Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Miskolci Egyetem

GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Peremelem módszer ortotrop és mikropoláris testek síkfeladataira a lineáris rugalmasságtan primál és duál rendszerében PhD értekezés

Készítette :

Dudra Judit okleveles gépészmérnök

Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola, Gépészeti Alaptudományok Tématerület, Szilárd Testek Mechanikája Témacsoport Doktori iskola vezető : Páczelt István az MTA rendes tagja, egyetemi tanár Témacsoport vezető : Kozák Imre az MTA rendes tagja, professzor emeritus Témavezető : Szeidl György az MTA doktora, egyetemi tanár

Miskolc, 2009

Tartalomjegyzék Jelölésbeli megállapodások és jelölések Néhány általános jelölésbeli megállapodás Jelölések

1 1 2

1. fejezet Bevezetés 1.1. A rugalmasságtan primál és duál rendszere síkfeladatokra 1.2. Irodalmi előzmények és célkitűzések 1.3. Az értekezés belső tagolása

4 4 6 9

2. fejezet Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre és külső tartományra 2.1. Bevezetés 2.2. Mezőegyenletek és alapmegoldások 2.3. Somigliana formulák külső tartományra I. 2.4. Az Iκ integrál határértéke I. 2.5. Az Iκ integrál határértéke II. 2.6. Somigliana formulák külső tartományra II. 2.7. Végtelenbeli viselkedés 2.8. Példák

10 10 10 12 14 18 19 19 22

3. fejezet Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre 3.1. Bevezetés 3.2. A duál rendszerben tekintett síkfeladat mezőegyenletei és peremfeltételei 3.3. Alapegyenletek 3.4. Elsőrendű alapmegoldás 3.5. A másodrendű alapmegoldás 3.6. A másodrendű alapmegoldás tulajdonságai

24 24 24 26 27 35 40

4. fejezet Duál Somigliana formulák belső tartományra ortotrop testre 4.1. A duál Somigliana-féle azonosság 4.2. A duál Somigliana formulák – belső tartomány 4.3. A másodrendű alapmegoldás egy tulajdonságának igazolása 4.4. Képletek a feszültségekre

41 41 42 45 46

5. fejezet Duál Somigliana formulák ortotrop testre külső tartományra 5.1. Feszültségek a végtelenben 5.2. A duál Somigliana formulák levezetése – külső tartomány 5.3. Feszültségek számítása a peremen

49 49 49 51

6. fejezet A második duál Somigliana formula (a direkt módszer integrálegyenlete) numerikus megoldásának algoritmusa 6.1. A vonalintegrálok diszkretizálása 6.2. A megoldandó egyenletrendszer 6.3. Számpéldák

53 53 54 56

7. fejezet A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre 7.1. A kitűzött feladat egyenletei 7.2. Kiegészítő kompatibilitási feltételek 7.3. Alapegyenletek

59 59 62 64

i

ii

TARTALOMJEGYZÉK

7.4. Elsőrendű alapmegoldás 7.5. Másodrendű alapmegoldás

65 68

8. fejezet Duál Somigliana formulák belső tartományra mikropoláris esetre 8.1. A duál Somigliana-féle azonosság 8.2. A duál Somigliana formulák – belső tartomány 8.3. Képletek a feszültségekre

72 72 73 76

9. fejezet Duál Somigliana formulák külső tartományra mikropoláris esetre 9.1. Feszültségek a végtelenben 9.2. A duál Somigliana formulák levezetése – külső tartomány 9.3. Feszültségek számítása a peremen

77 77 78 80

10. fejezet Összefoglalás 10.1. Bevezetés 10.2. Irodalmi előzmények és célkitűzések 10.3. Eredmények 10.4. Az eredmények hasznosításának lehetőségei 10.5. Legfontosabb publikációk az értekezés témakörében

82 82 84 87 87 88

11. fejezet Summary Boundary element method for plane problems of orthotropic and micropolar bodies in the primal and dual system of elasticity 11.1. Novel results

90 90 91

Irodalomjegyzék

92

Ábrák jegyzéke

95

Táblázatok jegyzéke

96

A. függelék Átalakítások a primál rendszerbeni számításokhoz A.1. Trigonometrikus integrálok A.2. Részintegrálok összegeinek számítása A.3. Alakváltozási tenzor primál rendszerben külső tartományra

97 97 98 103

B. függelék Részletszámítások duál rendszerben – klasszikus eset B.1. Az elsőrendű alapmegoldás és az alapegyenlet B.2. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet

105 105 106

C. függelék Képletek a feszültségekre – mikropoláris eset

110

D. függelék Részletszámítások duál rendszerben – mikropoláris eset D.1. A χ függvény és az alapegyenlet D.2. Az elsőrendű alapmegoldás és az alapegyenlet D.3. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet

116 116 117 117

E. függelék Programlista ortotrop testre duál rendszerben

119

Jelölésbeli megállapodások és jelölések Néhány általános jelölésbeli megállapodás A vizsgálatokat az O kezdőpontú x1 =x, x2 =y derékszögű kartéziuszi koordinátarendszerben végezzük. Hacsak nincs másként kikötve a {görög}[latin index] az {1,2}[1,2,3] értékeket veheti fel. Az indexes jelölésmódban írt kifejezések esetén általában összegezni kell az azonos (néma) indexek szerint. A 3.-6. Fejezetekben azonban az összegező index több mint kétszer fordul elő  az alapmegoldások összegzéssel előállított tagjaiban. Ilyenkor mindig kiírjuk az összegezés szimbólumát. Általában indexes jelölést alkalmazunk, elvétve szimbolikus jelölést. Az x1 , x2 tengelyek mentén e1 , e2 , az ezekkel egybeeső x, y tengelyek mentén pedig ex , ey az egységvektorok. A Q(ξ1 , ξ2 ) és M (x1 , x2 ) pontok az x1 , x2 koordinátasík két, általában különböző pontját jelölik. A Q pontot forráspontnak, az M pontot pedig a hatás pontjának nevezzük. Az M pont Q ponthoz viszonyított helyvektorát rα (M, Q) = xα (M ) − ξα (Q) = xα − ξα ,

(1)

a Q és M pontok távolságát pedig R = R(M, Q) = |rα (M, Q)|

(2)

jelöli. A vizsgálat tárgya minden esetben az Ai belső, vagy az Ae külső tartomány. Ezek elvben egyszeresen (vagy többszörösen) összefüggőek lehetnek. Az 1. ábra egyszeresen összefüggő eset feltételezése mellett szemléleti a kérdéses tartományokat.

Ae

Lo

Lo

Ai

x2 O

x1

x2

Ai

O

x1

1. ábra. Egyszeresen összefüggő belső és külső tartomány A kis karika, mint alsó index (pl. M◦ vagy Q◦ ) azt jelöli, hogy a vonatkozó Q és/vagy M pontok a vizsgálat tárgyát képző tartomány Lo peremgörbéjére vannak lokalizálva. A koordináták szerinti deriváltakat a M M ∂ = κ = ∂ κ ∂xκ

és 1

Q Q ∂ = κ = ∂ κ ∂ξκ

(3)

2

Jelölések

módon jelöljük, ahol a betűk felett álló Q és M arra utal, hogy melyik pont koordinátái szerint történik a deriválás. A képletekben álló ∇ a közismert nabla operator. A nabla operator felhasználásával adódik, hogy M M ∂κ∂κ

M M

=  κ  κ = M

és

Q Q

Q Q

∂ κ ∂ κ = κ κ = Q

(4)

az M , illetve Q ponthoz tartozó Laplace operátor. Jelölések Bevezető megjegyzések. A fontosabb jelölések felsorolása elkülönítetten és abc sorrendben tartalmazza a latin- és görögbetűs jelöléseket. Az egyes jelöléseket maga a folyó szöveg is értelmezi, illetve magyarázza. A jelölésjegyzéknek mindössze az a szerepe, hogy lehetővé teszi a fontosabb jelölések gyors azonosítását. Latinbetűs jelölések. Ai Ae Aε bρ c3 c11 ,...,c66 cκ Cρ (ti)

dκ D Dij Dρλ Dik dsMo eκ (Q) ek (Q) eκλ eR eκβ (∞) F1 , F2 gκ H Iκ (1)

belső tartomány (v. ö.: 1. ábra, 1. oldal); háromszorosan összefüggő tartomány (a 3. ábra szürke színnel kitöltött tartománya, 12. oldal); A Q forráspont középpontú Rε = ε sugarú köralakú tartomány (3. ábra, 12. oldal); tartományi erőterhelés sűrűségvektora ; tartományi erőpárterhelés sűrűségvektora ; a primál rendszerben felírt Hooke törvény anyagállandói - v.ö.: (7) képlet; eltolódás – lásd a (44) képletet; integrációs állandók - lásd a (69) képletet; a βκ3 kofaktora (előjeles aldeterminánsa) – v.ö.: (95); a (15) képlettel értelmezett állandó ; a Djk differenciál operátor kofaktor mátrixa a klasszikus és mikropoláris rugalmasságtan duál rendszerében; a primál alapegyenletrendszer differenciál-operátora – v.ö.: (9b); a duál alapegyenletrendszer differenciál-operátora klasszikus és mikropoláris esetben – lásd a (74a) és (253) képleteket; ívelem a tartomány peremgörbéjének (kontúrgörbéjének) Mo pontjában; a Q ponthoz kötött erő primál rendszerben, illetve a Q ponthoz kötött inkompatibilitás duál rendszerben klasszikus esetben; a Q ponthoz kötött inkompatibilitás duál rendszerben mikropoláris esetben; az alakváltozási tenzor síkbeli összetevői; a háromszorosan összefüggő Ae külső tartomány sugara (lásd 3. ábra, 11. oldal); alakváltozási tenzor a végtelen távoli pontban (állandó); elsőrendű feszültségfüggvények klasszikus és mikropoláris esetben; kellő rendben differenciálható vektormező (elmozdulásmező) – lásd a (20) képletet; elsőrendű feszültségfüggvény mikropoláris esetben; a külső tartománnyal kapcsolatos direkt peremelem módszer integrálegyenletének jobb oldalán álló integrál - v.ö.: (26);

(4)

I κ ,.., I κ Lo Lε LR Lt1 , Lt3 Lu2 , Lu4 M (x1 , x2 ) M◦ nπ O Pti , Pt,i+1

az Iκ integrált adó részintegrálok - v.ö.: (27); vizsgált belső (vagy külső) tartomány peremgörbéje; a Q forráspont körüli Aε tartomány peremgörbéje (3. ábra, 11. oldal); vizsgált Ae külső tartomány peremgörbéje (3. ábra, 11. oldal); a Lo peremgörbe azon ívei, melyeken feszültség az előírt (6. ábra, 25. oldal); a Lo peremgörbe azon ívei, melyeken elmozdulás az előírt (6. ábra, 25. oldal); a koordináta sík egy futópontja – a hatás pontja ; a peremre (kontúrgörbére) lokalizált M pont; vizsgált tartomány külső normálisa ; a kartéziuszi koordinátarendszer origója ; a tekintett peremív (kontúrgörbe ív) kezdő- és végpontja ;

Jelölésbeli megállapodások és jelölések M

∂α Q(ξ1 , ξ2 ) Q◦ rκ R Rε s s11 ,..., s66 tκ tκλ tκλ (∞) tλ (M◦ ) Tκλ (M, Q) Tkl (M, Q) uκ u ˜κ uκ

Uκλ (M, Q) Ukl (M, Q)

az M pont koordinátái szerint történő deriválás tömör írásmódja ; a forráspont; a peremre (kontúrgörbére) lokalizált Q pont; az M pont Q ponthoz viszonyított helyvektora ; az rκ vektor abszolut értéke (hossza); Q középpontú Aε tartomány sugara (3. ábra, 11. oldal); ívkoordináta a peremgörbe (kontúrgörbe) mentén (pozitív s irányba történő haladás esetén a tartomány a baloldalon van); az ortotrop testre vonatkozó és az alakváltozási tenzorra felírt Hooke törvény anyagállandói – lásd a (64a,b) képleteket; duál feszültségvektor klasszikus esetben – a (127) összefüggés értelmezi; duál feszültségvektor mikropoláris esetben – a (297) összefüggés értelmezi; az erőfeszültségek tenzora (klasszikus esetben szimmetrikus tenzor); feszültségi tenzor a végtelen távoli pontban; a peremgörbén vett feszültség ; másodrendű alapmegoldás primál rendszerben; másodrendű alapmegoldás duál rendszerben, illetve mikropoláris esetben; elmozdulásvektor ; az uκ végtelen távoli pontbeli alakja (aszimptotikus előállítása) – v.ö.: (21) összefüggés; duál elmozdulásvektor klasszikus esetben – lásd a (74b) képletet követő értelmezést; duál elmozdulásvektor mikropoláris esetben – lásd a (254) képletet követő értelmezést; elsőrendű alapmegoldás primál rendszerben; elsőrendű alapmegoldás duál rendszerben, illetve mikropoláris esetben.

Görögbetűs jelölések. α1 , α2 βκ , β˜κ δκλ δ(M − Q) ρπ3 γπρ κρ3 K μ μν3 τκ ϑ ϕ3 χl ω

3

a (82a) összefüggésekkel értelmezett mennyiségek; az ún. karakterisztikus egyenlet komplex gyökei - v.ö.: (91) összefüggés; Kronecker delta ; a Dirac féle függvény – v.ö.: (86) képlet; a permutációs szimbólum; alakváltozási tenzor mikropoláris testre; forgási alakváltozási tenzor mikropoláris testre; a (94) egyenlettel értelmezett állandó, konstans – v.ö.: (92); nyírási rugalmassági modulus (klasszikus és mikropoláris eset); az erőpárfeszültségek tenzora (mikropoláris eset); a peremgörbe folytonosan változó íve mentén az érintőirányú egységvektor ; polárszög ; forgásmező klasszikus és mikropoláris esetben; Galjorkin függvények – v.ö.: (92); végtelenbeli forgás – lásd a (21) képletet.

1. FEJEZET

Bevezetés 1.1. A rugalmasságtan primál és duál rendszere síkfeladatokra A peremelem módszer (PEM) hatékony numerikus eljárás, amely parciális differenciálegyenletekkel kapcsolatos peremérték-feladatok integrálegyenleteinek alkalmazásával történő megoldására szolgál. Az eljárás integrálegyenletei a tartomány peremére vonatkoznak, így a numerikus megoldás keresése során a tartomány peremét (síkbeli esetben a peremgörbét) véges méretű elemekre, ún. peremelemekre bontjuk, és ezeken az elemeken értelmezzük a megoldásokat (pl. elmozdulásvektor és feszültségvektor) közelítő függvényeket. Az egész peremre vonatkozó közelítést a peremelemeken vett közelítések összessége adja. A tartomány peremére vonatkozó integrálegyenletek megoldása a feladat peremfeltételek alapján nem ismert változóit szolgáltatja a peremen. A peremen meghatározott mennyiségek ismeretében további egyenletekkel a tartomány belső pontjaiban képezhetőek a fizikai állapotokat leíró jellemzők. A peremelem módszer alapja a három Somigliana formula alkalmazása. Ezek közül a második formula a peremen szolgáltatja a feladat peremfeltételei révén nem ismert változókat. A második Somigliana formulát a direkt módszer integrálegyenletének is nevezzük, mivel a vizsgált tartomány peremgörbéjén keresett ismeretleneknek közvetlen fizikai jelentése van. A direkt jelző erre a körülményre utal. Az ismeretlenek meghatározása után az első Somigliana formula felhasználásával képezhetővé válnak a számunkra ismeretlen fizikai mennyiségek (pl. elmozdulásvektor és feszültségvektor) a tartomány belső pontjaiban. A harmadik Somigliana formulát csupán a teljesség kedvéért közöljük, az nem játszik szerepet az értekezés vizsgálataiban. A rugalmasságtan térbeli feladatait véve példának primál rendszerben1 a direkt peremelem módszer integrálegyenletében egy perempontban a feszültségvektor az ismeretlen, ha ott az elmozdulásmező az előírt, és megfordítva az elmozdulásvektor az ismeretlen egy perempontban, ha ugyanott a feszültségvektor az előírt. Megjegyezzük, hogy az indirekt módszer rugalmasságtani feladatokban a potenciálelméletből ismert egyszerű és kettős réteg potenciáljának fogalmát általánosítva állít fel integrálegyenleteket, melyekben a vonalon (síkfeladatok), illetve felületen (térbeli feladatok) értelmezett potenciálfüggvények (ezek most vektorok) az ismeretlenek. Az értekezés a szilárd testek alakváltozásának linearizált elméletében vizsgál és old meg primál és duál felépítésű síkrugalmasságtani feladatokat direkt peremelem módszerrel. A két felépítés (rendszer) az alapváltozók, a közbenső változók, az értelmező egyenletek és mérlegegyenletek tekintetében tér el egymástól. Ezen túl minden rendszerben megkülönböztetünk klasszikus feladatokat és mikropoláris feladatokat. A klasszikus feladatokban a test kinematikájának leírására az elmozdulásmező, valamint a belőle képezhető forgási tenzormező és az alakváltozási tenzormező szolgál, míg a test belső erőrendszere az (erő) feszültségi tenzormezővel adható meg. A mikropoláris feladatokban a test kinematikájának leírására az elmozdulásmező és a forgásmező, valamint a belőlük képezhető két alakváltozási tenzormező szolgál, míg a test belső erőrendszere az (erő) feszültségi tenzormezővel és az erőpár (nyomatéki) feszültségi tenzormezővel adható meg. Az alakváltozási tenzor (tenzorok) és a feszültségi tenzor (tenzorok) között az anyagegyenletek jelentik a kapcsolatot.

1Ezt

a fogalmat lentebb definiáljuk. 4

1. Bevezetés

5

Primál rendszerben és klasszikus feladatnál az elmozdulásvektor az alapváltozó, az alakváltozási tenzor az ún. elsődleges közbenső változó, továbbá a szimmetrikus feszültségi tenzor az ún. másodlagos közbenső változó. Primál rendszerben és mikropoláris feladatnál az elmozdulásvektor és a független forgásvektor (együtt elmozdulásvektorok) az alapváltozók, az alakváltozási tenzor és a független forgási alakváltozási tenzor (együtt az alakváltozási tenzorok) az ún. elsődleges közbenső változók, továbbá a (nemszimmetrikus erő) feszültségi tenzor és nyomatéki feszültségi tenzor (együtt feszültségtenzorok) az ún. másodlagos közbenső változók. A vizsgálat tárgyát jelentő síkbeli tartományon primál rendszerben a következő mezőegyenletek állnak fenn: – az értelmező (vagy kinematikai) egyenlet(ek) az alakváltozási tenzort(tenzorokat) származtatja(ják) az elmozdulásvektor(ok)ból és biztosítja(ák) az ún. kompatibilitási egyenlet(ek) fennállását, – a feszültségi tenzor(ok) az anyagegyenletekkel adódik (adódnak) az alakváltozási tenzor(ok)ból, – végül a feszültségi tenzor(ok), mint mérlegegyenlet(ek)nek, az egyensúlyi egyenlet(ek)nek tesz(nek) eleget. Primál rendszerben az elmozdulásmezőre, illetve a test határfelületén ébredő feszültségekre vagylagosan írható elő peremfeltétel. Megjegyezzük, hogy másfajta kombinációk is előfordulhatnak (pl. a peremgörbe érintője mentén elmozdulás, a normális irányában feszültség az előírt). Ezek a lehetőségek azonban nem játszanak szerepet a további gondolatmenetben, és így nem részletezzük a további lehetőségeket. A síkbeli tartomány elvben lehet egyszeresen, vagy többszörösen összefüggő és lehet (végtelenbe nyúló) külső tartomány is. Erre a körülményre egyébként már utaltunk az 1. oldalon. Duál rendszerben és klasszikus síkbeli feladatnál két elsőrendű feszültségfüggvény és a forgásmező az alapváltozók, a feszültségi tenzor az ún. elsődleges közbenső változó, továbbá a szimmetrikus alakváltozási tenzor az ún. másodlagos közbenső változó. Duál rendszerben és mikropoláris síkbeli feladatnál az elsőrendű feszültségfüggvény tenzorok nem zérus koordinátái, azaz az ún. feszültségfüggvények az alapváltozók, a (nemszimmetrikus erő) feszültségi és a nyomatéki feszültségi tenzor (együtt a feszültségi tenzorok) az ún. elsődleges közbenső változók, továbbá a nemszimmetrikus alakváltozási tenzor és a forgási alakváltozási tenzor (együtt alakváltozási tenzorok) az ún. másodlagos közbenső változók. A vizsgálat tárgyát jelentő síkbeli tartományon duál rendszerben a következő mezőegyenletek állnak fenn: – az értelmező (vagy kinematikai) egyenletek klasszikus feladatnál a feszültségi tenzort származtatják a két elsőrendű feszültségfüggvényből és biztosítják az erőegyensúly fennállását – a nyomatéki egyensúlyt biztosító szimmetriafeltételt külön kell előírni; mikropoláris feladatnál az értelmező egyenletek a feszültségi tenzorokat származtatják elsőrendű feszültségfüggvény tenzorokból (összesen három feszültségfüggvényből) és biztosítják valamennyi egyensúlyi egyenlet teljesülését, – az alakváltozási tenzor(ok) az anyagegyenletekkel adódik (adódnak) a feszültségi tenzor(ok)ból, – az alakváltozási tenzor(ok), mint mérlegegyenlet(ek)nek, a kompatibilitási mezőegyegyenlet(ek)nek tesz(nek) eleget. A síkbeli tartomány elvben lehet ez esetben is egyszeresen, vagy többszörösen összefüggő és lehet (végtelenbe nyúló) külső tartomány is. Valamely peremrészen duál rendszerben az alábbiak a peremfeltételek : – feszültségi peremfeltétel(ek) (ha vonalmenti terhelés van előírva, akkor levezethető közvetlenül a feszültségfüggvényekre is peremfeltétel és az értekezés az utóbbiakat használja majd), – alakváltozási peremfeltétel(ek) (ha klasszikus feladatnál az elmozdulásmező, illetve mikropoláris feladatnál az elmozdulásmező és a forgásmező van előírva, akkor ezekre duál

6

1.2. Irodalmi előzmények és célkitűzések rendszerben nem írható közvetlenül elő peremfeltétel, mivel ezek a mennyiségek nem szerepelnek a duál rendszer változói között – a megoldást az ún. alakváltozási peremfeltételek alkalmazása kínálja: az utóbbiak a peremen vett elmozdulások és forgások ívkoordináta szerinti deriváltjaira, illetve az alakváltozási tenzorok peremen tekintett koordinátáira tett előírások).

Egyszeresen összefüggő tartomány esetén, ha több különálló peremíven van elmozdulásmező előírva, illetve többszörösen összefüggő tartomány esetén teljesülnie kell még az ún. kiegészítő és makro kompatibilitási feltételeknek is. A kompatibilitási mezőegyenlet(ek), az alakváltozási peremfeltétel(ek), továbbá a kiegészítő és a makro kompatibilitási feltételek együtt biztosítják duál rendszerben, hogy az alakváltozási tenzor(ok)ból a – vizsgált síkbeli tartomány adott merevtestszerű mozgása esetén – a tartományon és a peremen (kontúrgörbéken) is klasszikus feladatnál egyértékű elmozdulásmező, mikropoláris feladatnál pedig egyértékű elmozdulásmező és egyértékű forgásmező legyen előállítható. 1.2. Irodalmi előzmények és célkitűzések 1.2.1. Primál rendszerbeli vizsgálatok – klasszikus esetben. Ami a peremelem módszer előzményeit illeti Hess és Smith 60-as években megjelent [1, 2] dolgozatait érdemes említeni. Az idézett tanulmányok másodfajú Fredholm típusú integrálegyenletekre vezették vissza az egyszerű forráseloszlás forgásfelületen történő meghatározását és numerikus megoldást is közöltek. Potenciálelméleti, illetve a Poisson egyenlettel kapcsolatos peremértékfeladatok esetén, a három Green féle képlet – lásd pl. Jaswon és Symm [3] könyvének 37-ik oldalán a (3.1.16, 17, 18) képleteket – közül a második a direkt módszer alapja. Az első olyan tanulmány, amely tudatosan kihasználta a peremgörbén tekintett második Green féle képletet kiemelve, hogy ez az egyenlet egy harmonikus függvény, és normálirányú deriváltjai között fennálló összefüggés a fentebb idézett könyv egyik szerzőjének Jaswonnak és Ponternek a munkája [4]. Ez a tanulmány a rugalmasságtan csavarási feladatában megjelenő ún. deplanációs függvényének meghatározására vezetett le másodfajú integrálegyenletet, majd numerikus úton oldotta meg azt. A [4] tanulmány már a mai formájában tartalmazza az ún. direkt módszer teljes megalapozását a Poisson típusú differenciál-egyenletre. A módszer rugalmasságtani feladatokban történő alkalmazása tekintetében Rizzo tette meg az első lépést [5]. Tanulmánya a síkrugalmasságtani peremértékfeladatok megoldására nyújt módszert integrálegyenleteket állítva elő a tartomány peremén (kontúrgörbéjén) ébredő feszültségek és az ugyanitt tekintett elmozdulások között. A numerikus megoldás során a tartomány peremét (kontúrgörbéjét) nagy számú kis elemre – peremelemre – osztotta fel, és egy-egy elemen belül állandó értékűnek tekintette az elmozdulásokat és feszültségeket. Az utóbbi feltevés lehetővé tette a peremen vett integrálok zárt alakban történő kiszámítását, ugyanakkor azonban a kielégítő pontosságú megoldás viszonylag sok elem felhasználását követelte meg. Rizzo következő cikke [6] a megoldások tekintetében ortotrop testek síkfeladatait vizsgálja a direkt peremelem módszerrel, de anizotrop esetre is közli a legfontosabb formulákat. A numerikus megoldás technikája – konstans approximáció a peremelemeken – ugyanaz, mint az [5] alatti tanulmányában. Előrelépést az approximáció és a szinguláris integrálok (numerikus) kezelésében Lachat PhD értekezése [7], illetve a Watsonnal közösen írt [8] tanulmánya jelenti, mivel ezekben kvadratikus izoparametrikus elemeket használnak a szerzők a peremelemek geometriája és a peremelemeken ismeretlen mezők közelítésére. Az elemhatáron folytonos approximáció mellett az ún. sarokpontokban fellépő szakadások kezelésére a részlegesen folytonos (síkbeli esetben az elem egyik végpontjában, ab ovo fennáll a folytonosság a másikban nem) vagy nem folytonos (belső csomópontokra épülő – síkbeli esetben az elemek egyik végpontjában sem teljesül automatikusan a folytonosság) approximációt érdemes alkalmazni [9, 10, 11, 12]. Ortotrop, illetve anizotrop testek esetén a legfőbb nehézséget az alapmegoldások előállítása okozza. Ebben a tekintetben különböző technikák állnak rendelkezésre az alapmegoldás meghatározására. Az ún. Galjorkin-féle eljáráson alapuló technikát tévesen Hörmander nevéhez tartozónak tekinti a nyugati szakirodalom Hörmander [13] könyve alapján. Valójában Lurie

1. Bevezetés

7

1937-ben megjelent [14] tanulmánya az első, amely ezt a technikát alkalmazza a rugalmasságtan térbeli statikai feladataira. Ugyancsak ezt a technikát alkalmazza az alapmegoldás előállítására Kupradze Potenciálelméleti módszerek a rugalmasságtanban című híres könyvében [15] anizotrop testek primál rendszerben tekintett síkbeli feladatai esetén. Ortotrop, illetve anizotrop testek esetén Rizzo már idézett és síkbeli feladatokkal foglalkozó [6] cikkén túlmenően számos más publikáció is foglalkozik peremelem módszeren alapuló feladatmegoldással. Vable és Sikarskie ortotrop testek síkfeladatai esetén az indirekt módszert alkalmazza a megoldás során [16]. Sáez, Ariza és Domínguez transzverzálisan izotrop testek estén vizsgálja meg egyes repedések környezetében a feszültségeloszlást [17]. Shiah speciális, a vizsgált tartomány oly módon történő leképezésén alapuló technikát alkalmaz, hogy ennek erdményeképpen az alapegyenlet operátora mind síkbeli, mind pedig térbeli feladatokban a Laplace operátorra transzformálódik [18, 19]. Az utóbbi eredmények nem alkalmazhatók közvetlenül rugalmasságtani feladatokban (illetve csak akkor, ha értelmezhető olyan az elmozdulásmezőt adó potenciálfüggvény, amely az idézett cikkekben tekintett differenciál-operátornak tesz eleget). Dong és szerzőtársainak néhány cikke külső tartományokkal kapcsolatos egyes eredményekről izotrop [20], illetve anizotrop esetben ad számot [21] [22]. Izotrop esetben a formalizmus lényegében a [23] tanulmány eredményein alapul. Anizotrop esetben Dong és szerzőtársai saját korábbi eredményeikre hivatkoznak. Ortotrop esetben érdemes még megemlíteni a [24] cikket, valamint a [25, 26] könyveket, amelyekben további citátumok is találhatók. A peremelem módszer külső tartományokkal kapcsolatos egyenleteinek az a hátránya ortotrop esetben, hogy nem írhatók elő konstans feszültségek a végtelen távoli pontban. Ami az okokat illeti érdemes hivatkozni a [27] cikkre, amely világos feltevéssel él az elmozdulásmező végtelenbeli viselkedésére nézve (az korlátos kell, hogy legyen). Ez a feltevés lehetővé teszi a Betti típusú formula felállítását és ennek révén az egzisztencia és unicitás igazolását a külső tartományra vonatkozó Dirichlet és Neumann feladatok esetén. Ugyanakkor kizárja a közvetlenül vizsgálható feladatok köréből azokat a gyakran előforduló eseteket, amikor konstans a feszültségi és alakváltozási állapot, és ezzel összhangban lineárisan függ az elmozdulásmező a helykoordinátáktól a végtelen távoli pont felé haladva. Ha a direkt PEM egyenletei előállítják ezt az elmozdulásmezőt, akkor konstans a vonatkozó alakváltozási és feszültségmező a végtelenben. Következésképp nincs szükség arra, hogy véges tartománnyal helyettesítsük a külső tartományt a számítás során. Ebben a tekintetben a [23] és [28] cikkek említhetők, mivel a direkt módszer egyenleteit adják meg izotrop testre konstans feszültségi és alakváltozási állapotot tételezve fel a végtelenben. A [23] dolgozat primál rendszerben, a [28] dolgozat pedig duál rendszerben végzi el a szükséges módosítást és kiegészítést. Fentiekre tekintettel az értkezés az alábbiakban fogalmazza meg az 1. Célkitűzést: Az értekezés ortotrop rugalmas test primál rendszerbeli síkbeli klasszikus feladataira igazolja (kétféleképpen is), hogy a végtelen távoli pont feszültségi állapota beépíthető a direkt peremelem módszer formalizmusába. Az ily módon felépített formalizmus alkalmazhatóságát számpéldákon keresztül illusztráljuk.

1.2.2. Vizsgálatok duál rendszerben – klasszikus eset. Bár számos tanulmány jelent meg a rugalmasságtan síkbeli feladatok primál rendszerbeni megoldásáról – lásd pl. [5], [29], [30] vagy [31] – alig található olyan cikk a síkrugalmasságtan szakirodalmában, amely a duál rendszer egyenleteit veszi alapul, azaz valós feszültségfüggvényeket tekint alapváltozónak. Kivételt jelent Jaswon, Mati és Symm cikke [32]– érdemes ehelyütt Jaswon és Symm könnyebben hozzáférhető könyvére is hivatkozni [3] – amelyben az ismeretlen biharmonikus függvényt (valójában másodrendű feszültségfüggvényt) két ismeretlennek tekintett harmonikus függvény segítségével, egyszerű réteg potenciáljaként adták meg a szerzők ; az ismeretlen kontúrmenti forrássűrűség meghatározására pedig alkalmas peremintegrál-egyenleteket vezettek le. Elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazását síkbeli és térbeli feladatokra Fraeijs de Veubeke kezdeményezte [33], [34] egy új, a teljes kiegészítő energia minimumának elvén alapuló

8

1.2. Irodalmi előzmények és célkitűzések

végeselemes eljárás kapcsán, mivel a C 0 folytonosságú elsőrendű feszültségfüggvények biztosítják a folytonos felületi terhelés meglétét, és ily módon lehetővé vált izoparametrikus elemeket alkalmazni elsőrendű feszültségfüggvényekre. Ha elsőrendű feszültségfüggvényeket alkalmazunk, akkor a feszültségek meghatározása a feszültségfüggvények első deriváltjainak számítását igényli, ellentétben az Airy féle másodrendű feszültségfüggvénnyel [35], ennek ismeretében ui. második deriváltak adják a feszültségeket. Az elsőrendű feszültségfüggvény idézett tulajdonsága vonzóvá teszi ezeket a függvényeket a peremelemes alkalmazások számára, annak ellenére, hogy a nyomatéki egyensúly fenntartása egy további egyenletet igényel. Megjegyezzük, hogy az Airy féle feszültségfüggvény alkalmazásának rendkívül bő irodalma van. A teljesség igénye nélkül emeljük ki ehelyütt Muszkhelisvili és iskolája eredményeit [36]. Muszkhelisvili felismerte, hogy az Airy féle feszültségfüggvényre vonatkozó megoldás két reguláris komplex függvény segítségével adható meg. Mivel ez a megoldás teljesíti a vonatkozó mezőegyenletet – a kompatibilitási egyenletet Airy féle feszültségfüggvénnyel – egy adott peremértékfeladat megoldásához csak a peremfeltételek kielégítését kell biztosítani. Az elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazása kapcsán számos kérdés merül fel. Mivel duál rendszerben vagyunk, tisztázni kell az egyértékűség szükséges és elégséges feltételeit, különös tekintettel a vegyes peremértékfeladatokra és a többszörösen összefüggő tartomány esetére. Meg kell keresni az elsőrendű feszültségfüggvényekre vonatkozó alapmegoldást is. Az alapmegoldás ismeretében mód nyílik a Somigliana féle identitás [37] duál rendszerbeni analogonjának felállítására és ily módon az úgynevezett direkt2 módszer integrálegyenletei is adódnak. Homogén izotrop testre Szeidl [38, 28] valamint Szeidl és Szirbik [39] vizsgálta részletesebben a kérdést. Az idézett művek részletes választ adnak a felvetett problémákra, ha a vizsgálat tárgyát képző test homogén és izotrop. A kidolgozott eljárás használhatóságát numerikus példák is szemléltetik. Ha azonban ortortóp a vizsgálat tárgyát képező test, akkor meg kell ismételni a [38, 28] valamint a [39] tanulmányok vizsgálatait. Ez fel kell, hogy ölelje az alapegyenletrenszer felírását, az első és másodrendű alapmegoldások előállítását, a duál Somigliana relációk levezetését belső és külső tartományra felállítva ezzel a direkt módszer integrálegyenleteit duál rendszerben ortotrop testre, valamint megoldási algoritmus kidolgozását, illetve a kidolgozott algoritmuson alapuló számítóprogram kifejlesztését, illetve numerikus számítások végrehajtását. A fentiekben áttekintett problémák alapján az értekezés megfogalmazza az alábbi 2. Célkitűzést: Az értekezés ortotrop rugalmas test duál rendszerbeli síkbeli klasszikus feladataira – meghatározza a duál alapegyenlethez tartozó ún. első- és másodrendű alapmegoldást, illetve tisztázza ezek tulajdonságait, – meghatározza a duál Somigliana identitást és ennek alapján levezeti a duál Somigliana formulákat mind belső-, mind pedig külső tartományra (ezek közül a második a direkt módszer integrálegyenlete), – tisztázza a megoldási algoritmust és programot dolgoz ki a numerikus megoldás érdekében, majd számpéldákon keresztül illusztrálja annak alkalmazhatóságát. 1.2.3. Vizsgálatok duál rendszerben – mikropoláris eset. A mikropoláris rugalmasságtan egyenletei, hasonlóan a klasszikus esthez, mind primál, mind pedig duál rendszerben megadhatók. A fenti Tonti sémáját [40] követő osztályozás a mikropoláris rugalmasságtan ún. első síkfeladatára a [41] értekezéseben lelhető fel. A mikropoláris rugalmasságtan primál rendszerében tekintett első síkfeladat integrálegyenleteit elsőként D. Ieasan [42] cikke adta meg. Az idézett cikk eredményeit pontosította, különös tekintettel a külső tartományokra vonatkozó és vegyes peremértékfeladatokra, illetve egzisztencia bizonyítással is kiegészítette Schiavone [43]. Peremelem módszeren alapuló numerikus megoldásról a primál rendszer keretei között FuangYuan és Keo-Zoo [44] alatti tanulmánya ad számot. A szerző ismeretei szerint kezdeti lépésektől eltekintve [45] nem került sor hasonló vizsgálatokra az első síkfeladat duál rendszerű 2Ismét hangsúlyozzuk, hogy direkt módszerről beszélünk, ha a vonatkozó integrálegyenletekben a test peremén

vett egyes fizikai mennyiségek az ismeretlenek.

1. Bevezetés

9

megfogalmazása esetén – ebben a tekintetben a [41] értekezésre, valamint a [46] és a [47] cikkekre utalunk, melyekben további hivatkozások is találhatók. A fentiek alapján az értekezés a mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata esetén duál rendszerben szeretné tisztázni a direkt módszer alapjait, és ennek érdekében megfogalmazza a 3. Célkitűzést: Az értekezés izotrop mikropoláris rugalmas test duál rendszerbeli síkbeli feladataira – meghatározza a duál alapegyenlethez tartozó ún. első- és másodrendű alapmegoldásokat, tisztázza azok tulajdonságait, és ezek ismeretében – kiindulva a duál Somigliana identitásból levezeti a duál Somigliana formulákat mind belső, mind pedig külső tartományra (ezek közül a második a direkt módszer integrálegyenlete), – illetve tisztázza a feszültségek számításának módját a mind a peremgörbén, mind pedig a belső pontokban. 1.3. Az értekezés belső tagolása A megfogalmazott célkitűzések megoldását az értekezés főszövegét adó 2.–9. Fejezetek (10.– 77. o.) tartalmazzák. A 2. Fejezet tisztázza ortotrop testekkel kapcsolatos síkfeladatok esetén a formalizmus változását primál rendszerben, ha konstans a végtelen távoli pont feszültségállapota. Az átalakított formalizmus alkalmazhatóságát néhány tesztfeladaton keresztül illusztráljuk. A 3. Fejezet ortotrop testek duál rendszerben tekintett síkfeladatai esetén levezeti az alapegyenletet és meghatározza viszonylag hosszadalmas formális számítások elvégzésével a duál rendszerbeni első és másodrendű alapmegoldásokat. A duál rendszerbeni Somigliana identitást, és a Somigliana formulák levezetését belső tartományra a 4. Fejezet tartalmazza. Közöljük a feszültségek számításának képleteit is. A külső tartománnyal kapcsolatos gondolatmenet, ez felöleli a végtelen távoli pont konstans feszültségi állapotának figyelembevételét, az 5. Fejezetben található. A numerikus megoldás algoritmusát, és néhány, zömében tesztfeladat megoldását a 6. fejezet ismerteti. A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladatára vonatkozó vizsgálatokat a 7.-9. Fejezetek tartalmazzák. A 10. Összefoglalás című fejezet tézisfüzetszerűen foglalja össze az elvégzett vizsgálatokat és az eredményeket. Az értekezést a formális részletszámításokat tartalmazó A., B. és C. Függelék zárja. A D. Függelékben közöljük emellett az egyik program teljes forráslistáját is.

2. FEJEZET

Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre és külső tartományra 2.1. Bevezetés A primál rendszerben és a rugalmasságtan ortotrop testekkel kapcsolatos síkfeladatai esetén, amint erre az 1. Célkitűzés kapcsán rámutattunk (v.ö. 7 o.), a peremelem módszer külső tartományokkal kapcsolatos egyenleteinek az a hátránya, hogy nem jelennek meg bennük a végtelen távoli pontban konstans feszültségekkel kapcsolatos tagok. Ha a megfelelően megfogalmazott direkt peremelem módszer egyenletei lineáris elmozdulásmezőt állítanak elő a végtelenben, akkor konstans a vonatkozó alakváltozási- és feszültségmező a végtelenben. Következésképp nincs szükség arra, hogy véges tartománnyal helyettesítsük a külső tartományt a számítás során. A fentebb mondottak alapján az tehát a kulcskérdés, hogy hogyan módosul a három Somigliana formula - a direkt módszer egyenletei - konstans feszültségi és alakváltozási állapotot feltételezve a végtelenben. Érdemes hangsúlyozni, hogy a szuperpozíció elv alkalmas felhasználásával is megoldható a végtelen távoli pont konstans feszültségi állapotának figyelembevétele. A formalizmus célszerű módosítása azonban ezzel együtt is sokkal előnyösebb, hiszen ily módon a direkt peremelem módszer megszokott algoritmusának válnak részévé a módosított és kiegészített egyenletek, azaz maga a kódolási munka is könnyebb. 2.2. Mezőegyenletek és alapmegoldások A vizsgálatokat az x1 = x és x2 = y kartéziuszi koordinátarendszerben végezzük. A koordinátarendszer origóját O jelöli. Görög index értéke (1,2) lehet, néma indexek szerint összegezni kell. A tekintett külső tartományt Ae , a tartomány peremgörbéjét pedig Lo jelöli. Az Ae tartománynak nπ a külső normálisa, δκλ a Kronecker szimbólum, az xα szerinti parciális deriváltakat ∂α jelöli, 3κλ pedig a permutációs szimbólum. Síkfeladatok esetén rendre uκ , eκλ és tκλ jelöli az elmozdulásmezőt, valamint az alakváltozási és feszültségi tenzor síkbeli koordinátáit. Az s11 , s12 = s21 , s22 és s66 állandók az ortotrop test rugalmassági jellemzői (állandói). Homogén, ortotrop anyag és síkfeladatok esetén a klasszikus rugalmasságtan mezőegyenleteit a 1 (5) eρλ = (∂ρ uλ + uρ ∂λ ) 2 kinematikai egyenletek, a t11 = c11 e11 + c12 e22 , t22 = c12 e11 + c22 e22 , (6)

t12 = t21 = 2c66 e12 Hooke törvény, (itt c11 =

s22 , d

c12 = c21 = −

s12 , d

c22 =

s11 , d

c66 =

1 és d = s11 s22 − s212 ) , s66

(7)

valamint a tρλ ∂λ + bρ = 0 egyensúlyi egyenletek alkotják.

10

(8)

2. Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre

11

Az (5), (6), (8) egyenletrendszert elvben ki kell egészíteni a feladat peremfeltételeivel (mivel azonban a peremfeltételek nem játszanak szerepet a formális átalakításokban, ezért nem részletezzük azokat). Nem nehéz belátni, hogy az uλ -ra vonatkozó alapegyenlet Dρλ uλ + bρ = 0 alakú, ahol

(9a)



 c11 ∂1 ∂1 +c66 ∂2 ∂2 (c12 + c66 ) ∂1 ∂2 (9b) (c21 + c66 ) ∂2 ∂1 c22 ∂2 ∂2 +c66 ∂1 ∂1 a (9a) egyenletben álló differenciáloperátor. Legyen Q(ξ1 , ξ2 ) és M (x1 , x2 ) a koordinátasík két pontja (a forráspont és a hatás pontja). A Q pontot egyelőre rögzítettnek vesszük. A Q és M pontok távolságát R, a Q pontból az M pontba mutató helyvektort rκ jelöli. A kiskarikás alsó indexek (pl. M◦ vagy Q◦ ) azt jelölik, hogy a vonatkozó Q, illetve M pontok a peremgörbére vannak lokalizálva. [Dρλ ] =

A

i

Lo r (Q,M) = R

Q

M

o

rQ

x

2

rM

O

x

1

2. ábra. Az Ai belső tartomány, Q és Mo pontok képeivel, valamint a vonatkozó vektorok és távolságok szemléltetésével Nyilvánvaló, hogy rα (M, Q) = xα (M ) − ξα (Q) = xα − ξα .

(10)

λ1 + λ2 = (2s12 + s66 ) /s22 ,

(11)

λ1 λ2 = s11 /s22 ,

(12)

Aα = s12 − λα s22 ,

(13)

Legyen továbbá

ρ2α D=

λα r12 + r22 ,

(14)

1 . 2π (λ1 − λ2 ) s22

(15)

=

Következik a (11) és (12)–es egyenletekből, hogy  2s21 + s66 2s21 + s66 2 s11 ± ( ) − . λ1,2 = 2s22 2s22 s22 A (9a) alapegyenlethez a [6, 24] cikkek alapján az    λ1 A22 ln ρ1 − λ2 A21 ln ρ2 , U11 (M, Q) = D √ √

λ1 − λ2 r1 r2 , U12 (M, Q) = DA1 A2 arctan √ √ λ1 λ2 r12 + r22 U21 (M, Q) = U12 (M, Q) ,  2 A1 ln ρ1 A22 ln ρ2 √ − √ U22 (M, Q) = −D λ1 λ2

(16)

(17)

12

2.3. Somigliana formulák külső tartományra I.

elsőrendű és a √

√  λ2 A1 λ1 A2 − (r1 n1 + r2 n2 ) , T11 (M, Q) = D ρ22 ρ21 √

 √   1 A1 1 A2 λ1 A1 λ2 A2 T12 (M, Q) = D − −√ r1 n2 − √ r2 n1 , ρ21 ρ22 λ1 ρ21 λ2 ρ22 √ √

 √ √  λ1 λ1 A2 λ2 λ2 A1 λ1 A2 λ2 A1 − − r1 n2 − r2 n1 , T21 (M, Q) = D ρ21 ρ22 ρ21 ρ22 √ √  λ1 A1 λ2 A2 − (r1 n1 + r2 n2 ) T22 (M, Q) = D ρ21 ρ22

(18)

másodrendű alapmegoldás tartozik, amelyekkel uλ (M ) = Uλκ (M, Q)eκ (Q)

és

tλ (M ) = Tλκ (M, Q)eκ (Q)

(19)

a Q pontbeli eκ = eκ (Q) erő hatására kialakuló elmozdulás az M pontban, illetve feszültségvektor az M pontbeli nλ = nλ (M ) normálisú vonalelemen.

2.3. Somigliana formulák külső tartományra I. Tekintsük a 3. ábrán vázolt, az Lo kontúrgöbével, az Rε sugarú és Q középpontú Lε körrel, valamint az e R sugarú és O középpontú külső körrel határolt háromszorosan összefüggő Ae tartományt. Az e R sugár feltevés szerint elegendően nagy ahhoz, hogy mind az Lo görbét, mind pedig az Lε kört tartalmazza. A vázolt Ae tartomány az Ae külső tartományba megy át, ha e R → ∞ és Rε → 0. en eR

L

x2

A O

x1

Q R

Lo

LR Ae’

3. ábra. Az Ae tartomány képe Legyen uκ (M ) és gκ (M ) legalább kétszer folytonosan differenciálható vektormező (elmozdulásmező) az x1 , x2 koordinátasíkon. Ha az uκ (M ) és gκ (M ) egyaránt elmozdulásmezőnek tekintett vektormező, akkor a belőlük képzett feszültségeket (feszültségtenzort) rendre tλκ [uρ (M )] és

2. Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre

13

tλκ [gρ (M )] jelöli. Az

    M M uλ (M ) Dλσ gσ (M ) − gλ (M ) Dλσ uσ (M ) dAM = Ae  {uλ (M◦ )tλκ [gρ (M◦ )] nκ (M◦ ) − gλ (M◦ )tλκ [uρ (M◦ )] nκ (M◦ )} dsM◦ + = Lo  {uλ (M◦ )tλκ [gρ (M◦ )] nκ (M◦ ) − gλ (M◦ )tλκ [uρ (M◦ )] nκ (M◦ )} dsM◦ + + Lε  {uλ (M◦ )tλκ [gρ (M◦ )] nκ (M◦ ) − gλ (M◦ )tλκ [uρ (M◦ )] nκ (M◦ )} dsM◦ +



(20)

LR

egyenlet, melyet úgy kaptunk meg, hogy parciális integrálás után alkalmaztuk a Gauss tételt (a betűk feletti M azt jelöli, hogy a deriválás az M pont koordinátái szerint történik, nκ (M◦ ) mindig a külső normális) a primál rendszerbeli Somigliana identitás [26] alkalmazása (az identitás szó arra utal, hogy bármely uλ és gλ esetén fennáll a (20) összefüggés) a háromszorosan összefüggő Ae tartomány esetén. Legyen gλ (M ) = Uλκ (M, Q)eκ (Q) . Ez a teljes sík egy rugalmas állapota, amely nem szinguláris az Ae tartományon. Tételezzük fel, hogy az uλ (M ) elmozdulásmező az Ae külső tartomány egy rugalmas állapota. Tételezzük fel továbbá, hogy u ˜κ (M ) = cκ + ε3ρκ xρ ω + eκβ (∞)xβ

(21)

az uλ (M ) elmozdulásmező alakja a végtelen távoli pontban (azaz a fenti képlet az elmozdulásmező aszimptotikus előállítása), ha xβ , vagy ami ugyanaz, ha M a végtelenhez tart, ahol cκ eltolódás, ω végtelenbeli mozgásokhoz tartozó forgás, cκ + ε3ρκ xρ ω a vonatkozó merevtestszerű elmozdulás, eκβ (∞) a végtelenben vett konstans alakváltozási tenzor, eκβ (∞)xβ pedig az ehhez tartozó elmozdulásmező. Az eκβ (∞) alakváltozásokból adódó feszültségeket a (6) Hooke törvényből nyerjük : t11 (∞) = c11 e11 (∞) + c12 e22 (∞) ,

t22 (∞) = c12 e11 (∞) + c22 e22 (∞) ,

t12 (∞) = t21 (∞) = 2c66 e12 (∞) .

(22)

A gλ (M ) = Uλκ (M, Q)eκ (Q) előállítás (20) Somigliana formulákba történő behelyettesítésével a       M M uλ (M ) Dλσ Uσκ (M, Q) − Dλσ uσ (M ) Uλκ (M, Q) dAM eκ (Q) = Ae  [uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q) − tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q)] dsM◦ eκ (Q)+ = Lo  [uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q) − tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q)] dsM◦ eκ (Q)+ + Lε  [uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q) − tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q)] dsM◦ eκ (Q) (23) + LR

képlet adódik, hiszen tλκ [uρ (M◦ )] nκ (M◦ ) = tλ (M◦ ) a peremgörbén vett feszültség és nyilvánvaló a (19)2 összefüggés alapján, hogy tλκ [gρ (M◦ )] nκ (M◦ ) = Tλκ (M◦ , Q)eκ (Q) . A (23) képletben az uλ már az Ae tartomány fentebb említett rugalmas állapota. A továbbiakban feltételezzük, hogy nincs tartományi terhelés (azaz homogének az alapegyenletek). Ez a feltételezés ui. nincs hatással a várható eredményekre. Mivel a (23) képlet bármilyen eκ (Q) esetén fennáll, így eκ (Q) elhagyható. A következő átalakítások során az a fő célunk, hogy tisztázzuk az eκ (Q) elhagyásával kapott egyenlet határértékét, midőn Rε −→0 és e R−→∞. A baloldal eltűnik (a homogén alapegyenleteket

14

2.4. Az Iκ integrál határértéke I.

ui. teljesítik az Uλκ (M, Q) oszlopai, és mivel az uλ is a homogén alapegyenletnek tesz eleget, a vele kapcsolatos tag ugyancsak zérus), és amint az jól ismert (lásd pl. [25])    · · · + lim · · · = uκ (Q) + [uλ (Mo )Tλκ (M◦ , Q) − tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q)] dsM◦ . Rε −→0 Lε

Lo

Lo

Következésképp  uκ (Q) =

lim

e R−→∞

LR

[tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)] dsM◦ +  [tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)] dsM◦ . (24) + Lo

A külső tartományra vonatkozó első Somigliana formula előállítása céljából már csak egy lépés maradt hátra: meg kell keresnünk a fenti képlet jobb oldalon álló első, azaz az  [tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)] dsM◦ (25) Iκ = lim e R−→∞

LR

integrál határértékét. Ezt a határértéket kétféleképpen keressük meg. 2.4. Az Iκ integrál határértéke I. A továbbiakban megmutatjuk, hogy fennáll a  [tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)] dsM◦ = Iκ = lim e R−→∞

LR

˜κ (Q) (26) = cκ + ε3ρκ ξρ ω + eκβ (∞)ξβ = u reláció. Felhasználva az xβ (M◦ )=e Rnβ (M◦ ) összefüggést, helyettesítsük tλ (M◦ ) helyére a tλρ (∞)nρ (M◦ ) képletet és uλ (M◦ ) helyére pedig a cλ +ε3ρλ xρ ω+eκβ (∞)xβ összefüggést (az utóbbi helyettesítést az indokolja, hogy ez az összefüggés az uλ (M◦ ) aszimptotikus előállítása, ha e R a végtelenhez tart). Kapjuk, hogy (1)

(2)

(3)

(4)

Iκ = I κ + I κ + I κ + I κ =   cλ Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ − lim ε3ρλe Rω nρ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ + = − lim e R−→∞ LR e R−→∞ LR   nρ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) dsM◦ − lim eλβ (∞)e R nβ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ . + lim tλρ (∞) e R−→∞

e R−→∞

LR

LR

(27)

Figyelembe véve a másodrendű alapmegoldások tulajdonságaival kapcsolatos közismert   Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ = −δκλ és ε3ρλ rρ Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ = 0 LR

LR

összefüggéseket (a második egyenlet azt fejezi ki, hogy zérus a nyomatékösszeg a Q pontra) írható, hogy  (1) (2) I κ + I κ = cκ − lim ε3ρλ ω (ξρ + rρ )Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ = e R−→∞ LR     Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ + ε3ρλ ω rρ Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ = = cκ − lim ε3ρλ ωξρ e R−→∞

LR

LR

= cκ + ε3ρκ ωξρ , (28) ami világosan mutatja, hogy az első két részintegrál összege a merevtestszerű elmozdulást adja vissza.

2. Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre (3)

15

(4)

Az I κ és I κ integrálok határértékeinek meghatározása viszonylag hosszú formális számításokat igényel. Ennek okán a főszövegben csak a számítás fontosabb lépéseit és a végeredményeket közöljük. Az átalakítások részleteit az A. Függelék tartalmazza. A határértékek meghatározásához szükségünk lesz az Uλκ és Tλκ alapmegoldásoknak az e R 0, −1, −2 etc. kitevőjű hatványaival felírt soraira. Ezek előállítása az alábbi összefüggéseken alapul:  o o ξα nα (M ) = nα , , (29a) rα = xα (M ) − ξα (Q) = xα − ξα = e R nα − eR

   1 λα ξ12 + ξ22 1 λα n1 ξ1 + n2 ξ2 2 2 2 2 + , (29b) ρα = λα r1 + r2  e R λα n1 + n2 1 − 2e R2 λα n21 + n22 λα n21 + n22 eR

1 λα n1 ξ1 + n2 ξ2 1 1 λα ξ12 + ξ22 + , (29c) ln ρα  lne R + ln λα n21 + n22 − 2 2 2 2e R2 λα n21 + n22 e R λα n1 + n2  1 1 λα ξ12 − ξ22 2 λα n1 ξ1 + n2 ξ2 1

 − 2 1+ (29d) 2 2 ρ2α e R2 λα n21 + n22 λα n21 + n22 eR e R λα n1 + n2 és

√ √

√

λ1 − λ2 r1 r2 λ1 − λ2 n1 n2  arctan √ + arctan √ √ 2 λ1 λ2 r1 + r22 λ1 λ2 n21 + n22 √



√ √ √ λ1 − λ2 λ1 λ2 n21 n2 − n32 ξ1 − λ1 λ2 n31 − n1 n22 ξ2 . (29e) + n41 λ1 λ2 + n42 + (λ1 + λ2 ) n21 n22 eR Kellően nagy e R esetén az alábbi képletek adják az első és másodrendű alapmegoldások aszimptotikus előállításait:  

1 λ1 n1 ξ1 + n2 ξ2 1 2 2 2 λ1 A2 ln e R + ln λ1 n1 + n2 − − U11 (M◦ , Q)  D 2 2 2 e R λ1 n1 + n2   

1 λ2 n1 ξ1 + n2 ξ2 1 , (30) − λ2 A21 ln e R + ln λ2 n21 + n22 − 2 2 2 e R λ2 n1 + n2 √



A2 U22 (M◦ , Q)  −D √ 1 λ1

 U12 (M◦ , Q)  DA1 A2

és





1 λ1 n1 ξ1 + n2 ξ2 1 2 2 ln e R + ln λ1 n1 + n2 − − 2 λ1 n21 + n22 eR  

1 λ2 n1 ξ1 + n2 ξ2 1 A2 ln e R + ln λ2 n21 + n22 − , (31) −√2 2 2 2 λ2 e R λ2 n1 + n2

√

λ1 − λ2 n1 n2 + arctan √ λ1 λ2 n21 + n22 √

 √ √ √ λ1 − λ2 λ1 λ2 n21 n2 − n32 ξ1 − λ1 λ2 n31 − n1 n22 ξ2 (32) + n41 λ1 λ2 + n42 + (λ1 + λ2 ) n21 n22 eR √

√   D 1 λ2 A1 2 λ2 n1 ξ1 + n2 ξ2 (ξ1 n1 + ξ2 n2 ) − − T11 (M◦ , Q) = 2 2 1+ R λ2 n21 + n22 e R λ2 n1 + n2 e eR √   1 λ1 A2 2 λ1 n1 ξ1 + n2 ξ2 D (ξ1 n1 + ξ2 n2 ) , (33) − − 2 2 1+ R λ1 n21 + n22 e R λ1 n1 + n2 e eR √    D λ1 A2 2 λ1 n1 ξ1 + n2 ξ2 1 (λ1 ξ1 n2 − ξ2 n1 ) − − T21 (M◦ , Q) = 2 2 (λ1 − 1)n1 n2 1 + R λ1 n21 + n22 e R λ1 n1 + n2 e eR √    λ2 A1 2 λ2 n1 ξ1 + n2 ξ2 1 D (λ2 ξ1 n2 − ξ2 n1 ) , (34) − − 2 2 (λ2 − 1)n1 n2 1 + R λ2 n21 + n22 e R λ2 n1 + n2 e eR

16

2.4. Az Iκ integrál határértéke I.

√     D A1 λ1 1 1 2 λ1 n1 ξ1 + n2 ξ2 1 ξ1 n 2 − ξ2 n 1 − T12 (M◦ , Q)= 1− n1 n2 1 + − 2 2 λ1 λ1 λ1 n21 + n22 e R λ1 n1 + n2 eR eR √     1 1 2 λ2 n1 ξ1 + n2 ξ2 1 D A2 λ2 ξ1 n 2 − ξ2 n 1 1− n1 n2 1 + − , (35) − 2 2 λ2 λ2 λ2 n21 + n22 e R λ2 n1 + n2 eR eR √   D 1 λ1 A1 2 λ1 n1 ξ1 + n2 ξ2 (ξ1 n1 − ξ2 n2 ) − − T22 (M◦ , Q) = 2 2 1+ R λ1 n21 + n22 e R λ1 n1 + n2 e eR √   1 λ2 A2 2 λ2 n1 ξ1 + n2 ξ2 D (ξ1 n1 − ξ2 n2 ) . (36) − − 2 2 1+ R λ2 n21 + n22 e R λ2 n1 + n2 e eR Az Uλκ elsőrendű és Tλκ másodrendű alapmegoldások fenti aszimptotikus előállításainak ismere(3)

tében az alábbi megfontolások figyelembevétel számíthatók a I

(4)

κ

és I

κ

integrálok :

1. Az LR peremgörbe külső normálisát az nκ = (cos ϑ, sin ϑ) képlet adja, ahol ϑ a polárszög. 2. Az LR körön az Mo pontban vett ívelemnek ds o = e R dϑ az értéke. M 3. Ha e R −→ ∞, akkor az e R együtthatójaként megjelenő integrál(ok) értéke mindig zérus értékű – a vonatkozó integrálokat az A. Függelék részletezi. 4. Az e R 0-ik hatványú együtthatói hasonló szerkezetűek (ezek is trigonometrikus integrálok). Ezek az integrálok tartalmazzák a ξα koordinátákat is és nem szükségképpen zérus az értékük. (3)

A számítások elvégzése után az I

integrál tekintetében az



(3)

I

κ

κ=

lim tλρ (∞)

e R−→∞

nρ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) dsM◦ =  

LR

(31)

= t11 (∞) ξ1 I

(31)

κ1 + ξ2

I



κ2

(32)

+ t12 (∞) ξ1 I

(33)

+ t21 (∞) ξ1 I

 

(33) κ1 + ξ2

I

κ2



(32) κ1 + ξ2

I



+

κ2 (34)

+ t22 (∞) ξ1 I



(34) κ1 + ξ2

I

κ2

(37)

eredményt kapjuk, ahol

I 11 = 2πD A21

 λ2 λ1 √ − A22 √ , 1 + λ2 1 + λ1 √ √

 (32) λ2 λ1 2 2 √ − A2 √ I 12 = 2πD A1 , 1 + λ2 1 + λ1 √ √ (33) λ1 − λ2

√

, I 12 = −2πDA1 A2 √ λ1 + 1 λ2 + 1 (31)

(34)

I

(33) 11

= I

22

= I

(31)

I I

,

12

,

= I

12

=0,

(38a)

11

=0,

(38b)

11

=0,

(38c)

12

=0,

(38d)

21

=0,

(38e)

22

=0,

(38f)

22

=0,

(38g)

21

=0.

