MODEL FIXED EFFECT PADA ANALISIS DATA POOLING SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains
Disusun oleh: Musringatun NIM. 013114757
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2008
PERSETUJUAN SKRIPSI MODEL FIXED EFFECT PADA ANALISIS DATA POOLING Telah disetujui dan disahkan pada tanggal 2008 untuk dipertahankan di depan Tim Penguji Skripsi Fakultas Matematika dan Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Disetujui oleh Pembimbing I,
Pembimbing II,
Endang Listyani, M.S NIP. 131 569 343
Elly Arliani, M.Si NIP. 131 993 532
ii
PERNYATAAN
Yang bertanda tangan di bawah ini saya : Nama
: Musringatun
NIM
: 013114757
Program Studi
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Judul Skripsi
: Model Fixed Effect pada Analisis Data Pooling
Menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau telah dipergunakan dan diterima sebagi persyaratan penyelesaian studi pada universitas lain, kecuali pada bagian-bagian tertentu yang telah dinyatakan dalam teks. Apabila ternyata terbukti hal ini tidak benar, sepenuhnya menjadi tangggung jawab saya.
Yogyakarta, Yang menyatakan,
Musringatun NIM. 013114757
iii
2008
PENGESAHAN SKRIPSI Model Fixed Effect pada Analisis Data Pooling Disusun oleh Musringatun NIM. 013114757 Telah dipertahankan di depan Tim Penguji skripsi Jurusan Pendidikan Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta pada tanggal 2008 dan dinyatakan telah memenuhi syarat guna memperoleh gelar Sarjana Sains.
Tim Penguji Nama
Tanda Tangan
Ketua Penguji
Endang Listyani, MS NIP. 131569343
……………..
Sekretaris Penguji
Elly Arliani, M.Si NIP. 131993532
……………..
Penguji I
M.Susanti, M.Si NIP.131808672
……………...
Penguji II
Kismiantini, M.Si NIP.132296139
………………
Yogyakarta, 2008 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Dekan,
Dr. Ariswan NIP. 130791367
iv
Motto Maka ni’mat Tuhan kamu yang manakah yang kamu dustakan? Hai jama’ah jin dan manusia, jika kamu sanggup menembus(melintasi) penjuru langit dan bumi, maka lintasilah, kamu tidak dapat menembusnya, melainkan dengan kekuatan. (Ar Rahman 32-33) Hanya kepada Engkaulah kami menyembah dan hanya kepadaEngkaulah kami mohon pertolongan. (Al fatikhah:5)
Hidup ini adalah rangkaian pembelajaran Tanpa batas waktu Suatu kejadian beralih ke kejadian yang lain Adalah guru kehidupan yang menukarkan Hikmah tanpa henti Tangkaplah setiap tetes hikmah karena ialah milik kita yang amat berharga jangan sia-siakan pelajaran yang Alloh berikan lewati kegagalan dan kesalahan (Cahyadi T)
v
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah, Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan kenikmatan sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.
Kupersembahkan karya kecil ini untuk: Bapak, Mama atas cinta, pengorbanan, doa serta kasih sayang yang tulus. Saudaraku: Moko, Desi, Nur, Janah, Damar, Linda, Putri.
vi
Ucapan thank's to: Nini, Pakde Yitno sekeluarga, Wa Simu sekeluarga, Wa Inah sekeluarga, Mas Aris sekeluarga, Nizar sekeluarga, keluarga besar Jati Mulyo, Bi Lah & Bu Ipong sekeluarga. Teman-Teman Ulya (Umi, Nurha, Dewi, Anik, Ica, Arna, Nita, Yunan, Alfi, Ihat, Asri, Deedee, Mb Rini), Fatiya, Tasnim, Nadia, TM Munawwar & Adek2 TPA. Destri, Dwi, Ida, Asri, Eni, Nurika, Ristina, Noenk, Mien, Siti, Hasti, Reni, Hesti, Didi, Ica, Yuni, Sulis, Yuli, Isti, Anggi, Neli, Lia, Eko, Anggra, Ami, Febi, Audi, Ika terima kasih atas nasihat,doa dan tawaran persahabatannya. Murobbi, Guruku dan ikhwafillah terima kasih atas pembelajaran tuk berbagi pada sesama dan pandangan masa depan. Teman-teman matematika NR 2001.
vii
Model Fixed Effect pada Analisis Data Pooling Disusun oleh Musringatun NIM. 013114757
ABSTRAK Penulisan ini bertujuan untuk mengestimasi parameter model fixed effect pada data pooling serta menerapkan model fixed effect pada data pooling. Data pooling merupakan data gabungan antara data cross section dan data time series). Data time series adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu terhadap suatu individu. Sedangkan data cross section adalah data yang dikumpulkan dalam satu waktu saja terhadap banyak individu. Salah satu model regresi pada data pooling adalah model fixed effect pada data pooling. Bentuk umum model fixed effect pada data pooling: N
K
j =1
k =2
Yit = ∑ β1 j D jt + ∑ β k X kit + ε it , dengan Yit adalah variabel dependen, Xkit adalah
variabel independen dan D adalah variabel dummy, ε it = error untuk individu ke-i
( )
dan waktu ke-t dengan E (ε it ) = 0 , E ε it = σ ε2 . Pada model fixed effect pada data pooling, diasumsikan diasumsikan intersep β1i berbeda antar individu namun 2
intersep antar waktu sama sedangkan slope β k tetap sama antar individu dan antar waktu. Untuk menghitung b1 dan bs digunakan rumus berikut: −1 b s = (X′s ( I N ⊗ D T )X s ) X′s ( I N ⊗ D T ) Y dan b 1i = Yi − X′i b s , bs = (b2 b3 L bK )′ . Pengujian hipotesis model fixed effect pada data pooling menggunakan uji F. Penerapan model fixed effect dalam skripsi ini adalah investasi (Yit) tiga perusahaan yang dipengaruhi oleh keuntungan perusahaan (X2it) selama sepuluh tahun dengan model fixed effect dugaannya: Yˆit = −1.5138 D1t + −2.8463D2t + 0.1137 D3t + 1.1028 X 2it . Model fixed effect pada data pooling mampu menjelaskan perbedaaan investasi ketiga perusahaan tersebut. Sedangkan penerapan yang lain adalah mengenai bantuan pembangunan (Yit) di 5 Daerah Tingkat II Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta yang dipengaruhi Pendapatan Asli Daerah (X2it) dan Subsidi Daerah Otonom (X3it) selama 7 tahun dengan model fixed effect dugaannya: Yit = −3103601D1t − 2742149 D2t − 2549787 D3t − 1628601D4t − 6448748 D5t . − 0.55312 X 2it + 2.696397 X 3it
viii
Model fixed effect pada data pooling mampu menjelaskan perbedaaan bantuan pembangunan untuk Daerah Tingkat II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta.
KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan kenikmatan sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini. Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan memeperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Skripsi ini terselesaikan berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1. Bapak Dr. Ariswan, selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2. Bapak Dr. Hartono, selaku ketua jurusan Matematika yang telah memberikan kelancaran kelancaran pelayanan dalam urusan akademik 3. Ibu Atmini Dhoruri, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran kelancaran pelayanan dalam urusan akademik 4. Ibu Endang Listyani, M.S, selaku Dosen Pembimbing I dan penasehat akademik yang telah memberikan pengarahan, bimbingan serta nasehat yang diberikan kepada penulis. 5. Ibu Elly Arliani, M.Si, selaku Pembimbing II yang telah memberikan pengarahan, bimbingan serta nasehat yang diberikan kepada penulis.
ix
6. Ibu M. Susanti, M.Si dan Ibu Kismiantini, M.Si, yang telah bersedia menjadi Dosen Penguji skripsi penulis. 7. Bapak dan ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA yang telah memberikan ilmu kepada penulis. 8. Semua pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan sehingga dapat memperlancar proses penyelesaian skripsi ini. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun dari berbagai pihak sangat penulis harapkan. Penulis berharap semoga karya ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan dan perkembangan ilmu pengetahuan.
Yogyakarta, Penulis
Musringatun
x
2008
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN.................................................................
ii
HALAMAN PERNYATAAN..................................................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN..................................................................
iv
MOTTO.....................................................................................................
v
PERSEMBAHAN...................................................................................
vi
ABSTRAK................................................................................................ viii KATA PENGANTAR.............................................................................
ix
DAFTAR ISI……………………………………………………..……
xi
DAFTAR TABEL..................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN............................................................................. xiv
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
……………………………………………………
1
B. Rumusan Masalah …………..……………………………………….
5
C. Tujuan Penulisan……………………………………………………
5
D. Manfaat Penulisan …………………………………………………..
5
BAB II DASAR TEORI A. Matriks..........................................................………………………..
7
B. Model Regresi Linier Ganda ……………………………………...
15
1. Estimasi Parameter………..…………………………………….
17
2. Estimasi Variansi ……………...……………………………….
23
3. Matrik Variansi Kovariansi b.………..…………………...……..
25
C. Variabel Dummy ………………………………………………...…..
26
BAB III PEMBAHASAN A. Model fixed effect pada data pooling ......………………….………..
27
1. Estimasi Parameter.…………………………………….………..
31
2. Estimasi Variansi …………..…………………………………..
39
xi
3. Matriks Variansi Kovariansi b……..…….……………………… 42 4. Uji Hipotesis Model Fixed Effect Pada Data Pooling ……………. 43 B. Penerapan Model Fixed Effect Pada Data Pooling……..……………. 44
BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan ………………………………………………………….. 57 B. Saran ………………………………………………………………….. 60 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………… 61 LAMPIRAN ……………………………………………………………..
xii
63
DAFTAR TABEL
1. Tabel 3.1 Investasi dan Keuntungan dari 3 Perusahaan ……...……
44
2. Tabel 3.2 Bentuk Deviasi Rata-Rata …..……………………...……
45
3. Tabel 3.3 Sum Squared Resid dari Model Fixed Effect Pada Data Pooling….……………………………………………………
47
4. Tabel 3.4 Sum Squared Resid dari Model Regresi Data Pooling.…..
50
5. Tabel 3.5 Perkembangan bantuan pembangunan pada semua Daerah Tingkat II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, Pendapatan Asli Daerah dan Subsidi Daerah Otonom……. ……….
xiii
52
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1
Output Tabel 3.1Investasi dan Keuntungan dari 3 Perusahaan……………………………………………..…
Lampiran 2
64
Output Tabel 3. 5 Perkembangan Bantuan Pembangunan pada semua Daerah Tingkat II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, Pendapatan Asli Daerah dan Subsidi Daerah Otonom…………………………………………………...…
xiv
65
1
BAB 1 PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya hubungan antara satu
variabel dengan variabel lain. Sebagai contoh di bidang ekonomi, adanya penghasilan yang diperoleh berhubungan dengan tingkat pendidikan seseorang, di bidang pertanian, adanya hubungan antara dosis pupuk yang diberikan dengan hasil yang diperoleh. Hubungan antara dua variabel atau
lebih umumnya
dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel. Persamaan ini disebut dengan persamaan regresi. Dalam persamaan regresi dibedakan dua jenis variabel yaitu variabel bebas (independen) dan variabel terikat (dependen). Regresi pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton pada tahun 1886. Galton menemukan adanya kecenderungan bahwa orang tua yang memiliki tubuh tinggi memiliki anak yang tinggi, orang tua yang pendek memiliki anakanak yang pendek. Kendati demikian, diamati juga ada kecenderungan tinggi anak cenderung bergerak menuju rata-rata tinggi populasi secara keseluruhan. Dengan kata lain, ketinggian anak yang tinggi atau orang tua yang amat pendek cenderung bergerak ke arah rata-rata tinggi populasi. Inilah yang disebut hukum Galton mengenai regresi universal (Mudrajat Kuncoro, 2001: 91). Sedangkan analisis regresi dalam pengertian modern adalah studi bagaimana variabel dependen dipengaruhi oleh satu atau lebih dari variabel independen dengan tujuan untuk mengestimasi atau memprediksi nilai rata-rata variabel dependen didasarkan pada
2
nilai variabel independen yang diketahui. Keberhasilan dari setiap analisis regresi tergantung dari ada tidaknya ketersediaan data. Data dapat dibagi menjadi (Supramono, 1993: 10): 1.
