Model rezonanční desky koncertního klavíru

Model rezonanční desky koncertního klavíru Tippner J., Koňas P.

Abstrakt Obsahem   práce   je   sestavení   obecného   parametrického   modelu   rezonanční   desky   koncertního  klavíru v prostředí software ANSYS. Parametrizace pomocí APDL je provedena v plném rozsahu  popisu   geometrie   prvku   a   jednotlivých   částí   tohoto   prvku,   fyzikálního   modelu   zahrnujícího  ortotropní   lineárně   elastický   materiálový   model   a   předpisu   podmínek   řešení   základních   úloh  strukturální analýzy. Model umožňuje změnou parametrů simulace sledovat vliv vybraných faktorů  (změny konstrukce a materiálové skladby) na odezvu desky především při dynamickém namáhání.   Klíčová slova: MKP, ANSYS, rezonanční deska, klavír, dynamika, 

Abstract The subject of this work is building of general parametric model of grand piano soundboard in  environment   of   software   ANSYS.   Parametrization   by   use   of   APDL   is   made   in   full   range   of  component   and  its   parts  geometry  description,   physical  model  description   inclusive  orthotropic  linear elasticity material model and prescription conditions of basic structural analysis solution.  Changing of simulation parameters allows to monitoring of select factors (changes in construction  and material composition) influence mainly to reaction at dynamic straining. Key words: FEM, ANSYS, soundboard, grand piano, dynamics, 

13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  1 ­

Úvod Piana   jsou   hodnocena   především   dle   akustických   vlastností   a   jejich   vyrovnaností   v   celém  tónovém   rozsahu.   Vlastnosti   jsou   předurčeny   převážně   chováním   rezonančních   desek,  nejdůležitějších částí pian. Obecně je chování rezonanční desky a zvuk nástroje ovlivněn mnoha  faktory.   Pianino   či  klavír  se  skládá  z  přibližně   7500   součástí,  rezonanční  deska   je  pak  složena  přibližně   ze   30   částí.   Každá   z nich   má   víceméně   odlišné   fyzikální,   mechanické   a   akustické  vlastnosti. Rozměrová přesnost výroby prvků se pohybuje v řádech desetin milimetru, rozměrové  změny způsobené např. změnou vlhkosti dřeva dosahují u některých součástí několika milimetrů a  chování desek je dále významně ovlivněno rozměry a počtem žeber desek, jejich klenutím, klenutím  rezonanční desky, materiálem (vlastnosti, homogennost stavby aj.), orientací anatomických os dřeva  v   jednotlivých   částech   desky,   přetlakem   strun,   vlastnostmi   kladívek,   intonací   atd.   Výroba  rezonanční desky piana začíná již výběrem vhodného dřeva smrku ztepilého, které musí obsahovat  rezonanční zónu s odpovídajícími vlastnostmi dřeva a respekt k charakteristickým vlastnostem dřeva  ji  provází  až  do konce. V rámci spolupráce Vědeckovýzkumného oddělení firmy Petrof s.r.o.  a  Ústavem nauky o dřevě   LDF MZLU v Brně byl vznesen požadavek na vhodný popis chování  hudebních nástrojů a jejich součástí během výroby či užívání, při mechanickém zatížení či zatížení  působeného   změnami   okolního   prostředí.   K   takovému   popisu   je   vhodný   fyzikálně­matematický  model, který vyžaduje aplikaci MKP. Tato práce představuje simulace v kódu ANSYS zaměřené na  jednu   ze  součástí   koncertního   klavíru,   sestavu   rezonanční   desky   neosazené   žebry   a   kobylkami.  Posouzení dynamických vlastností tohoto základního konstrukčního celku, posouzení vlivu faktorů,  kterými jsou např. jeho geometrická a materiálová skladba, jsou prvotní pro další práci.       Materiál a metodika Akustický   projev  nástroje  je  projevem  složité  soustavy  s   řadou  vstupů.  Soustředíme­li  se  na  konstrukci  nástroje – koncertního klavíru (konkrétně model IV. firmy Petrof), pro jeho dynamickou  analýzu   je   za   únosně   minimalizovaný   model   nástroje   možné   považovat   rezonanční   desku  (sestávající z přířezů proměnlivé šířky) osazenou jedenácti žebry, basovou a diskantovou kobylkou,  interagující se strunným systémem a vsazenou v baraši, jakési základní dřevěné konstrukci klavíru  osazené vnějšími dílci skříně nástroje a též mohutným litinovým rámem. Schematicky informuje o  sestavě obr. 1. Přes nesporný vliv všech ostatních částí konstrukce na výsledné dynamické chování,  lze tedy za oblast modelu zvolit systém desky osazené žebry, a dále kobylkami zprostředkujícími též  vliv strunného systému a považovat jej v místě styku s hranou baraše za vetknutý v prostoru. Vlastní  deska   je   podstatnou   částí   tohoto   systému,   výrobcem   jsou   často   její   vlastnosti   posuzovány  samostatně a je jí věnován též omezený prostor tohoto článku.  Postup   tvorby   modelu   spočívá   standardně   ve   vytvoření   geometrického,   fyzikálního   (definice  materiálového modelu, okrajových a počátečních podmínek) a matematického (konečně­prvkového)  modelu   rezonanční   desky   ve   stavu   před   její   montáží.   Model   je   zpracován   kompletně   ve  skriptovacím jazyce (APDL) se všemi svými výhodami a používán v podobě dávkového souboru.  Od   počátku   je   model   sestavován   s   ohledem   na   možnost   parametrického   zadání   vnějšího   tvaru  (půdorysný tvar a tloušťka desky) a definici skladby desky z jednotlivých přířezů. Pro explicitní  popis   tvaru   desky   neexistují   podklady,   při   výrobě   desky   se   používá   klasických   technologií   za  použití   šablon.   Bylo   navrženo   několik   různých   obecných   modelů   u   nichž   lze   vhodnou   volbou  parametrů   docílit  požadovaného tvaru  desky.  Podkladem  byla  dostupná  výkresová  dokumentace  výrobce a výrobcem zpracovaný 3D model korpusu baraše (exportovaný z programu Inventor v  souboru formátu SAT a importovaný do prostředí ANSYS), další sběr informací probíhá ve výrobě  a   na   hotových   výrobcích.   Zdokonalování   popisu   oblasti   (vhodnější   interpolace   hranice   desky  13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  2 ­

