MÝTUS NEKONEČNA II 1
2. Pokus – „alternativní“ nekonečno Vopěnkův hotel Přirozené nekonečno = „moc“ (seznam?)
Babylonská knihovna Písečná kniha - nespočetné množství stran… (J. L. Borges)
2
Jaká nekonečna se vyskytují v matematickém formalismu fyziky? … žádná fyzikální teorie nepotřebuje nekonečno o vyšší mohutnosti než C. I když mnohé teorie pracují s komplexními čísly, mohutnost jejich třídy je C. Podobně vektorová pole a topologické prostory, které ve složitějších teoriích vystupují, jsou vystavěny ze skupin bodů n-rozměrného prostoru (n je konečné, či alespoň spočetné). Jejich kardinalita je opět C.
3
Většina funkcí nevyjadřuje nic reálného (jak mu rozumí současná fyzika). Jsou to funkce nespojité, většinou ve všech bodech. Náš svět je však spojitý a třída těch spojitých (reálných i komplexních) má mohutnost jen C. Pro definici spojité funkce stačí, že je definována v racionálních bodech, kterých je spočetně. „Racionální body“ tvoří hustou množinu, to znamená, že se s libovolnou přesností přibližují všem bodům – i těm iracionálním. V iracionálních bodech tedy nemůže funkce „vybočit“, aniž by ztratila spojitost. Počet takovýchto funkcí je právě Cא0 = C.
Z hlediska fyziky („fyzikální matematiky“) vyšší kardinality neexistují… 4
Další krok k realitě (praktické fyzice): Neboť vzdělaný se vyznačuje tím, že v každém oboru vyžaduje jen takovou přesnost, jakou povaha předmětu připouští. Aristotelés, Etika Nikomachova 1094b Makroskopické veličiny ztrácejí v mikrosvětě smysl. Z fyzikálního hlediska nelze uvažovat o nekonečných počtech bodů. Ani křivky či funkční závislosti nemá smysl redukovat na jednotlivé body. V matematice běžný způsob zápisu f(x)=y skrytě předpokládá nejen, že veličiny x a y existují, ale i že mají charakter bodů (přesných hodnot, reálných čísel). Avšak reálná čísla nejsou reálná v tom smyslu, že popisují věcnou stránku světa (RES = věc). Věci nemají ostrých hranic, fyzikální veličiny nejsou z matematického hlediska „přesné“ (fluktuace, kvantové neurčitosti). Mikrosvět není zmenšeninou makrosvěta, jak předpokládá eukleidovská geometrie nebo formalismus klasické mechaniky. 5
Nekonečno v říši hvězd geometrie – extenzivní charakter (nekonečno co do velikosti) Věřím, že ve vesmíru je 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296* protonů a přesně tolik i elektronů. A. Eddington, Tarner lecture 1938 * tj. = 136 x 2256 = cca 1,6.1079
Otevření vesmírného prostoru Anaximandros(?), pýthagorejci(?), atomisté, stoikové, epikurejci Thomas Digges, G. Bruno … Multivesmíry …(počitatelné?)
6
Nekonečno v říši hvězd Vidíme: uzavřený prostor, poslední sféru! = sféra posledního rozptylu (10↑10↑122 možných konfigurací) Ale: Epikúrejský, nebo uzavřený (neeukleidovský) vesmír? Měl Bruno pravdu (nekonečně Zemí, Kristů, papežů…)? Thomas Payne „…k ukřižování nedošlo“ (The Age Of Reason, 1794/95)
7
Prostorové opakování některých jevů v nekonečném vesmíru, V nekonečným počtu vesmírů se stane všechno, co se stát může — a to nekonečněkrát. (Alan Guth *1947) • • • • • •
Vzdálenost nejbližší hvězdy 6x10↑16 metrů Okraj Galaxie 3x10↑19 metrů Okraj viditelného vesmíru 10↑27 metrů (pohyb horizontu) První „kopie“ mne nebo vás 10↑10↑28 (metrů) První „kopie“ Země 10↑10↑50 První „kopie“ oblasti viditelného vesmíru 10↑10↑119 (podle J. Barrowa) 8
Intenzivní veličiny ve fyzice Nekonečno co do intenzity
Nekonečnost nějaké intenzity – znak nereálnosti Příklad: bodový náboj, renormalizace …struny, (jemnější klasifikace nekonečen?, záležitost škál?)
