MR data for biomechanics aplications. Doc.Ing. Karel Dedouch, CSc

VYSOKE´ UCˇENl´ TECHNICKE´ V BRNEˇ FAKULTA STROJNl´HO INZˇENY´RSTVl´ ´ STAV KONSTRUOVA ´ NI´ U

PhD Thesis Ing. Prˇemysl Krsˇek

Prˇ´ıma´ tvorba FEM modelu˚ na za´kladeˇ CT/MR dat pro aplikace v biomechanice Direct creating of FEM models from CT/MR data for biomechanics aplications

Obor:

Konstrukcˇnı´ a procesnı´ inzˇeny´rstvı´

Sˇkolitel: Oponenti:

Doc. Ing. Josef Sˇupa´k, CSc. FSI VUT Brno Prof. Ing. Prˇemysl Janı´cˇek, DrSc. Doc.Ing. Karel Dedouch, CSc. Ing. Jaromı´r Hora´cˇek, DrSc.

Datum obhajoby:

13. 12. 2000

c 2001 Prˇemysl Krsˇek

ISBN 80 – 214 – 1796 – X

Obsah ´ vod 1 U 2

5

Rozbor problematiky 2.1 Charakteristika CT/MR dat . . . . . . 2.2 Prˇevod na vektorovou reprezentaci . . 2.3 Charakteristika geometrie zˇivy´ch tka´nı´ 2.4 Za´kladnı´ metody tvorby FEM modelu˚ 2.5 Typ pouzˇite´ho FEM prvku . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3

Formulace cı´lu˚ rˇesˇenı´

4

Soucˇasny´ stav metod pro tvorbu FEM modelu˚ 4.1 Triangulace oktalove´ho stromu . . . . . . . 4.2 Delaunayova triangulace . . . . . . . . . . 4.3 Constrained Delaunayova triangulace . . . 4.4 Advancing front . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

6 6 6 7 8 9 10

. . . .

11 11 11 11 11

5

Strategie rˇesˇenı´ 5.1 Objemova´ strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Povrchova´ strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Vy´beˇr strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 12 12

6

ˇ esˇenı´ R 6.1 Zı´ska´nı´ povrchu voxel modelu . . . 6.2 Sestrojenı´ sı´teˇ tetrahedru˚ z povrchu . 6.3 Zajisˇteˇnı´ kvality sı´teˇ prvku˚ . . . . . 6.4 Programova´ realizace . . . . . . . .

13 13 15 16 16

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

7

Prˇ´ıklady pouzˇitı´

17

8

Za´veˇr 8.1 Shrnutı´ dosazˇeny´ch vy´sledku˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Prˇ´ınos dosazˇeny´ch vy´sledku˚ pro praxi . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Perspektiva dalsˇ´ıho vy´voje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 23 23

Literatura

24

Summary

27

Autorovo CV

28

Seznam publikacı´ autora

29

1

´ vod U

Ke konci 20. stoletı´ je mozˇne´ zaznamenat vznik velke´ho pocˇtu interdisciplina´rnı´ch oboru˚. Du˚vodem je prohlubova´nı´ pozna´nı´ a rozsˇirˇova´nı´ veˇdecky´ch poznatku˚ v cele´ sˇ´ırˇi lidske´ cˇinnosti. Za´rovenˇ rostou na´roky na rˇesˇenı´ nejru˚zneˇjsˇ´ıch veˇdecky´ch i prakticky´ch proble´mu˚. Pro jejich zvla´dnutı´ je nezbytne´ spojit zkusˇenosti, prˇ´ıstupy a metody pouzˇ´ıvane´ odbornı´ky ze zda´nliveˇ rozdı´lny´ch a nesouvisejı´cı´ch veˇdnı´ch oboru˚. Prˇ´ıkladem tohoto trendu je obor: „Biomechanika cˇloveˇka“, ktery´ v sobeˇ snoubı´ klinickou medicı´nu a technicke´ obory z oblasti mechaniky kontinua: mechaniku teˇles, kinematiku, dynamiku atd. Jejı´ podstatou je rˇesˇenı´ proble´mu˚ medicı´ny aplikacı´ technicky´ch prˇ´ıstupu˚ a metod. Prˇ´ıkladem uplatneˇnı´ mu˚zˇe by´t rˇesˇenı´ proble´mu˚ svaloveˇ kosternı´ soustavy nebo ce´vnı´ho apara´tu. Konkre´tneˇ: rekonstrukcˇnı´ chirurgicke´ operace, implantace funkcˇnı´ch na´hrad a prote´z kloubu˚, zubu˚, tepen atd. V mnoha biomechanicky´ch aplikacı´ch se cˇasto pouzˇ´ıva´ vy´pocˇtove´ modelova´nı´ chova´nı´ a vlastnostı´ biologicky´ch objektu˚. Na´strojem vy´pocˇtove´ho modelova´nı´ je prˇedevsˇ´ım Metoda konecˇny´ch prvku˚ (FEM). Za´kladnı´m prˇedpokladem pro toto modelova´nı´ je existence diskretizovane´ho modelu (FEM modelu), ktery´ dostatecˇneˇ prˇesneˇ popisuje modelovany´ objekt. FEM model je tvorˇen spojitou mnozˇinou (sı´tı´) FEM prvku˚ dane´ho typu. Pro jeho vytvorˇenı´ je potrˇeba mı´t informace o geometrii a strukturˇe modelovane´ho objektu. Da´le je nezbytne´ prˇeve´st tyto informace na vlastnı´ FEM model. Nejlepsˇ´ım zdrojem informacı´ o geometrii a strukturˇe zˇivy´ch lidsky´ch tka´nı´ jsou modernı´ le´karˇske´ diagnosticke´ zobrazovacı´ metody. Nejcˇasteˇji Pocˇ´ıtacˇova´ tomografie (CT) a Magneticka´ rezonance (MR). Tyto metody doka´zˇ´ı neinvazivneˇ vysˇetrˇit vnitrˇnı´ struktury a tka´neˇ zˇive´ho pacienta. Tato pra´ce rozebı´ra´ popisovane´ te´ma. Da´le pojedna´va´ o prˇ´ıstupech a metoda´ch prˇevodu dat zı´skany´ch CT/MR vysˇetrˇenı´m na FEM modely, ktere´ by byly vyuzˇitelne´ pro vy´pocˇtove´ modelova´nı´ v biomechanice.

5

2 2.1

Rozbor problematiky Charakteristika CT/MR dat

CT/MR metody vyuzˇ´ıvajı´ pro vysˇetrˇenı´ pacienta rentgenove´ho za´rˇenı´ (CT) nebo jevu jaderne´ magneticke´ rezonance (MR). Vy´sledkem vysˇetrˇenı´ jsou digita´lnı´ pocˇ´ıtacˇova´ data, ktera´ diskre´tneˇ popisujı´ rozlozˇenı´ fyzika´lnı´ch hodnot (rentgenova´ hustota-CT, hustota protonovy´ch jader-MR) v nasnı´mane´m objemu [7]. Nasnı´many´ objem ma´ tvaru hranolu a je vyja´drˇen v karte´zske´m sourˇadnicove´m syste´mu. Ma´ urcˇeny sve´ rozmeˇry, prostorovou (3D) pozici a orientaci. Data jsou zapsa´na do 3D mrˇ´ızˇky, ktera´ je ulozˇena ve formeˇ rovinny´ch (2D) matic, tedy po vrstva´ch, rˇezech. Jednotlive´ rˇezy na sebe mohou navazovat, prˇekry´vat se nebo mı´t mezi sebou mezery. Kazˇdy´ rˇez ma´ svoji 3D pozici, tlousˇt’ku, pocˇet prvku˚ matice, 2D rozmeˇry rˇezu a matici hodnot uzlu˚ rˇezu. Tı´m je diskre´tneˇ popsa´n hranol nasnı´mane´ho objemu. Takto popsana´ data jsou z hlediska pocˇ´ıtacˇove´ grafiky 3D rastrovy´mi daty. Jednotlive´ rˇezy mu˚zˇeme bra´t jako 2D obrazy a celkovou se´rii rˇezu˚ jako vy´cˇtovy´ objemovy´ model, voxel model [34]. 2.1.1

Segmentovana´ CT/MR data

Prioritneˇ na´s zajı´ma´ geometrie tka´nı´, ktere´ jsou zachyceny v CT/MR datech. Abychom ji mohli zı´skat, musı´me prove´st segmentaci pu˚vodnı´ch CT/MR dat. To prˇedstavuje rozdeˇlenı´ prostoru nasnı´mane´ho objemu na oblasti, ktere´ jsou obsazeny jednotlivy´mi tka´neˇmi. Principia´lneˇ to znamena´ prove´st prˇevod hodnot uzlu˚ diskre´tnı´ mrˇ´ızˇky CT/MR dat na indexy tka´nı´, do ktery´ch tyto uzly patrˇ´ı [26]. Pro nasˇe potrˇeby byla zatı´m pouzˇita rucˇnı´ metoda segmentace. Prahova´nı´m [34] se vybere cˇa´st dat podle rozsahu hodnot typicke´ho pro pozˇadovanou tka´nˇ. Pote´ se rucˇneˇ, na u´rovni rastrove´ho editoru, provedou prˇ´ıpadne´ opravy tvaru tka´neˇ. Takto se po rˇezech zpracuje cely´ nasnı´many´ objem CT/MR dat. Vy´sledkem jsou rastrove´ voxel modely jednotlivy´ch tka´nı´, ktere´ jsou vstupnı´ formou dat pro dalsˇ´ı etapy vedoucı´ k vytvorˇenı´ FEM modelu˚ tka´nı´.