lineárními a nelineárními funkcemi a hledání parametrů těchto funkcí) je předmětem současné práce  na modelu.

Obr. 1 Schema sestavy – vlevo: modře konstrukce barašě, červeně žebra, černě kobylky; vpravo:   deska tvořená př ířezy  Jsou využívány i 2D modely (použití skořepinových typů prvků, SHELL99) homogenních desek  s možností snadné úpravy průběhu hrany, možností definice libovolné avšak jednotné tloušťky či  skladby z vrstev různé tloušťky a odděleně definovaným libovolným odklonem souřadných os v  rovině. Výhodou použití je zejména úspora strojového času při orientačních výpočtech.   3D modely využívají hexahedrálních (např. SOLID45, SOLID5) event. tetrahedrálních (např.  SOLID45,   SOLID98)   konečných   prvků.   Jsou   sestaveny   kompletní   modely   homogenních   desek,  které   nad   možnosti   skořepin   nabízí   zavedení   plného   obecného   ortotropního   příp.   anisotropního  materiálového modelu (s definováním obecných odklonů materiálových os) a   možnost obecného  zadání a změny tloušťky (odpovídající též klínovitému tvaru desky zvoleného klavíru). Z těchto  modelů konečně vychází model desky sestávající z homogenních přířezů, kde skladba desky jako  celku   je   již   nehomogenní.   Nad   možnosti   modelu   homogenní   desky   umožňuje   skladbu   desky   z  ortotropních přířezů libovolných šířek se samostatnými materiálovými modely a možností definice  odklonu   os   pro  každý  přířez.  Model  vzniká   buď  tvorbou  desky  a  jejím   následným  dělením   na  přířezy   (viz   příklad   níže),   nebo   v   případě   požadavku   složitějšího   tvaru   přířezu   postupným  generováním jednotlivých přířezů.    Tvorba modelu a řešení zvolené analýzy probíhá spuštěním dávkového souboru příkazů v APDL.  V první části se skript odvolává na přehledně editovatelný skript s definicí základních parametrů  modelu: měřítko modelování, x y z pozice objektu v globálním kartézském souřadném systému, x a  y souřadnice bodů hrany desky, tloušťka desky ve třech známých bodech, úhel odklonu podélných  hran přířezů a levou podélnou hranou desky, šest poloměrů v případě zjednodušeného popisu hrany  desky, dále parametry pro síťování – globální velikost elementu, počet elementů v tloušťce desky,  poměr délky a šířky elementu. Následně je spuštěn preprocesor. Modelování „from the bottom up“  13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  3 ­

