Model tenisového utkání Jan Šustek Semestrální projekt do předmětu Náhodné procesy 2005 V této práci se budu zabývat modelem tenisového utkání. Vstupními hodnotami budou úspěšnosti podání jednotlivých hráčů, neboli pravděpodobnosti, že daný hráč při svém podání vyhraje bod. V první části podrobně rozeberu vývoj stavu v jednotlivém gamu. Najdu vzorec pro pravděpodobnost toho, že daný hráč při svém podání vyhraje game. V dalších částech rozeberu vývoj skóre v setu a v celém zápasu. Odvozování vzorců v těchto částech je obdobné jako v první části, avšak situace je značně komplikovanější. Proto v těchto částech budu vzorce a rovnice odvozovat jen stručně a vzniklé soustavy rovnic vyřeším jen částečně. I tak budou vzorce dost složité. Ne vždy bude použitá symbolika matematicky zcela korektní, avšak vždy bude z kontextu zřejmý její význam. Často budu používat dolní i horní indexy. Vždy však bude jasné, kdy se jedná o horní index a kdy o mocninu.
1
Model gamu
Nechť p je úspěšnost podání podávajícího hráče. Označme q = 1 − p je pravděpodobnost toho, že bod uhraje soupeř. Na následujícím grafu je znázorněn vývoj skóre v gamu, včetně pravděpodobností přechodů mezi jednotlivými stavy. 0:0
p
15:0
p
30:0
p
40:0
q
p
V1
p p
q
q
40:30
q
q
p
q
p
30:40
q
1
0:40 q
15:40
q
q q
Ad2 p
q
p
q
40:40
Ad1
0:30
p
q
p
q
15:30
p
30:30
p
0:15
p
15:15
p
30:15
p
40:15
p
q
q
q
V2
Jednotlivé stavy označím následovně: • Eij , i, j = 0, 1, 3, 4 — Stav gamu je ϕ(i):ϕ(j), přičemž ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 15, ϕ(3) = = 30 a ϕ(4) = 40; • EAi , i = 1, 2 — Hráč i má výhodu (v grafu Adi ); • EVi , i = 1, 2 — Hráč i vyhrál game (v grafu
Vi ).
Označme I = {00, 10, 01, 30, 11, 03, 40, 31, 13, 04, 41, 33, 14, V1, 43, 34, V2, A1, 44, A2}. Potom S = {Ej | j ∈ I} je množina všech možných stavů. (n)
Nechť Xn je náhodná veličina označující stav systému po n krocích. Nechť pj , j ∈ I, n ∈ N, označuje pravděpodobnost, že po n krocích bude systém ve stavu Ej . Na začátku je stav 0:0; počáteční stav systému tedy je X0 = E00 . To znamená, že {Xn }n∈N je Markovův řetězec s diskrétním časem, jehož množina stavů je S, vektor p(0) počátečního rozdělení pravděpodobnosti je dán vztahem ( 1 , j = 00 , (0) pj = 0 jinak a matice pravděpodobností přechodů je E00 E10 E01 E30 E11 E03 E40 E31 E13 E04 E41 E33 E14 EV1 E43 E34 EV2 EA1 E44 EA2 E00 E10
P = (pji )i,j∈I
E01 E30 E11 E03 E40 E31 E13 E04 = E41 E33 E14 EV1 E43 E34 EV2 EA1 E44 EA2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 p 0 0 0 p 0 0 1 p 0 0 p 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q p 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q p 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 q 0 0 q 0 0 p 1 0 0 q
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q p 0 q 0 p
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q 0
.
