Miskolci Egyetem
GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR
SODRATSZERKEZET VIZSGÁLATA p-VERZIÓS VÉGESELEM MÓDSZERREL Ph.D. értekezés
KÉSZÍTETTE: Beleznai Róbert okleveles gépészmérnök
SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA GÉPÉSZETI ALAPTUDOMÁNYOK TÉMATERÜLET SZILÁRD TESTEK MECHANIKÁJA TÉMACSOPORT DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: Dr. Tisza Miklós a Műszaki Tudomány Doktora TÉMACSOPORT VEZETŐ: Dr. Kozák Imre az MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: Dr. Páczelt István az MTA rendes tagja TÁRS-TÉMAVEZETŐ: Dr. Tóth László a Műszaki Tudomány Doktora
Miskolc, 2012.
Beleznai Róbert
SODRATSZERKEZET VIZSGÁLATA p-VERZIÓS VÉGESELEM MÓDSZERREL
Doktori (Ph.D.) értekezés
Miskolc, 2012.
Tartalomjegyzék 1. BEVEZETÉS ..................................................................................................................... 1 1.1 Rövid történeti áttekintés ............................................................................................. 7 1.2 Irodalmi áttekintés ........................................................................................................ 8 1.3 Célkitűzések ............................................................................................................... 12 2. P-VERZIÓS VÉGESELEMES MODELL KIDOLGOZÁSA ........................................ 13 2.1 Geometriai leírás {1},{2},{4},{5},{8},{9},{10},{11},{12}..................................... 14 2.2 Alakváltozások, belső erők és nyomatékok (Igénybevételek) {1},{2},{4},{5},{8},{9},{10},{11},{12} ....................................................................... 15 2.3 Az elmozdulás mezők közelítése {1},{2},{4},{5},{8},{9},{10},{11},{12} ............ 17 2.4 Az eredő erők és nyomatékok meghatározása {1},{2},{4},{5},{8},{9} .................. 20 2.5 Kontaktfeltételek leírása {1},{2},{4},{5},{8},{9}.................................................... 23 2.6 Kontaktelem az első és a második réteg között {1},{2},{4},{5},{8},{9} ................ 25 2.7 Kontaktelem a maghuzal és az első réteg között {1},{2},{4},{5},{8},{9} .............. 30 2.8 A végeselemes modell további jellemzői, {1},{2},{4},{5},{8} ............................... 30 3. A RÚDELEM PONTOSSÁGA NÉHÁNY FELADAT MEGOLDÁSÁNÁL ............... 33 3.1 Síkfeladat, kör keresztmetszetű gyűrű ....................................................................... 33 3.2 Térbeli szerkezet, spirális huzalban ébredő igénybevételek meghatározása különböző terhelési esetekben ........................................................................................................... 38 4. KÉTRÉTEGŰ SODRAT VIZSGÁLATA....................................................................... 49 4.1 Egyszerűsített sodratszerkezet nem elforduló véggel, z 0 ................................... 49 4.2 Egyszerűsített sodratszerkezet szabadon elforduló véggel, z 0 ........................... 52 4.3 1+6+12 szerkezetű sodrat vizsgálata.......................................................................... 56 4.3.1 Rögzített végű sodrat húzása ............................................................................... 56 4.3.2 Szabadvégű sodrat húzása ................................................................................... 62 4.3.3 Rögzített végű sodrat hajlítása............................................................................. 68 5. A KIDOLGOZOTT MODELL VALIDÁLÁSA ............................................................. 74 6. TERVEZÉSI GÖRBÉK ELŐÁLLÍTÁSA ...................................................................... 81 6.1 Rögzített végű sodrat, {1},{5},{8} ............................................................................ 81 6.2 Szabadvégű sodrat ...................................................................................................... 82 7. KOPÁSI JELENSÉG VIZSGÁLATA ............................................................................ 86 ii
7.1 Keresztező huzalok kopásának számítása...................................................................... 93 8. A KUTATÁSI EREDMÉNYEK ALKALMAZÁSA.................................................... 100 9. ÖSSZEFOGLALÁS ...................................................................................................... 100 10. ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK ÖSSZEFOGLALÁSA .................................. 101 11. TOVÁBBFEJLESZTÉSI IRÁNYOK, LEHETŐSÉGEK ........................................... 102 SUMMARY ....................................................................................................................... 103 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS ........................................................................................... 104 A. függelék: Pótlólagos állandók alakfüggvény mátrixának elemei ................................. 112 B. függelék: Térbeli spirális huzal rögzített és szabadvégű terhelési eseteire végzett konvergencia igazoló számítások eredményei ................................................................... 115 B.1 Rögzített végű sodrat ............................................................................................... 115 B.1.1 Fz=-200 N terhelés ............................................................................................ 115 B.1.2 Fx=10 N terhelés ............................................................................................... 120 B.2 Szabadvégű sodrat ................................................................................................... 122 B.2.1 Normál irányú megoszló erő ( p1 0.5 N / mm ) terhelés ................................. 122 B.2.2 Normál irányú megoszló nyomaték ( 1 15 Nmm / mm ) terhelés .................. 124 B.2.3 z-irányú megoszló erő ( pz 2.5 N / mm ) terhelés ........................................ 126 C. függelék: Az input adatok definíciója ........................................................................... 128 D. függelék: Numerikus számítások eredményei .............................................................. 130 D1.
1+6+12 szerkezetű sodrat Jiang példája alapján [30] ...................................... 130
D1.1
Rögzített végű sodrat ................................................................................... 130
D1.2
Szabadon elforduló végű sodrat ................................................................... 135
E. függelék: Publikációk az értekezés témájában .............................................................. 140 HIVATKOZÁSOK ............................................................................................................ 142
iii
Témavezető ajánlása
Beleznai Róbert „Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel” című Ph.D. értekezéséhez
A mindennapos mérnöki gyakorlat megköveteli, hogy a bonyolult felépítésű szerkezetek mechanikai viselkedéséről minél jobb modellek álljanak rendelkezésre. A sodratszerkezetek is ezek közé tartoznak. Számos munka foglalkozik ezek elméleti, numerikus és kísérleti vizsgálatával. Az értekezés a modellezés azon útját választja, amikor is a sodratot alkotó szálakat görberúd elmélettel írja le és a szálak közötti érintkezési kölcsönhatást a helyi jelleg miatt a jól ismert Hertz elmélet segítségével. Mivel a szálak között súrlódás is van, súrlódásos kontaktot kell megoldani. A megbízható eredményekhez a kontaktnyomás (erő) pontos ismerete szükséges. E miatt, egyrészt a görberudak nagypontosságú leírására van szükség, másrészt az érintkezési nemlineáris hatást megbízhatóan le kell tudni kezelni. A görberudak- nyírási energia elhanyagolása mellett - a Love elmélettel írhatók le, a végeselemes közelítésnél a p-verziójú lehetőséggel él a disszertáció. A geometria leírása pontos, a közelített mezőknél a merevtestszerű mozgásból alakváltozások nem származnak, az elmozdulás mezők és az érintőirányú szögelfordulás (csavarodás) közelítése pótlólagos állandók felvételével az elemszámot nem növelve, kényelmesen pontosíthatók. E munka során ezzel kapcsolatban egy teljesen új modell került kiépítésre. A másik jelentős eredmény a nemlineáris kontakthatást kezelő iterációs algoritmus megalkotása, a konvergenciát adó linearizált rugó használatának lehetősége. Ezekkel a jelölt a görberudak végeselemes tárgyalásához, az érintkezési problémák megoldásához tudott eredményeivel nem kis mértékben hozzájárulni. A munkájának fontos része továbbá a paramétervizsgálathoz szükséges számítógépi program megalkotása, az adatok grafikus felületen történő megadásának lehetősége, az adatok birtokában az elemek kiosztásának automatizálása. (A sodratszerkezet végeselemes modellje három fajta elemmel működik: görberudak, a mag és az első szál közötti érintkezési elemek, a belső és külső réteg közötti érintkezési rugó elemek). Végezetül a paramétervizsgálatok és a kopási számítások fontos információt adnak a tervezőknek a sodrat jövőbeli viselkedését illetően. Az értekezéshez kapcsolódóan Beleznai Róbert nagy szorgalommal, energiával és körültekintéssel végezte munkáját. Eredményeiről rendszeresen beszámolt különböző hazai és nemzetközi fórumokon eleget téve a Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori iv
Iskola publikációs követelményeinek. Elvégzett számításai, azok bemutatása a kidolgozott elvek helyességét bizonyítják, meggyőzően alátámasztják. Az értekezés gondos munkát tükröz, szövegezése jól érthető, ábrái a mondanivalójának megértését nagyban elősegítik, tézisei a PhD cím elnyeréséhez szükséges kívánalmakat messzemenően kielégítik.
Miskolc, 2012. 10. 03.
Dr. Páczelt István akadémikus
Dr. Tóth László a műszaki tudomány doktora
v
Előszó Az értekezés témája egy különlegesnek mondható szerkezet elemzésére épül, ami nem más, mint az acélsodratok. Ezek a szerkezetek jelen vannak a mindennapjainkban, otthon a háztartásban, a közlekedésben és az ipari alkalmazásokban. Gondoljuk végig, mennyi helyen találkozhatunk velük – kerti gépek (fűnyíró, kerti traktor bowdenje), kondicionáló gépek mozgató elemei, a közlekedésben szinte valamennyi járműben (autók, motorkerékpárok, hajók, stb.), villamos vezetékek, hidak tartókötelei, magas szerkezetek pányvázó kötelei, kötélpályák és felvonók kötelei, daruszerkezetek emelőkötelei, de alkalmazzák erősítő elemnek gumiipari szerkezetekben (olajtömlő), vagy pusztán dekorációs és biztonságtechnikai elemként (korlátok). A szerkezet nem egy új keletű dolog, már évezredes múlttal rendelkezik, igaz akkor még nem acélból készült. Először majd két száz éve jelent meg az első acélsodrat, majd rohamos fejlődésnek indult mind a gyártástechnológia fejlesztése, mind a kölönböző szerkezeti kialakítások fejlődése, akárcsak az elterjedése. Ennek a gyors és széleskörű elterjedésnek az alapját a szerkezethez kapcsolódó méretezési és számítási eljárások teremtették még. Elterjedése, ahhoz köthető, hogy kiváltott más szerkezeti elemeket, a munkát (pl. szállítás) sokkal hatékonyabbá tette. Egyrészt biztonsági (szilárdsági követelmények), másrészt gazdasági szempontok ösztönözték a sodratok és drótkötelek méretezési eljárásainak fejlesztését. Kezdetben kísérleti mérésekkel, majd különféle analitikus modellekkel igyekeztek olyan sodratokat előállítani, amelyek mind jobban megfeleljenek az egyre növekvő igényeknek. Néhány évtizeddel ezelőtt pedig megjelentek a numerikus módszerek (pl. végeselem módszer), mely újabb lökést adott a fejlesztésnek. Az értekezés ezen a vonalon halad tovább és igyekszik korszerű módszert adni a sodratszerkezetek elemzésére, ami megkönnyíti a sodartok fejlesztési munkáját. A bevezetés után áttekintést ad a sodratok történeti fejlődéséről, majd összefoglalóan tárgyalja az adott területre vonatkozó technika állását. Ezt követően bemutatásra kerül egy új típusú, p-verziós végeselemes modell kidolgozása, melyet később a sodratok analízisére fogunk használni. A kidolgozott modell megfelelőségének és pontosságának bizonyítására különböző feladatok megoldását mutatjuk be nagy hangsúlyt fektetve az eredmények konvergenciájára. Az értekezés negyedik fejezetében kétrétegű sodratszerkezetek vizsgálatát tárgyaljuk rögzített és szabadvégű megfogással, húzó és hajlító igénybevétel esetén. Ezt követően irodalomból vett példák megoldásával igazoljuk a kidolgozott modell alkalmazhatóságát és megfelelőségét. A disszertáció hatodik fejezete újszerűnek mondható, 3D-s tervezési görbéket tartalmaz rögzített és szabadvégű sodratokra vonatkozóan. Ezek egyszerre több paraméter hatását figyelembevéve nyújtanak segítséget a sodrattervezés során. Végül pedig, de nem utolsó sorban a sodratok keresztező huzaljai között fellépő kopás jelenségét elemezzük, hogy adott paraméterek (kontakt nyomás, relatív elmozdulás) mellett, hogyan változik a kopási karc mélysége az üzemelési ciklusszám függvényében. Az értekezés különböző fejezeteiben bemutatott eredményekhez nagyszámú számítás elvégzésére került sor, ehhez kapcsolódóan a Függelék tartalmaz további diagramokat és táblázatokat.
vi
Alkalmazott jelölések
= a hengerkoordináta-rendszer szöge
A
= a keresztmetszet
R0
= a hengerfelület sugara
I p = a poláris másodrendű nyomaték
H
= a huzal menetemelkedése
E = a Young-féle rugalmassági modulus
t
= az érintő irányú egységvektor
G = a csúsztató rugalmassági modulus
b
= a binormális irányú egységvektor
ˆ ( ) = Φ( ) , Φ
n
= a normális irányú egységvektor
a = az elmozdulás paraméterek vektora
az approximációs mátrixok
= a menetemelkedési szög
ˆ = a pótlólagos állandók vektora a
= a görbület
,B = B q a
az alakváltozásokhoz szükséges approximációs mátrixok
u x ,u y ,u z
( u1 ,u2 ,u3 ) = az elmozdulás koordináták a globál- (lokál) koordinátarendszerben
x , y , z
( 1 , 2 , 3 ) = a szögelfordulás koordináták a globál- (lokál) koordinátarendszerben
= az egységnyi hosszra eső elcsavarodás L
= a Lame-állandó
Fz =
a tengelyirányú erő
M z = a csavaró nyomaték K11 ,K12 ,K 21 ,K 22 =
T0
a merevségi mátrix elemei
= a transzformációs mátrix
I1 ,I 2
u u z / z = tengelyirányú nyúlás = a keresztmetszet 1-es és 2-es zz = egységnyi hosszra eső tengelyére számított másodrendű zz z / z nyomatéka szögelfordulás
vii
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
1. BEVEZETÉS A műszaki gyakorlatban számos helyen használnak fel különböző tulajdonságot mutató, terhet viselő sodratszerkezeteket. A sodratok elemi szálakból, huzalokból sodort gépelemek, melyek anyaga lehet kender, műanyag, illetve fém, ami leggyakrabban acél vagy alumínium. A sodratokat tovább sodorva drótkötelet, ezt tovább sodorva kábelt kapunk. A drótkötelek magja lehet rost vagy műanyag, nagy teherbírású kötél esetén fémsodrat. A nagyfeszültségű távvezetékek esetén például acél magsodratra sodornak több rétegben alumínium huzalokat. A sodratok jellemzője a nagy tengelyirányú szilárdság mellett a kiváló hajlékonyság, az alacsony csavaró és hajlító merevség. Ilyen sodratok kerülnek alkalmazásra a felvonóknál, a szállítóberendezéseknél, a teheremelő daruknál, a villamos távvezetékeknél, közlekedési eszközökben (autók, motorok, stb.), illetve erősítő elemként beépítésre kerülnek nagynyomású olajipari tömlőkbe (1. ábra).
1. ábra: Sodratok ipari alkalmazása Az acélsodratok gyártására vonatkozó szabványok előírásai mind hazai, mind nemzetközi viszonylatban olyan tevékenység intervallumokat adnak meg a gyártás során részben a felhasználásra kerülő huzalok méreteire vonatkozóan, részben a menetemelkedés tekintetében, melyek ugyanazon típusú és névleges méretű acélsodratnál valójában igen eltérő, végső paraméterekkel rendelkező acélsodrat termékeket eredményeznek. Így előfordulhat, hogy ugyanazon gyártási megrendelésre a gyártó a vevő felé eltérő műszaki paraméterekkel rendelkező sodratokat szállít. Ez a felhasználások bizonyos részében nem okoz gondot - pl. az általános rendeltetésű acélsodratoknál - míg más részénél - mint pl. gumiipari acélsodratok - súlyos gondok adódhatnak az alkalmazásnál. A fentiek alapján szükséges tehát, hogy bizonyos acélsodrat termék csoportoknál olyan sodratgeometriával rendelkező termékek kerüljenek kifejlesztésre és legyártásra, melyek a felhasználói igényekhez jobban igazodnak, azaz olyan (optimális) sodrási paraméterekkel rendelkeznek (huzalátmérő, menetemelkedési szög), melyek az adott célra a legjobb végső műszaki paramétereket eredményezik az acélsodratnál.
1
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Alapfogalmak a drótkötelekkel kapcsolatban A drótkötél felépítése [1] A fogalmak mellé szemléletes segítséget nyújt az 2. ábra. Acélhuzal: Hőkezelt és hideghúzással megfelelő méretre alakított, belső és felületi hibáktól mentes acélhuzal. Sodrat (Pászma): Egyirányú, szabályos elrendezésű, egyszer sodrott huzalnyaláb, amelyben a huzalok egy vagy több rétegben koncentrikusan helyezkednek el, szűkebb értelemben, a kötélben a középen lévő betét (mag) köré sodort huzalok. Betét Kötélbetét: a drótkötél közepén elhelyezkedő szerkezeti elem, amely lehet sodrat, vagy önálló kötél. Anyagát tekintve lehet fémes vagy nemfémes anyag. Sodratbetét: A sodrat közepén elhelyezkedő szerkezeti elem (mag) általában acélhuzal, de lehet nemfémes anyag is. Drótkötél: Több acélhuzalból, egyenlő vagy különböző átmérőjű huzalokból sodrott fonatoknak (sodratoknak) egy központi betét köré sodrott fonata.
2. ábra: Drótkötél felépítése [1]
A sodratok, illetve kötelek viselkedését befolyásoló tényezők [2]:
A maghuzal (magsodrat) típusa Az anyagminőség A huzalok (sodratok) száma és elrendezése a sodratban (kötélben)
A sodrat (kötél) típusának további jellemzői
A sodrás iránya A menetemelkedés nagysága A kötél sodrásának módja
2
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Az anyagminőség befolyásoló szerepe A beépítésre kerülő huzalok anyaga szerint, lehet Horganyzott acélhuzal Sárgarezezett acélhuzal Al-huzal nagyfeszültségű vezetékekhez A huzalok elrendezése szerint többfajta csoportosítás lehetséges. A huzalok (kötelek) sodrási iránya szerint [1] lehet: jobb sodrású bal sodrású A kötelek sodrásszerkezete szerint:
egyszer sodrott kötelek: egy központi maghuzal köré egy (3. ábra), vagy több (4. ábra) réteg huzal van sodorva. Több réteg esetében váltakozó irányú a sodrás és a külső réteg a meghatározó
kétszer sodrott kötelek: egy központi betét köré egy, vagy több réteg egyszer sodrott pászma van sodorva (5. ábra)
háromszor sodrott kötél: egy központi betét köré kétszersodrott kötelet sodornak
3. ábra Egyrétegű, egyszer sodrott pászma
4. ábra Többrétegű, egyszer sodrott pászma
3
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
Jobb keresztsodrás Bal keresztsodrás
Jobb hosszsodrás Bal hosszsodrás
5. ábra : Kétszer sodrott kötelek
A külső rétegben elhelyezkedő huzalok szerkezete szerint [3] a. Egyrétegű (6. ábra)
6. ábra: 1+6 huzalos sodrat b. Többrétegű Az érintkezés típusa szerint: Pontérintkezésű sodratok: a sodratok egyes rétegei mind más-más menetemelkedésűek, így a sodraton belül az egyes rétegek huzaljai pontszerűen érintik egymást (7. ábra). A pontszerű érintkezés a terhelés hatására egyrészt nyírást ébreszt, másrészt a pontszerű érintkezési helyeken másodlagos (hajlító) igénybevételek ébrednek.
4
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
7. ábra: Pontszerű érintkezésű sodrat Vonalérintkezésű sodratok: Ezekben a sodratokban a huzalok teljes hosszukban, palástjuk egy vonala mentén fekszenek fel egymáson, mindezt azonban csak különböző átmérőjű huzalok egyidejű alkalmazásával lehet elérni (8. ábra). A huzalok elrendezése alapján különböző sodratszerkezetek kerültek forgalomba, melyekről rövid áttekintetést a 9. ábra nyújt.
8. ábra: Vonalérintkezésű sodrat Vonalérintkezésű sodratok jellemző típusai
Seale típusú sodrat
Warrington típusú sodrat
Töltőhuzalos kivitelű sodrat
Warrington-Seale típusú sodrat
9. ábra: Vonalérintkezésű sodratok típusai 5
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Vegyes érintkezésű sodratok Az előzőkben felsorolt sodrat típusok kombinációjából képezhető szerkezet (10. ábra).
10. ábra: Vegyes érintkezésű sodrat Mint látható, a sodratok szerkezete igen sokfajta lehet. Egy-egy alkalmazáshoz a legmegfelelőbb sodrat kiválasztása vagy megtervezése a sodratparaméterek mechanikai viselkedésre való hatásának ismeretét követeli meg. Sodratok analitikus modellezésével, különböző elméletekre támaszkodva (Love görbült rudak elmélete, ortotróp lemezelmélet, stb.) már többen is foglalkoztak. Az egészen egyszerű szerkezettől a bonyolult kötél szerkezetig szinte minden sodratra dolgoztak ki különböző modelleket. Ezek a globális viszonyokat, teherbírást és igénybevételeket többékevésbé jól leírják, azonban a nemlineáris hatások (kontakt deformáció, súrlódás, kopás, stb.) figyelembevétele rendkívűl bonyolult összefüggéseket eredményez, és minden hatást nem is lehet leírni zárt formulákkal. A kereskedelemben kapható h-verziós végeselemes szoftverek már több kutató által is alkalmazásra kerültek sodratszerkezetek analízisében (irodalmi hivatkozásokat lásd az 1.2 fejezetben), amikor is különféle szerkezetű sodrat típusok mechanikai elemzését végezték el. A megfelelően precíz modell felépítése egy adott szerkezetre több tényezőtől is függ: az egyik a szerkezetek geometriai leírása, a másik a különféle lineáris és nemlineáris hatások figyelembevétele. A modellfelépítést az is nehezíti, hogy egy egyszerű szerkezet esetében is nagy elemszámra van szükség, ami nagy számítógépi erőforrást és hosszú számítási időt igényel. A minél pontosabb modell azért szükséges, mert a sodratok mechanikai viselkedésének ismerete már a tervezés fázisában döntő szerepet kap. A szilárdsági paraméterek meghatározása mellett, a kopási tulajdonságok, illetve élettartam jellemzők ismerete is fontos tényezőként jelenik meg a fejlesztés alatt lévő sodrat tervezésében. Az irodalomban található analitikus és végeselemes modellekről átfogó és részletes képet az 1.2 fejezet ad. Jelen értekezésben a p-verziós végeselem módszerre alapozott modell és szoftver fejlesztéséről számolunk be egyszerű, egyenes, kétrétegű sodratszerkezet esetében, amelyben a huzalok közötti relatív elmozdulás, Poisson-féle hatás, érintkezés és súrlódás figyelembe van véve, továbbá a szerkezetet terhelő igénybevételek (húzás, hajlítás, csavarás) tetszőlegesek, a számítások során pedig lineárisan rugalmas anyagtörvényt alkalmazunk. Az új szoftver segítségével viszonylag rövid idő alatt, nagyobb számítógépi kapacitás nélkül végezhetőek el a számítások. Az értekezés tartalmazza a sodratparaméterek érzékenység vizsgálatához elvégzett nagyszámú számításnak az eredményét. Ez alapján tervezési görbék kidolgozására került sor, melyek a sodrat kiválasztást, illetve a tervezést segíthetik. A károsodási módszerek közül a huzalok kopását 6
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel vizsgáljuk. Végeselemes modell és az Archard kopási-egyenlet segítségével meghatározható a kopási mélység nagysága a relatív elmozdulás, a kontakterő és a ciklusszám függvényében.
1.1 Rövid történeti áttekintés A szálas anyagok sodrása évezredes múltra tekint vissza. Rostszálakból sodort kötelet már nagyon régóta használnak az iparban, a mezőgazdaságban és a hajózásban egyaránt. A Pompeji ásatások alkalmával talált kötél lehet az első fémből készült drótkötél. Ez egy 4,5 m hosszú, három sodratból álló bronzkötél, amelynek sodratait 19 darab, 0,7 mm átmérőjű huzal alkotja [1]. Szerkezeti elemként i.e. 700-ban, Babilonban is használtak az emberek rézből készült kötelet [4]. Ez azonban igen egyszerű szerkezetű volt, hiszen mindössze 3 huzalból állt. A kutatások alapján a középkorban is készítettek fémből készült köteleket, erre bizonyíték Leonardo da Vinci rajza [1]. Ténylegesen először 1836-ban Németországban, a Harz-hegységben található bányákban alkalmaztak acélból készült kábeleket [5]-[6]. A bányák növekvő mélysége és a gyakori kötélszakadások késztették Albert bányafőtanácsost (ő publikálta az első kifáradással foglalkozó cikket 1837-ben), hogy új, biztonságos kötelet tervezzen. Az első köteleket még kézzel sodorták nehéz fizikai munkával, így ez nem volt termelékeny. Három kovácsoltvas huzalból sodortak pászmát kézzel, majd 3-4 ilyen pászmát sodortak tovább kötélnek. A kötél nem tartalmazott magot, ami támaszthatta volna a sodratokat, és a huzalok is nagyok és merevek voltak, így a kötél nem volt elég hajlékony, azonban ennek ellenére is jobbnak bizonyult, mint a lánc vagy kenderkötél [6]. Később kifejlesztették az első sodrógépet, amely nagyban megnövelte a termelékenységet, és ezzel az acélból készült kötelek felhasznált mennyiségét. Németországból kiindulva, először Angliában indult be a kötélgyártás, majd később az USA-ban. Az ottani bányászat és szállítmányozás, beleértve a vasutat, nagy felvevő piacot jelentett az új szerkezetnek, és kiváltotta az addig használt kenderkötelet. Az első kötélsodrógép Robert Newall nevéhez fűződik. Roebling az Alberttől tanult technika alapján kézzel sodorta a köteleket, azonban alkalmazta Smith technikáját is, miszerint a kötél hat külső és egy magsodratot tartalmazott, egy sodrat pedig 19 huzalból állt. Később vizsgálta a gyártási eljárás hatását, ugyanis a kézzel gyártott kötelek hatszögletűek voltak, míg a géppel gyártott kötél sokkal kerekebb formájú. Később ő javasolta az ún. háromméretű konstrukciót, azaz a sodratokat három különböző átmérőjű huzalból állították elő (ez a mostani Warrington típusnak megfelelő sodrat). Azonban eredményeit nem védette le, így ez a sodrat típus Warrington nevéhez kötődik, aki csak később foglalkozott ezzel a konstrukcióval. A San Francisco-i kábel kocsinál alkalmazott kötelek tönkrementele járult hozzá a kötelek további fejlesztéséhez. Hallidie háromszög alakú sodratot fejlesztett ki, amely igen kedvező eredményeket mutatott, azonban gyártása nagyon költséges volt. Később Seale átdolgozta a három-méretű sodrat konstrukciót, oly módon, hogy a huzalok elrendezését változtatta meg. Szabadalma alapján (#315,077 April 7, 1885) ezt nevezzük a Seale típusú sodratnak (9. ábra). Ennek a külső rétegében helyezkednek el a nagyobb átmérőjű huzalok, így a sodrat megtartja hajlékonyságát, ám ugyanakkor növekszik a kopásállósága. Nála jelent meg először egy olyan konstrukció, mely megoldást jelentett a belső keresztező szálak kopására. A Seale sodrat azonban a jó kopásállóság mellett, kevésbé hajlékony és kifáradásálló. James B. Stone vizsgálatokat végzett, mely alapján négy-méretű sodratot javasolt a háromméretű helyett, mely így jobb kitöltési tényezőt és koncentrikusságot eredményez. A negyedik huzalméret kis huzalátmérőt jelent. Ez a konstrukció a töltőhuzalos sodrat (8. 7
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel ábra), ahol a töltőhuzalok szerepe a rugalmas csillapítás. Ez alapján a 19 szálas sodrat kiegészült 6 töltőhuzallal, és így lett 25 szálas sodrat. Találmányát szabadalom védi (#416, 189 December 3, 1889). Mindezek alapján elmondhatjuk, hogy a sodratok fejlődésének előremozdítója az amerikai szállítmányozás és közlekedés volt. Azóta felhasználási körük jelentősen kibővült, megtaláljuk őket a mindennapi használatban éppúgy, mint például a hidak szerkezeti elemeként vagy olajipari tömlők erősítő anyagaként.