je zahájeno tvorbou keypointů první roviny desky, následně jsou tvořeny line příkazy lstr či larc, v  některých případech je k tvorbě oblouku s výhodou využito příkazu lfillt. Následně jsou generovány  tři keypointy druhé roviny desky, představující body desky o definované tloušťce. Na tyto tři body je  následně příkazem cskp vztažen lokální souřadný systém tak, že rovina xy leží v druhé rovině desky.  V založeném lokálním souřadném systému jsou generovány zbývající keypointy druhé roviny desky,  poté je tento souřadný systém zrušen. Pomocí keypointů jsou definovány line, postupem shodným s  postupem   u   první   (spodní)   roviny   rezonanční   desky.  Tvorba   drátového   modelu   je   zakončena  výmazem   redundantních   entit.   Příkazem  al  jsou   v   další   části   skriptu   tvořeny   všechny   plochy  modelu,   příkazem  va  pak   objem   –   těleso   desky.   Následuje   postup   rozdělení   objemu   desky   na  objemy   přířezů,   kde   rozhodujícím   je   určení   šířek   jednotlivých   přířezů.   Šířka   každého   přířezu,  odklon anatomických os ve směru  x,  y  a  z  od podélné osy přířezu (resp. podélných hran přířezu)  jsou definovány zvláštním dávkovým souborem, nebo definovány náhodným generováním hodnot.  K náhodnému generování hodnot je využíváno příkazu rand (předpokládající vyrovnanou četnost a  vyžadující definici minima a maxima intervalu pro generování, např. min. a max. šířky přířezů)  a  gdis (pracující s Gaussovo rozložením a vyžadující pak mnohdy praktičtější definici střední hodnoty  a   směrodatné   odchylky).  Volba  způsobu   zadání   parametrů   přířezů  a   některé   konflikty   v  zadání  (např.   součet   šířek   přířezů   vs.   rozměry   desky   aj.)   jsou   ošetřeny   jednoduchými   podmínkami.  Parametry přířezů jsou uloženy v proměnných typu pole, která jsou naplňována v cyklech. V cyklu  jsou rovněž vytvořeny a nadefinovány lokální souřadné systémy každého z přířezů, pomocí pracovní  roviny   rozdělena   deska   na   přířezy,   přiřazeny   atributy   objemů   (vatt)   přířezů   a   vytvořeny   jejich  komponenty.   V   nejjednodušším   případě   zavedení   vzájemné   vazby   přířezů   předchází   přiřazení  atributů objemů a  tvorbě komponent spojení objemů slepením (vglue). Posledním krokem tvorby  geometrického   modelu   je   tvorba   komponent   ploch   pro   pozdější   definice   okrajových   podmínek  řešení.

Obr.   2   Geometrický  model   desky   sestávající   ze   14   homogenních   přířezů   (šířka   generována   náhodně v intervalu 80 – 120 mm) s naznačením omezení stupňů volnosti posunutí Tvorba   konečně­prvkového   modelu   je   zahájena   cyklem   nastavujícím   dle   atributů   přířezů   typ  elementu (vždy shodný, standardně např. hexahedrální SOLID45), případně dalších detailnějších  nastavení jeho chování. Kontrola hustoty a kvality sítě spočívá ve volbě parametru určujícího počet  13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  4 ­

elementů v  z  rozměru (tloušťce) desky a vystupujícího v příkazu  lesize, dále ve volbě parametru  určujícího   globální   velikost   elementu   a   parametru   vyjadřujícího   maximální   zvolený   poměr  podélného a příčného rozměru elementu (např. 0,3). Pomocí cyklu je nalezena nejmenší tloušťka  desky, ta je dělena zvoleným počtem elementů v tloušťce desky a výsledný příčný rozměr elementu  je   konfrontován   přes   poměr   s   definovanou   globální   velikostí   elementu.   Pokud   je   již   poměr  nevyhovující, je znovu definována největší vyhovující globální velikost elementu a o tomto zásahu  do volby parametrů je podána v grafickém rozhraní informace. Konečnému spuštění generování sítě  na objemech předchází cyklus přiřazující materiálové tabulky přířezů, odvoláním se v každém cyklu  na   dávkový   soubor   obsahující   přehledně   parametry  konkrétního   materiálového  modelu   každého  přířezu   a     univerzálně   používaný   dávkový   soubor   zavádějící   na   základě   těchto   parametrů  materiálové modely do ANSYS.

