Model finančních nákladů pevných linek

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta

Model finančních nákladů pevných linek Bakalářská práce

Vedoucí práce: Ing. Luboš Střelec, Ph.D.

Mgr. Jan Kopecký

Brno 2013

Upřímně zde chci poděkovat vedoucímu své bakalářské práce panu Ing. Luboši Střelcovi, Ph.D. za cenné rady a připomínky, které mi velmi ochotně a pohotově poskytoval při tvorbě této práce. A dále bych chtěl poděkovat celé své rodině, zejména své manželce, za podporu během celého studia.

Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci vypracoval samostatně a výhradě s použitím citovaných pramenů. V Boskovicích dne 1. května 2013

__________________

Abstract Kopecký, J., Model of landline financial costs. Bachelor thesis. Brno: MZLU in Brno, 2013. This bachelor thesis deals with comparison of statistical methods for analyzing time series of the costs of landlines being installed at a district court. The first part describes basic approaches to the analysis and modeling of time series. The second part compares various decomposition models and models of BoxJenkins methodology. The most appropriate model is based on information criteria, pseudoprediction and Theil inequality coefficient. The next step is a verification of white noise residuals and the final goal is to use this model for predicting the landline costs in the following year. Keywords Time series, decomposition model, Box-Jenkins method, prediction of future values.

Abstrakt Kopecký, J., Model finančních nákladů pevných linek. Bakalářská práce. Brno: MZLU v Brně, 2013. Bakalářská práce se zabývá problematikou porovnání statistických metod analýzy časové řady nákladů na pevné linky na okresním soudě. První část popisuje základní přístupy k analýze a modelování časových řad. Druhá část se zabývá porovnáním různých dekompozičních modelů a modelů Box-Jenkinsovy metodologie. Na základě informačních kritérií, pseudopredikce a Theilova koeficientu je vybrán nejvhodnější model, následně je u něj ověřeno, zda náhodná složka vykazuje vlastnosti bílého šumu. V případě, že ano, tak uvedený model poslouží pro predikci na následující rok. Klíčová slova Časová řada, dekompoziční metoda, Box-Jenkinsovská metoda, predikce budoucích hodnot.

Obsah

6

Obsah 1

2

Úvod a cíl práce

12

1.1

Úvod ............................................................................................................. 12

1.2

Cíl práce ....................................................................................................... 12

Literární přehled

13

2.1

Časová řada.................................................................................................. 13

2.2

Cíle analýzy časových řad ........................................................................... 13

2.3

Typy časových řad ....................................................................................... 14

2.4

Problémy analýzy časových řad ................................................................. 14

2.5

Charakteristiky časových řad ..................................................................... 15

2.6

Metody analýzy časových řad ..................................................................... 17

2.7

Předpovědi ................................................................................................... 18

2.8

Dekompozice časových řad ....................................................................... 20

2.8.1

Složky časové řady ............................................................................. 20

2.8.2

Typ dekompozice ................................................................................ 21

2.8.3

Metody dekompozice......................................................................... 22

2.8.4

Naivní modely .................................................................................... 22

2.8.5

Vyrovnání trendu matematickou křivkou........................................ 24

2.8.6

Vyrovnání trendu metodou klouzavých průměrů ............................25

2.8.7

Exponenciální vyrovnávání ............................................................... 26

2.9

Analýza sezónní složky ...............................................................................27

2.9.1

Jednoduché metody odhadu sezónnosti ...........................................27

2.9.2

Regresní přístup................................................................................. 28

2.9.3

Wintersova metoda............................................................................ 28

2.10 Box-Jenkinsovská analýza......................................................................... 29 2.10.1

Stacionarita ........................................................................................ 29

2.10.2

Autokorelační a parciální autokorelační funkce.............................. 29

2.10.3

Základní procesy ................................................................................ 30

2.10.4 Integrované procesy ........................................................................... 31

Obsah

7

3

Materiál a metodika

32

4

Vlastní práce

33

4.1

Charakteristiky časové řady ...................................................................... 34

4.2

Dekompoziční model ..................................................................................35

4.3

Sezónní složka ............................................................................................ 40

4.4

Box-Jenkinsova metoda ............................................................................ 43

4.5

Pseudopredikce .......................................................................................... 46

4.6

Test náhodné složky................................................................................... 50

4.7

Predikce hodnot časové řady..................................................................... 56

5

Diskuze a závěr

59

6

Literatura

61

A

Očištěná a neočištěná data

63

B

t-testy modelů se sezónní složkou

65

Seznam obrázků

8

Seznam obrázků Obr. 1

Jednotlivé složky časové řady

21

Obr. 2

Naivní model typu konstantní hodnoty

23

Obr. 3

Naivní model typu konstantní dynamika

23

Obr. 4

Naivní model typu konstantní tempo

24

Obr. 5

Princip klouzavých průměrů

25

Obr. 6

Princip exponenciálního vyrovnávání

27

Obr. 7

Očištěná a neočištěná časová řada

33

Obr. 8

QLR test

34

Obr. 9

1. diference v 1. období a 2. období

35

Obr. 10

Lineární forma bez použití dummy proměnné

36

Obr. 11

Lineární forma bez sezónní složky

37

Obr. 12

Kvadratická forma bez sezónní složky

38

Obr. 13

Lineárně-logaritmická forma bez sezónní složky

39

Obr. 14

Lineární forma se sezónní složkou

41

Obr. 15

Kvadratická forma se sezónní složkou

41

Obr. 16

Lineárně-logaritmická forma se sezónní složkou

42

Obr. 17

Model ARIMA (2,1,2)

43

Obr. 18

Model SARIMA (2,1,2) (1,1,2)

45

Obr. 19

Pseudopredikce pro dekompoziční metody

47

Obr. 20

Pseudopredikce pro Box-Jenkinsovské metody

47

Obr. 21

Pseudopredikce pro lineární formu se sezónní složkou

49

Obr. 22

Graf reziduí v závislosti na čase

52

Seznam obrázků

9

Obr. 23

ACF a PACF graf

53

Obr. 24

ACF a PACF graf upraveného modelu

55

Obr. 25

Histogram reziduí

56

Obr. 26

Predikce na rok 2013

57

Seznam tabulek

10

Seznam tabulek Tab. 1

Popisné statistiky 1.a 2. období

35

Tab. 2

t-testy parametrů lineárního modelu bez sezónní složky

37

Tab. 3

t-test kvadratického modelu bez sezónní složky

38

Tab. 4

t-testy lineárně-logaritmického modelu bez sezónní složky

39

Tab. 5

Statistická kritéria pro trendové křivky bez sezónní složky

40

Tab. 6

Další kritéria pro trendové křivky bez sezónní složky

40

Tab. 7

Statistická kritéria pro trendové křivky se sezónní složkou

42

Tab. 8


42

Tab. 9

t- testy modelu ARIMA (2,1,2)

43

Tab. 10

Statistická kritéria pro model ARIMA (2,1,2)

44

Tab. 11

Další kritéria pro model ARIMA (2,1,2)

44

Tab. 12

t-testy modelu SARIMA (2,1,2)(1,1,2)

45

Tab. 13

Statistická kritéria pro model SARIMA (2,1,2)(1,1,2)

46

Tab. 14


46

Tab. 15

Označení modelů použitých pro pseudopredikci

46

Tab. 16

Přehled skutečných predikovaných hodnot jednotlivých modelů

48

Tab. 17

Porovnání výsledků pseudopredikce pomocí Theilova koeficientu 48

Tab. 18

Přehled skutečných a predikovaných hodnot nejlepších modelů

Tab. 19

Porovnání výsledků pseudopredikce pomocí Theilova koeficientu 50

Tab. 20

t-testy lineárního modelu se sezónní složkou včetně roku 2012

51

Tab. 21

t-testy vítězného modelu

54

Tab. 22

Predikované hodnoty a 95 procentní interval

57

50

Seznam tabulek

11

Tab. 23


63

Tab. 24

t-testy parametrů lineárního modelu se sezónní složkou

65

Tab. 25

t-testy parametrů kvadratického modelu se sezónní složkou

65

Tab. 26 t-testy parametrů lineárně-logaritmického modelu se sezónní složkou

66

Úvod a cíl práce

12

1 Úvod a cíl práce 1.1

Úvod

Během posledních čtyř desetiletí prodělala ekonometrie velký rozvoj. A to protože velká část kvantitativních informací o ekonomii je udávána ve formě časových řad. Jsou to důležité statistické údaje, pomocí nichž můžeme zkoumat dynamiku jevů v čase. Uplatnění analýzy časových řad je možné ve všech oborech lidské činnosti jako např. ve fyzice, v technice, v medicíně, ve společenských vědách. V ekonomii patří teorie časových řad k nejdůležitějším kvantitativním metodám při analýze ekonomických dat. Časové řady mají základní význam pro analýzu příčin, které na tyto jevy působily a ovlivňovaly jejich chování v minulosti, tak pro predikci jejich budoucího vývoje. Cílem analýzy časové řady je většinou konstrukce odpovídajícího modelu. To umožní především porozumět mechanismu, na jehož základě jsou generovány sledované údaje. Můžeme si představit, že znalost modelu odpovídá znalosti algoritmu, podle něhož data generuje počítač, přičemž do tohoto algoritmu jsou zapojeny také generátory náhodných čísel dodávající celému procesu generování náhodný charakter. Přestože jsme sice schopni typ těchto generátorů a jejich zapojení do systému přesně specifikovat, nejsme v žádném případě schopni stanovit konkrétní numerické hodnoty produkované těmito generátory v jednotlivých časových okamžicích. Znalost modelu dále umožňuje předpovídat budoucí vývoj systému. Konstrukce modelu také umožní do jisté míry řídit a optimalizovat činnost příslušného systému vhodnou volbou vstupních parametrů a počátečních podmínek.

