MODEL KESETIMBANGAN UMUM DARI EKONOMI PRODUKSI DENGAN PASAR ASET
RIJAL ULHAQ G54102027
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
ABSTRACT RIJAL ULHAQ. A general equilibrium model of a production economy with asset markets. Supervised by ENDAR H. NUGRAHANI and EFFENDI SYAHRIL. General equilibrium theory investigates the existence of equilibrium levels of production, consumption and prices in a multi-market economy. General equilibrium theory is a milestone in modern economics. The model of general equilibrium is characterized by three classes of agents: a representative firm, heterogeneous households, and the government. Two markets (i.e., a labour market and a goods market) are considered and two assets are traded in exchange of money, namely, treasury bills and stocks. Households provide the labour force and decide on consumption and savings, whereas the firm provides consumption goods and demands labour. The government received taxes from households and pays interest on debt. The Walrasian equilibrium is derived analytically. The dynamics of obtaining quantity constrained equilibria other than Walrasian equilibrium is also studied by means of computer simulations.
ABSTRAK RIJAL ULHAQ. Model kesetimbangan umum dari ekonomi produksi dengan pasar aset. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan EFFENDI SYAHRIL. Teori kesetimbangan umum menyelidiki eksistensi pada tingkat-tingkat kesetimbangan dari produksi, konsumsi dan harga pada pasar-pasar ekonomi. Teori kesetimbangan umum merupakan pondasi utama pada ekonomi modern saat ini. Model kesetimbangan umum ini terkarakterisasi pada tiga pelaku ekonomi, yakni pelaku ekonomi rumah tangga, perusahaan dan pemerintah. Terdapat dua pasar yakni pasar tenaga kerja dan pasar barang konsumsi, juga terdapat aset-aset yang diperdagangkan pada pasar aset, yakni surat utang pemerintah jangka pendek dan saham. Rumah tangga menyediakan faktor produksi tenaga kerja dan melakukan konsumsi terhadap barang konsumsi serta menabung pada pasar aset, sedangkan pelaku ekonomi perusahaan menyediakan barang konsumsi dan melakukan permintaan terhadap faktor produksi tenaga kerja. Pemerintah menerima pajak dari pelaku ekonomi rumah tangga serta membayarkan bunga dari surat utang pemerintah jangka pendek. Kesetimbangan Walras telah diperoleh secara analitis. Dinamika untuk memperoleh kesetimbangan pada kuantitas berkendala di luar kesetimbangan Walras juga dipelajari melalui simulasi komputer.
MODEL KESETIMBANGAN UMUM DARI EKONOMI PRODUKSI DENGAN PASAR ASET
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: RIJAL ULHAQ G54102027
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
Judul Nama NIM
: Model Kesetimbangan Umum dari Ekonomi Produksi dengan Pasar Aset : Rijal Ulhaq : G54102027
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Drs. Effendi Syahril, Grad.Dipl.
NIP. 131 842 411
NIP. 131 804 163
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA. NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 3 Juni 1984 dari pasangan Agus Supriyono dan Heni Mardiastuti. Penulis merupakan anak kedua dari empat bersaudara. Tahun 2002, penulis lulus dari SMUN 2 Purwakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah aktif dalam kepanitiaan yang diselenggarakan oleh GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2003/2004.
KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah, Tuhan semesta alam. Shalawat serta salam semoga tercurah kepada Rasulullah SAW. Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi Matematika. Penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, pengarahan, semangat dan saran selama proses penulisan karya ilmiah ini. 2. Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah diberikan. 3. Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku Penguji yang telah banyak memberikan saran dan masukan. 4. Nisa Rachmani dan Kanz Ibrahim Sani, Istri tercinta dan Ananda tersayang yang banyak memberikan kebahagiaan. 5. Keluarga besar di Purwakarta dan Jakarta atas semua dukungan dan kesabarannya. 6. Fifit Maulani atas doa, semangat dan persahabatan selama ini. 7. Arie Wijayanto atas bantuannya. 8. Roma Uli atas semua bantuan, semangat dan kebaikan selama kost di Perwira 12. 9. Febiana, Rahmat, dan Frederick selaku pembahas. 10. Yudi Arisandi dan Prima atas kebaikannya. 11. Mahasiswa/i matematika IPB khususnya angkatan 39, 40 dan 41. 12. Para dosen dan staf departemen matematika IPB. 13. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan memberikan kebaikan bagi pembaca.
Bogor, Desember 2007
Rijal Ulhaq
DAFTAR ISI Halaman PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang..................................................................................................................... 1 1.2 Tujuan.................................................................................................................................. 1 LANDASAN TEORI 2.1 Peubah acak dan sifat-sifatnya............................................................................................. 2 2.2 Nilai maksimum dan minimum ........................................................................................... 3 2.3 Fungsi produksi Cobb-Douglas ........................................................................................... 3 2.4 Teori portofolio Markowitz ................................................................................................. 4 2.5 Daftar istilah ........................................................................................................................ 6 PEMBAHASAN 3.1 Model kesetimbangan umum............................................................................................... 8 3.1.1 Rumah tangga................................................................................................................... 8 3.1.2 Perusahaan...................................................................................................................... 10 3.1.3 Pemerintah...................................................................................................................... 11 3.1.4 Kesetimbangan Umum Walras ....................................................................................... 11 3.2 Dinamika proses kesetimbangan umum ............................................................................ 12 SIMPULAN .................................................................................................................................. 14 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 15 LAMPIRAN.................................................................................................................................. 16
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kesetimbangan umum merupakan salah satu cabang ilmu mikroekonomi untuk menjelaskan produksi, konsumsi dan harga pada keseluruhan ekonomi. Teori kesetimbangan umum merupakan pondasi utama pada ekonomi modern. Teori ini dirancang pertama kali oleh Leon Walras pada akhir abad ke-19, kemudian dikembangkan lebih lanjut oleh Arrow dan Debreu di tahun 1950-an. Kesetimbangan umum mencoba untuk memberikan pemahaman pada keseluruhan ekonomi dengan menggunakan pendekatan bottom-up yang dimulai dengan masingmasing pasar dan pelaku ekonomi. Hal ini berbeda dengan makroekonomi yang menggunakan pendekatan top-down yang dimulai dengan agregat terbesar. Namun sejak makroekonomi modern menekankan dasar mikroekonomi, perbedaan itu tidak terlalu signifikan. Model kesetimbangan umum merupakan salah satu ilmu ekonomi yang menggunakan metode kuantitatif. Model kesetimbangan umum menganalisa fenomena ekonomi yang berkembang pesat pada ekonomi modern saat ini, dengan menggunakan konsep aliran uang dari pelaku ekonomi yang satu ke pelaku ekonomi lainnya. Tulisan ini menyajikan model kesetimbangan umum dengan tiga pelaku ekonomi yakni perusahaan, rumah tangga, dan pemerintah. Terdapat dua pasar yakni pasar barang dan jasa serta pasar tenaga kerja. Juga terdapat dua aset yang diperdagangkan yakni treasury bills dan saham. Pelaku ekonomi perusahaan bertujuan memaksimumkan laba. Perusahaan melakukan permintaan terhadap faktor produksi tenaga kerja, menawarkan barangbarang konsumsi dan membayarkan dividen kepada para pemegang saham yakni pelaku ekonomi rumah tangga. Pelaku ekonomi
rumah tangga bertujuan memaksimumkan utilitas. Rumah tangga melakukan permintaan terhadap barang-barang konsumsi, menawarkan faktor produksi tenaga kerja, dan menabung melalui pasar aset dengan aset saham dan treasury bills. Sedangkan pelaku ekonomi pemerintah melakukan pembayaran terhadap bunga treasury bills dan menerima pajak dari rumah tangga. Kesetimbangan pemerintah akan bernilai nol jika jumlah pajak yang diterima sama dengan jumlah bunga treasury bills yang mesti dibayarkan kepada pemegang treasury bills, yakni rumah tangga. Defisit akan terjadi jika kesetimbangan pemerintah bernilai negatif, yang berarti penerimaan pajak lebih kecil dari pengeluaran bunga treasury bills . Kesetimbangan umum diperoleh dari interaksi pelaku-pelaku ekonomi pada pasarpasar ekonomi yang berkaitan, pada saat agregat penawaran dan agregat permintaan bernilai sama, sehingga diperoleh tingkat harga, tingkat upah, jumlah tenaga kerja, dan jumlah output (barang-barang konsumsi) yang memaksimumkan laba perusahaan serta memaksimumkan utilitas rumah tangga. Pada karya ilmiah ini juga disimulasikan dinamika proses kesetimbangan umum yang merepresentasikan tingkat harga, upah dan upah riil pada tahapan waktu tertentu. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Marco Raberto, Andrea Teglio dan Silvano Cincotti (2006) yang berjudul A general equilibrium model of a production economy with asset markets. 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari dan merumuskan kembali model kesetimbangan umum dengan penyajian aset treasury bills dan aset saham, serta mensimulasikan dinamika proses kesetimbangan umum pada tahapan waktu tertentu.
2
LANDASAN TEORI
2.1 Peubah Acak dan Sifat-sifatnya Definisi 1 (Percobaan Acak) Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, namun kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui. [Hogg & Craig, 2005] Definisi 2 (Ruang contoh) Ruang contoh yang dinotasikan dengan Ω adalah himpunan semua hasil yang dapat diperoleh dari suatu percobaan acak. [Hogg & Craig, 2005] Definisi 3 (Medan- σ ) Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω , yang memenuhi kondisi berikut: 1. ∅ ∈ F , 2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
∞
∪A ∈F , i
i =1
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan F adalah medan- σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi: 1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 , 2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai ∩ A j = ∅ untuk setiap
pasangan
i≠ j,
maka
⎛ ⎞ P ⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) . ⎝ i =1 ⎠ i =1 [Grimmett dan Stirzaker, 1992] ∞
∞
Definisi 5 (Peubah acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh. Suatu fungsi X yang memetakan setiap c ∈ Ω ke tepat satu bilangan nyata X (c) = x disebut peubah acak. [Hogg & Craig, 2005] Definisi 6 (Fungsi kepekatan peluang) Fungsi kepekatan peluang (fkp) peubah acak, diskret X adalah fungsi P : R → [ 0,1] yang diberikan oleh PX ( x) = P ( X = x) .
