MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných okolnostech - umožňují profitovat z nákupu většího množství surovin nebo zboží, popř. ze zvýšení jejich cen Zásoby se mohou týkat buď surovin nebo rozpracovaných výrobků ve výrobních podnicích, nebo zboží v obchodní síti. Všechny tyto druhy produktů budeme z hlediska teorie zásob nazývat položkami. Nejčastějším typem modelů řízení zásob jsou nákladově orientované modely, jejichž cílem je minimalizace nákladů spojených s pořízením zásob a s jejich skladováním, popř. minimalizace ztrát vzniklých z nedostatku zásob. Důležitým pojmem v teorii zásob je poptávka, která může být buď jednoznačně určena, nebo může představovat náhodnou veličinu se známým rozdělením pravděpodobnosti. Náhodný charakter může mít i čas, který uplyne od vystavení a odeslání objednávky do okamžiku, kdy zásoba skutečně přijde na sklad. Tento časový interval se nazývá pořizovací lhůta dodávky (též předstih objednávky). Pokud poptávka i pořizovací lhůta dodávky jsou jednoznačně určeny, příslušné modely zásob označujeme jako deterministické. V opačném případě jde o modely stochastické. Ve vybraných matematických modelech řízení zásob, které budou obsahem této přednášky, se budou vyskytovat následující symboly a pojmy: T … doba, po kterou sledujeme zásobovací proces (zpravidla jeden rok) t … délka dodacího cyklu (doba mezi dvěma po sobě jdoucími dodávkami) Q … celková poptávka (spotřeba) za dobu T q … velikost jedné objednávky d … předstih objednávky r … bod znovuobjednávky nebo též objednací úroveň (velikost zásob, při které je nutné vystavit objednávku) c1 … fixní náklady na pořízení jedné objednávky c2 … skladovací náklady na jednotku zásob za jednotku času A. Deterministické modely zásob Ukázkou deterministických modelů zásob je následující – historicky první formulovaný model řízení zásob, který vychází z těchto předpokladů: - zásoby se doplňují v jednom časovém okamžiku, a to po jejich vyčerpání - je předem znám požadavek na nakupovanou položku za celé zásobovací období (Q) - jsou známy jednotkové objednací a skladovací náklady (c1 a c2 ) - v důsledku konstantní poptávky je čerpání zásob rovnoměrné - nákupní cena je nezávislá na velikosti objednávky Pro tento typ modelu je průběh čerpání zásob graficky znázorněn na obr. 1. Za uvedených předpokladů je možné určit, v jak velkých dodávkách a jak často by měl majitel zásob položku objednávat, aby náklady spojené s pořizováním a udržováním zásob byly co nejnižší. Obr. 1
Během jednoho dodacího cyklu nabývají objednací náklady N1 a skladovací náklady na průměrnou výši zásob v tomto období (lze ji vyjádřit jako průměr (0+q)/2) N2 těchto hodnot: N1 = c1
N 2 = c2
q t 2
Protože počet dodacích cyklů za skladovací období nákladovou funkci za celé toto období platí q ⎞ Q c Q c tQ ⎛ N (q ) = ⎜ c1 + c 2 t ⎟ = 1 + 2 q 2 ⎠q 2 ⎝
T
je roven podílu
Q/q, pro (1)
Aby i skladovací náklady byly vyjádřeny v závislosti na velikosti objednávky q, T . Po této v druhém zlomku výrazu (1) nahradíme délku dodacího cyklu t podílem Q/q úpravě má nákladová funkce tvar c Q c Tq (2) N (q) = 1 + 2 q 2 Graf této funkce spolu s grafy nákladů na vyřízení objednávky a na skladování je pro níže řešený příklad 1 zakreslen na obr. 2. Z tohoto obrázku je patrné, že při zadaných hodnotách c1, c2, T, Q s rostoucí velikostí objednávky pořizovací náklady klesají (jde o nepřímou závislost), zatímco skladovací náklady lineárně vzrůstají. Při určité velikosti objednávky součet těchto nákladů nabývá nejnižší hodnoty.
