MODEL BIAYA GARANSI SATU DIMENSI POLIS FRW (NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY) STUDI DATA SEKUNDER TENTANG PENGGANTIAN KLEP MESIN DIESEL
ONE DIMENTIONAL WARRANTY COST MODEL OF NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY (FRW) POLICY A STUDY OF SECONDARY DATA ABOUT THE REPLACEMENT OF DIESEL ENGINES’ VALVE SEATS
Oleh : Eldaberti Greselda 662012006
TUGAS AKHIR Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2016
ii
iii
iv
MOTTO Tidak ada yang kebetulan dalam hidup ini dan tidak ada satupun kejadian yang terjadi tanpa seijin Tuhan. Jikalau Tuhan mengijinkan hal itu terjadi, pasti Tuhan memiliki maksud supaya kita semakin serupa dan segambar dengan Dia dan supaya kita percaya bahwa Tuhan membuat segalanya indah pada waktu-Nya. Tuhan tidak pernah berjanji untuk memberikan hidup yang mudah tanpa tantangan dan rintangan. Tapi Tuhan selalu berjanji untuk memberi kekuatan dalam kelemahan, penghiburan dalam duka cita, serta kelegaan bagi yang letih lesu dan berbeban berat. Bahkan Tuhan juga berjanji untuk memberikan masa depan yang penuh harapan sesuai dengan firman-Nya, “Sebab Aku ini mengetahui rancangan-rancangan apa yang ada pada-Ku mengenai kamu, demikian firman TUHAN, yaitu rancangan damai sejahtera dan bukan rancangan kecelakaan, untuk memberikan kepadamu hari depan yang penuh harapan.” (Yeremia 29:11). Dalam menghadapi kehidupan ini kita hanya butuh iman, dimana “Iman adalah dasar dari segala sesuatu yang kita harapkan dan bukti dari segala sesuatu yang tidak kita lihat.” (Ibrani 11:1). Sehingga kita mampu berjalan menghadapi hidup bersama Tuhan tanpa keraguan. Bukan karena hidup kita bahagia maka kita menjadi bahagia, tapi karena kita bahagia maka hidup kita menjadi bahagia.
PERSEMBAHAN Karya ini ku persembahkan untuk: Mama dan kakak tercinta
v
KATA PENGANTAR Puji Syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi sebagai syarat menyelesaikan Studi Strata 1 pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana. Dalam skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama. Makalah pertama berjudul “Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-Renewing Free Replacement Warranty) Studi Data Sekunder Tentang Penggantian Klep Mesin” yang telah dipublikasi dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika yang diselenggarakan oleh Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY pada tanggal 14 November 2015. Kemudian makalah kedua berjudul “Model Biaya Garansi Yang Melibatkan Distribusi Empirik Halus” yang telah dipublikasi dalam Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains 2015 yang diselenggarakan
oleh
Program
Studi
Pendidikan
Fisika,
Universitas
Muhammadiyah Purworejo pada tanggal 12 Desember 2015. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membaca. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini, penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun untuk penulis. Akhir kata, penulis ucapkan terimakasih. Tuhan Yesus Memberkati.
Salatiga, 18 Januari 2016
Penulis
vi
UCAPAN TERIMA KASIH Dalam penyusunan naskah makalah ini tidak terlepas dari bantuan dan dorongan dari berbagai pihak yang memungkinkan makalah ini dapat terselesaikan. Maka pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih atas segala bimbingan, bantuan, dan dukungan kepada : 1. Dr. Bambang Susanto, selaku Kepala Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika. 2. Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si selaku dosen pembimbing utama, terimakasih atas ide, bimbingan, dan masukan kepada Penulis. 3. Tundjung Mahatma,
S.Pd, M.Kom, selaku dosen pembimbing
pendamping, terimakasih atas bimbingan dan koreksi yang diberikan. 4. Dosen pengajar di Program Studi Matematika, Dr. Bambang Susanto, Dra. Lilik Linawati, M.Kom., Dr. Adi Setiawan, M.Sc., Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom., Didit Budi Nugroho, D.Sc., Dr. Hanna Arini Parhusip, dan Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan pengalaman kepada penulis selama studi di FSM UKSW serta Pak Edy sebagai Laboran Matematika yang telah memberikan banyak bantuan kepada Penulis. 5. Bu Eni dan Bu Ketut sebagai TU FSM, terima kasih atas segala bantuannya untuk Penulis. 6. Mama tercinta, Lucia Endra Susilawati terimakasih atas semangat, dorongan, doa, dan motivasi yang tak ternilai bagi Penulis saat Penulis mengalami jatuh bangun dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Terimakasih juga sudah selalu menemani saat Penulis sedang menyelesaikan tugas akhir ini, serta untuk semua kerja keras mama sampai Penulis dapat menyelesaikan jenjang perguruan tinggi.
vii
7. Kakak tercinta, Jordan Grestandhi terimakasih untuk omelan dan ceramahannya yang sangat membangun, terlebih untuk setiap dukungan dan motivasi yang telah diberikan kepada Penulis. 8. Yang jauh disana, Thunesya Widi Prasetya, terimakasih untuk dukungan, motivasi dan doanya. 9. Teman-teman Progdi Matematika 2012, Tya, Cinthya, dan Lisa, untuk pengalaman, tawa, dan kebersamaannya dalam menempuh perkuliahan. Walau terkadang kita sering berbeda pendapat dan pemikiran, tapi Penulis yakin bahwa itulah bagian dari perjalanan kita selama menempuh perkuliahan yang tak akan terlupakan. Tetap semangat dan menjadi berkat dimanapun kalian berada kelak dan “See you on top girls”. 10. Serta semua pihak yang terlibat dalam pembuatan tugas akhir ini yang tidak bisa Penulis sebutkan satu per satu. Terimakasih atas dukungan, semangat, dan doanya. Biarlah Tuhan Yesus yang akan membalas semua yang telah diberikan kepada Penulis dengan berkat dan kasih yang berlimpah.
viii
DAFTAR ISI Halaman Judul.......................................................................................................... i Pernyataan Keaslian Karya Tulis Tugas Akhir ....................................................... ii Pernyataan Bebas Royalty dan Persetujuan Publikasi ........................................... iii Lembar Pengesahan ............................................................................................... iv Motto dan Persembahan .......................................................................................... v Kata Pengantar ....................................................................................................... vi Ucapan Terima Kasih ............................................................................................ vii Daftar Isi
........................................................................................................ ix
Daftar Lampiran ..................................................................................................... xi Abstrak
...................................................................................................... xii
BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................. xiv 1. Latar Belakang ................................................................................................ xiv 2. Perumusan Masalah ...................................................................................... xvii 3. Tujuan Penelitian .......................................................................................... xvii 4. Batasan Masalah ........................................................................................... xviii 5. Manfaat Penelitian ........................................................................................ xviii BAB II. MAKALAH .......................................................................................... xix Makalah Pertama
: Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-Renewing Free Replacement Warranty) Studi Data Sekunder tentang Penggantian Klep Mesin
Makalah Kedua
: Model Biaya Garansi yang Melibatkan Distribusi Empirik Halus
ix
BAB III. PENUTUP .......................................................................................... xlvi Kesimpulan
.................................................................................................... xlvi
Saran
..................................................................................................... xlvi
Lampiran
................................................................................................... xlvii
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1.
Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan SMVTI yang melibatkan distribusi gamma ................................. L.1
Lampiran 2.
Kode Matlab untuk memperoleh hasil estimasi dan gambar dengan menggunakan fungsi distribusi empirik ...................................... L.2
Lampiran 3.
Kode Matlab untuk menampilkan data dalam grafik fungsi distribusi empirik, fungsi distribusi empirik halus, dan fungsi distribusi gamma .......................................................................... L.3
Lampiran 4.
Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan SMVTI yang melibatkan distribusi empirik halus ...................... L.4
Lampiran 5.
Pembuktian rumus dalam memodelkan kegagalan-kegagalan dari waktu ke waktu (modelling failures over time) kasus komponen non-repairable ............................................................................. L.5
Lampiran 6.
Pembuktian convolution ............................................................... L.6
Lampiran 7.
Tentang program easyfit ............................................................... L.7
xi
ABSTRAK Garansi disediakan oleh produsen manufaktur untuk memberikan jaminan atas mutu dan kehandalan produknya. Data garansi yang digunakan adalah data penggantian klep mesin diesel. Dalam makalah pertama dibahas bagaimana memperoleh model dan estimasi biaya garansi satu dimensi polis non-renewing free replacement warranty (polis FRW) dengan strategi penggantian. Model kegagalannya dapat melibatkan distribusi parametrik atau nonparametrik. Dari penelitian ini, diperoleh model kegagalannya melibatkan distribusi parametrik yaitu distribusi gamma. Sedangkan dalam makalah kedua, model kegagalan yang digunakan merupakan distribusi non-parametrik yaitu distribusi empirik halus. Estimasi biaya garansi dari kedua makalah dengan masing-masing model kegagalannya, diperoleh melalui metode Second Mean Value Theorem for Integrals (SMVTI) termodifikasi dengan perubahan peubah. Hasil dari estimasi biaya garansi dengan melibatkan distribusi kegagalan gamma atau empirik halus cukup dekat. Meskipun begitu, tidak berarti bahwa kedua estimasi tersebut sama, karena pembandingnya hanya 𝑀 𝑡 , ekspektasi banyak kegagalan. Sehubungan dengan itu, perlu adanya penelitian lanjut untuk pembanding lain, seperti variansi atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi 𝑀 𝑡 .
Kata kunci: garansi, model pembaruan, polis FRW, model biaya garansi satu dimensi, strategi penggantian, distribusi empirik halus, SMVTI.
xii
ABSTRACT Warranty is provided by a manufacturer to guarantee the quality and reliability of its products. The warranty data used in this research is about the replacement of valve seat of diesel engines. Described in the first paper is the modeling and estimation of warranty costs for one dimensional non-renewing free replacement warranty (FRW) policy with replacement strategy. Its failures model may involve parametric or nonparametric distribution. It is found that the failures model involves a parametric distribution, namely the gamma distribution. The second paper applied the failures model, which is nonparametric distribution, namely the smoothed empirical distribution. The estimation of warranty costs from both papers with each of the failures model, is obtained by using Second Mean Value Theorem for Integrals (SMVTI) method, modified by the changes of the variable. The resulting estimation involving both the failure distribution of gamma and smoothed empirical distribution is very similar. Nevertheless, it does not mean that the estimation of the two models are equal, because the standard of comparison is merely 𝑀 𝑡 , the average of failure. Therefore further research is needed for comparison, for example the variance or deviation from 𝑀 𝑡 and comparison of 𝑀 𝑡 estimation test.