(38h)

(32)

I (33)

I I (31)

(34)

I (32)

, 

(33) 1 1 2 2 − A2 √ , I 21 = 2πD A1 √ λ1 + 1 λ2 + 1 

2 (34) A22 A1 1 1 −√ √ , I 22 = 2πD √ √ λ1 λ1 + 1 λ2 λ2 + 1 21

I

(34) 12

(33)

(32)

(31)

11

I (33)

I (34)

I

2. Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre

17

(4)

Az I

integrál értéke hasonló gondolatmenettel adódik :  (4) o I κ = lim eλβ (∞)e R nβ (M )Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ = e R−→∞ L  R  κ

(41)

= e11 (∞) ξ1 I

(41)

κ1 + ξ2



I

κ2

ahol

+ e12 (∞) ξ1 I

(43)

+ e21 (∞) ξ1 I

(42)

κ1 + ξ2

I

κ2

I

+

κ2

(44)

+ e22 (∞) ξ1 I

√ √ 

λ2 λ1 − A2 √ , I 11 = 2πD A1 √ λ2 + 1 λ1 + 1 √ 

√ (42) λ2 − 1 λ1 − 1 − A2 , I 12 = 2πD A1 λ2 − 1 λ1 − 1 √ √ 

(43) λ1 − λ1 λ2 − λ2 I 12 = 2πD A2 − A1 , (λ1 − 1) (λ2 − 1) √ √ 

(44) λ1 ( λ1 − 1) λ2 ( λ2 − 1) − A1 , I 11 = −2πD A2 (λ1 − 1) (λ2 − 1) √ √ 

(41) λ1 − λ1 λ2 − λ2 − A2 , I 22 = 2πD A1 λ1 (λ1 − 1) λ2 (λ2 − 1) √ 

√ (42) λ1 − 1 λ2 − 1 − A2 , I 21 = −2πD A1 λ1 − 1 λ2 − 1 √ √ 

(43) λ1 λ2 − A2 √ , I 21 = 2πD A1 √ λ1 + 1 λ2 + 1 √ 

√ (44) λ1 − 1 λ2 − 1 − A2 , I 22 = 2πD A1 λ1 − 1 λ2 − 1 (41)

κ1 + ξ2





(43)



(42)



(44) κ1 + ξ2

I

κ2

, (39)

(41)

I

12

=0,

(40a)

11

=0,

(40b)

11

=0,

(40c)

(42)

I (43)

I

(44)

I

12

=0,

(40d)

21

=0,

(40e)

22

=0,

(40f)

22

=0,

(40g)

21

=0.

(40h)

(41)

I (42)

I (43)

I (44)

I

Visszahelyettesítve a (38a),....,(38h) és (40a),....,(40h) egyenletek zérustól különböző tagjait a (37) és (39) összefüggésekbe, majd felhasználva a (22) Hooke törvényt, illetve a (7) összefüggéseket kapjuk, hogy   (3) (4) (32) (33) s22 e11 (∞) − s12 e22 (∞) (31) 2 I 1+ I 1 = ξ1 I 11 + e12 (∞) ξ2 I 12 + I 12 + s66 s11 s22 − s212   (41) (41) s11 e22 (∞) − s21 e11 (∞) (34) ξ1 I 11 − e11 (∞) ξ1 I 11 + ξ2 I 12 − + s11 s22 − s212        − e12 (∞) ξ1

(42)

I

(43)

11 +

I

(42)

11

I

+ ξ2

(44)

(43)

12 +

I

12

− e22 (∞) ξ1 I

(44)

11 + ξ2

I

12

(41a)

és, hogy

  (32) (33) s22 e11 (∞) − s12 e22 (∞) (31) 2 I 2+ I 2 = ξ2 I 22 + e12 (∞) ξ1 I 21 + I 21 + s66 s11 s22 − s212   (41) (41) s11 e22 (∞) − s21 e11 (∞) (34) ξ2 I 22 − e11 (∞) ξ1 I 21 + ξ2 I 22 − + s11 s22 − s212      

(3)

(4)

− e12 (∞) ξ1

(42)

I

(43)

21 +

I

(42)

21

+ ξ2

I

(43)

22 +

I

(44)

22

− e22 (∞) ξ1 I



(44)

21 + ξ2

I

22

. (41b)

18

2.5. Az Iκ integrál határértéke II.

A (11) és (16) egyenleteket felhasználva, majd rendre összegyűjtve mindkét, azaz a (41a) és a (41b) egyenlet esetén is az e11 (∞), e12 (∞) és e22 (∞) alakváltozások együtthatóit az alábbi összefüggéseket kapjuk : −

(31) (41) s21 (∞) (34) s22 I + I − I 11 = 1 , 11 11 s212 − s11 s22 s212 − s11 s22   (33) (42) (43) 2 (32) I 12 + I 12 − I 12 − I 12 = 1 , s66

s12 s212 − s11 s22

(31)

I

s11 11 − 2 s12 − s11 s22

(34)

I

11 −

(42a)

(44)

I

11

=0

és −

(31) (34) (41) s21 s22 I + I − I 22 = 0 , 22 22 s212 − s11 s22 s212 − s11 s22   (33) (42) (43) 2 (32) I 21 + I 21 − I 21 − I 21 = 1 , s66

(42b)

(31) (34) (44) s11 s12 I − I − I 22 = 1 . 22 22 s212 − s11 s22 s212 − s11 s22

A fenti képletek igazolását az A. Függelék A.2. szakasza közli – lásd a 98. oldallal kezdődően. Ha visszahelyettesítjük a (42a,b) egyenleteket a (41a,b) által megjelölt összefüggésekbe, akkor (3)

(4)

I κ+ I

κ

= eκβ (∞)ξβ

(43)

az eredmény. Visszaidézve az első két részintegrál összegére vonatkozó (28) képletet valóban a bizonyítani kívánt eredményt kapjuk : (1)

(2)

(3)

(4)

Iκ = I κ + I κ + I κ + I

κ

= cκ + ε3ρκ ξρ ω + eκβ (∞)ξβ = u ˜κ (Q) .

(44)

2.5. Az Iκ integrál határértéke II. Az előző szakaszban közölt igazolás nagy figyelmet kívánó formális számításokat igényelt. A jelen szakaszban a belső tartományra vonatkozó első Somigliana formula felhasználásával, elemi eszközökkel és igen egyszerű módon igazoljuk a (26) (vagy ami ugyanaz a (44)) összefüggés helyességét. Tekintsük az e R sugarú O középpontú körrel (az LR körrel) határolt egyszeresen összefüggő ortotrop AR tartományt. Legyen a Q pont az AR tartomány belső pontja. Tegyük fel, hogy nincs tartományi teher. Tegyük fel továbbá, hogy az u ˜λ (M ) elmozdulásmező rugalmas állapota az AR tartománynak. Ehhez a rugalmas állapothoz az e˜κλ (M ) alakváltozási tenzor, a t˜κλ (M ) feszültségi tenzor és a tartomány peremén ébredő t˜κ = t˜κλ (Mo ) nκ (Mo ) feszültségvektor tartozik. Mivel az u ˜λ (M ) elmozdulásmező térfogati terhelés nélküli rugalmas állapota az ortotrop AR tartománynak, fennáll az első Somigliana féle formula, azaz    (45) t˜λ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − u˜λ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ . u ˜κ (Q) = LR

Nem nehéz ellenőrizni, hogy az Ae külső tartomány rugalmas állapotát adó uλ (M ) elmozdulásmező aszimptotikus viselkedésével kapcsolatos u ˜λ (M ) = cκ + ε3ρκ xρ ω + eκβ (∞)xβ

(46)

elmozdulásmező valójában a teljes x1 , x2 koordináta sík, következésképp az AR tartomány olyan rugalmas állapota, amelyre az jellemző, hogy a sík minden pontjában állandó a feszültségi tenzor: t˜κλ (M ) = t˜κλ (∞). Mivel rugalmas állapotról van szó, fennáll a (45) és (46) egybevetéséből adódó    ˜λ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q) dsM◦ = u ˜λ (Q) = cκ + ε3ρκ ξρ ω + eκβ (∞)ξβ (47) t˜λ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − u LR

2. Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre

19

egyenlet is. Ha még azt is figyelembe vesszük a fentiek mellett, hogy lim tλ (M ) = t˜λ ,

és

˜λ lim uλ (M ) = u

e R−→∞

(48)

e R−→∞

akkor a bizonyítani kivánt (26) összefüggés integráljának értékére valóban a kívánt  [tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)] dsM◦ = u ˜κ (Q) = cκ + ε3ρκ ξρ ω + eκβ (∞)ξβ lim e R−→∞

LR

(49)

eredményt kapjuk. 2.6. Somigliana formulák külső tartományra II. (1)

(2)

Ha elhanyagoljuk a merevtestszerű mozgást, azaz zérusnak tekintjük az I κ + I ennek figyelembevételével tekintjük az Iκ integrált, akkor egyszerűsödik az összeg: (1)

(2)

(3)

κ

összeget és

(4)

Iκ = I κ + I κ + I κ + I

κ

= eκβ (∞)ξβ .

A fentiek alapján a módosított és kiegészített Somigliana formula azonnal következik a (26) és (24) egyenletekből:  [tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)] dsM◦ , uκ (Q) = eκβ (∞)ξβ (Q) + Lo

Q ∈ Ae . (50) Ha Q = Q◦ , azaz Lo görbén vagyunk, a változás nem érinti az LR -n vett integrál határértékét. Ennélfogva  [tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q◦ ) − uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q◦ )] dsM◦ , Cκρ uρ (Q◦ ) = eκβ (∞)ξβ (Q◦ ) + Lo

Q = Q◦ ∈ Lo , (51) ahol Cκρ = δκρ /2, ha a kontúr folytonos Q◦ -ban. Ez az integrálegyenlet a direkt módszer integrálegyenlete (a második Somigliana formula külső tartományra). Ha a Q az Lo görbén kívül található – ezt a tartományt Ai -vel jelöltük – akkor könnyen belátható, hogy  [tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q) − uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)] dsM◦ , Q = Q◦ ∈ Ai , (52) 0 = eκβ (∞)ξβ (Q) + Lo

ami a harmadik Somigliana formula külső tartományra. Az A. Függelék A.3. szakasza közli az alakváltozási tenzor számításának összefüggéseit. Ezekkel a képletekkel és a Hooke törvényt adó (22) összefüggéssel   ˆ tλ (M◦ )Dλαβ (M◦ , Q) dsM◦ − uλ (M◦ )Sˆλαβ (M◦ , Q) dsM◦ , Q ∈ Ae (53) tαβ (Q) = Lo

Lo

a feszültségi tenzor, ahol ˆ λ11 = c11 Dλ11 + c12 Dλ22 , D ˆ λ11 = c12 Dλ11 + c22 Dλ22 , D

Sˆλ11 = c11 Sλ11 + c12 Sλ22 , Sˆλ11 = c12 Sλ11 + c22 Sλ22 ,

ˆ λ21 , ˆ λ12 = 2c66 Dλ12 = D D

Sˆλ12 = 2c66 Sλ12 = Sˆλ21 .

(54)

2.7. Végtelenbeli viselkedés A jelen szakaszban azt vizsgáljuk meg formális számításokkal, hogy visszaadja-e a módosított és kiegészített első Somigliana formula, azaz az (50) képlet, az uκ (Q) merevtestszerű mozgás

20

2.7. Végtelenbeli viselkedés

nélküli aszimptotikus értékét, vagyis az u ˜κ (Q) = eκβ (∞)ξβ értéket midőn Q → ∞. Nyilvánvaló, hogy ennek a  tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q)dsM◦ = 0 , lim Q(ξ1 ,ξ2 )−→∞ Lo  uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)dsM◦ = 0 (55) lim Q(ξ1 ,ξ2 )−→∞ Lo

összefüggések fennállása az előfeltétele. A fenti integrálok határértékének meghatározása céljából elő kell állítani az Uλκ (M◦ , Q) és Tλκ (M◦ , Q) alapmegoldások aszimptotikus alakjait, midőn Q −→ ∞. A 4. ábra jelöléseit is figyelembe véve, kihasználva továbbá a (10) és (14) összefüggéseket nem nehéz ellenőrizni, hogy  xα ˆn ˆ ≈ −R ˆ α |ˆ ˆα − nα | = 1 , (56a) rα (M◦ , Q) = xα (M◦ ) − ξα (Q) = xα − ξα = −R n ˆ R   ˆ λα n ˆ 21 + n ˆ 22 , (56b) ρα = λα r12 + r22 ≈ R

ˆ + 1 ln λα n ˆ 21 + n ˆ 22 . (56c) ln ρα ≈ ln R 2 Q

rα (Q,Mo) x2

nα

nα

Mo rα (O,Q) = R

O

x1

Lo ds

4. ábra. Jelölések Q −→ ∞ esetén Az (56a,b,c) képletek Uκλ (M, Q) (17) alatti előállításába történő helyettesítése után viszonylag egyszerű átalakításokkal kapjuk, hogy    ˆ, λ1 A22 − λ2 A21 ln R (57a) U11 (M◦ , Q) ≈ D √

√

λ1 − λ2 n ˆ2 ˆ1n , (57b) U12 (M◦ , Q) = U21 (M◦ , Q) ≈ DA1 A2 arctan √ √ λ1 λ2 n ˆ 21 + n ˆ 22  2  A A2 ˆ. (57c) U22 (M◦ , Q) ≈ −D √ 1 − √ 2 ln R λ1 λ2 Kiolvasható a fenti képletekből, hogy Uλκ (M◦ , Q) ≈ Uλκ (Q). Ez azt jelenti, hogy Q −→ ∞ esetén független az (55)1 integrálban álló Uλκ az M◦ -tól. Következésképp   tλ (M◦ )Uλκ (M◦ , Q)dsM◦ = lim Uλκ (Q) tλ (M◦ ) dsM◦ = 0 , (58) lim Q(ξ1 ,ξ2 )−→∞ Lo Q(ξ1 ,ξ2 )−→∞ Lo    eredő

hiszen zérus tartományi teher esetén önegyensúlyi kell, hogy legyen az Lo peremen működő terhelés, ekkor pedig nyilvánvalóan zérus az eredője.

2. Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre

21

Megismételve az (57a,b,c) képletekre vezető gondolatmenetet a másodrendű alapmegoldás esetére a √  √ D λ2 A1 λ1 A2 T˜11 (Q) − , (59a) = T11 (M◦ , Q) ≈ − ˆ λ2 n ˆ ˆ 21 + n ˆ 22 λ1 n ˆ 21 + n ˆ 22 R R   A2 A1 D 1 − λ2 1 − λ1 T˜12 (Q) √ √ , (59b) − n ˆ = n ˆ T12 (M◦ , Q) ≈ − 1 2 ˆ ˆ ˆ 21 + n ˆ 22 ˆ 21 + n ˆ 22 λ2 λ2 n λ1 λ1 n R R √ √  D T˜21 (Q) λ1 (λ1 − 1) A2 λ2 (λ2 − 1) A1 − n ˆ = , (59c) n ˆ T21 (M◦ , Q) ≈ − 1 2 ˆ ˆ λ1 n ˆ 21 + n ˆ 22 λ2 n ˆ 21 + n ˆ 22 R R √  √ D λ2 A1 λ1 A2 T˜22 (Q) (59d) − = T22 (M◦ , Q) ≈ − 2 2 2 2 ˆ λ1 n ˆ ˆ1 + n ˆ 2 λ2 n ˆ1 + n ˆ2 R R eredményeket kapjuk, melyben T˜λκ = T˜λκ (Q) a fentiek szerint értelmezett. Ha elegendően nagy ˆ sugár, akkor Tλκ független az M◦ -tól és zérushoz tart, ha Q −→ ∞, vagy ami ugyanaz, ha az R ˆ −→ ∞. Következésképp R   T˜λκ (Q) uλ (M◦ )Tλκ (M◦ , Q)dsM◦ = lim uλ (M◦ ) dsM◦ = 0 , (60) lim ˆ Q(ξ1 ,ξ2 )−→∞ Lo Q(ξ1 ,ξ2 )−→∞ R Lo hiszen korlátos az uλ (M◦ ). Ez azt igazolja, hogy az (50) elmozdulásmező a természetes elvárሠ−→ ∞. soknak megfelelően viselkedik, ha R

22

2.8. Példák 2.8. Példák

A numerikus megoldás érdekében program készült Fortran 90 nyelven. Mivel a primál rendszerbeli peremelemes programok algoritmusának jól ismert a felépítése az irodalomból, az algoritmust itt részleteiben nem ismertetjük. (A duál rendszerbeni vizsgálatok esetén a 6. A numerikus megoldás algoritmusa című fejezet ismerteti az arra az esetre vonatkozó algoritmus részleteit.) A továbbiakban két tesztfeladat megoldását mutatjuk be. A vizsgált tartományt mindkét esetben az O középpontú ro = 10 mm sugarú Lo kör által határolt külső Ae tartomány jelöli. Ennek nyírfa az anyaga az s11 = 8.497 × 10−5 mm2 /N, s12 = s21 = −6.11 × 10−2 mm2 /N, s22 = = 1.6999 × 10−4 mm2 /N és s66 = 1.456 × 10−3 mm2 /N anyagállandókkal [48]. A végtelen távoli pontban feltesszük, hogy τ12 (∞) = σ22 (∞) = 0 N/mm2 és σ11 (∞) = p = 100 N/mm2 a feszültségi tenzor koordinátái. y (a)

(b)

Ae lyuk

ro

x

O

ro p=σxx(oo)

D p=σxx(oo)

p=σxx(oo)

y (c)

Ae merev zárvány

x

O

ro

D p=σxx(oo)

p=σxx(oo)

5. ábra. A vizsgált külső tartomány hagyományos és pontos modellezése Az 5.a. ábrarészlet a hagyományos peremelemes számítás esetére szemlélteti a numerikus megoldás alapjául szolgáló belső tartományt. A külső méreteket úgy szokás felvenni hogy a felső és jobboldali egyeneseken már jó közelítéssel a végtelen távoli pont feszültségi állapotát tudjuk működtetni. Az értekezés, amint az kitűnik a fentiekből, nem él ezzel a geometriai jellegű közelítéssel, hanem pontosan modellezi a külső tartományt. Az első feladat esetén üres az Lo kör belseje és terheletlen annak pereme. Ezeket a viszonyokat az 5.b. ábrarészlet szemlélteti. A második feladat esetén merev zárvány található az Lo kör belsejében. Ezeket a viszonyokat az 5.c. ábrarészlet szemlélteti. Lekhtniski [48] könyve tartalmazza zárt formában a feszültségekre vonatkozó megoldásokat a peremen. Emellett táblázatba foglalt numerikus eredményeket is közöl. Ezek az idézett könyv 197. oldalának 17-es táblázatában találhatók, de az értekezés 1. és 2. táblázataiban is megjelennek a polárszög diszkrét értékeire (Lekhtniski numerikus eredményei az utóbbi esetben fekete színnel vannak szedve).

2. Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre

23

Köralakú kivágás Polárszög σθ /p [48], p.197 0◦ −0.7071 −0.707 ◦ 15 −0.3399 −0.340 30◦ 0.0692 0.069 45◦ 0.4040 0.404 60◦ 0.9644 0.966 ◦ 75 2.5771 2.577 90◦ 5.4514 5.453 1. táblázat. Köralakú kivágással gyengített síkra vonatkozó eredmények

Polárszög 0◦ 15◦ 30◦ 45◦ 60◦ 75◦ 90◦

Merev zárvány σr /p [48], p.197 τrθ /p [48], p.197 1.2363 1.237 0.0000 0.000 1.1562 1.156 −0.2994 −0.299 0.9370 0.937 −0.5185 −0.519 0.6378 0.698 −0.5987 −0.599 0.3383 0.388 −0.5185 −0.519 0.1192 0.119 −0.2994 −0.299 0.0389 0.039 0.0000 0.000

σθ /p [48], p.197 0.0445 0.044 0.0934 0.093 0.2697 0.270 0.5154 0.516 0.6989 0.699 0.5637 0.564 0.0028 0.003

2. táblázat. Eredmények merev zárvány esetén A saját eredményeket piros színnel szedtük. Figyeljük meg, hogy a merev zárvány estén jelentős az eltérés σr -ben a polárszög 45o -os és 60o -os értékeire. Mindkét esetben sajtóhibáról van szó, hiszen saját számításainkat a duál rendszerbeni vizsgálatok során megismételtük, és a pirossal szedett eredményekkel gyakorlatilag egyezők az ott kapott eredmények.

3. FEJEZET

Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre 3.1. Bevezetés A duál rendszerbeli vizsgálódások során, amint erre a 2. Célkitűzés kapcsán már rámutattunk (v.ö. 8 o.), a peremelem módszer alkalmazhatóságának az a kulcskérdése, hogy elő tudjuk-e állítani a feladat megoldásának lehetőségét adó integrálegyenletekben megjelenő alapmegoldásokat. Fentiekre tekintettel a jelen fejezet az alapmegoldások előállításának és tulajdonságaik tisztázásának kérdéseire fordítja figyelmét. 3.2. A duál rendszerben tekintett síkfeladat mezőegyenletei és peremfeltételei A vizsgálatokat az O kezdőpontú x1 =x, x2 =y derékszögű kartéziuszi koordinátarendszerben végezzük. {Görög}[Latin index] az {1,2}[1,2,3] értékeket veheti fel. A vizsgálat tárgyát képző Ai belső tartománynak az önmagát és egymást nem metsző Lo , L1 és L2 a peremgörbéje. Az Ae külső tartományon a koordinátasík Ai belső tartományának Lo külső peremgörbéjén kívül fekvő részét értjük.

Lt3

Pt4 = Pu4

Pt3 = Pu3

Pt5=Pt6

Lu4

s

A

i

Lt5

A

e

s

Pu6 = Pu7 s Lu6

Lo

Pu5 = Pt1

Lt1

Lu2 τϰ

nπ

Pt2 = Pu2

6. ábra. Belső és külső tartomány Az Ai tartomány Lo külső peremgörbéje az Lt1 , Lt3 , Lu2 és Lu4 jelű ívekre bontott: Lo = Lt1 ∪ Lu2 ∪ Lt3 ∪ Lu4 . Az L1 peremgörbe megegyezik a most zárt Lt5 ívvel, az L2 peremgörbe pedig megegyezik a most zárt Lu6 ívvel. Az Lt jelű ívet (ahol feszültség az előírt), és az Lu jelű ívet (ahol elmozdulás az előírt) az Lt = Lt1 ∪ Lt3 ∪ Lt5 ,

Lu = Lu2 ∪ Lu4 ∪ Lu6

összefüggések értelmezik. A peremgörbék mentén mért ívkoordinátát s jelöli. A pozitív haladási irányt mindig úgy választjuk meg, hogy az Ai tartomány a baloldalon legyen. Az érintőirányú egységvektort τκ , a külső normálist pedig nπ jelöli. A ∂α szimbólum az xα változó szerint vett parciális deriválás operátora. 24

3. Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre

25

Feltesszük, hogy rendre uκ , eκλ és tκλ jelöli az elmozdulásvektort, alakváltozási tenzort és feszültségtenzort. Az Fρ vektor az elsőrendű feszültségfüggvények vektora. Feltételezzük, hogy nincs külső terhelés. Homogén, ortotrop anyag esetén a klasszikus rugalmasságtan mezőegyenleteit duál rendszerben az alábbi egyenletek alkotják : 1. A duál kinematikai egyenletek : t11 = F1 ∂2 , t12 = −F1 ∂1 ,

t21 = F2 ∂2 ,

(61)

t22 = −F2 ∂1 .

(62)

Ezek az egyenletek a feszültségeket adják elsőrendű feszültségfüggvényekkel kifejezve. A fenti feszültségekre vonatkozó megoldás kielégíti a primál rendszer t11 ∂1 + t12 ∂2 = 0 ,

t21 ∂1 + t22 ∂2 = 0

(63)

egyensúlyi egyenleteit. 2. A Hooke törvény inverz alakja: e22 = u2 ∂2 = s21 t11 + s22 t22 , (64a) e11 = u1 ∂1 = s11 t11 + s12 t22 , 1 s66 (t12 + t21 ) . (64b) e12 = (u1 ∂2 + u2 ∂1 ) = 2 4 A fenti egyenletekben álló s11 , s12 , s21 , s22 és s66 állandók az ortotrop test rugalmassági jellemzői (állandói). 1 3. A duál mérlegegyenlet vagy kompatibilitási egyenlet: e11 ∂2 − e12 ∂1 + ϕ3 ∂1 = 0 ,

e21 ∂2 − e22 ∂1 + ϕ3 ∂2 = 0 ,

(65)

ahol ϕ3 a merevtestszerű forgás. 4. Mivel a (61) és (62) egyenletekkel előállított feszültségmező nem szimmetrikus, ki kell egészíteni a fenti egyenleteket a (66)

t12 = t21

szimmetria feltétellel. Ha ez az egyenlet teljesül, akkor elhagyható vagy a (61)2 egyenlet, vagypedig a (62)1 egyenlet. Így 9 egyenlet marad az összesen 9, azaz az F1 , F2 , t11 , t12 = t21 , t22 , e11 , e12 = e21 , e22 és ϕ3 ismeretlenekre. Az F1 , F2 feszültségfüggvényeket alapváltozónak, a ϕ3 (merevtestszerű) forgást kiegészítő alapváltozónak, a hármat együtt alapváltozóknak ; a t11 , t12 = t21 és t22 feszültségeket elsőrendű közbülső változóknak, az e11 , e12 = e21 , e22 alakváltozásokat pedig másodrendű közbülső változóknak fogjuk nevezni. A (61), (62), (64a,b) és (65) mezőegyenleteket ki kell egészíteni a vonatkozó peremfeltételekkel. Az Lu jelű íven az elmozdulásvektor, az Lt jelű íven pedig a feszültségvektor az előírt. Az előírt értékeket a vonatkozó betű felett álló kalap jelöli majd. Megjegyezzük, hogy az Lu és Lt jelű ívek egyike üres halmaz is lehet. Az előírt elmozdulásokkal kapcsolatosan az az alapvető nehézség, hogy az elmozdulásvektor nem változója a duál rendszernek. Szeidl igazolta [28], hogy az Lu jelű íven a dˆ u1 = n1 e21 − n2 e11 − n1 ϕ3 , s ∈ Lui , i = 2,4 ; (67a) ds dˆ u2 = n1 e22 − n2 e12 − n2 ϕ3 , s ∈ Lui , i = 2,4 (67b) ds egyenletek a peremfeltételek – Kozák elnevezésével [49] ezek alakváltozási peremfeltételek. 1Az u fajlagos alakváltozási energia pozitív kell legyen, azaz :

2u = t11 (s11 t11 + s12 t22 ) + t22 (s21 t11 + s22 t22 ) +

s66 (t12 + t21 ) (t12 + t21 ) > 0 . 4

26

3.3. Alapegyenletek

Az előírt feszültségeket a feladat alapváltozóival érdemes kifejezni. A Pti kezdőpontú és Pt,i+1 végpontú íven [s ∈ Pti , Pt,i+1 ] a (61) és (62) egyenletek alapján  s s ∈ Lti , i = 1,3,5 (68) tˆρ (σ) dσ , Fρ (s) − Fρ (Pti ) =    Pti    Cρ (ti)

Fˆρ (s)

a feszültségfüggvény. Következésképp az Fρ (s) = Fˆρ (s) + C ρ , (ti)

s ∈ Lti ,

(69)

i = 1,3,5

peremfeltétel írható elő a feszültségfüggvényekre, ahol a C ρ egyelőre határozatlan integrációs (ti)

állandó, hiszen nincs garancia arra, hogy ismerjük az ív Pti kezdőpontjában a feszültségfüggvény értékét. (Ha C ρ = 0, akkor Fρ (s) a feszültségek eredője a tekintett íven). (ti)

Az Lti , i = 1,3 jelű ív kezdő és végpontja között fenn kell állnia az elmozdulásmező egyértékűségét biztosító és integrál alakú  P [n1 e21 − n2 e11 − n1 ϕ3 ] ds − u ˆ1 |Pt,i+1 = 0, L ti ti (i = 1,3) (70)  Pt,i+1 ˆ2 |Pti = 0 Lti [n1 e22 − n2 e12 − n2 ϕ3 ] ds − u egyértékűségi feltételeknek2, valamint a  Lt5 [n1 e21 − n2 e11 − n1 ϕ3 ] ds = 0 , Lt5 [n1 e22 − n2 e12 − n2 ϕ3 ] ds = 0

(71)

nagybani kompatibilitási feltételeknek (ezeket együtt makró egyértékűségi feltételeknek is nevezzük). Kimutatható, hogy a (65) kompatibilitási feltételek fennállása esetén csak kettő független a három (70) és (71) feltételek közül (valójában háromszor kettő a feltételek száma). Ez a kettő tetszőlegesen választható meg. Az igazolást az [50] értekezés tartalmazza. Ugyanakkor a háromszor kettő C ρ integrációs állandó közül egyszer kettő, mondjuk C ρ = 0 (ti)

(t1)

zérusnak választható, mivel állandó feszültségfüggvényhez nem tartozik feszültség. A mondottak egyben azt is jelentik, hogy annyi makró egyértékűségi feltétel van, amennyi a határozatlan integrációs állandók száma. 3.3. Alapegyenletek A (64a,b) Hooke törvény (65) kompatibilitási egyenletekbe történő helyettesítésével és némi rendezéssel a s66 (t12 + t21 ) ∂1 + ϕ3 ∂1 = 0 , (s11 t11 + s12 t22 ) ∂2 − 4 s66 (t12 + t21 ) ∂2 − (s21 t11 + s22 t22 ) ∂1 + ϕ3 ∂2 = 0 4 egyenleteket kapjuk. A fenti két egyenlethez, amint arra már rámutattunk, a t12 = t21 szimmetriafeltétel társul. A (61) és (62) képletek helyettesítése után innen az s66 (F2 ∂2 − F1 ∂1 ) ∂1 + ϕ3 ∂1 = 0 , (s11 F1 ∂2 − s12 F2 ∂1 ) ∂2 − 4 s66 (F2 ∂2 − F1 ∂1 ) ∂2 − (s21 F1 ∂2 − s22 F2 ∂1 ) ∂1 + ϕ3 ∂2 = 0 , 4 F2 ∂2 + F1 ∂1 = 0

(72a) (72b) (72c)

2Az utóbbi feltétel valójában a (67a,b) alakváltozási peremfeltétel következménye, hiszen az elmozdulásvektor ívkoordináta szerinti deriváltját a terhelt íveken is az említett egyenlet jobboldala szolgáltatja. Integrálással és annak figyelembevételével, hogy a terhelt ívek végpontjaiban ismert az elmozdulásvektor, azonnal adódik a (70) egyenlet.

3. Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre

27

alapegyenleteket kapjuk. Tovább alakítva a fenti egyenleteket adódik az alapegyenletrendszer (tömören az alapegyenlet(ek)) végleges alakja:    s66 s66  ∂1 ∂1 F1 − s12 + ∂1 ∂2 F2 + ϕ3 ∂1 = 0 , (73a) s11 ∂2 ∂2 + 4 4     s66 s66 ∂1 ∂2 F1 + s22 ∂1 ∂1 + ∂2 ∂2 F2 + ϕ3 ∂2 = 0 , (73b) − s21 + 4 4 (73c) F2 ∂2 + F1 ∂1 = 0 . Bevezetve a

 ⎤ s66 s66  s11 ∂2 ∂2 + ∂1 ∂1 − s12 + ∂1 ∂2 −∂1 ⎥ ⎢  4s s664 ⎥ 66 [Dik ] = ⎢ ∂1 ∂2 s22 ∂1 ∂1 + ∂2 ∂2 −∂2 ⎦ ⎣ − s21 + 4 4 −∂1 −∂2 0

(74a)

uk = (F1 , F2 , −ϕ3 )

(74b)

⎡

és jelöléseket adódik, hogy a keresett uk vektor (az ennek részeként megjelenő uκ vektort duál elmozdulásvektornak nevezzük) az Dik uk = 0 ,

(75)

i = 1,2,3

parciális differenciálegyenletnek köteles eleget tenni. 3.4. Elsőrendű alapmegoldás 3.4.1. Előzmények. Legyen Q(ξ1 , ξ2 ) és M (x1 , x2 ) az x1 , x2 koordinátasík (az alakváltozási sík) két, általában különböző pontja. A Q pontot forráspontnak, az M pontot pedig a hatás pontjának fogjuk nevezni. A Q és M pontok távolságát R, a Q pontból az M pontba mutató vektort (más elnevezéssel az M pont Q pontra vonatkoztatott helyvektorát) rκ jelöli. Legyen továbbá az e háromelemű olyan, formailag mátrixnak tekintett mennyiség, melynek elemeit ei jelöli és amelyet a Q ponthoz kötünk (e1 , e2 előírt inkompatibilitás a Q pontban, e3 pedig a síkra merőleges koncentrált nyomaték). A Dirac féle delta függvényt δ jelöli. Ismeretes, hogy rögzített Q-ra

0, ha M = Q δ(M − Q) = , (76a) ∞, ha M = Q és, hogy  Ai

f (M )δ(M − Q) dAM

⎧ ⎨ 0, f (Qo )/2, = ⎩ f (Qo ),

ha Q ∈ / Ai , ha Q = Qo ∈ Lo és Lo sima a Qo pontban , ha Q ∈ A .

(76b)

Az M

Dik uk + δ(M − Q)ei (Q) = 0 ,

i = 1,2,3

(77)

differenciálegyenlet teljes síkra vonatkozó megoldását elsőrendű alapmegoldásnak nevezzük. Az elsőrendű alapmegoldást két fő lépésben állítjuk elő. Első lépésben megmutatjuk, megismételve Lurje eljárását [14], hogy a (77) vektor differenciál-egyenlet egy skalár differenciálegyenlettel helyettesíthető. Mivel ennek megoldása felépíthető Kupradze könyve alapján [15], maga a keresett alapmegoldás előállítható. Megjegyezzük, hogy az átalakításoknak igen jelentős a munkaigénye. Első lépésben skaláregyenlettekkel helyettesítjük a (77) vektor differenciál-egyenletet. Jelölje Dij a mátrixnak tekintett Djk operátor kofaktor mátrixát (előjeles aldeterminánsokból felépített mátrix transzponáltját). Nem nehéz ellenőrizni, hogy D11 = −∂2 ∂2 ,

D22 = −∂1 ∂1 ,

D12 = D21 = ∂1 ∂2 ,

(78a)

28

3.4. Elsőrendű alapmegoldás  s66  s66 ∂1 ∂2 ∂2 + s22 ∂1 ∂1 ∂1 + ∂2 ∂2 ∂1 = D13 = D31 = s21 + 4 4    s66 ∂2 ∂2 + s22 ∂1 ∂1 ∂1 , = s21 + 2  s66 s66  ∂1 ∂1 ∂2 + s12 + ∂1 ∂2 ∂1 = D23 = D32 = s11 ∂2 ∂2 ∂2 + 4 4    s66 ∂1 ∂1 + s11 ∂2 ∂2 ∂2 = s12 + 2

és

   s66 s66 ∂1 ∂1 s22 ∂1 ∂1 + ∂2 ∂2 − D33 = s11 ∂2 ∂2 + 4 4  s66   s66  s12 + ∂1 ∂1 ∂2 ∂2 = − s21 + 4 4   s 2  s66 2 2 2 s11 s66 4 s22 s66 4 66 ∂2 + ∂1 + s11 s22 + − s21 + ∂1 ∂2 . = 4 4 4 4

Bevezetve a a33 = s11 s22 +

 s 2

jelölést ⎡ ⎢ ⎢ [Dkl ] = ⎢ ⎣ 

−∂2 ∂2

66

4

 s66 2 − s21 + 4

∂1 ∂2

∂2 ∂1  s66  2 s21 + ∂2 + s22 ∂12 ∂1 2



−∂1 ∂1  s66  2 s12 + ∂1 + s11 ∂22 ∂2 2

s22 α2 − (2s21 + s66 ) α + s11 = 0

2s21 + s66 ± α1,2 = 2s22

)

2s21 + s66 2s22

2

−

(78c)

(78d) (78e)

(79)

  ⎤ s66  2 ∂2 + s22 ∂12 ∂1 s21 +   ⎥ s266  2 s12 + ∂1 + s11 ∂22 ∂2 ⎥ ⎥ 2 ⎦ s11 s66 4 s22 s66 4 ∂2 + ∂1 + a33 ∂12 ∂22 4 4 (80)

a kofaktor mátrix. A kifejtési tétellel ellenőrizhető, hogy    s66 s66  ∂1 ∂1 ∂2 ∂2 − s21 + ∂1 ∂2 ∂1 ∂2 − det(Djk ) = − s11 ∂2 ∂2 + 4 4     s66 s66 ∂1 ∂2 ∂2 + s22 ∂1 ∂1 + ∂2 ∂2 ∂1 = −∂1 s12 + 4 4 s66 2 2 s66 2 2 s66 2 2 s66 2 2 ∂1 ∂2 − s21 ∂12 ∂22 − ∂1 ∂2 − s12 ∂12 ∂22 − ∂1 ∂2 − s22 ∂14 − ∂ ∂ = −s11 ∂24 − 4 4 4 4 1 2 azaz, hogy   det(Dmn ) = − s11 ∂24 + (2s21 + s66 ) ∂12 ∂22 + s22 ∂14 . Az α1 és α2 mennyiségeket a s11 2s21 + s66 = α1 + α2 és = α1 α2 s22 s22 képletek értelmezik. Az értelmezés alapján s11 2s21 + s66 s11 , = α1 + , α2 = s22 α1 s22 s22 α1 ami egyben azt is jelenti, hogy α1,2 a másodfokú egyenlet gyöke, azaz

(78b)

(81)

(82a)

(82b)

(82c)

s11 . s22

(82d)

A (82a,b,c,d) képletek felhasználásával   det(Dmn ) = − s11 ∂24 + (2s21 + s66 ) ∂12 ∂22 + s22 ∂14 =  



= −s22 ∂14 + (α1 + α2 ) ∂12 ∂22 + α1 α2 ∂24 = −s22 ∂12 + α1 ∂22 ∂12 + α2 ∂22 (83) a (81) determináns.

3. Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre

29

3.4.2. Galjorkin függvények. Megjegyezzük, hogy a kövezkező eljárást Lurje [14] javasolta a rugalmasságtan térbeli feladataira még 1937-ben. Nyugati szerzők Hörmandernek [13] tulajdonítják, tévesen, az alábbiakban alkalmazott eljárást. Legyen χl új ismeretlen. Feltételezzük, hogy χl és uk között [51] tanulmány alapján az uk = Dkl χl

(84)

összefüggés áll fenn. Visszaidézve Dkl értelmezését írhatjuk, hogy Dik Dkl = det(Dmn ) δil , ahol δil az ún. Kronecker-féle delta: δil =

1, 0,

ha i = l ha i =  l

(85)

.

(86)

Az utóbbi képlet felhasználásával helyettesítve vissza uk (84) alatti előállítását a (77) egyenletbe a Dik uk + δ(M − Q)ei (Q) = Dik Dkl χl + δ(M − Q)ei (Q) = = det(Dmn )δil χl + δ(M − Q)ei (Q) = det(Dmn ) χi + δ(M − Q)ei (Q) = 0 eredményt kapjuk. Nyilvánvaló, hogy χi = χ ei (Q), ahol χ a vagy ami ugyanaz a

det(Dmn ) χ + δ(M − Q) = 0 ,

(87)





−s22 ∂12 + α1 ∂22 ∂12 + α2 ∂22 χ + δ(M − Q) = 0 ,

(88a)

illetve átalakítások után

  −s22 ∂14 + (α1 + α2 ) ∂12 ∂22 + α1 α2 ∂24 χ + δ(M − Q) = 0 ,

(88b)

azaz a

∂4χ ∂4χ ∂4χ − s22 (α1 + α2 ) 2 2 − s22 α1 α2 4 + δ(M − Q) = 0 (88c) 4 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 differenciálegyenletnek köteles eleget tenni. Bár a jelen szakaszban követett gondolatmenet Lurje [14] cikkén és Kupradze [15] könyvén alapul a χ függvényt Galjorkin függvénynek szokás nevezni feltehetően az [51] tanulmány alapján. Alábbiak formális általánosítással tárgyalják a fenti egyenlet megoldását Kupradze könyve [15] alapján: Legyen konstans az A11 , A12 , A13 , A22 , A23 és A33 . Legyen továbbá ψ ismeretlen függvény az x1 , x2 síkon. Célul tűzzük ki a −s22

∂4ψ ∂4ψ + 2 (A A − A A ) + A11 A33 − A213 11 23 12 13 ∂x41 ∂x31 ∂x2

∂4ψ + + A11 A22 + 2A13 A23 − A212 − 2A12 A33 ∂x21 ∂x22

∂4ψ ∂4ψ 2 + A A − A =0 +2 (A13 A22 − A12 A23 ) 22 33 23 ∂x1 ∂x32 ∂x42

(89)

differenciál-egyenlet megoldását. Megjegyezzük, hogy a (87), vagy ami ugyanaz a (88a,b,c) egyenlet a fenti egyenlet speciális esete. A fenti egyenlethez a β-ra vonatkozó

A11 A33 − A213 + 2 (A11 A23 − A12 A13 ) β+

+ A11 A22 + 2A13 A23 − A212 − 2A12 A33 β 2 +

(90) +2 (A13 A22 − A12 A23 ) β 3 + A22 A33 − A223 β 4 = 0

30

3.4. Elsőrendű alapmegoldás

karakterisztikus egyenlet tartozik, melynek komplex gyökei: β˜κ = aκ − ibκ ,

βκ = aκ + ibκ ,

bκ > 0 .

(91)

A gyökök birtokában a χ skalárfüggvényre vonatkozó alapmegoldás [15] alapján (253-254 old.) χ(M, Q) = KIm

2 *

dκ ρ2κ ln ρκ

(92)

κ=1

alakú, ahol ρκ = (x1 − ξ1 ) + βκ (x2 − ξ2 ) és K=−

1 , I1 + I2

Iκ = 4π

(93)

dκ 3 bκ s11 + b2κ (s21 + s66 ) − bκ s12 − s22 bκ + 1

(94)

(a K ily módon történő megválasztásáról a 3.6. szakaszban esik szó), míg dκ a βκ3 -höz tartozó kofaktora (előjeles aldeterminánsa) a ⎤ ⎡ 1 β1 β12 β13 ⎢ 1 β˜1 β˜2 β˜3 ⎥ 1 1 ⎥ d=⎢ ⎣ 1 β2 β22 β23 ⎦ = 1 β˜2 β˜22 β˜23    (95) = −4b1 b2 (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 (a1 − a2 )2 + (b1 + b2 )2 determinánsnak :

és

⎡

⎤ ⎡ ⎤ β˜12 1 β˜1 1 β˜1 β˜12 d1 = − ⎣ 1 β2 β22 ⎦ = − ⎣ 0 β2 − β˜1 β22 − β˜12 ⎦ = 1 β˜2 β˜22 0 β˜2 − β˜1 β˜22 − β˜12       = β22 − β˜12 β˜2 − β˜1 − β2 − β˜1 β˜22 − β˜12

(96a)

⎡

⎤ ⎡ ⎤ 1 β1 β12 β12 1 β1 d2 = − ⎣ 1 β˜1 β˜12 ⎦ = − ⎣ 0 β˜1 − β1 β˜12 − β12 ⎦ = 1 β˜2 β˜22 0 β˜2 − β1 β˜22 − β12       = β˜2 − β1 β˜12 − β12 − β˜1 − β1 β˜22 − β12 .

(96b)

Bizonyítható, hogy ezenkívül fennállnak a 2 * κ=1 2 *

dκ = −

i(b1 + b2 )



2b1 b2 (a1 − a2 )2 + (b1 + b2 )2 i(a2 b1 + a1 b2 )

, 2b1 b2 (a1 − a2 )2 + (b1 + b2 )2 



 2 * i b1 a22 + b22 + b2 a21 + b21 2  , βκ dκ = − 2 2 2b b − a ) + (b + b ) (a κ=1 1 2 1 2 1 2 βκ dκ = −



,

(97a)

(97b)

κ=1

2 * κ=1

összefüggések.

βκ3 dκ





 1 i a1 b2 a21 + b21 + 2b1 b2 + a2 b1 a21 + b21 + 2b1 b2   = − 2 2b b (a − a )2 + (b + b )2 1 2

1

2

1

2

(97c)

(97d)

3. Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre

31

A mi esetünkben, összevetve (88c) és (89) képleteket A11 A33 − A213 = −s22 ,

(98a)

2 (A11 A23 − A12 A13 ) = 2 (A13 A22 − A12 A23 ) = 0 ,

(98b)

A11 A22 + 2A13 A23 − A212 − 2A12 A33 = −s22 (α1 + α2 ) = A22 A33 − A223 = −s22 α1 α2 = −s11 ,

− (2s21 + s66 ) ,

(98c) (98d)

míg a (90) polinomnak a s22 α2 − (2s21 + s66 ) α + s11 = 0 , 2

4

s22 + (2s21 + s66 ) β + s11 β = 0

(99a) (99b)

polinomok felelnek meg. Más alakban 2 4 1 + (α  1 + α2 ) β + α1 α2 β = 0 , 1 1 1 + =0, β2 + β4 + α1 α2 α1 α2 α2 − (α1 + α2 )α + α1 α2 = 0 ,

azaz βκ2 = −

1 , ακ

(100)

(101)

vagyis

) 2s + s 2s21 + s66 2 s22 21 66 2 ± − . (102) β1,2 = − 2s11 2s11 s11 Megjegyezzük, hogy a β-ra vonatkozó négy megoldás szimbolikusan a következőképpen írható fel: β1 = iλ1 (cos δ1 + i sin δ1 ) = a1 + ib1 , β˜1 = −iλ1 (cos δ1 − i sin δ1 ) = a1 − ib1 , (103) β2 = iλ2 (cos δ2 + i sin δ2 ) = a2 + ib2 , β˜2 = −iλ2 (cos δ2 − i sin δ2 ) = a2 − ib2 , ahol λ1 , λ2 a vonatkozó gyök abszolut értéke, δ1 , δ2 pedig a komplex gyök, mint komplex vektor irányát megadó szög. Attól függően, hogy milyen értékeket vesz föl a  2s21 + s66 2 s22 − (104) D= 2s11 s11 diszkrimináns, három különböző esetet kell megkülönböztetnünk. 1. Ha D > 0, akkor + ) , , 2s + s i 2s21 + s66 2 s22 - 21 66 − − = √ = ib1 , a1 = δ1 = 0 , β1 = i 2s11 2s11 s11 α1 + ) , , 2s + s i 2s21 + s66 2 s22 21 66 ˜ − − = − √ = −ib1 , a1 = δ1 = 0 β1 = −i 2s11 2s11 s11 α1 és + ) , , 2s + s i 2s21 + s66 2 s22 - 21 66 + − = √ = ib2 , a2 = δ2 = 0 , β2 = i 2s11 2s11 s11 α2 + ) , , 2s + s i 2s21 + s66 2 s22 - 21 66 + − = − √ = −ib2 , a2 = δ2 = 0 β˜2 = −i 2s11 2s11 s11 α2

(105a)

(105b)

(105c)

(105d)

a gyökök. Emlékeztetjük az olvasót, hogy Rizzo és Shippy dolgozata primál rendszerben vizsgálja ortotrop testre a síkalakváltozás feladatát [6]. Mivel a legtöbb ortotrop szerkezeti

32

3.4. Elsőrendű alapmegoldás anyagra teljesül a D => 0 feltétel, az idézett dolgozat szerzői elsősorban erre az esetre fordítják a figyelmet. 2. Ha D = 0, akkor izotrop a test. Ebben az esetben d1 és d2 zérus értékű. Következésképp nem használható a (92) alatti megoldás. 3. Ha D < 0, akkor )  2s 2s21 + s66 2 + s s22 21 66 2 ±i − (106) β1,2 = − 2s11 s11 2s11 vagyis β = iλ(cos δ + i sin δ) ,

(107)

(λ2 a β 2 komplex vektor hossza), azaz β 2 = −λ2 (cos2 δ + 2i cos δ sin δ − sin2 δ) = = −λ2 cos 2δ − λ2 i sin 2δ . Következésképp 2

λ =

λ21

= λ22

 =

s22 , s11

δ1 = δ2 = δ ,

1 + cos 2δ 1 2s21 + s66 = cos2 δ , , λ2 2s11 2 )  1 s22 2s21 + s66 + , λ cos δ = 2 s11 2s11

cos 2δ =

továbbá

 1 s22 2s21 + s66 + , λ cos δ = λ (1 − sin δ) = 2 s11 2s11 )  1 s22 2s21 + s66 − . λ sin δ = 2 s11 2s11 2

2

2

(108a)

2

(108b)

A χ skalárfüggvényre vonatkozó alapmegoldás ismeretében, a (84) képlet alapján írható, hogy uk =

3 *

Dkl χl =

l=1

3 * l=1

Dkl χel =    Ukl

3 *

Ukl (M, Q)el (Q) .

(109)

l=1

A fenti összefüggésben az uκ és u3 rendre a Q pontbeli el (Q) hatására létrejövő feszültségfüggvény és forgás az M = Q pontban. A képletben álló Ukl (M, Q) elsőrendű alapmegoldást (az elsőrendű alapmegoldások Ukl (M, Q) mátrixát) maga a (109) egyenlet értelmezi. 3.4.3. A Galjorkin függvény deriváltjai. A (109) egyenlettel értelmezett Ukl (M, Q) elsőrendű alapmegoldás számításához szükség lesz az alábbi deriváltakra: A ρκ első deriváltjai x1 és x2 szerint: M

M

M

M

∂ 1 ρκ = ∂ 1 [(x1 − ξ1 ) + βκ (x2 − ξ2 )] = 1 , ∂ 2 ρκ = ∂ 2 [(x1 − ξ1 ) + βk (x2 − ξ2 )] = βk .

A ρ2κ ln ρκ szorzat deriváltja x1 és x2 szerint:   M M 2 2 1 ∂ 1 ρκ ln ρκ = 2ρκ ln ρκ + ρκ ∂ 1 ρκ = ρκ (2 ln ρκ + 1) , ρκ   M M 2 2 1 ∂ 2 ρκ ln ρκ = 2ρκ ln ρκ + ρκ ∂ 2 ρκ = ρκ (2 ln ρκ + 1) βκ . ρκ

(110a) (110b)

(111a) (111b)

3. Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre

33

A ρ2κ ln ρκ szorzat második deriváltjai x1 és x2 szerint: M M ∂ 1 ∂ 1 ρ2κ ln ρκ M M ∂ 1 ∂ 2 ρ2κ ln ρκ

M

= ∂ 1 ρκ (2 ln ρκ + 1) = 2 ln ρκ + 1 + 2 = 2 ln ρκ + 3 , M M

M

= ∂ 2 ∂ 1 ρ2κ ln ρκ = ∂ 2 ρκ (2 ln ρκ + 1) = (2 ln ρκ + 3) βρκ ,

M M ∂ 2 ∂ 2 ρ2κ ln ρκ

M

= ∂ 2 ρκ (2 ln ρκ + 1) βκ = (2 ln ρκ + 3) βκ2 .

(112a) (112b) (112c)

A ρ2κ ln ρκ szorzat harmadik deriváltjai x1 és x2 szerint: M

M

2 , ρκ M M M 2 ∂ 2 ∂ 21 ρ2κ ln ρκ = ∂ 2 (2 ln ρκ + 3) = βκ , ρκ M M M 2 ∂ 22 ∂ 1 ρ2κ ln ρκ = ∂ 2 (2 ln ρκ + 3) βκ = βκ2 , ρκ M M 2 ∂ 32 ρ2κ ln ρκ = ∂ 2 (2 ln ρκ + 3) βκ2 = βκ3 . ρκ ∂ 31 ρ2κ ln ρκ = ∂ 1 (2 ln ρκ + 3) =

(113a) (113b) (113c) (113d)

A ρ2κ ln ρκ szorzat negyedik deriváltjai x1 és x2 szerint: M M M M ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ρ2κ ln ρκ

M

2 2 =− 2 , ρκ ρκ M M M M M 2 2 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ρ2κ ln ρκ = ∂ 2 = − 2 βκ , ρκ ρκ M M M M M 2 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 1 ρ2κ ln ρκ = ∂ 2 βκ = − 2 βκ2 , ρκ ρκ M M M M M 2 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 1 ρ2κ ln ρκ = ∂ 2 βκ2 = − 2 βκ3 , ρκ ρκ M M M M M 2 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ρ2κ ln ρκ = ∂ 2 βκ3 = − 2 βκ4 . ρκ ρκ = ∂1

(114a) (114b) (114c) (114d) (114e)

Könnyű ellenőrizni a deriváltak birtokában, hogy a χ(M, Q)–re vonatkozó (92) alatti alapmegoldás kielégíti a det(Djl )χ + δ(M − Q) = 0 egyenletet, ha M = Q. Valóban, kihasználva a −s22

2 * s22 2dκ ∂ 4 χi = Im − 2 , 4 2πs11 ρκ ∂x1 κ=1

2 * ∂ 4 χi 2dκ 2s21 + s66 1 Im − 2 βκ2 = −s22 (α1 + α2 ) 2 2 = s22 s22 2πs11 ρκ ∂x1 ∂x2 κ=1

=

2 * 2dκ 2s21 + s66 Im − 2 βκ2 , 2πs11 ρκ κ=1

2 * s11 2dκ ∂ 4 χi s11 ∂ 4 χi = Im − 2 βκ4 −s22 α1 α2 4 = −s22 4 s22 ∂x2 2πs11 ρκ ∂x2 κ=1

deriváltakat kapjuk, hogy −s22

∂ 4 χi ∂ 4 χi ∂ 4 χi − s (α + α ) − s α α = 22 1 2 22 1 2 ∂x41 ∂x21 ∂x22 ∂x42

2 *  2dκ  1 Im s22 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s11 βκ4 = 0 . =− 2 2πs11 ρ    κ=1 κ =0

34

3.4. Elsőrendű alapmegoldás

3.4.4. Az elsőrendű alapmegoldás és tulajdonságai. Az alábbiak a (110a),. . .,(114e) deriváltak felhasználásával részletezik U11 ,. . . , U33 számítását: M

M M

2 *

M

κ=1

U11 = D 11 χ(M, Q) = − ∂ 2 ∂ 2 χ(M, Q) = −KIm    D 11

M

M M

2 *

M

κ=1

U12 = D 12 χ(M, Q) = ∂ 1 ∂ 2 χ(M, Q) = KIm    D 12

M

U22 = D 22 χ(M, Q) =

M M − ∂ 1 ∂ 1 χ(M, Q)

  

= −KIm

dκ (2 ln ρκ + 3) βκ2 ,

(115a)

dκ (2 ln ρκ + 3) βκ = U21 ,

(115b)

2 *

dκ (2 ln ρκ + 3) ,

(115c)

κ=1

M

D 22

⎡

⎤

M ⎢ M M s66  M 2 ⎥ ∂ 2 χ(M, Q) + s22 ∂ 21 χ(M, Q)⎦ = U13 = D 13 χ(M, Q) = ∂ 1 ⎣ s21 +      2  −U11

−U22

 M s66  M ∂ 1 U11 − s22 ∂ 1 U22 = = − s21 + 2 2 2   * * M M s66 2 ∂ 1 KIm dκ (2 ln ρκ + 3) βκ + s22 ∂ 1 KIm dκ (2 ln ρκ + 3) = = s21 + 2 κ=1

κ=1

2 2  * * s66  2dκ 2 2dκ KIm βκ + s22 KIm = = s21 + 2 ρκ ρ κ κ=1 k=1

= KIm

2 * 2dκ  k=1

ρκ

s21 +

⎡

 s66  2 βκ + s22 = U31 , (115d) 2 ⎤

M ⎢ M M s66  M 2 ⎥ ∂ 1 χ(M, Q) + s11 ∂ 22 χ(M, Q)⎦ = U23 = D 23 χ(M, Q) = ∂ 2 ⎣ s12 +      2  −U22

−U11

 M s66  M ∂ 2 U22 − s11 ∂ 2 U11 = = − s12 + 2 2 2   * * M M s66 ∂ 2 KIm dκ (2 ln ρκ + 3) + s11 ∂ 2 KIm dκ (2 ln ρκ + 3) βκ2 = = s12 + 2 κ=1 κ=1 2 2  * * s66  2dκ 2dκ 3 KIm βκ + s11 KIm β = = s12 + 2 ρκ ρκ κ κ=1

= KIm

κ=1

2 * κ=1

 s66  2dκ βκ  + s11 βκ2 = U32 , (115e) s12 + ρκ 2

3. Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre

35

s11 s66 M 4 s22 s66 M 4 ∂2+ ∂1 + 4 4     s 2  s66 2 M 2 M 2 66 + s11 s22 + − s21 + ∂ 1 ∂ 2 χ(M, Q) = 4 4    2  s 2  * s66 2 2 2 s11 s66 1 4 s22 s66 1 66 β − − s11 s22 + − s21 + β dκ = − = KIm 2 ρ2κ κ 2 ρ2κ 4 4 ρ2κ κ κ=1    2  s 2  * s66 2 2 s22 s66 dκ s11 s66 4 66 βκ + 2 s11 s22 + − s21 + = βκ + = −KIm 2 4 4 2 ρ2κ κ=1

 2 * 4  s21 s66 s12 s66  2 dκ s66 4 s11 βκ + s22 + − βκ = s11 s22 − s21 s12 − = −KIm 2 s66 4 4 ρ2κ k=1

 2 * 4 s66 dκ 4 2 s11 βκ + a33 βκ + s22 . (115f) = −KIm 2 s66 ρ2κ M

U33 = D 33 χ(M, Q) =

κ=1

Vegyük észre, hogy a (99b)-re tekintettel s11 βκ4 +

4 a33 βκ2 + s22 = s66

 4 a33 − 2s21 − s66 βκ2 . s66

Az utóbbi képlet kihasználásával mátrixba foglalva a fenti eredményeket kapjuk, hogy [Upq (M, Q)] = KIm ⎡

2 *

×

κ=1

−dκ (2 ln ρκ + 3) βκ2 ⎢ dκ (2 ln ρκ + 3) βκ ×⎣ 

 2dκ s21 + s266 βκ2 + s22 ρκ



 ⎤ 2dκ dκ (2 ln ρκ + 3) βκ s21 + s266 βκ2 + s22 ρκ 

 ⎥ 2dκ βκ s66 2 −dκ (2 ln ρκ + 3) + β s + s 12 11 κ ⎦ ρ 2 .κ /

 s266 2dκ βκ  s66 dκ 2 2 s12 + 2 + s11 βκ − 2a33 − s21 s66 − 2 βκ ρ2 ρκ κ (116)

az elsőrendű alapmegoldás. Nem nehéz ellenőrizni, hogy az elsőrendű alapmegoldás eleget tesz a Upq (M, Q) = Uqp (M, Q) = Upq (Q, M ) = Uqp (Q, M )

(117)

szimmetriafeltételeknek. Az elsőrendű alapmegoldás oszlopai mindkét változójukban kielégíti M = Q–ra az alapegyenletet. Az utóbbi tulajdonság ellenőrzését a formális átalakitások viszonylag hosszú volta miatt a B. függelék B.1. Az elsőrendű alapmegoldás és az alapegyenlet című szakaszába helyeztük.