Nyní uvedu rozdělení pravděpodobnosti p(n) po prvních několika krocích. Rozdělení po jednom kroku je E00 E10 E01 E30 E11 E03 E40 E31 E13 E04 E41 E33 E14 EV1 E43 E34 EV2 EA1 E44 EA2
p
(1)
(0)
=p P=
0 p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
,
po dvou krocích E00 E10 E01 E30 E11 E03 E40 E31 E13 E04 E41 E33 E14 EV1 E43 E34 EV2 EA1 E44 EA2
p
(2)
(1)
=p P=
0 0 0 p2 2pq q 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
po třech krocích
p
(3)
(2)
=p P=
E00 E10 E01 E30 E11 E03 E40
E31
3
2
E13
0 0 0 0 0 0 p 3p q 3pq
2
E04 E41 E33 E14 EV1 E43 E34 EV2 EA1 E44 EA2
q3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
atd. Je zřejmé, že po n ≥ 6 krocích bude mít rozdělení tvar E00 E10 E01 E30 E11 E03 E40 E31 E13 E04 E41 E33 E14 EV1 E43 E34 EV2
p
(n)
=
EA1
E44
EA2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 αV1 0 0 αV2 αA1 α44 αA2 ,
kde pravděpodobnosti αj závisí na hodnotě n. Označme Kj náhodnou veličinu reprezentující dobu čekání na první průchod stavem Ej za předpokladu, že v čase t = 0 byl systém ve stavu Ej . Náhodná veličina Kj se nazývá (n) doba návratu do stavu Ej . Označme {kj }∞ n=0 rozdělení náhodné veličiny Kj . Nyní provedu klasifikaci stavů. • j ∈ J1 = {00, 10, 01, 30, 11, 03, 40, 31, 13, 04, 41, 33, 14, 43, 34} — Je-li systém na začátku v některém stavu Ej , j ∈ J1 , pak po jednom či více krocích systém nemůže (n) být v témže stavu Ej . To znamená, že kj = 0 pro všechna j ∈ J1 a n = 1, 2, . . . . P∞ (n) Protože n=1 kj = 0 < 1, jsou všechny stavy Ej , j ∈ J1 , přechodné. • j = 44 — Je-li systém na začátku ve stavu E44 , pak se zpět do tohoto stavu buď nikdy nedostane, nebo první návrat do stavu E44 nastane právě po dvou krocích, a to (2) (n) s pravděpodobností 2pq. To znamená, že k44 = 2pq a k44 = 0 pro ostatní n. Odtud P (n) plyne, že stav E44 je periodický s periodou λ = 2. Protože ∞ n=1 k44 = 2pq < 1, je stav E44 přechodný. • j ∈ J2 = {A1, A2} — Je-li systém na začátku v některém stavu Ej , j ∈ J2 , pak se zpět do tohoto stavu buď nikdy nedostane, nebo první návrat do tohoto stavu (2m) nastane po sudém počtu kroků, a to s pravděpodobností kj = (pq)m . Pro lichá n P (n) (n) pq = 1−pq je kj = 0. Protože ∞ < 1, jsou stavy EA1 a EA2 přechodné. Tyto n=1 kj stavy jsou periodické a jejich perioda je λ = 2. • j ∈ J3 = {V1, V2} — Je-li systém na začátku v některém stavu Ej , j ∈ J3 , pak se z tohoto stavu nikdy nedostane. Stavy EV1 a EV2 jsou proto absorpční. Protože Markovův řetězec obsahuje absorpční stavy, je tento řetězec rozložitelný. Označme T = I \ {V1, V2} množinu indexů všech přechodných stavů. To znamená, že {Ej | j ∈ T } je množina všech přechodných stavů. Stav EV1 je absorpční. Pro j ∈ T označme xj pravděpodobnost absorpce v množině {EV1 } za předpokladu, že na počátku byl systém ve stavu j. Ve skutečnosti x00 je pravděpodobnost, že podávající hráč vyhraje game. Pravděpodobnosti xj , j ∈ T , jsou řešením soustavy X (1) xj − xj = pνj xν , j∈T, (1) ν∈T
3
(1)
(1)
kde xj je pravděpodobnost absorpce v prvním kroku. Je zřejmé, že xj = pV1 j . Dosazením tohoto do (1) dostaneme x00 x10 x01 x30 x11 x03
= px10 + qx01 , = px30 + qx11 , = px11 + qx03 , = px40 + qx31 , = px31 + qx13 , = px13 + qx04 ,
x40 x31 x13 x04 x41 x33
= qx41 + p , = px41 + qx33 , = px33 + qx14 , = px14 , = qx43 + p , = px43 + qx34 ,
Tato soustava má řešení p4 (−1 − 4q + 2pq − 10q 2 + 8pq 2 ) x00 = , 2pq − 1 p3 (−1 − 3q + 2pq − 6q 2 + 6pq 2 + 2pq 3 ) x10 = , 2pq − 1 p4 (1 + 4q − 2pq + 2pq 2 ) , x01 = 1 − 2pq p2 (−1 − 2q + 2pq − 3q 2 + 4pq 2 + 2pq 3 ) x30 = , 2pq − 1 p3 (−1 − 3q + 2pq) x11 = , 2pq − 1 p4 (1 + 2pq) x03 = , 1 − 2pq pq(−1 − q + 2pq + pq 2 ) x40 = p + , 2pq − 1 p2 (−1 − 2q + 2pq + pq 2 ) x31 = , 2pq − 1 p3 (1 + pq) x13 = , 1 − 2pq
x14 x43 x34 xA1 x44 xA2
= px34 , = qx44 + p , = px44 , = qx44 + p , = pxA1 + qxA2 , = px44 .