[Grimmet & Stirzaker, 1992] Definisi 7 (Nilai harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang PX ( x) = P ( X = x) X yang dinotasikan maka nilai harapan dengan E[ X ] adalah
E[ X ] = ∑ xP( X = x) x
= ∑ xPX ( x) . x
[Grimmet & Stirzaker, 1992] Beberapa sifat dari nilai harapan: 1. jika k suatu konstanta, maka E[k ] = k 2. jika k1 dan k2 suatu konstanta dan g1 ( X ) , g 2 ( X ) adalah peubah acak, maka E[k1 g1 ( X ) + k2 g 2 ( X )] = k1 E[ g1 ( X )] + k2 E[ g 2 ( X )]
Secara umum, jika k1 , k2 ,...., kn adalah konstanta dan g1 ( X ), g 2 ( X ),...., g n ( X ) adalah peubah acak, maka E[k1 g1 ( X ) + k2 g 2 ( X ) + ... + kn g n ( X )] = k1 E[ g1 ( X )] + k2 E[ g 2 ( X ) + ... + kn E[ g n ( X )] . [Hogg & Craig, 2005] Definisi 8 (Ragam) Ragam dari peubah acak adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Ragam dari peubah acak X menyatakan besarnya penyimpangan pengamatan dari rata-rata peubah acak X . Secara matematis dapat dituliskan sebagai Var ( X ) = σ 2 = E[( X − E[ X ]) 2 ]
(
= E X 2 − 2 X ( E[ X ]) + ( E[ X ])
= E ( X 2 ) − 2 ( E[ X ]) + ( E[ X ]) 2
2
)
2
= E ( X 2 ) − ( E[ X ]) . 2
[Hogg & Craig, 2005] Definisi 9 (Standar deviasi) Misalkan σ X 2 adalah ragam dari peubah acak X . Akar kuadrat positif dari ragam dinamakan standar deviasi. Secara matematis dituliskan sebagai Standar deviasi ( X ) = σ X = σ X 2 . [Hogg & Craig, 2005]
3
orde-satu dari 2.2 Nilai Maksimum dan Minimum Definisi 10 (Turunan parsial) Jika f adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsialnya adalah fungsi f x dan f y yang didefinisikan oleh f ( x + h, y ) − f ( x, y ) f x ( x, y ) = lim h →0 h f ( x , y + h ) − f ( x, y ) f y ( x, y ) = lim h→0 h Notasi untuk turunan parsial jika z = f ( x, y ) , kita tuliskan f x ( x, y ) = f x =
∂f ∂ = f ( x, y ) ∂x ∂x
2.
fy
pandang
Teorema 2 (Uji Turunan kedua) Andaikan turunan parsial kedua dari
f
kontinu pada cakram dengan pusat ( a, b ) dan andaikan
bahwa
f x ( a, b ) = 0
dan
f y ( a, b ) = 0 [artinya ( a, b ) adalah titik kritis f ]. Misalkan D = D ( a, b ) = f xx ( a, b ) f yy ( a, b ) − ⎡⎣ f xy ( a, b ) ⎤⎦
2
f xx f yx
f xy 2 = f xx f yy − ( f xy ) f yy
jika D > 0 dan f xx ( a, b ) > 0 maka
f ( a, b ) adalah minimum lokal. b. Jika D > 0 dan f xx ( a, b ) < 0 maka
∂z = f 2 = D2 f = Dy f . ∂y
mencari
[Stewart, 2003]
a.
f ( a, b ) adalah maksimum lokal
untuk mencari f x pandang y sebagai konstanta dan diferensialkan f ( x, y ) terhadap x untuk
( a, b ) , maka
f x ( a, b ) = 0 dan f y ( a, b ) = 0 .
D=
Aturan untuk pencarian turunan parsial dari z = f ( x, y ) 1.
ada di
atau
∂z = = f1 = D1 f = Dx f ∂x ∂f ∂ f y ( x, y ) = f y = f ( x, y ) = ∂y ∂y
=
f
x
sebagai konstanta dan diferensialkan f ( x, y ) terhadap y . [Stewart, 2003] Definisi 11 (Maksimum lokal) Fungsi dua variabel mempunyai maksimum lokal di ( a, b ) jika f ( x, y ) ≤ f ( a, b ) ketika
( x, y ) dekat ( a, b ) . [Ini berarti bahwa f ( x, y ) ≤ f ( a, b ) untuk semua titik ( x, y ) dalam suatu cakram dengan pusat ( a, b ) ]. Bilangan f ( a, b ) disebut nilai maksimum lokal. Jika f ( x, y ) ≥ f ( a, b ) ketika ( x, y ) dekat ( a, b ) maka f ( a, b ) disebut nilai minimum lokal. [Stewart, 2003] Teorema 1 (Uji turunan pertama) f mempunyai maksimum atau Jika minimum lokal di ( a, b ) dan turunan parsial
c.
f ( a, b ) bukan maksimum atau minimum lokal. [Stewart, 2003]
Jika D < 0 maka
2.3 Fungsi Produksi Cobb-Douglas Pada tahun 1927, Paul Douglas seorang profesor ekonomi menemukan fakta mengejutkan: pembagian pendapatan nasional Y di antara modal K dan tenaga kerja L tetap konstan selama periode yang panjang. Dengan kata lain, ketika perekonomian mengalami pertumbuhan yang mengesankan, pendapatan total pekerja dan pendapatan total pemilik modal tumbuh pada tingkat yang nyaris sama. Douglas menanyakan kepada Charles Cobb, seorang ahli matematika, fungsi produksi yang akan menghasilkan pembagian faktor yang konstan jika faktorfaktor selalu menikmati produk marjinalnya. [Mankiw, 2003] Fungsi produksi tersebut harus mempunyai unsur dimana Pendapatan Modal = MPK × K = (1 − β ) Y dan Pendapatan Tenaga kerja = MPL × L = β Y , dengan MPK merupakan laju perubahan produksi terhadap modal (produktivitas marjinal modal), MPL merupakan laju perubahan produksi terhadap tenaga kerja (produktivitas marjinal tenaga kerja) dan 0 ≤ β ≤1 menentukan berapa bagian
4
pendapatan yang masuk ke Modal dan Tenaga kerja. Cobb menunjukkan bahwa fungsi produksi yang sesuai adalah Y = F ( K , L ) = α K 1− β Lβ dengan α > 0 adalah parameter yang mengukur produktivitas teknologi yang ada. Bukti fungsi produksi Cobb Douglas: Di sini kita gunakan turunan parsial untuk memperlihatkan bagaimana bentuk khusus model mereka diperoleh dari anggapan tertentu yang mereka buat tentang ekonomi. Jika fungsi parsial dinyatakan oleh ∂F Y = F ( K , L ) maka turunan parsial ∂L adalah laju perubahan produksi terhadap tenaga kerja, disebut juga dengan produktivitas marjinal tenaga kerja MPL . ∂F adalah Demikian juga, turunan parsial ∂K laju perubahan produksi terhadap modal dan disebut produktivitas marjinal modal MPK. Dalam istilah ini, asumsi yang dibuat oleh Cobb dan Douglas dapat dinyatakan sebagai berikut. i. jika salah satu dari tenaga kerja atau modal menghilang, maka demikian juga produksi ii. produktivitas marjinal tenaga kerja sebanding terhadap banyaknya produksi tiap satuan tenaga kerja iii. produktivitas marjinal modal sebanding terhadap banyaknya produksi tiap satuan modal. Karena produksi tiap satuan tenaga kerja F adalah , asumsi (ii) menyatakan bahwa L ∂F F =β , ∂L L untuk suatu konstanta β . Jika kita anggap
K konstan ( K = K 0 ) , maka persamaan diferensial parsial ini menjadi persamaan diferensial biasa: dF F =β . dL L Jika kita pecahkan persamaan diferensial yang dapat dipisahkan ini dengan menggunakan metode persamaan terpisahkan, maka dF dL =β , F L lalu kita integralkan kedua ruas persamaan: dF dL ∫ F = ∫β L
log F = β log L + C1 log F = log Lβ + C1
F = exp ( log Lβ ) exp ( C1 )
kita peroleh F ( K 0 , L ) = C1 ( K 0 ) Lβ .... ( ∗) Perhatikan bahwa kita telah menuliskan konstanta C1 sebagai fungsi karena konstanta ini dapat tergantung pada nilai K 0 Secara serupa, anggapan (iii) mengatakan bahwa ∂F F = (1 − β ) , ∂K K dan kita dapat memecahkan persamaan diferensial ini untuk mendapatkan F ( K , L0 ) = C2 ( L0 ) K 1− β .... ( ∗∗) . Dengan mengalikan persamaan ( ∗) dan ( ∗∗) kita mempunyai F ( K , L ) = α Lβ K 1− β ... ( ∗∗∗) Dengan konstanta α yang bebas dari L dan K asumsi (i) memperlihatkan bahwa (1 − β ) > 0 dan β > 0 . Perhatikan dari persamaan ( ∗∗∗) bahwa jika tenaga kerja dan modal keduanya diperbesar oleh faktor z , maka β 1− β F ( zK , zL ) = b ( zL ) ( zK ) = z β +1− β bLβ K 1− β = z F ( K, L)
bermakna bahwa produksi juga diperbesar oleh faktor z . Itulah sebabnya Cobb dan Douglas menganggap bahwa 0 ≤ β ≤ 1 dan karena itu F ( K , L ) = α K 1− β Lβ , ini adalah fungsi produksi Cobb-Douglas. [Stewart, 2003] 2.4 Teori Portofolio Markowitz Pada tahun 1952, Markowitz mengembangkan teori portofolio dengan laba investasi portofolio yang optimal dan efisien untuk memperoleh imbal hasil maksimal dan meminimumkan resiko. Markowitz menerapkan prinsip diversifikasi yakni prinsip berinvestasi pada beragam aset. Secara umum imbal hasil yang diharapkan dari suatu portofolio adalah penjumlahan dari imbal hasil setiap aset dikalikan dengan bobot masing-masing aset pada portofolio yang diinginkan. Imbal hasil harapan dapat dituliskan sebagai berikut
5
beresiko ada pada standar deviasi σ S dan
n
E ( rc ) = ∑ ωi E ( ri ) i =1
dengan E ( rc ) adalah imbal hasil portofolio yang diharapkan, ωi adalah bobot aset ke- i
E ( ri ) adalah imbal hasil aset ke- i , dengan
dan
n
∑ω
i
i =1
=1
Sedangkan ragam dari portofolio dengan n aset dapat dituliskan sebagai berikut n
n
j
i
σ C2 = ∑∑ ωiω jσ iσ j Kemudian portofolio Markowitz digunakan untuk memilih bobot-bobot aset optimal yang dibentuk dengan meminimumkan ragam min σ C2
imbal hasil yang diharapkan E ( rS ) . Tingkat imbal hasil portofolio lengkap dapat ditulis E ( rC ) = ωS E ( rS ) + (1 − ωS ) rB E ( rC ) = rB +
σC ( E ( rS ) − rB ) , σS
sehingga imbal hasil yang diharapkan dari portofolio lengkap sebagai fungsi standar deviasinya adalah sebuah garis lurus dengan titik potong rB dan kemiringan: M =
( E (r ) − r ) S
B
σS
E (r )
CAL
{ωi }
Portofolio satu aset beresiko dan satu aset bebas resiko Dimisalkan terdapat portofolio dengan kombinasi satu aset beresiko yakni saham dengan simbol S dan satu aset bebas resiko yakni treasury bills dengan simbol B . Di bawah ini adalah beberapa parameter yang menunjukkan distribusi tingkat imbal hasil dari portofolio tersebut:
Imbal hasil
S
B
rS
rB
Imbal hasil harapan
E ( rS )
Standar deviasi
σS
rB 0
Tingkat imbal hasil portofolio lengkap adalah rC = ωS rS + ωB rB dengan ωS + ωB = 1 dan tingkat imbal hasil harapan dari portofolio lengkap adalah E ( rC ) = ωS E ( rS ) + ωB rB dengan ωS = proporsi investasi pada saham ω B = proporsi investasi pada treasury bills
E ( rS ) = imbal hasil harapan dari saham
rB =imbal hasil dari treasury bills, dengan standar deviasi portofolio lengkapnya adalah σ C = ωS σ s Pada gambar (a) dapat dilihat bahwa aset bebas resiko treasury bills B , ada di sumbu vertikal karena standar deviasinya nol. Aset
S
E ( rS )
E ( rS ) − rB
rB
B
σS Gambar (a). Menunjukkan kumpulan pasangan imbal hasil yang diharapkan dan standar deviasinya untuk semua portofolio dari berbagai nilai ωS .