1.2 Irodalmi áttekintés Az irodalomban fellelhető kutatásoknál két irányvonalat különböztethetünk meg: analitikus és végeselemes modellek. Az analitikus modellek tanulmányozása alapján az állapítható meg, hogy ezek a modellek általában elhanyagolják a nemlineáris hatásokat, mint a súrlódást és a kontaktot (érintkezést). Az egyik legjelentősebb kutató a sodratok területén G. A. Costello, aki igen behatóan tanulmányozta a különböző sodratszerkezeteket hosszú éveken keresztül. Analitikus modellt dolgozott ki a különféle terhelési esetekre, mint az axiális igénybevétel (húzás+csavarás) és a hajlítás [4]. Főleg az egyszerűbb sodratokra fektette a nagyobb hangsúlyt, de az összetettebb szerkezetekkel is foglalkozott, mint a 6x25 töltőhuzalos IWRC kötél [7]. A kontaktot általában elhanyagolja, de lehetőséget ad a kontaktfeszültség meghatározására a Hertz-elmélet alapján. A kontaktdeformációt, az érintkező testek közeledését és a súrlódást elhanyagolja, figyelembe veszi a Poisson-hatást. A globális mechanikai jellemzők meghatározására Love görbült rudak nemlineáris egyenletrendszere alapján dolgozott ki elméletet, melyet a világon bárhol elfogadnak, és hivatkoznak [4],[7],[8],[9]. Velinsky a Costello által kidolgozott elméletet linearizálta, és fejlesztette tovább a bonyolult szerkezetű, többrétegű kötélszerkezetekre [10]. Azonban a nagy huzalés rétegszám bonyolult összefüggéseket eredményezett, ezért a súrlódást és a huzalok érintkezését elhanyagolta, míg a Poisson-hatást, a hajlító merevséget és a duplagörbültséget figyelembe vette. A sodratokban a rétegek számának növelése csökkenti az axiális merevséget és növeli az adott nyúláshoz tartozó csavaró nyomaték nagyságát, ezáltal a sodrat egyre hajlamosabb lesz a kibomlásra. Kötélbe építve a sodratot az axiális merevség tovább csökken. ZZ rendszerű, azaz egyirányba sodort köteleknél nagyobb csavaró nyomaték ébred és kisebb az axiális merevségük, mint a keresztsodrású köteleknek. Ramsey [11] Costello elméletéhez hasonlóan figyelembe veszi a Poissonhatást, a huzalokban fellépő súrlódás okozta hajlítást és a huzalok elfordulását. A különbség a két elmélet között, hogy az N2 nyíróerő komponenst Costello a mezőegyenletek alapján, míg Ramsey a peremfeltélelek alapján határozta meg. Vizsgálta a súrlódóerő változását a menetemelkedési szög függvényében [12]. Általánosságban elmondható, hogy egyszerűbb szerkezetű sodratok esetén a nemlineáris hatások közül általában a huzalok érintkezését a kutatók figyelembe veszik [7],[9],[13],[14],[15],[16], a súrlódást pedig elhanyagolják, azonban összetettebb szerkezetek esetén a nemlineáris hatásokat mind inkább elhanyagolják. A súrlódás elhanyagolása a globális viselkedés szempontjából elfogadható, mert hatása nem számottevő. Figyelembevétele a lokális viszonyok elemzése során fontos. A [13],[16] cikkekben a súrlódást figyelembe veszik, a [18],[19]-ben kifáradási vizsgálatot, a [19]-ben pedig kopás vizsgálatot is végeznek. Lanteigne [13] például acélmagos, alumínium 8
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel távvezeték sodratot elemez a kontakt figyelembevételével axiális és hajlító igénybevétel esetén, azonban a súrlódást és a relatív elmozdulást nem veszi figyelembe. Prakash [15] Costello elmélete alapján vizsgált három huzalból álló sodratot. A szerkezet egyszerűsége ellenére elhanyagolta a kontaktot és a súrlódást, azonban meghatározta a hajlítási merevséget nyomóterhelés esetére, valamint a hőmérsékletváltozás hatására bekövetkező kihajlást. Giglio és Manes [18] 1+6 magsodrat szerkezetű és 6 db 7 szálas sodratból álló szerkezetet vizsgált, a kontaktot és súrlódást elhanyagolva, húzás-hajlítás-kifáradás igénybevétellel, kis elmozdulás és kis alakváltozás feltételezésével. Az elméletüket mérési adatokkal verifikálták. Elvégezték a kötél hajlítási kifáradási vizsgálatát és Wöhler-görbét vettek fel. D. Elata és társai [17] tetszőleges kötél axiális igénybevételére dolgoztak ki analitikus modellt a kontakt elhanyagolásával (6x36 IWRC kötelet és 18x7 IWRC forgásmentes kötelet elemeztek). Kétfajta súrlódási esetet különböztet meg: súrlódásnélküli és végtelen nagyságú súrlódás esete. Rugalmas alakváltozást feltételez, figyelembe veszi a duplaspirálitást és a relatív elmozdulást, meghatározza a kontakterőket, azonban elhanyagolja a huzalok hajlító és csavaró merevségét és a Poisson-hatást. Kísérleti mérésekkel igazolta elmélete helyességét, illetve összehasonlította a Costello-elmélet alapján kapott értékekkel, és viszonylag jó egyezést kapott. Sodratok és kötelek geometriai leírásával foglalkozott Wang [20], figyelembevéve a duplaspiralitást, a Poisson-hatást huzal és sodrat szinten és a menetemelkedési szög megváltozását. Leissa, Strakey és Cress [21] voltak az elsők, akik felfedezték a kontaktfeszültségek jelentőségét, 1959-ben. Kumar and Cochran [21] Costello elméletét alapul véve levezette az összefüggéseket az effektív merevségi tényező meghatározásához rögzített és szabadvégű sodratokra, valamint meghatározta a forgásmentes kötél menetemelkedési szögének kiszámításához szükséges egyenletet, és erre vonatkozóan tevezési görbét is előállított. Kumar and Botsis [16] analitikus modelljével szintén n rétegű sodratot lehet elemezni axiális igénybevétel esetén, azonban ők kidolgozták a vonalmenti érintkezés esetén a kontaktfeszültség számítását is a Hertz-elmélet alapján. Számításaikat mérésekkel verifikálták, valamint paraméter vizsgálatot végeztek a menetemelkedési szögre azonos és ellentétes irányú menetemelkedés esetén. A számítások kimutatták, hogy a kontaktfeszültség vonalérintkezés esetén a maghuzalhoz közelebbi belső rétegekben a legnagyobb, kifelé haladva csökken, valamint, hogy a kontaktfeszültség arányos a merevségi modulus négyzetgyökével a maghuzal és az első réteg között, míg az első és második réteg között az arányossági tényező E2/3(ahol E - rugalmassági modulus). Az első és második réteg közötti pontérintkezés esetén természetesen itt lesz nagyobb a kontaktfeszültség. További következtetés, hogy a sodratok élettartama szempontjából a nagyobb menetemelkedési szög a kedvezőbb, mivel így kisebbek lesznek a kontaktfeszültségek, azonban vannak olyan alkalmazási területek, ahol az alacsonyabb menetemelkedési szögek ajánlottak. A Love görbült rudak elmélete mellett egy másik meghatározó elmélet is alkalmazásra került a sodratok esetén. Ez az ortotróp lemezelmélet, amivel Raoof és Kraincanic munkái [14],[22],[23],[24],[25],[26] során találkozhatunk. Az általuk kidolgozott összefüggések a lemezelmélet miatt, csak akkor adnak megfelelő pontosságú eredményt, ha az adott rétegben nagyszámú huzal található. A kidolgozott modellel többrétegű (akár 11 rétegű) sodratok elemzése is lehetséges a kontakt és a súrlódás figyelembevételével nemlineáris esetben, lineáris esetben viszont elhanyagolja a súrlódást. Az igénybevétel húzás-csavarás, meghatározza a helyreállítási hosszt (recovery length), valamint tervezési görbét állít elő a helyreállítási hosszra. A kontaktot nemcsak a rétegek között, de egy azonos rétegen belüli huzalok között is figyelembe veszi [14],[22]. Meghatározza a sodrat merevségek alsó és felső határértékét különböző átmérőjű és menetemelkedésű sodratokra súrlódás nélküli és 9
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel végtelen súrlódás esetén [23]. A [24]-ben meghatározza a disszipált energia függését a menetemelkedési szögtől axiális igénybevétel esetén. A menetemelkedési szög már igen kismértékű változtatása is jelentős hatással van a disszipálódott energia nagyságára. Csökkentve a menetemelkedési szöget a disszipációs energia is csökken, azonban csökken az axiális merevség és az axiális kifáradási határ is. Meghatározta az axiális merevség terhelés függését [22]. A tengelyirányú terhelésen kívűl vizsgálta a hajlítás és a kifáradás igénybevételeket is, elemzi a hajlítás hatását a befogásnál. Azt a következtetést lehet levonni, hogy a kötelek csak kicsit hajlékonyabbak a sodratoknál axiális terhelés esetén, azonban jóval hajlékonyabbak hajlítás esetén. A kifáradási élettartamra jelentősen befolyással van a kontakt deformáció, a normál irányú terhelés és a relatív elmozdulás nagysága, ezért ezeket a számítások során erősen ajánlott figyelembe venni. Vizsgálja az axiális terhelés hatását a tengelyirányú kifáradási határra [25]. A növekvő axiális terhelés növeli az axiális kifáradási határt. Zárt külső profilú kötélszerkezetek merevségének meghatározásával is foglalkozott [26]. Ezek korrózióálló helyeken kerülnek beépítésre. A huzalok közötti kontakterőt és deformációt figyelembevéve számításokkal kimutatta, hogy a zárt konstrukció nem okoz jelentős szilárdságcsökkenést a szerkezetben, és ráadásul a kopással szemben még ellenállóbb is. Ha rövid időn belül van szükség előzetes eredményekre, akkor az analitikus modellek jól alkalmazhatók még bonyolult sodratszerkezetek esetén is, amelyek több rétegben nagyszámú huzalt tartalmaznak, mivel a nemlineáris hatásokat nem veszik figyelembe. Amennyiben pontosabb eredményekre van szükségünk, akkor végeselemes számítást kell végezni. A végeselemes számítások lehetőséget nyújtanak a szerkezetek pontos geometriai leírására, a mechanikai és egyéb igénybevételek vizsgálatára és a nemlineáris hatások figyelembevételére. Tekintsük most át az irodalomban fellelhető végeselemes módszeren alapuló modelleket. Az áttanulmányozott irodalom alapján a kutatók a h-verziós végeselemes módszert alkalmazzák, általában lineáris, 8 csomópontú hexagonális elemekkel. A számítások során rugalmas-képlékeny anyagmodellt használnak, figyelembe veszik a súrlódást és a kontaktot. A számítási idő csökkentése végett kihasználják a szimmetria viszonyokat és szektor-szimmetrikus modelleket alkalmaznak. Az egyik legjelentősebb alkotó ezen a területen W. G. Jiang és társai. Egy[27],[28],[29] és kétrétegű [30] sodratokat modelleztek, figyelembe veszik a kontaktot és a súrlódást minden réteg között (vonal és pontérintkezés), sőt még az azonos rétegben lévő huzalok között is [29]. Axiális terhelés esetén vizsgálja a rögzített és a szabadvégű sodratokat is. Taktak [32] mindössze egy huzalt vizsgált tetszőleges terhelés esetén, így kontakt nincs a modellezésben, azonban egy új elméletet dolgozott ki, melyben alkalmazza a St. Venant-elvet és a Timoshenko-elméletet, és figyelembe veszi a nyírási alakváltozást. Egyrétegű sodratra fejlesztett ki végeselemes modellt Nawrocki [5],[33], ahol figyelembe vette a huzalok érintkezését és a relatív elmozdulások kölünböző típusát, azonban a kontaktdeformációt és a súrlódást elhanyagolta. Az igénybevétel axiális és hajlító terhelés, utóbbi esetén vizsgálta annak hatását a befogás környezetében. Az elemzések alapján az a következtetés vonható le, hogy axiális terhelés esetén a meghatározó relatív elmozdulás az elfordulás (pivoting), míg hajlítás esetén a csúszás. A számításokat rögzített és szabadvégű sodratokra is elvégezte, az eredményt pedig Utting és Jones [34],[35] munkái alapján verifikálta. Összehasonlítást végzett Machida és Durelli, valamint Costello elmélete alapján, azonban elég nagy eltérés adódott az analitikus modellekhez képest. A súrlódást figyelembevéve igazolta, hogy hatása nem jelentős a huzal feszültség állapotára nézve, (kevesebb, mint 1%). 10
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Chiang [36] 1+6 szerkezetű sodrat esetén hat paraméter vizsgálatát végezte el (maghuzal sugara, külső huzal sugara, menetemelkedési szög, peremfeltétel, sodrathossz és kontaktfeltétel). Elemezte a menetemelkedési szög és a peremfeltételelek kölcsönhatását. Szerinte a külső huzalokban ébred a nagyobb feszültség, azonban ez ellentmond a korábbi tapasztalatoknak. A vizsgálatok alapján a következő következtetéseket vonta le: a nagyobb huzalátmérő növeli a merevséget és csökkenti a feszültséget; a maghuzal átmérő változása jelentősebb, mint a külső huzalé. A súrlódás csökkenti a feszültséget és növeli a merevséget a befogásnál, azonban a sodrat közepén ellentétes hatást vált ki. A szabadvégű sodratok esetén a nagyobb sodrási szög csökkenti a merevséget. Beleznai és társai h-verziós végeselemes modellt dolgoztak ki egyszerű, egyrétegű sodratok elemzésére, mérési eredmények validálásával [37],[38]. Ghoreishi és társai [39],[40],[41] munkássága szintén jelentős. Tanulmányozták az analitikus modelleket, kiváló összefoglalást készítettek róluk és meghatározták az érvényességi tartományukat. A rostszálas kötelekre nemlineáris kontinuum modellt dolgoztak ki, melyet később felhasználtak az 1+6 szerkezetű sodratok végeselemes modellezése során. A huzalok modellezése a Kirchoff-Love rúdelmélet alapján történt, lineárisan rugalmas, homogén, izotróp anyag, kis alakváltozás és kis elmozdulás, valamint statikus terhelés feltételezésével. Ez a modell az acélsodratokhoz is alkalmazható. Számításaikat az irodalomban található analitikus modellekkel és mérési eredményekkel is összevetették. Az axiális merevség esetén igen jó egyezés tapasztalható, míg a csavaró merevségben jelentős eltérések vannak a különböző modellek között [41]. Ghoreishi a számításokat különböző menetemelkedésű sodratokon végezte el, és arra a következtetésre jutott, hogy az analitikus modellek 20°-os menetemelkedési szög értékig viszonylag pontosak, azonban e felett már 3D-s végeselemes modell alkalmazása szükséges. A számítások során a huzalok érintkezését figyelembeveszi, azonban eredményt nem közöl, mindössze annyit, hogy a sodrat globális mechanikai viselkedésére nincs jelentős hatással, akárcsak a súrlódás. Kötélszerkezet vizsgálatát végezték el Jun és társai [42] végeselemes szoftver segítségével. A szerkezet bonyolultsága miatt a súrlódást és az érintkezést elhanyagolták. A kötélben, illetve a sodratban lévő huzalok feszültség-alakváltozás állapotát határozták meg a kötél hossza mentén különböző terhelési szinteken. A kötél, mint több huzal- és sodratrétegből álló szerkezet rendkívűl bonyolult felépítésű. A külső sodratrétegek külső huzalrétegeiben található huzalokra a duplaspiralitás jellemző, tehát egyidőben két tengely körüli elfordulást is figyelembe kell venni, amelynek geometriai leírása jóval bonyolultabb, mint az egyszerű sodratoké. Egy ilyen szerkezet végeselemes modellezésénél problémát jelent már a geometria előállítása is, hiszen a legtöbb CAD és CAE rendszer legjobb esetben is csak az egyszerű hélix létrehozására képes. Ezért C. Erdönmez kifejlesztett egy algoritmust és szoftver modult, melynek segítségével tetszőleges geometriájú és hosszúságú kötélszerkezet geometriai modellje felépíthető [43],[44],[45]. A felépített geometriákat HyperMesh hálózó szoftver segítségével hálózta be, majd egy általános célú végeselemes szoftver segítségével elvégezte a különböző típusú kötélszerkezetek elemzését. Számításait Costello [4], Jiang [27],[28],[30], és Utting és Jones [34],[35] eredményei alapján verifikálta. A kereskedelemben kapható szoftverek többnyire a h-verziós technikát alkalmazzák. Ezek hátránya, hogy a nemlineáris hatások figyelembevételéhez rendkívűl sűrű háló generálása szükséges, ami nagy számítógépi erőforrást igényel és hosszú futási időt eredményez. Éppen ezért meglehetősen nehéz a bonyolult szerkezetek modellezése ezzel a 11
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel technikával, mivel nem áll mindenhol rendelkezésre a megfelelő erőforrás háttér, vagy adott esetben rövidebb idő alatt kell eredményhez jutni.
1.3 Célkitűzések Jelen értekezés célja a sodratszerkezetek elemzésére alkalmas módszer kifejlesztése, amely figyelembe veszi a súrlódásos érintkezést, a Poisson-hatást, a huzalok közötti relatív elmozdulást, stb.), amelyek alapján tervezési görbék állíthatók elő, továbbá meghatározható a terhelés alatti sodratban a huzalok relatív elmozdulás hatására bekövetkező kopás okozta károsodás mértéke. Ennek lépései a következők:
p-verziós végeselemes módszer kidolgozása az egy- és kétrétegű sodratok vizsgálatára, ahol a sodratra jellemző paraméterek tetszőlegesen definiálhatóak. Ilyen paraméterek a következők: huzalok darabszáma az egyes rétegekben, huzalok menetemelkedése és iránya, a huzalok sugarai, a vizsgált sodrat hossza, a végeselemes háló elemszáma és polinom fokszáma, az anyagjellemzők (rugalmassági-modulus, Poisson-tényező, súrlódási tényező), a befogás típusa (rögzített végű vagy szabadon elforduló végű sodrat) és az igénybevétel típusa (húzás, csavarás, hajlítás).
Új típusú végeselemek kidolgozása, melyek alkalmasak a geometria pontos leírására és a huzalok közötti különböző típusú súrlódásos érintkezés figyelembevételére (pont- és vonalmenti érintkezés, tapadás-csúszás, relatív elmozdulás).
Paramétervizsgálatok segítségével tervezési görbék definiálása, melyek megmutatják, hogy az egyes geometriai méretek vagy anyagi jellemzők változtatása hogyan befolyásolják a szerkezet teherviselő képességét, illetve hogyan hatnak a sodrat folyóméter súlyára.
Kopásszámítás elvégzése keresztező szálak esetében, mely segítségével meghatározható, hogy adott ciklusszámhoz, relatív elmozduláshoz és igénybevételhez (kontakterőhöz), mekkora kopásmélység tartozik. Ez a mennyiség a sodrat élettartamával kapcsolatban is fontos információval szolgál.
A kidolgozandó modell és szoftver segítségével a mérnökök egy olyan eszközt kapnak kézhez, amelyet viszonylag gyorsan és egyszerűen, egy normál számítógépen is használhatnak, akár a sodratok tervezési-fejlesztési fázisában, akár egy már üzemelő sodrat esetén, ahol a kérdés az üzemelésre való alkalmasság.
12
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
2. P-VERZIÓS VÉGESELEMES MODELL KIDOLGOZÁSA A valóságos 3D-s feladatot egyváltozós feladatra vezetjük vissza görberudak felvételével, továbbá a testek közötti érintkezési kölcsönhatást, az érintkezési tartományok kicsiny volta miatt normális irányban Hertz elméletével modellezzük. Ezzel a szerkezeti modellben nyírási energiát elhanyagoló görberudak és az érintkezési helyi hatásokat modellező rugók, ill. a súrlódási hatás figyelembevételénél, a büntetőparaméteres technika miatt, további lineáris rugók szerepelnek. A sodratok viselkedése pontosan leírható egyszerű terhelés és geometriai peremfeltételek esetén, ha az elmozdulásokat és az alakváltozásokat kicsinek feltételezzük. A bemutatott sodratmodell esetén két befogási mód definiálására van lehetőség. A sodrat egyik vége mindig rögzített egy merev laphoz, a másik vége pedig vagy rögzített egy másik merev laphoz (rögzített végű sodrat), vagy szabadon elfordulhat (szabadvégű sodrat). Maga a sodrat nincs érintkezésben másik testtel, például kötéldobbal (ez esetben nagy elmozdulást kellene feltételezni), tehát nincs elcsúszás. Az elmúlt néhány évben több kutató is foglalkozott testek, héjak és rudak közötti nagy alakváltozás és csúszás témakörével, azonban figyelmen kívűl hagyva a helyi kontaktfeszültség meghatározását [46]-[53]. Jelen modell azt az esetet veszi alapul, amikor a sodratban lévő elemek között nincs nagy elcsúszás és kezdetben a kötél középvonala egy függőleges egyenes. Ha a terhelés függőleges erő, csavaró nyomaték és vízszintes erő, valamint az ébredő elmozdulás és szögelfordulás kicsi (nincs képlékeny alakváltozás), akkor a kidolgozott modell nagyon jól közelíti a szerkezet mechanikai viselkedését. A számítások alapján kapott kontakterő diagramok kiváló alapot adnak a sodrat értékelésére. A modellel nemcsak a végtelen hosszúságú sodrat közepében kialakuló viszonyok elemzésére van lehetőség, hanem egyéb hatások, mint a sodrat befogás vagy akadozó csúszás, illetve hatásuk a belső kopási folyamatokra is vizsgálható. A kopás jelensége kétféleképpen csoportosítható, van külső és belső. A külső kopás a sodrat vagy kötél és egy másik test, például kötéldob között fordulhat elő. A belső kopást a sodratban lévő huzalok érintkezése és egymáson való elmozdulása okozza. A kopás vizsgálatával többen is foglalkoztak, az irodalomban mérési és számítási módszereket egyaránt találhatunk. Cruzado és társai [54] egy kopási vizsgálatot végeztek két egymásra merőleges, azonos átmérőjű huzal koptatásával. Silva és társai [55] az abrazív kopás hatását vizsgálták a sodrat húzófeszültségére vonatkozóan. A huzalok közötti kölcsönhatás precíz meghatározása a kinematikai kontaktfeltételek pontos ismeretét kívánja meg. A kopási témakörrel bővebben a 7. fejezetben foglalkozunk. A 2.6 fejezetben részletesen bemutatásra kerülnek a kinematikai kontaktfeltételek a nemlineáris rugó normál irányában, melyeket a most kifejlesztett kontaktmodell és augmentációs technika segítségével teljesítünk. A p-verziós végeselem előnye, hogy a számítás pontosságát a polinomok fokszámával gyorsabban lehet növelni, mintha h-verziós végeselemes modellt használnánk [56],[57], amivel a számítás ideje lerövidíthető, a megoldás numerikus konvergenciájának bizonyítása egyszerűsíthető. A p-verziós végeselemre azért is esett a választás, mivel az élettartamra jelentős befolyással van a huzalok közötti súrlódásból származó kopás, és ezekkel az elemekkel az érintkezési (kontakt) feladatok is jól kezelhetők. Ezeket az elemeket és az erre alapozott módszert eddig még nem alkalmazták sodratszerkezetek analízisében, azonban a módszer, amint azt a későbbiekben bizonyítjuk, alkalmas a feladat elvégzésére megfelelő számítógépi programmal. A kifejlesztett elmélet és szoftver működését több mintapéldán, többek között egy 1+6+12 szerkezetű sodrat modelljének 13
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel analízisével mutatjuk be axiális húzó és hajlító igénybevétel esetén. A vizsgálatok során az alakváltozásokat és az elmozdulásokat kicsinek tételezzük fel. A terhelések hatására a sodrat viselkedése kvázi-statikus jellegű. További feltételezés, hogy a huzalok homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyagból készülnek. A valóságban a huzalok általában nagy szilárdságú hidegen húzott, horganyzott vagy sárgarezezett anyagból készülnek. Ezeknek a huzaloknak a szakítószilárdsága 1100-2100 MPa között változik.
2.1 Geometriai leírás {1},{2},{4},{5},{8},{9},{10},{11},{12} Az R0 sugarú hengerfelületre rátekert H menetemelkedésű spirál huzal (lásd 11. ábra), mint görbe rúd középvonalának helyvektora a következőképpen írható le [4]: r r ( ) R0 (cos( ) e x sin( ) e y )
H ez 2
(1)
ahol a φ - a hengerkoordináta-rendszer szöge. Jelölje s a középvonalon mért ívkoordinátát. Továbbá az s ívkoordináta és a φ központi szög közötti összefüggés:
ds L d
(2)
2
R H 2 ahol L a Lamme állandó L R0 0 cos 2 A Serret-Frenet-féle összefüggésekkel a spirálhuzal helyi koordinátarendszerének normális, binormális és érintő irányú (n, b, t) egységvektorai előállíthatóak. A kísérő triédert meghatározó egységvektorok:
t
n
r r R0 H ez ; sin e x cos e y s s L 2 L
R 1 t H (cos e x sin e y ) ; b t n (sin e x cos e y ) 0 e z s 2 L L
(3)
ahol a normális irányú görbület:
cos 2 R0
továbbá,
tg
H 2R0
(4)
Az egységnyi hosszra eső elcsavarodás:
sin 2 2 R0
,
db n ds
(5)
14
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
11. ábra: Spirális huzal a helyi koordináta-rendszer egységvektoraival
2.2 Alakváltozások, belső erők {1},{2},{4},{5},{8},{9},{10},{11},{12}
és
nyomatékok
(Igénybevételek)
Az alakváltozás leírásához Love görbült rudak elméletét használjuk [4]. Ennek értelmében három, a helyi koordinátarendszerben n, b, t irányú független elmozdulás mezővel ( u1 , u2 , u3 ) és a t érintő irányú elfordulás mezővel ( 3 ) jellemezzük a rúd középvonalának elmozdulását és keresztmetszetének elfordulását (elcsavarodását). A n, b, t kísérő triéder szögelfordulását a i , i 1,2,3 -mal jellemezzük. A nyírási energiát elhanyagoljuk. Emiatt az alakváltozásokat az alábbi egyenletek jellemzik: du3 du1 du2 u3 u 2 2 , u1 1 , u1 ds ds ds d d1 d 2 3 2 1 , 1 2 , 3 1 3 ds ds ds
(6)
ahol a középvonal fajlagos nyúlása, ill. i , i 1,2,3 a görbületváltozások. Az igénybevételt hordozó normál erő, hajlító- és csavaró nyomaték homogén, lineárisan rugalmas, izotróp anyagot feltételezve: N AEε – rúderő,
M 1 I1 EΔω1 , M 2 I 2 EΔω2 – hajlító nyomatékok,
M 3 M T I c G3 – csavaró nyomaték
(7) 15
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel összefüggésekkel számolhatók. Továbbá a nyíróerők: dM 2 d 3 d 2u F1 M 1 22 M 3 2 , ds ds ds 2 dM 1 d u1 d F2 2 M 3 3 M 2 1 ds ds ds
(8)
Itt A a keresztmetszet felülete, I1 , I 2 a keresztmetszet n irányú 1-es és b irányú 2-es tengelyére számított másodrendű nyomatéka, I c csavarási másodrendű nyomaték, E – Young-féle rugalmassági modulus, G – csúsztató rugalmassági modulus, k , k=1,2 a középvonalmentén ható terhelés megoszló nyomatékának intenzitása. Bevezetve az egymástól független uk , k 1,2,3 eltolódásokból és 3 szögelfordulásból felépített ~ T u u u 1 2
3
u3
(9)
közelítendő elmozdulások vektorát és a belőlük származtatott alakváltozások ~ε T
1
3
2
(10)
vektorát, (T a transzponálás jele), az alakváltozásokat meghatározó geometriai egyenletek tömören az alábbi szerint írhatók fel a nyírási alakváltozás elhanyagolása mellett: ~ε u ~
(11)
ahol az operátor mátrix a következő alakú 0 1 d 2() 2 2 d ( ) 2 L d L d 2 2 1 d () 2 2 d ( ) 2 2 L d L d d () L d
1 d() L d
d() L d 0
0 0 1 d() L d
(12)
A modell felépítésénél lényeges szerepet tölt be a helyi (n, b, t ) és a globális (e x , e y , e z ) koordinátarendszerek közötti transzformáció, azaz c T0c
(13)
ahol c a helyi koordináta-rendszerbeli vektor, c a globál koordináta-rendszerbeli vektor,
T0 a transzformációs mátrix:
16
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel cos H sin T0 2L R 0 sin L
sin H cos 2L R0 cos L
0 R0 L H 2L
Ha 0, d 0 (a második réteg huzaljai) akkor L
(14)
R0 0. cos
12. ábra: Két csomópontú görbült rúdelem
2.3 Az elmozdulás mezők közelítése {1},{2},{4},{5},{8},{9},{10},{11},{12} A rúd végeselemet (12. ábra) úgy kívánjuk felépíteni, hogy az két csomóponttal rendelkezzen, a magasabbfokú approximációt az elemen belüli belső paraméterek révén kívánjuk biztosítani. Így a szabadságfokok maximális száma 32 lesz, ugyanis, a csomóponti elmozdulás és elfordulás vektora csomópontonként 6 szabadságfokú, a pótlólagos állandók maximális száma mezőnként elhatározásunk szerint 5 lehet ( 0 p 5) Mivel két csomópont van és négy független mező, ezek alapján 6 2 5 4 32 az elem maximális szabadságfoka. Négy mezőt kell közelítenünk oly módon, hogy u3 , 3 C 0 osztályú folytonossággal, míg az u1 , u2 C1 osztályú folytonossággal rendelkezzen az elemek között. A közelítést oly módon kell felépíteni, hogy a merevtestszerű mozgásból, aminek most hat a 17
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel szabadságfoka, ne keletkezzen alakváltozás. Ezt úgy tudjuk egyszerűen elérni, hogy a rúd kezdeti, továbbiakban i-jelű keresztmetszetében lévő
q Gi ,T u x
uy
uz
x
y
z i
(15)
általánosított globális koordinátarendszerbeli elmozdulás vektorból származó merevtestszerű mozgáshoz hozzáadjuk az i-hez relatívan képzett rugalmas elmozdulásokat. Vezessük be a következő jelöléseket:
i , j i
Q
1 L( j i )
(16)
Lokális rendszerben egy tetszőleges -vel jellemzett helyen a
L,T 1 2 3
u L,T u1 u2 u3
(17)
elmozdulás és szögelfordulás. Az elem középvonalának egy tetszőleges r x e x y e y z e z koordinátájú helyén az ri xi e x yi e y zi e z által kijelölt ikeresztmetszet mozgásából G
u R u Gi Ω r χ Gi
(18)
merevtestszerű elmozdulás keletkezik a globális koordinátarendszerben, ahol Ω r
0 z y x x xi , z 0 x , y y yi , y x 0 z z zi
(19)
A fentieket és a (13)-at figyelembevéve, a helyi koordinátarendszerben (L index) a kérdéses r r ( ) pontban a középvonal elmozdulása u L és keresztmetszetének elfordulása χ L a következő kifejezéssel írható le: L
u LG G ˆ V ( )qi Φ( )a Φ( )aˆ ,
ˆ (0) Φ ˆ (1) 0 Φ(0) 0 , Φ
(20)
ahol az első tag az i-keresztmetszet mozgásának hatását, míg a második és harmadik tag az i-hez képesti alakváltozásból származó elmozdulást és szögelfordulását hordozza. Itt V
LG
T 0 0
T0 Ω r T0
(21)
ˆ ( ) approximációs mátrixok, a az elmozdulási transzformációs mátrix, Φ( ) , Φ ˆ ( )aˆ tagok az iparaméterek vektora, aˆ a pótlólagos állandók vektora. A Φ( )a és a Φ dik csomóponthoz viszonyítva a rugalmas deformációból származó elmozdulást írják le. A pótlólagos állandók maximális száma összesen 4 pmax 20 lehet.
18
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A Φ( ) approximációs mátrix a (6) alatti 1 és 2 -re vonatkozó kifejezésre tekintettel a Φ(0) 0 feltétel figyelembevételével az alábbi alakot ölti 2 0 0 Φ 2 2Q 0
3
0
0
0
0
3
3Q 2 0
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
3
0 2Q 2
0 3Q 2 3
0
0
(22)
Célunk az a paraméter vektor eliminálása a q Gj vektor behozása révén. Felírva a jkeresztmetszetbeli csomóponti elmozdulásvektort G
u q TT ( j )V LG ( j )q Gi TT ( j )Φ L ( j )a χ j G j
(23)
ahol T( j ) a transzformációs mátrix a globális és a lokális koordináta-rendszer között a jdik csomópontban, a transzponáltja T0T T 0 T
és bevezetve a qT q Gi
q Gj
T
0 T0T
(24)
a rúdelem csomóponti elmozdulás vektora jelölést,
formálisan írható, hogy
a Gq
(25)
ahol E V ( 3, 3 ) G Rj V E( 6, 6 ) , R j (T ( j ) Φ( j )) , 0 E(3,3) diag[1 1 1], E( 6, 6) diag[1 1 1 1 1 1] - diagonális egység mátrixok.
G j
T
1
G j
Ω r ( j ) , E( 3,3)
Az a paraméter vektorra kapott kifejezés felhasználásával annak (20)-ba történő behelyettesítésével L
u ˆ χ N ( )q Φaˆ
(26)
közelítéshez jutunk. Itt
N( ) V LG ( ) Φ( ) R j V Gj
Φ( )R j
(27)
a pótlólagos állandók alakfüggvény mátrixa (p=2 pótlólagos állandó esetén) a következő alakban írható fel 19
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel ˆ 1 0 ˆ 0 Φ ˆ 1 ˆ Q 1, 0
ˆ 2 0
0 ˆ1
0 ˆ2
0 ˆ2 ˆ Q 2,
0 ˆ 1, Q ˆ1
0
0
0
0
0
0 ˆ 4 0 ˆ
0
0 ˆ 2, Q ˆ2
0 ˆ 3 0 ˆ
0
0
0
3
4
0 0 0 ˆ3
0 0 0 0 0 ˆ 4
(28)
ahol a mátrixban szereplő függvények a következők: ˆ 1 4 2 3 2 , ˆ 2 5 3 3 2 2 , ˆ 2 , ˆ 4 3 , ˆ 6 4 3 3 2 , 3 5 7 3 2 8 3 2 4 5 ˆ 6 , ˆ 5 4 , ˆ 6 5 , ˆ 8 , ˆ 9 , 6 7 10 ˆ 1, 4 3 6 2 2 , ˆ 2, 5 4 9 2 4 , ˆ 3, 1 2 , ˆ 4, 1 3 2 , ˆ 6, 7 6 15 2 8 , ˆ 7 , 8 7 18 2 10 , ˆ 5, 6 5 12 2 6 , ˆ 8 , 1 4 3 , ˆ 9 , 1 5 4 , ˆ 1,, 12 2 12 2 , ˆ 10, 1 6 5 , ˆ 2,, 20 3 18 4 ,…. Itt az indexben lévő vessző (,) a szerinti egyszeres ill. (,,) esetén a kétszeres deriválást ˆ pótlólagos állandók alakfüggvény mátrixa (p=5 pótlólagos állandó esetén) az A jelöli. A Φ Függelékben található. Tovább rendezve a (26) egyenletet L ˆ Φ Nu u u ˆ ˆ aˆ χ N q Φ a N q Φ ˆ χ χ
(29)
amelyből a közelítendő elmozdulás vector a helyi koordináta rendszerben L
ˆ ~ ~ ~ u N u q Φ u aˆ N u q Φaˆ χ ˆ Φ 3 χ3 N χ3
(30)
Az alakváltozási vektor ez alapján ~ ~ ~ε u ~ N q Φaˆ B qq Bˆ aˆ aˆ
(31)
ahol Bq , Bˆ aˆ a (33), (34) alatt található. 2.4 Az eredő erők és nyomatékok meghatározása {1},{2},{4},{5},{8},{9} A hajlító nyomaték komponenseket ( M 1 , M 2 ), az M 3 csavaró nyomatékot, és az N rúderőt mátrixos felírásban a következő formában adhatjuk meg:
N
M1
M2
T M 3 D B q q Bˆ aˆ aˆ
(32)
20
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel ahol a D diag AE I1E I 2 E I cG az anyagállandók mátrixa, B q , Bˆ aˆ az alakváltozásokhoz szükséges approximációs mátrixok. Ez utóbbiak a (11), (12) felhasználásával állíthatók elő, pl.
~ B q ( 4,6) B a G
(33)
ahol
~ ~ B a Bi , j
~ ~ ~ ~ ~ ~ B1,1 2 , B1, 2 3 , B1,5 Q , B2,1 4 Q , B2, 2 6 Q 2 , B2,3 2 2 2 Q 2 , ~ ~ ~ ~ B2, 4 2 3 6 Q 2 , B2,5 , B2, 6 , B3,1 2 2 2 Q 2 , ~ ~ ~ ~ ~ B3, 2 2 3 6 Q 2 , B3,3 4 Q , B3, 4 6 Q 2 , B3,5 Q , B4,1 2 , ~ ~ B4, 2 3 , B4,3 Q 2 , ~ ~ B4, 4 Q 3 2 , B4,6 Q
A pótlólagos állandókhoz tartozóan
ˆ Bˆ aˆ ( 4, 4 p ) Φ a
(34)
azaz elemei p=2 esetén
ˆ1, ˆ 2, Bˆ1,1 Bˆ1, 2 ˆ , Bˆ 2, 2 2 Q 2 ,
ˆ 3, , Bˆ1,5 Q
ˆ 4, , Bˆ1, 6 Q
ˆ 1, , Bˆ 2,1 2 Q
ˆ Q2 , ˆ Q2 , ˆ 3, ˆ 4, Bˆ 2,3 2 Bˆ 2, 4 2 Bˆ 2,5 Bˆ 2, 6 1 1, , 2 2 , , ˆ , ˆ , ˆ Q2 ˆ , ˆ Q2 ˆ , Bˆ 2,7 Bˆ 2,8 Bˆ3,1 2 Bˆ3, 2 2 3 4 1 1, , 2 2 , , ˆ , Bˆ 2 Q ˆ , Bˆ Q ˆ , Bˆ Q ˆ , Bˆ ˆ , Bˆ3,3 2 Q 1, 3, 4 2 , 3, 5 3, 3, 6 4 , 4 ,1 1 ˆ 2, Bˆ 4, 2 ˆ , Bˆ Q ˆ , Bˆ Q ˆ 2, , Bˆ 4, 7 Q ˆ 4, . Bˆ 4,3 Q 1, 4, 4 3, 4 ,8 ˆ approximációs mátrix (p=5 pótlólagos állandó esetén) az A Függelékben található. AB aˆ
Írjuk fel a potenciális energiát egy rúdelemre p U W
1 [ I1 E (1 ) 2 I 2 E (2 ) 2 I c G (3 ) 2 AE ( ) 2 ]ds W 2
(35)
ahol U az alakváltozási energia, W a külső terhelés munkája.
21
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel AE 0 1 U ~ε T 0 2 0
0
0
I1 E 0 0
0 I2E 0
0 0 ~ ε ds , 0 IT G
(36)
Más alakban p
1 ~T ~ ε D ε ds W 2
(37)
Az integrálásokat elvégezve, mátrixos formában felírható a potenciális energia
p
1 T q 2
K qq aˆ T K aˆ q
K qaˆ q qT K aˆ aˆ aˆ
f aˆ T q faˆ
(38)
ami tömörebb formában
p
1 ~T ~ ~ ~T~ q Kq q f 2
(39)
alakot nyeri. A számítást elemenként hajtjuk végre, numerikus integrálást végezve. A merevségi mátrixokat a (31), (33), (36) -ra is tekintettel az alábbi alakban célszerű kiszámolni
~ ~ K qq G T BTa D B a ds G, ~ K qaˆ G T BTa D Bˆ aˆ ds, K aˆaˆ Bˆ Taˆ D Bˆ aˆ ds
(40)
A redukált terhelési vektorokat f q , f a a rúd középvonala menti
f L ,T p1 p2 p3 1 2 3
(41)
p i N / mm, i Nmm / mm, i 1,2,3 mértékegységű) megoszló terhelésből, (ahol számolhatjuk a lokális rendszerben felírt (20) alatti közelítés, a (25) alatti transzformáció és a külső munka W u L ,T f L ds qT f q aˆ T f aˆ
(42)
alakjának felhasználásával. Az i és j jelű csomópontokkal rendelkező elem esetén a szóbanforgó redukált terhelési vektorok ˆ T f L ds, f iG V LG ,T f L ds, f aˆ Φ (43) f iG f a ,i f a ,i f a G T ΦT f L ds, f q f a , j f a , j
22
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Mivel a kötélnél a szálak között érintkezés lép fel és előzetesen az érintkezési ~ feszültségek, erők nem ismertek az érintkező testek között, így a K merevségi mátrix és az ~ f terhelési vektor a pótlólagos állandók miatt a q vektorra vonatkozóan nem redukálható.
