www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
M OZGÁSOK A tér és id˝o A legegyszerubb ˝ test mozgása érdekel el˝oször A mozgások sokféleségéb˝ol a pontszer˝u testek mozgását választjuk ki, hogy ezek tulajdonságait megvizsgáljuk. El˝obb ugyanis meg kell ismernünk a pontszer˝u testek – mint például egy eldobott kis labda – mozgását, csak azután foglalkozhatunk bonyulultabb testek, mint – mondjuk – egy elhajított sepr˝unyél mozgásával. A pontszer˝u test a valóságos testnek olyan modellje, amelyben a testet egyetlen, tömeggel rendelkez˝o pontnak tekintjük. Pontszer˝u test méretei tehát a mozgás vizsgálata során elhanyagolhatók. Így például egy autó mozgását az autópályán pontszer˝u test egyenes vonalú mozgásának tekintjük, ha az autó méretei „elhanyagolhatók” a pályamenti városok távolságához viszonyítva. A pontszer˝u testek mozgásai közül is el˝oször ezek egyenes vonalú mozgását célszer˝u megvizsgálni. Az ilyen mozgások egy egyenes mentén történnek. A (pontszer˝u) test mozgását akkor tekintjük ismertnek, ha a mozgás id˝oszaka alatt mindig tudjuk, hogy hol van a test. Ebb˝ol látszik, hogy tudnunk kell, hogy miben áll a távolságmérés és az id˝omérés lényege, hogyan kell megmérni egy szakasz hosszát és két koppanás között eltelt id˝otartamot.
Távolságmérés A mozgások mennyiségi leírásának egyik eleme a testek egymáshoz viszonyított távolságának számszer˝u jellemzése. Két pont távolságának, egy szakasz hosszának mérésekor abból indulunk ki, hogy van egy beosztásokkal ellátott méterrudunk, amelyet merev testnek tekintünk. Választottunk tehát egy rudat (méterrudat), egy olyan testet, amelynek a hossza természetesen nem változik. Az egység választásának lehet˝osége a távolság „maradandóságán”, egyenletesség hitén múlik. Ez a gondolatmenetünk kiindulópontja: a méterrúd hosszát állandónak tekintjük, és ehhez viszonyítjuk más rudak hosszát, és ellen˝orizzük más rudak állandó hosszát. Természetesnek vesszük, hogy nem csak mi rendelkezünk ilyen rúddal; tetsz˝oleges számban, kell˝o pontossággal reprodukálható. Tegyük fel tehát, hogy adott valamely anyagi test két pontja és a két pontot összeköt˝o szakasz. A feladat a két pont távolságának, vagyis a szakasz hosszának mérése. Ezt a következ˝oképpen hajtjuk végre. A méterrúd egyik végét hozzáillesztjük az egyik ponthoz, és leolvassuk, hogy a másik pont a méterrúd melyik beosztásával esik egybe. A távolságmérés alapja tehát a méterrúd beosztásainak és a két pontnak, a vizsgált szakasz végpontjainak az egybeesése. Meg kell állapodnunk abban, hogy mi legyen a távolság egysége, azaz melyik rúd legyen egységnyi hosszú. Mi úgy döntünk, hogy a hosszúságegység a Föld f˝okörének 40 milliomod része, ezt 1 méternek nevezzük, a méter jele: m. A Föld egyenlít˝ojének a hossza tehát 40 000 000 m. A gyakori mértékegységek a méter többszörösei, például a kilométer (km) és törtrészei, például a centiméter (cm), a milliméter (mm). Használatos még több más mértékegység, például csillagászati méretekben a fényév. Ez az távolság, amelyet a fény 1 év alatt befut,1 tudjuk, hogy 1 fényév = 3 · 108 m. 1
A fizikai mennyiségeket általában d˝olt vagy félkövér bet˝uvel szedik a könyvekben, mértékegységeket pedig „közönséges” álló – versal – bet˝uvel. A távolságot méterben mérjük, a mértékegységet m-mel jelöljük. Legyen két pont távolsága d = 2 méter. Azt, hogy d mértékegysége m , a következ˝oképpen fejezzük ki: [d] = m. Más mennyiségek és mértékegységeik esetén is hasonló jelölést alkalmazunk.
1
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Id˝omérés A mozgások mennyiségi leírásának másik eleme a történések idejének számszer˝u jellemzése. Az id˝o a történések folyama. A folyamatok mutatják, hogy múlik az id˝o. Az id˝ot az anyagi testek hozzák létre, különbözö testek különböz˝o id˝oket. Különbséget kell tennünk két fogalom között, meg kell különböztessük az id˝opont és az id˝otartam fogalmát. Amikor id˝omérésr˝ol beszélünk, akkor ezen az id˝otartamok mérését értjük.2 Id˝otartamot órával mérünk. A pontos gondolkodás érdekében részesítsük el˝onyben a másodpercmutatót, hiszen ez méri a tel˝o id˝ot. Milyen órával mérjük az id˝ot? Elvárjuk az órától, hogy jól m˝uködjön, helyesen járjon: ne késsen, ne siessen. Mi módon tudjuk ezt ellen˝orizni? Az id˝otartamok mérése azzal kezd˝odik, hogy választunk egy mozgást, amelynek egyenletességében nem kételkedünk. Ezzel a mozgással definiáljuk az id˝otartammér˝o eszközt, az órát. Ezzel értelmezzük az id˝otartamok egységét is.3 Föld tengely körüli forgását választjuk az id˝omérés eszközének. Az id˝otartamok mértékegységéül a Föld körülfordulási idejének (1 nap) a 24-szer 3600-ad részét vesszük, és ezt másodpercnek nevezzük, jele s – a latin secundum szóból. Az id˝otartamok mérését a Föld tengely körüli forgásával – tehát végs˝o soron a napórával – mérjük. A Föld forgásához igazított rugós órák, ingaórák, kvarcórák mutatói körbejárnak, és elmozdulásukról leolvasható a helyben eltelt id˝o. ondoljunk bele: ezzel az id˝omérést is távolságmérésre vezetjük vissza. 4 Gyakran használt id˝ oegység még az óra, jele h de lehet ó-val is jelölni és perc, jele gyakran min. (Csak a rend kedvéért: 1 perc = 60 másdodperc, 1 óra = 60 perc = 3600 másodperc. Használatos még az id˝o más mértékegysége is, például a fényméter. 1 fényméter az id˝otartam, amennyi id˝o akkor telik el, ha a fény 1 méter utat befut. 1 fényméter = 3, 3˙ · 10−8 s Figyeljünk fel egy nagyon fontos dologra. Két esemény közötti id˝otartamot egy órával mérjük. Meg tudjuk mondani, hogy mennyi id˝o telt el két tapsolásunk között, mennyi id˝o telt el míg elolvastunk egy oldalt, vagy mennyi id˝ot vett igénybe, amíg bevásároltunk. Mindezt mutatja az óra a karunkon. Nem tudjuk azonban egy órával megmérni, hogy mennyi id˝o telik el a hegy két oldalán két puskalövés között!
