MODUL PRAKTIKUM METODE NUMERIK. DOSEN PENGAMPU : FERRY WAHYU WIBOWO, S.Si., M.Cs

MODUL PRAKTIKUM

METODE NUMERIK

DOSEN PENGAMPU : FERRY WAHYU WIBOWO, S.Si., M.Cs.

JURUSAN S1 TEKNIK INFORMATIKA STMIK AMIKOM YOGYAKARTA YOGYAKARTA 2011 1

S1 Teknik Informatika

Praktikum Metode Numerik

Format Laporan Praktikum Metode Numerik 1. Laporan praktikum ditulis tangan, tidak diperkenankan dicetak printer. Sistematika laporan praktikum mengikuti alur seperti berikut :

LAPORAN PRAKTIKUM SAMPUL MUKA WARNA UNGU ................................................... i BAB I PENDAHULUAN …………………………………………..... 1 ( Latar Belakang, Tujuan dan Manfaat) BAB II TEORI SINGKAT …………………........................................ BAB III METODOLOGI PENELITIAN ……...................................... BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN.......................................... BAB V KESIMPULAN ........................................................................ DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………..... LAMPIRAN HASIL PRAKTIKUM YANG DITANDATANGANI .... 2. Sampul laporan praktikum berwarna ungu dan dicetak printer. Logo Amikom berukuran 5,5x5,5 cm. 3. Laporan praktikum menggunakan ukuran kertas A4. 4. Lampiran hasil praktikum merupakan hasil praktikum asli yang telah ditandatangani praktikan dan asisten praktikum, jika tidak sesuai dengan yang ditentukan maka laporan tidak akan dinilai. 5. Penjelasan dari bab-bab tersebut sebagai berikut :

PENDAHULUAN Pendahuluan menyediakan sebuah penilaian (assesment) kritis pada rujukanrujukan terkait dengan permasalahan yang sedang dilakukan dan memberikan inspirasi bagaimana permasalahan tersebut diselesaikan. Tempatkan tujuan dan manfaat penelitian secara jelas untuk menerangkan praktikum yang dilakukan. TEORI SINGKAT Teori singkat meliputi bahan dan penelitian dari eksperimental yang dilakukan bisa merujuk ke buku, jurnal, dan paper lainnya. Pada bagian ini perlu dijelaskan informasi dari orang yang melakukan, dengan penulisan nama orang disertai tahun buku / jurnal rujukan dari daftar pustaka. Metode yang sudah dipublikasikan oleh peneliti lain seharusnya cukup ditunjukkan dengan referensi, sedangkan yang perlu dijabarkan secara lengkap hanya modifikasi terkait. METODOLOGI PENELITIAN Penulisan metode / demo program dituliskan semua alat (hardware) / program (software) yang digunakan, langkah-langkah untuk memulai sampai mendapatkan hasil. Bab ini bisa menggunakan penjelasan gambar. ANALISA dan PEMBAHASAN Teks rumus dan persamaan seharusnya ditulis dalam satuan internasional (SI), kalaupun ada yang ditulis dalam satuan lokal misalnya British Standard atau American Standard hendaknya dituliskan juga faktor konversinya. Pembahasan seharusnya jelas (clear) dan ringkas (concise). Pembahasan seharusnya mengembangkan penjelasan yang meyakinkan (cogent explanations) dan mengeksplorasi signifikansinya. Dalam kasus studi komputasional, jika i



mungkin hasil seharusnya dibandingkan dengan informasi yang dapat digunakan dari kerja eksperimental yang sudah dipublikasikan atau yang sudah diterbitkan. Rumus matematika ditulis dan dipilih rumus matematika yang sederhana. Teks yang memiliki banyak rumus matematika, masing-masing rumus perlu diberi penomoran di sebelah kanannya. X c  X a  X b  / 2 h  f xdx  2  f 0  2 f1  f 2  f 3  f 4  f 5   f 6 

(1) (2)

Penulisan tabel dan gambar Tabel 1. Penulisan dalam Tabel No

Variabel

Data (satuan)

Data (satuan)

1

Komputer

1 buah

2,0 GHZ

2

Motherboard

1 buah

31 kbps

3

Monitor

1 buah

50 Hz

Gambar 1. Kotak dalam Makalah (Sumber gambar, jika mengambil dari karya orang lain) KESIMPULAN Kesimpulan utama dihadirkan secara ringkas. DAFTAR PUSTAKA Daftar pustaka yang dirujuk semua dituliskan dalam daftar pustaka. Hindari rujukan dari wikipedia dan blog yang tak jelas pertanggungjawaban ilmiahnya!!! Contoh Penulisan Daftar Pustaka : G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, “On certain integrals of LipschitzHankel type involving products of Bessel functions,” Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529–551, April 1955. J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68–73. I. S. Jacobs and C. P. Bean, “Fine particles, thin films and exchange anisotropy,” in Magnetism, vol. III, G. T. Rado and H. Suhl, Eds. New York: Academic, 1963, pp. 271–350. K. Elissa, “Title of paper if known,” unpublished. ii



R. Nicole, “Title of paper with only first word capitalized,” J. Name Stand. Abbrev., in press. Y. Yorozu, M. Hirano, K. Oka, and Y. Tagawa, “Electron spectroscopy studies on magneto-optical media and plastic substrate interface,” IEEE Transl. J. Magn. Japan, vol. 2, pp. 740–741, August 1987 [Digests 9th Annual Conf. Magnetics Japan, p. 301, 1982]. Sampul kulit menggunakan format : LAPORAN PRAKTIKUM METODE NUMERIK

(TULISKAN JUDUL PRAKTIKUM )

Nama NIM / Kelas Nama Asisten

Disusun oleh : : (Nama Praktikan) : (NIM / Kelas Praktikan) : 1. Asisten Praktikum 1 2. Asisten Praktikum 2 3. Asisten Praktikum 3

JURUSAN S1 TEKNIK INFORMATIKA STMIK AMIKOM YOGYAKARTA YOGYAKARTA 2011

iii

MODUL I PENGENALAN SCILAB

1.