2.
3.
4.
Menurut sifatnya: a.
Data kualitatif
b.
Data kuantitatif
Menurut sumbernya: a.
Data internal
b.
Data eksternal
Menurut cara memperolehnya: a.
Data primer
b.
Data sekunder
Menurut waktu pengumpulannya: a.
Data time series (data runtut waktu)
b.
Data cross section (data seksi silang)
Data yang sering digunakan dalam analisis regresi adalah data time series (data runtut waktu) dan data cross section (data seksi silang). Data time series adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu terhadap suatu individu. Sedangkan data cross section adalah data yang dikumpulkan dalam satu waktu saja terhadap banyak individu. Namun terkadang ditemukan data yang merupakan gabungan dari data time series dan data cross section. Gabungan data ini disebut dengan data pooling. Dengan kata lain data pooling adalah data beberapa individu yang pengamatannya dilakukan dari waktu ke waktu, misalnya data pertumbuhan
3
perekonomian propinsi-propinsi di Indonesia. Data ini merupakan kumpulan informasi tentang perkembangan perekonomian di semua propinsi di Indonesia, dan dikumpulkan selama beberapa kurun waktu. Analisis regresi dengan menggunakan data pooling disebut analisis regresi data poling. Untuk selanjutnya analisis regresi data pooling dalam skripsi ini ditulis regresi data pooling. Data pooling merupakan gabungan data cross section dan data time series mempunyai observasi lebih banyak dibandingkan dengan data cross section atau data time series saja. Pada data pooling ini, hasil regresi data pooling cenderung lebih baik dibanding regresi yang hanya menggunakan data cross section atau data time series saja (Nachrowi, 2006: 312). Beberapa keuntungan menggunakan data pooling (Indrawati, 2006) : 1. dengan menggabungkan data cross section dan data time series, data pooling lebih informatif, bervariasi, degree of freedom lebih besar dan lebih efisien. 2. dengan menggabungkan data data cross section dan data time series, data pooling dapat menghindari masalah multikolinearitas. 3. data pooling lebih dapat mendeteksi dan mengukur pengaruh-pengaruh yang tidak dapat diobservasi pada data cross-section murni atau timeseries murni. 4. dengan menggunakan beberapa ribu unit data cross section dan data time series, data pooling dapat meminimalisasi bias.
4
Bentuk umum model regresi data pooling adalah K
Yit = β1i + ∑ β k X kit + ε it
(1.1)
k =2
t = 1,2…,T
i = 1,2…,N k= 2,3…,K
dengan Yit Xkit
β1i βk ε it
= variabel terikat untuk unit cross section (unit individu ) ke-i dan waktu ke-t = variabel bebas ke-k untuk unit cross section ke-i dan waktu ke-t = intersep untuk unit cross section ke-i = slope bersama untuk semua unit = error untuk individu ke-i
( )= σ
E (ε it ) = 0 , E ε it
2
dan
waktu
ke-t
dengan
2
ε
Beberapa model regresi pada data pooling menurut Pindyick dan Rubinfield (1998: 202) adalah 1. model dengan menggabungkan data cross section dan data time series. 2. model fixed effect / model kovarian / pendekatan Least Square Dummy Variable. Model ini menambahkan variabel dummy untuk mengetahui variabel yang menyebabkan perbedaan intersep antar unit individu. 3. model random effect / error component model. Model ini menghitung faktor error (error term) yang menimbulkan korelasi antar unit waktu dan unit individu. Estimasi parameter model regresi data dengan menggabungkan data cross section dan data time series digunakan metode kuadrat terkecil. Pada model ini tidak dapat diketahui perbedaan intersep dan slope baik antar waktu maupun antar individu.
Salah satu metode untuk mengatasi permasalahan tersebut dengan
menggunakan
model fixed effect data pooling. Model fixed effect pada data
5
pooling adalah model regresi data pooling dengan menggunakan variabel dummy untuk menjelaskan adanya perbedaan intersep antar individu. Parameter model fixed effect pada data pooling diestimasi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Oleh karena itu model fixed effect disebut juga pendekatan Least Square Dummy Variable. Salah satu kelebihan dari model fixed effect pada data pooling adalah dapat mengetahui adanya perbedaan karakteristik dalam setiap individu. Sebagai contoh karakteristik dalam hal ini pada perusahaan adalah budaya perusahaan, gaya manajerial.
B.
Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang dapat disusun adalah sebagai berikut: 1.
Bagaimana mengestimasi parameter-parameter model fixed effect pada data pooling?
2.
Bagaimana penerapan model fixed effect pada data pooling?
C.
Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan ini adalah: 1.
Menjelaskan langkah-langkah mengestimasi parameter-parameter model fixed effect pada data pooling.
2.
Menjelaskan penerapan model fixed effect pada data pooling.
D.
Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari penulisan ini antara lain:
6
1. Memberikan gambaran dan penjelasan konsep dasar model fixed effect data pooling yang sering ditemui dalam observasi. 2. Dapat menerapkan model ekonomi.
fixed effect pada data pooling di bidang
7
BAB II DASAR TEORI
Pada bab II pada model fixed effect pada data pooling ini memerlukan beberapa teori tentang matriks, regresi linier ganda dan variabel dummy sebagai landasan dalam pembahasan model fixed effect pada data pooling. A.
Matriks
Pada skripsi ini model regresi linier dituliskan dalam notasi matriks. Matriks memberikan metode yang ringkas untuk menyelesaikan model regresi yang terdiri dari banyak variabel. Definisi 2.1 Matriks (Anton, 1987: 22)
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Contoh: 2 1 7 A= 3 4 2 Definisi 2.2 Transpos suatu matriks (Searle, 1982: 23)
Transpos suatu matriks adalah matriks yang dibentuk dari matriks semula dengan mengubah entri-entri baris menjadi entri-entri kolom dan entri-entri kolom menjadi entri-entri baris. Transpos suatu matriks biasanya dituliskan dengan tanda
( ' ) pada notasi matriks aslinya.
8
Contoh: 18 19 A= 6 9
17 11 18 19 6 9 13 6 dan A ′ = 17 13 14 11 14 9 11 6 9 4 11 4
Sifat-sifat transpos suatu matriks (Anton, 1987: 37) :
(A ′)′ = A
1. 2.
(A + B )′ = A ′ + B′
3.
(kA)′ = k A ′ , dengan k adalah sebarang skalar.
4.
(AB )′ = B′ A ′
Definisi 2.3 Matriks Persegi (Dumairy, 1999: 292) Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh:
3 5 8 B = 7 3 1 4 5 0 Definisi 2.4 Matriks Diagonal (Dumairy, 1999: 300) Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua entrinya nol kecuali pada diagonal utamanya. Contoh: 2 0 A= 0 3
9
Definisi 2.5 Matriks Identitas (Anton, 1987: 33) Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua entri pada diagonal utamanya adalah bilangan satu sedangkan entri yang lain bilangan nol. Matriks identitas berukuran n × n biasa dinyatakan dengan In. Contoh: 1 0 I2 = 0 1 Definisi 2.6 Matriks Skalar (Dumairy, 1999: 303) Matriks skalar adalah matriks diagonal yang entri-entrinya sama atau seragam ( λ ). Apabila λ = 1 matriks skalar menjadi matriks identitas. Contoh: 3 0 A= 0 3 Definisi 2.7 Matriks Simetris (Dumairy, 1999: 302) Matriks simetris adalah matriks persegi yang sama dengan transposnya. Matriks A dikatakan simetris apabila A ′ = A . Contoh: 1 3 1 3 A= dan A ′ = 3 7 3 7 Apabila sebuah matriks simetris dikalikan dengan matriks transposnya hasilnya 2 berupa kuadrat dari matriks tersebut yaitu AA ′ = AA = A .
10
Definisi 2.8 Invers suatu Matriks (Anton, 1987: 34) Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi, sedemikian sehingga
AB = BA = I , maka A dikatakan mempunyai invers dan B disebut invers A dan dinotasikan B = A −1 . Sifat invers suatu matriks (Anton, 1987: 37): 1. jika B dan C invers suatu matriks A maka B = C . 2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai invers dan berordo sama , maka a. AB mempunyai invers b.
(A )
c.
(AB )−1 = B −1 A −1 )
d.
(A )
−1 −1
n −1
=A
( )
= A −1
n
untuk n = 0,1,2...N
Untuk sebarang skalar k ≠ 0 maka (kA )
−1
=
1 −1 A k
Definisi 2.9 Determinan (Dumairy, 1999: 313) Setiap matriks persegi A, selalu ada suatu skalar yang disebut determinan matriks A dengan simbol det(A) atau A . Nilai dari suatu determinan dapat dilakukan dengan cara mengalikan unsurunsurnya secara diagonal. a A = 11 a 21
a12 a 22
determinannya adalah det (A ) =
a11 a 21
a12 = a11 a 22 − a 21 a12 a 22
11
Contoh: 4 4 4 4 A= , det( A) = = 28 − 24 = 4 6 7 6 7 Matriks berdimensi tiga: a11 A = a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
determinan A adalah
a11
det (A ) = a 21
a12
a13
a 22
a 23 = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 − a31 a 22 a13
a31
a32
a 33 − a 21 a12 a 33 − a11 a 23 a32
Contoh: 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9
1 2 3
det (A ) = 4 5 6 = 1.5.9 + 2.6.7 + 3.8.4 − 7.5.3 − 4.2.9 − 1.6.7 = 0 7 8 9 Sifat-sifat determinan (Anton, 1987: 71-75): a. Jika A adalah sebarang matriks persegi, maka det(A) = det (A ′) b. Jika A dan B adalah matriks-martiks persegi yang ordonya sama, maka det(AB) = det(A)det(B) c. Sebuah matriks persegi A mempunyai invers jika dan hanya jika det(A) ≠ 0 d. Jika A mempunyai invers maka det( A −1 ) =
1 det( A)
12
Contoh: − 1 6 − 1 9 2 9 A= dan A −1 = 4 3 4 27 1 27
Definisi 2.10 Trace suatu Matriks (Searle, 1982: 27) Trace suatu matriks persegi A berordo n adalah jumlah n elemen diagonal utama matriks tersebut, ditulis: n
tr (A ) = a11 + a 22 + L + a nn = ∑ aij dengan i = j i =1
Contoh : 6 1 7 tr 8 3 9 = 1 + 3 − 8 = −4 4 − 2 − 8 Beberapa hal yang berlaku (Intriligator, 1978: 579): 1.
tr ( A ′) = tr (A)
2.
tr (c) = c , c adalah skalar
3.
tr(cA) = c [tr(A)]
4.
tr(In) = n
5.
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
6.