1.2

Cíl práce

Cílem bakalářské práce je nalezení vhodného modelu časové řady – náklady pevných linek za roky 2007 – 2012 na konkrétním okresním soudě. Při hledání vhodného modelu bude použito více přístupů a to konkrétně dekompoziční metody a Box-Jenkinsovské metody. Tyto metody budou porovnány a na základě různých kritérií bude jeden z těchto modelů vybrán pro predikci této časové řady. Dílčím cílem je právě také předpověď vývoje těchto nákladů pomocí vybraného modelu na rok 2013.


13

2 Literární přehled Plánování je jednou z klíčových funkcí každého manažera. A jedním z nejdůležitějších předpokladů pro správné rozhodování je mít co nejlepší informace. Pokud bude vedoucí pracovník mít lepší přehled o tom, kolik finančních zdrojů bude potřebovat, umožní mu to lépe a efektivněji naplánovat rozložení finančních zdrojů. Nejrozumnější cestou se jeví sledování stávajících nákladů a na základě těchto hodnot pak predikce do budoucnosti. Samozřejmě předpokládáme podmínku ceteris paribus. V současné době se na Okresním soudě v Blansku náklady na provoz pevných linek žádnou statistickou metodou nesledují a předpověď do budoucnosti se děje pouze na kvalifikovaném odhadu vedoucího pracovníka. Na základě osobního průzkumu ve státní správě v jihomoravském kraji bylo zjištěno, že v naprosté většině případů je situace všude velmi podobná. Uvedené metody a postup je tedy možné použít nejen na Okresním soudě v Blansku, ale teoreticky v celé státní správě napříč celou republikou. V této kapitole je uveden přehled jednotlivých metod, které lze potenciálně použít k predikci časové řady. U jednotlivých metod jsou popsány jejich výhody a nevýhody, kde je lze použít, kdy ne apod.

2.1

Časová řada

Hindls (2007) definuje časovou řadu jako posloupnost věcně a prostorově srovnatelných pozorování (dat), která jsou jednoznačně uspořádána z hlediska času ve směru minulost – přítomnost. Z formálního hlediska je časová řada realizací náhodného procesu. Náhodný proces: kde je čas pro Realizace náhodného procesu: kde je čas pro

2.2 Cíle analýzy časových řad Podle Hindlse (2007) se analýzou časových řad rozumí soubor metod, které slouží k popisu těchto řad (a případně k předvídání jejich budoucího chování). Primárním cílem je pochopit principy, na základě kterých vznikají hodnoty časové řady. To znamená, že základním cílem je zkonstruovat vhodný model, který by charakterizoval mechanismus generování hodnot časové řady. Neméně podstatným cílem je pak využít tento model k předpovědi budoucích hodnot časové řady, popř. k výpočtu (s jistou přesností) hodnost mezi časovými okamžiky nebo využití modelu k optimalizaci (např. výrobního procesu). Za vhodný model považujeme ten, jehož reziduální složka má vlastnosti bílého šumu. Pod pojmem bílý šum rozumíme nekorelované (vzájemně nezávislé) náhodné veličiny, které mají nulovou střední hodnotu a konstantní rozptyl.


14

2.3 Typy časových řad Časové řady dělí Kvasnička (2001) podle několika hledisek. podle hlediska náhodnosti:  deterministické – neobsahují žádný prvek náhody a lze je tedy dokonale předpovídat (např. funkce sinus)  stochastické – obsahují prvek náhody, jsou to vesměs všechny ekonomické řady podle ekvidistantnosti:  ekvidistantní – časová vzdálenost mezi jednotlivými prvky je konstantní (např. výška HDP v jednotlivých rocích)  neekvidistantní – časová vzdálenost mezi prvky je různá (např. termíny vydávání státních dluhopisů) dle charakteru ukazatele:  okamžikové časové řady – údaje časové řady se vztahují jen k určitému okamžiku a součty tedy nedávají smysl (např. řada teplot)  intervalové časové řady – údaje se vztahují k určitému časovému úseku (např. HDP v daném roce) dle periodicity:  krátkodobé – časové řady s délkou kroku do 1 roku  dlouhodobé – časové řady s délkou kroku nad 1 rok dle druhu ukazatelů:  řady absolutních ukazatelů – řady, které vznikly původním měřením nebo pozorováním  řady odvozených ukazatelů – řady, které jsou nějakým způsobem transformované (např. klouzavé průměry) dle způsobu vyjádření:  peněžní (např. průměrná mzda v Kč)  naturální (např. produkce vyjádřená v tunách)

2.4 Problémy analýzy časových řad Cipra (1986) uvádí, že specifický charakter časových dat uspořádaných do časové řady může s sebou přinést několik druhů problémů: Problémy s volbou časových bodů pozorování Řady tvořené pozorováními v určitých nespojitých časových bodech mohou vznikat trojím způsobem: buď jsou diskrétní přímo svou povahou (např. úroda


15

za jednotlivé roky za časovou jednotku) nebo vznikají diskretizací spojité časové řady (např. teplota v daném místě v danou dobu)nebo akumulací hodnot za dané časové období (např. denní množství srážek). Místo akumulace hodnot se často provádí jejich průměrování. Problémy s kalendářem Problémy vznikají díky nepravidelnostem v kalendáři, jako jsou např. různá délka kalendářních měsíců, čtyři nebo pět víkendů v měsíci, různý počet pracovních dní v měsíci a pohyblivé svátky. Tyto nepravidelnosti mohou časovou řadu někdy i značně ovlivnit a je proto potřeba časovou řadu od těchto nepravidelností očistit. Problémy s nesrovnalostí jednotlivých měření Nesrovnalost některých měření může například souviset s technickým rozvojem, se kterým se zvyšuje také technická vybavenost. Není proto vhodné srovnávat výrobu určitého výrobku nyní a před dvaceti lety. Problémy s délkou časových řad Délkou časové řady se rozumí počet měření, které danou časovou řadu tvoří. S rostoucí délkou časové řady se zvyšuje množství informací pro její analýzu. Neplatí ale, že při dvojnásobném počtu měření máme dvakrát více informací. Délka řady není jednoznačnou mírou informace obsažené v řadě – k tomu je nutné navíc uvažovat i vnitřní strukturu řady. S touto problematikou souvisí i protichůdné tendence. Některé metody vyžadují určitou minimální délku časové řady – např. Box-Jenkinsovská metoda se doporučuje používat na časové řady o minimální délce 50. Na druhé straně u velmi dlouhých řad může vzniknout riziko, že s průběhem času se podstatně změnily charakteristiky modelu, který tuto řadu generuje. Konstrukce modelu se pak s délkou časové řady bývá problematičtější. Problémy s odvozenými ukazateli Během práce s odvozenými ukazateli je typické, že často pracujeme ne přímo s hodnotami původní časové řady, ale s nějakou její transformací. Výsledkem těchto transformací je vždy nová časová řada, která se od původní řady liší svou nejen svou délkou, ale i charakterem. Mezi nejčastěji využívané transformace patří výpočet přírůstku, dynamiky a tempa.

2.5 Charakteristiky časových řad Prvním úkolem při analýze časové řady je obvykle obdržet rychlou a orientační představu o charakteru procesu, který tato řada reprezentuje. Mezi základní metody patří vizuální analýza grafů spolu s určením elementárních statistických charakteristik. K elementárním charakteristikám řadíme měření absolutních a relativních změn.


16

Mezi charakteristiky absolutní změny patří diference různého řádu. Z časové řady délky lze zjistit absolutních změn (prvních diferencí): pro Kladná hodnota se označuje jako absolutní přírůstek a záporná jako absolutní úbytek. Druhou diferenci lze vypočítat: pro Z absolutních změn lze vypočítat průměrnou hodnotu (tato charakteristika je však vhodná pouze pro monotónní řady):

Mezi charakteristiky relativní změny patří koeficient růstu, tempo růstu, koeficient přírůstku, tempo přírůstku. Z časové řady o velikosti lze vypočítat: 

koeficientů růstu:

 průměrný koeficient růstu:



koeficientů přírůstku: pro

 průměrný koeficient přírůstku:

Dalším možností je vyjádření koeficientu růstu a koeficientu přírůstku v procentech tj. a . Stejně tak lze vyjádřit tempo růstu a tempo přírůstku tj. a .


17

2.6 Metody analýzy časových řad V literatuře lze nalézt široké spektrum metod analýzy časových řad, které mají často odlišné použití. Mezi hlavní metody, které uvádí Kvasnička (2001) patří:  Expertní metody  Grafická analýza  Dekompozice časových řad  Box-Jenkinsovská analýza  Lineární dynamické a regresní modely  Spektrální analýza V bakalářské práci se zaměřím především na dekompozici časových řad a BoxJenkinsovskou analýzu. Ostatní pokročilé metody překračují rámec bakalářské práce. Expertní metody Expertní metody je vhodné použít tehdy, když není možné kvantifikovat sledované veličiny a vlivy, které působí na jejich vývoj. Ukazuje se, že pro dlouhodobé předpovědi mají expertní metody velmi dobré výsledky. Problémem ale je, že jsou časově a finančně velmi náročné. Mezi hlavní metody patří Delphi metoda, metoda historické analogie, dotazování zákazníků, apod. Grafická analýza Grafická analýza je nejjednodušším a nejrychlejším způsobem, jak analyzovat časovou řadu. Umožňuje si lehce udělat obrázek o vývoji časové řady. Přes určitou primitivnost jde stále o prvotní krok, který nám pomáhá s výběrem správné metody analýzy. Dekompozice časových řad Dekompozice časových řad vychází z předpokladu, že náhodný proces, který generuje časovou řadu, je závislý pouze na čase. Dále se předpokládá, že časovou řadu je možné rozdělit na několik nezávislých složek. Tento rozklad se provádí proto, že je snazší identifikovat postupně chování jednotlivých složek než chování celé řady naráz. Časovou řadu tedy tvoří trend, sezónní, cyklická a náhodná složka. Trend, sezónní a cyklická složka jsou souhrnně nazývány systematickou složkou. Dekompozice časových řad klade důraz právě na analýzu této systematické složky. Náhodná složka je poněkud opomíjena. Jednotlivá pozorování se považují za nezávislá. Box-Jenkinsovská analýza Na rozdíl od metod dekompozice staví Box-Jenkinsovská analýza právě na analýze náhodné složky, která může být tvořena korelovanými (tj. závislými) veliči-