Garis alokasi modal (capital allocation line—CAL), menggambarkan seluruh kombinasi resiko-imbal hasil yang ada bagi investor. Kemiringan CAL, yaitu M , sama dengan kenaikan imbal hasil yang diharapkan dari portofolio lengkap untuk setiap tambahan standar deviasi—dengan kata lain, tambahan imbal hasil per tambahan resiko. Utilitas yang diperoleh investor dari sebuah portofolio dengan imbal hasil yang diharapkan dan standar deviasi tertentu, dapat dituliskan dengan fungsi utilitas: U = E ( rC ) − 0.5γσ C 2 dimana γ adalah koefisien penghindaran resiko dan 0.5 adalah faktor skala (dalam buku Investment karangan Bodie, Kane dan Marcus, digunakan faktor skala 0.005, untuk mengkonversi persentase). Kita tafsirkan bahwa utilitas sebuah portofolio meningkat jika tingkat imbal hasil yang diharapkan meningkat, dan turun jika ragam meningkat.
σ
6
Investor berusaha memaksimumkan utilitas U dengan memilih alokasi terbaik dalam aset berisiko ωS .
Factor of production (faktor produksi) Input yang digunakan untuk memproduksi barang dan jasa ; misalnya, modal atau tenaga kerja. [Mankiw, 2003]
E (r )
Firm (perusahaan) : Setiap organisasi yang mengubah input menjadi output. [Nicholson, 2002]
U
CAL
E ( rS ) E ( rC )
General equilibrium (keseimbangan umum) Keseimbangan simultan dari seluruh pasar dalam perekonomian. [Mankiw, 2003]
C
rB
σC
σS
Gambar (b). Menunjukkan kurva indeferens dan CAL. Gambar tersebut menunjukkan portofolio lengkap yang memaksimumkan utilitas.
Dapat dilihat pada Gambar (b) bahwa titik singgung antara kurva indeferens dan CAL merupakan portofolio lengkap yang memaksimumkan utilitas. [Bodie et al, 2005] 2.5 Daftar Istilah: Aggregate (agregat) Total untuk keseluruhan ekonomi. [Mankiw, 2003] Budget constraint (batas anggaran) Batas pendapatan yang diterapkan pada pengeluaran. [Mankiw, 2003] Classical model (model klasik) Model yang didasarkan pada asumsi bahwa upah dan harga disesuaikan untuk membersihkan pasar dan kebijakan moneter tidak mempengaruhi variabel riil. [Mankiw, 2003] Consumption (konsumsi) Barang dan jasa yang dibeli oleh konsumen. [Mankiw, 2003] Equilibrium (kesetimbangan) Kondisi keseimbangan antara kekuatankekuatan yang berlawanan, seperti keseimbangan permintaan dan penawaran di pasar. [Mankiw, 2003]
σ
House hold (rumah tangga) Semua orang yang tinggal dibawah satu atap yang membuat keputusan keuangan bersamasama, atau secara bersama-sama dipengaruhi oleh keputusan pihak lain. [Mankiw, 2003] Interest rate (suku bunga) Jumlah dolar yang diterima per dolar yang diinvestasikan per periode. [Bodie et al, 2003] Labour force (angkatan kerja) Orang-orang dalam populasi yang memiliki pekerjaan atau sedang mencari pekerjaan. [Mankiw, 2003] Leisure (waktu luang) Waktu yang dihabiskan aktivitas selain bekerja.
pada
berbagai
[Nicholson, 2002] Macroeconomics (makroekonomi) Studi tentang perekonomian secara keseluruhan. [Mankiw, 2003] Market-clearing model (model pembersihan-pasar) Model yang mengasumsikan bahwa harga secara bebas melakukan penyesuaian untuk menyeimbangkan permintaan dan penawaran. [Mankiw, 2003] Microeconomics (mikroekonomi) Studi tentang pasar individu dan pembuat keputusan. [Mankiw, 2003] Money (uang) Persediaan aset transaksi.
yang
digunakan
untuk
7
[Mankiw, 2003] Myopic (miopic) Pandangan yang mengasumsikan bahwa masyarakat bersikap rasional ketika mengambil keputusan; seperti memilih berapa banyak dari pendapatan mereka yang dikonsumsi dan berapa banyak yang ditabung. Masyarakat memiliki pengetahuan dan pandangan jauh ke depan yang lebih baik. [Mankiw, 2003]
Production function (fungsi produksi) Hubungan matematis yang menunjukkan bagaimana kuantitas faktor produksi menentukan kuantitas barang dan jasa yang diproduksi; misalnya, Y = F ( K , L) . [Mankiw, 2003] Profit (laba) Pendapatan perusahaan; perusahaan dikurangi biaya.
penerimaan [Mankiw, 2003]
Neutrality of money (netralitas uang) Pandangan bahwa perubahan jumlah uang beredar tidak mempengaruhi variabel riil. (Lihat juga classical dichotomy atau dikotomi klasik). [Mankiw, 2003]
Real (riil) Diukur dalam nilai uang konstan; disesuaikan untuk inflasi. [Mankiw, 2003]
Nominal Diukur dalam nilai uang sekarang; tidak disesuaikan dengan inflasi. [Mankiw, 2003]
Stock (persediaan atau saham) 1.Variabel yang diukur sebagai kuantitas pada sebuah titik waktu. 2. Bagian kepemilikan dalam perusahaan. [Mankiw, 2003]
Outputs (output, keluaran) barang-barang dan jasa yang dihasilkan dari proses produksi. [Nicholson, 2002] Price level (tingkat harga) : Tingkat rata-rata dari satu kelompok harga; sering diukur oleh angka indeks. [Nicholson, 2002] Price taker (penerima harga) Suatu perusahaan atau individu yang keputusannya untuk membeli atau menjual tidak memiliki pengaruh pada harga yang berlaku di pasar barang atau jasa. [Mankiw, 2003]
Utility (utilitas) Kesenangan, kepuasan, atau pemenuhan kebutuhan yang diperoleh seseorang dari aktivitas ekonominya. [Nicholson, 2002] Wage (upah) Jumlah uang yang dibayar untuk satu unit tenaga kerja. [Nicholson, 2002] Wealth (kekayaan) Jumlah seluruh aktiva dikurangi kewajiban [Mankiw, 2003]
8
PEMBAHASAN 3.1 Model Kesetimbangan Umum Pada bagian pembahasan penulis akan membahas mengenai model kesetimbangan umum yang terdiri dari pasar faktor produksi, pasar aset, dan pasar tenaga kerja. Serta pelaku ekonomi rumah tangga, perusahaan dan pemerintah. Gambar (1) menunjukkan bagaimana perekonomian sebenarnya
berfungsi; keterkaitan di antara para pelaku ekonomi: rumah tangga, perusahaan, dan pemerintah; dan aliran uang di antara mereka melalui berbagai pasar dalam perekonomian. Pembahasan ini mengembangkan model klasik dasar untuk menjelaskan interaksi ekonomi yang ditampilkan dalam gambar (1).
Gambar (1). Diagram aliran uang pada model kesetimbangan umum. Setiap kotak kuning menunjukkan pelaku ekonomi; rumah tangga, perusahaan, dan pemerintah. Setiap kotak biru menunjukkan jenis pasar; pasar untuk barang dan jasa (barang konsumsi), pasar untuk faktor produksi (tenaga kerja), dan pasar aset. Diasumsikan pemerintah tidak berperan serta pada pasar barang dan jasa, serta tidak ada interaksi antara pelaku ekonomi perusahaan dengan pemerintah (perusahaan tidak membayar pajak kepada pemerintah). Tanda panah menunjukkan aliran uang di antara para pelaku ekonomi melalui tiga jenis pasar itu, sehingga kesetimbangan umum dapat diperoleh dari interaksi para pelaku ekonomi di tiga jenis pasar.