Key word : warranty, renewal model, FRW policy, one dimensional warranty cost model, replacement strategy, smoothed empirical distribution, SMVTI
xiii
BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Perhatian konsumen saat membeli suatu produk manufaktur ada pada kehandalan produk. Produk yang dibeli diharapkan mampu berfungsi dengan baik dan tidak mengalami kegagalan untuk selang waktu tertentu. Langkah yang dapat diambil produsen manufaktur untuk menjamin kepuasan konsumen terhadap kehandalan produknya adalah melalui garansi. Garansi (Warranty) merupakan suatu kontrak antara produsen dan konsumen, yang mewajibkan produsen manufaktur untuk memberikan kompensasi (perbaikan, penggantian, pengembalian uang, dsb) kepada konsumen terhadap kegagalan-kegagalan (satu/lebih) item atau komponen pada produk yang terjadi selama masa garansi ditentukan sejak transaksi jualbeli produk (Sasongko, 2014). Garansi memberikan proteksi kepada konsumen dan produsen. Bagi konsumen, garansi merupakan jaminan mutu dan jaminan terhadap kinerja (performances) produk yang tidak sesuai dengan kinerja yang dijanjikan produsen. Sedangkan bagi produsen, garansi memberikan batasan klaim konsumen terutama klaim yang tidak valid, contoh: klaim kerusakan produk akibat penggunaan yang salah oleh konsumen. Pengadaan garansi ini menyebabkan tambahan biaya bagi produsen, disebut biaya garansi. Salah satu polis garansi adalah polis non-renewing free replacement warranty (sering disebut polis FRW). Polis FRW mewajibkan produsen melakukan perbaikan atau penggantian komponen produk yang mengalami kegagalan tanpa pungutan biaya dari konsumen. Apabila terjadi klaim akibat kegagalan komponen, setelah dilakukan pembetulan atau pemulihan (rectification) pada komponen yang gagal, masa garansi tidak diperbarui atau dengan kata lain masa garansi berakhir tetap seperti yang ditentukan di dalam kontrak garansi. Saat komponen produk gagal pada masa garansi, kinerja
xiv
produk dapat dipulihkan melalui perbaikan atau penggantian komponen repairable yang gagal. Apabila kegagalan produk terjadi pada komponen nonrepairable, kinerja produk hanya dapat dipulihkan melalui penggantian (replacement). Pengadaan garansi menyebabkan tambahan biaya (disebut biaya garansi) bagi produsen, yang melekat pada harga jual produk yang ditawarkan produsen ke konsumen. Biaya garansi sangat bergantung pada jenis polis dan strategi yang diterapkan pada produk. Dalam beberapa penelitian membahas tentang model biaya garansi yang melibatkan distribusi kegagalan parametrik. Baik (2004, 2006) memberikan model biaya garansi polis FRW strategi perbaikan minimum dan penggantian melibatkan distribusi kegagalan Weibull. Blischke (1994, 2011) juga membahas hal yang sama untuk contoh penggunaan model biaya garansi polis FRW melibatkan distribusi kegagalan berdistribusi Weibull dan Eksponensial. Biaya garansi sangat dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan produk bergaransi. Beberapa penelitian membahas tentang penghitungan ekspektasi banyak kegagalan produk bergaransi polis FRW strategi penggantian yang diperoleh dari persamaan integral pembaruan (renewal integral equations). Beberapa metode numerik diusulkan untuk menghitung persamaan integral pembaruan satu dimensi antara lain metode RiemannStieljies diusulkan oleh Min Xie (Baik, dkk, 2004) dan Second Mean Value Theorem for Integrals oleh Maghsoodloo dan Helvaci (2014). Sasongko (2014) memodifikasi metode yang dilakukan Maghsoodloo dan Helvaci (2014) dengan melakukan perubahan peubah untuk kasus polis FRW dua dimensi strategi penggantian. Data garansi bersifat sangat rahasia bagi perusahaan. Hal ini menyebabkan para analis data yang tidak berkepentingan langsung dengan perusahaan mengalami kesulitan untuk mendapatkan data tersebut. Sehingga para analis data hanya memperoleh sedikit data. Imbasnya, data kurang bagus dalam memberikan informasi yang cukup apabila dimodelkan menggunakan xv
distribusi parametrik. Selain itu, dari penelitian-penelitian sebelumnya membahas tentang model biaya garansi yang melibatkan distribusi kegagalan parametrik. Untuk itu pemahaman fungsi distribusi parametrik sangat diperlukan. Namun, pada kenyataannya para pengamat garansi belum tentu mengerti dan memahami tentang fungsi distribusi parametrik. Hal inilah yang menjadi perhatian, bagaimana cara lain untuk memperoleh model dan estimasi biaya garansi tanpa melibatkan distribusi kegagalan parametrik. Salah satu contoh dari distribusi kegagalan non-parametrik adalah distribusi empirik halus. Peluang empirik diperoleh dengan mengelompokkan data ke dalam suatu interval, dimana frekuensi data dalam setiap interval dapat digunakan untuk menentukan peluang pada nilai-nilai diinterval tersebut. Fungsi distribusi empirik merupakan peluang empirik kumulatif. Peluang dan fungsi distribusi empirik inilah yang banyak dikenal oleh banyak orang khususnya pengamat garansi. Namun, model biaya garansi biasanya melibatkan fungsi distribusi yang kontinu, sedangkan fungsi distribusi empirik bersifat diskrit. Oleh karena itu, fungsi distribusi empirik perlu diperhalus atau disebut fungsi distribusi empirik halus. Data yang akan penulis bahas adalah data tentang penggantian klep mesin diesel (valve seat of diesel engine) yang diperoleh dari Blischke (2011). Klep mesin adalah suatu cincin yang dipasang di permukaan yang bersentuhan dengan kepala seker (cylinder head). Sehingga klep mesin selalu menerima benturan dan gas pembakaran yang sangat panas. Akibatnya, sering terjadi kegagalan atau kerusakan klep mesin. Apabila klep mesin rusak, efek kerusakan pada mesin cukup besar hingga menyebabkan mesin mati. Hal inilah yang menjadi alasan mengapa klep mesin harus sering dicek, diganti, dan tentunya membutuhkan garansi.
xvi
2. Perumusan Masalah Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah : a. Bagaimana memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan masa garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau nonparametrik? b. Bagaimana menghitung biaya garansi dari model yang diperoleh menggunakan metode numerik (yang diusulkan penulis) yaitu metode Second Mean Value Theorem for Integrals termodifikasi dengan perubahan peubah? c. Apabila model biaya garansi yang diperoleh (a) melibatkan distribusi kegagalan parametrik, lalu bagaimana memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan masa garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan non-parametrik yaitu distribusi empirik halus? d. Bagaimana menghitung biaya garansi dari model kegagalan yang melibatkan distribusi empirik halus menggunakan metode numerik (yang diusulkan penulis) yaitu metode Second Mean Value Theorem for Integrals termodifikasi dengan perubahan peubah? 3. Tujuan Penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah : a. Memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan masa garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau nonparametrik. b. Menghitung biaya garansi dari model yang diperoleh menggunakan metode numerik (yang diusulkan penulis) yaitu metode Second Mean Value Theorem for Integrals termodifikasi dengan perubahan peubah.
xvii
c. Memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan masa garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan non-parametrik yaitu empirik halus. d. Menghitung biaya garansi dari model kegagalan yang melibatkan distribusi empirik halus menggunakan metode numerik (yang diusulkan penulis) yaitu metode Second Mean Value Theorem for Integrals termodifikasi dengan perubahan peubah. 4. Batasan Masalah Makalah ini hanya berbatas pada garansi satu dimensi polis FRW strategi penggantian. Dengan asumsi yang digunakan meliputi biaya per klaim yang tetap sehingga model biaya garansi hanya dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan komponen produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan komponen jumlahnya tak terbatas, komponen-komponen identik dan saling bebas, tidak menggunakan komponen yang berbeda merek/brand, semua klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid, serta waktu penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan. 5. Manfaat Penelitian Manfaat dari penulisan penelitian ini adalah menjadi informasi tentang model biaya garansi bagi produsen klep mesin diesel di masa yang akan datang. Bagi engineer, penelitian ini dapat menjadi sebuah informasi tentang kehandalan produk, yang bisa di kembangkan di masa mendatang. Selain itu, bagi pengamat garansi, hal ini diharapkan dapat memberikan informasi berupa cara dan hasil yang diperoleh dalam penelitian ini.
xviii
BAB II MAKALAH Makalah pertama Judul
: Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (NonRenewing Free Replacement Warranty) Studi Data Sekunder tentang Penggantian Klep Mesin
Dipresentasikan pada : Seminar
Nasional
Matematika
dan
Pendidikan
Matematika UNY 2015 yang diselelnggarakan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Negeri
Yogyakarta
pada
tanggal
14
November 2015 Publikasi
: Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika “Mengembangkan Kecakapan Abad 21 Melalui
Penelitian
Matematika
dan
Pendidikan
Matematika” (http://eprints.uny.ac.id/view/subjects/prosiding.html) Makalah kedua Judul
: Model Biaya Garansi yang Melibatkan Distribusi Empirik Halus
Dipresentasikan pada : Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains UMP 2015 yang diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan Fisika, Universitas Muhammadiyah Purworejo pada tanggal 12 Desember 2015 Publikasi
: Prosiding (dalam proses)
xix
MAKALAH 1 (Telah diseminarkan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 14 November 2015)
1
ISBN 978-602-73403-0-5
perbaikan minimum dan penggantian melibatkan distribusi kegagalan Weibull. Blischke, dkk. [4, 5], juga membahas hal yang sama untuk contoh penggunaan model biaya garansi polis FRW melibatkan distribusi kegagalan Weibull dan Eksponensial. Data garansi yang dimiliki produsen atau perusahaan manufaktur bersifat rahasia. Hal ini menyebabkan para analis data yang tidak berkepentingan langsung dengan perusahaan mengalami kesulitan untuk mendapatkan data tersebut. Terkadang para analis data hanya memperoleh sedikit data. Imbasnya, data kurang bagus dalam memberikan informasi yang cukup apabila dimodelkan menggunakan model yang melibatkan distribusi parametrik. Oleh karena itu, kajian model yang melibatkan distribusi non-parametrik sebagai distribusi kegagalan dari data perlu diperhatikan. Biaya garansi sangat dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan produk pada masa garansi. Beberapa penelitian membahas tentang penghitungan ekspektasi banyak kegagalan produk bergaransi polis FRW strategi penggantian yang diperoleh dari persamaan integral pembaruan (renewal integral equations). Beberapa metode numerik diusulkan untuk menghitung persamaan integral pembaruan satu dimensi antara lain metode Riemann-Stieljies diusulkan oleh Min Xie [2] dan Second Mean Value Theorem for Integrals (SMVTI) diusulkan oleh Maghsoodloo dan Helvaci [6]. Sasongko [1] memodifikasi metode pada [6] dengan melakukan perubahan peubah untuk kasus polis FRW dua dimensi strategi penggantian. Makalah ini membahas bagaimana memperoleh model dan estimasi biaya garansi satu dimensi polis FRW dengan strategi penggantian. Model biaya garansi yang dibahas melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-parametrik. Metode untuk estimasi biaya garansi yang diusulkan dalam makalah ini adalah SMVTI termodifikasi, dengan perubahan peubah. Data yang dibahas dalam makalah ini adalah data penggantian klep mesin diesel yang diperoleh dari [5]. Klep mesin adalah cincin yang dipasang di permukaan yang bersentuhan dengan kepala seker dan selalu menerima benturan serta gas pembakaran yang sangat panas sehingga sering terjadi kegagalan atau kerusakan klep mesin. Apabila klep mesin rusak, efek kerusakannya juga berimbas pada mesin hingga dapat menyebabkan mesin tidak dapat bekerja. Hal inilah yang menyebabkan klep mesin harus sering dicek, diganti, dan membutuhkan garansi. Asumsi pada makalah ini meliputi besar biaya per klaim yang tetap sehingga model biaya garansi hanya dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan komponen produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan komponen jumlahnya tak terbatas, komponen-komponen identik dan saling bebas, tidak ada perubahan merek/brand komponen, semua klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid, serta waktu penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan. Beberapa asumsi lainnya ada di dalam model biaya garansi yang dijelaskan pada bagian II. Dua hal yang menjadi tujuan makalah ini adalah perolehan model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi penggantian yang melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-parametrik dan estimasi biaya garansi dari model tersebut menggunakan metode SMVTI termodifikasi dengan perubahan peubah, berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang diperoleh dari [5]. Diharapkan makalah ini menjadi informasi tentang model biaya garansi dan sebagai bahan pertimbangan mengenai kebijakan produsen klep mesin diesel di masa yang akan datang. Bagi teknisi (engineer) klep mesin diesel, penelitian ini dapat menjadi informasi tentang evaluasi kehandalan klep mesin diesel hasil desainnya. Sedangkan bagi pengamat atau analis data garansi, penelitian ini dapat memberikan informasi berupa cara menganalisis sedikit data garansi menggunakan distribusi parametrik atau non-parametrik.