Struktur SciLab Program Scilab sudah memiliki text editor didalamnya. Perintah/kode progam Scilab dapat dituliskan di dalam jendela Scilab Execution (Scilex) ataupun di jendela SciNotes (text editor Scilab). Namun untuk praktikum Metode Numerik ini, program dituliskan pada SciNotes. 2.

Ekstensi File File program Scilab memiliki ekstensi *.sce. File ini masih dalam bentuk text format. Untuk mengeksekusi file *.sce, pertama kali file tersebut dibuka di dalam Scilab. Kemudian dieksekusi (ctrl + l). 3. Perintah SciLab 3.1. Vektor Cara untuk membuat vektor dalam Scilab sebagaimana berikut : (vektor disebut juga dengan array satu dimensi) x=[0;2;5] 3.2. Matriks Cara untuk membuat matriks dalam Scilab sebagaimana berikut : (matriks disebut juga array dua dimensi)  4  3 6 5 1 A=  0  2 7 8 Perintah pada SciLab sebagaimana berikut : A=[4 -3 6;0,5,1;-2 7 8] 3.3. Vektor Otomatis Cara menciptakan vector secara otomatis dari 1 hingga 9 dengan faktor kenaikan sebesar 0.1. B = 1:0.1:9 3.4. Menjalankan Function pada Vektor Vektor dapat diberlakukan suatu function secara bersamaan dengan perintah : C = sin(B) 3.5. Membuat Plot dari Vektor Dua vektor B dan C dapat dibuat plot B versus C dengan perintah : plot2d(B,C) 3.6. Matriks Bilangan Random Cara membuat matriks m x n yang berisi bilangan random sebagaimana berikut : rand(n,m) 3.7. Loops dan Condition Looping dan condition di dalam Scilab sebagaimana berikut :

1



ans = 0; n = 1; term = 1; while( ans + term ~= ans ) ans = ans + term; term = term*x/n; n = n + 1; end ans kemudian dijalankan perintah sebagaimana berikut : x = 1.0 exec('(lokasi folder penyimpan)\ex.sci') Selain itu : for j=-4:2:6 disp(j**2) end Hasilnya adalah : 16, 4, 0, 4, 16, 36 3.8. Pernyataan IF Pernyataan IF di dalam Scilab sebagaimana berikut : if then else if then else end 3.9. Function Contoh function pada Scilab : function y = ex(x) // EX fungsi sederhana untuk menghitung exp(x) y = 0; n = 1; term = 1; while( y + term ~= y ) y = y + term; term = term*x/n; n = n + 1; end endfunction cara menjalankan : exec(‘(lokasi folder penyimpan)\ex.sci’) ex(1.0) 3.10. Grafik dua dimensi Program plot sederhana : // inisialisasi sumbu x x=[0:0.1:2*%pi]'; //plot sederhana y1=sin(x); y2=cos(x); plot2d([x x],[y1 y2], [-4, -8]) 2



xtitle("gambar gabungan sin_x dan cos_x","sumbu x","sumbu y") Program subplot : // Program visualisasi dengan subplot x=[0:0.1:2*%pi]'; //persamaannya: y1=sin(x); y2=cos(x); subplot(1,2,1) plot2d(x,y1) xtitle('gambar 1','x','y1') subplot(1,2,2) plot2d(x,y2) xtitle('gambar 2','x','y2') 3.11. Grafik tiga dimensi Program menggunakan meshgrid : x=-1:0.05:1; y=x; [xx,yy]=meshgrid(x,y); zz=(yy.^2)-(xx.^2); mesh(xx,yy,zz) Program menggunakan surf : x=-1:0.05:1; y=x; [xx,yy]=meshgrid(x,y); zz=(yy.^2)-(xx.^2); surf(xx,yy,zz) Program plot3d1 dan contour : clf x=linspace(0,2*%pi,50); y=x; z=cos(x')*cos(y); subplot(2,1,1) plot3d1(x,y,z) subplot(2,1,2) contour(x,y,z,10) xtitle ('dengan contour','x','y') Tugas 1. Amati fitur-fitur yang ada dalam scilab. 2. Analisa setiap program scilab yang dikerjakan.