3.1.1 Rumah tangga Pada model kesetimbangan umum ini, diasumsikan terdapat N rumah tangga pada setiap tahap waktu t . Setiap rumah tangga i melakukan penawaran jam kerja Lsi,t kepada pelaku ekonomi perusahaan. Pelaku rumah
tangga juga melakukan permintaan terhadap barang dan jasa (barang konsumsi) Cid,t yang diproduksi oleh perusahaan. Setiap rumah tangga bertujuan untuk memaksimumkan tingkat kepuasan (utilitas). Didefinisikan A i sebagai leisure (waktu
9
luang) setiap rumah tangga ke-i. Diasumsikan nilai utilitas rumah tangga bergantung pada leisure A i dan bergantung pada permintaan barang konsumsi Cid,t . Diasumsikan rumah tangga bersifat myopic, dengan fungsi utilitas seperti di bawah ini: U i ,t = u ( Ci ,t , A i ,t ) + Ei ,t u ( Ci ,t +1 , A i ,t +1 ) , (1) dengan Ei ,t (⋅)
= nilai harapan saat waktu t .
A i = ( Lmax − Li ) = leisure saat waktu t = jam kerja rumah tangga ke-i Lmax = nilai maksimum jam kerja Diasumsikan rumah tangga menganggur saat waktu t + 1 . Oleh karena itu, setiap rumah tangga ke- i membuat rencana penawaran jam kerja Lsi dan permintaan terhadap barang Li
d i
dengan memaksimumkan konsumsi C utilitas saat t pada anggaran yang terbatas. Fungsi utilitas pada model ini menggunakan fungsi logaritma yang sesuai dengan teori utilitas rumah tangga; yang mengatakan bahwa laju pertambahan tingkat utilitas U akan semakin berkurang dengan bertambahnya C dan A . Fungsi utilitas setiap rumah tangga i pada model ini dapat dituliskan sebagai berikut: ⎛ Ls ⎞ U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) = a log Cid,t + c log ⎜1 − i ,t ⎟ ⎜ L ⎟ max ⎠ ⎝ ⎛ Wˆ ⎞ (2) +bEi ,t log ⎜ i ,t +1 ⎟ , ⎜ pt +1 ⎟ ⎝ ⎠ dengan (3) Wˆi ,t +1 = (1 + ρi ,t +1 ) Πˆi ,t ,
pt Cid,t = jumlah uang yang dibayarkan rumah tangga i untuk memperoleh barang konsumsi saat t s wt Li ,t = jumlah upah yang diterima tenaga kerja (rumah tangga i) saat t d t Si ,t = jumlah pendapatan kapital yakni dividen saham yang diterima rumah tangga i saat t rt Bi ,t = jumlah bunga treasury bills yang diterima rumah tangga i saat t Ti ,t = nilai nominal pajak yang dibayarkan rumah tangga i kepada pemerintah saat t. Tingkat kekayaan riil yang diharapkan yakni Wˆi ,t +1 / pt +1 , dapat mewakili harapan konsumsi pada waktu t + 1 . Tingkat harga pt , nilai upah nominal wt , tingkat suku bunga rt dan nilai agregat dividen d t telah diketahui untuk setiap rumah tangga di awal tahap waktu t . Rumah tangga berperilaku sebagai price taker (penerima harga) dan wage taker (penerima upah). Setiap rumah tangga diasumsikan merencanakan permintaan Cid,t dan
Persamaan (4) merepresentasikan batasan anggaran dengan Wi ,t = nilai nominal kekayaan rumah tangga i saat t
menentukan
besarnya kekayaan Wˆi ,t +1 . Persamaan (3) dan (4) memberikan harapan perubahan kekayaan dengan Πˆi ,t merupakan nilai uang yang diinvestasikan pada pasar treasury bills dan pasar saham pada tingkat stokastik ρi ,t +1 yang tidak diketahui. Dengan memaksimumkan fungsi utilitas pada persamaan (2)-(4), maka didapatkan nilai Cid,t dan Lsi,t yang optimal seperti di bawah
ini: Πˆi ,t = Wi ,t − pt Cid,t + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi,t − Ti,t (4) dan Wt = ∑ i Wi ,t , St = ∑ i Si ,t , Bt = ∑ i B i ,t , Tt = ∑ i Ti ,t . keterangan: a = relativitas dari utilitas konsumsi saat t c = relativitas dari utilitas waktu luang saat t b = relativitas dari utilitas kekayaan riil saat t+1 dengan a, b, dan c bernilai positif . Persamaan (3) merepresentasikan nilai harapan kekayaan saat t+1, dengan parameter stokastik ρi ,t +1 yang nilainya tidak diketahui.
Lsi,t untuk
penawaran
Cid,t = +
wt a Lmax a + b + c pt
Wi ,t + rt Bi ,t + d t Si ,t − Ti ,t a , a+b+c pt
(5)
a+b Lmax a+b+c Wi ,t + rt Bi ,t + d t Si ,t − Ti ,t
Lsi,t =
c (6) a+b+c wt Langkah-langkah pengerjaannya diberikan di lampiran 1. Gambar (2) merepresentasikan ilustrasi maksimisasi utilitas U i ,t pada kendala −
anggaran
Π i ,t . Sehingga dapat diperoleh
10
kombinasi barang konsumsi ( Cid,t )
∗
tenaga kerja ( L
)
∗ s i ,t
dan jam
yang optimal.
ωis,t =
ri s,t − rt B
γ i (σ
S i ,t
)
2
, ωiB,t = 1 − ωis,t
(7)
dengan ri s,t = imbal hasil harapan dari aset saham
σ iS,t = standar deviasi aset saham
Cid,t
rt B = imbal hasil aset treasury bills
γ i = koefisien penghindaran resiko. Langkah-langkah pengerjaan diberikan di lampiran 2. Proporsi optimal dari aset saham dan treasury bills akan dialokasikan pada anggaran Π i ,t ,
U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
(C )
d ∗ i ,t
sehingga permintaan untuk treasury bills Bid,t
Π i ,t
(L ) s i ,t
∗
U i ,t Lsi,t
dan saham Sid,t yang optimal ditentukan sebagai Bid,t = ωiB,t Πi ,t , Sid,t = ωiS,t Πi ,t (8)
Gambar (2). Grafik U i ,t menunjukan nilai utilitas yang sama dari kombinasi konsumsi dan jam kerja (kurva indeferens). Grafik Π i ,t menunjukkan anggaran yang terbatas. Titik singgung antara dua grafik merupakan nilai kombinasi yang memaksimumkan utilitas.
Setelah terjadi transaksi pada pasar barang konsumsi dan pasar tenaga kerja, setiap rumah tangga i mengalokasikan nilai dari anggaran Π i ,t = Wi ,t − pt Ci ,t + wt Li ,t + d t Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t untuk diinvestasikan pada pasar aset. Diasumsikan setiap rumah tangga i berinvestasi pada satu aset beresiko yakni stock (saham) dan satu aset bebas resiko yakni treasury bills (surat utang pemerintah jangka pendek). Kita notasikan ωis,t dan ωiB,t berturutturut sebagai nilai proporsi dari saham dan treasury bills pada portofolio, dengan ωis,t + ωiB,t = 1. Fungsi utilitas portofolio dapat dituliskan
U = E ( rc ) − 0.5γ iσ c 2
dengan E ( rc ) = imbal hasil portofolio lengkap
γ i = koefisien penghindaran resiko pada rumah tangga i
σ c = standar deviasi dari portofolio lengkap. Merujuk pada teori portofolio Markowitz dengan kombinasi satu aset beresiko dan satu bebas resiko, dengan memaksimumkan fungsi utilitas, didapatkan proporsi yang optimal dari saham dan treasury bills seperti di bawah ini
3.1.2 Perusahaan Pada model kesetimbangan umum ini diasumsikan hanya terdapat satu perusahaan yang mewakili keseluruhan perusahaan, yang selanjutnya kita sebut perusahaan. Perusahaan berinteraksi dengan pelaku ekonomi rumah tangga, dengan melakukan penawaran barang konsumsi C s dan melakukan permintaan terhadap jam kerja Ld . Diasumsikan perusahaan tidak berinteraksi dengan pemerintah, sehingga tidak ada pajak yang dibayarkan perusahaan kepada pemerintah. Diasumsikan perusahaan berperilaku sebagai price taker (penerima harga) dan sebagai wage taker (penerima upah) di pasar barang konsumsi dan pasar tenaga kerja. Perusahaan berperilaku sebagai produsen yang membutuhkan input untuk diproses menjadi output. Input perusahaan adalah tenaga kerja dan modal. Output perusahaan adalah barang konsumsi. Mengarah pada Fungsi Produksi CobbDouglas dengan asumsi jam kerja L merupakan input satu-satunya pada produksi, maka fungsi produksi perusahaan dalam model ini adalah: C = α Lβ , dengan parameter produktivitas teknologi α dan β adalah konstan, α > 0 dan 0 < β < 1. Perusahaan bertujuan memaksimumkan laba. Laba merupakan selisih antara dan biaya pendapatan produksi pt Cts produksi wt Ldt , sehingga fungsi laba perusahaan saat t dapat dituliskan sebagai:
11
π t ( Cts , Ldt ) = pt Cts − wt Ldt
(9)
dengan pt = tingkat harga nominal yang diberikan per unit output (barang konsumsi) saat t wt = tingkat upah nominal yang diberikan per unit jam kerja saat t. Laba perusahaan π t saat t bergantung pada transaksi nyata pada barang konsumsi C dan jam kerja L yang terjadi pada masingmasing pasar. Laba perusahaan saat t akan dibayarkan kepada para pemegang saham (seluruh rumah tangga) pada saat t+1, yang disebut dengan agregat dividen perusahaan seperti di bawah ini dt +1 = π t dengan d t +1 = agregat dividen yang didistribusikan ke seluruh pemegang saham, yakni rumah tangga saat t + 1 . Tiap pemegang saham i akan menerima jumlah dividen sebesar π t Si ,t +1 / S 0 , dengan
∑S i
i , t +1
= S0
adalah
agregat penawaran
saham saat waktu t yang bernilai konstan. Dengan memaksimumkan fungsi laba perusahaan pada persamaan (9), maka rencana terhadap agregat penawaran barang konsumsi C s dan agregat permintaan jam kerja Ld yang optimal diperoleh sebagai berikut:
C =α s t
1/ (1− β )
β
β / (1− β )