Apabila AB = BA, maka tr(AB) = tr(BA)
Definisi 2.11 Matriks Nol (Dumairy, 1999: 301) Matriks nol adalah matriks yang semua entri-entrinya nol. Contoh: 0 0 0 0 2×3 = 0 0 0
13
Definisi 2.12 Matriks Idempoten (Maddala, 1977: 445 ) Matriks A adalah matriks idempoten jika dan hanya jika A2 = A Definisi 2.13 Kronecker Product (Muirhead, 2005: 73) Jika A adalah matriks dengan ukuran n × m dan B adalah matriks dengan ukuran k × l maka Kronecker Product dari A dan B adalah
a11B a12 B L a1N B a B a B L a B 22 2N A ⊗ B = 21 M M M a M 1B a M 2 B L a MN B dengan A ⊗ B adalah matriks dengan ukuran mk × nl. Contoh:
1 3 2 2 0 A= , B= 2 0 1 0 3 Untuk kronecker product A dan B adalah
2 1 1 A⊗B = 2 2 1
2 0 2 2 0 3 0 3 1 0 3 2 0 2 2 0 0 0 3 1 0 3
2 1 = 4 2 1 2 2 B⊗A = 1 1 2
2 0 6 6 0 0 3 3 0 9 4 0 0 0 0 0 6 0 0 0 3 1 3 1 3 2 0 0 2 0 2 0 3 1 3 1 3 0 3 0 2 0 2 0
14
2 4 = 1 2
6 2 6 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 3 9 0 0 0 6 0
Sifat-sifat dari Kronecker Product adalah 1.
A⊗B ≠ B⊗A
2.
(A ⊗ B ) (C ⊗ D) = AC ⊗ BD
3.
(A ⊗ B )−1 = A −1 ⊗ B −1
4.
(A ⊗ B )′ = A ′ ⊗ B′
5. A ⊗ (B + C ) = A ⊗ B + A ⊗ C Definisi 2.14 Vektor dan matriks dengan semua elemen 1 (Neter, 1985: 198)
Vektor kolom dengan semua elemen 1 ditulis dengan
1 1 1 = r×1 M 1 dan matriks persegi yang semua elemennya 1 dapat ditulis dengan
1 1 L 1 1 1 L 1 J = r×r M M M 1 1 L 1 Contoh:
1 1 = 1 3×1 1
1 1 1 J = 1 1 1 3×3 1 1 1
Untuk vektor 1 berukuran n × 1,
15
1 1 1′1 = [1 1 L 1] = [n] = n 1×1 M 1
1 1 11′ = [1 1 L 1] = J n×n n×n M 1 B.
Model Regresi Linier Ganda
Secara umum model regresi linier ganda (Judge, 1988: 926) dapat ditulis:
Yi = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + L + β k X ki + ε i dengan
i = 1,2,...n
β 1 = intersep β 2 , β 3. ..., β k = slope
ε i = error, ε i ~ N(0, σ 2 ) i = observasi (pengamatan) ke-i n = banyaknya observasi Oleh karena i menunjukkan observasi maka terdapat n persamaan:
Y1 = β1 + β 2 X 21 + β 3 X 31 + L + β k X k1 + ε 1 Y2 = β1 + β 2 X 22 + β 3 X 32 + L + β k X k 2 + ε 2
M Yn = β1 + β 2 X 2 n + β 3 X 3n + L + β k X kn + ε n Model regresi dapat ditulis dalam matriks sebagai berikut :
Y = Xβ + ε = X β +ε
dengan
16
β1 ε 1 β ε 2 2 M M β= ε= βi ε i M M β k ε n
1 X 21 1 X 22 X= M M 1 X 2 n
X 31 L X k1 X 32 L X k 2 M M X 3n L X kn
Beberapa asumsi yang penting dalam regresi linier ganda (Widarjono, 2005: 78) antara lain : 1.
Hubungan antara Y (variabel dependen) dan X (variabel independen) adalah linier dalam parameter.
2.
Tidak ada hubungan linier antara variabel independen atau tidak ada multikolinieritas antara varibel independen.
3.
Nilai rata-rata dari ε adalah nol. E (ε ) = 0 ,
Dalam bentuk matriks:
E (ε 1 ) 0 E (ε ) 0 2 M M E(ε ) = = = 0 = vektor nol ε E ( ) i 0 M M E (ε n ) 0 4.
Tidak ada korelasi antara (ε i ) dan (ε j ) .
5.
Variansi setiap ε adalah sama (homoskedastisitas)
( )
E ε2 = σε
2
Apabila ditulis dalam bentuk matriks:
E (ε i ε j ) = 0 , i ≠ j,
17
( )
E ε2
ε 1 ε = E (εε ′) = E 2 (ε 1 ε 2 L ε n ) M ε n
( )
E ε 12 E (ε 1ε 2 ) 2 E (ε 2 ε 1 ) E ε 2 M M = E (ε i ε 1 ) E (ε i ε 2 ) M M E (ε n ε 1 ) E (ε n ε 2 )
σ ε 2 0 = 0 0
( )
0
σε
2
L E (ε 1ε n ) L E (ε 2 ε n ) M L E (ε i ε n ) M L E ε n2
( )
L
0
L
0
0
L σε
0
L
0
0 L 0 2 = σε In L 0 2 L σ ε L
2
1. Estimasi Parameter Persamaan regresi linier ganda dugaan (Makridakis, 1999: 282) Yˆi = b1 + b2 X 2i + b3 X 3i + L + bk X ki Persamaan regresi linier ganda dugaan ditulis dalam matriks sebagai berikut:
ˆ = Xb Y = X β +ε
dengan
Yˆ1 ˆ Y2 ˆ =M Y Yˆi M Yˆn
b1 b 1 X 21 2 1 X M 22 b= X= M M bi M 1 X 2 n bk
X 31 L X k1 X 32 L X k 2 M M X 3n L X kn
18
Salah satu cara yang digunakan untuk mengestimasi β adalah metode kuadrat terkecil. Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode untuk menghitung
b sebagai estimator β dengan meminimalkan jumlah variabel error (Widarjono, 2005: 32). Misalkan b sebagai estimator β dan persaman hasil estimasi adalah ˆ = Xb Y dan ˆ e=Y−Y
Selanjutnya
ˆ )′(Y − Y ˆ) e′e = (Y − Y ′ e′e = (Y − Xb ) (Y − Xb ) e′e = (Y ′ − b ′X′) (Y − Xb ) e′e = Y ′Y − Y ′Xb − b ′X′Y + b ′X′Xb Oleh karena b ′X ′Y adalah suatu matriks skalar maka matriks transposnya adalah
b ′X′Y = Y ′Xb sehingga e′e = Y ′Y − 2b ′X ′Y + b ′X ′Xb
Di dalam matematika, untuk mendapatkan nilai minimal dalam sebuah fungsi syaratnya turunan pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol. Oleh karena itu untuk mendapatkan
penurunan
∑e
2 i
∑e
2 i
sekecil mungkin adalah dengan cara melakukan
terhadap komponen b dapat ditulis
Selanjutnya akan diminimalkan
∑e
2 i
∂ ∑ e i2 ∂b
= 0.
′ = e′e = (Y − Xb ) (Y − Xb ) dengan
19
∑e
2 i
diturunkan terhadap komponen b:
∂ e′e = −2X′Y + 2X′Xb dengan e′e = Y ′Y − 2b ′X′Y + b ′X′Xb ∂b 2 X ′Y + 2 X ′Xb = 0 atau
X′Y = X′Xb −1 b = (X′X ) X′Y
Teorema 3.1 Gauss Markov (Widarjono, 2005: 36) Metode Kuadrat Terkecil menghasilkan estimator parameter yang bersifat
Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) yaitu linier, tidak bias, dan memiliki variansi minimum. Akan dibuktikan b merupakan estimator yang linier, tidak bias, memiliki variansi yang minimum.
a.
Linier
b = (X′X ) X′Y −1
= ( X′X
)−1 X′ ( Xβ + ε )
= (X′X ) X′Xβ + (X′X ) X′ε −1
−1
= β + (X′X ) X′ε karena (X′ X) −1 X′ X = I −1
Persamaan diatas menunjukan b adalah fungsi linier dari β dan ε . b.
Tidak Bias
[
E(b ) = E β + ( X′X
)−1 X′ε ]
E(b ) = E(β ) + E(X′X ) X′ε −1
20
= β + ( X′X
)−1 X′ E(ε )
= β , sebab X= konstan dan E(ε ) = 0 Terbukti bahwa b merupakan estimator kuadrat terkecil yang tidak bias. c.
Memiliki variansi yang minimum Diketahui
[
Var(b) = E (b − β )
]
2
atau
′ Var(b) = E (b − β )(b − β )
( )
X′ε untuk ( b − β ) maka akan
}{ (X′X)
−1
Dengan mensubstitusikan X′ X
−1
diperoleh
Var(b) = E
{ (X′X)
[ ( X′X)
Var(b) = E
−1
−1
X′ε
X′ εε ′X (X′X )
X′ε
−1
)−1 X′ E (εε ′ ) X ( X′X )−1
= ( X ′X
)−1 σ ε 2 I n
−1
= σε
2
( X′X )−1 X′X ( X′X )−1
= σε
2
( X′X )−1
Var(b) = σ ε
2
]
= ( X′X
X (X ′X )
}′
( X′X )−1
Untuk menunjukkan bahwa semua b adalah estimator-estimator terbaik,
akan
Var(b) = σ ε2
dibuktikan
( X′X )−1 adalah
bahwa
variansi
yang
diperoleh
yaitu
terkecil diantara semua variansi estimator
21
lain yang mungkin linear dan tidak bias, yaitu dengan mengasumsikan sebuah estimator alternatif yang linear dan tidak bias, dan akan dibuktikan bahwa variansinya lebih besar daripada variansi estimator model regresi. Misalkan b* adalah estimator alternatif yang linear dan tidak bias
[
]
bagi β . Anggaplah b* = ( X ′X ) −1 X ′ + B Y dengan B adalah matriks konstanta berukuran k × n yang diketahui. Diperoleh
[ ] b* = [ ( X ′X ) X ′ + B ] [ Xβ + ε ] b* = [ ( X ′X ) X ′ ( Xβ + ε ) + B ( Xβ + ε ) ] E(b *) = E[ ( X ′X ) X ′ ( Xβ + ε ) + B ( Xβ + ε ) ] E(b *) = E[ ( X ′X ) X ′ Xβ + ( X ′X ) X ′ε + B Xβ + Bε ] b* = ( X ′X ) −1 X ′ + B Y −1
−1
−1
−1
−1
dengan
(X′ X) −1 X ′ X = I , E(ε ) = 0 E ( b * ) = β + BXβ
Dari persamaan diatas diasumsikan b* merupakan estimator yang tidak bias bagi β maka seharusnya E ( b * ) = β atau BXβ merupakan matriks nol dengan BX = 0 . Variansi dari estimator alternatif adalah
′ Var(b*) = E (b * −β ) (b * −β )
= E
{ [ ( X′X )
−1
]
X′ + B Y − β
}{ [ (X′X)
−1
]
}
′ X′ + B Y − β
22
= E
{ [ ( X′X ) {
−1
X′ + B
] (Xβ + ε) − β }{ [ (X′X)
−1
}{(X′X)
= E[ (X ′X ) X ′Xβ + (X ′X ) X ′ε + BXβ + Bε − β −1
−1
] (Xβ + ε ) − β }′
X′ + B
−1
X ′Xβ +
(X′X )−1 X′ε + BXβ + Bε − β }′ ]
{
}{
}
′ −1 −1 = E Iβ + (X′X ) X′ε + Bε − β Iβ + (X′X ) X′ε + Bε − β Karena (X′ X) −1 X ′ X = I , BX = 0
{
−1 = E (X′X ) X′ε + Bε
[{(X′X)
=E
−1
}{ (X′X)
}{
−1
X′ε + Bε
X′ε + Bε ε ′X (X′X ) + ε ′B ′ −1
}′
}]
[{(X′X) X′ + B }εε′ {X (X′X) + B′ } ] = [ {(X′X ) X′ + B } E [εε ′] {X (X′X ) + B ′ } ] −1
=E
−1
−1
−1
{ {(X′X) {(X′X)
}{
= σ ε2 I n (X′ X) −1 X′ + B X(X′ X) −1 + B ′ = σ ε2 I n = σ ε2 I n
}
−1
X′ X′X(X′X ) + BX(X′X ) + (X′X ) X′B ′ + BB
−1
+ BB ′ karena Bε = 0
−1
−1
−1
}
}
= σ ε2 I n (X ′X ) + σ ε2 I n BB ′ −1
Var (b *) lebih besar daripada Var (b ) yaitu dengan kelebihan sebesar σ ε2 I n BB ′ ,
sehingga terbukti bahwa b merupakan estimator terbaik.