Tér és vonatkoztatási rendszer Ha már tudjuk, hogy hogyan mérhetjük meg két pont távolságát, akkor rögzíthetünk a térben egy pontot, ezt a vonatkoztatási rendszer origójának, kezd˝opontjának nevezzük. Ezután megmérhetjük a tér különböz˝o pontjainak az origótól mért távolságát. Ha kijelölünk három egymásra mer˝oleges tengelyt (x-tengely, y-tengely, z-tengely), akkor ezek mentén mért – el˝ojeles – távolságokkal „feltérképezhetjük” a teret. Hasonlóképpen: ha már tisztáztuk, hogy hogyan lehet megmérni a tér egy bizonyos helyén két pillanatszer˝u jelenség (két koppanás, két csattanás) között eltelt id˝ot, akkor rögzíthetünk egy ilyen eseményt, mondjuk azt, amikor éjfélt üt az óra, és ett˝ol mérjük más események id˝opontját vagyis ehhez viszonyítjuk más események id˝opontját. Rögzítsük le tehát, hogy adottnak tekintünk tehát egy vonatkoztatási rendszert, a távolság- és id˝omérés „leírásával”, a mértékegységekkel. 2
Ha átgondoldjuk a problémát, nyilvánvalónak látszik, hogy id˝otartamot tudunk mérni, id˝opontot nem. Az id˝opontok „mérése” összetettebb kérdés, hasonlóan ahhoz, hogy két pont távolságát mérjük, és csak azután fogunk áttérni a térbeli pontok „helyének” jellemzésére. 3 Alapvet˝oen fontos: az ember, történelmi fejl˝odése során, el˝obb érezte az egyenletességet, mint ahogy kialakult az id˝otartam fogalma. Az egyenletesség érzete a vérében van, a biológiai ritmusában. Az egyenletesség érzete volt a feltétele annak, hogy kialakulhatott az id˝otartam meglehet˝osen elvont fogalma. Ha o˝ seink a történelem el˝otti korban nem tudták volna megkülönböztetni a mozgásokat aszerint, hogy melyik egyenletes és melyik nem, akkor az id˝otartamok méréséig soha nem jutottak volna el. 4 Kivéve, ha az óra ütéseit számoljuk. Látni fogjuk: végs˝o soron minden mérés távolságmérés, kivételt képez a számlálás, mint például az óra ütéseinek vagy az elbomló atomoknak megszámolása.
2
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Id˝o–tér koordinátarendszer Fontos az a speciális eset, amikor az események egy egyenes mentén történnek. Ekkor a jelenségek ábrázolásához leggyakrabban kétdimenziós (síkbeli) id˝o-hely koordinátarendszert használunk. Ennek a koordinátarendszernek vízszintes tengelye az id˝otengely (t-tengely), a rá mer˝oleges függ˝oleges tengelyen az origótól mért el˝ojelestávolságot mérjük (x-tengely). A koordinátarendszert ebben az esetben t–x síknak vagy id˝o-hely síknak nevezzük.5 Ha tehát egyenesvonalú mozgásokra korlátozódunk, akkor elég egy tengely mentén mérni az el˝ojeles távolságokat. Ezeket (hely)koordinátáknak nevezzük. Mindkét tengely skálázva van: a vízszintes tengelyen megadjuk az id˝omérés kezdetét, azaz a skála nullpontját és egységét (legtöbbször másodpercben). A függ˝oleges tengely esetén hasonlóan járunk el: a távolságmérés kezd˝opontját, a távolság egységét, valamint a tengely irányítását adottnak tekintjük. Úgy képzeljük, hogy a vízszintes tengely pontjaiban id˝opontok, a függ˝oleges tengely pontjaiban el˝ojeles távolságok vannak feltüntetve, a vízszintes tengely pontjai mellé egy óra „kiterített” számlapjának a rovátkáit képzeljük el (periódikusan folytatva), a függ˝oleges tengely pontjai mellé kilométerköveket, vagyis egy nagyméret˝u méterrudat a rávésett rovátkákkal.