⎛ wt ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ pt ⎠
β / ( β −1)
(10)
1/ ( β −1)
⎛ wt ⎞ L = (αβ ) (11) ⎜ ⎟ ⎝ pt ⎠ Langkah-langkah pengerjaan diberikan di lampiran 3 d t
1/ (1− β )
3.1.3 Pemerintah Pada model ini, pemerintah berinteraksi dengan pelaku ekonomi rumah tangga, dengan menerima agregat pajak Tt = ∑ i Ti ,t dan membayarkan agregat bunga treasury bills rt Bt dengan total treasury bills Bt = ∑ i Bi ,t . Diasumsikan pemerintah tidak berinteraksi dengan pelaku ekonomi perusahaan, sehingga pemerintah tidak menerima pajak perusahaan dan tidak berperan serta pada pasar barang dan jasa. Keseimbangan pemerintah yang disimbolkan dengan Gt dapat dituliskan sebagai :
Gt = Tt − rt Bt , sedangkan rasio Tt / rt Bt = gt merupakan variabel kebijakan pemerintah. Selanjutnya diasumsikan berlaku 0 < g t ≤ 1 . Jika g t < 1, maka pemerintah akan mengalami defisit. Dinamika penawaran treasury bills diberikan oleh : Bts+1 = Bts + δ t Dt dengan Dt = − min ( 0, Gt )
δ t = fraksi variabel kebijakan yang dapat menutupi defisit dengan treasury bills baru. Pemerintah bertujuan untuk mengatasi defisit saat t sehingga pada tahapan waktu selanjutnya tercapai kesetimbangan pemerintah Gt = 0 . Untuk kasus dengan δ t = 1 , semua defisit dapat ditutupi dengan menerbitkan treasury bills baru. Untuk kasus dengan δ t = 0 , semua defisit dapat ditutupi dengan mencetak uang baru. 3.1.4 Kesetimbangan Umum Walras Kesetimbangan umum Walras diperoleh saat kondisi agregat permintaan bernilai sama dengan agregat penawaran pada pasar barang konsumsi, dan pasar tenaga kerja saat waktu t. Agregat permintaan barang konsumsi Ctd oleh rumah tangga, akan disetimbangkan dengan agregat penawaran barang konsumsi Cts oleh perusahaan pada saat t. Agregat permintaan jam kerja Ldt oleh perusahaan, akan disetimbangkan dengan agregat s penawaran jam kerja Lt oleh rumah tangga pada saat t. Pada kondisi kesetimbangan Ctd = Cts dan Ldt = Lst , maka diperoleh nilai upah nominal wt , harga nominal pt , upah riil
( w / p) ,
kuantitas barang konsumsi C dan
jam kerja L seperti di bawah ini: βa + c wtWalrasian = N Lmax ( a (1 − β ) + b ) × (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) pt
Walrasian
a ⎛ (β a + c) ⎞ = ⎜ ⎟ α ⎜⎝ ( N Lmax β a ) ⎟⎠
Walrasian
⎛ w⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p⎠
β
(Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ( a (1 − β ) + b )
⎛ N Lmax ⎞ = αβ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ (1 + c / βα ) ⎠
⎛ N Lmax ⎞ C Walrasian = α ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ (1 + c / βα ) ⎠
β
( β −1)
12
N Lmax (1 + c / βα ) Langkah-langkah pengerjaan diberikan di lampiran 4 Dapat dilihat bahwa nilai keseimbangan Walras terhadap upah nominal wtWalrasian , dan harga barang-barang ptWalrasian , tergantung pada kekayaan Wt , sedangkan rasionya LWalrasian =
Walrasian
⎛ w⎞ (yakni upah riil), tingkat ⎜ ⎟ ⎝ p⎠ kesetimbangan dari tenaga kerja LWalrasian dan produksi CWalrasian , bebas dari tingkat kekayaan (netralitas uang). Oleh karena itu nilai keseimbangan variabel riil ekonomi bergantung hanya pada faktor-faktor riil seperti pilihan rumah tangga yakni a, b dan
Lmax serta teknologi yakni α dan β . Sebaliknya nilai kesetimbangan nominal bergantung juga pada faktor moneter dan juga faktor keuangan, seperti penawaran uang ,tingkat suku bunga dan pasar saham.
3.2 Dinamika proses kesetimbangan umum Bagian ini menyajikan studi simulasi sebagai ilustrasi dari dinamika model kesetimbangan umum pada tahapan waktu t. Akan diperlihatkan pergerakan dari nilai upah, harga, upah riil, harga saham, dan input serta output perusahaan pada dua kondisi; kondisi kuantitas berkendala (ketidaksetimbangan saat t) dan kondisi saat terjadi kesetimbangan Walras saat t. Dinamika untuk harga, upah dan harga saham saat kondisi kuantitas berkendala (ketidaksetimbangan antara agregat permintaan dan agregat penawaran) diberikan sebagai berikut:
( ) = w exp ( k ( L − L ) ) = s exp ( k ( S − S ) ) ,
pt +1 = pt exp k p ( Ctd − Cts ) wt +1 st +1
t
t
d t
w
s
d t
s t
s 0
yang diminta dan ditawarkan, upah akan dipengaruhi oleh agregat jam kerja yang diminta dan ditawarkan, dan harga saham akan dipengaruhi oleh agregat saham yang diminta dan ditawarkan. rt bergerak Diasumsikan suku bunga cepat membersihkan pasar treasury bills, sehingga langsung menyetimbangkan agregat permintaan treasury bills Btd = ∑ i Bid,t dan agregat penawaran treasury bills Bts . Dengan menggunakan bantuan perangkat lunak Mathematica 6.0, dan penulisan algoritma seperti pada lampiran 5 maka diperoleh gambar (3) dan gambar (4). Gambar (3) merepresentasikan grafik dinamika dari harga p, upah w, harga saham s, suku bunga r, w/p (upah riil) dan kekayaan W, sebagai ilustrasi kesetimbangan yang diperoleh pada jangka panjang. Parameter pada simulasi yakni, suku bunga konstan sebesar r = 7% , return saham konstan sebesar r s = 10% , standar deviasi konstan σ S = 18% dan parameter antiresiko γ = 4 . Relativitas masing-masing utilitas rumah parameter tangga a = b = c = 0.33 , produktivitas teknologi α = 1 , parameter produktivitas tenaga kerja β = 0.5 , jam kerja maksimal Lmax = 4 dan jumlah pelaku rumah tangga N = 200 , dengan asumsi rumah tangga identik satu sama lain. Diberikan kondisi awal untuk harga p0 = 1.23 , upah w0 = 0.038 , harga saham s0 = 0.11 , tingkat kekayaan W0 = 9.3 , dan agregat dividen d 0 = 9 . Diasumsikan Tt / rt Bt = gt = 1 yang berarti tidak terjadi defisit, sehingga pemerintah tidak perlu melakukan kebijakan apapun. Pada gambar (3), dari grafik berwarna biru (kuantitas berkendala), saat t<600 terjadi kenaikan pada harga pt +1 yang disebabkan
oleh kondisi Ctd > Cts , penurunan upah wt +1
tingkat-tingkat harga saat t+1, akan dipengaruhi oleh kondisi permintaan dan penawaran pada saat t. Parameter-parameter k p , kw dan k s memberikan sensitivitas pada
disebabkan oleh kondisi Ldt < Lst , dan upah riil
masing-masing ketidaksetimbangan. Ilmu ekonomi mengatakan, harga akan naik jika agregat permintaan lebih besar dari agregat penawaran. Sebaliknya, harga akan turun jika agregat penawaran lebih besar dari agregat permintaan. Harga barang konsumsi dipengaruhi oleh agregat barang konsumsi
mengakibatkan
( w / p )t +1
mengalami
t ≥ 600 , kondisi
penurunan.
C =C d t
harga
s t
dan
pt +1 = pt ,
Saat L = Lst d t
upah
wt +1 = wt dan upah rill ( w / p )t +1 = ( w / p )t .
Dari grafik berwarna merah (kesetimbangan Walras), saat t<600 terjadi kenaikan pada harga pt +1Walrasian dan upah wt +1Walrasian
yang dipengaruhi oleh tingkat
13
kekayaan Wt yang naik. Saat t ≥ 600 , tingkat harga
Walrasian t +1
p
= pt
Walrasian
,
dan upah
. Hal ini disebabkan w = wt oleh grafik kekayaan saat t ≥ 600 bernilai Upah riil pada sama ( Wt +1 = Wt ). kesetimbangan Walras bernilai konstan, Walrasian t +1
Walrasian
karena upah riil Walras
(w / p)
Walrasian
dipengaruhi oleh tingkat kekayaan (netralitas uang). Pada jangka panjang ( t ≥ 600 ), diperoleh kesetimbangan umum jangka panjang pada tingkat-tingkat harga dari kedua kondisi (kondisi kuantitas berkendala dan kondisi kesetimbangan Walras saat t) .
tidak
Gambar (3). Menunjukkan perubahan tingkat-tingkat harga terhadap waktu. Grafik berwarna biru menunjukkan pergerakan dari dinamika kesetimbangan kuantitas berkendala. Grafik berwarna merah merupakan tingkat kesetimbangan Walras, yakni nilai agregat permintaan = nilai agregat penawaran saat waktu t.
Gambar (4) menunjukkan dinamika jam kerja yang dibutuhkan oleh perusahaan dan dinamika produksi barang konsumsi yang akan diproduksi oleh perusahaan. Grafik output (barang konsumsi) C dan input (jam kerja) L pada kondisi
kesetimbangan Walras bernilai konstan terhadap waktu, karena nilai CWalrasian dan LWalrasian hanya dipengaruhi oleh parameter yang bernilai konstan, yakni a, b dan Lmax serta teknologi yakni α dan β . Sedangkan
14
output Cts dan input Ldt saat kondisi kuantitas berkendala mengalami kenaikan, karena Cts dan Ldt dipengaruhi oleh nilai upah riil (lihat gambar (3) pada grafik upah riil kondisi kuantitas berkendala).
Pada jangka panjang, nilai output dan input perusahaan saat kondisi kuantitas berkendala akan bernilai sama dengan kesetimbangan Walrasnya, yang kita sebut sebagai kondisi kesetimbangan umum jangka panjang pada input dan output perusahaan.