18

nami. Právě v této korelační analýze spočívá jádro Box-Jenkinsovských metod. Jde tedy o to, vyšetřit vzájemnou závislost jednotlivých prvků řady s různým zpožděním a závislost na různě zpožděném (náhodném) vstupu. Tyto metody jsou mnohem flexibilnější než dekompoziční metody (mnohem rychleji se adaptují na změněný charakter časové řady). Základní modely se konstruují přímo z dat; na rozdíl od dekompozičních metod je tedy těžké vymyslet si strukturu modelu podle podkladové teorie. Existují ovšem i pokročilejší modely, které spojují přínos Box-Jenkinsovské metodologie a lineárních dynamických modelů. Tyto modely je pak částečně možné konstruovat podle podkladové teorie. Lineární dynamické a regresní modely Jedná se o kauzální modely, kde je vysvětlovaná proměnná vysvětlována pomocí jedné nebo více vysvětlujících proměnných. Snahou je tedy odhalit příčinné vazby mezi ekonomickými veličinami. Většinou se předpokládají lineární nebo linearizované závislosti mezi proměnnými. Modely se konstruují na základě teoretických předpokladů. Spektrální analýza Spektrální analýza je také nazývána analýza ve spektrální doméně (na rozdíl od předchozích dvou metod, které jsou analýzou v časové doméně). Spektrální analýza vychází z předpokladu, že časová řada je nekonečnou směsí sinusových a kosinusových křivek s různými frekvencemi a amplitudami. Analýza usiluje o to, aby vyšetřila spektrum řady (tj. zjistila intenzitu zastoupení jednotlivých frekvencí a jejich parametrů v časové řadě). Pomocí spektrální analýzy se také často posuzuje zpoždění ve vývoji mezi dvěma veličinami.

2.7 Předpovědi Konstrukcí předpovědi časové řady se zabývá Cipra (1986). Uvádí, že je jedním z nejdůležitějších úkolů analýzy časové řady. Předpovídat lze pouze s určitou chybou. Chyba skutečné předpovědi skutečné hodnoty je definována jako

Její hodnota se samozřejmě zjistí až tehdy, když poznáme skutečnou hodnotu . Prvořadým zdrojem chyby předpovědi je výskyt reziduální složky v časové řadě, protože tato složka představuje nepředpověditelnou fluktuaci v datech. Jeli podíl této složky v řadě značný, pak možnost dodat přesnou předpověď je omezena. Na velikost chyby předpovědi má však také vliv, jak úspěšně zvládneme předpověď ostatních systematických složek řady. Proto velké chyby


19

v předpovědi mohou indikovat buď značný podíl reziduální složky v řadě nebo také nevhodnost použité předpovědní techniky. Míry, které se nejčastěji používají pro oceňování kvality zkonstruovaných předpovědí, posuzují souhrnně vývoj předpovědi v čase. Nejčastěji se používá součet čtvercových chyb SSE (Sum of Squared Errors) tvaru

střední chyba odhadu ME (Mean Error)

střední čtvercová chyba MSE (Mean Squared Error)

směrodatná odchylka RMSE (Rooted Mean Squared Error)

střední absolutní odchylka MAE (Mean Absolute Error)

střední procentuální chyba odhadu MPE (Mean Percentage Error)

střední procentuální chyba odhadu MAPE (Mean Absolute Percentage Error)


20

Další hodně využívanou možností, jak porovnat úspěšnost prognózy, se zabývá Kirchgässner (2008). Jedná se o Theilův koeficient nesouladu.

Je-li Theilův koeficient roven 0, pak je predikce shodná se skutečností. Je-li koeficient roven 1, pak odpovídá naivní prognóze. Naivní prognóza definuje hodnotu daného indikátoru za období rovnu hodnotě tohoto indikátoru za období .

2.8 Dekompozice časových řad Jak bylo již dříve zmíněno, cílem dekompozice časových řad je rozdělit časovou složku na „základnější složky“: trend, cyklickou a sezónní a náhodnou složku. Touto problematikou se také zabývá Kvasnička (2001). Při dekompozici se implicitně předpokládá model časové řady, který nezávisí na žádných vysvětlujících proměnných, pouze na čase. 2.8.1

Složky časové řady

Trend ( ) odpovídá hlavním tendencím dlouhodobého vývoje statistického ukazatele, který časová řada popisuje. Sezónní složka ( ) odpovídá periodicky se opakujícím odchylkám od trendu, ke kterým dochází pravidelně v rámci každého roku. Cyklická složka ( ) je nejspornější složkou časové řady. Odpovídá dlouhodobým, často nepravidelným cyklům s proměnlivou délkou i amplitudou. Typickým příkladem je střídání fází recese a konjunktury (obchodní cyklus) v tržních ekonomikách. Protože se dekompoziční metoda používá především na krátkodobé a střednědobé předpovědi, bývá cyklická složka někdy zanedbávána, tj. zahrnuta do trendu. Náhodná složka ( ) je také nazývána reziduální, zbytková, nesystematická. Jde o náhodné pohyby bez systematického charakteru. Zahrnuje také chyby měření a chyby ze zaokrouhlování při výpočtech. Při dekompozici časových řad se předpokládá, že se jedná o bílý šum, často dokonce nekorelovaný normálně rozdělený bílý šum.


Obr. 1

21

Jednotlivé složky časové řady

Zdroj: Kvasnička 2001

2.8.2

Typ dekompozice

Artl (2005) dělí dekompozici časové řady na modely aditivní a multiplikativní. Kvasnička (2001) přidává ještě jejich kombinaci – model smíšený. Tyto modely specifikují, jakým způsobem jsou jednotlivé časové složky „skloubeny“ dohromady. Aditivní model předpokládá, že výsledná časová řada je součtem jednotlivých složek

Multiplikativní model na druhou stranu předpokládá, že výsledná časová řada je spíše součinem jednotlivých složek

Smíšený model je kombinací obou předchozích přístupů. Některé složky mohou být v součtu, jiné v součinu. Typickým příkladem může být například model


2.8.3

22

Metody dekompozice

Při dekompozici se snažíme nejdříve identifikovat trend a potom teprve sezónní složku (v této práci se nebudeme zabývat složkou cyklickou, zahrneme ji do trendu). Někdy se však postupuje opačně, řada se nejdříve zbaví sezónních vlivů a pak se hledá trend. K identifikaci trendu se používají především čtyři následující modely:  naivní modely  proložení matematickou křivkou  vyrovnání metodou klouzavých průměrů  exponenciální vyrovnávání 2.8.4

Naivní modely

Naivní modely patří mezi nejjednodušší kvantitativní modely časové řady. Modely typu konstantní hodnoty Naivní modely typ I stojí na hypotéze, že budoucí hodnota je průměru stejná jako hodnota současná. Tedy

kde je současná hodnota sledovaného ukazatele, to ukazatele a je náhodná hodnota. Tento model je znázorněn na Obr. 2.

je minulá hodnota toho-


Obr. 2

23

Naivní model typu konstantní hodnoty

Zdroj: Kvasnička (2001)

Modely typu konstantní dynamika Naivní modely typ II předpokládají, že veličina má stejnou hodnotu jako zvětšenou o změnu v předcházejícím období, tedy

Tento model předpokládá konstantní dynamiku, tj. směrnice růstu je v čase konstantní. Tento model je znázorněn na Obr. 3.

Obr. 3

Naivní model typu konstantní dynamika



24

Modely typu konstantní tempo Naivní modely typu III předpokládají, že hodnota časové řady v čase se rovná minulé hodnotě násobené koeficientem růstu řady v minulém pozorování, tedy

Tento model předpokládá konstantní tempo růstu v čase. Tento model je znázorněn na Obr. 4.

Obr. 4

Naivní model typu konstantní tempo


2.8.5

Vyrovnání trendu matematickou křivkou

Vyrovnání trendu matematickou křivkou je základní neadaptivní metoda. Vychází z předpokladu, že trend se po celou dobu nemění a že je možné ho popsat některým typem matematické křivky. Celá úloha identifikace trendu se redukuje na výběr správného typu matematické křivky a odhadu jejích parametrů. Vychází se přitom z jednoduchého modelu časové řady

kde je hodnota trendu a, který závisí jen na čase, a hodnota reziduální složky. Předpověď budoucích hodnot trendu je dána prostou extrapolací - dosažením příslušné hodnoty do vzorce matematické křivky, popisující trend. Mezi základní typy křivek, které se při odhadu trendu používají, patří:  polynomy (proložení konstantou, přímkou, kvadratickou funkcí, …)  exponenciální funkce


25

 logistická křivka  Gompertzova křivka Při volbě vhodné matematické křivky pro vyrovnání trendu je také rozhodující podkladová ekonomická teorie. Příkladem může být např. marketingový předpoklad, že prodané množství určitého výrobku se v čase pohybuje zhruba po Gaussově křivce. U dekompozičních metod, zvláště při hledání trendu, je však taková teorie k dispozici jen zřídka. Druhým kritériem pro volbu vhodného trendu je vizuální vzhled dat zakreslených do grafu. Pokud se charakter časové řady v průběhu doby mění, takže nelze najít vhodnou matematickou křivku, kterou by bylo možné trend vyrovnat, nabízí se dvě možnosti: buď časovou řadu rozdělit na několik částí a každou z těchto částí vyrovnat zvlášť nebo použít některou z adaptivních metod. 2.8.6

Vyrovnání trendu metodou klouzavých průměrů

Jinou metodou, jak vyřešit případy, kdy se trend v časové řadě mění, je vyrovnávání trendu metodou klouzavých průměrů. Jde o adaptivní metodu, tedy o metodu, která se plynule přizpůsobuje na změněný charakter trendu. Klouzavé průměrování je založeno na jednoduchém postupu. V časové řadě o n prvcích nejdříve zprůměrujeme vhodně vybraným typem průměru prvních 2m + 1 hodnot a takto získané hodnotě přiřadíme vhodný index (většinou se hodnota centruje do prostřed intervalu průměrovaných hodnot - proto se zpravidla volí délka liché tak, aby index padl na celé číslo); potom průměrujeme stejně dalších hodnot, posunutých o jeden člen. Vyrovnání prvních a posledních m hodnot, stejně jako případné předpovědi trendu se provádějí zvláštními metodami.