2.2

Prˇevod na vektorovou reprezentaci

Z hlediska pocˇ´ıtacˇove´ grafiky rozlisˇujeme: vektorovou a rastrovou reprezentaci geometrie objektu˚ [34]. FEM syste´my pracujı´ s vektorovou reprezentacı´. CT/MR data a z nich zı´skane´ voxel modely tka´nı´ majı´ rastrovou reprezentacı´. Stojı´me tedy prˇed u´kolem prˇeve´st rastrove´ voxel modely tka´nı´ na vektorove´ FEM modely [20] [16]. 3D objekty je mozˇne´ popsat trˇemi za´kladnı´mi typy vektorovy´ch modelu˚: dra´tovy´ model (zachycuje hrany a vrcholy objektu˚), povrchovy´ model (definuje povrch objektu˚ sı´tı´ polygonu˚ nebo spline plochami) a objemovy´ model (popisuje objekt za´kladnı´mi objemovy´mi primitivy a jejich kombinacemi) [34]. 6

2.2.1

Mozˇnosti pouzˇitı´ vektorovy´ch modelu˚

Pouzˇitı´ vektorovy´ch modelu˚ za´visı´ na geometricke´ slozˇitosti popisovane´ho objektu a na jeho dalsˇ´ım pouzˇitı´ [17]. Pro tvaroveˇ slozˇite´ objekty se nejle´pe hodı´ povrchovy´ model. Na geometricky pravidelne´ objekty zase objemovy´ model. Dra´tovy´ model je pouzˇ´ıva´n pouze jako doplnˇkovy´, protozˇe neda´va´ ucelenou informaci o objektu [1]. Pro nasˇe aplikace, kde potrˇebujeme prˇeve´st obecne´ objekty z rastrove´ reprezentace do vektorove´, hraje roli jesˇteˇ mozˇnost automaticke´ho vytvorˇenı´ prˇ´ıslusˇne´ reprezentace. Dra´tovy´ a povrchovy´ model nizˇsˇ´ı u´rovneˇ (sı´t’troju´helnı´ku˚) lze vytvorˇit vzˇdy, zcela automaticky a neza´visle na slozˇitosti geometrie. Automaticke´ vytvorˇenı´ povrchove´ho modelu ze spline ploch nebo objemove´ho modelu je jizˇ znacˇneˇ omezeno slozˇitostı´ geometrie objektu. S ru˚stem slozˇitosti geometrie roste i na´rocˇnost na vytvorˇenı´ teˇchto typu˚ vektorove´ho modelu. Od urcˇite´ hranice slozˇitosti jizˇ nenı´ mozˇna´ automaticka´ tvorba prˇ´ıslusˇne´ho vektorove´ho modelu (spline plochy, objemovy´ model). 2.2.2

FEM model jako vektorovy´ objemovy´ model

FEM model je ve sve´ podstateˇ objemovy´ vektorovy´ model, ktery´ je slozˇen z mnozˇiny za´kladnı´ch objemovy´ch elementu˚ (FEM prvku˚), tetrahedru˚ nebo hexahedru˚. Aby mohl by´t pouzˇitelny´ pro kvalitnı´ vy´pocˇtove´ modelova´nı´, musı´ splnˇovat podmı´nky spojitosti, konformity a kvality. Povrch objektu je veˇtsˇinou aproximova´n po cˇa´stech linea´rnı´mi plosˇkami. Jsou-li pouzˇity vı´ce uzlove´ varianty FEM prvku˚, je povrch slozˇen ze spojiteˇ nenavazujı´cı´ch spline pla´tu˚.

2.3

Charakteristika geometrie zˇivy´ch tka´nı´

Lidske´ tka´neˇ, jsou z hlediska geometrie charakteristicke´ tı´m, zˇe jejich tvar je obecny´, volny´ a cˇasto velmi slozˇity´. Automaticky´ prˇevod rastrovy´ch voxel modelu˚ na vektorovou reprezentaci je u obecneˇ tvarovany´ch objektu˚ bezproble´movy´ pro dra´tovy´ a polygona´lnı´ model. Pokud s nimi nevystacˇ´ıme pro nasˇe aplikace, staneme se za´vislı´ na slozˇitosti geometrie tka´nı´ a na mozˇnosti manua´lnı´ho vytvorˇenı´ pozˇadovane´ vektorove´ reprezentace. Neˇktere´ tka´neˇ jsou jednodusˇsˇ´ıho tvaru (tepny, dlouhe´ kosti). Ty lze, pro urcˇite´ aplikace a s danou prˇesnostı´, nahradit za´kladnı´mi objemovy´mi primitivy nebo tazˇenı´m profilu. Tı´m zı´ska´me objemovy´ vektorovy´ model prˇ´ıslusˇne´ tka´neˇ. Geometricky prˇesneˇjsˇ´ı je potazˇenı´ kostry tvorˇene´ dra´tovy´m modelem spline plochami [1]. Veˇtsˇina tka´nı´ je vsˇak slozˇiteˇjsˇ´ıho tvaru (lebka, pa´nev, obratel atd.) I zda´nliveˇ jednoduche´ tka´neˇ jsou komplikova´ny tı´m, zˇe by´vajı´ dute´ nebo majı´ promeˇnlivou tlousˇt’ku steˇny (cˇelist). U nich je manua´lnı´ vytvorˇenı´ objemove´ho nebo povrchove´ho modelu bud’ velmi obtı´zˇne´ nebo prˇ´ımo nemozˇne´. Proto je potrˇeba hledat metody, ktere´ budou schopny vektorovy´ prˇevod prove´st automaticky a neza´visle na slozˇitosti geometrie. Jinak bude prova´deˇnı´ navazujı´cı´ch aplikacı´ velmi slozˇite´ a na´rocˇne´. 7

2.4

Za´kladnı´ metody tvorby FEM modelu˚

Metody tvorby FEM modelu˚ lze rozdeˇlit na dveˇ za´kladnı´ skupiny. Prvnı´ je „Klasicka´ metoda tvorby FEM modelu˚“ a druha´ „Prˇ´ıma´ generace FEM modelu˚“. Klasicka´ metoda je dnes nejcˇasteˇji pouzˇ´ıva´na pro tvorbu FEM modelu˚ v biomechanice [21]. 2.4.1

Klasicka´ metoda tvorby FEM modelu˚

Pro vytvorˇenı´ FEM modelu˚ tato metoda vyuzˇ´ıva´ prostrˇedku˚ a na´stroju˚ prˇ´ıslusˇne´ho FEM syste´mu. Nejprve je do neˇj importova´na vektorove´ geometrie objektu (dra´tovy´ model). Podle nı´ je vytvorˇena podpu˚rna´ geometrie (syste´m uzlu˚, krˇivek, ploch a objemu˚). Nakonec je genera´torem FEM syste´mu vytvorˇen vy´sledny´ FEM model. Prˇi prˇ´ıpraveˇ podpu˚rne´ geometrie jsou cˇasto proble´my se slozˇitostı´ geometrie objektu. Proto lze klasickou metodu pouzˇ´ıt pouze pro tvaroveˇ jednodusˇsˇ´ı objekty nebo prˇi vy´razny´ch zjednodusˇenı´ch geometrie. Vy´hodou je mozˇnost vyladeˇnı´ FEM modelu, pokud se podarˇ´ı vytvorˇit kvalitnı´ podpu˚rnou geometrii. Pak mu˚zˇeme model snadno ovlivnˇovat, tvorˇit varianty, meˇnit parametry sı´teˇ, typ pouzˇite´ho FEM prvku atd. To dovoluje rˇesˇit velmi na´rocˇne´ u´lohy, ktere´ by z kapacitnı´ch nebo vy´konnostnı´ch du˚vodu˚ nebyly jinak rˇesˇitelne´. 2.4.2

Metoda prˇ´ıme´ generace FEM modelu˚

Metoda prˇ´ıme´ generace je postavena na neza´visle´m genera´toru FEM modelu˚. Ten je vytvorˇen specia´lneˇ na mı´ru dane´ aplikaci [6]. Vycha´zı´ prˇedevsˇ´ım z typu reprezentace vstupnı´ch dat a typu pouzˇite´ho FEM prvku. Podstatne´ je, zˇe genera´tor vytva´rˇ´ı FEM modely automaticky, bez manua´lnı´ prˇ´ıpravy podpu˚rne´ geometrie. Do FEM syste´mu je nakonec importova´n azˇ vy´sledny´ FEM model. Podarˇ´ı-li se vytvorˇit prˇ´ıslusˇny´ automaticky´ genera´tor, je tato metoda neza´visla´ na geometricke´ slozˇitosti modelovane´ho objektu. Jejı´ nevy´hodou je omezenı´ typu˚ pouzˇitelny´ch FEM prvku˚ (tetrahedr) a poneˇkud mensˇ´ı mozˇnosti vyladit vy´sledny´ FEM model. 2.4.3

Srovna´nı´ a vy´beˇr metody pro dalsˇ´ı rˇesˇenı´

Klasicka´ metoda je vhodna´ pro tvorbu jednoho nebo neˇkolik ma´lo FEM modelu˚ jednodusˇsˇ´ıho tvaru, kde lze manua´lneˇ zvla´dnout prˇ´ıpravu podpu˚rne´ geometrie. Zı´ska´me tak kvalitnı´ a vyladeˇne´ FEM modely pro rˇesˇenı´ specia´lnı´ch u´loh. Pro vı´ce FEM modelu˚ nebo modely se slozˇitou geometrii, je vy´hodneˇjsˇ´ı pouzˇ´ıt metodu prˇ´ıme´ generace. Omezena´ mozˇnost vyladeˇnı´ FEM modelu je vyva´zˇena rychlostı´ jejich automaticke´ tvorby. Potrˇebne´ u´pravy a ladeˇnı´ mu˚zˇeme prova´deˇt na u´rovni pocˇa´tecˇnı´ geometricke´ reprezentace, voxel modelu. Protozˇe chceme tvorˇit FEM modely tka´nı´, ktere´ majı´ veˇtsˇinou slozˇitou geometrii, pro kazˇde´ho pacienta jinou, volı´me pro dalsˇ´ı rˇesˇenı´ metodu prˇ´ıme´ generace FEM modelu˚. 8