23
2. Estimasi Variansi
Menurut Judge et al. (1988: 205), estimator yang tidak bias untuk σ ε adalah 2
σˆ ε 2 dengan 2 σˆ ε =
e′e n−k
Pembuktian Model regresi linier ganda ditulis dalam persamaan matriks :
Y = Xβ + ε akan digunakan sebagai dasar mengestimasi σ ε dengan σ ε adalah variansi dari 2
2
error. Misalkan b sebagai estimator β dan persaman hasil estimasi adalah ˆ = Xb Y
= X ( X′X
)−1 X′Y
dan ˆ e=Y−Y
= Y − X(X′X ) X′Y −1
(
)
= I n − X(X ′X ) X ′ Y −1
(
−1 = I n − X(X ′X ) X ′
(
) ( Xβ + ε ) )
= I n − X ( X ′X ) X′ ε −1
= Mε M adalah matriks ukuran n × n dan simetris.
24
MM ′ = MM = M 2 = M
(
= I n − X ( X ′X
)−1 X′ ) (I n − X ( X′X )−1 X′ ) = (I n − X ( X′X )−1 X′ )
Matriks yang memenuhi sifat di atas disebut matriks idempoten.
(
e′e = ε ′ I n − X ( X ′X
)−1 X′) (I n − X (X′X )−1 X′) ε
= ε ′M ′Mε = ε ′Mε
(
= ε I n − X ( X ′X
)−1 X′) ε
Karena ε ′ Mε adalah skalar maka E [e′e ] = E [tr (ε ′Mε
) ] = E [tr (Mεε ′) ]
E[ e′e ] = tr{ M E [ εε ′
[
] } = tr[ M (σ ε 2 I n ) ] = σ ε 2 tr (M )
2 −1 = σ ε tr I n − X(X ′X ) X ′
= σε
2
= σε
2
[ tr(I
n
[ tr (I
]
) − tr (X (X′X )−1 X′) ]
n
) − tr (X′X (X′X )−1 ) ] karena (X′ X) −1 X′ X = I
= σ ε [tr (I n ) − tr (I k )] 2
= σε
2
( n−k )
E[ e′e ] = σ ε
2
(n − k )
e′e 1 2 2 E Akibatnya n − k = n − k σ (n − k ) = σ ε
e′e 2 2 2 Untuk σˆ ε = n − k maka E σˆ ε = σ ε
[ ]
2 2 Jadi σˆ ε merupakan estimator yang tidak bias untuk σ ε .
25
3. Matrik Variansi Kovariansi b Definisi 2.15 Matrik Variansi-Kovariansi dari b (Gujarati, 1978: 137).
Var-cov (b) = E
{[b − E(b)][b − E(b)]′ }
Diketahui E (b) = β sehingga
E
{[b − E(b)][b − E(b)]′ }= E{[b − β][b − β]′ }
b −β 1 1 b2 − β 2 = E M bk − β k
b1 − β 1 b − β 2 2 M bk − β k
b1 − β 1 b − β2 [b1 − β1 = E 2 M bk − β k
[
]
′
L bk − β k ]
b2 − β 2
E (b1 − β 1 ) 2 E [(b1 − β 1 )(b2 − β 2 )] L E [(b1 − β 1 )(bk − β k )] E [(b2 − β 2 )(b1 − β 2 )] E (b2 − β 2 ) 2 L E [(b2 − β 2 )(bk − β k )] = M M M M E (bk − β k ) 2 E [(bk − β k )(b1 − β k )] E [(bk − β k )(b2 − β 2 )] L
[
]
[
]
cov(b1 , b2 ) L cov(b1 , bk ) Var (b1 ) cov(b , b ) Var (b ) L cov(b , b ) 2 1 2 2 k = M M M cov(bk , b1 ) cov(bk , b2 ) L Var (bk ) Matriks diatas adalah matriks simetris yang mengandung variansi dari estimator b di sepanjang diagonal utama dan kovariansi pada elemen yang lain. Oleh karena itu matriks ini disebut matriks variansi-kovariansi dari estimator kuadrat terkecil
slope regresi. Dengan demikian maka:
26
Var-cov (b ) = E { (b − β) (b − β)′ }
( )
−1
Dengan mensubstitusikan X ′ X
Var-cov (b) = E
{ (X′X)
[ ( X′X)
=E
−1
−1
X ′ε untuk ( b − β ) maka akan diperoleh
X′ε
}{ (X′X)
X′ εε ′X (X′X )
−1
−1
X′ε
}′
]
= ( X′X
)−1 X′ E (εε ′ ) X ( X′X )−1
= ( X ′X
)−1 X′ σ ε 2 I n
−1 X (X ′X )
= σε
2
( X′X )−1 X′X ( X′X )−1
= σε
2
( X′X )−1
Var-cov (b) = σ ε (X′ X) −1 2
C.
Variabel Dummy (Sumodiningrat, 1996: 345)
Variabel dummy adalah variabel kualitatif dalam model regresi. Variabel kualitatif tidak dapat diukur, tetapi hanya dapat ditandai sifatnya antara ada dan tidak ada. Nilai variabel dummy dalam model bernilai 1 atau 0 untuk masingmasing kategori. Misalkan untuk kategori jenis kelamin pria adalah 1 dan untuk kategori jenis kelamin wanita adalah 0.
27
BAB III PEMBAHASAN
Data pooling adalah data beberapa individu yang pengamatannya dilakukan dari waktu ke waktu. Regresi dengan menggunakan data pooling disebut regresi data poling. Bentuk umum model regresi data pooling adalah K
Yit = β1i + ∑ β k X kit + ε it
(3.1)
k =2
t = 1,2…T ; i = 1,2…N; k = 2,3…K
dengan: Yit Xkit
β1i βk ε it
= variabel terikat untuk unit cross section (unit individu ) ke-i dan waktu ke-t = variabel bebas ke-k untuk unit cross section ke-i dan waktu ke-t = intersep untuk unit cross section ke-i = slope bersama untuk semua unit = error untuk individu ke-i dan waktu ke-t dengan
( )= σ
E (ε it ) = 0 , E ε it
A.
2
2
ε
Model Fixed Effect Pada Data Pooling
Model fixed effect pada data pooling adalah model regresi data pooling dengan menggunakan variabel dummy yang digunakan untuk menjelaskan adanya perbedaan intersep antar individu. Sebagai contoh perbedaan intersep antar individu, perbedaan karakteristik pada perusahaan budaya perusahaan adalah gaya manajerial. Model fixed effect pada data pooling dapat dituliskan dalam bentuk berikut ini:
28
N
K
j =1
k =2
Yit = ∑ β1 j D jt + ∑ β k X kit + ε it
(3.2)
dengan Djt adalah variabel dummy dan mengambil nilai 0 atau 1. Dapat juga ditulis berikut ini: jika j = i
1 Djt = 0
jika
j≠i
Jadi variabel dummy akan bernilai 1 untuk observasi yang sama dengan individu ke- j dan bernilai 0 untuk observasi individu yang lain. Pada model fixed effect untuk data pooling, diasumsikan bahwa intersep β 1i berbeda antar individu namun intersep antar waktu sama sedangkan slope β k tetap sama antar individu dan antar waktu. Model fixed effect pada data pooling terdapat N persamaan dengan masingmasing T observasi dapat dituliskan berikut ini: N
K
j =1 N
k =2 K
Y1t = ∑ β 1 j D jt + ∑ β k X k1t + ε 1t Y2t = ∑ β1 j D jt + ∑ β k X k 2t + ε 2t j =1
k =2
M N
K
j =1
k =2
YN t = ∑ β 1 j D jt + ∑ β k X kNt + ε Nt Untuk i = 1 dan t = 1,2,...,T, model fixed effect pada persamaan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini:
Y11 D11 Y D 12 = 12 M Y1T D1T (T × 1)
L D N 1 β11 X 211 D22 L D N 2 β 12 X 212 + M M M D2T L D NT β1N X 21T (T × N ) ( N × 1) D21
X K 11 β 2 ε 11 X 312 L X K 12 β 3 ε 12 + M M M M X 31T L X K 1T β K ε 1T (K × 1) (T × 1) (T × K ) X 311 L
29
Y11 1 Y 1 12 = M Y1T 1
0 L 0 0 L 0 M M 0 L 0
β11 X 211 β X 12 + 212 M β1N X 21T
′ Dimisalkan jT = (1 1 L 1)
X K 11 L X K 12 M L X K 1T
X 311 L X 312
M X 31T
β 2 ε 11 β ε 3 + 12 M M β K ε 1T
adalah vektor matriks berukuran (T × 1) maka
untuk individu ke-1 persamaan ( 3.2 ) dapat ditulis dengan notasi matriks berikut ini: Y1t = β 11 jT + X k1t β k + ε 1t
Untuk i = 2 dan t = 1,2,...,T, model fixed effect pada persamaan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini:
Y21 D11 Y D 22 = 12 M M Y2T D1T Y21 0 Y 0 22 = M M Y2T 0
D21 D22
M D 2T
L DN1 L D N 2 M L D NT
β 11 X 221 β X 12 + 222 M M β 1N X 22T
1 L 0 β 11 X 221 1 L 0 β 12 X 222 + M M M M 1 L 0 β 1N X 22T
′ Dimisalkan jT = (1 1 L 1)
X 321 X 322 M
X 32T
X 321 X 322
M X 32T
X K 21 L X K 22 M L X K 2T
L
β 2 ε 21 β ε 3 + 22 M M β K ε 2T
X K 21 β 2 ε 21 X K 22 β 3 ε 22 + M M M L X K 2T β K ε 2T L L
adalah vektor matriks berukuran (T × 1) maka
untuk individu ke-2 persamaan ( 3.2 ) dapat ditulis dengan notasi matriks berikut ini: Y2 t = β 12 jT + X k 2 t β k + ε 2 t
Untuk i = N dan t = 1,2,...,T, model fixed effect pada persamaan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini:
30
L D N 1 β 11 X 2 N 1 X 3 N 1 L X KN 1 β 2 ε N 1 D22 L D N 2 β 12 X 2 N 2 X 3 N 2 L X KN 2 β 3 ε N 2 + + M M M M M M M M D2T L D NT β 1N X 2 NT X 3 NT L X KNT β K ε NT YN 1 0 0 L 1 β 11 X 2 N 1 X 3 N 1 L X KN 1 β 2 ε N 1 Y 0 0 L 1 β X X 3 N 2 L X KN 2 β 3 ε N 2 N2 = 12 + 2 N 2 + M M M M M M M 1 M M YNT 0 0 L 1 β 1N X 2 NT X 3 NT L X KNT β K ε NT YN 1 D11 Y D N 2 = 12 M M YNT D1T
D21
′ Dimisalkan jT = (1 1 L 1)
adalah vektor matriks berukuran (T × 1) maka
untuk individu ke-N, persamaan ( 3.2 ) dapat ditulis dengan notasi matriks berikut ini: YNt = β 1 N jT + X kNt β k + ε Nt
Untuk i = 1,2...N dan t = 1,2,...,T, persamaan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini: Yi = β 1i jT + X si β s + ε i dengan i= 1,2...N
(3.3)
dengan Yi1 X 2i1 X 3i1 Y X X 3i 2 i2 Yi = X si = 2i 2 M M M YiT X 2iT X 3iT dan β s = ( β 2 β 3 L β K )′ .