3

MODUL II PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK Akar-akar persamaan karakteristik adalah penyelesaian dari suatu persamaan polinomial. Polinomial tersebut berorde (berpangkat) 2 atau lebih, biasa disebut dengan persamaan Non Linear. Untuk persamaan orde 2 atau tiga masih mudah untuk menyelesaikan. Namun untuk persamaan berorde tinggi diperlukan metode numerik untuk mempermudah pencarian akar persamaan tersebut. Beberapa metode yang bisa digunakan akan dijelaskan di bawah ini : 1.METODE BISECTION Metode Bisection digunakan untuk mencari akar persamaan non linear melalui proses iterasi dengan persamaan : X c  X a  X b  / 2 (2.1) dimana nilai f  X a . f  X b   0

(2.2)

Kelemahan metode ini adalah : 1. Jika akar persamaan lebih dari satu, maka nilai tersebut hanya bisa ditemukan satu persatu/tidak bisa sekaligus. 2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). 3. Proses iterasi tergolong lambat. Berikut algoritma penyelesaian Metode Bisection : 1. Langkah pertama, menentukan dua nilai x (xa dan xb) sebagai nilai awal perkiraan. Kedua nilai ini harus memenuhi syarat persamaan 2.2. 2. Langkah kedua, jika nilai awal telah didapatkan selanjutnya menentukan nilai x (misal xc) baru menggunakan persamaan 2.1 3. Langkah ketiga, mencari nilai f(xc) 4. Langkah selanjutnya, melakukan langkah 2 dan 3 hingga didapatkan f(xc) = 0 atau mendekati 0. Eksekusi program scilab untuk persamaan : 9.868.1 1  e  68c.1 10   40  0   c   Program scilab : 1. Program persamaan non-linier function y=nonlin(c) y=((9.8*68.1)/c)*(1-exp(-10*c/68.1))-40 endfunction 2. Program Bisection function akr=bisection(akper, ats, bwh) fa=akper(ats); fb=akper(bwh); if fa*fb > 0, break end

4



tolr=1E-5; Ea=1.1*tolr; Itr=0; Itmax=30; while Ea>tolr & Itr 0 then ats=akr; else bwh=akr; end Ea=abs(ats-bwh); end endfunction 3. Program Utama getf('c:/scinum/bisection.sci') getf('c:/scinum/nonlin.sci') x1=14 x2=16 xc=bisection(nonlin,x1,x2) Contoh : Carilah akar persamaan f  x   x 3  7 x  1 1. Langkah pertama, menentukan dua nilai x awal. Misal : xa = 2.6 dan xb = 2.5. Kemudian cek apakah kedua nilai tersebut memenuhi syarat? 3 f x a   f 2.6  2.6  72.6  1  0.376 f x b   f 2.5  2.5  72.5  1  0.875 Karena f(xa).f(xb) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas benar. Langkah kedua, mencari nilai xc x c  x a  x b  / 2 atau x c  2.6  2.5 / 2  2.55 dan 3 f xc   f 2.55  2.55  72.55  1  0.2686 karena nilai f(xc) negatif maka f(xc) menggantikan f(xb). Langkah ketiga, mencari nilai xd x d  2.6  2.55  / 2  2.575 dan 3 f xd   f 2.575  2.575  72.575  1  0.04886 Langkah keempat, mencari nilai xe x e  2.6  2.575  / 2  2.5625 dan 3 f xe   f 2.5625  2.5625  72.5625  1  0.11108 Langkah berikutnya, ulangi langkah-langkah di atas hingga menemukan f(xn) yang mendekati nol atau f x n 1   f x n   e . Sedangkan e dapat ditentukan sendiri, misalnya Ex10-5. 3

2.

3.

4.

5.

Tugas 1. Analisa eksekusi program scilab untuk metode bisection. 5



2. Buatlah program implementasi dari algoritma di atas! Hasil program di atas f(x) tidak pernah nol bulat (-3,472 x 10-8) dengan x = 2.571201. 3. Seorang peneliti mikroprosesor menemukan hubungan waktu kinerja panas (t) dengan energi (E) yang dimiliki mikroprosesor tersebut dengan suatu persamaan t=4E3+3E-2E2. Berapakah energi yang diperlukan untuk membuat breakdown dalam waktu nol.

2.METODE NEWTON-RAPHSON Metode Newton-Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear f(x). Rumus penyelesaian x n 1  x n   f  x n  / f l  x n  (2.3) Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat sebagaimana berikut : f x1 . f ll x1  / f l x1 . f l x1   1 (2.4)







dimana x1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi. Keterbatasan dari metode ini adalah : 1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akar-akar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan. 2. Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks). 3. Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan 2.4, meskipun sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan. 4. Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua sangatlah sulit. Berikut algoritma Metode Newton-Raphson : 1. Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada. 2. Menentukan nilai x1 sebagai nilai perkiraan awal dan kemudian mengecek apakah memenuhi persyaratan persamaan 2.4. 3. Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai xn. 4. Begitu seterusnya hingga antara xn-1-xn= 0 atau <= nilai e (error). Nilai error ini dapat ditentukan sendiri. Program Metode Newton-Raphson : function y=f(x) y=2*x**3+x-1; endfunction function y=df(x) y=6*x**2+1; endfunction function x=newtonraphson(x0, tol); i=1; ea(1)=100; x(1)=x0; while abs(ea(i))>=tol; x(i+1)=x(i)-f(x(i))/df(x(i)); ea(i+1)=abs((x(i+1)-x(i))/x(i+1)); 6



i=i+1; end printf(' i \t X(i) Error aprox (i) \n'); for j=1:i; printf('%2d \t %11.7f \t %7.6f \n',j-1,x(j),ea(j)); end endfunction

Contoh : Carilah persamaan non linear di bawah ini dengan Metode Newton Raphson : f  x   e x  3x 2  0 1. Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut f l x   e x  6 x

f ll x   e x  6 2. Langkah kedua, menentukan nilai x1, misalnya x1= 1. 2 f 1  e 3  31  0.281718

f l 1  e 3  61  3.281718 f ll 1  e 3  6  3.281718 jadi

 f x . f x / f x . f x   0.085845  1 ll

l

1

1

l

1

1

karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan. 3. Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2.3 untuk mencari xn jika e (error) = Ex10-7. x 2  x1  f x1  / f l x1   0.9141155





x1  x 2  0.0858845 4. Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka x3  x 2   f x 2  / f l x 2   0.910018 x 2  x3  0.0040975 Dan seterusnya hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e. Tugas 1. Analisa program Newton-Raphson yang telah dikerjakan. 2. Buatlah program yang menerapkan algoritma di atas. Jika jawaban benar maka akar f(x) =0.9100076 atau mendekatinya. 3. Seorang ekonom menemukan bahwa hubungan permintaan (x) dengan besar inflasi (y) adalah y=x4-9x2+2x-2. Tentukan jumlah permintaan yang menandakan bahwa inflasi sebesar nol! (error = 0.01).