Obr. 5

Princip klouzavých průměrů


Co se týká vlastních průměrů, používá se většinou vážený aritmetický průměr, který se liší podle použitých vah.


26

Jednoduché klouzavé průměry Nejjednodušší typ průměru je prostý (nevážený) aritmetický průměr. V případě, že je centrován, platí při délce vztah

Polynomiální klouzavé průměry Metoda polynomiálních klouzavých průměrů vychází z předpokladu, že většinu funkcí lze aproximovat polynomem vhodného řádu. Nesnažíme se ale proložit celou řadu naráz, ale postupně – klouzavě vždy členů. Délku klouzavého průměru je vhodné volit tak, aby byla stejně dlouhá jako celý násobek periody sezónní složky, pokud je sezónnost v časové řadě obsažena. V opačném případě dojde k zahrnutí části sezónnosti do trendu. Při volbě stupně polynomu (řádu klouzavého průměru) se snažíme z důvodu výpočetní složitosti použít co nejnižší možný řád. Volba řádu není také nezávislá na délce klouzavého průměru – délka musí být dostatečně větší než stupeň polynomu, jinak numerický odhad parametrů bude nespolehlivý. Jako objektivnější kritérium pro volbu řádu klouzavého průměru se používá veličina

kde je -tá diference řady . Postupně počítáme veličiny tak dlouho dokud nezačnou konvergovat k nějaké konstantě. Pokud jsou hodnoty už zhruba stejné a přibližně odpovídají hodnotě, ke které řada konverguje, použijeme při vyrovnávání polynom -tého stupně. Jistý problém může nastat, pokud veličina nebude konvergovat nebo bude oscilovat. V tom případě se musí o řádu polynomu rozhodnout subjektivně. Je zřejmé, že klouzavé průměry nemohou poskytnout žádnou analytickou informaci o trendu. Klouzavé průměrování se nejčastěji používá k sezónnímu očištění řady – je tedy ji možné využít přímo k ekonomické analýze. 2.8.7

Exponenciální vyrovnávání

Exponenciální vyrovnávání je další metodou adaptivního vyrovnávání trendu. Na rozdíl od klouzavých průměrů, které vyrovnávají vždy jen část pozorování, exponenciální vyrovnání se snaží stanovenou křivkou vyrovnat vždy všechna minulá pozorování. Přitom se předpokládá, že význam pozorování do minulosti exponenciálně klesá. Toho je dosaženo tak, že se starším pozorováním přiřadí exponenciálně klesající váhy Potom se tedy minimalizuje vztah


27

Koeficient se nazývá koeficient zapomínání nebo alternativně vyrovnávací konstanta. K vlastnímu vyrovnávání se většinou používají polynomy nultého, prvního nebo druhého řádu. Odtud jsou odvozeny názvy jednotlivých metod – jednoduché, dvojité nebo trojité exponenciální vyrovnávání.

Obr. 6

Princip exponenciálního vyrovnávání


2.9 Analýza sezónní složky Cíle analýzy sezónní složky mohou být alternativně dva:  Získat dodatečné informace o vývoji časové řady. Odhad sezónní složky prohlubuje znalost o chování sledovaného ekonomického ukazatele. V mnoha případech je tato znalost stejně důležitá jako znalost trendu.  Sezónně očistit časovou řadu. Pro mnoho ekonomických aplikací a analýz je výhodnější nejprve časovou řadu očistit o sezónní vlivy a pak dál pracovat s takto upravenou řadou. Typickým příkladem je sezónní očišťování inflace nebo vývoje HDP. Bylo vyvinuto velké množství metod a filtrů k odhadu sezónní složky. Mezi nejjednodušší přístupy patří: jednoduché průměrování, regresní přístup a adaptivní Wintersova metoda. 2.9.1

Jednoduché metody odhadu sezónnosti

Nejjednodušší přístup k odhadu sezónní složky vychází z předpokladu, že časová řada je tvořena trendem. Předpokládejme, že trend jsme odhadli některou již


28

popsanou metodou. Potom odečtením trendu od časové řady získáme odhad sezónní a náhodné složky pro aditivní model sezónnosti

a podobně pro multiplikativní model

Pro smíšené modely se vypočítá obdobně i kombinace sezónní náhodné složky. Vliv náhodné složky lze potlačit průměrováním hodnot , resp. odpovídajících stejným sezónním obdobím. Výsledkem je pak odhad sezónní složky . V tomto případě jsou sezónní faktury odhadnuty neadaptivně, tj. jsou stejné pro všechny odpovídající sezóny v celé časové řadě. Na sezónní složku se často kladou další nároky – požadujeme, aby součet aditivních složek byl nula, zatímco součet multiplikativních sezónních faktorů byl roven počtu sezón . 2.9.2

Regresní přístup

Jinou metodou, jak identifikovat sezónní složku, je regrese. V nejjednodušším případě můžeme sezónní složku modelovat ve tvaru

kde je neznámá hodnota sezónní složky a , ,… jsou neznámé parametry a jsou umělé proměnné, které nabývají hodnotu v případě, že čas odpovídá -té roční sezóně, jinak . Předpokládáme sezónních období v roce. U lineárních modelů trendu můžeme modelovat hodnotu řady =

2.9.3

Wintersova metoda

Wintersovou metodou se ve své práci popisuje Krištof (2006). Tato metoda se zabývá adaptivním odhadem sezónní složky, je zobecněním exponenciálního vyrovnávání. Liší se od něj tím, že popisuje i sezónní kolísání. Používá tři konstanty α, β a γ. Konstanty α, β mají podobný význam jako u modelu exponenciálního vyrovnávání. Konstanta γ je charakteristická pouze pro Wintersův model a slouží k modelování sezónní složky. Wintersův model má tedy své opodstatnění v případech, kdy časová řada kromě trendu obsahuje také sezónní kolísání. Tato metoda je zde uvedena pouze pro úplnost, protože přesahuje rámec bakalářské práce.


29

2.10 Box-Jenkinsovská analýza Box-Jenkinsovská analýza časových řad je naprosto odlišná od dekompozice časových řad. Touto metodou se zabývá např. Kvasnička (2001). BoxJenkinsovské modely předpokládají, že současnou hodnotu sledovaného ekonomického ukazatele je možné popsat jako lineární kombinaci jeho minulých hodnot a minulých hodnot náhodné veličiny. Box-Jenkinsovská analýza je odvozena pouze pro stacionární časové řady. Naštěstí lze některé nestacionární řady pomocí snadných postupů převést na řady stacionární. 2.10.1

Stacionarita

Existují dvě koncepce stacionarity – silná (striktní) a slabá stacionarita. Silná stacionarita předpokládá, že pravděpodobností rozdělení svou odpovídajících si vektorů časové řady je stejné bez ohledu na to, kde v časové řadě se vektor nachází. Tento předpoklad je ale velmi silný a pro praktické účely se využívá slabší předpoklad, který odpovídá slabé stacionaritě. Slabá stacionarita znamená, že sledovaný proces má v čase konstantní střední hodnotu a kovarianční strukturu druhého řádu invariantní vůči posunům v čase, tj.

Slabě stacionární proces má tedy v každém okamžiku stejnou střední hodnotu a stejný rozptyl. Kovariance dvou hodnot procesu ve dvou okamžicích závisí pouze na jejich vzdálenosti a ne na jejich konkrétním umístění v časové řadě. V dalším textu se pod pojmem stacionarita bude myslet vždy stacionarita slabá. 2.10.2 Autokorelační a parciální autokorelační funkce Pro stacionární časové řady je snadné popsat vzájemnou závislost jednotlivých pozorování pomocí (parciální) autokorelační funkce. Lze definovat autokovarianční funkci

Tato funkce vrací hodnoty kovariance pro různá zpoždění. Autokovarianční funkci lze snadno normovat a získat tak autokorelační funkci


30

Je zřejmé, že hodnota a ostatní hodnoty autokorelační funkce se pohybují v intervalu . Graf autokorelační funkce se nazývá korelogram. Problém ovšem je, že hodnoty autokorelační funkce jsou pro nás zatím neznámé. Je však možné je odhadnout přímo z pozorovaných dat řady. Odhad autokovarianční funkce lze získat ze vztahu

A odhad

kde

autokorelační funkce

ze vztahu

je aritmetický průměr hodnot časové řady.

2.10.3 Základní procesy Autoregresní proces (AR) Autoregresní proces (AR) označuje takový proces, kdy je hodnota časové řady v čase tvořena lineární kombinací minulých hodnot této řady, tedy

Kde jsou pozorované hodnoty řady v čase , hodnota náhodné veličiny v čase .

jsou neznámé parametry a

je

Proces klouzavých součtů (MA) Proces klouzavých součtů (MA) označuje takový proces, kdy hodnota vysvětlované veličiny v čase je tvořena lineární kombinací současné a minulých hodnot náhodné veličiny . Tato veličina má opět charakter bílého šumu.