A legegyszerubb ˝ jelenség A legegyszer˝ubb jelenség a pontszer˝u, pillantszer˝u esemény. Ilyen például az, amikor a kalapács koppan, a tenyér csattan.Minden ilyen (pontszer˝u, pillanatszer˝u) esemény képe, „grafikonja” a t–x síkon egy pont. ezeket az eseményeket a t–x síkon egy ponttal ábrzoljuk. Az 1. ábrán három ilyen elemi, pontszer˝u, pillanatszer˝u esemény grafikonját látjuk és ezeket az A, B, C bet˝ukkel jelöljük. Könnyen leolvasható az ábráról, hogy az A esemény el˝obb volt a B és a C eseményeknél, B el˝obb történt C-nél, de távolabb az origótól, mint A és C. Az origóhoz legközelebb a C esemény történt.
1. ábra. Egyenes országút mellett történ˝o eseményeket vizsgálunk. Az id˝ot órában, az el˝ojeles távolságot km-ben mérjük. A 0 h id˝opontban a 0 km-nél felrobbantottak egy petárdát. Ábrázoljuk az eseményt a id˝o-tér koordinátarendszerben! A t = 5 h id˝opontban az x = 40 km koordinátájú helyen villám csapott egy fába. Ábrázoljuk ezt az eseményt is! A petárda felrobbantásának id˝okoordinátája 0 h, helykoordinátája 0 km, a pont képe tehát egybeesik a t–x koordinátarendszer origójával. Az 5 órakor a 40-es kilométerk˝onél bekövetkezett villámcsapás képe az id˝o-tér síkon az (5 h, 40 km) pont. 5
A koorinátarendszer itt szerepl˝o fogalmát különböztessük meg a tér valamely pontjához rögzített háromdimenziós koorinátarendszert˝ol. Másrészt, emeljük ki, hogy nem egységes a szóhasználat a fizikakönyvekben. Gyakran találkozunk az „x–t sík” elnevezéssel, mint a termodinamikában a p–V diagram kifejezéssel. A matematikában a koordinátarendszer vízszintes tengelyét nagyon sokszor x-szel, a függ˝oleges tengelyét y-nal jelöljük, ezt a síkot általában x–y síknak nevezzük. A fizikában mi ehhez a szóhasználathoz ragaszkodunk, ezért id˝o-tér koordinátarendszerr˝ol fogunk beszélni, és mell˝ozzük a tér-id˝o koordinátarendszer elnevezést.
3
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
2. ábra. Aláhúzzuk: az, hogy 5 órakor villám csapott a fába, akkor ezt az id˝opontot az origóban elhelyezett óráról olvastuk le. Persze 5 órát jelzett a villámcsapás pillanatában a fa alatt felejtett óra is, ha el˝oz˝oleg összeigazítottuk az origóban kegyeg˝o órával. Folytassuk a probléma elemzését! Fontoljuk meg, hogy ha valamely esemény egy pontban történik, de nem pillantszer˝u, hanem – mondjuk – 2 órán keresztül tart, akkor a grafikonja egy t-tengellyel6 párhuzamos 2 óra „hosszú” szakasz, pontosan fogalmazva: 2 óra id˝otartamú id˝oszak. Ha például a 20-as kilométerk˝onél éjjel 1 óra és 3 óra között valaki a tábort˝uz mellett virraszt, akkor ennek az eseménynek a képe a 2. ábrán látható vízszintes (azaz a t-tengellyel párhuzamos) szakasz. A következ˝o probléma az el˝obbihez hasonló. Most is egy egyenes országút mellett történ˝o eseményeket vizsgálunk. Az id˝ot órában, az el˝ojeles távolságot km-ben mérjük. A t = 5 h id˝opontban az x = 40 km koordinátájú helyen villám csapott egy fába. Ábrázoljuk azokat az úttest mentén bekövetkez˝o eseményeket, amelyek a villámcsapással egyid˝oben történnek! Ábrázoljuk azokat az eseményeket, amelyek a villámcsapással azonos helyen történnek! Jelöljük V-vel a feladatban szerepl˝o villámcsapást. Ez pillantszer˝u, pontszer˝u esemény, képe a t–x síkon az (5 h, 40 km) pont. Az A esemény 5 órakor a 0 km-nél történt, a képe tehát az (5 h, 0 km) pont. A B esemény 5 órakor a 60 km-nél történt, a képe az (5 h, 60 km) pont. Nyilvánvaló, hogy a pálya mentén különböz˝o helyeken 5 órakor bekövetkez˝o pillanataszer˝u, pontszer˝u események halmazának képe a t–x síkon a V ponton átmen˝o, a 3. ábrán látható függ˝oleges egyenes. A szerencsétlenül járt fánál a villám-
3. ábra. csapás el˝ott és után bekövetkez˝o pillanatszer˝u, pontszer˝u események halmazának képe a t–x síkon a V ponton átmen˝o vízszintes egyenes. 6 A t-tengely az id˝opontok halmaza, itt a t álló kisbet˝u. Az id˝opontok halmazát jelölhetnénk például T-vel. Egy esemény id˝opontját d˝olt t-vel – t-vel – jelöljük. Tehát t ∈ T. Egyáltalán nem szokásos, de megengedhet˝o lenne, hogy t-vel jelöljük az id˝opontok halmazát, t-vel egy id˝opontot, akkor t ∈ t .