7

MODUL III PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SERENTAK Persamaan Linear serentak adalah suatu persamaan dengan variabel bebas, misalnya : y1  a11 x1  a12 x 2  a13 x3  ...  a1n x n

y 2  a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  ...  a 2 n x n y 3  a 31 x1  a 32 x 2  a 33 x3  ...  a 3n x n Penyelesaian dari persamaan tersebut bisa menggunakan bantuan matriks. Namun untuk ordo (jumlah variabel dan jumlah persamaan) yang tinggi, penyelesaian dapat menggunakan nilai pendekatan. Oleh sebab itu, metode numerik bisa digunakan untuk persamaan ini. Metode yang bisa dipakai akan dijelaskan di bawah ini. 1. METODE JACOBI Metode iterasi Jacobi adalah metode penyelesaian persamaan serentak melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan sebagaimana berikut : n

x1n 1  hi a ii   a ij / a ii x (jn ) (3.1) j 1

dimana j <> i Kelemahan dari metode ini adalah : 1. Jika ordo persamaan cukup tinggi maka konsumsi waktu untuk eksekusi program menjadi lama. 2. Metode ini hanya bisa dipakai jika persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan berikut n

a ii   a ij , i  1,2, ,..., N (3.2) j 1

dimana j <> I Algoritma Metode Jacobi 1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan 3.2. Jika ya, maka lanjut ke langkah kedua. 2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil. 3. Langkah ketiga adalah menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3.1 hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah dari iterasi yang sebelumnya. Eksekusi program scilab dari persamaan berikut : 5x + y – 3z = -65 -x + 4y + 3z = 35 -3x – 5y + 2z = -40 Program scilab : //iterasi: metoda Jacobi A=[5 1 -3; -1 4 3; -3 -5 2]; C=[-65;35;-40];

8



[m,m]=size(A); Es=ones(m,1); Er=Es; Es=10D-7*Es; Iter=1; Itmax=30; xhsl=zeros(m,1); xaw=xhsl; while Er>Es & Iteri then jum=jum-A(i,j)*xaw(j,1); end end xhsl(i,1)=jum/A(i,i); end if Iter > 1 then Er=abs((xhsl-xaw)./xaw); end xaw=xhsl Iter=Iter+1 end Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan sebagaimana berikut : 8 x1  x 2  x 3  8 x1  7 x 2  2 x 3  4 x1  2 x 2  9 x3  12 Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada persamaan 3.2. Urutannya sebagai berikut : 1. Persamaan 8 x1  x 2  x3  8 diletakkan pada posisi paling pertama karena koefisien a11 memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomor dua adalah persamaan x1  7 x 2  2 x 3  4 karena koefisien a22 memiliki nilai paling besar

dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah persamaan x1  2 x 2  9 x3  12 . 2. Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil. matriks koefisien : 8 1  1 A= 1  7 2  1 2 9  matriks variabel :  x1  x=  x 2   x 3  9



matriks hasil :  8  h=   4   12  3. Langkah ketiga, menentukan titik awal variabel, misal diambil nilai awal dari x1, x2, x3 = 0. Kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3.1 hingga nilai x1, x2, x3 tidak berubah. Contoh iterasi pertama sebagai berikut :  a 8 a x1    12 x 2  13 x 3  8  a11 a11 

8  (0  0)  1 8  a  4  a 21 x2    x 2  23 x3   7  a 22 a 22  x 2  0.571  (0  0)  0.571 x1 

 a 12  a 31   x1  32 x 2  9  a 33 a 33  x 3  1.333  (0  0)  1.333 setelah dilanjutkan hingga iterasi ke 8 maka hasil dari x1, x2, x3 semuanya adalah 1. x3 

Tugas 1. Analisa eksekusi program scilab yang telah dicoba. 2. Buatlah program yang mengimplementasikan algoritma di atas. 3. Seorang distributor komputer melakukan penjualan produknya yang dipengaruhi oleh 3 faktor, yaitu x, y, dan z. Hasil dari penjualan tersebut memberikan 3 buah persamaan sebagaimana berikut : 4 x  10 y  6 z  30

3x  7 z  15 6 x  8 y  6 z  8 Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu distributor tersebut dengan membuatkan program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01 menggunakan Metode Jacobi.

2.METODE GAUSS SEIDEL Metode Gauss Seidel digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak. Metode ini lebih cepat dibandingkan dengan Metode Jacobi. Metode Gauss Seidel ini menggunakan persamaan sebagaimana berikut : i 1 a N a b ij ij (3.3) xin 1  i   x nj 1   x (jn) aii j 1 aii j i 1a ii dimana : i = 1, 2,...N n = 1, 2,...