2.5 Kontaktfeltételek leírása {1},{2},{4},{5},{8},{9} A különböző rétegekben elhelyezkedő huzalok között az érintkezés is többféleképpen valósul meg. Feltételezzük, hogy egy rétegen belül elhelyezkedő huzalok egymással nem érintkeznek. A maghuzal és az első rétegben lévő huzalok között vonalmenti érintkezés, míg az első és a második réteg huzaljai között pontérintkezés jön létre. Az érintkezésnél fellépő helyi feszültségek hatását is a teljes szerkezet viselkedésénél közelítőleg figyelembe kívánjuk venni. A rúdmodellen belül a helyi érintkezési hatást a jól ismert Hertz elmélet [58],[59] segítségével fogjuk figyelembe venni. Mindezek figyelembevételére új típusú végeselemeket definiálunk. Mivel az érintkezés nem a rudak középvonalainál történik, hanem a paláston, ezért ezen pontok elmozdulását is ki kell számolni. Az érintkező felületeken lévő pontok ( Q1 , Q2 lásd 13. ábra - 14. ábra) elmozdulása a huzal keresztmetszetek középpontjának elmozdulása és szögelfordulása segítségével, a helyi koordinátarendszerben a következő összefüggéssel írható le a (26) figyelembevételével: u QL u L rCQ χ L u QL u L Ω
u QL Nu Ω
rCQ
rCQ
χL
ˆ Ω rCQ Φ ˆ aˆ N L q Φ ˆ aˆ N q Φ u Q Q
(44) (45)
r
ahol Ω CQ - a C Q pont között értelmezett forgató mátrix (lásd (19) egyenlet, ahol x xQ xC ,…). A Q pont globális koordinátarendszerbeli ill. a Q érintkezési pontbeli érintősik és a normális rendszerbeli, helyi kordinátarendszerbeli elmozdulása u GQ TT u QL
ahol Tcont , L
, u Qcont ,L T cont ,L u QL
(46)
0 0 1 0 sin cos 0 cos sin
mivel az u1 , u2 , u3 elmozdulásokat az u1 , u , , u , z elmozdulásokba visszük át. Az érintkezési párt alkotó huzalok (belső mag és a belső réteg huzaljai) vagy a belső és külső rétegekben lévő huzalok érintkező felületi pontjai között, a huzalok húzó igénybevételéből és a huzalok közötti kopásból származóan rés alakul ki, ami a következő alakban írható fel 2
g wn ( e ) e 1
N (e) d (e) A( e ) E ( e ) 2
(47)
23
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel ahol wn – a normal irányú kopás mélysége, N (e ) – a tengelyirányú erő a spirális huzalban,
A(e ) – a huzal keresztmetszet, E (e ) – a rugalmassági-modulus, d (e ) – a huzal átmérő, (e ) – a Poisson-tényező, e=1,2 – az érintkező testek sorszáma.
13. ábra: Kontaktpontok értelmezése
a)
b)
c)
14. ábra: Az alkalmazott koordinátarendszerek definíciója a) Az érintősík és a felület normálisának lokális koordinátarendszere, b) Globális koordinátarendszer az xy síkban, c) A huzal lokális koordinátarendszere 24
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 2.6 Kontaktelem az első és a második réteg között {1},{2},{4},{5},{8},{9} Vizsgáljuk most a belső és a külső réteg egy-egy huzalját, amelyek valahol keresztezik egymást. Az érintkezésnél a normális irányú helyi alakváltozásokat Hertz elmélete [58],[59] szerint vehetjük figyelembe. Az érintkezési nyomás eredőjét jelölje FH erő. Legyen a belső szál 1-es jelű, a külső szál 2-es jelű. A huzalok húzásából és kopásából származó kezdeti rés g. A huzalok Q1 és Q2 pontja érintkezhet egymással. Az érintkezésből származó benyomódást nemlineáris jellegéből adódóan nemlineáris rugóval modellezzük, aminek linearizált értékét az alábbiakban ismertetett iterációval pontosítjuk. Az érintkezési modellünk az alábbi: az eredeti szálak Q1 és Q 2 pontjai közti normális irányába helyezzük el, a helyi benyomódást reprezentáló rugót. A rugó egyik vége a Q1 , a másik vége a K pontban lesz. Az érintkezés-elválás feltételét kombinált (augmented) technikával fogjuk kézbentartani olymódon, hogy a modell szerint az érintkezési feltételt a kibővített rugalmas szerkezet K Q2 pontja között írjuk fel (15. ábra). Az érintkezési normális irányban ( n ) az érintkezés feltételei d u K u2 g 0 ,
FH 0 ,
FH d 0
(48)
ahol u1(1) , u1( 2 ) a Q1 és Q2 pontok n irányú elmozdulásai. A továbbiakban a következő jelöléseket alkalmazzuk: a belső huzalok esetén 1–es index a külső huzalok esetén 2–es index, u1 u1(1) , u2 u1( 2) . A fenti feltételeket az ún. kombinációs technika alkalmazásával kívánjuk kielégíteni, vagyis a K Q2 pontok közé nagy merevségű, c rugóállandójú rugót helyezünk el (ha van érintkezés) és az FH d 0 feltételt, mint Lagrange-féle tagot is szerepeltetjük, vagyis a Q2 -es és a K pontban az FH erőt is működtetjük. Hertz elmélete szerint a benyomódásnál keletkező erő a benyomódás nemlineáris függvénye. FH cH m cH ( u1 u K ) m
(49)
A benyomódásból a rugóban
U H cH m d
(50)
alakváltozási energia keletkezik. A vizsgált huzalok, mint görbe tartók potenciális energiáját jelölje Πp. Ekkor a normális irányú érintkezés vizsgálatára alkalmas minimalizálandó funkcionál a kombinált technika alkalmazásával (a harmadik tag a büntetőparaméteres, a negyedik a Lagrange-féle multiplikátoros tag) 1 L p U H c d 2 FH d . 2
(51)
25
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
15. ábra: Érintkezési modell Véve a K pontbeli u K elmozdulás szerinti variációt u L K
U H u K c(u K u 2 g )u K FH u K 0 u K
(52)
A variációs egyenletünk első tagjának hatását az s-dik iterációban kapott ( s ) -nél (s) helyettesíteni lehet egy cNL linearizált rugóval (16. ábra), továbbá jelölje az érintkezési erő
(s-1)-dik iterációbeli értékét FH
( s 1)
. Vagyis
U H (s)
1 (s) (s) 2 c NL ( ) 2
(53)
és így ( s 1) (s) u L c NL (u1 u K ) u K [c (u K u 2 g ) FH ] u K 0 K
(54)
A rudak potenciális energiájával nem foglalkozva, sorbavéve az Q1 -es és Q 2 -es pontbeli elmozdulás szerinti variációkat (s) u L cNL (u1 u K ) u1 0 1
u L c (u K u2 g ) u2 FH ( s 1) u2 0 2
(55) (56)
A három variációs kifejezésből
u1 u K
(s) cNL (s) u2 cNL 0
(s) cNL (s) c cNL
c
0 u1 0 0 ( s 1) g u u c c u K FH 1 K ( s 1) g c u2 FH
0 u2 0 0 (57)
következik. A középső egyenletből (s) FH c cNL c uK g u u (s) (s) (s) 1 (s) 2 c cNL c cNL c cNL c cNL
(58)
A kapott elmozdulást visszahelyettesítve az (57) első és utolsó kifejezésébe
26
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
u1
(s) c c ( s ) u1 c ( s ) g cNL ( s 1) 1 u2 FH 1 0 (s) s ( ) c c u2 c g c c NL
(59)
ahol
c(s)
(s) c cNL (s) c cNL
(60)
Ily módon a teljes szerkezet vizsgálatánál a Q1 és Q2 pont közé c (s ) rugót kell helyezni, illetve az ( s 1) 1 F ( s 1) 1 ( s ) 1 FH c g f (s) c(s) g H c 1 c 1 1
(61)
erőt kell működtetni. A kombinált (augmented) technikának megfelelően az érintkezési erőt
FH
(s)
FH( s 1) c(u K u2 g )( s )
alapon számoljuk, ahol a Macaulay zárójel x = (
(62)
x x ) operációt fejezi ki. 2
(s ) 16. ábra: Linearizált cNL rugóállandó meghatározása
Az iterációnál számolt érintkezési erőnek előbb-utóbb el kell érnie az elméleti értéket FH ,T
(s)
cH ( s )
m
cH (u K
(s)
(s)
u1 ) m
(63)
27
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Az iterációt mindaddig folytatjuk, amíg
FH( s ) FH( s 1) FH( s 1)
100 0.02 vagy
FH( s,T) FH( s ) FH( s,T)
100 0.02
(64)
korlát nem teljesül. Ezzel nagy pontosság és viszonylag kicsiny iterációszám érhető el. Az iteráció sebessége függ a c megválasztásától, de a végső megoldás gyakorlatilag ettől független. Az érintősíkban lévő relatív elmozdulás hatását a jól ismert büntetőparaméteres technikával [60] vesszük figyelembe. A szóbanforgó elmozdulást a 17. ábra szerint tangenciális és vertikális összetevőkre bontjuk fel. Ezekben az irányokban c nagyságú rugóállandójú rugókat helyezünk el olymódon, hogy a felületi érdességből származó érintő irányú rugalmas elmozdulást az irodalomból ismert szokásos módon, a normálirányú c büntetőparaméter 1%-val vesszük figyelembe, azaz c 0.01 c . Jelölje a Q1 Q 2 pont közötti relatív sebességet u u 2 u 1 u , tan gential u ,vertical u , u , z , u , u , e , u , z u , z e z .
A maghuzal és az első rétegben lévő huzal közötti érintkezésnél fellépő vonalmenti megoszló terhelés normális irányú komponensét jelölje pn . A súrlódás hatását mindkét fajta elemre azonosan tárgyalva, a mostani elemnél is az FH erő helyett pn nyomással fogunk dolgozni. A súrlódás miatt a terhelést lépcsőzetesen kell felvinni. Amennyiben a relatív sebesség u zérus, a Coulomb-féle feltétel értelmében áll az alábbi egyenlőtlenség: f τ pn 0 , u u 2 u 1 0
(65)
A két huzal között csúszás, azaz relatív elmozdulás jön létre, ha f τ pn 0
τ pn
u u
u u 1 u 2 0
(66)
ahol a τ a 2 jelű szálra ható csúsztató feszültség. Jelölje az n -dik terhelési lépcsőben kapott értékeket (n)
(n)
Az
u
( n)
u ( n ) u n
u
(n)
Q1
u
u Q2 , Q1
u Q2 n .
n 1 -ik terhelésnél a csúszási feltételeket a
( n 1)
kiszámításával ellenőrizzük le. Itt ( n1) trial ( n ) τ τ c ( ( n1) u ( n ) u ) ,
(67)
f trial
( n 1)
τ trial
( n 1)
pn
(68) 28
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel ahol u ( n )u , ( n )u , z ,
(n)
(n)
u , ( n )u , e ,
(n)
u , ( n ) (u Q1 u Q2 ) e ,
(n)
u , z ( n )u , z e z ,
(n)
u , z ( n ) (u Q1 u Q2 ) e z ,
továbbá a csúsztató feszültség felbontásával (n)
τ ( n ) τ ( n ) τ z ,
τ ( n ) e ,
(n)
(n)
annak iránya arctan Ha
( n 1)
f trial
( n 1)
Ha
( n 1)
trial
( n 1)
f
( n)
τ
z (n) τ e z
( n)
( n ) z
( n)
2
2
z .
(n) (n)
τ trial
( n 1)
( n 1)
τ
( n ) τ e , ( n ) τ z ( n ) z e z ,
(n)
trial
pn 0 , akkor
( n 1)
pn 0 , akkor
τ ( n 1) τ trial ,
( n 1)
τ
( n 1)
(69) ( n 1)
τ trial pn ( n 1) trial τ
(70)
A kapott csúsztatófeszültségek a szálak d ( e ) / 2, e 1,2 sugarán keresztül megoszló hajlító és csavaró nyomatékot fejtenek ki a szálakra. Ezt az ( n, e z , e ) alkotta koordinátarendszerből a szál helyi rendszerébe ( n, b, t ) történő transzormációval előálló érintősíkba eső komponesekből tudjuk könnyen kiszámolni. A 2 jelű szálra vonatkozóan állnak az alábbiak az érintőfeszültségekre
( n) ( 2) 2
( n) ( 2) 3
sin ( 2 ) ( n ) z cos ( 2 )
(n)
( n ) cos ( 2 ) ( n ) z sin ( 2)
(71)
ahonnan a megoszló nyomatékok (n)
( 22) ( n ) 3( 2 ) d ( 2) / 2 ,
(n)
( 23)
2( 2 ) d ( 2) / 2
( n)
(72)
Az 1 jelű testre a (71)-ben ( n ) , ( n ) z helyettesítéssel élünk, továbbá mivel a Q1 pont a C1 ponthoz képest az n mentén a másik oldalra esik (n)
(12)
3(1) d (1) / 2 ,
(n)
(n)
(13) ( n ) 2(1) d (1) / 2
(73)
A fentiek szerint a pontérintkezés miatt az elem szabadságfoka a következőképpen adódik: a rugóelem két 6 szabadságfokú csomóponthoz csatlakozik, tehát maximális szabadságfoka 12. A rugóelemek normális, tangenciális és vertikális irányúak (lásd. 17. ábra).
29
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
2.7 Kontaktelem a maghuzal és az első réteg között {1},{2},{4},{5},{8},{9} Ez az elem, egy Winkler-típusú rugalmas ágyazásnak felel meg (18. ábra), azaz a rúdelem teljes hossza mentén folyamatosan megoszló rugóként képzelhető el. Szabadságfokainak maximális száma
ndof e ndof nod nod nfield pmax 6 4 4 5 64 , ahol ndof nod a csomóponti általánosított elmozdulásvektor szabadságfoka, nod az elemhez tartozó csomópontok száma, nfield a közelített mezők száma, p a pótlólagos állandók száma.
17. ábra: Kontaktelem az első és a második rétegben lévő huzalok között
18. ábra: Kontaktelem normális irányban a maghuzal és az első rétegben lévő huzalok között
Természetesen itt is a súrlódás hatása az érintősíkba elhelyezett rugalmas közeggel vehető figyelembe, hasonlóan az előző pontban leírtaknak megfelelően. A fentiekből jól érzékelhető, hogy a kontakthatások miatt a rudak mentén megoszló terhelések keletkeznek, aminek a pontosabb figyelembevétele, hatványozottabban indokolja a p-verziójú végeselemek használatát.
2.8 A végeselemes modell további jellemzői, {1},{2},{4},{5},{8} A kifejlesztett p-verziós végeselem szoftverben a felhasználó adhatja meg a sodrat geometriai és anyagparamétereit. Egy- és kétrétegű sodrat számítására van lehetőség, ahol a két külső rétegben elhelyezkedő huzalok száma és menetemelkedésük nagysága tetszőleges lehet. Az elemek generálása néhány adat megadásával automatikusan történik.
30
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Jelölje a belső réteg sugarát R1 a szálak menetmelkedési szögét 1 és egy menet magasságát H1 . A második rétegnél ezek R2 , 2 és H 2 . A szerkezetek egy részénél a szálak ellentétes irányban vannak feltekerve, azaz 1 pozitív, míg 2 negatív. De vannak esetek, amikor a külső réteg ugyanazon irányba van feltekerve, ekkor mindkét szög pozitív. Az egyes rétegek szálai lehetnek azonos és külünböző menetemelkedésűek. A szálak metszési szögét abból a feltételből tudjuk meghatározni, hogy a keresztezési pont z koordinátája azonos. Az egyes rétegekben ns , s 1,2 szál van 2 (i1 1) / n1 , i1 1,..., n1 ill. 2 (i2 1) / n2 , i2 1,..., n2 , 2 0 : 2 (i2 1) / n2 , i2 1,..., n2 szögkiosztással. Bevezetve Gs
2 0 :
Hs , s 1,2 mennyiséget, az alábbi eseteket fogjuk megkülönböztetni: 2 Rs
A metszési szög 1. H1 H 2 , 1 0, 2 0 esetben
i1 i2 1 : m 2 G2 R2 (m 1) /(G1 R1 G2 R2 ), m 1,.... i1 , i2 tetszőleges :
m 2 (G1 R1 (i1 1) / n1 G2 R2 (m (1 i2 ) / n2 )) / (G1 R1 G2 R2 ), m 1,.... 2. H1 H 2 , 1 0, 2 0 esetben i1 , i2 tetszőleges :
m 2 (G1 R1 (1 i1 ) / n1 G2 R2 (m 1 (1 i2 ) / n2 )) / (G1 R1 G2 R2 ), m 1,.... 3. H1 H 2 , 1 0, 2 0 esetben i1 , i2 tetszőleges :
m 2 (G1 R1 (m 1 (i1 1) / n1 ) G2 R2 (1 i2 ) / n2 ) / (G1 R1 G2 R2 ), m 1,.... Bármilyen típusú befogás definiálható (19. ábra), tehát rögzített és szabadvégű sodratok is modellezhetők az üzemelési körülményektől függően ( u x , u y , u z az elmozdulás koordináták, x , y , z – a szögelfordulás koordináták a globális koordináta rendszerben) [46],{5}. A sodrat végén lévő csomópontok a mag keresztmetszetének közepén lévő ún. főcsomópontba vannak bekötve merev elemek segítségével, így a terhelés ezen a csomóponton keresztül történik (20. ábra) [46],{5}. A terhelés típusa lehet: húzó, nyomó, csavaró, hajlító és ezek kombinációja. A feladat nemlinearitásából adódóan az érinkező elemeknél figyeljük a normál erő, feszültség ill. a súrlúdó erők, feszültségek változását. A belső mag és az első réteg szálai között a numerikus integrálás pontjaiban számoljuk az egyes iterációban az összes elemen 31
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel vett a nyomások és a tangenciális feszültségek abszolút értékének összegét pn Felhasználva az előző iterációban számolt értékeket, képezzük az alábbi hibákat
errorp
pn , ( s ) pn , ( s 1) pn , ( s 1)
100 , error
, ( s ) , ( s 1) , ( s 1)
,( s )
, ,( s ) .
100
Hasonlóan járunk el az első és a második réteg szálainak érintkezési pontjaiban számolt érintkezési nyomóerőkkel és csúsztató erőkkel, azaz
errorF
FH , ( s ) FH , ( s 1) FH , ( s 1)
100 , errorT
TH , ( s ) TH , ( s 1) TH , ( s 1)
100
Az iterációt egy terhelési lépcsőn belül befejezettnek tekintjük, ha állnak az
errorp error 0.02 , errorF errorT 0.02 egyenlőtlenségek.
19. ábra: Sodrat végének befogási típusai
20. ábra: A terhelés definiálásának módja 32
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
3. A RÚDELEM MEGOLDÁSÁNÁL
PONTOSSÁGA
NÉHÁNY
FELADAT
3.1 Síkfeladat, kör keresztmetszetű gyűrű A szóbaforgó szerkezetre vonatkozó összefüggések 0, H 0 behelyettesítéssel ~ állnak elő. Vizsgáljunk egy síkbeli R0 sugarú d átmérőjű körkeresztmetszetű szerkezetet.
1. eset: terhelés állandó p1 p0 konstans belső nyomás. Pontos megoldásnál az u1 radiális elmozdulás a körközépvonal mentén állandó, R u értéke u1 0 p0 , a keletkező feszültség 1 E . AE R0
2. eset: Az előbbi tartó 0 helyen befalazott, 2 helyen szabad. A terhelés 2.1 eset p1 p0 konstans , 2.2 eset p2 konstans , 2.3 eset 1 konstans . 2.4 eset 3 konstans .
2.1
esetben
a
keletkező
igénybevételek
N p0 R0 (1 cos ) ,
F1 p0 R0 sin ,
M 2 p0 R (1 cos ) , 2 0
2.2 esetben a nyomatékok M 1 p2 R02 (1 cos ), M 3 p 2 R02 2 sin , továbbá F2 p2 R0 (2 ) , míg a 2.3 esetben 1 megoszló terhelésnél
M 1 1 R0 sin , M 3 1 R0 (1 cos ) függvény szerint változik, továbbá 2.4 esetben 3 megoszló terhelésnél
M 1 3 R0 (1 cos ) , M 3 3 R0 sin függvénnyel jellemzett lefutású.
33
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Numerikus számításokhoz a geometriai adatok: ~ R0 5.1816 mm , d 5.1308 mm : A 20.676 mm 2 , I1 I 2 I c / 2 34.018 mm 4 , Anyagállandók: E 206.843 GPa, 0.25 . Terhelés= p1 100 N / mm
1.eset Egzakt megoldásnál u R u1 0.627798 m, 25.0609 MPa . A különböző nelem elemszámhoz és p fokszámhoz tartozó értékeket az 1. táblázat tartalmazza. Itt u R u1 ( / 2) -nek felel meg. Láthatóan gyakorlatilag egzakt megoldást nelem 4, p 5, ill. nelem 8, p 4 esetén már megkapjuk, de nelem 2, p 5 esetén sem nagyobb a hiba, mint 0.627798 0.62781 0.00191 % , 0.627798 25.065 25.0609 error 100 0.0163 % , sőt nelem 1, p 5 nél sem haladja meg a hiba 25.0609 a 4%-ot:
erroru 100
error 100
24.07 25.0609 3.95 % 25.0609
1. táblázat: Az 1. eset eredményei p 1 nelem 1
nelem 2
nelem 4
nelem 8
min [ MPa] max [ MPa] min [ MPa] max [ MPa] u R [ m] min [ MPa] max [ MPa] u R [ m] min [ MPa] max [ MPa] u R [ m]
p2
p3
p4
p5
0
21.53
22.59
23.98
24.07
31.46
35.24
32.64
25.36
25.38
23.07
24.42
24.85
24.86
25.057
29.51
28.19
25.10
25.26
25.065
0.1541
0.61657
0.62778
0.62778
0.62781
23.45
24.84
24.99
25.056
25.061
28.68
25.51
25.08
25.063
25.061
0.61291
0.62913
0.62779
0.62781
0.627809
24.48
25.046
25.056
25.061
25.061
26.25
25.094
25.063
25.061
25.061
0.62725
0.62779
0.62781
0.627809
0.627809
34
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
2.2 eset: A többi eset közül számszerűsítve ragadjuk ki a 2.2 esetet. Ekkor 0, , 2 értékeknél a p2 2 N / mm terhelés esetén az egzakt megoldások a 2. táblázatban láthatóak: 2. táblázat: A 2.2 eset pontos megoldása 0
2
M1 0
0
107.3959
0
M3 0
337.40435
168.7021
0
F2 0
65.113906
32.56953
0
A számítással kapott eredmények a 0 helyen a 3. táblázatban találhatók, míg nelem 4, p 5 esetén a rúdmenti lefutásukat a 21. ábra tartalmazza.
21. ábra: A 2.2 p2 const terhelési esethez tartozó igénybevételek nelem 4, p 5 végeselemes közelítésnél
35
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 3. táblázat: A kifejlesztett szoftverrel kapott eredmények a 2.2 esetben p 1 p2 p3 p4 M 1 [ Nmm] 162.90 76.90 8.47 83.09
nelem 1
M 3 [ Nmm]
nelem 4
467.13 102.88
432.86 104.84
297.37 50.592
317.19 55.725
15.94
22.33
1.084
0.471
0.0004
M 3 [ Nmm]
416.71
398.94
328.23
334.22
337.39
F2 [ N ] M 1 [ Nmm]
80.138
84.233
62.724
63.898
65.114
9.993
0.7324
0.119
0.0031
0.00053
394.78 77.38
341.98 66.722
336.11 64.734
337.36 65.099
337.39 65.114
M 3 [ Nmm] F2 [ N ] M 1 [ Nmm]
nelem 8
4.912
61.14 30.661
F2 [ N ] M 1 [ Nmm] nelem 2
p5
M 3 [ Nmm] F2 [ N ]
1.417
0.018
0.0035
0.00001
0.00001
354.67 68.968
337.50 65.195
337.31 65.088
337.39 65.114
337.39 65.114
A többi terhelési esetre vonatkozó eredmények a diagramokban láthatóak (22. ábra - 23. ábra).
22. ábra: A 2.1 p1 p0 const tehelési esethez tartozó igénybevételek nelem 4, p 5 végeselemes közelítésnél
36
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
23. ábra: A 2.3 1 const terhelési esethez tartozó igénybevételek nelem 4, p 5 végeselemes közelítésnél Megállapíthatjuk, a kidolgozott rúdelem kítűnően viselkedik síkbeli geometria esetén. Hasonlóan igazolni lehet a rúdelem alkalmazhatóságát térbeli esetre is, amit közvetlenül a sodratoknál is befogunk majd bemutatni. A további hibaanalízist bemutató számításokat mellőzzük.
37
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
3.2 Térbeli szerkezet, spirális huzalban ébredő igénybevételek meghatározása különböző terhelési esetekben Mielőtt rátérnénk a sodratok elemzésére, nézzünk példát, hogyan működik a kidolgozott modell térbeli szerkezet elemzésekor. A szerkezet két, H menetemelkedésű, d átmérőjű spirális huzalból áll, melyek egy R0 sugarú képzeletbeli körhenger palástján helyezkednek el. Két esetet különböztetünk meg, az egyik a rögzített végű huzal, a másik a szabadvégű huzal. Numerikus számításokhoz a geometriai adatok: ~ R0 5.1816 mm , d 5.1308 mm : A 20.676 mm 2 , I1 I 2 I c / 2 34.018 mm 4 ,
H 247.628 mm Anyagállandók: E 206.843 GPa, 0.25 .
1. eset: Rögzített végű huzal Ez esetben a két spirális huzal mindkét végén egy merev tárcsába csatlakozik, mely a szabad elfordulást hivatott megakadályozni. A huzalok végén lévő csomópontok excentrikus csatlakozással kapcsolódnak a merev tárcsa közepén definiált ún. főcsomópontba. A felső merev tárcsa teljesen fix. Az alsó merev tárcsa főcsomópontjában van lehetőség a terhelés definiálására, mely lehet húzás, csavarás, hajlítás. Most két terhelési esetet vizsgálunk, a tengelyirányú húzást és az egyik tengely körüli hajlítást. A szerkezet sematikus összeállítását a 24. ábra mutatja. Nézzük meg, hogy különböző nelem elemszámmal és p fokszámmal hogyan alakul az eredmény konvergenciája. A számítás során a szálak lokális koordináta rendszerében értelmezettek a húzó- és nyíró erő komponensek, a hajlító és csavaró nyomaték, a szerkezetet terhelő eredő erő és nyomaték, valamint ezek komponensei és az egyes irányokbeli elmozdulások és szögelfordulások mind meghatározásra kerültek. A számítások során felvett terhelések értékei olyanok, hogy csak rugalmas alakváltozások keletkezzenek a szerkezetben, mivel a kidolgozott modell ebben a tartományban érvényes.
Tengelyirányú húzás esete: Terhelés: Fz 200 N Tekintsük a fent említett eredmények közül a szerkezetben ébredő eredő tengelyirányú erő és csavaró nyomaték (ami nulla kell legyen rögzített végű konstrukció esetén) alakulását, az értékeket a 4. táblázat-5. táblázat tartalmazza. Gyakorlatilag azt nézzük meg, hogy mennyire pontosan kapjuk vissza a peremfeltételeket. Láthatóan gyakorlatilag pontosan visszakapjuk az Fz terhelő erő értékét és a zérus csavaró nyomatékot nelem 16, p 3, minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén.
38
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
X tengely körüli hajlítás esete: Terhelés: Fx 10 N Ez esetben vizsgáljuk meg a szerkezetben ébredő eredő x-irányú erő és elmozdulás változását, az értékeket a 6. táblázat-7. táblázat tartalmazza. Hasonlóan az előző terhelési esethez, pontosan visszakapjuk az Fx terhelő erő értékét, valamint az x-irányú elmozdulás esetén is konvergált eredményt kapunk már nelem 16, p 4, minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén.
24. ábra: Rögzített végű térbeli spirális huzal 4. táblázat: Az szerkezetben
Fz 200 N terhelés hatására ébredő eredő tengelyirányú erő a Pótlólagos állandók száma
Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés 1 4 16 64 256
1
2
3
4
5
465.5 -127.6 221.9 202.3 200.2
-348.4 391.3 204.8 200.1 200.0
-401.3 237.7 200.0 200.0 200.0
762.9 195.5 200.0 200.0 200.0
737.2 199.2 200.0 200.0 200.0
39
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 5. táblázat: Az Fz 200 N terhelés hatására ébredő eredő csavaró szerkezetben Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek 1 2 3 4 száma/menetemelkedés 1 300.9000 -60.4400 -169.6000 191.6000 4 -344.9000 119.2000 37.4100 -2.7790 16 8.5910 4.6430 0.0159 -0.0243 64 1.5370 0.0581 -0.0165 -0.0164 256 0.0966 -0.0153 -0.0164 -0.0164
nyomaték a
5 86.8200 -0.7374 -0.0165 -0.0164 -0.0164
6. táblázat: Az Fx 10 N terhelés hatására ébredő eredő x-irányú erő a szerkezetben Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés 1 4 16 64 256
1
2
3
4
5
19.77 17.50 -6.81 -9.80 -9.99
39.95 -16.60 -10.06 -10.00 -10.00
-38.66 -10.18 -9.99 -10.00 -10.00
-53.58 -9.70 -10.00 -10.00 -10.00
-8.27 -10.00 -10.00 -10.00 -10.00
7. táblázat: Az Fx 10 N terhelés hatására ébredő x-irányú elmozdulás a szerkezet végén Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés 1 4 16 64 256
1
2
3
4
5
1.8316 3.1920 3.6379 3.6392 3.6392
2.4927 3.6142 3.6392 3.6392 3.6392
2.8885 3.6374 3.6392 3.6392 3.6392
3.1495 3.6392 3.6392 3.6392 3.6392
3.4459 3.6392 3.6392 3.6392 3.6392
További eredményeket táblázatos, illetve diagram formában a B. Függelék tartalmaz. Az eredményeken kiválóan látható, hogy viszonylag alacsony elemszám és pótlólagos állandó szám esetén már konvergált eredményeket kapunk.
2. eset: Szabadvégű huzal Ez esetben a két spirális huzal egyik vége egy merev tárcsába van rögzítve, a huzalok másik vége szabadon elmozdulhat és elfordulhat. A szerkezet sematikus összeállítását a 25. ábra mutatja. A huzalokon koncentrált erő és nyomatékterhelés tetszőleges irányban megadható, valamint ez egyes koordináta irányokban ható megoszló erő és nyomatékterhelések szintén definiálhatóak. Vizsgáljuk most ez esetben a megoszló
40
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel terheléseket, még pedig a normál irányú megoszló erő ( p1 0.5 N / mm ), a normál irányú megoszló nyomaték ( 1 15 Nmm / mm ), valamint a z-irányú megoszló erő ( pz 2.5 N / mm ) terheléseket. Minden terhelési esetben meghatározható a huzalokban ébredő erő és nyomaték komponensek nagysága. Ezeket az értékeket analitikus úton is meghatározhatjuk. A számítások elvégzése után nézzük meg, hogy különböző nelem elemszámmal és p fokszámmal végzett számítások milyen viszonyban vannak az analitikus összefüggésekkel kapott eredményekkel, azaz hogyan alakul az eredmények konvergenciája.
Normál irányú megoszló erő esete: Terhelés: p1 0.5 N / mm Ebben az esetben a huzal hossza mentén az n normális irányába mutató megoszló terhelés hat a huzalokra. A huzalokban ébredő erő (N, F1, F2) és nyomaték (M1, M2, M3) komponensek analitikus úton történő meghatározása az (1), (2) és (3) összefüggések felhasználásával levezetett alábbi képletek segítségével lehetséges: eredő p1
F
0
0
p1 n Ld L p1 cos e x sin e y d
Fperedő L p1 sin ex 1 cos e y 1
N Fperedő t R0 p1 sin 2 1 cos cos 1 F1 Fperedő n L p1 cos sin 1 cos sin 1 F2 Fperedő b 1
H p1 sin 2 1 cos cos 2
r R0 cos cos e x R0 sin sin e y
H e z 2
M eredő r p1 n Ld p1 0
R0 sin sin e z R0 cos cos 1 e z H H e e sin cos 1 sin L p1 y y 2 2 H H cos sin e x cos 1 e x 2 2 M 1 M eredő n L p1 p1
H 2
cos cos sin cos cos 1 2 sin sin cos 1 sin
41
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 2
H b p1 M 2 M eredő p1 sin cos sin 2 2
2
H H p1 sin cos 1 p1 cos sin cos 1 2 2 2
H p1 cos sin p1 L R0 cos cos cos 1 2 p1 L R0 cos sin 2
M3 M
eredő p1
cos sin cos sin cos sin cos 1 H t p1 L cos cos sin cos 1 cos cos sin 2 2 cos cos cos 1 cos sin
A p-verziós modell segítségével több felosztással is elvégezve a számítást az eredmények pontossága és konvergenciája elemezhető. A nagyszámú számítási eredmény bemutatására nincs mód az értkezés terjedelmében, ezért itt most az F1 és M3 komponensek összehasonlítását mutatjuk be táblázatos (8. táblázat-9. táblázat) és diagram (26. ábra-27. ábra) formájában 4 elemes felosztás mellett a hengerkoordináta szög függvényében. További eredmények és összehasonlítások a B. Függelékben találhatóak. Az eredmények alapján az tapasztalható, hogy már akár nelem 4, p 5, minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén is konvergált eredményt kapunk, a háló sűrítésével pedig nelem 16, p 3, felosztás és pótlólagos állandó számtól az eredmény pontossága már gyakorlatilag nem változik. 8. táblázat: Az p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F1 erő a φ=40°-hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek 1 2 3 4 5 száma/menetemelkedés 1 25.264 -48.440 -26.214 -5.569 -10.733 4 -9.441 -12.880 -12.503 -12.768 -12.773 16 -14.249 -12.768 -12.777 -12.776 -12.776 64 -11.749 -12.775 -12.776 -12.776 -12.776 256 -12.744 -12.776 -12.776 -12.776 -12.776 9. táblázat: Az p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M3 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek 1 2 3 4 5 száma/menetemelkedés 1 513.0200 213.9800 -11.0620 -30.5010 24.4710 4 11.8470 0.7052 1.8101 1.9078 1.9532 16 2.0378 2.0033 1.9577 1.9564 1.9564 64 1.9206 1.9565 1.9564 1.9564 1.9564 256 1.9589 1.9565 1.9565 1.9565 1.9565 42
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
25. ábra: Szabadvégű térbeli spirális huzal
p1=0.5N/mm terhelés, 4elem/h 40,0
300,0
20,0
200,0
0,0 ‐20,0 0
100,0 Analitikus
0,0 ‐100,0 0
2
4
6
8
p=1
F1, [N]
F1, [N]
p1=0.5N/mm terhelés, 4elem/h 400,0
‐80,0 ‐100,0
, [rad]
p1=0.5N/mm terhelés, 4elem/h 30,0
30,0
20,0
10,0 Analitikus
8
Analitikus p=2
, [rad]
p=3
10,0 0,0 ‐10,0
Analitikus
0
2
4
6
8
p=5
‐20,0
‐20,0 ‐30,0
6
F1, [N]
F1, [N]
20,0
4
8
p1=0.5N/mm terhelés, 4elem/h
40,0
2
6
‐60,0
‐300,0
‐10,0 0
4
‐40,0
‐200,0
0,0
2
, [rad]
‐30,0
, [rad]
26. ábra: Az p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében
43
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel p1=0.5N/mm terhelés, 4elem/h 800,0
800,0
600,0
600,0 400,0
Analitikus
200,0
p=1
M3, [Nmm]
M3, [Nmm]
p1=0.5N/mm terhelés, 4elem/h 1 000,0
Analitikus
200,0
0
2
4
6
0
8
600,0
600,0
400,0 Analitikus p=3
0 ‐200,0
2
4
6
8
, [rad]
M3, [Nmm]
800,0
0,0
4
6
8
, [rad]
p1=0.5N/mm terhelés, 4elem/h
800,0
200,0
2
‐200,0
, [rad]
p1=0.5N/mm terhelés, 4elem/h
M3, [Nmm]
p=2
0,0
0,0 ‐200,0
400,0
400,0 Analitikus
200,0
p=5
0,0 0
2
4
6
8
, [rad]
27. ábra: Az p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M3 nyomaték megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében Normál irányú megoszló nyomaték esete: Terhelés: 1 15 Nmm / mm Ebben az esetben a huzal hossza mentén az n normális irányába mutató megoszló nyomaték terhelés hat a huzalokra. A huzalokban most csak a nyomaték (M1, M2, M3) komponensek kiszámítása lehetséges, melyek analitikus úton történő meghatározása szintén az (1), (2) és (3) összefüggések felhasználásával levezetett alábbi képletek segítségével végezhető el: M
eredő μ1
0
0
1 n Ld L 1 cos e x sin e y d L 1 sin e x 1 cos e y
M 1 M eredő n L 1 sin cos 1 cos sin μ1 M 2 M eredő b μ1
H 1 sin 2 1 cos cos 2
M 3 M eredő t R0 1 sin 2 1 cos cos μ1 Ebben a terhelési esetben is több felosztással van a számítás elvégezve az eredmények pontosságának és konvergenciájának bemutatására. A nyomaték komponensek összehasonlítását a 10. táblázat-12. táblázat és az M1 vonatkozásában a 28. ábra mutatja 4 elemes felosztás mellett a hengerkoordináta szög függvényében. További eredmények és összehasonlítások a B. Függelékben találhatóak. Az eredmények alapján az tapasztalható, 44
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel hogy már akár nelem 4, p 5, minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén is konvergált eredményt kapunk, a háló további sűrítésével pedig az eredmény pontossága már nem változik.