II. METODE PENELITIAN 2.1. Model Umum Biaya Garansi Terlebih dahulu diberikan notasi-notasi pada model umum biaya garansi yaitu 𝑆 : p.a. (peubah acak) total biaya kompensasi yang dikeluarkan produsen untuk suatu komponen produk bergaransi dengan polis tertentu, 𝑁 : p.a. banyak kegagalan suatu komponen produk bergaransi dalam masa garansi tertentu, 𝐶𝑖 : p.a. besar biaya kompensasi yang diberikan atas klaim kegagalan ke- i suatu komponen produk bergaransi.
2
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
Peubah 𝑆 didefinisikan sebagai 𝑁
𝑆=
𝐶𝑖 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑁
(1)
𝑖=0
Ekspektasi biaya garansi 𝐸 𝑆 dan variansinya 𝑣𝑎𝑟 𝑆 dapat diperoleh dengan asumsi-asumsi kebebasan yang dikenakan pada (1) menurut [7] yaitu : a. Bersyarat di 𝑁 = 𝑛; 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 adalah p.a. identik dan saling bebas dengan suatu peubah 𝐶, b. Bersyarat di 𝑁 = 𝑛, distribusi peluang peubah acak 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 tidak bergantung 𝑛, c. Distribusi peluang 𝑁 tidak bergantung pada sembarang nilai 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 . Berdasarkan [5, 7], ekspektasi biaya garansi dan variansinya adalah 𝐸 𝑆 =𝐸 𝑁 𝐸 𝐶
(2)
𝑣𝑎𝑟 𝑆 = 𝐸 𝑁 𝑣𝑎𝑟 𝐶 + 𝑣𝑎𝑟 𝑁 (𝐸[𝐶])2
(3)
Fokus model berada pada persamaan (2). Untuk kasus komponen non-repairable dengan asumsi-asumsi dan batasan pada bagian I serta asumsi efek inflasi diabaikan, maka 𝐸 𝐶 konstan atau 𝐸 𝐶 = 𝑐𝑠 , sehingga persamaan (2) menjadi 𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠 𝐸 𝑁 (4) dengan 𝑐𝑠 adalah biaya yang dikeluarkan produsen untuk mengganti komponen yang gagal dengan komponen baru. Hal menarik selanjutnya adalah bagaimana formulasi 𝐸 𝑁 untuk kasus komponen non-repairable. Peubah acak 𝑁 adalah fungsi terhadap waktu atau 𝑁 adalah proses hitung satu dimensi dan perolehan formulasi 𝐸 𝑁 melibatkan proses stokastik. Persamaan (4) menunjukkan bahwa model biaya garansi dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan. 2.2. Memodelkan Kegagalan Pertama (Modelling First Failure) Notasi peubah-peubah acak yang digunakan untuk memodelkan kegagalan komponen adalah : 𝑋𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan umur komponen saat terjadi kegagalan ke- 𝑛, 𝑇𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan antar umur komponen saat kegagalan ke- (𝑛 − 1) hingga ke𝑛 dimana 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 , 𝑛 = 1,2,3, … dengan 𝑋0 = 0, 𝑁 𝑡, 𝑠 : proses hitung satu dimensi atau peubah acak yang menyatakan banyak kegagalan komponen pada interval umur 𝑡, 𝑠 . Untuk interval 0, 𝑡 , penulisan 𝑁 0, 𝑡 = 𝑁 𝑡 dimaksudkan agar lebih singkat. Peubah acak 𝑇1 = 𝑋1 memiliki fungsi distribusi kegagalan 𝐹 𝑡 = Pr 𝑇1 ≤ 𝑡
(5)
Fungsi survival atau fungsi kehandalan/realibitas yang menyatakan peluang komponen belum pernah gagal hingga umur 𝑡 didefinisikan oleh 𝑅 𝑡 = 𝐹 𝑡 = Pr 𝑇1 > 𝑡 = 1 − Pr 𝑇1 ≤ 𝑡 = 1 − 𝐹 𝑡
(6)
Fungsi hazard menginterpretasikan laju kegagalan komponen pertama kali. Fungsi hazard menyatakan laju kegagalan komponen pada interval 𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 bersyarat belum pernah terjadi kegagalan hingga umur 𝑡. Fungsi hazard dinotasikan 𝑡 dan didefinisikan oleh Pr 𝑡 < 𝑇1 < 𝑡 + ∆𝑡 | 𝑇1 > 𝑡 1 𝑑𝐹(𝑡) = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑅 𝑡 𝑑𝑡
𝑡 = lim
(7)
2.3. Memodelkan Kegagalan-Kegagalan dari Waktu ke Waktu (Modelling Failures Over Time) Kasus Komponen Non-Repairable [1] Hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ada pada himpunan waktu yang saling ekuivalen yaitu 𝑛
𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡
𝑇𝑖 ≤ 𝑡 𝑖=1
Ilustrasi persamaan (8) pada Gambar 1.
3
(8)
ISBN 978-602-73403-0-5
Melalui persamaan (8), peluang 𝑁 𝑡 = 𝑛 diperoleh dari Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1 𝑛
(9a)
𝑛+1
Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr
𝑇𝑖 ≤ 𝑡 − Pr 𝑖=1
𝑇𝑖 ≤ 𝑡
(9b)
𝑖=1
Untuk kasus komponen non-repairable, laju kegagalan setelah kegagalan ke-𝑛 serupa saat laju kegagalan komponen sejak pertama kali digunakan, seperti pada ilustrasi Gambar 2.
Gambar 1. Hubungan Peubah-Peubah pada Proses Titik Satu Dimensi
Gambar 2. Contoh Grafik Laju Kegagalan Strategi Penggantian
Gambar 2 menunjukkan bahwa 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , … , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d dengan 𝐹 𝑡 pada (5), sehingga 𝑛𝑖=1 𝑇𝑖 ~𝐹 𝑛 𝑡 dimana 𝐹 𝑛 𝑡 adalah n-fold convolution “dari dan dengan” 𝐹 𝑡 sendiri. Dengan demikian (9b) menjadi Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡 (10) Selanjutnya, ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) diperoleh dari ∞
𝐸𝑁 𝑡
∞
=
𝑛Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑛=1
𝐹
𝑛
𝑡
(11)
𝑛=1
Berdasarkan [1], persamaan (11) dapat disederhanakan menjadi 𝐸𝑁 𝑡
=𝑀 𝑡
(12)
dimana 𝑀 𝑡 disebut persamaan integral pembaruan yang didefinisikan sebagai 𝑡
𝑀 𝑡 =𝐹 𝑡 +
𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢
(13a)
𝐹 𝑡 − 𝑢 𝑑𝑀 𝑢
(13b)
0
atau 𝑡
𝑀 𝑡 =𝐹 𝑡 + 0
Ekspektasi banyak kegagalan komponen produk pada masa garansi [0, 𝑡) diperoleh dari persamaan (12). Fokus makalah ini adalah menghitung 𝑀 𝑡 pada persamaan (13a) menggunakan metode SMVTI termodifikasi dengan perubahan peubah yang dijelaskan pada Lampiran A. Ekspektasi biaya garansi pada (4) diperoleh setelah menghitung ekspektasi banyak kegagalan pada persamaan (12). 2.4. Fungsi Distribusi Kegagalan pada Model Pembaruan Persamaan 𝑀 𝑡 (juga disebut model pembaruan) pada (13a) melibatkan fungsi distribusi kegagalan 𝐹(𝑡)seperti pada (5). Fungsi distribusi kegagalan tersebut dapat menggunakan keluarga distribusi parametrik untuk peubah acak kontinu tak-negatif seperti distribusi Eksponensial, Gamma, Beta, Weibull, dan sejenisnya, (distribusi Normal, t-student, dan sejenisnya tidak dapat digunakan). Oleh karena berbagai macam keluarga distribusi dapat digunakan, maka perlu estimasi 𝐹(𝑡) dari data klaim garansi, dinotasikan 𝐹 𝑡; 𝛀 dimana 𝛀 adalah (dapat lebih dari satu) vektor parameter. Estimasi 𝐹 𝑡; 𝛀 dapat dilakukan melalui uji goodness of fit yaitu uji Kolmogorov-Smirnov (KS test, Lampiran C) dengan terlebih dahulu mengestimasi 𝛀 melalui metode Maximum Likelihood Estimation (MLE, Lampiran B).