L X Ki1 ε i1 ε L X Ki 2 ε i = i2 M M L X KiT ε iT
Secara lengkap NT observasi dapat ditulis sebagai berikut: Y1 jT Y 0 2= M M YN 0
0
L
jT
L
M
0
L
0 0 M jT
β11 X s1 β X 12 + s 2 M M β1N X sN
β 2 ε1 β ε 3+ 2 M M β K ε N
31
Y1 jT Y 0 2= M M YN 0
0
L
jT
L
M 0
O L
0 X s1 0 X s2 M jT X sN
β11 β ε1 12 ε M + 2 M β N 1 ε β s N
(3.4)
dengan menggunakan notasi Kronecker product akan ekivalen dengan Y = [I N ⊗ jT dengan
β X s ] 1 + ε βs
(3.5)
Y ′ = Y1′ , Y2′ , L , YN′ , X′s = ( X′s1 , X′s2 , K , X′sN )
ε ′ = ( ε ′1 , ε ′2 , K , ε ′N ) , β ′1 = ( β 11 , β12 , K , β 1N ) dan
I N ⊗ jT adalah matriks dari variabel dummy berukuran (NT x N). jT 0 I N ⊗ jT = M 0
0
L
jT
L
M
O
0
L
0 0 M jT
1. Estimasi Parameter Model fixed effect pada data pooling dalam bentuk matriks dinyatakan sebagai berikut: Y = [I N ⊗ jT
β X s ] 1 + ε βs
Misalkan b sebagai estimator β dan persamaan model fixed effect pada data pooling dugaan adalah ˆ = [I ⊗ j Y N T
b X s ] 1 bs
(3.6)
32
Estimasi parameter dengan menggunakan metode kuadrat terkecil adalah
b = (X′X ) X′Y −1
Apabila
X = [I N ⊗ jT
b Xs ] , b = 1 b s
maka b = (X′X ) X′Y dapat ditulis −1
sebagai berikut: b 1 b = (I N ⊗ jT s
′ X s ) (I N ⊗ jT
b 1 (I N ⊗ jT )′ (I ⊗ jT b = ′ N s X s
b 1 (I N ⊗ jT )′ (I N ⊗ jT ) b = ′ s X s (I N ⊗ jT )
X s )
X s )
−1
−1
(I N ⊗ jT
′ Xs ) Y
(I ⊗ j )′ N ′ T Y X s −1
(I N ⊗ jT )′ X s (I N ⊗ jT )′ Y ′ Xs Xs
′ Xs Y
′ dan ( I N ⊗ jT ) ( I N ⊗ jT ) = I N ⊗ j′T jT = T I N disubtitusikan dalam persamaan
b 1 (I N ⊗ jT )′ (I N ⊗ jT ) b = ′ s X s (I N ⊗ jT )
−1
(I N ⊗ jT )′ X s (I N ⊗ jT )′ Y ′ Xs Xs
′ Xs Y
sehingga
dapat dituliskan sebagai berikut: b 1 TI N b = s X′s ( I N ⊗ jT )
( I N ⊗ jT )′ X s X′s X s
−1
( I N ⊗ jT )′ Y X′s Y
(3.7)
Walaupun secara teori tidak ada masalah dalam memperoleh (b ′1 , b ′s ) namun dapat menjadi masalah perhitungan yang disebabkan kesulitan dalam perhitungan invers. Alternatif yang dapat digunakan untuk menghitung bs dan b1i adalah sebagai berikut ini: a. Untuk b s = (X′s
( I N ⊗ D T )X s )−1 X′s ( I N ⊗ D T ) Y
(3.8)
33
dengan D T 0 (I N ⊗ D T ) X s = M 0
0 DT M 0
0 L 0 O M L DT L
X s1 X s2 M X sN
D T X s1 D X = T s2 M D T X sN
dan D T 0 (I N ⊗ D T ) Y = M 0
0 DT M 0
0 L 0 O M L DT L
Y1 Y 2 M YN
D T Y1 D Y = T 2 M D T YN
Akan ditunjukkan bahwa DT adalah matriks idempoten, sehingga I N × D T juga idempoten. DT = I T −
jT j′T T
j j′ j j′ D T D T = I T − T T I T − T T T T = IT − 2 = IT −
jT j′T jT j′T jT j′T + T T2
jT j′T T
34
Selanjutnya bs dapat ditulis sebagai berikut: −1
′ ′ b s = X′s (I N ⊗ D T ) (I N ⊗ D T )X s X′s (I N ⊗ D T ) (I N ⊗ D T )Y ′ = (X s (I N ⊗ D T ) ) (I N ⊗ D T )X s
D X ′ T s1 D X = T s2 M D X T sN
D T X s1 D X T s2 M D T X sN
−1
−1
D T X s1 D X T s2 M D T X sN
′
(X s (I N ⊗ D T ) )′ (I N ⊗ D T )Y D T Y1 D Y T 2 M D T YN −1
D T X s1 ′ ′ ′ ′ D T X s2 ′ ′ ′ ′ L X sN D T X D L X sN D T = X s1 D T M s1 T D T X sN −1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ = X s1 D T D T X s1 + X s2 D T D T X s2 + L + X sN D T D T X sN X ′ D ′ D Y + X ′ D ′ D Y + L + X ′ D ′ D Y s2 T T 2 sN T T N s1 T T 1
′ ′ ′ = X s1 D T X s1 + X s2 D T X s2 + L + X sN D T X sN diperoleh: N bs = ∑ X′si D T X si i =1 dengan
DT = I T −
−1
D T Y1 D Y T 2 M D T YN
X ′ D Y + X ′ D Y + L + X ′ D Y s2 T 2 sN T N s1 T 1
−1 N
∑ X′ D i =1
si
T
Yi
(3.9)
jT j′T T
1 1 1 1 jT j′T ′ DT = I T − , jT jT = [1 1 L 1] = M M T 1 1
1 L 1 1 L 1 M O M 1 L 1
35
1 0 = M 0
0 1 M 0
L L O L
1 0 T 0 1 − M T M 1 1 T
1 1 1 − − T T 1 1 − 1 − = T T M M 1 −1 − T T
1 T 1 T M 1 T
1 T 1 L T O M 1 L T L
1 T 1 L − T O M 1 L 1− T L
−
Selanjutnya
1 1 1 − T − T 1 1 D T X si = − T 1 − T M M 1 1 − − T T
1 T X s1 1 L − Xs2 T M O M 1 X sN L 1− T L
−
1 X s1 − T (X s1 + X s2 + L + X sN ) X 2i1 X 1 ( ) X − X + X + L + X s2 s1 s2 sN = , X si = 2i 2 T M M X − 1 (X + X + L + X ) X 2iT s2 sN sN T s1 dengan
Yi =
1 T ∑ Yit T t =1
X′i = (X 2i , X 3i , K , X Ki )
X ki =
1 T ∑ X kit , k =2,3…K T t =1
X 3i1 X 3i 2 M
X 3iT
X Ki1 L X Ki 2 M L X KiT L
36
X 2i1 − X 2i X − X 2i D T X si = 2i 2 M X 2iT − X 2i
L X Ki1 − X Ki L X Ki 2 − X Ki O M L X KiT − X Ki
(3.10)
sehingga
N ∑ X′si D T X si i =1
−1
N ′ = ∑ X′si D T D T X si i =1
N = ∑ i =1
X 2i1 − X 2i X 2i 2 − X 2i M X 2iT − X 2i
L
N = ∑ i =1
X 2i1 − X 2i X 3i1 − X 3i M X Ki1 − X Ki
L
−1
X Ki1 − X Ki L X Ki 2 − X Ki M L X KiT − X Ki
X 2iT − X 2i L X 3iT − X 3i M L X KiT − X Ki
N ′ = ∑ (D T X si ) D T X si i =1
′
X 2i1 − X 2i X 2i 2 − X 2i M X 2iT − X 2i
L X Ki1 − X Ki L X Ki 2 − X Ki M L X KiT − X Ki
X 2i1 − X 2i X 2i 2 − X 2i M X 2iT − X 2i
L
X Ki1 − X Ki L X Ki 2 − X Ki M L X KiT − X Ki
(X 2i1 − X 2i )( X 2i1 − X 2i ) + L + (X 2iT − X 2i )( X 2iT − X 2i ) N ( X 3i1 − X 3i )(X 3i1 − X 3i ) + L + (X 3iT − X 3i )(X 3iT − X 3i ) = ∑ i =1 M (X Ki1 − X Ki )(X Ki1 − X Ki ) + L + (X KiT − X Ki )(X KiT − X Ki ) ( X − X )2 + L + ( X − X )2 2i 2 iT 2i N 2i1 2 2 ( X 3i1 − X 3i ) + L + ( X 3iT − X 3i ) = ∑ M i =1 2 2 (X Ki1 − X Ki ) + L + ( X KiT − X Ki )
−1
−1
−1
−1
37
T 2 ∑ ( X 2it − X 2i ) t T=1 2 N (X 3it − X 3i ) = ∑ ∑ t =1 i =1 M T 2 ∑ (X Kit − X Ki ) t =1 N T − 1 N ∑ X′si D T X si = ∑∑ i =1 i =1 t =1
−1
( X 2it (X 3it (X Kit
2 − X 2i ) 2 − X 3i ) M 2 − X Ki )
−1
Selanjutnya
1 1 1 − T − T 1 1 D T Yi = − T 1 − T M M 1 −1 − T T
1 T Y1i 1 L − Y2i T M O M 1 Y L 1 − Ni T L
−
1 1 1 (1 − T )Y1i + (− T )Y2i + L + − T YNi 1 1 1 = − T Y1i + 1 − T Y2i + L + (− T )YNi M 1 1 1 (− )Y1i + (− )Y2i + 1 − YNi T T T
1 Y1i − T (Y1i + Y2i + L + YNi ) 1 ( ) Y − Y + Y + L + Y 2i Ni = 2i T 1i M Y − 1 (Y + Y + L + Y ) 2i Ni Ni T 1i
38
Yi1 − Yi Yi 2 − Yi D T Yi = i = 1,2,3….,N M YiT − Yi N N X′s1 D T Yi = ∑ ∑ i =1 i =1
N = ∑ i =1
X 2i1 − X 2i X 3i1 − X 3i M X Ki1 − X Ki
X 2i1 − X 2i X 2i 2 − X 2i M X 2iT − X 2i
(3.11)
X Ki1 − X Ki L X Ki 2 − X Ki M L X KiT − X Ki L
X 2i 2 − X 2i X 3 i 2 − X 3i M X Ki 2 − X Ki
X 2iT − X 2i X 3iT − X 3i M L X KiT − X Ki
L L
′
(Yi1 − Yi ) (Yi 2 − Yi ) M (YiT − Yi )
(Yi1 − Yi ) (Yi 2 − Yi ) M (YiT − Yi )
(X 2i1 − X 2i )(Yi1 − Yi ) + (X 2i 2 − X 2i )(Yi 2 − Yi ) + L + (X 2iT − X 2i )(YiT − Yi ) N (X 3i1 − X 3i )(Yi1 − Yi ) + (X 3i 2 − X 3i )(Yi 2 − Yi ) + L + (X 3iT − X 3i )(YiT − Yi ) = ∑ i =1 M (X Ki1 − X Ki )(Yi1 − Yi ) + ( X Ki 2 − X Ki )(Yi 2 − Yi ) + L + (X KiT − X Ki )(YiT − Yi )
T ∑ (X 2it − X 2i )(Yit − Yi ) t T=1 N (X 3it − X 3i )(Yit − Yi ) = ∑ ∑ t =1 i =1 M T ∑ (X Kit − X Ki )(Yit − Yi ) t =1
(X 2it − X 2i )(Yit − Yi ) (X 3it − X 3i )(Yit − Yi ) M (X Kit − X Ki )(Yit − Yi )
N T = ∑∑ i =1 t =1
39
Dari persamaan (3.9) dengan disubstitusikan persamaan (3.10 dan 3.11) diperoleh: N T bs = ∑∑ i =1 t =1
( X 2it (X 3it (X Kit
2 − X 2i ) 2 − X 3i ) M 2 − X Ki )
b. untuk b 1i = Yi − X′i b s
−1
N T ∑∑ i =1 t =1
(X 2it − X 2i )(Yit − Yi ) (X 3it − X 3i )(Yit − Yi ) M (X Kit − X Ki )(Yit − Yi )
(3.12)
i = 1,2…,N
sehingga pada persamaan (3.3) dapat ditulis:
(I N ⊗ D T )Yi = (I N ⊗ D T )β 1i jT + (I N ⊗ D T )X si β s + (I N ⊗ D T )ε i D T Yi = D T β 1i jT + D T X si β s + D T ε i dengan j j′ D T jT = I N − T T jT T j′ j = jT − jT T T T = jT − jT (1) = 0
Diperoleh model fixed effect pada data pooling adalah D T Yi = D T X si β s + D T ε i
(I N ⊗ D T )Yi = (I N ⊗ D T )X si β s + (I N ⊗ D T )ε i
(3.13)
2. Estimasi Variansi Menurut Judge et al. (1998: 205) estimator tak bias dari σ ε untuk persamaan 2
2 linier ganda adalah σˆ ε dengan
40
2 σˆ ε =
e′e N −K
dengan
σˆ ε 2 adalah variansi dari error e adalah error dari model regresi linier ganda, e ~ N(0, σ 2 ) N adalah banyaknya observasi K adalah banyaknya variabel yang tidak diketahui atau banyaknya parameter
Model fixed effect pada data pooling : Y = [I N ⊗ jT
β X s ] 1 + ε βs
Pada model fixed effect terdapat β 1 yang terdiri dari N bentuk intersep untuk setiap individu dan β s adalah slope yang diasumsikan sama untuk setiap individu mempunyai K * bentuk intersep. Apabila K * = K-1, maka β s adalah vektor slope berukuran
(K *×1) ,
