Molekuláris dinamika
10. előadás
Miről is szól a MD?
?
nagy részecskeszámú é k á ú rendszerek d k ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk
Hogyan gy tudjuk j megérteni g a folyadékok, , gázok folyadékok gázok, , szilárdtestek szilárdtestek makroszkópikus viselkedését viselkedését??
MOLEKULÁRIS DINAMIKA
a részecskék mozgásegyenleteit integráljuk numerikusan ha a rendszer egyensúlyban van, a hőmérséklet, nyomás és más makroszkopikus mennyiség meghatározható az időbeli átlagokból ALAPOK: A. Rahman, Phys. Rev. 136, A405 (1964); L. Verlet, Phys. Rev. 159, 98 (1967) h h ( ) l h ( )
!!!
végy N pontszerű részecskét; használj klasszikus mechanikát; a pontoknak adj tömeget, pozíciót és a pontoknak adj tömeget, pozíciót és sebességet; a pontok kölcsönhatását modellezd potenciálokkal, ezekből számolj erőket; a rendszer időbeli fejlődését megkapod a Newton egyenletek integrálásával.
Történeti áttekintés XX. század: atomok atomok felfedezése
1960‐1970: végeselem végeselem módszer 1990: végeselem végeselem módszerek és molekuláris dinamikai módszerek egyesítése
1964: Rahman, y y argon g szimulációja j folyékony valószerű potenciálokkal ato omi szintt
1930: törések törések, , diszlokációk diszlokációk elméletének kifejlesztése
konttinuum
1500‐1600: L. da 1500 1600 L d Vinci, Vi i Galileo Galilei 1700‐1800: Euler, Bernoulli merev testek testek, , rudak rudak (parciális differenciálegyenletek, kontinuum elméletek) Kontinuum mechanikai elmélet
1950‐es évek vége: Alder és Wainwright, molekuláris dinamika dinamika, egyszerű folyadékok viselkedése
1960‐1980: Kohn‐Sham, numerikus numerikus ,p módszerek, pl. DFT módszerek 1974: Stillinger és Rahman, valós rendszer (folyékony folyékony víz) víz első MD szimulációja j 1980: Yip 1990: Abraham és társai első repedés repedés‐‐ és törésszimuláció
biofizikai rendszerek, törések, deformációk MD szimulációja rutin feladat g a szimulációs technikák száma robbanásszerűen megnőtt: sajátos problémák sajátos módszerekkel, vegyes kvantummechanikai/klasszikus mechanikai szimulációk enzimreakciók és törések szimulációjára
Példák MD szimulációkra
Az intermolekuláris potenciál az argon szimulációja: klasszikus dinamika gömb alakú atomok kémiai kölcsönhatás nincs a belső struktúrától eltekintünk párkölcsönhatás: magok taszítása + van der Waals vonzás k íá d W l á
Lennard--Jones potenciál Lennard
Lennard--Jones erő Lennard
Mennyiségek általában úgy választjuk, hogy ne kelljen túl nagy/kicsi számokkal dolgozni egységnek választjuk: σ = 1; ε = 1; m = 1. át l kítá átalakítás: átalakítás
pl. 2000 időlépés, ∆t l 2000 időlé é ∆ = 0.01 0 01
11s t = 20 = 4.34x10 20 4 34 10‐11
tipikus szimulálási idők: 10 10‐11 – 10‐9 s .... 10‐6s
Inicializálás használt változók: a kezdeti aa kezdeti e de konfiguráció o gu ác ó közel ö e kell e legyen egye aaz egye egyensúlyi sú y konfigurációhoz!!! konfigurációhoz o gu ác ó o !!! sűrű rendszer: kezdeti helyzetek lapcentrált köbös rács rácspontjaiban az adott hőmérsékletnek megefelelő véletlenszerű sebességek első l ő verzióban iób egyszerű ű köbös köbö rácsra á i i i li álj k az atomokat: inicializáljuk k
EZT A RENDSZERT KELL INTEGRÁLNI!!! az i. atom mozgásegyenlete:
erők sszámítása
Newtoni mozgásegyenletek
Verlet integrálási algoritmusok sebesség Verlet algoritmus:
a feladattól függően más integrálási algoritmusok is alkalmazhatók (lásd 3. és 8. előadás) előadás)
Egyszerű makroszkopikus mennyiségek mérése általános szabály:
potenciális energia mozgási energia teljes energia
HŐMÉRSÉKLET: Boltzmann ekvipartíciós tétele alapján a pillanatnyi hőmérséklet
A szimuláció
HIÁNYOSSÁGOK: a térfogat nem állandó a térfogat
határfeltételek alkalmazása
a kezdeti pozíciókat és sebességeket jobban meg kell választani LCK rács használata + Maxwell‐Boltzmann eloszlás a sebességekre a rends ert kell hagyni, hogy a rendszert hagyni hogy termális egyensúlyba kerüljön az a adott hőmérsékleten makroszkopikus mennyiségek átlagának mérése
Javított verzió kezdeti pozíciók LCK inicializálása sebességek inicializálása Maxwell‐Boltzmann statisztika alapján periodikus határfeltételek alkalmazása p minimum kép elve paraméterek é k
inicializálás
Kezdeti pozíciók lapcentrált köbös rácsra helyezzük az atomokat
(0,0,0), (0.5,0.5,0), (0.5,0,0.5), (0,0.5,0.5)
Kezdeti sebességek Maxwell--Boltzmann eloszlás Maxwell
Box-Müller algoritmus
Mozgásegyenletek integrálása periodikus periodik s határfeltételek
minimális kép konvenció
HA |xij|>L/2: HA xij<0: xij=xij+L KÜLÖNBEN: xij=xij-L ...
Mozgásegyenletek integrálása
Sebesség Verlet algoritmus
A szimuláció
A nyomás meghatározása tekintünk egy képzeletbeli egységnyi felületet a rendszerben: a nyomás a felületre ható normális irányú erő nagyságához köthető a felületen f l l egységnyi é idő dő alatt l “áthaladó” impulzushoz “á h l dó” l h köthető k h ő
viriál egyenlet alapján: alapján:
a részecskék a részecskék mozgásából származó jjárulék az ideális gáztól jól ismert összefüggés
a felület különböző oldalán lévő a felület részecskék között ható erők járuléka
MD kód optimalizálása a legidőigényesebb rész az erők (gyorsulások) kiszámítása (gyorsulások) kiszámítása a legidőigényesebb L. Verlet, Phys. Rev. 159, 98 (1967) két optimalizálást javasolt: 1. a a potenciál potenciál “farkának farkának” ” levágása levágása rvág = = 2 2.5 ‐nél 2. szomszédlisták szomszédlisták tárolása: tárolása: legyen rmax > rvág (pl. rmax = 3.2) rögzítünk minden (ij) párt, melyre rij
Másik lehetőség: csatolt cellák módszere