Náhodnou veličinu samozřejmě nemůžeme změřit. Přesto však byly pro stacionární řady vyvinuty speciální techniky, které ji umožňují odhadnout přímo z dat. Zároveň se tedy odhadují parametry i hodnoty náhodné veličiny . Autoregresní proces klouzavých součtů (ARMA) Autoregresní proces klouzavých součtů (nebo také smíšený proces) (ARMA) má tvar


31

Tento proces v sobě spojuje oba základní procesy AR i MA. 2.10.4 Integrované procesy Jak už bylo řečeno, Box-Jenkinsovské modely se omezují na modely stacionárních procesů. Takových je však v ekonomických aplikacích poměrně málo. Proto byly vyvinuty speciální modely pro práci s nestacionárními časovými řadami. Nejjednodušším případem je proces ARIMA, který je možné použít k modelování integrovaných procesů. Integrovaný proces je takový nestacionární proces, který lze diferenciací určitého řádu převést na stacionární proces. Pokud tedy časová řada není stacionární, zatímco řada stacionární je, pak říkáme, že původní časová řada je integrovaná řádu . Proces ARIMA pak není v zásadě nic jiného než ARMA model diferencí integrované časové řady. Rozšířením modelu ARIMA je pak proces SARIMA, kterou se zabývá Artl (2003). Jeho Základní myšlenkou je následující: jako v případě procesu ARIMA předpokládáme vzájemnou závislost mezi veličinami a protože tento proces obsahuje ještě sezónní kolísání, lze očekávat i závislost mezi sobě odpovídajícími veličinami v jednotlivých sezónách, tj. mezi veličinami kde je délka sezónní periody (např. u měsíčních časových řad 12, u čtvrtletních 4).

Materiál a metodika

32

3 Materiál a metodika Nejprve byly získány kompletní měsíční data za roky 2007 až 2012, tj. celkem 72 údajů. Tyto údaje tvoří časovou řadu, kterou bylo potřeba nejprve očistit – viz kapitola 2.4 Problémy časových řad. Během těchto pozorovaných let se měnila výška DPH, proto i když okresní soud není plátce DPH, budeme počítat s hodnotami bez DPH a na závěr bude DPH přičteno podle aktuální výše. Dalším z problémů, který bylo potřeba vyřešit je problém s kalendářem. Aby byly hodnoty časové řady srovnatelné, bylo potřeba je přepočítat na stejný počet pracovních dnů. Pro toto očištění časové řady byl použit vzorec

kde jsou hodnoty očištěné řady, jsou hodnoty původní (neočištěné) řady a je počet pracovních dnů v daném měsíci. Ze vzorce je vidět, že očištěná řada je přepočítána na hodnotu, jakou by měla, kdyby každý měsíc měl právě 20 pracovních dní. Předpokládáme, že časová řada bude obsahovat sezónní složku. Např. o letních prázdninách si většinou zaměstnanci vybírají více dovolenou. Na základě literárního přehledu bylo zjištěno, že je vhodné použít k modelování řady mimo dekompoziční metodu a také metodu SARIMA. Tyto metody budou porovnány na základě srovnávacích kritérií (ME, MAE., MSE apod.). Mimo tato kritéria bude řada uměle zkrácena o 1 rok, takže řadu budou tvořit jen pozorování za roky 2007 až 2011, tj. celkem 60 pozorování. Hodnoty řady za rok 2012 pak budou použity při pseudopredikci a výsledky pak využity jako další hodnotící kritérium pro porovnání jednotlivých modelů. Dle literárního přehledu je pro použití Box-Jenkinsovské metody nutné, aby časová řada měla alespoň 50 pozorování. Tento požadavek je ale splněn a můžeme tedy toto umělé zkrácení časové řady provést. Na závěr bude vybrán nejvhodnější model a následně pak bude provedena predikce časové řady na rok 2013.

Vlastní práce

33

4 Vlastní práce Nejdříve bylo nutné získat hodnoty časové řady. K dispozici byly měsíční náklady v Kč za roky 2007 až 2012. Jedná se o časovou řadu, která je stochastická, ekvidistantní, intervalová, krátkodobá a peněžní. Abychom mohli tyto hodnoty navzájem porovnávat, bylo nutné prvně časovou řadu očistit. Prvním problémem bylo, že během těchto let se postupně měnila výška DPH. Tento problém šlo snadno odstranit – dále se vždy počítalo s hodnotami bez DPH. Druhým problémem byl nestejný počet pracovních dní v jednotlivých měsících. Abychom dosáhli srovnatelnost jednotlivých měsíčních pozorování, bylo nutné provést přepočet hodnot na stejný počet pracovních dnů v měsíci. V našem případě bylo zvoleno 20 pracovních dnů. Pro lepší představu ukazuje Obr. 7 spojnicový graf očištěné a neočištěné časové řady.

Obr. 7

Očištěná a neočištěná časová řada

Z grafu lze vidět, že v květnu roku 2010 nastala razantní změna. Tato změna vznikla v důsledku změny telefonní ústředny a operátora. Pokud by byly k dispozici staré ceníky a smlouvy, daly by se dopočítat i ceny, které by byly placeny za stávajících podmínek. Tím by vznikla nová přepočtená časová řada, která by byla konzistentní. Bohužel tyto údaje k dispozici nejsou. Z grafu je vidět, že změna nastala v květnu roku 2010. Tento předpoklad si ověříme QLR testem.

Vlastní práce

34

Na Obr. 8 lze vidět zlom v předpokládaném měsíci 5/2010. P-hodnota (4,103e-047) Chí-kvadrát testu je menší než hladina významnosti , proto nulovou hypotézu o neexistenci strukturálního zlomu zamítáme (Maxima F(2, 68) = 107,804 se dosahuje pro pozorování 2010:05).

Obr. 8

QLR test

Předpoklad se potvrdil a tedy rok 2007 až duben 2010 se tedy diametrálně liší od zbytku časové řady.

4.1 Charakteristiky časové řady V této podkapitole jsou uvedeny základní charakteristiky zkoumané časové řady. Protože jsme ověřili, že se v naší časové řadě objevil zlom, rozdělíme časovou řadu na 2 části a jednotlivé statistiky budeme počítat pro obě řady zvlášť. Tab. 1 ukazuje popisné statistiky pro jednotlivá období. Z tabulky je vidět, že se ceny v druhém období nesnížily jen o konstantu, ale zmenšil se i rozptyl (a také směrodatná odchylka). Naopak variační koeficient, který je nástrojem pro porovnání různých souborů, vychází podobně. Dokazuje tedy, že si jsou obě období podobná.

Vlastní práce Tab. 1

35

Popisné statistiky 1.a 2. období

1. období Střední hodnota Medián Minimum Maximum Směrodatná odchylka Variační koeficient Šikmost Stand. špičatost

20206 19986 16987 23680 1610,2 0,0797 0,4199 -0,4665

2. období 10423 10446 8598 12298 703,8 0,0675 -0,0049 1,3192

Obr. 9 graficky ukazuje 1. diference v obou obdobích. Je z něj také pěkně vidět (pokud pomineme zlom), že volatilita v druhém období je podstatně menší než v období prvním.

Obr. 9

1. diference v 1. období a 2. období

4.2 Dekompoziční model V předchozí podkapitole se použily hodnoty celé časové řady. V následujících modelech je pak časová řada uměle zkrácena o rok 2012 a hodnoty z tohoto roku budou použity při pseudopredikci. Pro odhad parametrů je využita metoda nejmenších čtverců. Jak je vidět na Obr. 10, je potřeba nějak vyřešit změnu, která nastala v roce 2010. Pokud bychom provedli jen klasickou lineární regresi, neměl by graf moc velkou vypovídající hodnotu.

Vlastní práce

Obr. 10

36

Lineární forma bez použití dummy proměnné

Stejně bychom dopadli, i kdybychom provedli proložení např. kvadratickou rovnicí apod. Z toho důvodu byla zavedena umělá (dummy) proměnná , která je definována jako 0, pokud se nachází v 1. období a jako 1, pokud se nachází v 2. období. Na Obr. 11 je pak vidět, jak vypadá vyrovnání lineární formou, pokud proměnnou využijeme.

Vlastní práce

Obr. 11

37

Lineární forma bez sezónní složky

Vyrovnaná křivka má rovnici:

Z Tab. 2 je vidět, že parametry a jsou na hladině významnosti statisticky významné a parametr je právě na hraně významnosti. Tab. 2

t-testy parametrů lineárního modelu bez sezónní složky

koeficient 20923,8 -8600,89 -34,9944

směr. chyba 417,649 642,588 17,4915

t-podíl 50,1 -13,38 -2,001

p-hodnota <0,0001 <0,0001 0,0502

Následně porovnáme tento model s kvadratickou formou. Vyrovnání křivkou je vidět na Obr. 12.

Vlastní práce

Obr. 12

38

Kvadratická forma bez sezónní složky

Vyrovnaná kvadratická křivka má rovnici:

Stejně jako u předchozího modelu jsou první dva parametry významné, parametr je opět na hraně významnosti. Navíc přidaný parametr významný není. Tab. 3

t-test kvadratického modelu bez sezónní složky

konstanta

koeficient 21373 -9237,85 -85,5573 1,061

směr. chyba 540,493 805,46 42,6545 0,8173

t-podíl 39,54 -11,47 -2,006 1,298

p-hodnota <0,0001 <0,0001 0,0497 0,1996

V dalším modelu pak místo času použit jeho logaritmus. Názornou ukázku, jak vyrovnaná křivka vypadá, naznačuje Obr. 13.

Vlastní práce

Obr. 13

39

Lineárně-logaritmická forma bez sezónní složky

Vyrovnaná křivka má rovnici:

Tab. 4 nám ukazuje, že tentokrát jsou statisticky významné všechny složky. Tab. 4

t-testy lineárně-logaritmického modelu bez sezónní složky

konstanta

koeficient 22072,7 -8867,55 -676,681

směr. chyba 692,393 453,85 239,511

t-podíl 31,88 -19,54 -2,825

p-hodnota <0,0001 <0,0001 0,0065

Nyní máme k dispozici 3 modely a je vhodné je porovnat. K tomu lze použít statistická kritéria ME, MSE, atd. V následujících tabulkách budou vždy zeleným podbarvením naznačeny nejlepší hodnoty.