10



Algoritma Gauss Seidel 1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan 3.3. Jika ya, maka lanjut ke langkah kedua. 2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil. 3. Menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3.3 hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah dari iterasi yang sebelumnya. Eksekusi program scilab dari persamaan berikut : 5x + y – 3z = -65 -x + 4y + 3z = 35 -3x – 5y + 2z = -40 Program Scilab : //iterasi: metoda Gauss Seidel A=[5 1 -3; -1 4 3; -3 -5 2]; C=[-65;35;-40]; [m,m]=size(A); Es=ones(m,1); Er=Es; Es=10D-7*Es; Iter=1; Itmax=30; xhsl=zeros(m,1); xaw=xhsl; while Er>Es & Iteri then jum=jum-A(i,j)*xhsl(j,1); end end xhsl(i,1)=jum/A(i,i); end if Iter > 1 then Er=abs((xhsl-xaw)./xaw); end xaw=xhsl Iter=Iter+1 end Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan ini menggunakan metode Gauss Seidel :

11



8 x1  x 2  x 3  8 x1  7 x 2  2 x 3  4 x1  2 x 2  9 x3  12 1. Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada persamaan 3.2. Urutannya sebagai berikut : persamaan 8 x1  x2  x3  8 diletakkan pada posisi paling pertama dikarenakan koefisien a11 memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomor dua adalah persamaan x1  7 x2  2 x3  4 dikarenakan koefisien a memiliki nilai paling besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah persamaan x1  2 x2  9 x3  12 . 2. Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil. matriks koefisien : 8 1  1 A= 1  7 2  1 2 9  matriks variabel :  x1  x=  x 2   x 3  matriks hasil :  8  h=   4   12 

3. Langkah ketiga, menentukan titik awal misalnya : x11 , x 2(1) , x 3(1)  0 kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3.3, yaitu : 0 a 3 a h 1j 1j x1( 2)  1   x nj1   x (jn) a11 j 1 a11 a j  2 11 a h a x1( 2 )  1  0  12 x 2(1)  13 x 3(1) a11 a11 a11 x1( 2)  1  0  (0  0)  1 1 a 3 a h 2j 2j x 2( 2)  2   x nj 1   x (jn) a 22 j 1 a 22 j 3 a 22 a h a x1( 2 )  2  0  21 x1( 2 )  23 x 3(1) a 22 a 22 a 22 x 2( 2)  0.571  (1 / 7  0)  0.7147 2 a 3 a h 3j 3j x3( 2)  2   x nj1   x (jn) a 22 j 1 a33 j  4 a 33 h a a x 3( 2 )  3  0  31 x1( 2 )  32 x 2( 2 ) a 33 a 33 a 33

12



x 3( 2)  1.333  (2 / 9  0.714 / 9)  1.032 Setelah dilanjutkan sampai iterasi ke-N ditemukan hasil dari x1, x2, x3=1.

Tugas 1. Analisa eksekusi program scilab untuk metode Gauss Seidel yang telah dicoba. 2. Buatlah implementasi program dengan Scilab pada persoalan di atas. 3. Seorang distributor komputer melakukan penjualan produknya yang dipengaruhi oleh 3 faktor, yaitu x, y, dan z. Hasil dari penjualan tersebut memberikan 3 buah persamaan sebagaimana berikut : 4 x  10 y  6 z  30

3x  5 y  7 z  15 6 x  8 y  6 z  8 Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu distributor tersebut dengan membuatkan program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01 menggunakan Metode Gauss Seidel.

13

MODUL IV PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR SERENTAK

Persamaan Non Linear serentak adalah dua buah persamaan berordo (pangkat) lebih dari satu. Masing-masing persamaan memiliki kaitan sehingga penyelesaian persamaan satu dapat digunakan sebagai penyelesaian dalam persamaan yang lainnya. Salah satu metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear serentak adalah Metode Newton Raphson. METODE NEWTON RAPHSON Metode Newton Raphson ini memiliki proses iterasi yang cepat. Namun hanya terbatas pada persamaan berordo dua atau tiga. Untuk ordo yang lebih besar, persoalan akan menjadi kompleks dikarenakan ada penghitungan determinan matriks ordo tinggi. Algoritma Newton Raphson 1. Menyelesaikan 2 persamaan Non Linear serentak menjadi : F(x1,x2)=0 dan G(x1,x2)=0 2. Mencari nilai fungsi F(x1,x2), G(x1,x2) dan turunan fungsi tersebut terhadap masing-masing variabelnya, yaitu dF/dx1, dF/dx2, dG/dx1, dG/dx2 pada titik awal yang ditentukan yaitu x10 dan x 20 . 3. Mencari nilai r1 dan s1 (r1 dan s1 adalah deviasi dari nilai x1 dan x2), dengan aturan sebagaimana berikut :  F ( x1 , x 2 ) dF / dx2 dF / dx1  F ( x1 , x 2 )

r1 

 G( x1 , x 2 ) dG / dx2

s1 

dF / dx1 dF / dx2 dG / dx1 dG / dx2 kemudian dengan pendekatan didapatkan x11  x10  r1

dG / dx1 dF / dx1 dG / dx1

 G( x1 , x 2 ) dF / dx2 dG / dx2

x 12  x 20  s1 4. melakukan operasi iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapatkan nilai r dan s nol atau mendekati nol/error. Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan non linear serentak sebagaimana berikut : x 2 x1  12.6  x1e  x2