10. táblázat: Az 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M1 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek 1 2 3 4 5 száma/menetemelkedés 1 314.50 145.27 -75.95 -137.58 -382.46 4 -318.21 -373.79 -383.40 -383.19 -383.27 16 -382.77 -383.29 -383.27 -383.27 -383.27 64 -383.27 -383.27 -383.27 -383.27 -383.27 256 -383.27 -383.27 -383.27 -383.27 -383.27
11. táblázat: Az 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M2 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek 1 2 3 4 5 száma/menetemelkedés 1 175.87 419.99 396.01 547.70 236.76 4 126.57 148.49 138.89 138.41 138.31 16 137.55 138.28 138.31 138.31 138.31 64 138.31 138.31 138.31 138.31 138.31 256 138.31 138.31 138.31 138.31 138.31
12. táblázat: Az 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M3 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek 1 2 3 4 5 száma/menetemelkedés 1 -89.118 -86.074 -81.974 -56.162 -22.927 4 -29.958 -19.553 -18.371 -18.201 -18.185 16 -18.202 -18.153 -18.183 -18.184 -18.184 64 -18.156 -18.184 -18.184 -18.184 -18.184 256 -18.186 -18.184 -18.184 -18.184 -18.184
45
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel mu1=15N/mm terhelés, 4elem/h
mu1=15N/mm terhelés, 4elem/h
500 0
Analitikus
0
2
4
6
8
p=1
‐500 ‐1 000
M1, [Nmm]
M1, [Nmm]
1 000
, [rad]
800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
4
6
8
p=2
, [rad]
mu1=15N/mm terhelés, 4elem/h
p=3
, [rad]
M1, [Nmm]
M1, [Nmm]
mu1=15N/mm terhelés, 4elem/h 800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
p=5
, [rad]
28. ábra: Az 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M1 nyomaték megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében z-irányú megoszló erő esete: Terhelés: pz 2.5 N / mm Ez esetben a huzal hossza mentén tengelyirányba mutató megoszló terhelés hat a huzalokra. A huzalokban ébredő erő (N, F1, F2) és nyomaték (M1, M2, M3) komponensek analitikus úton történő meghatározása ismételten az (1), (2) és (3) összefüggések felhasználásával levezetett alábbi képletek segítségével lehetséges:
eredő pz
F
pz e z Ld pz L e z 0
N Fperedő t z
H pz 2
F1 Fperedő n 0 z F2 Fperedő b R0 pz z
r pz e z Ld pz L R0 sin cos 1 e x sin cos e y M eredő pz 0
M 1 M eredő n pz L R0 cos sin cos 1 sin sin cos pz
46
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel M 2 M eredő b pz R0 pz
H sin sin cos 1 cos sin cos 2
M 3 M eredő t pz L R0 cos sin sin cos 1 cos sin cos pz Szintén több felosztással végezzük el a számítást az eredmények pontosságának és konvergenciájának bemutatására. Az N rúderő és az M3 nyomaték komponens összehasonlítását a 13. táblázat-14. táblázat és a 29. ábra (az N vonatkozásában) mutatja 4 elemes felosztás mellett a hengerkoordináta szög függvényében. További eredmények és összehasonlítások a B. Függelékben találhatóak. Az eredmények alapján az tapasztalható, hogy már akár nelem 16, p 4 minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén is konvergált eredményt kapunk, a háló további sűrítésével pedig az eredmény pontossága már nem változik.
13. táblázat: Az pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N rúderő a φ=40°-hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek 1 2 3 4 5 száma/menetemelkedés 1 40.761 -99.526 153.520 54.668 4.167 4 43.699 77.453 71.521 68.820 68.835 16 68.548 68.613 68.773 68.786 68.786 64 68.833 68.786 68.786 68.786 68.786 256 68.783 68.786 68.786 68.786 68.786
14. táblázat: Az pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M3 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek 1 2 3 4 5 száma/menetemelkedés 1 166.920 95.427 25.698 15.108 12.163 4 11.894 3.799 3.882 3.708 3.716 16 3.762 3.731 3.714 3.715 3.715 64 3.690 3.715 3.715 3.715 3.715 256 3.717 3.715 3.715 3.715 3.715
47
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel pz=‐2.5N/mm terhelés, 4elem/h
pz=‐2.5N/mm terhelés, 4elem/h
1 500
1 000 800 600
500
Analitikus p1
N, [N]
N, [N]
1 000
0 0
2
‐500
4
6
Analitikus p3
4
p2
6
8
0
2
4
6
8
, [rad]
pz=‐2.5N/mm terhelés, 4elem/h
N, [N]
N, [N]
pz=‐2.5N/mm terhelés, 4elem/h
, [rad]
200
‐200
700 600 500 400 300 200 100 0 2
Analitikus
0
8
, [rad]
0
400
700 600 500 400 300 200 100 0 ‐100 0
Analitikus p5
2
4
, [rad]
6
8
29. ábra: Az pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N erő megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében
48
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
4. KÉTRÉTEGŰ SODRAT VIZSGÁLATA A program tesztelése céljából egy számítási feladatot végeztünk el Costello könyvének egyik példája alapján [4]. A sodrat adatait az 15. táblázat tartalmazza. Mielőtt a konkrét szerkezet számításának néhány eredményét bemutatnánk, vegyünk egy egyszerűbb szerkezetet, két belső és két külső szállal azonos geometriai adatokkal és anyagállandókkal. A vizsgált egyszerűsített szerkezetet F0 5.5 kN erővel terheljük. A tehelést négy lépcsőben visszük fel. 15. táblázat: A számításhoz alkalmazot adatok [4] Rugalmassági-modulus Poisson-szám Súrlódási tényező A maghuzal sugara A két külső rétegben lévő huzalok sugara Külső spirális huzalok száma Menetemelkedési szög Axiális terhelő erő rögzített végű sodrat esetén Axiális terhelő erő szabad végű sodrat esetén
E=206843 MPa ν=0.25 μ=0; 0.115 R1=2.616 mm R2=2.565 mm; R3=2.438 mm m2=6; m3=12 α2=82.51°; α3=-75.51° 212.752 kN; (5.5 kN)* 80.0 kN; (5.5 kN)*
* az F0=5.5 kN nagyságú terhelés az 1+2+2 szerkezetre vonatkozik.
4.1 Egyszerűsített sodratszerkezet nem elforduló véggel, z 0 Az egymást keresztező szálaknál a súrlódás miatt olyan erők keletkeznek, amelyek a szálak csavaró, hajlító, húzó igénybevételeiben szakadást idéznek elő. Mivel a szimmetrikus felépítésből és a terhelésből adódóan az egyes rétegek szálaiban azonos állapotok uralkodnak, így csak az első szálakra vonatkozóan mutatjuk az eredményeket. A szálaknál keletkező érintkezési nyomóerő a belső szál és a maghuzal közötti érintkezési nyomásban is nagymértékű hullámzást okoz. (lásd 30. ábra). Ezen a diagramon láthatjuk, hogy számos helyen addhézió van, de több helyen csúszás lép fel a mag és a belső szál között. Az egyik legjelentősebb igénybevétel a szálak húzása, a keletkezett húzóigénybevételeket a 31. ábra mutatja. A mag viseli a legnagyobb igénybevételt, a külső a legkisebbet. A 32. ábran a külső szálak csavaró nyomatékának megoszlását szemlélhetjük. A szálak keresztezési helyén jól látható a szakadás, ami összhangban van a súrlódó erőből számolttal. A Mises redukált feszültség szálak menti megoszlása a 33. ábran látható. A legnagyobb értékek a külső szálak kezdeti és vég keresztmetszeteiben találhatók. Távol a befogástól természetesen a szálak kölcsönhatásából adódóan a feszültség nem állandó. A jelen szerkezetben a külső szálak nagyobb mértékben terheltek mint a belső szálak, illetve a mag szál. Vagyis a hajlítási, csavarási igénybevételek jelentősek a húzáshoz képest.
49
6
F =5500 N, nszal=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, =0 0 -4 z x 10
F =5500 N, nszal=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, =0 0 z 5 4.5
4
4 p [N/mm]: - , *pn [N/mm]: *
Angular displacement in the first wire of the inner layer 3 [rad]
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
2
0
-2
3.5 3 2.5 2 1.5 1
-4
0.5 -6
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
0
500
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
30. ábra: Szögelfordulás az 1. réteg szálaiban az egyes terhelési lépcsőknél 1: -, 2: --, 3: -., 4: -: a), a súrlódási határ feszültség pn a mag és a belső szál között ill a τ csúsztató feszültség a 4. terhelési lépcsőben: b). ahol τ pn adhézió van, ahol τ pn a mag és a belső szál között csúszás lép fel F0=5500 N, nwire=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z =0
F0=5500 N, nwire=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z =0
1800
1600
1600
1400
1400
1200
1200 N [N]
N [N]
1000 1000
800
800 600
600
400
400 200
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
200
500
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
F0=5500 N, nwire=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z =0 600 550 500 450
N [N]
400 350 300 250 200 150 100
0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
31. ábra: Húzóigénybevétel a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban
50
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=5500 N, nwires=2,2,nelemw=96, menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z =0
F0=5500 N, nwires=2,2,nelemw=96, menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z =0
40
8 6 Load number 1: -o , 2: - - , 3: - , 4: - - *
Csavaró nyomaték a külsõ szálra [Nmm]
Csavaró nyomaték a belsõ szálra [Nmm]
30 Load number 1: -o , 2: - - , 3: - , 4: - - * 20 10 0 -10 -20
4 2 0 -2 -4
-30
-6
-40 50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
-8 50
450
100
150
200
250 s [mm]
a)
300
350
400
450
b)
F0=5500 N, nszal=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5,ipoisson=ikhi=1, z =0
F0=5500 N, nszal=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5,ipoisson=ikhi=1, z =0
60
20
50 0 40 -20 M3 [Nmm]
M3 [Nmm]
30 20 10 0
-40
-60
-10 -80 -20 -30
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
-100
0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
c) d) 32. ábra: A keresztező szálaknál a súrlódásból származó csavaró nyomaték a) belső szálra átadódó, b) külső szálra átadódó. A belső és a külső szálban keletkező csavaró nyomatékok a különböző terhelési lécsőknél 1: -, 2: --, 3: -., 4: - : c) ill. d)
F0=5500 N, nwire=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z =0
F0=5500 N, nwire=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z =0
80
100 90
70
80 60
e [MPa]
e [MPa]
70 50
40
60 50 40
30 30 20
10
20
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
10
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
51
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=5500 N, nwire=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z =0 160 140 120
e [MPa]
100 80 60 40 20 0
0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
33. ábra: Mises féle redukált feszültség a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban
4.2 Egyszerűsített sodratszerkezet szabadon elforduló véggel, z 0 Az eredményeket a 34. ábra - 37. ábra szemléltetik. Jellegre hasonlókat kapunk, mint a 4.1 fejezetben, nyilván a szögelfordulás (34. ábra, a) diagram) teljesen más az alsó lap szabad elfordulásából adódóan. -3
x 10
F =5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, free 0 z
F =5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, free 0 z 5 4.5
-1
4 p [N/mm]: - , *pn [N/mm]: *
Szögelfordulás az elsõ réteg elsõ szálában 3 [rad]
0
-2
-3
-4
-5
3.5 3 2.5 2 1.5 1
-6
-7
0.5 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
0
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
34. ábra: Szögelfordulás az 1. réteg szálaiban az egyes terhelési lépcsőknél 1: -,2: --,3: -.,4: -: a), a súrlódási határ feszültség pn a mag és a belső szál között, ill a τ csúsztató feszültség a 4. terhelési lépcsőben: b), ahol τ pn adhézió van, ahol τ pn a mag és a belső szál között csúszás lép fel
52
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, z free
F0=5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, z free
1800
1600
1600
1400
1400
1200
1200 N [N]
N [N]
1000 1000
800
800 600
600
400
400 200
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
200
500
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
F0=5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, z free 550 500 450
N [N]
400 350 300 250 200 150 100
0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
35. ábra: Húzóigénybevétel a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban
F0=5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, z free
F0=5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, z free
80
100 90
70
80 60
e [MPa]
e [MPa]
70 50
40
60 50 40
30 30 20
10
20
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
10
0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
53
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, z free 150
e [MPa]
100
50
0
0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
36. ábra: Mises féle redukált feszültség a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban F0=5500 N, nszal=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=5500 N, nszal=2,2,nelemw=96,menet=2,np=5, ipoisson=ikhi=1, z free
8
40
6 Csavaró nyomaték a külsõ szálra [Nmm]
Csavaró nyomaték a belsõ szálra [Nmm]
30 Load number 1: -o , 2: - - , 3: - , 4: - - *
20 10 0 -10 -20
Load number 1: -o , 2: - - , 3: - , 4: - - *
4 2 0 -2 -4 -6
-30 -40 50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
-8 50
450
100
150
200
a)
250 s [mm]
300
350
400
450
b)
F =5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, free 0 z
F =5500 N, nszal=2,2, nelemw=96, menet=2, p=5, free 0 z
140
70 60
120
50 40 30
80
M3 [Nmm]
M3 [Nmm]
100
60
20 10 0
40
-10 20
0
-20 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
-30
0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
c) d) 37. ábra: A keresztező szálaknál a súrlódásból származó csavaró nyomaték a) belső szálra átadódó, b) külső szálra átadódó. A belső és a külső szálban keletkező csavaró nyomatékok a különböző terhelési lécsőknél 1: -, 2: --, 3: -., 4: - : c) ill. d)
54
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Megállapíthatjuk, hogy a befalazási végektől egy bizonyos távolságra az egyes igénybevételek periódikusan azonos értéket vesznek fel. A húzási igénybevételen túl a hajlítási, csavarási igénybevételeknek a szerepe jelentős. Ehhez a példához kapcsoltan bemutatjuk az érintkezési erőkre vonatkozó (59)-(64) alatti iteráció konvergenciáját. A vizsgált rugó, az első réteg 1 jelű szálán a második. 16. táblázat: A kontakterő értékek konvergenciája s 1 5
10
13
u K u 2
5.69 106
8.21 109
8.28 109
4.42 1012
FH
185.761
189.578
189.247
189.266
8.368 103
8.482 103
8.472 103
8.473 103
9.190 103
8.481 103
8.471 103
8.473 103
213.797
189.545
189.214
189.266
cNL FH / H
22198.750
22349.734
22336.716
22337.452
cNL , num FH , num / H , num
23263.602
22348.441
22335.413
22337.453
H FH / cH
1/ m
H , num u1 u K
FH ,num cH H ,num
m
Az 16. táblázat szerinti számítás jól demonstrálja a konvergenciát. Elvileg az u K u2 nek zérusnak kell lennie, ami igen kis hibával teljesül, továbbá az egész szerkezetre vonatkozó feladat megoldásából kapott, (62) szerint számolt, FH érintkezési erőnek meg kell egyeznie az FH , num erővel, ami az 1 K pontok közzé helyezett nemlineáris rugóban, a Hertz képlete alapján számított H , num u1 uK összenyomódásból keletkezett. Az iteráció első tíz lépésében az egész szerkezet számításánál a Poisson hatás csak fokozatosan kerül bevezetésre, azaz 2 N e , ( s 1) d e g ( s ) e e e s / 10 , s=1,…,10. A E 2 e 1
Mivel végezetül a H és a H , num érték azonos, a nemlineáris rugót helyettesítő lineáris rugó állandók cNL és cNL , num is gyakorlatilag azonosak. Hasonlóan, a mag és az első szál közti rugalmas közegnél az érintkezési nyomás meghatározására vonatkozó iteráció konvergenciája fenn áll.
55
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 4.3 1+6+12 szerkezetű sodrat vizsgálata A p-verziós végeselemes szoftverhez kifejlesztésre került egy kezelőfelület a bemenő adatok definiálására (38. ábra), valamint egy megjelenítő felület, amelyen az elemek és csomópontok kapcsolódását lehet megfigyelni. A bemenő adatokhoz kapcsolódó input adat file-okról bővebben a C. függelékben található információ. A pontérintkezésnél használt diszkrét rugóelemek, valamint a vonalérintkezésnél definiált rugalmas ágyazás szintén láthatóvá tehető. A megjelenítés során az egyes huzalok ábrázolása, illetve az elemek számozása tetszőlegesen ki/bekapcsolható. A 39. ábra-n az 1+6+12-es szerkezet megjelenítése látható, amikor a legkülső rétegben lévő huzalok közül csak egy van bekapcsolva. A 40. ábra az első és a második réteg egy-egy huzaljának érintkezését szemlélhetjük. A két huzal négy helyen érinti egymást, ezeken a pontokon diszkrét rugóelemek láthatóak. A maghuzal és az első réteg egy huzalja között definiált rugalmas ágyazást mutatja a 41. ábra, a legkülső réteg kikapcsolt állapota mellett.
38. ábra Az input adatok bevitelére szolgáló felület 4.3.1 Rögzített végű sodrat húzása A 17. táblázat tartalmazza az eredmények összevetését a Costello példában találtakkal rögzített végű sodrat esetére ( z 0 ). Az egy huzalban lévő elemek száma, nelemw 96 . Az axiális ébredő erőt és csavaró nyomatékot összehasonlítva az egyezés rendkívűl jónak mondható. A számítást egy Intel Pentium 4-es számítógépen végeztük, ami 3GHz-es processzorral és 2 Gb memóriával rendelkezik. A számítási idő 47 perc volt. 17. táblázat: Eredmények összehasonlítása Fz [kN] Mz [Nm] Costello [4] 212.752 -276.863 212.752 -261.747 p-verzió 56
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
39. ábra: 1+6+12 szerkezetű sodrat megjelenítése
40. ábra: Két keresztező huzal érintkezése
41. ábra: Rugalmas ágyazás a maghuzal mentén
A 42.a, 43.a és 44.a ábrákon lévő rúderő diagramokból látszik, hogy a maghuzalban ébred a legnagyobb húzóerő. Az első rétegben ennél kb. 5%-kal, a második réteg huzaljaiban pedig 25%-kal kisebb ébredő rúderő van jelen, ami nem egy jelentős eltérés. A redukált feszültség azonban más képet mutat. Az átlagos feszültség nagyjából azonos értékű mindhárom huzal esetén, azonban a két külső rétegben a keresztező szálak érintkezése miatt ébredő kontaktterhelés hatására itt az érintkezési helyeken magasabb 57
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel feszültség érték adódik. A maghuzalhoz képest az eltérés az első rétegben 11.5%, a külső rétegben 13.1%. Ez a sodrat tervezés szempontjából fontos jellemző, főleg ha nagy igénybevételnek lesz kitéve a kötél. A diagramokból továbbá az is megfigyelhető, hogy nem teljesen simák az eloszlás görbék. Ez a huzalok kölcsönhatásából adódik. Ez a hatás különösen feltűnő a 42.c., 43.c. és 44.c. ábrákon látható M 3 csavaró nyomaték eloszlásoknál és a 42.e., 43.e. és 44.e. ábrákon látható e redukált feszültség eloszlásoknál. A periodikus lengés a második réteg ellentétes menetemelkedésből származik, ugyanis ahol keresztezi az első réteg huzaljait ott nagyobb terhelés éri az adott huzalt. Ez a hullámzás a további eredményeken (kontaktnyomás (45. ábra), csúsztató feszültség (46. ábra), stb.) is megfigyelhetők. Ahol a csúsztató feszültség eléri a határfeszültséget, ott a két huzal között relatív elmozdulás történik, és kopásra veszélyes lesz. A 40. ábrán ilyen hely a befogás közelében van, a további szakaszokon a huzalok egymáshoz tapadnak. F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
16000
15
14000
10
12000 5 N [N]
M1 [Nmm]
10000 8000
0
-5 6000 -10
4000 2000 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-15 0
500
50
100
a) Rúderő
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
b) Hajlító nyomaték
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
15
150 100
10 50
M3 [Nmm]
0
0
-5
-50 -100 -150 -200
-10 -250 -15 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-300 0
500
50
c) Hajlító nyomaték
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
d) Csavaró nyomaték
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 700
600
500 e [MPa]
M2 [Nmm]
5
400
300
200
100 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
e) Redukált feszültség 42. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) 58
500
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 1500
12000
1000
10000
500 M1 [Nmm]
N [N]
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 14000
8000
0
6000
-500
4000
-1000
2000 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-1500 0
500
50
100
a) Rúderő
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
b) Hajlító nyomaték
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
2500
100
2000 50 1500
M3 [Nmm]
500 0
0
-50
-500 -100 -1000 -1500 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-150 0
500
50
c) Hajlító nyomaték
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
d) Csavaró nyomaték
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 900 800 700 600 e [MPa]
M2 [Nmm]
1000
500 400 300 200 100 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
e) Redukált feszültség 43. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e)
59
500
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
11000
2000
10000
1500
9000
1000 500 M1 [Nmm]
N [N]
8000 7000 6000
0 -500
5000
-1000
4000
-1500
3000 2000 0
100
200
300 s [mm]
400
500
-2000 0
600
100
a) Rúderő
200
300 s [mm]
400
500
600
b) Hajlító nyomaték
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
5000
0
4000 -50
M3 [Nmm]
2000 1000
-100
-150
0 -200 -1000 -2000 0
100
200
300 s [mm]
400
500
-250 0
600
100
c) Hajlító nyomaték
200
300 s [mm]
400
500
600
d) Csavaró nyomaték
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 1000 900 800 700 e [MPa]
M2 [Nmm]
3000
600 500 400 300 200 100 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
e) Redukált feszültség 44. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e) A két réteg közötti kölcsönhatást adó Hertz-erőből számított határterhelés és a keletkező nyíró erő a 49. ábran látható. E diagramból kiderül, mely pontokban történik csúszás, és mely helyeken van tapadás a két külső rétegben lévő huzalok között. A folyamatos vonal a FH határterhelést, a pontok az adott helyen ébredő súrlódó erőt jelentik. Ahol a pontok a folyamatos vonal, azaz a határterhelés alatt vannak, ott tapadás, ahol a görbével egybeesnek, ott relatív elmozdulás, csúszás történik. Ezek lesznek a veszélyes helyek a súrlódásos kifáradás szempontjából. Jelen eset azt mutatja, hogy a veszélyes hely a befogás környezetében van. Amint már korábban is szóltunk róla a terhelés felvitele a szerkezetre több lépcsőben történt, ezért a diagramokban a 4 különböző görbe a 4 terhelési lépcsőnek 60
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel megfelelő állapotot mutatja. büntetőparamétert választottunk.
A
kontaktfeladat
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
megoldása
c 1.5 106
során
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
200
6
180 5 p [N/mm]: - , *pn [N/mm]: *
160
pn [N/mm]
140 120 100 80
3
2
60
4
40
1
20 0 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
0 0
500
45. ábra: Kontaktnyomás eloszlás a maghuzal és az első réteg huzalja között
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
46. ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
1500
0.012
Relativ elmozdulas [mm]
0.01
FH [N]
1000
500
0.008
0.006
0.004
0.002
0 0
100
200
300 s [mm]
400
500
0 0
600
47. ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között
100
200
300 s [mm]
400
500
600
48. ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között
F0=212.75 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Surlodo ero (*, o) hatar surlodas (- -, -) [N]
180 160 140 120 100
80 60 40 20 0 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
49. ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között
61
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A rugalmas ágyazás és a diszkrét rugók kontakt jellemzői a 18. táblázatban láthatóak. A bemutatott és konvergált értékek a számítás utolsó terhelési lépcsőjének utolsó iterációs ciklusából származnak. 18. táblázat: Kontakt jellemzők Rugalmas ágyazás a maghuzal és az első réteg között 0.006015 107.023 17793.709 0.1145 2775
Kontakt jellemzők Kontakt deformació, mm Kontakterő, N Rugó merevség, N/mm Kontaktfelület, kistengely, mm Kontaktfelület, nagytengely, mm Kontaktfeszültség, MPa
Diszkrét rugóelem az első és második réteg között 0.03146 1352.898 43006.870 0.2231 0.3710 4843
A 50.a és 50.b ábrákon a sodratban ébredő eredő tengelyirányú erő és csavaró nyomaték konvergencia diagramja látható a pótlólagos állandók által meghatározott szabadságfokok számának függvényében. p 3, 4, 5 pótlólagos állandó számnál az értékek azonosak, konvergált eredményt kaptunk.
F0=212,75kN;nszal=6,12;nelem=96;menet=2;χ=0
F0=212,75kN;nszal=6,12;nelem=96;menet=2;χ=0
212,80
Mz, [Nm]
Fz, [kN]
212,70 212,60 212,50 212,40 212,30 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Szabadságfokok száma x
104
262,30 262,20 262,10 262,00 261,90 261,80 261,70 261,60 261,50 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Szabadságfokok száma x 104
50. ábra: A polinomok fokszámának hatása az eredmények pontosságára, p=1,…,5 a) A sodratban ébredő eredő tengelyirányú erő, b) A sodratban ébredő csavaró nyomaték
4.3.2 Szabadvégű sodrat húzása A 19. táblázat tartalmazza az eredmények összevetését a Costello példában találtakkal szabadvégű sodrat esetére ( z 0 ). Az egy huzalban lévő elemek száma, nelemw 96 . Az F=80.0 kN nagyságú axiális terhelő erő esetén az egységnyi hosszra eső elcsavarodást összehasonlítva az egyezés rendkívűl jónak mondható.
62
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 19. táblázat: Eredmények összehasonlítása Fz [kN] τ [rad/mm] 80.0 0.00037 Costello [4] 80.0 0.00035 p-verzió Az 52.a. és 53.a. ábrákon lévő rúderő diagramokból látszik, hogy az első és a második réteg huzaljaiban ébredő rúderő igen jelentősen különbözik egymástól (~265%). Ez a sodrat tervezés szempontjából fontos jellemző, főleg, ha nagy igénybevételnek lesz kitéve a kötél. A diagramokból továbbá az is megfigyelhető, hogy nem teljesen simák az eloszlás görbék. Ez a huzalok kölcsönhatásából adódik. Ez a hatás különösen feltűnő az 52.c. és 53.c. ábrán látható M 2 hajlító nyomaték és e redukált feszültség eloszlásánál. A periodikus lengés a második réteg ellentétes menetemelkedésből származik, ugyanis ahol keresztezi az első réteg huzaljait ott nagyobb terhelés éri az adott huzalt. Ez a hullámzás a további eredményeken (kontaktnyomás (54. ábra), csúsztató feszültség (55. ábra), stb.) is megfigyelhetők. Ahol a csúsztató feszültség eléri a határfeszültséget, ott a két huzal között relatív elmozdulás történik, és kopásra veszélyes lesz. A 55. ábra-n ilyen hely a befogás közelében van, a további szakaszokon a huzalok egymáshoz tapadnak. A két réteg közötti kölcsönhatást adó Hertz-erőből számított határterhelés és a keletkező nyíró erő az 58. ábra-n látható. A rögzített végű esethez hasonlóan, ahol a pontok a folyamatos vonal, azaz a határterhelés alatt vannak, ott tapadás, ahol a vonallal egybeesnek, ott relatív elmozdulás, csúszás történik. Ezek lesznek a veszélyes helyek a súrlódásos kifáradás szempontjából. Most is, a veszélyes hely a befogás környezetében van. A kontaktfeladat megoldása során c 1.5 106 büntetőparamétert választottunk. A rugalmas ágyazás és a diszkrét rugók kontakt jellemzői a 20. táblázatban láthatóak. A bemutatott és konvergált értékek a számítás utolsó terhelési lépcsőjének utolsó iterációs ciklusából származnak. 20. táblázat: Kontakt jellemzők Kontakt jellemzők Kontakt deformació, mm Kontakterő, N Rugó merevség, N/mm Kontaktfelület, kistengely, mm Kontaktfelület, nagytengely, mm Kontaktfeszültség, MPa
Rugalmas ágyazás a maghuzal és az első réteg között 0.00269 32.087 11909.233 0.0766 1857
Diszkrét rugóelem az első és második réteg között 0.01109 283.028 25530.490 0.1324 0.2203 2875
63
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
8000
20
7000
15 10
6000
5
N [N]
M1 [Nmm]
5000 4000
0 -5
3000
-10
2000 1000 0
-15
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-20 0
500
50
100
a) Rúderő
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
b) Hajlító nyomaték
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
2500
20 15
2000 10
M3 [Nmm]
0 -5
1500
1000
-10 500 -15 -20 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
0 0
500
50
c) Hajlító nyomaték
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
d) Csavaró nyomaték
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free 400 350 300
e [MPa]
M2 [Nmm]
5
250 200 150 100 50 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
e) Redukált feszültség 51. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e)
64
500
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
8000
1500
7000
1000
6000 500
N [N]
M1 [Nmm]
5000 4000
0
-500 3000 -1000
2000 1000 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-1500 0
500
50
100
a) Rúderő
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
b) Hajlító nyomaték
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
1400
2000 1800
1200
1600 1000
M3 [Nmm]
600
1200 1000 800
400 600 200 0 0
400 50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
200 0
500
50
c) Hajlító nyomaték
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
d) Csavaró nyomaték
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free 550 500 450 400 e [MPa]
M2 [Nmm]
1400 800
350 300 250 200 150 100 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
e) Redukált feszültség 52. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e)
65
500
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
2500
2200
2000
2000
1500
1800
1000
1600
500
M1 [Nmm]
N [N]
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free 2400
1400 1200
0 -500
1000
-1000
800
-1500
600 400 0
-2000 100
200
300 s [mm]
400
500
-2500 0
600
100
a) Rúderő
200
300 s [mm]
400
500
600
b) Hajlító nyomaték
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
1000
1600 1400
500
1200
M3 [Nmm]
-500
1000 800
-1000 600 -1500
-2000 0
400
100
200
300 s [mm]
400
500
200 0
600
100
c) Hajlító nyomaték
200
300 s [mm]
400
500
600
d) Csavaró nyomaték
F0=80.0 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free 350 300 250
e [MPa]
M2 [Nmm]
0
200 150 100 50 0 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
e) Redukált feszültség 53. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e)
66
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=80 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=80 kN, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
60
1.6 1.4
p [N/mm]: - , *pn [N/mm]: *
50
pn [N/mm]
40
30
20
10
0 0
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
0 0
500
54. ábra: A kontaktnyomás eloszlása a maghuzal és az első réteg huzalja között
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
55. ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
300
0.016 0.014
250 Relativ elmozdulas [mm]
0.012
FH [N]
200
150
100
0.01 0.008 0.006 0.004
50
0 0
0.002
100
200
300 s [mm]
400
500
0 0
600
56. ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között
100
200
300 s [mm]
400
500
600
57. ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Surlodo ero (*, o) hatar surlodas (- -, -) [N]
35 30 25 20 15 10
5 0 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
58. ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között A 59.a és 59.b ábrákon a sodratban ébredő eredő tengelyirányú erő és a sodratvég szögelfordulásának konvergencia diagramja látható a pótlólagos állandók alapján adódó szabadságfokok számának függvényében. p 3, 4, 5 pótlólagos állandó számnál az értékek azonosak, konvergált eredményt kaptunk.