4
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Egyenes vonalú pályán (autóút mentén) a távolságot a benzinkúttól mérjük. Egy autó pontosan 0 órakor a benzinkúttól indult és egyenletesen mozog, óránként 90 km utat tesz meg. Ábrázoljuk az autó mozgásának grafikonját t–x koordinátarendszerben! Egy id˝o múlva az autó utasa felébred, ekkor az autó vezet˝oje az órájára pillant, az éppen 2 órát mutat. Jelöljük A-val ezt az eseményt és ábrázoljuk az id˝o-hely síkon! Eközben a benzinkútnál a kút kezel˝oje úgy érzi, hogy megéhezett. Amikor éppen egy szendvics után nyúl, a benzinkút falán az óra pontosan 2 órát mutat. Ezt az eseményt jelöljük B-vel és ábrázoljuk ezt is! Mekkora az A és B esemény távolsága? Ha az autós órája és a benzinkút órája ugyanakkor mutatja a 2 órát – vagyis ezek az órák szinkronban, együtt járnak – akkor az A esemény azonos idej˝u a B eseménnyel. Ez azt jelenti, hogy a két esemény – ahogyan ez a 0. ábrán látható – a t–x síkon a B ponton átmen˝o x tengellyel párhuzamos egyenesen van. A két esemény távolsága ezért 180 km. Két esemény távolságáról csak abban az esetben beszélhetünk,
4. ábra. ha azok vagy azonos idej˝uek, mint most, vagy azonos helyen történnek. Az azonos idej˝u események távolságát távolságegységben, az azonos helyen mért események távolságát id˝oegységben mérjük. A benzinkutas tehát megállapíthatja, hogy az autós indulása – mondjuk az O esemény – és a szendvics elfogyasztása között 2 óra a távolság. Ha az autós órája akkor mutatja a 2 órát, amikor a benzínkútnál elhelyezett óra, akkor a szendvics elfogyasztása és az utas ébredése közötti távolság 180 km, hiszen az kútkezel˝o vonatkoztatási renszerében ezek az események azonos idej˝uek. Fontos: nincs értelme a benzinkutas szempontjból a tankolás (O esemény) és az utas ébredése (A esemény) közötti távolságról beszélni. Ennek az az oka, hogy a két tengelyen a szakaszok hosszát különböz˝o mértékegységben mérjük. Vagyis: az OBA derékszög˝u háromszögre nem írhatjuk fel a Pithagorász-tételt.7 Az autóvezet˝o szempontjából van értelme a tankolás és az utas ébredése közötti távolságról beszélni, ezt leolvasta a karórájáról, az o˝ vonatkoztatási rendszerében a két esemény azonos helyen történt!
Pontszeru˝ testek egyenes vonalú mozgása A továbbiakban pontszer˝u testek egyenes mentén történ˝o mozgását vizsgáljuk. A pont mozgását akkor tekintjük ismertnek, ha a mozgás id˝oszaka alatt bármely pillanatban adott a test helyzete az egyenesen, vagyis adott a pályának az a pontja, ahol a test ebben a pillanatban megtalálható. A mozgás leírása tehát azt jelenti, hogy ismert a hely mint az id˝o függvénye: t → x(t). Az 5. ábrán látható a szemléltetés módja: 7
Gondolkodjunk el azon az érdekes kérdésen, hogy miként lehet biztosítani, hogy a két óra tényleg együtt járjon? Ellen˝orizhetné valahogyan a benzinkutas, hogy mit mutat az autós karórája akkor, amikor az o˝ órája 2 órát jelez? Az egyszer˝uség kedvéért tegyük fel, hogy a két óra azonos szerkezet˝u, vagyis, ugyanabban a gyárban készített azonos típusú kvarcszerkezet m˝uködteti mindkett˝ot. Ha például az autós órája – valamiért – lassabban jár, mint a benzinkút órája, akkor a mozgás grafikonján az A pontot a B-n áthaladó egyenest˝ol jobbra, a B-vel azonos idej˝u események „vonala” után következne be.
5
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
a test a t1 és a t2 id˝opontok között mozog, a t1 id˝opontban kezd˝odött a test mozgása, és a t2 id˝opontban fejez˝odött be. A két id˝opont között akármelyik id˝opontban leolvasható a grafikon segítségével, hogy a függ˝oleges tengelyen hol tartózkodik – azaz a pályának melyik pontjában – van ebben a t id˝opontban a vizsgált pont. A vízszintes tengelyen a független változót, az id˝ot tüntetjük fel, rajzban megvastagítottuk
5. ábra. a tengelynek az értelmezési tartománynak megfelel˝o részét. A mozgás értelmezési tartománya összefügg˝o halmaz a vízszintes id˝otengelyen. Így az értelmezési tartomány nyílt vagy zárt intervallum, vagy félegyenes, esetleg az egész id˝otengely (ilyen eset fordul el˝o az égitestek mozgásának leírásakor). Nem foglalkozunk ezért olyan kérdésekkel, hogy például egy járm˝u délután 2 órától 4 óráig egyenes vonalú mozgást végez, azután elt˝unik – két órára megsz˝unik létezni –, majd két órával kés˝obb, 6 órától 10 óráig még tovább mozog. Ilyen fizikai jelenség nem létezik. A függ˝oleges tengely tartalmazza a mozgás pályáját. A mozgás során a test minden pillanatban ezen az egyenesen van, különböz˝o id˝opontokban esetleg ugyanazon a helyen, például akkor, ha a test áll, vagy ha a mozgás során visszatér egy olyan pontba, ahol már korábban volt a mozgás során. A mozgás hely-id˝o függvényét grafikonnal szemléltetjük. Egy pontszer˝u test mozgásával kapcsolatban azt követeljük meg, hogy a mozgást leíró függvény folytonos legyen: ne legyenek szakadásai, ugrásai, ne legyen olyan, mint a 6. ábrán látható függvény. Célszer˝u kikötés ez, a tapasztalataink világában nem találkoztunk olyan esettel, mint amelyet az ábrán láthatunk, azaz, hogy egy test „egyik pillanatról a másikra” nagy távolságra mozduljon el úgy, hogy a közbees˝o pontokat nem érinti. Hasonló probléma
6. ábra. az alábbi. A 7. ábrán azt látjuk, hogy egy test a t1 = 1 s id˝opontban az x1 = 20 m koorinátátájú pontban kezdi a mozgását és a t2 = 2 s id˝opontban az x2 = 30 m koorinátátájú pontban befejezi a mozgást (és ekkor elt˝unik a szemünk el˝ol, vagyis a továbbiakban nem érdekes a viselkedése). Egy másik test a t3 = 3 s id˝opontban az x4 = 40 m koorinátátájú pontban kezd mozogni és a t4 = 5 s id˝opontban az x1 = 10 m koorinátájú pontban fejezi be a mozgást. Ez a két vonal természetesen két test mozgását ábrázolja egy t–x koorinátarendszerben, ezek nem tekinthet˝ok egy test id˝o-hely grafikonjának. 6
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
7. ábra.