40

Statistická kritéria pro trendové křivky bez sezónní složky

lineární f. ME MSE RMSE MAE MPE MAPE

0 1742500 1320 993,64 -0,52556 5,7494

kvadratická f. 0 1691600 1300,6 968,92 -0,53183 5,6748

lin-log f. 0 1635800 1279 951,39 -0,5064 5,5405

Kromě těchto můžeme využít i další srovnávací kritéria jako např. Akaikovo informační kritérium (AIC), Schwarzovo kritérium (SC) a Hannan-Quinnovo kritérium (HQ). Tab. 6


AIC SC HQ

lineární f. 1038,521 1044,804 1040,979

kvadratická f. 1038,742 1047,12 1042,019

lin-log f. 1034,73 1041,013 1037,187

Jak je vidět z obou tabulek (a v podstatě i z grafů), hodnoty kritérií si jsou velmi podobná. Nejlépe však ze všech modelů vyšel model lineárně-logaritmický.

4.3 Sezónní složka Předpokládáme, že v modelu se vyskytuje také sezónní křivka. Zaměstnanci se v létě pravděpodobně vybírají dovolenou nebo naopak v lednu mohou narůst telefonní poplatky z důvodu různých výkazů, atp. Tyto fakty by nám mohla pomoci odhalit sezónní složky. Tato kapitola je velmi podobná jako kapitola 4.2, pouze zde budou i dummy proměnné pro jednotlivé měsíce. V modelu ve vysvětlujících parametrech tedy přibude celkem 11 dummy proměnných definovaných jako 1, pokud nastává daný měsíc a jako 0 jinak. Následující Obr. 14 až Obr. 16 ukazují postupně lineární, kvadratickou a lineárně-logaritmickou formu vždy se sezónní složkou. Jednotlivé t-testy jsou uvedeny v příloze B.

Vlastní práce

Obr. 14

Lineární forma se sezónní složkou

Obr. 15

Kvadratická forma se sezónní složkou

41

Vlastní práce

Obr. 16

42

Lineárně-logaritmická forma se sezónní složkou

Na první pohled si jsou vyrovnané křivky velmi podobné, proto samozřejmě opět použijeme pro srovnání statistická kritéria. Tab. 7 a Tab. 8 nám opět ukazují, že i hodnoty kritérií si jsou velmi podobné. Tentokrát sice lineárně-logaritmický model nevyšel z hodnocení jako jednoznačný vítěz, ale majoritu nejlepších výsledků má opět on. Tab. 7

Statistická kritéria pro trendové křivky se sezónní složkou

lineární f. ME MSE RMSE MAE MPE MAPE

Tab. 8

0 1272000 1127,8 833,33 -0,3563 4,9545

kvadratická f. 0 1246700 1116,6 830,84 -0,3645 4,9819

lin-log f. 0 1215500 1102,5 831,92 -0,3533 4,9639


AIC SC HQ

lineární f. 1041,641 1070,961 1053,11

kvadratická f. 1042,434 1073,849 1054,722

lin-log f. 1038,911 1068,232 1050,38

Vlastní práce

43

4.4 Box-Jenkinsova metoda Box-Jenkinsova metoda vychází z úplně jiných principů než dekompoziční metoda. Různí autoři mají různé metody, jak identifikovat nejlepší parametry modelů založených na Box-Jenkinsově metodě. Ale vzhledem k výpočetní síle dnešních počítačů jsem pro zjištění nejlepších parametrů použil hrubou sílu. Byly vyzkoušeny všechny kombinace až do druhého řádu u modelu ARIMA a nejlepších výsledků bylo dosaženo u modelu ARIMA (2,1,2). Obr. 17 zobrazuje vyrovnání metodou ARIMA (2,1,2). Pro porovnání modelu s ostatními využijeme opět statistická kritéria.

Obr. 17

Model ARIMA (2,1,2)

Z následující Tab. 9 lze vidět, že pouze parametry významnosti statisticky významné. Tab. 9

a

jsou na hladině

t- testy modelu ARIMA (2,1,2)

konstanta

koeficient -195,7730 -1,1328 -0,9180 0,9256 0,7684

směr. chyba 205,8470 0,2151 0,2613 0,4959 0,4539

t-podíl -0,9511 -5,2670 -3,5130 1,8670 1,6930

p-hodnota 0,3416 <0,0001 0,0004 0,0619 0,0905

Vlastní práce

44

Pokud porovnáme výsledky kriterií z Tab. 10 a Tab. 11 s výsledky dekompozičních modelů, zjistíme, že ARIMA (2,1,2) nám poskytuje výsledky podstatně horší. Tab. 10


ME MSE RMSE MAE MPE MAPE Tab. 11

-8,6474 3213500 1792,6 1218,2 -0,9448 7,9076

Další kritéria pro model ARIMA (2,1,2)

AIC SC HQ

1063,829 1076,294 1068,695

Obdobně jako u modelu ARIMA byly vyzkoušeny všechny možné kombinace parametrů až do řádu 2 i u modelu SARIMA a nejlépe ohodnocený model je SARIMA (2,1,2) (1,1,2). Na Obr. 18 je vidět vyrovnání pomocí modelu SARIMA (2,1,2)(1,1,2). Pro srovnání opět využijeme statistická kritéria – viz Tab. 13 a Tab. 14. Podle statistických kritérií je model SARIMA ještě horší než model modelu ARIMA. Pokud se podíváme i na další kritéria, tak z nich naopak vychází model SARIMA lépe.

Vlastní práce

Obr. 18

45

Model SARIMA (2,1,2) (1,1,2)

Z Tab. 12 lze vidět, že u modelu SARIMA (2,1,2) (1,1,2) jsou na hladině významnosti statisticky významné kromě parametrů a také parametry , a . Tab. 12

t-testy modelu SARIMA (2,1,2)(1,1,2)

konstanta

koeficient -94,0536 -1,0849 -0,9612 0,3822 0,8730 0,7591 -1,9165 1,0000

směr. chyba 111,1860 0,0818 0,6995 0,4548 0,1910 0,2045 0,8487 0,8016

t-podíl -0,8459 -13,2600 -13,7400 0,8403 4,5710 3,7120 -2,2580 1,2470

p-hodnota 0,3976 <0,0001 <0,0001 0,4007 <0,0001 0,0002 0,0239 0,2122


46

Statistická kritéria pro model SARIMA (2,1,2)(1,1,2)

ME MSE RMSE MAE MPE MAPE Tab. 14

43,593 3997700 1999,4 1418,3 -0,4097 9,4852


AIC SC HQ

866,2398 882,8912 872,5059

4.5 Pseudopredikce Nyní máme k dispozici 4 nejlépe ohodnocené modely od různých přístupů. Pro lepší přehlednost budeme používat označení naznačené v Tab. 15. Tab. 15

Označení modelů použitých pro pseudopredikci

model A model B model C model D

Lineárně-logaritmická forma bez sezónní složky Lineárně-logaritmická forma se sezónní složkou ARIMA (2,1,2) SARIMA (2,1,2)(1,1,2)

Jak je již výše uvedeno, časová řada byla uměle zkrácena o rok 2012, aby tento rok mohl být použitý pro pseudopredikci. Obr. 19 nám ukazuje pseudopredikci pro lineárně-logaritmický model bez sezónní složky (vlevo) a se sezónní složkou (vpravo). Od pohledu vypadá model se sezónní složkou lépe. Tuto skutečnost si ale ověříme pomocí Theilova koeficientu neurčitosti.

Vlastní práce

Obr. 19

47

Pseudopredikce pro dekompoziční metody

Obr. 20 nám naopak ukazuje pseudopredikce pro Box-Jenkinsovské metody. Vlevo je model ARIMA a vpravo model SARIMA. Na první pohled jsou předpovědi u modelu ARIMA o řád horší než u dekompozičních metod a u model SARIM vykazuje výsledky nejhorší.

Obr. 20

Pseudopredikce pro Box-Jenkinsovské metody

Tab. 16 udává očištěné hodnoty časové řady a také hodnoty, které byly získány pseudopredikcí jednotlivými modely.


48

Přehled skutečných predikovaných hodnot jednotlivých modelů

Očištěné hodnoty model A model B model C model D leden 10453 10423 10882 9230 12841 únor 10481 10412 11738 8624 9856 březen 10540 10401 10702 8920 9895 duben 10653 10390 10375 8544 8832 květen 10353 10380 10110 8100 896 červen 10630 10370 10678 8351 2715 červenec 10066 10359 9468 7877 1567 srpen 8598 10349 9106 7587 -861 září 10529 10339 10785 7753 1371 říjen 9689 10330 10266 7234 1139 listopad 10098 10320 10952 7072 274 prosinec 10334 10311 10477 7135 976

Zelenou barvou je naznačena vždy nejbližší hodnota v daném měsíci. Z tabulky je vidět, že nejvíce se skutečnosti přibližuje model A a následuje ho pak model B. Naopak model D od května dále ukazuje naprosto nereálné výsledky. Statistické ověření, který model nejlépe predikuje budoucnost, lze provést pomocí Theilova koeficientu. Opět zde platí, že čím nižší číslo, tím lepší predikce. Z Tab. 17 vidíme, že model A a model B jsou si velmi podobné, přičemž model B má o trochu lepší výsledky. Modely C a D mají Theilův koeficient větší než 1 a tedy mají horší výsledky než model naivní. Tab. 17

Porovnání výsledků pseudopredikce pomocí Theilova koeficientu

model A model B model C model D Theilův koeficient 0,6624 0,6285 2,6533 8,8269

Vzhledem k tomu, že celkově zvítězil dekompoziční model se sezónní složkou a v této „kategorii“ měly všechny modely srovnávací statistická kritéria velmi podobné výsledky, provedeme pro jistotu ještě pseudopredikci i pro lineární formu. Pokud bude výsledný Theilův koeficient lepší nebo podobný jako u lineárně-logaritmického modelu, bude přirozenější použít tento lineární tento model oproti lineárně-logaritmickému. Obr. 21 ukazuje pseudopredikci pro lineární formu se sezónní složkou.