2.5

Typ pouzˇite´ho FEM prvku

Prˇi vy´pocˇtove´m modelova´nı´ pomocı´ FEM syste´mu se pracuje s FEM modely, ktere´ jsou tvorˇeny sı´tı´ vektorovy´ch objemovy´ch prvku˚, FEM prvku˚. Existujı´ dva za´kladnı´ typy teˇchto prvku˚, od ktery´ch jsou odvozeny jejich vı´ce uzlove´ varianty. 2.5.1

Tetrahedry (troju´helnı´ky ve 2D)

Tetrahedry jsou nejjednodusˇsˇ´ım typem 3D FEM prvku˚. Jejich velkou vy´hodou je schopnost dokonale a bez proble´mu˚ vyplnit 3D oblasti libovolne´ho obecne´ho tvaru. Pro vytva´rˇenı´ FEM modelu˚ slozˇeny´ch z tetrahedru˚ existujı´ automaticke´ genera´tory, ktere´ jsou ma´lo za´visle´ na slozˇitosti vytva´rˇene´ geometrie. Nevy´hodou tetrahedru˚ je jejich nizˇsˇ´ı prˇesnost pro vy´pocˇtove´m modelova´nı´ a take´ skutecˇnost, zˇe FEM modely z tetrahedru˚ obsahujı´ relativneˇ veˇtsˇ´ı pocˇet prvku˚ a uzlu˚. Obeˇ tyto nevy´hody se dajı´ cˇa´stecˇneˇ odstranit pouzˇitı´m vı´ce uzlove´ varianty tetrahedru. 2.5.2

Hexahedry (cˇtyrˇu´helnı´ky ve 2D)

Vy´hodou hexahedru˚ jsou jejich dobre´ numericke´ vlastnosti pro vy´pocˇtove´ modelova´nı´. FEM modely z nich slozˇene´ majı´ vu˚cˇi tetrahedru˚m neˇkolikana´sobneˇ mensˇ´ı pocˇet prvku˚. Velkou nevy´hodou hexahedru˚ je problematicka´ tvorba jejich FEM modelu˚ se slozˇitou geometriı´. Dosud se nepodarˇilo vymyslet zcela automaticky´ genera´tor, ktery´ by doka´zal vytvorˇit FEM model z hexahedru˚ pro zcela obecny´ slozˇity´ objekt. Nejrozsˇ´ırˇeneˇjsˇ´ı metodou tvorby FEM modelu˚ z hexahedru˚ je klasicka´ metoda. Tato metoda v sobeˇ principia´lneˇ skry´va´ proble´my se slozˇitou geometriı´. Existuje neˇkolik typu˚ genera´toru˚ pro prˇ´ımou generaci FEM modelu˚ z hexahedru˚, na za´kladeˇ rastrovy´ch voxel modelu˚. Tyto genera´tory vsˇak sta´le jesˇteˇ majı´ vy´razna´ omezenı´, prˇedevsˇ´ım co se ty´ka´ slozˇitosti geometrie. 2.5.3

Vy´beˇr typu FEM prvku

Pro vlastnı´ rˇesˇenı´ byl vybra´n prvek typu tetrahedr. Na neˇj se proto omezı´me v na´sledujı´cı´ch cˇa´stech pra´ce. Du˚vodem te´to volby je vhodnost tetrahedru pro tvorbu FEM modelu˚ geometricky slozˇity´ch objektu˚. To je v souladu s vybranou metodou prˇ´ıme´ generace FEM modelu˚.

9

3

Formulace cı´lu˚ rˇesˇenı´

V kapitole 2 byl proveden strucˇny´ rozbor problematiky tvorby FEM modelu˚ na za´kladeˇ dat z CT/MR pro FEM aplikace v biomechanice. Tento rozbor mu˚zˇeme shrnout do na´sledujı´cı´ch bodu˚: 1. CT/MR data jsou rastrovy´m popisem rozlozˇenı´ fyzika´lnı´ch hodnot v prostoru. 2. Segmentacı´ zı´ska´me z CT/MR dat rastrove´ voxel modely tka´nı´. 3. Pozˇadovane´ FEM modely tka´nı´ majı´ vektorovou objemovou reprezentaci. 4. Kvu˚li slozˇitosti geometrie tka´nı´ je potrˇeba FEM modely vytva´rˇet automaticky. 5. Tvorba FEM modelu˚ bude probı´hat metodou prˇ´ıme´ generace. 6. Vy´sledne´ FEM modely budou tvorˇeny sı´tı´ tetrahedru˚. Aby bylo mozˇne´ dove´st nasˇe rˇesˇenı´ ke konkre´tnı´m vy´sledku˚m je potrˇeba stanovit jasny´ a konkre´tnı´ cı´l dalsˇ´ıho rˇesˇenı´. Ten byl na za´kladeˇ provedene´ho rozboru formulovat takto:

„Navrhnout metodu pro automaticky´ prˇevod rastrovy´ch voxel modelu˚ tka´nı´, zı´skany´ch z CT/MR dat, na jejich vektorove´ objemove´ FEM modely slozˇene´ z tetrahedru˚.“

10

4

Soucˇasny´ stav metod pro tvorbu FEM modelu˚

Pro tvorbu FEM modelu˚ existuje mnoho metod, pro ru˚zne´ cı´love´ aplikace, ru˚zne´ typy prvku˚ a ru˚zne´ typy vstupnı´ch dat. V popisu jejich soucˇasne´ho stavu se vsˇak omezı´m, v souladu s definovany´mi cı´ly, na metody pro automatickou tvorbu FEM modelu˚ slozˇeny´ch z tetrahedru˚. Nejcˇasteˇji se pouzˇ´ıvajı´ na´sledujı´cı´ cˇtyrˇi metody.

4.1

Triangulace oktalove´ho stromu

Tato metoda je zalozˇena na dekompozici modelovane´ho objektu oktalovy´m stromem [34]. Jeho voxely jsou potom prˇ´ımo rozdeˇleny na tetrahedry. Je to jednoducha´ a empiricka´ metoda [11] [24] [33]. Z hlediska vstupnı´ch dat je vhodna´ pro popisovane´ te´ma. Je vsˇak me´neˇ vhodna´ pro tvaroveˇ slozˇite´ objekty, protozˇe oktalovy´ strom prova´dı´ deˇlenı´ prostoru podle ortogona´lnı´ mrˇ´ızˇky, cozˇ by vedlo k velke´mu zjemnˇova´nı´ sı´teˇ FEM prvku˚ a tı´m na´ru˚stu jejich pocˇtu.

4.2

Delaunayova triangulace

Dalsˇ´ı je Delaunayova triangulace [13]. Jejı´ podstatou je sestrojenı´ sı´teˇ tetrahedru˚, ktere´ splnˇujı´ Delaunayovo krite´rium [13]. To znamena´, zˇe jejich opsane´ koule neobsahujı´ zˇa´dne´ uzly sı´teˇ. Vznikla´ sı´t’optima´lneˇ propojuje danou mnozˇinu uzlu˚. Prˇi jejı´ tvorbeˇ se vycha´zı´ pouze z uzlu˚ modelovane´ho objektu. Jejı´ nevy´hodou je nejednoznacˇnost, kdyzˇ lezˇ´ı vı´ce nezˇ cˇtyrˇi uzly na jedne´ kouli. Vzhledem ke konecˇne´ prˇesnosti dnesˇnı´ch pocˇ´ıtacˇu˚ mu˚zˇe docha´zet k numericke´ nestabiliteˇ rˇesˇenı´.

4.3

Constrained Delaunayova triangulace

Delaunayova triangulace nepocˇ´ıta´ prˇi tvorbeˇ sı´teˇ s vza´jemny´mi geometricky´mi vazbami uzlu˚ (povrch). Mu˚zˇe tak dojı´t k porusˇenı´ pu˚vodnı´ch vazeb uzlu˚ (povrchu). Proto se pouzˇ´ıva´ modifikovane´ Delaunayovo krite´rium: „Constrained Delaunayovo krite´rium“ [13] [5]. To bere v u´vahu i povrchu objektu a snazˇ´ı se ho dodrzˇet. Proble´mem je, zˇe ho lze bez proble´mu˚ realizovat pouze ve 2D. Ve 3D ho neˇkdy nelze dodrzˇet. V takovy´ch prˇ´ıpadech je nutne´ posı´lit povrch loka´lnı´m zjemneˇnı´m.

4.4

Advancing front

Jedna´ se o metodu, ktera´ vycha´zı´ z hranic (povrchu) objektu˚ [8] [23]. Objekt je postupneˇ vyplnˇova´n od hranice smeˇrem dovnitrˇ. Snazˇ´ı se vytvorˇit z kazˇde´ho volne´ho hranicˇnı´ho elementu (u´secˇka, troju´helnı´k) prvek optima´lnı´ho tvaru. Pokud nejde vytvorˇit optima´lnı´ prvek, prˇizpu˚sobı´ novy´ prvek jizˇ existujı´cı´ sı´ti. Velmi cˇasto je tato metoda pouzˇ´ıva´na jako strategie tvorby Delaunayovy triangulace [22]. Je pomeˇrneˇ slozˇita´ a vy´pocˇetneˇ na´rocˇna´. 11

5

Strategie rˇesˇenı´

Pro rˇesˇenı´ dane´ problematiky potrˇebujeme mı´t vhodnou strategii, ktera´ na´m pomu˚zˇe dosa´hnou vyty´cˇeny´ch cı´lu˚. Podle provedene´ho prˇehledu soucˇasne´ho stavu prˇicha´zejı´ v u´vahu na´sledujı´cı´ dveˇ strategie.