Obr. 2 20000 18000 16000
náklady (Kč)
14000
12000 objednací náklady 10000
skladovací náklady celkové náklady
8000 6000
4000 2000
0 0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
v elikost obj ednáv ky (ks)
Zjištění optimální velikosti objednávky q0 (v angloamerické literatuře značené EOQ = Economic Order Quantity) znamená nalezení lokálního minima funkce (2). Položíme-li 1. derivaci této funkce podle proměnné q rovnou nule, platí cQ cT dN = − 12 + 2 = 0 , dq 2 q
2c1Q (3) c 2T Výpočtem 2. derivace funkce (2) ve zjištěném bodě q0 bychom se přesvědčili, že jde o lokální minimum. Dosazením hodnoty q0 do nákladové funkce (2) a po její úpravě získáme výraz pro minimální dosažitelné náklady. Platí N (q 0 ) = 2c1c 2 QT (4)
odkud
q0 =
Optimální délka dodacího cyklu, počítaná ze vztahu t 0 =
q 0T , je pak dána výrazem Q
2c1T (5) c2 Q Pro výši zásob, při které je nutné vystavit objednávku, aby byla vyřízena do okamžiku vyčerpání zásob, lze odvodit vzorec Qd ⎡ d ⎤ (6) r0 = − ⎢ ⎥ q0 , T ⎣t0 ⎦ t0 =
⎡d ⎤ d . Jestliže pořizovací lhůta dodávky je kratší kde ⎢ ⎥ je nejblíže nižší celé číslo k podílu t t 0 ⎣ 0⎦ ⎡d ⎤ než délka dodacího cyklu, ⎢ ⎥ =0, takže vzorec (6) má jednodušší tvar ⎣ t0 ⎦
r0 =
Qd T
(7)
Příklad 1 Podnik potřebuje pro výrobu ročně 18 tisíc kusů úzkoprofilových součástek. Fixní náklady na jednu objednávku činí 1 tis. Kč, náklady na skladování jednoho kusu za rok činí 1 Kč. Průměrná pořizovací lhůta dodávky je 2 měsíce. Určete q0, N(q0), t0, r0 . Řešení: Do vzorců (3) až (5) dosadíme tyto hodnoty: 1 c1 =1000 Kč c2 =1 Kč T =1 rok Q =18000 ks d = roku 6 2 * 1000 * 18000 Potom q0 = = 36 *10 6 = 6000 ks 1 *1 N (q 0 ) = 2 * 1 * 1000 * 18000 * 1 = 6000 Kč t0 =
2 * 1000 * 1 1 = roku 1 * 18000 3
Protože je splněna podmínka d < t0, pro výpočet bodu znovuobjednávky můžeme použít vzorec (7). Platí 1 18000 * 6 = 3000 r0 = 1 Závěr: Podnik by měl jedenkrát za 4 měsíce, kdy zásoby součástek klesnou na 3000 ks, objednat 6000 ks součástek. Zjištěná optimální výše objednávky je patrná i z obr. 2. B. Stochastické modely zásob
Příkladem stochastického modelu zásob je model jednorázově vytvářené zásoby při náhodné poptávce. Tento model je vhodný pro zboží, které po jisté době zastarává - např. pro módní nebo sezónní výrobky, pečivo, ovoce, zeleninu, řezané květiny, noviny, náhradní součásti unikátních strojů apod. Předpokládejme, že pro dané časové období bylo zakoupeno zboží v množství q a že poptávka po tomto zboží představuje diskrétní náhodnou veličinu, která nabyla hodnoty Q. Po skončení uvažovaného období mohou nastat dvě krajní situace: - Q ≤ q, neboli zůstane neprodáno q - Q jednotek zboží - Q ≥ q, neboli bude chybět Q - q jednotek zboží Ztráty vzniklé z přebytku nebo z nedostatku zboží v uvažovaném období jsou závislé jednak na rozdílu mezi zakoupeným množstvím zboží a poptávkou, jednak na velikosti ztrát z jednotky přebývajícího množství (označme ji cs) a nedostávajícího se množství zboží (označme ji cz). Známe-li pravděpodobnost, s jakou poptávka po zboží v daném období nabude hodnoty Q (označme ji P(Q)), pro očekávané celkové ztráty z přebytku nebo z nedostatku zboží při počáteční zásobě q platí q
Z (q ) = cs ∑ (q − Q ) P (Q ) + cz Q =0
∞
∑ (Q − q) P(Q)
Q = q +1
(8)
Jestliže neuvažujeme náklady na pořízení zásob (provádí se pouze jedna objednávka) a na skladování (předpokládáme, že skladovací doba není dlouhá), cílem řešení uvažovaného modelu je stanovení takové výše počáteční zásoby (a tudíž i velikosti jednorázové dodávky zboží), aby očekávané ztráty vyjádřené výrazem (8) byly minimální. Jestliže funkce Z(q) má lokální minimum pouze v jednom bodě, pro optimální hodnotu objednávky q0 lze odvodit vztah cz P (Q ≤ q 0 − 1) ≤ ≤ P (Q ≤ q 0 ) (9) c z + cs Při známých ztrátách cz a cs hodnotu q0 určíme z uvedeného vztahu tak, že při daném rozdělení pravděpodobnosti poptávky spočítáme kumulativní pravděpodobnosti ΣP(Q) a najdeme takové dvě jejich sousední hodnoty, aby mezi nimi ležela hodnota zlomku cz/(cz+cs). Jinou možností pro stanovení optimální velikosti počáteční zásoby je vyčíslení ztrát Z(q) pro různé hodnoty q a výběr nejnižších ztrát. Lze odvodit, že zlomek cz/(cz+cs) představuje tzv. úroveň obsluhy, tzn. pravděpodobnost, že nedojde k nedostatku zásob. Příklad 2 Prodejce vánočních stromků se rozhoduje, kolik stromků má objednat u lesního závodu. Na základě zkušeností z minulých let odhaduje zájem o stromky tak, jak je uvedeno v tab. 1. Tab. 1
Poptávka (ks) Pravděpodobnost
120 0,05
140 0,10
160 0,25
180 0,35
200 0,25
Jestliže nebudou všechny stromky prodány, po Vánocích mohou být nabídnuty do zoologické zahrady nebo do zahradnictví, přičemž prodejce by tratil na každém stromku 80 Kč. Na stejnou částku prodejce odhadl i ušlý zisk z jednoho nedostávajícího se stromku v případě, že by zájem o stromky převýšil jejich objednaný počet. Při jakém počtu dodaných stromků budou očekávané ztráty z jejich přebytku nebo nedostatku co nejmenší? Řešení: Zadaný problém je možné vyřešit s využitím vztahu (9), pro jehož aplikaci je nutné spočítat kumulativní pravděpodobnosti poptávky po stromcích. Tyto pravděpodobnosti jsou uvedeny v tab. 2. V řešené úloze je míra obsluhy rovna 0,5, přičemž z tab. 2 vyplývá 0,4 < 0,5 < 0,75. Optimálním počtem objednaných vánočních stromků je tedy 180 kusů. Při tomto počtu budou očekávané ztráty z přebytku nebo z nedostatku stromků, počítané podle vzorce (8), 1680 Kč. Tab. 2 Poptávka (ks) 120 140 160 180 200
Pravděpodobnost 0,05 0,10 0,25 0,35 0,25
Kumulativní pravděpodobnost 0,05 0,15 0,40 0,75 1,00