9
Vztah Cantorovy teorie k reálnému světu? Podezření už u Leibnize (nekonečně malé a nekonečně veliké) – nepřípustné zasahování do Boži pravomoci: „hřích poznání“ Cantorův ráj … (Hilbert)
...cena, kterou za pobyt v tomto ráji platíme, je obrovská, ... množinová matematika se při svém rozletu zcela vymkla z dosahu základního aritmetického názoru. Miroslav Holeček
Nuže, vystavějme sobě město a věži, jejíž by vrch dosahoval k nebi. První kniha Mojžíšova, kteráž slove Genesis 10
Je Cantorova teorie správná? Jediná možná? (Co jsou ty správné otázky?) Matematické nekonečno je převzato ze zkušenosti, i když nevědomky. Může tedy být vysvětleno jen ze skutečnosti a ne ze sebe sama, z matematické abstrakce. (Friedrich Engels, 1820-1895)
Uvnitř matematiky (meta-matematiky, filosofie matematiky): Pýthagorejci, (Zenón), atomisté (?), Aristotelés, …, Kronecker, Poincaré Aktuální nekonečno neexistuje. Cantor a jeho následovníci na to zapomněli a dostali se do rozporů. (Henri Poincaré, 1854-1912) 11
L. Brouwer – odmítnutí aktuálního nekonečna (intuicionismus, konstruktivismus): matematické pojmy nejsou preexistující. Brouwer – „nestravitelný pro matematiky, intelektuální dobrodružství několika málo matematiků“ P. Vopěnka – alternativní teorie množin (AST, teorie alternativních množin?, Nová teorie množin):
Jsme-li důslední, nezbývám nám než uznat, že v nějaké podobě se nekonečno ukazuje již na velkých množinách a ne až za nimi. Je-li nekonečno aplikovatelné na jisté jevy ukazující se na velkých množinách, pak tam v nějaké podobě již musí být přítomné.... Této podobě nekonečna budeme říkat nekonečno přirozené. 12
Alternativní teorie množin AST Generální kolaps (návrat k Bolzanovi?) (H. Lebesgue 1905) AST: neuznává Cantorovská nekonečna, přirozené nekonečno, „ani čísla nejsou to, co byla…“ vzdání se kanonického modelu reálných čísel (Cantora a Dedekinda)
Ale: množina všech bodů na přímce je nespočetná (viz Cantorův diagonální důkaz!). Avšak Cantor nedokázal spornost generálního kolapsu sama se sebou, ale s předpokladem existence (aktualizované) množiny všech bodů na úsečce (čili aktuálně existující potenční množiny). O tom, kolik je například podmnožin množiny všech přirozených čísel, ví jen Bůh a o Bohu matematický formalismus nic neví, nic vědět nechce, a vlastně ani vědět nemůže. (Petr Vopěnka) 13
… přímka pojatá jako množina bodů netvoří nikdy kontinuum ve vlastním slova smyslu, tj. je z definice diskrétní, atomizovaná. Právě tak podle Aristotela dospíváme k Zénónovým paradoxům: pohybující se objekt musí projít všechny body přímky, a tím pádem se není schopen pohnout z místa. Přímka proto nemůže být z bodů složena! Bod je pouhým výsledkem konstrukce, protnutí dvou křivek, a přímka je sféra takových možných protnutí, což znamená, že bodu v jeho existenci předchází, nikoli naopak. (Vojtěch Kolman)
14
… nemá smysl říkat, jaké jsou objekty dané teorie absolutně, má smysl jedině říci, jak je jedna teorie objektů interpretována v jiné.” (Quine Willard van Orman 1908–2000)
Nové “podbudování matematiky” („nadstavba“?) Pokud nekonečno nevytvoříme, nemáme ho, neexistuje
15