67
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=80kN;nszal=6,12;nelem=96;menet=2;χ ≠0
F0=80kN;nszal=6,12;nelem=96;menet=2;χ≠0
80,05
9,90 9,88
χz, [°]
Fz, [kN]
80,00 79,95 79,90
9,86 9,84 9,82
79,85
9,80 0
0,5 1
1,5 2
2,5 3
3,5 4
Szabadságfokok száma x
4,5 5
104
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Szabadságfokok száma x
4
4,5
5
104
59. ábra: A polinomok fokszámának hatása az eredmények pontosságára, p=1,…,5 b) A sodratban ébredő eredő tengelyirányú erő, b) A sodrat végének szögelfordulása
4.3.3 Rögzített végű sodrat hajlítása Mind a sodratoknál, mind a köteleknél előfordulhat olyan helyzet, amikor a sodrat futása során ki van térítve egyenes helyzetéből, például egy nagyméretű dobon való áthaladáskor, vagy amikor például a függő terhet a szélterhelés kimozdítja síkjából. Ezekben az esetekben, a hajlítás sugara nagy, ezért alkalmazható a kis elmozdulás, kis alakváltozás feltételezés. Kötélhajtásoknál alkalmazott dobok és tárcsák esetén a sodrat (kötél) és dob átmérőviszonya ezt már nem teszi lehetővé, ott nagy elmozdulás figyelembevétele szükséges. A kutatás során kidolgozott modell ebben a tartományban már nem érvényes, viszont nagy hajlítási sugarak esetén, kis mértékű hajlítás elemzését lehetővé teszi. A vizsgált sodrat a húzó igénybevételnél elemzett sodrattal (4.3 fejezet) megegyező, viszont a terhelést kiegészítjük egy x-irányú Fx=250 N erővel, ami a hajlítást fogja eredményezni. A húzó terhelést továbbra is működtetjük a sodraton, mint egy előfeszítést, ugyanis általában a hajlító terhelés ritkán fordul elő egymagában. A 42-44. és 60-62. ábrákat összevetve látható, hogy a húzóterheléshez viszonyítva igen kis hajlító erő jelentősen megváltoztatja a huzalban ébredő igénybevételeket. Összehasonlítva a 45-49. és 63-67. ábrákat kiderül, hogy az x-irányú hajlító terhelés jelentős változást okoz az érintkező huzalok kölcsönhatásában is. A relatív elmozdulás már a sodrat teljes hossza mentén megjelenik, nemcsak a befogás környezetében és jelentősen nagyobb értéket képvisel.
68
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
600
14000
400
12000
200
10000
0
N [N]
M1 [Nmm]
16000
8000
-200
6000
-400
4000
-600
2000 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-800 0
500
50
100
a) Rúderő
250 s [mm]
300
350
400
450
500
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
4000
150
3500
100 50
3000
0 M3 [Nmm]
2500 2000 1500
-50 -100 -150
1000
-200
500
-250 50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-300 0
500
50
c) Hajlító nyomaték
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
d) Csavaró nyomaték
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
1000
900 800 700 e [MPa]
M2 [Nmm]
200
b) Hajlító nyomaték
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
0 0
150
600 500 400 300 200 100 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
e) Redukált feszültség 60. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e)
69
500
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 4
1.8
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
x 10
4000
1.6
3000
1.4 2000 M1 [Nmm]
N [N]
1.2 1
1000
0.8
0
0.6 -1000
0.4 0.2 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
-2000 0
500
50
100
a) Rúderő
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
b) Hajlító nyomaték
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
5000
2000
4000
1500
3000
1000 500
M3 [Nmm]
1000
0
0 -500
-1000
-1000
-2000 -3000 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
-1500 0
50
c) Hajlító nyomaték
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
d) Csavaró nyomaték
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
1400 1200 1000
e [MPa]
M2 [Nmm]
2000
800 600 400 200 0 0
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
e) Redukált feszültség 61. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e)
70
500
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
11000
2000
10000
1500 1000
9000
500 M1 [Nmm]
N [N]
8000 7000 6000 5000
0 -500 -1000 -1500
4000
-2000
3000
-2500
2000 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
-3000 0
a) Rúderő
100
200
300 s [mm]
400
500
600
b) Hajlító nyomaték
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
7000
300
6000
200
5000 100
M3 [Nmm]
3000 2000 1000 0
0 -100 -200
-1000 -300
-2000 -3000 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
-400 0
c) Hajlító nyomaték
100
200
300 s [mm]
400
500
600
d) Csavaró nyomaték
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
1200
1000
800 e [MPa]
M2 [Nmm]
4000
600
400
200
0 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
e) Redukált feszültség 62. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e)
71
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
250
6
5 p [N/mm]: - , *pn [N/mm]: *
pn [N/mm]
200
150
100
50
0 0
4
3
2
1
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
0 0
500
63. ábra: Kontaktnyomás eloszlás a maghuzal és az első réteg huzalja között
50
100
150
200
250 s [mm]
300
350
400
450
500
64. ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
1500
0.1 0.09
Relativ elmozdulas [mm]
0.08
FH [N]
1000
500
0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
65. ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között
0 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
66. ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között
Fx=250 N, nszal=6,12,nelemw=96,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Surlodo ero (*, o) hatar surlodas (- -, -) [N]
180 160 140 120 100
80 60 40 20 0 0
100
200
300 s [mm]
400
500
600
67. ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között A pontérintkezés során kapott kontakt jellemzői a 21. táblázatban láthatóak. A bemutatott és konvergált értékek a számítás utolsó terhelési lépcsőjének utolsó iterációs ciklusából származnak.
72
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 21. táblázat: Kontakt jellemzők hajlítás esetén Rugalmas ágyazás a Kontakt jellemzők maghuzal és az első réteg között 0.006044 Kontakt deformació, mm 107.797 Kontakterő, N 17836.500 Rugó merevség, N/mm Kontaktfelület, kistengely, mm 0.1148 Kontaktfelület, nagytengely, mm 2782 Kontaktfeszültség, MPa
Diszkrét rugóelem az első és második réteg között 0.03142 1350.239 42298.683 0.2229 0.3708 4840
Mint látható, már egy igen kis értékű hossztengelyre merőleges terhelés (Fx=250N) is a relatív elmozdulás majd 10-szeresét okozza a hossztengelyű terheléshez képest (66. ábra). A relatív elmozdulás a külső rétegben lévő huzalok között Δx= 0.093 mm. Mindeközben a kontaktterhelés szinte semmit sem változik. Az adott terhelési állapot mellett a vizsgált sodrat x-irányú elmozdulása ux=19.77 mm, z-irányú elmozdulása uz=1.57 mm. Fontos megjegyezni tehát, hogyha a sodrat alkalmazása során kismértékű, a hossztengelyre merőleges, vagy azzal valamilyen szöget bezáró terhelésnek lehet kitéve, akkor a relatív elmozdulások jóval nagyobbak lehetnek a huzalok között. Ez azért fontos, mert ez kopáshoz vezethet, és egy bizonyos ciklusszám esetén tönkremenetelhez. Ugyanis a kopás mértéke függ a kontakterőtől, a relatív elmozdulás nagyságától, anyagi paraméterektől és a ciklusszámtól. A számítás konvergenciája hasonlóan igazolható, mint a rögzített és szabadvégű sodratok húzása esetán.
73
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
5. A KIDOLGOZOTT MODELL VALIDÁLÁSA Ebben a fejezetben bemutatásra kerül, hogy a kidolgozott p-verziós módszer milyen összhangban van az irodalomban található számítási és mérési eredményekkel. Három különböző példát választottunk a validáláshoz. Az első példa Costello könyvéből [4] való, mely egy 1+6 szerkezetű sodratot elemez, először tengelyirányú húzó igénybevétel esetén, külön vizsgálva a befogott végű és a szabadon elforduló végű sodratokat, majd hajlító igénybevétel esetére is. Az eredményeket a Costello-elméletben [4] található formulákkal elvégzett számításokkal hasonlítottuk össze. Costello példájára azért esett a választás, mert az ő általa elért eredményeket mindenki elismeri, könyve és cikkei alapműnek számítanak a sodratokkal foglalkozók körében. A számítást egy Intel Pentium 4-es számítógépen végeztük, ami 3GHz-es processzorral és 2 Gb memóriával rendelkezik. A számítási idő 20 perc volt. A Costello-elméletben a húzó terhelés, mint tengelyirányú fajlagos nyúlás van definiálva, (ε), és eredményként kapjuk meg a tengelyirányú erőt. A p-verziós végeselemes szoftverben a tengelyirányú erőt tudjuk definiálni, és eredményként a tengelyirányú fajlagos nyúlást fogjuk megkapni. A 23. táblázat-24. táblázatokban a húzó igénybevételre elvégzett számítás eredményeit hasonlíthatjuk össze mindkét befogási mód esetén. Az eredmények kiváló összhangban vannak egymással. 22. táblázat: Számításhoz alkalmazott adatok [4] Rugalmassági-modulus Poisson-tényező A maghuzal sugara Külső spirális huzal sugara Külső spirális huzalok száma A sodrat menetemelkedése Menetemelkedési szög Tengelyirányú fajlagos nyúlás A hajlításhoz alkalmazott dob sugara
E=196500 MPa ν=0.25 R1=2.6162 mm R2=2.5654 mm m2=6 H2=247.65 mm α2=82.51° ε=0.003 ρ=2438.4 mm
23. táblázat: Eredmények összehasonlítása rögzített végű sodrat húzása esetén Húzás Rögzített végű sodrat Eredmények Costello-elmélet p-verziós VEM 83647.2 N 83647.2 N Tengelyirányú erő a sodratban: Fz 45878.4 Nmm 48350 Nmm Csavaró nyomaték a sodratban: Mz 2.9718 mm 2.9606 mm Tengelyirányú elmozdulás: uz 589.5 MPa 582.7 MPa Normálfeszültség a huzalban: σ 24. táblázat: Eredmények összehasonlítása szabadon elforduló végű sodrat húzása esetén Húzás Eredmények Szabadon elforduló sodrat Costello-elmélet p-verziós VEM 74548.6 N 74548.6 N Tengelyirányú erő a sodratban: Fz 0.03659 mm 0.0324 mm Tengelyirányú elmozdulás: uz 1.052 rad 1.052 rad Szögelfordulás: Θz 719 MPa 732.2 MPa Normálfeszültség a huzalban: σ
74
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A p-verziós szoftver a Hertz-elmélet alapján számítja a kontakt paramétereket. A 25. táblázat tartalmazza az érintkező felületek között definiált rugó állandóját, az érintkezési sáv szélességét, a maximális kontaktnyomást és a kontakt deformáció értékét mindkét befogási mód esetén. 25. táblázat: Kontakt paraméterek Rugóállandó, c Érintkezési sáv szélessége, b Maximális kontaktnyomás, p0 Kontakt deformáció, δ
Rögzített végű sodrat 29446 N/mm2 0.02447 mm 1019.34 MPa 0.00133 mm
Szabadon elforduló sodrat 28997 N/mm2 0.02237 mm 932.14 MPa 0.00113 mm
A hajlító igénybevétel számításánál ugyanazokat a geometriai és anyagadatokat használtuk, mint a húzás esetében. A feladat egy ρ sugarú dobra történő hajlításként értelmezhető. A számítási eredmények a 26. táblázatban találhatóak, illetve 68. ábra-n láthatunk egy diagramot, ahol a külső huzalban ébredő hajlító nyomaték van ábrázolva a sodrat hosszának függvényében. 26. táblázat: Számítási eredmények összehasonlítása hajlítás esetén Hajlítás Eredmények Costello-elmélet p-verziós VEM 19240 Nmm 19240 Nmm Hajlító nyomaték a sodratban: My 2712 Nmm 2712 Nmm Hajlító nyomaték egy spirális huzalban: M1 204.5 MPa 204.6 MPa Normálfeszültség egy spirális huzalban: σ A számítások során a p-verziós szoftverrel négy menetemelkedés hosszúságú sodratot vizsgáltunk, az eredményeket pedig a sodrathossz közepének megfelelő helyről vettük ki. A szoftver nem csak egy végtelen hosszú sodrat közepén lejátszódó viselkedés elemzésére alkalmas, hanem a befogás hatását is képes figyelembe venni. A második példa Ghoreishi [41] cikkéből való. Ő elsősorban rostszálú sodratokkal foglalkozott, de acélból készült szerkezetet is elemzett. A [41] cikkében egy részletes összefoglalást ad az irodalomban található legjelentősebb analitikus modellekről és jellemzőikről, melyeket felhasználva összehasonlítást készít az általa kidolgozott h-verziós végeselemes modellel. Emiatt az összehasonlítás miatt választottuk ezt a példát, mert így nemcsak egy, hanem egyszerre több (egészen pontosan kilenc) modellel is összehasonlíthatjuk az eredményt. Ez szintén egy 1+6 szerkezetű sodrat a [41] irodalom adatai alapján (27. táblázat). A terhelés tengelyirányú húzás. 27. táblázat: Számításhoz alkalmazott adatok Rugalmassági-modulus Poisson-tényező A maghuzal sugara Külső spirális huzal sugara Külső spirális huzalok száma Menetemelkedési szög Tengelyirányú terhelő erő
E=197900 MPa ν=0.3 R1=1.97 mm R2=1.865 mm m2=6 α2=2.5-35° F=40 kN 75
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A (74) egyenlet alapján, meghatároztuk a merevségi mátrix elemeit különböző menetemelkedési szögek esetére, és összehasonlítottuk az [41]-ban található diagramokkal (28. táblázat). Mint az a 69. ábra - 71. ábra-n is látható, az eredmények jó egyezést mutatnak egymással. A merevségi mátrix elemei dimenziótlanított mennyiségek. A (74) egyenletben szereplő jelölések a következők: Fz a rúderő, Mz a csavarónyomaték, K11, K12, K21, K22 a merevségi mátrix elemei, uzz uz / z, zz z / z a tengelyirányú fajlagos nyúlás és szögelfordulás. Az u zz , zz meghatározásához a négy menetemelkedés hosszúságú sodrat azon szakaszát tekintettük csak, amely távol van a befogásoktól, tehát azok hatását nem vettük figyelembe, mivel az irodalmi eredmények végtelen hosszúságú kötél közepének megfelelő helyre vonatkoznak. A zavarásmentes hossz kezdeti és végpontjának elmozdulását, illetve szögelfordulását elosztva a zavarásmentes szakasz hosszával meghatározhatók az u zz , zz értékek. Fz K 11 M K z 21
K 12 u zz K 22 zz
(74) 28. táblázat: Merevségi mátrix elemek összehasonlítása Merevségi mátrix elemek α=73° p-VEM 3D-VEM Mérés
K11 [kN]
K12=K21 [Nm]
K22 [Nm2]
13430 13200 -
12790 12400 -
27.07 26.74 -
Mz [Nm] (rögzített végű sodrat) 38.06 36.7 34.4
Θzz [rad/m] (szabadon elforduló végű sodrat) 2.493 2.509 2.553
Hajlító nyomaték egy spirális huzalban Analitikus modell
3000
p-verziós VEM
M1 [Nmm]
2000 1000 0 0
200
400
600
800
-1000 -2000 -3000
Sodrathossz [mm] 68. ábra: Hajlító nyomaték eloszlás összehasonlítása a sodrat hossza mentén
76
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 2
0,5 p-version FEM
0,45
1,8 LAB, HRU, McC, MAC, SAT
1,6
0,4 0,35
COS, KU, RAM
1,4
0,3
K
K
h-version FEM
1,2
0,25 p-version FEM
0,2
LAB, HRU, McC, MAC, SAT
0,15
1
COS, KUM, RAM
0,1 0,8
h-verion FEM
0,05 0
0,6 0
10
20
30
0
40
10
Menetemelkedési szög
20
30
40
Menetemelkedési szög, [°]
70. ábra: K21=K12 merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében
69. ábra: K11 merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében 0,4 0,35 0,3
K22
0,25 0,2
p-version FEM LAB, McC
0,15
HRU COS, KUM, MAC
0,1
SAT RAM
0,05
h-version FEM
0 0
10
20
30
40
Menetemelkedési szög, [°]
71. ábra: K22 merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében A validáláson kívűl még további eredményeket is sikerült elérni. Például a szabadon elforduló végű sodratoknál a menetemelkedés függvényében meghatároztuk az sodrat végének elfordulását (72. ábra). Ezenkívűl összehasonlító diagramokat szerkesztettünk a különböző befogási módok hatásának vizsgálatára a kontakt-paraméterekkel kapcsolatban (73. ábra. és 74. ábra). A diagramok elkészítéséhez az eredményeket a sodrathossz közepének megfelelő helyről vettük ki. A harmadik példában a számítási eredményeket mérési adatokkal is összehasonlítjuk. A mérési adatok viszonylagos hiánya miatt a kutatók nagy része Utting és Jones munkáira [34],[35] hivatkozik a publikációikban, amikor eredményeiket verifikálják. Ezt alapul véve, a [30] alapján egy 1+6+12 szerkezetű sodrat vizsgálatát végeztük el, ahol a külső rétegekben lévő huzalok azonos irányban vannak feltekerve a maghuzalra, 0 (1) (2) . Ez alapján a második rétegben lévő huzalok menetemelkedése H (2) nagyobb, mint az első rétegben lévő huzaloké. Emiatt a két réteg között pontérintkezés alakul ki. Definiáljuk a menetemelkedési tényezőt: n p H (2) / H (1) . A számítás kiinduló adatait a 29. táblázat tartalmazza.
77
18
4500
16
4000
14
3500
Kontaktnyomás - rögzített végű sodrat Kontaktnyomás - szabadvégű sodrat
Kontaktnyomás, [N/mm2]
Elcsavarodás, [°]
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
12 10 8 6 4 2
3000 2500 2000 1500 1000 500
0
0
0
10 20 30 Menetemelkedési szög, [°]
0
40
10
20
30
40
Menetemelkedési szög, [°]
72. ábra: Szabadon elforduló végű sodrat elcsavarodása a menetemelkedés függvényében
73. ábra: Kontaktnyomás változása a menetemelkedés függvényében különböző befogási módoknál
Érintkező testek közeledése, [mm]
0,014
Közeledés - rögzített végű sodrat
0,012
Közeledés - szabadvégű sodrat 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0 0
10
20
30
40
Menetemelkedési szög, [°]
74. ábra: Kontaktdeformáció változás a menetemelkedés függvényében különböző befogási módoknál 29. táblázat: A számításhoz szükséges adatok, [30] Rugalmassági-modulus Poisson-tényező Súrlódási tényező A maghuzal sugara A két külső rétegben lévő huzalok sugara Külső spirális huzalok száma Menetemelkedési szög Axiális terhelő erő
E= 188 000 MPa ν=0.3 μ=0; 0.115 ( 0) d / 2 =3.66 mm d (1) / 2 =3.33 mm d ( 2) / 2 =3.33 mm m1 =6; m2 =12
(1) = 75.3677°; ( 2) = 75.6217° 100 kN és 175 kN
A vizsgált sodrat belső rétege két teljes menetemelkedés hosszúságú, és tengelyirányú húzó erővel terhelt. A sodrat alsó vége lehet rögzített és szabadon elforduló egyaránt. A szerkezet hossza Lst 168.22 mm . A 30. táblázat-31. táblázat tartalmazza a szerkezet 78
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel globális merevségére jellemző értékeket (u z , z , , , M z ) , melyeket a számítás során meghatároztunk. Nyilvánvalóan, a szabadon elforduló végű sodrat esetén a sodrat elfordulásával kell számolni, valamint nagyobb axiális nyúlással, ugyanakkor kisebb maximális feszültséggel, mint a rögzített végű sodratnál. A huzalok közötti kölcsönhatást a fentebb leírt módon vesszük figyelembe. A p-verziós modell és szoftver alkalmazhatóságának és pontosságának bizonyítása a szerkezetre meghatározott globális merevséghez tartozó értékek összehasonlítása alapján történt. 30. táblázat: Szabadvégű sodrat globális merevségéhez tartozó eredmények Szabadvégű sodrat u z [mm] z [rad ] u z / L z / L L 168.22 mm F 50 kN 0.8765 0.4014 0.00522 0.00239 W 0, 12 0 1.7482 0.8049 0.01039 0.00479 F 100 kN F 50 kN 0.8791 0.4031 0.00523 0.00239 W 0, 1 2 0 1.7529 0.8081 0.01042 0.00486 F 100 kN F 50 kN F 100 kN F 50 kN
0.8778 1.7503
0.4029 0.8080
0.00522 0.01040
0.00239 0.00480
W 0, 1 2 0
0.8799 1.7546
0.4045 0.8111
0.00523 0.01043
0.00240 0.00482
W 0, 1 2 0
F 100 kN W súrlódási tényező a maghuzal és az első réteg huzaljai között 1 2 súrlódási tényező az első és a második réteg huzaljai között
31. táblázat: Rögzített végű sodrat globális merevségéhez tartozó eredmények Rögzített végű sodrat u z [mm] M z [kNmm] u z / L st Lst 168.22 mm ( 2) = 75.6217° F 87.5 kN 0.6126 113.39 0.003641 W 0, 12 0 1.2068 226.78 0.007173 F 175 kN F 87.5 kN F 175 kN
0.6146 1.2100
113.31 227.65
0.003651 0.007193
W 0, 1 2 0
A [30]-ban talált számítási eredményeket összehasonlítottuk a kidolgozott modell által szolgáltatott eredményekkel (75. ábra - 77. ábra). Az egyezés a görbék között nagyon jó. A diagramok mérési adatokat is tartalmaznak, Utting és Jones alapján [31]. Az eredmény azt mutatja, hogy a súrlódásnak elhanyagolható hatása van a sodrat globális viselkedésére. Azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a kifejlesztett modell jól leírja a szerkezet mechanikai viselkedését a rugalmas tartományban. Rugalmas-képlékeny deformáció csak nagyobb terhelés esetén fordul elő ( F 175 kN rögzített végű sodrat esetén), ebben az esetben a modellünk nem érvényes. A különböző rétegekben elhelyezkedő huzalokban ébredő egyéb jellemző igénybevételekről, valamint az egyes rétegek közötti kölcsönhatásról további diagramokat, hasonlóan a 4.3.1 és 4.3.2 fejezetekben közölt diagramokhoz, a C. függelék tartalmaz. 79
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
75. ábra: A tengelyirányú erő változása a sodrat tengelyirányú nyúlásának függvényében rögzített végű sodrat esetén
76. ábra: A tengelyirányú erő változása a csavaró nyomaték függvényében rögzített végű sodrat esetén
77. ábra: A tengelyirányú erő változása a elcsavarodás függvényében szabadon elforduló végű sodrat esetén
80
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
6. TERVEZÉSI GÖRBÉK ELŐÁLLÍTÁSA Egy kétrétegű sodrat elemzését végeztük el a Costello-könyv [4] alapján. A 32. táblázat tartalmazza a vizsgált szerkezet geometriai és anyag adatait. Megvizsgáltuk, hogy az egyes geometriai paraméterek miként befolyásolják a szerkezet igénybevételét, és 3D-s tervezési görbéket szerkeszettünk a kapott eredmények alapján, melyek a 78. ábra - 85. ábrakon láthatóak. A 78. ábra - 80. ábra a különböző rétegekben lévő huzalokban ébredő maximális Mises redukált feszültséget mutatja a menetemelkedési szög és a huzal sugarak arányának függvényében. Öt különböző menetemelkedési szög értéket és sugárarányt vizsgáltunk, a számítások során alkalmazott értékek a 33. táblázatban láthatóak. A vizsgált szerkezet esetén rögzített és szabadvégű végű sodratot is vizsgáltunk. A tervezési görbék megszerkesztéséhez felhasznált eredmények (Mises redukált feszültség, kontaktfeszültség, kontakterő) a vizsgált sodrathosszúság közepének megfelelő helyről származnak. 32. táblázat: A sodrat számításhoz felhasznált kiinduló adatok E=206843 MPa Rugalmassági-modulus ν=0.25 Poisson-tényező μ=0; 0.115 Súrlódási tényező R1=2.616 mm A maghuzal sugara R2=2.565 mm; R3=2.438 mm A két külső rétegben lévő huzalok sugara m2=6; m3=12 Külső spirális huzalok száma α2=82.51°; α3=-75.51° Menetemelkedési szög 212.752 kN Axiális terhelő erő rögzített végű sodrat esetén 80.0 kN Axiális terhelő erő szabad végű sodrat esetén A külső rétegben lévő huzalok sugarának aránya, R2/R3 1.05 33. táblázat: Módosított adatok a paraméter analízishez Menetemelkedési szög, A külső rétegben lévő huzalok sugarának aránya, [°] R2/R3 75 1.05 78 1.07 80 1.09 82.51 1.11 85 1.13
6.1 Rögzített végű sodrat, {1},{5},{8} A 78. ábra - 80. ábra-n a Mises-féle redukált feszültség látható a különböző rétegek huzaljaiban. A maghuzal esetén a Mises feszültség kisebb értékű a menetemelkedési szög nagyobb, és a sugárarány alacsonyabb értékénél. Növelve a sugárarányt, a Mises feszültség is növekszik 3.0%-kal az α=85°-nál, és 0.54%-kal az α=75°-nál. Állandó sugárarány esetén a Mises feszültség növekszik a menetemelkedési szög csökkentésével. Hasonló jelleg figyelhető meg a belső réteg huzaljaiban, azonban egy magasabb feszültség szinten. A feszültség 2.59%-kal nagyobb α=85°-nál, és közel állandó α=75°-nál. A külső huzalok esetén ez a tendencia megváltozik. A feszültség minimum értéke alacsony menetemelkedési szögnél és alacsony sugáraránynál található. Ennek magyarázata egyrészt a pontérintkezésben kereshető, másrészt a kontaktfelületek nagysága a magasabb sugárarány esetén kisebb, ezért a kontaktfeszültség itt nagyobb lesz. A sugárarány növelése 81
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel a feszültség 9.55%-os (α=85°-nál), illetve 7.21%-os (α=75°-nál) növekedéséhez vezet. Állandó sugárarány esetén a feszültség növekszik a menetemelkedési szög növelésével. A legnagyobb feszültség a külső huzalokban van nagy menetemelkedési szög esetén kb. 80°ig, míg a legkisebb feszültség a maghuzalban ébred, azonban kisebb menetemelkedési szög esetén ez megváltozik, és a belső rétegben lesz nagyobb a feszültség értéke, és a külső huzalban lesz a legkisebb. Ez a tendencia a sugárarány változtatásával is megmarad. Nézzük a kontaktfeszültség alakulását a maghuzal és az első réteg között (81. ábra). Magas menetemelkedési szög esetén értéke nagyon alacsony, de csökkentve a szög értékét, a kontaktfeszültség meglehetősen gyorsan és nemlineáris módon növekszik. Állandó menetemelkedési szög esetén a kontaktfeszültség 3.03% (α=85°-nál) - 4.75%-kal (α=75°nál) csökken a sugárarány függvényében. A külső rétegben, a keresztező szálak közötti kontakterő eloszlást láthatjuk az 82. ábra-n. Maximum értéke alacsony menetemelkedési szög és alacsony sugárarány értéknél található. Növelve a menetemelkedési szög értékét a kontakterő jelentősen csökken, és magasabb sugárarány esetén is alacsonyabb kontakterő értékek figyelhetők meg. A 83. ábra alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a redukált csavaró nyomaték kisebb menetemelkedési szög és kisebb sugárarány esetén magasabb, valamint a menetemelkedési szög nagyobb befolyásoló hatással van rá. Hasonló tendenciát tapasztalt Utting és Jones is [34],[35].
6.2 Szabadvégű sodrat A 78. ábra - 80. ábra-n a Mises-féle redukált feszültség eloszlást vizsgálva a különböző rétegek huzaljaiban a következő megállapításokat tehetjük: a maghuzal esetén a Mises feszültség kisebb értékű a menetemelkedési szög nagyobb, és a sugárarány alacsonyabb értékénél. A sugárarányt növelve a Mises feszültség is növekszik 7.54%-kal az α=85°-nál, és 4.00%-kal az α=75°-nál. Állandó sugárarány esetén a Mises feszültség növekszik a menetemelkedési szög csökkentésével. Hasonló jelleg figyelhető meg a belső réteg huzaljaiban, azonban egy magasabb feszültség szinten. A feszültség 5.98%-kal nagyobb α=85°-nál, és 3.29%-kal α=75°-nál. A külső huzalok esetén ez a tendencia megváltozik. A feszültség minimum értéke alacsony menetemelkedési szögnél és alacsony sugáraránynál található. Ennek magyarázata egyrészt a pontérintkezésben kereshető, másrészt a kontaktfelületek nagysága a magasabb sugárarány esetén kisebb, ezért a kontaktfeszültség itt nagyobb lesz. A sugárarány növelése a feszültség 3.15%-os (α=85°-nál), illetve 3.19%os (α=75°-nál) növekedéséhez vezet. Állandó sugárarány esetén a feszültség növekszik a menetemelkedési szög növelésével. A legnagyobb feszültség a belső réteg huzaljaiban ébred a vizsgált menetemelkedési szögtartomány egészén, míg a legkisebb feszültség a külső huzalokban van jelen. Ez a tendencia a sugárarány változtatásával is megmarad. Elemezzük most a kontaktfeszültséget a maghuzal és az első réteg között (81. ábra). Magas menetemelkedési szög esetén értéke nagyon alacsony, de csökkentve a szög értékét, a kontaktfeszültség meglehetősen gyorsan és nemlineáris módon növekszik. Állandó menetemelkedési szög esetén a kontaktfeszültség 0.36% (α=85°-nál) - 2.97%-kal (α=75°nál) csökken a sugárarány függvényében. A külső rétegben, a keresztező szálak közötti kontakterő eloszlást láthatjuk az 82. ábra-n. Maximum értéke alacsony menetemelkedési szög és alacsony sugárarány értéknél található. Növelve a menetemelkedési szög értékét a kontakterő jelentősen csökken, és magasabb sugárarány esetén is alacsonyabb kontakterő értékek figyelhetők meg. 82
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A 84. ábra alapján a sodrat szögelfordulása kisebb menetemelkedési szög és nagyobb sugárarány esetén alacsonyabb, valamint a menetemelkedési szög nagyobb befolyásoló hatással van rá. Hasonló tendenciát tapasztalt Utting és Jones is [34],[35].
400
600 400 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
200 0 75
78
, [°]
800‐1000
80
82,51
85
arány
, [MPa]
500
800
, [MPa]
1000
300 200 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
100 0 75
78
, [°]
400‐500
600‐800
300‐400
400‐600
200‐300
200‐400
100‐200
0‐200
0‐100
80
82,51
85
arány
Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 78. ábra: Mises redukált feszültség a maghuzalban
800
400
600 400 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
200 0 75 800‐1000
78
80
, [°]
600‐800
82,51
85
arány
, [MPa]
500
, [MPa]
1000
300 200 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
100 0 75 400‐500 200‐300
200‐400
100‐200
0‐200
0‐100
80
, [°]
300‐400
400‐600
78
82,51
85
arány
1000
500
800
400
600 400 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
200 0 75 800‐1000 600‐800
78
80
, [°]
82,51
85
arány
, [MPa]
, [MPa]
Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 79. ábra: Mises redukált feszültség az első réteg egy huzaljában
300 200 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
100 0 75 400‐500 300‐400
400‐600
200‐300
200‐400
100‐200
0‐200
0‐100
78
80
, [°]
82,51
85
arány
Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 80. ábra: Mises redukált feszültség a második réteg egy huzaljában 83
800
200
600
150
400 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
200 0 75
78
600‐800
80
82,51
, [°]
400‐600
85
pn, [MPa]
pn, [MPa]
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
100 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
50 0 75
78
150‐200
arány
200‐400
50‐100
0‐200
0‐50
80
82,51
, [°]
100‐150
85
arány
2500
400
2000
300
FH, [N]
FH, [N]
Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 81. ábra: Kontaktfeszültség a maghuzal és az első réteg között
1500 1000
1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
500 0 75
78
80
2000‐2500 1500‐2000 1000‐1500 500‐1000 0‐500
82,51
, [°]
85
200 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 R2/R3
100 0 75
arány
78
80
300‐400
82,51
arány
85
, [°]
200‐300 100‐200 0‐100
Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 82. ábra: Az első és második réteg között ébredő kontakterő
‐100
75
78
80
‐200
82,51
1,05
1,13 1,11 1,09 1,07 R2/R3
arány
85
20 15
z, [°]
Mz, [Nm]
0
10
‐300
5
‐400
0 15‐20
‐100‐0
, [°]
‐200‐‐100 ‐300‐‐200 ‐400‐‐300
83. ábra: Redukált csavaró nyomaték
1,13 1,11 1,09 75
78 80
10‐15 5‐10
1,07
, [°]
82,51
1,05
R2/R3 arány
85
0‐5
84. ábra: Sodrat szögelfordulása
84
Folyóméter tömeg, [kg/m]
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
13 12 11 1,13 1,11
10 75
1,09
78 12‐13 11‐12
1,07
80
, [°]
1,05
82,51
R2/R3 arány
85
10‐11
85. ábra: Egységnyi hosszra eső tömeg A sodrat folyóméter tömege látható az 85. ábra-n. Ahogy az várható volt, az alacsonyabb menetemelkedési szöggel és sugáraránnyal rendelkező sodrat a legnehezebb. Bármely paramétert növelve a kettő közül a folyóméter tömeg csökkeni fog. A menetemelkedési szög változtatásával maximálisan 7.4% eltérés, a sugárarány változtatásával 10.5% eltérés érhető el. A 78. ábra - 85. ábra-k segítségével kiválasztható az adott célra legmegfelelőbb sodrat, tervezhetünk tömeg minimumra, vagy akár feszültség minimumra is. Tömeg minimumra való tervezés esetén a nagy menetemelkedési szögek alkalmazása a célszerű, azonban ebben az esetben a belső és külső rétegben lévő huzalok sugáraránya minél nagyobb kell legyen. Így valamivel nagyobb feszültségek fognak a szerkezetben ébredni, mint minimum feszültségre való tervezéskor, azonban az eltérés mindössze 5% körüli a huzalok feszültség állapotát tekintve. Kopás szempontjából természetesen az a legjobb, ha feszültség minimumra tervezünk, mivel a kopást befolyásoló paraméterek között nagy szerepet játszik az érintkező testek között fellépő kontaktfeszültség nagysága. Azonban figyelembe kell vennünk, hogy a menetmelkedés növelésével, egyre jobban elvesztjük azokat a tulajdonságokat, amelyekért a sodratokat kifejlesztették, nevezetesen, nagy axiális merevség és hajlékonyság. Tehát meg kell találni azt az optimális megoldást, mely az adott alkalmazási területre a legjobban megfelel.
