MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY I NTMF049, 2/0 Zk - ZS
Miroslav Kotrla a František Slanina
[email protected] externě: ÚTF UK
[email protected] kmenově: FZÚ AV ČR, v.v.i., Praha 8 oddělení teorie kondenzovaných látek
Přednášky na ÚTF MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY I TMF049, 2/0 Zk - ZS
MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY II TMF050, 2/0 Zk - LS POČÍTAČOVÉ SIMULACE VE FYZICE MNOHA ČÁSTIC TMF021, 2/0 Zk - ZS POKROČILÉ SIMULACE VE FYZICE MNOHA ČÁSTIC TMF024, 2/0 Zk – LS
Kde mě najít?
V budově Ústavu teorie informace a automatizace (UTIA) Pod Vodárenskou věží 4, Praha 8, křídlo v pravo, místnost 435, doprava: např. metrem do stanice Ládví též na stránce
www.fzu.cz/~kotrla
Statistická fyzika Původní cíl: odvodit fenomenologické zákonitosti termodynamiky z mikroskopického hlediska Úspěšné: - vybudován obecnýn formalismus při užití statistických metod –> stat. fyzika je důležitá součást teoretické fyziky - mnoho aplikací pro všechny stavy hmoty: pevné látky, kapaliny, kinetická teorie plynů, etc. - v principu lze STATFYZ použít pro systém složený z velkého počtu elementů s definovanými vztahy mezi nimi
Statistická fyzika Původní cíl: odvodit fenomenologické zákonitosti termodynamiky z mikroskopického hlediska Úspěšné: - vybudován obecnýn formalismus při užití statistických metod –> stat. fyzika je důležitá součást teoretické fyziky - mnoho aplikací pro všechny stavy hmoty: pevné látky, kapaliny, kinetická teorie plynů, etc. - v principu lze STATFYZ použít pro systém složený z velkého počtu elementů s definovanými vztahy mezi nimi
Statistická fyzika je to vhodný nástroj i pro studium netradičních složitých nerovnovážných problémů.
Tato přednáška Představíme nové trendy v aplikacích rovnovážné i nerovnovážné statistické fyziky. Cíl: Výklad pokročilejších metod statistické fyziky a seznámení se studiem komplexních jevů.
Společný rys: kritické chování Kritické chování vysvětlujeme na příkladu magnetických jevů. červená niť: existence škálování
Kritické jevy – kritická teplota TC kritický bod pára - kapalina
kritický bod feromagnet – paramagnet
Singulární chování v okolí Tc Experimentální údaje pro železo
Magnetizace má skok v Tc. Měrné teplo Cv a susceptibilita c mají singularitu. V Tc mocninná singularita !
C p k TC T
Dvě části přednášky a) rovnovážné uzavřené systémy – demonstrováno pomocí Isingova modelu a dalších mřížkových modelů b) nerovnovážné otevřené systémy – demonstrováno studium růstových jevů etc.
Isingův model
počítáme: měrné teplo, susceptibilitu etc.
Existuje fázový přechod a kritické chování?
TC
Konfigurace magnetického systému pro různé teploty v okolí kritického bodu, hodnota spinu (+-1) je zobrazena černým resp. bílým bodem.
Všimněte si velikosti domén stejně orientovaných spinů, naznačující divergenci pro nekonečný systém.
Složité nerovnovážné systémy - složitější než rovnovážné klasické N-částicové problémy přitom nekvantové - otevřené systémy - vykazují kritické chovaní
například:
• • • • • •
dopravní problémy vývoj rozhraní modely evoluce náhodné sítě celulární automaty …
viz dále v přednášce
Data o skutečné dopravě Cíl je maximální průjezdnost. Ale vznikají zácpy.
Nagel-Schreckenbergův model http://en.wikipedia.org/wiki/Nagel-Schreckenberg_model
Stav buňky: i) prázdná=žádné auto ii) auto s rychlostí V; V= 0,1, … Vmax. Dynamika: obsazené buňky se pohybují jedním směrem i -> i+1; auto na uzlu i vidí auto vpředu do vzdálenosti L
V každém kroku se aplikují 4 akce v uvedeném pořadí na všechna auta. 1. ZRYCHLENÍ: když auto jede menší než maximální rychlostí, pak jeho rychlost je zvýšena o jednotku, tj. V -> V+1. 2. BRZDĚNÍ: každé auto se kontroluje, aby jeho vzdálenost k předchozímu autu byla menší než jeho rychlost, tj. když L<= V, pak V -> V-1. 3. NÁHODNÉ ZPOMALENÍ: rychlost každého auta, které má rychlost větší než 0, je s pravděpodobností p snížena o jednotku. 4. POHYB: všechna auta jsou posunuta dopředu o počet jednotek rovný jejich rychlosti. Bod 3. NÁHODNOST je podstatný: lidský faktor, stav vozovky etc., bez něj přechod do stacionárního stavu s neměnnými rychlostmi!
