MODEL PENGENDALIAN PERSEDIAAN DENGAN PENUNGGAKAN PESANAN KETIKA TERJADI KEKURANGAN STOK F. Aldiyah1∗ , E. Lily2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This paper discusses the inventory control model in distributor problem, which is a review from the article K. A Adeleke & D. A Agunbiade [Global Journal of Science Frontier Research 10 (2010): 64 – 68]. Inventory control model is discussed based on when shortage are allowed and backorder takes place. This model considers the cost incured for meeting the demand, and also considers the fixed time to place an order. Furthermore, a numerical example is given to explain the problem discussed. Keywords: shortage, inventory control, backorder. ABSTRAK Pada artikel ini disajikan model pengendalian persediaan dalam masalah persediaan untuk distributor yang merupakan review sebagian dari artikel K. A Adeleke & D. A Agunbiade [Global Journal of Science Frontier Research 10 (2010): 64 – 68]. Model pengendalian persediaan yang dibahas berdasarkan kondisi kekurangan stok yang diizinkan dan penunggakan pesanan tetap berlangsung. Model ini mempertimbangkan biaya yang dikeluarkan untuk memenuhi permintaan pelanggan, dan juga mempertimbangkan waktu yang telah ditetapkan untuk melakukan pemesanan. Sebuah contoh numerik diberikan pada akhir pembahasan. Kata kunci: kekurangan stok, pengendalian persediaan, penunggakan pesanan. 1. PENDAHULUAN Masalah pengendalian persediaan merupakan salah satu masalah penting yang dihadapi oleh perusahaan. Para ahli telah memusatkan perhatian pada kemungkinan penggunaan pendekatan matematika. Tujuannya untuk membantu pengambilan keputusan dalam menentukan tingkat persediaan yang optimal. Menurut Winston teknik pengendalian persediaan dari suatu jumlah pesanan yang meminimumkan 1
jumlah biaya persediaan, pertama kali diperkenalkan oleh F. W. Harris pada tahun 1914 [4, h. 847]. Pada perkembangan dunia bisnis saat ini, pelaku bisnis memiliki pola pikir yang baik demi menunjang kemajuan perusahaan seperti halnya dalam menentukan jumlah persediaan. Untuk menyeimbangkan antara kelebihan dan kekurangan dalam jumlah persediaan, maka perusahaan dapat menggunakan sistem persediaan yang dapat memberikan keuntungan pada perusahaan. Sistem yang digunakan seperti ini dikenal dengan sistem penunggakan pesanan (backorder). Penunggakan pesanan merupakan penundaan pemenuhan pesanan barang dari suatu permintaan dikarenakan persediaan barang habis. Penunggakan pesanan seperti ini berhubungan dengan tingkat persediaan yang habis atau kosong yang dikenal dengan kekurangan stok (shortage). Walaupun barang tidak tersedia, pelanggan tetap bisa memesan barang. Barang tersebut akan dipenuhi pada waktu yang telah ditentukan berdasarkan interval waktu yang sudah ditetapkan oleh perusahaan. Dalam artikel ini dibahas model pengendalian persediaan dengan kondisi penunggakan pesanan ketika terjadi kekurangan stok. Tujuannya untuk meminimalkan biaya persediaan, dengan menggunakan dua asumsi yaitu model pengendalian tingkat pesanan dan tingkat persediaan tidak tetap dan model tingkat persediaan dengan asumsi interval waktu tetap. Pembahasan dalam artikel ini sebagian besar merujuk kepada artikel Adeleke dan Agunbiade [1]. 2. MODEL ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ) Model EOQ digunakan untuk menyelesaikan model persediaan yang hanya terdiri dari satu jenis barang saja serta tidak adanya kekurangan stok. Adapun tujuan dari model EOQ adalah menentukan jumlah setiap kali pemesanan sehingga total biaya q dapat diminimumkan. Tingkat persediaan akan mencapai nol saat unit waktu R q setelah pesanan q diterima, dengan rata-rata persediaan adalah . Pada model 2 EOQ ini muncul dua komponen biaya yang digunakan yaitu biaya pengadaan dan biaya penyimpanan barang. Jadi total biaya dapat ditulis [3, h. 114]: Biaya setup Biaya penyimpanan + unit waktu unit waktu C3 R C1 q + , T C(q) = q 2