3.5. A másodrendű alapmegoldás 3.5.1. Feszültségek az elsőrendű alapmegoldásból. Az elsőrendű alapmegoldásból adódó feszültségek a (61) és a (62) képletek segítségével számíthatók. A (61)1 , a (109) és a (116) egybevetése alapján írható, hogy M

M

t11 = F1 ∂ 2 = ∂ 2 U1l (M, Q)el (Q) ,

(118)

36

3.5. A másodrendű alapmegoldás

ahol M

M

∂ 2 U11 = − ∂ 2 KIm

M

M

∂ 2 U12 = ∂ 2 KIm

M

M

∂ 2 U13 = ∂ 2 KIm = −KIm

2 *

dκ (2 ln ρκ + 3) βκ2

= −KIm

κ=1 2 *

κ=1

dκ (2 ln ρκ + 3) βκ = KIm

κ=1 2 *

κ=1 2 * κ=1

2 * 2dκ

2 * 2dκ

ρκ

κ=1

ρκ

βκ3 ,

βκ2 ,

(119a)

(119b)

 s66  2 2dκ  βκ + s22 = s21 + ρκ 2

 s66  2 2dκ βκ  β + + s s 21 22 . κ ρ2κ 2

(119c)

A fenti mennyiségek a feszültségek (124) képletének jobboldalán álló mátrix első sorát adják. Értelemszerűen ismételve meg (62)1 felhasználásával a (119a,b,c) képletekre vezető gondolatmenetet adódik, hogy M

M

M

M

t12 = −F1 ∂ 1 = − ∂ 1 U1l (M, Q)el (Q) = t21 = F2 ∂ 2 = ∂ 2 U2l (M, Q)el (Q) ,

(120)

ahol M

M

∂ 1 U11 = − ∂ 1 KIm

M

M

∂ 1 U12 = ∂ 1 KIm

2 *

dκ (2 ln ρκ + 3) βκ2

κ=1 2 *

= −KIm

2 * 2dκ κ=1

dκ (2 ln ρκ + 3) βκ = KIm

κ=1

2 * 2dκ κ=1

ρκ

ρκ

βκ2 ,

βκ ,

(121a)

(121b)

2  * s66  2 2dκ  βκ + s22 = ∂ 1 U13 = ∂ 1 KIm s21 + ρ 2 κ=1 κ

M

M

= −KIm

2 * 2dκ  κ=1

ρ2κ

s21 +

 s66  2 βκ + s22 ; 2

(121c)

vagy ami ugyanaz, hogy M

M

∂ 2 U21 = ∂ 2 KIm

M

M

2 *

dκ (2 ln ρκ + 3) βκ = KIm

κ=1 2 *

∂ 2 U22 = − ∂ 2 KIm

2 * 2dκ κ=1 2 *

dκ (2 ln ρκ + 3) = −KIm

κ=1

κ=1

ρκ

βκ2 ,

2dκ βκ , ρκ

(121d)

(121e)

2  * M M s66  2dκ βκ  + s11 βκ2 = ∂ 2 U23 = ∂ 2 KIm s12 + ρκ 2

= −KIm

κ=1 2 * κ=1

 s66  2dκ βκ2  2 + s + β s . 12 11 κ ρ2κ 2

(121f)

A (121c) ellentettje is megyegyezik a (121f)-el, ha figyelembe vesszük, hogy fenn kell állnia a (99b) egyenletnek. A (121a,. . .,f) képletek a feszültségek (124) képletének jobboldalán álló mátrix második sorát adják. A (62)2 képletből indulva ki és megismételve a fenti gondolatmenetet, kapjuk, hogy M

M

t22 = −F2 ∂ 1 = − ∂ 1 U2l (M, Q)el (Q) ,

(122)

3. Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre

37

ahol M

M

− ∂ 1 U21 = −∂ 1 KIm M

M

− ∂ 1 U22 = ∂ 1 KIm M

M

2 *

κ=1 2 *

dκ (2 ln ρκ + 3) βκ = −KIm

dκ κ=1 2 *

− ∂ 1 U23 = − ∂ 1 KIm

2 * 2dκ κ=1

(2 ln ρκ + 3) = KIm

2 * 2dκ κ=1

ρκ

ρκ

(123a)

βκ ,

(123b)

,

 s66  2dκ βκ  + s11 βκ2 = s12 + ρκ 2 κ=1

2  * s66  2dκ βκ  2 s . + s + β = KIm 12 11 κ ρ2κ 2 κ=1

(123c)

Mátrixba foglalva a (118), (119a,b,c), a (120), (121a,. . .,f), valamint a (122), (123a,b,c), képletekkel adott eredményeket ⎡  ⎤ βκ  s66  2 3 2 ⎡ ⎤ ⎤ ⎢ −βκ βκ − ρκ s21 + 2 βκ + s22 ⎥ ⎡ 2 t11 e ⎥ ⎢    1 * s66 1 2dκ ⎢ 2 ⎥ ⎣ t12 ⎦ = KIm βκ2 + s22 ⎥ ⎣ e2 ⎦ s21 + (124) ⎢ βκ −βκ ⎥ ρκ  2  ρκ ⎢  t22 e k=1 ⎦ ⎣ 3 βκ s66 + s11 βκ2 1 s12 + −βκ ρκ 2 a feszültségek számításának formulája. 3.5.2. Alakváltozások számítása az elsőrendű alapmegoldásból. A (64a,b) Hooke törvény felhasználásával, mátrix jelölésekre térve át, kapjuk, hogy az ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ s11 0 s12 t11 e11 ⎣ e12 ⎦ = ⎣ 0 s66 0 ⎦ ⎣ t12 ⎦ (125) 2 e22 t22 s21 0 s22 módon számíthatók az alakváltozási tenzor elemei. A (124) összefüggés helyettesítésével innen az ⎡  ⎤ βκ  s66  2 3 2 β −β β − + + s s 21 22 ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎤ ⎡ κ κ ρκ 2 κ 2 s11 0 s12 ⎢ e11  ⎥ e1 * s 1 2d ⎥ 66 ⎢ κ ⎣ ⎣ e12 ⎦ = KIm β 2 + s22 ⎥ ⎣ e2 ⎦ s21 + 0 s266 0 ⎦ ⎢ βκ2 −βκ ⎢ ρκ  2  κ ρ κ  ⎥ e22 s21 0 s22 ⎣ κ=1 ⎦ e3 βκ s66 2 + s11 βκ 1 s12 + −βκ ρκ 2 eredmény következik. A mátrix szorzás elvégzése és az összevonások után adódik, hogy ⎡

⎤ 2 e11 * 2dκ ⎣ e12 ⎦ = KIm × ρκ e22 k=1 ⎡ −s11 βκ3 − s12 βκ s11 βκ2 + s12 ⎢ ⎢ 1 2 − 21 s66 βκ ×⎢ 2 s66 βκ ⎣ −s21 βκ3 − s22 βκ s21 βκ2 + s22

  s66 )(s11 βκ2 − s12 ) + s11 (s22 − s12 βκ2 ) − βρκκ (s12 +  s66  2 s662  s21 + βκ + s22 2ρκ 2   s66 βκ 2 )(s21 βκ − s22 ) + s22 (s21 − s11 βκ2 ) − ρκ (s21 + 2

⎤

⎡ ⎤ ⎥ e1 ⎥⎣ ⎥ e2 ⎦ . (126) ⎦ e3

3.5.3. A másodrendű alapmegoldás értelmezése és számítása A továbbiakban az egyszerűbb szóhasználat kedvéért a duκ (127) tκ = − ds

38

3.5. A másodrendű alapmegoldás

egyenlettel értelmezett tκ vektort duál feszültségvektornak fogjuk nevezni3. A képlet a vizsgált tartomány valamely görbéje mentén, s az ívkoordináta a görbe mentén, értelmezi a duál feszültségvektort. Vizsgálataink során általában a peremkontúr lesz a kérdéses görbe. A másodrendű alapmegoldás értelmezése és tulajdonságainak tisztázása érdekében kiszámítjuk a (67a,b) alapján felírt du1 du2 = −n1 e21 + n2 e11 + n1 ϕ3 és t2 = − = −n1 e22 + n2 e12 + n2 ϕ3 (128) t1 = − ds ds összefüggésekből az alapmegoldáshoz tartozó duál feszültségvektort. A számítások áttekinthetővé tétele érdekében mátrix alakba írjuk át a (128) képleteket: ⎡ ⎤      e11  d u1 n 0 n2 −n1 1 ⎣ e12 ⎦ + (129) = ϕ3 , − n2 0 n2 −n1 ds u2 e22       (b) (a)

és külön külön számítjuk az (a) és (b) jelű képletrészeket. A (129a) jelű képletrész esetén a (126) helyettesítésével írhatjuk, hogy ⎡ ⎤  e11    2 * 2dκ n2 −n1 0 0 n2 −n1 ⎣ e12 ⎦ = KIm × 0 n2 −n1 0 n2 −n1 ρ e22 κ=1 κ   ⎡ s66 )(s11 βκ2 − s12 ) + s11 (s22 − s12 βκ2 ) −s11 βκ3 − s12 βκ s11 βκ2 + s12 − βρκκ (s12 +  ⎢ s66  2 s662  ⎢ 1 1 2 β s β − s β + + s s ×⎢ 66 66 κ 21 22 κ κ 2 2 2ρκ 2 ⎣   s66 βκ 3 2 2 )(s21 βκ − s22 ) + s22 (s21 − s11 βκ2 ) −s21 βκ − s22 βκ s21 βκ + s22 − ρκ (s21 + 2

⎤

⎡ ⎤ ⎥ e1 ⎥⎣ ⎥ e2 ⎦ . ⎦ e 3 (130)

Az utóbbi képlet jobboldalán álló első mátrix szorzatot az alábbiak részletezik :   ⎡ s66 )(s11 βκ2 − s12 ) + s11 (s22 − s12 βκ2 ) −s11 βκ3 − s12 βκ s11 βκ2 + s12 − βρκκ (s12 + ⎢   s66  2 s662  0 n2 −n1 ⎢ 1 1 2 β s β − s β + + s s 66 66 κ 21 22 ⎢ κ κ 2 2 2ρκ 2 0 n2 −n1 ⎣   s66 βκ 3 2 2 )(s21 βκ − s22 ) + s22 (s21 − s11 βκ2 ) −s21 βκ − s22 βκ s21 βκ + s22 − ρκ (s21 +  2 (a) (a) (a) T11 T21 T31 , (131) = (a) (a) (a) T12 T22 T32 ahol

n1 (a) (132a) T11 = n2 −s11 βκ3 − s12 βκ − s66 βκ2 , 2

n1 (a) (132b) T21 = n2 s11 βκ2 + s12 + s66 βκ , 2  n s   n2 βκ  s66 s66  2 (a) 1 66 )(s11 βκ2 − s12 ) + s11 (s22 − s12 βκ2 ) − βκ + s22 , (s12 + s21 + T31 = − ρκ 2 2ρκ 2 (132c)

n2 (a) (132d) T12 = s66 βκ2 + n1 s21 βκ3 + s22 βκ , 2

n2 (a) (132e) T22 = − s66 βκ − n1 s21 βκ2 + s22 , 2      n2 s66 s66 s66 n1 βκ (a) βκ2 + s22 + )(s21 βκ2 − s22 ) + s22 (s21 − s11 βκ2 ) . (132f) s21 + (s12 + T32 = 2ρκ 2 ρκ 2 A (129b) jelű képletrész esetén a (109) összefüggés és a (116) képlet utolsó sorának helyettesítésével – ez utóbbi az elsőrendű alapmegoldásból adja ϕ3 –at – írhatjuk hogy 3Az áll az elnevezés hátterében, hogy a duál feszültségvektor formailag ugyanazt a szerepet játsza majd a

duál peremelemes formalizmusban, mint a feszültségvektor a primál peremelemes formalizmus esetén.

⎤ ⎥ ⎥ ⎥= ⎦

3. Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre  

n1 n2

×





−s22 − s21 +

s66 2

βκ2

n1 n2

39

 ϕ3 = KIm

2 * 2dκ κ=1

ρκ

×

⎡ ⎤ . /  e1 

 2 s −βκ s12 + s266 + s11 βκ2 a33 − s212s66 − 466 βκ2 ρ1κ ⎣ e2 ⎦ . e3 (133)

Az utóbbi képlet jobboldalán álló első mátrixszorzatot az alábbiak részletezik : 

ahol

n1 n2



/ 

2 

 . s266 s66 s66 s21 s66 1 2 2 a33 − 2 − 4 βκ ρκ = −s22 − s21 + 2 βκ −βκ s12 + 2 + s11 βκ   (b) (b) (b) T11 T21 T31 , (134) = (b) (b) (b) T12 T22 T32

 s66  2  β , = −n1 s22 + s21 + 2  κ   s66 (b) βκ2 , T12 = −n2 s22 + s21 + 2 

s21 s66 s266 βκ2 (b) − , a33 − T31 = n1 ρκ 2 4

(b) T11



 s66  2 + s11 βκ , = −n1 βκ s12 + 2    s66 (b) + s11 βκ2 , T22 = −n2 βκ s12 + 2 

2 s21 s66 s266 βκ (b) T32 = n2 − . a33 − ρκ 2 4 (b) T21



(135a) (135b) (135c)

Összegyűjtve a (129), (130), (131), (132a, . . .,f), (133), (134) és a (135a,b,c) képletek alapján az eredményeket írhatjuk, hogy tκ (Mo ) = el (Q)Tlκ (Mo , Q) .

(136)

Ez a képlet megadja a Q pontbeli eλ (Q) inkompatibilitás és e3 (Q) nyomaték hatására az alakváltozási peremfeltételből vett tκ duál feszültségvektort az nl normálisú vonalelem Mo pontjában. Az összefüggésben T11 (Mo , Q) = KIm

2 * 2dκ . κ=1

T21 (Mo , Q) = KIm

2 * 2dκ . κ=1

T12 (Mo , Q) = KIm

ρκ

ρκ

 

n1 s66  2 / βκ n2 −s11 βκ3 − s12 βκ − s66 βκ2 − n1 s22 + s21 + , 2 2 (137a)

 /

n1 s66  + s11 βκ2 n2 s11 βκ2 + s12 + s66 βκ − n1 βκ s12 + , (137b) 2 2

2   *

s66  2 / 2dκ . n2 s66 βκ2 + n1 s21 βκ3 + s22 βκ − n2 s22 + s21 + βκ , (137c) ρ 2 2 κ κ=1

T22 (Mo , Q) = KIm

2  / *

s66  2dκ . n2 + s11 βκ2 − s66 βκ − n1 s21 βκ2 + s22 − n2 βκ s12 + , ρκ 2 2 κ=1 (137d)

2  * s66 2dκ n2 βκ  )(s11 βκ2 − s12 ) + s11 (s22 − s12 βκ2 ) − (s12 + − T31 (Mo , Q) = KIm ρ ρκ 2 κ=1 κ    s66  2 s21 s66 s266 βκ2 n1 s66  βκ + s22 + n1 − , (137e) s21 + a33 − − 2ρκ 2 ρκ 2 4

40

3.6. A másodrendű alapmegoldás tulajdonságai

2  * s66 2 2dκ n2 s66  )β + s22 + T32 (Mo , Q) = KIm (s21 + ρ 2ρκ 2 κ κ=1 κ     βκ2 s66 s21 s66 s266 n1 βκ  2 2 )(s21 βκ − s22 ) + s22 (s21 − s11 βκ ) + n2 − . (137f) (s21 + a33 − + ρκ 2 ρκ 2 4 képletek a Tlκ (Mo , Q) másodrendű alapmegoldást értelmezik. 3.6. A másodrendű alapmegoldás tulajdonságai A másodrendű alapmegoldás Tkλ oszlopai kielégítik a Q

Dik Tkλ (Mo , Q) = 0 ,

Mo = Q

alapegyenletet. Az igazolást a B.2. szakasz ismerteti részletesen. A másodrendű alapmegoldásra nézve fennáll az ⎧  ha Q ∈ Ai , ⎨ −δκλ , Tκλ (Mo , Q) dsMo = ha Q = Qo ∈ Lo és sima az Lo a Qo pontban , − 12 δκλ , ⎩ Lo 0, ha Q ∈ / Ai

(138)

(139)

összefüggés. Az utóbbi első állítás igazolását a 4.3. szakasz (45. o.) ismerteti. Az alapmegoldásokban szereplő K-át úgy választottuk meg, hogy teljesüljön a (139)1 összefüggés.

4. FEJEZET

Duál Somigliana formulák belső tartományra ortotrop testre 4.1. A duál Somigliana-féle azonosság A továbbiakban feltételezzük, hogy a 7. ábrán vázolt végesben fekvő egyszeresen összefüggő Ai belső tartomány a vizsgálat tárgya.

L u2

s

Pt3 = Pu3

τϰ

nπ

Pt2 =Pu2

A

e

A

L t3

L t1

i

P u5 = P t1

Pt4= Pu4 L u4

Lo

7. ábra. A vizsgált tartomány Az Lo kontúr páros számú ívre bontott, amelyeken vagylagosan elmozdulások (illetve az s ívkoordináta szerinti deriváltjuk) vagy feszültség (illetve feszültségfüggvény) van előírva. Amint azt látjuk, a 7. ábrán vázolt esetben négy ívre bontott az Lo kontúr, de ez a körülmény egyelőre nem játszik majd szerepet az átalakításokban. Az Fψ , tκλ , eκλ és ϕ3 függvényeket az Ai tartomány egy rugalmas állapotának nevezzük, ha kielégítik a (61), (62), (64a,b), (65) és (66) mezőegyenleteket. Legyen Fψ , tκλ , eκλ , ϕ3

és

∗

∗

∗

∗

F ψ , tκλ , eκλ , ϕ3

az Ai tartomány két rugalmas állapota. A Green – Gauss tétel alkalmazásával belátható, hogy fennáll az   ∗ ∗ [e1λ ∂2 − e2λ ∂1 + ϕ3 ∂λ ]F λ dA − (Fψ ∂ψ ) ϕ3 dA = Ai A  i ∗ [n1 e2λ − n2 e1λ − nλ ϕ3 ]F λ ds− =− Lo    ∗ ∗ ∗ tκλ eκλ dA − (F ψ ∂ψ )ϕ3 dA − (Fψ ∂ψ ) ϕ3 dA (140) − Ai

Ai

Ai

összefüggés [50]. 1. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a jobboldalon álló első tartományi integrál (itt a Hooke törvényre is tekintettel kell lenni a belátás során) és az utolsó két tartományi integrál összege nem függ attól, hogy a * melyik betű felett áll a szorzatban (azaz az első vagy második betű felett). 41

42

4.2. A duál Somigliana formulák – belső tartomány

Ha a fenti egyenletben áthelyezzük a *–ot az első rugalmas állapotot jelölő betűk felé, majd levonjuk az így kapott egyenletből az eredeti (140) képletetet, akkor a duál Somigliana identitást kapjuk síkfeladatokra:    ∗ ∗ ∗ ∗ [e1λ ∂2 − e2λ ∂1 + ϕ3 ∂λ ]Fλ − F λ ∂λ ϕ3 dA− Ai      ∗

uk Dkl ul

 ∗ ∗ − [e1λ ∂2 − e2λ ∂1 + ϕ3 ∂λ ]F λ − (Fλ ∂λ ) ϕ3 dA = Ai    

∗

uk (Dkl ul )

 =

∗

∗

∗

[n2 e1λ − n1 e2λ + nλ ϕ3 ] Fλ ds −    Lo  ∗

tλ

uλ



∗

[n2 e1λ − n1 e2λ + nλ ϕ3 ] F λ ds . (141)    Lo  ∗

tλ

uλ

A baloldalon az alapegyenleteket alkotó (72a,b) kompatibilitási egyenletek és a (72c) szimmetriafeltétel – az első esetben eκλ -t a Fλ feszültségfüggvényekkel kifejezve gondoljuk, a második esetben eleve azzal kifejezve írtuk – integráljai, röviden tehát az alapegyenletek integráljai állnak. A jobboldalon pedig az Lo kontúron előírható fizikai mennyiségek integráljai láthatók. Következésképp – tekintettel a (74b) alatti képletre, az idézett képlet alapján bevezetett uλ jelölésre, továbbá a (127) képletre és a képlethez kötődő tλ jelölésre – a Somigliana identitást a Green identitáshoz [3] hasonló alakban is felírhatjuk :       ∗ ∗ ∗ ∗ [uλ tλ − uλ tλ ] ds . (142) uk Dkl ul − uk (Dkl ul ) dA = Ai

Lo

2. Megjegyzés: A (142)–ra vezető gondolatmenet során valójában sehol sem használtuk ki, ∗ hogy uk és uk az Ai tartomány rugalmas állapotai (azaz kompatibilisek). Ez annyit jelent, hogy ∗ (142) mindig fennáll, ha az uk és uk kellő rendben differenciálható az Ai tartományon; egyéb tekintetben mindkét függvény tetszőleges lehet. 4.2. A duál Somigliana formulák – belső tartomány ∗

A duál Somigliana formulák előállítása érdekében feltesszük, hogy uk a (109), (116) kép∗

letekkel adott rugalmas állapot. Ez esetben a vonalintegrálban álló tλ –t a (136), (137a,....,f) képletek adják. Most már azt is kihasználjuk majd, hogy az ul egy feltevés szerint nem szinguláris rugalmas állapota az Ai tartománynak. Mivel a *–al jelölt állapot szinguláris a Q pontban (a forráspontban), a Q pont Ai tartományhoz viszonyított elhelyezkedésétől függően az alábbi három esetet különböztetjük meg: 1. Ha Q ∈ Ai , akkor a Q pont teljes egészében az Ai –n belül fekvő Rε sugarú Aε környezetét  eltávolítjuk az Ai tartományból – Aε kontúrját Lε jelöli, a kontúr Ai –n belüli Lε íve most megegyezik Lε –al – és a kétszeresen összefüggő A = Ai \ Aε tartományra alkalmazzuk a duál Somigliana identitást. 2. Ha Q = Q◦ ∈ ∂Ai = Lo , akkor a Q◦ pont Rε sugarú Aε környezetének az Ai –n belül fekvő Ai ∩ Aε résztartományát kizárjuk az Ai tartományból, és az egyszeresen összefüggő A = = Ai \(Ai ∩ Aε ) tartományra alkalmazzuk a duál Somigliana identitást. Megjegyezzük, hogy ez esetben két részből áll a tartomány kontúrja: a résztartomány eltávolítása után   az Lo –ból megmaradó Lo ívből, valamint az Lε kör A–ban fekvő Lε ívéből. 3. Ha Q ∈ / (Ai ∪ Lo ), akkor az eredeti Ai tartományra alkalmazzuk a duál Somigliana identitást.

4. Duál Somigliana formulák belső tartományra ortotrop testre

43

A 8. és a 9. ábrák mindhárom esetet szemléltetik :

Ai

Lo

A ’i

L o’

L

R

A

r

Q

R M

rM

x2

rM

rQ

x2

x1

O

r

M

O

A

L ’

rQ x1

8. ábra. A vizsgált tartományok a Q pont elhelyezkedésétől függően (1-2 eset)

A

i

Lo

Q

r M

rQ

x2

rM

x1

9. ábra. A vizsgált tartományok a Q pont elhelyezkedésétől függően (3. eset) ∗

Mivel a vizsgált tartományokban mind uk , mind pedig uk rugalmas állapot, a (142) képlet tartományi integráljai zérus értékűek. A három különböző esetet, csak a gondolatmenetre koncentrálva a figyelmet, az alábbiak tekintik át. 1. Ha Q ∈ Ai , akkor a mondottak alapján (142)–ből adódik, hogy   ∗ ∗ ∗ ∗ [uλ tλ − uλ tλ ] ds + [uλ tλ − uλ tλ ] ds = Lo Lε

 [Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) − Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ )] dsM◦ + = ek (Q) Lo   [Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) − Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ )] dsM◦ = 0 . (143) + Lε

A (143) egyenlet fennáll tetszőleges ek (Q)–ra, következésképp a kapcsos zárójelben álló kifejezés zérus :  [Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) − Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ )] dsM◦ + Lo  [Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) − Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ )] dsM◦ = 0 . (144) + Lε

44

4.2. A duál Somigliana formulák – belső tartomány Nem nehéz belátni a (137a, . . . ,f) összefüggések felhasználásával, továbbá némi számolással, hogy  Tκλ (M◦ , Q) [uλ (M◦ ) − uλ (Q)] dsM◦ = 0 , (145a) lim Rε →0 Lε

és, hogy

 lim

Rε →0 Lε

T3λ (M◦ , Q) [uλ (M◦ ) − uλ (Q)] dsM◦ = 0 .

Formális átalakításokkal mutatható meg, hogy  Uκλ (M◦ , Q)tλ (M◦ ) dsM◦ = 0 . lim Rε →0 Lε

(145b)

(145c)

(Fel kellett használni itt és fel kell használni a következő átalakításban is a tλ = −

∂uλ dx1 ∂uλ dx2 ∂uλ =− − ∂s ∂x1 ds ∂x2 ds

összefüggést. Azt is figyelembe kellett venni, hogy limRε →0 ρε ln ρε =0 .) Viszonylag hosszú formális átalakításokkal ellenőrizhető, hogy  U3λ (M◦ , Q)tλ (M◦ ) dsM◦ = ϕ3 |Q = −u3 |Q . (145d) lim Rε →0 Lε

Ha a (145a,...,d) képletek felhasználásával képezzük a (144) összefüggésben az Lε körön vett integrálok határértékét midőn Rε → 0, akkor az első duál Somigliana formulát kapjuk :   Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ ) dsM◦ − Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) dsM◦ . (146) uk (Q) = Lo

Lo

3. Megjegyzés: Az első duál Somigliana formula szerint, ha ismerjük az uλ (M◦ ) feszültségfüggvényeket, valamint az elmozdulásmező s ívkoordináta szerinti −tλ (M◦ ) deriváltját (a duál feszültséget) az Lo kontúron, akkor kvadratúrák segítségével számítható az uk = (F1 , F2 , −ϕ3 ) rugalmas állapot az A tartomány Q belső pontjában. 2. Ha Q = Q◦ ∈ ∂A = Lo , akkor a (142)–ből a (146)–re vezető lépésekkel, az egyenlet további számításokban szerepet játszó részét tartva csak meg, írhatjuk, hogy  [Tκλ (M◦ , Q◦ )uλ (M◦ ) − Uκλ (M◦ , Q◦ )tλ (M◦ )] dsM◦ + (147) Lo  [Tκλ (M◦ , Q◦ )uλ (M◦ ) − Uκλ (M◦ , Q◦ )tλ (M◦ )] dsM◦ = 0 . + Lε

Igazolható, hogy1

 lim

Rε →0 L ε

Tκλ (M◦ , Q◦ ) dsM◦ = cκλ (Q◦ ) ,

(148a)

ahol cκλ (Q◦ ) = δκλ /2, ha sima az Lo kontúr a Q◦ pontban. Ha a kontúr nem sima, akkor cκλ (Q◦ ) a Q◦ pontbeli érintők egymással bezárt szögétől függ2. Ugyancsak igazolható, hogy  Tκλ (M◦ , Q◦ ) [uλ (M◦ ) − uλ (Q◦ )] dsM◦ = 0 , (148b) lim Rε →0 L ε

lim



Rε →0 L ε

Uκλ (M◦ , Q◦ )tλ (M◦ ) dsM◦ = 0 .

(148c)

1A (148a,b,c) összefüggések formális igazolását, ugyancsak azok hosszadalmas volta miatt nem tartalmazza

az értekezés. 2Amint az a későbbiek során kiderül majd, nem lesz szükség c (Q ) képletszerű ismeretére a numerikus ◦ κλ megoldásban.

4. Duál Somigliana formulák belső tartományra ortotrop testre

45

Ha a (148a,b,c) képletek felhasználásával képezzük a (146) határértékét midőn Rε → 0, akkor a második duál Somigliana formulát kapjuk :   Uκλ (M◦ , Q◦ )tλ (M◦ ) dsM◦ − Tκλ (M◦ , Q◦ )uλ (M◦ ) dsM◦ . (149) cκλ (Q◦ )uλ (Q◦ ) = Lo

Lo

4. Megjegyzés: A (149)–ben álló két vonalintegrált Cauchy féle főértékben kell venni. 5. Megjegyzés: Mivel az Lo kontúr egy pontjában vagylagosan írhatók elő az uλ (M◦ ) feszültségfüggvények, illetve az elmozdulásmező s ívkoordináta szerint vett −tλ (M◦ ) deriváltjai, a (149) olyan integrálegyenlet (a direkt módszer integrálegyenlete), amely alkalmas a hiányzó uλ (M◦ ) vagy tλ (M◦ ) meghatározására. Ezek ismeretében pedig alkalmazható az első duál Somigliana formula. 3. Ha Q ∈ / (A ∪ Lo ), akkor a (142)–ben csak az Lo kontúron vett integrál marad meg, és a (146)–re vezető lépésekkel rögtön adódik a harmadik duál Somigliana formula:   Uκλ (M◦ , Q)tλ (M◦ ) dsM◦ − Tκλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) dsM◦ . (150) 0= Lo

Lo

4.3. A másodrendű alapmegoldás egy tulajdonságának igazolása Jelen szakaszban a T másodrendű alapmegoldás  Tκλ (M, Q) dsM = −δκλ , Lo

ha Q ∈ Ai

(151)

tulajdonságának igazolását mutatjuk be. A bizonyítás alapját az előzőekben tárgyalt (142) duál Somigliana identitás képezi:       ∗ ∗ ∗ ∗ [uλ tλ − uλ tλ ] ds . uk Dkl ul − uk (Dkl ul ) dA = Lo

Ai

Tegyük fel, hogy a Q belső pont és tegyük fel továbbá, hogy ∗ tλ (M, Q)

∗

ul (M, Q) = Ulr (M, Q)er (Q) ,

= Tλl (M, Q)el (Q) .

Ekkor a fenti duál Somigliana identitás az alábbi alakban írható fel:     M M dAM = uk (M ) Dkl (Ulr (M, Q)er (Q) − (Ukr (M, Q)er (Q)) Dkl ul (M ) Ai  [uλ (Mo )(Tλl (Mo , Q)el (Q)) − (Uλr (Mo , Q)er (Q))tλ (Mo )] dsMo . (152) =



Lo

Vegyük figyelembe, hogy ∗

– az ul (M, Q) = Ulr (M, Q)er (Q) rugalmas állapot kielégíti a M

M

∗

∗

Dkl ul (M, Q) + ek (Q)δ(M − Q) = Dkl ul (M, Q) + δkl el (Q)δ(M − Q) = 0 differenciálegyenletet. Ha emellett feltételezzük, hogy u1 = u2 = állandó, u3 = 0 és e3 (Q) = 0, akkor a (152) duál Somigliana identitásból a   uκ δκλ δ(M − Q) dAeλ (Q) = uκ Tκλ ds eλ (Q) (153) − Lo

Ai

képletet kapjuk. Mivel az utóbbi egyenlet bármilyen uκ és eλ (Q)-ra fenn kell, hogy álljon, azonnal kapjuk az igazolni kívánt  Tκλ (M, Q) dsM = −δκλ , ha Q ∈ Ai Lo

összefüggés teljesülését.

46

4.4. Képletek a feszültségekre 4.4. Képletek a feszültségekre

A (146) első duál Somigliana formula és a (61-62) képletek felhasználásával adódik deriválásokkal, hogy  [U1λ (M◦ , Q)∂2 ]tλ (M◦ ) dsM◦ − s1 = t11 = u1 ∂2 =   Lo  S1λ

 −

Lo

[T (M◦ , Q)∂2 ]uλ (M◦ ) dsM◦ ,   1λ 

(154a)

D1λ

 s2 = t12 = u2 ∂2 =

Lo

[U (M◦ , Q)∂2 ]tλ (M◦ ) dsM◦ −   2λ  S2λ

 −

Lo

[T (M◦ , Q)∂2 ]uλ (M◦ ) dsM◦ ,   2λ 

(154b)

D2λ

 s2 = t21 = −u1 ∂1 = −

[U (M◦ , Q)∂1 ]tλ (M◦ ) dsM◦ +   1λ 

Lo

S2λ

 +

Lo

[T (M◦ , Q)∂1 ]uλ (◦ M ) dsM◦ ,   1λ 

(154c)

D2λ

 s3 = t22 = −u2 ∂1 = −

[U (M◦ , Q)∂1 ]tλ (M◦ ) dsM◦ +   2λ 

Lo

S3λ

 +

azaz, hogy

 sk =

Lo

[T (M◦ , Q)∂1 ]uλ (M◦ ) dsM◦ ,   2λ 

(154d)

D3λ



Lo

Skλ tλ (M◦ ) dsM◦ −

Lo

Dkλ uλ (M◦ ) dsM◦ ,

(155)

ahol a Q

Q

Q

Q

∂ 1 ρk = ∂ 1 [(x1 − ξ1 ) + βk (x2 − ξ2 )] = −1 ,

(156a)

∂ 2 ρk = ∂ 2 [(x1 − ξ1 ) + βk (x2 − ξ2 )] = −βk ,

(156b)

1Q 1 ∂ 1 [(x1 − ξ1 ) + βk (x2 − ξ2 )] = − , ρk ρk Q 1Q βk ∂ 2 ln ρk = ∂ 2 [(x1 − ξ1 ) + βk (x2 − ξ2 )] = − ρk ρk Q

(156c)

∂ 1 ln ρk =

(156d)

deriváltak felhasználásával Q

Q

S11 = U11 (M◦ , Q)∂ 2 = −∂ 2 KIm

2 *

dk (2 ln ρk + 3) βk2 = 2KIm

k=1 Q

Q

S12 = U12 (M◦ , Q)∂ 2 = ∂ 2 KIm

2 * k=1

dk (2 ln ρk + 3) βk = −2KIm

2 * dk k=1

ρk

2 * dk k=1

ρk

βk3 ,

(157a)

βk2 ,

(157b)

4. Duál Somigliana formulák belső tartományra ortotrop testre Q

Q

S21 = U21 (M◦ , Q)∂ 2 = ∂ 2 KIm Q

2 *

dk (2 ln ρk + 3) βk = −2KIm

k=1 2 *

Q

47

S21 = −U11 (M◦ , Q)∂ 1 = ∂ 1 KIm

2 * dk k=1 2 *

dk (2 ln ρk + 3) βk2 = −2KIm

k=1

Q

Q

S22 = U22 (M◦ , Q)∂ 2 = −∂ 2 KIm Q

Q

k=1

2 *

dk k=1 2 *

S22 = −U12 (M◦ , Q)∂ 1 = −∂ 1 KIm

Q

Q

S31 = −U21 (M◦ , Q)∂ 1 = −∂ 1 KIm

(2 ln ρk + 3) = 2KIm

2 * dk k=1

(157c)

dk 2 β , ρk k

(157d)

2 * dk

ρk

k=1

2 *

2 * dk

dk (2 ln ρk + 3) βk = 2KIm

Q

k=1 2 *

dk (2 ln ρk + 3) = −2KIm

k=1

(157e)

βk ,

k=1

S32 = −U22 (M◦ , Q)∂ 1 = ∂ 1 KIm Tömör alakban

ρk

dk (2 ln ρk + 3) βk = 2KIm

k=1 Q

βk2 ,

ρk

ρk

βk ,

(157f)

βk ,

(157g)

2 * dk k=1

ρk

.

⎤ −βk3 βk2 ⎣ β 2 −βk ⎦ . [Sκλ ] = −2KIm ρk −βk 1 k=1 k 2 * dk

(157h)

⎡

(158)

Ugyanilyen gondolatmenettel kapjuk, hogy Q

D11 = T11 (M◦ , Q)∂ 2 = Q

= ∂ 2 KIm

2 * 2dk .

ρk

k=1

= KIm

2 * 2dk . k=1

ρ2k

 

n1 s66  2 / βk = n2 −s11 βk3 − s12 βk − s66 βk2 − n1 s22 + s21 + 2 2

 

n1 s66  3 / βk n2 −s11 βk4 − s12 βk2 − s66 βk3 − n1 s22 βk + s21 + , (159a) 2 2

Q

D12 = T12 (M◦ , Q)∂ 2 = Q

= ∂ 2 KIm

2   *

s66  2 / 2dk . n2 s66 βk2 + n1 s21 βk3 + s22 βk − n2 s22 + s21 + βk = ρk 2 2 k=1

2   *

s66  3 / 2dk . n2 3 4 2 s βk β + n β + s β β + s + s + n s , (159b) = KIm 66 1 21 22 2 22 21 k k k k 2 2 ρ2k k=1

Q

D21 = T21 (M◦ , Q)∂ 2 = Q

= ∂ 2 KIm

2  / *

n1 s66  2dk . + s11 βk2 = n2 s11 βk2 + s12 + s66 βk − n1 βk s12 + ρk 2 2 k=1

= KIm

2 * 2dk . k=1

ρ2k

 /

n1 s66  + s11 βk2 n2 s11 βk3 + s12 βk + s66 βk2 − n1 βk2 s12 + , (159c) 2 2

48

4.4. Képletek a feszültségekre Q

D21 = −T11 (M◦ , Q)∂ 1 = 2 * 2dk .

Q

= −∂ 1 KIm

k=1 2 *

= KIm

k=1

ρk

 

n1 s66  2 / βk = n2 −s11 βk3 − s12 βk − s66 βk2 − n1 s22 + s21 + 2 2

 

n1 s66  2 / 2dk . βk n2 s11 βk3 + s12 βk + s66 βk2 + n1 s22 + s21 + , (159d) ρk 2 2

Q

D22 = T22 (M◦ , Q)∂ 2 = Q

= ∂ 2 KIm = KIm

2  / *

s66  2dk . n2 + s11 βk2 = − s66 βk − n1 s21 βk2 + s22 − n2 βk s12 + ρk 2 2

k=1 2 * k=1

 /

s66  2dk . n2 + s11 βk2 − s66 βk2 − n1 s21 βk3 + s22 βk − n2 βk2 s12 + , (159e) ρk 2 2 Q

D22 = −T12 (M◦ , Q)∂ 1 = Q

= −∂ 1 KIm = KIm

2   *

s66  2 / 2dk . n2 s66 βk2 + n1 s21 βk3 + s22 βk − n2 s22 + s21 + βk = ρk 2 2

k=1 2 * k=1

 

s66  2 / 2dk . n2 βk , (159f) − s66 βk2 − n1 s21 βk3 + s22 βk − n2 s22 + s21 + ρk 2 2

Q

D31 = −T21 (M◦ , Q)∂ 1 = Q

= −∂ 1 KIm = KIm

2 * 2dk .

k=1 2 * k=1

ρk

 /

n1 s66  + s11 βk2 = n2 s11 βk2 + s12 + s66 βk − n1 βk s12 + 2 2

 /

n1 s66  2dk . 2 2 s + s β + s β + n β + β s − −n s , (159g) 2 11 12 66 1 12 11 k k k k 2 2 ρ2k

Q

D32 = −T22 (M◦ , Q)∂ 1 = Q

= −∂ 1 KIm

2  / *

s66  2dk . n2 + s11 βk2 = − s66 βk − n1 s21 βk2 + s22 − n2 βk s12 + ρk 2 2 k=1 2 *

= KIm

k=1

 /

s66  2dk . n2 2 2 s + s β + n β + s β + β s + n s . (159h) 66 1 21 22 2 12 11 k k k k 2 2 ρ2k

Tömör alakban

2  2dk × ρ2 k=1 k     n1    3 ⎤ ⎡ s66  3

n2 4 2 3 n2 −s s β 3 + n1 s21 βk4 + s22 βk2 + n2 s22  βk + s21 + s66 βk

βk

22 βk + s21+ 2 2 66 k 2  11 β3k − s12 βk −n12 s66 β2k − n1 2s  s n s 2 2 3 2 66 2 66 ⎣ n2 s11 β + s12 βk + s66 β − n1 β s + s − s − n s + s + β s β − n β + s β β + β k2 ⎦ . 12 11 66 1 21 22 2 12 11 k k k  k

k k k 2 2  2 2  k     n2 s66  2 2 +s 2 + s s + n s + s β s β + n β β + β −n2 s11 βk2 + s12 − n21 s66 βk + n1 βk s12 + s66 11 k 1 21 k 22 2 k 12 11 k 2 2 66 k 2 (160)

[Dκλ ] = KIm

5. FEJEZET

Duál Somigliana formulák ortotrop testre külső tartományra 5.1. Feszültségek a végtelenben Az Ae külső tartományon a koordinátasík Lo zárt görbén kívül fekvő részét értjük - v.ö. 7. ábra. Feltételezzük, hogy állandó értékűek a végtelen távoli pontban működő feszültségek. Ezeket a t11 (∞), t12 (∞) = t21 (∞) és t22 (∞) módon jelöljük. Azt is fel fogjuk tételezni, hogy zérus értékű a merevtestszerű forgás a végtelenben, azaz (161) ϕ3 (∞) = 0 . Vegyük észre, hogy kompatibilis a végtelen távoli pontban vett alakváltozási tenzor, ezt a Hooke törvényből kapjuk a végtelenbeli feszültségek felhasználásával, mivel teljesíti a (72a,b) kompatibilitási egyenletet. A végtelenben vett feszültségek a ˜1 (Q) = ξ2 t11 − ξ1 t12 + c1 (∞) u

˜2 (Q) = ξ2 t21 − ξ1 t22 + c2 (∞) és u

(162)

feszültségfüggvényekből származtathatók – emlékezve arra, hogy ξα a Q pont koordinátáit jelöli –, ahol nem tartozik feszültség a cλ (∞) konstans feszültségfüggvény vektorhoz. Legyen továbbá ˜3 (Q) = −ϕ3 (∞) = 0 . u

(163)

5.2. A duál Somigliana formulák levezetése – külső tartomány Az Ae külső tartományra vonatkozó duál Somigliana formulák levezetése során a 4. szakasz gondolatmenetét köen vetjük. A gondolatmenet kifejtése során eR az eltérésekre helyezzük a hangsúlyt. Is∗ x2 mét feltételezzük, hogy az uk rugalmas állapot a (116) és (136) alapmegoldáshoz tartozó rugalmas állapot. Az uk rux1 O galmas állapot pedig egy tetszőleges rugalmas állapota az Ae tartománynak. A LR L Lo végtelenben azonban fenn kell állnia a ˜λ uκ = u

és u3 = ˜ u3 = 0

A’

e Q feltételeknek. A Q pont helyzetétől fügR gően ismét három esetet különbözteA tünk meg – a 10. ábra az első esetet szemlélteti. Azt is feltételezzük, hogy az O origó az Ai tartomány belső pontja. 10. ábra. Külső tartomány, a Q belső pont Az alábbiak sorra veszik az egyes eseteket: 1. Ha Q ∈ Ae , akkor az L0 kontúrgörbével, az Lε körrel, valamint az e R sugarú és O középpontú külső körrel határolt háromszorosan összefüggő Ae tartomány a vizsgálat tárgya. Itt, amint az jól látszik az ábráról is, Lε a Q pont Aε -al jelölt és Rε sugarú környezetének peremgörbéje. Az e R sugár elegendően nagy ahhoz, hogy mind L0 –t, mind pedig Lε –t tartalmazza. További feltevés, hogy Aε teljes egészében a halványszürkével jelölt Ae tartományon belül helyezkedik el. Alkalmazzuk most a duál Somigliana identitást az Ae

49

50

5.2. A duál Somigliana formulák levezetése – külső tartomány tartományra és képezzük az így kapott  [Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) − Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ )] dsM◦ + Lo  [Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) − Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ )] dsM◦ + + Lε  [Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) − Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ )] dsM◦ = 0 (164) + LR

egyenlet határértéket, amint Rε −→ 0 és e R −→ ∞. Ami az első két integrál összegének határértékét illeti, érdemes felfigyelni arra a körülményre, hogy ez ugyanaz, mint a (144) formulában álló első két integrál határértéke:    · · ·+ lim · · · = uk (Q)+ [Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ )−Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ )] dsM◦ . (165) Lo

Rε −→0 Lε

Lo

Ami pedig a harmadik integrált illeti vegyük észre, hogy a

  [Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ ) − Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ )] dsM◦ lim e R−→∞ L  R  

(166)

IR

képletben (a) IR megegyezik formailag az első duál Somigliana formula jobboldalával feltéve, hogy a Q belső pont (most az, mivel az e R sugarú körön belül van); (b) ha e R −→ ∞, akkor uλ és tλ végtelen távoli pont konstans feszültségi állapotához tartozó rugalmas állapot duál elmozdulása és duál feszültsége az LR körön; ˜k (Q) a sík végtelen távoli pont konstans feszültségi állapotához tartozó rugalmas (c) u állapot. Következésképp ˜k (Q) . lim IR = u e R−→∞

Ennek az eredménynek a figyelembevételével rögtön adódik a külső tartományra vonatkozó első duál Somigliana formula:   ˜k (Q) + Ukλ (M◦ , Q)tλ (M◦ ) dsM◦ − Tkλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) dsM◦ . (167) uk (Q) = u Lo

Lo

Lo ,

Lε

és LR görbékkel határolt kétszeresen összefüggő 2. Ha Q = Q◦ ∈ ∂A = Lo , akkor az  Ae tartomány a vizsgálat tárgya, ahol Lo az Lo peremgörbe azon része, amely a Q◦ középpontú és Rε sugarú Aε kör eltávolítása után marad meg; míg Lε az Aε körvonal Ae –n belül fekvő része. A duál Somigliana identitás utóbbi tartományra történő alkalmazásával, és az így adódó egyenlet Rε −→ 0, e R −→ ∞ határértékének meghatározásával az Ae külső tartományra vonatkozó második duál Somigliana formulát kapjuk :  ˜κ (Q◦ ) + Uκλ (M◦ , Q◦ )tλ (M◦ ) dsM◦ − cκλ (Q◦ )uλ (Q◦ ) = u Lo  Tκλ (M◦ , Q◦ )uλ (M◦ ) dsM◦ . (168) − Lo

1. Megjegyzés: A (168) integrálegyenlet az uλ (M◦ ) M◦ ∈ Lu , valamint a tλ (M◦ ) M◦ ∈ Lt ismeretlenekre vonatkozó integrálegyenlet. Más néven a direkt módszer integrálegyenlete külső tartományra. 2. Megjegyzés: Az átalakításokat ismét nem részletezzük. Ennek az az oka, hogy az LR körön vett integrálok tekintetében nincs semmi eltérés az előző Q ∈ Ae esethez képest, ami pedig a fennmaradó tagokat illeti, azok szószerint ugyanúgy adódnak, mint a belső tartományra vonatkozó (149) integrálegyenlet esetén.

5. Duál Somigliana formulák ortotrop testre külső tartományra

51

3. Ha Q ∈ Ai , akkor azonnal kapjuk az előzőekben mondottak alapján a külső tartományra vonatkozó harmadik duál Somigliana formulát:   ˜k (Q) + Uκλ (M◦ , Q)tλ (M◦ ) dsM◦ − Tκλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) dsM◦ . (169) 0=u Lo

Lo

Legyen ˜sk (Q) = (t11 (∞), t12 (∞), t22 (∞)) = állandó .

(170)

A feszültségeket adó (155) formulával kapcsolatos gondolatmenet szószerinti ismétlésével kapjuk meg a   Dkλ (M◦ , Q)tλ (M◦ ) dsM◦ − Skλ (M◦ , Q)uλ (M◦ ) dsM◦ (171) sk (Q) = ˜sk (Q) + Lo

Lo

formulát, amely a külső Ae tartomány egy belső pontjában alkalmazható a feszültségek meghatározására. Ami pedig az Skλ (M◦ , Q) és Dkλ (M◦ , Q) mátrixok elemeinek számítását illeti a (157a),. . . ,(159h) összefüggésekre utalunk. 5.3. Feszültségek számítása a peremen A direkt peremelem módszer (149) (belső tartomány), (168) (külső tartomány) integrálegyenletének megoldása után a teljes peremen ismert mind a tλ duál feszültségvektor, mind pedig az uλ duál elmozdulásvektor. Felmerül tehát a kérdés, hogy hogyan lehet ezekkel a mennyiségekkel kifejezni feszültségtenzor elemeit. Az alábbiak erre a kérdésre keresik a választ. A számításokat az x, y KR-ben végezzük. A (61) és (62) képletek szerint σx =

∂Fx , ∂y

τxy = τyx =

∂Fy ∂Fx =− ∂y ∂x

és σy = −

∂Fy ∂x

(172)

a keresett feszültségek értéke. tx t ty n ny y Ai

s

nx

x

11. ábra. A t és n vektor kapcsolata Amint az jól leolvasható a 11. ábráról a peremgörbe folytonosan változó íve mentén a t érintőirányú egységvektor és az n külső normális koordinátái között a dy dx = tx = −ny és = ty = n x ds ds összefüggések állnak fenn. Ezek birtokában a feszültségfüggvények deriváltjai a ∂Fx dy dFx ∂Fx dx = + = nx σx + ny τxy , ds ∂x  ds ∂y  ds

(173)

∂Fy dx ∂Fy dy dFy = + = nx τxy + ny σy ds ∂x  ds ∂y  ds

(174)

tx =−ny

ty =nx

illetve a

tx =−ny

ty =nx

alakban írhatók fel. A duál feszültség (127) alatti értelmezése alapján írható, hogy −tx =

dux dux dx dux dy dx dux dy = + = εx + ds dx ds dy ds ds dy ds  εx

(175)

52

5.3. Feszültségek számítása a peremen

és hogy −ty =

duy dx duy dy duy dx duy dy = + = + εy . ds dx ds dy ds dx ds ds 

(176)

εy

Szorozzuk meg a (175) egyenletet dx/ds-el, a (176) egyenletet dy/ds-el, majd képezzük a két egyenlet összegét. Kapjuk, hogy 

1 γ 2 xy

  2  2  dx dy dx dux dy duy dx dy ∂ux ∂uy + = εx + . (177) + εy + ds ds ds ds ds ds ds ds ∂y ∂x Figyelembe véve az nx , ny számítási képleteit, a tx és ty duál feszültségek értelmezését, valamint az εx , εy és γxy alakváltozásokkal kapcsolatos (64a,b) Hooke törvényt (e11 = εx , e12 = = γxy , e22 = εy ) az



s66 τxy + n2y s12 + n2x s22 σy (178) ny tx − nx ty = n2y s11 + n2x s21 σx − nx ny 2 egyenletet kapjuk. A peremen ismert az n normális, ismeretesek továbbá a megoldásból az Fx , Fy elsőrendű feszültségfüggvények, valamint a duál feszültségvektor tx , ty elemei: Következésképp a (173), (174) és (176) egyenletek háromismeretlenes egyenletrendszert adnak a feszültségek peremen történő számítására. Az egyenletrendszernek ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ny 0 nx σx dFx /ds ⎦ ⎣ τxy ⎦ = ⎣ dFy /ds ⎦ ⎣ ny 0 nx (179) n2y s11 + n2x s21 −nx ny s266 n2y s12 + n2x s22 σy ny tx − nx ty a mátrix alakja.

6. FEJEZET

A második duál Somigliana formula (a direkt módszer integrálegyenlete) numerikus megoldásának algoritmusa 6.1. A vonalintegrálok diszkretizálása A (149) integrálegyenlet numerikus megoldása érdekében az Lo kontúrt nbe számú ívre, peremelemre (number of boundary elements), vagy röviden elemre osztjuk fel. Általában az elemek végpontjai és felezőpontja adják az elem nen = 3 csomópontját (number of element nodes), amelyek az Lo kontúrt alkotó ívek, továbbá az uλ (M◦ ) és tλ (M◦ ) mezőfüggvények lokális (elem feletti) kvadratikus közelítésének alapjául szolgálnak. (A közelítés foka a felvett csomópontok számától függ). Az elem feletti kvadratikus közelítés azonban más csomópontválasztás mellett is lehetséges. Ha az elem [kezdőpontjában]{végpontjában} nem folytonos a közelített mező, akkor 1. [az első csomópont] {az utolsó csomópont} nem esik egybe [az elem kezdőpontjával] {az elem végpontjával}, hanem az elem egy ezen pontoktól nem távol fekvő belső pontja, 2. a középső csomópont rendszerint továbbra is az elem középső pontja, 3. [az utolsó csomópont] {az első csomópont} pedig [az elem végpontja] {az elem kezdőpontja}. Összhangban a fentiekkel az elem csomópontjait lokálisan a pozitív ívkoordináta iránynak megfelelően számozzuk, a sorszámok pedig az 1,2 és 3 értékeket vehetik fel. A lokális számozástól eltér az úgynevezett globális csomóponti sorszámozás. Jelölje Qi az i-ik csomópontot az Lo kontúron; i = 1,2, . . . , nbn , ahol nbn a csomópontok teljes száma (number of boundary nodes). A csomópontokat egy kezdőpontból kiindulva – ez a csomópontok bármelyike lehet a kontúron – számláljuk a pozitív ívkoordináta irányában. A számítás során folytonos, vagy részlegesen nem folytonos kvadratikus alakfüggvényeket használhatunk. Ezek a η ∈ [−1,1] intervallumra képezik le a tekintett peremelemet. Az alakfüggvények az η 1 , η 2 és η 3 koordinátájú csomópontokra támaszkodó Lagrange polinomok : 1 (η − η 2 )(η − η 3 ) , (η 1 − η 2 )(η 1 − η 3 ) 1 (η − η 3 )(η − η 1 ) , N 2 (η) = 2 3 (η − η )(η 2 − η 1 ) 1 (η − η 1 )(η − η 2 ) , N 3 (η) = 3 1 (η − η )(η 3 − η 2 ) N 1 (η) =

(180)

ahol, összhangban a fentiekkel, az η 1 = −1 és −1 < η 2 < η 3 < 1 módon rögzítjük le a csomóponti koordinátákat, ha az η = 1 pontban van a diszkontinuitás, illetve az η 3 = 1 és −1 < η 1 < η 2 < 1 módon, ha az η = −1 pontban van a diszkontinuitás. Az η 1 = −1, η 2 = 0 és η 3 = 1 értékekre a fenti polinomok a szokásos izoparametrikus approximációt szolgáltatják. Nem nehéz ellenőrizni, hogy 1 ∂N 1 (η) = 1 (2η − η 2 − η 3 ) , 2 ∂η (η − η )(η 1 − η 3 ) 1 ∂N 2 (η) = 2 (2η − η 1 − η 3 ) , 3 ∂η (η − η )(η 2 − η 1 ) 1 ∂N 3 (η) = 3 (2η − η 1 − η 2 ) . ∂η (η − η 1 )(η 3 − η 2 ) 53

(181)

54

6.2. A megoldandó egyenletrendszer e

e

e

Jelölje xkλ , ukλ és tkλ az e–ik elem k–ik csomópontjában (k = 1,2,3) a helyvektort, a duál elmozdulásvektort (a feszültségfüggvényeket) és a duál feszültségvektort (az elmozdulásvektor ívkoordináta szerinti deriváltjának ellentettjét). Könnyen belátható a fentiek alapján, hogy e

xλ =

3 *

e

e

uλ =

N k (η) xkλ ,

k=1

3 *

e

N k (η) ukλ

és

e

tλ =

k=1

3 *

e

N k (η) tkλ

(182)

k=1

az e–ik elem felett a geometria (a kontúrgörbe), a duál elmozdulásvektor és a duál feszültségvektor approximáxiója. Kihasználva a (181), valamint a (182)1 képletet kapjuk, hogy 3

dxλ * ∂N k (η) e k = xλ = dη ∂η k=1

=

2η − η 1 − η 3 e 2 2η − η 1 − η 2 e 3 (2η − η 2 − η 3 ) e 1 x + x + x . (183) (η 1 − η 2 )(η 1 − η 3 ) λ (η 2 − η 3 )(η 2 − η 1 ) λ (η 3 − η 1 )(η 3 − η 2 ) λ

Következésképp zárt alakban felírható a ds ívelem és a dη között fennálló összefüggés : )  dx2 2 dx1 2 + dη = J(η)dη , ds = dη dη   

(184)

J(η)

ahol a J(η) a (183) felhasználásával zárt alakban írható fel. 6.2. A megoldandó egyenletrendszer Kihasználva a (182) alatti közelítéseket, elemenként integrálva átírható a direkt módszer (149) alatti integrálegyenlete: cκλ (Q◦ )uλ (Q◦ ) =

nbe  * e=1

Lo

Uκλ (η, Q◦ ) −

Legyenek

 uj =

uj1 uj2

e

N k (η) J(η)dη tkλ −

k=1

nbe  * e=1

3 *

Lo

Tκλ (η, Q◦ )

3 *

e

N k (η) J(η)dη ukλ ,

Q = Q◦ ∈ Lo . (185)

k=1



 és

tj =

tj1 tj2

 ,

j = 1, . . . , nbn

(186)

a peremen tekintett duál elmozduláskoordináták és duál feszültségkoordináták (mátrixai) a j–ik csomópontban. A teljes peremre nézve az uT = [ u11 u12 | u21 u22 | . . . | un1 bn un2 bn ] ,          uT 1

t =[ T

uT 2

t11 t12 | t21 t22

      tT 1

tT 2

(187)

uT n

bn

| ... |

tn1 bn



tnbn ]  2 

(188)

tT n

bn

képletek értelmezik a duál elmozdulások u és a duál feszültségek t mátrixait. Az a(j, e) függvény az e-ik elem globális sorszámozás szerinti j-ik csomópontú lokális (elemen belüli) sorszámát adja meg. A későbbiek kedvéért az alábbiakban értelmezzük a ⎡ ⎤ * ˆ ij = ⎣ Tκλ (Qi , η)N a(j,e) (η)J(η) dη ⎦ (189) h e∈j

Le

6. A direkt módszer integrálegyenletének megoldási algoritmusa ⎡

és

bij = ⎣

⎤

* Le

e∈j

55

Uκλ (Qi , η)N a(j,e) (η)J(η) dη ⎦

(190)

integrálokat, ahol az összegzés azokra az elemekre terjed ki, melyeknek csomópontja a j-ik csomópont; az i rögzített csomópontot jelöl (ennek kollokációs pont a neve és helyét a Qj azonosítja), míg J(η) az ún. Jacobi féle függvénydetermináns. Ezt a determinánst a (184) képlet szerint ˆ ij , mind pedig bij egy egy 2 × 2 méretű mátrix. kell számítani. Vegyük azt is észre, hogy mind h Elemeik úgy vannak elrendezve, hogy mátrixként jobbról vannak szorozva a 2 × 1 méretű uj , illetve a tj oszlopmátrixokkal. Tekintsük most a Qi kollokációs pontokban vett (185) egyenleteket, azaz a Qi kollokációs pontban vett második duál Somigliana formulát:  cκλ (Qi )uλ (Qi ) =

Lo

Uκλ (η, Qi ) −

3 *

e

N k (η) J(η)dη tkλ −

k=1  n be * e=1

Lo

Tκλ (η, Qi )

3 *

e

N k (η) J(η)dη ukλ ,

i = 1, . . . , nbn . (191)

k=1

Mátrix jelölésekre térve át, és felhasználva eközben a (186), (189), (190) és képleteket, valamint a

hij =

jelöléseket a 

hi1 hi2 · · ·

cii = [cκλ (Qi )] ,

(192)

ˆii + cii , h ˆ hij ,

(193)

ha i = j ha i =  j

⎡

hinbn

⎤ u1  ⎢ u2 ⎥  ⎢ ⎥ ⎣ · · · ⎦ = bi1 bi2 · · · unbn

⎡

binbn

⎤ t1  ⎢ t2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ · · · ⎦ , i = 1, . . . , nbn (194) tnbn

egyenletet kapjuk a Qo = Qi kollokációs pontban vett második duál Somigliana formulából. A fenti egyenletek egyesítése a ⎡

⎤⎡ h12 · · · h1nbn h11 u1 ⎢ h21 ⎥ ⎢ u2 h · · · h 22 2n bn ⎢ ⎥⎢ ⎣ ............................ ⎦⎣ ··· hnbn 1 hnbn 2 · · · hnbn nbn unbn

⎤

⎡

⎤⎡ b12 · · · b1nbn b11 t1 ⎥ ⎢ b21 ⎥ ⎢ t2 b · · · b 22 2n bn ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎦ ⎣ ............................ ⎦⎣ ··· bnbn 1 bnbn 2 · · · bnbn nbn tnbn

⎤

⎥ ⎥, ⎦

(195)

vagy tömörebb formában írva a Hu = Bt

(196)

egyenletrendszerre vezet. A fenti egyenletben vagylagosan adott az uk , illetve a tk , hiszen egy csomópontban a két érték közül csak az egyik ismert a peremfeltételek alapján. Másként fogalmazva annyi ismeretlenünk van, ahány egyenlet áll rendelkezésre, és a (196) alkalmas átrendezése után lineáris egyenletrendszert kapunk az ismeretlen csomóponti értékekre. Az ismeretlen csomóponti értékek meghatározása után pedig ismertnek vehetjük az uλ (M◦ ) és tλ (M◦ ) duál elmozdulásokat és duál feszültségeket a teljes Lo kontúron. Következésképp belső pontokban a (146) első duál Somigliana formula segítségével számítható az uk (Q), a (155) formula felhasználásával pedig a t11 (Q), t12 (Q) és t22 (Q) feszültségek adódnak. Az Lu peremív pontjaiban a feszültségfüggvények lokális approximációjának felhasználásával számítjuk a feszültségeket. 1. Megjegyzés: Ha feszültségeket írunk elő a teljes Lo kontúron, akkor t az ismeretlen és a feladat duál Dirichlet típusú feladat. 2. Megjegyzés: Ha az elmozdulásmezőt írjuk elő a teljes Lo kontúron, akkor a feszültségfüggvényeket tartalmazó u az ismeretlen és a feladat duál Neumann feladat.