4 ln x 2   x12  0.3  3x1 x 2 Penyelesaiannya adalah : 1. Langkah pertama, menyusun persamaan di atas menjadi bentuk : F(x1,x2)=0 G(x1,x2)=0 yaitu : F ( x1 , x 2 )  x1e  x2  x 2 x1  12.6  0 Gx1 , x 2   4 ln x 2   x12  0.3  3x1 x 2

14



2. Langkah kedua, Mencari nilai fungsi dan turunannya pada x10 dan x 20 misalkan ditentukan nilai awalnya sebesar x10  4 dan x 20  3 akan didapatkan : F ( x1 , x 2 )  x1 e  x2  x 2 x1  12.6

F  x1 , x 2   4 exp(3)  (3)(4)  12.6 F ( x1 , x 2 )  0.799148273 dan G  x1 , x 2   4 ln  x 2   x12  0.3  3x1 x 2

G  x1 , x 2   4 ln 3  4 2  0.4  34 3

G  x1 , x 2   0.090160536 nilai turunannya : dF / dx1   x 2  e  x2  3  exp(3)  2.9590212932

dF / dx2   x1  x1e  x2  4  4 exp(3)  4.199148273 dG / dx1  2 x1  3x 2  24  3.3  2.803847577

dG / dx2  4 / x 2  3x1 / 2 x 2  4 / 3  34 / 23  2.130768282 3. Langkah ketiga, mencari nilai r1 dan s1  0.799148273  4.199148273 0.090160536  2.130768282 r1   0.115249096  2.950212932  4.199148273 2.803847577  2.130768282

s1 

 2.950212932  0.799148273 2.803847577 0.090160536

 0.109340978  2.950212932  4.199148273 2.803847577  2.130768282 sehingga, x11  x10  r1  4  0.115249096  4.115249096 x12  x 20  s1  3  0.109340978  3.109340978 4. Langkah keempat, mengulang langkah kedua dan ketiga hingga didapatkan nilai r1 dan s1 sama dengan nol. Hasil akhirnya adalah x1=4.1131531474 dan x2=3.1080320798 Tugas 1. Buatlah program menggunakan Scilab pada contoh di atas. 2. Buatlah program untuk menyelesaikan persamaan non linear serentak dari persamaan x1  2 log x 2   x1 x 2 dan x1 x 2  e x2  3  ln x12

15

MODUL V INTERPOLASI Interpolasi adalah mencari nilai dari suatu fungsi yang tidak diketahui melalui nilai-nilai fungsi yang diketahui. Dengan kata lain, fungsi tersebut tidak diketahui persamaannya namun yang diketahui hanya nilainya. Misalnya suatu fungsi yang bernilai sebagai berikut : x f(x) 0 0 0.2 0.406 0.4 0.846 0.6 1.386 0.8 2.060 1.0 3.114 1.2 5.114 Kemudian dicari nilai x dimana f(x) = 3.015. Penyelesaian dari interpolasi dapat menggunakan bantuan Tabel Beda Hingga. Berikut penjelasan mengenai Tabel Beda Hingga. Tabel Beda Hingga dari kasus di atas jika dibuat tabel beda hingga sebagai berikut : x 0.0

f(x) 0.000

0.2

0.406

Δf(x)

Δf(x)2

Δf(x)3

Δf(x)4

Δf(x)5

Δf(x)6

0.406 0.034 0.440 0.4

0.846

0.048 0.082

0.552 0.6

1.368

0.170 0.692

0.8

2.060 3.114

1.2

5.144

0.064 0.104

0.192 0.361

1.054 1.0

0.040 0.088

0.254 0.318

0.422 0.614

0.976 2.030

1. INTERPOLASI METODE NEWTON GREGORY FORWARD (NGF) Interpolasi metode Newton-Gregory Forward adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: s  1 2 f  ss  1s  2 3 f  ...  ss  1s  2...s  n  1 n f f x s   f 0  sf 0  s  0 0 0 2! 3! n! (5.1) x  x0 dimana s  s dan f 0 didapatkan melalui Tabel Beda Hingga. h Metode ini memiliki keterbatasan antara lain :

16



1. Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced. (x1-x0=x2-x1=x3-x2=...=xn-xn-1=konstan atau h = konstan) 2. Hanya cocok untuk menyelesaikan persoalan interpolasi untuk nilai xs terletak di dekat nilai awal x1 dan x0 (nilai error-nya kecil). 3. Tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan interpolasi balik (invers interpolation). Namun metode ini sangat efektif digunakan untuk mencari nilai f(x) di sekitar titik awal. Algoritma NGF 1. Langkah pertama, mencari nilai-nilai beda hingga dari f(x) dengan bantuan Tabel Beda Hingga. 2. Langkah kedua, mencari nilai s dan nilai fungsi f(xs) dengan persamaan 5.1. Contoh : Carilah nilai dari f(xs) dengan xs = 1.03 menggunakan metode NGF. n 0 1 2 3 4 5 6

x 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8

f(x) 1.449 2.060 2.645 3.216 3.779 4.338 4.898

Penyelesaian : 1. Langkah pertama, mencari nilai-nilai beda hingga dari data yang diberikan. s x f(x) Δf(x) Δf(x)2 Δf(x)3 Δf(x)4 Δf(x)5 Δf(x)6 0 1 1.45 0.611 1 1.3 2.06 -0.026 0.585 0.012 2 1.6 2.65 -0.014 -0.006 0.571 0.006 0.004 3 1.9 3.22 -0.008 -0.002 -0.001 0.563 0.004 0.003 4 2.2 3.78 -0.004 0.001 0.559 0.005 5 2.5 4.34 0.001 0.560 6 2.8 4.9 2. Langkah kedua, mencari nilai s dengan persamaan 5.1. x  x 0 1.03  1 s s   0.1 h 1.3  1 dengan bantuan tabel didapatkan, f 0  0.611; 2 f 0  0.026 ; 3 f 0  0.012 ; 4 f 0  0.006 ; 5 f 0  0.004 ; 6 f 0  0.001 sehingga,