4
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
Data klaim garansi yang sedikit sering menyebabkan estimasi 𝐹 𝑡; 𝛀 menjadi kurang bagus (KS test dapat menerima atau menolak semua hipotesis keluarga distribusi kegagalan parametrik, estimasi parameter melalui MLE tidak akurat). Oleh karena itu, penggunaan distribusi yang terbentuk dari sedikit data dapat menjadi solusi yaitu distribusi kegagalan non-parametrik seperti distribusi empirik atau Kernel [8] di Lampiran E. 2.5. Data Data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari [5]. Data tersebut merupakan data tentang penggantian klep mesin diesel dari pengamatan 41 mesin diesel (nama produk dirahasiakan) masingmasing dalam interval waktu pengamatan tertentu. Dari 41 mesin diesel, 24 mesin mengalami satu hingga empat kali kegagalan pada klep mesin dan segera dilakukan penggantian klep mesin yang gagal saat umur mesin seperti tertampil pada Tabel 1 (asumsi lama waktu dari klep gagal hingga klep selesai diganti baru di bengkel diabaikan). ID Mesin
Lama Waktu Pengamatan (hari)
251 252 327 328 329 330 331 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402
761 759 667 667 665 667 663 653 653 651 650 648 644 642 641 649 631 596 614 582 589
TABEL 1. DATA U MUR M ESIN D IESEL SAAT PENGGANTIAN KLEP Data Umur Mesin saat Data Umur Mesin saat Lama Waktu Penggantian Klep (hari) ID Penggantian Klep (hari) Pengamatan Mesin (hari) 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝟒 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝟒
98 326
653
403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422
653
84 87 646 92 258 61 254 76 635 349
328 539 276 538
377
621
298
640
404
561
120 323 139
479 449 139
593 589 606 594 613 595 389 601 601 611 608 587 603 585 587 578 578 586 585 482
573 165 249 344 265 166
408
604
497 587 206
348
410
581
367 202
563
TABEL 2. DATA ANTAR UMUR KEGAGALAN M ESIN D IESEL SAAT PENGGANTIAN KLEP Data Antar Umur Kegagalan Klep (Tahun) ID Mesin 327 328 330 331 389 390 392 393 394 395 396 397 400 401 402 404 405 406 407 408 409 411 415 416 Banyak Data
𝑻𝟏 0.2685 0.8932 0.2301 0.2384 1.7699 0.2521 0.7068 0.1671 0.6959 0.2082 1.7397 0.9562 0.3288 0.8849 0.3808 1.5699 0.4521 0.6822 0.9425 0.7260 0.4548 1.1233 1.0055 0.5534 𝒏𝟏 = 𝟐𝟒
𝑻𝟐
𝑻𝟑
0.8959
0.0000
0.1918 1.3096 0.0603 1.2658
0.1342
0.6685
0.0603
0.9370
0.1507 0.9836 0.3452 0.0000
0.4301
0.6658
0.5370
0.4192 0.8822 0.1096 0.4685 0.9890 𝒏𝟐 = 𝟏𝟓
5
𝑻𝟒
0.3890
0.0192 𝒏𝟑 = 𝟕
𝒏𝟒 = 𝟐
570
ISBN 978-602-73403-0-5
Tampak pada Tabel 1, keseluruhan data umur mesin saat kegagalan klep ada di dalam interval waktu pengamatan, sehingga data tersebut termasuk dalam kategori complete data. Selanjutnya, data diolah untuk memperoleh data antar umur kegagalan 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 , 𝑛 = 1,2,3,4, dengan 𝑋0 = 0 dalam satuan tahun (dibagi 365 hari). Data antar umur kegagalan klep tertampil pada Tabel 2. 2.6. Algoritma Penentuan Distribusi Kegagalan Setelah data antar umur mesin kegagalan klep diperoleh (Tabel 2), algoritma untuk menentukan distribusi kegagalan dari data perlu dirancang. Algoritma yang diusulkan adalah algoritma yang memperhatikan kemungkinan data tidak mengikuti distribusi parametrik yang dikenal sehingga, apabila hal tersebut terjadi, model yang melibatkan distribusi non-parametrik adalah solusi untuk data tersebut. Pada Tabel 2, data antar umur kegagalan 𝑇2 mungkin saja mengikuti distribusi kegagalan yang berbeda dengan 𝑇1 karena kondisi mesin setelah kegagalan klep pertama kali berbeda dengan kondisi mesin saat klep mesin belum pernah gagal, begitu juga untuk 𝑇2 dan 𝑇3 , dst. Sehingga, analisis data dilakukan secara bertahap dimana 𝑇1 ∪ 𝑇2 (gabungan 𝑇1 dan 𝑇2 ) diuji apakah masih mengikuti distribusi dari 𝑇1 , begitu juga 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 terhadap 𝑇1 dan 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 ∪ 𝑇4 terhadap 𝑇1 . Oleh karena itu, diperlukan suatu statistik inferensial untuk menguji dua sampel data apakah mengikuti distribusi kegagalan yang sama. Uji yang dapat digunakan adalah uji Kolmogorov-Smirnov Dua Sampel (Two Sample KS Test, Lampiran D). Algoritma yang diusulkan juga perlu memperhatikan beberapa hal tersebut. Algoritma penentuan distribusi kegagalan disajikan dalam pseudocode dan flowchart pada Gambar 3. Algoritma tersebut memuat penghitungan ekspektasi banyak kegagalan pada akhir langkah setelah model pembaruan 𝑀(𝑡) telah ditentukan apakah melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-parametrik. Pseudocode Penentuan Distribusi Kegagalan Data Garansi Strategi Penggantian I. Mulai. II. Insialisasi data antar umur kegagalan klep yaitu 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , dan 𝑇4 dengan banyaknya data berurutan 𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 dan 𝑛4 . Inisialisasi 𝑚 = 4, 𝑘 = 1. III. Estimasi distribusi parametrik 𝐹1 (𝑡; Ω) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1 . IV. Peroleh data baru 𝑌𝑘 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ … ∪ 𝑇𝑘 sebanyak 𝑝 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 dan 𝑌𝑘 +1 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ … ∪ 𝑇𝑘 +1 sebanyak 𝑞 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘+1 . V. Lakukan pengujian apakah 𝑌𝑘+1 berdistribusi 𝐹1 (𝑡; Ω) melalui KS test dua sampel 𝑌𝑘 dan 𝑌𝑘+1 . VI. Jika hasil uji pada langkah V adalah YA, maka lanjut ke langkah VII. Jika hasil uji pada langkah V adalah TIDAK, maka lanjut ke langkah X. VII. 𝑘 = 𝑘 + 1. VIII. Cek apakah 𝑘 = 𝑚? Jika YA, lanjut ke langkah IX. Jika tidak, kembali ke langkah IV. IX. Hitung ekspektasi banyak kegagalan 𝑀(𝑡) melibatkan 𝐹1 (𝑡; Ω) menggunakan metode SMVTI. X. Estimasi distribusi non-parametrik 𝐹𝑒 (𝑡) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1 . XI. Hitung ekspektasi banyak kegagalan 𝑀 𝑡 melibatkan 𝐹𝑒 (𝑡) menggunakan metode SMVTI.. XII. Selesai. II
I
III
IV TIDAK
V
VI
YA
VII
VIII
YA
IX
TIDAK
X
XII
XI
Gambar 3. Flowchart Penentuan Distribusi Kegagalan Data Garansi Strategi Penggantian
2.7. Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan menggunakan Metode SMVTI Penjelasan lengkap tentang metode SMVTI berada di Lampiran A. Penghitungan ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) melalui metode SMVTI yaitu
6
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
𝑛
𝑀(𝑡) =
1 + 𝑀 𝑥𝑖−1
𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖
(14)
𝑖=1
Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡, dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛, lalu inisialisasi awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 , ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1, dari persamaan berikut 𝑖
𝑀 𝑥𝑖 =
1 + 𝑀 𝑥𝑗 −1
𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 −1 − 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
(15)
𝑗 =1
III. HASIL DAN P EMBAHASAN Estimasi distribusi parametrik 𝐹1 (𝑡; Ω) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1 menggunakan bantuan program easyfit yang memberikan estimasi berbagai distribusi parametrik yang dikenal saat ini. Easyfit memberikan estimasi dari 55 jenis distribusi parametrik, termasuk distribusi parametrik dari peubah acak kontinu tak-negatif. Hasil estimasi tersebut selanjutnya dipilah berdasarkan kategori distribusi parametrik dari peubah acak kontinu tak-negatif yang beberapa diantaranya tertampil pada Tabel 3. TABEL 3. E STIMASI D ISTRIBUSI P ARAMETRIK 𝑭𝟏 (𝒕; 𝛀) DARI 𝑻𝟏 SEBANYAK 𝒏𝟏 Nama Distribusi Gamma Burr Weibull
Parameter (MLE)
Beta Lognormal Log logistik Eksponensial Parreto
𝛼 = 2.291 ; 𝛽 = 0.3133 𝑘 = 8.1675 ; 𝛼 = 1.7434 ; 𝛽 = 2.5473 𝛼 = 1.5966 ; 𝛽 = 0.76302 Parameter bentuk : 𝛼1 = 0.5416 ; 𝛼2 = 1.0345 Parameter batas : 𝑎 = 0.1671; 𝑏 = 1.8142 𝜎 = 0.6872 ; 𝜇 = −0.55248 𝛼 = 2.2613 ; 𝛽 = 0.54809 𝜆 = 1.3929 𝛼 = 0.80862 ; 𝛽 = 0.1671
Statistik 0.1018 0.1021 0.1084
KS-Test P-Value 0.9431 0.9422 0.9121
0.1295
0.7692
0.1394 0.1629 0.2101 0.2211
0.6885 0.4963 0.2084 0.1644
Keputusan
Sig. 𝛼 0.05 0.05 0.05
H0 tidak ditolak H0 tidak ditolak H0 tidak ditolak
1.358
0.05
H0 tidak ditolak
1.358 1.358 1.358 1.358
0.05 0.05 0.05 0.05
H0 tidak ditolak H0 tidak ditolak H0 tidak ditolak H0 tidak ditolak
Stat. Uji 1.358 1.358 1.358
Berdasarkan Tabel 3, distribusi gamma yang memiliki statistik KS-test terkecil (p-value terbesar) mengartikan bahwa selisih nilai fungsi distribusi gamma terhadap fungsi distribusi dari data untuk setiap titik adalah yang terkecil dibanding distribusi parametrik lainnya (peluang data mengikuti distribusi gamma terbesar). Sehingga 𝑇1 ~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 adalah distribusi parametrik yang terpilih untuk model pembaruan pada (13a). Fungsi distribusi 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 adalah 𝑡
𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 ) =
𝑥 𝛼 −1 𝑒
−
𝑥 𝛽
𝛽𝛼 Γ 𝛼
0
𝑑𝑥
(16)
Setelah memperoleh estimasi distribusi parametrik 𝐹1 𝑡; Ω yaitu 𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 ) pada (16), langkah selanjutnya adalah langkah IV seperti pada pseudocode dan flowchart penentuan distribusi kegagalan melalui KS-test dua sampel seperti yang telah dijelaskan di bagian 2.6. Hasil langkah IV tersebut tertampil pada Tabel 4. TABEL 4. HASIL U JI KS-TEST DUA SAMPEL Data Sampel
K
I
Statistik 0.1122
KS-Test Dua Sampel P-Value Stat. Uji 0.9921 1.36
Sig. 𝛼 0.05
Keputusan
Ket
1
𝑌1 = 𝑇1
II 𝑌2 = 𝑇1 ∪ 𝑇2
H0 tidak ditolak
𝑌2 ~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )
2
𝑌2 = 𝑇1 ∪ 𝑇2
𝑌3 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3
0.0819
0.9989
1.36
0.05
H0 tidak ditolak
𝑌3 ~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )
3
𝑌3 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3
𝑌4 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 ∪ 𝑇4
0.0245
0.9999
1.36
0.05
H0 tidak ditolak
𝑌4 ~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )
Berdasarkan Tabel 4, 𝑌2 i.i.d. terhadap 𝑇1 ~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 ), berarti bahwa penambahan data 𝑇2 pada 𝑇1 yaitu 𝑇1 ∪ 𝑇2 memiliki distribusi yang sama dengan 𝑇1 jika hanya jika 𝑇2 berasal dari populasi yang sama dengan 𝑇1 , dengan kata lain 𝑇2 i.i.d. terhadap 𝑇1 . Hal tersebut berlaku juga untuk 𝑌3 i.i.d. terhadap 𝑇1 dan 𝑌4 i.i.d. terhadap 𝑇1 . Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , dan 𝑇4 i.i.d. terhadap 𝑇1 yang memiliki fungsi distribusi 𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 ) pada (16). Setelah didapati bahwa data antar umur kegagalan 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , dan 𝑇4 i.i.d. terhadap 𝑇1 , maka model pembaruan pada (13.a) dapat diperoleh yaitu
7
ISBN 978-602-73403-0-5
𝑡
𝑀𝑔 𝑡 = 𝐹1 𝑡; 𝛼 , 𝛽
+
𝑀𝑔 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹1 𝑡; 𝛼 , 𝛽
(17)
0
Dengan ini berarti (12) menjadi 𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀𝑔 (𝑡) sehingga model biaya garansi seperti pada (4) menjadi 𝑆 = 𝑐𝑠 𝑀𝑔 (𝑡). Selanjutnya, estimasi 𝑀𝑔 𝑡 pada (17) dilakukan dengan menggunakan metode SMVTI. Melalui SMVTI, 𝑀𝑔 𝑡 pada (17) diestimasi. Lalu, diperoleh ekspektasi banyak kegagalan dan estimasi biaya garansi dengan masa garansi 0.5; 1; 1.5; 2; dan 2.5 tahun adalah seperti tertampil pada Tabel 5. TABEL 5. E KSPEKTASI B ANYAK KEGAGALAN DAN E STIMASI B IAYA GARANSI UNTUK M ASA GARANSI TERTENTU Masa Garansi Ekspektasi Banyak Kegagalan Estimasi Biaya Garansi (Tahun) 0.5
0.4262
0.4262 𝑐𝑠
1
1.1055
1.1055 𝑐𝑠
1.5
1.7970
1.7970 𝑐𝑠
2
2.4887
2.4887 𝑐𝑠
2.5
3.1803
3.1803 𝑐𝑠
Tampak pada Tabel 5, estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa garansi. Peningkatan estimasi biaya garansi terhadap masa garansi hampir linier. IV. S IMPULAN DAN S ARAN Berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang telah diolah, melalui algoritma penentuan distribusi kegagalan, didapati data tersebut mengikuti distribusi kegagalan parametrik yaitu distribusi 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 . Selanjutnya, estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu diperoleh dari model pembaruan yang melibatkan distribusi gamma tersebut melalui metode SMVTI pada Tabel 5. Estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa garansi. Didapati data mengikuti distribusi parametrik melalui algoritma penentuan distribusi kegagalan. Hal tersebut menyebabkan perlu adanya kajian atau penelitian lebih lanjut untuk data garansi yang tidak mengikuti distribusi parametrik sehingga model dan estimasi biaya garansi nantinya melibatkan distribusi non-parametrik. D AFTAR P USTAKA [1] Sasongko, L.R., (2014). Copula untuk Memodelkan Kegagalan Dua Dimensi pada Produk Bergaransi dengan Strategi Penggantian. Tesis Pascasarjana Magister Aktuaria-ITB. Bandung. [2] Baik, J., Murthy, D. N. P. dan Jack, N. (2004). Two-Dimensional Failure Modelling with Minimal Repair. Naval Research Logistics. 51. 345–362. [3] Baik, J., Murthy, D. N. P. and Jack, N. (2006). Erratum:Two-Dimensional Failure Modeling with Minimal Repair, Naval Research Logistics, 53, 115-116. [4] Blischke, W. R., Murthy, D. N. P. (199ss4). Warranty Cost Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York. [5] Blischke, W. R., Karim, R., Murthy, D. N. P. (2011). Warranty Data Collection and Analysis. Springer Series in Reliablity Engineering, London. [6] Maghsoodloo, S. dan Helvaci, D. (2014). Renewal and Renewal-Intensity Function with Minimal Repair. Journal of Quality and Reliablity Engineering. 2014. ID : 857437. [7] Klugman, S.A., Panjer, H.H., and Wilmott, G.E. (2004). Loss Models : from Data to Decision 2nd Edition. Wiley Interscience. A John Wiley & Sons, Inc. New Jersey. USA. [8] Tse, Y. K. (2009). Nonlife Actuarial Models : Theory, Methods, and Evaluation. Cambridge University Press. [9] Panchenko, P. 2005. Statistics for Application. MIT Course Number.