5.1

Objemova´ strategie

Tato strategie prova´dı´ prˇ´ımy´ prˇevod rastrove´ reprezentace objektu na vektorovy´ objemovy´ FEM model. Vstupnı´ data popisujı´cı´ geometrii objektu jsou ve formeˇ voxel modelu nebo oktalove´ho stromu. Jejı´ podstatou je prˇ´ıme´ rozdeˇlova´nı´ voxelu˚ na tetrahedry. Jde tedy o obdobu metody „Triangulace oktalove´ho stromu“. Povrchy tka´nı´ jsou veˇtsˇinou hladke´ a oble´. Povrchy voxel modelu˚ jsou zubate´ a je nutne´ je vyhladit. Voxel modely rozsa´hlejsˇ´ıch objektu˚ obsahujı´ pomeˇrneˇ velky´ pocˇet voxelu˚. Z nich vznikne jesˇteˇ vı´ce tetrahedru˚. Proto je nutne´ redukovat jejich pocˇet na rozumnou u´rovenˇ, pro snı´zˇenı´ pameˇt’ove´ na´rocˇnosti. Vlastnosti te´to strategie odpovı´dajı´ metodeˇ Triangulace oktalove´ho stromu, tedy snadna´ implementace a nena´rocˇnost na numericke´ operace. Hlavnı´ nevy´hodou je velmi velka´ pameˇt’ova´ na´rocˇnost.

5.2

Povrchova´ strategie

Jejı´ podstatou je tvorba FEM modelu˚ objektu˚ na za´kladeˇ vektorove´ reprezentace povrchu popsane´ho sı´tı´ troju´helnı´ku˚. Na tuto formu musı´me voxel modely prˇeve´st, nejcˇasteˇji metodou ”Marching cubes” [34]. Zı´skany´ povrch musı´ by´t opeˇt vyhlazen, protozˇe je zubaty´. Pocˇet jeho troju´helnı´ku˚ je relativneˇ velky´. Proto je vhodne´ prove´st jeho redukci, prˇi maxima´lnı´m zachova´nı´ tvaru. Takto prˇipraveny´ povrch pak pouzˇijeme pro vytvorˇenı´ sı´teˇ tetrahedru˚ naprˇ. pomocı´ Delaunayovy triangulace. Vy´hodou je snı´zˇenı´ objemu dat uzˇ na u´rovni povrchu. To umozˇnˇuje zpracova´vat velmi rozsa´hle´ objekty. Nevy´hody se odvı´jejı´ od metod pouzˇity´ch pro tvorbu sı´teˇ tetrahedru˚ z povrchu (Delaunayova triangulace), tedy nejednoznacˇnost, numericka´ stabilita a dodrzˇova´nı´ hranic.

5.3

Vy´beˇr strategie

Objemova´ strategie je principia´lneˇ a algoritmicky jednodusˇsˇ´ı. Ma´ vsˇak velke´ pameˇt’ove´ na´roky. Povrchova´ strategie snizˇuje sve´ pameˇt’ove´ na´roky redukcı´ povrchu, se ktery´m potom pracuje. Je vsˇak na´rocˇneˇjsˇ´ı na programovou implementaci. Protozˇe je pameˇt’ova´ na´rocˇnost ota´zkou rˇesˇitelnosti a dostupnosti rˇesˇenı´, byla pro dalsˇ´ı pra´ci zvolena Povrchova´ strategie v kombinaci s Delaunayovou triangulacı´.

12

6 6.1

ˇ esˇenı´ R Zı´ska´nı´ povrchu voxel modelu

Prvnı´m krokem povrchove´ strategie tvorby FEM modelu˚ je zı´ska´nı´ povrchu modelovane´ho objektu. Vstupem jsou voxel modely objektu˚. Vy´sledkem majı´ by´t jejich povrchove´ vektorove´ modely. Protozˇe chceme nakonec dostat sı´t’ tetrahedru˚, je nejvhodneˇjsˇ´ı zı´skat povrch objektu˚ ve formeˇ sı´teˇ troju´helnı´ku˚. 6.1.1

Vytvorˇenı´ povrchove´ sı´teˇ troju´helnı´ku˚

Pro prˇevod voxel modelu na povrchovou sı´t’ troju´helnı´ku˚ se nejle´pe hodı´ metoda nazy´vana´ „Marching cubes“ [25]. Tato metoda je schopna´ automaticky prˇeve´st voxel modely objektu˚ na orientovane´ povrchove´ troju´helnı´kove´ polygona´lnı´ sı´teˇ. Jejı´ velkou vy´hodou je neza´vislost na tvarech objektu˚, cozˇ je pro nasˇe aplikace du˚lezˇite´, vzhledem k obecne´ geometrii tka´nı´. Podstatou metody je postupne´ procha´zenı´ objemu. Voxely jsou sdruzˇova´ny po osmi do logicke´ho hranolu, ktery´ mu˚zˇe by´t obsazen ve 256 mozˇny´ch kombinacı´ch. Podle obsazenı´ voxelu˚ je hranol opla´sˇt’ova´n troju´helnı´ky. Protozˇe sousednı´ hranoly sdı´lejı´ cˇa´st svy´ch voxelu˚, jejich troju´helnı´kove´ opla´sˇt’ova´nı´ na sebe spojiteˇ navazuje. 6.1.2

Vyhlazenı´ povrchove´ sı´teˇ troju´helnı´ku˚

Povrch zˇivy´ch tka´nı´ je veˇtsˇinou hladky´ a obly´. Pokud je popı´sˇeme voxel modelem, dosta´va´me povrch zubaty´. Metoda Marching cubes sice srazı´ rohy voxelu˚, ale zubaty´ a vrstevnaty´ ra´z povrchu zu˚sta´va´. Proto musı´me zı´skany´ vektorovy´ povrch vyhladit, aby svy´m tvarem prˇesneˇji odpovı´dala pu˚vodnı´mu objektu [2]. Nejjednodusˇsˇ´ı metodou vyhlazenı´ je posunutı´ jeho uzlu˚ tak, aby byl povrch co nejvı´ce hladky´, ale zachoval si svu˚j tvar. Prˇi tom vznika´ nebezpecˇ´ı, zˇe se kromeˇ nerovnostı´ povrchu vyhladı´ take´ jeho detaily. Proto musı´me stanovit vhodnou mı´ru vyhlazenı´, abychom dostali dostatecˇneˇ hladky´ povrch a zachovali pozˇadovane´ detaily. Pro vyhlazenı´ povrchu musı´me urcˇit novou polohu jeho uzlu˚. K tomu slouzˇ´ı ru˚zne´ metody. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ byla pouzˇita metoda va´zˇene´ho pru˚meˇrova´nı´ poloh uzlu˚ vu˚cˇi jejich sousedu˚m. V podstateˇ jde o proste´ pru˚meˇrova´nı´ pozic uzlu˚. Zmeˇna je v tom, zˇe se uzel neposune prˇ´ımo do vypocˇtene´ pru˚meˇrne´ pozice, ale pouze o cˇa´st tohoto posunutı´. Mı´ru tohoto posunutı´ urcˇuje va´hovy´ parametr. Nevy´hodou uvedene´ho postupu je degradace povrchu, ktery´ je slozˇen z relativneˇ male´ho pocˇtu prvku˚. To se projevuje zmensˇova´nı´m a zuzˇova´nı´m objektu˚. V nasˇich aplikacı´ch se tento proble´m vy´razneˇ neprojevuje. Povrch objektu˚ je totizˇ tvorˇen relativneˇ velky´m pocˇtem maly´ch troju´helnı´ku˚. Charakter tvaru povrchu objektu˚ je tvorˇen (drzˇen) velky´m pocˇtem uzlu˚. Beˇhem vyhlazova´nı´ tak docha´zı´ prˇedevsˇ´ım k loka´lnı´mu zarovna´nı´ povrchu a vy´razne´ zmeˇny tvaru objektu se nestihnou rozsˇ´ırˇit. 13

6.1.3

Redukce pocˇtu troju´helnı´ku˚ povrchove´ sı´teˇ

Prˇi tvorbeˇ povrchu objektu metodou Marching cubes pracujeme na u´rovni voxelu˚, ktery´ch je relativneˇ hodneˇ. Proto dosta´va´me pomeˇrneˇ velky´ pocˇet povrchovy´ch troju´helnı´ku˚. Pokud bychom takovy´ povrch pouzˇili jako za´klad tvorby FEM modelu, dostali bychom sı´t’s velmi velky´m pocˇtem tetrahedru˚. To by vsˇak zhorsˇilo nebo znemozˇnilo rˇesˇitelnost prˇ´ıslusˇne´ FEM u´lohy. Proto je potrˇeba snı´zˇit (redukovat) pocˇet povrchovy´ch troju´helnı´ku˚. Cı´lem tohoto procesu je v maxima´lnı´ mı´rˇe redukovat pocˇet povrchovy´ch troju´helnı´ku˚, prˇi zachova´nı´ tvaru pu˚vodnı´ho povrchu objektu s danou prˇesnostı´. Vzhledem k potrˇebeˇ zı´skat kvalitnı´ povrch, byl pro nasˇe aplikace pouzˇita metoda „Quadric-based polygonal surface simplification“ [12]. Tato metoda prova´dı´ postupnou redukci hran povrchu. Prˇi tom jsou vzˇdy dva uzly povrchu tvorˇ´ıcı´ hranu redukova´ny do jednoho nove´ho uzlu. Troju´helnı´ky, ktere´ sdı´lely pu˚vodnı´ dva uzly jsou upraveny na novy´ uzel. Tı´m je zajisˇteˇno zachova´nı´ kompaktnosti a orientace povrchu. Da´le tento postup umozˇnˇuje dobrˇe kontrolovat a rˇ´ıdit vy´slednou kvalitu redukovane´ho povrchu.