Total biaya persediaan =
(1)
dengan notasi yaitu T C adalah total biaya , R permintaan, q jumlah barang yang dipesan setiap melakukan pesanan, C1 biaya penyimpanan per satuan waktu, dan C3 biaya pengadaan barang setiap melakukan pemesanan. Kemudian ditentukan nilai q yang dapat meminimumkan total biaya, yaitu dengan menurunkan persamaan (1) terhadap q dan menyamakannya dengan nol, sehingga diperoleh r 2C3 R q= . (2) C1 2
Setelah diperoleh model jumlah pesanan optimal pada persamaan (2), maka dapat diperiksa dengan menggunakan uji turunan kedua untuk menunjukkan bahwa model tersebut adalah global minimum, yaitu d2 2C3 R [T C(q)] = . 2 dq q3 2C3 R > 0 untuk semua q > 0. Sehingga q dapat meminimumkan q3 total biaya persediaan pada persamaan (1). Model EOQ ini hanya digunakan untuk menjelaskan model persediaan tanpa adanya kekurangan stok. Pada pembahasan berikutnya akan dibahas model persediaan dengan menggunakan kekurangan stok dan adanya penunggakan pesanan. Terlihat bahwa
3. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI DUA VARIABEL Salah satu pemakaian kalkulus yang paling penting adalah mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Analisa matematika diperlukan dalam memperoleh titik maksimum dan titik minimum dari suatu fungsi. Pada pembahasan berikutnya ditentukan apakah rumusan yang dibahas itu benar maksimum atau minimum, sehingga materi ini akan digunakan sebagai pendukung. Definisi 1 [5, h. 103] Diketahui fungsi dua variabel f (x, y) dengan daerah definisi D. Titik (a, b) disebut titik maksimum global jika f (a, b) ≥ f (x, y) untuk setiap x, y ∈ D. Untuk (a, b) disebut titik minimum global jika f (a, b) ≤ f (x, y) untuk setiap (x, y) ∈ D. Titik maksimum global dan titik minimum global disebut titik ekstrim global dan nilai f (a, b) disebut nilai maksimum global atau minimum global atau ekstrim global. Definisi 2 [5, h. 104] Titik (x∗ , y ∗ ) disebut titik ekstrim fungsi f (x, y) jika ∂f ∗ ∗ ∂f ∗ ∗ (x , y ) = (x , y ) = 0. ∂x ∂y Syarat perlu untuk titik ekstrim yaitu semua turunan parsial pertama adalah nol. Pemenuhan syarat turunan parsial pertama adanya nilai dari fungsi yang merupakan nilai ekstrim dari fungsi tujuan. Jika nilai ekstrim fungsi diperoleh dari turunan parsial kedua adalah definit posifit, ini sudah cukup untuk menentukan nilai fungsi sebagai suatu minimum. Teorema 3 [2, h. 730] Syarat perlu untuk sebuah titik ekstrim X∗ menjadi titik ekstrim global adalah bahwa matriks Hessian H yang dievaluasi pada X∗ adalah 1. Definit positif jika X∗ sebuah titik minimum 2. Definit negatif jika X∗ sebuah titik maksimum 3
Turunan parsial kedua dari fungsi dua variabel dapat dinyatakan dengan serangkaian matriks 2 x 2. Koefisien matriks tersebut bila disusun secara tepat akan menghasilkan determinan matriks Hessian sebagai berikut: fxx fxy . |H| = fyx fyy
Syarat fungsi dua variabel dinyatakan minimum yaitu dengan minor-minor utama |H1 | = |fxx | > 0 dan fxx fxy 2 = fxx fyy − fxy |H2 | = > 0. fyx fyy