56

6.3. Számpéldák

Mivel a konstans feszültségfüggvényekhez nem tartozik feszültség, a feszültségfüggvények csak egy konstans vektor erejéig meghatározottak. Következésképp tλ = −

duλ dxκ = −ϕ3 3κλ , ds ds

ahol a ϕ3 – mint egy adott pontbeli merevtestszerű forgás – tetszőleges állandó, amely zérusnak is választható. Utóbbi esetben t = 0, és ha a konstans feszültségfüggvényeket az uk = 1 (k = = 1, . . . , nbn ) módon vesszük fel, akkor azt kapjuk, hogy 2n bn *

Hii = −

Hij = 0 vagy ami ugyanaz, hogy

j=1

2n bn *

Hij ,

i = 1,2, . . . ,2nbn ,

(197)

j=1 (i=j)

ahol Hij a H mátrix egy eleme. 3. Megjegyzés: A képlet jelentőségét az adja, hogy a cκλ -át is magába foglaló Hii meghatározása, hasonlóan a primál rendszerbeni feladatokhoz, Cauchy féle főértékben vett integrálok numerikus számítását igényli. Ezek az integrálok a fenti képlet alapján, azaz a Hij mátrixelemek ismeretében, numerikus integrálás nélkül adódnak. A Hij mátrixelemek számítása persze nem megy numerikus integrálás nélkül, de ezek az integrálok nem szingulárisak és a szokványos Gauss integrálással számíthatók. Ha külső tartomány a vizsgált tartomány, akkor egy taggal bővül a megoldandó egyenletrendszer. Definiáljuk az u ˜ mátrixot az ˜1 u ˜2 u ˜1 | u ˜2 | . . . | u˜n1 bn ˜un2 bn ] u ˜T = [ u  1 2  1 2    u ˜T 1

u ˜T 2

(198)

u ˜T n

bn

˜κ értékeket egyenlettel, ahol u ˜j egy olyan mátrix, amely a Qj (j = 1, . . . , nbn ) pontokban vett u tartalmazza. Ezzel a jelöléssel az Hu = u ˜ + Bt (199) alakban írható fel az ismeretlen csomóponti értékekre megoldandó egyenletrendszer. Az Hii = −

2n bn *

Hij + 1 ,

(200)

i = 1,2, . . . ,2nbn

j=1 (i=j)

egyenlet kihasználásával ismét elkerülhető az erősen szinguláris integrálok számítása. A (200) egyenlet ugyanúgy kapható meg, mint a belső tartományra vonatkozó (197) alatti párja. Feltevés, hogy az u ˜j –ban álló cρ állandót – lásd a (162) összefüggést – zérusnak választjuk. 6.3. Számpéldák A vizsgálat tárgyát képező test anyaga nyírfa, anyagállandói a következőek : s11 =8.497×10−5 , s12 = s21 = −6.11 × 10−6 , s22 = 1.6999 × 10−4 és s66 = 1.456 × 10−3 [mm2 /N ]. A bemutatásra kerülő feladatok mindegyikének van zárt alakú megoldása. 1. Feladat. Húzásra igénybevett tartomány – a baloldal görgőkkel megtámasztott: y p = 11,769 MPa

1

5

3

L=24 mm

4

2 7

O 6

9 8

96 mm

12. ábra. Húzás esete

10

x

6. A direkt módszer integrálegyenletének megoldási algoritmusa

57

A kontúr 40 peremelemre bontott. Mind a vízszintes, mind pedig a függőleges éleken megegyeznek az elemhosszúságok. A 12. ábrán bejelölt belső pontokban határoztuk meg a feszültségek értékeit. Az ismert analitikus megoldás szerint σxx = p = 11,769 MPa, σyy = 0, τxy = 0. A 3. táblázat a kiválasztott belső pontokban mutatja a program által számított értékeket. Ezek jó egyezésben vannak az analitikus megoldással. Húzás, feszültségek belső pontokban Feszültségek [MPa] Vizsgált pont σxx τxy σyy 1 (6;9) 11.76922 -0.000643658 0.001248856 2 (18;3) 11.76901 -0.000008114 -0.000001677 3 (42;9) 11.76878 -0.000055211 0.000018531 4 (78;3) 11.77024 -0.000177305 -0.000965804 5 (90;9) 11.83152 -0.001687878 -0.010056061 6 (6;-9) 11.76922 -0.000090331 0.001248452 7 (30;-3) 11.76905 0.000019962 -0.000009854 8 (42;-9) 11.76878 0.000055211 0.000018127 9 (54;-3) 11.76936 0.000070196 -0.000068362 10 (78;-9) 11.77111 0.001852699 -0.000877283 3. táblázat. Húzás esetén számított értékek 2. Feladat. Hajlításra igénybevett tartomány – a baloldal görgőkkel megtámasztott: y p =100 MPa

4

2

L=24 mm

1

O

3

5

x

9

6 8

10

7

96 mm

p = -100 MPa

13. ábra. Hajlítás esete A 13. ábrán a számozással megjelölt belső- és perempontokban határoztuk meg a feszültségek értékeit. Az analitikus megoldás szerint σxx =100y/12, σyy =0, τxy =0. A 4. táblázat a kiválasztott pontokban mutatja a program által számított értékeket, amelyek ismét jól egyeznek az analitikus megoldással. Hajlítás, feszültségek belső-, és perempontokban Feszültségek [MPa] Vizsgált pont σxx τxy σyy 1 (6;3) 25.00023 0.000707695 -0.000186628 2 (30;9) 74.99414 0.000184937 -0.000164188 3 (42;3) 24.99820 -0.000128817 -0.000083552 4 (54;12) 100.02202 0.000000000 0.000000000 5 (90;3) 25.00023 0.000707695 -0.000186628 6 (18;-3) -24.99898 -0.000708675 0.000120160 7 (30;-12) -100.02220 0.000000000 0.000000000 8 (54;-9) -74.99372 -0.000055471 0.000156285 9 (66;-3) -24.99844 0.000398726 0.000092128 10 (78;-12) -100.02223 0.000000000 0.000000000 4. táblázat. Hajlítás esetén számított értékek

58

6.3. Számpéldák

3. Feladat. Ez a feladat valójában megegyezik a primál rendszerben már vizsgált és az 5. ábrán vázolt tartománnyal kapcsolatos két peremérték-feladattal. Magát az ábrát nem ismételjük meg, mindössze a duál rendszerben elvégzett számítások eredményeit közöljük táblázatos formában: Köralakú kivágás Polárszög σθ /p Lekhnitski [48] 0◦ −0.70744 −0.707 15◦ −0.33928 −0.340 30◦ 0.06951 0.069 ◦ 45 0.40451 0.404 60◦ 0.96605 0.966 75◦ 2.57736 2.577 90◦ 5.45409 5.453 5. táblázat. Köralakú kivágással gyengített síkra vonatkozó eredmények duál rendszerben

Polárszög 0◦ 15◦ 30◦ 45◦ 60◦ 75◦ 90◦

1.2363 1.1558 0.9364 0.6370 0.3377 0.1188 0.0389

σr /p Lekhnitski [48] 1.237 1.156 0.937 0.698 0.388 0.119 0.039

Merev zárvány τrθ /p Lekhnitski [48] 0.0000 0.000 −0.2999 −0.299 −0.5188 −0.519 −0.5986 −0.599 −0.5181 −0.519 −0.2987 −0.299 0.0000 0.000

0.0444 0.0936 0.2701 0.5158 0.6990 0.5627 0.0028

σθ /p Lekhnitski [48] 0.044 0.093 0.270 0.516 0.699 0.564 0.003

6. táblázat. Eredmények merev zárvány esetén duál rendszerben

7. FEJEZET

A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre 7.1. A kitűzött feladat egyenletei A vizsgálatokat az O kezdőpontú x1 =x, x2 =y derékszögű kartéziuszi koordinátarendszerben végezzük. {Görög}[Latin index] az {1,2}[1,2,3] értékeket veheti fel. A vizsgálat tárgyát képző háromszorosan összefüggő Ai belső tartományt a 14. ábra szemlélteti:

Lt3

Pt4 = Pu4

Pt3 = Pu3

Pt5=Pt6

Lu4

s

A

i

Lt5

Pu6 = Pu7 s Lu6

Lo

Pu5 = Pt1

Lt1

A

e

s Lu2 τϰ

nπ

Pt2 = Pu2

14. ábra. A vizsgált belső tartomány Az Ai tartomány pereme több zárt, önmagát és egymást nem metsző síkgörbéből épülhet fel – a jelen esetben az Lo L1 és L2 görbékből. Az Lo , L1 és L2 görbék , illetve részeik tekintetében fennáll, hogy L0 = Lt1 ∪ Lu2 ∪ Lt3 ∪ Lu4 , valamint, hogy L1 = Lt5

és L2 = Lu6 .

Feltesszük, hogy simák (vagy szakaszonként simák) az Lo , L1 és L2 görbék. Továbbiakban τκ az érintőirányú egységvektor, s pedig a peremgörbe mentén mért ívkoordináta. A külső normálist nπ jelöli. ∂α szimbólum az xα változó szerint vett parciális deriválás operátora, δκλ a Kronecker delta, míg 3κλ a permutációs szimbólum. A primál rendszer alapváltozóit adó elmozdulásvektort és forgásmezőt (röviden elmozdulásokat) uκ és ϕ3 jelöli. Az elmozdulásokból számított γπρ és κρ3 az alakváltozási és forgási alakváltozási tenzor (tömören alakváltozási tenzorok). Az erőfeszültség és az erőpár feszültség tenzorokat (röviden a feszültségi tenzorokat) rendre tπρ és μν3 jelöli. A térfogaton megoszló erőés erőpárrendszer sűrűségét a bρ és c3 módon írjuk. Feltételezzük, hogy az alakváltozások és elmozdulások kicsik. A {t(kλ) } [t<κλ> ] a tκλ feszültségtenzor {szimmetrikus} [ferdeszimmetrikus] része. Ugyanilyen módon {γ(kλ) } [γ<κλ> ] a γκλ alakváltozási tenzor {szimmetrikus} [ferdeszimmetrikus] része. Primál rendszerben az alábbi egyenletek alkotják az első síkfeladat mezőegyenleteit: – Kinematikai egyenletek : κρ3 − ϕ3 ∂ρ = 0 ,

γπρ − uρ ∂π − ρπ3 ϕ3 = 0 . 59

(201)

60

7.1. A kitűzött feladat egyenletei – A Hooke törvény



ν γφφ δκλ + 2αγ κλ , tκλ = 2μ γ(κλ) + 1 − 2ν μ3ν = (γ − ε) κν3 . μν3 = (γ + ε) κν3 ,

(202) (203)

[Itt μ, α, γ, ν és ε anyagállandók, és μ > 0, γ + ε > 0, α > 0, ν ∈ (0,0.5)]. – Primál mérlegegyenletek, egyensúlyi egyenletek : ∂ν tνρ + bρ = 0,

∂ν μν3 + 3νρ tνρ + c3 = 0 .

(204)

A (201), (202) és (204) mezőegyenleteket ki kell egészíteni a tekintett feladat peremfeltételeivel. Az egyik lehetőség az, hogy a teljes peremen vagy az elmozdulásmezőt, vagypedig a feszültségvektort írjuk elő1. Második lehetőségként a vegyes peremérték feladatok egy osztályáról beszélünk akkor, ha a teljes peremgörbét páros számú ívekre bontjuk (többszörösen összefüggő tartomány esetén egy zárt peremgörbe is tekinthető ívnek), és az íveken felváltva, vagy az elmozdulásmezőt, vagypedig a feszültségvektort írjuk elő. A 14. ábrán vázolt esetben a {∂St = Lt = Lt1 ∪Lt3 ∪Lt5 }[∂Su = Lu = = Lu2 ∪ Lu4 ∪ Lu6 ] íveken a {feszültségvektor} [elmozdulásvektor] az előírt. Az előírt értékeket, összhangban az eddigiekkel, kalapos betűk jelölik. A fentieknek megfelelően ˆκ , uκ = u

ϕ3 = ϕˆ3 ,

x ∈ Lu

(205)

és nν μν3 = μ ˆ, x ∈ Lt (206) nν tνρ = tˆρ, az elmozdulásokra, illetve a feszültségekre vonatkozó peremfeltétel. 1. Megjegyzés: Ha fennállnak az anyagállandókra vonatkozó egyenlőtlenségek, akkor az alakváltozási energiasűrűség

 1 ν 2μ γ(κλ) + γφφ δκλ γ(κλ) + 2αγ<κλ> γ<κλ> + (207) e(γ11 , . . . , κ23 ) = 2 1 − 2ν  + (γ + ε)κρ3 κρ3 szigorúan pozitív mennyiség [52] feltéve, hogy legalább egy alakváltozási komponens zérustól eltérő. A mikropoláris rugalmasságtan duál rendszerében az alábbi egyenletek alkotják a mezőegyenleteket [46]: – Duál kinematikai egyenletek : o

tπρ = πμ3 ∂μ Fρ + tπρ , o

(208a) o

μν3 = νπ3 (∂π H + 3πρ Fρ ) + μν3 = νπ3 ∂π H − Fν + μν3 ,

(208b)

amelyek az önegyensúlyi tπρ és μν3 feszültségeket adják elsőrendű Fρ , H feszültségfüggo

o

vényekkel kifejezve. A képletekben tπρ és μν3 a primál egyensúlyi egyenletek partikuláris megoldásai. – A Hooke törvény inverz alakja: 1 1 ν t(κλ) + t κλ − tφφ δκλ , (209) γκλ = 2μ 2α 2μ 1 1 μν3 , μ3ν . κ3ν = (210) κν3 = γ +ε γ −ε – A kompatibilitási differenciál-egyenletek (duál mérlegegyenletek): E = 3πρ κρ3 ∂π = 0 ,

Dρ = 3νπ (γπρ ∂ν + πρ3 κν3 ) = 0 .

(211)

1A második esetben nem lehet tetszőleges a feszültségmező, hiszen az egyensúlyi követelményeknek eleget

kell, hogy tegyen a tartomány peremén működő terhelés.

7. A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre

61

2. Megjegyzés: Ha μ > 0, γ + ε > 0, α > 0 és ν ∈ (0,0.5), akkor a feszültségekkel felírt



1 1 1 1 t μρ3 μρ3 t − νtϕϕ tρρ + t<κλ> t<κλ> + (212) e(t11 , . . . , μ23 ) = 2 2μ (κλ) (κλ) 4α γ +ε alakváltozási energiasűrűség szigorúan pozitív feltéve, hogy legalább egy feszültségkoordináta zérustól különböző [52]. o

o

3. Megjegyzés: A feszültségeket adó (208a) és (208b) képletekben a tπρ és μν3 partikuláris megoldások az alábbi alakban írhatók fel: o tπρ

o

= ∂π pρ ,

μν3 = ν3η pη + ∂ν q .

Itt pρ = −bρ , q3 = c3 . Ezek az eredmények Schäffer [53] és Carlson [54] egymástól függetlenül kapott eredményei. 4. Megjegyzés: Az o

o

és

uρ = uρ + ε3πρ xπ ϕ3

o

(213)

ϕ3 = ϕ3 o

o

összefüggések a merevtestszerű mozgást értelmezik. A képletekben álló uρ az eltolódás és ϕ3 a merevtestszerű forgás. Ezek a mennyiségek állandók. A merevtestszerű mozgáshoz nem tartozik alakváltozás és feszültség sem. 5. Megjegyzés: A (208a) és (208b) képletek zérus feszültségeket adnak, ha o

Fρ = F ρ o

és

o

o

H = H − ε3πρ xπ F ρ ,

(214)

o

ahol F ρ és H tetszőleges konstansok. Az utóbbi feszültségfüggvények a merevtestszerű mozgás duál rendszerbeli analogonjainak tekinthetők, mivel nem tartozik hozzájuk feszültség, és így alakváltozás sem. 6. Megjegyzés: A (201) alatti primál kinematikai egyenletek megoldásai a (211) duál mérlegegyenleteknek. 7. Megjegyzés: Ha a kompatibilitási differenciál egyenletek, vagy ami ugyanaz, a duál mérlegegyenletek teljesülnek, akkor a γπρ és κν3 alakváltozások kompatibilisek egy egyszeresen összefüggő tartományon. Ez azt jelenti, hogy a primál kinematikai egyenleteknek a merevtestszerű mozgástól eltekintve csak egy megoldása van az uρ és ϕ3 elmozdulásmezőkre. A (208b), (210) és (211) mezőegyenleteket ki kell egészíteni a peremfeltételekkel. Mivel az elmozdulásmezők nem változói a duál rendszernek az Lu -t alkotó peremíveken dˆ uρ + τπ ρπ3 ϕ ˆ3 , s ∈ Lu , (215) τπ γπρ = ds dϕˆ3 , s ∈ Lu (216) τπ κπ3 = ds alakváltozási peremfeltételeket kell előírni [55]. Az alábbiak azt a kérdést vizsgálják, hogy előírható-e peremfeltétel közvetlenül a feszültségfüggvényekre. Ha figyelembe vesszük hogy az Lt íven előírt (206) peremfeltételekben a (208a) és (208b) képletekkel számítjuk a feszültségeket, akkor a ◦ dFρ , s ∈ Lt , (217) tˆρ − tρ = nπ πν3 (Fρ ∂ν ) = ds dH ◦ − nρ Fρ , s ∈ Lt (218) μ ˆ − μ = nπ πν3 (H∂ν + 3νρ Fρ ) = ds közönséges differenciál-egyenleteket kapjuk a feszültségfüggvények számítására a peremen az ott előírt terhelésekből. A képletekben ◦

tρ = nπ (∂π pρ ) ,

◦

μ = nν ( ν3η pη + ∂ν q) .

(219)

A (217) differenciálegyenlet szeparábilis. Jelölje Fˆρ a keresett megoldást. Nyilvánvaló, hogy  s   ◦ ˆ s ∈ Lti , i = 1,3,5 . (220) tˆρ (σ) − tρ (σ) dσ , Fρ (s) = Pti

62

7.2. Kiegészítő kompatibilitási feltételek Legyen Cρ (i = 1,3,5) integrációs állandó. Az (ti)

Fρ (s) =Fˆρ (s) + Cρ , (ti)

s ∈ Lti ,

(221)

i = 1,3,5

egyenlet ekvivalens a (217)-as peremfeltétellel. ˆ (s) a Továbbiakban legyen H d ˆ H − nρ Fˆρ ds differenciál-egyenlet egy megoldása. Mivel ez az egyenlet is szeparábilis, írhatjuk, hogy  s   ◦ ˆ ˆ μ ˆ(σ) − μ(σ) + nρ Fρ dσ . H= ◦

μ ˆ−μ =

(222)

(223)

Pti

A (218) és (222) egyenlet különbségét véve, és kihasználva emellett a (221) összefüggést, az alábbi differenciál-egyenletet írható fel: d ˆ − n ρ Cρ = 0 . (H − H) ds Az utóbbi egyenlet alapján kapjuk, hogy ˆ (s) + C − ε3κρ [xκ (s) − xκ (Pti )] Cρ , H (s) = H (ti)

(ti)

s ∈ Lti ,

i = 1,3,5

(224)

alakú a H (s) feszültségfüggvénnyel kapcsolatos peremfeltétel. A képletben álló C további integ(ti)

rációs állandó. A fentebb mondottak azt jelentik, hogy egy terhelt peremívhez összesen két (egy vektor értékű és egy skalár) integrációs állandó tartozik. 7.2. Kiegészítő kompatibilitási feltételek Többszörösen összefüggő tartomány esetén az elmozdulásmezők kompatibilitásához a kompatibilitási differenciálegyenletek mellett fenn kell állniuk a kompatibilitás ún. makró feltételeinek is. Ezeket a feltételeket a teljes kiegészítő energia maximumának elvéből származtatjuk. Amint az köztudott a teljes kiegészítő energia funkcionált az   1 (tπρ γπρ + μν3 κν3 ) dA + (nπ tπρ u ˆρ + nν μν3 ϕˆ3 ) ds (225) K =− 2 Lu A

összefüggés értelmezi. A probléma megoldásához a szélsőérték fennállásához szükséges   (nπ δtπρ u ˆρ + nν δμν3 ϕ ˆ3 ) ds = 0 δK = − (γπρ δtπρ + κν3 δμν3 ) dA +

(226)

Lu

A

feltételből indulunk ki. Az első variáció eltűnése elvben biztosítja a γπρ és κν3 alakváltozásmezők kinematikailag lehetséges voltát (vagyis a kompatibilitás fennállását is). A (225) funkcionálban a tκλ és μν3 feszültségmezők statikailag lehetségesek kell, hogy legyenek (teljesíteniük kell a a (204) egyensúlyi egyenleteket és a (206) feszültségi peremfeltételeket). A γπρ és κν3 alakváltozásmezőket a Hooke törvény felhasználásával kapjuk a tκλ és μν3 feszültségmezőkből (ezek is statikailag lehetségesek). A mondottakból következik, hogy a feszültségek variációi nem lehetnek tetszőlegesek, hanem ki kell elégíteniük a ∂π δtπρ = 0 , nπ δtπρ = 0 ,

∂ν δμν3 + 3νρ δtνρ = 0 , nν δμν3 = 0 ,

x ∈ A+ ,

(227)

s ∈ Lt

(228)

mellékfeltételeket. Akkor teljesülnek a (227) és (228) mellékfeltételek, ha a feszültségek δtπρ és δμν3 variációit a (221) és (224) képletek alapján feszültségfüggvények variációival írjuk fel (a

7. A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre

63

kalapos mennyiségek variációi zérus értékűek, de az integrációs állandókat variálni kell): δtπρ = πμ3 ∂μ δFρ ,

δμν3 = νπ3 (∂π δH + 3πρ δFρ ) ,

δFρ (s) =δCρ , (ti)

s ∈ Lti ,

i = 1,3,5 ,

ˆ (s) + δC − ε3κρ [xκ (s) − xκ (Pti )] δCρ , δH (s) = δH (ti)

x ∈ A+ ,

i = 1,3,5 ,

(ti)

(229) (230)

s ∈ Lti .

(231)

Behelyettesítve a (229) és (230) összefüggéseket a (226) extremum feltételbe, majd alkalmazva a Green tételt, az alábbiak szerint módosul a teljes kiegészítő energia függvény első variációja: (232)

δK = δKA + δKL + δKu = 0, 

ahol δKA = − és

A

[D ρ δFρ + E δH] dA = 0

(233)

 δKL =  δKu =

Lu ∪Lt Lu

(234)

(nμ μπ3 γπρ δFρ + nπ πν3 κν3 δH) ds ,

[nπ πμ3 δFρ ∂μ u ˆρ + nν ενψ3 (δH∂ψ + 3ψρ δFρ ) ϕ ˆ3 ] ds .

(235)

A δKL + δKu vonalintegrál összeg végleges alakja az alábbi megfontolások alapján számítható: – nπ επμ3 = τμ és L = Lu ∪ Lt ; – az Lt íven a (230) és (231) képletek adják a feszültségfüggvények variációit; – az L peremgörbén mindenütt folytonosak a feszültségfüggvények variációi, azaz a Pt1 , Pt2 , Pt3 és Pt4 határpontokban is ; – a vonalintegrál összeg végleges alakjának előállítása a fentiek mellett a δKu integrál az Lu és Lt ívek részein vett integrálokra történő felbontását, a feszültségfüggvények variációi folytonosságának felhasználását, és a variációk deriváltjainak parciális intgrálásokkal történő eltávolítását igényli. Elhagyva a formális átalakítások lépéseit kapjuk, hogy

= +

δKL + δKu =     dˆ uρ dϕˆ3 − τπ ρπ3 ϕˆ3 δFρ ds + δHds+ τπ γπρ − τπ κπ3 − ds ds Lu  τπ κπ3 ds δ C + τπ [γπρ − κπ3 ρ3σ (xσ − xσ (Pt5 ))] ds δCψ +



 Lu

Lt5

(t5)

+ +

*  Lti

i=1,3

Lt5

*  i=1,3

Lti

P

(236)

(t5)



τπ κπ3 ds − ϕ ˆ3 | Pt,i+1 δ C+ ti (ti)

 P τπ [γπρ − κπ3 ρ3σ (xσ − xσ (Pt5 ))] ds − u ˆρ |Pt,i+1 + ϕ ˆ (x (P ) − x (P )) δCρ . 3 ρ3σ σ t,i+1 σ ti ti (ti)

Mivel valamennyi variáció tetszőleges, a (233) és (236) képletekben a δK = 0 extremum feltételből az alábbi egyenletek teljesülése következik : 1. Az Ai tartományon vett kompatibilitási feltételek : E (x) = 0 ,

Dρ (x) = 0 .

2. Az Lu ívre vonatkozó alakváltozási peremfeltételek : dˆ uρ dϕˆ3 − τπ ρπ3 ϕ =0. ˆ3 = 0 , τπ κπ3 − τπ γπρ − ds ds 3. Az Lt5 görbére vonatkozó nagybani kompatibilitási feltételek :   τπ [γπρ − κπ3 ρ3σ (xσ − xσ (Pt5 ))] ds = 0 , τπ κπ3 ds = 0 . Lt5

Lt5

(237)

(238)

(239)

64

7.3. Alapegyenletek 4. Az Lti ívekre vonatkozó kiegészítő kompatibilitási feltételek :  P τπ [γπρ − κπ3 ρ3σ (xσ − xσ (Pt5 ))] ds −ˆ uρ |Pt,i+1 + ti

(240)

Lti

+ϕ ˆ3 ρ3σ (xσ (Pt,i+1 ) − xσ (Pti )) = 0 ,



i = 1,3 ,

P

Lti

τπ κπ3 ds − ϕ ˆ3 | Pt,i+1 =0. ti

(241)

A nagybani kompatibilitási feltételek és a kiegészítő kompatibilitási feltételek összességet nevezzük a kompatibilitás makró feltételeinek. Egy terhelt ívhez két makro kompatibilitási feltétel tartozik. 8. Megjegyzés: Megmutatható, hogy a háromszor két makro kompatibilitási feltétel közül csak kétszer kettő – ezek közül mondjuk a (239) nagybani kompatibilitási feltételkettős az egyik, a két (i értéke vagy 1, vagypedig 3) kiegészítő kompatibilitási feltételkettős (képletszámok : (240) és (241)) valamelyike pedig a másik – független egymástól2. A feszültségfüggvényekkel kapcsolatos peremfeltételekben szereplő háromszor két integrációs állandó közül egy kettős, mondjuk a C ρ = 0 és

(t1)

C =0

(t1)

zérusnak választható, mivel az állandó feszültségfüggvényekhez nem tartozik feszültség. Ily módon ugyanannyi a határozatlan integrációs állandók száma, mint amennyi makro kompatibilitási feltételünk van. 7.3. Alapegyenletek Jelen szakaszban és a továbbiakban feltételezzük, hogy nincs tartományi terhelés. A (208a) duál kinematikai egyenletek (209) Hooke törvénybe történő helyettesítése után írjuk be az eredményt (az alakváltozások feszültségfüggvényekkel felírt alakjait) a (211) kompatibilitási egyenletekbe. Ily módon kapjuk a     1 1 ν 1−ν 1 1 1 1 + ∂1 ∂1 − ∂2 ∂2 + F1 + − − ∂1 ∂2 F2 − ∂2 H = 0, (242) − 4μ 4α 2μ γ +ε 4μ 4α 2μ γ +ε     1 ν 1 1 1−ν 1 1 1 − − ∂2 ∂1 F1 + − + ∂2 ∂2 − ∂1 ∂1 + F2 + ∂1 H = 0, (243) 4μ 4α 2μ 4μ 4α 2μ γ +ε γ +ε 1 1 1 ∂2 F1 − ∂1 F2 − ΔH = 0 (244) γ +ε γ +ε γ +ε alapegyenleteket. Az Lu görbe mentén előírható (az alakváltozási peremfeltételek baloldalán megjelenő) mennyiségek a (215) képlet alapján feszültségfüggvényekkel fejezhetők ki:    1 1−ν 1 τ1 ∂2 − + τ2 ∂1 F1 + τ1 γ11 + τ2 γ21 = 2μ 4μ 4α   1 ν 1 − τ2 ∂2 + τ1 ∂1 F2 , (245) + 4μ 4α 2μ  τ1 γ12 + τ2 γ22 =

1 1 − 4α 4μ



 ν τ1 ∂1 − τ2 ∂2 F1 + 2μ

 +

1 1 + 4μ 4α



 1−ν τ1 ∂2 − τ2 ∂1 F2 , (246) 2μ

1 (−τ1 F1 − τ2 F2 + τ1 ∂2 H−τ2 ∂1 H) . γ +ε Az utóbbi képletekre később, a másodrendű alapmegoldás előállítása során lesz szükség. τ1 κ13 + τ2 κ23 =

2Ezen állítás igazolása az [50] értekezés függelékének A.7 pontján alapul, itt nem közöljük.

(247)

7. A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre

65

Legyenek

(γ + ε)(1 − ν) (γ + ε)(α + μ) és a= (248) 4μα 2μ új konstansok. Nyílvánvaló, hogy – lásd a jelen fejezet 2. Megjegyzését a 61. o.-on – l2 > 0 és a> 0. Ha megszorozzuk a (242) ... (244) egyenletek mindkét oldalát γ +ε-nal és elvégzünk néhány egyszerű átalakítást, akkor a l2 =

(1 − l2 Δ)F1 + (l2 − a)(F1 ∂2 − F2 ∂1 )∂2 − ∂2 H = 0 ,

(249)

(l2 − a)(F2 ∂1 − F1 ∂2 )∂1 + (1 − l2 Δ)F2 + ∂1 H = 0 ,

(250)

∂2 F1 − ∂1 F2 − ΔH = 0

(251)

alakban kapjuk a duál rendszerbeli alapegyenleteket. Mátrix jelölésekre térve át írhatjuk, hogy Dlk uk = 0 , ⎤ 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂2 ∂2 −(l2 − a)∂1 ∂2 −∂2 −(l2 − a)∂1 ∂2 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂1 ∂1 ∂1 ⎦ Dlk = ⎣ ∂2 −∂1 −Δ a vonatkozó differenciál operátor és

(252)

⎡

ahol

uk = (F1 | F2 | H)

(253)

(254)

az ismeretlen vektor (feszültségfüggvény vektor vagy más néven duál elmozdulás vektor). 9. Megjegyzés: Megmutatható, hogy a (252) differenciál egyenletrendszer elliptikus, ha az anyagállandók teljesítik a vonatkozó kikötéseket – lásd a 2. Megjegyzést a 61. oldalon. 7.4. Elsőrendű alapmegoldás Legyen Dkj a mátrixnak tekintett Djk operátor kofaktor mátrixa: [Dkl ] = ⎤  ⎡  −(l2 − a)Δ∂1 ∂2 + ∂1 ∂2 (1 − l2 Δ)∂2 − 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂12 Δ + ∂12  =⎣ −(l2 − a)Δ∂2 ∂1 + ∂2 ∂1 − 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂22 Δ + ∂22 −(1 − l2 Δ)∂1 ⎦ . −(1 − l2 Δ)∂2 (1 − l2 Δ)∂1 (1 − l2 Δ)(1 − aΔ) (255) Nyilvánvaló, hogy Dik Dkl = Dik Dkl = det(Djl ) δil ,

(256)

ahol

(257) det(Djl ) = a(1 − l2 Δ)ΔΔ . Legyen χl új ismeretlen [14], [13] és tételezzük fel, hogy az uk vektort a χl ún. Galjorkin függvényekkel a (258) uk = Dkl χl alakban állítjuk elő. Az utóbbi képlet (252) egyenletbe történő visszahelyettesítésének Dik uk = Dik Dkl χl = det(Djl )χi = 0

(259)

az eredménye. Eszerint a χl függvény ugyannak a differenciál-egyenletnek köteles eleget tenni: megszűnik az új χl változó bevezetése révén az egyenletek csatolása. Legyen Q(ξ1 , ξ2 ) és M (x1 , x2 ) az alakváltozási sík két különböző pontja (forráspont és hatáspont). Legyen továbbá e háromelemű oszlopmátrix, melynek elemeit ei jelöli. Átmenetileg feltesszük, hogy a Q pont rögzített. A Q és M pontok távolságát R, az M pontból a Q pontba mutató vektor rκ jelöli. A (260) Dlk uk + (γ + ε)δ(M − Q)el = 0 differenciál-egyenlet teljes síkra vonatkozó megoldását elsőrendű alapmegoldásnak nevezzük. Nyilvánvaló az előbb elmondottak alapján – lásd (257), (258) és (260) – hogy az alapmegoldást a χl Galjorkin függvényre vonatkozó Dik uk + (γ + ε)δ(M − Q)ei = a(1 − l2 Δ)ΔΔχi + (γ + ε)δ(M − Q)ei = 0

(261)

66

7.4. Elsőrendű alapmegoldás

differenciál-egyenlet megoldásából kapjuk meg a (258) összefüggés felhasználásával. Legyenek γ +ε al2 új konstansok. Ezekkel az állandókkal a (261) differenciálegyenlet

ΔΔ Δ − k 2 χi = aδ(M − Q)ei k2 =

1 l2

és

a=

(262)

(263)

alakú. Következésképp  a  2 2 (264) k R ln R + 4 ln R + 4Ko (kR) 4 8πk a Galjorkin függvényre vonatkozó megoldás, – lásd [42], [56, 191 o.], [57] – ahol Ko a nulladrendű módosított Bessel függvény. Amint köztudott [58] χi (M, Q) = χ(R)ei ,

χ(R) = −

(kR)4 (kR)2 ln(kR) − ln(kR) − . . . , 4 64 kR (kR)3 1 + ln(kR) + ln(kR) + . . . K1 (kR) = kR 2 16

Ko (kR) = − ln(kR) −

és

(265)



 π −kR π −kR e e +. . . , K1 (kR) = +. . . . (266) Ko (kR) = 2kR 2kR az említett függvények aszimptotikus előállítása, ha R → 0 és R → ∞. Emellett  1 d2 K0 (kR) dK1 (kR) K1 (kR) dKo (kR) = −kK1 (kR) , =− + K0 (kR) . (267) = −k dR dR k dR2 kR A képletek áttekinthetőbbé tétele érdekében vezessük be a E(kR) = (K1 (kR) − 1/(kR)) /(kR)

D(kR) = Ko (kR) + 2 (K1 (kR) − 1/(kR)) /(kR) (268) jelöléseket. A (265) összefüggések felhasználásával kapjuk E(kR) és D(kR) aszimptotikus előállításait: 1 (kR)2 lim D(kR) = − ln(kR) . (269) lim E(kR) = ln(kR) , R→0 R→0 2 8 Figyelembe véve a (267) és (268) képleteket nem nehéz ellenőrizni az és

D(kR) dD(kR) 2 dE(kR) =− és = −kK1 (kR) − D(kR) dR R dR R összefüggések helyességét. Deriválásokkal igazolható, hogy fennállnak az alábbi összefüggések is :   M M M δαβ R2 − rα rβ d rα d ∂2 1 d2 , ∂α∂β = , ∂α = = 2 rα rβ 2 + R dR ∂xα ∂xβ R dR R dR  

M ∂χ a 4krα 1 2 K1 (kR) − = ∂ αχ = =− k rα (2 ln R + 1) − ∂xα 8πk4 R kR 

4krα a kRE(kR) , k2 rα (2 ln R + 1) − =− 4 8πk R

  M M δαβ R2 + 2rα rβ ∂2χ a 2 ∂ α ∂ βχ = = k 2δαβ ln R + − ∂xα ∂xβ 8πk4 R2     4k2 rα rβ 1 4k  2 + K0 (kR) , − 3 R δαβ − 2rα rβ K1 (kR) − R kR R2 a a rα E(kR) , [ln R + K0 (kR) + 1] , ∂α Δχ = Δχ = − 2 2πk 2π   rα rβ a a δαβ E(kR) − 2 D(kR) , ΔΔχ = − K0 (kR) . ∂α ∂β Δχ = 2π R 2π

(270)

(271)

7. A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre

67

A (255), (258) és (264) összefüggések egybevetése alapján felírható u1 = e1 D11 χ + e2 D12 χ + e3 D13 χ =          U11

U21

U31

0   1   0 1 = e1 − 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂12 Δ + ∂12 χ + e2 −(l2 − a)Δ∂1 ∂2 + ∂1 ∂2 χ + e3 (1 − l2 Δ)∂2 χ , (272a) u2 = e1 D21 χ + e2 D22 χ + e3 D23 χ =          U12



U22

U32

 0   1 = e1 −(l − a)Δ∂2 ∂1 + ∂2 ∂1 χ + e2 − 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂12 Δ + ∂22 χ − e3 (1 − l2 Δ)∂1 χ , (272b) 2

u3 = e1 D31 χ + e2 D32 χ + e3 D33 χ =          U13

U23

U33

1 1 0 = e1 −(1 − l2 Δ)∂2 χ + e2 (1 − l2 Δ)∂1 χ + e3 (1 − l2 Δ)(1 − aΔ) χ (272c) 0

képletek adják a keresett uk -t. Ellenőrizhető a (267) és (271) alatti deriváltak, valamint a (265) aszimptotikus előállítások felhasználásával, hogy a (272a,b,c) képletekben álló ΔΔχ, Δ∂ 2 χ/∂xα ∂xβ , Δ∂χ/∂xα Δχ, ∂ 2 χ/∂xα ∂xβ mennyiségek közül csak ΔΔχ és Δ∂ 2 χ/∂xα ∂xβ szinguláris, ha R → 0: a a ln R , Δ∂ 2 χ/∂xα ∂xβ = δαβ ln R , (273) ΔΔχ = 2π 2π A (272a,b,c) képletek szerint (274) uk = el (Q)Ulk (M, Q) alakú a (260) differenciál-egyenlet megoldása. Az ul vektor valójában a Q pontbeli ek = ek (Q) inkompatibilitás hatására létrejövő feszültségfüggvény az M = Q pontban. A (274) képletben álló Ukl (M, Q) mátrixot alapmegoldásnak nevezzük. Ennek elemeit, nem részletezve a vonatkozó számításokat, az  

  rα rβ 1 3 a 1 2 2 ln R + + ak E(kR) − 2 + ak D(kr) , (275a) δαβ Uαβ (M, Q) = 2πk2 2 4 R 2  1 a 1 (α) ln R + , Uα3 (M, Q) = −U3α (M, Q) , (−1) r3−α (275b) U3α (M, Q) = 2πk2 2 4  

a 1 1 2 R ln R − 2 + a − a ln R (275c) U33 (M, Q) = − 2 2πk 4 k összefüggések szolgáltatják. (A zárójelpárban álló α, bár kettőzött, de nem összegező, hanem a zárójelpáron kívül álló α-val megegyező szabad index.) 10. Megjegyzés: Az Ukl (M, Q) alapmegoldás eleget tesz az Ukl (M, Q) = Ukl (Q, M ) ,

Uαβ (M, Q) = Uβα (M, Q) ,

U3α (M, Q) = −Uα3 (M, Q)

(276)

szimmetriafeltételnek. 11. Megjegyzés: Az Ukl (M, Q) alapmegoldás [sorai]{oszlopai}, mint 3 dimenziós vektorok, [az M ]{a Q} pontot tekintve változónak (futópontnak) {a Q}[az M ] pontot pedig rögzítettnek gondolva kielégítik a (252) alapegyenletet. 12. Megjegyzés: Felhasználva a (269) képletet, valamint a (248) és (262) összefüggésekkel értelmezett állandókat, az Ukl (M, Q) szinguláris és nem szinguláris részek összegére bontható: S

N

Ukl (M, Q) = Ukl (M, Q) + Ukl (M, Q) . Itt

(277)

⎡

⎤ b 0 0 1 ⎣ 0 b 0 ⎦ ln R, Ukl (M, Q) = 2π 0 0 d S

b=

μ 2αμ + , 1−ν α+μ

d = γ +ε ,

(278)

68

7.5. Másodrendű alapmegoldás N

míg Ukl (M, Q)-t a (277) és (278) értelmezi.

7.5. Másodrendű alapmegoldás 7.5.1. Feszültségek számítása az elsőrendű alapmegoldásból. Ha nincs tartományi teher, akkor a (208a) és (208b) képletekben zérus értékűek a o

tπρ

és

o

μν3

partikuláris megoldások. Tekintettel a (274) összefüggésre helyettesítsük a (274) egyenlettel adott feszültségfüggvényeket, kihasználva eközben a (275a), (275b) és (275c) képleteket, az erőfeszültségeket adó (208a) képletbe. Ha a helyettesítés után elvégezzük a (267) és (270) formulák felhasználásával az előírt deriválásokat, akkor a

rα rβ rρ  a 1 1 − δ r − δ r − δ r + 2 tπα (M, Q) = πρ ρ αρ α αβ β βρ 2πk2 R2 2 R2 /  rα rβ rρ  2 rα rβ rρ −ak 2 δαβ rρ + δαρ rβ + δβρ rα − 4 kK (kR) eβ (Q)+ D(kR) + ak 1 2 R   R  1 r3−α rρ 1 a ln R + + πρ (−1)(α) δ3−α,ρ e3 (Q) + 2πk2 2 4 2R2

(279)

összefüggés adódik az erőfeszültségekre. Hasonló gondolatmenettel adódnak a (208b) egyenletből az erőpár-feszültségek :

   r3−β rρ 1 1 (β) ln R + + (−1) πρ δ3−β,ρ eβ (Q)+ 2 4 2R2    1 rρ 1 ln R + − a 2 e3 (Q)+ + πρ rρ 2 4 R    

rπ rβ 1 3 1 2 2 ln R + + ak E(kR) − 2 + ak D(kR) eβ (Q)+ + δπβ 2 4 R 2   1 1 (π) ln R + e3 (Q) . + (−1) r3−π 2 4

a μπ3 (M, Q) = − 2πk2

(280)

A fenti egyenletben πρ a síkbeli permutációs szimbólum, ( 12 = 1, 21 = −1, 11 = 22 = 0), a zárójelpárba helyezett (β) kitevő megegyezik a β összegező index-el, és végül a zárójelpárba helyezett (α) megegyezik az α szabad index-el.

7.5.2. Alakváltozások számítása az elsőrendű alapmegoldásból. Az erőfeszültségek és erőpárfeszültségek ismeretében a (209) és (210) Hooke törvényből kapjuk a γκλ alakváltozási tenzort és a κν3 görbületi-alakváltozási tenzort: C = a/4πμk2 R2 , γ11 = C G 11k (M, Q)ek (Q) ,    1 r12 r2 r12 r2 r 2 r2 2 (1 − 2ν)r2 + 2 2 − ak r2 − 4 2 D(kR) + ak2 1 kK1 (kR) , G111 = 2 R R R    2 2 1 r1 r r1 r r1 r 2 G112 = − (1 − 2ν)r1 − 2 22 − ak2 r1 − 4 22 D(kR) + ak2 2 kK1 (kR) , 2 R R R 2G113 = −(1 − 2ν)R2 (ln R + 0.5) + νR2 − r22 ,

(281) (282) (283) (284)

7. A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre

G121 G211 G122 G212

69

γ12 = C G 12k (M, Q)ek (Q)/2 , γ21 = C G 21k (M, Q)ek (Q)/2 , (285)   2 2 2 2 μ r − r1 r −r kK1 (kR) ± ak2 r1 RkK1 (kR) , = r1 + 2ak2 1 + 2 2 2 1 D(kR) + ak2 2 R R α (286)   2  μ r 2 − r12 r − r2 r2 − r2 kK1 (kR) ± ak2 r2 RkK1 (kR) , = r2 2 2 1 − 2ak2 1 − 2 2 2 1 D(kR) + ak2 2 R R R α (287) 

r22 − r12 R2

G123 = G213 = r1 r2 ,

(288)

γ22 = C G 22k (M, Q)ek (Q) ,   1 r12 r2 r12 r2 r 2 r2 2 (1 − 2ν)r2 − 2 2 + ak r2 − 4 2 D(kR) − ak2 1 kK1 (kR) , G221 = 2 R R R    2 2 1 r1 r r1 r r1 r 2 G222 = − (1 − 2ν)r1 + 2 22 + ak2 r1 − 4 22 D(kR) − ak2 2 kK1 (kR) , 2 R R R 

2G223 = −(1 − 2ν)R2 (ln R + 0.5) + νR2 − r12 , a 1 K13k (M, Q)ek (Q) , 2 2πk γ + ε   r1 r2 r12 2 K132 = 2 ak2 D(kR) , K131 = −ak E(kr) − 2 D(kR) , R R

r1 r2 2 ak D(kR) , R2

(291)

(293) K133 = a

r2 , R2

(294)

(295)

κ23 = K231 =

(290)

(292)

κ13 =

a 1 K23k (M, Q)ek (Q) , 2πk2 γ + ε   r22 2 K232 = −ak E(kr) − 2 D(kR) , R

(289)

K233 = −a

r1 . R2

(296)

7.5.3. A másodrendű alapmegoldás értelmezése és számítása. Az ún. duál feszültségeket a és t3 = τ1 κ13 + τ2 κ23 (297) tλ = τ1 γ1λ + τ2 γ2λ képletek értelmezik – vegyük észre, hogy a fenti mennyiségek jelennek meg a (215) és alakváltozási peremfeltételek jobb oldalain. Legyen továbbá      2 2 2 r r r 1 ρ ρ ρ (1 − 2ν) − (−1)(ρ) 2 2 + (−1)(ρ) ak2 1 − 4 2 D(kR) − kK1 (kR) , Φρ1 = 2 R R R      2 2 2 r r r 1 ρ ρ ρ (1 − 2ν) + (−1)(ρ) 2 2 − (−1)(ρ) ak2 1 − 4 2 D(kR) − kK1 (kR) , Φρ2 = 2 R R R  2 1 R2 r3−κ 2 1 ln R + −ν + , Φ3κ = (1 − 2ν)R 2 4 2 2

  2 2 2 2 1 r22 − r12 (ρ) 2 (ρ) r2 − r1 2 r2 − r1 kK1 (kR) + − (−1) 2ak 1 − (−1) 2 D(kR) + ak Ψρκ = 2 R2 R2 R μ +(−1)(κ) ak2 RkK1 (kR) ,   2α2 2 Kρ3 = −ak R E(kR) − rρ2 D(kR) , 2

Ψ13 = Ψ23 = r1 r2 ak D(kR) .

(216)

(298) (299) (300) (301)

(302) (303)

Felhasználva a (298),...,(303) összefüggéseket, valamint a (281),...,(296) képleteket a duál feszültségvektort értelmező (297) képletekből kapjuk, hogy tk = el (Q)Tlk (M◦ , Q) ,

(304)

70

7.5. Másodrendű alapmegoldás

ahol 1 × 2π(1 − ν)R2 2μ (−n2 K13 + n1 Ψ13 ) n1 r2 Φ12 − n2 r1 Ψ12 (γ + ε) 2μ (−n1 K23 + n2 Ψ23 ) −n1 r1 Φ22 − n2 r2 Ψ22 − (γ + ε) 1 2μ a (n1 r1 + n2 r2 ) −n1 Φ32 − n2 r1 r2 − 2 (γ + ε)

Tlk (M◦ , Q) = ⎡

−n2 r2 Φ11 + n1 r1 Ψ11 ⎢ ⎢ ⎢ × ⎢ n2 r1 Φ21 + n1 r2 Ψ21 ⎢ ⎣ 1 n2 Φ31 + n1 r1 r2 2

(305) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

A fenti összefüggés az el = el (Q) inkompatibilitás hatására ébredő tl duál feszültségek számításának formulája a perem nl = nl (Mo ) normálisú Mo pontjában. 13. Megjegyzés: A Tlk (M◦ , Q) mátrix a másodrendű alapmegoldások mátrixa. 14. Megjegyzés: A Tlk (M◦ , Q) mátrix két részre bontható: S

N

Tlk (M◦ , Q) = Tlk (M◦ , Q) + Tlk (M◦ , Q), ahol

⎡ ⎢ ∂ ln R ⎢ ∂n o ⎢ M ⎢ S 1 ⎢ ⎢ ∂ ln R Tlk (M◦ , Q) = − ⎢ −g 2π ⎢ ∂s o ⎢ M ⎢ ⎢ ⎣ 0

(306a)

⎤ ∂ ln R g ∂s o

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂ ln R ⎥ ⎦ ∂n o 0

M

∂ ln R ∂n o M

0

és g =

2μ 1 − . 2(1 − ν) α + μ

(306b)

M

N

S

o

A képletben álló Tkl (M, Q) mátrix szingularitása enyhébb, mint a Tkl (M , Q) mátrix szingularitása. A fenti állítás a következőképpen látható be: Vegyük figyelembe, hogy a (245) képletekből, feltéve hogy az elsőrendű alapmegoldásból származtatjuk az F1 , F2 és H feszültségfüggvényeket, a duál feszültségekre a

t1 = e1 

+ e2 

+ e3 



τ1 [(1 − ν)(D11 ∂2 χ) + ν(D21 ∂1 χ)] + τ2 2μ τ1 [(1 − ν)(D12 ∂2 χ) + ν(D22 ∂1 χ)] + τ2 2μ

τ1 [(1 − ν)(D13 ∂2 χ) + ν(D23 ∂1 χ)] + τ2 2μ





1 1 − 4μ 4α  T11

1 1 − 4μ 4α  T21

1 1 − 4μ 4α 







(D21 ∂2 χ) −

1 1 + 4μ 4α



1 1 + (D22 ∂2 χ) − 4μ 4α 

1 1 + (D23 ∂2 χ) − 4μ 4α

T31





 (D11 ∂1 χ) + 



 (D12 ∂1 χ) + 

 , (307a) (D13 ∂1 χ) 

 

 1 1 1 1 τ2 [(1 − ν)(D21 ∂1 χ) + ν(D11 ∂2 χ)] + τ1 − + t2 = e1 − (D21 ∂2 χ) − (D11 ∂1 χ) + 2μ 4μ 4α 4μ 4α    T12

 

 1 1 1 1 τ2 + e2 − [(1 − ν)(D22 ∂1 χ) + ν(D12 ∂2 χ)] + τ1 − + (D22 ∂2 χ) − − (D12 ∂1 χ) + 2μ 4μ 4α 4μ 4α   

+ e3 

T22

τ2 [(1 − ν)(D23 ∂1 χ) + ν(D13 ∂2 χ)] + τ1 − 2μ



1 1 − 4μ 4α  T32



(D23 ∂2 χ) − −

1 1 + 4μ 4α



 , (D13 ∂1 χ)  (307b)

7. A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre t3 = e1

71

1 {τ1 [(D31 ∂2 χ) − (D11 χ)] + τ2 [(−D31 ∂1 χ) − (D21 χ)]}+ γ +ε    T13

+ e2

1 {τ1 [(D32 ∂2 χ) − (D12 χ)] + τ2 [(−D32 ∂1 χ) − (D22 χ)]}+ γ +ε    T23

1 {τ1 [(D33 ∂2 χ) − (D13 χ)] + τ2 [(−D33 ∂1 χ) − (D23 χ)]} (307c) + e3 γ +ε    T33

összefüggéseket kapjuk. Vegyük észre, hogy a fenti összefüggésekből közvetlenül a χ segítségével számíthatók a másodrendű alapmegoldás elemei. Az alábbiakban egy főátlóbeli (ez a T11 ), és egy azon kívül álló (ez a T12 ) esetre tekintjük át a magasabb szingularitású rész elkülönítését. A számítások során első lépésben helyettesítjük a χ deriváltjait a (271) képletek alapján. Ezt követően csak azokat a tagokat tartjuk meg a (273) képlet kapcsán mondottak figyelembevételével, amelyek a szingularitáshordozó ln R valamelyik első deriváltját tartalmazzák, megjegyezve, hogy egy tag nemszinguláris voltának felismerése adott esetben deriválási sorrendcseréket igényel. Végezetül felhasználjuk a bevezetett állandók közötti (248) és (262) összefüggéseket is. A fenti gondolatmenettel S

T11 =

   1 1 1 1 τ1 [(1 − ν)(D11 ∂2 χ) + ν(D21 ∂1 χ)] + τ2 − + (D21 ∂2 χ) − (D11 ∂1 χ) = 2μ 4μ 4α 4μ 4α ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨



 ⎬  τ1 = (1 − ν) − 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂12 Δ + ∂12 ∂2 χ + ν −(l2 − a)Δ∂2 ∂1 + ∂2 ∂1 ∂1 χ + 2μ ⎪  ⎪  ⎭ ⎩ nem szinguláris

⎡ ⎤  ⎢ 1 ⎥



 1 1  2 1  ⎢ ⎥ − + −(l − a)Δ∂2 ∂1 + ∂2 ∂1 ∂2 χ) − − 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂12 Δ + ∂12 ∂1 χ⎥  + τ2 ⎢ 4μ 4α ⎣ 4μ 4α ⎦    nem szinguláris

 

 1 1 1  τ1 0 + (1 − ν)l2 ΔΔ∂2 χ − τ2  − 1 − l2 ∂12 − l2 ∂22 + (l2 − a)∂12 Δ + ∂12 ∂1 χ  2μ 4μ 4α 

1 1 n2 + aΔ ∂12 + ∂22 ∂1 χ =  − (1 − ν)l2 ΔΔ∂2 χ − n1 2μ 4μ 4α 2 (1 − ν)al 1 1 α+μ 1 1 ∂ ln R ∂2 ln R − n1 aa ∂2 ln R = − = −n2 2μ 2π 4μ α 2π 2π ∂n o M       =1

=1

a T11 átalakítása. Hasonló módon kapjuk, hogy

   1 1 1 1 τ2 [(1 − ν)(D21 ∂1 χ) + ν(D11 ∂2 χ)] + τ1 − + T12 = − (D21 ∂2 χ) − (D11 ∂1 χ) = 2μ 4μ 4α 4μ 4α



  1 τ2 0 (1 − ν) (l2 − a)Δ∂1 ∂2 − ∂1 ∂2 ∂1 χ + ν 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂22 Δ − ∂12 ∂2 χ + =− 2μ    



1 1 1  1 2 2 2 2 2 − + + τ1 − 1 − l Δ + (l − a)∂1 Δ − ∂1 ∂1 χ + (l − a)Δ∂1 ∂2 − ∂1 ∂2 ∂2 χ  4μ 4α 4μ 4α 1

 τ1  τ2 0  2ανl2 ∂22 ∂2 χ + (α − μ) l2 ∂22 + a∂12 Δ + (α + μ) (l2 − a)Δ∂22 ∂1 χ  4μα 4μα 1

 τ2 0 τ1  2 2 2 2ανl Δ∂2 − 2μaΔ∂1 ∂2 χ + (α − μ) l2 Δ∂22 + aΔ∂12 + (α + μ) (l2 − a)Δ∂22 ∂1 χ =  4μα 4μα 1

 1 a 0 1 a  2 2 2 2ανl ∂2 − 2μa∂1 Δ τ2 ∂2 ln R + (α − μ) l2 + a + (α + μ) (l2 − a) τ1 ∂1 ln R = 4π 4μα 4π 4μα     1 1 1 2μ 1 2μ ∂ ln R = . − (τ2 ∂2 + τ1 ∂1 ) ln R = − 2π 2(1 − ν) α + μ 2π 2(1 − ν) α + μ ∂s o S

M

A többi esetben ugyanígy kell eljárni.

8. FEJEZET

Duál Somigliana formulák belső tartományra mikropoláris esetre 8.1. A duál Somigliana-féle azonosság A továbbiakban feltételezzük, hogy a 15. ábrán vázolt végesben fekvő egyszeresen összefüggő Ai tartomány a vizsgálat tárgya. Az Lo kontúr páros számú ívre bontott, melyeken vagylagosan elmozdulások vagy feszültségek (illetve feszültségfüggvények) az előírtak. Jelen esetben az Lo peremgörbe négy ívre bontott, de ez a körülmény nem játszik szerepet majd az átalakítások során.

Lt3

Pt4 = Pu4 Lu4

Ae

Pt3 = Pu3

s Lu2

Ai

τϰ

Lo

nπ

Lt1

Pu5 = Pt1

Pt2 = P u2

15. ábra. A vizsgálat tárgyát képező tartomány Az Fψ , H, tκλ , μν3 , γκλ és κν3 függvényeket az Ai tartomány egy rugalmas állapotának nevezzük, ha kielégítik a (208a),...,(211) mezőegyenleteket. Legyen ∗

Fψ , H, tκλ , μν3 , γκλ , κν3

∗

∗

∗

∗

∗

és F ψ , H, tκλ , μν3 , γ κλ , κν3

az Ai tartomány két rugalmas állapota. A Green–Gauss tétel alkalmazásával és (208a), (208b) összefüggések kihasználásával – mivel nincs külső terhelés, most o tπρ

o

= μν3 = 0

és pρ = q3 = 0 – ellenőrizhető, hogy fennáll az 



∗

∗

3μπ (γπρ ∂μ + πρ3 κμ3 ) F ρ dA + 3ψν κν3 ∂ψ H dA = Ai Ai   ∗ ∗ τπ γπρ F ρ ds + τν κν3 H ds+ = Lo  Lo ∗

∗

∗ πμ3 F ρ ∂μ γπρ dA + νψ3 H∂ψ + ψρ3 F ρ κν3 dA + Ai

(308)

Ai

összefüggés. 1. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a jobb oldalon álló tartományi integrálok összege nem függ attól, hogy a ∗ jel az első vagy a második betű felett áll a szorzatban. Ez úgy látható 72

8. Duál Somigliana formulák belső tartományra mikropoláris esetre

73

be, hogy γπρ , illetve κν3 értékét, kihasználva a feszültségek a (208a) és (208b) alatti előállításait, a (209), (210) Hooke törvény segítségével feszültségfüggvényekkel fejezzük ki a tartományi integrálokban. Ha a fenti egyenletben áthelyezzük a ∗ -ot az első rugalmas állapotot jelölő betűk felé, majd levonjuk az így kapott egyenletből a fenti (308) összefüggést, akkor a duál Somigliana identitást kapjuk síkfeladatokra.  ∗  ∗  ∗ Fρ 3μπ γ πρ ∂μ + πρ3 κμ3 dA − H 3ψν κν3 ∂ψ dA− Ai  Ai         



uρ

∗ D u ρl l

u3



−

∗

∗ D u 3l l



∗

3μπ (γπρ ∂μ + πρ3 κμ3 ) F ρ dA + 3ψν (κν3 ∂ψ ) H dA = Ai Ai   ∗ ∗ Fρ τπ γ πρ ds − H τν κν3 ds − =    Lo    Lo ∗

uρ t ρ

∗

u3 t 3



−

∗

Lo



τπ γπρ F ρ ds +

∗

Lo

τν κν3 H ds . (309)

A baloldalon valójában az alapegyenletek integráljai állnak. A jobboldalon pedig a peremen előírható fizikai mennyiségek integráljai találhatóak. Következésképp a Somigliana identitás a Green identitáshoz hasonló alakban is felírható. Először is vezessük be az alábbi jelölést: 

Dkl = Dkl /(γ + ) .