8
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
LAMPIRAN A. M ETODE SMVTI UNTUK MENGHITUNG PERSAMAAN INTEGRAL PEMBARUAN , 𝑴 𝒕 . Diketahui 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 adalah fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 dan 𝑔 𝑥 dapat diintegralkan di setiap 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 . Menurut Second Mean Value Theorem for Integrals, nilai pendekatan
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 dapat diperoleh melalui
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑓 𝑐 𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎
untuk suatu 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 . Diketahui persamaan integral pembaruan (renewal integral equation), 𝑀 𝑡 , didefinisikan oleh 𝑡
𝑀 𝑡 =𝐹 𝑡 +
𝑡
𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹(𝑢) = 0
𝑡
𝑑𝐹 𝑢 + 0
𝑡
𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢 = 0
[1 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 ]𝑑𝐹(𝑢) 0
Dengan melakukan perubahan peubah yaitu 𝑣 = 𝑡 − 𝑢 ⇒ 𝑢 = 𝑡 − 𝑣 ; 𝑑𝑢 = −𝑑𝑣 ⇒ 𝑑𝑣 = −𝑑𝑢, saat 𝑢 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑡 dan saat 𝑢 = 𝑡 ⇒ 𝑣 = 0, maka 𝑀 𝑡 menjadi 𝑡
𝑀(𝑡) = −
1 + 𝑀 𝑣 𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 0
Dengan membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡, dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛, diperoleh 𝑥1
𝑀(𝑡) = −
𝑥2
[1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 + 0
𝑥𝑛
[1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 + ⋯ + 𝑥1 𝑥𝑖
𝑛
𝑀(𝑡) =
− 𝑖=1
[1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 𝑥 𝑛 −1
[1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 𝑥 𝑖−1
Dengan menerapkan SMVTI di ujung kiri, diperoleh 𝑥𝑖
𝑛
𝑀(𝑡) =
[1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 ] − 𝑖=1
𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 𝑥 𝑖−1
𝑛
𝑀(𝑡) =
[1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 ] 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹(𝑡 − 𝑥𝑖 ) 𝑖=1
dengan inisial awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Persamaan di atas digunakan untuk memperoleh ekspektasi banyak kegagalan komponen produk pada masa garansi [0, 𝑡) dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀(𝑥𝑖 ), 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 − 1, yaitu dari persamaan 𝑖
𝑀(𝑥𝑖 ) =
[1 + 𝑀 𝑥𝑗 −1 ] 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 −1 − 𝐹(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) 𝑗 =1
LAMPIRAN B. M AXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) [5] Estimator maksimum likelihood (MLE) diperoleh dari memaksimalkan fungsi likelihood, yang didefinisikan sebagai distribusi gabungan dari masing-masing sampel acak. Fungsi likelihood untuk complete data didefinisikan oleh 𝑛
𝐿 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛 ; 𝜽 =
𝑓(𝑌𝑖 ; 𝜽) 𝑖=1
Untuk memudahkan perhitungan, yang dapat dilakukan adalah memaksimumkan logaritma natural dari fungsi likelihood, log 𝐿. Untuk memaksimumkan log 𝐿, dengan vektor parameter 𝜽 dan asumsi differentiability, dilakukan dengan menyamakan turunan fungsi log 𝐿 ke nol lalu memperoleh solusi persamaannya. Jika perlu, persamaan tersebut diselesaikan dengan metode numerik. LAMPIRAN C. UJI KOLMOGOROV -S MIRNOV S ATU S AMPEL [5] Uji Kolmogorov-Smirnov Satu Sampel merupakan salah satu uji goodness of fit yang menguji hipotesis H0 : data mengikuti distribusi parametrik 𝐹 (𝑡; 𝛀), sedangkan hipotesis H1 : data tidak mengikuti distribusi parametrik 𝐹 (𝑡; 𝛀) dimana 𝛀 telah terlebih dahulu diestimasi. Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan 𝐷𝑛 yang menyatakan perbedaan terbesar antara fungsi distribusi empirik lampiran E dan 𝐹 (𝑡; 𝛀) yaitu 𝐷𝑛 = max 𝐷𝑛− , 𝐷𝑛+ dimana
9
ISBN 978-602-73403-0-5
𝐷𝑛− = max
𝑖=1,…,𝑛
𝑖 𝑖−1 − 𝐹 (𝑦𝑖 ; 𝛀) dan 𝐷𝑛+ = max 𝐹 (𝑦𝑖 ; 𝛀) − 𝑖=1,…,𝑛 𝑛 𝑛
dengan 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2, … 𝑛 (ordered statistic) adalah data yang telah diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. −1
Pengambilan kesimpulan uji ini adalah H0 ditolak jika 𝐷𝑛 melebihi batas 𝐷 = 𝑑𝛼 𝑛−1/2 + 0.11𝑛−1/2 + 0.12 , dimana 𝑑𝛼 = 1.224; 1.358; atau 1.628 untuk 𝛼 berurutan 𝛼 = 0.10; 0.05; atau 0.01. Atau, H0 ditolak jika Pr 𝐷𝑛 ≤ 𝐷 < 𝛼. LAMPIRAN D. UJI KOLMOGOROV -S MIRNOV DUA S AMPEL Misal sampel pertama 𝑋1 , … , 𝑋𝑚 memiliki distribusi dengan fungsi distribusi 𝐹(𝑥) dan sampel kedua 𝑌1 , … , 𝑌𝑛 memiliki distribusi dengan fungsi distribusi 𝐺(𝑥) dan kita akan menguji H0 ∶ 𝐹 = 𝐺 Jika 𝐹𝑚 (𝑥) dan 𝐺𝑛 (𝑥) adalah fungsi distribusi empirik yang bersesuaian dengan sampel 𝑋1 , … , 𝑋𝑚 dan 𝑌1 , … , 𝑌𝑛 , maka statistik uji Kolmogorov-Smirnov dua sampel diperoleh dari 𝐷𝑚𝑛 =
𝑚𝑛 𝑚+𝑛
1/2
sup 𝐹𝑚 𝑥 − 𝐺𝑛 (𝑥) 𝑥
Pengambilan kesimpulan hasil uji ini adalah H0 ditolak jika 𝐷𝑚𝑛 melebihi batas 𝑐 𝛼 , dimana 𝑐 𝛼 = 1.224; 1.358; atau 1.628 untuk 𝛼 berurutan 𝛼 = 0.10; 0.05; atau 0.01. Atau, H0 ditolak jika Pr 𝐷𝑚𝑛 ≤ 𝑐 𝛼 < 𝛼. LAMPIRAN E. F UNGSI DISTRIBUSI EMPIRIK [8] Fungsi distribusi empirik dikonstruksi dari data 𝑦𝑗 (ordered statistic), data berbeda yang telah diurutkan dari yang 𝑗
terkecil hingga yang terbesar. Dengan 𝑤𝑗 menyatakan banyak 𝑦𝑗 yang sama, dan 𝑔𝑗 = 𝑘=1 𝑤𝑘 . Fungsi distribusi empirik dinyatakan oleh 0 untuk 𝑦 < 𝑦1 𝑔𝑗 𝐹𝑒 𝑦 = untuk 𝑦𝑗 ≤ 𝑦 < 𝑦𝑗 +1 , 𝑗 = 1, … , 𝑚 − 1 𝑛 1 untuk 𝑦𝑚 ≤ 𝑦 Untuk menghitung 𝐹𝑒 𝑦 di 𝑦 yang tidak berada dalam 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑚 , kita perlu menghaluskan 𝐹𝑒 𝑦 atau disebut fungsi distribusi empirik halus (smoothed empirical distribution function), yaitu 𝐹𝑒 𝑦 =
𝑦𝑗 +1 − 𝑦 𝑦 − 𝑦𝑗 𝐹 𝑦 + 𝐹 𝑦 𝑦𝑗 +1 − 𝑦𝑗 𝑒 𝑗 𝑦𝑗 +1 − 𝑦𝑗 𝑒 𝑗 +1
dimana 𝑦𝑗 ≤ 𝑦 < 𝑦𝑗 +1 untuk 𝑗 = 1, … , 𝑚 − 1. Jadi 𝐹𝑒 𝑦 , fungsi distribusi empirik halus, adalah interpolasi linear dari 𝐹𝑒 𝑦𝑗 +1 dan 𝐹𝑒 𝑦𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑚 − 1. LAMPIRAN F . F UNGSI DISTRIBUSI KERNEL (TSE, 2009) Sama halnya dengan fungsi distribusi empirik, fungsi distribusi Kernel juga dikonstruksi dari data 𝑥𝑖 (ordered statistic). Fungsi distribusi Kernel didefinisikan oleh 1 𝐹𝐾 𝑥 = 𝑛
𝑛 (𝑥−𝑥 𝑖 )/𝑏
𝐾 𝜓 𝑑𝜓 𝑖=1 −𝑥 𝑖 /𝑏
dimana b menyatakan lebar langkah (bandwitch) dan 𝐾 𝜓 disebut fungsi kernel yang terdiri dari berbagai macam jenis, tiga di antaranya adalah fungsi kernel persegi panjang, segitiga, dan Gaussian, yang masing-masing didefinisikan oleh Fungsi kernel persegi panjang 𝐾𝑅 𝜓 =
0.5 −1 ≤ 𝜓 ≤ 1 0 lainnya
Fungsi kernel segitiga 𝐾𝑇 𝜓 =
1 − |𝜓| −1 ≤ 𝜓 ≤ 1 0 lainnya
Fungsi kernel gausian 𝐾𝐺 𝜓 =
1 2𝜋
𝑒𝑥𝑝 −
10
𝜓2 , untuk − ∞ < 𝜓 < ∞ . 2
REVISI MAKALAH 1 1. Metode Penelitian Sub Bab 2.7 Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan menggunakan Metode SMVTI (Hal. 7) Sebelum revisi Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡, dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛, lalu inisialisasi awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 , ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1, dari persamaan berikut Sesudah revisi Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡. Dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛. Setelah itu, inisialisasi awal untuk 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut 2. Lampiran (Hal. 10) Sebelum revisi LAMPIRAN F. FUNGSI DISTRIBUSI KERNEL (TSE, 2009) Sesudah revisi LAMPIRAN F. FUNGSI DISTRIBUSI KERNEL [8]
MAKALAH 2 (Telah diseminarkan dalam Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains 2015 UMP, 12 Desember 2015)
1 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
empirik bersifat diskrit. Oleh karena itu, fungsi distribusi empirik perlu diperhalus atau disebut fungsi distribusi empirik halus. Data yang dibahas dalam makalah ini adalah data penggantian klep mesin diesel yang diperoleh dari Blischke (2011). Dengan asumsi yang digunakan meliputi besar biaya per klaim yang tetap sehingga model biaya garansi hanya dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan komponen produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan komponen jumlahnya tak terbatas, komponenkomponen identik dan saling bebas, tidak menggunakan komponen yang berbeda merek/brand, semua klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid, serta waktu penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan. Beberapa asumsi lainnya ada di dalam model biaya garansi yang dijelaskan pada bagian II. Dua hal yang menjadi tujuan makalah ini adalah memperoleh model biaya garansi yang melibatkan distribusi empirik halus dan estimasi biaya garansi dari model tersebut menggunakan metode SMVTI termodifikasi dengan perubahan peubah seperti yang digunakan Greselda dkk. (2015). Diharapkan makalah ini menjadi informasi tentang cara menentukan model dan estimasi biaya garansi yang melibatkan distribusi empirik halus yang mudah untuk dipahami oleh para pengamat garansi atau mereka yang tidak memahami ilmu peluang terkhusus distribusi parametrik. METODE PENELITIAN 2.1. Model Biaya Garansi Notasi-notasi pada model umum biaya garansi yaitu 𝑆 : peubah acak (p.a.) total biaya kompensasi yang dikeluarkan produsen untuk suatu komponen produk bergaransi dengan polis tertentu, 𝑁 : p.a. banyak kegagalan suatu komponen produk bergaransi dalam masa garansi tertentu, 𝐶𝑖 : p.a. besar biaya kompensasi yang diberikan atas klaim kegagalan ke-𝑖 suatu komponen produk bergaransi. Peubah 𝑆 didefinisikan sebagai 𝑁