6.1.4

Zajisˇteˇnı´ kvality redukovane´ povrchove´ sı´teˇ

Pro nasˇe aplikace je du˚lezˇita´ kvalita povrchove´ sı´teˇ troju´helnı´ku˚. Prakticky to znamena´, aby povrchove´ troju´helnı´ky nebyly prˇ´ılisˇ protazˇene´ nebo deformovane´. Pokud by povrch obsahoval takove´ troju´helnı´ky, zpu˚sobovalo by to poruchy kvality navazujı´cı´ sı´teˇ tetrahedru˚. Pocˇa´tecˇnı´ povrch, zı´skany´ metodou Marching cubes a vyhlazenı´m je slozˇen z velke´ho pocˇtu pravidelny´ch troju´helnı´ku˚. Ma´ tedy optima´lnı´ kvalitu. Redukcı´ pocˇtu povrchovy´ch troju´helnı´ku˚ docha´zı´ ke zhorsˇova´nı´ kvality povrchu. Krite´ria pro redukci povrchu nehlı´dajı´ kvalitu vznikajı´cı´ch troju´helnı´ku˚. Redukovany´ povrch proto obsahuje velky´ pocˇet prota´hly´ch a jinak deformovany´ch troju´helnı´ku˚, cozˇ je pro na´s nezˇa´doucı´. Z toho du˚vodu musı´me beˇhem redukce povrchu hlı´dat kvalitu troju´helnı´ku˚ a nedovolit, aby prˇekrocˇila danou mez. Toto hlı´da´nı´ je zajisˇteˇno tak, zˇe se teˇsneˇ prˇed redukcı´ hrany provede kontrola kvality potenciona´lneˇ vznikly´ch troju´helnı´ku˚. Jestlizˇe jejich kvalita prˇesa´hne danou mez, redukce te´to hrany se neprovede. Touto jednoduchou modifikacı´ algoritmu pro redukci povrchu dosa´hneme toho, zˇe redukovany´ povrch nebude obsahovat troju´helnı´ky horsˇ´ı kvality, nezˇ je dany´ limit. Hlı´da´nı´ kvality se samozrˇejmeˇ projevı´ poneˇkud veˇtsˇ´ım konecˇny´m pocˇtem troju´helnı´ku˚ povrchu, prˇi stejny´ch parametrech redukce. Toto zvy´sˇenı´ je vsˇak vzhledem k celkove´mu pu˚vodnı´mu pocˇtu troju´helnı´ku˚ zanedbatelne´. Zlepsˇenı´ kvality povrchu bude mı´t dobry´ vliv na kvalitu sı´teˇ tetrahedru˚, kterou z tohoto povrchu vytvorˇ´ıme. To se projevı´ celkoveˇ mensˇ´ım pocˇtem tetrahedru˚ vy´sledne´ho FEM modelu. 14

6.2

Sestrojenı´ sı´teˇ tetrahedru˚ z povrchu

Dalsˇ´ım krokem povrchove´ strategie tvorby FEM modelu˚ je vytvorˇenı´ sı´teˇ tetrahedru˚ na za´kladeˇ povrchu modelovane´ho objektu. Vstupem jsou vektorove´ povrchy objektu˚ slozˇene´ z troju´helnı´ku˚. Vy´sledkem majı´ by´t sı´teˇ tetrahedru˚, ktere´ je zcela vyplnı´ a za´rovenˇ dodrzˇ´ı jejich povrch. Pro tvorbu sı´teˇ tetrahedru˚ u povrchove´ strategie byla zvolena Delaunayova triangulace. Jak bylo uvedeno, Delaunayova triangulace nenı´ metodou nebo algoritmem pro jejı´ sestrojenı´. Urcˇuje pouze vlastnosti prˇ´ıslusˇne´ sı´teˇ tetrahedru˚. Existuje neˇkolik algoritmu˚, ktere´ umozˇnˇujı´ jejı´ sestrojenı´. Pro nasˇe aplikace byl zvolen „Inkrementa´lnı´ algoritmus sestrojenı´ Delaunayovy triangulace“ [13]. Jeho podstatou je postupne´ vkla´da´nı´ novy´ch uzlu˚ do jizˇ existujı´cı´ Delaunayovy triangulace. Novy´ uzel je do sı´teˇ tetrahedru˚ zacˇleneˇn tak, aby vznikla opeˇt Delaunayova triangulace. Inkrementa´lnı´ algoritmus prˇedstavuje ja´dro, nad ktery´m jsou prova´deˇny vsˇechny dalsˇ´ı operace se sı´tı´ tetrahedru˚.

6.2.1

Zajisˇteˇnı´ dodrzˇenı´ povrchu objektu

V kapitole 4.3 jsme se zmı´nili o tom, zˇe Delaunayova triangulace nenı´ schopna zarucˇit dodrzˇenı´ povrchu, nad jehozˇ uzly je sestrojena. Je proto potrˇeba dodatecˇneˇ zajistit, aby byl dany´ povrch dodrzˇen. Nejde na´m totizˇ o sestrojenı´ Delaunayovy triangulace pro dane´ uzly. Jde o vytvorˇenı´ sı´teˇ tetrahedru˚, ktera´ by dokonale vyplnˇovala dany´ povrch a tak tvorˇila FEM model prˇ´ıslusˇne´ho objektu. Pro zajisˇteˇnı´ dodrzˇenı´ povrchu Delaunayovou triangulacı´ existujı´ dveˇ metody: Constrained Delaunayova triangulace nebo Vkla´da´nı´ novy´ch uzlu˚ pro posı´lenı´ povrchu. Pro nasˇe aplikace byla zvolena druha´ z nich, tedy metoda posı´lenı´ povrchu vkla´da´nı´m novy´ch uzlu˚. Prˇi nı´ se deˇlenı´m povrchovy´ch hran vytva´rˇejı´ nove´ uzly. Ty se za´rovenˇ vkla´dajı´ do Delaunayovy triangulace. Jde o vza´jemne´ prˇizpu˚sobova´nı´ povrchu a sı´teˇ tetrahedru˚. Prˇida´va´nı´m uzlu˚ roste rozsah vy´sledne´ho FEM modelu. V konecˇne´m du˚sledku se vsˇak prˇidane´ povrchove´ uzly projevı´ na zlepsˇenı´ kvality sı´teˇ tetrahedru˚. To zpu˚sobı´ mensˇ´ı prˇ´ıru˚stek uzlu˚ a tetrahedru˚ beˇhem optimalizace kvality sı´teˇ. Nad uzly povrchu je tedy vytvorˇena sı´t’ tetrahedru˚ jako cˇisteˇ Delaunayova triangulace. Teprve potom je dodatecˇneˇ provedeno tzv. usazenı´ dane´ho povrchu na zı´skanou sı´t’. Pouzˇijeme-li pro vytvorˇenı´ sı´teˇ tetrahedru˚ na za´kladeˇ povrchu objektu Delaunayovu triangulaci, zı´ska´me sı´t’, ktera´ vyplnˇuje konvexnı´ oba´lku tohoto objektu. Abychom zı´skali pouze tu cˇa´st sı´teˇ, ktera´ je uzavrˇena povrchem objektu, musı´me zrusˇit jejı´ prˇebytecˇne´ tetrahedry. Prˇebytecˇne´ tetrahedry mu˚zˇeme ze sı´teˇ vymazat. Proble´mem je urcˇit, ktere´ to jsou. K jejich nalezenı´ mu˚zˇeme s vy´hodou pouzˇ´ıt usazeny´ povrch objektu, jestlizˇe je uzavrˇeny´ a orientovany´ (norma´ly vsˇech povrchovy´ch prvku˚ smeˇrˇujı´ bud’ ven nebo dovnitrˇ objektu). 15

6.3

Zajisˇteˇnı´ kvality sı´teˇ prvku˚

Poslednı´m krokem povrchove´ strategie tvorby FEM modelu˚ je optimalizace kvality zı´skane´ sı´teˇ tetrahedru˚. Vstupem je sı´t’tetrahedru˚ sestrojena´ jako Delaunayova triangulace s usazeny´m povrchem. Vy´sledkem ma´ by´t sı´t’tetrahedru˚ upravena´ tak, aby jejı´ kvalita dosahovala pozˇadovane´ u´rovneˇ. Prˇi optimalizaci kvality pravdeˇpodobneˇ dojde k na´ru˚stu pocˇtu uzlu˚ a prvku˚ sı´teˇ. To je pro FEM modely nezˇa´doucı´, protozˇe tı´m roste na´rocˇnost FEM rˇesˇenı´. Jde tedy o kvalitativnı´ zlepsˇenı´ sı´teˇ prˇi jejı´m co nejmensˇ´ım kvantitativnı´m na´ru˚stu. Pro zlepsˇenı´ kvality sı´teˇ tetrahedru˚ mu˚zˇeme pouzˇ´ıt dveˇ hlavnı´ skupiny metod. Prvnı´ je Delaunayovska´ optimalizace, ktera´ pro zlepsˇenı´ kvality vkla´da´ do sı´teˇ tetrahedru˚ dalsˇ´ı uzly. Efektivnı´ je vkla´da´nı´ strˇedu˚ opsany´ch koulı´ nekvalitnı´ch tetrahedru˚. Druhou mozˇnostı´ jsou empiricke´ optimalizacˇnı´ metody, ktere´ prova´dı´ loka´lnı´ operace s tetrahedry pomocı´ swapova´nı´, deˇlenı´ a redukce hran. Pro nasˇe aplikace byly pouzˇity vsˇechny empiricke´ metody ve vza´jemne´ kombinaci. Nejprve je snaha zlepsˇit kvalitu swapova´nı´m hran [9]. Pokud to nejde, provede se rozdeˇlenı´ loka´lneˇ maxima´lnı´ hrany nekvalitnı´ho prvku [28] [29] [30]. Jestlizˇe de´lka neˇktere´ z hran klesne pod dany´ limit, je redukova´na. Po kazˇde´m pouzˇitı´ jedne´ z uvedeny´ch metod se provede relaxace uzlu˚ v nejblizˇsˇ´ım okolı´ uskutecˇneˇne´ zmeˇny. Tı´m dosa´hneme lepsˇ´ıho rozlozˇenı´ uzlu˚ sı´teˇ, cozˇ ma´ vliv na jejı´ kvalitu. Relaxace se ty´ka´ pouze vnitrˇnı´ch uzlu˚. Uzly lezˇ´ıcı´ na povrchu se nehy´bou, aby byl zachova´n povrch objektu.