(310)

Összhangban a vonatkozó összefüggésekkel – lásd a (253) és (254) egyenleteket (a részletszámítások elhagyása mellett) – a (309) képlet valóban átírható a (142) képlethez hasonló (a Green identitáshoz hasonló) alakba:        ∗ ∗

 ∗ ∗   uk Dkl ul − uk Dkl ul dA = ul tl − tl ul ds . (311) Ai

Lo

2. Megjegyzés: A (311)–re vezető gondolatmenet során valójában sehol sem használtuk ∗ ki, hogy uk és uk az Ai tartomány rugalmas állapotai (azaz kinematikailag lehetségesek). Ez ∗ annyit jelent, hogy (311) mindig fennáll, ha az uk és uk kellő rendben differenciálható az Ai tartományon; egyéb tekintetben mindkét függvény tetszőleges lehet. 8.2. A duál Somigliana formulák – belső tartomány ∗

A duál Somigliana formulák előállítása érdekében feltesszük, hogy uk a (274) és (275a),..., (275c) képletekkel adott rugalmas állapot (ez a sík rugalmas állapota a Q ponthoz kötött el (Q) inkompatibilitás hatására). Ez esetben nyilvánvaló az előzőek alapján, hogy a jobboldali vonal∗

integrálban álló tl vektort a (304) és (305) képletek adják. A továbbiakban azt is kihasználjuk majd, hogy az uk egy feltevés szerint nem szinguláris rugalmas állapota az Ai tartománynak. Mivel a *-al jelölt állapot szinguláris a Q pontban (a forráspontban), a Q pont Ai tartományhoz viszonyított elhelyezkedésétől függően három eset különböztethető meg: 1. Ha Q ∈ Ai , akkor a Q pont teljes egészében Ai –n belül fekvő Rε sugarú Aε környezetét  eltávolítjuk az Ai tartományból – Aε kontúrját Lε jelöli, a kontúr Ai –n belüli Lε íve most megegyezik Lε –al – és a kétszeresen összefüggő A = Ai \ Aε tartományra alkalmazzuk a duál Somigliana identitást. 2. Ha Q = Q◦ ∈ ∂Ai = Lo , akkor a Q◦ pont Rε sugarú Aε környezetének az Ai –n belül fekvő Ai ∩ Aε résztartományát kizárjuk az Ai tartományból, és az egyszeresen összefüggő A = = Ai \(Ai ∩ Aε ) tartományra alkalmazzuk a duál Somigliana identitást. Megjegyezzük, hogy ez esetben két részből áll a tartomány kontúrja: a résztartomány eltávolítása után   az Lo –ból megmaradó Lo ívből, valamint az Lε kör A–ban fekvő Lε ívéből.

74

8.2. A duál Somigliana formulák – belső tartomány

3. Ha Q ∈ / (Ai ∪ Lo ), akkor az eredeti Ai tartományra alkalmazzuk a duál Somigliana identitást. Az így kapott egyenletek írása során, mivel azok tetszőleges ek (Q)-ra érvényesek, mindig elhagyjuk az ek (Q)-t. 1. Ha Q ∈ Ai , akkor a mondottak alapján a (311)–ből adódik, hogy  [Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) − Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ )] dsM◦ + Lo  [Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) − Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ )] dsM◦ = 0 . (312) + Lε

Formális átalakításokkal megmutatható, hogy fennállnak az alábbi egyenletek :  Tkl (M◦ , Q) [ul (M◦ ) − ul (Q)] dsM◦ = 0 , lim Rε →0 Lε   Tkl (M◦ , Q) dsM◦ = δkl és lim Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ ) dsM◦ = 0 . lim

Rε →0 Lε

Rε →0 Lε

(313) (314)

(Az igazolás nem nehéz, ha helyettesítjük az Ulk (M◦ , Q) és Tlk (M◦ , Q) alapmegoldások (278) és (306a,B) alatti felbontásait, és figyelembe vesszük, hogy a nem szinguláris részek integráljainak zérus a határértéke, majd megvizsgáljuk a szinguláris részek integráljait.) Ha a fenti képletek felhasználásával képezzük a (312) összefüggésben az Lε körön vett integrálok határértékét midőn Rε → 0, akkor az első duál Somigliana formulát kapjuk :   Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ ) dsM◦ − Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) dsM◦ . (315) uk (Q) = Lo

Lo

3. Megjegyzés: Az első duál Somigliana formula szerint, ha ismerjük az uλ (M◦ ) feszültségfüggvényeket, valamint az elmozdulásmezők s ívkoordináta szerinti deriváltjaival képzett tl (M◦ ) duál feszültséget az Lo kontúron, akkor kvadratúrák segítségével számítható az uk rugalmas állapot az Ai tartomány Q belső pontjában. 2. Ha Q = Q◦ ∈ ∂A = Lo , akkor a (311)–ből a (312)–re vezető lépésekkel, az egyenlet további számításokban szerepet játszó részét tartva csak meg, írhatjuk, hogy  [Tkl (M◦ , Q◦ )ul (M◦ ) − Ukl (M◦ , Q◦ )tl (M◦ )] dsM◦ + Lo  [Tkl (M◦ , Q◦ )ul (M◦ ) − Ukl (M◦ , Q◦ )tl (M◦ )] dsM◦ = 0 , (316) + Lε

ahol

 lim

Rε →0 L ε

Tkl (M◦ , Q◦ ) dsM = ckl (Q◦ ) .

(317)

Itt ckl (Q◦ ) = δkl /2, ha sima az Lo kontúr a Q◦ pontban. Ha a kontúr nem sima, akkor ckl (Q◦ ) a Q◦ pontbeli érintők egymással bezárt szögétől függ, és  Ukl (M◦ , Q◦ )tl (M◦ ) dsM = 0 , (318) lim Rε →0 L ε  o Tkl (M , Q◦ ) [ul (M◦ ) − ul (Q◦ )] dsM = 0 . (319) lim Rε →0 L ε

Ha a (317),....,(319) képletek felhasználásával képezzük a (316) összefüggés határértékét midőn Rε → 0, akkor a második duál Somigliana formulát kapjuk :   Ukl (M◦ , Q◦ )tl (M◦ ) dsM◦ − Tkl (M◦ , Q◦ )ul (M◦ ) dsM◦ . (320) ckl (Q◦ )ul (Q◦ ) = Lo

Lo

4. Megjegyzés: A (320)–ben álló két vonalintegrált Cauchy féle főértékben kell venni.

8. Duál Somigliana formulák belső tartományra mikropoláris esetre

75

5. Megjegyzés: Mivel az Lo kontúr egy pontjában vagylagosan írhatók elő az uλ (M◦ ) feszültségfüggvények, illetve az elmozdulásmező s ívkoordináta szerint vett − −tλ (M◦ ) deriváltjai, a (149) olyan integrálegyenlet (a direkt módszer integrálegyenlete), amely alkalmas a hiányzó uλ (M◦ ) vagy tλ (M◦ ) meghatározására. Ezek ismeretében pedig alkalmazható az első duál Somigliana formula. 3. Ha Q ∈ / (A ∪ Lo ), akkor a (311)–ben csak az Lo kontúron vett integrál marad meg, és a (312)–re vezető lépésekkel rögtön adódik a harmadik duál Somigliana formula:   Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ ) dsM◦ − Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) dsM◦ . (321) 0= Lo

Lo

6. Megjegyzés: Tegyük fel, hogy   o o o o o uk (M, Q) = F 1 | F 2 | H + F 1 r2 (M, Q) − F 2 r1 (M, Q) , o

o

(322)

o

ahol H, F 1 és F 2 tetszőleges állandók, r1 és r2 valamilyen az M pont valamely rögzített ponthoz – legyen ez a Q pont, amely speciális esetben egybeeshet a KR kezdőpontjával – viszonyított koordinátája. Nem nehéz ellenőrizni, hogy a fenti duál elmozdulásvektorhoz (a fenti feszültségfüggvényekhez) rögzített Q mellett (az M pont a változó) azonosan zérus feszültségi és alakváltozási állapot tartozik. Következésképp 

Dkl ul = Dkl ul = 0

tk = 0 .

és

(323)

A fenti (323) összefüggések figyelembevételével a (311) identitásból kapjuk, hogy     ∗ ∗  uk Dkl ul dA = uk tk ds .

(324)

Lo

Ai

∗

∗

Ha ul és tk az alapmegoldásokból vett duál elmozdulás és duál feszültség, akkor a (260) és a (310) képletek egybevetése alapján irható a 

∗

Dlk uk + δ(M − Q)el (Q) = 0

(325)

összefüggés, valamint az alapmegoldások felhasználásával adódó ∗

ul (M, Q) = es (Q)Uls (M, Q) ,

o o ∗ tk (M , Q) = es (Q)Tsl (M , Q)

képleteket is figyelembevéve a (324) egyenletből kapjuk, hogy   o o uk δ(M −Q)δkl el (Q)dA=−el (Q)δlk uk (Q, Q)η(Q)= el (Q)Tlk (M , Q)uk (M ) ds o . (326) − Lo

Ai

M

Innen, tekintettel az uk duál elmozdulás (322) alatti szerkezetére, egyszerű átalakítással adódik, hogy  [Tl1 + r2 Tl3 | Tl2 − r1 Tl3 | Tl3 ] ds o = −η(Q) [δl1 | δl2 | δl3 ] , (327) M

Lo

ahol

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 η(Q) = ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ 0

, ha Q ∈ Ai , o

, ha Q = Q ∈ Lo ,

(328)

, ha Q ∈ Ae .

Ez az eredmény lehetőséget biztosít majd az erősen szinguláris integrálok kiszámítására egy numerikus implementáció során a belső tartománnyal kapcsolatos feladatokban.

76

8.3. Képletek a feszültségekre 8.3. Képletek a feszültségekre

A (315) első duál Somigliana formula és a (208a-208b) duál kinematikai egyenletek felhasználásával adódik deriválásokkal, hogy 

 s1

=

t11

=

Lo



Q



  Q Tl1 (M◦ , Q)∂ 2 ul (M◦ ) dsM◦ , (329a) Lo   



U 1l (M◦ , Q)∂ 2 tl (M◦ ) dsM◦  

−

S1l



 Q U2l (M◦ , Q)∂ 2 tl (M◦ ) dsM◦ Lo   

 s2

=

t12

Dl1

=

 Q T2l (M◦ , Q)∂ 2 ul (M◦ ) dsM◦ , (329b) Lo   

 −



S2l

D2l

  Q U1l (M◦ , Q)∂ 1 tl (M◦ ) dsM◦ Lo   

 s3

=

t21

−

=

 Q T1l (M◦ , Q)∂ 1 ul (◦ M ) dsM◦ , (329c) Lo   

 +



S3l

 Q U2l (M◦ , Q)∂ 1 tl (M◦ ) dsM◦ Lo   

 s4

=

t22

−

=

D3l



 Q T2l (M◦ , Q)∂ 1 ul (M◦ ) dsM◦ , (329d) Lo   

 +



S4l



D4l

  Q m1 = μ13 = U3l (M◦ , Q)∂ 2 tl (M◦ ) dsM◦ − T3l (M◦ , Q)∂ 2 ul (M◦ ) dsM◦ − Lo Lo       

Q





M1l

− 

 m2 = μ23 = −

Lo



Q

Lo



U3l (M◦ , Q)∂ 1 tl (M◦ ) dsM◦ +   −M2l

 Lo

és hogy

SKl (M◦ , Q)tl (M◦ ) dsM◦ −





Q

T3l (M◦ , Q)∂ 1 ul (M◦ ) dsM◦ −   −N2l

 Lo

[T2l (M◦ , Q)] ul (M◦ ) dsM◦

(329f)

Lo

DKl (M◦ , Q)ul (M◦ ) dsM◦ ,

K = 1, . . . ,4 (330a)



Lo

Mκl (M◦ , Q)tl (M◦ ) dsM◦ −

 −



[T1l (M◦ , Q)] (M◦ )ul dsM◦ , (329e)

 Lo

mκ (Q) =

Lo



Lo

[U 2l (M◦ , Q)] tl (M◦ ) dsM◦ +



sK (Q) =



[U1l (M◦ , Q)] tl (M◦ ) dsM◦ +



−

azaz, hogy

N1l



Lo

Lo

Nκl (M◦ , Q)ul (M◦ ) dsM◦ −



[Uκl (M◦ , Q)] tl (M◦ ) dsM◦ +

Lo

[Tκl (M◦ , Q)] ul (M◦ ) dsM◦ ,

κ = 1,2 . (330b)

A fenti képletek belső pontokban használhatók az erőfeszültségek és az erőpárfeszültségek számítására. A képletekben álló SKl (M◦ , Q), DKl (M◦ , Q), Mκl (M◦ , Q) és Nκl (M◦ , Q) számítását a C. Függelékben közöljük.

9. FEJEZET

Duál Somigliana formulák külső tartományra mikropoláris esetre 9.1. Feszültségek a végtelenben Az Ae külső tartományon ismét a koordinátasík Lo zárt görbén kívül fekvő részét értjük - v.ö. 16. ábra. Tegyük fel egyelőre, hogy állandó értékűek a végtelen távoli pontban működő erőfeszültségek és erőpárfeszültségek. Ezeket a t11 (∞), t12 (∞), t21 (∞) és t22 (∞) , valamint a μν3 (∞) módon jelöljük. A végtelen távoli pontban feltevés szerint zérus értékű a tartományi erőrendszer és erőpárrendszer bρ és c3 sűrűsége. Mivel a végtelen távoli pontban állandó értékű a μν3 (∞) erőpárfeszültség következik a (204)2 egyensúlyi egyenletből, hogy 3νρ tνρ (∞) = 0 . A fenti képlet szerint szimmetrikus kell, hogy legyen az erőfeszültségek tenzora. A végtelen távoli pont környezetében az erőfeszültségek, összhangban a (208a) képlettel, a tπρ = πμ3 ∂μ Fρ

(331) o

összefüggésből származtathatók, amelynek felírása során elhagytuk a tπρ partikuláris megoldást, hiszen bρ = 0. A végtelenbeli konstans erőfeszültségek, ugyanúgy mint klasszikus esetben, a (162) feszültségfüggvényekből számíthatók. Az idézett előállítást indexes írásmódban ismételjük meg ehelyütt: Fρ = επν3 tρπ (∞)ξν + cρ .

(332)

A végtelen távoli pont környezetében a konstans erőpárfeszültségek, összhangban a (208b) összefüggéssel, a (333) μν3 = νπ3 ∂π H − Fν o

formulából kell, hogy legyenek származtathatók. A képlet felírása során elhagytuk μν3 partikuláris megoldást, hiszen bρ = c3 = 0. A fenti képlet akkor ad konstans erőpárfeszültségeket, ha abban az Fρ -t a (332) összefüggéssel, a H-t pedig a H = μ13 (∞)ξ2 − μ23 (∞)ξ1 + t11 (∞)

ξ22 ξ2 − t12 (∞)ξ1 ξ2 + t22 (∞) 1 + c1 ξ2 − c2 ξ1 2 2

(334)

összefüggésből számítjuk. További elvárás a t11 (∞), t12 (∞), t21 (∞) és t22 (∞) erőfeszültségek és a konstans μν3 (∞) erőpárfeszültségekkel adott feszültségi állapottal kapcsolatban, hogy az a teljes sík, vagy a sík bármely résztartománya esetén rugalmas állapot legyen. Ez azt jelenti, hogy fenn kell állnia a (211) duál mérlegegyenleteknek (kompatibilitási egyenleteknek). Ha állandó a μν3 erőpárfeszültség tenzor, akkor ugyancsak állandó a (210) anyagegyenlet (Hooke törvény) szerint a κν3 görbületi alakváltozási tenzor. Következésképp teljesül a (211)1 kompatibilitási egyenlet. 77

78

9.2. A duál Somigliana formulák levezetése – külső tartomány

Ha állandó az erőfeszültségek tπρ tenzora, akkor a (209) anyagegyenlet (Hooke törvény) szerint állandó a γπρ alakváltozási tenzor is. Következésképp a (211)2 kompatibilitási egyenletből a (335) Dρ = 3νπ γπρ ∂ν − κρ3 = −κρ3 = 0 eredmény következik. Ez azt jelenti, hogy csak akkor teljesül a második duál mérlegegyenlet (kompatibilitási egyenlet), ha κρ3 = 0, vagy ami tekintettel a (210) anyagtörvényre ugyanez, ha μρ3 = 0. A végtelen távoli pontban zérus értékűek kell tehát, hogy legyenek az erőpárfeszültségek : (336)

μν3 (∞) = 0 . A fentiek alapján a végtelen távoli pont feszültségi állapotát az ˜1 (Q) = ξ2 t11 − ξ1 t12 + c1 (∞) és F2 = ˜u2 (Q) = ξ2 t21 − ξ1 t22 + c2 (∞) F1 = u

(337)

továbbá a ξ22 ξ2 − t12 (∞)ξ1 ξ2 + t22 (∞) 1 + c1 (∞)ξ2 − c2 (∞)ξ1 (338) 2 2 feszültségfüggvények írják le. Ezek egyben a teljes síkon és annak bármely részén rugalmas állapotot jelentenek. ˜3 (Q) = t11 (∞) H=u

9.2. A duál Somigliana formulák levezetése – külső tartomány Az Ae külső tartományra vonatkozó duál Somigliana formulák levezetése során a 8.2. sza∗ kasz gondolatmenetét követjük a klasszikus eset mintájára. Ismét feltételezzük, hogy az uk rugalmas állapot a (275a), . . . ,(275c) és (304) alapmegoldáshoz tartozó rugalmas állapot. Az uk rugalmas állapot pedig egy tetszőleges rugalmas állapota az Ae tartománynak. A végtelenben azonban fenn kell állnia a ˜k uk = u feltételnek. A Q pont helyzetétől függően ismét három esetet különböztetünk meg – a 16. ábra az első esetet szemlélteti. Azt is feltételezzük, hogy az O origó az Ai tartomány belső pontja – ez nem sérti az általánosságot. Az alábbiak sorra veszik az egyes eseteket: en eR

x2 O

x1

LR

Lo L Q

R

A’e

A

16. ábra. Külső tartomány, a Q belső pont 1. Ha Q ∈ Ae , akkor az L0 kontúrgörbével, az Lε körrel, valamint az e R sugarú és O középpontú külső körrel határolt háromszorosan összefüggő Ae tartomány a vizsgálat tárgya. Itt, amint az jól látszik az ábráról is, Lε a Q pont Aε -al jelölt és Rε sugarú környezetének

9. Duál Somigliana formulák külső tartományra mikropoláris esetre

79

peremgörbéje. Az e R sugár elegendően nagy ahhoz, hogy mind L0 –t, mind pedig Lε –t tartalmazza. További feltevés, hogy Aε teljes egészében a halványszürkével jelölt Ae tartományon belül helyezkedik el. Alkalmazzuk most a duál Somigliana identitást az Ae tartományra és képezzük az így kapott  [Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) − Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ )] dsM◦ + Lo  [Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) − Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ )] dsM◦ + + Lε  [Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) − Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ )] dsM◦ = 0 (339) + LR

egyenlet határértéket, amint Rε −→ 0 és e R −→ ∞. Ami az első két integrál összegének határértékét illeti, az megegyezik a zérusra rendezett (315) képlettel, azaz:    · · · + lim · · · = uk (Q) + [Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) − Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ )] dsM◦ . (340) Lo

Rε −→0 Lε

Lo

Ami pedig a harmadik integrált illeti az 5. fejezetben leírtakkal összhangban ismét az a cél, hogy meghatározzuk az IR integrál határértékét:

  [Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ ) − Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ )] dsM◦ . (341) lim e R−→∞ L  R   IR

A fenti képletben (a) az IR megegyezik formailag a mikropoláris esetre érvényes első duál Somigliana formula jobboldalával feltéve, hogy a Q belső pont (most az); (b) ha e R −→ ∞, akkor ul és tl a teljes sík, ideértve a végtelen távoli pontot is, konstans erőfeszültségű és zérus erőpárfeszültségű rugalmas állapotához tartozó duál elmozdulás és duál feszültség az LR körön, következésképp ˜k (Q) . lim IR = u e R−→∞

Ennek az eredménynek a figyelembevételével rögtön adódik a külső tartományra vonatkozó első duál Somigliana formula:   uk (Q) + Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ ) dsM◦ − Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) dsM◦ . (342) uk (Q) = ˜ Lo

Lo

Lo ,

Lε

és LR görbékkel határolt kétszeresen összefüggő 2. Ha Q = Q◦ ∈ ∂A = Lo , akkor az  Ae tartomány a vizsgálat tárgya, ahol Lo az Lo peremgörbe azon része, amely a Q◦ középpontú és Rε sugarú Aε kör eltávolítása után marad meg; míg Lε az Aε körvonal Ae –n belül fekvő része. A duál Somigliana identitás utóbbi tartományra történő alkalmazásával, és az így adódó egyenlet Rε −→ 0, e R −→ ∞ határértékének meghatározásával az Ae külső tartományra vonatkozó második duál Somigliana formulát kapjuk :  ˜k (Q◦ ) + Ukl (M◦ , Q◦ )tl (M◦ ) dsM◦ − ckl (Q◦ )ul (Q◦ ) = u Lo  Tkl (M◦ , Q◦ )ul (M◦ ) dsM◦ . (343) − Lo

1. Megjegyzés: A (343) integrálegyenlet az ul (M◦ ) M◦ ∈ Lu , valamint a tl (M◦ ) M◦ ∈ Lt ismeretlenekre vonatkozó integrálegyenlet. Más néven a direkt módszer integrálegyenlete külső tartományra. 2. Megjegyzés: Az átalakításokat nem részleteztük. Ennek az az oka, hogy az LR körön vett integrálok tekintetében nincs semmi eltérés az előző Q ∈ Ae esethez képest, ami pedig a fennmaradó tagokat illeti azok szószerint ugyanúgy adódnak, mint a belső tartományra vonatkozó (320) integrálegyenlet esetén.

80

9.3. Feszültségek számítása a peremen 3. Ha Q ∈ Ai , akkor azonnal kapjuk az előzőekben mondottak alapján a külső tartományra vonatkozó harmadik duál Somigliana formulát:   ˜k (Q) + Ukl (M◦ , Q)tl (M◦ ) dsM◦ − Tkl (M◦ , Q)ul (M◦ ) dsM◦ . (344) 0=u Lo

Lo

3. Megjegyzés: Tegyük fel ismét – visszautalva ehelyütt a 75. o. 6. Megjegyzésére –, hogy   o o o o o (345) uk = F 1 | F 2 | H + F 1 r2 − F 2 r1 , és alkalmazzuk a (324) összefüggést a 16. ábra LR körrel határolt AR tartományára (Ai helyett AR , Lo helyett LR szerepel). Legyen továbbá az AR tartomány belső pontja a Q pont. Ha a ∗-al jelölt mennyiségeket ugyanúgy vesszük, mint az idézett megjegyzés esetén – ez a továbbiakban feltevés –, akkor a (326) képletre vezető gondolatmenet ismétlésével adódik, hogy     ∗ ∗  uk Dkl ul dA = uk tk ds = −ul (Q, Q)el (Q) . (346) LR

AR

Másodszorra alkalmazzuk a (324) összefüggést a 16. ábra Ae tartományára. Írhatjuk, hogy      ∗ ∗ ∗  uk tk ds + uk tk ds = uk Dkl ul dA , (347) Lo

ahol

 Ae

uk





Ae

LR

∗





o

o

o



Dkl ul dA = −η(Q) el (Q) F 1 δl1 | F 2 δl2 | H δl3

a (326) összefüggés alapján, míg az LR görbén vett integrált pedig a (346)-ből vehetjük. Következésképp bármekkora R sugár esetén, azaz R → ∞-re, vagy másként fogalmazva az Ae külső tartományt határoló Lo görbét tekintve fennáll a    o o o ∗ uk tk ds − −ul (Q, Q)el (Q) = −η(Q) el (Q) F 1 δl1 | F 2 δl2 | Hδl3 Lo

egyenlet. Visszaidézve uk értelmezését megkapjuk innen az egyenlet végső alakját:  [Tl1 + r2 Tl3 | Tl2 − r1 Tl3 | Tl3 ] ds o − [δl1 | δl2 | δl3 ] = −η(Q) [δl1 | δl2 | δl3 ] , M

Lo

ahol

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 η(Q) = ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ 0

(348)

, ha Q ∈ Ae , o

, ha Q = Q ∈ Lo ,

(349)

, ha Q ∈ Ai .

Ez az eredmény lehetőséget biztosít majd az erősen szinguláris integrálok kiszámítására egy numerikus implementáció során a a külső tartománnyal kapcsolatos peremértékfeladatok megoldása során. 9.3. Feszültségek számítása a peremen Tegyük fel, hogy a teljes peremgörbén ismerjük az uk duál elmozdulás vektort, azaz az u1 = F1 , u2 = F2

és

u3 = H

feszültségfüggvényeket, valamint a tk duál feszültségvektort, azaz az alakváltozási peremfeltételekben álló dϕˆ3 dˆ uρ + τπ ρπ3 ϕ ˆ3 és ds ds

9. Duál Somigliana formulák külső tartományra mikropoláris esetre

81

mennyiségeket. Ez esetben a (218) és (219) összefüggések, valamint a (206) formula figyelembevételével írható, hogy : dFρ = n1 t1ρ + n2 t2ρ , (350) ds dH − nρ Fρ = n1 μ13 + n2 μ23 . (351) ds Ezekhez a képletekhez társulnak a (239) alatti relációk, valamint a (297) alapján írható tρ = τπ γπρ

és

t3 = τπ γπ3

(352)

egyenletek. Megjegyezzük, hogy a (350), . . . ,(352) baloldalán álló mennyiségek, összhangban kiinduló feltevésünkkel, mind ismertnek vehetők a peremen a direkt módszer (320), illetve (343) integrálegyenleteinek megoldása után. A jobboldalon pedig – a (209) és (210) Hooke törvényt is figyelembe véve – a t11 , t12 , t21 t22 , μ12 és μ23 feszültségkoordináták állnak, azaz 6 ismeretlen szerepel. Részletesen is kiírva (egyben áttérve xyz koordinátarendszerre) a dux = nx txx + ny tyx , ds duy = nx txy + ny tyy , ds du3 − nx Fx − ny Fy = nx μxz + ny μyz , ds    1 tyx − txy ν 1 1 tyx + txy txx − (txx + tyy ) + nx + , tx = −ny γxx + nx γyx = −ny 2μ 2μ 2μ 2 2α 2     1 txy − tyx ν 1 txy + tyx 1 + + nx tyy − (txx + tyy ) , ty = −ny γxy + nx γyy = −ny 2μ 2 2α 2 2μ 2μ 1 (−ny μxz + nx μyz ) tz = −ny κxz + nx κyz = γ +ε egyenletrendszer adódik a txx , txy , tyx tyy , μxz és μyz feszültségkoordináták számítására. Ha figyelembe vesszük a 11. ábra alapján (lásd az 51. oldalt) a t érintőirányú egységvektor és az n külső normális koordinátái között fennálló nx = ty és ny = −tx kapcsolatot, a fenti egyenletrendszer mátrix alakban is felírható: ⎡

nx 0 0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1−ν ⎢ − 2μ ny ⎢ ⎣ − ν nx 2μ 0

0 nx 0 α−μ 4μα nx − α+μ 4μα ny 0

ny 0 0 α+μ 4μα nx − α−μ 4μα ny 0

0 ny 0 ν 2μ ny 1−ν 2μ nx 0

0 0 nx 0 0

1 − γ+ε ny

0 0 ny 0 0 1 γ+ε nx

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

⎤ txx txy ⎥ ⎥ tyx ⎥ ⎥= tyy ⎥ ⎥ μxz ⎦ μyz ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

du3 ds

dux ds duy ds

⎤

⎥ ⎥ − nx F x − ny F y ⎥ ⎥ . (353) ⎥ tx ⎥ ⎦ ty tz

Ennek az esetleges numerikus megoldásban lehet szerepe ugyanúgy, mint a klasszikus esetben.

10. FEJEZET

Összefoglalás 10.1. Bevezetés A peremelem módszer (PEM) hatékony numerikus eljárás, amely parciális differenciálegyenletekkel kapcsolatos peremérték-feladatok integrálegyenleteinek alkalmazásával történő megoldására szolgál. Az eljárás integrálegyenletei a tartomány peremére vonatkoznak, így a numerikus megoldás keresése során a tartomány peremét (síkbeli esetben a peremgörbét) véges méretű elemekre, ún. peremelemekre bontjuk, és ezeken az elemeken értelmezzük a megoldásokat (pl. elmozdulásvektor és feszültségvektor) közelítő függvényeket. Az egész peremre vonatkozó közelítést a peremelemeken vett közelítések összessége adja. A tartomány peremére vonatkozó integrálegyenletek megoldása a feladat peremfeltételek alapján nem ismert változóit szolgáltatja a peremen. A peremen meghatározott mennyiségek ismeretében további egyenletekkel a tartomány belső pontjaiban képezhetőek a fizikai állapotokat leíró jellemzők. A peremelem módszer alapja a három Somigliana formula alkalmazása. Ezek közül a második formula a peremen szolgáltatja a feladat peremfeltételei révén nem ismert változókat. A második Somigliana formulát a direkt módszer integrálegyenletének is nevezzük, mivel a vizsgált tartomány peremgörbéjén keresett ismeretleneknek közvetlen fizikai jelentése van. A direkt jelző erre a körülményre utal. Az ismeretlenek meghatározása után az első Somigliana formula felhasználásával képezhetővé válnak a számunkra ismeretlen fizikai mennyiségek (pl. elmozdulásvektor és feszültségvektor) a tartomány belső pontjaiban. A harmadik Somigliana formulát csupán a teljesség kedvéért közöljük, az nem játszik szerepet az értekezés vizsgálataiban. A rugalmasságtan térbeli feladatait véve példának primál rendszerben1 a direkt peremelem módszer integrálegyenletében egy perempontban a feszültségvektor az ismeretlen, ha ott az elmozdulásmező az előírt, és megfordítva az elmozdulásvektor az ismeretlen egy perempontban, ha ugyanott a feszültségvektor az előírt. Megjegyezzük, hogy az indirekt módszer rugalmasságtani feladatokban a potenciálelméletből ismert egyszerű és kettős réteg potenciáljának fogalmát általánosítva állít fel integrálegyenleteket, melyekben a vonalon (síkfeladatok), illetve felületen (térbeli feladatok) értelmezett potenciálfüggvények (ezek most vektorok) az ismeretlenek. Az értekezés a szilárd testek alakváltozásának linearizált elméletében vizsgál és old meg primál és duál felépítésű síkrugalmasságtani feladatokat direkt peremelem módszerrel. A két felépítés (rendszer) az alapváltozók, a közbenső változók, az értelmező egyenletek és mérlegegyenletek tekintetében tér el egymástól. Ezen túl minden rendszerben megkülönböztetünk klasszikus feladatokat és mikropoláris feladatokat. A klasszikus feladatokban a test kinematikájának leírására az elmozdulásmező, valamint a belőle képezhető forgási tenzormező és az alakváltozási tenzormező szolgál, míg a test belső erőrendszere az (erő) feszültségi tenzormezővel adható meg. A mikropoláris feladatokban a test kinematikájának leírására az elmozdulásmező és a forgásmező, valamint a belőlük képezhető két alakváltozási tenzormező szolgál, míg a test belső erőrendszere az (erő) feszültségi tenzormezővel és az erőpár (nyomatéki) feszültségi tenzormezővel adható meg. Az alakváltozási tenzor (tenzorok) és a feszültségi tenzor (tenzorok) között az anyagegyenletek jelentik a kapcsolatot.

1Ezt

a fogalmat lentebb definiáljuk. 82

10. Összefoglalás

83

Primál rendszerben és klasszikus feladatnál az elmozdulásvektor az alapváltozó, az alakváltozási tenzor az ún. elsődleges közbenső változó, továbbá a szimmetrikus feszültségi tenzor az ún. másodlagos közbenső változó. Primál rendszerben és mikropoláris feladatnál az elmozdulásvektor és a független forgásvektor (együtt elmozdulásvektorok) az alapváltozók, az alakváltozási tenzor és a független forgási alakváltozási tenzor (együtt az alakváltozási tenzorok) az ún. elsődleges közbenső változók, továbbá a (nemszimmetrikus erő) feszültségi tenzor és nyomatéki feszültségi tenzor (együtt feszültségtenzorok) az ún. másodlagos közbenső változók. A vizsgálat tárgyát jelentő síkbeli tartományon primál rendszerben a következő mezőegyenletek állnak fenn: – az értelmező (vagy kinematikai) egyenlet(ek) az alakváltozási tenzort(tenzorokat) származtatja(ják) az elmozdulásvektor(ok)ból és biztosítja(ák) az ún. kompatibilitási egyenlet(ek) fennállását, – a feszültségi tenzor(ok) az anyagegyenletekkel adódik (adódnak) az alakváltozási tenzor(ok)ból, – végül a feszültségi tenzor(ok), mint mérlegegyenlet(ek)nek, az egyensúlyi egyenlet(ek)nek tesz(nek) eleget. Primál rendszerben az elmozdulásmezőre, illetve a test határfelületén ébredő feszültségekre vagylagosan írható elő peremfeltétel. Megjegyezzük, hogy másfajta kombinációk is előfordulhatnak (pl. a peremgörbe érintője mentén elmozdulás, a normális irányában feszültség az előírt). Ezek a lehetőségek azonban nem játszanak szerepet a további gondolatmenetben, és így nem részletezzük a további lehetőségeket. A síkbeli tartomány elvben lehet egyszeresen, vagy többszörösen összefüggő és lehet (végtelenbe nyúló) külső tartomány is. Erre a körülményre egyébként már utaltunk az 1. oldalon. Duál rendszerben és klasszikus síkbeli feladatnál két elsőrendű feszültségfüggvény és a forgásmező az alapváltozók, a feszültségi tenzor az ún. elsődleges közbenső változó, továbbá a szimmetrikus alakváltozási tenzor az ún. másodlagos közbenső változó. Duál rendszerben és mikropoláris síkbeli feladatnál az elsőrendű feszültségfüggvény tenzorok nem zérus koordinátái, azaz az ún. feszültségfüggvények az alapváltozók, a (nemszimmetrikus erő) feszültségi és a nyomatéki feszültségi tenzor (együtt a feszültségi tenzorok) az ún. elsődleges közbenső változók, továbbá a nemszimmetrikus alakváltozási tenzor és a forgási alakváltozási tenzor (együtt alakváltozási tenzorok) az ún. másodlagos közbenső változók. A vizsgálat tárgyát jelentő síkbeli tartományon duál rendszerben a következő mezőegyenletek állnak fenn: – az értelmező (vagy kinematikai) egyenletek klasszikus feladatnál a feszültségi tenzort származtatják a két elsőrendű feszültségfüggvényből és biztosítják az erőegyensúly fennállását – a nyomatéki egyensúlyt biztosító szimmetriafeltételt külön kell előírni; mikropoláris feladatnál az értelmező egyenletek a feszültségi tenzorokat származtatják elsőrendű feszültségfüggvény tenzorokból (összesen három feszültségfüggvényből) és biztosítják valamennyi egyensúlyi egyenlet teljesülését, – az alakváltozási tenzor(ok) az anyagegyenletekkel adódik (adódnak) a feszültségi tenzor(ok)ból, – az alakváltozási tenzor(ok), mint mérlegegyenlet(ek)nek, a kompatibilitási mezőegyegyenlet(ek)nek tesz(nek) eleget. A síkbeli tartomány elvben lehet ez esetben is egyszeresen, vagy többszörösen összefüggő és lehet (végtelenbe nyúló) külső tartomány is. Valamely peremrészen duál rendszerben az alábbiak a peremfeltételek : – feszültségi peremfeltétel(ek) (ha vonalmenti terhelés van előírva, akkor levezethető közvetlenül a feszültségfüggvényekre is peremfeltétel és az értekezés az utóbbiakat használja majd), – alakváltozási peremfeltétel(ek) (ha klasszikus feladatnál az elmozdulásmező, illetve mikropoláris feladatnál az elmozdulásmező és a forgásmező van előírva, akkor ezekre duál

84

10.2. Irodalmi előzmények és célkitűzések rendszerben nem írható közvetlenül elő peremfeltétel, mivel ezek a mennyiségek nem szerepelnek a duál rendszer változói között – a megoldást az ún. alakváltozási peremfeltételek alkalmazása kínálja: az utóbbiak a peremen vett elmozdulások és forgások ívkoordináta szerinti deriváltjaira, illetve az alakváltozási tenzorok peremen tekintett koordinátáira tett előírások).

Egyszeresen összefüggő tartomány esetén, ha több különálló peremíven van elmozdulásmező előírva, illetve többszörösen összefüggő tartomány esetén teljesülnie kell még az ún. kiegészítő és makro kompatibilitási feltételeknek is. A kompatibilitási mezőegyenlet(ek), az alakváltozási peremfeltétel(ek), továbbá a kiegészítő és a makro kompatibilitási feltételek együtt biztosítják duál rendszerben, hogy az alakváltozási tenzor(ok)ból a – vizsgált síkbeli tartomány adott merevtestszerű mozgása esetén – a tartományon és a peremen (kontúrgörbéken) is klasszikus feladatnál egyértékű elmozdulásmező, mikropoláris feladatnál pedig egyértékű elmozdulásmező és egyértékű forgásmező legyen előállítható. 10.2. Irodalmi előzmények és célkitűzések 10.2.1. Primál rendszerbeli vizsgálatok – klasszikus esetben. Ami a peremelem módszer előzményeit illeti Hess és Smith 60-as években megjelent [1, 2] dolgozatait érdemes említeni. Az idézett tanulmányok másodfajú Fredholm típusú integrálegyenletekre vezették vissza az egyszerű forráseloszlás forgásfelületen történő meghatározását és numerikus megoldást is közöltek. Potenciálelméleti, illetve a Poisson egyenlettel kapcsolatos peremértékfeladatok esetén, a három Green féle képlet – lásd pl. Jaswon és Symm [3] könyvének 37-ik oldalán a (3.1.16,17,18) képleteket – közül a második a direkt módszer alapja. Az első olyan tanulmány, amely tudatosan kihasználta a peremgörbén tekintett második Green féle képletet kiemelve, hogy ez az egyenlet egy harmonikus függvény, és normálirányú deriváltjai között fennálló összefüggés a fentebb idézett könyv egyik szerzőjének Jaswonnak és Ponternek a munkája [4]. Ez a tanulmány a rugalmasságtan csavarási feladatában megjelenő ún. deplanációs függvényének meghatározására vezetett le másodfajú integrálegyenletet, majd numerikus úton oldotta meg azt. A [4] tanulmány már a mai formájában tartalmazza az ún. direkt módszer teljes megalapozását a Poisson típusú differenciál-egyenletre. A módszer rugalmasságtani feladatokban történő alkalmazása tekintetében Rizzo tette meg az első lépést [5]. Tanulmánya a síkrugalmasságtani peremértékfeladatok megoldására nyújt módszert integrálegyenleteket állítva elő a tartomány peremén (kontúrgörbéjén) ébredő feszültségek és az ugyanitt tekintett elmozdulások között. A numerikus megoldás során a tartomány peremét (kontúrgörbéjét) nagy számú kis elemre – peremelemre – osztotta fel, és egy-egy elemen belül állandó értékűnek tekintette az elmozdulásokat és feszültségeket. Az utóbbi feltevés lehetővé tette a peremen vett integrálok zárt alakban történő kiszámítását, ugyanakkor azonban a kielégítő pontosságú megoldás viszonylag sok elem felhasználását követelte meg. Rizzo következő cikke [6] a megoldások tekintetében ortotrop testek síkfeladatait vizsgálja a direkt peremelem módszerrel, de anizotrop esetre is közli a legfontosabb formulákat. A numerikus megoldás technikája – konstans approximáció a peremelemeken – ugyanaz, mint az [5] alatti tanulmányában. Előrelépést az approximáció és a szinguláris integrálok (numerikus) kezelésében Lachat PhD értekezése [7], illetve a Watsonnal közösen írt [8] tanulmánya jelenti, mivel ezekben kvadratikus izoparametrikus elemeket használnak a szerzők a peremelemek geometriája és a peremelemeken ismeretlen mezők közelítésére. Az elemhatáron folytonos approximáció mellett az ún. sarokpontokban fellépő szakadások kezelésére a részlegesen folytonos (síkbeli esetben az elem egyik végpontjában, ab ovo fennáll a folytonosság a másikban nem) vagy nem folytonos (belső csomópontokra épülő – síkbeli esetben az elemek egyik végpontjában sem teljesül automatikusan a folytonosság) approximációt érdemes alkalmazni [9, 10, 11, 12]. Ortotrop, illetve anizotrop testek esetén a legfőbb nehézséget az alapmegoldások előállítása okozza. Ebben a tekintetben különböző technikák állnak rendelkezésre az alapmegoldás meghatározására. Az ún. Galjorkin-féle eljáráson alapuló technikát tévesen Hörmander nevéhez tartozónak tekinti a nyugati szakirodalom Hörmander [13] könyve alapján. Valójában Lurie

10. Összefoglalás

85

1937-ben megjelent [14] tanulmánya az első, amely ezt a technikát alkalmazza a rugalmasságtan térbeli statikai feladataira. Ugyancsak ezt a technikát alkalmazza az alapmegoldás előállítására Kupradze Potenciálelméleti módszerek a rugalmasságtanban című híres könyvében [15] anizotrop testek primál rendszerben tekintett síkbeli feladatai esetén. Ortotrop, illetve anizotrop testek esetén Rizzo már idézett és síkbeli feladatokkal foglalkozó [6] cikkén túlmenően számos más publikáció is foglalkozik peremelem módszeren alapuló feladatmegoldással. Vable és Sikarskie ortotrop testek síkfeladatai esetén az indirekt módszert alkalmazza a megoldás során [16]. Sáez, Ariza és Domínguez transzverzálisan izotrop testek estén vizsgálja meg egyes repedések környezetében a feszültségeloszlást [17]. Shiah speciális, a vizsgált tartomány oly módon történő leképezésén alapuló technikát alkalmaz, hogy ennek erdményeképpen az alapegyenlet operátora mind síkbeli, mind pedig térbeli feladatokban a Laplace operátorra transzformálódik [18, 19]. Az utóbbi eredmények nem alkalmazhatók közvetlenül rugalmasságtani feladatokban (illetve csak akkor, ha értelmezhető olyan az elmozdulásmezőt adó potenciálfüggvény, amely az idézett cikkekben tekintett differenciál-operátornak tesz eleget). Dong és szerzőtársainak néhány cikke külső tartományokkal kapcsolatos egyes eredményekről izotrop [20], illetve anizotrop esetben ad számot [21] [22]. Izotrop esetben a formalizmus lényegében a [23] tanulmány eredményein alapul. Anizotrop esetben Dong és szerzőtársai saját korábbi eredményeikre hivatkoznak. Ortotrop esetben érdemes még megemlíteni a [24] cikket, valamint a [25, 26] könyveket, amelyekben további citátumok is találhatók. A peremelem módszer külső tartományokkal kapcsolatos egyenleteinek az a hátránya ortotrop esetben, hogy nem írhatók elő konstans feszültségek a végtelen távoli pontban. Ami az okokat illeti érdemes hivatkozni a [27] cikkre, amely világos feltevéssel él az elmozdulásmező végtelenbeli viselkedésére nézve (az korlátos kell, hogy legyen). Ez a feltevés lehetővé teszi a Betti típusú formula felállítását és ennek révén az egzisztencia és unicitás igazolását a külső tartományra vonatkozó Dirichlet és Neumann feladatok esetén. Ugyanakkor kizárja a közvetlenül vizsgálható feladatok köréből azokat a gyakran előforduló eseteket, amikor konstans a feszültségi és alakváltozási állapot, és ezzel összhangban lineárisan függ az elmozdulásmező a helykoordinátáktól a végtelen távoli pont felé haladva. Ha a direkt PEM egyenletei előállítják ezt az elmozdulásmezőt, akkor konstans a vonatkozó alakváltozási és feszültségmező a végtelenben. Következésképp nincs szükség arra, hogy véges tartománnyal helyettesítsük a külső tartományt a számítás során. Ebben a tekintetben a [23] és [28] cikkek említhetők, mivel a direkt módszer egyenleteit adják meg izotrop testre konstans feszültségi és alakváltozási állapotot tételezve fel a végtelenben. A [23] dolgozat primál rendszerben, a [28] dolgozat pedig duál rendszerben végzi el a szükséges módosítást és kiegészítést. Fentiekre tekintettel az értkezés az alábbiakban fogalmazza meg az 1. Célkitűzést : Az értekezés ortotrop rugalmas test primál rendszerbeli síkbeli klasszikus feladataira igazolja (kétféleképpen is), hogy a végtelen távoli pont feszültségi állapota beépíthető a direkt peremelem módszer formalizmusába. Az ily módon felépített formalizmus alkalmazhatóságát számpéldákon keresztül illusztráljuk.

10.2.2. Vizsgálatok duál rendszerben – klasszikus eset. Bár számos tanulmány jelent meg a rugalmasságtan síkbeli feladatok primál rendszerbeni megoldásáról – lásd pl. [5], [29], [30] vagy [31] – alig található olyan cikk a síkrugalmasságtan szakirodalmában, amely a duál rendszer egyenleteit veszi alapul, azaz valós feszültségfüggvényeket tekint alapváltozónak. Kivételt jelent Jaswon, Mati és Symm cikke [32]– érdemes ehelyütt Jaswon és Symm könnyebben hozzáférhető könyvére is hivatkozni [3] – amelyben az ismeretlen biharmonikus függvényt (valójában másodrendű feszültségfüggvényt) két ismeretlennek tekintett harmonikus függvény segítségével, egyszerű réteg potenciáljaként adták meg a szerzők ; az ismeretlen kontúrmenti forrássűrűség meghatározására pedig alkalmas peremintegrál-egyenleteket vezettek le. Elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazását síkbeli és térbeli feladatokra Fraeijs de Veubeke kezdeményezte [33], [34] egy új, a teljes kiegészítő energia minimumának elvén alapuló

86

10.2. Irodalmi előzmények és célkitűzések

végeselemes eljárás kapcsán, mivel a C 0 folytonosságú elsőrendű feszültségfüggvények biztosítják a folytonos felületi terhelés meglétét, és ily módon lehetővé vált izoparametrikus elemeket alkalmazni elsőrendű feszültségfüggvényekre. Ha elsőrendű feszültségfüggvényeket alkalmazunk, akkor a feszültségek meghatározása a feszültségfüggvények első deriváltjainak számítását igényli, ellentétben az Airy féle másodrendű feszültségfüggvénnyel [35], ennek ismeretében ui. második deriváltak adják a feszültségeket. Az elsőrendű feszültségfüggvény idézett tulajdonsága vonzóvá teszi ezeket a függvényeket a peremelemes alkalmazások számára, annak ellenére, hogy a nyomatéki egyensúly fenntartása egy további egyenletet igényel. Megjegyezzük, hogy az Airy féle feszültségfüggvény alkalmazásának rendkívül bő irodalma van. A teljesség igénye nélkül emeljük ki ehelyütt Muszkhelisvili és iskolája eredményeit [36]. Muszkhelisvili felismerte, hogy az Airy féle feszültségfüggvényre vonatkozó megoldás két reguláris komplex függvény segítségével adható meg. Mivel ez a megoldás teljesíti a vonatkozó mezőegyenletet – a kompatibilitási egyenletet Airy féle feszültségfüggvénnyel – egy adott peremértékfeladat megoldásához csak a peremfeltételek kielégítését kell biztosítani. Az elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazása kapcsán számos kérdés merül fel. Mivel duál rendszerben vagyunk, tisztázni kell az egyértékűség szükséges és elégséges feltételeit, különös tekintettel a vegyes peremértékfeladatokra és a többszörösen összefüggő tartomány esetére. Meg kell keresni az elsőrendű feszültségfüggvényekre vonatkozó alapmegoldást is. Az alapmegoldás ismeretében mód nyílik a Somigliana féle identitás [37] duál rendszerbeni analogonjának felállítására és ily módon az úgynevezett direkt2 módszer integrálegyenletei is adódnak. Homogén izotrop testre Szeidl [38, 28] valamint Szeidl és Szirbik [39] vizsgálta részletesebben a kérdést. Az idézett művek részletes választ adnak a felvetett problémákra, ha a vizsgálat tárgyát képző test homogén és izotrop. A kidolgozott eljárás használhatóságát numerikus példák is szemléltetik. Ha azonban ortortóp a vizsgálat tárgyát képező test, akkor meg kell ismételni a [38, 28] valamint a [39] tanulmányok vizsgálatait. Ez fel kell, hogy ölelje az alapegyenletrenszer felírását, az első és másodrendű alapmegoldások előállítását, a duál Somigliana relációk levezetését belső és külső tartományra felállítva ezzel a direkt módszer integrálegyenleteit duál rendszerben ortotrop testre, valamint megoldási algoritmus kidolgozását, illetve a kidolgozott algoritmuson alapuló számítóprogram kifejlesztését, illetve numerikus számítások végrehajtását. A fentiekben áttekintett problémák alapján az értekezés megfogalmazza az alábbi 2. Célkitűzést: Az értekezés ortotrop rugalmas test duál rendszerbeli síkbeli klasszikus feladataira – meghatározza a duál alapegyenlethez tartozó ún. első- és másodrendű alapmegoldást, illetve tisztázza ezek tulajdonságait, – meghatározza a duál Somigliana identitást és ennek alapján levezeti a duál Somigliana formulákat mind belső-, mind pedig külső tartományra (ezek közül a második a direkt módszer integrálegyenlete), – tisztázza a megoldási algoritmust és programot dolgoz ki a numerikus megoldás érdekében, majd számpéldákon keresztül illusztrálja annak alkalmazhatóságát. 10.2.3. Vizsgálatok duál rendszerben – mikropoláris eset. A mikropoláris rugalmasságtan egyenletei, hasonlóan a klasszikus esthez, mind primál, mind pedig duál rendszerben megadhatók. A fenti Tonti sémáját [40] követő osztályozás a mikropoláris rugalmasságtan ún. első síkfeladatára a [41] értekezéseben lelhető fel. A mikropoláris rugalmasságtan primál rendszerében tekintett első síkfeladat integrálegyenleteit elsőként D. Ieasan [42] cikke adta meg. Az idézett cikk eredményeit pontosította, különös tekintettel a külső tartományokra vonatkozó és vegyes peremértékfeladatokra, illetve egzisztencia bizonyítással is kiegészítette Schiavone [43]. Peremelem módszeren alapuló numerikus megoldásról a primál rendszer keretei között FuangYuan és Keo-Zoo [44] alatti tanulmánya ad számot. A szerző ismeretei szerint kezdeti lépésektől eltekintve [45] nem került sor hasonló vizsgálatokra az első síkfeladat duál rendszerű 2Ismét hangsúlyozzuk, hogy direkt módszerről beszélünk, ha a vonatkozó integrálegyenletekben a test peremén

vett egyes fizikai mennyiségek az ismeretlenek.

10. Összefoglalás

87

megfogalmazása esetén – ebben a tekintetben a [41] értekezésre, valamint a [46] és a [47] cikkekre utalunk, melyekben további hivatkozások is találhatók. A fentiek alapján az értekezés a mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata esetén duál rendszerben szeretné tisztázni a direkt módszer alapjait, és ennek érdekében megfogalmazza a 3. Célkitűzést: Az értekezés izotrop mikropoláris rugalmas test duál rendszerbeli síkbeli feladataira – meghatározza a duál alapegyenlethez tartozó ún. első- és másodrendű alapmegoldásokat, tisztázza azok tulajdonságait, és ezek ismeretében – kiindulva a duál Somigliana identitásból levezeti a duál Somigliana formulákat mind belső, mind pedig külső tartományra (ezek közül a második a direkt módszer integrálegyenlete), – illetve tisztázza a feszültségek számításának módját a mind a peremgörbén, mind pedig a belső pontokban. 10.3. Eredmények Az alábbiak az értekezés gondolatmenetének sorrendjében tézisekbe foglalva ismertetik az eredményeket. 1. Tézis: Ortotrop testek síkfeladatai esetén a klasszikus rugalmasságtan primál rendszerében – módosítottam és kiegészítettem a direkt peremelem módszer egyenleteit annak érdekében, hogy a végtelen távoli pont konstans feszültségi állapotát leíró tagok megjelenjenek a formalizmusban (a vonatkozó tag helyességét kétféleképpen is igazoltam). (Program készült a numerikus megoldás előállítására, és a bemutatott tesztfeladatok jól illusztrálják a program alkalmazhatóságát). 2. Tézis: Ortotrop testek síkfeladatai esetén a klasszikus rugalmasságtan duál rendszerében – meghatároztam az első- és másodrendű alapmegoldásokat és megvizsgáltam azok tulajdonságait, – megadtam a duál Somigliana identitást, és ennek felhasználásával levezettem a három duál Somigliana formulát mind belső, mind pedig külső tartományra (külső tartomány esetén konstans lehet a végtelen távoli pont feszültségi állapota), – formulákat vezettem be a feszültségek belső pontban és peremen történő meghatározására (számítására) és végül – kidolgoztam a számítás algoritmusát, és ezzel összefüggésben megmutattam, hogy hogyan számíthatók az erősen szinguláris integrálok. (Program készült a numerikus megoldás előállítására, és a bemutatott tesztfeladatok jól illusztrálják a program alkalmazhatóságát. A program forráslistáját külön függelék közli). 3. Tézis: Izotrop mikropoláris rugalmas testek első síkfeladata esetén duál rendszerben – meghatároztam az első- és másodrendű alapmegoldásokat és megvizsgáltam azok tulajdonságait, – megadtam a duál Somigliana identitást, és ennek felhasználásával levezettem a három duál Somigliana formulát belső és külső tartományra egyaránt, és végül – levezettem a feszültségek belső és peremen történő maghatározáshoz (számításához) szükséges képleteket. 10.4. Az eredmények hasznosításának lehetőségei Az eredmények hasznosítása, figyelembe véve, hogy azok egy része elvi jellegű, elsősorban a peremelem módszer területén végzett kutatómunkában, kereskedelmi célú programok kifejlesztésében, az oktatásban, illetve a továbbképzésben várható. Hasznosítási lehetőség kínálkozik többek között – további duál rendszerre vonatkozó vizsgálatokban: alapmegoldások előállítása síkfeladatokra és anizotrop testre, melyek birtokában kidolgozható a direkt peremelem módszer;

88

10.5. Legfontosabb publikációk az értekezés témakörében – a kidolgozott peremelemes algoritmus és megoldási eljárás kiterjeszthető többszörösen összefüggő tartományok esetén (ekkor be kell építeni az algoritmusba a kompatibilitás makro feltételeit) és végül – a kereskedelmi célú peremelemes programok fejlesztésében, illetve az ún. peremkontúr módszer duál rendszerbeni kidolgozásában ortotrop testek, illetve mikropoláris anyagú testek esetén. 10.5. Legfontosabb publikációk az értekezés témakörében

Idegen nyelvű folyóirat : 1. György Szeidl, Judit Dudra, (2007), Boundary integral equations for plane orthotropic bodies and exterior regions, Electronic Journal of Boundary Elements, (elfogadva, megjelenés alatt). 2. György Szeidl, Judit Dudra, (2007), BEM formulation plane orthotropic bodies - a modification for exterior regions and its proof, Periodica Polytechnica, Civil Engineering, Vol. 51/2, pp. 23-35. 3. György Szeidl, Judit Dudra, (2009), On the direct BEM formulation in the dual system of plane elasticity for orthotropic bodies, Engineering Analysis with Boundary Elements, bírálatra benyujtva 2009. április 22-én, letölthető a http://www.mech.uni−miskolc.hu/staff/lecturers/G_Szeidl.html url címről. Magyar nyelvű folyóirat : 4. Dudra Judit, (2005), Alapmegoldások duál rendszerbeli síkfeladatokra ortotrop test esetén, Miskolci Egyetem – GÉP folyóirat, LVI. évfolyam, Vol. 2005/5, pp. 21-27. 5. Dudra Judit, (2007), A direkt módszer integrálegyenletei a mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladatára duál rendszerben, Miskolci Egyetem – GÉP folyóirat, LVIII. évfolyam, Vol. 2007/5-6. pp. 16-24. Idegen nyelvű konferencia kiadvány : 6. Judit Dudra, György Szeidl, (2005), Fundamental solutions and dual Somigliana relations for inner regions and an orthotropic body, microCAD 2005, International Scientific Conference, Section G : Applied Mechanics. Modern Numerical Methods, University of Miskolc, Hungary, pp. 31-36. 7. György Szeidl, Judit Dudra, (2006), Boundary integral equations for plane orthotropic bodies - novel formulation for exterior region, microCAD 2006, International Scientific Conference, Section G : Applied Mechanics, University of Miskolc, Hungary, pp. 13-18. 8. György Szeidl, Judit Dudra, (2006), BEM formulations for plane orthotropic bodies and exterior region, COMAT 2006, Advanced Composite Materials Engineering, Transilvania University of Brasov, Romania, CD, ISBN 973-635-821-8, ISBN 978-635-821-0. 9. Judit Dudra, (2007), Integral equations in the dual system of micropolar elasticity for the first plane problem, microCAD 2007, International Scientific Conference, Section F: Applied Mechanics, University of Miskolc, Hungary, pp. 1-6. 10. György Szeidl, Judit Dudra, (2007), Boundary integral equations for plane orthotropic bodies in a dual formulation, COMEC 2007, Computational Mechanics and Virtual Engineering, Brasov, Romania, ISBN 978-973-598-117-4 11. György Szeidl, Judit Dudra, (2008), Boundary integral equations for the first plane problem and exterior regions in the dual system of micropolar elasticity, microCAD 2008, International Scientific Conference, Section F: Applied Mechanics, University of Miskolc, Hungary, pp. 67-72.

10. Összefoglalás

89

12. György Szeidl, Judit Dudra, (2009), Integral equations in terms of stress functions of order one for the first plane problem of micropolar elasticity, Computational Modeling and Advanced Simulations, June 30-July 3, 2009 Bratislava, Slovak Republic (Elfogadott előadás, amely az értekezésen túlmenően számítási eredményeket is tartalmaz, letölthető a http://www.mech.uni−miskolc.hu/staff/lecturers/G_Szeidl.html url címről.) Magyar nyelvű konferencia kiadvány : 13. Judit Dudra, (2004), Fundamental solutions in the dual system of plane elasticity for an orthotropic body, Doktoranduszok Fóruma, Miskolci Egyetem, pp. 59-64. 14. György Szeidl, Judit Dudra, (2005), On the direct BEM formulation for plane orthotropic bodies and exterior regions, Doktoranduszok Fóruma, Miskolci Egyetem, pp. 24-33. 15. György Szeidl, Judit Dudra, (2006), Fundamental solutions for plane strain problem of micropolar elasticity, Doktoranduszok Fóruma, Miskolci Egyetem, pp. 38-43. 16. Dudra Judit, (2006), Peremelem módszer integrálegyenletei külső tartományra végtelen távoli pont feszültségállapotának figyelembevételével, OGÉT 2006, XIV. Nemzetközi Gépész Találkozó, Marosvásárhely, Románia, pp. 109-112. Szakmai előadás idegen nyelven : 17. Judit Dudra, (2005), Plane strain problem for an orthotropic body in the dual system of plane elasticity, FUDoM 05, Finno-Ugric International Conference of Mechanics with Esi Group Symposium, Ráckeve, Hungary. Szakmai előadás magyar nyelven : 18. Dudra Judit, Szeidl György, (2007), Peremelem módszer síkfeladatokra ortotrop testek esetén duál rendszerben, X. Magyar Mechanikai Konferencia, Miskolci Egyetem.