Egyenes vonalú egyenletes mozgás A sebesség a grafikon meredeksége Egy pontszer˝u test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, ha a mozgás grafikonja a t–x síkon egy egyenes szakasz. A grafikonra fektetett egyenes egyenlete x = v · t + x0 , itt v a mozgás sebessége, az egyenes meredeksége, és mértékegysége [v] = ms . (A sebesség gyakran oleges tengely az x0 pontban metszi, x0 az egyenes használt mértékegysége8 a km h . Az egyenes a függ˝ tengelymetszete. Világítsuk meg a fogalmakat egy példán keresztül! Egyenes vonalú pályán (autóút mentén) a távolságot a benzinkúttól mérjük. Egy autó pontosan 0 órakor a benzinkúttól indult és egyenletesen mozog, óránként 90 km utat tesz meg. Mikor érkezik meg ebben a tempóban a 225 km távoli célhoz? Tekintsünk egy t id˝opontot a mozgás id˝oszaka alatt, azaz a t-tengely pozitív felén. Jelöljük ebben az id˝opontban a test benzinkúttól mért távolságát x-szel. Mivel az autó egyenletesen mozog, ezért az egymáshoz tartozó (t, x) párok a t–x síkon egy egyenesen helyezkednek el, azaz a mozgás grafikonja egy egyenes szakasz (vagy félegyenes). Továbbá, mert az autó 0 órakor a 0 km koorinátájú helyen volt, az indulástól eltelt id˝o és a benzinkúttól mért távolság egyenesen arányos mennyiségek. Ezért van olyan v-vel jelölt állandó, hogy ha az autó t ideig mozog, akkor a benzinkúttól mért távolsága x = v · t. Mint láttuk, v mennyiség a mozgás sebessége. A sebesség mértékegysége [v] = fényév év ,
ugyanígy a
c = 3 · 108
méter fényméter
m s
vagy
km h ,
számolhatunk
km s -mal,
használható a
mérföld nap
és gyakori a
is. A fény sebessége
m fényév méter =1 =1 , s év fényméter
hiszen a fény 1 év alatt 1 fényévnyi távolságot és 1 fémyméter alatt 1 métert tesz meg. A 8. ábráról látható, hogy a sebesség egyenl˝o a függ˝oleges szakasz x hosszának (vagyis az elmozdulásnak) és a vízszintes id˝oszakasz t hosszának (vagyis az eltelt id˝otartamnak) hányadosával, azaz az α szög 8
Gondoljuk el, hogy egy járm˝u – mondjuk a vontató – 36 km/h sebességgel halad. Ez nem t˝unik nagy sebességnek. Egyetlen rend˝or sem jelentene fel gyorshajtás miatt. De most képzeljük el, hogy a vontató mellett kell futnunk 10 m/s-os sebességgel. Ez meger˝oltet˝o munka lenne, legtöbben nem is vagyunk képesek ilyen sebességgel futni. Ám, ha feladatmegoldás közben felidézzük ezt a képet, akkor nem kell fejben számolni vagy képletek után kutatni, hiszen mindenki könnyen megjegyezheti, hogy a 10m/s-es gyors sprint megfelel egy lassú járm˝u óránként 36 km-es sebességének.
7
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
8. ábra. tangensével. Azt mondhatjuk tehát, hogy a sebesség grafikus jelentése: a mozgás id˝o-hely grafikonjának meredeksége9 , azaz tg α =
x = v. t
A kit˝uzött feladat megoldására rátérve megállapíthatjuk, hogy a cél állandóan 250 km-re van: minden t esetén x = 250 km, az autó koordinátája pedig x = 90 · t. A megoldás matematikailag az egyszer˝u x = 225 x = 90 · t egyenletrendszer megoldására vezet. Ebb˝ol pedig azt kapjuk, hogy az autó 2,5 óran át mozog, vagyis t = 2, 5 órakor ér célba. Vegyük észre, hogy ennek a nagyon egyszer˝u feladatnak a jelent˝oségét az adja, hogy segítségével megvilágítottuk a sebesség fogalmát. Ez azonban azért sikerülhetett, mert azt, hogy mi a sebesség, már „tudtuk”, s˝ot fel is használtuk. Itt inkább a fogalmi tisztázásról volt szó. Megjegyzés: A sebesség egyik legfontosabb fogalmi jegye a viszonylagosság. A sebesség relatív menyu, nyiség, ezért annak a kijelentésnek, hogy egy test sebessége 90 km h , csak akkor van értelme, ha egyértelm˝ az út mellett épült házakhogy mihez viszonyítjük a test mozgását. Példánkban az autó sebessége 90 km h hoz viszonyítva. Képzeljük el azonban, hogy egy teherautó 45 km h sebességgel szembejön az úton. A teherautó vezet˝oje megállapítja, hogy a személyautó 135 km/h sebességgel közeledik és halad el mellette. Azt is észleli azonban, hogy az út mellett épült házak, a házak el˝ott a fák 45 km h sebességgel szembe közelednek és hátrafelé haladnak el mellette. A személyautó tehát 135 km/h sebességgel „száguld”, de nem ett˝ol nem érkezik korábban céljához, mert a cél – az útmenti jelz˝otáblákkal együtt – 45 km h sebességgel mozog hátrafelé és t id˝o elteltével x = 225 + 45 · t km távol lesz, a személyautó pedig ekkor az x = 135 · t km koordinátájú helyen mozog (9. ábra.). A probléma megoldását nyújtó egyenletrendszer így módosul: x = 45 · t + 225 . x = 135 · t A megoldás természetesen t = 2, 5 h, ez könnyen ellen˝orizhet˝o. A feladat általánosításaként meg kell engedni, hogy egyenes vonalú egyenletes mozgást végz˝o tömegpont id˝o-hely függvénye x = v · t + x0 9
(1)
Ez azzal a kiegészítéssel értelmes, hogy nem szabad megfeledkeznünk a két tengely különböz˝o mértékegységér˝ol.