85
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
7. KOPÁSI JELENSÉG VIZSGÁLATA Először is meg kell jegyeznünk, hogy a sodratok károsodásának többféle oka lehet. A tönkremenetel adódhat a helytelen tervezésből, gyártásból, a nem megfelelő megválasztástól adott alkalmazási területre, az üzemeltetés körülményeitől (korrozív közeg, hőhatás, túlterhelés, stb.), valamint a karbantartás nem megfelelőségétől, illetve hiányától. Vannak okok, melyek odafigyeléssel elkerülhetőek (a célnak megfelelő sodratválasztás, karbantartás, túlterhelés elkerülése, stb.) és vannak olyanok, amelyek elkerülhetetlenek, azaz mindig jelen vannak a szerkezetben. Ilyen például a kopás vagy a korrózió, illetve a kifáradás. A kopás a terhelés hatására fellépő huzalok közötti relatív elmozdulás miatt alakul ki (86. ábra). Azonban mértéke sok tényezőtől függ, mint például: a relatív elmozdulás nagysága, a huzalok közötti kontakterő, a felületek közötti súrlódási tényező, az anyagra jellemző kopási tényező, ciklusszám, stb. A súrlódásos kopás (fretting) kis amplitúdójú mozgást jelent (μm) két kontaktfelület között, amire nemcsak az anyagtulajdonságok hatnak, mint a szilárdság, rugalmassági modulus és képlékenység, de olyan tapasztalati paraméterek is, mint az elmozdulás, terhelés, frekvencia, merevség, a kontakt típusa, felületi érdesség és súrlódási ciklusszám [61],[62] . Az értékezés keretein belül a súrlódásos kopás jelenségével foglalkozunk, feltárva annak hatásait a sodrat mechanikai viselkedésére vonatkozólag, illetve meghatározzuk, hogy a kialakuló kopási karc mélysége hogyan függ a ciklusszámtól, és az egyéb fent említett paraméterektől. A túlzott mértékű kopás ugyanis jelentősen csökkenti a sodrat élettartamát. A súrlódási tartomány több részre osztható: a részleges csúszási tartománytól a vegyes súrlódásig és a nagy csúszások tartományáig, ahogy a súrlódási amplitúdó növekszik egy adott kontaktterhelés esetén [61],[62]. További megállapítás, hogy a részleges csúszási tartományban a súrlódási tényező kicsi és a súrlódási kopás növekszik a súrlódási amplitúdó növelésével. A kopás szintén növekszik a vegyes súrlódás tartományában, ahol a kopási mechanizmus a képlékeny alakváltozás, az abrazív kopás és az oxidációs kopás kombinációja. A nagy csúszások tartományában fordul elő a legnagyobb károsodás. A fő súrlódási kopás mechanizmusok az abrazív kopás, a felületi kifáradás és a súrlódási oxidáció [61],[62]. A súrlódás négy szakaszra osztható: 1. bejáratás (running-in) 2. emelkedő (ascending) 3. csökkenő (descending) 4. stabil
86. ábra: Drótkötél kopása
86
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A sodratok kopásának számításával foglalkozó irodalom meglehetősen kevés, főleg laboratóriumi mérésekkel foglalkozó kutatásokkal találkozhatunk. Ilyen laboratóriumi vizsgálatokat végeztek például hat sodratból felépülő és többsodratos köteleken Ridge és társai [63]. Számítást nem végeztek, csak elemzték a huzaltörések számát, mérték a képlékeny és abrazív kopás, valamint a korrózió nagyságát, a kötelek dobra hajlításának kifáradás vizsgálata során. Műanyag bevonatos drótkötél dobra hajlítása során az élettartam szempontjából meghatározó kopási paramétereket vizsgálták Urchegui és társai [64]. A mérések során meghatározták a kopási karcok mélységét és a térfogati kopás mértékét, elemezték a dobátmérő hatását a kopás arányra, mely alapján az mondható el, hogy kisebb dobátmérő nagyobb kopási arányt eredményez. A kontaktviszonyok alapján három kopás típus fordul elő a szerkezetben, (87. ábra): 1. Lineáris kopási karc a maghuzal és a belső rétegben lévő huzalok között, és az azonos rétegben lévő huzalok között (valamennyi huzalon megtalálható) a. A magsodrat maghuzala és a magsodrat belső rétegében lévő huzalok között (csak ezt vizsgálja az összes eset (6) közül) b. A magsodrat belső rétegében lévő szomszédos huzalok között c. A magsodrat külső rétegében lévő szomszédos huzalok között d. A külső sodratrétegben lévő sodrat maghuzalja és a belső rétegben lévő huzalok között e. A külső sodratrétegben lévő sodrat belső rétegében lévő szomszédos huzalok között f. A külső sodratrétegben lévő sodrat külső rétegében lévő szomszédos huzalok között 2. Kopási karc a magsodrat külső rétege és a külső rétegben lévő sodratok külső rétege között (Nick A típus). a. A magsodrat külső rétegében lévő nagy átmérőjű huzalon (csak ezt vizsgálja a három esetből) b. A magsodrat külső rétegében lévő kis átmérőjű huzalon c. A külső sodrat rétegben lévő sodrat külső rétegében lévő huzalon Ez a típusú karc már az új kötélen is megtalálható rögtön a gyártás után. A térfogati kopás egyenesen arányos a súrlódás által disszipált energia nagyságával (a súrlódási amplitúdóval és tangenciális súrlódó erővel), de nem egyenesen arányos a kontaktnyomással. 40 000 ciklus alatt 40 μm a végső kopás mélység, ami a 10%-os keresztmetszet csökkenést jelent, és ez mint feszültséggyűjtő hely működik tovább, csökkentve a kifáradási élettartamot. Ha a D/d-t 25%-kal csökkentjük, akkor a térfogati kopás arány 100%-kal nő, míg 50%os csökkenés a D/d-ben 2200%-os csökkenést eredményez (A D a dobátmérőt, a d a kötélátmérőt jelöli). 3. Kopási karc a külső rétegben lévő sodratok között. (Nick B típus) Ez a legveszélyesebb kopási fajta, mert itt a legnagyobb a metszési szög. Kisebb a kontaktfelület és nagyobb a kontaktnyomás, így a kopási mélység is nagyobb lesz. Azonban csak a nagyobb átmérőjű (200mm) és sok ciklus utáni esetben találtak karcokat 87
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel és viszonylag kisszámban. Kisebb dobátmérő esetén pedig nem jelentek meg karcok. Tehát az A típus gyakrabban előforduló kopás minta, mint a B. Ennek oka a műanyag bevonat, ugyanis ez a terhelések során a sodratok közé csúszik, és megakadályozza, hogy összeérjenek. Éppen ezért nagy ciklusszám szükséges a kopási karcok kialakulásához. A dob és a kötél közötti kopás itt nincs vizsgálva, mivel műanyag burkolat védi.
87. ábra: Kopás típusok a különböző pozícióban elhelyezkedő huzalok között, [64] Hat sodratos kötél külső abrazív kopásának vizsgálatával foglalkozott A. R. T. de Silva és társai [55]. A külső felületen lévő huzalok lelaposodását mérték, ugyanis ennek szélessége összhangban van a szakítószilárdság csökkenésével. A kötél használaton kívűl helyezése szabvány szerint akkor szükséges, ha a külső huzalok átmerőjének 33%-os csökkenése következik be. Az elvégzett vizsgálatok alapján ezt a határt kellene 25%-ra csökkenteni. A sodrat szakítószilárdságának változásában a huzalok kopása miatt két hirtelen csökkenés történik: 1. a külső huzalok átmérő csökkenése 0,125d mélységtől 0,25d mélységig 2. 50%-os huzalátmérő csökkenés esetén. A kopásszámításokhoz kidolgozott modellek két részre oszthatók: vannak analitikus és végeselemes modellek. Soldatenkov analitikus módon integrál- és differenciálegyenletekkel írja le a kopási jelenséget [65]. A kopás-kontakt problémát Winkler-ágyazás esetén vizsgálta, amikor a kopás nemlineárisan függ a kontaktnyomástól és a kontaktfelület növekedésétől. Hatékony közelítő eljárása egyszerűsége mellett pontos megoldást ad. A Winkler-ágyazás segítségével, ha az egyik test viszonylag merev, akkor meghatározható a másik test felületi deformációjának mértéke a kontaktnyomás függvényében. Korovchinsky és társai [66] súrlódásos kopás részleges csúszás szakaszára dolgoztak ki analitikus módszert a Hertzelmélet alapján. A kopáselemző végeselemes modellek, általában egy kereskedelemben kapható végeselemes szoftver és egy kiegészítő szubrutin összekapcsolásával működnek. A végeselemes szoftverrel meghatározható az érintkező testek közötti kontaktnyomás és relatív elmozdulás, majd a szubrutin segítségével lehet meghatározni az adott ciklusban létrejövő kopási mélységet, térfogatot, illetve a módosított geometria jellemző paramétereit. Ez egy iterációs, több lépésből álló folyamat, tehát rendkívűl számítás 88
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel igényes. Johansson [67] végeselemes modellt dolgozott ki az Archard-egyenlet alkalmazásával a kontaktgeometria változásának és a kontaktnyomás meghatározására. Oqvist [68] numerikus számításokat végzett henger-sík kopási feladat esetén, számításait méréssekkel hasonlította össze, és jó egyezést kapott a profilok között egy millió ciklus esetére. A kontaktnyomás és relatív elmozdulás meghatározására 3D-s végeselemes modellt használnak C.H.H. Ratsimba és társai [69], rugalmas-képlékeny anyagot és súrlódást figyelembevéve, a súrlódásos kontaktfeladat megoldására büntetőparaméteres technikát alkalmazva. Ezekből a módosított Archard-féle kopási egyenlet alapján meghatározzák a kopási mélységet. A számításokhoz szükséges súrlódási és kopás tényezőket kör-a-síkon teszt alapján méréssel határozzák meg. A számítások során alkalmazott egyszerűsítés, hogy a kontaktnyomás és a geometria nem változik a kopás során, azonban a súrlódási tényező és az elcsúszás ciklusszámtól való függés figyelembe van véve. A súrlódási tényező (µ) nagy hatással van az relatív elcsúszásra, de csak kis hatása van a kontaktnyomásra:
µ≤0.3 – nagy csúszás a teljes hosszon µ=0.5 – akadozó csúszás (stick and slip) µ≥0.7 – teljes tapadás
A kis kenés esetén a mért és a számított kopási profil viszonylag jó egyezést mutat. A számított kopás erősen függ a súrlódási tényezőtől és a relatív elcsúszás nagyságától. P. Podra és S. Andersson gömbszerű „pin-on-disc” kopást modellezett ANSYS végeselemes szoftver segítségével, lineáris kopási törvény felhasználásával [70]. Változó időlépést alkalmaztak az iterációs számítási algoritmus során. A képlékeny alakváltozást és a súrlódást elhanyagolja, állandónak tekinti a kopási tényezőt és csak a gömb kopik. A modellt a Hertz-képlet alapján validálta. Vizsgálta még kúp-kúp és kúp-tórusz eseteket, azonban modellje az egyszerűsítések miatt inkább csak tervezési összehasonlításra alkalmas, mintsem az abszolút kopási élettartam meghatározására. Szintén végeselemes módszerrel vizsgálták a henger-sík súrlódásos kopási feladatot nagyszámú kopási ciklus esetén I. R. McColl és társai [71]. A módosított Archard-törvényt alkalmazzák a kereskedelmi VEM szoftverrel kapott eredményeken FORTRAN alprogram segítségével. A számítás során mindkét felület kopását és geometriai megváltozását figyelembe veszik, és mindenegyes lépésben módosítják a számított kopási mélység alapján. A Coulomb-súrlódásos kontaktfeladat megoldásához Lagrange-multiplikátoros technikát használnak. A kopás nélküli modellt a Hertz-elmélet alapján validálták. A számításhoz szükséges súrlódási és kopási tényezőket méréssel határozták meg. A kopásszámítást különböző nagyságú kontakterő és ciklusszám esetére is elvégezték. A kopási profil mért profillal való összehasonlítása során jó egyezést kaptak kis kontakterőnél, azonban nagyobb terhelés esetén különböző mértékű eltérés adódott a kopási mélységet és szélességet illetően. A kopási térfogat becslése ennek megfelelően kis kontakterő esetén jó, nagyobb erő esetén alulbecsülik az értéket. Megadják a kopási szélesség függését a kopási ciklusszám függvényében. Meghatározzák a kopási nyomás eloszlást a kopási szélesség mentén egy adott kontakterő esetén a ciklusszám függvényében. A kopási mélység alulbecslésének oka lehet, hogy a lekopott részek nincsenek figyelembevéve harmadik kontakttestként, de ez további kutatást igényel. 89
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A végeselemes kopásszámításoknál meg kell említeni Alexander Konyukhov munkáit [50],[53]. A kontaktfelületek kovariáns leírásával foglalkozott, melynek segítségével figyelembe vehető az adhéziós és csúszási tartományok anizotrópiája. A maximális disszipáció alapelvének használatával kvázi-statikus mozgásokat modellez. Tetszőleges geometria és felületek esetén alkalmazható, feltételezés, hogy a felületek simák. Munkájában újdnonság, hogy a súrlódás anizotrópiája mellett, figyelembe veszi az adhézió anizotrópiáját is. Nagy elmozdulásokat feltételez, illetve a kontaktfeladatot büntetőparaméteres technikával oldja meg, Coulomb-súrlódást figyelembevéve. A csúszási erőt és elmozdulást a maximális disszipáció elve alapján definiálja. Különböző kontaktelemeket fejlesztett ki, melyek segítségével meghatározza a tapadási zóna területét (illetve az azon lévő csomópontokat). A [52]-ben a legközelebbi pont vetítés eljárást vizsgálja és geometriai paraméterekkel írja le. [53]-ban magasabb fokú végeselemes módszert alkalmaz a kontakt probléma megoldására. Egy kontaktréteget definiál a kontaktfelület pontos leírásával, a kontakttestek belsejében, azonban lineáris alakfüggvényű hálót alkalmaz. A kifejlesztett kontaktréteg felhasználásával a Hertz-féle probléma csupán néhány kontaktelemmel kezelhető. Probléma merül fel az eredmény hullámzását illetően, amennyiben a kontaktzóna határa nem elemhatárra esik. Páczelt István és társai az újrahálózást javasolják magasabb fokszámú végeselemes módszer esetén a probléma megoldására [72]. A [49]-ban élmenti érintkezést vizsgál (két él kontaktja, rúd-rúd kontaktja) speciális görbekoordináta rendszerben, amit a Frenet-Serret képletek alapján definiál. A koordinátarendszer független a választott görbéktől, így lehetőség van a relatív elmozdulások leírására mindkét görbe esetén. Előnye, hogy az approximáció teljesen pszám független. A súrlódási feladatot próbafüggvényes módszerrel oldja meg. Az elforduló akadozó csúszás figyelembevétele a Tresca súrlódási törvény alapján történik. A [68]-ban a kontaktnyomás és a csúszás számítása szintén több lépésben történik a geometria változásának figyelembevételével. Henger-sík kapcsolatát vizsgálja globális kopás modellt alkalmazva, mely lehetővé teszi a változó alak hatékony meghatározását, azonban nem ad információt a kopás kialakulásának módjáról. Mérsékelt kopás esetén a módosított Archard-egyenlet megfelelően leírja a kopást globális méretekben. A geometria módosításához szükséges időlépés megválasztásának két módját vizsgálja:
nagy időlépés az elején és kicsi a végén állandó nagyságú időlépés végig
A változó nagyságú időlépés meggyorsítja a szimulációt. A számításhoz szükséges súrlódási tényezőt mérés alapján határozza meg. Merevtestszerű mozgást és rugalmas alakváltozást vesznek figyelembe. A szimulációt egy iterációs algoritmus szerint végzi, végeselemes módszerrel meghatározza a kontaktnyomást és a relatív elcsúszást, majd kiszámítja a kopási mélységet és ennek megfelelően változtatja a geometriát. A szimuláció során nem veszi figyelembe a mikroszerkezeti hatásokat, mint a felületi érdesség vagy a textúra, a hőmérsékletváltozásból származó hatásokat és a lekopott részecskék kölcsönhatását. A számított és mért kopási felület jó egyezést mutat. Szintén henger-sík csúszási feladatát vizsgálják Y.M. Chen és társai, [73]. 2D-s, végeselemes, rugalmas-képlékeny számítást végeznek extrém nagy alakváltozás (ε=3-6) és nagy alakváltozási sebesség figyelembevételével, síkalakváltozás feltételezésével. A lokális kontaktnyomás a lekopott részecskékben akár 40-szeres értékű is lehet a névleges 90
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel értéknek, azonban az érintkezés során a lekopott törmeléket nem modellezi. A henger sokkal keményebb a síknál, a henger esetén nincs képlékeny deformáció. A súrlódási tényező és a relatív elmozdulás időben függő értékét méréssel határozza meg. Egy ún. EPICII nevű szoftvert alkalmaz, amit rugalmas-képlékeny, tengelyszimmetrikus, síkalakváltozási és síkfeszültségi állapotokra fejlesztettek ki. A nagy alakváltozás ellenére a Lagrange-multiplikátoros módszernek köszönhetően nincs szükség újrahálózásra háromszög elemek esetén. A mért és számított kopási profil egyes tartományokon jól egyezik. Az eltérések magyarázata valószínűleg a lekopott részecskék elhanyagolásában kereshető. Kötelek kopásával foglalkoztak M.D.Kuruppu és társai [74]. Bányák kötélcsévélő dobjára hajlított kötelek külső kopását vizsgálta geometriai alapon és tömegméréssel. Kapcsolatot állított fel a kopás és a kötél szakítószilárdsága között, mely alapján értékelhető a kötél megbízhatósága különböző üzemelési körülmények között. A fémkeresztmetszet csökkenése arányos a szakítószilárdság csökkenésével. A külső huzalok kopása kétféle lehet:
képlékeny kopás: amikor a kontaktfeszültség a dob és a kötél között nagyobb, mint a folyáshatár ajakosodás, felkeményedés alakul ki, törékennyé válik a huzal, fáradási repedések jelennek meg a képlékenyen alakváltozott zónában.
abrazív kopás: a kötél mozgása következtében, amikor a kontaktfeszültség kisebb, mint a folyáshatár.
A két kopás típus közül Kuruppu az abrazív kopással foglalkozott. Különböző módszereket hasonlít össze, amelyekkel a kötelek állapotát értékelik a külső huzalok kopása esetén. Mindegyik módszer a fémkeresztmetszet csökkenést méri, vagy határozza meg valamilyen módon. Különböző kopási szinteken minden módszernél szakítóvizsgálattal meghatározzák a szakítószilárdság csökkenését is, melynek alapján a kapcsolatot definiálják a keresztmetszet csökkenés és a szakítószilárdság csökkenés között. A négy vizsgált módszer a következő: 1. A lelaposodási szélesség maximumának mérése legmegbízhatóbb eljárás, konzervatív eredményt ad.
roncsolás
nélkül:
a
2. A kikopás nagyságának a mérése a kötélből való kibontás nélkül: konzervatív eredményt ad. 3. Geometriai mérés a kötél szétbontásával: alulbecsüli az eredményt. 4. 1m hosszúságú kopott kötél tömegének mérése: jó egyezést mutat a szakítószilárdság csökkenéssel. Minden esetben képlékeny kopás is megfigyelhető volt a huzalokon, ami körülbelül 10%-a volt a kopási sávnak. Huzalok súrlódásos kopási vizsgálatával foglalkozott A. Cruzado és társai [54] különböző terhelési esetekben. Vizsgálta a terhelés, a relatív elmozdulás, a ciklusszám és az átlagos kontaktnyomás nagyságának hatását. A huzalok egymásra merőlegesen helyezkedtek el vizsgálat során, és mérte a térfogati kopás mértékét. A vizsgálatok során azt tapasztalta, hogy a kopási tényező növekszik a terhelés növekedésével, azonban csökken a ciklusszám növekedésével. 91
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A kopást két fázisra osztotta:
bekopási fázis, azaz az agresszív kopás szakasza stabil kopási fázis, azaz nő a kopási arány, ha a terhelés is nő.
A kopási tényező cikluszám függvényében történő csökkenésének oka, hogy a kezdeti nagy feszültség csökken a kopási barázda mélyülésével, így a kezdeti agresszív kopási szakasz átmegy a stabil kopás szakaszába. Ez a fajta kopás axiális és hajlító terhelés esetén alakul ki a sodratban a kontakt és a relatív elmozdulás hatására. Dobra hajlítás esetén a kontaktfeszültség nagymértékben változik, emiatt relatív elmozdulás alakul ki, ami kopáshoz, majd tönkremenetelhez vezet. Ez főleg pontérintkezés esetén a külső rétegben fordul elő. A kopás nagysága közvetlenül függ a kötél hajlításától, azonban amíg a kötéldob sugara elég nagy, addig a szerkezet biztonságosan üzemeltethető. Kisebb átmérőjű dobot alkalmazva hosszabb kopási karcok jelennek meg a huzalok felületén. A felvonógyártók célja a kisebb dob beépítése, amihez kisebb hajtómű kell, azonban ez növeli a kötél igénybevételét és kopást, majd tönkremenetelt okoz, rövidíti a kifáradási élettartamot. A vizsgálatok során felfigyeltek arra, hogy az új, használatba még nem vett kötél huzaljaiban is előfordult képlékeny alakváltozás. A mérések során különböző terhelések esetén meghatározta a kopási tényezőt a relatív elcsúszás mértékének függvényében. Az Archard-egyenlet alapján végzett számításait összehasonlította a mérési eredményekkel és jó egyezést kapott a bekopási szakaszban, azonban egy kicsivel alacsonyabb értéket a stabil kopás szakaszán. D. K. Zhang és társai [19] 6x19 szerkezetű kötél huzaljain végeztek különböző laboratóriumi vizsgálatokat. Koptató berendezést hoztak létre 90°-os huzal elrendezéshez, kísérlet végeztek a kopással és a kifáradással kapcsolatban, meghatározták a súrlódási tényező értékét, vizsgálták a kopás mechanizmusát, elemezték a töretfelületeket SEM mikroszkóp segítségével. Ugyancsak a gömb a síkon feladattal foglalkozott J. Salib és társai [75]. Az abrazív kopást vizsgálta rugalmas-képlékeny gömb és merev sík között. A modellezést fizikai törvények alapján az empirikus tényezők elhagyásával végezte, 3D-s kopási modellt felépítve és meghatározta a kopási részecskék térfogatát. A korszerű kopás modellek figyelembe veszik a lekopott részek hatását, ehhez képlékeny alakváltozást kell számolni, ami felület alatti repedést, szívós törést okoz, ez vezet a felület darabok leválásához. Ramalho [76] vékony felületi kopásálló réteg kialakításával foglalkozott görgőzés segítségével. A hengerek kopását vizsgálta az Archard-féle kopási törvény felhasználásával. Az általa kidolgozott eljárás alapján meghatározható a felületi kopó rétegben és az alapanyagban kialakuló kopási mélység és térfogati kopás értéke. Számításait mérésekkel verifikálta és jó egyezést kapott. A kopásszámításnál általában két testet vizsgálunk, azonban ha pontos eredményt szeretnénk kapni, akkor figyelembe kell venni a harmadik test jelenlétét, amin a lekopott részecskéket értjük. Ezek a lekopott részek különböző méretűek és alakúak lehetnek a kopási paraméterektől (relatív elmozdulás nagysága, kontaktnyomás, súrlódási tényező, illetve a kopás fázisa) függően, és a leválás után benn maradhatnak az érintkező testek között, összeállhatnak oxidokká, vagy ki is eshetnek a felületek közül. Jellemzően a harmadik kontakttest figyelembevétele tribológiai számításoknál indokolt. Az értekezés nem tér ki a tribológiai hatások elemzésére, ezért a harmadik test jelenlétét nem vesszük 92
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel figyelembe, azaz feltételezzük, hogy a lekopott anyagrészek eltávolítódnak az érintkező felületek közül, azaz tisztán kontakt alapú kopás helyzete áll fenn.
7.1 Keresztező huzalok kopásának számítása Két vagy többrétegű sodratok esetén, ha az egyes rétegek sodrási iránya ellentétes, vagy ha azonos irányú és azonos átmérőjű huzalokból áll, a külső rétegekben lévő huzalok között pontérintkezés alakul ki. Vonalmenti érintkezés, mely a tönkremeneteli folyamatok (törés, kopás, kifáradás) szempontjából előnyösebb, csak kellő megfontoltsággal hozható létre, ugyanis ehhez az kell, hogy különböző átmérőjű huzalokból azonos sodrás irányú rétegeket hozzunk létre, ehhez kötött geometriai paramétereket kell tartani a sodrási folyamat során. Az értekezésben a pontérintkezés hatására bekövetkező kopási folyamatok elemzését tűztük ki célul. Ciklikus terhelés hatására, amely lehet húzó vagy hajlító, relatív elmozdulás jön létre a keresztező szálak között, ahogy ez a 4. fejezetben már bemutatásra került, mely kopáshoz vezet. A kopás nagysága és sebessége függ a relatív elmozdulás nagyságától, annak időbeli lefutásától, az érintkezés hatására fellépő kontaktnyomástól és anyagi paraméterektől (kopási tényező, keménység, felületi érdesség) és a ciklusszámtól. Vegyük alapul a 4.3.3. fejezetben elemzett kétrétegű sodratot, melynek külső rétegeiben lévő huzalok között pontérintkezés van. A terhelés viszonylag nagy görbületi sugárhoz tartozó hajlítás. Tételezzük fel, hogy a terhelés ciklikusan változik, és mind a kontaktnyomás, mind pedig a huzalok közötti relatív elmozdulás az időnek periódikus függvénye. A kopási feladat definiáláshoz tekintsük az alábbi kiinduló adatokat (34. táblázat): 34. táblázat: Kiinduló adatok a kopás számításhoz Jellemző adat Belső rétegben lévő huzal sugara, R1, mm Belső réteg sugara, R01, mm Belső réteg menetemelkedési szöge, α1, ° Belső réteg menetemelkedése, H1, mm Külső rétegben lévő huzal sugara, R2, mm Külső réteg sugara, R02, mm Külső réteg menetemelkedési szöge, α2, ° Külső réteg menetemelkedése, H2, mm Rugalmassági modulus, E, MPa Poisson-tényező, υ, Súrlódási tényező, μ, Kopási tényező, β, MPa-1 Kopási paraméterek, a, b Felület keménysége, HV, Relatív elmozdulás, Δx, mm Kezdeti kontakt erő, FH, N Kopás gyorsítási tényező, Szögsebesség, ω, rad/s
Érték 2.5654 5.1816 82.51 247.628 2.4384 10.1854 -75.51 247.628 206 843 0.25 0.115 10-5 1 1000 0.09313 1 338 1 4
93
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A kopási feladat megoldáshoz az MSC.MARC/MENTAT 2011r1 végeselemes szoftver rendszert használtuk. A keresztező huzalok kopásának elemzéséhez két 3D-s modell készült a 34. táblázat adatai alapján. A hálózott végeselem modelleket a 88. ábra mutatja. Az egyik modellben görbület nélküli, egyenes huzalok, míg a másik modellben a huzalok, a sodratban lévő görbületüknek megfelelően kerültek felépítésre. A kopási feladat elvégzése előtt a háló sűrűség megfelelőségének vizsgálatára egy ellenőrzést hajtottunk végre. Ennek kapcsán megvizsgáltuk, hogy a keresztező szálakat az adott kontakterővel összenyomva az ébredő kontaktfeszültség mennyire van összhangban a Hertz-elmélet alapján kiszámolt értékkel. A számítás során kapott értékeket a következő táblázat mutatja: 35. táblázat: Kontaktfeszültség összehasonlítása a hálósűrűség és a görbületek hatásának ellenőrzésére Maximális Eltérés az analitikus Számítási modell kontaktfeszültség, MPa megoldástól Analitikus számítás a HERTZ5248 elmélet alapján egyenes rudakkal Analitikus számítás a HERTZ5013 elmélet alapján görbült rudakkal Végeselem modell egyenes 5653 7.72% huzalokkal Végeselem modell görbült 5223 4.19% huzalokkal
Végeselem modell egyenes huzalokkal
Végeselem modell görbült huzalokkal
88. ábra: Kontaktfeszültség meghatározása 94
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A 35. táblázat alapján elmondható, hogy a görbületek elhanyagolása kb. 8%-os hibát eredményez, ami jelentős eltérés. Ezért a továbbiakban a görbült rudakkal végezzük a kopás számítást. A kopás számítás során alkalmazott feltételezés, hogy a sodrat terhelése Fz F0 (1 cos t ) / 2 időbeli lefutású. Ebből adódóan a szálak kereszteződésénél keletkező kontakterők és a szálak közötti relatív elcsúszás is hasonló időbeli lefutással bír (89. ábra) {7}. Tehát a kopást időben periodikusan változó terhelés mellett kell számolni. Feltételezzük, hogy az alsó szál feletti felső szál elmozdulása az alsó szálhoz képest x tengely irányába történik u u0 cos t . 0,06
Terhelés, [N]
1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0
1
2
3
4
5
Relatív elmozdulás, [mm]
1600
Idő, [s]
0,04 0,02 0 0
1
2
3
4
5
‐0,02 ‐0,04 ‐0,06
Idő, [s]
89. ábra: A ciklikus terhelés és a relatív elmozdulás periódikus függvénye A felépített végeselem modell 66 816 nyolc csomópontú testelemet és 85751 csomópontot tartalmaz. Nem került sor a huzalok teljes keresztmetszetének modellezésére, csak a pontérintkezésben résztvevő huzal darabok környezetét vettük figyelembe. Ezek a darabok elegendőek nagyok az érintkezésből származó feszültségmező kialakulásának vizsgálatára anélkül, hogy a peremek zavaró hatása megjelenne. A modell futtatása 4 CPUval és 20 Gb memóriával rendelkező HP szerver számítógépen történt, a futási idő pedig igen jelentős, 39,7h. A számítást lineárisan rugalmas, homogén, izotróp anyag paraméterekkel végeztük el. A relatív elmozdulás során száraz Coulomb súrlódást vettünk figyelembe. A külső huzal felső felületén megoszló nyomásként definiáltuk a huzalok között fellépő összeszorító terhelést (felső rózsaszín nyilak), amit a p-verziós számítás során kaptunk, ezenkívűl megakadályoztuk az x és y irányú, azaz a síkjában való elmozdulást (sárga nyilak) (90. ábra). A belső huzalnál megakadályoztuk, hogy y és z-irányban (azaz a másik huzalra merőleges irányban) elmozduljon (alsó rózsaszín nyilak), illetve merev síkok segítségével definiáltuk az x-irányú relatív elmozdulást. Tehát a kopás számításnál az alsó testet mozgatjuk ( u u0 cos t ) a felső testre ható időben változó u u0 cos t terhelés mellett. A kopási feladat megoldását az Archard-féle kopási egyenlet alapján végeztük, melynek segítségével felírható a kopási sebesség. A kopási sebesség függ a testek közötti relatív sebességtől, a kialakult nyomástól, az érintkező anyag keménységétől, felületének érdességétől. A kialakuló, a felület normálisának irányában értelmezett kopási sebesség ~ w i ,n i pnbi vrai , i 1,2
(75)
95
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel ~
alakban számolható, ahol az i-dik testre vonatkozó ai , bi , i paraméterek kísérletből nyerhetők. A terhelési ciklus alatt keletkező lekopás a (75) összefüggés időszerinti integrálásával nyerhető wi ,n w i ,n dt i pnbi vrai dt , i 1, 2
(76)
A [77] munkában igazolt, hogy állandó terhelés, sebesség esetén bizonyos kezdeti idő eltelte után, egy állandósult kopási állapot lép fel, abban az esetben, ha az érintkezési tartomány mérete közben nem változott. Változó tartománynál ún. kvázi állandósult állapot érhető el. A számításoknál a=b=1 kopási paraméterekkel számolunk, továbbá a sebességet az u u0 cos t elmozdulásból kapjuk {7}.
90. ábra: A külső huzal peremfeltételei A kopás számítását 25 terhelési ciklusra végeztük el. Nyílván ez nem egy nagy szám a tényleges üzemelést tekintve. Hivatkozva többek között a [78] munkára, ahol gömb és féltér periodikus kopását vizsgálták, azt kapták, hogy a kopási mélység-kopási hossz (ciklusszám) kezdetben egy meredekebb, majd laposabb lineáris alakú függvénnyel jellemezhető. A mi esetünkben a kezdeti görbe linearizálásával kapott egyenes felhasználásával felülről becsült kopást fogunk előrejelezni. Az eredmények azt mutatják, hogy a kopási karc mélysége lineárisan növekszik. A számítást egyébként magasabb ciklusszámig is lehet végezni, de jelen esetben a kopási karc meghatározás módszerének kifejlesztése volt a cél, és ezzel ezt sikerült elérni. Sajnos mérési kísérletek nem állnak rendelkezésre, amivel esetleg összehasonlíthatóak lennének az eredmények. A számítás során figyelembe vettük mindenegyes lépés után a kopás miatt megváltozott geometriai
96
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel viszonyokat, és a következető kopási ciklusnál már a lekopott felületeknek megfelelően folytattuk a számítást. A geometria módosítása kopási ciklusonként történt. Eredményként a lekopott huzaloknál fellépő kontaktfeszültség eloszlást és lekopási mértékeket mutatjuk be mindkét huzal esetén. Ahogy az a diagramokból is látszik a kontaktfeszültségben kb. 100 MPa csökkenés következik be 25 kopási ciklus után, mely igen jelentős. A kopási mélység ennyi ciklus után még nem olyan jelentős mértékű, azonban nem kevés. Lineáris összefüggést (94. ábra) alapul véve kb. 30.000 ciklus után már 0.1mm a kopási karc mélysége, mely az 2.4384mm sugarú huzalnak már 4%-a. Tehát kevesebb, mint 100.000 ciklus után a huzal sugarának 10%-át kitevő kopási karc alakulhat ki ezen felülről becsült eljárás révén.
91. ábra: Kontakt feszültség eloszlás a belső huzalban 25 kopási ciklus után
97
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
92. ábra: Kopási mélység eloszlás a belső huzalban 25 kopási ciklus után
98
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 0,09
Belső huzal
5 200
0,08
Külső huzal
5 180
Kopás mélység, [μm]
Kontact normál feszültség, [MPa]
5 220
5 160 5 140 5 120 5 100
0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02
5 080
0,01
5 060
0,00 0
10
20
30
40
Belső huzal Külső huzal 0
50
10
20
Idő, [s]
93. ábra: Kontakt feszültség változás a terhelési idő függvényében
40
50
94. ábra: Kopási mélység változás a terhelési idő függvényében
Keresztmetszeti eloszlás
Hosszmetszeti eloszlás
0,09
0,09
Belső huzal
0,08 0,07
Belső huzal
0,08
Külső huzal
Kopás mélység, [μm]
Kopás mélység, [μm]
30
Idő, [s]
0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
Külső huzal
0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
0,00
0,00 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Keresztmetszet, [mm]
95. ábra: Kopási mélység eloszlás a huzal hossztengelyére merőlegesen 25 kopási ciklus után
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
Keresztmetszet, [mm]
96. ábra: Kopási mélység eloszlás a kopási karc hossztengelyével párhuzamosan 25 kopási ciklus után
A számítási eredmények alapján elmondható, hogy a kidolgozott modell segítségével egyszerűen számítható a kopási karc mélysége a ciklusszám függvényében adott terhelés (kontaktnyomás) és relatív elmozdulás esetén.