Pokud si nekonečno neuděláme, nemáme ho, aneb Grimmauldovo náměstí 12 Vytrhl pergamen Harrymu z ruky a podpálil ho špičkou své hůlky. Když se vzkaz zkroutil v plamenech, Harry se znovu rozhlédl po okolních domech. Stáli před domem číslo jedenáct: když pohlédl doleva, spatřil číslo deset, vpravo však bylo třináct. „Ale kde je ...“ „Mysli na to, co sis právě přečetl a zapamatoval“, poradil mu tiše Lupin. Harry se zamyslel, a jakmile si v duchu vybavil adresu Grimmauldovo náměstí dvanáct - objevily se v prázdném prostoru mezi domy číslo jedenáct a třináct otlučené dveře, po nichž se rychle vynořily špinavé zdi a umolousaná okna. Vypadalo to, jako by se tam přifoukl jeden dům navíc a domy kolem sebe odsunul stranou... (J. K. Rowling, Harry Potter, kap. IV, str. 61)
16
Přežívající platonismus Pro pýthagorejce tvořily čísla nekonečný, skutečný, nestvořený svět bytí. Většina matematiků si drží této víry dodnes. (Edward Nelson *1932)
Nevědomý platónismus (Zlatoš: „jev nekonečna“, P.V. „objevil“ AST, …)
Existence v matematickém smyslu neznamená nic jiného než bezespornost. (Henri Poincare, 1854-1912) 17
Závěry • Matematika (fyzika …) je lidský konstrukt, který nějak vystihuje (popisuje a predikuje) realitu (fyzickou i jinou), tj. především jevy. Je založena na vztazích mezi jevy. • Vychází z jevů, které doplňuje o konstrukty - „interfenomény“ („mezijevy“) (Hans Reichenbach). • PRAKTICKÉ POČTY → FORMALIZOVANÁ MATEMATIKA 18
• Nekonečna nejsou součástí fenomenálního (reálného) světa, nejsou „přírodním faktem“, ani „absolutním faktem rozumu“. Do matematiky se dostala navíc, aby se formálně dostavěly ontologické základy matematiky, kterými byla dodatečně stavba matematiky podbudována. „Jev nekonečna“ neexistuje. NEKONEČNA - INTERFENOMÉNY • Nekonečna jsou něčím, co závisí na naší definici. („Pokud si nekonečno neuděláme, nemáme ho.“) Definovat lze různě, podle naší definice (tj. vložené informace) jednotlivá tvrzení o nekonečnech platí, neplatí či jsou nerozhodnutelná. 19
• Na ontologických základech - teorii množin - stojí matematika pouze formálně, reálně a historicky stojí na základech epistemologických, tj. na korespondenci s fenomenálním (reálným) světem (a na vnitřní konzistenci), na aplikované matematice. • Pokud je tato korespondence zachována, je možné podbudovat stavbu matematiky i jinými základy. Tuto cestu otevřela Vopěnkova „alternativní teorií množin“. „Alternativy“ (varianty) nemusí být rovnocenné. Některé mohou být výhodnější z hlediska matematického formalismu i z hlediska dobudovávání stavby matematiky tak, aby korespondovala s dalšími aspekty fenomenální reality. • Alternativní teorie množin (AST) znamenala „kopernikovský převrat“. Kopernik přesunul střed ze Země do Slunce. Učinil ale víc, než si sám uvědomil – zpochybnil střed jako takový. 20
• Vopěnka svou „alternativou“ ukázal, že mohou být dva „alternativní středy“. • Avšak: nemůže být „středů“ (tj. teorií množin nebo obecně metamatematických koncepcí) více? (analogie fyzikálních teorií) • l. p. 2012: AST → „Nová“ teorie množin → uzavření cesty k dalším paralelním teoriím? • Souhrn: Kritériem validity je jen aplikovaná matematika. Je přípustné více metamatematických koncepcí, paralelních teorií množin a „teoretických matematik“, které ji „podbudovávají“, tvoří její základy. Je tedy možné uvažovat i více paralelních koncepcí nekonečna.
21
Kdybychom nebloudili, nebylo by o čem povídat tibetské přísloví
Definitivní (?) konec nekonečna…. děkuji za pozornost
22