8
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
9. ábra. alakú. Itt v a mozgás sebessége. Ha a sebesség pozitív (v > 0), akkor a grafikon balról jobbra emelkedik. a sebesség negatív (v < 0), akkor a grafikon balról jobbra süllyed. Ha a sebesség nulla (v = 0), vagyis a test áll, akkor a grafikon a t-tengellyel párhuzamos. Egyenes vonalú pályán (autóút mentén) a távolságot a benzinkúttól mérjük. Egy személyautó pontosan 0 órakor a benzinkúttól indult és egyenletesen mozog, a sebessége v1 = 108 km/h. A t = 0 órakor az x0 = 16 km helyen v2 = 36 km/s sebességgel – az autóval azonos irányban – mozog egy vontató. Ábrázoljuk a két járm˝u id˝o-hely grafikonját! Mikor és hol éri utol az autó a vontatót? Mindkét járm˝u egyenletesen mozog. Az autó benzinkúttól mért távolsága a t id˝opontban: x = v1 · t = 108 · t. A vontató az óra indításakor a 16-os kilométerk˝ot˝ol indult és t id˝o alatt v2 · t = 36 · t távolságot mozdult el. Ezért ez a lassú járm˝u a t id˝opontban a benzinkúttól x = 36 · t + 16 távol van. A 10. ábrán látható a két mozgás grafikonja. A két test a t id˝opontban a két járm˝u helykoordinátája: x = 108 · t, x = 36 · t + 16 Abban a t id˝opontban, amikor a járm˝u találkozik: 108 · t = 36 · t + 16, innen azt kapjuk, hogy t = 0, 2˙ h azaz 13, 3˙ perc (800 s) múlva10 éri utol az autó a vontatót, és ekkor az x = 24 km koordinátájú helyen mozognak.
10. ábra.
10
Idézzük fel azt az elemi számtanból ismert megállapodást, miszerint egy végtelen szakaszos tizedes törtet úgy írunk le, hogy az els˝o periódus els˝o és utolsó számjegye f˝olé pontot teszünk. Ha pedig a pediódus egy számjegy˝u, akkor ennek az ismétl˝od˝o számjegysorozatnak az el˝oször el˝oforduló számjegyére tesszük a pontot. Ezzel jelöljük az ismétl˝odést. például: 75 ˙ = 5, 76923 0˙ = 5, 692369236923 . . . , 53 = 1, 6˙ = 1, 666 . . . . 13
9
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Egyenes vonalú pályán 36 km/h sebességgel mozog egy vontató. Egy 108 km/h sebesség˝u autó követi, amely el˝ozni készül. Ezt a szándékát kürtszóval jelzi, ezért 5 másodpercig m˝uködteti az autókürtöt. Tegyük fel, hogy mindaddig nyomja a kürtöt, amíg pontosan a vontató mellé nem ér. Mennyi ideig hallja a kürt hangját a vontató vezet˝oje? (Számoljunk a hangsebesség 330 m/s értékével!) Jelöljük v1 -gyel az autó sebességét, v2 -vel a vontató sebességét, vagyis v1 = 30 m/s, v2 = 10 m/s. Tegyük fel, hogy az autó az 0 km kooridnátájú helyen kezdett tülkölni, és ekkor a vonatató az x0 helyen van. A 11. ábrán látható az autó és a vontató id˝o-hely grafikonja. Az autó által kibocsájtott hangjel els˝o rezdülése a 0 id˝opotban keletkezik és minden irányba (így a vontató felé is) mozog. A hangjel utolsó rezdülése akkor hagyja el az autót, amikor éppen a vontatóval azonos helyen mozog. A hang rezgésekb˝ol áll, minden rezgés azonos c = 330 m/s sebességgel halad. A hangjel grafikonja tehát az ábrán látható (trapéz formájú) sáv. Jelöljük t1 -gyel azt az id˝opontot, amikor a hang eleje utoléri a vontatót, vagyis
11. ábra. amikor a vontató vezet˝oje a hangot éppen hallani kezdi. Jelöljük t2 -vel azt az id˝opontot, amikor az autó utoléri a vontatót. (Világos, hogy az autót t2 id˝opontig, vagyis t2 =: Δt ideig nyomja a dudát,11 a vontató vezet˝oje pedig t2 − t1 =: Δt∗ ideig hallja a hangot, hiszen a t1 id˝opontban észleli a hangot és a t2 id˝opontig hallja. Az autó mozgásának egyenlete12 x = v1 t, a vontatóé x = v2 t + x0 . Képzeljünk úgy a hangrezdésekre, mint egymásutáni golyócskék haladására. Ekkor az els˝o rezdülés terjedésének egyenlete x = ct. Így tehát: ⎫ x = v1 t ⎬ x = v 2 t + x0 . ⎭ x = ct A t1 id˝opontban ct1 = v2 t1 + x0 , vagyis a hang elejének grafikonja metszi a vontató grafikonját. A t2 id˝opontban v1 t2 = v2 t2 + x0 , ekkor ugyanis a két járm˝u