Sedangkan syarat fungsi dua variabel dinyatakan maksimum yaitu dengan minorminor utama |H1 | = |fxx | < 0 dan fxx fxy 2 = fxx fyy − fxy |H2 | = > 0. fyx fyy 4. MODEL PENGENDALIAN PERSEDIAAN DENGAN ASUMSI JUMLAH PESANAN DAN TINGKAT PERSEDIAAN TIDAK TETAP
Sebelum membahas model, berikut diperkenalkan notasi yang digunakan. T C := total biaya, AC := rata-rata total biaya, R := permintaan, R(t) := jumlah barang yang dibutuhkan per unit waktu, −R := laju permintaan, Io := tingkat persediaan pada saat t, Io∗ := tingkat persediaan optimal pada saat t, q := jumlah barang yang dipesan setiap melakukan pesanan, ∗ q := jumlah optimal barang yang dipesan, C1 := biaya penyimpanan (holding cost) satu unit barang per unit waktu, C2 := biaya kekurangan (shortage cost) satu unit barang per unit waktu, C3 := biaya pengadaan barang (setup cost) setiap melakukan pemesanan, T := interval waktu setiap pemesanan, t1 := interval waktu pada saat barang ada di gudang (persediaan awal), t2 := interval waktu saat terjadi kekurangan stok, q := R(t) Gambar 1 merupakan model pengendalian persediaan dengan kondisi kekurangan stok. Interval waktu t1 adalah waktu saat persediaan barang ada di gudang, sehingga dapat dibentuk persamaan t1 = 4
Io T , q
(3)
It
A
A
-R q
Io
t1 to = 0
t2
O
t1
B
t2
C
B
D
C
t
D
T
T
Gambar 1: Model Persediaan dengan Kekurangan Stok
dan untuk interval waktu t2 saat terjadi permintaan baru dapat dibentuk persamaan t2 =
(q − Io )T , q
(4)
dengan q − Io adalah jumlah barang yang akan dipenuhi. Total persediaan pada waktu T digambarkan pada segitiga AOB ∆AOB =
I o t1 . 2
Biaya penyimpanan untuk satu unit barang per unit waktu adalah C1 sehingga total biaya penyimpanan C1 I o t1 Hc = , (5) 2 dan biaya kekurangan barang untuk satu unit barang per unit waktu adalah C2 . Jadi total biaya kekurangan stok adalah Sc = C 2
(q − Io ) t2 . 2
(6)
Jika biaya pengadaan selama satu periode T adalah C3 maka total biaya persediaan untuk satu periode T adalah T C(Io , q) = Hc + Sc + C3 =
5
C1 I o t1 q − I t t2 + C2 + C3 . 2 2
Selanjutnya, rata-rata total persediaan selama satu periode T adalah 1 1 C1 I o t1 q − I o t2 AC(Io , q) = [T C(Io , q)] = + C2 + C3 . T T 2 2
(7)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3) dan persamaan (4) ke persamaan (7) sehingga diperoleh AC(Io , q) =
C1 Io 2 C2 (q − Io )2 C3 R + . + 2q 2q q
(8)
Jika persamaan (8) diturunkan terhadap Io , maka diperoleh tingkat persediaan Io∗ =
C2 q . C1 + C2
(9)
Berikutnya untuk memperoleh jumlah pesanan barang yang optimal, maka persamaan (8) diturunkan terhadap q sehingga diperoleh r r 2C3 R C1 + C2 ∗ q = . (10) C1 C2 Setelah diperoleh jumlah pesanan yang optimal pada persamaan (10), kemudian persamaan (10) disubstitusikan pada persamaan (9) untuk mendapatkan tingkat persediaan optimal, yaitu r r C2 2C3 R ∗ Io = . (11) C1 + C2 C1 Kemudian, substitusikan persamaan (10) dan (11) ke persamaan (8). Sehingga diperoleh rata-rata total biaya adalah r C1 p 2C1 C3 R. (12) AC = C1 + C2
Pada artikel ini, dibahas determinan matriks Hessian untuk 2 variabel, yaitu q ∗ dan Io∗ . Untuk mengetahui bahwa q ∗ pada persamaan (10) dan Io∗ pada persamaan (11) dapat meminimumkan AC pada persamaan (8), dilakukan uji turunan kedua terhadap q ∗ dan Io∗ . Determinan matriks Hessian untuk variabel q ∗ dan Io∗ sebagai berikut: 2 ∂ AC ∂ 2 AC (C1 + C2 )Io2 2C3 R −(C1 + C2 )Io2 + ∂q 2 3 3 2 ∂I ∂q q q q o = |AC| = 2 2 2 ∂ AC ∂ AC C + C −(C + C )I 1 2 1 2 o ∂q∂Io ∂Io2 q2 q 2C3 R(C1 + C2 ) . |AC| = q4
6