Vlastní práce

Obr. 21

49

Pseudopredikce pro lineární formu se sezónní složkou

Opět porovnáme jednak skutečné a predikované hodnoty a také Theilův koeficient. Pro zjednodušení označíme modelem E lineární dekompoziční model se sezónní složkou. Jak je vidět z Tab. 18, výsledky obou modelů jsou velmi podobné. Každý předpovídal lépe právě polovinu výsledků.


50

Přehled skutečných a predikovaných hodnot nejlepších modelů

Očištěné hodnoty model B model E leden 10453 10882 10786 únor 10481 11738 11543 březen 10540 10702 10446 duben 10653 10375 10074 květen 10353 10110 9689 červen 10630 10678 10227 červenec 10066 9468 8990 srpen 8598 9106 8604 září 10529 10785 10263 říjen 9689 10266 9725 listopad 10098 10952 10393 prosinec 10334 10477 9903

A při porovnání Theilova koeficientu zjišťujeme, že model E není jen podobný modelu B, ale dokonce je lepší. Tab. 19

Porovnání výsledků pseudopredikce pomocí Theilova koeficientu

model B model E Theilův koeficient 0,6285 0,6215

Jako vítěze tedy volíme model E.

4.6 Test náhodné složky Nejlépe vyhodnocený model je model E. Ještě před vlastní predikcí ověříme, zda jeho náhodná složka má vlastnosti Gaussovského bílého šumu, tj. splňuje následující předpoklady:  má nulovou střední hodnotu  má konstantní rozptyl  je párově nezávislá Pokud navíc splňuje podmínku normálního rozdělení, lze hovořit o normálně rozděleném bílém šumu. Je zapotřebí ještě model upravit tak, že přidáme i pozorování za rok 2012, o které byla řada nejprve uměle zkrácena. Tab. 20 ukazuje t-testy rozšířeného modelu o rok 2012. Na hladině významnosti jsou statisticky významné parametry , , a 8.


51

t-testy lineárního modelu se sezónní složkou včetně roku 2012

konstanta zlom t dm1 dm2 dm3 dm4 dm5 dm6 dm7 dm8 dm9 dm10 dm11

koeficient 20955,4000 -8441,6900 -34,4043 364,8750 1034,8700 165,5620 -91,2509 -415,2450 113,1950 -977,4610 -1508,7800 229,3570 -324,6410 334,8690

směr. chyba 590,5670 553,7720 13,2581 679,8520 678,6880 677,7810 677,1320 681,3420 679,6630 678,2390 677,0720 676,1630 675,5130 675,1220

t-podíl 35,4800 -15,2400 -2,5950

p-hodnota <0,0001 <0,0001 0,0120

0,5367 1,5250 0,2443 -0,1348 -0,6095 0,1665 -1,4410 -2,2280 0,3392 -0,4806 0,4960

0,5935 0,1327 0,8079 0,8933 0,5446 0,8683 0,1549 0,0297 0,7357 0,6326 0,6218

Nulová střední hodnota Na Obr. 22 vidíme, že rezidua oscilují kolem nulové hodnoty. Tuto domněnku si ověříme pomocí klasického testu o střední hodnotě. Oboustranná p-hodnota (1,0) je větší než hladina významnosti , proto nezamítáme nulovou hypotézu o nulové střední hodnotě.

Vlastní práce

Obr. 22

52

Graf reziduí v závislosti na čase

Konstantní rozptyl Konstantní rozptyl lze ověřit pomocí ARCH testu. Pro náš model je p-hodnota (0,7231) u ARCH testu pro zpoždění 12 větší než hladina významnosti , proto nulovou hypotézu o neexistenci ARCH efektu v modelu nezamítáme. Jinými slovy v modelu není porušen předpoklad konstantním rozptylu (v modelu není podmíněná heteroskedasticita). Párová nezávislost Párovou nezávislost (autokorelaci) lze ověřit pomocí Durbin-Watsonova testu. Jeho p-hodnota (0,2844) je větší než hladina významnosti , proto nulovou hypotézu o autokorelaci nezamítáme. Tento předpoklad ještě ověříme také pomocí ACF a PACF grafu. Z Obr. 23 lze vysledovat možné problémy u zpožděných proměnných řádu 3, 4, 6, 7 a 10. Evidentně nejde o nikterak závažný problém, ale je lepší ho raději vyřešit. Lze toho dosáhnout tak, že do vysvětlujících proměnných zkoumaného modelu zařadíme také zpožděné proměnné těchto řádů. Tím by se měl problém s autokorelací vyřešit a model by měl zůstat skoro v nezměněné podobě. Ověření bílého šumu se ale musí provést od začátku.

Vlastní práce

Obr. 23

53

ACF a PACF graf

Tab. 21 ukazuje t-testy modelu rozšířeného o zpožděné proměnné. Je z ní patrno, že na hladině významnosti jsou statisticky významné parametry , , a . Za zmínku stojí určitě parametr , který naznačuje, že v únoru jsou náklady na telefonní linky podstatně vyšší. A parametr pak ukazuje na jistou periodicitu v řádu šesti měsíců.


54

t-testy vítězného modelu

konstanta zlom t dm1 dm2 dm3 dm4 dm5 dm6 dm7 dm8 dm9 dm10 dm11 Kc_3 Kc_4 Kc_6 Kc_7 Kc_10

koeficient 18244,7000 -9008,2800 4,1379 1051,7100 1509,2900 92,9922 -92,0933 -42,0099 589,9830 -776,3910 -1128,4900 33,4567 -85,0030 878,6310 0,0517 -0,1425 0,2371 -0,1131 0,0309

směr. chyba 2127,2400 732,6650 22,4463 707,4820 690,0660 724,6490 704,6430 746,5810 787,4480 706,1350 743,5530 708,7600 713,8500 683,1480 0,1050 0,0982 0,1007 0,1055 0,0720

t-podíl 8,5770 -12,3000 0,1843 1,4870 2,1870 0,1283 -0,1307 -0,0563 0,7492 -1,0990 -1,5180 0,0472 -0,1191 1,2860 0,4925 -1,4510 2,3530 -1,0730 0,4298

p-hodnota <0,0001 <0,0001 0,8546 0,1444 0,0342 0,8985 0,8966 0,9554 0,4578 0,2777 0,1364 0,9626 0,9058 0,2053 0,6249 0,1541 0,0232 0,2895 0,6695

Nulová střední hodnota Oboustranná p-hodnota (1,0) má stejnou velikost jako v prvním případě a tedy nezamítáme nulovou hypotézu o nulové střední hodnotě. Konstantní rozptyl Pro náš nový model je p-hodnota (0,6799) u ARCH testu pro zpoždění 12 menší než v původním případě, ale stále je větší než hladina významnosti , a proto opět nulovou hypotézu o neexistenci ARCH efektu v modelu nezamítáme. Párová nezávislost P- hodnota (0,1353) Durbin-Watsonova testu je také nižší než v původním modelu, ale také je stále větší než hladina významnosti , proto nulovou hypotézu o autokorelaci nezamítáme. Tento předpoklad znovu ověříme také pomocí ACF a PACF grafu. Na Obr. 24 je už tentokrát vše v pořádku. Využijeme ještě jednu možnost pro otestování autokorelace a to Ljung-Boxův test. Jeho p-hodnota (0,653) je vyšší než hladina významnosti , proto nulovou hypotézu o autokorelaci nezamítáme.

Vlastní práce

Obr. 24

55

ACF a PACF graf upraveného modelu

Upravený model splňuje všechny 3 nutné předpoklady a jeho reziduální složka má vlastnosti bílého šumu. Nyní zbývá jen ověřit, zda má náhodná složka normální rozdělení. Na Obr. 25 je znázorněn histogram reziduí. P-hodnota (0,0039) Chíkvadrát testu je menší než hladina významnosti , proto nulovou hypotézu o normálně rozdělených chybách zamítáme. Model tedy nemá normálně rozdělený chybový člen. S největší pravděpodobností lze tento fakt vysvětlit díky zlomu, který v časové řadě objevil v roce 2010.

Vlastní práce

Obr. 25

56

Histogram reziduí

Náhodná složka modelu má vlastnosti bílého šumu, ale ne normálně rozděleného bílého šumu. Normalita reziduí je sice žádoucí vlastnost, ale není zásadní, a proto tento model můžeme využít pro predikci.

4.7

Predikce hodnot časové řady

Pro předpověď hodnot na rok 2013 byl využit lineární sezónní model s přidanými zpožděnými proměnnými, který byl vyhodnocen jako model s největší vypovídající hodnotou a také, že jeho náhodná složka má vlastnosti bílého šumu. Model byl aplikován na kompletní data z let 2007 až 2012. Na Obr. 26 je graf predikovaných hodnot pro rok 2013.

Vlastní práce

Obr. 26

57

Predikce na rok 2013

Jednotlivé predikované hodnoty včetně 95 procentního intervalu jsou pak uvedeny v Tab. 22. Tab. 22

Predikované hodnoty a 95 procentní interval

leden únor březen duben květen červen červenec srpen září říjen listopad prosinec

predikovaná hodnota 11101 11423 10580 9996 10132 10643 9585 9291 10241 9963 11188 10521

95 procentní interval spodní mez horní mez 8904 13298 9226 13620 8382 12776 7795 12195 7909 12353 8420 12864 7301 11869 6990 11592 7939 12541 7661 12264 8883 13492 8214 12826

Vlastní práce

58

Jak lze vyčíst z grafu a hlavně Tab. 22, celkově se ročně náklady snižují, ale nejde o nijak závratnou částku. Dále lze vypozorovat, že náklady během začátku roku pravděpodobně porostou a naopak v průběhu roku v období prázdnin budou nižší.