grafokonja metszi egymást. Ez az észrevétel két egyenletben „ölt testet”: ct1 = v2 t1 + x0 . v 1 t 2 = v 2 t2 + x 0 Vonjuk ki a második egyenletb˝ol az els˝ot, azt kapjuk, hogy v1 t2 − ct1 = v2 t2 − v2 t1 . Vagyis jelöljük a dudaszó id˝otartamát – az id˝oszakának hosszát – Δt-vel! A matematikából ismert megállapodás az, hogy a defináliáló egyenl˝oség jele := vagy =: . A kett˝ospont oldalán szerepl˝o szimbólum az újonnan értelmezett fogalom (mennyiség) jele, például a p := h2 − 4dq mennyiség az dx2 + hx + q = 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsának a definíciója. (Azon most ne botránkozzunk, hogy a másodfokú egyenlet paramétereit nem a, b, c-vel jelöltük. Ezt semmilyen szabály nem teszi kötelez˝ové. Hiszen ha valaki azt állítja, hogy a Pitagorász-tétel (szerinte) a2 = b2 + c2 , akkor ez bizony lehet helyes, ha a derékszög˝u háromszög két befogója b és c, az átfogója pedig a.) 12 A mozgás grafikonja az id˝o-hely kétdimenziós síknak az a {(t, x)|x = v1 t} részhalmaza, azoknak a (t, x) pontoknak az összessége, amelyre érvényes az x = v1 t egyenlet. 11
10
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy egyik oldalra a t1 -et, a másik oldalra a t2 -t tartalmazó tagok kerüljenek, majd emeljük ki a közös tényez˝oket! Ezután fejezzük ki t1 -et! A lépések így ölthet˝ok formába: v1 t2 − v2 t2 = ct1 − v2 t1 , (v1 − v2 )t2 = (c − v2 )t1 , v1 − v2 . t1 = t2 c − v2 A vontató vezet˝oje a t1 és t2 id˝opontok közötti id˝oszakban hallja a hangot, ennek hossza pedig v1 − v2 c − v2 − v1 + v2 c − v1 v 1 − v2 t 2 − t1 = t 2 − t 2 = t2 1 − = t2 . = t2 c − v2 c − v2 c − v2 c − v2 Vegyük figyelembe, hogy t2 =: Δt és t2 − t1 =: Δt∗ , és osszuk el a tört számlálóját és nevez˝ojét c-vel, ekkor v1 1− c − v1 c. = Δt Δt = Δt c − v2 v2 1− c A mi esetünkben: ∗
30 330 = 5 300 = 4, 7 s Δt∗ = 5 320 10 1− 330 1−
vagyis a vontató vezet˝oje rövidebb ideig hallja a kürtszót, mint a kürtöt m˝uködtet˝o autó vezet˝oje.13 Vizsgáljunk meg néhány speciális esetet! a. Mi történik akkor, ha a vontató áll? Ekkor v2 = 0, tehát v1 c = Δt1 − v1 = 4, 54 s. Δt = Δt c 0 1− c b) Ha a vontató szembe mozog az autóval, akkor v2 = −10, és ebben az esetben ∗
1−
30 330 = 4, 41 s. Δt∗ = Δt − 10 1− 330 c) Tegyük fel most a vontató mozog, az autó azonban áll, miközben m˝uködteti a kürtöt, mint egy sziréna az út mentén. Ekkor 1−
0 1 330 = Δt = 5, 15 s. Δt∗ = Δt 10 10 1− 1− 330 330 1−
13
Tanári javaslat: többször, lépésr˝ol lépésre gondoljuk végig a feladatot és a megoldását, memorizáljuk is a lépéseket. T˝uzzük ki célul, hogy szóról-szóra elsajátítjuk a gondolatmenetet. Képzeljük el, hogy el kell magyarázni osztálytársunknak, barátainknak vagy tanárok vagyunk és meg kell tanítani a diákoknak. Másik tanács: oldjuk meg a feladatot úgy, hogy kezdett˝ol fogva a feladat adataival dolgozunk.
11
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Fontoljuk meg, hogy az autókürt által kibocsájtott hangrezgés a vontató vezet˝ojének fülébe jut. Ez azt jelenti, hogy az például els˝o esetben s˝ur˝ubben hallja a rezgést, magasabb hangot hall, mintha állna mellette a dudáló autó. Az utolsóként említett esetben hosszabb ideig észleli a hangot, ritkábbnak érzi a rezgést. Ha az autó kürtje f frekvenciájú (rezgésszámú) rezgést bocsájt ki, és a vontató vezet˝oje f ∗ frekvenciát észlel, akkor f Δt = f ∗ Δt∗ . Ezért v1 11− c 1 , = f∗ f v2 1− c
v2 c. f∗ = f v1 1− c 1−
ezért
Ha például – az eredeti kérdésnél maradva – az autó f = 5000 Hz-es rezgésszám˝u hangot bocsát ki, ekkor a vontató vezet˝oje 10 330 = 5333 Hz f ∗ = 5000 30 1− 330 1−
rezgésszámú hangot hall.
Átlagsebesség Tegyük fel, hogy egy autó egyenes vonalú pályán halad, 200 km utat megtesz, eközben eltelik 3 óra, majd lassabban megy, és a következ˝o 120 km-es utat 2 óra alatt teszi meg (12. ábra).