Simulace NagelSchreckenbergova modelu Vznikají zácpy, když pohybu auta brání předchozí vozidlo. Zácpy se pohybují proti směru jedoucích vozidel.
Obsah - rovnováha Fraktální geometrie Pojem fraktálu, příklady matematických a reálných fraktálů, výpočet fraktální dimenze, self-afinní fraktály, Hurstův exponent, škálovací relace.
Kritické jevy Fenomenologie kritických jevů, parametr uspořádání, kritická teplota, singulární chování termodynamických veličin v okolí kritické teploty, kritické exponenty, universalita - pojem tříd univerzality.
Mřížkové modely Isingův model a ekvivalentní modely, Bragg-Williamsova a Betheho aproximace středního pole, přesné řešení Isingova modelu v 1D a vlastnosti Onsagerova řešení v 2D, vysokoteplotní rozvoje a analýza řad.
Škálování Škálovací hypotéza, škálovací relace, škálování s velikostí systému, idea renormalizační grupy (RG).
Obsah - nerovnováha Stochastické procesy Markovův proces, mistrovská rovnice, Langevinova rovnice, harmonický oscilátor ve fluktuujícím vnějším poli, kinetický Isingův model Kawasakiho a Glauberova dynamika, fázové uspořádávání.
Dynamické škálování Časový vývoj rozhraní v experimentech a diskrétních modelech, hrubost povrchu a její chovaní (exponent hrubosti, růstový a dynamický exponent), cesta k data kolapsu - škalovací funkce, dynamické třídy universality.
Modely vývoje rozhraní Konstrukce obecné spojité stochastické rovnice na základě symetrií, náhodná depozice, Edwards-Wilkinsonův model, Kardar-Parisi-Zhangova rovnice, diskrétní modely, asymetrický vylučovací proces.
Celulárni automaty (CA) Typy CA, klasifikace dynamického chování, pojem samoorganizace, samoorganizované kritické systémy, hra života, chování pískové kupy, BTW model, dopravní problémy atd.
Fraktály typy:
• matematické (abstraktní) fraktály • přírodní objekty • výsledky měření/výpočtů
mnoho příkladů: • Cantorova množina, Kochova křivka, … • mapy (profily pobřeží, síť říčních přítoků, hvězdná obloha, krátery na planetách, …) • výsledky měření/výpočtů
další příklady a informace na wikipedii: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal#Introduction např. H. von Koch - jeden z prvních matematických fraktálů 1904, B. Mandelbrot - pojem fraktálu – 1975, …
Fraktály typy:
• matematické (abstraktní) fraktály • přírodní objekty • výsledky měření/výpočtů
mnoho příkladů: • Cantorova množina, Kochova křivka, … • mapy (profily pobřeží, síť říčních přítoků, hvězdná obloha, krátery na planetách, …) • výsledky měření/výpočtů
vlastnosti: 1. samopodobnost (self-similarity) 2. fraktální dimenze PROČ A JAK V PŘÍRODĚ VZNIKAJÍ?
první krok statický popis tj.
Geometrie
Euklidovská geometrie: • tradiční > 2000 let • založená na určité velikosti • vhodná pro makroskopické lidské výtvory • popsaná vzorci
fraktální geometrie: • nová cca 40 let • žádná specifická škála • vhodná pro přírodní objekty • objekty jsou určeny algoritny
Škálová invariance M bL g b M L Po n iteracích po sobě
L b L n
M b L g b M L g b M L n
n
n
g b g b n
řeší
g b b
n
Příklad samopodobnosti - krajina
pojem dimenze objekt rozděl na N stejně velkých částí o velikosti r
fraktální dimenze:
Kochova křivka - rok 1904 http://en.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch
V rovině … Sierpinski gasket
Sierpinski carpet
Mnoho příkladů na internetu Wikipedie
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
DLA cluster vzniklý elektrodepozicí sulfátu mědi
Výbojem vytvořený fraktál High-voltage dielectric breakdown within a block of plexiglas creates a fractal pattern called a Lichtenberg figure. The branching discharges ultimately become hairlike, but are thought to extend down to the molecular level. http://captured lightning.com/f
Sněhové vločky
Diffusion Limited Aggregation (DLA) (difúzí omezená agregace)
Witten and Sander (1981)
Diffusion Limited Aggregation (DLA) A DLA consisting about 33,000 particles obtained by allowing random walkers to adhere to a seed at the center. Different colors indicate different arrival time of the random walkers.
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Of7_p0001_15h.jpg
Literatura
• B.B. Mandelbroad, The fractal geometry of nature, W.H. Freeman and comp., New York 1983. • M. Plischke a B. Bergensen, Equilibrium statistical Physics, World Scientific, Singapore, 1994(2. vydání) • K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, Singapore, 1987 (2. vydání) • A. -L Barabasi a H. E. Stanley, Fractal Concepts is Surface Growth, Cambridge University Press, Cambridge, 1995. •A. C. Levi and M. Kotrla, Theory and simulations of crystal growth, J. Phys. Cond. Matt. 9, 299-344 (1997). •N. G. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland, Amsterdam, 1981.