17



ss  1 2 ss  1s  2  3  f0   f0  2! 3! ss  1s  2s  3 4 ss  1s  2s  3s  4 5  f0   f0 4! 5! ss  1s  2s  3s  4s  5 6  f 0  1.5118136 6!

f x s   f 0  sf 0 

Tugas 1. Buatlah program menggunakan Scilab dari persoalan di atas. 2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 2.09 menggunakan NGF n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3

f(x) 4.90 5.00 5.243 5.467 5.689 5.887 6.03 6.288 6.489

2.INTERPOLASI METODE STIRLING Interpolasi Metode Stirling adalah metode penyelesaian interpolasi menggunakan persamaan sebagai berikut : s 1 s s  2 s 1   3 3 2 2 2 4 s f 1  f 0 s  1  f  2   f 1 4 f x s   f 0    f 1  4 f  2  1 3 2 2 2 2 s  2  f 3   f  2 5 2 5

5

s3 s2  6 6 2

6 f 3  ...

(5.2)

dimana : s  j s  j s  j  1s  j  2s  j  3...s  j  k  1 x  x0 s s dan  h k k! Keuntungan dari metode ini adalah jika nilai f(x) yang dicari berada di sekitar nilai tengah maka nilai error-nya kecil. Algoritma Stirling 1. Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dan membuat Tabel Beda Hingga. 2. Langkah kedua, mencari nilai s dan mencari nilai f(xs) dengan persamaan 5.2. Contoh Carilah nilai f(xs) pada xs = 1.87 dengan Metode Stirling

18


n -3 -2 -1 0 1 2 3

X 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8


f(x) 1.449 2.060 2.645 3.216 3.779 4.338 4.898

Penyelesaian : 1. Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dari data di atas. s -3

x 1

f(x) 1.45

Δf(x)

Δf(x)2

Δf(x)3

Δf(x)4

Δf(x)5

Δf(x)6

0.611 -2

1.3

2.06

-1

1.6

2.65

0

1.9

3.22

1

2.2

3.78

-0.026 0.585

0.012 -0.014

0.571

0.006 -0.008

0.563

2.5

4.34

0.004 -0.002

-0.001

0.004 -0.004

0.559 2

-0.006

0.003 0.001

0.005 0.001

0.560 3

2.8

4.9

2. Langkah kedua, mencari nilai s dan f(xs) x  x 0 1.87  1.9 s s   0.1 h 1.3  1 dari tabel beda hingga diketahui f 1  0.571; f 0  0.563 ; 2 f 1  0.008 ; 3 f  2  0.006 ; 3 f 1  0.004 ; 4 f  2  0.002 ; 5 f 3  0.004 ; 5 f 1  0.003 ; 6 f 3  0.001 sehingga, 5 1 5  2 2 2 1 f 1  f 0 5  1 3 f  2  3 f 1 f x5   f 0    f 1  5 3 2 2 2

52 4



5 1 4

5 1 4 f  2 

2 jadi f(1.87) = 3.159402

5  2 5 f 3  5 f  2  5 2

6

 2

52 6

6 f 3  3.159402

Tugas 1. Buatlah program menggunakan Scilab dari implementasi permasalahan di atas. 2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 1.89 menggunakan Metode Stirling

19


n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

X 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3


f(x) 4.90 5.00 5.243 5.467 5.689 5.887 6.03 6.288 6.489

3. Interpolasi Metode Lagrange Interpolasi Lagrange memiliki penyelesaian dengan persamaan sebagaimana berikut : x  x1 x  x 2 x  x3 ...x  x n  f x   f  x 0  x1 x 0  x 2 x 0  x3 ...x 0  x n  0 x  x 0 x  x 2 x  x3 ...x  x n  f  x1  x 0 x1  x 2 x1  x3 ...x1  x n  1 x  x 0 x  x1 x  x3 ...x  x n  f  x 2  x 0 x 2  x1 x 2  x3 ...x 2  x n  2 x  x 0 x  x1 x  x 2 ...x  x n  f  x3  x1 x3  x 2 x3  x3 ...x3  x n  3 x  x1 x  x 2 x  x3 ...x  x n 1  ...  f (5.3) x n  x1 x n  x 2 x n  x3 ...x n  x n 1  n Kelebihan dari metode Lagrange adalah : 1. Interpolasi Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced (h = konstan) atau non equispaced (h= todak konstan). 2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan invers interpolasi (interpolasi balik). 3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya terletak di daerah awal, akhir, maupun tengah. 4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam proses penyelesaiannya sehingga penyelesaian persoalaan lebih mudah. Contoh : Carilah nilai dari f(x) pada x = 1.03 dengan tabel sbb : n X f(x) 0 1.0 0.000 1 1.2 0.2625 2 1.5 0.9123 3 1.9 2.3170 4 2.1 3.2719 5 2.5 5.7268 6 3.0 9.8875 Penyelesaian :