p5 , 1 − 2pq pq(pq − 1) =p+ , 2pq − 1 p2 = , 1 − 2pq p4 = , 1 − 2pq p2 q =p+ , 1 − 2pq p3 = , 1 − 2pq p2 q =p+ , 1 − 2pq p2 = , 1 − 2pq p3 = . 1 − 2pq
x04 = x41 x33 x14 x43 x34 xA1 x44 xA2
Hlavním výsledkem této části je vzorec pro pravděpodobnost A(p), že podávající hráč vyhraje game, za předpokladu, že pravděpodobnost, že při svém podání uhraje bod, je p. Platí p4 (15 − 34p + 28p2 − 8p3 ) . A(p) = x00 = 1 − 2p + 2p2 Graf funkce A(p) je na následujícím obrázku. y 1
0.5
0.5
4
1 x
2
Model setu
Označme hráče podávajícího v prvním gamu daného setu jako hráče 1, jeho soupeře jako hráče 2. Nechť u1 pravděpodobnost toho, že hráč 1 při svém podání vyhraje game, a nechť v1 = 1 − u1 je pravděpodobnost, že při podání hráče 1 vyhraje game hráč 2. Podobně označme u2 pravděpodobnost toho, že hráč 2 při svém podání vyhraje game, a v2 = 1 − u2 pravděpodobnost, že při podání hráče 2 vyhraje game hráč 1. Pro jednoduchost budu předpokládat, že se hraje podle starých pravidel, tedy, že vítěz setu musí vyhrát alespoň šest gamů a přitom vyhrát alespoň o dva gamy více než soupeř. Z hlediska vývoje stavu v setu jsou ekvivalentní stavy 4:4, 5:5, 6:6, 7:7, . . . , protože k vítězství v setu za tohoto stavu každý hráč potřebuje vyhrát dva gamy a žádný neprohrát. Podobně jsou ekvivalentní stavy 5:4, 6:5, 7:6, . . . a stavy 4:5, 5:6, 6:7, . . . . Na následujícím grafu je znázorněn vývoj skóre a podání v setu, včetně pravděpoi:j znamená, že stav setu je i:j dobností přechodů mezi jednotlivými stavy. Symbol Pk a v současném gamu podává hráč k. Symbol Vk P` znamená, že set vyhrál hráč k a na začátku dalšího setu bude podávat hráč `.
u1 v2 u1 v2 u1
4:0 P1 v1 u1
5:0 P2 u2 v2 v2
u1
v2
V1 P1
5:2 P2 u2 v2 u1
V1 P2
5:3 P1 v1 u1 v2
5:4 P2
4:4 P1 u2 v2
4:5 P2
0:4 P1 v1
1:4 P2 u2 v2
2:4 P1 v1 u1
3:4 P2 u2 v2 v1 u1
0:3 P2 u2
1:3 P1 v1 u1
2:3 P2 u2 v2
3:3 P1 v1 u1
4:3 P2 u2 v2
0:2 P1 v1
1:2 P2 u2 v2
2:2 P1 v1 u1
3:2 P2 u2 v2
4:2 P1 v1 u1
0:1 P2 u2
1:1 P1 v1 u1
2:1 P2 u2 v2
3:1 P1 v1 u1
4:1 P2 u2 v2
5:1 P1 v1 u1
1:0 P2 u2 v2
2:0 P1 v1 u1
3:0 P2 u2 v2
0:0 P1 v1
1:5 P1
u2
2:5 v1 P2 u2
3:5 P1 v1 u2
0:5 P2
V2 P1 V2 P2
Jednotlivé stavy označím následovně: • Fij — Skóre v setu je i:j, přitom podává hráč ((i + j) mod 2 + 1); • Gk` — Set vyhrál hráč k a na začátku dalšího setu bude podávat hráč `.