11. FEJEZET

Summary Boundary element method for plane problems of orthotropic and micropolar bodies in the primal and dual system of elasticity PhD thesis written by Judit Dudra 11.1 A large literature studies plane problems for orthotropic bodies, including [6], [16], [24] as well as the books [25, 26] and the references therein. However, as explained by [27], the standard formulation for exterior regions has the disadvantage that no stresses can be prescribed at infinity. The reason is that an assumption about the far field pattern of the displacements is needed in order to establish an appropriate Betti’s formula and to prove uniqueness and existence for the exterior Dirchlet and Neuman problems. To make progress on plane problems with such displacements, we note that if the direct formulation reproduces this displacement field, then the resulting strain and stress conditions must also be constant at infinity. Consequently, plane problems for the exterior regions can be attacked without replacing the region by a bounded one. Unfortunately, this assumption excludes those problems from the theory for which the displacements are linear while the strains and stresses are constant at infinity. Papers [23] and [28] by Szeidl present such direct formulations by assuming constant strains and stresses at infinity for an isotropic body. For exterior regions [23] reformulates the classical approach to plane problems. For the same class of problems but in a dual formulation [28] sets up the equations of the direct method in terms of stress functions of order one. In the present thesis we make an attempt to clarify how the formulation changes if we apply the ideas presented in paper [23] to orthotropic bodies in the primal system. 11.2 In spite of a great number of publications devoted to plane problems in the primal system of elasticity – without completeness we cite some classical works [5], [29] and [31] – there are only a few dealing with plane problems in the dual system elasticity, i.e., regarding real stress functions of order one as fundamental variables. If we use stress function of order one calculation of stresses requires the determination of the first derivatives - in contrast to stress functions of order two from which stresses can be obtained in terms of the second derivatives - and this property makes them attractive in boundary element applications though a further equation is needed to ensure that the stresses be symmetric. Assuming homogenous and isotropic materials Szeidl [38, 28] investigated the plane problem in the dual system of elasticity. If the material is orthotropic and homogenous one can repeat the line of thought presented in the papers [38, 28] and thesis [39]. Our aim is to find the fundamental solutions and the Somigliana relations in the dual system of plane elasticity for an orthotropic body provided that the stress functions of order one are the fundamental variables. Later we shall present an algorithm for the numerical solutions and some examples for numerical computations. 11.3 Integral equations for the first plane problem of micropolar plane strain can be found in a paper by D. Iesan [42]. His results has been made more accurate and precise for outer regions by Schiavone [43] who also included an investigation of the mixed boundary value problems. 90

11. Summary

91

To the author’s knowledge there have been no results reported on similar investigations in dual system of plane strain. Without attempting to give a rigorous definition here (in this respect we refer to Tonti’s paper [40]) we remind the reader that the governing equations of continuum mechanics in the dual system are formed by the equations giving the stresses in terms of stress functions (dual kinematic equations), the inverse form of Hook’s law (dual constitutive equations) and the compatibility conditions (dual balance equations) which should be associated with appropriate boundary conditions. In contrast to the primal system, in which the displacements are the basic variables, in the dual system stress functions of order one play the role of basic variables since all the intermediate variables can be given in terms of stress functions. 11.1. Novel results The results I have attained are organized into three short statements : Statement 1.: For plane problems of orthotropic bodies regarded in the primal system of classical elasticity – I have modified and supplemented the equations of the direct boundary element method valid for outer regions in order to include the presence of a constant stresses at infinity in the formulation (correctness of the equations obtained have been proved in two different ways). (A program has been developed in Fortran 90 and the examples that have been solved and are presented in the thesis illustrate the applicability of the code). Statement 2.: For plane problems of orthotropic bodies regarded in the dual system of classical elasticity – I have determined the fundamental solutions of order one and two and have clarified what properties they have, – I have established the dual Somigliana identity and by utilizing it I have determined the three dual Somigliana relations both for inner regions and for outer ones (in the latter case it is assumed that there is a constant stress condition at infinity), – equations have been derived for the calculation of the unknown stresses within the region considered and on its boundary, – I have set up an algorithm for the numerical solution and have also shown how to compute strongly singular integrals (without using a special integration algorithm). (A program has been developed in Fortran 90 and the examples that have been solved and are presented in the thesis illustrate the applicability of the code. Its list can be found in Appendix E). Statement 3.: For the first plane problem in the dual system of micropolar elasticity – I have determined the fundamental solutions of order one and two and have clarified what properties they have, – I have established the dual Somigliana identity and by utilizing it I have also determined the three dual Somigliana relations both for inner regions and for outer ones (in the latter case it is assumed that there is a constant stress condition at infinity), – equations have been derived for the calculation of the unknown stresses within the region considered and on its boundary.

Irodalomjegyzék [1] Hess, J. L.-Smith, and R. M. O. Calculation of Potential Flow about Tree Dimensional Bodies. Report No. E.S.40622, Douglas Aircraft Co., Long Beach, 1962. [2] Hess, J. L.-Smith, and R. M. O. Calculation of Potential Flow about Arbitrary Bodies. in Progress in Aeronautical Sciences, Vol.8. Edited by D. Kuchemann, London, 1967. [3] M. A. Jaswon and G. T. Symm. Integral Equation Methods in Potential Theory and Elastostatics. Academic Press, London – NewYork – San Francisco, 1977. [4] Jaswon, M.-Porter, and A. R. An Integral Equation Solution of the Torsion Problem. Proc. Roy. Soc. Ser. A., 273 :237–246, 1963. [5] F. J. Rizzo. An Integral Equation Approach to Boundary Value Problems of Classical Elastostatics. Q. J. Appl. Math., 25 :83–95, 1967. [6] F. J. Rizzo and D. J. Shippy. A Method for Stress Determination in Plane Anisotropic Bodies. Journal of Composite Materials, 4(1) :36–61, 1970. [7] J. M. Lachat. A Further Development of the Boundary Integral Technique for Elastostatics. Ph.d Thesis, University of Southampton, 1975. [8] Lachat, J. C.-Watson, and J. O. Effective Numerical Treatment of Boundary Integral Equations : A Formulation for Three Dimensional Elastostatics. International Journal for Numerical methods in Engineering, 10 :991–1005, 1976. [9] C. Patterson and M. A. Sheikh. Interelement continuity in the boundary element method. In C. A. Brebbia, editor, Topics in Boundary Element Research, Volume 1, Basic Principles and Applications, pages 123–140. Springer-Verlag, Berlin, New-York, Toronto, London, 1984. [10] J. M. Xu and C.A. C. A. Brebbia. Optimum positions for the nodes in discontinuous boundary elements. In Proceedings of the 8th Conference on Boundary Elements, Tokyo. Computational Mechanics Publications, 1986. [11] P. Parreira. On the accuracy of continuous and discontinuous elements. Engineering Analysis with Boundary Elements, 5 :205–211, 1988. [12] A. K. Mitra and M. S. Ingber. A multiple-node method to resolve the difficulties in the boundary integral equation method based on corners and discontinuous boundary conditions. Int. J. Numerical Methods in Engineering, 36 :1735–1746, 1993. [13] L. Hörmander. Liner Partial Differential Operators. Springer-Verlag, Berlin, 1964. [14] A. I. Lurie. On Theory of Systems of Linear Differential Equations with Constant Ceofficients. Transactions of the Leningrad Industrial Institute, Number 6., Section of Physics and Mathematics, 6(3) :31–36, 1937. [15]    .         .    , , 1963. [16] M. Vable and D. L. Sikarskie. Stress analysis in plane orthotropic material by the boundary element method. Int. J. Solids Structures, 24(1) :1–11, 1988. [17] M. P. Ariza A. Sáez and J. Domínguez. Three-Dimensional Fracture Analysis in Transversely Isotropic Solids. Engineering Analysis with Boundary Elements, 20 :287–298, 1997. [18] Y. C. Shiah and C. L. Tan. BEM Treatment of Two-Dimensional Anisotropic Field Problems by Direct Domain Mapping. Engineering Analysis with Boundary Elements, 20 :347–351, 1997. [19] Y. C. Shiah and C. L. Tan. BEM Treatment of Three-Dimensional Anisotropic Field Problems by Direct Domain Mapping. Engineering Analysis with Boundary Elements, 28 :43–52, 2004. [20] C. Y. Dong and Kang Yong Lee. A new integral equation formulation of two-dimensional inclusion-crack problems. International Journal of Solids and Structures, 42 :5010–5020, 2005. [21] C. Y. Dong and Kang Yong Lee. Stress analysis of an infinite anisotropic elastic medium containing inclusions using the boundary point method. Engineering Analysis with Boundary Elements, 28 :1293–1302, 2004. [22] C. Y. Dong and Kang Yong Lee. Boundary element analysis of infinite anisotropic elastic medium containing inclusions and cracks. Engineering Analysis with Boundary Elements, 29 :562–569, 2005. [23] Gy. Szeidl. Boundary integral equations for plane problems – remark to the formulation for exterior regions. Publications of the University of Miskolc, Series D, Natural Sciences, Mathematics, 40(1) :79–88, 1999. [24] L. Huang, X. Sun, Y. Liu, and Z. Cen. Parameter Identification for Two-Dimensional Orthotropic Material Bodies by the Boundary Element Method. Engineering Analysis with Boundary Elements, 28(2) :109–121, 2004. [25] P. K. Banarjee and R. Butterfield. Boundary Element Methods in Engineering Science. Mir, Moscow, 1984. [26] P. K. Banarjee. The Boundary Element Methods in Engineering. McGraw-Hill, New York, 1994. 92

11. Irodalomjegyzék

93

[27] P. Schiavone and Chong-Quing Ru. On the Exterior Mixed Problem in Plane Elasticity. Mathematics and Mechanics of Solids, 1 :335–342, 1996. [28] Gy. Szeidl. Boundary Integral Equations for Plane Problems in Terms of Stress Functions of Order One. Journal of Computational and Applied Mechanics, 2(2) :237–261, 2001. [29] B. H. G. Brady. A Direct Formulation of the Boundary Element Method of Stress Analysis for Complete Plane Strain. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr., 16 :235–244, 1979. [30] J. O. Watson. Advanced Implementation of the Boundary Element Method for Two– and Three–dimensional Elastostatics. In P. K. Banarjee and R. Butterfield, editors, Developments in Boundary Element Methods–1, The Development Series, chapter 3, pages 31–63. Applied Science, London, first edition, 1979. [31] Wen-Jun He, Hao-Jiang Ding, and Hai-Chang Hu. A Necessary and Sufficient Boundary Integral Formulation for Plane Elasticity Problems. Communications in Numerical Methods and Engineering, 12 :413–424, 1996. [32] M. A. Jaswon, M. Maiti, and G. T. Symm. Numerical Biharmonic Analysis and Some Applications. Int. J. Solids Structures, 3 :309–332, 1967. [33] B. M. Fraeijs de Veubeke. Stress Function Approach. In Proc. World. Cong. on Finite Element Methods in Structural Mechanics, pages J1–J51, 1975. [34] B. M. Fraeijs de Veubeke and A. Millard. Discretization of Stress Fields in Finite Element Method. J. Franklin Inst., 302 :389–412, 1976. [35] G.B. Airy. On the Strains in the Interior of Beams. Phil. Trans. Roy. Soc. London, 153 :49–80, 1863.    .     [36]   .           ! "   #, , 1966. [37] C. Somigliana. Sopra l’ equilibrio di un corpo elastico isotropo I. Nuovo Cimento, 17 – 20 :140–148, 272–276 ; 161–166 ; 84–90, 278–282 ; 181–185, 1885–1886. [38] Gy. Szeidl. Kinematic Admissibility of Strains for Same Mixed Boundary Value Problems in the Dual System of Micropolar Theory of Elasticity. Journal of Computational and Applied Mechanics, 1(2) :191–203, 2000. [39] Gy. Szeidl and S. Szirbik. New Developments in the Boundary Element Method : Boundary Contour Method for Plane Problems in a Dual Formulation with Quadratic Shape Functions, chapter 14. Springer-Verlag, 2002. [40] E. Tonti. A Mathematical Model for Physical Theories I. II. Rendiconti Accademia Nazionale dei Lincei, pages 175–181 ; 351–356, 1972. [41] Gy. Szeidl. Variational Principles and Solutions to Some Boundary Value Problems in the Asymmetric Elasticity [A nemszimmetrikus rugalmasságtan duál variációs elvei és egyes peremértékfeladatainak megoldása]. Ph. D. Thesis, Hungarian Academy of Sciences, 1985. (in Hungarian). [42] D. Iesan. Existence Theorems in the Theory of Micropolar Elasticity. International Journal of Engineering Sciences, 8 :777–791, 1970. [43] P. Schiavone. Integral Equation Methods in Plane Asymmetric Elasticity. Journal of Elasticity, 43 :31–43, 1996. [44] Fuang-Yuan Keo and Keo Zoo Liang. Boundary element analysis of stress concentration in micropolar elastic plate. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40 :1611–1622, 1997. [45] Gy. Szeidl and I. Iván. Fundamental solutions and boundary integral equations for the first plane problem of micropolar elastostatics in dual system. In Conference on Numerical Methods and Computational Mechanics, Abstracts, page 74. University of Miskolc, July 15-19,1996. [46] Gy. Szeidl and I. Iván. Macro Conditions of Compatibility and Strain Boundary Condititons for Some Mixed Plane Boundary Value Problems of Micropolar Elastostatics. Publications of the University of Miskolc, Series D, Natural Sciences, Mathematics, 36(2) :35–45, 1996. [47] Gy. Szeidl. Dual Variational Principles for the First Plane Problem of Micropolar Elastostatics. Publ TUHI., Series D, Natural Sciences, 35(3) :3–20, 1982. [48] $ % &. '(      .   " , , 1977. [49] I. Kozák. Theory of Thin Shells in Terms of Stresses [Vékony héjak feszültségmezővel felépített elmélete]. Dr. Sc. Thesis, Hungarian Academy of Sciences, 1988. (in Hungarian). [50] Gy. Szeidl. Kontinuummechanikai Feladatok Duál Felépítésben, Értelmező egyenletek származtatása, vegyes peremértékfeladatok megoldásának egyértékűsége, peremelem módszer síkfeladatokra. MTA Doktori Értekezés, Miskolc, 2004, elfogadva 2006. február 26.  (+  ,      . [51] ) % %.   *     $$$-, , 1930. [52] W. Nowaczky. Theory of Micropolar Elasticity. Springer Verlag, Wien – NewYork – Udine, 1970. [53] H. Schaefer. Die Spannungsfunktionen eines Kontinuums mit momentenspannungen i.–ii. Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences, Serie des sinces techniques, 15(1) :63–67, 69–73, 1967. [54] D. E. Carlson. On Günthers Stress Functions for Couple Stresses. Quart. Appl. Math., 25 :139–146, 1967. [55] I. Kozák and Gy. Szeidl. Contribution to the Field Equations and Boundary Conditions in Terms of Stresses of the First Plane Problem of Micropolar Elasticity. Publ TUHI., Series D, Natural Sciences, 34(2) :135–146, 1981. [56] D. Iesan. Classical and Generalized Models of Elastic of Rods. Chapman & Hall/CRC, 2009. [57] A. Erdélyi. Higher Transcendental Functions, volume 2. McGraw–Hill, NewYork–Toronto–London, 1953.

94

11.1.

[58] Janke-Emde-Lösch. Taflen Höheren Funktionen. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 1960. [59] I. S. Gradstein and I. M. Ryzhik. Tabble of Integrals. Series and Products, Moscow, Nauka Pub. (in Russian), 1963. [60] I. S. Gradstein and I. M. Ryzhik. Tabble of Integrals. Series and Products, Academic, New York, 1980.

Ábrák jegyzéke 1

Egyszeresen összefüggő belső és külső tartomány

1

2 3 4 5

Az Ai belső tartomány, Q és Mo pontok képeivel, valamint a vonatkozó vektorok és távolságok szemléltetésével Az Ae tartomány képe Jelölések Q −→ ∞ esetén A vizsgált külső tartomány hagyományos és pontos modellezése

11 12 20 22

6

Belső és külső tartomány

24

7 8 9

A vizsgált tartomány A vizsgált tartományok a Q pont elhelyezkedésétől függően (1-2 eset) A vizsgált tartományok a Q pont elhelyezkedésétől függően (3. eset)

41 43 43

10 Külső tartomány, a Q belső pont 11 A t és n vektor kapcsolata

49 51

12 Húzás esete 13 Hajlítás esete

56 57

14 A vizsgált belső tartomány

59

15 A vizsgálat tárgyát képező tartomány

72

16 Külső tartomány, a Q belső pont

78

95

Táblázatok jegyzéke 1 2

Köralakú kivágással gyengített síkra vonatkozó eredmények Eredmények merev zárvány esetén

23 23

3 4 5 6

Húzás esetén számított értékek Hajlítás esetén számított értékek Köralakú kivágással gyengített síkra vonatkozó eredmények duál rendszerben Eredmények merev zárvány esetén duál rendszerben

57 57 58 58

96

A. FÜGGELÉK

Átalakítások a primál rendszerbeni számításokhoz A.1. Trigonometrikus integrálok (3)

(4)

Az I κ + I κ integrálok határértékének meghatározása közben az alábbi trigonometrikus integrálokat használtuk föl: 1 eR

1 eR

1 eR

1 eR

 LR

n1 ln

1 eR

n2 ln

 LR

n1 lne R ds = ln e R

 LR

n2 ln e R ds = lne R

LR

sin ψ dψ = 0 ,

(A.2)

0

λα n21 + n22





λα n21 + n22





2π ds =

  (cos ψ) ln λα cos2 ψ + sin2 ψ dψ = 0 ,

2π ds =

 LR

LR



2π

0

n1 n2 ds = λα n21 + n22

n22 ds = λα n21 + n22

(A.3)

  (sin ψ) ln λα cos2 ψ + sin2 ψ dψ = 0 ,

(A.4)



2π cos2 ψ √ , dψ = 2 2 λα cos ψ + sin ψ λα + λα 

2π 0

2π

(A.5)

cos ψ sin ψ dψ = 0 , λα cos2 ψ + sin2 ψ

(A.6)

2π sin2 ψ , dψ = √ 2 2 λα cos ψ + sin ψ λa + 1

(A.7)

0

n31 n2



ds = λ1 n21 + n22 λ1 n21 + n22

0



(A.1)

2π

2π =

1 eR

cos ψ dψ = 0 , 0

n21 ds = λα n21 + n22

LR

1 eR

1 eR

LR

0



1 eR

2π

0

 LR





cos3 ψ sin ψ



dψ = 0 , λ1 cos2 ψ + sin2 ψ λ2 cos2 ψ + sin2 ψ

(A.8)

n1 n32



ds = λ1 n21 + n22 λ1 n21 + n22 2π = 0

cos ψ sin3 ψ



dψ = 0 , λ1 cos2 ψ + sin2 ψ λ2 cos2 ψ + sin2 ψ 97

(A.9)

98

A.2. Részintegrálok összegeinek számítása 1 eR

 LR



n41



ds = λ1 n21 + n22 λ2 n21 + n22 2π =− 0

1 eR

 LR



cos4 ψ



dψ = λ1 cos2 ψ + sin2 ψ λ2 cos2 ψ + sin2 ψ √ √ λ1 + λ2 + 1

√

, (A.10) √ √ √ = 2π√ λ1 λ2 λ1 + λ2 λ1 + 1 λ2 + 1

n21 n22



ds = λ1 n21 + n22 λ2 n21 + n22 2π = 0

cos2 ψ sin2 ψ



dψ = λ1 cos2 ψ + sin2 ψ λ2 cos2 ψ + sin2 ψ = 2π √

1 eR

 LR

1

√

, (A.11)

√ λ1 + λ2 λ1 + 1 λ2 + 1 √

n42 ds = n41 λ1 λ2 + n42 + (λ1 + λ2 ) n21 n22 2π sin4 ψ



dψ = = λ1 cos2 ψ + sin2 ψ λ2 cos2 ψ + sin2 ψ 0 √ √ √ √ λ1 + λ2 + λ1 λ2

√

. (A.12) √ √ = 2 π √ λ1 + λ2 λ1 + 1 λ2 + 1

A fentebb részletezett integrálokat részben a Maple 9.5 számítógépes program segítségével határoztuk meg, részben pedig az [59, 60] integráltáblázatokból vettük.

A.2. Részintegrálok összegeinek számítása (31)

(34)

A.2.1. (42a)1 egyenlet igazolása. Az I 11 , I – lásd a (38a), (38d) és (40a) összefüggéseket – a 2π − 2 s12 − s11 s22

(41) 11

és I

11

integrálok helyettesítése után

7 √ √  A21 λ2 A22 λ1 λ1 − λ2

√

− √ − √ + s21 DA1 A2 √ s22 D 1 + λ2 1 + λ1 λ1 + 1 λ2 + 1 √ √ λ2 λ1 + 2πDA2 √ − 1 (A.13) − 2πDA1 √ λ2 + 1 λ1 + 1

6



alakra hozható a kérdéses egyenlet. Szorozzunk át a (s212 − s11 s22 )(λ1 − 1)(λ2 − 1) kifejezéssel. Néhány egyszerű átalakítás után kapjuk, hogy      .    λ1 + 1 − A22 λ1 λ2 + 1 + s21 A1 A2 λ1 − λ2 + s22 A21 λ2  /      

   λ1 + 1 − A2 λ1 λ2 + 1 λ1 − 1 λ2 − 1 + + s212 − s11 s22 A1 λ2

+ (λ1 − λ2 ) s22 s212 − s11 s22 (λ1 − 1) (λ2 − 1) . (A.14)

A. Átalakítások a primál rendszerbeni számításokhoz Vegyük észre, hogy egyszerűsíthetünk a jük a (13) összefüggést, egyenletünk a

√

99

√

λ1 − 1 λ2 − 1 szorzattal. Ha emellett helyettesít-

   

 λ1 + 1 (s12 − λ1 s22 )s22 λ2 + s212 − s11 s22 + − (s12 − λ1 s22 ) λ2    

 λ2 + 1 (s12 − λ2 s22 )s22 λ1 + s212 − s11 s22 − + (s12 − λ2 s22 ) λ1   

 λ1 + 1 λ2 + 1 − − (λ1 − λ2 ) s22 s212 − s11 s22    λ1 − λ2 = 0 − s21 (s12 − λ1 s22 )(s12 − λ2 s22 )

(A.15)

√ √ alakra hozható, amely lehetőséget biztosít a ( λ1 − λ2 ) különbséggel történő átosztásra. Ily módon adódik, hogy 3

3

− λ12 λ22 s322 + λ1 s11 s222 + λ2 s11 s222 − λ1 λ22 s322 −

  3 3 − λ21 λ2 s322 − λ1 λ22 s322 − λ12 λ2 s322 + λ1 s11 s222 + λ2 s11 s222 − s11 s12 s22 +   + λ1 λ2 s11 s222 + 2λ1 λ2 s12 s222 − λ1 λ2 s21 s222 = 0 , (A.16)

ahol λ1 s11 s222 + λ2 s11 s222 = s222 s11 (λ1 + λ2 ) = s222 s11

2s12 + s66 = (2s12 + s66 ) s22 s11 s22

és −λ1 λ22 s322 − λ21 λ2 s322 = −λ2 λ1 s322 (λ1 + λ2 ) = −

s11 3 2s12 + s66 s = − (2s12 + s66 ) s22 s11 . s22 22 s22

Következésképp 3

3

3

3

− λ12 λ22 s322 − λ1 λ22 s322 − λ12 λ2 s322 +

  λ1 s11 s222 + λ2 s11 s222 − s11 s12 s22 +   + λ1 λ2 s11 s222 + λ1 λ2 s12 s222 = 0 .

Itt 3 2

3

− λ1 λ2 s322 − λ12 λ2 s322

=

−s322

 3 3   2 2 λ1 λ2 + λ1 λ2 = −s322 λ1 λ2 ( λ1 + λ2 ) = = −s322

és



λ1 s11 s222 +



    s11  ( λ1 + λ2 ) = −s222 s11 λ1 + λ2 s22

λ2 s11 s222 = s222 s11



λ1 +

  λ2 .

Ennek következtében 3

3

− λ12 λ22 s322 − s11 s12 s22 +





λ2 s11 s222 + λ1 λ2 s12 s222 =  3 3 3 3 2 2 2 3 2 2 = −λ1 λ2 s22 + s22 s12 λ1 λ2 − s22 λ1 λ2 + λ1 λ2 s12 s222 = λ1

    3 3 = s22 s11 s22 λ1 λ2 − s12 − λ12 λ22 s322 + λ1 λ2 s12 s222 =         = s22 s11 s22 λ1 λ2 − s12 − s22 s11 s22 λ1 λ2 − s12 = 0 , ami azt jelenti, hogy a baloldal valóban zérus.

100

A.2. Részintegrálok összegeinek számítása (32)

(33)

(42)

(43)

A.2.2. (42a)2 egyenlet igazolása. Az I 12 , I 12 , I 12 és I 12 integrálok figyelembevétele – lásd a (38b), (38c) (40b) és (40c) összefüggéseket – és néhány egyszerűsítés elvégzése után kapjuk, hogy  √ √ √ √ λ2 λ1 λ1 − λ2 4πD 2 2

√

+ − A2 √ − A1 A2 √ A1 √ s66 λ2 + 1 λ1 + 1 λ1 + 1 λ2 + 1 √ √  λ2 − 1 λ1 − 1 − A2 √ − 1 = 0 . (A.17) + A1 √ λ2 + 1 λ1 + 1 A D értékének (15) alapján történő helyettesítése és a   s22 s66 (λ1 − λ2 ) ( λ1 + 1)( λ2 + 1) kifejezéssel történő átszorzás után az alábbiakat kapjuk :           2 2 λ1 + 1 − A2 λ1 λ2 + 1 − A1 A2 λ1 − λ2 − 2 A1 λ2         − s66 A1 ( λ1 + 1) 1 − λ2 − A2 ( λ2 + 1)(1 − λ1 ) −   − s22 s66 (λ1 − λ2 ) ( λ1 + 1)( λ2 + 1) = 0 . (A.18) A (13) összefüggést felhasználva elemi átalakításokkal adódik, hogy       λ1 + 1 2(s12 − λ1 s22 ) λ2 − s66 1 − λ2 − (s12 − λ1 s22 )      λ2 + 1 2(s12 − λ2 s22 ) λ1 + s66 λ1 − 1 + − (s12 − λ2 s22 )      λ1 − λ2 − s22 s66 (λ1 − λ2 ) ( λ1 + 1)( λ2 + 1) = 0 . + 2(s12 − λ1 s22 )(s12 − λ2 s22 ) A baloldal szorzattá alakítása után          λ1 − λ2 s12 + s22 λ1 λ2 1 + λ1 + λ2 [s22 (λ1 + λ2 ) − 2s12 − s66 ] = 0 a vizsgálandó egyenlet. A szorzat első tényezője nyilvánvalóan különbözik zérustól. Ennélfogva a maradék két tényező vizsgálatát kell elvégeznünk. A második szorzótényezőre nézve írhatjuk, hogy s22 (λ1 + λ2 ) − 2s12 − s66 = −2s12 − s66 + s22

(2s12 + s66 ) = −2s12 − s66 + 2s12 + s66 = 0 . s22

Következésképp valóban eltűnik a (42a)2 egyenlet baloldala. (31)

(34)

(41)

A.2.3. (42a)3 egyenlet igazolása. A baloldalon megjelenő I 11 , I 11 és I 11 integrálok helyettesítése után – lásd a (38a), (38d) és (40d) összefüggéseket – a    √ √ λ2 λ1 λ1 − λ2 2πD 2 2

√

+ − A2 √ + s11 A1 A2 √ s12 A1 √ s212 − s11 s22 λ2 + 1 λ1 + 1 λ1 + 1 λ2 + 1   λ2 A1 λ1 A2

− √

= 0 (A.19) + 2πD √ λ1 + 1 λ2 + 1 √ √ eredményt kapjuk. Szorozzunk át a (s212 −s11 s22 )( λ2 +1)( λ1 +1) kifejezéssel és helyettesítsük a D-t adó (15) képletet:       s12 A21 λ2 ( λ1 + 1) − A22 λ1 ( λ2 + 1) + s11 A1 A2 ( λ1 − λ2 )+      λ2 + 1 − A1 λ2 λ1 + 1 = 0 . (A.20) + (s212 − s11 s22 ) A2 λ1

A. Átalakítások a primál rendszerbeni számításokhoz

101

Felhasználva a (13)-as összefüggést kapjuk, hogy   s12 (s12 − λ1 s22 )2 λ2 ( λ1 + 1) − s12 (s12 − λ2 s22 )2 λ1 ( λ2 + 1)+     λ2 + 1 − + s11 (s12 − λ1 s22 )(s12 − λ2 s22 )( λ1 − λ2 ) + (s212 − s11 s22 )(s12 − λ2 s22 )λ1   λ1 + 1 = 0 . (A.21) − (s212 − s11 s22 )(s12 − λ1 s22 )λ2 Vegyük észre, hogy a baloldal szorzattá alakítása után kapott          λ1 − λ2 −s12 + s22 λ1 + λ2 + λ1 + λ2 + λ1 λ2 (λ1 λ2 s22 − s11 ) = 0 egyenlet baloldalán zérus értékű az utolsó szorzótényező:  s11 s22 = −s11 + s11 = 0 . (−s11 + λ1 λ2 s22 ) = −s11 + s22 Ez azt jelenti, hogy helyes az igazolni kivánt a (42a)3 egyenlet. (31)

(34)

(41)

A.2.4. (42b)1 egyenlet igazolása. Felhasználva az I 22 , I 22 és I 22 integrálokat adó (38e), (38h) és (40e) képleteket kapjuk, hogy  √ √

  2 λ1 − λ2 s22 A1 A2 A22 1 1 A1 2πD

√

+ s21 √ √ √ −√ √ − s212 − s11 s22 λ1 + 1 λ2 + 1 λ1 λ1 + 1 λ2 λ2 + 1   A2 A1

− √ √

= 0 . (A.22) − 2πD √ √ λ1 λ1 + 1 λ2 λ2 + 1 Szorozzunk át a

      λ1 + 1 λ2 + 1 (s212 − s11 s22 ) λ1 λ2

kifejezéssel és helyettesítsük a (13)-as összefüggést. Adódik, hogy  3 3        λ1 − λ2 s312 λ1 + λ2 − s212 s21 + s312 + λ12 λ22 s322 − λ1 s212 s21 −     3 3  λ2 s212 s21 − −s11 s12 s22 − λ1 λ2 s11 s222 + λ1 λ22 s21 s222 − λ1 λ22 s12 s222 +      3 3 + λ12 λ2 s21 s222 − λ12 λ2 s12 s222 +λ1 λ2 s21 s222 − λ1 s11 s12 s22 − λ2 s11 s12 s22 +         3 3 2 2 2 2 2 2 +λ1 λ2 s21 s22 + λ1 λ2 s21 s22 + 2 λ1 λ2 s12 s22 − 2 λ1 λ2 s12 s22 = 0 .    √ √ Egyszerűsítsünk a λ1 − λ2 különbséggel és töröljük a kapcsos zárójellel aláhúzott tagokat (ezek együttese ui. eltűnik). Ha emellett azt is figyelembe vesszük, hogy −

−s212 s21 + s312 = −s312 + s321 = 0 , akkor 

3 3   λ1 s312 + λ2 s312 + λ12 λ22 s322 − λ1 s212 s21 −      3  − λ2 s212 s21 − s11 s12 s22 − λ1 λ2 s11 s222 + 2 λ1 λ2 s212 s22 − λ1 λ22 s12 s222 +  3 3 3  + λ1 λ22 s21 s222 − λ12 λ2 s12 s222 + λ12 λ2 s21 s222 + λ1 λ2 s21 s222 − λ1 s11 s12 s22 −   3 3  − λ2 s11 s12 s22 + λ1 λ22 s21 s222 + λ12 λ2 s21 s222 − 2 λ1 λ2 s12 s21 s22 = 0

102

A.2. Részintegrálok összegeinek számítása

az eredmény, amelyben 3

3

λ12 λ22 s322 − s11 s12 s22 −



λ1



λ2 s11 s222 + λ1 λ2 s21 s222 −   3 3 − λ1 s11 s12 s22 − λ2 s11 s12 s22 + λ1 λ22 s21 s222 + λ12 λ2 s21 s222 = 0 ,

és itt 3

3

 λ1 s11 s12 s22 − λ2 s11 s12 s22 =     = s21 s222 λ1 λ2 ( λ1 + λ2 ) − s11 s12 s22 ( λ1 + λ2 ) =    s11  ( λ1 + λ2 ) − s11 s12 s22 ( λ1 + λ2 ) = = s21 s222 s22     = s11 s12 s22 ( λ1 + λ2 ) − s11 s12 s22 ( λ1 + λ2 ) = 0 .

λ1 λ22 s21 s222 + λ12 λ2 s21 s222 −



Következésképp   3 3 λ12 λ22 s322 + λ1 λ2 s21 s222 − s11 s12 s22 − λ1 λ2 s11 s222 =     = s222 λ1 λ2 (s22 λ1 λ2 + s21 ) − s12 s22 (s11 + s22 λ1 λ2 ) =     s11 (s22 λ1 λ2 + s21 − s12 s22 (s11 + s22 λ1 λ2 ) = = s222 s22     = s11 s222 λ1 λ2 + s11 s12 s22 − s11 s12 s22 − s11 s222 λ1 λ2 = 0 , ami egyben a kivánt eredmény is. (32)

(33)

(42)

(43)

A.2.5. A (42b)2 egyenlet igazolása. Az I 21 , I 21 , I 21 és I 21 integrálok (38b), (38c) (40b) és (40c) képletek alapján történő helyettesítésével kapjuk, hogy   √ √ 1 1 λ1 − λ2 2 2 2

√

− − A2 √ − A1 A2 √ A1 √ 2πD s66 λ1 + 1 λ2 + 1 λ1 + 1 λ2 + 1 √ √   A1 λ1 λ2 A2 − √ − 2πD A1 √ − A2 √ = 1 . (A.23) − 2πD √ ( λ2 + 1) ( λ1 + 1) λ1 + 1 λ2 + 1 √ √ Szorozzunk át a s66 ( λ1 + 1)( λ2 + 1) kifejezéssel és osszunk át D-vel. Elemei átalakításokkal az alábbi egyenletet kapjuk       2 A21 ( λ2 + 1) − A22 ( λ1 + 1) − 2A1 A2 ( λ1 − λ2 )−           − s66 A2 ( λ1 + 1) − A1 ( λ2 + 1) − s66 A1 λ1 ( λ2 + 1) − A2 λ2 ( λ1 + 1) −   − (λ1 − λ2 )s22 s66 ( λ1 + 1)( λ2 + 1) = 0 . (A.24) A (13) képlet helyettesítse a   2(s12 − λ1 s22 )2 ( λ2 + 1) − 2(s12 − λ2 s22 )2 ( λ1 + 1)−       − 2(s12 − λ1 s22 )(s12 − λ2 s22 )( λ1 − λ2 ) + s66 (s12 − λ1 s22 )( λ2 + 1) 1 − λ1 +      λ2 − 1 − (λ1 − λ2 )s22 s66 ( λ1 + 1)( λ2 + 1) = 0 , (A.25) + s66 (s12 − λ2 s22 )( λ1 + 1) az ezt követő szorzattá történő átalakítás pedig a         λ1 − λ2 s12 + λ1 s22 + λ2 s22 + λ1 λ2 s22 (−2s12 − s66 + λ1 s22 + λ2 s22 ) = 0 eredményre vezet. A szorzat utolsó tényezője zérus értékű: (−2s12 − s66 + λ1 s22 + λ2 s22 ) = −2s12 − s66 + s22 (λ1 + λ2 ) = 2s12 + s66 = −2s12 − s66 + 2s12 + s66 = 0 . = −2s12 − s66 + s22 s22

A. Átalakítások a primál rendszerbeni számításokhoz

103

Következésképp helyes a bizonyítani kívánt egyenlet. (31)

(34)

(41)

A.2.6. A (42b)3 egyenlet igazolása. Az I 22 , I 22 és I 22 integrálok helyettesítése a (38e), (38h) és (40e) egyenletek alapján a  √ √   λ1 − λ2 s12 A1 A2 A21 A22 2πD

√

+ √ √ √ −√ √ − − 2 s12 − s11 s22 λ1 + 1 λ2 + 1 λ1 ( λ1 + 1) λ2 ( λ2 + 1)  A2 A1 −√ = 1 (A.26) − 2πD √ λ1 + 1 λ2 + 1 eredményre vezet. Szorozzunk át most a       λ1 + 1 λ2 + 1 (s212 − s11 s22 ) λ1 λ2 kifejezéssel. Elemi átalakításokkal kapjuk, hogy :          − s12 A1 A2 λ1 λ2 ( λ1 − λ2 ) − s11 A21 λ2 ( λ2 + 1) − A22 λ1 ( λ1 + 1) −       λ2 + 1 − A2 λ1 + 1 − − (s212 − s11 s22 ) λ1 λ2 A1      λ1 + 1 λ2 + 1 = 0 . (A.27) − (λ1 − λ2 ) s22 (s212 − s11 s22 ) λ1 λ2 A (13) összefüggés helyettesítésével innen az   s11 s12 λ1 − s11 s12 λ2 + s12 s22 λ1 λ22 − s12 s22 λ21 λ2 + s11 s12 λ1 − s11 s12 λ2 +   3 3 3 3 + s11 s22 λ1 λ2 − s11 s22 λ1 λ2 + s12 s22 λ1 λ22 − s12 s22 λ12 λ2 − s222 λ21 λ22 + s222 λ12 λ22 = 0

(A.28)

képlet következik. Ha szorzattá alakítjuk a baloldalt:         λ1 − λ2 s12 + λ1 s12 + λ2 s12 + λ1 λ2 s22 (s11 − λ1 λ2 s22 ) = 0 , akkor azonnal adódik, hogy zérus az utolsó szorzótényező:  s11 s22 = s11 − s11 = 0 . (s11 − λ1 λ2 s22 ) = s11 − s22 Következésképp helyes a (42b)3 egyenlet. A.3. Alakváltozási tenzor primál rendszerben külső tartományra Felhasználva a (17), (18) és (50) formulákat az (5) kinematikai egyenlet alapján   tλ (M◦ )Dλαβ (M◦ , Q) dsM◦ − uλ (M◦ )Sλαβ (M◦ , Q) dsM◦ , Q ∈ Ae eαβ = Lo

(A.29)

Lo

az alakváltozási tenzor a Q pontban, ahol Sλ11 = Tλ1 ∂1 , 1 Sλ12 = (Tλ2 ∂1 + Tλ1 ∂2 ) = Dλ21 , 2 Sλ22 = Tλ2 ∂2 .

Dλ11 = Uλ1 ∂1 , 1 Dλ12 = (Uλ2 ∂1 + Uλ1 ∂2 ) = Dλ21 , 2 Dλ22 = Uλ2 ∂2 , Ha bevezetjük a √ λ1 b1 = 2 , ρ1 3

√ b2 =

λ2 , ρ22

c=



λ1



λ2 r12 + r22 ,

  d = ( λ1 − λ2 )r2 ,

3

λ 2 A1 λ 2 A2 A1 , k1 = 1 2 , k2 = 2 2 , f1 = 3 ρ1 ρ2 (λ12 r12 + r22 )2

(A.30)

f2 =

3

A2

(λ22 r12 + r22 )2

(A.31)

104

A.3. Alakváltozási tenzor primál rendszerben külső tartományra

összefüggéseket, akkor az (A.30) képletekben szereplő deriváltak a

∂1 U11 = D b2 λ2 A21 r1 − b1 λ1 A22 r1 ,  DA1 A2    2 λ λ dr − cd = ∂1 U21 , 2 ∂1 U12 = 1 2 1 1 + d2 r12

∂1 U22 = D b1 A21 r1 − b2 A22 r1 ,

∂2 U11 = D b2 A21 r2 − b1 A22 r2 ,    DA1 A2  ∂2 U12 = r − c( λ − λ )r 2dr 1 2 1 2 1 = ∂2 U21 , 1 + d2 r12  2 A2 r2 A21 r2 √ − √ ∂2 U22 = −D ρ22 λ2 ρ21 λ1 és   2b2 λ2 A1 r1 2b1 λ1 A2 r1 − (r1 n1 + r2 n2 ) − D [b2 A1 − b1 A2 ] n1 , ∂1 T11 = D ρ22 ρ21   2b1 λ1 A1 r1 2b2 λ2 A2 r1 r1 n2 − D [b1 A1 − b2 A2 ] n2 − − ∂1 T12 = D ρ21 ρ22 − D [2f1 λ1 r1 − 2f2 λ2 r1 ] r2 n1 ,   2b1 λ21 A2 r1 2b1 λ22 A1 r1 − r1 n2 − D [b1 λ1 A2 − b2 λ2 A1 ] n2 − ∂1 T21 = D ρ21 ρ22   2b1 λ1 A2 r1 2b2 λ2 A1 r1 − r2 n1 , −D ρ21 ρ22   2b1 λ1 A1 r1 2b2 λ2 A2 r1 − (r1 n1 + r2 n2 ) − D [b1 A1 − b2 A2 ] n1 , ∂1 T22 = D ρ21 ρ22   b2 A1 2r2 b1 A2 2r2 − (r1 n1 + r2 n2 ) − D [ b2 A1 − b1 A2 ] n2 , ∂2 T11 = D ρ22 ρ21   b1 A1 2r2 b2 A2 2r2 − r1 n2 − D [2f1 r2 − 2f2 r2 ] r2 n1 + ∂2 T12 = D ρ21 ρ22 + D [f1 − f2 ] n1 ,     b1 λ1 A2 2r2 b2 λ2 A1 2r2 b1 A2 2r2 b2 A1 2r2 − − r1 n2 − D r2 n1 + ∂2 T21 = D ρ21 ρ22 ρ21 ρ22 + D [b1 A2 − b2 A1 ] n1 ,   b1 A1 2r2 b2 A2 2r2 − (r1 n1 + r2 n2 ) − D [b1 A1 − b2 A2 ] n2 ∂2 T22 = D ρ21 ρ22 módon írhatók fel.

(A.32)

(A.33a)

(A.33b)

B. FÜGGELÉK

Részletszámítások duál rendszerben – klasszikus eset B.1. Az elsőrendű alapmegoldás és az alapegyenlet Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a (109) egyenlettel értelmezett elsőrendű alapmegoldás oszlopai kielégítik M = Q esetén a (75) alapegyenletet, azaz 3 *

Dmk uk = 0,

(B.1)

m = 1,2,3 ,

k=1

ahol

 ⎤ s66 s66  s11 ∂2 ∂2 + ∂1 ∂1 − s12 + ∂1 ∂2 −∂1 ⎥ ⎢  4s s664 ⎥ 66 [Djk ] = ⎢ ∂ ∂ − s + ∂ s ∂ ∂ + ∂ −∂ ⎣ 21 1 2 22 1 1 2 2 2 ⎦ 4 4 −∂1 −∂2 0 ⎡

(B.2a)

és uk =

3 *

Ukl (M, Q)el (Q) ,

(B.2b)

l=1

amelyben [Ukl (M, Q)] = KIm

2 *

×

k=1

⎡

−dκ (2 ln ρk + 3) βk2 ⎢ dκ (2 ln ρk + 3) βk ×⎢ ⎣ 

 2dκ s21 + s266 βk2 + s22 ρk



 2dκ dκ (2 ln ρk + 3) βk s21 + s266 βk2 + s22 ρk 

 2dκ βk s66 2 −dκ (2 ln ρk + 3) + β s + s 12 11 k ρ 2 .k /

 s266 2dκ βk  s66 2 + β − s s − s + s − 2a βk2 dρκ2 12 11 33 21 66 k ρk 2 2

⎤ ⎥ ⎥. ⎦

k

(B.2c) Az ellenőrzést csak az uk = Uk1 oszlop estén végezzük el, mivel a másik két oszlop tekintetében ugyanígy kell eljárni. A számítások során rendre felhasználjuk majd az Ukl deriváltjaival kapcsolatos (119a) és (121a) képleteket. Az uk =Uk1 oszlopot, a (B.1) mátrixegyenlet első skaláregyenletét, és végül a β-val kapcsolatos (99b) egyenletet felhasználva írhatjuk, hogy s66 (U21 ∂2 − U11 ∂1 ) ∂1 − U31 ∂1 = (s11 U11 ∂2 − s12 U21 ∂1 ) ∂2 − 4 

 2  * s66 2 2 2 2 2  s66  2 2 3 2 βk + s22 = dκ β + β ∂1 + 2 s21 + −s11 βκ − s12 βκ ∂2 − =KIm ρκ ρκ 4 ρκ κ ρκ κ ρκ 2 κ=1 = KIm

2 * 2dκ  κ=1

ρ2κ

s11 βκ4 + s12 βκ2 +

 s66 2  s66  2 βκ + s21 + βκ + s22 = 2 2

= KIm

2 * 2dκ κ=1

105

[s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0 .   ρ2κ  0

106

B.2. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet A (B.1) mátrixegyenlet második skaláregyenlete estén ugyanígy kell eljárni:

s66 (U21 ∂2 − U11 ∂1 ) ∂2 − (s21 U11 ∂2 − s22 U21 ∂1 ) ∂1 − U31 ∂2 = 4  

2  * 2 3 2 2  s66  2 s66 2 2 2 2 βκ + s22 = =KIm dκ β + β ∂2 − −s21 βκ − s22 βκ ∂1 + 2 s21 + 4 ρκ κ ρκ κ ρκ ρκ ρκ 2 κ=1

2   * s66  3 2dκ  s66 3 s66 3 3 β − β − s21 βκ − s22 βκ + s21 + βκ + s22 βκ = − = KIm ρ2κ 4 κ 4 κ 2 κ=1

= KIm

2   * s66  3 s66  3 2dκ   β β + − s β + s + + s β − s =0. 21 22 κ 21 22 κ κ κ ρ2κ 2 2 κ=1

A (B.1) mátrixegyenletből adódó harmadik skaláregyenlet estén még egyszerűbb a számítás : −U21 ∂2 − U11 ∂1 = KIm

2 *

dκ

κ=1

2 2 2 2 β − β ρ2κ κ ρ2κ κ

 =0.

B.2. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a (136), valamint a (137a,. . .,f) képletekkel adott másodrendű alapmegoldás oszlopai kielégítik a Q változóban M = Q esetén a (75) alapegyenletet. Ez azt jelenti, hogy fenn kell állnia a  ⎤ ⎡ s66 s66  ∂1 ∂1 − s12 + ∂1 ∂2 −∂1 ⎡ T11 T12 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ s11 ∂2 ∂2 + ⎥ ⎢  4s s664 ⎥⎣ ⎢ 66 ⎦ ⎣ ⎦ (B.3) ∂1 ∂2 s22 ∂1 ∂1 + ∂2 ∂2 −∂2 ⎦ T21 T22 = 0 0 ⎣ − s21 + 4 4 T31 T32 0 0 −∂1 −∂2 0 egyenletnek. A számítások során minden esetben az alábbi sémát követjük : 1. a (137a), . . . , (137f) képletekből vesszük a Tkλ elemeit, 2. a helyettesítések és deriválások elvégzése után külön gyűjtjük össze az n1 és n2 együtthatóit,  3. nem írjuk ki a KIm 2k=1 dκ képletrészt (ez áttekinthetőbbé teszi a kapott eredményt és, mint az kiderül majd, nem zavarja az általánosságot), 4. ha szükséges, kihasználjuk a (79) egyenletet, és az átalakítások végén minden esetben felhasználjuk hogy a β a (99b) egyenlet gyöke. A másodrendű alapmegoldás Tk1 első oszlopát tekintve s66 (T21 ∂2 − T11 ∂1 ) ∂1 − T31 ∂1 = 0 (s11 T11 ∂2 − s12 T21 ∂1 ) ∂2 − 4

(B.4)

a (B.3) mátrixegyenlet első skaláregyenlete. A számítás fenti sémája szerint innen a  s66 4  s66 2 2  n1 2  n1 )βκ − s12 3 s66 βκ2 − n1 (s12 + )βκ − n1 s11 βκ4 − s11 3 − s66 βκ4 − n1 s22 βκ2 − n1 (s12 + ρκ 2 2 ρκ 2 2    s66 2 s66 2  s66 2 n1 s66 2 n1 2 4 2 s )β s )β − β − n (s + − n s β β − n s − n (s + + − − 66 κ 1 12 1 11 κ 66 κ 1 22 1 12 4 ρ3κ 2 2 κ 4 ρ3κ 2 2 κ   s66 2 n1 s266 2 2 n1 2 2 2 2 s66 (s12 + )β + s22 s66 − n1 s11 s22 βκ + n1 s21 βκ + n1 s21 s66 βκ + n1 β = − 3 ρκ 2 2 κ 2 4 κ   3 s266 2 3 2 3 4 2 β − s22 s66 = = n1 3 − s11 s66 βκ − s12 s66 βκ − 3 ρκ 4 2 4 κ 4 3 2 = − 3 n1 s66 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0    4 ρκ 0

B. Részletszámítások duál rendszerben – klasszikus eset

107

és a   s66 2   2  2  −n2 s11 βκ5 − n2 s12 βκ3 − s12 3 n2 s11 βκ3 + n2 s12 βκ − n2 s11 βκ3 + n2 s12 βκ + 3 3 ρκ ρκ 4 ρκ   s66 2 −n2 s11 βκ3 − n2 s12 βκ − + 4 ρ3κ  s66 3 s66 2  βκ − n2 s12 βκ + n2 s11 s22 βκ − n2 s11 s12 βκ3 = − 3 n2 s11 s12 βκ3 − n2 s212 βκ + n2 s11 ρκ 2 2  2  2 5 n2 3 −s11 βκ − 2s11 s12 βκ3 − s11 s66 βκ3 − s11 s22 βκ = ρκ 2 = −n2 s11 βκ 3 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0   ρκ 

s11

0

eredmény következik, ami a (B.4) egyenlet teljesülését jelenti. A másodrendű alapmegoldás Tk1 első oszlopát tekintve s66 (T21 ∂2 − T11 ∂1 ) ∂2 − (s21 T11 ∂2 − s22 T21 ∂1 ) ∂1 − T31 ∂2 = 0 4

(B.5)

a (B.3) mátrixegyenlet második skaláregyenlete. A számítás sémája szerint innen a  s 2  n s66 3 s66 3  s66 2  n1 66 1 3 5 3 s )β s )β − β − n (s + − n s β β − n s β − n (s + − − 66 1 12 1 11 66 1 22 κ 1 12 κ κ κ 4 ρ3κ 2 2 κ 4 ρ3κ 2 2 κ  s66 3  s66 2  n1 2  n1 )βκ + s22 3 s66 βκ − n1 (s12 + )βκ − n1 s11 βκ3 − −s21 3 − s66 βκ3 − n1 s22 βκ − n1 (s12 + ρκ 2 2 ρκ 2 2   s66 3 n1 s266 3 2 n1 3 2 3 3 s66 (s12 + )β + s66 s22 βκ − n1 s11 s22 βκ + n1 s21 βκ + n1 s21 s66 βκ + n1 β = − 3 ρκ 2 2 κ 2 4 κ   1 1 1 2 3 2 1 5 3 n1 3 − s11 s66 βκ − s22 s66 βκ − s21 s66 βκ − s66 βκ = ρκ 4 4 2 4 1 2 = −n1 3 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0 ,   4 ρκ  0

 s66 2    2  s66 2  4 2 4 2 4 2 s β + n s β s β − n s β s β − n s β n − −n − s −n + 2 11 2 12 2 11 2 12 21 2 11 2 12 κ κ κ κ κ κ 4 ρ3κ 4 ρ3κ ρ3κ  2  +s22 3 n2 s11 βκ2 + n2 s12 − ρκ  s66 4 s66 2 2  βκ − n2 s12 βκ + n2 s11 s22 βκ2 − n2 s11 s22 βκ4 = − 3 n2 s11 s12 βκ4 − n2 s212 βκ2 + n2 s11 ρκ 2 2  2  = n2 3 s12 s66 βκ2 + 2s212 βκ2 + s12 s22 + s11 s12 βκ4 = ρκ 2 = n2 s12 3 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0   ρκ  0

képletek következnek. Ez egyben a (B.5) fennállását jelenti. A másodrendű alapmegoldás Tk1 első oszlopát tekintve −T21 ∂2 − T11 ∂1 = 0

(B.6)

108

B.2. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet

a (B.3) mátrixegyenlet harmadik skaláregyenlete. Innen a korábbi gondolatmenetet követve a  n1 s66 2 2  3 2 4 s β + n s β + β − n (s + − n s β n s )β 2 11 κ 2 12 κ 66 κ 1 12 1 11 κ − ρ3κ 2 2 κ 2  n1 s66 2  − 3 −n2 s11 βκ3 − n2 s12 βκ − s66 βκ2 − n1 s22 − n1 (s12 + )β = ρκ 2 2 κ . / s66 2 s66 2 )β + s11 βκ4 + s22 + (s12 + )β = = −n1 (s12 + 2 κ 2 κ = −n1 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0 ,   

−

0

azaz a várt eredmény adódik. A másodrendű alapmegoldás Tk2 második oszlopát tekintve (s11 T12 ∂2 − s12 T22 ∂1 ) ∂2 −

s66 (T22 ∂2 − T12 ∂1 ) ∂1 − T32 ∂1 = 0 4

(B.7)

a (B.3) mátrixegyenletből adódó első skaláregyenlet. Innen a már megismert eljárással az   s66 2   2  2  n1 s21 βκ5 + n1 s22 βκ3 − s12 3 −n1 s21 βκ3 − n1 s22 βκ − −n1 s21 βκ3 − n1 s22 βκ + 3 3 ρκ ρκ 4 ρκ  s66 2  n1 s21 βκ3 + n1 s22 βκ − + 4 ρ3κ  s66 3 s66 2  βκ + n1 s21 βκ − n1 s22 s21 βκ + n1 s22 s11 βκ3 = − 3 −n1 s221 βκ3 + n1 s12 s22 βκ − n1 s21 ρκ 2 2   2 = n1 3 s11 s21 βκ5 + 2s221 βκ3 + s21 s66 βκ3 + s21 s22 βκ = ρκ 2 = n1 s21 βκ 3 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0   ρκ 

s11

0

és az  s66 4  s66 2 2  n2 2  n2 4 2 2 4 s )β s )β β − n s β − n (s + β − n (s + − n s β − s − − 66 2 22 2 12 12 66 2 12 2 11 κ κ κ κ κ κ ρ3κ 2 2 ρ3κ 2 2  s 2 n s66 2 s66 2  s66 2  n2 66 2 2 4 2 s )β s )β − β − n (s + − n s β β − n s − n (s + − + − 66 2 12 2 11 66 2 22 2 12 κ κ κ κ 4 ρ3κ 2 2 4 ρ3κ 2 2 κ   s66 2 n2 s2 n2 2 )βκ − s22 s66 − n2 s11 s22 βκ2 + n2 s212 βκ2 + n2 s21 s66 βκ2 + n2 66 βκ2 = − 3 − s66 (s12 + ρκ 2 2 2 4   2 s 1 1 2 1 s21 s66 βκ2 + 66 βκ2 + s11 s66 βκ4 + s22 s66 = = n2 3 ρκ 2 4 4 4 1 2 n2 s66 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0 =    4 ρ3κ s11

0

eredményt kapjuk, ami azt jelenti, hogy teljesül az első, azaz a (B.7) alapegyenlet. A (B.3) mátrixegyenletből adódó második skaláregyenlet s66 (T22 ∂2 − T12 ∂1 ) ∂2 − (s21 T12 ∂2 − s22 T22 ∂1 ) ∂1 − T32 ∂2 = 0 4

(B.8)

B. Részletszámítások duál rendszerben – klasszikus eset

109

alakjából a sémát követő részletszámítások szerint az  s66 2    2  s66 2  −n1 s21 βκ4 − n1 s22 βκ2 − n1 s21 βκ4 + n1 s22 βκ2 − s21 3 n1 s21 βκ4 + n1 s22 βκ2 + 3 3 4 ρκ 4 ρκ ρκ  2  +s22 3 −n1 s21 βκ2 − n1 s22 − ρκ  s66 4 s66 2 2  βκ + n1 s22 βκ − n1 s21 s22 βκ2 + n1 s11 s22 βκ4 = − 3 −n1 s221 βκ4 + n1 s12 s22 βκ2 − n1 s21 ρκ 2 2   2 = n1 3 −s22 s66 βκ2 − 2s12 s22 βκ2 − s222 − s11 s22 βκ4 = ρκ 2 = −n1 s22 3 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0   ρκ  0

és az  s 2 n s66 3 s66 3  s66 2  n2 66 2 3 5 3 s )β s )β − β − n (s + − n s β β − n s β − n (s + − − 66 κ 2 12 2 11 κ 66 κ 2 22 κ 2 12 4 ρ3κ 2 2 κ 4 ρ3κ 2 2 κ  s66 3  s66 2  n2 2  n2 s66 βκ3 − n2 s22 βκ − n2 (s12 + )βκ + s22 3 − s66 βκ − n2 (s12 + )βκ − n2 s11 βκ3 − −s21 3 ρκ 2 2 ρκ 2 2   2 s66 3 n2 s266 3 n2 3 2 3 3 − 3 − s66 (s12 + )β − s66 s22 βκ − n2 s11 s22 βκ + n2 s21 βκ + n2 s21 s66 βκ + n2 β = ρκ 2 2 κ 2 4 κ   1 1 1 2 3 2 1 5 3 = n2 3 − s11 s66 βκ − s22 s66 βκ − s21 s66 βκ − s66 βκ = ρκ 4 4 2 4 1 2 = −n2 3 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0   4 ρκ  0

eredmények adódnak, ami azt jelenti, hogy a második alapegyenlet is teljesül. A harmadik, azaz a −T22 ∂2 − T12 ∂1 = 0 skaláregyenlet esetén az alábbiak részletezik a számításokat:  s66 2 2  n2 )βκ − n2 s11 βκ4 − − 3 − s66 βκ2 − n1 s11 βκ3 − n1 s22 βκ − n2 (s12 + ρκ 2 2  s66 2  2 n2 s66 βκ2 + n1 s11 βκ3 + n1 s22 βκ − n2 s22 − n2 (s12 + )β = − 3 ρκ 2 2 κ = −n2 [s11 βκ4 + (2s21 + s66 ) βκ2 + s22 ] = 0 .    0

Az eredmény egyben a (B.9) egyenlet teljesülését jelenti.