𝑆=
𝐶𝑖 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑁
(1)
𝑖=0
Ekspektasi biaya garansi 𝐸 𝑆 dapat diperoleh dengan asumsi-asumsi kebebasan yang dikenakan pada (1) menurut Klugman (2004), salah satunya adalah bersyarat di 𝑁 = 𝑛; 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 adalah peubah acak identik dan saling bebas dengan suatu peubah 𝐶. Berdasarkan Blischke (2011) dan Klugman (2004), ekspektasi biaya garansi adalah 𝐸 𝑆 =𝐸 𝑁 𝐸 𝐶
(2)
Untuk kasus komponen non-repairable dengan asumsi-asumsi dan batasan pada bagian I serta asumsi efek inflasi diabaikan, 𝐸 𝐶 konstan atau 𝐸 𝐶 = 𝑐𝑠 , sehingga ekspektasi biaya garansi 𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠 𝐸 𝑁
(3)
dengan 𝑐𝑠 adalah biaya yang dikeluarkan produsen untuk mengganti komponen yang gagal dengan komponen baru. Peubah acak 𝑁 adalah fungsi terhadap waktu atau 𝑁 adalah proses hitung satu dimensi dan perolehan formulasi 𝐸 𝑁 melibatkan proses stokastik. Persamaan (3) menunjukkan bahwa model biaya garansi dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan.
2 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
2.2. Memodelkan Kegagalan Pertama (Modelling First Failure) Notasi peubah-peubah acak yang digunakan untuk memodelkan kegagalan komponen adalah 𝑋𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan umur komponen saat terjadi kegagalan ke- 𝑛, 𝑇𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan antar umur komponen saat kegagalan ke- (𝑛 − 1) hingga ke- 𝑛 dimana 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 , 𝑛 = 1,2,3, … dengan 𝑋0 = 0, 𝑁 𝑡, 𝑠 : proses hitung satu dimensi atau peubah acak yang menyatakan banyak kegagalan komponen pada interval umur 𝑡, 𝑠 . Untuk interval 0, 𝑡 , penulisan 𝑁 0, 𝑡 = 𝑁 𝑡 dimaksudkan agar lebih singkat. Peubah acak 𝑇1 = 𝑋1 memiliki fungsi distribusi kegagalan 𝐹 𝑡 = 𝑃𝑟 𝑇1 ≤ 𝑡
(4)
2.3. Memodelkan Kegagalan-Kegagalan dari Waktu ke Waktu (Modelling Failures Over Time) Kasus Komponen Non-Repairable Hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ekuivalen yaitu
ada pada himpunan waktu yang saling 𝑛
𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡
𝑇𝑖 ≤ 𝑡
(5)
𝑖=1
Melalui persamaan (5), peluang 𝑁 𝑡 = 𝑛 diperoleh dari 𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑃𝑟 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − 𝑃𝑟 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1 𝑛
𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑃𝑟
(6a)
𝑛+1
𝑇𝑖 ≤ 𝑡 − 𝑃𝑟 𝑖=1
𝑇𝑖 ≤ 𝑡
(6b)
𝑖=1
Untuk kasus komponen non-repairable, laju kegagalan setelah kegagalan ke-𝑛 serupa saat laju kegagalan komponen sejak pertama kali digunakan, hal ini ditunjukkan pada ilustrasi Gambar 1.
Gambar 1. Contoh Grafik Laju Kegagalan Strategi Penggantian
Gambar 1 menunjukkan bahwa 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , … , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d dengan 𝐹 𝑡 pada (4), sehingga 𝑛𝑖=1 𝑇𝑖 ~𝐹 𝑛 𝑡 dimana 𝐹 𝑛 𝑡 adalah n-fold convolution “dari dan dengan” 𝐹 𝑡 sendiri. Dengan demikian (6b) menjadi 𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹
𝑛
𝑡 −𝐹
𝑛+1
𝑡
(7)
Selanjutnya, ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) diperoleh dari ∞
𝐸𝑁 𝑡
=
∞
𝑛𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑛=1
𝐹
𝑛
𝑡
(8)
𝑛=1
3 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
Ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) didapat dengan bantuan persamaan integral pembaruan (renewal integral equation), sehingga persamaan (8) menjadi 𝐸𝑁 𝑡
=𝑀 𝑡
(9)
dimana 𝑀 𝑡 disebut persamaan integral pembaruan yang didefinisikan sebagai 𝑡
𝑀 𝑡 =𝐹 𝑡 +
𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢
(10a)
𝐹 𝑡 − 𝑢 𝑑𝑀 𝑢
(10b)
0
atau 𝑡
𝑀 𝑡 =𝐹 𝑡 + 0
2.4. Fungsi Distribusi Kegagalan pada Model Pembaruan Persamaan 𝑀 𝑡 (disebut model pembaruan) pada (10a) melibatkan fungsi distribusi kegagalan 𝐹 𝑡 seperti pada (4). Fungsi distribusi kegagalan yang digunakan dalam makalah ini adalah distribusi kegagalan non-parametrik yaitu distribusi empirik halus. 2.5. Fungsi Distribusi Empirik Halus Fungsi distribusi empirik dikonstruksi dari data 𝑥𝑗 (ordered statistic), data berbeda yang telah diurutkan mulai dari yang terkecil hingga yang terbesar (Tse, 2009). Dengan 𝑤𝑗 menyatakan banyak 𝑥𝑗 , dan 𝑔𝑗 =
𝑗 𝑖=1 𝑤𝑖
. Fungsi distribusi empirik diperoleh melalui (11) (Tse, 2009)
0 𝑔𝑗 𝐹𝑒 𝑥 = 𝑛 1
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑥1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑥𝑗 +1 , 𝑥 = 1, … , 𝑚 − 1
(11)
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥𝑚 ≤ 𝑥
Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilai-nilainya adalah 6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi empiriknya. Untuk mengolah data tersebut, pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 , dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah diurutkan dari kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗 adalah banyaknya 𝑥𝑗 . Sehingga pada data tersebut, nilai 2 banyaknya ada 3 atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst. Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah kumulatif dari nilai-nilai 𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1. TABEL 1. Ilustrasi Pengolahan Data untuk Estimasi Fungsi Distribusi Empirik 1 2 3 4 5 6 𝑗 2 3 4 6 7 9 𝑥𝑗 3 1 2 1 2 1 𝑤𝑗 𝑔𝑗 3 4 6 7 9 10
Untuk nilai 𝐹𝑒 𝑥 dari setiap interval data dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (11). Hasil penghitungan 𝐹𝑒 𝑥 dapat dilihat pada Tabel 2. TABEL 2. Fungsi Distribusi Empirik, 𝐹𝑒 𝑥 , dari Ilustrasi Interval data [0,2) [2,3) [3,4) [4,6) [6,7) [7,9) [9, ∞) 0 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 1 𝐹𝑒 𝑥
Dengan melihat Tabel 2, tampak bahwa peluang kumulatif pada nilai 𝑥 yang berbeda pada suatu interval yang sama adalah sama besar. Sebagai contoh, di 𝑥𝑎 = 2,5 dan 𝑥𝑏 = 2,7 memiliki 𝐹𝑒 2,5 = 𝐹𝑒 2,7 = 0,3. Hal ini menunjukkan bahwa distribusi empirik kurang ideal. Seharusnya
4 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
untuk 𝑥𝑎 < 𝑥𝑏 maka 𝐹𝑒 (𝑥𝑎 ) < 𝐹𝑒 (𝑥𝑏 ), karena hal tersebut berkaitan dengan umur kegagalan. Semakin tua umur komponen maka idealnya peluang kegagalannya semakin besar. Selain itu, hal tersebut dikarenakan sifat semua fungsi distribusi adalah fungsi monoton naik. Oleh karena itu, 𝐹𝑒 (𝑥) perlu dihaluskan, sehingga didapati nilai peluang yang berbeda untuk setiap nilai 𝑥. Fungsi distribusi empirik halus (smoothed empirical distribution function) dinyatakan oleh 𝑥𝑗 +1 − 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑗 𝐹𝑒 𝑥 = 𝐹𝑒 𝑥𝑗 +1 + 𝐹 𝑥 (12) 𝑥𝑗 +1 − 𝑥𝑗 𝑥𝑗 +1 − 𝑥𝑗 𝑒 𝑗 Persamaan (12) dapat disederhanakan menjadi 𝐹𝑒 𝑥 = 𝐴𝑗 𝑥 + 𝐵𝑗
(13)
dengan 𝐴𝑗 =
𝐹𝑒 𝑥𝑗 +1 −𝐹𝑒 𝑥𝑗 𝑥𝑗 +1 − 𝑥𝑗
dan 𝐵𝑗 =
𝑥𝑗 +1 𝐹𝑒 𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 𝐹𝑒 𝑥𝑗 +1 𝑥𝑗 +1 − 𝑥𝑗
untuk 𝑥𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑥𝑗 +1 dan 𝑗 = 1, … , 𝑚 − 1. Jadi 𝐹𝑒 𝑥 pada (12) adalah interpolasi linear dari 𝐹𝑒 𝑥𝑗 +1 dan 𝐹𝑒 𝑥𝑗 , untuk 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑚 − 1. Sehingga didapati bentuk lain seperti pada (13) yang merupakan fungsi linear. 2.5. Data Data yang digunakan adalah data sekunder tentang penggantian klep mesin diesel yang diperoleh dari Blischke (2011). Data dengan nama produk yang dirahasiakan tersebut merupakan hasil pengamatan dari 41 mesin diesel yang masing-masing data dalam interval waktu pengamatan tertentu. Dari 41 mesin diesel, 24 mesin mengalami satu kali kegagalan pada klep mesin dan segera dilakukan penggantian. Klep mesin yang gagal saat umur mesin tertampil pada Tabel 3 dengan asumsi lama waktu penggantian klep yang gagal dengan klep yang baru di bengkel diabaikan. TABEL 3. Data Umur Mesin Diesel saat Penggantian Klep ID Mesin 251 252 327 328 329 330 331 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402
Lama Waktu Pengamatan (hari) 761 759 667 667 665 667 663 653 653 651 650 648 644 642 641 649 631 596 614 582 589
Data Umur Mesin saat Penggantian Klep (hari)
98 326 84 87 646 92 258 61 254 76 635 349
120 323 139
ID Mesin 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422
Lama Waktu Pengamatan (hari) 593 589 606 594 613 595 389 601 601 611 608 587 603 585 587 578 578 586 585 482
Data Umur Mesin saat Penggantian Klep (hari) 573 165 249 344 265 166 410
367 202
Tampak pada Tabel 3, keseluruhan data tersebut termasuk dalam kategori complete data, dengan maksud data umur mesin saat terjadi kegagalan klep berada didalam interval waktu pengamatan. Selanjutnya, data diolah dalam satuan tahun (dibagi 365 hari). Data antar umur kegagalan klep tertampil pada Tabel 4.