Gambar (4). Menunjukkan perubahan produksi barang konsumsi dan jam kerja yang dibutuhkan perusahaan, terhadap waktu t. Grafik berwarna biru menunjukkan pergerakan dari dinamika kesetimbangan kuantitas berkendala. Grafik berwarna merah merupakan tingkat kesetimbangan Walras yakni nilai agregat permintaan = nilai agregat penawaran.
SIMPULAN Kesetimbangan umum adalah kondisi dimana agregat permintaan = agregat penawaran. Saat terjadi kelebihan permintaan maka harga akan cenderung naik, sedangkan saat terjadi kelebihan penawaran maka harga akan cenderung turun. Kesetimbangan Walras terbentuk saat agregat permintaan dan agregat penawaran bernilai sama saat t. Nilai kesetimbangan Walras terhadap upah nominal wtWalrasian , dan harga barang-barang ptWalrasian , tergantung pada kekayaan Wt . Sedangkan rasio
(w / p)
Walrasian
(upah riil), bebas dari tingkat
kekayaan (netralitas uang), seperti pada tingkat kesetimbangan dari tenaga kerja
LWalrasian dan produksi CWalrasian . Oleh karena itu nilai keseimbangan variabel riil ekonomi bergantung hanya pada faktor-faktor riil seperti pilihan rumah tangga yakni a, b dan
Lmax serta teknologi yakni α dan β . Sebaliknya nilai kesetimbangan nominal bergantung juga pada faktor moneter dan juga faktor keuangan, seperti penawaran uang ,tingkat suku bunga dan pasar saham. Simulasi dinamika kesetimbangan umum memperlihatkan proses menuju kondisi kesetimbangan umum jangka panjang pada harga p, upah w, upah riil (w/p), input L dan output C dari dua kondisi; kondisi kuantitas berkendala dan kondisi kesetimbangan Walras saat t.
15
DAFTAR PUSTAKA Bodie, Z., A. Kane & A. J. Marcus. 2002. Investment. Ed. Ke-6 The McGraw-Hill Companies, Inc. New York. Grimmet, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. Ke-2. Clarendon Press. Oxford. New York. Hogg, R. V., J. W. Mckean & A.T. Craig. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6, Prentice Hall, New Jersey. Mankiw, N G. 2003. Teori makroekonomi. Ed. Ke-5, Nurmawan I, alih bahasa; Kistiaji WC, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics Fifth Edition.
Nicholson, W. 2002. Mikroekonomi intermediate dan aplikasinya. Ed. Ke-8, Mahendra IGN B & Aziz A, alih bahasa; Kristiaji WC, Sumiharti Y, Mahanani N, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Intermediate Microeconomics and Its Application Eight Edition. Raberto M, Teglio A, dan Cincotti S. 2006. A general equilibrium model of a production economy with asset markets. Physica A 370; 75-80. Stewart J. 2003. Kalkulus. Ed. Ke-4, jilid 2. Gunawan N & Susila IN, penerjemah ; Mahanani N, Safitri A, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus Fourth Edition.
16
Lampiran 1 Mencari solusi Cid,t dan Lsi,t yang optimal untuk memaksimumkan utilitas U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) Diberikan fungsi utilitas rumah tangga. ⎛ Ls U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) = a log Cid,t + c log ⎜ 1 − i ,t ⎜ L max ⎝ dengan, ˆ , Wˆi ,t +1 = (1 + ρi ,t +1 ) Π i ,t
⎛ Wˆi ,t +1 ⎞ ⎞ ⎟, ⎟⎟ + bEi ,t log ⎜ ⎜ pt +1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠
ˆ = W − p C d + w Ls + d S + r B − T , Π i ,t i ,t t i ,t t i ,t t i ,t t i ,t i ,t
Fungsi utilitas rumah tangga U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) menjadi ⎛ Lsi ,t U i ,t ( C , L ) = a log C + c log ⎜ 1 − ⎜ L max ⎝
⎛ (1 + ρi ,t +1 ) (Wi ,t − pt Cid,t + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t ) ⎞ ⎞ ⎜ ⎟, ⎟⎟ + bEi ,t log ⎜ ⎟ pt +1 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ Ls U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) = a log Cid,t + c log ⎜1 − i ,t ⎜ L max ⎝
⎞ ˆ − b log ( p ) ⎟⎟ + b log (1 + ρi ,t +1 ) + bEi ,t log Π i ,t t +1 ⎠
d i ,t
s i ,t
d i ,t
( )
Lakukan uji turunan pertama pada fungsi utilitas U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) terhadap variabel Cid,t :
(
∂ U i ,t ( C , L d i ,t
s i ,t
))
∂Cid,t
⎛ ⎛ Ls ∂ ⎜ a log Cid,t + c log ⎜⎜ 1 − i ,t ⎜ ⎝ Lmax = ⎝
⎛ 1 1 + 0 + 0 + bEi ,t ⎜ ( − pt ) d ˆ ⎜ Ci ,t Π i ,t ⎝ Cd ⇔ Π i ,t = b ( pt ) i ,t a
⇔a
( )
⎞ ⎞ ˆ ⎟⎟ + b log (1 + ρi ,t +1 ) + bEi ,t log Π i ,t − b log ( pt +1 ) ⎟⎟ ⎠ ⎠ =0 ∂Cid,t
( )
⎞ ⎟−0 = 0 ⎟ ⎠ (1.1)
Lakukan uji turunan pertama pada fungsi utilitas U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) terhadap variabel Lsi,t :
(
∂ U i ,t ( C , L d i ,t
s i ,t
))
∂Lsi ,t ⇔ 0+
c ⎛ Lsi,t ⎜⎜1 − ⎝ Lmax
⇔ Π i ,t =
⎛ ⎛ Ls ∂ ⎜ a log Cid,t + c log ⎜⎜ 1 − i ,t ⎜ ⎝ Lmax = ⎝
⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜− ⎟ + 0 + bEi ,t ⎜ ( w ) ˆ ⎜ ⎞ ⎝ Lmax ⎠ Π i ,t ⎝ ⎟⎟ ⎠
( )
⎞ ⎞ ˆ − b log ( p ) ⎟ ⎟⎟ + b log (1 + ρi ,t +1 ) + bEi ,t log Π i ,t t +1 ⎟ ⎠ ⎠ =0 s ∂Li ,t
( )
⎞ ⎟−0 = 0 ⎟ ⎠
b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t )
c Dengan membandingkan persamaan (1.1) dan persamaan (1.2) seperti di bawah ini: s C d b ( wt ) ( Lmax − Li ,t ) ⇔ b ( pt ) i ,t = , a c maka diperoleh a ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t ) Cid,t = pt c Lsi,t = Lmax −
pt cCid,t awt
(1.2)
(1.3) (1.4)
17
Kita substitusikan persamaan (1.3) ke dalam persamaan (1.1) seperti di bawah ini b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t ) Π i ,t = c
⇔ Wi ,t − pt Cid,t + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t =
b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t )
(1.1)
c
⎛ a ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t ) ⎞ b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t ) ⎟ + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t = ⇔ Wi ,t − pt ⎜ ⎜ ⎟ pt c c ⎝ ⎠ dengan memanipulasi aljabar persamaan di atas, maka diperoleh: Wi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t (b + a ) c ⇔ Lsi,t = (Bilangan Kritis) ( Lmax ) − wt (a + b + c) (a + b + c)
Kita substitusikan persamaan (1.4) ke dalam persamaan (1.1) seperti di bawah ini b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t ) ⇔ Wi ,t − pt Cid,t + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t = (1.1) c ⎛ ⎛ pt cCid,t ⎞ ⎞ b w L − L − ⎜ ( ) ⎟⎟ t ⎜ max ⎜⎜ max awt ⎟⎠ ⎟⎠ ⎛ pt cCid,t ⎞ ⎝ ⎝ d ⇔ Wi ,t − pt Ci ,t + wt ⎜ Lmax − ⎟ + d t Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t = ⎜ awt ⎟⎠ c ⎝ dengan memanipulasi aljabar persamaan di atas, maka diperoleh: (Wi,t + dt Si,t + rt Bi,t − Ti ,t ) wt Lmax a a (Bilangan Kritis) ⇔ Cid,t = + pt ( a + b + c ) pt (a + b + c) Lakukan uji turunan kedua pada fungsi utilitas U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) maka :
(
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂ (C
)
d 2 i ,t
(
) = −a
1
(C ) (U ( C d i ,t
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂Cid,t ∂Lsi ,t
)=∂
2
2
< 0 dan
, Lsi ,t )
d i ,t
i ,t
∂Lsi ,t ∂Cid,t
(
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂(L
)
2 s i ,t
) =0
)=−
c
(L
s i ,t
− Lmax )
2
<0
Sehingga
(
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂ (C
)
)
(
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
(
d i ,t
∂ U i ,t ( C , L 2
d i ,t
s i ,t
∂L ∂C s i ,t
d i ,t
)
∂C ∂L
d 2 i ,t
))
(
s i ,t
∂ U i ,t ( C , L 2
d i ,t
∂(L
)
s i ,t
))
=
(
) (
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂ (C
)
d 2 i ,t
∂(L
)
)
2 s i ,t
2 s i ,t
−
(
) (
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂C ∂L d i ,t
s i ,t
)
∂L ∂C s i ,t
d i ,t
⎛ ⎞ 1 c ⎟−0 > 0 = ⎜ −a ×− 2 2 d s ⎜ ⎟ C L L − ( ) ( ) i ,t i ,t max ⎝ ⎠ s d Dapat disimpulkan bahwa bilangan kritis Ci ,t dan Li ,t merupakan solusi optimal yang
memaksimumkan fungsi utilitas rumah tangga U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
18
Lampiran 2 Alokasi modal yang optimal pada portofolio aset beresiko dan aset bebas resiko Terdapat dua kombinasi aset pada portofolio yakni aset beresiko saham dan aset bebas resiko treasury bills. Akan dicari alokasi modal yang optimal pada portofolio tersebut. Misalkan aset beresiko saham kita notasikan sebagai Sid,t dengan alokasi sebesar ωiS,t , tingkat imbal hasil yang diharapkan adalah ri S,t , dan standar deviasi sebesar σ iS,t , serta koefisien penghindaran resiko γ i . Misalkan aset bebas
resiko treasury bills kita notasikan sebagai Bid,t dengan alokasi sebesar ωiB,t , tingkat imbal hasil bebas resiko untuk setiap rumah tangga sebesar rt B . Jika kita kombinasikan aset berisiko dan aset bebas resiko dalam portofolio dengan ωiS,t + ωiB,t = 1 , maka standar deviasi portofolio lengkapnya adalah σ c = ωiS,tσ iS,t ..... ( ∗) Sehingga tingkat imbal hasil portofolio lengkap adalah E ( rc ) = ωiS,t ri S,t + (1 − ωiS,t ) rt B
E ( rc ) = rt B + ωiS,t ( ri ,St − rt B ) .... ( ∗∗)
Fungsi utilitas pada portofolio dapat dituliskan sebagai U = E ( rc ) − 0.5γ iσ c 2 ..... ( ∗∗∗) Lalu kita substitusikan persamaan ( ∗) , ( ∗∗) ,dan ( ∗∗∗) U = rt B + ωiS,t ( ri ,St − rt B ) − 0.5γ i (ωiS,t ) (σ iS,t ) 2
2
Lalu kita turunkan fungsi utilitas terhadap ωiS,t
(
2 2 dU d = rt B + ωiS,t ( ri ,St − rt B ) − 0.5γ i (ωiS,t ) (σ iS,t ) S S d ωi ,t d ωi ,t
Dengan melakukan uji turunan pertama pada fungsi utilitas maka
(r
S i ,t
)
dU = 0 sehingga d ωiS,t
− rt B ) − γ iωiS,t (σ iS,t ) = 0 2
(r
S i ,t
− rt B )
γ i (σ
)
S 2 i ,t
= ωiS,t
Sehingga ωiS,t adalah bilangan kritis. Kemudian dengan uji turunan kedua pada fungsi utilitas maka d 2U d (ω
S i ,t
saat
)
2
=
d
(( r
− rt B ) − γ iωiS,t (σ iS,t ) dω
S i ,t
d 2U d (ωiS,t )
S i ,t
2
2
) = −γ (σ i
)
S 2 i ,t
<0
< 0 utilitas akan bernilai maksimum sehingga ωiS,t adalah proporsi saham yang
optimal yang memaksimumkan utilitas pada portofolio kombinasi aset beresiko dan bebas resiko.