(B.9)

C. FÜGGELÉK

Képletek a feszültségekre – mikropoláris eset A t11 ,..., t22 számításához szükséges deriváltak a következők : Q

S11 = U11 (M◦ , Q)∂ 2 =

 r2 K0 (kR) 2r2 K1 (kR) 2r2 1 r2 r2 r2 2 + ak + + − − 14 − 2 2 3 2 4 2R R kR k R R  2  2 2 4r1 r2 K0 (kR) kr1 r2 K1 (kR) 8r1 r2 K1 (kR) 8r12 r2 −ak 2 − + − , (C.1a) R4 R3 kR5 k 2 R6

a 2πk 2

Q

a S12 = U12 (M◦ , Q)∂ 2 = − 2πk 2

Q

S21 = U21 (M◦ , Q)∂ 2 = −

a 2πk 2

  1 2r1 r1 K0 (kR) 2r1 K1 (kR) r1 2r1 r22 2 − + 2 4+ + ak − − 2+ 2 2 3 2 R R R kR k R   r1 r22 4K0 (kR) 8K1 (Rk) 8 + 3 kK1 (kR) + + − 2 3 , (C.1b) R R kR2 k R

  2r1 1 r1 K0 (kR) 2r1 K1 (kR) r1 2r1 r22 2 − + 2 4+ + ak − − 2+ 2 R R2 R2 kR3 k R   4K0 (kR) 8K1 (Rk) 8 r1 r2 + − + 32 kK1 (kR) + , (C.1c) R R kR2 k 2 R3

Q

S22 = U22 (M◦ , Q)∂ 2 =

  r2 K0 (kR) 2r2 K1 (kR) a 2r2 1 r2 2r12 r2 2r2 K0 (kR) 2 2 = + ak + − 2 4 + − ak − + − 2πk 2 2 R2 R2 kR3 k R R4 R2  4r3 K0 (kR) 2r23 kK1 (kR) 8r23 K1 (kR) 4r2 K1 (kR) 4r2 8r23 + 2 4 + + − − − , (C.1d) R R3 kR5 kR5 k 2 R4 k 2 R6 Q

S31 = −U11 (M◦ , Q)∂ 1 =

  1 r1 2r1 K1 (kR) a 2r1 2r1 r22 3r1 K0 (kR) 2r13 K0 (kR) 2 2 = − ak − + ak + − − − 2πk 2 2 R2 kR3 k 2 R4 R4 R2 R4  r3 kK1 (kR) 2r13 kK0 (kR) 8r13 K1 (kR) 4r13 K1 (kR) 4r1 8r13 − 1 + + − − + , (C.1e) R3 R4 kR5 kR3 k 2 R4 k 2 R6 Q

S32 = −U12 (M◦ , Q)∂ 1 =

  1 a r2 K0 (kR) 4r12 r2 K0 (kR) K1 (kR) r2 2r12 r2 2 = + + − + + ak − − 2πk 2 2 R2 R4 R2 R4 R3  8r2 r2 K1 (Rk) 2r2 K1 (kR) 2r2 8r12 r2 + 1 − + − , (C.1f) kR5 kR3 k 2 R4 k 2 R6 Q

S41 = −U21 (M◦ , Q)∂ 1 =

  1 a r2 K0 (kR) 4r12 r2 K0 (kR) K1 (kR) r2 2r12 r2 2 =− + + − + + ak − − 2 2 4 2πk 2 R R R2 R4 R3  8r2 r2 K1 (Rk) 2r2 K1 (kR) 2r2 8r12 r2 + 1 − + − , (C.1g) kR5 kR3 k 2 R4 k 2 R6 110

C. Képletek a feszültségekre – mikropoláris eset Q

111

 r1 K0 (kR) 2r1 K1 (kR) 2r1 1 r1 2r1 r22 2 + ak + − 2 4 − − − 2 2 3 2R R kR k R R4   4r1 r22 K0 (kR) r1 r22 kK1 (kR) 8r1 r22 K1 (kR) 8r1 r22 −ak 2 + + − 2 6 . (C.1h) R4 R3 kR5 k R

a S42 = −U22 (M◦ , Q)∂ 1 = − 2πk 2

Továbbá a μ13 és μ23 számításához szükséges deriváltak :

 

1 a r22 2 ln R + 1 − M11 = U31 (M◦ , Q)∂ 2 = , 2πk 2 4 2R2 Q

Q

a r1 r2 , 2πk 2 2R2 Q a r1 r2 , M21 = −U31 (M◦ , Q)∂ 1 = 2πk 2 2R2   Q

1 a r12 2 ln R M22 = −U32 (M◦ , Q)∂ 1 = + 1 − . 2πk 2 4 2R2 M12 = U32 (M◦ , Q)∂ 2 =

(C.2) (C.3) (C.4) (C.5)

Ugyanilyen gondolatmenettel kapjuk a T másodrendű alapmegoldással kapcsolatos deriváltakat, melyek tömör alakban az alábbiak szerint írhatók (tπρ és μν3 számítását egyszerre tárgyaljuk):   Q

1 (−n2 r2 Φ11 + n1 r1 Ψ11 ) , 2π(1 − ν)R2   Q 1 (n r Φ − n r Ψ ) , D12 = T12 (M◦ , Q)∂ 2 = ∂2 1 2 12 2 1 12 2π(1 − ν)R2   Q 1 D21 = T21 (M◦ , Q)∂ 2 = ∂2 (n r Φ + n r Ψ ) , 2 1 21 1 2 21 2π(1 − ν)R2   Q 1 (−n1 r1 Φ22 − n2 r2 Ψ22 ) , D22 = T22 (M◦ , Q)∂ 2 = ∂2 2π(1 − ν)R2   Q 1 D31 = −T11 (M◦ , Q)∂ 1 = −∂1 (−n2 r2 Φ11 + n1 r1 Ψ11 ) , 2π(1 − ν)R2   Q 1 (n1 r2 Φ12 − n2 r1 Ψ12 ) , D32 = −T12 (M◦ , Q)∂ 1 = −∂1 2π(1 − ν)R2   Q 1 D41 = −T21 (M◦ , Q)∂ 1 = −∂1 (n r Φ + n r Ψ ) , 2 1 21 1 2 21 2π(1 − ν)R2   Q 1 (−n r Φ − n r Ψ ) , D42 = −T22 (M◦ , Q)∂ 1 = −∂1 1 1 22 2 2 22 2π(1 − ν)R2    Q 1 1 n N11 = T31 (M◦ , Q)∂ 2 = ∂2 Φ + r r n , 2 31 1 1 2 2π(1 − ν)R2 2    Q 1 1 −n1 Φ32 − n2 r1 r2 , N12 = T32 (M◦ , Q)∂ 2 = ∂2 2π(1 − ν)R2 2    Q 1 1 N21 = −T31 (M◦ , Q)∂ 1 = −∂1 n2 Φ31 + n1 r1 r2 , 2π(1 − ν)R2 2    Q 1 1 −n1 Φ32 − n2 r1 r2 . N22 = −T32 (M◦ , Q)∂ 1 = −∂1 2 2π(1 − ν)R 2 D11 = T11 (M◦ , Q)∂ 2 = ∂2

(C.6) (C.7) (C.8) (C.9) (C.10) (C.11) (C.12) (C.13) (C.14) (C.15) (C.16) (C.17)

Az ezekben szereplő deriváltak összefüggései:  ∂2

  2   2r2 1 r12 1 8r12 r22 (1 − 2ν) − − − + 2 R4 R2 2R4 R6        2 K1 (kR) K0 (kR) r22 2r22 4r22 2 4r2 2 − ak2 − 1 − + + 1 + + kr − 2 R2 R4 R3 k kR2 k 2 R4 R2   2    4r1 4r12 6r22 K1 (kR) 6r22 K0 (kR) 2 + ak2 kK (kR) − 4kK (kR) + − 4K (kR) + r + 2 1 0 1 2 R4 R2 R5 kR2       4r 2 6r22 2r12 k 2r22 kK0 (kR) 10r22 − K , (C.18a) + ak2 − 2 16 − 1 (kR) 1 − 1 k R R2 R4 R R2

r2 Φ11 R2



=

112   

     2 r22 − r12 1 r1 r2 4K0 (kR) 4r1 r2 K1 (kR) 2r1 r2 2 + kK1 (kR) + 2 = + 1+ + 2ak − 4 2 R R2 R3 R kR5

   2   r2 − r12 4kK0 (kR) 4r1 r2 2r1 r2 +2ak2 − 2 6 − 2kK (kR) − (kR) + + 2K 0 1 k R R4 R R    2  

r2 − r12 r1 r2 −4K1 (kR) 12K1 (kR) 2 + + 2K0 (kR) + +2ak 2 5 R k R kR       2 

  16r1 r2 r22 − r12 r2 − r12 3 r1 r2 k 3kK1 (kR) 2 +ak − kK0 (kR) − −1 + −2K1 (kR) + − k 2 R6 R2 R4 R R    2K1 (kR) μ 2 r1 r2 k ak , (C.18b) kK0 (kR) + − 2α R2 R

 ∂2

r1 Ψ11 R2



  2   2r2 1 r12 1 8r12 r22 (1 − 2ν) + + − − 2 R4 R2 2R4 R6        2 4r22 K1 (kR) 2r22 K0 (kR) r22 2 4r2 2 + ak2 + − 1 − + + 1 − kr − 2 R2 R4 R3 k kR2 k 2 R4 R2  2     2   6r22 K0 (kR) 4r12 4r1 4r12 6r22 K1 (kR) 6r2 2 r + 2 − ak2 kK (kR) − 4kK (kR) + − 4K (kR) − − 1 − 1 0 1 2 R4 R2 R5 kR2 k 2 R6 R2  2  2   2r1 k 2r2 kK0 (kR) 10r 2 − K1 (kR) 1 − 22 , (C.18c) − ak2 4 R R R 

∂2



=

  

     2 r22 − r12 4r1 r2 K1 (kR) 2r1 r2 1 r1 r2 4K0 (kR) 2 + kK (kR) + 2 1+ + 2ak − 4 = + 1 2 R R2 R3 R kR5    2  

r2 − r12 4kK0 (kR) 4r1 r2 2r1 r2 2 2kK1 (kR) + +2ak − 2 6 − 2K0 (kR) − + k R R4 R R

   2   r2 − r12 r1 r2 −4K1 (kR) 12K1 (kR) + + 2K0 (kR) + +2ak2 2 5 R k R kR    2    

  r2 − r12 16r1 r2 r22 − r12 3 r1 r2 k 3kK1 (kR) 2 kK0 (kR) − +ak − −1 + −2K1 (kR) + + k 2 R6 R2 R4 R R    2K1 (kR) μ 2 r1 r2 k (kR) + + ak , (C.18d) kK 0 2α R2 R

 ∂2

r2 Φ12 R2

r1 Ψ12 R2



      2r1 r2 r1 Φ21 1 4r1 r2 2r22 (1 − 2ν) = − −1 + ∂2 R2 2 R4 R4 R2         9K0 (kR) r22 3 4 r1 r2 2K0 (kR) K1 (kR) r2 2 ak2 (kR) + + k − 4 + − + 4r − −8K + 0 2 R3 R R kR k 2 R3 R2 R R    2      r2 8K1 (kR) 2r2 8r2 16r 3 r2 k r22 kK0 (kR) + 2K1 (kR) +1 + 2 4 − 2 26 + 2 , (C.18e) + ak2 −2 3 2 R k R k R k R R R 

 ∂2

       K1 (kR) 2r22 K1 (kR) r2 Ψ21 K0 (kR) r22 kK1 (kR) 2r22 r12 − r22 1 4r22 2 + + + 2 + − = 1 − − 2ak + R2 2 R4 R4 R2 R2 R3 kR3 kR3  

    r22 − r12 K0 (kR) 4r 2 12r22 4r22 1 K0 (kR) 2K1 (kR) 1 − + 2 26 − 2 4 + 2 − + − +2ak2 − 4 2 3 2 3 R R R k R R k k R k R    2  

  4 r22 − r12 K1 (kR) 4 r22 − r12 r22 6r2 5r22 1 2 2 − + −1 r2 k + − +2ak R5 kR2 k kR2 k 2 R6 R2   2    r2 − r12 kK1 (kR) 2r22 kK1 (kR) r22 k 5r22 2 + 2 +ak − + 1+ − R4 R4 R R  2 2  μ 2 r2 k K0 (kR) kK1 (kR) 2r22 kK1 (kR) ak + , (C.18f) − − 2α R2 R R3

C. Képletek a feszültségekre – mikropoláris eset

     2r1 r2 1 4r1 r2 2r22 − 1 − (1 − 2ν) + 2 R4 R4 R2      3 4 r1 r2 2K0 (kR) K1 (kR) + k − 4 + − + −ak2 R3 R R kR k 2 R3          9K0 (kR) r22 r2 r2 8K1 (kR) 2r22 8r2 16r23 2 +ak2 −8K + 2 − (kR) + + 1 + − + 4r 0 2 R2 R R R3 k R2 k 2 R4 k 2 R6    2 r2 k r2 kK0 (kR) −ak2 , (C.18g) + 2K1 (kR) R2 R

 ∂2

113

 ∂2

 ∂1

r1 Φ22 R2



=

       r2 Ψ22 1 4r22 K0 (kR) r22 kK1 (kR) 2r22 r12 − r22 K1 (kR) 2r22 K1 (kR) 2 = 1− 2 − 2ak + − 4 + + +2 + R2 2 R R4 R R2 R3 kR3 kR3  

    r22 − r12 K0 (kR) 4r 2 12r 2 4r 2 K0 (kR) 2K1 (kR) 1 1 +2ak2 − − + 2 26 − 2 4 + 2 − 22 + 32 − 4 2 3 R R R k R R k k R k R    2  

  4 r22 − r12 K1 (kR) 4 r22 − r12 6r2 5r22 1 r22 2 2 − + −1 r2 k + − +2ak R5 kR2 k kR2 k 2 R6 R2   2    r2 − r12 kK1 (kR) 2r22 kK1 (kR) r22 k 5r22 2 +ak − + + 2 1+ + R4 R4 R R   μ 2 r22 k2 K0 (kR) kK1 (kR) 2r22 kK1 (kR) − + ak + , (C.18h) 2α R2 R R3

r2 Φ11 R2

   2r1 r2 4r1 r2 2r12 1 − 1 − (1 − 2ν) 4 + 2 R R4 R2      8 4K0 (kR) 8 2 r1 r2 + K1 (kR) k + − ak − 2 3 + R3 R kR2 k R  2   2     4 12r12 6r1 r1 k 4 4r1 r2 12r12 − + (kR) − 2 + K (kR) + + ak2 K − + 0 1 R4 R2 R kR kR3 k 2 R4 k 2 R4   8r1 r2 kK1 (kR) 4r13 r2 k2 K0 (kR) 20r13 r2 kK1 (kR) , + + + ak2 − R4 R5 R6



=

(C.18i)

  2  2  1 2r12 4 r1 − r2 4r12 = 1 − + ∂1 + 2 R4 R4 R2  2      6 8 K0 (kR) 2K1 (kR) 2 2 r1 4K0 (kR) +2ak2 + K + − + + (kR) k + + + 1 R3 R k kR2 k 2 R3 R2 kR3 k 2 R4     2   2 

  2 r22 − r12 6r1 r1 k 2K1 (kR) 2 12r12 4r12 +2ak2 (kR) − 1 + K (kR) (kR) + − + + K + K 0 1 0 R4 R2 R kR kR3 R4 kR    2  2   2 2   

 r2 − r12 r2 − r12 6 r1 k K0 (kR) 5r12 k 8r12 2 2r12 kK1 (kR) 2 −1 + +ak − 2 2− + K1 (kR) 1 + 2 − + R4 k R k 2 R2 R2 R4 R4 R R    2r 2 K1 (kR) μ 2 k r12 kK0 (kR) ak − K1 (kR) + 1 2 , (C.18j) − 2α R R R 

 ∂1

r1 Ψ11 R2

r2 Φ12 R2



   2r1 r2 4r1 r2 2r12 1 − 1 + (1 − 2ν) 4 − 2 R R4 R2      8 r1 r2 4K0 (kR) 8 (kR) k + + ak2 + K − − 1 R3 R kR2 k 2 R3  2   2     6r1 r1 k 4r1 r2 4 4 12r12 12r12 (kR) − 2 + K (kR) + − ak2 − + K − − 0 1 R4 R2 R kR kR3 k 2 R4 k 2 R4   8r1 r2 kK1 (kR) 4r13 r2 k2 K0 (kR) 20r13 r2 kK1 (kR) 2 , + + − ak − R4 R5 R6



=

(C.18k)

114   2  2  1 2r12 4 r1 − r2 4r12 = 1− 2 + ∂1 + 2 R4 R4 R   2     r1 4K0 (kR) 2 2 8 K0 (kR) 2K1 (kR) 6 (kR) k + + + +2ak2 − + + + K + 1 R3 R k kR2 k 2 R3 R2 kR3 k 2 R4    2   2 

   2 r22 − r12 2 12r12 6r1 r1 k 2K1 (kR) 4r12 2 − + − 1 + K1 (kR) +2ak + K0 (kR) + 4 K0 (kR) + R4 R2 R kR kR3 R kR     2 2  2  2   

 r2 − r12 r2 − r12 6 r1 k K0 (kR) 5r12 k 8r12 2 2r12 kK1 (kR) + K − − 1 + (kR) 1 + +ak2 − + + 1 R4 k 2 R2 k 2 R2 R2 R4 R4 R R2    2r 2 K1 (kR) μ 2 k r12 kK0 (kR) , (C.18l) ak − K1 (kR) + 1 2 + 2α R R R 

 ∂1

 ∂1

 ∂1

 ∂1

r1 Ψ12 R2

r1 Φ21 R2



 =

     2r22 4r12 1 (1 − 2ν) 2r12 − 1 − − 1 + 2 R2 R2 R4 R2      2 1 K0 (kR) 8r12 2r1 2 6r12 2 2 + K + − − + ak2 (kR) − r k + + 1 1 R3 R R2 k kR2 k2 R3 kR      r1 r22 16K0 (kR) 32 32 − ak2 K1 (kR) −4k − − − + 2 3 R3 kR2 R k R    r1 r22 k 3K1 (kR) − ak2 − , kK (kR) + 0 R3 R

(C.18m)

 

      2 r22 − r12 4 1 2r1 r2 2r1 r2 2K0 (kR) 4 2 (kR) 1 + 1 + − 2ak + K = − + 1 2 R4 R2 R3 R kR2 k 2 R3  

 2     r2 − r12 6K0 (kR) 1 2r1 r2 12 12 4 2 4K0 (kR) + + + K1 (kR) k + + − 2 3 − 2 2 +2ak R4 R R k kR2 k R k R    2  

 r2 − r12 5K1 (kR) r1 r2 k 2 2K1 (kR) + kK0 (kR) + − +ak R4 R R    2K1 (kR) μ 2 r1 r2 k ak − , (C.18n) K0 (kR) + 2α R2 R

r2 Ψ21 R2

r1 Φ22 R2



 =

     2r22 4r12 1 (1 − 2ν) 2r12 − 1 + − 1 − 2 R2 R2 R4 R2      2 8r12 1 K0 (kR) 2r1 2 6r12 2 2 + K + + − − ak2 (kR) − r k + + 1 1 R3 R R2 k kR2 k2 R3 kR      32 r1 r22 16K0 (kR) 32 ak2 + 2 3 K1 (kR) −4k − − + R3 kR2 R k R    3K1 (kR) r1 r22 k + ak2 − (kR) + , kK 0 R3 R

(C.18o)

 

      2 r22 − r12 1 2r1 r2 4 2r1 r2 2K0 (kR) 4 2 + K = − + (kR) 1 + 1 + − 2ak 1 2 R4 R2 R3 R kR2 k 2 R3  

 2     r2 − r12 1 2r1 r2 6K0 (kR) 12 12 4 2 +2ak 4K0 (kR) + + + K1 (kR) k + + − 2 3 − 2 2 R4 R R k kR2 k R k R    2  

 r2 − r12 5K1 (kR) r1 r2 k 2 2K1 (kR) + kK0 (kR) + + +ak R4 R R    2K1 (kR) μ 2 r1 r2 k ak , (C.18p) K0 (kR) + + 2α R2 R

r2 Ψ22 R2



 ∂2

1 Φ31 R2

=

r2 R2

   1 r1 r2 1 ν 2r2 1 r1 2r1 r22 + − + − 21 , ∂2 , = − 2 2 R R2 2 2 R2 R4   1 r2 1 ν 2r12 + + Φ = − , ∂2 32 R2 R2 2 2 R2

(C.19a) (C.19b)

C. Képletek a feszültségekre – mikropoláris eset  ∂1

1 Φ31 R2

=

r1 R2

  1 ν 2r2 1  r1 r2  1 r2 2r2 r2 = − + + 22 , ∂1 2 , − 2 + 14 2 2 R R 2 2 R R   1 r1 1 ν 2r22 + − Φ = − . ∂1 32 R2 R2 2 2 R2

115 (C.19c) (C.19d)

D. FÜGGELÉK

Részletszámítások duál rendszerben – mikropoláris eset D.1. A χ függvény és az alapegyenlet Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a χ(M, Q) függvény rögzített Q mellett M = Q esetén kielégíti a (259) differenciál-egyenletet, azaz Dik uk = Dik Dkl χl = det(Djl )χi = 0 , ahol

(D.1) det(Djl ) = a(1 − l2 Δ)ΔΔ . Ha figyelembe vesszük, hogy χi (M, Q) = χ(M, Q)ei (Q) = χ(R)ei (Q) és, hogy R = |rQM |, akkor azonnal adódik a következtetés, hogy csak a (1 − l2 Δ)ΔΔχ = 0 egyenlet teljesülését kell ellenőrizni. Ha emellett visszaidézzük (264) alapján, hogy  a  2 2 k R ln R + 4 ln R + 4K0 (kR) , χ(R) = − 4 8πk és kihasználjuk a Q pontra vonatkozó gömbszimmetriát, akkor írhatjuk, hogy    1 d d(. . .) 1 d d2 = R . + Δ= dR2 R dR R dR dR Ezt a jól ismert összefüggést kihasználva azonnal adódik, hogy a  

    d 1 d d 1 d dχ(R) 1 d R R R =0 (1 − l2 Δ)ΔΔχ = 1 − l2 R dR dR R dR dR R dR dR egyenlet teljesülését kell ellenőrizni. Az alábbiak a részletszámításokat ismertetik : Az ln R függvény harmonikus :  2 1 1 d 1 d ln R = − 2 + 2 . + 2 dR R dR R R Ez azt jelenti, hogy a későbbiekben nincs szerepe. Tekintsük másodszorra az R2 ln R függvényt, ami biharmonikus, hiszen  2 1 d 1 d R2 ln R = 2 ln R + (R + 2R ln R) + 3 , + 2 dR R dR R amivel azonnal adódik, hogy   2 1 1 d d 2 ln R + (R + 2R ln R) + 3 = 0 . + dR2 R dR R Hátra van még a K0 (kR) Bessel-függvény deriváltja. Legyen kR = ρ. Ekkor  

    d 1 d d 1 d dK0 (ρ) 1 d 2 4 ρ ρ ρ , (1 − l Δ)ΔΔK0 (kR) = k 1 − ρ dρ dρ ρ dρ dρ ρ dρ dρ mivel l2 = 1/k2 . Itt

azaz

 dK0 (ρ) 1 d ρ = K0 (ρ) , ρ dρ dρ

   d 1 d dK0 (ρ) 1 d ρ ρ = K0 (ρ) . ρ dρ dρ ρ dρ dρ 116

(D.2)

(D.3)

D. Részletszámítások duál rendszerben – mikropoláris eset Következésképp k

4



1 d K0 (ρ) − ρ dρ



dK0 (ρ) ρ dρ



117

= k4 (K0 (ρ) − K0 (ρ)) = 0 .

A fentiek valóban azt jelentik, hogy a χ függvény kielégíti M = Q-ra a (259) differenciálegyenletet. Hasonlóan mutatható meg, hogy rögzített M -re a Q változóban is teljesül a (259) egyenlet. D.2. Az elsőrendű alapmegoldás és az alapegyenlet Az alábbiakban megmutatjuk, hogy az elsőrendű alapmegoldás bármely oszlopára nézve kielégíti M = Q esetén M -ben a (252) alapegyenletet, azaz ahol

Dlk uk = 0 ,

(D.4)

⎤ 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂2 ∂2 −(l2 − a)∂1 ∂2 −∂2 −(l2 − a)∂1 ∂2 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂1 ∂1 ∂1 ⎦ Dlk = ⎣ ∂2 −∂1 −Δ

(D.5)

⎡

és ul = Dkl χel (Q) = ek (Q)Ukl (M, Q) . Itt Dkj a mátrixnak tekintett Djk operátor kofaktor mátrixa:

(D.6)

[Dkl ] = ⎤  ⎡  −(l2 − a)Δ∂1 ∂2 + ∂1 ∂2 (1 − l2 Δ)∂2 − 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂12 Δ + ∂12  −(l2 − a)Δ∂2 ∂1 + ∂2 ∂1 − 1 − l2 Δ + (l2 − a)∂22 Δ + ∂22 −(1 − l2 Δ)∂1 ⎦ . =⎣ −(1 − l2 Δ)∂2 (1 − l2 Δ)∂1 (1 − l2 Δ)(1 − aΔ) (D.7) A (257) és (259) összefüggések szerint det(Djl ) = a(1 − l2 Δ)ΔΔ

és

Dik uk = Dik Dkl χl = det(Djl )χi = 0 .

Ezeket a képleteket összevetve adódik a következtetés, hogy a Dik uk = Dik Ukl el = Dik Dkl χel = a(1 − l2 Δ)ΔΔχel = 0

(D.8)

reláció fennállása egyenértékű a bizonyítani kívánt állítással. A fenti reláció pedig valóban teljesül, hiszen a χ függvény M = Q-ra a (D.2) differenciál-egyenlet megoldása. D.3. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet A jelen szakaszban azt mutatjuk meg, hogy a T másodrendű alapmegoldás rögzített M mellett kielégíti a Q változóban (helykoordinátának tekintve a Q pont koordinátáit) az alapegyenletet. A gondolatmenet során azt a körülményt használjuk majd ki, hogy az Ukl alapmegoldás a Q változóban is kielégíti az alapegyenletet. Lefixáljuk a későbbiek kedvéért, hogy a latin nagybetűk értéke 1, . . . ,6 lehet, és hogy a kettőzött nagybetűk szerint összegezni kell. Vezessük be továbbá a tN = (t11 , t12 , t21 , t22 , μ13 , μ23 ) és a γN = (γ11 , γ12 , γ21 , γ22 , κ13 , κ23 ) hatelemű feszültségi és alakváltozási vektorokat. Rögzített Q mellett az M pontban a (208a) és (208b) duál kinematikai egyenletek alapján t11 = ∂2 Uk1 , t12 = ∂2 Uk2 , t21 = −∂1 Uk1 , t22 = −∂1 Uk2 , (D.9) μ13 = ∂2 U3k − U1k , μ23 = −∂1 U3k − U2k az U kl l-ik oszlopához tartozó hatelemű feszültségvektor, ahol a deriválásokat az M pont koordinátái szerint vesszük. Ez az egyenlet tömör alakban is felírható: tN = U ks dsN ,

(D.10)

ahol a dlN operátor a (D.9) és (D.10) képletek egybevetéséből adódik (részletesen nem írjuk ki). A hatelemű feszültségvektor birtokában a (209) és (210) inverz Hooke törvény felhasználásával adódik a hatelemű alakváltozási vektor γR = tN CN R = U ks dsN CN R .

(D.11)

118

D.3. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet

A képletben álló CN R a (209) és (210) inverz Hooke törvény és a fenti (D.11) képlet egybevetése alapján írható fel (részletesen nem írjuk ki). A γR hatelemű alakváltozási vektorhoz a peremen tartozó duál feszültségek a (297) képlet segítségével képezhetők (a τκ vektort az M = Mo pontban vesszük): T kv (Mo , Q) = U ks dsN CN R ΔRv .   

(D.12)

γR

A képletben álló ΔRv a duál feszültségvektort értelmező (297) és a fenti képlet egybevetéséből írható fel (részletesen nem írjuk ki). Vegyük észre, hogy az eredmény nem más, mint a másodrendű alapmegoldás. Müködtessük most az alapegyenlet operátorát Q-ban a másodrendű alapmegoldásra. Az eredmény (D.13) Dik T kv (M, Q) = Dik U ks (M, Q)dsN CN R ΔRv = 0 ,    =0

hiszen az elsőrendű alapmegoldás Q-ban is teljesíti az alapegyenletet.

E. FÜGGELÉK

Programlista ortotrop testre duál rendszerben Module ReadWrite Implicit None Save i n t e g e r ( K i n d =4) : : i n p = 5 , o u t = 6 , f r e =7 , f w r=8 c h a r a c t e r ∗10 : : o u t f n , i n p f n EndModule ReadWrite ! ====================================================================== Module Elastica Implicit None Save r e a l ( K i n d =8) : : s11 , s12 , s21 , s22 , s66 , & c11 , c12 , c21 , c22 , c66 , & Ka , r_1 , r_2 , n1 , n2 , D S t r , & s21ps66otwo , & beta1r , beta2r , beta1i , beta2i c o m p l e x ( K i n d =8) : : d1 , d2 , ro1 , ro2 , b e t a 1 , b e t a 1 h , & beta2 , beta2h , & b e t a 1 _ s q u a r e , b e t a 1 _ c u b e , b e t a 1 _ f o u r t h ,& b e t a 2 _ s q u a r e , b e t a 2 _ c u b e , b e t a 2 _ f o u r t h ,& twod1 , twod2 c o m p l e x ( K i n d =8) , d i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : m a t r i x _ U , m a t r i x _ T , Pij , Qij , P i j P l Q i j r e a l ( K i n d =8) , P a r a m e t e r : : & P i = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 d0 , T w o P i = P i+Pi , & F o u r P i= P i+P i+P i+Pi , P i H a l f =0.5 d 0 ∗ P i EndModule Elastica ! ====================================================================== Module Elem Implicit None save i n t e g e r ( K i n d =4) : : NElem , NodNum , NEqns , IntElm , IntNode , nstp , & NRegion , NElem6 , IntNode2 , IntNode3 i n t e g e r ( K i n d =4) , a l l o c a t a b l e , d i m e n s i o n ( : , : ) : : BElemNd i n t e g e r ( K i n d =4) , a l l o c a t a b l e , d i m e n s i o n ( : , : ) : : IntElemNd EndModule Elem ! ====================================================================== Module Matrix Implicit None save r e a l ( K i n d =8) , allocatable , dimension ( : , : ) : : hh_block_row , gg_block_row r e a l ( K i n d =8) , allocatable , dimension ( : , : ) : : hm_block_row , gm_block_row r e a l ( K i n d =8) , allocatable , dimension ( : , : ) : : hhmatr , HMprb i n t e g e r ( K i n d =4) , a l l o c a t a b l e , d i m e n s i o n ( : ) : : bcode r e a l ( K i n d =8) , allocatable , dimension ( : ) : : bvalue r e a l ( K i n d =8) , allocatable , dimension ( : ) : : xx , y y r e a l ( K i n d =8) , allocatable , dimension ( : ) : : xi , y i r e a l ( K i n d =8) , allocatable , dimension ( : ) : : StrsFuncSol r e a l ( K i n d =8) , allocatable , dimension ( : ) : : StrsSol End Module Matrix ! ====================================================================== Module Elemmatrix Implicit None Save r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : Um r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : Tm r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 6 ) : : FiMat , W o r k G H EndModule Elemmatrix ! ====================================================================== Module Infinity1 Implicit None Save r e a l ( K i n d =8) : : S i g m a _ x x _ I n f , S i g m a _ y y _ i n f , S i g m a _ x y _ I n f , & epsv_x , epsv_y , epsv_xy i n t e g e r ( K i n d =4) : : I n f i n i t y EndModule Infinity1 ! ====================================================================== Module IntegrationPointsAndWeights Implicit None Save ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10 a Gauss p o n t o k száma - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : N G p t 1 0 = 10 ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 1 0 ) : : G a P 1 0 = ( / & 0 . 9 7 3 9 0 6 5 2 8 5 1 7 1 7 1 7 2 0 0 7 d0 , − 0 . 9 7 3 9 0 6 5 2 8 5 1 7 1 7 1 7 2 0 0 7 d0 , & 0 . 8 6 5 0 6 3 3 6 6 6 8 8 9 8 4 5 1 0 7 3 d0 , − 0 . 8 6 5 0 6 3 3 6 6 6 8 8 9 8 4 5 1 0 7 3 d0 , & 0 . 6 7 9 4 0 9 5 6 8 2 9 9 0 2 4 4 0 6 2 3 d0 , − 0 . 6 7 9 4 0 9 5 6 8 2 9 9 0 2 4 4 0 6 2 3 d0 , & 0 . 4 3 3 3 9 5 3 9 4 1 2 9 2 4 7 1 9 0 7 9 d0 , − 0 . 4 3 3 3 9 5 3 9 4 1 2 9 2 4 7 1 9 0 7 9 d0 , & 0 . 1 4 8 8 7 4 3 3 8 9 8 1 6 3 1 2 1 0 8 8 d0 , − 0 . 1 4 8 8 7 4 3 3 8 9 8 1 6 3 1 2 1 0 8 8 d 0 / ) ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 1 0 ) : : G a W 1 0 = ( / &

119

120 0 . 0 6 6 6 7 1 3 4 4 3 0 8 6 8 8 1 3 7 5 9 3 d0 , 0 . 0 6 6 6 7 1 3 4 4 3 0 8 6 8 8 1 3 7 5 9 3 d0 , 0 . 1 4 9 4 5 1 3 4 9 1 5 0 5 8 0 5 9 3 1 4 d0 , 0 . 1 4 9 4 5 1 3 4 9 1 5 0 5 8 0 5 9 3 1 4 d0 , 0 . 2 1 9 0 8 6 3 6 2 5 1 5 9 8 2 0 4 3 9 9 d0 , 0 . 2 1 9 0 8 6 3 6 2 5 1 5 9 8 2 0 4 3 9 9 d0 , 0 . 2 6 9 2 6 6 7 1 9 3 0 9 9 9 6 3 5 5 0 9 d0 , 0 . 2 6 9 2 6 6 7 1 9 3 0 9 9 9 6 3 5 5 0 9 d0 , 0 . 2 9 5 5 2 4 2 2 4 7 1 4 7 5 2 8 7 0 1 7 d0 , 0.29552422471475287017 d0 /) ! ! !

& & & &

Integrálási súlyok beállitása . ( Logaritmikus Gauss integrálás ) r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 1 0 ) : : L G a P 1 0 0 . 0 0 9 0 4 2 6 3 0 9 6 2 1 9 9 6 5 0 6 3 6 9 d0 , 0 . 0 5 3 9 7 1 2 6 6 2 2 2 5 0 0 6 2 9 5 0 4 d0 , 0 . 1 3 5 3 1 1 8 2 4 6 3 9 2 5 0 7 7 4 8 7 d0 , 0 . 2 4 7 0 5 2 4 1 6 2 8 7 1 5 9 8 2 4 2 2 d0 , 0 . 3 8 0 2 1 2 5 3 9 6 0 9 3 3 2 3 3 3 9 7 d0 , 0 . 5 2 3 7 9 2 3 1 7 9 7 1 8 4 3 2 0 1 1 6 d0 , 0 . 6 6 5 7 7 5 2 0 5 5 1 6 4 2 4 5 9 7 2 2 d0 , 0 . 7 9 4 1 9 0 4 1 6 0 1 1 9 6 6 2 1 7 3 5 d0 , 0 . 8 9 8 1 6 1 0 9 1 2 1 9 0 0 3 5 3 8 1 6 d0 , 0.96884798871863353939 d0 /)

= (/ & & & & & & & & & &

! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 1 0 ) : : L G a W 1 0 = ( / & 0 . 1 2 0 9 5 5 1 3 1 9 5 4 5 7 0 5 1 4 9 8 d0 , & 0 . 1 8 6 3 6 3 5 4 2 5 6 4 0 7 1 8 7 0 3 2 d0 , & 0 . 1 9 5 6 6 0 8 7 3 2 7 7 7 5 9 9 8 2 7 1 d0 , & 0 . 1 7 3 5 7 7 1 4 2 1 8 2 9 0 6 9 2 0 8 4 d0 , & 0 . 1 3 5 6 9 5 6 7 2 9 9 5 4 8 4 2 0 1 6 6 d0 , & 0 . 0 9 3 6 4 6 7 5 8 5 3 8 1 1 0 5 2 5 9 8 7 d0 , & 0 . 0 5 5 7 8 7 7 2 7 3 5 1 4 1 5 8 7 4 0 7 5 d0 , & 0 . 0 2 7 1 5 9 8 1 0 8 9 9 2 3 3 3 3 1 1 4 5 d0 , & 0 . 0 0 9 5 1 5 1 8 2 6 0 2 8 4 8 5 1 4 9 9 9 2 d0 , & 0.0016381576335982632548 d0 /) ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14 a Gauss p o n t o k száma - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ! ! Integrálási súlyok beállitása . ( Gauss integrálás ) ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : N G p t = 14 r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 1 4 ) : : G a P = ( / & 0 . 9 8 6 2 8 3 8 0 8 6 9 6 8 1 2 3 3 8 8 4 d0 , − 0 . 9 8 6 2 8 3 8 0 8 6 9 6 8 1 2 3 3 8 8 4 d0 , & 0 . 9 2 8 4 3 4 8 8 3 6 6 3 5 7 3 5 1 7 3 3 d0 , − 0 . 9 2 8 4 3 4 8 8 3 6 6 3 5 7 3 5 1 7 3 3 d0 , & 0 . 8 2 7 2 0 1 3 1 5 0 6 9 7 6 4 9 9 3 1 8 d0 , − 0 . 8 2 7 2 0 1 3 1 5 0 6 9 7 6 4 9 9 3 1 8 d0 , & 0 . 6 8 7 2 9 2 9 0 4 8 1 1 6 8 5 4 7 0 1 4 d0 , − 0 . 6 8 7 2 9 2 9 0 4 8 1 1 6 8 5 4 7 0 1 4 d0 , & 0 . 5 1 5 2 4 8 6 3 6 3 5 8 1 5 4 0 9 1 9 6 d0 , − 0 . 5 1 5 2 4 8 6 3 6 3 5 8 1 5 4 0 9 1 9 6 d0 , & 0 . 3 1 9 1 1 2 3 6 8 9 2 7 8 8 9 7 6 0 4 3 d0 , − 0 . 3 1 9 1 1 2 3 6 8 9 2 7 8 8 9 7 6 0 4 3 d0 , & 0 . 1 0 8 0 5 4 9 4 8 7 0 7 3 4 3 6 6 2 0 6 d0 , − 0 . 1 0 8 0 5 4 9 4 8 7 0 7 3 4 3 6 6 2 0 6 d 0 / ) ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 1 4 ) : : G a W = ( / & 0 . 0 3 5 1 1 9 4 6 0 3 3 1 7 5 1 8 6 3 0 3 1 d0 , 0 . 0 3 5 1 1 9 4 6 0 3 3 1 7 5 1 8 6 3 0 3 1 d0 , & 0 . 0 8 0 1 5 8 0 8 7 1 5 9 7 6 0 2 0 9 8 0 5 d0 , 0 . 0 8 0 1 5 8 0 8 7 1 5 9 7 6 0 2 0 9 8 0 5 d0 , & 0 . 1 2 1 5 1 8 5 7 0 6 8 7 9 0 3 1 8 4 6 8 d0 , 0 . 1 2 1 5 1 8 5 7 0 6 8 7 9 0 3 1 8 4 6 8 d0 , & 0 . 1 5 7 2 0 3 1 6 7 1 5 8 1 9 3 5 3 4 5 6 d0 , 0 . 1 5 7 2 0 3 1 6 7 1 5 8 1 9 3 5 3 4 5 6 d0 , & 0 . 1 8 5 5 3 8 3 9 7 4 7 7 9 3 7 8 1 3 7 4 d0 , 0 . 1 8 5 5 3 8 3 9 7 4 7 7 9 3 7 8 1 3 7 4 d0 , & 0 . 2 0 5 1 9 8 4 6 3 7 2 1 2 9 5 6 0 3 9 6 d0 , 0 . 2 0 5 1 9 8 4 6 3 7 2 1 2 9 5 6 0 3 9 6 d0 , & 0 . 2 1 5 2 6 3 8 5 3 4 6 3 1 5 7 7 9 0 1 9 d0 , 0.21526385346315779019 d0 /) ! ! Integrálási súlyok beállitása . ( Logaritmikus Gauss integrálás ) ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 1 4 ) : : L G a P = ( / & 0 . 0 0 4 9 6 6 0 0 3 5 7 3 8 6 8 5 4 2 2 4 3 9 d0 , & 0 . 0 2 9 4 3 2 5 4 0 1 1 8 8 8 5 1 7 8 2 8 6 d0 , & 0 . 0 7 4 3 7 6 2 9 2 2 2 4 5 3 5 7 6 2 6 1 0 d0 , & 0 . 1 3 8 1 3 8 4 9 1 9 8 9 1 8 6 2 8 1 7 9 d0 , & 0 . 2 1 8 0 5 5 6 4 8 4 9 8 9 5 9 0 7 8 0 7 d0 , & 0 . 3 1 0 6 6 2 0 8 3 9 1 8 1 0 1 9 8 3 1 7 d0 , & 0 . 4 1 1 8 7 2 4 7 5 1 7 7 7 5 0 2 0 7 2 0 d0 , & 0 . 5 1 7 1 7 9 3 0 7 3 9 8 6 5 4 3 2 9 7 2 d0 , & 0 . 6 2 1 8 6 4 8 5 9 7 2 8 5 1 1 1 1 9 7 0 d0 , & 0 . 7 2 1 2 2 0 7 4 5 2 0 8 1 0 8 8 5 3 7 3 d0 , & 0 . 8 1 0 7 6 5 9 8 8 0 7 1 5 8 9 8 5 6 3 5 d0 , & 0 . 8 8 6 4 5 4 0 3 8 0 3 4 4 3 4 6 5 7 1 8 d0 , & 0 . 9 4 4 8 5 9 1 3 9 4 6 1 8 1 8 6 3 8 9 2 d0 , & 0.98333102648567848004 d0 /) ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 1 4 ) : : L G a W = ( / & 0 . 0 7 4 2 9 1 2 2 5 0 6 7 5 1 0 4 1 2 4 9 8 d0 , & 0 . 1 2 2 9 8 8 7 7 2 4 6 9 3 2 2 9 1 4 2 9 d0 , & 0 . 1 4 2 1 9 9 3 0 6 5 6 2 5 2 3 3 5 5 7 0 d0 , & 0 . 1 4 3 2 2 9 2 9 7 6 4 1 2 6 4 2 2 2 0 1 d0 , & 0 . 1 3 2 3 4 5 0 8 3 7 7 2 0 8 5 2 0 9 2 6 d0 , & 0 . 1 1 4 1 3 5 8 7 5 7 3 6 6 7 6 4 7 5 2 5 d0 , & 0 . 0 9 2 2 8 3 0 3 8 0 7 9 0 7 3 6 1 3 2 1 6 d0 , & 0 . 0 6 9 7 5 3 6 7 3 2 9 3 9 3 7 5 6 4 5 5 0 d0 , & 0 . 0 4 8 8 3 0 3 2 3 6 0 0 5 1 3 5 6 4 6 4 4 d0 , & 0 . 0 3 1 1 0 1 7 9 6 0 6 4 4 1 6 1 4 1 1 1 7 d0 , & 0 . 0 1 7 4 6 2 8 1 1 9 5 0 1 9 6 0 9 3 8 3 2 d0 , & 0 . 0 0 8 1 4 2 4 2 3 4 2 9 8 7 5 9 3 6 1 3 3 2 d0 , & 0 . 0 0 2 7 6 8 4 3 6 4 1 8 5 6 3 9 3 7 3 3 1 8 d0 , & 0.00046793591404056013532 d0 /) ! End Module IntegrationPointsAndWeights ! ====================================================================== Module My_Procedures1 Implicit None Contains ! subroutine DataInp !

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! bvalue -peremértékeket tartalmazo tömb ! ! bcode -peremfeltételek jelleget vezérlő kód ! ! gg -nyírási rugalmassági modulus ! ! xx -- a p e r e m c s o m ó p o n t o k x koordinátáit tartal ! ! mazó tömb ! ! yy -- a p e r e m c s o m ó p o n t o k y koordinátáit tartal ! ! mazó tömb ! ! xi -- a belsö c s o m ó p o n t o k x koordinátáit tartal - ! ! mazó tömb ! ! yi -- a belsö c s o m ó p o n t o k y koordinátáit tartal - ! ! mazó tömb ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! Use ReadWrite Use Elastica Use Elem Use Matrix Use Infinity1 ! Implicit None ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : kk , nl , f i r s t , ii , inc , jj , i6 , j6 , j b ! c h a r a c t e r ( l e n =60) : : p b n a m e ! ! A feladat nevének beolvasása . ! w r i t e ( fwr , 1 0 0 0 ) ! r e a d ( fre , 1 0 1 0 ) p b n a m e w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) p b n a m e ! ! Az a n y a g j e l l e m z ő k , p e r e m e l e m e k es belső p o n t o k ! adatainak beolvasása . ! r e a d ( fre , 1 0 2 0 ) N E l e m , N o d N u m , I n t E l m , I n t N o d e , n s t p , N R e g i o n , I n f i n i t y r e a d ( fre , 1 0 3 0 ) s11 , s12 , s21 , s22 , s 6 6 w r i t e ( fwr , 1 0 4 0 ) N E l e m , N o d N u m , I n t E l m , I n t N o d e , n s t p , N R e g i o n , I n f i n i t y , s11 , s12 , s21 , s22 , s 6 6 ! ! Peremen lévő csomópontok koordinátáinak beolvasása . ! N E l e m 6 = 6∗ N E l e m NEqns = N o d N u m+N o d N u m I n t N o d e 2=I n t N o d e+I n t N o d e I n t N o d e 3=I n t N o d e 2+I n t N o d e a l l o c a t e ( B E l e m N d ( NElem , 3 ) ) If ( I n t E l m > 0 ) a l l o c a t e ( I n t E l e m N d ( IntElm , 6 ) ) a l l o c a t e ( xx ( N o d N u m ) , yy ( N o d N u m ) ) allocate ( bcode ( NElem6 ) ) allocate ( bvalue ( NElem6 ) ) ) a l l o c a t e ( xi ( I n t N o d e ) , yi ( I n t N o d e ) ! d o i i =1 , N o d N u m r e a d ( fre , 1 0 5 0 ) x x ( i i ) , y y ( i i ) enddo ! ! A BElemNd tömb beállítása , illetve beolvasása . ! if ( N R e g i o n . le . 2 ) then ! ! A tartomány egyszeresen összefüggő ! d o n l =1 , N E l e m f i r s t =2∗ nl −2 d o k k =1 ,3 B E l e m N d ( nl , k k )= f i r s t + k k enddo enddo B E l e m N d ( NElem ,3)=1 e l s e i f ( N R e g i o n . gt . 2 ) then ! ! A tartomány háromszorosan , vagy magasabb rendben összefüggő . ! d o n l =1 , N E l e m r e a d ( fre , 1 0 5 5 ) ( B E l e m N d ( nl , k k ) , k k =1 ,3) enddo endif ! w r i t e ( fwr , 1 0 6 0 ) d o i i =1 , N E l e m k k=1 j j=B E l e m N d ( ii , k k ) w r i t e ( fwr , 1 0 6 5 ) ii , kk , x x ( j j ) , y y ( j j ) k k=k k+1 j j=B E l e m N d ( ii , k k ) w r i t e ( fwr , 1 0 7 0 ) kk , x x ( j j ) , y y ( j j ) k k=k k+1 j j=B E l e m N d ( ii , k k ) w r i t e ( fwr , 1 0 7 0 ) kk , x x ( j j ) , y y ( j j ) enddo ! ! Peremfeltételekkel kapcsolatos adatok beolvasása : ! Ha ! bcode (i) = 0 akkor bvalue(i) duál elmozdulás , ! ! ha ! bcode (i) = 1 akkor bvalue(i) duál feszültség . !

121

&

122 ! ! !

A p e r e m e l ő í r á s o k száma c s o m ó p o n t o n k é n t kettő , e l e m e n k é n t pedig összesen hat . d o i i =1 , N E l e m i 6 =6∗ii −6 r e a d ( fre , 1 0 8 0 ) ( b c o d e ( i 6+j j ) , b v a l u e ( i 6+j j ) , j j =1 ,6) enddo

! w r i t e ( fwr , 1 0 8 5 ) d o i i =1 , N E l e m k k=0 j 6 =6∗ii −6 j b=j 6 +2∗ k k k k=k k+1 w r i t e ( fwr , 1 0 9 0 ) ii , kk , ( b c o d e ( j b+i n c ) , b v a l u e ( j b+i n c ) , i n c =1 ,2) j b=j 6 +2∗ k k k k=k k+1 w r i t e ( fwr , 1 0 9 5 ) kk , ( b c o d e ( j b+i n c ) , b v a l u e ( j b+i n c ) , i n c =1 ,2) j b=j 6 +2∗ k k k k=k k+1 w r i t e ( fwr , 1 0 9 5 ) kk , ( b c o d e ( j b+i n c ) , b v a l u e ( j b+i n c ) , i n c =1 ,2) enddo ! ! !

Belső csomópontokra vonatkozó adatok olvasása . if ( I n t N o d e . gt . 0 ) then

! d o i i =1 , I n t N o d e r e a d ( fre , 1 1 0 0 ) x i ( i i ) , y i ( i i ) enddo endif ! w r i t e ( fwr , 1 1 0 5 ) d o i i =1 , I n t N o d e w r i t e ( fwr , 1 1 1 0 ) x i ( i i ) , y i ( i i ) enddo ! ! ! !

A jelen verzióban nem olvashatók a végtelenbeli feszültségek képernyőről , csak adatfájlból . if ( I n f i n i t y . ne . 0) then r e a d ( fre , 1 0 3 0 ) S i g m a _ x x _ I n f , w r i t e ( fwr , 1 1 1 5 ) S i g m a _ x x _ I n f , endif

Sigma_xy_Inf , Sigma_xy_Inf ,

Sigma_yy_Inf Sigma_yy_Inf

! ! Format utasítások : ! 1000 f o r m a t ( / / / / , 3 x , ’ ∗ ␣ ∗ ␣ ∗ ␣ ␣ ␣P␣ e ␣ r ␣ e ␣m␣ e ␣ l ␣ e ␣m␣ ␣ ␣M␣ ó ␣d␣ s ␣ z ␣ e ␣ r ␣ ␣ ␣& ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣A␣ l ␣ k ␣ a ␣ l ␣m␣ a ␣ z ␣ á ␣ s ␣ a ␣ ␣ ∗ ␣ ∗ ␣ ∗ ’ , / / 4 x , ’ ∗ ␣ ∗ ␣ ∗ ␣ ␣S␣ i ␣k ␣ r ␣u␣ g ␣ a ␣ l ␣m␣ a ␣ s ␣& ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ s ␣ á ␣ g ␣ t ␣ a ␣n␣ i ␣ ␣F␣ e ␣ l ␣ a ␣d␣ a ␣ t ␣ o ␣ k ␣ ␣ ∗ ␣ ∗ ␣ ∗ ’ , / / 1 9 x ,& ’ ∗ ␣ ∗ ␣ ∗ ␣ ␣S␣ z ␣ á ␣m␣ i ␣ t ␣ á ␣ s ␣ á ␣ r ␣ a ␣ ␣ ␣ ∗ ␣ ∗ ␣ ∗ ’ , / / ) 1010 f o r m a t ( a 6 0 ) 1020 f o r m a t ( 7 I 4 ) 1030 f o r m a t ( 5 d 1 0 . 6 ) 1040 f o r m a t & ( 6 x , ’ ␣−−−−−␣A␣ peremelemek ␣ száma␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ( NElem ) ␣=␣ ’ , i2 , / , & 6 x , ’ ␣−−−−−␣A␣ peremcsomópontok␣ száma␣ ␣ ␣ ␣ ␣ (NodNum) ␣=␣ ’ , i2 , / , & 6 x , ’ ␣−−−−−␣A␣ t a r t o m á n y i ␣ e l e m e k ␣ száma␣ ␣ ␣ ␣ ( IntElm ) ␣=␣ ’ , i2 , / , & 6 x , ’ ␣−−−−−␣A␣ b e l s ö ␣ pontok ␣ száma␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ( IntNode ) ␣=␣ ’ , i2 , / , & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ F u t á s i ␣ kód ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ( n s t p ) ␣=␣ ’ , i2 , / , & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ Tartományi ␣ kód ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ( NRegion ) ␣=␣ ’ , i2 , / , & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ F e s z ü l t s é g ␣ a ␣ v é g t e l e n b e n ␣ ␣ ␣ ( I n f i n i t y ) ␣=␣ ’ , i2 , / , & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ A n y a g j e l l e m z ö␣ s 1 1 ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣=␣ ’ , e 1 5 . 8 , ’mm^2/N ’ , / & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ A n y a g j e l l e m z ö␣ s 1 2 ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣=␣ ’ , e 1 5 . 8 , ’mm^2/N ’ , / & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ A n y a g j e l l e m z ö␣ s 2 1 ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣=␣ ’ , e 1 5 . 8 , ’mm^2/N ’ , / & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ A n y a g j e l l e m z ö␣ s 2 2 ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣=␣ ’ , e 1 5 . 8 , ’mm^2/N ’ , / & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ A n y a g j e l l e m z ö␣ s 6 6 ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣=␣ ’ , e 1 5 . 8 , ’mm^2/N ’ , / ) 1050 f o r m a t ( 2 d 1 6 . 8 ) 1055 f o r m a t ( 3 i 4 ) 1060 f o r m a t & ( / / 6 x , ’ ␣−−−−␣A␣ peremlemek␣ a d a t a i n a k ␣ nyomtatása ␣ k ö v e t k e z i k ’ , / , & 6 x , ’ Elemszám␣ ␣ Csomópont ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣A␣ csomópont ’ , / , & 18 x , ’ száma ’ , 1 0 x , ’ x ␣ k o o r d i n á t á j a ␣ ␣y ␣ k o o r d i n á t á j a ’ ) 1065 f o r m a t ( 9 x , i2 , 8 x , i2 , 1 2 x , f 1 0 . 3 , 5 x , f 1 0 . 3 ) 1070 f o r m a t ( 19 x , i2 , 1 2 x , f 1 0 . 3 , 5 x , f 1 0 . 3 ) 1080 f o r m a t ( i2 , f 1 5 . 5 , i2 , f 1 5 . 5 ) 1085 f o r m a t & ( / 6 x , ’ ␣−−−−␣A␣ p e r e m f e l t é t e l e k ␣ a d a t a i n a k ␣ nyomtatása ␣ k ö v e t k e z i k ’ , / , & ’ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣Elem␣ Csomópont ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣A␣ csomópont ’ , / , & ’ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ szám ␣ ␣ ␣ száma ’ , 1 0 x , ’ ␣ ␣ V e z e r l ö ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ E l ö i r t ␣ ␣ ␣ V e z e r l ö ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ E l ö i r t ’ , / , & 27 x , ’ ␣ ␣ ␣ ␣Kód␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ É r t é k ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣Kód␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ É r t é k ’ ) 1090 f o r m a t ( 6 x , i2 , 5 x , i2 , 1 2 x , 2 ( 5 x , i1 , 3 x , f 1 2 . 6 ) ) 1095 f o r m a t ( 13 x , i2 , 1 2 x , 2 ( 5 x , i1 , 3 x , f 1 2 . 6 ) ) 1100 f o r m a t ( 2 d 1 6 . 8 ) 1105 f o r m a t & ( / / 6 x , ’ ␣−−−−␣A␣ b e l s ő ␣ pontok ␣ a d a t a i n a k ␣ nyomtatása ␣ k ö v e t k e z i k ’ , / , & 12 x , ’A␣ csomópont ’ , / , & 4 x ’ x ␣ k o o r d i n á t á j a ␣ ␣y ␣ k o o r d i n á t á j a ’ ) 1110 f o r m a t ( 2 f 1 6 . 8 ) 1115 f o r m a t ( / & 6 x , ’ ␣−−−−−−−−−−−␣ F e s z ü l t s é g e k ␣ a ␣ v é g t e l e n b e n ’ , / & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ Sigma_xx ␣ a ␣ v é g t e l e n b e n ␣ ␣ ( Sigma_xx_Inf) ␣=␣ ’ , f 7 . 2 , / & 6 x , ’ ␣−−−−−␣ Sigma_xy ␣ a ␣ v é g t e l e n b e n ␣ ␣ ( Sigma_xy_Inf) ␣=␣ ’ , f 7 . 2 , / &

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben 6 x , ’ ␣−−−−−␣ Sigma_yy ␣ a ␣ v é g t e l e n b e n ␣ ␣ ( Sigma_yy_Inf) ␣=␣ ’ , f 7 . 2 , / ) ! end subroutine DataInp ! ! ----------------------------------------------------------------------! s u b r o u t i n e h m t e s t ( xx , yy , xi , y i ) ! ----------------------------------------------------------------------! Program síkbeli statikai feladatok számítására ! ! peremintegrál - egyenletek modszerevel . ! ! Alprogram : hmtest ! ! Feladat: A GaussIntT rutin meghívása s ezáltal a külső ! ! tartományra vonatkozó integrál (=0) leellenőrzése ! ! Input p e r i f é r i a : 1. k é p e r n y ö ( fre . eq .0) ! ! 2. fre perifériaszámu fájl ( fre . ne .0) ! ! Output periféria :1. kepernyö ( fwr . eq .0) ! ! 2. fwr perifériaszámu fájl ( fwr . ne .0) ! ! Változok: ! ! P a r a m é t e r ( ek ): +++ Input +++ ! ! xx -peremcsomópontok x koordinátáit tartalmazó ! ! tömb ! ! yy -peremcsomópontok y koordinátáit tartalmazó ! ! Rendszer: I B M PC - A T ! ! Hivott: GaussIntT ! ! ----------------------------------------------------------------------! Use ReadWrite Use Elem Use Elastica Use Infinity1 ! Implicit None ! r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( NodNum ) : : xx , y y r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( I n t N o d e ) : : xi , y i ! ! Saját változók : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : ndc , bnn , nl , k ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : Tij , T i n t i n t e g e r ( K i n d =4) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : E l m N o d e r e a l ( K i n d =8) , Dimension (3) : : xcor , ycor ! ! A számítás kezdete. ! d o n d c =1 , I n t N o d e T i n t =0. d 0 d o n l =1 , N E l e m d o k =1 ,3 b n n=B E l e m N d ( nl , k ) x c o r ( k)= x x ( b n n ) y c o r ( k)= y y ( b n n ) enddo ! call G a u s s I n t T ( xi ( ndc ) , yi ( ndc ) , xcor (1) , ycor (1) , & xcor (2) , ycor (2) , xcor (3) , ycor (3) , & Tij ) ! Tint = Tint + Tij enddo ! w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) ndc , x i ( n d c ) , y i ( n d c ) , T i n t ( 1 , 1 ) , T i n t ( 1 , 2 ) , T i n t ( 2 , 1 ) , T i n t ( 2 , 2 ) ! enddo ! 1010 f o r m a t ( / , i4 , 2 f 1 0 . 2 , 2 x , ’ Ti n t ( 1 , 1 ) = ’ , e 1 5 . 8 , 2 x , ’ Ti n t ( 1 , 2 ) = ’ , e 1 5 . 8 , / & 26 x , ’ Ti n t ( 2 , 1 ) = ’ , e 1 5 . 8 , 2 x , ’ Ti n t ( 2 , 2 ) = ’ , e 1 5 . 8 ) ! return end subroutine hmtest ! ! ----------------------------------------------------------------------! s u b r o u t i n e G a u s s I n t T ( Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , T i j ) ! ! ----------------------------------------------------------------------! Program: Program síkbeli statikai feladatok számítására ! ! peremintegrál - egyenletek módszerével . ! ! Alprogram : GaussInt ! ! Készitö: Miskolci Egyetem , Mechanikai Tanszék ! ! 3515 Miskolc - Egyetemváros ! ! Feladat: Hij es Gij a l m á t r i x o k s z á m í t á s a ha a v o n a t k o z t a t á s i ! ! pont elemen kívül van. ! ! Rendszer: I B M PC - A T ! ! P a r a m e t e r ( ek ): +++ Input +++ ! ! Xp , Y p - - a k o l l o k á c i ó s p o n t k o o r d i n á t á i . ! ! x1 , y1 , . . . , x3 , y 3 - az elem c s o m ó p o n t i k o o r d i n á t á i . ! ! +++ Output +++ ! ! Tij -- a másodrendű alapmegoldás integrálja egy ! ! elemre ! ! Hivott: MPrd ! ! ----------------------------------------------------------------------! Use Elastica Use Elem Use Elemmatrix Use IntegrationPointsAndWeights ! Implicit None

123

124 ! ! !

Formális paraméterek : i n t e g e r ( K i n d =4) : : nd real ( K i n d =8) : : Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y 3 real ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : T i j

! ! !

Saját változók : i n t e g e r ( K i n d =4) : : r e a l ( K i n d =8) ::

! ! !

i A1 , B1 , A2 , B2 , Eta , Fi1 , Fi2 , Fi3 , W e i g h t , X c o r , Y c o r , & Jax , Jay , Ja , I n t H

A Tij mátrix kinullázása . Tij

! A1 B1 A2 B2

= = = =

= 0 . d0 x3 −2. d 0 ∗ x 2+x 1 0 . 5 d 0 ∗ ( x3−x 1 ) y3 −2. d 0 ∗ y 2+y 1 0 . 5 d 0 ∗ ( y3−y 1 )

! d o i =1 , N G p t ! ! !

F ü g g v é n y é r t é k e k s z á m í t á s a az i n t e g r á c i ó s p o n t o k b a n . Eta = GaP ( i ) W e i g h t= G a W ( i )

! ! !

G e o m e t r i a i a d a t o k s z á m í t á s a az i n t e g r á c i ó s p o n t o k b a n . Fi1 Fi2 Fi3

= 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ ( Eta −1. d 0 ) = 1 . d0−E t a ∗ E t a = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ ( E t a +1. d 0 )

Xcor Ycor Jax Jay Ja n1 n2 r_1 r_2 ro1 ro2

= = = = = = = = = = =

!