maka banyaknya parameter N + K * . Jika setiap
individu diasumsikan sama untuk setiap intersep maka data dapat dilakukan sebagai satu sampel dengan NT observasi. dan vektor error pada model fixed effect: ˆ e=Y−Y e = Y − [I N ⊗ J T
b Xs ] 1 b s
sehingga estimator tak bias dari σ ε untuk model fixed effect pada data pooling 2
2 adalah σˆ ε dengan
σˆ ε2 =
e 'e NT − ( N + K *)
41
σˆ ε2 =
e 'e , K * = K-1 NT − N − K *
Sedangkan model fixed effect pada data pooling berdasarkan persamaan (3.13):
(I N ⊗ D T )Yi = (I N ⊗ D T )X si β s + (I N ⊗ D T )ε i Pada model fixed effect pada data pooling diatas mempunyai β s untuk setiap individu sebanyak K * dengan K * = K-1, dan vektor errornya adalah ˆ e=Y−Y
(I N ⊗ D T )e = (I N ⊗ D T )Y − (I N ⊗ D T )X s b s e = (I N ⊗ D T )Y − (I N ⊗ D T )X s b s sehingga estimator tak bias dari σ ε untuk model fixed effect pada data pooling 2
adalah σ ε
∗2
e 'e = NT − K *
Ini adalah estimator yang bias untuk σ ε . Oleh karena itu σ * ε dikalikan 2
2
dengan
[(NT − K *) / (NT − N − K ′)]
agar menjadi σ ε
unbiased .
σˆ ε2 = σ ε∗2 ×
(NT − K *)
(NT − N − K *)
σˆ ε2 =
e 'e ( NT − K *) NT − K * ( NT − N − K *)
σˆ ε2 =
e 'e NT − N − K *
2 2 Jadi σˆ ε merupakan estimator yang tidak bias untuk σ ε
2
yang
best linier
42
3. Matriks Variansi Kovariansi b adalah Var-cov (b) = σ ε (X′ X) −1 2
dengan X = [I N ⊗ jT
b X s ] , b = 1 diperoleh b s
b Var-cov 1 = σ ε2 (I N ⊗ jT bs ′ 2 (I N ⊗ j T ) = σε (I ⊗ jT X ′ N s
′ X s ) (I N ⊗ jT X s )
X s )
−1
−1
(I ⊗ j )′ (I ⊗ j ) (I ⊗ j )′ X T N T N T s = σε N X′s X s X′s ( I N ⊗ jT )
−1
2
TI N = σε X′s ( I N ⊗ jT 2
)
(I N ⊗ jT )′ X s X′s X s
−1
(3.14)
Karena X = (I N ⊗ D T ) X s maka −1 b ′ Var-cov 1 = σ ε2 [(I N ⊗ D T )X s ] [(I N ⊗ D T )X s ] b s
′ ′ = σ ε2 X s (I N ⊗ D T ) [(I N ⊗ D T )X s ] ′ ′ = σ ε2 X s (I N ⊗ D T ) (I N ⊗ D T )X s ′ = σ ε2 X s (I N ⊗ D T )X s
−1
−1
−1
(3.15)
43
N T 2 = σ ε ∑∑ i =1 t =1
( X 2it (X 3it (X Kit
2 − X 2i ) 2 − X 3i ) M 2 − X Ki )
sehingga standard error adalah
−1
−1 2 ′ s = σ ε X s (I N ⊗ D T )X s
1/ 2
dengan s
adalah estimator dari σ . 4. Uji Hipotesis Model Fixed Effect Pada Data Pooling Untuk menguji apakah model fixed effect pada data pooling signifikan dapat dilakukan langkah-langkah uji hipotesis sebagai berikut: a. H0 : β 11 = β 12 =... = β 1N ( β1 j tidak signifikan) H1 : terdapat β1 j yang tidak sama ( β1 j signifikan) b. Taraf signifikansi α c. Statistik uji :
F
=
(e ' e − e′e ) (N − 1) e′e ( NT − N − K *)
dengan e′e adalah sum squared resid untuk model regresi pada data pooling: K
Yit = β11 + ∑ β k X kit + ε it k =2
e′e adalah sum squared resid untuk model fixed effect pada data pooling: N
K
j =1
k =2
Yit = ∑ β1 j D jt + ∑ β k X kit + ε it N adalah banyaknya unit individu, T adalah banyaknya waktu, K * = K-1
dan K adalah banyaknya variabel. d. Kriteria keputusan : H0 ditolak jika Fhit > F α ( N −1, NT −( N −( K −1)) )
44
e. Perhitungan f. Kesimpulan
Penerapan Model Fixed Effect pada Data Pooling
B.
Untuk lebih memahami model fixed effect pada data pooling yang diuraikan sebelumnya, akan diberikan contoh penerapan sebagai berikut: 1. Penerapan model fixed effect pada investasi dalam suatu perusahaan. Data pooling diambil dari Green (1997, 642) yaitu tentang investasi dalam suatu perusahaan. Investasi suatu perusahaan mengalami fluktuasi dari tahun ke tahun. Salah satu penyebabnya adalah keuntungan perusahaan. Seorang peneliti ingin mengetahui bagaimana pengaruh keuntungan perusahaan (X) terhadap investasi perusahaan (Y) . Data untuk setiap perusahaan adalah data time series. Apabila i = 1 mewakili perusahaan A, i = 2 mewakili perusahaan B, i = 3 mewakili perusahaan C maka berikut ini data investasi dan keuntungan dari 3 perusahaan A, B,C selama 10 tahun:
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabel 3.1 Investasi dan Keuntungan dari 3 Perusahaan Y X i=1 i=2 i =3 i=1 i=2 13,32 20,30 8,85 12,85 22,93 26,30 17,47 19,60 25,69 17,96 2,62 9,31 3,87 5,48 9,16 14,49 18,01 24,19 13,79 18,73 15,89 7,63 3,99 15,41 11,31 12,20 19,84 5,73 12,59 21,15 14,93 13,76 26,68 16,64 16,13 29,82 10.00 11,49 26,45 11,61 20,32 19,51 18,49 19,64 19,55 4,77 18,32 20,84 5,43 17,06
i=3 8,65 16,55 1,47 24,91 5,01 8,34 22,7 8,36 15,44 17,87
45
Dari data diatas akan diestimasi parameter-parameter model fixed effect pada data pooling. Model fixed effect pada data pooling : 3
Yit = ∑ β1 j D jt + β 2 X 2it + ε it
atau
j =1
Yit = β11 D1t + β 12 D2t + β 13 D3t + β 2 X 2it + ε it t =1,2,...,10 i =1,2,3
Rata-rata dari X dan Y masing-masing perusahaan adalah X 21 = 15,397 X 22 = 16,559 X 23 = 12,93
Y 1 = 15,466 Y 2 = 15,415 Y 3 = 14,373
Bentuk deviasi dari rata-rata X dan Y untuk mengestimasi b2 sebagai berikut:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Table 3.2 Bentuk Deviasi dari Rata- Rata Yit − Y i X 2it − X 2i i=1 i=2 i=3 i=1 i=2 -2,146 4,885 -5,523 -2,547 6,371 10,834 2,055 5,227 10,293 1,401 -12,846 -6,105 -10,503 -9,917 -7,399 -0,976 2,595 9,817 -1,607 2,171 0,424 -7,785 -10,383 0,013 -5,249 -3,266 4,425 -8,643 -2,807 4,591 -0,536 -1,655 12,307 1,243 -0,429 14,354 -5,415 -2,883 11,053 -4,949 4,854 4,095 4,117 4,243 2,991 -10,696 2,905 6,467 -9,967 0,501
∑∑ (X
∑∑ (X
2 it
)
2
2 it
− X 2i
)(
− X 2i Yit − Y i
1183,925
)
1305,636
i=3 -4,28 3,62 -11,46 11,98 -7,92 -4,59 9,77 -4,57 2,51 4,94
46
′ b 2 = (X 2 (I 3 ⊗ D10 ) ) (I 3 ⊗ D10 )X 2
−1
(X 2 (I 3 ⊗ D10 ) )′ (I 3 ⊗ D10 )Y berdasarkan
persamaan (3.12) maka 2 3 10 bs = ∑∑ (X 2it − X 2i ) i =1 t =1
−1
10 10 ∑∑ (X 2it − X 2i )(Yit − Y i ) i =1 t =1
= (1183.925) 1305.636 −1
= 1.102802965 sedangkan intersep masing-masing perusahaan berdasarkan persamaan:
b 1i = Yi − X′i b 2 b11 = Y1 − X 21b2 = 15,466- 15,397(1.102802965) = -1.5138
b12 = Y2 − X 22 b2 = 15,415- 16,559 (1.102802965) = -2.8463 b13 = Y3 − X 23b2
= 14,373- 12,93 (1.102802965) = 1.1028 Model fixed effect pada data investasi perusahaan adalah Yˆit = −1.5138 D1t + −2.8463D2t + 0.1137 D3t + 1.1028 X 2it
Diperoleh persamaan untuk masing-masing perusahaan dengan model fixed effect pada data pooling menggunakan metode kuadrat terkecil adalah Yˆ1t = −1.5138 + 1.1028 X 21t
47
Yˆ2t = −2.8463 + 1.1028 X 22t Yˆ3t = 0.1137 + 1.1028 X 23t 2 Untuk menghitung standard error dari b2 akan dicari σˆ ε
e′e = ∑∑ (eit − ei ) = ∑∑ ( (Yit − Yi ) − 1.1028 ∑∑ ( X it − X i ) 3
10
3
2
i =1 t =1
10
3
i =1 t =1
10
i =1 t =1
)2
Tabel 3.3 Error dari Model Fixed Effect pada Data Pooling t e1 e2 e3 e1 2 e2 2 1 0.6628 -2.1409 -0.8030 0.4393 4.5836 2 -0.5171 0.5099 1.2348 0.2674 0.2600 3 -1.9095 2.0546 2.1351 3.6462 4.2215 4 0.7962 0.2008 -3.3945 0.6339 0.0403 5 0.4096 -1.9963 -1.6488 0.1678 3.9855 6 -0.1704 -0.6379 -3.5811 0.0290 0.4070 7 -1.9067 -1.1818 1.5326 3.6358 1.3968 8 2.1647 0.0427 2.1568 4.6860 0.0018 9 0.1748 0.7965 1.3489 0.0305 0.6344 10 0.2956 2.3524 1.0191 0.0874 5.5342 3 10 78.3428 ∑∑ eit2 i =1 t =1
sehingga e 'e σˆ = NT − N − K * 2 ε
=
78.3428 3.10 − 3 − 1
= 3.0131 −1 b ′ Var − cov 1 = σˆ ε2 X s (I N ⊗ D T )X s b s
= 3.0131 [ 1183.925 =2.5450
]−1
e3 2 0.6448 1.5248 4.5587 11.5231 2.7185 12.8245 2.3489 4.6518 1.8197 1.0386
48
dan standard error untuk b2 adalah −1 ′ s = σ ε2 X s (I N ⊗ D T )X s
1/ 2
= [ 2.5450]
1/ 2
= 0.050448 Apabila data pooling dianalisis menggunakan komputer dengan program eviews maka outputnya adalah Dependent Variable: Y? Method: Pooled Least Squares Date: 06/15/08 Time: 20:26 Sample: 1901 1910 Included observations: 10 Total panel observations 30 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
X? Fixed Effects _A--C _B--C _C--C
1.102803
0.050449
21.85983
0.0000
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Log likelihood
-1.513865 -2.846322 0.113751 0.948655 0.942730 1.735855 -38.80667
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid Durbin-Watson stat
15.08467 7.253567 78.34297 1.759246