19
Lampiran 3 Mencari nilai optimal dari Cts dan Ldt yang memaksimumkan fungsi laba perusahaan Diberikan fungsi produksi Cobb-Douglas C =α Lβ Cts =α ( Ldt )
β
dengan α > 0 dan 0<β < 1 Diberikan fungsi laba perusahaan π t ( Cts , Ldt ) = pt Cts − wt Ldt
Dengan melakukan uji turunan pertama pada fungsi laba perusahaan terhadap Ldt
(
∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂Ldt
⇔
⇔
) = ∂( p C
s t
t
− wt Ldt ) dCts
∂Cts
(
∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂Ldt
(
∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂L
) = ⎛⎜ p − ⎜ ⎝
) = p βα
=0
⎞ ⎟ βα ( Ld ) β −1 = 0 t β −1 βα ( Ldt ) ⎟⎠ wt
t
t
d t
dLdt
(L ) d t
β −1
− wt = 0
(3.1)
Dengan melakukan uji turunan pertama pada fungsi laba perusahaan terhadap Cts
(
∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂Cts
⇔
⇔
) = ∂( p C
− wt Ldt ) dLdt =0 ∂Ldt dCts s t
t
(
∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂C
s t
(
∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂C
)=
( p βα ( L )
)=p − t
s t
d t
t
pt βα ( Lt
)
− wt
wt
βα ( Ldt )
Dengan mengalikan βα ( Ldt ) d β −1
β −1
β −1
β −1
) βα ( L1 ) d t
β −1
=0
=0
(3.2)
pada kedua ruas persamaan (3.2) maka didapatkan
− wt = 0
(3.3)
Dapat dilihat bahwa persamaan (3.1) dan (3.3) adalah sama, dari persamaan tersebut diperoleh 1/ (1− β )
Ldt = (αβ )
1/ ( β −1)
⎛ wt ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ pt ⎠
(3.4)
Karena Cts =α ( Ldt ) maka dengan mensubtitusi persamaan di atas diperoleh β
β / ( β −1)
⎛w ⎞ Cts =α 1/ (1− β ) β β / (1− β ) ⎜ t ⎟ ⎝ pt ⎠ Kemudian dengan melakukan uji turunan kedua pada fungsi laba perusahaan ⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ⎞ ⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ⎞ ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂Ldt ∂Ldt s ∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ⎝ ⎠= ⎝ ⎠ dCt = 2 dLdt ∂Cts ∂ ( Ldt ) ∂ ( Ldt )
(
⇔
)
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ∂ ( Ldt )
2
(
)
) = ∂ ( p βα ( L ) t
d t
∂C
s t
β −1
(
)
− wt dC s t dLdt
)
(3.5)
20
⇔
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
(
∂ ( Ldt )
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
⇔
∂ ( Cts )
(
⇔
(
)
)
s 2 t
∂ π t ( C , Ldt ) s t
∂ (C
)
s 2 t
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
)
(
⇔
(
∂L ∂C
s t
∂ π t (C , L 2
s t
d t
(
)
∂Cts ∂Ldt
⇔
(
(
∂Cts ∂Ldt
∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ∂C ∂L s t
d t
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
(
∂ ( Ldt )
∂C ∂L
))
(L ) d t
⎟ d ⎠ dLt dCts
< 0,
2 β −1
) ⎞⎟
(
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂⎜ ⎟ ⎜ ∂Ldt ⎠= ⎝ ∂Ldt
) ⎞⎟
⎟ d ⎠ dLt dCts
)
β −1
− wt dLd t dCts −1
) ⎞⎟
(
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂⎜ ⎟ ⎜ ∂Cts ⎠= ⎝ ∂Cts
) ⎞⎟
⎟ s ⎠ dCt d dLt
⎛ ⎞ wt ⎟ ∂ ⎜ pt − β − 1 d ⎜ ⎟ s L βα ( ) t ⎝ ⎠ dCt = s d ∂Ct dLt
) = − ( β − 1)
wt
βα ( Ldt )
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
)
∂L ∂C
∂ π t (C , L
) ⎞⎟
= pt ( β − 1) βα ( Ldt ) < 0,
d t
d t
d t
2
∂L
(
)
(
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂⎜ ⎟ ⎜ ∂Cts ⎠= ⎝ ∂Ldt
d t
2
s t
s t
)
d t
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂⎜ ⎜ ∂Cts ⎝ = ∂Ldt
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
Sehingga
2
))
) ⎞⎟
( βα )
t
s t
< 0,
wt
) = ∂ ( p βα ( L )
∂L ∂C d t
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
⇔
) = − (1 − β ) (
∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) d t
)
β −2
⎛ ⎞ wt ⎟ ∂ ⎜ pt − d β −1 ⎟ ⎜ βα L ( t ) ⎠ dLdt = ⎝ dCts ∂Ldt
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂⎜ ⎜ ∂Ldt ⎝ = ∂Cts
∂Ldt ∂Cts ⇔
d t
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
2
(L )
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ∂⎜ ⎜ ∂Cts ⎝ = ∂ ( Cts )
2
∂ (C
) = p ( β − 1) βα t
2
(
s t
∂ π t (C , L 2
s t
∂ (C
)
d t
))
=
β
> 0.
(
) (
∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ∂(L
d t
)
2
∂ (C
)
)
s 2 t
s 2 t
−
(
) (
∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ∂L ∂C d t
s t
)
∂C ∂L s t
= ( − ) × ( − ) − ( − ) × ( + ) > 0.
d t
Dapat disimpulkan bahwa persamaan (3.4) dan (3.5) adalah nilai optimal dari Cts dan Ldt yang memaksimumkan laba perusahaan π t ( Cts , Ldt ) .