5 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
TABEL 4. Data Antar Umur Kegagalan Mesin Diesel saat Penggantian Klep ID Mesin 327 328 330 331 389 390 392 393 394 395 396 397
Data Antar Umur Kegagalan Klep (𝑻𝟏 ) 0.2685 0.8932 0.2301 0.2384 1.7699 0.2521 0.7068 0.1671 0.6959 0.2082 1.7397 0.9562
ID Mesin 400 401 402 404 405 406 407 408 409 411 415 416 Banyak Data
Data Antar Umur Kegagalan Klep (𝑻𝟏 ) 0.3288 0.8849 0.3808 1.5699 0.4521 0.6822 0.9425 0.7260 0.4548 1.1233 1.0055 0.5534 𝒏 = 𝟐𝟒
Data yang digunakan adalah data 𝑇1 pada Tabel 4. Data tersebut akan diolah untuk memperoleh estimasi distribusi empirik halus 𝐹𝑒 (𝑡) dan selanjutnya menghitung ekspektasi banyak kegagalan 𝑀(𝑡) melibatkan 𝐹𝑒 (𝑡). 2.6. Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode SMVTI Penghitungan ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) melalui metode SMVTI seperti yang digunakan Greselda dkk. (2015) yaitu 𝑛
𝑀(𝑡) =
1 + 𝑀 𝑥𝑖−1
𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖
(14)
𝑖=1
Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡 dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛. Lalu inisialisasi awal untuk 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut 𝑖
𝑀 𝑥𝑖 =
1 + 𝑀 𝑥𝑗 −1
𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 −1 − 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
(15)
𝑗 =1
HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan data pada Tabel 4, diperoleh estimasi fungsi distribusi empiriknya seperti pada Tabel 5 dan grafik fungsi distribusi empirik tersebut tertampil pada Gambar 2. TABEL 5. Estimasi Fungsi Distribusi Empirik dari Data Interval Interval 𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑎≤𝑥≤𝑏 𝐹𝑒 (𝑥) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 0 0.1671 0.1671 0.2082 0.2301 0.2384 0.2521 0.2685 0.3288 0.3808 0.4521 0.4548 0.5534
0.1671 0.1671 0.2082 0.2301 0.2384 0.2521 0.2685 0.3288 0.3808 0.4521 0.4548 0.5534 0.6822
0 0.0417 0.0833 0.1250 0.1667 0.2083 0.2500 0.2917 0.3333 0.3750 0.4167 0.4583 0.5000
0.6822 0.6959 0.7068 0.7260 0.8849 0.8932 0.9425 0.9562 1.0055 1.1233 1.5699 1.7397
0.6959 0.7068 0.7260 0.8849 0.8932 0.9425 0.9562 1.0055 1.1233 1.5699 1.7397 1.7699
𝐹𝑒 (𝑥) 0.5417 0.5833 0.6250 0.6667 0.7083 0.7500 0.7917 0.8333 0.8750 0.9167 0.9583 1.0000
6 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
1 Fungsi Distribusi Empirik 0.9 0.8 0.7
F(x)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x
Gambar 2. Grafik Fungsi Distribusi Empirik.
Pada Gambar 2, sumbu 𝑥 menyatakan antar umur kegagalan pertama, dan sumbu 𝑦 menyatakan peluang kegagalan klep mesin diesel pertama kali dari setiap titik pada sumbu 𝑥. Setelah diperoleh fungsi distribusi empirik dari data seperti pada Tabel 5, maka fungsi tersebut dihaluskan menjadi fungsi distribusi empirik halus dengan menggunakan (13). Parameter-parameter fungsi distribusi empirik halus tiap-tiap interval tertampil pada Tabel 6. TABEL 6. Estimasi Fungsi Distribusi Empirik Halus dari Data Fungsi Distribusi Empirik Halus Interval 𝑎≤𝑥≤𝑏 𝐹𝑒 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵 0 0.1671 0.2082 0.2301 0.2384 0.2521 0.2685 0.3288 0.3808 0.4521 0.4548 0.5534 0.6822 0.6959 0.7068 0.7260 0.8849 0.8932 0.9425 0.9562 1.0055 1.1233 1.5699 1.7397
0.1671 0.2082 0.2301 0.2384 0.2521 0.2685 0.3288 0.3808 0.4521 0.4548 0.5534 0.6822 0.6959 0.7068 0.7260 0.8849 0.8932 0.9425 0.9562 1.0055 1.1233 1.5699 1.7397 1.7699
0 1.0122 1.9041 5.0241 3.0365 2.5427 0.6915 0.8000 0.5849 15.4444 0.4219 0.3238 3.0438 3.8165 2.1719 0.2624 5.0120 0.8458 3.0438 0.8438 0.3540 0.0934 0.2450 1.3808
0 -0.1274 -0.3131 -1.0310 -0.5572 -0.4327 0.0643 0.0287 0.1106 -6.6074 0.2248 0.2791 -1.5765 -2.1142 -0.9518 0.4345 -3.7685 -0.0472 -2.1188 -0.0152 0.4774 0.7701 0.5321 -1.4439
Grafik fungsi distribusi empirik dan empirik halus tertampil pada Gambar 3. Selain itu, gambaran tentang distribusi Gamma sebagai hasil dari penelitian Greselda dkk. (2015) juga dapat dilihat dalam Gambar 3.
7 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
1 0.9 0.8 0.7
F(x)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
Fungsi Distribusi Empirik Fungsi Distribusi Empirik Halus Fungsi Distribusi Gamma (Greselda dkk., 2015)
0.1 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x
Gambar 3. Grafik Fungsi Distribusi Empirik, Empirik Halus, dan Gamma (Greselda dkk., 2015)
Setelah mendapatkan nilai peluang dari sembarang titik dari distribusi empirik halus maka diperoleh model pembaruan seperti pada (10a) yaitu 𝑡
𝑀𝑒 𝑡 = 𝐹𝑒 𝑡 +
𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹𝑒 𝑡
(16)
0
Dengan ini berarti (9) menjadi 𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀𝑒 𝑡 sehingga model biaya garansi seperti pada (3) menjadi 𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠 𝑀𝑒 𝑡 . Selanjutnya, estimasi 𝑀𝑒 𝑡 pada (16) dilakukan dengan menggunakan metode SMVTI seperti yang diusulkan Greselda dkk. (2015). Melalui SMVTI, 𝑀𝑒 𝑡 pada (16) diestimasi. Lalu, diperoleh ekspektasi banyak kegagalan dan estimasi biaya garansi dengan masa garansi 0.5; 1; 1.5; 2; dan 2.5 tahun tertampil pada Tabel 7. Selain itu, ditampilkan juga estimasi biaya garansi yang melibatkan distribusi Gamma seperti hasil penelitian Greselda dkk. (2015). Tabel 7 menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh dengan menggunakan distribusi kegagalan empirik tidak berbeda jauh dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan distribusi kegagalan Gamma, dengan persentase perbedaan kurang dari 20%. Hal ini menunjukkan bahwa perbedaan dari nilai estimasi biaya garansi dengan menggunakan distribusi empirik dan Gamma tidaklah signifikan. Namun, hasil estimasi biaya garansi tersebut tidak bisa dianggap sebanding atau sama, karena yang dibandingkan hanyalah estimasi 𝑀(𝑡), tidak ada pembanding lain seperti variansi atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 . Sehingga perlu adanya uji mengenai perbedaan estimasi empirik. TABEL 7. Estimasi Biaya Garansi dari Model Masa Garansi (Tahun)
Estimasi Biaya Garansi dengan Distribusi Empirik Halus
Estimasi Biaya Garansi dengan Distribusi Gamma
Persentase Perbedaan Estimasi Biaya Garansi (%)
0.5
0.4973𝑐𝑠
0.4262 𝑐𝑠
16.7
1
1.2110 𝑐𝑠
1.1055 𝑐𝑠
9.5
1.5
1.8676 𝑐𝑠
1.7970 𝑐𝑠
3.9
2
2.6228 𝑐𝑠
2.4887 𝑐𝑠
5.4
2.5
3.3361 𝑐𝑠
3.1803 𝑐𝑠
4.9
KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan data penggantian klep mesin diesel, diperoleh estimasi fungsi distribusi empirik halus. Selanjutnya, estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu yang melibatkan fungsi distribusi empirik halus diperoleh dengan metode SMVTI. Dari hasil yang didapat, menunjukkan 8 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
bahwa model biaya garansi yang melibatkan fungsi distribusi empirik halus dapat diterapkan atau digunakan dalam penghitungan estimasi biaya garansi. Selain itu, fungsi distribusi empirik mudah dikonstruksi oleh pengamat garansi yang tidak memahami distribusi parametrik. Hasil estimasi biaya garansi dari model yang melibatkan distribusi empirik halus tidak berbeda jauh dari hasil yang diperoleh Greselda dkk. (2015). Namun perbandingannya hanya sebatas 𝑀 𝑡 , ekspektasi banyak kegagalan. Sehubungan dengan itu, perlu adanya penelitian lanjut untuk pembanding lain, seperti variansi atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi 𝑀 𝑡 . DAFTAR PUSTAKA Baik, J., Murthy, D. N. P. dan Jack, N. (2004). Two-Dimensional Failure Modelling with Minimal Repair. Naval Research Logistics. 51. 345–362. Baik, J., Murthy, D. N. P. and Jack, N. (2006). Erratum:Two-Dimensional Failure Modeling with Minimal Repair, Naval Research Logistics, 53, 115-116. Blischke, W. R., Murthy, D. N. P. (1994). Warranty Cost Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York. Blischke, W. R., Karim, R., Murthy, D. N. P. (2011). Warranty Data Collection and Analysis. Springer Series in Reliablity Engineering, London. Greselda, E., Sasongko, L. R., Mahatma, T. (2015). Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-Renewing Free Replacement Warranty), Prosiding, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, FMIPA UNY, (T-8), 223-232. Klugman, S.A., Panjer, H.H., and Wilmott, G.E. (2004). Loss Models : from Data to Decision 2 nd Edition. Wiley Interscience. A John Wiley & Sons, Inc. New Jersey. USA. Tse, Y. K. (2009). Nonlife Actuarial Models : Theory, Methods, and Evaluation. Cambridge University Press.