Obr. 3 Konečně­prvkový model (hexahedrální sweep mesh, Solid 45), pohled a detail  Další dávka příkazů zabezpečuje zavedení okrajových podmínek řešení (pro modální analýzu v  podstatě  pouze omezení stupňů volnosti posunutí v  x,y,z  na bočních plochách desky), nastavení  vlastního   výpočtu   a   spuštění   řešení.   Postprocesing   probíhá   individuálně   pomocí   zvláštních  dávkových souborů, či grafického rozhraní.        Model   je   v   současnosti   využíván   k   simulacím   strukturální   analýzy   (statické   analýzy,   modální  analýzy). S výhodou je užito prestress analýzy, analýzy s počátečním rozložením napětí zjištěným  předchozí strukturální či termální resp. coupled­field analýzou, protože výrobci pian si zakládají na  rozmanitých postupech ovlivňování vlastností nástrojů úmyslným i neúmyslným zaváděním napětí  do   rezonančních   desek.   Obecná   parametrická   deklarace   modelů   pak   nabízí   zařazení   řady  citlivostních   analýz   (např.   vliv   změn   geometrie   desky   či   přířezů,   odklonu   přířezů   v   desce,   či  anatomických os v přířezu, vliv materiálové skladby aj. na statickou odezvu konstrukce, vlastní  frekvence a tvary).

13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  5 ­

Př íklady výsledků, diskuze, závěry Základní výpočet podává informace o vlastních frekvencích a tvarech – Modální analýza, sparse  solver,   extrakce   módů   metodou   Block   Lanczos,   symetrická   globální   matice,   bez   počátečních  distribucí napětí, omezení stupňů volnosti posunutí ve všech směrech na bočních plochách desky.  Geometrie odpovídá výrobku Petrof mod. IV (půdorys desky, tloušťky, odklon přířezů), náhodně  generované   šířky   přířezů   v   intervalu   80   –   120   mm   (s   vyrovnanou   četností),   nulové   odklony  anatomických   os   v jednotlivých   přířezech.  Konečně­prvkový   model   hexahedrální   elementy   typu  SOLID45.   Souřadná   osa   lokálního   elementového   souřadného   systému  x  odpovídá   radiálnímu  anatomickému směru (R), y podélnému (L) a z tangenciálnímu (T). Použitý materiálový model (shodný pro všechny přířezy): Youngovy   elastické   moduly   pružnosti   [Pa]   (Požgaj,   Picea   abies):  Ex=789x106,  Ey=13650x106,  Ez=289x106;   Kirchhofovy   elastické   moduly   pružnosti   [Pa]   (Požgaj,   Picea   abies):  Gxz=543x106,  Gyz=474x106,  Gxy=53x106;   Poissonovy   čísla   (minor)   [­]   (dopočet   z  Young.   a  Kirch.   modulů   pro  pozitivně   definitní   matici   elasticity):  Nxz=0,4,  Nyz=0,03,  Nxy=0,31;   objemová   hmotnost   [kg/m3]  (Horáček, Picea sp. , w=12 % abs.): R = 450.  Tab.1. Přehled prvních třiceti vlastních frekvencí (set – freq)           1    26.983                       2    45.946                       3    58.865                       4    69.478                    5    89.682                       6    97.477           

         7    100.11                      8    122.95                       9    130.55                     10   144.20                     11   150.43                      12   160.13             

        13    168.79                     14    190.29                      15    198.71          16    205.74                      17    211.98                     18    214.95

        19    238.90                      20    245.43          21    258.96                      22    266.52                     23    270.75                     24    289.80

Obr. 4 Zobrazení 1. vlastního tvaru kmitání (složky posunutí v x,z,y a sumárně)

13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  6 ­

        25    291.73                      26    297.63                      27    311.46                     28    327.02               29    338.15                      30    346.96 

Závislost vlastní frekvence desky na objemové hmotnosti dřeva 160 150 140

Vlastní frekvence [Hz]

130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 400

420

440

460

480

500

Objemová hmotnost [kg/m^3]

Obr. 5 Grafické vyjádř ení závislosti prvních deseti vlastních frekvencí desky na objemové hmotnosti   dřeva Trendy   (kubickým  spline proložených)   hodnot  výsledků  simulací  analýzy  citlivosti  desky  ke  změnám hustoty dřeva poukazují na poměrně nízký vliv této vlastnosti. Přesto je patrný pokles  vlastních   frekvencí  (především   ve   vyšších   frekvencích).  Simulace  předpokládaly   poměrně   velký  rozsah měnící se hustoty a výsledky rozhodně nedokazují fatální vliv měnící se hustoty na vlastnosti  desky. Tato analýza pracuje se shodným geometrickým (vyjma konstantních šířek přířezů 100 mm)  a   materiálovým   modelem   (vyjma   hustoty)   jako   analýza   předchozí,   rovněž   nastavení   řešiče   je  shodné. Závislost vlstních frekvencí na odkonu přířezů