5
k` ) pravděpodobnost přechodu ze stavu Fij do stavu Fk` (resp. Gk` ) Označme qijk` (resp. rij během jednoho kroku. Jednotlivé pravděpodobnosti lze vyčíst z výše uvedeného grafu. Podobně jako v první části označme T = {00, 10, 01, . . . , 54, 45} množinu indexů přechodných stavů. To znamená, že {Fj | j ∈ T } je množina všech přechodných stavů. Stavy Gk` jsou absorpční. Označme yijk` pravděpodobnost absorpce v množině {Gk` } za k` znamená pravděpředpokladu, že na počátku byl systém ve stavu Fij . Ve skutečnosti y00 podobnost, že pokud na začátku setu podával hráč 1, pak set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude podávat hráč `. Podobně označme zijk` pravděpodobnost absorpce v množině {Gk` } za předpokladu, že na začátku byl systém ve stavu Gij . Je zřejmé, že platí zijk` = δik δj` , kde δ je Kroneckerova funkce. Pravděpodobnosti yijk` musí splňovat soustavu rovnic podobnou soustavě (1), přičemž s využitím toho, že absorpční množiny jsou jednoprvkové, lze tuto soustavu přepsat následovně:
yijk`
=
X
k` qijµν yµν
µν∈T
+
2 X
αβ k` rij zαβ ,
ij ∈ T ,
k, ` = 1, 2 .
(2)
α,β=1
Dosazením pravděpodobností z grafu a vztahu pro zijk` do (2) dostáváme k` k` yijk` = u1 yi+1,j + v1 yi,j+1 ,
ij = 00, 20, 11, 02, 40, 31, 22, 13, 04, 42, 33, 24, 44 ,
yijk` yijk` yijk` yijk` yijk` k` y54 k` y45
ij = 10, 01, 30, 21, 12, 03, 41, 32, 23, 14, 43, 34 ,
= = = = =
k` v2 yi+1,j
k` + u2 yi,j+1 , k` v2 δ1k δ1` + u2 yi,j+1 , k` v2 yi+1,j + u2 δ2k δ1` , k` u1 δ1k δ2` + v1 yi,j+1 , k` u1 yi+1,j + v1 δ2k δ2` ,
ij = 50, 52 , ij = 05, 25 , ij = 51, 53 , ij = 15, 35 ,
k` = v2 δ1k δ1` + u2 y44 , k` = v2 y44 + u2 δ2k δ1` ,
k, ` = 1, 2 .
Tato soustava 140 rovnic o 140 neznámých má jediné řešení. Důležité je řešení pro neznámé k` y00 : u1 v2 u41 u42 + 3u31 u22 v2 − 3u41 u32 v2 + 20u31 u32 v1 v2 + 4u41 u42 v1 v2 + + u21 v22 − u31 u2 v22 + 12u21 u2 v1 v22 − 15u31 u22 v1 v22 + 60u21 u22 v12 v22 + + 20u31 u32 v12 v22 − u21 v1 v23 + 6u1 v12 v23 − 18u21 u2 v12 v23 + 40u1 u2 v13 v23 − 11 y00
=
12 y00 = u21 v2
− 6u1 v13 v24 + 5v14 v24 − 20u1 u2 v14 v24 − 4v15 v25 , 1 − u1 u 2 − v 1 v 2 4u31 u32 + 3u21 u2 v2 + 24u21 u22 v1 v2 + 3u1 v1 v22 + 24u1 u2 v12 v22 + 4v13 v23 ,
u2 v1 5u41 u42 − 4u51 u52 + 6u21 u32 v1 − 6u31 u42 v1 + u22 v12 − u1 u32 v12 + + 40u31 u32 v1 v2 − 20u41 u42 v1 v2 + 12u1 u22 v12 v2 − 18u21 u32 v12 v2 − − u22 v13 v2 + 60u21 u22 v12 v22 + 3u2 v13 v22 − 15u1 u22 v13 v22 + 20u1 u2 v13 v23 + 21 y00 = 22 y00 = u2 v12
+ 20u21 u22 v13 v23 − 3u2 v14 v23 + v14 v24 + 4u1 u2 v14 v24 , 1 − u 1 u2 − v 1 v 2 4u31 u32 + 3u1 u22 v1 + 24u21 u22 v1 v2 + 3u2 v12 v2 + 24u1 u2 v12 v22 + 4v13 v23 .
