abr´aj´ab´ol L2 = Teh´at,
Ld − Lq , 2
1 2 (Ld − Lq ) sin 2δ. Ma´tlag = − Ism 4
(ii) ωm = ±ω Ennek a felt´etelnek megfelel˝oen 1 2 1 2 Ma´tlag = Ism L2 sin 2δ = Ism (Ld − Lq ) sin 2δ. 4 8 A fenti k´eplet megadja a reluktancia motor ´atlagos nyomat´ek´at, ha az a´ram sz¨ogsebess´eg´evel forog b´armelyik ir´anyba. Az ´aram sz¨ogsebess´ege a szinkron fordulatsz´am. Az ´atlagos nyomat´ek sziniszosan v´altakozik, ahol δ a forg´or´esz poz´ıci´oja t = 0 id˝opillanatban, amit
1.5.
Hengeres g´ epek
Az 1.11. ´abra egy egyszer˝ us´ıtett hengeres forg´og´ep keresztmetszeti n´ezet´et mutatja. Az ´all´or´asz ´es forg´or´esz tekercsek k´et-k´et horonyba vannak elhelyezve. Term´eszetesen a val´os´agos g´epekben t¨obb horonyba van a tekercsel´es. Ha a hornyok hat´as´at elhanyagoljuk, a m´agneses u ´ t reluktanci´aja f¨ uggetlen a forg´or´esz helyzet´et˝ol. Teh´at felt´etelezhetj¨ uk, hogy az ¨onindukci´o (Lss ´es Lrr ) konstans, ´es nincs reluktancianyomat´ek k´epz´es. A k¨olcs¨on¨os indukci´o (Lsr ) nem f¨ uggetlen a forg´or´esz poz´ıci´oj´at´ol, teh´at a hengeres g´epben l´etrej¨ov˝o nyomat´ek dLsr M = is ir . (1.30) dΘ Legyen Lsr = LM cos Θ, (1.31) ahol LM a k¨olcs¨on¨os indukci´o cs´ ucs´ert´eke, ´es Θ az ´all´or´esz- ´es forg´or´esztekercs m´agneses tengelye k¨oz¨otti sz¨og. A k´et tekercs ´arama legyen is = Ism cos ωs t, (1.32) ir = Irm cos(ωr t + α).
12
(1.33)
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
sz r´e o ´ rg ely Fo eng t
Θ = ωm t + δ ´ or´esz tengely All´
1.11. ´abra. A keresztmetszeti n´ezete egy egyenletes l´egr´es˝ u k´etp´olus´ u hengeres g´epnek A forg´or´esz poz´ıci´oja minden id˝opillanatban, Θ = ωm t + δ,
(1.34)
ahol ωm a forg´or´esz sz¨ogsebess´ege, ´es δ a forg´or´esz poz´ıci´oja t=0 id˝opillanatban. A fenti o¨t egyenletb˝ol a nyomat´ek a k¨ovetkez˝ok´eppen ad´odik, M = −Ism Irm LM cos ωs t cos(ωr t + α) sin(ωm t + δ) = Ism Irm LM sin{(ωm + (ωs + ωr ))t + α + δ}+ =− 4 + sin{(ωm − (ωs + ωr ))t − α + δ}+ + sin{(ωm + (ωs − ωr ))t − α + δ}+ + sin{(ωm − (ωs − ωr ))t + α + δ} .
(1.35)
A nyomat´ek sziniszosan v´altozik az id˝o f¨ uggv´eny´eben. Az el˝oz˝o k´epletben l´ev˝o szinuszf¨ uggv´enyek ´atlag´ert´eke nulla, kiv´eve akkor, ha a t egy¨ utthat´oja nulla. Az a´tlagos nyomat´ek akkor nem nulla, ha ωm = ±(ωs ± ωr ).