6.4

Programova´ realizace

Popisovane´ rˇesˇenı´ tvorby FEM modelu˚ tka´nı´ na za´kladeˇ CT/MR dat bylo realizova´no formou skupiny sˇesti pocˇ´ıtacˇovy´ch programu˚. Tyto programy zajisˇt’ujı´ cely´ proces automaticke´ho prˇevodu CT/MR dat na FEM model dane´ tka´neˇ. Programy byly vytvorˇeny v jazyce C++ na platformeˇ Win32. Od pocˇa´tku vsˇak byly koncipova´ny tak, aby je bylo mozˇne´ snadno prˇeve´st na jakoukoli jinou pocˇ´ıtacˇovou platformu, naprˇ. ru˚zne´ Unixy, MacOS atd. Kvu˚li prˇenositelnosti je veˇtsˇina programu˚ vytvorˇena bez uzˇivatelske´ho rozhranı´ (GUI), ve formeˇ prˇ´ıkazove´ rˇa´dky. Jejich ovla´da´nı´ se prova´dı´ pomocı´ textovy´ch konfiguracˇnı´ch souboru˚ a parametru˚ prˇ´ıkazove´ rˇa´dky. Vy´jimku tvorˇ´ı program Transfer, ktery´ ma´ graficke´ uzˇivatelske´ rozhranı´ a je urcˇen pro interaktivnı´ prohlı´zˇenı´ a zpracova´nı´ CT/MR dat. Beˇhem tvorby FEM modelu˚ se pracuje s velky´m mnozˇstvı´m vektorovy´ch elementu˚ typu uzel, hrana, troju´helnı´k a tetrahedr. Aby vytvorˇene´ programy fungovaly efektivneˇ a rychle, bylo potrˇeba implementovat vhodne´ algoritmy, ktere´ by umozˇnily obsluhu teˇchto dat a rychle´ vyhleda´va´nı´ pozˇadovany´ch elementu˚ podle zvoleny´ch krite´riı´ a vza´jemny´ch vazeb. K tomuto u´cˇelu bylo vyvinuto ja´dro spra´vy geometricky´ch dat. To je take´ za´kladem vsˇech popisovany´ch programu˚. Toto ja´dro da´le zajisˇt’uje cˇtenı´ a za´pis geometricky´ch dat do souboru˚ a spra´vu pameˇti.

16

7

Prˇ´ıklady pouzˇitı´

Pro oveˇrˇenı´ funkcı´ a vlastnostı´ navrzˇene´ho rˇesˇenı´ a spolehlivosti vytvorˇeny´ch programu˚, byly s jejich pomocı´ sestrojeny cˇtyrˇi FEM modely ru˚zny´ch kostnı´ch tka´nı´ lidske´ho teˇla. Vstupem pro tento proces byla CT data nasnı´mana´ na CT Elscint Elect 2000 ve Fakultnı´ nemocnici u svate´ Anny v Brneˇ. Demonstracˇnı´ FEM modely byly vytvorˇeny pro lebku bez cˇelisti (tab. 1, obr. 1 azˇ 8), cˇelist, pa´nevnı´ kost a pro hornı´ cˇa´st stehennı´ kosti. Na´sledujı´cı´ tabulka a obra´zky ukazujı´ parametry a podobu vytvorˇene´ho FEM modelu lidske´ lebky.

Tabulka 1: Pru˚beˇh tvorby FEM modelu lebky Pocˇet tetra.

Cˇas [s]

957 356

—

134

4 473

9 018

—

995

7 680

—

24 859

60

10 911

—

38 983

105

Pocˇet uzlu˚

Pocˇet troj.

478 646

Redukce povrchu Delan. triangulace

Marching cubes

Optimalizace Celkovy´ cˇas

1 294

17

Obr. 1: FEM model lebky, pohled zeprˇedu, rendering

Obr. 2: FEM model lebky, pohled zeprˇedu, skryte´ hrany 18

Obr. 3: FEM model lebky, pohled zleva, rendering

Obr. 4: FEM model lebky, pohled zleva, skryte´ hrany

19

Obr. 5: FEM model lebky, pohled zprava, rendering

Obr. 6: FEM model lebky, pohled zprava, skryte´ hrany

20

Obr. 7: FEM model lebky, pohled zespodu, rendering

Obr. 8: FEM model lebky, pohled zespodu, skryte´ hrany 21

8

Za´veˇr

8.1

Shrnutı´ dosazˇeny´ch vy´sledku˚

V pra´ci bylo dosazˇeno na´sledujı´cı´ch vy´sledku˚: 1. Rozbor vlastnostı´ a charakteristik CT/MR dat. CT/MR data jsou rastrova´ objemova´ data. Jejich segmentacı´ zı´ska´me voxel modely tka´nı´. Ty slouzˇ´ı jako vy´chozı´ data pro dalsˇ´ı etapy rˇesˇenı´. 2. Rozbor problematiky tvorby FEM modelu˚ z rastrovy´ch objemovy´ch dat. FEM modely majı´ objemovou vektorovou reprezentaci. Potrˇebujeme tedy prˇeve´st rastrovou reprezentaci na vektorovou. Pouzˇ´ıt mu˚zˇeme „klasickou metodu“, ktera´ spocˇ´ıva´ v rucˇnı´ prˇ´ıpraveˇ vektorovy´ch dat, podle ktery´ch je ve FEM syste´mu vytvorˇen vy´pocˇtovy´ model. Kvu˚li slozˇite´ geometrii tka´nı´ je vy´hodneˇjsˇ´ı pouzˇ´ıt „metodu prˇ´ıme´ generace“, ktera´ prˇ´ımo z rastrovy´ch dat automaticky vytvorˇ´ı FEM modely. K tomu je vhodne´ pouzˇitı´ tetrahedru˚. 3. Prˇehled soucˇasne´ho stavu tvorby FEM modelu˚ slozˇeny´ch z tetrahedru˚. Pro tvorbu FEM modelu˚ slozˇeny´ch z tetrahedru˚ je mozˇne´ pouzˇ´ıt na´sledujı´cı´ metody: Triangulace oktalove´ho stromu, Delaunayova triangulace, Constrained Delaunayova triangulace a Advancing front. Podstatnou soucˇa´stı´ procesu tvorby FEM modelu˚ je take´ optimalizace kvality vy´sledne´ho modelu. 4. Formulace strategiı´ tvorby FEM modelu˚ z rastrovy´ch objemovy´ch dat. Na za´kladeˇ provedeny´ch rozboru˚ byly formulova´ny dveˇ strategie rˇesˇenı´, objemova´ a povrchova´. Objemova´ strategie prˇ´ımo prˇeva´dı´ voxely na tetrahedry. Povrchova´ strategie pracuje s povrchem objektu, ktery´ je vyplneˇn tetrahedry. Pro konkre´tnı´ rˇesˇenı´ byla vybra´na povrchova´ strategie, z du˚vodu nizˇsˇ´ıch pameˇt’ovy´ch na´roku˚, v kombinaci s Delaunayovou triangulacı´. 5. Na´vrh konkre´tnı´ho rˇesˇenı´ tvorby FEM modelu˚ z rastrovy´ch objemovy´ch dat. Byly navrzˇeny a popsa´ny konkre´tnı´ algoritmy pro jednotlive´ kroky tvorby FEM modelu˚ z voxel modelu˚ tka´nı´. Jsou to: vektorizace povrchu voxel modelu, vyhlazenı´ povrchu, redukce povrchu, vyplneˇnı´ povrchu sı´tı´ tetrahedru˚, dodrzˇenı´ povrchu sı´tı´ tetrahedru˚ a optimalizace kvality vy´sledne´ho FEM modelu. 6. Realizace navrzˇene´ho rˇesˇenı´ formou pocˇ´ıtacˇovy´ch programu˚. Navrzˇene´ rˇesˇenı´ bylo realizova´no formou se´rie pocˇ´ıtacˇovy´ch programu˚. Jejich u´kolem je zajisˇt’ovat cely´ proces tvorby FEM modelu˚. Ten v sobeˇ zahrnuje import CT/MR dat, jejich prohlı´zˇenı´ a archivaci, segmentaci, vektorizaci a upravenı´ povrchu, azˇ po vytvorˇenı´ a optimalizaci vy´sledne´ho FEM modelu. Neˇktere´ z realizovany´ch programu˚ jsou jizˇ nynı´ prakticky pouzˇ´ıva´ny ve Fakultnı´ nemocnici u sv. Anny v Brneˇ, na klinice zobrazovacı´ch metod. 22

7. Oveˇrˇenı´ vlastnostı´ navrzˇene´ho rˇesˇenı´ na konkre´tnı´ch prˇ´ıkladech. Aby bylo mozˇne´ oveˇrˇit skutecˇne´ vlastnosti navrzˇene´ho rˇesˇenı´ a funkcˇnost vytvorˇeny´ch programu˚, byly vygenerova´ny cˇtyrˇi FEM modely. Konkre´tneˇ: lidska´ lebka, cˇelist, pa´nev a hornı´ cˇa´sti stehennı´ kosti. Tyto modely byly vytvorˇeny zcela automaticky, na za´kladeˇ CT dat z Fakultnı´ nemocnice u sv. Anny v Brneˇ. Pouzˇity byly pouze programy vytvorˇene´ v ra´mci te´to pra´ce.