6
Označme Bk` (u1 , u2 ) pravděpodobnost toho, že pokud na začátku setu podával hráč 1, pak set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude podávat hráč `, za předpokladu, že pravděpodobnost toho, že hráč 1 při svém podání vyhraje game, je rovna u1 a pravděk` podobnost toho, že hráč 2 při svém podání vyhraje game, je rovna u2 . Tu dostaneme z y00 dosazením v1 = 1 − u1 a v2 = 1 − u2 . Platí u1 (1 − u2 ) 1 − 4u21 + 9u31 − 9u41 + 4u51 + 6u1 u2 − u21 u2 − 46u31 u2 + + 78u41 u2 − 40u51 u2 − 10u22 + 22u1 u22 − 20u21 u22 + 99u31 u22 − − 205u41 u22 + 120u51 u22 + 20u32 − 102u1 u32 + 179u21 u32 − − 213u31 u32 + 249u41 u32 − 140u51 u32 − 15u42 + 114u1 u42 − − 274u21 u42 + 291u31 u42 − 168u41 u42 + 56u51 u42 + 4u52 − − 40u1 u52 + 120u21 u52 − 140u31 u52 + 56u41 u52 B11 (u1 , u2 ) = , u1 + u2 − 2u1 u2 B12 (u1 , u2 ) = u21 u2 − 1 −4 + 9u1 − 9u21 + 4u31 + 12u2 − 54u1 u2 + + 75u21 u2 − 36u31 u2 − 12u22 + 81u1 u22 − 150u21 u22 + + 84u31 u22 + 4u32 − 36u1 u32 + 84u21 u32 − 56u31 u32 , (u1 − 1) u2 − 1 + 4u1 − 6u21 + 4u31 − u41 + 4u2 − 43u1 u2 + 109u21 u2 − − 109u31 u2 + 43u41 u2 − 4u51 u2 − 9u22 + 120u1 u22 − 415u21 u22 + + 542u31 u22 − 274u41 u22 + 36u51 u22 + 9u32 − 141u1 u32 + + 598u21 u32 − 939u31 u32 + 557u41 u32 − 84u51 u32 − 4u42 + + 67u1 u42 − 331u21 u42 + 599u31 u42 − 392u41 u42 + 56u51 u42 − − 4u1 u52 + 36u21 u52 − 84u31 u52 + 56u41 u52 , B21 (u1 , u2 ) = u1 + u2 − 2u1 u2 B22 (u1 , u2 ) = (1 − u1 )2 u2 4 − 12u1 + 12u21 − 4u31 − 9u2 + 54u1 u2 − − 81u21 u2 + 36u31 u2 + 9u22 − 75u1 u22 + 150u21 u22 − − 84u31 u22 − 4u32 + 36u1 u32 − 84u21 u32 + 56u31 u32 .