Berdasarkan output, persamaan regresi untuk masing-masing perusahaan adalah Yˆ1t = −1.5138 + 1.1028 X 21t Yˆ2t = −2.8463 + 1.1028 X 22t Yˆ3t = 0.1137 + 1.1028 X 23t
Model fixed effect pada data investasi perusahan adalah Yˆit = −1.5138 D1t + −2.8463D2t + 0.1137 D3t + 1.1028 X 2it
49
Hasil estimasi yang diperoleh dari perhitungan manual sama dengan hasil estimasi menggunakan program eviews, baik nilai koefisien untuk X maupun intersepnya. Nilai koefisien untuk variabel keuntungan perusahaan (X) = 1,1028 dengan standar error untuk b2 adalah 0.050449. Variabel keuntungan signifikan pada α = 0.05 yang berarti keuntungan perusahaan berpengaruh terhadap investasi perusahaan. Untuk mengetahui apakah model fixed effect pada data pooling signifikan dengan dilakukan uji hipotesis. Langkah-langkah uji hipotesis sebagai berikut: a. Ho: β 11 = β 12 =...= β 13 ( β1 j tidak signifikan) H1 : terdapat β1 j yang tidak sama ( β1 j signifikan) b. Taraf signifikansi α = 0.05 c. Statistik uji :
F
=
(e' e − e′e)
e′e
(N − 1)
(NT − N − K *)
d. Kriteria keputusan : H0 ditolak jika Fhit> F0.05 (2, 26) e. Perhitungan Persamaan regresi data pooling dengan menggunakan metode kuadrat terkecil berdasarkan output pada lampiran 1 adalah Yˆit = −0.766257 + 1.059412 X it eit = Yit + 0.766257 − 1.059412 X it
50
Tabel 3.4 Error dari Model Regresi pada DataPooling 2 2 t e1 e2 e3 e1 e2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.47318 -0.15003 -2.41932 1.09696 0.3307 -0.3717 -1.9323 2.5648 0.2794 -0.21635
-3.226 -0.7907 0.3720 -1.0665 -3.5856 -1.8003 -2.562 -1.5335 -0.4352 1.0126 3
10
∑∑ e i =1 t =1
F
=
=
(e' e − e′e)
e′e
0.4523 2.6329 3.0789 -1.4336 -0.5513 -2.3368 3.397 3.39957 2.8989 2.6745
2
0.2239 0.002251 5.8531 1.2033 0.1093 0.13819 3.7340 6.5782 0.0780 0.0468
10.4074 0.6253 0.1384 1.1374 12.8571 3.2411 6.5641 2.3516 0.1894 1.0255 120.7083
2
e3 0.2046 8.0258 9.4797 2.0554 0.3040 5.4606 11.5437 11.5570 8.4038 7.1532
it
(N − 1)
(NT − N − K *)
(120.708 − 78.3428) / (3 − 1) 78.3428 / (3.10 − 3 − 1)
=7.03003 f. Kesimpulan Fhit = 7.03003 > F0.05
(2, 26)
= 3.37 maka H0 ditolak artinya β1 j tidak
signifikan sehingga model fixed effect pada data investasi perusahaan signifikan. Model fixed effect pada data investasi perusahaan adalah Yˆit = −1.5138 D1t + −2.8463D2t + 0.1137 D3t + 1.1028 X 2it
Model fixed effect pada data pooling mampu menjelaskan perbedaaan investasi ketiga perusahaan tersebut. Nilai intersep masing-masing perusahaan adalah A sebesar -1.5138, B sebesar -2.8463 dan C sebesar 0.11028. Perbedaan intersep perusahaan dapat menggambarkan gaya manajerial antara ketiga perusahan. Nilai koefisien determinasi sebesar
51
0.948655 yang berarti model mampu menjelaskan variasi investasi sebesar 0.948655. 2. Penerapan model fixed effect pada bantuan pembangunan di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta. Data diambil dari Mudrajad Kuncoro (2001, 127). Seorang peneliti ingin mengetahui bagaimana pengaruh Pendapatan Asli Daerah dan Subsidi Daerah Otonom terhadap bantuan pembangunan di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta. Misalkan Y adalah perkembangan bantuan pembangunan pada semua Daerah Tingkat II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, X1 adalah Pendapatan Asli Daerah dan X2 adalah Subsidi Daerah Otonom dengan A adalah Kulon Progo, B adalah Bantul, C adalah Gunung Kidul, D adalah Sleman, E adalah Yogyakarta. Data untuk setiap Dati II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta adalah data time series. Berikut ini data perkembangan bantuan pembangunan di propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, Pendapatan Asli Daerah dan Subsidi Daerah Otonom selama 7 tahun:
52
Tabel 3. 5 Perkembangan Bantuan Pembangunan pada Semua Daerah Tingkat II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, Pendapatan Asli Daerah dan Subsidi Daerah Otonom obs t Y X1 X2 A 1 1425546 491157 2011924 A 2 1830884 840404 2303464 A 3 3663068 981868 2499176 A 4 4794094 1162409 2786335 A 5 5844387 1189691 3230905 A 6 7307389 1493146 3964174 A 7 5792939 1881885 4280630 B 1 2314370 941406 2030145 B 2 2598096 1102415 2549748 B 3 4737875 1370136 2846302 B 4 6738392 1878962 3380793 B 5 7847546 2454605 4125549 B 6 8041813 2494205 4837708 B 7 8427426 3118588 5185432 C 1 2022850 822101 2341085 C 2 2424461 939831 2678916 C 3 5045461 1169435 2789259 C 4 5045937 1387267 3363586 C 5 8895931 1575922 3487614 C 6 8440303 1888178 4739240 C 7 9300002 2139780 4525480 D 1 1611746 1751822 2282936 D 2 2496174 2114612 2590774 D 3 5719510 2384367 2866663 D 4 7161940 2955461 3866893 D 5 8820114 2900155 3942863 D 6 10262753 3467932 4866394 D 7 10446460 5168421 5318609 E 1 947580 3777696 3406041 E 2 2002179 4339078 3681633 E 3 3328928 4831770 4168775 E 4 3890322 3542722 5096644 E 5 4804406 7948501 5635809 E 6 5236682 10246384 6940780 E 7 6544334 12519223 7417300
Dari data diatas akan diestimasi parameter-parameter model fixed effect pada data pooling.
53
Model fixed effect pada data pooling dugaan adalah Yˆit = βˆ11 D1t + βˆ12 D2t + βˆ13 D3t + βˆ14 D4t + βˆ15 D5t + βˆ 2 X 2it + βˆ3 X 3it t =1,2,...,7 i =1,2,3,4,5
dengan 1 = Kulon Progo, 2 = Bantul, 3 = Gunung Kidul, 4 = Sleman, 5 = Yogyakarta. Berikut output data perkembangan bantuan DIY dengan menggunakan program eviews: Dependent Variable: Y? Method: Pooled Least Squares Date: 06/14/08 Time: 21:42 Sample: 1989 1995 Included observations: 7 Balanced sample Total panel observations 35 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
X1? X2? Fixed Effects _A--C _B--C _C--C _D--C _E--C
-0.553120 2.696397
0.222184 0.330096
-2.489472 8.168523
0.0173 0.0000
-3103601. -2742149. -2549787. -1628601. -6448748.
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
0.830545 0.794233 1256732.
Log likelihood Durbin-Watson stat
-507.2967 1.987962
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid F-statistic Prob(F-statistic)
Berdasarkan autput diatas untuk nilai b2 = -0,55312 dengan standard error 0.222184 b3 = 2,696397 dengan standard error 0.330096 Intersep untuk setiap individu adalah sebagai berikut:
5308911. 2770477. 4.42E+13 137.2353 0.000000
54
A
= -3103601
B
= -2742149.
C
= -2549787
D
= -1628601
E
= -6448748
sehingga persamaan untuk masing-masing individu adalah Yˆ1t = −3103601 + −0.55312 X 21t + 2.696397 X 31t Yˆ2t = −2742149 + −0.55312 X 22t + 2.696397 X 32t Yˆ3t = −2549787 + −0.55312 X 23t + 2.696397 X 33t Yˆ4t = −1628601 + −0.55312 X 24t + 2.696397 X 34t Yˆ5t = −6448748 + −0.55312 X 25t + 2.696397 X 35t
Model fixed effect pada data bantuan pembangunan adalah
) Yit = −3103601D1t − 2742149 D2t − 2549787 D3t − 1628601D4t − 6448748 D5t − 0.55312 X 2it + 2.696397 X 3it (0.222184) (0.330096)
Nilai koefisien untuk variabel Pendapatan Asli Daerah (X1) adalah -0.55312 dengan standard errornya adalah 0.222184 dan Subsidi Daerah Otonom (X2) adalah 2.696397 dengan standard errornya adalah 0.330096. Variabel Pendapatan Asli Daerah dan Subsidi Daerah Otonom signifikan pada α = 0.05 yang berarti Pendapatan Asli Daerah
dan Subsidi Daerah Otonom berpengaruh terhadap
perkembangan bantuan pembangunan. Untuk mengetahui apakah model fixed effect pada data pooling signifikan dilakukan uji hipotesis. Langkah- langkah uji hipotesis sebagai berikut: a. H0: β 11= β 12 =...= β 1N ( β1 j tidak signifikan)
55
H1: terdapat β1 j yang tidak sama ( β1 j signifikan) b. Taraf signifikansi α = 0.05 c. Statistik uji :
F
=
(e' e − e′e)
(N − 1)
(NT − N − K *)
e′e
d. Kriteria keputusan : H0 ditolak jika Fhit > F0.05 (4, 28) = 2.71 e. Perhitungan Berdasarkan output data perkembangan bantuan DIY diperoleh e′e = 4.42E+13 untuk sum squared resid model fixed effect pada data
pooling dan berdasarkan lampiran 2 ε ′ ε = 9.71E+13 adalah sum squared resid menggunakan model regresi data pooling menggunakan metode kuadrat terkecil.
