Modul ke:
MATEMATIKA 1 DERIVATIF PARSIAL
Fakultas
TEKNIK
Program Studi
TEKNIK ELEKTRO
IMELDA ULI VISTALINA SIMANJUNTAK,S.T.,M.T.
Derivatif Parsial 1. Derivatif fungsi dua perubah 2. Derivatif parsial tingkat n 3. Diferensial Total 4. Aplikasi derivatif parsial
1.Derivatif Fungsi dua Perubah Derivatif Parsial. Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka : (i ) x berubah-ubah sedangkan y tertentu. (ii)y berubah - ubah sedangkan x tertentu.
Derivatif Fungsi dua Perubah Definisi 2.1 i). Derivatif parsial terhadap perubah x Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x , derivatif parsial z = f(x,y) terhadap x sbb: f (x + Δx, y) − f (x, y) fx (x, y) = lim Δx→0 Δx
Derivatif Fungsi dua Perubah ii). Derivatif parsial terhadap perubah y Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y, derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y sbb : f (x, y + Δy) − f (x, y) ∂z = f y (x, y) = lim ∂y Δy Δy →0
Menentukan nilai derivatif b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y jika f(x,y) = x2 + 2y f y ( x, y ) = lim
Δy →0
f ( x, y + Δy ) − f ( x, y ) Δy
( x 2 + 2 ( y + Δy )) − ( x 2 + 2 y ) = lim Δy → 0 Δy
= lim 2 = 2 Δy → 0
Menentukan nilai derivatif Contoh 2: Jika z = ln (x2 + y2) tunjukkan bahwa
∂z ∂z x +y =2 ∂y ∂x Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu ∂z ∂z dan ∂x ∂y Selanjutnya tentukan nilai x
∂ z ∂ z + y ∂ x ∂ y
Lanjutan Contoh 2.2.
z = ln (x2 + y2) , derivatif parsial terhadap x dan y ∂z ∂ ln(x2 + y2 ) 2x ∂x
=
∂x
=
x2 + y2
dan ∂z ∂ ln( x 2 + y 2 ) 2y = = 2 ∂y ∂y x + y2
maka : x
∂z ∂z +y ∂x ∂y
=
x
2x 2y + y x2 + y2 x2 + y2
= 2
2. Derivatif Parsial Tingkat n Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka ∂z = f x ( x , y) ∂x
dan
∂z = f y (x, y) ∂y
merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat dua. Derivatif parsial tersebut dinyatakan sbb:
Menentukan nilai derivatif parsial tingkat n Contoh- 2.3.
Tentukan derivatif parsial tingkat dua
untuk f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2 Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2 fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y Jadi derivatif parsial tingkat dua fxx (x,y) = 2y + 4y2 fyy (x,y) = 4 x2 fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3 dan fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3
3.Diferensial Total Tinjau kembali fungsi z = f(x,y) ; x dan y perubah bebas. derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan y ∂z ∂z = f ( x, y) dan = f y ( x , y) ∂x ∂y x
dengan mengambil dx = Δx dan dy = Δy. diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz didefinisikan sbb : ∂z ∂z dz =
∂x
dx +
∂y
dy
Diferensial Total n variabel 1. Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka ∂f ∂f dz = + dx1 + dx 2 + … ∂x1
∂x 2
2. Jika f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0, catatan x1 , x2,…. xn bukan merupakan variabel independent.
∂f dx n ∂x n
Contoh soal diferensial total Contoh 4. Tentukan diferensial total untuk r = s2θ + 3 sθ2 Jawab :
Karena r = s2 θ + 3sθ 2 maka ∂r = 2s θ + 3 θ 2 ∂s
dan
∂r = s2 + 6sθ ∂θ
Jadi diferensial total z adalah dr =
∂r ∂r ds + d θ = (2s θ + 3 θ 2)ds + (s2 + 6sθ )dθ ∂s ∂θ
Contoh soal diferensial total 1
− (x2+y2) 2.5. Tentukan diferensial total untuk z = e 2
Jawab: Karena z = e
−
1 2
(x 2 + y 2 )
maka ∂z = − xe ∂x
−
1 2
(x 2 + y 2 )
1 − (x 2 + y 2 ) ∂z = − ye 2 ∂y
Jadi diferensial total z adalah ∂z dx dz = ∂x
1 − (x 2 + y 2 ) ∂z + dy = - (x + y) e 2 ∂y
4. Aplikasi Derivatif Parsial E
Contoh 2.6. Diketahui R = R(E,C) = C Jika nilai E = 100 dengan pertambahan 0,05 dan nilai C = 20 mengalami penurunan sebesar 0,1. Tentukan perubahan yang dialami R dan tentukan nilai R Jawab : Langkah 1. Derivatifkan R terhadap E dan C Langkah 2. Tulis rumus diferensial total Langkah 3. Tentukan perubahan yang dialami R subtitusikan nilai (langkah 1 ke rumus ) Langkah 4. Nilai R = nilai pendekatan R + perubahan R
KESIMPULAN Derivatif Parsial: Diketahui z = f (x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka : (i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu. (ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentu. Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x dan derivatifnya terhadap x adalah f ( x + Δx , y) − f ( x , y) ∂z = f x ( x , y) = lim Δx →0 ∂x Δy
disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap x. Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y dan derivatifnya terhadap y adalah
∂z f ( x, y + Δy) − f ( x , y) = f y ( x, y) = lim Δy →0 ∂y Δy disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap y.
KESIMPULAN Derivatif Total z = f(x,y) fungsi dengan dua perubah bebas x dan y, derivatif parsial fungsi tersebut ∂z = fx (x, y) ∂x
∂z = f y (x, y) ∂y
dan
dengan mengambil dx = Δx , dy = Δy dan jika x berubah-ubah sedangkan y tertentu maka z hanya merupakan fungsi x, diferensial parsial,
fungsi z
terhadap
x
didefinisikan :
dxz =
∂z dx = f ( x , y ) dx x ∂x
jika y berubah-ubah sedangkan x tertentu maka z hanya merupakan fungsi y
diferensial
parsial
fungsi z terhadap
y
didefinisikan,
dyz =
∂z dy = f y ( x , y ) dy ∂y
maka
diferensial total dz
didefinisikan
tersebut, yaitu dz =
∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y
sebagai jumlah kedua diferensial
REFENSI Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara. Jakarta.
Terima Kasih IMELDA ULI VISTALINA SIMANJUNTAK,S.T,M.T.