Pravděpodobnost, že set vyhraje hráč k, bez ohledu na to, kdo bude podávat na začátku dalšího setu, je rovna Bk1 (u1 , u2 )+Bk2 (u1 , u2 ). Předpokládejme, že jsou oba soupeři stejně silní, že mají stejnou úspěšnost podání p. Potom jsou stejné i pravděpodobnosti ui = A(p) toho, že při svém podání vyhraje game. Dosazením do Bk` dostaneme B11 (u1 , u2 ) + B12 (u1 , u2 ) = B21 (u1 , u2 ) + B22 (u1 , u2 ) = 21 . To znamená, že pokud jsou soupeři stejně silní, pak mají stejnou pravděpodobnost, že vyhrají set, a to nezávisle například na tom, kdo podával na začátku setu. 7
3
Model zápasu
Označme hráče podávajícího na začátku zápasu jako hráče 1, jeho soupeře jako hráče 2. Nechť úspěšnost podání hráče 1 je p1 a nechť q1 = 1 − p1 je pravděpodobnost, že při podání hráče 1 bod uhraje hráč 2. Podobně označme p2 úspěšnost podání hráče 2 a q2 = 1 − p2 pravděpodobnost, že při podání hráče 2 bod uhraje hráč 1. Jednotlivé stavy označím následovně: i:j ); • Hijk — Stav zápasu je i:j na sety, na začátku setu podává hráč k (v grafu Pk
• HVi — Zápas vyhrál hráč i (v grafu Vi ). Označme sjk` pravděpodobnost toho, že když na začátku setu podává hráč j, pak daný set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude podávat hráč `. Na následujícím grafu je znázorněn vývoj skóre a podání v zápasu, včetně pravděpodobností přechodů mezi jednotlivými stavy. 0:0 P1 s111
s112
1:0 1:0 P1 s122 s211 P2 s111
2:0 P1
s112
212
+s
s1
12
1
s222 s111
1:2 P1
1:2
s211 P2
s1
s112
21
s1
s212
2:2 P1
2:2 P2
s221 + s222
s 121 +
s212
8
s 122
2
s121
s 22
+
s221 + s222
s121
22
+
s212
+
11
s112
+ s1
s1
0:2 P2
s211
22
s111 + s112
s211 +
0:2 P1
1
s21
s221
s221
s2
s121
s222 s111
s212
s222
s221
1:1 1:1 s212 s P1 s122 211 P2
2:1 P2
12
+
s112
s112
2:1 P1 s122
1 s 21
0:1 0:1 P1 s122 s211 P2
s 121
s111 + s112
s221
s122
s 22
V1
s121
s222 s111
s121
s222 s111
s221
2:0 s212 P2
s122
s121
V2
Označme zijk pravděpodobnost absorpce v množině {HV1 } za předpokladu, že na počátku byl systém ve stavu Gijk . Ve skutečnosti z001 znamená pravděpodobnost, že pokud na začátku zápasu podával hráč 1, pak zápas vyhraje hráč 1. Podobně jako v předchozích částech musí pravděpodobnosti zijk splňovat soustavu rovnic z001 z101 z102 z011 z012 z201 z202 z111 z112 z021 z022 z211 z212 z121 z122 z221 z222
= s111 z101 + s112 z102 + s121 z011 + s122 z012 , = s111 z201 + s112 z202 + s121 z111 + s122 z112 , = s211 z201 + s212 z202 + s221 z111 + s222 z112 , = s111 z111 + s112 z112 + s121 z021 + s122 z022 , = s211 z111 + s212 z112 + s221 z021 + s222 z022 , = s111 + s112 + s121 z211 + s122 z212 , = s211 + s212 + s221 z211 + s222 z212 , = s111 z211 + s112 z212 + s121 z121 + s122 z122 , = s211 z211 + s212 z212 + s221 z121 + s222 z122 , = s111 z121 + s112 z122 , = s211 z121 + s212 z122 , = s111 + s112 + s121 z221 + s122 z222 , = s211 + s212 + s221 z221 + s222 z222 , = s111 z221 + s112 z222 , = s211 z221 + s212 z222 , = s111 + s112 , = s211 + s212 .