8.2

Prˇ´ınos dosazˇeny´ch vy´sledku˚ pro praxi

Hlavnı´ oblast vyuzˇitı´ FEM modelu˚ lidsky´ch tka´nı´ je ve veˇdnı´m oboru „Biomechanika cˇloveˇka“. Vy´sledky tohoto interdisciplina´rnı´ho oboru majı´ sve´ uplatneˇnı´ prˇedevsˇ´ım v medicı´neˇ, kde prˇ´ımo ovlivnˇujı´ kvalitu osˇetrˇenı´ pacientu˚. Tak se prˇedlozˇene´ rˇesˇenı´ neprˇ´ımo podı´lı´ na zvysˇova´nı´ u´rovneˇ nasˇeho zdravotnictvı´. Dosazˇene´ vy´sledky a rˇesˇenı´ jednotlivy´ch proble´mu˚ a algoritmu˚ je navı´c mozˇne´ pouzˇ´ıt pro mnoho dalsˇ´ıch aplikacı´ v medicı´neˇ i biomechanice. Konkre´tnı´ uplatneˇnı´ nacha´zejı´ dosazˇene´ vy´sledky v soucˇasne´ dobeˇ naprˇ. prˇi rˇesˇenı´ ´ stavu mechaniky teˇles FSI VUT v Brneˇ. grantove´ho projektu GA 106/98/K019 a na U Hlavnı´ prˇ´ınosy pro biomechaniku jsou: 1. Mozˇnost vy´pocˇtove´ho modelova´nı´ slozˇity´ch prostorovy´ch tka´nı´, cozˇ dosud nebylo proveditelne´ nebo pouze s velky´mi zjednodusˇenı´mi. ´ spora velke´ho mnozˇstvı´ rucˇnı´ prˇ´ıpravy FEM modelu˚ klasickou metodou. 2. U 3. Zkra´cenı´ doby prˇ´ıpravy FEM modelu z ty´dnu˚ azˇ meˇsı´cu˚ na hodiny. 4. Dı´ky plneˇ automaticke´mu procesu tvorby FEM modelu˚ je mozˇne´ rychle vytvorˇit velke´ mnozˇstvı´ FEM modelu˚ pro srovna´vacı´ u´lohy v biomechanice.

8.3

Perspektiva dalsˇ´ıho vy´voje

Soucˇasny´ stav rˇesˇenı´ jisteˇ nenı´ konecˇny´. Je jesˇteˇ mnoho dalsˇ´ıch u´kolu˚. Do budoucna je perspektivnı´ zameˇrˇit se na na´sledujı´cı´ vlastnosti: 1. Zrychlenı´ beˇhu programu˚ a snı´zˇenı´ jejich pameˇt’ove´ na´rocˇnosti. 2. Tvorba vza´jemneˇ navazujı´cı´ch FEM modelu˚ pro skupiny ru˚zny´ch tka´nı´. 3. Efektivneˇjsˇ´ı postupy optimalizace kvality FEM modelu˚. 4. Mozˇnost loka´lnı´ch u´prav sı´teˇ FEM modelu˚, zjemneˇnı´, kvalita, rozmeˇry prvku˚. 5. Redukce pocˇtu prvku˚ a uzlu˚ FEM modelu˚. 6. Mozˇnost kombinovat a propojovat FEM modely vytvorˇene´ ru˚zny´mi metodami. 7. Tvorba FEM modelu˚ pro hexahedry, prˇ´ıpadneˇ prˇevod z tetrahedru˚ na hexahedry. 23

Literatura [1] Bajaj Ch. L., Coyle E. J., Kwun L.: Surface and 3D triangular meshes from planar cross sections. In: Proceedings, 5th International Meshing Roundtable, Sandia National Laboratories, USA, 1996, s. 169-178 [2] Balendran B.: A Direct Smoothing Method For Surface Meshes. In: Proceedings, 8th International Meshing Roundtable, South Lake Tahoe, USA, 1999, s. 189193 [3] Berzins M.: Based Mesh Quality for Triangular and Tetrahedral Meshes. In: Proceedings, 6th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1997, s. 427-436 [4] Berzins M.: Mesh Quality - A Function of Geometry, Error Estimates or Both. In: Proceedings, 7th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1998, s. 229-238 [5] Cavalcanti P. R., Ulisses T. M.: 3D Constrained Delaunay triangulation. In: Proceedings, 8th International Meshing Roundtable, South Lake Tahoe, CA, USA, s.119-129 [6] Cebral J. R., Lohner R.: From Medical Images to CFD Meshes. In: Proceedings, 8th International Meshing Roundtable, South Lake Tahoe, USA, 1999, s. 321331 [7] Drastich A.: Zobrazovacı´ syste´my v le´karˇstvı´. 1. vyd. Brno, Rektora´t VUT v Brneˇ 1990, 512 s., ISBN 80-214-0220-2 [8] Fleischmann P., Selberherr S.: Three-Dimensional Delaunay Mesh Generation Using a Modified Advancing Front Approach. In: Proceedings, 6th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1997, s. 267-278 [9] Freitag L. A., Gooch C. O.: A Comparison of Tetrahedral Mesh Improvement Techniques. In: Proceedings, 5th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1996, s. 87-106 [10] Freitag L. A., Knupp P. M.: Tetrahedral Element Shape Optimization via the Jacobian Determinant and Condition Number. In: Proceedings, 8th International Meshing Roundtable, South Lake Tahoe, CA, USA, 1999, s. 247-258 [11] Frey P. J., Marechal L.: Fast Adaptive Quadtree Mesh Generation. In: Proceedings, 7th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1998, s. 211-224 24

[12] Garland M., Heckbert, P.: Surface simplification using quadric error metrics. In: Proceedings, Siggraph 97, USA, 1997, s. 209-216 [13] George P. L., Borouchaki H.: Delaunay triangulation and meshing. 1. vyd. Paris, Hermes 1998, 413 s., ISBN 2-86601-692-0 [14] Krsˇek P.: Tvorba prostorove´ho modelu objektu˚ na za´kladeˇ dat zı´skany´ch Pocˇ´ıtacˇovou tomografiı´. In: Sbornı´k, Engineering mechanics 95, Praha, ITAVCR, 1995, s. 297-300, ISBN 80-85918-08-0 [15] Krsˇek P.: Soucˇasne´ mozˇnosti prˇenosu dat z Pocˇ´ıtacˇove´ho tomografu, jejich zpracova´nı´ a vyuzˇitı´ v le´karˇske´ praxi a v biomechanice. In: Sbornı´k, Engineering mechanics 96, Brno, UMT FSI VUT Brno, 1996, s. 183-188, ISBN 80-2140747-6 [16] Krsˇek P.: Zkusˇenosti s prˇevodem informacı´ z Pocˇ´ıtacˇove´ tomografie do syste´mu˚ MKP. In: Sbornı´k, Biomechanika cˇloveˇka 1996, Praha, ITAM ASCR, 1996, s. 111-114 [17] Krsˇek P.: Aplikace 3D rekonstrukcı´ lidsky´ch tka´nı´ pro CAD/CAM/FEM podporu v medicı´neˇ. In: Sbornı´k, XL. international machine elements departments conference, Zˇilina, University of Zˇilina - Faculty of mechanical engineering, 1996, s. 198-201 [18] Krsˇek P.: Prˇ´ıma´ generace sı´teˇ objemovy´ch prvku˚ na za´kladeˇ CT/MR dat, pro FEM rˇesˇenı´ u´loh v biomechnaice. In: Sbornı´k, Interakce a zpeˇtne´ vazby 99, Praha, ITAVCR, 1999, s. 97-104, ISBN 80-85918-50-1 [19] Krsˇek P.: Objemova´ metoda tvorby FEM sı´tı´ pro vy´pocˇtove´ modelova´nı´ skeletu, na za´kladeˇ CT dat. In: Sbornı´k, Skelet 2000, Praha, Univerzita Karlova - Fakulta teˇlesne´ vy´chovy a sportu pro CBMI, 2000, s. 23-24, ISBN 80-86317-05-6 [20] Krsˇek P.: Vektorova´ 3D transformace CT/MR dat, jejich prˇevod do CAD/FEM syste´mu˚ a aplikace v medicı´neˇ a biomechanice. In: Sbornı´k, Aplikovana´ mechanika 2000, Liberec, Technicka´ universita v Liberci - Fakulta strojnı´, 2000, s. 221-226, ISBN 80-7083-388-2 [21] Krsˇek P.: Possibilities of creation of FEM models from CT/MR data. In: Sbornı´k, Engineering mechanics 2000, Praha, ITAM AVCR, 2000, s. 27-32, ISBN 80-86246-03-5 [22] Krysl P., Ortiz M.: Generation of Tetrahedral Finite Element Meshes, Variational Delaunay Approach. In: Proceedings, 7th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1998, s. 273-284 25