Diskuze a závěr

59

5 Diskuze a závěr Bakalářská práce se zabývala modelováním finančních nákladů na pevné linky na okresním soudě. Hlavním cílem práce bylo tedy nalezení vhodného modelu této časové řady – náklady pevných linek za roky 2007 – 2012. Dílčím cílem je předpověď vývoje těchto nákladů pomocí vybraného modelu na rok 2013. V první části byl vypracován literární přehled relevantní české a zahraniční literatury. Tato část obsahuje např. význam časových řad, typy časových řad, jejich charakteristiky, problémy, které mohou nastat, při analýze časových řad. Stěžejní část se zabývá různými přístupy k modelování časových řad a to zejména dekompozičním modelům a modelům založených na Box-Jenkinsově přístupu. Po vypracování literárního přehledu bylo nutné získat příslušná měření. Získaná časová řada byla stochastická, ekvidistantní, intervalová, krátkodobá a peněžní. V dalším kroku bylo potřeba zjistit, zda získaná časová řada neobsahuje nějaké problémy, které je potřeba odstranit. Časová řada byla upravena a to na základě problémů s kalendářem, konkrétně počtem pracovních dnů. Dále se pak pracovalo s hodnotami takto očištěné časové řady. Dalším problémem byla změna ústředny a tarifů v roce 2010. Předchozí ceníky nebylo možné získat a nešlo tedy přepočítat starší hodnoty na nové. Tento problém byl vyřešen v dekompozičních přístupech tak, že byla do vysvětlujících proměnných přidána nová proměnná zlom, která byla v prvním období definována jako 0 a v druhém jako 1. U Box-Jenkinsovských metod tento problém není potřeba řešit, protože se jedná o adaptivní metody, které jsou značně flexibilní a rychle se adaptují na změny v charakteru modelovaného procesu. Hlavní část práce byla věnována modelování různých přístupů. Celá časová řada byla uměle zkrácena o jeden rok, který byl pak využit pro pseudopredikci. Nejprve byl vyzkoušen dekompoziční přístup bez sezónní složky a poté se sezónní složkou. Dalšími zkoumanými modely byly model ARIMA a model SARIMA. Od všech čtyř typů modelů byl vybrán vždy model s nejlepšími výsledky a u těchto modelů byla provedena pseudopredikce na rok 2012. Pomocí Theilova koeficientu nesouladu bylo zjištěno, že nejlepších výsledků dosahuje dekompoziční model se sezónní složkou a to konkrétně model lineárně-logaritmický. Protože přirozenější je použít lineární čas místo logaritmu času a zároveň statistická kritéria jak lineárního, tak lineárně-logaritmického modelu se sezónní složkou byly velmi podobné, byla provedena také pseudopredikce pro model s lineární složkou času. Opět byl porovnán Theilův koeficient a lineární model dosáhl dokonce o zlomek lepší hodnoty. Byl tedy vybrán jako model s nejlepší vypovídající hodnotou. V dalším kroku bylo třeba ověřit, zda náhodná složka vybraného modelu má vlastnosti bílého šumu. Byla otestována jak nulová střední hodnota, tak konstantní rozptyl a párová nezávislost. U párové nezávislosti se vyskytl problém

Diskuze a závěr

60

s možnou autokorelací několika řádů. Proto byl ještě model upraven tak, že do vysvětlujících proměnných byly přidány zpožděné proměnné problematických řádů. Opět bylo otestováno, zda má náhodná složka vlastnosti bílého šumu a model tentokrát všem kritériím vyhovoval. V závěrečném kroku byla pro nejlépe vyhodnocený model provedena predikce hodnot časové řady na rok 2013. Hlavním cílem bakalářské práce byla komparace různých modelů a nalezení toho nejvhodnějšího pro modelování nákladů na pevné linky na konkrétním okresním soudě. Tento cíl byl splněn – konkrétní postup byl popsán výše. Dílčím cílem byla pak predikce hodnot na rok 2013. Tento cíl byl také splněn. Předpovědi byly provedeny pomocí vybraného modelu a jsou zahrnuty v kapitole 4.7.

Literatura

61

6 Literatura HINDLS, Richard. Statistika pro ekonomy. 8. vyd. Praha: Professional Publishing, 2007, 415 s. ISBN 978-80-86946-43-6. CIPRA, Tomáš. Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii. 1. vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1986, 246 s. ARLT, Josef a Markéta ARLTOVÁ. Finanční časové řady. 1. vyd. Praha: Grada, 2003, 220 s. ISBN 80-247-0330-0. ARLT, Josef a Markéta ARLTOVÁ. Ekonomické časové řady. V Professional Publishing vyd. 1. Praha: Professional Publishing, 2009, 290 s. ISBN 97880-86946-85-6. KVASNIČKA, Michal; VAŠIČEK, Osvald. Úvod do analýzy časových řad. Brno: Masarykova univerzita, 2001. 173 s. KIRCHGÄSSNER, Gebhard a Jürgen WOLTERS. Introduction to modern time series analysis. Berlin: Springer, 2008, 274 s. ISBN 978-3540732907. KRIŠTOF, Aleš; Nové metody a přístupy k analýze a prognóze ekonomických časových řad. Praha, 2006. Dizertační práce. Česká zemědělská univerzita v Praze.

Přílohy

62

Přílohy


63

A Očištěná a neočištěná data Tab. 23


měsíc leden únor březen duben květen červen červenec srpen září říjen listopad prosinec leden únor březen duben květen červen červenec srpen září říjen listopad prosinec leden únor březen duben květen červen červenec srpen září říjen listopad prosinec

rok 2007

2008

2009

neočištěná data 23552 22174 24805 22756 21103 22717 20005 20756 21710 23282 22311 20699 20863 20732 21269 21418 19789 21530 19535 20298 20584 20185 19756 19691 19812 20491 20782 20501 19148 21845 20457 19085 21470 20473 21364 19760

očištěná data 21411 22174 22550 22756 20098 21635 20005 18049 22853 20245 20282 22999 18966 19745 21269 19471 19789 20505 16987 19332 18712 18350 20796 19691 18869 20491 18893 19525 20156 19859 18598 18176 20447 19498 21364 18819


leden únor březen duben květen červen červenec srpen září říjen listopad prosinec leden únor březen duben květen červen červenec srpen září říjen listopad prosinec leden únor březen duben květen červen červenec srpen září říjen listopad prosinec

64

2010

2011

2012

23680 23264 22962 18880 10381 11574 10926 11300 10858 11609 12011 11483 11824 12298 11284 10897 11447 11555 9807 10445 11393 10812 10473 9928 11499 11005 11594 10653 10871 11162 10066 9888 10003 11142 11107 9300

23680 23264 19967 17981 9887 10522 10926 10273 10341 11609 11439 10439 11261 12298 9812 10897 10407 10505 10323 9083 10850 10812 9974 9455 10453 10481 10540 10653 10353 10630 10066 8598 10529 9689 10098 10334

t-testy modelů se sezónní složkou

65

B t-testy modelů se sezónní složkou Tab. 24

t-testy parametrů lineárního modelu se sezónní složkou

konstanta zlom t dm1 dm2 dm3 dm4 dm5 dm6 dm7 dm8 dm9 dm10 dm11

Tab. 25

koeficient 20985,0000 -8367,1600 -37,7054 468,2490 1263,0800 204,5160 -129,7760 -477,1470 98,0487 -1101,5700 -1449,1400 246,8640 -253,3890 452,6770

směr. chyba 720,0660 623,5950 16,9721 822,2280 820,6500 819,4210 818,5420 823,2790 821,0010 819,0690 817,4850 816,2510 815,3680 814,8380

t-podíl 29,1400 -13,4200 -2,2220 0,5695 1,5390 0,2496 -0,1585 -0,5796 0,1194 -1,3450 -1,7730 0,3024 -0,3108 0,5555

p-hodnota <0,0001 <0,0001 0,0313 0,5718 0,1306 0,8040 0,8747 0,5650 0,9055 0,1852 0,0829 0,7637 0,7574 0,5812

t-testy parametrů kvadratického modelu se sezónní složkou

konstanta zlom t t2 dm1 dm2 dm3 dm4 dm5 dm6 dm7 dm8 dm9 dm10 dm11

koeficient 21259,5000 -8847,4400 -73,5360 0,7624 489,5950 1281,3800 218,2390 -122,1530 -381,0900 184,9570 -1025,3400 -1385,1000 297,1790 -218,3200 470,9730

směr. chyba 775,8130 801,2540 41,1509 0,7975 823,3020 821,6420 820,3150 819,3480 830,1540 826,7840 823,7060 820,9890 818,7100 816,9570 815,8260

t-podíl 27,4028 -11,0420 -1,7870 0,9560 0,5947 1,5595 0,2660 -0,1491 -0,4591 0,2237 -1,2448 -1,6871 0,3630 -0,2672 0,5773

p-hodnota <0,0001 <0,0001 0,0807 0,3442 0,5550 0,1259 0,7914 0,8822 0,6484 0,8240 0,2197 0,0985 0,7183 0,7905 0,5666

t-testy modelů se sezónní složkou Tab. 26

66

t-testy parametrů lineárně-logaritmického modelu se sezónní složkou

konstanta zlom ln t dm1 dm2 dm3 dm4 dm5 dm6 dm7 dm8 dm9 dm10 dm11

koeficient 21985,2000 -8787,3900 -636,0320 299,6190 1165,3000 140,0050 -176,8720 -431,7770 145,9320 -1055,4100 -1407,9200 280,5960 -229,2360 465,5000

směr. chyba 913,0570 439,3620 235,3100 810,2930 804,7200 802,1430 800,7300 800,4370 799,0710 798,0820 797,3740 796,8830 796,5680 796,3950

t-podíl 24,0787 -20,0003 -2,7030 0,3698 1,4481 0,1745 -0,2209 -0,5394 0,1826 -1,3224 -1,7657 0,3521 -0,2878 0,5845

p-hodnota <0,0001 <0,0001 0,0096 0,7133 0,1544 0,8622 0,8262 0,5922 0,8559 0,1926 0,0841 0,7264 0,7748 0,5617

Model finančních nákladů pevných linek

Recommend Documents