9 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
REVISI MAKALAH 2 1. Metode Penelitian Sub Bab 2.5 Fungsi Distribusi Empirik Halus (Hal. 4) Sebelum revisi Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilainilainya adalah 6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi empiriknya. Untuk mengolah data tersebut, pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 , dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah diurutkan dari kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗 adalah banyaknya 𝑥𝑗 . Sehingga pada data tersebut, nilai 2 banyaknya ada 3 atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst. Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah kumulatif dari nilai-nilai 𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1. Sesudah revisi Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilainilainya adalah 6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi empiriknya. Untuk mengolah data tersebut, pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 , dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah diurutkan dari kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗 adalah banyaknya 𝑥𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑗. Sehingga pada data tersebut, nilai 2 banyaknya ada 3 atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst. Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah kumulatif dari nilai-nilai 𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1. 2. Metode Penelitian Sub Bab 2.5 Data (Hal. 5) Sebelum revisi 2.5. Data Sesudah revisi 2.6. Data
3. Metode Penelitian Sub Bab 2.6 Perhitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode SMVTI (Hal. 6) Sebelum revisi 2.6 Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode SMVTI Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡 dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛. Lalu inisialisasi awal untuk 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut Sesudah revisi 2.7 Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode SMVTI Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡. Dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛. Setelah itu, inisialisasi awal untuk 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut
BAB III PENUTUP KESIMPULAN Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
Berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang telah diolah, melalui algoritma penentuan distribusi kegagalan, didapati data garansi tersebut mengikuti distribusi kegagalan parametrik yaitu distribusi 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 .
Sehingga
model
kegagalannya
melibatkan distribusi gamma.
Hasil estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu diperoleh dari model pembaruan yang melibatkan distribusi gamma melalui metode SMVTI. Estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa garansi.
Model biaya garansi yang melibatkan fungsi distribusi empirik halus dapat diterapkan atau digunakan dalam penghitungan estimasi biaya garansi. Apabila
peneliti
mengalami
kesulitan
dalam
pemahaman
atau
ketidaktahuan tentang distribusi parametrik, maka penggunaan fungsi distribusi empirik halus dapat digunakan dalam perhitungan estimasi biaya garansi.
Hasil yang diperoleh dari estimasi biaya garansi dari model yang melibatkan distribusi gamma dan distribusi empirik halus tidak berbeda jauh. Meskipun begitu, tidak berarti bahwa kedua estimasi tersebut sama, karena pembandingnya hanya 𝑀 𝑡 , ekspektasi banyak kegagalan.
SARAN Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, disarankan untuk perlu adanya penelitian lanjut untuk pembanding lain, seperti variansi atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi 𝑀 𝑡 .
xlvi
LAMPIRAN
xlvii
Lampiran 1.
Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan SMVTI yang melibatkan distribusi gamma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
x=[0:0.01:2.5]; M=zeros(length(x),1); sum=0; M(2)=gamcdf(x(2),2.2914,0.31331); for i=3:length(x) for j=1:(i-1) sum = sum + (1 + M(j))*( gamcdf(x(i)x(j),2.2914,0.31331) - gamcdf(x(i)x(j+1),2.2914,0.31331) ); end M(i) = sum; sum = 0; end M
L.1
Lampiran 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Kode Matlab untuk menampilkan data dalam grafik fungsi distribusi empirik, distribusi empirik halus, dan distribusi gamma
clear all load 'data24.dat' x=data24; [Fi,xi] = ecdf(x); hasil=[Fi,xi] stairs(xi,Fi,'r'); xlim([0 1.8]); xlabel('x'); ylabel('F(x)'); Fi; xi; legend({'Fungsi Distribusi Empirik'},'location','NW');
dengan data24.dat berisi 0.2685 0.8932 0.2301 0.2384 1.7699 0.2521 0.7068 0.1671 0.6959 0.2082 1.7397 0.9562 0.3288 0.8849 0.3808 1.5699 0.4521 0.6822 0.9425 0.7260 0.4548 1.1233 1.0055 0.5534
L.2
Lampiran 3.
Kode Matlab untuk menggambarkan data dengan menggunakan distribusi empirik, distribusi empirik halus, dan distribusi gamma
3.1. Kode Utama 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
clear all load 'data24.dat' x=data24; [Fi,xi] = ecdf(x); hasil=[Fi,xi] stairs(xi,Fi,'r'); xlim([0 1.8]); xlabel('x'); ylabel('F(x)'); Fi; xi; a=0:0.0001:1.7699; Fs=secdf(a,Fi,xi); hold on plot(a,Fs,'-') hold off HasilAkhir=[Fs',a']; x = gaminv((0:0.01:1.7699),2.2914,0.31331); y = gamcdf(x,2.2914,0.31331); hold on plot(x,y,'g-') hold off legend({'Fungsi Distribusi Empirik' 'Fungsi Distribusi Empirik Halus' 'Fungsi Distribusi Gamma (Greselda dkk., 2015)'},'location','NW');
3.2. Kode secdf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
function Fs=secdf(y,Fi,xi) for i=1:(length(y)-1) if y(i)<0.1671 j=1; else j=length(find(xi<=y(i))); end yj=xi(j); yj1=xi(j+1); Fj=Fi(j); Fj1=Fi(j+1);
L.3
13 14 15 16 17
Fs(i)=((y(i)-yj)/(yj1-yj))*Fj1 + ((yj1y(i))/(yj1-yj))*Fj; end Fs(length(y))=1;
L.3
Lampiran 4.
Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan SMVTI yang melibatkan distribusi empirik halus
4.1. Kode Utama 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
clear all load 'data24.dat' data=data24; [Fi,xi] = ecdf(data); x=[0:0.01:2.5]; M=zeros(length(x),1); sum=0; M(2)=secdf24(x(2),Fi,xi); for i=3:length(x) for j=1:(i-1) sum = sum + (1 + M(j))*( secdf24(x(i)x(j),Fi,xi) - secdf24(x(i)-x(j+1),Fi,xi) ); end M(i) = sum; sum = 0; end M
4.2. Kode secdf24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
function Fs=secdf24(y,Fi,xi) if y<0.1671 j=1; else if y==0.1671 j=2; else if y>=1.7699 j=26; else j=length(find(xi<=y)); end end end if j==1 yj=0;
L.4
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
yj1=xi(j); Fj=0; Fj1=Fi(j); else if j==26 yj=0; yj1=y; Fj=1; Fj1=1; else yj=xi(j); yj1=xi(j+1); Fj=Fi(j); Fj1=Fi(j+1); end end Fs=((y-yj)/(yj1-yj))*Fj1 + ((yj1-y)/(yj1-yj))*Fj;
L.4
Lampiran 5.
Pembuktian rumus dalam memodelkan kegagalan-kegagalan dari waktu ke waktu (modelling failures over time) kasus komponen non-repairable
Diketahui hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ada pada himpunan waktu yang saling ekuivalen yaitu 𝑛
𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡
𝑇𝑖 ≤ 𝑡 𝑖=1
Banyak kegagalan dari distribusi merupakan ekspektasi atau rata-ratanya. Untuk menghitung banyak kegagalan, harus tau fungsi peluang masa diskrit ∞
𝐸𝑁 =
𝑛 Pr[𝑁 𝑡 = 𝑛] 𝑛=0
dengan menggunakan 𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 , maka Pr[𝑁 𝑡 = 𝑛] adalah Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1 𝑛 𝑖=1 𝑇𝑖
Karena 𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡
≤ 𝑡 , maka
𝑛
𝑛+1
Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr
𝑇𝑖 ≤ 𝑡 − Pr
𝑇𝑖 ≤ 𝑡
𝑖=1
𝑖=1
𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , … , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d dengan 𝐹 𝑡 , sehingga
𝑛 𝑖=1 𝑇𝑖
~𝐹
𝑛
𝑡 dimana 𝐹
𝑛
𝑡 adalah n-fold convolution “dari dan
dengan” 𝐹 𝑡 sendiri. Sehingga Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 menjadi Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹
𝑛
𝑛 +1
𝑡
− 2𝐹
3
𝑡 −𝐹
maka ∞
∞
𝑛 Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑛=0
𝑛
𝑛 (𝐹
𝑡 −𝐹
𝑛+1
𝑡 )
𝑛=0
= 0 + 1𝐹
1
− 1𝐹
2
+ 2𝐹
2
+ 3𝐹
= 0 + 𝐹 (1) + 𝐹 (2) + 𝐹 (3) + ⋯ sehingga ∞
𝐸𝑁 𝑡
=
∞
𝑛Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑛=1
𝐹 𝑛=1
L.5
𝑛
𝑡
3
− 3𝐹
4
+⋯
Pembuktian convolution
Lampiran 6.
Jika diketahui 𝑇1 peubah acak berdistribusi 𝑓1 (𝑡) dan 𝑇2 peubah acak berdistribusi 𝑓2 (𝑡), maka peubah 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 berdistribusi (𝑇1 dan 𝑇2 saling bebas) ∞
𝑓1 ∗ 𝑓2 𝑢 =
𝑓1 𝑡 𝑓2 (𝑢 − 𝑡)𝑑𝑡 −∞
Sehingga 𝑢
𝑢
𝐹1 ∗ 𝐹2 𝑢 =
𝑓(𝑣) 𝑑𝑣 = −∞
𝑢
∞
𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑣 − 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 −∞ −∞ 𝑢
∞
=
𝑓2 𝑣 − 𝑡 𝑑𝑣 𝑓1 𝑡 𝑑𝑡 = −∞ −∞
𝐹2 𝑢 − 𝑡 𝑓1 𝑡 𝑑𝑡 −∞
Jika 𝑇1 dan 𝑇2 i.i.d maka 𝑢
𝐹∗𝐹 𝑢 = 𝐹
2
𝑢 =
𝑢
𝐹 𝑢 − 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = −∞
𝐹 𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡) −∞
Untuk 𝑇1 , 𝑇2 dan 𝑇3 i.i.d maka 𝑢
𝐹
3
𝑢 =
𝐹∗𝐹 ∗𝐹 𝑢 = 𝐹
2
𝑢 ∗𝐹 =
𝐹 −∞
Sehingga untuk 𝑇1 , 𝑇2 ,…, 𝑇𝑛 i.i.d maka 𝑥
𝐹
𝑛
𝑢 =
𝐹
𝑛−1
0
disebut n-fold convolution.
L.6
𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡)
2
𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡)
Lampiran 7.
Tentang program esasyfit
Program easyfit adalah program untuk mencocokan data dengan distribusi dan memilih model yang terbaik dalam waktu yang singkat. Program yang dikembangkan oleh MathWave Technologies ini menyediakan total 61 distribusi yang terkenal lengkap dengan nilai-nilai parameternya. Program ini tersedia dalam versi percobaan gratis yang hanya bisa berjalan selama 30 hari di 40 komputer yang berbeda. Sedangkan versi lengkapnya, dapat dimiliki dengan cara membeli. Secara lengkap program easyfit ini dapat dilihat di www.mathwave.com.
L.7