(1.36)
A g´epeket a´tlagos nyomat´ekra tervezik, hogy amikor forog valamelyik ir´anyba, a sebess´ege az ´all´or´esz- ´es forg´or´esz´aram sz¨ogsebess´eg´enek az ¨osszege vagy k¨ ul¨onbs´ege legyen, |ωm | = |ωs ± ωr |. (1.37) Vagy¨ uk a k¨ovetkez˝o k´et esetet, (1.) ωr =0, α=0, ωm = ωs . A rotor´aram egyen´aram (Ir ), ´es a g´ep szinkron fordulatsz´ammal forog. Ezekkel a felt´etelekkel, az (1.35)-¨os k´epletb˝ol a nyomat´ek, M =−
Ism Ir LM {sin(2ωs t + δ) + sin δ}. 2
(1.38)
A pillanatnyi nyomat´ek l¨ uktet˝o. Az ´atlagos nyomat´ek pedig a k¨ovetkez˝ok´eppen ad´odik, Ism Ir LM sin δ. (1.39) Ma´tlag = − 2 13
Marcsa D´aniel
Az elektromechanikai energia´atalak´ıt´as
Ha a g´epet felfuttatjuk szinkron fordulatsz´amra (ωm = ωs ), akkor j¨on l´etre az a´tlagos egyir´any´ u nyomat´ek, ´es az energia´atalak´ıt´as folytonos lesz szinkron fordulatsz´amon. Ez a szinkrok g´ep m˝ uk¨od´es´enek egyik alapelve, melynek a val´os´agban dc gerjeszt´ese van forg´or´eszben, ´es ac gerjeszt´ese az ´all´or´eszben. Fontos megjegyezni, hogy ωm = 0, a g´epben nem lesz ´atlagos nyomat´ek, teh´at a g´ep nem tud ¨onmag´at´ol elindulni. Egy tekercsel az ´all´or´eszben egyf´azis´ u szinkron g´epet kapunk. Ahogy l´athattuk, az ´atlagos nyomat´ek, egyf´azis´ u esetben l¨ uktet˝o lesz. A l¨ uktet˝o nyomat´ek rezg´eseket, sebess´egingadoz´ast, zajt ´es energiavesztes´eget eredm´enyezhet. Ezek elfogadhat´ok kisebb g´epek eset´eben, de nem a nagyokn´al. A l¨ uktet´es megsz¨ untethet˝o a t¨obbf´azis´ u g´epben, ez´ert a nagyobb g´epek mint t¨obbf´azis´ u g´epek. (2.) ωm = ωs − ωr . Mind az ´all´or´esz-, mint a forg´or´esztekercset elt´er˝o frekvenci´aj´ u v´altakoz´o ´arammal t´apl´aljuk, ´es a motor aszinkron sebess´eggel forog (ωm 6= ωs , ωm 6= ωr ). Az (1.35)-¨os k´epletb˝ol a nyomat´ek, Ism Ir LM [sin(2ωs t + α + δ) + sin(−2ωr t − α + δ)+ 2 + sin(2ωs t − 2ωr t − α + δ) + sin(α + δ)].
M =−
(1.40)
A pillanatnyi nyomat´ek itt is l¨ uktet˝o. Az ´atlagos nyomat´ek, Ma´tlag = −
Ism Ir LM sin(α + δ). 2
(1.41)
Az aszinkron g´ep m˝ uk¨od´es´enek ez az alapja. Am´ıg az a´ll´or´esztekercset v´altakoz´o´arammal t´apl´aljuk, addig a forg´or´esztekercsben v´altakoz´o´aram induk´al´odik. Az egyf´azis´ u aszinkron motor szint´en nem tud mag´at´ol elindulni, mert ωm = 0-n´al nincs ´atlagos nyomat´ek. Ha a g´ep el´eri az ωm = ωs − ωr sebess´eget, akkor hoz l´etre ´atlagos nyomat´ekot. A l¨ uktet˝o nyomat´ek megsz¨ untet´es´ere itt is t¨obbf´azis˝o aszinkron g´epeket haszn´alnak nagyteljes´ıtm´eny˝ u alkalmaz´asokban. A forg´og´epekben a nyomat´ekot a m´agneses u ´ t reluktanci´aj´anak v´altoz´asa vagy a tekercsek k¨oz¨otti k¨olcs¨on¨os indukci´o hozza l´etre. A reluktancia g´epeknek egyszer˝ u a fel´ep´ıt´es¨ uk, de kis nyomat´ekot hoznak l´etre. A hengeres g´epeknek m´ar bonyolultabb a szerkezet¨ uk, de nagyobb nyomat´ekot hoznak l´etre. Emiatt a legt¨obb villamos forg´og´ep hengeres g´ep.
14