Řešení z001 této soustavy je z001 = s3111 + s2111 s112 + 3s3111 s121 + 3s2111 s112 s121 + 6s3111 s2121 + 6s2111 s112 s2121 + 2s111 s112 s211 + + s2112 s211 + 4s111 s112 s121 s211 + 2s2112 s121 s211 + 6s111 s112 s2121 s211 + 3s2112 s2121 s211 + + 3s2111 s122 s211 + 2s111 s112 s122 s211 + 9s2111 s121 s122 s211 + 6s111 s112 s121 s122 s211 + + 2s112 s122 s2211 + 4s112 s121 s122 s2211 + 3s111 s2122 s2211 + s112 s2122 s2211 + s111 s112 s212 + + 2s111 s112 s121 s212 + 3s111 s112 s2121 s212 + s2111 s122 s212 + 3s2111 s121 s122 s212 + + s112 s211 s212 + s112 s121 s211 s212 + s112 s2121 s211 s212 + 2s111 s122 s211 s212 + + 3s112 s122 s211 s212 + 4s111 s121 s122 s211 s212 + 6s112 s121 s122 s211 s212 + 2s111 s2122 s211 s212 + + 2s2122 s2211 s212 + s112 s2212 + s112 s121 s2212 + s112 s2121 s2212 + s111 s122 s2212 + + 2s111 s121 s122 s2212 + s122 s211 s2212 + s121 s122 s211 s2212 + 2s2122 s211 s2212 + s122 s3212 + + s121 s122 s3212 + 2s2111 s112 s221 + 2s111 s2112 s221 + 6s2111 s112 s121 s221 + 6s111 s2112 s121 s221 + + 3s3111 s122 s221 + 3s2111 s112 s122 s221 + s2112 s211 s221 + 2s2112 s121 s211 s221 + + 8s111 s112 s122 s211 s221 + 4s2112 s122 s211 s221 + s111 s112 s212 s221 + 2s2112 s212 s221 + + 2s111 s112 s121 s212 s221 + 4s2112 s121 s212 s221 + 2s2111 s122 s212 s221 + 6s111 s112 s122 s212 s221 + + 4s112 s122 s211 s212 s221 + s111 s122 s2212 s221 + 5s112 s122 s2212 s221 + s111 s2112 s2221 + s3112 s2221 + + 2s111 s112 s211 s222 + s2112 s211 s222 + 4s111 s112 s121 s211 s222 + 2s2112 s121 s211 s222 + + 3s2111 s122 s211 s222 + 2s111 s112 s122 s211 s222 + 4s112 s122 s2211 s222 + s111 s112 s212 s222 + + 2s111 s112 s121 s212 s222 + s2111 s122 s212 s222 + 2s112 s211 s212 s222 + 2s112 s121 s211 s212 s222 + + 4s111 s122 s211 s212 s222 + 6s112 s122 s211 s212 s222 + 2s112 s2212 s222 + 2s112 s121 s2212 s222 + + 2s111 s122 s2212 s222 + 3s122 s211 s2212 s222 + 3s122 s3212 s222 + 2s2111 s112 s221 s222 + + 2s111 s2112 s221 s222 + 2s2112 s211 s221 s222 + 2s111 s112 s212 s221 s222 + 4s2112 s212 s221 s222 + + 2s111 s112 s211 s2222 + s2112 s211 s2222 + s111 s112 s212 s2222 + 3s112 s211 s212 s2222 + 3s112 s2212 s2222 . Označme toto řešení jako C s111 , s112 , s121 , s122 , s211 , s212 , s221 , s222 = z001 . 9
Nyní určím pravděpodobnosti sjk` . Pokud na začátku setu podává hráč 1, pak pravděpodobnost toho, že při podání hráče 1 vyhraje game hráč 1, je rovna u1 = A(p1 ) a pravděpodobnost toho, že při podání hráče 2 vyhraje game hráč 2, je rovna u2 = A(p2 ). Proto je pravděpodobnost toho, že daný set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude podávat hráč `, rovna s1k` = Bk` (A(p1 ), A(p2 )). Pokud na začátku setu podává hráč 2, pak pravděpodobnost toho, že při podání hráče 2 vyhraje game hráč 2, je rovna u1 = A(p2 ) a pravděpodobnost toho, že při podání hráče 1 vyhraje game hráč 1, je rovna u2 = A(p1 ). Proto je pravděpodobnost toho, že daný set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude podávat hráč `, rovna s2k` = B3−k,3−` (A(p2 ), A(p1 )). Odtud plyne, že pravděpodobnost V (p1 , p2 ) toho, že hráč podávající na začátku zápasu tento zápas vyhraje, za předpokladu, že pravděpodobnost toho, že hráč podávající na začátku zápasu při svém podání uhraje bod, je p1 , a pravděpodobnost toho, že druhý hráč při svém podání uhraje bod, je p2 , je rovna V (p1 , p2 ) = C B11 A(p1 ), A(p2 ) , B12 A(p1 ), A(p2 ) , B21 A(p1 ), A(p2 ) , B22 A(p1 ), A(p2 ) , B22 A(p2 ), A(p1 ) , B21 A(p2 ), A(p1 ) , B12 A(p2 ), A(p1 ) , B11 A(p2 ), A(p1 ) . V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty V (i, i + j), kde i je číslo uvedené v záhlaví řádků a j je číslo uvedené v záhlaví sloupců.