12. ábra. Ekkor a mozgás hely-id˝o függvénye, mint a 13. ábrán látható, egy törött vonal. A mozgás mindkét szakasza egyenletes mozgás. Ebben az esetben az átlagsebesség meghatározásához a kezd˝o-és a végponton át meghúzzuk a grafikon szel˝ojét. Nyilvánvaló, hogy az α szöggel szemközti oldal s1 + s2 , a szög melletti oldal t1 + t2 . Így az átlagsebesség: v¯ =
320 s1 + s2 = = 64 km/h. t 1 + t2 5
Ennek a törtnek a számlálójában távolságok összege, a nevez˝ojében id˝otartamok összege jelenik meg, ezzel szemben az átlagsebességet értelmez˝o korábbi képlet számlálójában az origótól mért el˝ojeles távolságok különbsége, a nevez˝ojében két id˝opont különbsége szerepel. Természetesen ez a két tény nem mond ellent egymásnak. Képzeljük most el, hogy egy autó 3 órán keresztül 80 km/h sebességgel halad egyenletesen, majd további két órán keresztül 60 km/h a sebessége (14. ábra). Ekkor az átlagsebesség: 12
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
13. ábra.
14. ábra. v¯ =
s1 + s2 v 1 t1 + v 2 t2 = = 72 km/h. t 1 + t2 t 1 + t2
Figyeljünk fel arra, hogy a test sebessége a t1 id˝otartam alatt v1 , a t2 id˝otartam alatt v2 , ekkor a megtett út v1 t1 + v2 t2 . A 15. ábrán látható, hogy ez a kéttagú összeg a két téglalap területének az összege.
15. ábra. Másként: a sebesség-id˝o függvény grafikonja alatti terület.(Ezt az elvet messzemen˝oen általánosítani fogjuk.) Térjünk most vissza az átlagsebesség meghatározásához. Lehetséges, hogy a két útszakaszhoz nem az id˝otartamokat, hanem a sebességeket ismerjük: gondoljuk el, hogy egy járm˝u 400 km-es útszakaszon 80 km/h, majd 300 km-es útszakaszon 100 km/h sebességgel haladt (16. ábra). Ekkor az átlagsebesség: 13
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
16. ábra. v¯ =
s1 + s2 s1 + s2 = s1 s2 = 87, 5 km/h. t 1 + t2 v1 + v2
Az átlagsebesség nulla, ha a hely-id˝o függvény grafikonjának két pontját összeköt˝o szel˝o meredeksége nulla. Így például képzeljük el, hogy egy 200 km hosszú úton egyenletesen mozog és ezt a távolságot 3 óra alatt teszi meg. Azonnal visszafordul, de az út megtételéhez már 5 órára van szükség. Például azért, mert el˝oször lefele halad a lejt˝on, majd visszafelé ugyanezen az úton felfelé. Ekkor az átlagsebessége nulla: hiszen x(8) − x(0) = 0. Ugyanakkor számolhatjuk a sebesség nagyságának az átlagát. Ez 200 + 200 = 50 km/h. 3+5
Egyes vonalú, egyenletesen változó mozgás Egy egyenes vonalú pályán mozgó pontszer˝u testr˝ol azt mondjuk, hogy egyenletesen változó mozgást, végez, ha az id˝o-sebesség grafikonja egyenes vagy félegyenes vagy egyenes szakasz (17. ábra). Ez azt jelenti, hogy a sebesség az id˝onek els˝ofokú függvénye14 : v = a · t + v0 ,
(2)
Itt v0 az egyenes tengelymetszete. Ha a 0 s id˝opont hozzátartozik a mozgás id˝oszakához, akkor v0 a 0 id˝oponthoz tartozó sebesség. Ha pedig a mozgás a 0 id˝opontban kezd˝odik, akkor v0 a kezd˝osebessége. Egyébként v0 -at akkor is kezd˝osebességnek nevezik, ha a mozgás nem a 0 id˝opontban kezd˝odik. Nyilvánvaló, hogy ha (2)-b˝ol kifejezzük a-t, akkor a=
v − v0 , t
Ezt a hányadost az egyenletesen változó mozgás gyorsulásának nevezzük. Grafikus jelentése az id˝osebesség függvény grafikonjának, mértékegysége [a] = sm2 . Tegyük fel, hogy egy pontszer˝u test kezd˝osebesség nélkül a 0 s id˝opontban a = 10 m/s2 gyorsulással mozog. Ekkor t id˝opontban a test v(t) = at sebességgel mozog. Ha t = 2, 5 s, akkor v(2, 5) = 10 · 2, 5 = 25 m/s sebességre gyorsult fel. A test elmozdulása az id˝o-sebesség függvény grafikonja alatti terület. Ez az alakzat egy háromszög, amelynek vízszintes oldala t, függ˝oleges oldala v = at, a háromszög területe x=
at · t a vt = = t2 2 2 2
a test elmozdulása, a test által megtett út. A test t = 2, 5 s alatt s(2, 5) = 52 2, 52 ≈ 78, 1 m utat tett meg. 14
vagy egy ilyen függvény lesz˝ukítése az id˝o valamely intervallumára.
14
www.baranyi.hu
2010. szeptember 6.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
17. ábra. Nagyon fontos észrevétel, hogy ha a föld felszíne fölött magára hagyunk egy testet, akkor ez szabadon esik, mozgása egyes vonalú, egyenletesen változó mozgás. A szabad esés gyorsulását g-vel jelöljük, a tapasztalat szerint g = 10 m/s2 . Ez példul azt jelenti, hogy ha egy testet egy repül˝ogépb˝ol kiejtünk, akkor 2,5 másodpercnyi esés alatt 78,1 métert esik és az esés végén 25 m/s sebességgel mozog.
15