F
(9.71× 10 =
)
− 4.42 × 1013 (5 − 1) 4.42 × 1013 (5.7 − 5 − 2 )
=
13
5.29 × 1013 / 4 4.42 × 1013 / 28
= 8.3778 f. Kesimpulan Karena Fhit = 8.3778 > F0.05
(4, 28)
= 2.71 maka H0 ditolak artinya β1 j
signifikan sehingga model fixed effect pada data bantuan pembangunan signifikan. Model fixed effect pada data bantuan pembangunan adalah
56
Yˆit = −3103601D1t − 2742149 D2t − 2549787 D3t − 1628601D4t − 6448748 D5t − 0.55312 X 2it + 2.696397 X 3it Model fixed effect pada data pooling mampu menjelaskan perbedaaan
bantuan pembangunan untuk Daerah Tingkat II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta. Nilai intersep masing-masing Daerah Tingkat II adalah A sebesar -3103601, B sebesar -2742149, C sebesar -2549787, D sebesar -1628601 dan E sebesar -6448748. Perbedaan intersep ini dapat menggambarkan kemakmuran suatu daerah. Nilai koefisien determinasi sebesar 0.830545 yang berarti model mampu menjelaskan variasi investasi sebesar 0.830545.
57
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
Pada skripsi berjudul model fixed effect pada analisis data pooling ini, beberapa kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1.
Estimasi parameter model fixed effect pada data pooling .
Data pooling adalah data beberapa individu yang pengamatannya dilakukan dari waktu ke waktu. Bentuk umum model regresi pada data pooling adalah Yit = β 1i+
K
∑β k =2
t = 1,2…T
k
Xkit+ ε it
i = 1,2…N k = 2,3…K
Model fixed effect pada data pooling dapat dituliskan dalam bentuk berikut ini: N
K
j =1
k =2
Yit = ∑ β1 j D jt + ∑ β k X kit + ε it Dengan Djt adalah variabel dummy dan mengambil nilai 0 atau 1. Dapat juga ditulis berikut ini:
1 Djt = 0
jika j = i jika
j≠i
Apabila ditulis dalam bentuk matriks: Y = [I N ⊗ jT
β X s ] 1 + ε βs
Estimasi parameter model fixed effect pada data pooling yaitu
58
b 1 TI N b = s X′s ( I N ⊗ jT )
( I N ⊗ jT )′ X s X′s X s
−1
( I N ⊗ jT )′ Y X′s Y
untuk menghitung b1 dan bs digunakan rumus berikut: b s = (X′s
( I N ⊗ D T )X s )−1 X′s ( I N ⊗ D T ) Y
b 1i = Yi − X′i b s
i = 1,2…,N
−1 ′ dan standard errornya adalah s = σ ε2 X s (I N ⊗ D T )X s
1/ 2
dengan
s adalah estimator dari σ . Model fixed effect pada data pooling dalam bentuk matriks
(I N ⊗ D T )Yi = (I N ⊗ D T )X si β s + (I N ⊗ D T )ε i Uji hipotesis model fixed effect pada data pooling dapat dibentuk sebagai berikut: a. H0: β 11 = β 12= ...= β 1N ( β1 j tidak signifikan) H1: terdapat β1 j yang tidak sama ( β1 j signifikan) b. Taraf signifikansi α c. Statistik uji :
F
=
(e' e − e′e)
e′e
(N − 1)
(NT − N − K *)
d. Kriteria keputusan : H0 ditolak jika Fhit> F α ( N −1, NT −( N −( K −1)) ) e. Perhitungan f. Kesimpulan 2. Penerapan Model Fixed Effect Pada Data Pooling.
59
Penerapan model fixed effect pada data pooling adalah pada investasi 3 perusahaan (Y) dipengaruhi oleh keuntungan perusahaan (X2) selama 10 tahun dengan model fixed effect pada data investasi perusahan adalah Yˆit = −1.5138 D1t + −2.8463D2t + 0.1137 D3t + 1.1028 X 2it dengan i = 1,2,3 dan t = 1,2,…,10 Model fixed effect pada data pooling mampu menjelaskan perbedaaan investasi ketiga perusahaan tersebut. dan bantuan pembangunan (Y) lima Daerah Tingkat II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta dipengaruhi oleh Pendapatan Asli Daerah (X2) dan Subsidi Daerah Otonom (X3) selama 7 tahun dengan model fixed effect pada data bantuan pembangunan adalah Yˆit = −3103601D1t − 2742149 D2t − 2549787 D3t − 1628601D4t − 6448748 D5t − 0.55312 X 2it + 2.696397 X 3it
.
dengan i = 1,2,3,4,5 dan t = 1,2,…,7 Model fixed effect pada data pooling mampu menjelaskan perbedaaan bantuan pembangunan untuk Daerah Tingkat II di Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta. Setelah mengestimasi parameter-parameter model fixed effect pada data pooling selanjutnya dilakukan uji hipotesis yang menunjukkan bahwa model fixed effect pada data pooling lebih baik daripada menggunakan model regresi pada data pooling.
60
B. Saran
Pada skripsi ini hanya membahas model fixed effect pada regresi linier ganda, pembaca dapat membahas model mengestimasi parameter model data pooling pada regresi non linier data pooling.
61
Lampiran
62
Lampiran 1 Output Tabel 3.1 Investasi dan Keuntungan dari 3 Perusahaan Dependent Variable: Y? Method: Pooled Least Squares Date: 06/15/08 Time: 20:25 Sample: 1901 1910 Included observations: 10 Total panel observations 30 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C X?
-0.766257 1.059412
0.953062 0.058478
-0.803995 18.11633
0.4282 0.0000
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Log likelihood Durbin-Watson stat
0.921393 0.918585 2.069678 -45.97802 1.168154
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid F-statistic Prob(F-statistic)
15.08467 7.253567 119.9399 328.2013 0.000000
63
Lampiran 2 Output Tabel 3. 5 Perkembangan Bantuan Pembangunan pada Semua Dati II di propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, Pendapatan Asli Daerah dan Subsidi Daerah Otonom Dependent Variable: Y? Method: Pooled Least Squares Date: 06/17/08 Time: 21:07 Sample: 1901 1907 Included observations: 7 Total panel observations 35 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C X1? X2?
-2984811. -1.111054 3.033759
1168319. 0.213200 0.423211
-2.554790 -5.211311 7.168439
0.0156 0.0000 0.0000
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
0.628060 0.604814 1741629.
Log likelihood Durbin-Watson stat
-515.4967 1.229186
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid F-statistic Prob(F-statistic)
5308911. 2770477. 9.71E+13 27.01768 0.000000
Daftar Pustaka Algifari (2000). Teori, Kasus dan Solusi Analisis Regresi. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta. Anton, Howard. (1995). Elementary Linear Algebra (Pantur S. dan Rizal H. Terjemahan). Jakarta: Erlangga. Buku asli diterbitkan tahun 1987. Ayres, Frank Jr. (1997). Matrices. Singapore: McGraw-Hill Book Co. Dumairy. (1999). Matematika Terapan untuk Bisnnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta . Greene, W.H. (1997). Econometric Analysis 3rd ed. New Jersey: Prentice Hall International. Gujarati, D.N. (1995). Basic Econometrics. New York: McGraw-Hill. Indrawati, Yulia.(2006). Panel Data Regression Model. (http://www.google.co.id/search 2 hl=id&q=data+panel btnG=telusuri&meta cr% 3DcountryID). Diakses tanggal 22 maret 2008. Intriligator, Michael D. (1978). Econometric Model, Techniques & Applications. New Jersey: Prentice Hall International. Judge, G.G. et.al.(1988). Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. New York: John Wiley & Sons. Kuncoro, M. (2001). Metode Kuantitatif. Yogyakarta: UPP AMP YKPN. Maddala, G. (1977). Econometrics. New York: McGraw-Hill. _________. (1992). Introduction to Econometrics, 2nd ed. New York: Macmillan. Makridakis, S. et al. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. (Untung S.A & Abdul B. Terjemahan). Jakarta: Erlangga. Muirhead, Robb J. (2005). Aspects of Multivariate Statistical Theory. New York: John Wiley & Sons. Nachrowi, D N dan Usman, H. (2006). Pendekatan Populer Dan Praktis Ekonometrika Untuk Analisis Ekonomi Dan Keuangan. Jakarta: Lembaga Penerbit FE UI.
Pindyk. Robert S dan Daniel L, Rubinfeld. (1998). Econometric Model and Economic Forecasts. New York: McGraw-Hill. Searle, Shayle R.(1992). Matrix Algebra Useful for Statistics. New York: John Wiley & Sons. Sumodiningrat, Gunawan. (1996). Pengantar Ekonometrika. Yogyakarta: BPFE Fakultas Ekonomi UGM. Sunyoto, D. (1997). Analisis Regresi dan Korelasi Bivariat. Yogyakarta: Amara Books. Supramono dan Sugiarto. (1993). Statistik. Jakarta: Penerbit Erlangga. Supranto, J. (1977). Statistik teori dan aplikasi jilid 2. Jakarta: Penerbit Erlangga. Widarjono, Agus. (2005). Ekonometrika Teori dan Aplikasi untuk Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Ekonisia FE UI.
Lampiran
Lampiran 1 Output Tabel 3.1 Investasi dan Keuntungan dari 3 Perusahaan Dependent Variable: Y? Method: Pooled Least Squares Date: 06/15/08 Time: 20:25 Sample: 1901 1910 Included observations: 10 Total panel observations 30 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C X?
-0.766257 1.059412
0.953062 0.058478
-0.803995 18.11633
0.4282 0.0000
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Log likelihood Durbin-Watson stat
0.921393 0.918585 2.069678 -45.97802 1.168154
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid F-statistic Prob(F-statistic)
15.08467 7.253567 119.9399 328.2013 0.000000
Lampiran 2 Output Tabel 3. 5 Perkembangan Bantuan Pembangunan pada Semua Dati II di propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, Pendapatan Asli Daerah dan Subsidi Daerah Otonom Dependent Variable: Y? Method: Pooled Least Squares Date: 06/17/08 Time: 21:07 Sample: 1901 1907 Included observations: 7 Total panel observations 35 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C X1? X2?
-2984811. -1.111054 3.033759
1168319. 0.213200 0.423211
-2.554790 -5.211311 7.168439
0.0156 0.0000 0.0000
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
0.628060 0.604814 1741629.
Log likelihood Durbin-Watson stat
-515.4967 1.229186
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid F-statistic Prob(F-statistic)
5308911. 2770477. 9.71E+13 27.01768 0.000000