99
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
8. A KUTATÁSI EREDMÉNYEK ALKALMAZÁSA A kifejlesztett módszer potenciális alkalmazási területe a sodratfejlesztés. A tervező mérnökök és gyártó cégek számára egyaránt hasznos eszközről van szó, melyet akár a tervezés fázisában is felhasználhatnak, vagy paraméter érzékenységi elemzéseket végezhetnek. Vizsgálható a különböző befogás típusok hatása a szerkezet mechanikai viselkedését illetően. Elemezhető a sodrás irányok és menetemelkedési szögek, valamint minden egyes geometriai és anyagi paraméter befolyása a szerkezet viselkedésével kapcsolatban. A módszer az üzemelő sodratok esetén is alkalmazható. Adott igénybevétel esetén meghatározható a sodratok feszültség állapota, a huzalok között bekövetkező relatív elmozdulás, valamint a súrlódás hatására ébredő nyírófeszültség, melyekből meghatározható a kopás által okozott károsodás, amiből pedig következtetni lehet a szerkezet maradó élettartamára. Jelen módszer egy-, és kétrétegű sodratok esetén alkalmazható, bonyolultabb szerkezetek, mint például kötelek elemzése jelenleg nem elérhető. A modell kis elmozdulás és kis alakváltozás feltétele mellett érvényes, éppen ezért csak kis elhajlás szögű hajlítás vizsgálható, dobra hajlítás elemzéséhez nagy elmozdulás figyelembevételére van szükség.
9. ÖSSZEFOGLALÁS Elmozdulásmező közelítésére alapozott, nyírási energiát elhanyagoló p-verziós végeselem modell kifejlesztésére került sor sodratok vizsgálatához, tetszőleges igénybevétel esetére. Az elmozdulásmező közelítésekor a merevtestszerű elmozdulás hatása pontosan figyelembe van véve. A szálak mentén erő és nyomaték tetszőlegesen megoszolhat. A sodratot alkotó rétegek száma maximálisan kettő, a feltekercselési szög tetszőleges. A huzalok érintkezését és súrlódását figyelembe vettük, a feszültséget és az összenyomódást a Hertz-elmélet alapján számítottuk. Ezek alapján új típusú végeselemek kifejlesztésére került sor, többek között speciális nemlineáris rugóelem és rugalmas ágyazás. Az érintkezési feltételeket a huzalok palástpontjai között írjuk fel egyrészt a Poisson-hatás, másrészt a huzal középvonalának eltolódásából és szögelfordulásából keletkező járulékos elmozdulás figyelembevételével. Az érintkezési kölcsönhatás normálirányú nemlinearitását linearizálás után speciális iterációval tartjuk kézben. A modell előnyei, a geometria pontosan leírt, a magas fokszám miatt a csomópontok közötti kölcsönhatások is jól approximáltak, így a h-verziós végeselemes modellekhez képest a kisebb gépigény, és a rövid számítási idő jellemzi a futtatásokat. A kidolgozott modellhez számítógépes programot fejlesztettünk FORTRAN nyelven, melyhez egy geometriai megjelenítő modul is készült. Ennek segítségével szemléletesen megjeleníthetőek a huzalok közötti érintkezést reprezentáló diszkrét, illetve folytonos rugóelemek.
100
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Tervezési görbék kidolgozására került sor, melyek a sodrat kiválasztást, illetve a tervezést segíthetik. A menetemelkedési szög és a külső rétegekben lévő huzalok sugáraránya függvényében az egyes huzalok redukált feszültsége, a huzalok közötti kontakterő, valamint a sodrat folyóméter súlya került elemzésre. Az igénybevételek és relatív elmozdulások ismeretében lehetőség nyílik a huzalok közötti elmozdulás hatására bekövetkező kopás számítására. Az Archard-féle kopási törvény alkalmazásával 3D-s kopási modellt dolgoztunk ki, melynek segítségével adott kontaktterhelés, relatív elmozdulás és ciklusszám esetén meghatározható az egyes huzalokon kialakuló kopási karc mélysége. Ennek segítségével lehet következtetni arra, hogy a huzal hány ciklusszám után fog eltörni, illetve meg lehet határozni az adott sodratszerkezet élettartamát.
10. ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK ÖSSZEFOGLALÁSA Az értekezés új tudományos eredményeit az alábbi tézisek foglalják össze:
1. Lineárisan rugalmas anyag esetén p-verziós végeselem rúdmodell került kidolgozásra hengerfelületre rátekert H menetemelkedésű spirállal jellemzett görbült rúdra vonatkozólag a nyírási energia elhanyagolásával. A geometria, a merevtestszerű mozgás hatása pontosan leírt. A modellezés során négy mező kerül közelítésre. Pótlólagos állandók felvételével a görbe rúd mentén ható erő és nyomatéki megoszló terhelések is nagy pontossággal számolhatók {1},{2},{4},{5},{6},{8},{9},{10},{11}, {12}. 2. Sodratszerkezetekre vonatkozólag ezen rúdelemek felhasználásával végeselemes modell lett kialakítva, mely figyelembe veszi, a súrlódásos érintkezést, a Poissonhatást, és a szálak közötti relatív elmozdulásból származó kopást. Az egyoldalú érintkezési kölcsönhatás normális irányban Hertz elméletén alapuló, a merevségi viszonyokat helyettesítő nemlineáris rugón (ágyazaton) keresztül van figyelembevéve, speciális iterációt alkalmazó linearizációval. A száraz súrlódás leírására a Colulomb törvény került felhasználásra. Az érintkezési feltételek a szálak palástján lévő pontok között vannak értelmezve {1},{2},{4},{5},{8},{9}. 3. Egy eljárás került kidolgozásra, amelynek segítségével a rétegek sodrásirányától és menetemelkedési szögétől függően kerülnek meghatározásra a végeselemek oly módon, hogy a keresztező huzalok érintkezése a csomópontokban történjen. A modell a keresztező szálak különböző irányszögének figyelembevételére alkalmas. A sodrásirányoknak megfelelően jobb és balsodrású sodratrétegek definiálása lehetséges. Mindkét irányban tetszőleges menetemelkedési szög állítható be {1},{2},{4},{5},{8}. 4. Tervezési görbék kerültek kidolgozásra, a sodrat viselkedését befolyásoló sodrási paraméterek hatásának elemzésére. Az elemzett sodrási paraméterek (a menetemelkedési szög, a külső rétegekben lévő huzalok sugáraránya) függvényében meghatározásra kerültek az egyes huzalokban ébredő redukált 101
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel feszültségek, a kontakterők, valamint a sodrat egységnyi hosszra vonatkozó tömege rögzített és szabadvégű sodratok esetén {1},{5},{8}. 5. A sodratszerkezeti modell segítségével elvégzett számítási eredményeket (relatív elmozdulás és kontakterő) input adatként felhasználó 3D-s végeselemes kopási modell került kidolgozásra. A modell révén az Archard-féle kopási törvény alapján és érintkezési viszonyok tisztázásával meghatározható a lekopott anyagmennyiség nagysága a huzalok között, továbbá előrejelezhető a ténylegesen lezajló ciklusok számához tartozó kopásmélység {3},{7},{9},{10}.
11. TOVÁBBFEJLESZTÉSI IRÁNYOK, LEHETŐSÉGEK Több továbbfejlesztési lehetőséget definiálhatunk, amelyek a gyakorlati alkalmazás szempontjából is lényegesek. Az első, egy bonyolultabb szerkezetű sodratok, kötelek vizsgálatára alkalmas modell kifejlesztése. Ez esetben az értekezésben kidolgozott modellt és az alszerkezet technikát felhasználva lehet előrejutni. A sodratmodell kötélmodellbe építése során így lehetőség nyílik a dupla menetemelkedés figyelembevételére, mely a geometriai nemlinearitás figyelembevételét jelenti. Az analitikus modellek között találunk ennek megfelelőt, azonban jelentős elhanyagolásokkal. Ez esetben a kontakt már túlságosan bonyolult összefüggéseket eredményezne, azonban a kidolgozott p-verziós modell segítségével mindez kézben tartható. A másik továbbfejlesztési lehetőség a kopás számítás összekapcsolása törésmechanikai elemzéssel, így lehetőség adódik arra, hogy a károsodást huzal szinten pontosabban meghatározhassuk, és így pontosabb becslést adhassunk az élettartamra és a biztonságos üzemelésre vonatkozólag. Az értekezés olyan sodrat konstrukciókkal foglalkozik, ahol az azonos rétegben lévő huzalok között nincs érintkezés. Ez a gyakorlatban bevett fogás a súrlódás és a kopás csökkentésére szolgál. Azonban fellelhető olyan eset is, amikor az egy rétegen belüli huzalok érintkeznek egymással. Ennek vizsgálatára alkalmas modell kidolgozása szintén egy további feladat lehet. Egy további irány lehet, meglévő sodratszerkezetek elemzése, valamint olyan sodratkonstrukció kidolgozása, ahol a sodrat egyes rétegeinek egyenszilárdságára törekszünk. Ez esetben a geometriai és anyagi paraméterek egyidejű optimálása mellett elérhető, hogy az adott rétegen belül a huzalok azonos feszültség állapotba kerüljenek a terhelés hatására.
102
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
SUMMARY The p-version finite element software is developed for wire rope strands subjected to arbitrary load that is based on approximating displacement field and neglecting the shear energy. The effect of the rigid body movement is accurately considered in the displacement approximation. Arbitrary distributed forces and moments can be applied to wires in the strand. One and two-layered strands with arbitrary helix angle could be analyzed. The contact and friction of the wires are taken into account, the contact stress and deformation are calculated using the Hertz-theory in case of line and point contacts. New type finite elements are developed: special nonlinear spring element and spring foundation. The contact condition is determined between the cylindrical surfaces of the wires, also, the Poisson-effect and additional displacement, which occur due to displacement of the centerline and rotation of the cross-section of the wires, are considered. The nonlinear problem of the contact interaction in the normal direction is solved with a special iteration procedure using augmented technique with linearization. One of the advantages of the presented code is that the geometry is described accurately and displacement fields are approximated by the higher order of polynomials, which means that the interaction between the wires is described well. Therefore, shorter calculation time compared to the h-version FE codes is required and, moreover, there is no need in high computer resources. Second advantage is that the maximum of von Mises stress taking into account local contact Hertz type stress may be calculated as one task. Third one is that the location of the slip domains, which makes it possible to consider wear between the wires, can be determined. A software code is developed in FORTRAN language, which has a visualization module. Using this module, the discrete spring and continuous spring foundation can be shown between the wires. Design curves have been developed to simplify the strand selection and design process. The effect of the helix angle and ratio of the radius in the outer and inner layers on equivalent von Mises stress level of the wires, contact forces and weight per unit length of the strand is studied. Knowing the internal forces, moments and stresses allows one to perform the wear calculation. The Archard-type wear equation is applied using 3D FE model and contact pressure as well as relative displacement obtained by the developed code. By assuming a certain number of cycles, the wear scar depth can be calculated. Based on these results, the number of cycles can be predicted, where the wire is broken, or the lifetime of the strand structure can be estimated.
103
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS
Mindenekelőtt szeretném köszönetemet kifejezni témavezetőmnek, Páczelt István professzor Úrnak, aki bevezetett engem a tudományos életbe, és útmutatást nyújtott szűkebb kutatási területem kiválasztásához és nagyszerű segítséget nyújtott a doktori téma kimunkálásában. Köszönetet szeretnék mondani Dr. Tóth László professzor Úrnak, aki segítséget nyújtott a doktori képzés tanulmányai alatt egyes tantárgyak, területek jobb megértésében, képzésben való részvételben, illetve külföldi partnerekkel való kapcsolatépítésben. Köszönettel tartozom továbbá az Magyar Tudományos Akadémia OTKA K67825 számú projektjének a PhD tanulmányok alatt nyújtott támogatásért, melyek segítségével külföldi és hazai folyóirat publikációk készültek és előadásokat tarthattam, valamint a TÁMOP-4.2.2./B-10/1-2010-0008 projektnek, melynek segítségével sikerült befejezni az értekezést. Köszönet illeti meg a Bay Zoltán Alkalmazott Kutatási Közhasznú Nonprofit Kft., Logisztikai és Gyártástechnológiai Intézetét, annak vezetőit, a tudományos téma elindításáért, valamint hogy a tudományos konferenciákon való részvételt teljes körűen támogatták. Továbbá köszönettel tartozom Családom tagjainak, akik mindvégig támogattak a disszertáció elkészítésében, valamint nagy köszönet illeti meg mennyasszonyomat, Annát, akik az idegen nyelvű publikációk lektorálásában nyújtott segítő kezet. Mindannyian folyamatos és biztos támaszt jelentenek számomra.
104
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel ÁBRAJEGYZÉK 1. ábra: Sodratok ipari alkalmazása ....................................................................................... 1 2. ábra: Drótkötél felépítése [1] ............................................................................................. 2 3. ábra Egyrétegű, egyszer sodrott pászma ............................................................................ 3 4. ábra Többrétegű, egyszer sodrott pászma .......................................................................... 3 5. ábra : Kétszer sodrott kötelek ............................................................................................ 4 6. ábra: 1+6 huzalos sodrat .................................................................................................... 4 7. ábra: Pontszerű érintkezésű sodrat ..................................................................................... 5 8. ábra: Vonalérintkezésű sodrat ............................................................................................ 5 9. ábra: Vonalérintkezésű sodratok típusai ............................................................................ 5 10. ábra: Vegyes érintkezésű sodrat ...................................................................................... 6 11. ábra: Spirális huzal a helyi koordináta-rendszer egységvektoraival .............................. 15 12. ábra: Két csomópontú görbült rúdelem ......................................................................... 17 13. ábra: Kontaktpontok értelmezése................................................................................... 24 14. ábra: Az alkalmazott koordinátarendszerek definíciója................................................. 24 15. ábra: Érintkezési modell ................................................................................................ 26 (s) 16. ábra: Linearizált cNL rugóállandó meghatározása ......................................................... 27 17. ábra: Kontaktelem az első és a második rétegben lévő huzalok között ......................... 30 18. ábra: Kontaktelem normális irányban a maghuzal és az első rétegben lévő huzalok között ............................................................................................................................ 30 19. ábra: Sodrat végének befogási típusai ........................................................................... 32 20. ábra: A terhelés definiálásának módja ........................................................................... 32 21. ábra: A 2.2 p2 const terhelési esethez tartozó igénybevételek nelem 4, p 5 végeselemes közelítésnél .............................................................................................. 35 22. ábra: A 2.1 p1 p0 const tehelési esethez tartozó igénybevételek nelem 4, p 5 végeselemes közelítésnél .............................................................................................. 36 23. ábra: A 2.3 1 const terhelési esethez tartozó igénybevételek nelem 4, p 5 végeselemes közelítésnél .............................................................................................. 37 24. ábra: Rögzített végű térbeli spirális huzal...................................................................... 39 25. ábra: Szabadvégű térbeli spirális huzal .......................................................................... 43 26. ábra: Az p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében ........... 43 27. ábra: Az p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M3 nyomaték megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében ........... 44 28. ábra: Az 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M1 nyomaték megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében ........... 46 29. ábra: Az pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N erő megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében ........... 48 30. ábra: Szögelfordulás az 1. réteg szálaiban az egyes terhelési lépcsőknél 1: -, 2: --, 3: -., 4: -:................................................................................................................................ 50 105
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 31. ábra: Húzóigénybevétel a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban ...................................................................................................................................... 50 32. ábra: A keresztező szálaknál a súrlódásból származó csavaró nyomaték ..................... 51 33. ábra: Mises féle redukált feszültség ............................................................................... 52 34. ábra: Szögelfordulás az 1. réteg szálaiban az egyes terhelési lépcsőknél 1: -,2: --,3: -.,4: - : ................................................................................................................................... 52 35. ábra: Húzóigénybevétel a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban ...................................................................................................................................... 53 36. ábra: Mises féle redukált feszültség a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban .............................................................................................................. 54 37. ábra: A keresztező szálaknál a súrlódásból származó csavaró nyomaték ..................... 54 38. ábra Az input adatok bevitelére szolgáló felület ............................................................ 56 39. ábra: 1+6+12 szerkezetű sodrat megjelenítése .............................................................. 57 40. ábra: Két keresztező huzal érintkezése .......................................................................... 57 41. ábra: Rugalmas ágyazás a maghuzal mentén ................................................................. 57 42. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) ............................. 58 43. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) ............ 59 44. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e) ........... 60 45. ábra: Kontaktnyomás eloszlás a maghuzal és az első réteg huzalja között ................... 61 46. ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél ........................................................................................................ 61 47. ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között .............................. 61 48. ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között ............................... 61 49. ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között ... 61 50. ábra: A polinomok fokszámának hatása az eredmények pontosságára, p=1,…,5 ......... 62 51. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) ............................. 64 52. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) ............ 65 53. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e) ........... 66 54. ábra: A kontaktnyomás eloszlása a maghuzal és az első réteg huzalja között .............. 67 55. ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél ........................................................................................................ 67 56. ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között .............................. 67 57. ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között ............................... 67 58. ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között ... 67 59. ábra: A polinomok fokszámának hatása az eredmények pontosságára, p=1,…,5 ......... 68 60. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) ............................. 69 61. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) ............ 70 62. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e) ........... 71 63. ábra: Kontaktnyomás eloszlás a maghuzal és az első réteg huzalja között ................... 72 64. ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél ........................................................................................................ 72 65. ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között .............................. 72 106
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 66. ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között ............................... 72 67. ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között ... 72 68. ábra: Hajlító nyomaték eloszlás összehasonlítása a sodrat hossza mentén ................... 76 69. ábra: K11 merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében ......... 77 70. ábra: K21=K12 merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében . 77 71. ábra: K22 merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében ......... 77 72. ábra: Szabadon elforduló végű sodrat elcsavarodása a menetemelkedés függvényében ...................................................................................................................................... 78 73. ábra: Kontaktnyomás változása a menetemelkedés függvényében különböző befogási módoknál ...................................................................................................................... 78 74. ábra: Kontaktdeformáció változás a menetemelkedés függvényében különböző befogási módoknál........................................................................................................ 78 75. ábra: A tengelyirányú erő változása a sodrat tengelyirányú nyúlásának függvényében rögzített végű sodrat esetén .......................................................................................... 80 76. ábra: A tengelyirányú erő változása a csavaró nyomaték függvényében rögzített végű sodrat esetén ................................................................................................................. 80 77. ábra: A tengelyirányú erő változása a elcsavarodás függvényében szabadon elforduló végű sodrat esetén......................................................................................................... 80 78. ábra: Mises redukált feszültség a maghuzalban ............................................................. 83 79. ábra: Mises redukált feszültség az első réteg egy huzaljában ........................................ 83 80. ábra: Mises redukált feszültség a második réteg egy huzaljában .................................. 83 81. ábra: Kontaktfeszültség a maghuzal és az első réteg között .......................................... 84 82. ábra: Az első és második réteg között ébredő kontakterő ............................................. 84 83. ábra: Redukált csavaró nyomaték .................................................................................. 84 84. ábra: Sodrat szögelfordulása .......................................................................................... 84 85. ábra: Egységnyi hosszra eső tömeg ............................................................................... 85 86. ábra: Drótkötél kopása .................................................................................................. 86 87. ábra: Kopás típusok a különböző pozícióban elhelyezkedő huzalok között, [64] ........ 88 88. ábra: Kontaktfeszültség meghatározása ......................................................................... 94 89. ábra: A ciklikus terhelés és a relatív elmozdulás periódikus függvénye ....................... 95 90. ábra: A külső huzal peremfeltételei ............................................................................... 96 91. ábra: Kontakt feszültség eloszlás a belső huzalban 25 kopási ciklus után .................... 97 92. ábra: Kopási mélység eloszlás a belső huzalban 25 kopási ciklus után......................... 98 93. ábra: Kontakt feszültség változás a terhelési idő függvényében ................................... 99 94. ábra: Kopási mélység változás a terhelési idő függvényében........................................ 99 95. ábra: Kopási mélység eloszlás a huzal hossztengelyére merőlegesen 25 kopási ciklus után ............................................................................................................................... 99 96. ábra: Kopási mélység eloszlás a kopási karc hossztengelyével párhuzamosan 25 kopási ciklus után..................................................................................................................... 99 B1. ábra Eredő z-irányú erő ............................................................................................... 116 B2. ábra Eredő csavaró nyomaték ..................................................................................... 117 B3. ábra A szerkezet z-irányú elmozdulása ....................................................................... 118 B4. ábra A szerkezet z-irányú szögelfordulása .................................................................. 119 107
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel B5. ábra Eredő x-irányú erő ............................................................................................... 120 B6. ábra A szerkezet x-irányú elmozdulása....................................................................... 121 B7. ábra A p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 1 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál ................................................................................................................. 122 B8. ábra A p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 256 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál .................................................................................................... 123 B9. ábra A 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 1 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál ................................................................................................................. 124 B10. ábra A 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 256 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál .................................................................................................... 125 B11. ábra A pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 1 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál ................................................................................................................. 126 B12. ábra A pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 256 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál .................................................................................................... 127 C1. ábra Az input1.dat adat file-ban definiálható adatok .................................................. 128 C2. ábra Az input11.dat adat file-ban definiálható adatok ................................................ 129 C3. ábra Az input2.dat adat file-ban definiálható adatok .................................................. 129 D1. ábra Maghuzal igénybevételei .................................................................................... 130 D2. ábra Belső réteg huzaljának igénybevételei ................................................................ 131 D3. ábra Külső réteg huzaljának igénybevételei ............................................................... 132 D4. ábra A maghuzal és a belső réteg kölcsönhatásából származó igénybevételek .......... 133 D5. ábra A belső és külső réteg kölcsönhatásából származó igénybevételek ................... 134 D6. ábra Maghuzal igénybevételei .................................................................................... 135 D7. ábra Belső réteg huzaljának igénybevételei ................................................................ 136 D8. ábra Külső réteg huzaljának igénybevételei ............................................................... 137 D9. ábra A maghuzal és a belső réteg kölcsönhatásából származó igénybevételek .......... 138 D10. ábra A belső és külső réteg kölcsönhatásából származó igénybevételek ................. 139
108
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
Táblázatjegyzék 1. táblázat: Az 1. eset eredményei ....................................................................................... 34 2. táblázat: A 2.2 eset pontos megoldása ............................................................................. 35 3. táblázat: A kifejlesztett szoftverrel kapott eredmények a 2.2 esetben ............................. 36 4. táblázat: Az Fz 200 N terhelés hatására ébredő eredő tengelyirányú erő a szerkezetben ................................................................................................................. 39 5. táblázat: Az Fz 200 N terhelés hatására ébredő eredő csavaró nyomaték a szerkezetben ................................................................................................................. 40 6. táblázat: Az Fx 10 N terhelés hatására ébredő eredő x-irányú erő a szerkezetben ....... 40 7. táblázat: Az Fx 10 N terhelés hatására ébredő x-irányú elmozdulás a szerkezet végén ...................................................................................................................................... 40 8. táblázat: Az p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F1 erő a φ=40°-hoz tartozó helyen ............................................................................................. 42 9. táblázat: Az p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M3 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen .......................................................................................... 42 10. táblázat: Az 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M1 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen ......................................................................... 45 11. táblázat: Az 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M2 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen ......................................................................... 45 12. táblázat: Az 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M3 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen ......................................................................... 45 13. táblázat: Az pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N rúderő a φ=40°-hoz tartozó helyen ............................................................................................. 47 14. táblázat: Az pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M3 nyomaték a φ=40°-hoz tartozó helyen ......................................................................... 47 15. táblázat: A számításhoz alkalmazot adatok [4].............................................................. 49 16. táblázat: A kontakterő értékek konvergenciája .............................................................. 55 17. táblázat: Eredmények összehasonlítása ......................................................................... 56 18. táblázat: Kontakt jellemzők ........................................................................................... 62 19. táblázat: Eredmények összehasonlítása ......................................................................... 63 20. táblázat: Kontakt jellemzők ........................................................................................... 63 21. táblázat: Kontakt jellemzők hajlítás esetén .................................................................... 73 22. táblázat: Számításhoz alkalmazott adatok [4] ................................................................ 74 23. táblázat: Eredmények összehasonlítása rögzített végű sodrat húzása esetén ................ 74 24. táblázat: Eredmények összehasonlítása szabadon elforduló végű sodrat húzása esetén 74 25. táblázat: Kontakt paraméterek ....................................................................................... 75 26. táblázat: Számítási eredmények összehasonlítása hajlítás esetén .................................. 75 27. táblázat: Számításhoz alkalmazott adatok ..................................................................... 75 28. táblázat: Merevségi mátrix elemek összehasonlítása..................................................... 76 29. táblázat: A számításhoz szükséges adatok, [30] ............................................................ 78 109
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 30. táblázat: Szabadvégű sodrat globális merevségéhez tartozó eredmények ..................... 79 31. táblázat: Rögzített végű sodrat globális merevségéhez tartozó eredmények ................. 79 32. táblázat: A sodrat számításhoz felhasznált kiinduló adatok .......................................... 81 33. táblázat: Módosított adatok a paraméter analízishez ..................................................... 81 34. táblázat: Kiinduló adatok a kopás számításhoz ............................................................. 93 35. táblázat: Kontaktfeszültség összehasonlítása a hálósűrűség és a görbületek hatásának ellenőrzésére ................................................................................................................. 94 B1. Táblázat Huzalvég z-irányú elmozdulás, uz, [mm] ..................................................... 115 B2. Táblázat Huzalvég z-tengely körüli szögelfordulása, χz, [rad].................................... 115
110
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
Függelékek A. függelék: Pótlólagos állandók alakfüggvény mátrixának elemei B. függelék: Térbeli spirális huzal rögzített és szabadvégű terhelési eseteire végzett konvergencia igazoló számítások eredményei C. függelék: Az input adatok definíciója D. függelék: Numerikus számítások eredményei E. függelék: Publikációk az értekezés témájában
111
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
A. függelék: Pótlólagos állandók alakfüggvény mátrixának elemei ˆ Matrix Φ
ˆ ˆ Φ ( 6 , 20 ) i , j ,
(A.1)
ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ 1,3 ˆ5, ˆ 1, 4 ˆ 6, 1,1 1 1, 2 2
(A.2)
ˆ ˆ , 1, 5 7
(A.3)
ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ 2, 6 ˆ 1, 2, 7 2 2 ,8 5 2,9 6
(A.4)
ˆ 2,10 ˆ7,
(A.5)
ˆ ˆ ˆ 3,11 ˆ 3, ˆ 3,12 ˆ 4, 3,13 8 ,
(A.6)
ˆ ˆ ˆ ˆ 3,14 9 , 3,15 10 ,
(A.7)
ˆ ˆ , ˆ 4,1 ˆ1, ˆ 4,3 ˆ5, 4, 2 2
(A.8)
ˆ ˆ , ˆ 4,5 ˆ 7, 4, 4 6
(A.9)
ˆ Q ˆ , ˆ Q ˆ , 4, 6 1, 4, 7 2 ,
(A.10)
ˆ Q ˆ , ˆ Q ˆ , 4 ,8 5 , 4 ,9 6 ,
(A.11)
ˆ 4,10 Q ˆ 7, ,
(A.12)
ˆ Q ˆ , ˆ 5, 2 Q ˆ 2, , ˆ 5, 3 Q ˆ 5 , , 5,1 1,
(A.13)
ˆ 5, 4 Q ˆ 6, , ˆ 5, 5 Q ˆ 7, ,
(A.14)
ˆ ˆ , ˆ 5, 6 ˆ1, ˆ 5,8 ˆ 5, 5, 7 2
(A.15)
ˆ ˆ , ˆ ˆ 5,9 6 5,10 7 ,
(A.16)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5,11 3 , 5,12 4 , 5,11 8 ,
(A.17)
ˆ 5,11 ˆ9, ˆ 5,11 ˆ 10 ,
(A.18) 112
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ,16 3 , 6 ,17 4 , 6 ,18 8 ,
(A.19)
ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ,19 9 , 6 , 20 10
(A.20)
aˆ T (1, 20) aˆuT1 aˆuT2 aˆuT3 aˆ T 3
(A.21)
Matrix Bˆ a
Bˆ a ( 6, 20) Bˆi , j
(A.22)
ˆ 1 , Bˆ1, 2 ˆ 2 , Bˆ1,3 ˆ 5, Bˆ1,1
(A.23)
ˆ , ˆ 6 , Bˆ1,5 Bˆ1, 4 7
(A.24)
ˆ 3, , Bˆ1,12 Q ˆ 4 , , Bˆ1,11 Q
(A.25)
ˆ 8, , Bˆ1,14 Q ˆ 9, , Bˆ1,13 Q
(A.26)
ˆ Bˆ1,15 Q 10 , ,
(A.27)
ˆ , ˆ 1, , Bˆ 2, 2 2 Q Bˆ 2,1 2 Q 2 ,
(A.28)
ˆ 5, , Bˆ 2, 4 2 Q ˆ 6, , Bˆ 2,3 2 Q
(A.29)
ˆ , Bˆ 2 ˆ Q2 , Bˆ 2,5 2 Q 7 , 2, 6 1 1, ,
(A.30)
ˆ Q 2 , Bˆ 2 ˆ Q2 , Bˆ 2,7 2 2 2 , , 2 ,8 5 5 , ,
(A.31)
ˆ 6 Q 2 6,, , Bˆ 2,9 2
(A.32)
ˆ Q2 , Bˆ 2,10 2 7 7 , ,
(A.33)
ˆ 3 , Bˆ 2,12 ˆ4, Bˆ 2,11
(A.34)
ˆ , Bˆ ˆ , Bˆ 2,13 8 2 ,14 9
(A.35) 113
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
ˆ , Bˆ ˆ 3 , Bˆ 2,17 ˆ 4, Bˆ 2,15 10 2 ,16
(A.36)
ˆ , Bˆ ˆ , Bˆ ˆ 10 , Bˆ 2,18 8 2 ,19 9 2 , 20
(A.37)