[23] Li X. Y., Teng S. H., Ungor A.: Biting Spheres in 3D. In: Proceedings, 8th International Meshing Roundtable, South Lake Tahoe, CA, USA, 1999, s. 8595 [24] Lohner R., Cebral J. R.: Parallel Advancing Front Grid Generation. In: Proceedings, 8th International Meshing Roundtable, South Lake Tahoe, CA, USA, 1999, s. 67-74 [25] Lorensen W., Cline H.: Marching cubes, A high resolution 3D surface construction algorithm. In: Proceedings, Siggraph 87, USA, 1987, s. 163-169 [26] Nagy. I. Krsˇek P. Husta´k. J.: Voxel Model Creation of Human Tissues from CT and MRI Data for Biomechanical Applications. In: Proceedings, Euroconference Biosignal 2000, Brno, FE VUT Brno, 2000, s. 278-280, ISBN 80-214-1610-6 [27] Owen S. J.: A Survey of Unstructured Mesh Generation Technology. In: Proceedings, 7th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1998, s. 239-267 [28] Rivara M. C., Inostoza P.: A Discussion on Mixed (Longest-Side Midpoint Insertion) Delaunay Techniques for the Triangulation Refinement Problem. In: Proceedings, 4th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1995, s. 321-333 [29] Rivara M. C.: New Mathematical Tools and Techniques for the Refinementand or Improvement of Unstructured Triangulations. In: Proceedings, 5th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1996, s. 77-86 [30] Rivara M. C., Hitschfeld N.: LEPP-Delaunay algorithm: a robust tool for producing size-optimal quality triangulations. In: Proceedings, 8th International Meshing Roundtable, South Lake Tahoe, CA, USA, 1999, s. 205-220 [31] Rossignac J., Borrel P.: Multi-resolution 3D approximations for rendering complex scenes. In: Modeling in Computer Graphics - Methods and Applications, USA, 1993, s. 455-465 [32] Schroeder W. J., Zarge J. A., Lorensen W. E.: Decimation of triangle meshes. In: Proceedings, Siggraph 92, USA, 1992, s. 65-70 [33] Seveno E.: Towards an adaptive advancing front method. In: Proceedings, 6th International Meshing Roundtable, Sandia National Lab, USA, 1997, s. 349-360 [34] Zˇara J., Benesˇ B., Felkel P.: Modernı´ pocˇ´ıtacˇova´ grafika. 1. vyd. Praha, Computer press 1998, 448 s., ISBN 80-7226-049-9 26

Summary This report is dealing with problems of creating FEM models of human tissues from CT/MR data. Applications of the models fall into the interdisciplinary branch of science called ”Biomechanics of man”. It tries to solve medical problems by technical and mechanical methods, usually by FEM modeling. For the purpose it is important to have FEM models of tissues. Geometry of the tissues is necessary for creation of the models. The best source of the geometry are medical diagnostic imaging methods such as CT or MR. The first part includes the analysis of attributes of the CT/MR data with raster volume representation. The FEM models have vector representation. Therefore we need to transform raster volume CT/MR data to vector FEM models. Geometry of the tissues is usually very complicated and has a strong influence on the transformation. That is why we are looking for fully automatic transformation methods. Manual creating of the FEM models is very complicated or even impossible. Complicated geometry of the tissues is also the reason for using tetrahedrals only. A brief analysis follows of todays situation in the area of automatic creation of FEM tetrahedrals models. The strategy of solution is formulated by the analysis. Detailed description of the solution follows. In it there are described the used algorithms, which are realized as computer programs. The results achieved are shown in tables and pictures, for FEM models of skull, jaw, pelvis and hip joint. At the end of the report there is a summary of the solution, its contribution to the practice of biomechanics and medicine, with perspective of future work.

27

Autorovo CV Narodil jsem se 30.12. 1969 v Ostraveˇ. Tam jsem v letech 1976-1984 absolvoval za´kladnı´ sˇkolu. Potom jsem byl v roce 1984 prˇijat na strˇednı´ pru˚myslovou sˇkolu strojnı´ v Ostraveˇ, kterou jsem v roce 1988 ukoncˇil maturitou. Na podzim 1988 jsem nastoupil ke studiu na Fakulteˇ strojnı´ VUT v Brneˇ. V roce 1993 jsem u´speˇsˇneˇ ´ stavu konstruova´nı´. Ve stejne´m roce jsem byl slozˇil sta´tnı´ za´veˇrecˇnou zkousˇku na U na tomto u´stavu prˇijat k internı´mu doktorandske´mu studiu. V listopadu 1996 jsem u´speˇsˇneˇ vykonal rigoro´znı´ zkousˇku. Od prosince 1996 do dubna 1998 jsem absolvoval na´hradnı´ vojenskou sluzˇbu. Beˇhem te´to doby jsem prˇesˇel na externı´ doktorandske´ ´ stavu konstruova´nı´ FSI VUT v Brneˇ studium. Od cˇervna 1998 jsem nastoupil na U jako odborny´ asistent. Beˇhem sve´ho studia jsem se veˇnoval prˇedevsˇ´ım pocˇ´ıtacˇove´ podporˇe konstruova´nı´, pocˇ´ıtacˇove´ grafice a 3D modelova´nı´. Mou specializacı´ se postupneˇ staly aplikace pocˇ´ıtacˇove´ grafiky a 3D modelova´nı´ v medicı´neˇ, zvla´sˇteˇ v radiologii. Teze k rigoro´znı´ zkousˇce meˇly te´ma: „Tvorba geometricky´ch modelu˚ tka´nı´ lidske´ho teˇla na za´kladeˇ dat z Pocˇ´ıtacˇove´ho tomografu“.

28

Seznam publikacı´ autora [1] Krsˇek P.: Tvorba prostorove´ho modelu objektu˚ na za´kladeˇ dat zı´skany´ch Pocˇ´ıtacˇovou tomografiı´. In: Sbornı´k, Engineering mechanics 95, Praha, ITAVCR, 1995, s. 297-300, ISBN 80-85918-08-0 [2] Krsˇek P.: Soucˇasne´ mozˇnosti prˇenosu dat z Pocˇ´ıtacˇove´ho tomografu, jejich zpracova´nı´ a vyuzˇitı´ v le´karˇske´ praxi a v biomechanice. In: Sbornı´k, Engineering mechanics 96, Brno, UMT FSI VUT Brno, 1996, s. 183-188, ISBN 80-2140747-6 [3] Krsˇek P.: Zkusˇenosti s prˇevodem informacı´ z Pocˇ´ıtacˇove´ tomografie do syste´mu˚ MKP. In: Sbornı´k, Biomechanika cˇloveˇka 1996, Praha, ITAM ASCR, 1996, s. 111-114 [4] Krsˇek P.: Aplikace 3D rekonstrukcı´ lidsky´ch tka´nı´ pro CAD/CAM/FEM podporu v medicı´neˇ. In: Sbornı´k, XL. international machine elements departments conference, Zˇilina, University of Zˇilina - Faculty of mechanical engineering, 1996, s. 198-201 [5] Krsˇek P.: Prˇ´ıma´ generace sı´teˇ objemovy´ch prvku˚ na za´kladeˇ CT/MR dat, pro FEM rˇesˇenı´ u´loh v biomechnaice. In: Sbornı´k, Interakce a zpeˇtne´ vazby 99, Praha, ITAVCR, 1999, s. 97-104, ISBN 80-85918-50-1 [6] Krsˇek P.: Objemova´ metoda tvorby FEM sı´tı´ pro vy´pocˇtove´ modelova´nı´ skeletu, na za´kladeˇ CT dat. In: Sbornı´k, Skelet 2000, Praha, Univerzita Karlova - Fakulta teˇlesne´ vy´chovy a sportu pro CBMI, 2000, s. 23-24, ISBN 80-86317-05-6 [7] Krsˇek P.: Vektorova´ 3D transformace CT/MR dat, jejich prˇevod do CAD/FEM syste´mu˚ a aplikace v medicı´neˇ a biomechanice. In: Sbornı´k, Aplikovana´ mechanika 2000, Liberec, Technicka´ universita v Liberci - Fakulta strojnı´, 2000, s. 221-226, ISBN 80-7083-388-2 [8] Krsˇek P.: Possibilities of creation of FEM models from CT/MR data. In: Sbornı´k, Engineering mechanics 2000, Praha, ITAM AVCR, 2000, s. 27-32, ISBN 80-86246-03-5 [9] Nagy. I. Krsˇek P. Husta´k. J.: Voxel Model Creation of Human Tissues from CT and MRI Data for Biomechanical Applications. In: Proceedings, Euroconference Biosignal 2000, Brno, FE VUT Brno, 2000, s. 278-280, ISBN 80-214-1610-6 [10] Krsˇek P.: Automatic gneration of FEM models of human skull and other parts of skeleton from CT data. In: Sbornı´k, Biomechanics of man 2000, Olomouc, Faculty of Physical culture UP Olomouc, 2000, s. 74-77, ISBN 80-244-0193-2 29

[11] Krsˇek P.: Tvorba MKP modelu˚ voka´lnı´ho traktu pro cˇeske´ samohla´sky. In: Sbornı´k, Interaction of dynamic systems with surroundings and systems with feedbacks 2000, Praha, IT AVCR, 2000, s. 103-110, ISBN 80-85918-58-7 [12] Prˇikryl K. Krsˇek P.: Dynamicka´ analy´za vy´pocˇtove´ho modelu lidske´ lebky. In: Sbornı´k, Interaction of dynamic systems with surroundings and systems with feedbacks 2000, Praha, IT AVCR, 2000, s. 103-110, ISBN 80-85918-58-7

30