21
Lampiran 4 Mencari kesetimbangan umum Walras Pada lampiran satu, telah diperoleh Cid,t optimal yang memaksimumkan fungsi utilitas rumah tangga. Akan dicari Ctd yang merupakan agregat permintaan terhadap barang konsumsi: ⎛ (Wi ,t + dt Si,t + rt Bi,t − Ti,t ) ⎞⎟ wt Lmax a a Ctd = ∑ i Cid,t = ∑ t ⎜ + ⎜ ( a + b + c ) pt ⎟ pt (a + b + c) ⎝ ⎠ w N L W + d S + r B − T a a t max t t t t t t ⇔ Ctd = + pt ( a + b + c ) pt (a + b + c)
Sedangkan agregat penawaran terhadap barang konsumsi Cts optimal yang memaksimumkan laba perusahaan telah diperoleh dari lampiran 3 yakni: β / ( β −1)
⎛ wt ⎞ β C =α (3.5) ⎜ ⎟ ⎝ pt ⎠ Kesetimbangan pada barang konsumsi dapat dicari dengan menyeimbangkan agregat penawaran barang konsumsi Cts dengan agregat permintaan barang konsumsi Ctd , sehingga s t
1/ (1− β )
β / (1− β )
Ctd = Cts
⇔
wt N Lmax Wt + dt St + rt Bt − Tt a a 1/ 1− β β / 1− β ⎛ w ⎞ + = α ( )β ( ) ⎜ t ⎟ pt ( a + b + c ) pt (a + b + c) ⎝ pt ⎠
a ⇔ ( a + b + c ) pt ⇔ pt1/ (1− β ) =
(( w N t
Lmax ) + (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) = α
1/ (1− β )
β
β / (1− β )
⎛ wt ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ pt ⎠
β / ( β −1)
β / ( β −1)
a ( wt N Lmax ) + (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) α 1/ ( β −1) β β / ( β −1) wt β / (1− β ) ( (a + b + c)
(4.1) (4.1.1)
Pada lampiran satu, telah diperoleh Lsi,t optimal yang memaksimumkan fungsi utilitas rumah tangga. Akan dicari Lst yang merupakan agregat penawaran terhadap jam tenaga kerja:
⎛ (b + a ) Wi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t c Lst = ∑ i Lsi ,t = ∑ i ⎜ L − ⎜ ( a + b + c ) ( max ) ( a + b + c ) wt ⎝ 1 ⇔ Lst = ( wt ( b + a )( N Lmax ) − c (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) a + b + c ) wt (
⎞ ⎟⎟ ⎠
Sedangkan agregat permintaan terhadap jam tenaga kerja Ldt optimal yang memaksimumkan laba perusahaan telah diperoleh dari lampiran 3 yakni: 1/ ( β −1)
⎛ wt ⎞ (3.4) ⎜ ⎟ ⎝ pt ⎠ Kesetimbangan pada jam tenaga kerja dapat dicari dengan menyeimbangkan agregat penawaran jam tenaga kerja Lst dengan agregat permintaan jam tenaga kerja Ldt , sehingga 1/ (1− β )
Ldt = (αβ )
Ldt = Lst 1/ (1− β )
⇔ (αβ )
1/ (1− β )
⇔ (αβ )
1/ ( β −1)
⎛ wt ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ pt ⎠
=
1 ( w ( b + a )( N Lmax ) − c (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) ( a + b + c ) wt t
wt1/ ( β −1) pt1/ (1− β ) =
1
( a + b + c ) wt
( w ( b + a )( N t
Lmax ) − c (Wt + d t St + rt Bt − Tt ) )
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.1.1) ke dalam persamaan (4.2) maka diperoleh a 1/ (1− β ) wt1/ ( β −1) ⇔ (αβ ) ( ( w N Lmax ) + (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) α 1/ ( β −1) β β / ( β −1) wt β / (1− β ) (a + b + c) t
(4.2)
22
=
1 ( w ( b + a )( N Lmax ) − c (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) ( a + b + c ) wt t
dengan memanipulasi aljabar persamaan di atas maka diperoleh: βa +c ⇔ wt = (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) N Lmax ( a (1 − β ) + b )
(4.3)
Karena persamaan (4.3) diperoleh dari kondisi agregat permintaan dan penawaran pada barang konsumsi dan jam tenaga kerja maka persamaan (4.3) dapat dituliskan sebagai berikut βa + c ⇔ wtWalrasian = (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) N Lmax ( a (1 − β ) + b ) Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (4.3) ke dalam persamaan (4.1) maka diperoleh ⎛ ⎛ ( β a + c )(Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ⎞ ⎞ a ⎜⎜ N Lmax ⎟ + (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ⎟ ⇔ ⎟ ⎟ ( a + b + c ) pt ⎜⎝ ⎜⎝ ( a (1 − β ) + b ) ( N Lmax ) ⎠ ⎠ β / ( β −1)
⎛ ( β a + c )(Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ⎞ β / 1− β β pt ( ) =α ⎜ ⎟ ⎜ ( a (1 − β ) + b ) ( N Lmax ) ⎟ ⎝ ⎠ dengan memanipulasi aljabar persamaan di atas maka diperoleh: 1/ (1− β )
β / (1− β )
β
a ⎛ ( β a + c ) ⎞ (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ⇔ pt = ⎜ (4.4) ⎟ α ⎜⎝ ( N Lmax β a ) ⎟⎠ ( a (1 − β ) + b ) Karena persamaan (4.4) diperoleh dari kondisi agregat permintaan dan penawaran pada barang konsumsi dan jam tenaga kerja maka persamaan (4.4) dapat dituliskan sebagai berikut β
a ⎛ ( β a + c ) ⎞ (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ⇔ pt = ⎜ ⎟ α ⎜⎝ ( N Lmax β a ) ⎟⎠ ( a (1 − β ) + b ) Dengan membandingkan persamaan (4.3) dengan persamaan (4.4) maka dapat diperoleh βa + c (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) Walrasian N Lmax ( a (1 − β ) + b ) ⎛ wt ⎞ = ⎜ ⎟ β ⎝ pt ⎠ a ⎛ ( β a + c ) ⎞ (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ⎜ ⎟ α ⎜⎝ ( N Lmax β a ) ⎟⎠ ( a (1 − β ) + b ) Walrasian
( β −1)
⎛ N Lmax ⎞ ⎛ w⎞ ⇔⎜ ⎟ = αβ ⎜ ⎜ (1 + c / βα ) ⎟⎟ ⎝ p⎠ ⎝ ⎠ Dalam hal ini kondisi pada persamaan (4.5) merupakan kondisi kesetimbangan sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke dalam persamaan (3.5) diperoleh Walrasian
1/(1− β )
β /(1− β )
⎛ ⎛ ⎜ αβ ⎜ N Lmax ⎞⎟ ⎜ ⎜⎝ (1 + c / βα ) ⎟⎠ ⎝
β /( β −1)
⎞ ⎟ C =α β ⎟ ⎠ Karena dalam kondisi kesetimbangan, maka Ctd = Cts sehingga s t
( β −1)
β
⎛ N Lmax ⎞ ⇔ Cts = Ctd = C Walrasian = α ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ (1 + c / βα ) ⎠ Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke dalam persamaan (3.4) diperoleh 1/(1− β )
⎛ ⎛ ⎜ αβ ⎜ N Lmax ⎞⎟ ⎜ ⎜⎝ (1 + c / βα ) ⎟⎠ ⎝
1/( β −1)
⎞ ⎟ L = (αβ ) ⎟ ⎠ Karena dalam kondisi kesetimbangan, maka Ldt = Lst sehingga d t
⇔ Ldt = Lst = LWalrasian =
N Lmax
( β −1)
(1 + c / βα )
(4.5)
23
Lampiran 5 Simulasi dinamika model kesetimbangan umum Grafik dinamika model kesetimbangan umum pada karya ilmiah ini diperoleh dengan menggunakan software Mathematica 6.0. Penulisan programnya seperti di bawah ini : a = b = c = 0.33; alfa = 1; beta = 0.5; Lmax = 4; NN = 200; r = 0.07; retsaham := Table@ Random @ Real, 80.1, 0.1
24
retsaham − r ; antirisk ∗ volat2 Sdemand@0D = proporsiS ∗ W @0D; Bdemand@0D = H1 − proporsiSL ∗ W @0D; T@0D = r ∗ Bdemand@0D; a w @0D ∗ ∗ NN ∗ Lmax + Cdemand@0D = a + b + c p@0D a W @0D + d@0D ∗ Sdemand@0D + r ∗ Bdemand@0D − T@0D ∗ ; a+ b + c p@0D proporsiS =
Csupply@0D = alfa 1−beta ∗ beta 1−beta ∗ 1
beta
Ldemand@0D = Halfa ∗ betaL 1−beta ∗ 1
w @0D p@0D
w @0D p@0D
beta beta−1
1 beta−1
;
;
Lsupply@0D = a+b c W @0D + d@0D ∗ Sdemand@0D + r ∗ Bdemand@0D − T@0D ∗ NN ∗ Lmax − ∗ ; a+ b + c a + b +c w @0D NN ∗ Lmax Lwalras = alfa ∗ ; 1 + c ê H beta ∗ aL beta NN ∗ Lmax Cwalras = alfa1êH1−betaL ; 1 + c ê H beta ∗ aL beta ∗ a + c wwalras@0D = ∗ NN ∗ Lmax ∗ Ha ∗ H1 − betaL + bL H W @0D + d@0D ∗ Sdemand@0D + r ∗ Bdemand@0D − T@0DL; beta a beta ∗ a + c ∗K O ∗ pwalras@0D = alfa NN ∗ Lmax ∗ beta ∗ a H W @0D + d@0D ∗ Sdemand@0D + r ∗ Bdemand@0D − T@0DL ; Ha ∗ H1 − betaL + bL w @0D wreal@0D = ; p@0D wwalras@0D wrealwalras@0D = ; pwalras@0D proporsiS
25
DoB
p@iD = p@i − 1D ∗ Exp@Hkp ∗ HCdemand@i − 1D − Csupply@i − 1DLLD; w @iD = w @i − 1D ∗ Exp@Hkw ∗ H Ldemand@i − 1D − Lsupply@i − 1DLLD; W @iD = 0.45 ∗ H W @i − 1D − p@i − 1D ∗ Cdemand@i − 1D + w @i − 1D ∗ Lsupply@i − 1D + d@i − 1D ∗ Sdemand@i − 1DL; d@iD = p@i − 1D ∗ Csupply@i − 1D − w @i − 1D ∗ Ldemand@i − 1D; retsaham − r ; proporsiS = antirisk ∗ volat2 Sdemand@iD = proporsiS ∗ W @iD; Bdemand@iD = H1 − proporsiSL ∗ W @iD; s@iD = s@i − 1D ∗ Exp@Hks ∗ HSdemand@i − 1D − Sdemand@iDLLD; a w @iD ∗ ∗ NN ∗ Lmax + a + b + c p@iD a W @iD + d@iD ∗ Sdemand@iD + r ∗ Bdemand@iD − T@iD ∗ ; a+ b + c p@iD
Cdemand@iD =
Csupply@iD = alfa 1−beta ∗ beta 1−beta ∗ 1
beta
Ldemand@iD = Halfa ∗ betaL 1−beta ∗ 1
w @iD p@iD
w @iD p@iD
beta beta−1
1 beta−1
;
;
Lsupply@iD = a+b c W @iD + d@iD ∗ Sdemand@iD + r ∗ Bdemand@iD − T@iD ∗ NN ∗ Lmax − ∗ ; a+ b + c a + b +c w @iD beta ∗ a + c wwalras@iD = ∗ NN ∗ Lmax ∗ Ha ∗ H1 − betaL + bL H W @iD + d@iD ∗ Sdemand@iD + r ∗ Bdemand@iD − T@iDL; beta a beta ∗ a + c ∗K O ∗ pwalras@iD = alfa NN ∗ Lmax ∗ beta ∗ a H W @iD + d@iD ∗ Sdemand@iD + r ∗ Bdemand@iD − T@iDL ; Ha ∗ H1 − betaL + bL w @iD wreal@iD = ; p@iD wwalras@iD wrealwalras@iD = ; pwalras@iD , 8i, 1, 1000< F
26
gbrA = Table@ p@tD@@1DD, 8t, 1, 900
81.23458< 81.23435<
gbrA = Table@ w @tD@@1DD, 8t, 1, 900
80.0378022< 80.0377942<
27
gbrA = Table@ wreal@tD@@1DD, 8t, 1, 900
80.0306195< 80.0306186<
gbrA = Table@s@tD@@1DD, 8t, 1, 900
80.112381<
28
tblA = Table@r, 8t, 1, 800
0.07
gbrA = Table@ W @tD@@1DD, 8t, 1, 900
89.0687<
29
tblA = Table@ Ldemand@tD@@1DD, 8t, 1, 900
8266.651<
266.667 tblA = Table@Csupply@tD@@1DD, 8t, 1, 900
816.3294<
16.3299