Bˆ3,1 Bˆ 2, 6 , Bˆ3, 2 Bˆ 2,7 , Bˆ3,3 Bˆ 2,8 ,
(A.38)
Bˆ3, 4 Bˆ 2,9 , Bˆ3,5 Bˆ 2,10 ,
(A.39)
Bˆ3,6 Bˆ 2,1 , Bˆ3,7 Bˆ 2, 2 , Bˆ3,8 Bˆ 2,3 , Bˆ3,9 Bˆ 2, 4 ,
(A.40)
Bˆ3;10 Bˆ 2,5 , Bˆ3;11 Q 3, ,
(A.41)
Bˆ3;12 Q 4, , Bˆ3;13 Q 8, ,
(A.42)
Bˆ3;14 Q 9, , Bˆ3;15 Q 10, ,
(A.43)
ˆ , ˆ 1 , Bˆ 4, 2 ˆ 2 , Bˆ 4,3 Bˆ 4,1 5
(A.44)
ˆ , Bˆ ˆ , Bˆ 4, 4 6 4,5 7
(A.45)
ˆ , Bˆ Q ˆ , Bˆ 4,6 Q 1, 4, 7 2 ,
(A.46)
ˆ 5, , Bˆ 4,9 Q ˆ 6, , Bˆ 4,8 Q
(A.47)
ˆ , ˆ 7, , Bˆ 4,16 Q Bˆ 4,10 Q 3,
(A.48)
ˆ , Bˆ Q ˆ 8, , Bˆ 4,17 Q 4 , 4 ,18
(A.49)
ˆ 9, , Bˆ 4, 20 Q ˆ 10, Bˆ 4,19 Q
(A.50)
114
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
B. függelék: Térbeli spirális huzal rögzített és szabadvégű terhelési eseteire végzett konvergencia igazoló számítások eredményei
B.1 Rögzített végű sodrat B.1.1 Fz=-200 N terhelés B1. Táblázat Huzalvég z-irányú elmozdulás, uz, [mm] Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés 1 2 3 4 1 -0.0152 -0.0436 -0.0439 -0.0649 4 -0.0687 -0.0719 -0.0723 -0.0724 16 -0.0723 -0.0724 -0.0724 -0.0724 64 -0.0724 -0.0724 -0.0724 -0.0724 256 -0.0724 -0.0724 -0.0724 -0.0724
B2. Táblázat Huzalvég z-tengely körüli szögelfordulása, χz, [rad] Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés 1 2 3 4 1 0.001984 0.000301 0.000347 -0.000327 4 -0.000381 -0.000416 -0.000414 -0.000414 16 -0.000415 -0.000414 -0.000414 -0.000414 64 -0.000414 -0.000414 -0.000414 -0.000414 256 -0.000414 -0.000414 -0.000414 -0.000414
5 -0.0650 -0.0724 -0.0724 -0.0724 -0.0724
5 -0.000330 -0.000414 -0.000414 -0.000414 -0.000414
115
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fz=200N terhelés, 4 elem/h 500
800
400
600
300
400
Fz, [N]
Fz, [N]
Fz=200N terhelés, 1 elem/h 1000
200 0 ‐200 0
1
2
3
4
5
200 100 0
6
‐100
‐400 ‐600
1
‐200
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 16 elem/h
2
3
4
5
6
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 64 elem/h 203
220
202
215
202
Fz, [N]
225
210 205 200
201 201 200
195
200 0
1
2
3
4
5
6
0
1
Pótlólagos állandók száma
2
3
4
5
6
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 256 elem/h 200,25 200,20
Fz, [N]
Fz, [N]
0
200,15 200,10 200,05 200,00 199,95 0
1
2
3
4
5
6
Pótlólagos állandók száma
B1. ábra Eredő z-irányú erő
116
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fz=200N terhelés, 4 elem/h 200
300
100
Mz, [Nmm]
Mz, [Nmm]
Fz=200N terhelés, 1 elem/h 400
200 100 0 ‐100
0
1
‐200
2
3
4
5
6
0 ‐100
2
3
4
5
6
5
6
‐300 ‐400
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 16 elem/h
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 64 elem/h
8
1,5
Mz, [Nmm]
2,0
6 4 2
1,0 0,5 0,0
0 0
1
2
3
4
5
0
6
1
‐0,5
Pótlólagos állandók száma
2
3
4
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 256 elem/h 0,12 0,10
Mz, [Nmm]
Mz, [Nmm]
1
‐200
10
‐2
0
0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 ‐0,02 0 ‐0,04
1
2
3
4
5
6
Pótlólagos állandók száma
B2. ábra Eredő csavaró nyomaték
117
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fz=200N terhelés, 1 elem/h
Fz=200N terhelés, 4 elem/h ‐0,068000
0,000000 1
2
3
4
5
0
6
‐0,020000 ‐0,030000 ‐0,040000 ‐0,050000
‐0,070000
Fz=200N terhelés, 16 elem/h
4
5
6
‐0,071000
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 64 elem/h ‐0,0723611
0
1
2
3
4
5
6
‐0,0723611 0
u_z, [mm]
‐0,072345 ‐0,072350 ‐0,072355 ‐0,072360
1
2
3
4
5
6
‐0,0723611 ‐0,0723611 ‐0,0723612 ‐0,0723612 ‐0,0723612 ‐0,0723612
Pótlólagos állandók száma
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 256 elem/h 0,00 ‐0,01 0
1
2
3
4
5
6
‐0,02
u_z, [mm]
u_z, [mm]
3
‐0,070000
‐0,073000
Pótlólagos állandók száma
‐0,072335
‐0,072365
2
‐0,072000
‐0,060000
‐0,072340
1
‐0,069000
u_z, [mm]
u_z, [mm]
‐0,010000 0
‐0,03 ‐0,04 ‐0,05 ‐0,06 ‐0,07 ‐0,08
Pótlólagos állandók száma
B3. ábra A szerkezet z-irányú elmozdulása
118
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fz=200N terhelés, 1 elem/h
Fz=200N terhelés, 4 elem/h
0,0025000
0,0015000
χ_z, [rad]
χ_z, [rad]
0,0020000
0,0010000 0,0005000 0,0000000 ‐0,0005000
0
1
2
3
4
5
6
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 16 elem/h
2
3
4
5
6
Pótlólagos állandók száma
‐0,000413657 0
1
2
3
4
5
6
‐0,000413658
χ_z, [rad]
‐0,0004138 ‐0,0004140 ‐0,0004142 ‐0,0004144
0
1
2
3
4
5
6
‐0,000413659 ‐0,000413660 ‐0,000413661 ‐0,000413662 ‐0,000413663
Pótlólagos állandók száma
Pótlólagos állandók száma
Fz=200N terhelés, 256 elem/h 0,0000 0
1
2
3
4
5
6
‐0,0001
χ_z, [rad]
χ_z, [rad]
1
Fz=200N terhelés, 64 elem/h
‐0,0004136
‐0,0004146
‐0,0003750 ‐0,0003800 0 ‐0,0003850 ‐0,0003900 ‐0,0003950 ‐0,0004000 ‐0,0004050 ‐0,0004100 ‐0,0004150 ‐0,0004200
‐0,0002 ‐0,0003 ‐0,0004 ‐0,0005
Pótlólagos állandók száma
B4. ábra A szerkezet z-irányú szögelfordulása
119
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel B.1.2 Fx=10 N terhelés Fx=10N terhelés, 4elem/h 20
40
15 10
20
Fx, [N]
Fx, [N]
Fx=10N terhelés, 1elem/h 60
0 ‐20
0
1
2
3
4
5
6
5 0 ‐5 0
1
‐40
‐20
Pótlólagos állandók száma
5
6
5
6
Fx=10N terhelés, 64elem/h ‐9,75
0 0
1
2
3
4
5
6
‐9,80
Fx, [N]
‐4 ‐6
0
1
3
4
‐9,90 ‐9,95
‐10
‐10,00 ‐10,05
Pótlólagos állandók száma
2
‐9,85
‐8
Pótlólagos állandók száma
Fx=10N terhelés, 256elem/h ‐9,986 ‐9,988 0
1
2
3
4
5
6
‐9,990
Fx, [N]
Fx, [N]
4
Pótlólagos állandók száma
Fx=10N terhelés, 16elem/h
‐12
3
‐15
‐60
‐2
2
‐10
‐9,992 ‐9,994 ‐9,996 ‐9,998 ‐10,000 ‐10,002
Pótlólagos állandók száma
B5. ábra Eredő x-irányú erő
120
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Fx=10N terhelés, 4elem/h 3,7000 3,6000
u_x, [mm]
u_x, [mm]
Fx=10N terhelés, 1elem/h 4,0000 3,5000 3,0000 2,5000 2,0000 1,5000 1,0000 0,5000 0,0000
3,5000 3,4000 3,3000 3,2000 3,1000
0
1
2
3
4
5
6
0
1
Pótlólagos állandók száma
u_x, [mm] 2
3
4
4
5
6
5
5
6
4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0
6
1
2
3
4
Pótlólagos állandók száma
Pótlólagos állandók száma
Fx=10N terhelés, 256elem/h 3,639172 3,639170
u_x, [mm]
u_x, [mm]
3,6394 3,6392 3,6390 3,6388 3,6386 3,6384 3,6382 3,6380 3,6378 1
3
Fx=10N terhelés, 64elem/h
Fx=10N terhelés, 16elem/h
0
2
Pótlólagos állandók száma
3,639168 3,639166 3,639164 3,639162 3,639160 3,639158 0
1
2
3
4
5
6
Pótlólagos állandók száma
B6. ábra A szerkezet x-irányú elmozdulása
121
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel B.2 Szabadvégű sodrat B.2.1 Normál irányú megoszló erő ( p1 0.5 N / mm ) terhelés p1=0.5N/mm terhelés, 1elem/h
p1=0.5N/mm terhelés, 1elem/h
150,0
150,0 100,0
50,0
50,0
F1, [N]
F1, [N]
100,0 Analitikus p=1
Analitikus
0,0
0
2
‐50,0
4
6
8
‐100,0
, [rad]
50,0
50,0
0,0 4
6
8
F1, [N]
2
Analitikus p=3
‐100,0
8
2
4
6
8
‐50,0 Analitikus
‐100,0
p=4
‐150,0
‐150,0 ‐200,0
6
, [rad]
0
0,0 0
4
p1=0.5N/mm terhelés, 1elem/h
100,0
‐50,0
2
‐50,0
p1=0.5N/mm terhelés, 1elem/h
F1, [N]
p=2
0
0,0
‐200,0
, [rad]
, [rad]
p1=0.5N/mm terhelés, 1elem/h 60,0
F1, [N]
40,0 20,0 Analitikus
0,0
p=5
0
2
4
6
8
‐20,0 ‐40,0
, [rad]
B7. ábra A p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 1 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál
122
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel p1=0.5N/mm terhelés, 256elem/h 30,0
20,0
20,0
10,0 0,0 ‐10,0
F1, [N]
F1, [N]
p1=0.5N/mm terhelés, 256elem/h 30,0
Analitikus
0
2
4
6
8
p=1
‐20,0
10,0 0,0 ‐10,0
6
8
p=2
30,0
30,0
20,0
20,0
10,0 0,0
Analitikus
0
2
4
6
8
, [rad]
p1=0.5N/mm terhelés, 256elem/h
F1, [N]
F1, [N]
4
‐30,0
, [rad]
p1=0.5N/mm terhelés, 256elem/h
p=3
‐20,0 ‐30,0
2
‐20,0
‐30,0
‐10,0
Analitikus
0
10,0 0,0 ‐10,0
Analitikus
0
2
4
6
8
p=4
‐20,0 ‐30,0
, [rad]
, [rad]
p1=0.5N/mm terhelés, 256elem/h 30,0
F1, [N]
20,0 10,0 0,0 ‐10,0
Analitikus
0
2
4
6
8
p=5
‐20,0 ‐30,0
, [rad]
B8. ábra A p1 0.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 256 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál
123
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel B.2.2 Normál irányú megoszló nyomaték ( 1 15 Nmm / mm ) terhelés mu1=15N/mm terhelés, 1elem/h
M1, [Nmm]
M1, [Nmm]
mu1=15N/mm terhelés, 1elem/h 800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
p=1
, [rad]
800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
4
6
8
p=2
, [rad]
mu1=15N/mm terhelés, 1elem/h
M1, [Nmm]
M1, [Nmm]
mu1=15N/mm terhelés, 1elem/h 800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
p=3
, [rad]
800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
p=4
, [rad]
M1, [Nmm]
mu1=15N/mm terhelés, 1elem/h 800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
p=5
, [rad]
B9. ábra A 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 1 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál
124
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel mu1=15N/mm terhelés, 256elem/h
M1, [Nmm]
M1, [Nmm]
mu1=15N/mm terhelés, 256elem/h 800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
p=1
, [rad]
800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
4
6
8
p=2
, [rad]
mu1=15N/mm terhelés, 256elem/h
M1, [Nmm]
M1, [Nmm]
mu1=15N/mm terhelés, 256elem/h
Analitikus
2
p=3
, [rad]
800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
p=4
, [rad]
M1, [Nmm]
mu1=15N/mm terhelés, 256elem/h 800 600 400 200 0 ‐200 0 ‐400 ‐600 ‐800
Analitikus
2
4
6
8
p=5
, [rad]
B10. ábra A 1 15 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M1 erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 256 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál
125
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel B.2.3 z-irányú megoszló erő ( pz 2.5 N / mm ) terhelés pz=‐2.5N/mm terhelés, 1elem/h
pz=‐2.5N/mm terhelés, 1elem/h 800
800 600
600
200 Analitikus
0 ‐200 0
2
4
6
8
400
N, [N]
N, [N]
400
p1
Analitikus
200
‐400
0
‐600
1 000
600
800
N, [N]
1 200
400 Analitikus
200
6
8
pz=‐2.5N/mm terhelés, 1elem/h
800
p3
0 ‐400
4
, [rad]
1 000
‐200 0
2
‐200
, [rad]
pz=‐2.5N/mm terhelés, 1elem/h
N, [N]
p2
0
600 Analitikus
400
p4
200 2
4
6
8
0 ‐200 0
, [rad]
2
4
6
8
, [rad]
pz=‐2.5N/mm terhelés, 1elem/h 1 000
N, [N]
800 600 400
Analitikus
200
p5
0 0
2
4
6
8
, [rad]
B11. ábra A pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 1 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál
126
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel pz=‐2.5N/mm terhelés, 256elem/h
N, [N]
N, [N]
pz=‐2.5N/mm terhelés, 256elem/h 700 600 500 400 300 200 100 0
Analitikus p1
0
2
4
6
8
, [rad]
700 600 500 400 300 200 100 0 ‐100 0
700 600 500 400 300 200 100 0 ‐100 0
Analitikus p3
2
4
6
, [rad]
p2
2
4
, [rad]
6
8
pz=‐2.5N/mm terhelés, 256elem/h
N, [N]
N, [N]
pz=‐2.5N/mm terhelés, 256elem/h
Analitikus
8
700 600 500 400 300 200 100 0 ‐100 0
Analitikus p4
2
4
, [rad]
6
8
N, [N]
pz=‐2.5N/mm terhelés, 256elem/h 700 600 500 400 300 200 100 0 ‐100 0
Analitikus p5
2
4
, [rad]
6
8
B12. ábra A pz 2.5 N / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N erő megoszlása a huzal hossza mentén a függvényében 256 elem/menetemelkedés szerinti felosztásnál
127
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
C. függelék: Az input adatok definíciója A számításokhoz szükséges adatokat egy input adatkezelő felület segítségével lehet definiálni. A C1. ábra mutatja azokat a bemenő adatokat, amelyek a szoftverhez kapcsolódó input1.dat fileban vannak eltárolva. Ezek a geometriai és anyagadatok, a befogás típusa, valamint a súrlódási és érintkezési állapothoz tartozó tényezők. Az C2. ábra az input2.dat fileban tárolt értékeket mutatja, melyek segítségével a terhelési lépcsők és az iterációs ciklusszámot tudjuk változtatni. A C3. ábra pedig az input3.dat filehoz tartozik, amelynek segítségével a terhelés típusa és értéke adható meg.
C1. ábra Az input1.dat adat file-ban definiálható adatok
128
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
C2. ábra Az input11.dat adat file-ban definiálható adatok
C3. ábra Az input2.dat adat file-ban definiálható adatok
129
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
D. függelék: Numerikus számítások eredményei D1.
1+6+12 szerkezetű sodrat Jiang példája alapján [30]
D1.1 Rögzített végű sodrat F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
14000
80 60
12000
40 20
M1 [Nmm]
N [N]
10000
8000
6000
0 -20 -40 -60 -80
4000
-100 2000 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
-120 0
180
20
40
Rúderő
100
20
50
M3 [Nmm]
40
0
-50
-40
-100
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
0
-20
40
s [mm]
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 150
100
120
140
160
-150 0
180
20
40
Hajlító nyomaték
60
80
s [mm]
100
120
140
160
Csavaró nyomaték
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 1400
1200
1000 e [MPa]
M2 [Nmm]
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
20
80
Hajlító nyomaték
60
-60 0
60
800
600
400
200 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Redukált feszültség D1. ábra Maghuzal igénybevételei
130
180
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
10000
1500
9000
1000
8000 500
M1 [Nmm]
N [N]
7000 6000 5000
0
-500
4000 -1000
3000 2000 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
-1500 0
180
20
40
Rúderő
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Hajlító nyomaték
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
2000
200
1500
150
M3 [Nmm]
500
100
50
0 0
-500
-1000 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
-50 0
180
20
40
Hajlító nyomaték
60
80
s [mm]
100
120
140
160
Csavaró nyomaték
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 1800 1600 1400 1200 e [MPa]
M2 [Nmm]
1000
1000 800 600 400 200 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Redukált feszültség D2. ábra Belső réteg huzaljának igénybevételei
131
180
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
10000
1500
9000
1000
8000 500
M1 [Nmm]
N [N]
7000 6000
0
5000
-500
4000 -1000
3000 2000 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
-1500 0
180
20
40
Rúderő
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Hajlító nyomaték
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
2500
20 0
2000
-20 1500
M3 [Nmm]
500
-60 -80 -100
0 -120 -500 -1000 0
-140 20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
-160 0
180
20
40
Hajlító nyomaték
60
80
s [mm]
100
120
140
160
Csavaró nyomaték
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 1800 1600 1400 1200 e [MPa]
M2 [Nmm]
-40 1000
1000 800 600 400 200 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Redukált feszültség D3. ábra Külső réteg huzaljának igénybevételei
132
180
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1,
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1,
400
12
350
10
p [N/mm]: - , *pn [N/mm]: *
300
pn [N/mm]
250 200 150 100
6
4
2
50 0 0
8
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
0 0
160
Kontaktnyomás eloszlás a maghuzal és az első réteg huzalja között
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0 -4 Szogelfordulas a belso reteg elso szalaban3 [rad]
6
x 10
4
2
0
-2
-4
-6 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Szögelfordulás a belső réteg első szálában, χ3 D4. ábra A maghuzal és a belső réteg kölcsönhatásából származó igénybevételek
133
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1,
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1,
900
0.012
800 0.01 Relativ elmozdulas [mm]
700
FH [N]
600 500 400 300
0.008
0.006
0.004
200 0.002 100 0 0
20
40
60
80
100 s [mm]
120
140
160
0 0
180
Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között
20
40
60
80
100 s [mm]
120
140
160
180
Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között
F0=175 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z=0
Surlodo ero (*, o) hatar surlodas (- -, -) [N]
120
100
80
60
40
20
0 0
20
40
60
80
100 s [mm]
120
140
160
180
200
A súrlódó erő és határerő eloszlása a sodrat hossza mentén a különböző terhelési lépcsőknél D5. ábra A belső és külső réteg kölcsönhatásából származó igénybevételek
134
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel D1.2 Szabadon elforduló végű sodrat F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
10000
15
9000
10
8000 5 M1 [Nmm]
N [N]
7000 6000 5000
0
-5
4000 -10
3000 2000 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
-15 0
180
20
40
Rúderő 1600
5
1400
0
1200 M3 [Nmm]
10
-5 -10
-20
400
-25
200 80
s [mm]
120
140
160
180
800 600
60
100
1000
-15
100
120
140
160
0 0
180
20
40
Hajlító nyomaték
60
80
s [mm]
100
120
140
160
Csavaró nyomaték
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
1000
900 800 700 e [MPa]
M2 [Nmm]
1800
40
s [mm]
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
15
20
80
Hajlító nyomaték
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
-30 0
60
600 500 400 300 200 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Redukált feszültség D6. ábra Maghuzal igénybevételei
135
180
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
9000
500 400
8000
300 7000
200
N [N]
M1 [Nmm]
6000 5000
100 0 -100 -200
4000
-300 3000 2000 0
-400 20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
-500 0
180
20
40
Rúderő
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Hajlító nyomaték
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
2000
1100 1000
1500
900
M3 [Nmm]
500
700 600 500 400
0
300 200
-500 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
100 0
180
20
40
Hajlító nyomaték
60
80
s [mm]
100
120
140
160
Csavaró nyomaték
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
1600 1400 1200
e [MPa]
M2 [Nmm]
800 1000
1000 800 600 400 200 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Redukált feszültség D7. ábra Belső réteg huzaljának igénybevételei
136
180
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
4000
2000
3500
1500 1000
3000
500 N [N]
M1 [Nmm]
2500 2000
0 -500
1500
-1000
1000 500 0
-1500
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
-2000 0
180
20
40
Rúderő
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Hajlító nyomaték
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
1000
1000
900 500
800
M3 [Nmm]
-500
600 500 400 300
-1000
200 -1500 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
100 0
180
20
40
Hajlító nyomaték
60
80
s [mm]
100
120
140
160
Csavaró nyomaték
F0=100.0 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
1000
900 800 700 e [MPa]
M2 [Nmm]
700 0
600 500 400 300 200 100 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Redukált feszültség D8. ábra Külső réteg huzaljának igénybevételei
137
180
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=100 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z
F0=100 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z
250
7 6
p [N/mm]: - , *pn [N/mm]: *
pn [N/mm]
200
150
100
5 4 3 2
50 1 0 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
0 0
160
Kontaktnyomás eloszlás a maghuzal és az első réteg huzalja között
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél
F0=100 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free Szogelfordulas a belso reteg elso szalaban3 [rad]
0.1
0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 0
20
40
60
80
s [mm]
100
120
140
160
180
Szögelfordulás a belső réteg első szálában, χ3 D9. ábra A maghuzal és a belső réteg kölcsönhatásából származó igénybevételek
138
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F0=100 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z fr
250
0.025 Relativ elmozdulas [mm]
0.03
200 FH [N]
F0=100 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z fr
300
150
100
50
0 0
0.02
0.015
0.01
0.005
20
40
60
80
100 s [mm]
120
140
160
180
2
0 0
20
40
60
80
100 s [mm]
120
140
160
180
Kontakterő eloszlás az első és második réteg Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között huzaljai között F0=100 kN, nszal=6,12,nelemw=74,menet=2,np=3, ipoisson=ikhi=1, z free
Surlodo ero (*, o) hatar surlodas (- -, -) [N]
35 30 25 20 15 10
5 0 0
20
40
60
80
100 s [mm]
120
140
160
180
200
A súrlódó erő és határerő eloszlása a sodrat hossza mentén a különböző terhelési lépcsőknél D10. ábra A belső és külső réteg kölcsönhatásából származó igénybevételek
139
2
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
E. függelék: Publikációk az értekezés témájában Idegen nyelvű folyóiratban megjelent szakcikkek {1} Robert Beleznai, István Páczelt, Design curve determination for two-layered wire
rope strand using p-version finite element code, Engineering with Computers, Springer-Verlag London Limited, 2012., DOI 10.1007/s00366-012-0269-7 (Impact factor in 2011: 0.739) {2} Páczelt I, Beleznai R. Nonlinear contact-theory for analysis of wire rope strand using high-order approximation in the FEM, Computers and Structures Vol. 89., Issues 11-12. (2011), 1004-1025 (Impact factor in 2011: 1.719) {3} István Páczelt, Róbert Beleznai, Contact wear effect to the mechanical degradation, Journal of Materials Science and Technology, Volume 16, No. 2, pp. 91-98., Institute of Metal Science, Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, Bulgaria, 2008. Magyar nyelvű folyóiratban megjelent szakcikkek {4} Beleznai Róbert, Kétrétegű sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel, GÉP, LX. évfolyam, 6. szám, 3-14. oldal, Miskolc, 2009.
Tudományos közlemények idegen nyelvű konferencia kiadványban {5} Robert Beleznai, István Páczelt, Development of contact-theory for analysis of wire rope strand using p-version finite element method, Proceedings of TMCE 2010 Symposium, ISBN 978-90-5155-060-3, pp. 1051-1064, Ancona, Italy, 2010. {6} Róbert Beleznai, Dr. István Páczelt, Analysis of simple straight wire rope strand using p-version finite element method, microCAD 2008 International Scientific Conference, Miskolc, Hungary, 20-21 March, 2008., pp. 1-6.
Tudományos közlemények magyar nyelvű konferencia kiadványban {7} Dr. Páczelt István, Beleznai Róbert: Drótkötelek belső kopásának szimulálása, XX. Nemzetközi Gépészeti Találkozó, Erdélyi Magyar Műszaki Tudományos Társaság, 339-342. oldal Kolozsvár, 2012. Szakmai tudományos előadások idegen nyelven {8} Robert Beleznai, István Páczelt, Development of contact-theory for analysis of wire rope strand using p-version finite element method, TMCE 2010 Symposium, Ancona, Italy, 2010. {9} István Páczelt, Róbert Beleznai, Analysis of simple straight wire rope strand using p-version finite element method, 8th World Congress on Computational
140
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Mechanics (WCCM8) and 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008), Venice, Italy, 2008 {10} István Páczelt, Róbert Beleznai, Contact wear effect to the mechanical degradation, Joint Hungarian-Ukrainian-Bulgarian Conference on SafetyReliability and Risk of Engineering Plants and Components and XIV. International Colloquium „Mechanical Fatigue of Metals”, Varna, Bulgaria, 2008 {11} Róbert Beleznai, Dr. István Páczelt, Analysis of simple straight wire rope strand using p-version finite element method, microCAD 2008 International Scientific Conference, Miskolc, Hungary, 20-21 March, 2008.
Szakmai tudományos előadások magyar nyelven {12} Beleznai Róbert, Dr. Páczelt István, p-verziós végeselem módszer kidolgozása sodratszerkezetre, XIII. Fiatal Műszakiak Tudományos Ülésszaka, Kolozsvár, 2008
141
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
HIVATKOZÁSOK [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
[10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]
[17]
[18] [19] [20]
Dr. Bárkóczi István, Sodronykötél, FUX Kft, Miskolc, 1996 Behaviour of large steel wire ropes, www.aspec.com.au Kaderják Gy., Gaál Cs., Monostory L., Závocsky B., Sodronykötél és kábelgyártás, Fux Rt., Miskolc, 1974 G. A. Costello, Theory of wire rope, 2nd edition, Springer, New York, 1997 Anne Nawrocki, Michel Labrosse, A finite element model for simple straight wire rope strands, Computers and Structures 77 (2000), 345-359 http://www.saminfo.com/wirerope4.htm J.W. Phillips, G. A. Costello, Analysis of wire ropes with internal-wire-rope cores, Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics 52 (1985), 510-516 G. A. Costello, Stresses in multilayered cables, Journal of energy resources technology, 105 (1983), 337-340 R. A. LeClair, G. A. Costello, Axial bending and torsional loading of a strand with friction, Proceedings of the Fifth International OMAE Symposium, ASME, Vol. III, Tokyo Japan, (1986), 550-555 S. A. Velinsky, General nonlinear theory for complex wire ropes, International Journal of Mechanical Science 27 (1985), 497-507 H. Ramsey: A theory of thin rods with application to helical constituent wires in cables, Int. J. Mech. Sci. Vol. 30., No. 8. (1988), 559-570 H. Ramsey, Analysis of interwire friction in multilayered cables under uniform extension and twisting, Int. J. Mech. Sci. Vol. 32., No. 8. pp. (1990), 709-716 J. Lanteigne, Theoretical estimation of the response of helically armored cables to tension, torsion and bending, Journal of Applied Mechanics 52 (1985), 423-432 M. Raoof, I. Kraincanic, Determination of wire recovery length in steel cables and its practical applications, Computers and Structures 68 (1998), 445-459 A. Prakash, T. A. Conway, G. A. Costello, Compression of a cord, Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics 59 (1992), S213-S216 K. Kumar, J. Botsis, Contact stresses in multilayered strands under tension and torsion, Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics 68 (2001), 432440 D. Elata, R. Eshkenazy, M. P. Weiss, The mechanical behavior of a wire rope with an independent wire rope core, International Journal of Solids and Structures 41 (2004), 1157–1172 M. Giglio, A. Manes, Life prediction of a wire rope subjected to axial and bending loads, Engineering Failure Analysis 12 (2005), 549–568 D.K. Zhang, S.R. Ge, Y.H. Qiang, Research on the fatigue and fracture behavior due to the fretting wear of steel wire in hoisting rope, Wear 255 (2003), 1233–1237 Richard C. Wang, Anthony J. Miscoe, William M. McKewan, Model for the structure of round-strand wire ropes, Report of Investigations 9644, U. S. Department of Health and Human Services, Public Health Service, Centers for Disease Control and Preventation, National Institute for Occupational Safety and Health, Pittsburg Research Laboratory, Pittsburg, PA, 1998 142
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel [21] Kumar K. and Cochran J.E. Jr., Closed-form analysis for elastic deformations of multilayered strand, ASME Journal of Applied Mechanics Vol. 54. (1987), 898–903 [22] R. E. Hobbs & M. Raoof, Behaviour of Cables under Dynamic or Repeated Loading, J. Construct. Steel Res. Vol. 39, No. 1, Elsevier Science Ltd., (1996), 31-50 [23] M. Raoof, I. Kraincanic, Simple derivation of the stiffness matrix for axial/torsional coupling of spiral strands, Computers&Structures Vol. 55. No. 4 (1995), 589-600 [24] Mohammed Raoof, Timothy J. Davies, Simple determination of the maximum axial and torsional energy dissipation in large diameter spiral strands, Computers&Structures Vol. 84. (2006), 676-689 [25] Morteza Alani and Mohammed Raoof, Effect of mean axial load on axial fatigue life of spiral strands, Int. J. Fatigue Vol. 19, No. 1, (1997), 1-11 [26] M. Raoof, I. Kraincanic, Prediction of coupled axial/torsional stiffness coeffients of locked-coil ropes, Computers and Structures 69 (1998), 305-319 [27] W. G. Jiang, J. L. Henshall, The analysis of termination effects in wire strand using the finite element method, Journal of Strain Analysis 34 (1999), 31-38 [28] W. G. Jiang, M. S. Yao, J. M. Walton, A concise finite element model for simple straight wire rope strand, International Journal of Mechanical Sciences 41 (1999), 143-161 [29] Wen-Guang Jiang, K. Michael, J. Warby, J. L. Henshall, Statically indeterminate contacts in axially loaded wire strand, European Journal of Mechanics A/Solids 27 (2008), 69-78 [30] W. G. Jiang, J. L. Henshall, J. M. Walton, A concise finite element model for threelayered straight wire rope strand, International Journal of Mechanical Sciences 42 (2000), 63-86 [31] W.S. Utting, N. Jones, Survey of the literature on the behaviour of steel wire rope, Wire Industry 51 (1984), 623-629 [32] M. Taktak, F. Dammak, S. Abid, M. Haddar, A mixed-hybrid finite element for three-dimensional isotropic helical beam analysis, International Journal of Mechanical Sciences 47 (2005), 209-229 [33] Anne Nawrocki, Michel Labrosse, Ted Conway, A new specific finite element model for cables - Part I Theory, htt://www.algor.com/news_pub/tech_white_papers/finite_cables_I/?print=yes& [34] W. S. Utting and N. Jones, The response of wire rope strands to axial tensile loads – Part I. Experimental results and theoretical predictions, Int. J. Mech. Sci. Vol. 29., No. 9. (1987), 605-619 [35] W. S. Utting and N. Jones, The response of wire rope strands to axial tensile loads – Part II. Comparison of experimental results and theoretical predictions, Int. J. Mech. Sci. Vol. 29., No. 9. (1987), 621-636 [36] Young J. Chiang, Characterizing simple-stranded wire cables under axial loading, Finite elements in Analysis and Design Vol. 24., Elsevier, (1996), 49-66 [37] Beleznai Róbert, Szávai Szabolcs, Sárközi László, Rózsahegyi Péter, Lenkeyné Dr. Biró Gyöngyvér, Sodratok Optimálása - Elmélet és Gyakorlat, GÉP folyóirat, LVIII. évfolyam 8-9. szám, Miskolc, 2007. [38] Róbert Beleznai, Szabolcs Szávai, Dr. László Sárközi, Péter Rózsahegyi, Analytical and FEM analysis of the seven-wire strand under axial load, An International Journal 143
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
[39]
[40]
[41]
[42]
[43] [44]
[45]
[46]
[47]
[48] [49]
[50]
[51]
[52]
for Engineering and Information Sciences, DOI:10.1556/Pollack.2.2007.2.8, Vol 2., No.2., pp. 93-101 Pécs, Hungary, 2007. Seyed Reza Ghoreishi, Patrice Cartraud, Peter Davies, Tanguy Messager, Analytical modeling of synthetic fiber ropes subjected to axial loads. Part I: A new continuum model for multilayered fibrous structures, International Journal of Solids and Structures 44 (2007), 2924–2942 Seyed Reza Ghoreishi, Peter Davies, Patrice Cartraud, Tanguy Messager, Analytical modeling of synthetic fiber ropes. Part II: A linear elastic model for 1 + 6 fibrous structures, International Journal of Solids and Structures 44 (2007), 2943–2960 Seyed Reza Ghoreishi, Tanguy Messager, Patrice Cartraud, Peter Davies, Validity and limitations of linear analytical models for steel wire strands under axial loading, using a 3D FE model, International Journal of Mechanical Sciences 49 (2007), 1251– 1261 Ma Jun, Ge Shi-rong, Zhang De-kun, Distribution of wire deformation within strands of wire ropes, Journal of China University of Mining and Technology 18, (2008), 0475-0478 Cengiz Erdönmez, C. Erdem Imrak, Modeling and numerical analysis of the wire strand, Journal of Naval Science and Engineering, Vol. 5 , No.1, (2009), 30-38 Cengiz Erdönmez, C. Erdem Imrak, Modeling Techniques of Nested Helical Structure Based Geometry for Numerical Analysis, Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering Volume(Year)No, StartPage-EndPage, UDC Cengiz Erdönmez, C. Erdem Imrak, On the problem of wire rope model generation with axial loading, Mathematical and Computational Applications, Vol. 15, No. 2, (2010), 259-268 A. Ibrahimbegovic, On finite element implementation of geometrically nonlinear Reissner's beam theory: three-dimensional curved beam elements, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 122 (1995), 11–26 A. Ibrahimbegovic, R.L. Taylor, On the role of frame-invariance in structural mechanics models at finite rotations, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 191 (2002), 5159–5176 P. Litewka, P. Wriggers, Frictional contact between 3D beams, Computational mechanics 28 (2002), 26–39 A. Konyukhov, K. Schweizerhof, Geometrically exact covariant approach for contact between curves, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 199 (2010), 2510-2531 A. Konyukhov, K. Schweizerhof, Covariant description of contact interfaces considering anisotropy for adhesion and friction Part 1. Formulation and analysis of the computational model, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 196 (2006), 103-117 A. Konyukhov, K. Schweizerhof, Covariant description of contact interfaces considering anisotropy for adhesion and friction Part 2. Linearization, finite element implementation and numerical analysis of the model, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 196 (2006), 289-303 A. Konyukhov, K. Schweizerhof, On the solvability of closest point projection procedures in contact analysis: Analysis and solution strategy for surfaces of
144
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel
[53]
[54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61]
[62]
[63]
[64]
[65]
[66] [67] [68] [69]
[70] [71]
arbitrary geometry, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 197 (2008), 3045-3056 A. Konyukhov, K. Schweizerhof, Incorporation of contact for high-order finite elements in covariant form, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 198 (2009), 1213-1223 A. Cruzado, M. Hartelt, R. Wäsche, M.A. Urchegui, X. Gómez, Fretting wear of thin steel wires. Part 1: Influence of contact pressure, Wear 268 (2010), 1409-1416 A.R.T. de Silva, L.W. Fong, Effect of abrasive wear on the tensile strength of steel wire rope, Engineering Failure Analysis 9 (2002), 349–358 B. Szabó, I. Babuska, Finite element analysis, Wiley-Intersience, New York, 1991 K. J. Bathe, Finite element procedures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632, 1996 K. L. Johnson, Contact mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, 1987 G.W. Stachowiak, A.W. Batchelor, Engineering tribology, Elsevier ButterworthHeinemann, New York, 2005 P. Wriggers, Computational contact mechanics, J. Wiley & Sons, New York, 2002 Shen Yan, Zhang Dekun, Ge Shirong, Effect of fretting amplitudes on fretting wear behavior of steel wires in coal mines, Mining Science and Technology, Vol 20., (2010), 0803-0808 Yan Shen, Dekun Zhang, Junjie Duan, Dagang Wang, Fretting wear behaviors of steel wires under friction-increasing grease conditions, Tribology International, Vol. 44., Issue 11., (2011), 1511-1517 I. M. L. Ridge, C. R. Chaplin, J. Zheng, Effect of degradation and impaired quality on wire rope bending over sheave fatigue endurance, Engineering Failure Analysis Vol. 8., (2001), 173-187 Mikel Aingeru Urchegui, Wilson Tato, Xabier Go´mez, Wear Evolution in a Stranded Rope Subjected to Cyclic Bending, Journal of Materials Engineering and Performance, Volume 17(4) (2008), 550-560 I.A. Soldatenkov, A non-linear wear-contact problem for aWinkler foundation with an increasing contact area, Journal of Applied Mathematics and Mechanics 72 (2008) 66–72 I.G. Korovchinsky, P.T. Rajeev, T.N. Farris, Wear in partial slip contact, J. Tribol. 123 (2001), 848–856 L. Johansson, Numerical simulation of contact pressure evolution in fretting, J. Tribol. 116 (1994), 247–254 M. Oqvist, Numerical simulation of mild wear using updated geometry with different step size approaches, Wear 249 (2001), 6–11 C.H.H. Ratsimba, I.R. McColl, E.J. Williams, S.B. Leen, H.P. Soh, Measurement, analysis and prediction of fretting wear damage in a representative aeroengine spline coupling, Wear 257 (2004), 1193–1206 P. Podra, S. Andersson, Simulating sliding wear with finite element method, Tribol. Int. 32 (1999), 71–81 I.R. McColl, J. Ding, S.B. Leen, Finite element simulation and experimental validation of fretting wear, Wear 256 (11–12) (2004), 114–1127 145
Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel [72] I. Paczelt, B.A. Szabo, T. Szabo, Solution of contact problem using the hpversion of the finite element methods, Comput. Math. Appl. 38 (1999), 49–69 [73] Y.-M. Chen, L.K. Ives, J.W. Dally, Numerical simulation of sliding contact over a half-plane, Wear 185 (1995), 83-91 [74] M.D. Kuruppu, A. Tytko, T.S. Golosinski, Loss of metallic area in winder ropes subject to external wear, Engineering Failure Analysis 7 (2000), 199-207 [75] J. Salib, Y. Kligerman, I. Etsion, A Model for Potential Adhesive Wear Particle at Sliding Inception of a Spherical Contact, DOI 10.1007/s11249-008-9331-4, Tribology Letters Vol. 30., No. 3., (2008), 225-233 [76] A. Ramalho, A geometrical model to predict the wear evolution of coated surfaces, Wear 264 (2008), 775–780 [77] I. Páczelt, Z. Mróz, Variational approach to the analysis of steady state thermoelastic wear regimes, Int. J. Num. Meth. Eng., 2010, 81, 728-760. [78] I. Páczelt, S. Kucharski, Z. Mróz, The experimental and numerical analysis of quasisteady wear processes for a sliding spherical indenter, Wear 274– 275 (2012) 127– 148
146
