Metode Numerik (Pendahuluan) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Kajian Pokok Metode Numerik Tujuan: Menyelesaikan suatu persamaan menggunakan model
matematika. Pemodelan penyelesaian matematika berbasis software untuk mendukung perhitungan manual Mempelajari software matematika “Scilab” untuk mengaplikasikan Metode Numerik
KESEPAKATAN PERKULIAHAN
PENGANTAR NUMERIK Masalah nyata Model matematika
Rumusan masalah
Solusi Eksak Pendekatan
Metode analitik vs Metode numerik Metode analitik - menghasilkan solusi eksak (galat = 0) - menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematika
Metode numerik - menghasilkan solusi pendekatan - menghasilkan solusi dalam bentuk angka
Peranan komputer dalam Metode Numerik Mempercepat perhitungan tanpa membuat kesalahan Mencoba berbagai kemungkinan yang terjadi akibat perubahan parameter Contoh aplikasi : Scilab, Mathlab, Mathcad, Mathematica dll Mengapa perlu belajar Metode Numerik 1. Alat bantu yang ampuh (tidak dapat diselesaikan secara analitik) 2. Memudahkan dalam memahami aplikasi program 3. Dapat membuat sendiri program komputer yang tidak dapat diselesaikan dengan program aplikasi 4. Menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar
Prinsip perhitungan dalam numerik Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus
“tidak ada algoritma untuk segalanya” Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil
Penyajian bilangan Bilangan ada 2: Eksak 2. Tidak eksak 1.
Perhitungan matematika tidak eksak , e, Perhitungan desimal yang berulang 0.3333…. Hasil perhitungan deret tak hingga e Hasil pengukuran
Desimal dan angka signifikan Misal
x = 0.05 2 desimal 1 angka signifikan x = 0.30 2 desimal 2 angka signifikan Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depan
Alur perhitungan
Input
Proses
Output
Sumber-sumber galat : Galat yang ada pada input : Chopping error Rounding error Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak
Galat yang ada pada proses : Rambatan galat Rumus/metode/algoritma tidak tepat Kesalahan alat Human error Galat pada output : Chopping error Rounding error
Misal x adalah nilai eksak dan x*
adalah nilai pendekatan maka = x – x* Galat absolut a = |x – x*| Galat absolut relatif
x x* r x
galat
Macam-macam galat 1.
Chopping error Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta Contoh. x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal x* = 0.378x103 galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103| = 0.000456x103 = 0.456
2.
Round off error Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai Contoh. x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 galat a = |x – x*| = |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454
3.
Truncation error Galat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurin Contoh.
x3 x5 x7 sin x x ... 3! 5! 7! x3 x5 sin x x 3! 5!
Nested form Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3 f(0.25) = 4.521875
Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4))) f(0.25)=3.896875 Galat yang terjadi 0.625
Hilangnya angka signifikan Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah
bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik Contoh. 13 = 13.0000 6 a.s 168 12 .9615 6 a.s 0.0385 3 a.s
Penyelesaian Pendekatan Masalah yang sulit dievaluasi Fungsi yang “rumit” Fungsi pendekatan dengan menyederhanakan fungsi
Informasi tentang fungsi dalam bentuk tabel nilai (hanya sebagian informasi yang diketahui) Fungsi pendekatan dengan pendekatan nilai dari data
Scilab Menu Bar
Tool Bar
Membuat Matriks
Matriks Kuadrat
Matriks Diagonal
Matriks Identitas
Determinan Matriks
Invers dan Size Matriks
Operator Aritmatika SIMBOL + * / \ ^ ‘
KETERANGAN Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Pembagian kiri Kuadrat Transpos Matriks
Operator Pembanding SIMBOL == < > <= >= <> Atau ~=
KETERANGAN Sama dengan Lebih kecil dari Lebih besar dari Lebih kecil atau sama dengan Lebih besar atau sama dengan Tidak sama dengan
Variabel Khusus KONSTANTA KHUSUS %pi %i %e %t dan %f
KETERANGAN π = 3,1415927… 1
e = 2,7182818… True atau False (Boolean)
Menuliskan fungsi Mendefinisikan persamaan pada jendela kerja deff(‘(out1,out2,..)=modul(in1,in2,…)’,’persamaan’)
SciNotes Menuliskan program yang akan disimpan berekstensi *.sce atau *.sci
Penggunaan SciNotes
Pemanggilan Fungsi pada Scilab
Program Penjumlahan Matriks
Program Determinan
Program Determinan Gauss Jordan
Program Eliminasi Gauss
Terima Kasih