Vlastní frekvence [Hz]

160 150 140 130 120 110 100 90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

80 70 60 50 40 30 20 46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

Odklon [°]

Obr.   6   Grafické  vyjádř ení  závislosti  prvních  deseti vlastních  frekvencí  desky na měnícím  se   odklonu hran přířezů  13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  7 ­

Simulace sledující vliv odklonu přířezů pracuje se změněným materiálovým modelem. Hodnoty  modulů byly povýšeny (např.  EL=15 500x106 ,  ER=1000x106 Pa, ostatní konstanty úměrně). Změny  vlastních frekvencí jsou srovnatelné při odklonu 52°. Vliv odklonu přířezů je znatelnější, především  ale stochastičtější, každá vlastní frekvence odpovídá na změnu více či méně odlišně. Zajímavou  skutečností je, že u vyšších frekvencí dochází k nárůstu právě v okolí odklonu, který je v konstrukci  klavíru standardně používán. Další   simulace   se   věnují   např.   vlivu   náhodně   umístěných   přířezů   s   odlišným   materiálovým  modelem. Přířez umístěný v okrajových partiích desky, jehož hustota je odlišná nemá v podstatě  žádný vliv na změnu vlastních frekvencí (např. změna první vlastní frekvence je do 0,1 %). O něco  výrazněji se na změnách podílí přířezy s odlišnými moduly elasticity způsobující nehomogenity  skladby   desky   (testována  změna   v  řádech   tísíců   Mpa   u  EL),  interpretace   je   ovšem   vzhledem   k  ortotropii vlastností (výskyt konstant v jedné matici elasticity) obtížná. Obr. 7 Zobrazení vybraných vlastních tvarů kmitání (posunutí sumárně ve všech složkách)

13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  8 ­

  

13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  9 ­

Literatura BODIG,   J.   &   JAYNE,   B.   A.   1982:   Mechanics   of   wood   and   wood   composites.   Reinhold  Company. New York – Cincinnati – Toronto – London – Melbourne, Van Nostrand, 712pp. BOUTILLON, X., 1986: The piano hammer action. In: Proc. Of Catgut Acoust. Soc. Int. Symp.,  July 20­23 Hartford, CT BRDIČKA, M. et al. 2000: Mechanika kontinua. 2.vyd., Praha, Academia, nakladatelství AVČR,  799pp. BUCUR, V., 1995: Acoustics of Wood, Boca Raton ­ Florida, ISBN 0­8493­4801­3 BUCHAR, J., 1993:   Šíření elastických vln v   různých druzích dřev. Acta univ. agric. (Brno),  fac. agroecon., XXVI, No. 1–4, pp.: 209–223. CALDERSMITH, G., ROSSING,T. D., 1982: Determination of Modal Coupling in Vibrating  Rectangular Plates, Northern Illionis University ­ USA, DeKalb, IL 60115   FLETCHER, N. H., ROSSING, T. D., The Physics of Musical Instruments, 2nd ed. 1998. Corr.  3rd printing, 2000, XIX, 756 p. 485 illus., Hardcover ISBN: 0­387­98374­0,    KOLÁŘ, V., NĚMEC, I., KANICKÝ, V. 1997: FEM Principy a praxe metody konečných prvků.  Praha, Computer Press, 401pp. KOHNKE, P. 1998: ANSYS Theory Reference. Canonsburg, PA, USA, ANSYS, Inc. POŽGAJ, A. et al. 1997: Štruktúra a vlastnosti dreva. 2.vyd. Bratislava, PRÍRODA, a.s., 448 pp. REKTORYS, K. 1999: Variační metody v inženýrských problémech matematické fyziky. Praha,  Academia, 603pp.

Adresa Ing. Jan Tippner, Ing. Petr Koňas, Ph.D.,  Ústav nauky o dřevě, Fakulta lesnická a dřevařská,  Mendelova  zemědělská a lesnická univerzita v Brně, Zemědělská 3, 613 00 Brno, Česká republika

Práce  vznikla za podpory projektu MSM 6215648902, 5/2005 IGA MZLU  v Brně  a FRVŠ  3350/2005/G1.

13. ANSYS Users' Meeting, 21. ­ 23. září 2005 Přerov  ­  10 ­