2C3 R(C1 + C2 ) > 0, akibatnya AC(Io , q) adalah q4 fungsi konvek, dengan q ∗ dan Io∗ merupakan nilai yang dapat meminimumkan AC. q Dari Gambar 1, untuk satu periode waktu dibutuhkan stok untuk setiap R pemesanan sehingga waktu pemesanannya adalah r r 2C3 C1 + C2 q∗ = (13) t= R R C1 C2 Karena nilai q > 0 sehingga
5. MODEL PENGENDALIAN PERSEDIAAN DENGAN INTERVAL WAKTU PEMESANAN TETAP Pada bagian ini diuraikan model persediaan dengan interval waktu pemesanan untuk satu periode adalah tetap selama T . Pada model persediaan, jumlah pesanan adalah tetap sebesar q. Karena terjadi kekurangan stok maka dapat dicari jumlah barang yang kurang, yang tujuannya untuk meminimumkan total biaya yang dikeluarkan. Adapun langkah-langkahnya yaitu substitusikan persamaan (3) dan persamaan (4) ke persamaan (7) maka diperoleh C1 Io 2 C2 (q − Io )2 C3 R + , + AC(Io , q) = 2q 2q q
(14)
jika persamaan (14) diturunkan terhadap Io pada uji turunan pertama, maka diperoleh tingkat persediaan optimalnya adalah Io∗ =
C2 q , C1 + C2
(15)
karena terjadi kekurangan stok, maka jumlah persediaan yang kurang dapat dipenuhi sebesar Total kekurangan stok = q − Io∗ . (16) Untuk mendapatkan rata-rata total biaya dengan interval waktu tetap, substitusikan persamaan (15) ke persamaan (14), sehingga diperoleh AC ∗ =
C1 C2 q. 2C1 + C2
(17)
Selanjutnya untuk menguji Io∗ adalah tingkat persediaan optimal, maka dapat ditentukan turunan kedua dari persamaan (14), yaitu C1 + C2 d2 AC(Io ) = , 2 dIo q karena C1 ,C2 dan q > 0 maka diperoleh d2 AC(Io ) > 0. dIo2 7
Hal ini membukti bahwa Io∗ adalah tingkat persediaan optimal yang dapat meminimumkan total biaya persediaan pada persamaan (14). 6. CONTOH NUMERIK Sebuah perusahaan sabun memiliki permintaan sebesar 9000 unit per tahun. Biaya pengadaan barang sebesar Rp1.490.000 dan biaya penyimpanan barang per unit sebesar Rp35.670 per tahun. Akan ada penambahan permintaan setelah persediaan barang habis sehingga akan terjadi kekurangan stok. Untuk memenuhi permintaan kekurangan stok barang tersebut, maka perusahaan perlu mengeluarkan biaya kekurangan stok per unit sebesar Rp74.500 per tahun. Karena perusahaan ini bertindak sebagai distributor maka perusahaan ingin mencari berapa jumlah pemesanan barang yang optimal. Perusahaan juga perlu menentukan berapa barang yang akan disimpan di gudang sehingga akan ditentukan jumlah persediaan optimal. Kemudian dicari waktu yang diperlukan untuk setiap kali pemesanan. Dan hal terakhir yang sangat penting untuk ditentukan oleh perusahaan adalah jumlah total biaya yang akan dikeluarkan. Dari kasus di atas, diketahui R=9000 unit/tahun, C1 =Rp35.760, C2 =Rp74.500 , dan C3 = Rp1.490.000 . Untuk jumlah pemesanan yang optimal, dari persamaan (10) diperoleh r r r r 2C3 R C1 + C2 2(1.490.000)(9000) 35.760 + 74.500 ∗ q = = = 1053, 08 unit C1 C2 35.760 74.500 q ∗ ≈1053 unit, sehingga jumlah barang yang dipesan untuk satu periode adalah sebesar 1053 unit. Tingkat persediaan optimal Io∗ dicari dengan menggunakan persamaan (11) r r r r C 2C R 74.500 2(1.490.000)(9000) 2 3 Io∗ = = 711, 87 unit = C1 + C2 C1 35.760 + 74.500 35.760 Io∗ ≈711 unit, tingkat persediaan yang harus disediakan oleh perusahaan adalah sebesar 711 unit. Rata-rata total biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk satu periode, dengan menggunakan persamaan (12) diperoleh r r p C1 p 35.760 AC = 2C1 C3 R = 2(35.760)(1.490.000)9000 C1 + C2 35.760 + 74.500 AC =25.456.417, 45 jadi rata-rata total biaya yang dikeluarkan perusahaan setiap tahun atau setiap satu periode adalah sebesar Rp25.456.417,45. Waktu yang diperlukan antara setiap pemesanan dengam menggunakan persamaan (13) s s r r 2C3 C1 + C2 2(1.490.000) 35.760 + 74.500 t= = 0, 117 tahun. = R C1 C2 (9000) (35.760)(74.500) 8