20


f x  


x  x1 x  x2 x  x3 x  x4 x  x5 x  x6  f  x0  x1 x0  x2 x0  x3 x0  x4 x  x5 x  x6  0 x  x0 x  x2 x  x3 x  x4 x  x5 x  x6  f  x1  x0 x1  x2 x1  x3 x1  x4 x1  x5 x1  x6  1 x  x0 x  x1 x  x3 x  x4 x  x5 x  x6  f  x2  x0 x2  x1 x2  x3 x2  x4 x2  x5 x2  x6  2 x  x0 x  x1 x  x2 x  x4 x  x5 x  x6  f  x3  x0 x3  x1 x3  x2 x3  x4 x3  x5 x3  x6  3 x  x0 x  x1 x  x2 x  x3 x  x5 x  x6  f  x4  x0 x4  x1 x4  x2 x4  x3 x4  x5 x4  x6  4 x  x0 x  x1 x  x2 x  x3 x  x4 x  x6  f  x5  x0 x5  x1 x5  x2 x5  x3 x5  x4 x5  x6  5 x  x 0 x  x1 x  x 2 x  x3 x  x 4 x  x5  f  0.031352 x 6  x 0 x 6  x1 x 6  x 2 x 6  x3 x 6  x 4 x 6  x5  6

Tugas : 1. Buatlah implementasi program dengan Scilab dari persoalan di atas. 2. Carilah nilai f(x) dengan x = 2.39 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

X 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3

f(x) 4.90 5.00 5.243 5.467 5.689 5.887 6.03 6.288 6.489

21

MODUL VI INTEGRASI NUMERIK 1. Integrasi Numerik Metode Trapezoidal Integrasi numerik adalah proses menyelesaikan nilai dari suatu integral f(x) pada batas tertentu (x=x0-xn) dengan menggunakan persamaan 6.1 untuk non equispaced dan 6.2 untuk equispaced. x1  x0  x n  x n1  x 2  x1   f xdx  2  f1  f 0   2  f 2  f1   ...  2  f n  f n1  (6.1) h (6.2)  f x dx  2  f 0  2 f1  f 2  f 3  ...  f n1   f n  Dimana h=x1-x0=x2-x1=... dan seterusnya Program scilab : x = (0:0.1:1.0); deff(‘[y]=f(x)’,’y=x^3-2*x+sin(x)’); inttrap(x,f(x)) Contoh : Carilah nilai integral dengan batas x = 1.0 sampai x = 2.8 dari tabel di bawah ini dengan Metode Trapezoidal. n 0 1 2 3 4 5 6

X 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8

f(x) 1.449 2.060 2.645 3.216 3.779 4.338 4.898

Penyelesaian : Dari tabel di atas diketahui bahwa persamaan yang digunakan adalah equispaced (persamaan 6.2) h  f xdx  2  f 0  2 f1  f 2  f 3  f 4  f 5   f 6  1.3  1.0 1.449  22.060  2.645  3.216  3.779  4.338   4.898   2  5.76345 Tugas 1. Buatlah program menggunakan SciNotes untuk mengeksekusi program yang dicontohkan. 2. Buatlah program implementasi dari penyelesaian persoalan di atas dengan Scilab menggunakan Metode Trapezoidal. 3. Carilah nilai dari integral dari x = 1.0 hingga x = 3 dengan Metode Trapzoida dari tabel berikut :

22


n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3


f(x) 4.90 5.00 5.243 5.467 5.689 5.887 6.03 6.288 6.489

23

REFERENSI

1. Anonim, -, Modul Praktikum Metode Numerik 2. Sasongko, S. B., 2010, Metode Numerik dengan Scilab, Yogyakarta : Penerbit ANDI.

24

1

LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK

PENGENALAN SCILAB

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:

1


3.

Vektor Otomatis :

4.

Function pada vektor :

5.

Plot dari vektor :

6.

Matriks bilangan random:

7.

Loops dan condition:


Load file :

Instruksi for :

8.

Buat pernyataan IF :

9.

Function :

2


10.


Grafik dua dimensi :

Subplot sederhana :

11.

Grafik tiga dimensi : - Meshgrid :

- Surf :

- Plot3dl dan contour :

3



Yogyakarta, Asisten Praktikum,

( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

4

)

2


METODE BISECTION

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:

1. Program percobaan Program

Analisa Program

1



2. Buat Program Program

Hasil

2




Hasil

3



4




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

5

)

3


METODE NEWTON-RAPHSON

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:


Analisa Program

1




Hasil

2




Hasil

3



4




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

5

)

4


METODE JACOBI

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:


Analisa Program

1




Hasil

2




Hasil

3



4




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

5

)

5


METODE GAUSS SEIDEL

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:


Analisa Program

1




Hasil

2




Hasil

3



4




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

5

)

6


METODE NEWTON-RAPHSON (2)

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:


Hasil

1




Hasil

2




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

3

)

7


METODE NEWTON GREGORY FORWARD

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:


Hasil

1




Hasil

2




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

3

)


8

METODE STIRLING

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:


Hasil

1




Hasil

2




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

3

)


9

METODE LAGRANGE

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:


Hasil

1




Hasil

2




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

3

)

10

LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK INTEGRASI NUMERIK METODE TRAPEZOIDAL

Nama

:

NIM / Kelas

:

Semester

:


Analisa Program

1




Hasil

2




Hasil

3




( NIM :

Praktikan,

)

( NIM :

4

)

MODUL PRAKTIKUM METODE NUMERIK. DOSEN PENGAMPU : FERRY WAHYU WIBOWO, S.Si., M.Cs

Recommend Documents