.20 .40 .60 .65 .70 .75 .80 .85 .90 .95
−.15 1.000 .9934 .9947 .9942 .9935 .9936 .9955 .9983 .9998 1.000
−.10 .9979 .9524 .9564 .9541 .9524 .9561 .9692 .9869 .9979 1.000
−.05 .9034 .8007 .8039 .8007 .8017 .8156 .8497 .9034 .9639 .9980
−.02 .6869 .6329 .6336 .6323 .6345 .6457 .6713 .7179 .7992 .9360
−.01 .5941 .5675 .5677 .5671 .5686 .5751 .5898 .6173 .6707 .8007
0 .5 .5 .5 .5 .5 .5 .5 .5 .5 .5
+.01 .4102 .4323 .4325 .4329 .4306 .4227 .4059 .3748 .3125 .1517
+.02 .3287 .3664 .3671 .3675 .3624 .3461 .3131 .2550 .1529 .0128
+.05 .1503 .1961 .1993 .1983 .1844 .1503 .0966 .0361 .0020 0
+.10 .0308 .0436 .0476 .0439 .0308 .0131 .0021 .0000 0 —
+.15 .0047 .0053 .0066 .0047 .0017 .0002 .0000 0 — —
Předpokládejme, že jsou oba soupeři stejně silní, že mají stejnou úspěšnost podání p. Potom dosazením do V dostaneme V (p, p) = 1 − V (p, p) = 21 . To znamená, že pokud jsou oba soupeři stejně silní, pak mají stejnou pravděpodobnost, že vyhrají zápas. Předpokládejme, že zápas hrají hráči A a B. Označme pA úspěšnost podání hráče A a pB úspěšnost podání hráče B. Pokud na začátku zápasu podává hráč A, pak pravděpodobnost jeho výhry v zápasu je V (pA , pB ). Pokud na začátku zápasu podával hráč B, pak pravděpodobnost, že zápas vyhraje hráč A, je 1 − V (pB , pA ). Ze vzorce pro V plyne, že platí V (pA , pB ) = 1 − V (pB , pA ) .
10
To znamená, že pravděpodobnosti výhry v zápasu nezávisí na tom, kdo podával na začátku zápasu. Předpokládejme, že hráči A a B jsou skoro stejně silní, že úspěšnost podání hráče A je pA = 0.75 a úspěšnost podání hráče B je pB = 0.74. Z výše uvedené tabulky plyne, že pravděpodobnost toho, že hráč A vyhraje zápas, je rovna 0.5751. Pravděpodobnost, že zápas vyhraje hráč B, je 0.4249. Odtud je vidět, že pokud jsou soupeři skoro stejně silní, pak se pravděpodobnosti výhry v zápasu liší mnohem více, než se liší úspěšnosti podání jednotlivých hráčů.
Závěr Výsledkem této práce je, že tenis je spravedlivá hra. Jsou-li oba soupeři stejně silní, pak mají stejnou pravděpodobnost, že vyhrají zápas. Jestliže má jeden hráč jen o málo větší úspěšnost podání než druhý hráč, pak pravděpodobnost jeho výhry v zápasu je mnohem větší. Pravděpodobnosti výhry v zápasu nezávisí na tom, kdo podával na začátku zápasu, ale pouze na úspěšnosti podání jednotlivých hráčů.
11