Didapatkan waktu yang diperlukan untuk setiap kali pemesanan sebesar 0,117 tahun = 42 hari. Jadi perusahaan akan memulai memesan lagi setelah 42 hari. Dari Contoh yang telah dibahas di atas, akan dikaji kembali dengan permasalahan persediaan tidak tetap berdasarkan interval waktu yang ditetapkan. Nilai q sudah dihitung pada contoh sebelumnya. Tingkat persediaan optimal akan dicari untuk menentukan berapa persediaan yang harus ada. Karena terjadi kekurangan stok maka perlu ditentukan berapa barang yang kurang dan kemudian akan dicari berapa rata-rata total biaya yang digunakan. Dari kasus di atas diketahui: R = 9000 unit/tahun, C1 = Rp35.760, q = 1053 unit, C2 = Rp 74.500, dan C3 = Rp1.490.000. Tingkat persediaan optimalnya dengan menggunakan pesamaan (15) yaitu C2 q (74.500)(1053) = 711, 48 = C1 + C2 35.760 + 74.500 Io∗ ≈711 unit, Io∗ =
maka jumlah persediaannya sebesar 711 unit. Karena mengalami kekurangan stok, dapat ditentukan berapa barang yang kurang dengan menggunakan persamaan (16) sehingga q − It = 1053 − 711 = 324. Rata-rata total biaya persediaan yang harus dikeluarkan oleh perusahaan yaitu dengan persamaan (17), sehingga diperoleh AC ∗ =
C1 C2 (35.760)(74.500) (1053) = 19.211.877, 55. q= 2C1 + C2 2(35.760) + (74.500)
Jadi rata-rata total biaya yang dikeluarkan pada asumsi kedua ini adalah sebesar Rp19.211.877,55. Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa jumlah persediaan barang yang harus dimiliki perusahaan adalah sebesar 711 unit dengan jumlah barang yang dipesan 1053 unit dalam satu periode. Barang akan habis dalam waktu 42 hari dengan ratarata total biayanya Rp25.456.417,45. Karena adanya permintaan setelah terjadi kekurangan stok, maka jumlah barang yang harus dipenuhi adalah sebesar 324 unit dengan biaya sebesar Rp19.211.877,55. 7. KESIMPULAN Model persediaan dengan mempertimbangkan kondisi kekurangan stok merupakan salah satu alternatif yang dapat dipilih perusahaan untuk mengambil keputusan dalam masalah persediaan. Pada saat terjadi kekurangan stok, pelanggan tetap bisa memesan barang. Dengan hal ini pelayanan terhadap konsumen tidak akan terganggu dan perusahaan dapat mengatur kapan harus melakukan pemesanan kembali. Selain itu dapat juga ditentukan jumlah optimal barang yang harus tersedia serta menentukan berapa banyak biaya yang diperlukan agar biaya pengeluaran minimum. 9
Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih untuk Dr. M. D. H. Gamal, M.Sc, yang telah banyak membantu dalam menyelesaikan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] K. A Adeleke & D. A Agunbiade. 2010. Inventory Production Control Model with Backorder when Shortage are Allowed. Global Journal of Science Frontier Research 10: 64 - 68. [2] Taha, H. A. 1982. Operations Research: An Introduction, 3rd Editions. Macmillan Publishing, Co. Inc. New York. [3] Taha, H. A. 1996. Riset Operasi edisi kelima, Jilid 2. Terj. dari Operations Research: An Introduction, oleh Wirajaya, D. & Saputra, L. Penerbit Binarupa Aksara. Jakarta. [4] Winston, W. L. 1991. Operations Research: Applications and Algorithms. PWS KENT Publishing Company, Belmont, California. [5] Wono Setya Budhi. 2001. Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya. Penerbit ITB, Bandung.
10