! IntH ! ! !

x 1 ∗ F i 1+x 2 ∗ F i 2+x 3 ∗ F i 3 y 1 ∗ F i 1+y 2 ∗ F i 2+y 3 ∗ F i 3 E t a ∗ A 1+B 1 E t a ∗ A 2+B 2 dsqrt ( Jax∗ Jax + Jay∗ Jay ) Jay / Ja −J a x / J a X c o r−X p Y c o r−Y p d c m p l x ( r_1 , 0 . d 0 ) + b e t a 1 ∗ r _ 2 d c m p l x ( r_1 , 0 . d 0 ) + b e t a 2 ∗ r _ 2

= W e i g h t ∗ Ja

A T mátrix számítása . call T I m a g i n a r y P a r t ( Tm )

! ! ! !

I n t e g r á l á s az elem f e l e t t . Tij = Tij + IntH ∗ Tm enddo

! return End subroutine GaussIntT ! ! ----------------------------------------------------------------------! s u b r o u t i n e G m H m E q n s ( xx , yy , h m _ b l o c k _ r o w , & g m _ b l o c k _ r o w , h h m t , rs , bvl , b c o d e ) ! ----------------------------------------------------------------------! Program síkbeli statikai feladatok számítására ! ! peremintegrál - egyenletek modszerevel . ! ! Alprogram : GmHmEqns ! ! Feladat: A ggmt es hhmt r e n d s z e r m á t r i x o k s z á m í t á s a t o v á b b á a ! ! megoldasra kerülö lineáris egyenletrendszer együtt ! ! ható mátrixának elöállitása . ! ! Input p e r i f é r i a : 1. k é p e r n y ö ( fre . eq .0) ! ! 2. fre periferiaszámu fájl ( fre . ne .0) ! ! Output periféria :1. kepernyö ( fwr . eq .0) ! ! 2. fwr periferiaszámu fájl ( fwr . ne .0) ! ! Változok: ! ! P a r a m é t e r ( ek ): +++ Input +++ ! ! xx -peremcsomópontok x koordinátáit tartalmazó ! ! tömb ! ! yy -peremcsomópontok y koordinátáit tartalmazó ! ! hm_block_row -- a számítandó H rendszermatrix egy blokk ! ! sorra ! ! gm_block_row -- a számítandó G r e n d s z e r m a t r i x egy blokk ! ! sora ! ! bvl -- a peremértékeket tartalmazó tömb . ! ! b c o d e - - a p e r e m e l ő í r á s j e l l e g é t v e z é r l ő k ó d o t tar ! ! talmazó tömb ! ! P a r a m e t e r ( ek ): +++ O u t p u t +++ ! ! hhmt -- a számítandó H r e n d s z e r m á t r i x . Visszatérés -! ! kor a megoldandó egyenletrendszer együttha ! ! tóját tartalmazza . ! ! rs -az e g y e n l e t r e n d s z e r j o b b o l d a l a . ! ! Hivott: GaussInt , LogInt ! ! ----------------------------------------------------------------------! Use ReadWrite Use Elem

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben

125

Use Elastica Use Infinity1 ! Implicit None ! r e a l ( K i n d =8) , r e a l ( K i n d =8) , r e a l ( K i n d =8) , r e a l ( K i n d =8) , r e a l ( K i n d =8) , i n t e g e r ( K i n d =4) , ! ! !

Dimension ( NodNum ) :: Dimension (2 , NElem6 ) :: D i m e n s i o n ( NEqns , NEqns ) : : Dimension ( NEqns ) :: Dimension ( NElem6 ) :: Dimension ( NElem6 ) ::

xx , y y hm_block_row , hhmt rs bvl bcode

gm_block_row

Sajat változok : i n t e g e r ( K i n d =4) : :

bnn , cnn , f i r s t , f l a g , f l a g f , f l a g s , i , i2 , j , jc , k , nr , nc , nd , ndn , n d n 1 , n d n 2 , ndc , nl , nl1 , nl2 , nl6 , n l 6 f , n l 6 s , r c n

& & &

! r e a l ( K i n d =8) : : change , rs_ux , rs_uy r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 6 ) : : Hij , Gij , G i j T e s t i n t e g e r ( K i n d =4) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : E l m N o d e r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 ) : : xcor , ycor ! i n t e g e r ( K i n d =4) i n t e g e r ( K i n d =4) i n t e g e r ( K i n d =4) c h a r a c t e r ∗11

:: :: :: ::

WfHG = 1 R e c L e n g t h = 192 NRowHG = 2 W f H G N a m e = ’ wo r k f h g . b i n ’

! ! A számítás kezdete. ! --------------------------------------------------------------! A munkafájl megnyitása . ! o p e n ( W f H G , f i l e=W f H G N a m e , a c c e s s= ’ d i r e c t ’ , r e c l=R e c L e n g t h , s t a t u s= ’ unknown ’ ) ! ! A Gij es Hij m á t r i x o k s z á m í t á s a e l e m e n k e n t a H es G ! r e n d s z e r m á t r i x o k egy - e g y b l o k k s o r á n a k f e l t ö l t é s é r e . ! ! d o n d c =1 , N o d N u m d o n l =1 , N E l e m n d=0 ! d o k =1 ,3 b n n=B E l e m N d ( nl , k ) x c o r ( k )= x x ( b n n ) y c o r ( k )= y y ( b n n ) i f ( b n n . e q . n d c ) n d=k enddo ! if ( nd . gt . 0 ) then call G a u s s I n t ( xx ( ndc ) , yy ( ndc ) , xcor (1) , ycor (1) , & xcor (2) , ycor (2) , xcor (3) , ycor (3) , & Hij , Gij , n d ) w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) ndc , nl , n d w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j ( 1 , j ) , j =1 ,6 ) w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j ( 2 , j ) , j =1 ,6 ) ! nd =0 s e l e c t case ( nd ) case (1) ! call L o g I n t ( xx ( ndc ) , yy ( ndc ) , xcor (1) , ycor (1) , & ! xcor (2) , ycor (2) , xcor (3) , ycor (3) , & ! Gij , n d ) ! w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) ndc , nl , n d ! w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j (1 , j ) , j = 1 , 6 ) ! w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j (2 , j ) , j = 1 , 6 ) ! call L o g I n t 1 ( xx ( ndc ) , yy ( ndc ) , xcor ( 1 ) , ycor (1) , & xcor (2) , ycor (2) , xcor (3) , ycor (3) , & Gij , n d ) w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) ndc , nl , n d w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j ( 1 , j ) , j =1 ,6 ) w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j ( 2 , j ) , j =1 ,6 ) case (2) ! call L o g I n t ( xx ( ndc ) , yy ( ndc ) , xcor (1) , ycor (1) , & ! xcor (2) , ycor (2) , xcor (3) , ycor (3) , & ! Gij , n d ) ! ! w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) ndc , nl , n d ! w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j (1 , j ) , j = 1 , 6 ) ! w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j (2 , j ) , j = 1 , 6 )

! ! ! ! !

call L o g I n t 1 ( xx ( ndc ) , yy ( ndc ) , xcor ( 1 ) , xcor (2) , ycor (2) , xcor (3) , Gij , n d ) w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) ndc , nl , n d w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j ( 1 , j ) , j =1 ,6 ) w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j ( 2 , j ) , j =1 ,6 ) case (3) call L o g I n t ( xx ( ndc ) , yy ( ndc ) , xcor (1) , xcor (2) , ycor (2) , xcor (3) , Gij , n d ) w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) ndc , nl , n d w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j (1 , j ) , j = 1 , 6 )

ycor (1) , ycor (3) ,

& &

ycor (1) , ycor (3) ,

& &

126 !

w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j (2 , j ) , j = 1 , 6 ) call L o g I n t 1 ( xx ( ndc ) , yy ( ndc ) , xcor ( 1 ) , xcor (2) , ycor (2) , xcor (3) , Gij , n d ) w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) ndc , nl , n d w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j ( 1 , j ) , j =1 ,6 ) w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) ( G i j ( 2 , j ) , j =1 ,6 ) endselect

ycor (1) , ycor (3) ,

else call G a u s s I n t ( xx ( ndc ) , yy ( ndc ) , xcor (2) , ycor (2) , Hij , Gij , n d ) endif ! ! !

! ! !

xcor (1) , xcor (3) ,

ycor (1) , & ycor (3) , &

Háttérre irás . rcn = nl + ( ndc − 1) ∗ NElem w r i t e ( W f H G , r e c=r c n ) Hij , G i j enddo enddo A

hhmt

es

rs

mátrixok előállítása .

d o n d c =1 , N o d N u m h m _ b l o c k _ r o w =0. d 0 g m _ b l o c k _ r o w =0. d 0 ! ! !

A

Hij

es

Gij

mátrixok visszaolvasása a WfHG jelü fájlról.

d o n l =1 , N E l e m rcn = nl + ( ndc − 1) ∗ NElem r e a d ( W f H G , r e c = r c n ) Hij , G i j ! ! ! !

A gm_block_row feltöltése . Nincs csomóponti sorszám szerint átrendezés . d o i =1 , N R o w H G d o j =1 ,6 c n n = 6 ∗ ( nl −1) + j gm_block_row (i , cnn ) = Gij ( i , j ) enddo enddo

! ! ! !

A hm_block_row feltöltése csomóponti sorszám szerint történő átrendezéssel . d o i =1 , N R o w H G d o k =1 ,3 c n n = 2∗ B E l e m N d ( nl , k ) − 1 hm_block_row (i , cnn ) = hm_block_row ( i , cnn ) & + H i j ( i , 2 ∗ k −1) hm_block_row ( i , cnn + 1) = hm_block_row ( i , cnn + 1) & + Hij ( i ,2∗ k ) enddo enddo

! enddo ! ! !

! ! ! !

A

H

rendszermátrix föátlójába kerülö elemek kiszámítása .

j c =2∗ ndc −1 d o j =1 , N o d N u m if ( ndc . ne . j ) then h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , jc ) = h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , j c ) − h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , 2∗ j −1) h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , jc ) = h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , j c ) − h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , 2∗ j −1) h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , j c +1) = h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , j c +1) − h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , 2∗ j ) h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , j c +1) = h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , j c +1) − h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , 2∗ j ) endif enddo A föátlóban álló elemek módosítása végtelenbe nyúló tartomány esetén. if ( I n f i n i t y . gt . 0 ) then h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , jc ) = 1 . d0 + h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , jc ) h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , j c +1) = 1 . d 0 + h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , j c +1) endif

! ! ! !

r s ( 2 ∗ ndc −1)=0. d 0 rs (2∗ ndc )=0. d0 ElmNode kinullázása . d o i =1 , N o d N u m E l m N o d e=0 n r=0 d o n l =1 , N e l e m d o k =1 ,3

! ! ! ! !

Az

if utasítás feltétele csak egyszer ( elemen belüli csomópont ), illetve kétszer ( két elem közös határpontja )

& & & &

& &

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben ! ! ! !

127

t e l j e s ü l h e t . Az E l m N o d e elsö o s z l o p a az elem számat , m á s o d i k o s z l o p a pedig az e l e m e n b e l ü l i s o r s z á m o t tartalmazza . i f ( B E l e m N d ( nl , k ) . e q . i ) t h e n n r=n r+1 E l m N o d e ( nr , 1 ) = n l E l m N o d e ( nr , 2 ) = k endif enddo enddo if ( E l m N o d e ( 2 , 1 ) . eq . 0) then

! ! !

Az

i -k csomópont csak egyetlen elemen fordul elö

nl = E l m N o d e ( 1 , 1 ) ndn = ElmNode (1 ,2) i 2 = 2∗ i − 2 do nc = 1 ,2 n l 6 =6∗nl −6 + 2∗ n d n − 2 f l a g=b c o d e ( n l 6 + n c ) if ( flag . eq . 0) then d o k =1 , N r o w H g c h a n g e=h m _ b l o c k _ r o w ( k , i 2+n c ) h m _ b l o c k _ r o w ( k , i 2+n c )= − g m _ b l o c k _ r o w ( k , n l 6+n c ) g m _ b l o c k _ r o w ( k , n l 6+n c ) = − c h a n g e enddo endif enddo else ! ! !

Az

i -k csomópont két elem határpontja

nl1 = ElmNode (1 ,1) ndn1 = ElmNode (1 ,2) nl2 = ElmNode (2 ,1) ndn2 = ElmNode (2 ,2) i2 = 2∗ i − 2 d o n c =1 ,2 n l 6 f =6∗ n l 1 − 6 + 2∗ n d n 1 − 2 + n c n l 6 s =6∗ n l 2 − 6 + 2∗ n d n 2 − 2 + n c flagf = bcode ( nl6f ) flags = bcode ( nl6s ) if ( flagf . eq . 0 . and . flags . eq . 0 ) then d o k =1 ,2 c h a n g e = h m _ b l o c k _ r o w ( k , i2 + nc ) h m _ b l o c k _ r o w ( k , i2 + nc ) = & − ( gm_block_row ( k , nl6f ) & + gm_block_row ( k , nl6s ) ) gm_block_row ( k , nl6f ) = − change g m _ b l o c k _ r o w ( k , nl6s ) = 0 . d0 enddo e l s e i f ( flagf . eq . 0 . and . flags . eq . 1 ) then d o k =1 ,2 c h a n g e = h m _ b l o c k _ r o w ( k , i2 + nc ) h m _ b l o c k _ r o w ( k , i2 + nc ) = & − gm_block_row ( k , nl6f ) gm_block_row ( k , nl6f ) = − change enddo e l s e i f ( flagf . eq . 1 . and . flags . eq . 0 ) then d o k =1 ,2 c h a n g e = h m _ b l o c k _ r o w ( k , i2 + nc ) h m _ b l o c k _ r o w ( k , i2 + nc ) = & − gm_block_row ( k , nl6s ) gm_block_row ( k , nl6s ) = − change enddo endif enddo endif enddo !

f i r s t =2∗ ndc −2 d o n c =1 , N e q n s h h m t ( f i r s t +1 , n c )= h m _ b l o c k _ r o w ( 1 , n c ) h h m t ( f i r s t +2 , n c )= h m _ b l o c k _ r o w ( 2 , n c ) enddo

! d o j =1 , N e l e m 6 r s ( f i r s t +1)=r s ( f i r s t +1) + g m _ b l o c k _ r o w ( 1 , j ) ∗ b v l ( j ) r s ( f i r s t +2)=r s ( f i r s t +2) + g m _ b l o c k _ r o w ( 2 , j ) ∗ b v l ( j ) enddo ! if ( i n f i n i t y . gt . 0) then r s _ u x = −S i g m a _ x y _ I n f ∗ x x ( n d c ) + S i g m a _ x x _ I n f ∗ y y ( n d c ) r s _ u y = −S i g m a _ y y _ I n f ∗ x x ( n d c ) + S i g m a _ x y _ I n f ∗ y y ( n d c ) r s ( f i r s t +1)=r s ( f i r s t +1) + r s _ u x r s ( f i r s t +2)=r s ( f i r s t +2) + r s _ u y endif ! enddo ! close ( WfHg ) ! 1010 f o r m a t ( 3 i 4 )

&

128 1020 f o r m a t ( 6 d 1 7 . 7 ) return end subroutine GmHmEqns ! ! ----------------------------------------------------------------------! A 3 x3 - a s m á t r i x d e t e r m i n á n s á n a k m e g h a t á r o z á s á r a . ! subroutine det3 ( a , det ) ! c o m p l e x ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 , 3 ) : : a complex ( Kind =8):: det c o m p l e x ( K i n d = 8 ) : : A1 , A2 , A 3 ! ! D e t e r m i n a n t of A : ! A1 = a (1 ,1) ∗ ( a (2 ,2)∗ a (3 ,3) − a (3 ,2)∗ a (2 ,3)) A2 = − a ( 1 , 2 ) ∗ ( a ( 2 , 1 ) ∗ a ( 3 , 3 ) − a ( 3 , 1 ) ∗ a ( 2 , 3 ) ) A3 = a (1 ,3) ∗ ( a (2 ,1)∗ a (3 ,2) − a (3 ,1)∗ a (2 ,2)) ! d e t = A 1+A 2+A 3 ! return end Subroutine det3 ! ! ----------------------------------------------------------------------! d1 , d 2 m á t r i x d e t e r m i n á n s á n a k a e l ő á l l í t á s a . ! s u b r o u t i n e d e t d 1 d e t d 2 ( detd1 , detd2 ) Use Elastica ! Implicit None ! c o m p l e x ( K i n d =8) : : d e t d 1 , d e t d 2 ! i n t e g e r ( K i n d =4) , P a r a m e t e r : : & l d a =3 , l d f a c =3 , n=3 i n t e g e r ( k i n d =4) , d i m e n s i o n ( n ) : : i p v t c o m p l e x ( k i n d =8) : : det , d e t 1 r e a l ( k i n d =8) : : d e t 2 c o m p l e x ( k i n d =8) , D i m e n s i o n ( n , n ) : : fac , m a t r i x _ d 1 , m a t r i x _ d 2 ! m a t r i x _ d 1 ( 1 , 1 ) = 1 . d0 matrix_d1 (1 ,2) = beta1h matrix_d1 (1 ,3) = beta1h∗beta1h m a t r i x _ d 1 ( 2 , 1 ) = 1 . d0 matrix_d1 (2 ,2) = beta2 matrix_d1 (2 ,3) = beta2 ∗ beta2 m a t r i x _ d 1 ( 3 , 1 ) = 1 . d0 matrix_d1 (3 ,2) = beta2h matrix_d1 (3 ,3) = beta2h∗beta2h

! !

c a l l d l f t c g ( n , m a t r i x _ d 1 , lda , fac , l d f a c , i p v t ) c a l l d l f d c g ( n , fac , l d f a c , i p v t , d e t 1 , d e t 2 ) d e t = − d e t 1 ∗ 1 0 . d 0 ∗∗ d e t 2 call det3 ( matrix_d1 , detd1 ) d1 = − detd1 matrix_d2 matrix_d2 matrix_d2 matrix_d2 matrix_d2 matrix_d2 matrix_d2 matrix_d2 matrix_d2

(1 ,1) (1 ,2) (1 ,3) (2 ,1) (2 ,2) (2 ,3) (3 ,1) (3 ,2) (3 ,3)

= = = = = = = = =

1 . d0 beta1 beta1 ∗ beta1 1 . d0 beta1h beta1h∗beta1h 1 . d0 beta2h beta2h∗beta2h

! !

call det3 ( matrix_d2 , detd2 ) d2 = − detd2 return end Subroutine detd1detd2

! ! -----------------------------------------------------------------------! Rutin az U m á t r i x és valós r é s z é n e k a m e g h a t á r o z á s á r a . ! Subroutine UImaginaryPart ( UImag ) Use Elastica ! Implicit None ! c o m p l e x ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : m a t r i x _ U 1 , m a t r i x _ U 2 c o m p l e x ( K i n d =8) : : c l r o 1 , c l r o 2 r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : U I m a g ! clro1 = cdlog ( ro1 ) clro2 = cdlog ( ro2 ) ! m a t r i x _ U 1 = P i j ∗ ( c l r o 1 + c l r o 1 + d c m p l x ( 3 . d0 , 0 . d 0 ) ) ! m a t r i x _ U 2 = Q i j ∗ ( c l r o 2 + c l r o 2 + d c m p l x ( 3 . d0 , 0 . d 0 ) ) ! matrix_U = matrix_U1 + matrix_U2 ! ! -----------------------------------------------------------------------!

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben UImag (1 UImag (1 UImag (2 UImag (2 !

,1) ,2) ,1) ,2)

= = = =

Dimag ( matrix_U (1 Dimag ( matrix_U (1 Dimag ( matrix_U (2 Dimag ( matrix_U (2

129

,1)) ,2)) ,1)) ,2))

U I m a g= K a ∗ U I m a g

! return end Subroutine UImaginaryPart ! ! -----------------------------------------------------------------------T m á t r i x és valós része . ! Subroutine TImaginaryPart ( TImag ) Use Elastica ! Implicit None ! c o m p l e x ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : m a t r i x _ T a , matrix_Tb c o m p l e x ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : m a t r i x _ T a 1 , m a t r i x _ T a 2 c o m p l e x ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : m a t r i x _ T b 1 , m a t r i x _ T b 2 r e a l ( K i n d =8) , Dimension (2 ,2) : : TImag ! m a t r i x _ T a 1 ( 1 , 1 ) = n 2 ∗ ( −s 1 1 ∗ b e t a 1 _ c u b e − s 1 2 ∗ b e t a 1 ) − 0 . 5 d 0 ∗ n 1 ∗ s 6 6 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e m a t r i x _ T a 1 ( 1 , 2 ) = 0 . 5 d0 ∗ n2 ∗ s66 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e + n1 ∗ ( s21 ∗ b e t a 1 _ c u b e + s22 ∗ beta1 ) m a t r i x _ T a 1 ( 2 , 1 ) = n2 ∗ ( s11 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e + s12 ) + 0 . 5 d0 ∗ n1 ∗ s66 ∗ beta1 m a t r i x _ T a 1 ( 2 , 2 ) = −0.5 d 0 ∗ n 2 ∗ s 6 6 ∗ b e t a 1 − n 1 ∗ ( s 2 1 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e + s 2 2 ) ! m a t r i x _ T a 2 ( 1 , 1 ) = n 2 ∗ ( −s 1 1 ∗ b e t a 2 _ c u b e − s 1 2 ∗ b e t a 2 ) − 0 . 5 d 0 ∗ n 1 ∗ s 6 6 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e m a t r i x _ T a 2 ( 1 , 2 ) = 0 . 5 d0 ∗ n2 ∗ s66 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e + n1 ∗ ( s21 ∗ b e t a 2 _ c u b e + s22 ∗ beta2 ) m a t r i x _ T a 2 ( 2 , 1 ) = n2 ∗ ( s11 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e + s12 ) + 0 . 5 d0 ∗ n1 ∗ s66 ∗ beta2 m a t r i x _ T a 2 ( 2 , 2 ) = −0.5 d 0 ∗ n 2 ∗ s 6 6 ∗ b e t a 2 − n 1 ∗ ( s 2 1 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e + s 2 2 ) ! matrix_Ta = ( twod1 / ro1 ) ∗ matrix_Ta1 + ( twod2 / ro2 ) ∗ matrix_Ta2 ! ! ------------------------------------------------------------------------! m a t r i x _ T b 1 ( 1 , 1 ) = − n1 ∗ ( s22 + s 2 1 p s 6 6 o t w o ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) m a t r i x _ T b 1 ( 1 , 2 ) = − n2 ∗ ( s22 + s 2 1 p s 6 6 o t w o ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) m a t r i x _ T b 1 ( 2 , 1 ) = − n1 ∗ beta1 ∗ ( s 2 1 p s 6 6 o t w o + s11 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) m a t r i x _ T b 1 ( 2 , 2 ) = − n2 ∗ beta1 ∗ ( s 2 1 p s 6 6 o t w o + s11 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) ! m a t r i x _ T b 2 ( 1 , 1 ) = − n1 ∗ ( s22 + s 2 1 p s 6 6 o t w o ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) m a t r i x _ T b 2 ( 1 , 2 ) = − n2 ∗ ( s22 + s 2 1 p s 6 6 o t w o ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) m a t r i x _ T b 2 ( 2 , 1 ) = − n1 ∗ beta2 ∗ ( s 2 1 p s 6 6 o t w o + s11 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) m a t r i x _ T b 2 ( 2 , 2 ) = − n2 ∗ beta2 ∗ ( s 2 1 p s 6 6 o t w o + s11 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) ! matrix_Tb = ( twod1 / ro1 ) ∗ matrix_Tb1 + ( twod2 / ro2 ) ∗ matrix_Tb2 ! matrix_T = matrix_Ta + matrix_Tb ! ! -------------------------------------------------------------------------! TImag (1 ,1) = Dimag ( matrix_T (1 ,1)) TImag (1 ,2) = Dimag ( matrix_T (1 ,2)) TImag (2 ,1) = Dimag ( matrix_T (2 ,1)) TImag (2 ,2) = Dimag ( matrix_T (2 ,2)) ! TImag = Ka ∗ TImag ! return end Subroutine TImaginaryPart ! ! -------------------------------------------------------------------------! s u b r o u t i n e G a u s s I n t ( Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , & Hij , Gij , n d ) ! ! ----------------------------------------------------------------------! Program: Program síkbeli statikai feladatok számítására ! ! peremintegrál - egyenletek módszerével . ! ! Alprogram : GaussInt ! ! Készitö: Miskolci Egyetem , Mechanikai Tanszék ! ! 3515 Miskolc - Egyetemváros ! ! Feladat: Hij es Gij a l m á t r i x o k s z á m í t á s a ha a v o n a t k o z t a t á s i ! ! pont elemen kívül van. ! ! Rendszer: I B M PC - A T ! ! P a r a m e t e r ( ek ): +++ Input +++ ! ! Xp , Y p - - a k o l l o k á c i ó s p o n t k o o r d i n á t á i . ! ! x1 , y1 , . . . , x3 , y 3 - az elem c s o m ó p o n t i k o o r d i n á t á i . ! ! +++ Output +++ ! ! Hij , G i j - - a s z á m i t a n d ó a l m á t r i x o k . ! ! Hivott: matmul ! ! ----------------------------------------------------------------------! Use Elastica Use Elem Use Elemmatrix Use IntegrationPointsAndWeights ! Implicit None ! ! Formális paraméterek : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : nd real ( K i n d =8) : : Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y 3 real ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 6 ) : : Hij , G i j !

130 ! !

Saját változók : i n t e g e r ( K i n d =4) : : r e a l ( K i n d =8) ::

! ! !

i , j , ic , i r A1 , B1 , A2 , B2 , Eta , W e i g h t , Fi1 , Fi2 , Fi3 , X c o r , Y c o r , Jax , Jay , Ja , I n t G , I n t H

&

A Hij Gij a l m á t r i x o k és a FiMat k i n u l l á z á s a . Hij = 0 . d0 Gij = 0 . d0 F i M a t= 0 . d 0

! A1 B1 A2 B2

= = = =

x3 −2. d 0 ∗ x 2+x 1 0 . 5 d 0 ∗ ( x3−x 1 ) y3 −2. d 0 ∗ y 2+y 1 0 . 5 d 0 ∗ ( y3−y 1 )

! d o i =1 , N G p t ! ! !

F ü g g v é n y é r t é k e k s z á m í t á s a az i n t e g r á c i ó s p o n t o k b a n . Eta = GaP ( i ) W e i g h t= G a W ( i )

! Fi1 Fi2 Fi3

= 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ ( Eta −1. d 0 ) = 1 . d0−E t a ∗ E t a = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ ( E t a +1. d 0 )

! FiMat (1 ,1) FiMat (2 ,2) FiMat (1 ,3) FiMat (2 ,4) FiMat (1 ,5) FiMat (2 ,6) ! ! !

= = = = = =

Fi1 Fi1 Fi2 Fi2 Fi3 Fi3

G e o m e t r i a i a d a t o k s z á m í t á s a az i n t e g r a c i ó s p o n t o k b a n . Xcor Ycor Jax Jay Ja n1 n2 r_1 r_2 ro1 ro2

! IntG IntH

= = = = = = = = = = =

x 1 ∗ F i 1+x 2 ∗ F i 2+x 3 ∗ F i 3 y 1 ∗ F i 1+y 2 ∗ F i 2+y 3 ∗ F i 3 E t a ∗ A 1+B 1 E t a ∗ A 2+B 2 dsqrt ( Jax∗ Jax + Jay∗ Jay ) Jay / Ja −J a x / J a X c o r−X p Y c o r−Y p d c m p l x ( r_1 , 0 . d 0 ) + b e t a 1 ∗ r _ 2 d c m p l x ( r_1 , 0 . d 0 ) + b e t a 2 ∗ r _ 2

= W e i g h t ∗ Ja = IntG

! ! !

A Gij es Hij m á t r i x o k s z á m í t á s a .

! ! ! !

Az U m á t r i x és a FiMat a l a k f ü g g v e n y m á t r i x s z o r z a t a n a k s z á m í t á s a . Az e r e d m e n y t a W o r k G H m u n k a t ö m b t a r t a l m a z z a .

call U I m a g i n a r y P a r t ( Um )

W o r k G H=m a t m u l ( Um , F i M a t ) G i j= G i j + I n t G ∗ W o r k G h ! call T I m a g i n a r y P a r t ( Tm ) ! ! ! !

A T m á t r i x és a FiMat a l a k f ü g g v é n y m á t r i x s z o r z a t á n a k s z á m í t á s a . Az e r e d m é n y t a W o r k G H m u n k a t ö m b t a r t a l m a z z a . W o r k G H=m a t m u l ( Tm , F i M a t ) H i j= H i j + I n t H ∗ W o r k G h enddo

! if ( nd . gt . 0 ) then d o i =1 ,2 H i j ( i , 2 ∗ nd −1)=0. d 0 Hij ( i , 2∗ nd ) =0. d 0 enddo endif ! return End subroutine GaussInt ! ! ----------------------------------------------------------------------s u b r o u t i n e L o g I n t ( Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , Gij , n d ) ! ! ----------------------------------------------------------------------! Program: Program sikbeli statikai feladatok számításara ! ! peremintegrál - egyenletek módszerével . ! ! Jelöles: plnbim -- Ver . 1.3. ! ! Alprogram : LogInt ! ! Feladat: A Gij m a t r i x e l e m i n e k s z á m í t á s a ha a v o n a t k o z t a t a s i ! ! pont az e l e m e n belül van . ! ! Rendszer: I B M PC - A T ! ! P a r a m e t e r ( ek ): +++ Input +++ ! ! x1 , y1 , . . . , x3 , y 3 - az elem c s o m ó p o n t i k o o r d i n á t á i . ! ! nd -- a v o n a t k o z t a t á s i pont száma az e l e m e n belül . ! ! +++ Output +++ ! ! Gij -- a számitandó almátrix . !

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben ! Hivott: -! ! ----------------------------------------------------------------------! Use Elem Use Elastica Use IntegrationPointsAndWeights ! Implicit None ! ! Formális paraméterek : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : nd r e a l ( K i n d =8) : : Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y 3 r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 6 ) : : G i j ! ! Saját változók : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : i , ii , j j r e a l ( K i n d =8) : : A11 , B11 , A21 , B21 , A12 , B12 , A22 , B22 , A13 , B13 , & A23 , B23 , Eta , W e t a , ksi , W K s i , & Fi1 , Fi2 , Fi3 , F i l f 1 , F i l f 2 , F i l f 3 , F i l 1 , F i l 2 , F i l 3 , & k1 , k2 , k s i 1 , k s i 3 , r1k , r2k , & R1 , R2 , Y c o r , X c o r , F i R o 1 , F i R o 2 , & J a l x , J a l y , Jal , Jax , Jay , Ja , & Jal1 , Jal2 , Lnrr1 , Lnrr2 , & Intl , Intl1 , Intl2 , Intg1 , Intg2 , Intg3 c o m p l e x ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : & Int11 , Int12 , Int21 , Int22 , Int31 , Int32 c o m p l e x ( K i n d =8) : : C o m p F i R o 1 , C o m p F i r o 2 , I n t g F i R o 1 , I n t g F i R o 2 ! ! A Gij tömb kinullázása . ! G i j =0. d 0 ! s e l e c t case ( nd ) case (1) A 1 1 = 2 . d 0 ∗ ( x1 −2. d 0 ∗ x 2+x 3 ) B 1 1 = 3 . d 0 ∗ x1 −4. d 0 ∗ x 2+x 3 A 2 1 = 2 . d 0 ∗ ( y1 −2. d 0 ∗ y 2+y 3 ) B 2 1 = 3 . d 0 ∗ y1 −4. d 0 ∗ y 2+y 3 case (2) A 1 2 = 0 . 5 d 0 ∗ ( x1 −2. d 0 ∗ x 2+x 3 ) B 1 2 = 0 . 5 d 0 ∗ ( x3−x 1 ) A 2 2 = 0 . 5 d 0 ∗ ( y1 −2. d 0 ∗ y 2+y 3 ) B 2 2 = 0 . 5 d 0 ∗ ( y3−y 1 ) case (3) A 1 3 = 2 . d 0 ∗ ( x1 −2. d 0 ∗ x 2+x 3 ) B 1 3 = −x 1 +4. d 0 ∗ x2 −3. d 0 ∗ x 3 A 2 3 = 2 . d 0 ∗ ( y1 −2. d 0 ∗ y 2+y 3 ) B 2 3 = −y 1 +4. d 0 ∗ y2 −3. d 0 ∗ y 3 endselect ! d o i =1 , N G p t Eta = GaP ( i ) WEta = GaW ( i ) ! ksi = LGaP ( i ) Wksi = LGaW ( i ) ! Fi1 = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ ( Eta −1. d 0 ) Fi2 = 1 . d0−E t a ∗ E t a Fi3 = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ ( E t a +1. d 0 ) F i l f 1 = ( 2 . d 0 ∗ ksi −1. d 0 ) ∗ ( ksi −1. d 0 ) F i l f 2 = 4 . d 0 ∗ k s i ∗ ( 1 . d0−k s i ) F i l f 3 = k s i ∗ ( 2 . d 0 ∗ ksi −1. d 0 ) F i l 1 = 0 . 5 d 0 ∗ k s i ∗ ( ksi −1. d 0 ) F i l 2 = 1 . d0−k s i ∗ k s i F i l 3 = 0 . 5 d 0 ∗ k s i ∗ ( k s i +1. d 0 ) ! X c o r = x 1 ∗ F i 1+x 2 ∗ F i 2+x 3 ∗ F i 3 Y c o r = y 1 ∗ F i 1+y 2 ∗ F i 2+y 3 ∗ F i 3 R 1 = X c o r−X p R 2 = Y c o r−Y p F i R o 1 = d a t a n 2 ( b e t a 1 i ∗ R2 , R 1 + b e t a 1 r ∗ R 2 ) F i R o 2 = d a t a n 2 ( b e t a 2 i ∗ R2 , R 1 + b e t a 2 r ∗ R 2 ) i f ( d a b s ( F i R o 1 ) . l t . 1 . 0 d −10) F i R o 1 = 0 . d 0 i f ( d a b s ( F i R o 2 ) . l t . 1 . 0 d −10) F i R o 2 = 0 . d 0 C o m p F i R o 1 = d c m p l x ( 0 . d0 , F i R o 1 ) C o m p F i R o 2 = d c m p l x ( 0 . d0 , F i R o 2 ) ! ! A Gij mátrixokban álló együtthatók számítása . ! s e l e c t case ( nd ) case (1) J a l x = k s i ∗ A11 −0.5 d 0 ∗ B 1 1 J a l y = k s i ∗ A21 −0.5 d 0 ∗ B 2 1 Jal = 2 . d0 ∗ dsqrt ( Jalx ∗ Jalx + Jaly ∗ Jaly ) Jax = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ A 1 1 +0.5 d 0 ∗ ( x3−x 1 ) Jay = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ A 2 1 +0.5 d 0 ∗ ( y3−y 1 ) Ja = dsqrt ( Jax∗Jax + Jay∗Jay ) k s i 1 = 0 . 5 d 0 ∗ ( E t a +1. d 0 ) r1k = A 1 1 ∗ k s i 1−B 1 1 = A 2 1 ∗ k s i 1−B 2 1 r2k k1 = d s q r t ( ( r 1 k + b e t a 1 r ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 + ( b e t a 1 i ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 ) k2 = d s q r t ( ( r 1 k + b e t a 2 r ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 + ( b e t a 2 i ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 )

131

132 ! Lnrr1 = dlog ( k1 ) Lnrr2 = dlog ( k2 ) !

!

Intl = 2 . d0 ∗ Jal ∗ Wksi Intg1 = 2 . d0 ∗ Lnrr1 ∗ Ja ∗ WEta Intg2 = 2 . d0 ∗ Lnrr2 ∗ Ja ∗ WEta Intg3 = 3 . d0 ∗ Ja ∗ WEta I n t g F i R o 1 = 2 . d0 ∗ C o m p F i R o 1 ∗ Ja ∗ WEta I n t g F i R o 2 = 2 . d0 ∗ C o m p F i R o 2 ∗ Ja ∗ WEta Int11 Int12 Int21 Int22 Int31 Int32

= = = = = =

Pij Qij Pij Qij Pij Qij

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

( ( ( ( ( (

−F i l f 1 ∗ I n t l −F i l f 1 ∗ I n t l −F i l f 2 ∗ I n t l −F i l f 2 ∗ I n t l −F i l f 3 ∗ I n t l −F i l f 3 ∗ I n t l

+ + + + + +

Fi1∗ Fi1∗ Fi2∗ Fi2∗ Fi3∗ Fi3∗

( I n t g 1+I n t g 3 ) ) ( I n t g 2+I n t g 3 ) ) ( I n t g 1+I n t g 3 ) ) ( I n t g 2+I n t g 3 ) ) ( I n t g 1+I n t g 3 ) ) ( I n t g 2+I n t g 3 ) )

+ + + + + +

Fi1 Fi1 Fi2 Fi2 Fi3 Fi3

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Pij Qij Pij Qij Pij Qij

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

IntgFiRo1 IntgFiRo2 IntgFiRo1 IntgFiRo2 IntgFiRo1 IntgFiRo2

! case (2) Jalx = Jaly = Jal1 = Jalx = Jaly = Jal2 = Jax = Jay = Ja = r1k = r2k = k1 = k2 =

−2. d 0 ∗ k s i ∗ A 1 2+B 1 2 −2. d 0 ∗ k s i ∗ A 2 2+B 2 2 dsqrt ( Jalx∗ Jalx + Jaly ∗ Jaly ) 2 . d 0 ∗ k s i ∗ A 1 2+B 1 2 2 . d 0 ∗ k s i ∗ A 2 2+B 2 2 dsqrt ( Jalx∗ Jalx + Jaly ∗ Jaly ) 2 . d 0 ∗ E t a ∗ A 1 2+B 1 2 2 . d 0 ∗ E t a ∗ A 2 2+B 2 2 dsqrt ( Jax∗Jax + Jay∗Jay ) A 1 2 ∗ E t a+B 1 2 A 2 2 ∗ E t a+B 2 2 d s q r t ( ( r 1 k + b e t a 1 r ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 + ( b e t a 1 i ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 ) d s q r t ( ( r 1 k + b e t a 2 r ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 + ( b e t a 2 i ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 )

! Lnrr1 = dlog ( k1 ) Lnrr2 = dlog ( k2 ) !

Intl1 = 2 . d0 ∗ Jal1 ∗ Wksi Intl2 = 2 . d0 ∗ Jal2 ∗ Wksi Intg1 = 2 . d0 ∗ Lnrr1 ∗ Ja ∗ WEta Intg2 = 2 . d0 ∗ Lnrr2 ∗ Ja ∗ WEta Intg3 = 3 . d0 ∗ Ja ∗ WEta I n t g F i R o 1 = 2 . d0 ∗ C o m p F i R o 1 ∗ Ja ∗ WEta I n t g F i R o 2 = 2 . d0 ∗ C o m p F i R o 2 ∗ Ja ∗ WEta

! Int11 Int12 Int21 Int22 Int31 Int32

= = = = = =

Pij Qij Pij Qij Pij Qij

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(− (− (− (− (− (−

Fil3 ∗ Intl1 Fil3 ∗ Intl1 Fil2 ∗ Intl1 Fil2 ∗ Intl1 Fil1 ∗ Intl1 Fil1 ∗ Intl1

− − − − − −

Fil1 ∗ Intl2 Fil1 ∗ Intl2 Fil2 ∗ Intl2 Fil2 ∗ Intl2 Fil3 ∗ Intl2 Fil3 ∗ Intl2

+ + + + + +

F i 1 ∗ ( I n t g 1+I n t g 3+I n t g F i R o 1 ) ) F i 1 ∗ ( I n t g 2+I n t g 3+I n t g F i R o 2 ) ) F i 2 ∗ ( I n t g 1+I n t g 3+I n t g F i R o 1 ) ) F i 2 ∗ ( I n t g 2+I n t g 3+I n t g F i R o 2 ) ) F i 3 ∗ ( I n t g 1+I n t g 3+I n t g F i R o 1 ) ) F i 3 ∗ ( I n t g 2+I n t g 3+I n t g F i R o 2 ) )

! case (3) Jalx = Jaly = Jal = Jax = Jay = Ja = ksi3 = r1k = r2k = k1 = k2 =

−k s i ∗ A13 −0.5 d 0 ∗ B 1 3 −k s i ∗ A23 −0.5 d 0 ∗ B 2 3 2 . d0 ∗ dsqrt ( Jalx ∗ Jalx + Jaly ∗ Jaly ) 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ A 1 3 +0.5 d 0 ∗ ( x3−x 1 ) 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ A 2 3 +0.5 d 0 ∗ ( y3−y 1 ) dsqrt ( Jax∗Jax + Jay∗Jay ) 0 . 5 d 0 ∗ ( 1 . d0−E t a ) A 1 3 ∗ k s i 3+B 1 3 A 2 3 ∗ k s i 3+B 2 3 d s q r t ( ( r 1 k + b e t a 1 r ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 + ( b e t a 1 i ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 ) d s q r t ( ( r 1 k + b e t a 2 r ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 + ( b e t a 2 i ∗ r 2 k ) ∗∗ 2 )

! Lnrr1 = dlog ( k1 ) Lnrr2 = dlog ( k2 ) !

Intl = 2 . d0 ∗ Jal ∗ Wksi Intg1 = 2 . d0 ∗ Lnrr1 ∗ Ja ∗ WEta Intg2 = 2 . d0 ∗ Lnrr2 ∗ Ja ∗ WEta Intg3 = 3 . d0 ∗ Ja ∗ Weta I n t g F i R o 1 = 2 . d0 ∗ C o m p F i R o 1 ∗ Ja ∗ WEta I n t g F i R o 2 = 2 . d0 ∗ C o m p F i R o 2 ∗ Ja ∗ WEta

! Int11 Int12 Int21 Int22 Int31 Int32

= = = = = =

Pij Qij Pij Qij Pij Qij

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(− (− (− (− (− (−

Filf3 ∗ Intl Filf3 ∗ Intl Filf2 ∗ Intl Filf2 ∗ Intl Filf1 ∗ Intl Filf1 ∗ Intl

+ + + + + +

F i 1 ∗ ( I n t g 1+I n t g 3+I n t g F i R o 1 ) ) F i 1 ∗ ( I n t g 2+I n t g 3+I n t g F i R o 2 ) ) F i 2 ∗ ( I n t g 1+I n t g 3+I n t g F i R o 1 ) ) F i 2 ∗ ( I n t g 2+I n t g 3+I n t g F i R o 2 ) ) F i 3 ∗ ( I n t g 1+I n t g 3+I n t g F i R o 1 ) ) F i 3 ∗ ( I n t g 2+I n t g 3+I n t g F i R o 2 ) )

! endselect ! d o i i =1 ,2 d o j j =1 ,2 G i j ( ii , j j ) enddo enddo

= G i j ( ii , j j ) + K a ∗ d i m a g ( I n t 1 1 ( ii , j j )+ I n t 1 2 ( ii , j j ) )

! d o i i =1 ,2 d o j j =1 ,2 G i j ( ii ,2+ j j )= G i j ( ii ,2+ j j )+ K a ∗ d i m a g ( I n t 2 1 ( ii , j j )+ I n t 2 2 ( ii , j j ) ) enddo enddo ! d o i i =1 ,2

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben d o j j =1 ,2 G i j ( ii ,4+ j j ) = G i j ( ii ,4+ j j ) + K a ∗ d i m a g ( I n t 3 1 ( ii , j j ) + I n t 3 2 ( ii , j j ) ) enddo enddo ! enddo ! return end subroutine LogInt ! ! ----------------------------------------------------------------------s u b r o u t i n e L o g I n t 1 ( Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , Gij , n d ) ! ! ----------------------------------------------------------------------! Program: Program sikbeli statikai feladatok számításara ! ! peremintegrál - egyenletek módszerével . ! ! Jelöles: plnbim -- Ver . 1.3. ! ! Alprogram : LogInt ! ! Feladat: A Gij m a t r i x e l e m i n e k s z á m í t á s a ha a v o n a t k o z t a t a s i ! ! pont az e l e m e n belül van . ! ! Rendszer: I B M PC - A T ! ! P a r a m e t e r ( ek ): +++ Input +++ ! ! x1 , y1 , . . . , x3 , y 3 - az elem c s o m ó p o n t i k o o r d i n á t á i . ! ! nd -- a v o n a t k o z t a t á s i pont száma az e l e m e n belül . ! ! +++ Output +++ ! ! Gij -- a számitandó almátrix . ! ! Hivott: -! ! ----------------------------------------------------------------------! Use Elem Use Elastica Use IntegrationPointsAndWeights ! Implicit None ! ! Formális paraméterek : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : nd r e a l ( K i n d =8) : : Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y 3 r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 6 ) : : G i j ! ! Saját változók : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : i , ii , j j r e a l ( K i n d =8) : : A11 , B11 , A21 , B21 , A12 , B12 , A22 , B22 , A13 , B13 , & A23 , B23 , Eta , W e t a , ksi , W K s i , & Fi1 , Fi2 , Fi3 , F i l f 1 , F i l f 2 , F i l f 3 , F i l 1 , F i l 2 , F i l 3 , & k1 , k2 , k11 , k21 , k s i 1 , k s i 2 , k s i 3 , r1k , r2k , & Ycor , Xcor , FiRo1 , FiRo2 , & J a l x , J a l y , Jal , Jax , Jay , Ja , J a l 1 , & Jal2 , Lnrr1 , Lnrr2 c o m p l e x ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : & PInt1_1 , PInt1_2 , PInt1_3 , & PInt2_1 , PInt2_2 , PInt2_3 , & PInt3_1 , PInt3_2 , PInt3_3 , & PInt4_1 , PInt4_2 , PInt4_3 c o m p l e x ( K i n d =8) : : C o m p F i R o 1 , C o m p F i r o 2 , c l r o 1 , c l r o 2 ! ! A Gij tömb kinullázása . ! G i j =0. d 0 ! s e l e c t case ( nd ) case (1) A 1 1 = 2 . d 0 ∗ ( x1 −2. d 0 ∗ x 2+x 3 ) B 1 1 = 3 . d 0 ∗ x1 −4. d 0 ∗ x 2+x 3 A 2 1 = 2 . d 0 ∗ ( y1 −2. d 0 ∗ y 2+y 3 ) B 2 1 = 3 . d 0 ∗ y1 −4. d 0 ∗ y 2+y 3 case (2) A 1 2 = 0 . 5 d 0 ∗ ( x1 −2. d 0 ∗ x 2+x 3 ) B 1 2 = 0 . 5 d 0 ∗ ( x3−x 1 ) A 2 2 = 0 . 5 d 0 ∗ ( y1 −2. d 0 ∗ y 2+y 3 ) B 2 2 = 0 . 5 d 0 ∗ ( y3−y 1 ) case (3) A 1 3 = 2 . d 0 ∗ ( x1 −2. d 0 ∗ x 2+x 3 ) B 1 3 = −x 1 +4. d 0 ∗ x2 −3. d 0 ∗ x 3 A 2 3 = 2 . d 0 ∗ ( y1 −2. d 0 ∗ y 2+y 3 ) B 2 3 = −y 1 +4. d 0 ∗ y2 −3. d 0 ∗ y 3 endselect ! d o i =1 , N G p t Eta = GaP ( i ) WEta = GaW ( i ) ! ksi = LGaP ( i ) Wksi = LGaW ( i ) ! Fi1 = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ ( Eta −1. d 0 ) Fi2 = 1 . d0−E t a ∗ E t a Fi3 = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ ( E t a +1. d 0 ) F i l f 1 = ( 2 . d 0 ∗ ksi −1. d 0 ) ∗ ( ksi −1. d 0 ) F i l f 2 = 4 . d 0 ∗ k s i ∗ ( 1 . d0−k s i ) F i l f 3 = k s i ∗ ( 2 . d 0 ∗ ksi −1. d 0 ) F i l 1 = 0 . 5 d 0 ∗ k s i ∗ ( ksi −1. d 0 ) F i l 2 = 1 . d0−k s i ∗ k s i F i l 3 = 0 . 5 d 0 ∗ k s i ∗ ( k s i +1. d 0 ) !

133

134 X c o r = x 1 ∗ F i 1+x 2 ∗ F i 2+x 3 ∗ F i 3 Y c o r = y 1 ∗ F i 1+y 2 ∗ F i 2+y 3 ∗ F i 3 r _ 1 = X c o r−X p r _ 2 = Y c o r−Y p r o 1 = d c m p l x ( r_1 , 0 . d 0 ) + b e t a 1 ∗ r _ 2 r o 2 = d c m p l x ( r_1 , 0 . d 0 ) + b e t a 2 ∗ r _ 2 F i R o 1 = d a t a n 2 ( b e t a 1 i ∗ r_2 , r _ 1 + b e t a 1 r ∗ r _ 2 ) F i R o 2 = d a t a n 2 ( b e t a 2 i ∗ r_2 , r _ 1 + b e t a 2 r ∗ r _ 2 ) i f ( d a b s ( F i R o 1 ) . l t . 1 . 0 d −10) F i R o 1 = 0 . d 0 i f ( d a b s ( F i R o 2 ) . l t . 1 . 0 d −10) F i R o 2 = 0 . d 0 C o m p F i R o 1 = d c m p l x ( 0 . d0 , F i R o 1 ) C o m p F i R o 2 = d c m p l x ( 0 . d0 , F i R o 2 ) ! ! !

! ! ! !

A Gij mátrixokban álló együtthatók számítása . s e l e c t case ( nd ) case (1) J a l x = k s i ∗ A11 −0.5 d 0 ∗ B 1 1 J a l y = k s i ∗ A21 −0.5 d 0 ∗ B 2 1 Jal = 2 . d0 ∗ dsqrt ( Jalx ∗ Jalx + Jaly ∗ Jaly ) Jax = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ A 1 1 +0.5 d 0 ∗ ( x3−x 1 ) Jay = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ A 2 1 +0.5 d 0 ∗ ( y3−y 1 ) Ja = dsqrt ( Jax∗Jax + Jay∗Jay ) k s i 1 = 0 . 5 d 0 ∗ ( E t a +1. d 0 ) r1k = A11 * ksi1 - B11 r2k = A21 * ksi1 - B21 k1 = dsqrt ( ( r1k + b e t a 1 r * r2k ) ** 2 + ( b e t a 1 i * r2k ) ** 2 ) k2 = dsqrt ( ( r1k + b e t a 2 r * r2k ) ** 2 + ( b e t a 2 i * r2k ) ** 2 ) k1 = cdabs ( ro1 )/ ksi1 k2 = cdabs ( ro2 )/ ksi1

! Lnrr1 Lnrr2 clro1 clro2 !

!

= = = =

dlog ( k1 ) dlog ( k2 ) cdlog ( ro1 ) cdlog ( ro2 )

P I n t 1 _ 1 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi1 ∗ Ja P I n t 1 _ 2 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi2 ∗ Ja P I n t 1 _ 3 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi3 ∗ Ja

∗ WEta ∗ WEta ∗ WEta

P I n t 2 _ 2 = 2 . d0 ∗ ( clro1 ∗ Pij + clro2 ∗ Qij ) ∗ Fi2 ∗ Ja P I n t 2 _ 3 = 2 . d0 ∗ ( clro1 ∗ Pij + clro2 ∗ Qij ) ∗ Fi3 ∗ Ja ! ------------------------------------------- Logaritmikus integrálás , P I n t 3 _ 1 = 2 . d0 ∗ ( ( C o m p F i R o 1 + d c m p l x ( Lnrr1 , 0 . d0 ) ) ∗ ( C o m p F i R o 2 + d c m p l x ( Lnrr2 , 0 . d0 ) ) ∗ Qij ) ∗ Fi1 ∗

∗ WEta ∗ WEta 1. a . Pij + & Ja ∗ WEta

P I n t 4 _ 1 = − 2 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Filf1 ∗ Jal ∗ Wksi ! -----------------------------------------------------------------------------------d o i i =1 ,2 d o j j =1 ,2 G i j ( ii , j j ) = G i j ( ii , j j ) + & d i m a g ( P I n t 1 _ 1 ( ii , j j ) + P I n t 3 _ 1 ( ii , j j ) + P I n t 4 _ 1 ( ii , j j ) ) G i j ( ii ,2+ j j ) = G i j ( ii ,2+ j j ) + & d i m a g ( P I n t 1 _ 2 ( ii , j j ) + P I n t 2 _ 2 ( ii , j j ) ) G i j ( ii ,4+ j j ) = G i j ( ii ,4+ j j ) + d i m a g ( P I n t 1 _ 3 ( ii , j j ) + & P I n t 2 _ 3 ( ii , j j ) ) enddo enddo ! case (2) J a l x = −2. d 0 ∗ k s i ∗ A 1 2+B 1 2 J a l y = −2. d 0 ∗ k s i ∗ A 2 2+B 2 2 Jal1 = dsqrt ( Jalx∗ Jalx + Jaly ∗ Jaly ) J a l x = 2 . d 0 ∗ k s i ∗ A 1 2+B 1 2 J a l y = 2 . d 0 ∗ k s i ∗ A 2 2+B 2 2 Jal2 = dsqrt ( Jalx∗ Jalx + Jaly ∗ Jaly ) Jax = 2 . d 0 ∗ E t a ∗ A 1 2+B 1 2 Jay = 2 . d 0 ∗ E t a ∗ A 2 2+B 2 2 Ja = dsqrt ( Jax∗Jax + Jay∗Jay ) ! r1k = A12 * Eta + B12 ! r2k = A22 * Eta + B22 ! k11 = dsqrt ( ( r1k + b e t a 1 r * r2k ) ** 2 + ( b e t a 1 i * r2k ) ** 2 ) ! k21 = dsqrt ( ( r1k + b e t a 2 r * r2k ) ** 2 + ( b e t a 2 i * r2k ) ** 2 ) ksi2 = dabs ( eta ) k1 = cdabs ( ro1 )/ ksi2 k2 = cdabs ( ro2 )/ ksi2 ! Lnrr1 = dlog ( k1 ) Lnrr2 = dlog ( k2 ) clro1 = cdlog ( ro1 ) clro2 = cdlog ( ro2 ) ! P I n t 1 _ 1 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi1 ∗ Ja ∗ WEta P I n t 1 _ 2 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi2 ∗ Ja ∗ WEta P I n t 1 _ 3 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi3 ∗ Ja ∗ WEta ! P I n t 2 _ 1 = 2 . d0 ∗ ( clro1 ∗ Pij + clro2 ∗ Qij ) ∗ Fi1 ∗ Ja ∗ WEta P I n t 2 _ 3 = 2 . d0 ∗ ( clro1 ∗ Pij + clro2 ∗ Qij ) ∗ Fi3 ∗ Ja ∗ WEta ! P I n t 3 _ 2 = 2 . d0 ∗ ( ( C o m p F i R o 1 + Lnrr1 ) ∗ Pij + & ( CompFiRo2 + Lnrr2 ) ∗ Qij ) ∗ Fi2 ∗ Ja ∗ WEta ! P I n t 4 _ 2 = − 2 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fil2 ∗ Jal1 ∗ Wksi + & − 2 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fil2 ∗ Jal2 ∗ Wksi

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - L o g a r i t m i k u s integrálás , 2. ! d o i i =1 ,2 d o j j =1 ,2 G i j ( ii , j j ) = G i j ( ii , j j ) + d i m a g ( P I n t 1 _ 1 ( ii , j j ) + P I n t 2 _ 1 ( ii , j j ) ) G i j ( ii ,2+ j j ) = & G i j ( ii ,2+ j j )+ d i m a g ( P I n t 1 _ 2 ( ii , j j )+ P I n t 3 _ 2 ( ii , j j )+ P i n t 4 _ 2 ( ii , j j ) ) G i j ( ii ,4+ j j ) = & G i j ( ii ,4+ j j )+ d i m a g ( P I n t 1 _ 3 ( ii , j j )+ P I n t 2 _ 3 ( ii , j j ) ) enddo enddo case (3) J a l x = −k s i ∗ A13 −0.5 d 0 ∗ B 1 3 J a l y = −k s i ∗ A23 −0.5 d 0 ∗ B 2 3 Jal = 2 . d0 ∗ dsqrt ( Jalx ∗ Jalx + Jaly ∗ Jaly ) Jax = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ A 1 3 +0.5 d 0 ∗ ( x3−x 1 ) Jay = 0 . 5 d 0 ∗ E t a ∗ A 2 3 +0.5 d 0 ∗ ( y3−y 1 ) Ja = dsqrt ( Jax∗Jax + Jay∗Jay ) k s i 3 = 0 . 5 d 0 ∗ ( 1 . d0−E t a ) ! r1k = A13 * ksi3 + B13 ! r2k = A23 * ksi3 + B23 ! k11 = dsqrt ( ( r1k + b e t a 1 r * r2k ) ** 2 + ( b e t a 1 i * r2k ) ** 2 ) ! k21 = dsqrt ( ( r1k + b e t a 2 r * r2k ) ** 2 + ( b e t a 2 i * r2k ) ** 2 ) ! k1 = cdabs ( ro1 )/ ksi3 k2 = cdabs ( ro2 )/ ksi3 ! Lnrr1 = dlog ( k1 ) Lnrr2 = dlog ( k2 ) clro1 = cdlog ( ro1 ) clro2 = cdlog ( ro2 ) ! ---------------------------------------------------------------------------------P I n t 1 _ 1 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi1 ∗ Ja ∗ WEta P I n t 1 _ 2 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi2 ∗ Ja ∗ WEta P I n t 1 _ 3 = 3 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Fi3 ∗ Ja ∗ WEta ! P I n t 2 _ 1 = 2 . d0 ∗ ( clro1 ∗ Pij + clro2 ∗ Qij ) ∗ Fi1 ∗ Ja ∗ WEta P I n t 2 _ 2 = 2 . d0 ∗ ( clro1 ∗ Pij + clro2 ∗ Qij ) ∗ Fi2 ∗ Ja ∗ WEta ! P I n t 3 _ 3 = 2 . d0 ∗ ( ( C o m p F i R o 1 + Lnrr1 ) ∗ Pij + & ( CompFiRo2 + Lnrr2 ) ∗ Qij ) ∗ Fi3 ∗ Ja ∗ WEta P I n t 4 _ 3 = − 2 . d0 ∗ P i j P l Q i j ∗ Filf1 ∗ Jal ∗ Wksi ! ------------------------------------------- Logaritmikus integrálás , 2. ! d o i i =1 ,2 d o j j =1 ,2 G i j ( ii , j j ) = G i j ( ii , j j ) + & d i m a g ( P I n t 1 _ 1 ( ii , j j ) + P I n t 2 _ 1 ( ii , j j ) ) G i j ( ii ,2+ j j ) = & G i j ( ii ,2+ j j )+ d i m a g ( P I n t 1 _ 2 ( ii , j j )+ P I n t 2 _ 2 ( ii , j j ) ) G i j ( ii ,4+ j j ) = G i j ( ii ,4+ j j ) + & d i m a g ( P I n t 1 _ 3 ( ii , j j ) + P I n t 3 _ 3 ( ii , j j ) + & P i n t 4 _ 3 ( ii , j j ) ) enddo enddo ! endselect ! enddo ! G i j=K a ∗ G i j return end subroutine LogInt1 ! ! ----------------------------------------------------------------------s u b r o u t i n e I n t N o d R s ( sl , B V a l u e , B C o d e , xi , yi , & xx , yy , S t r F u n c S o l , S t r S o l ) ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! Parameter (s) : +++ Input +++ ! ! rs -az e g y e n l e t r e n d s z e r jobb o l d a l a ! ! BValue -peremértékeket tartalmazó tömb ! ! BCode -peremfeltételek jellegét vezérlő kód ! ! xi -- a belső c s o m ó p o n t o k x k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! yi -- a belső c s o m ó p o n t o k y k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! xx -- a p e r e m c s o m ó p o n t o k x k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! yy -- a p e r e m c s o m ó p o n t o k y k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! +++ Output +++ ! ! StrFuncSol -feszültségfüggvényeket tartalmazó tömb ! ! StrSol -feszültségeket tartalmazó tömb ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! Use Elem Use Elastica Use IntegrationPointsAndWeights ! Implicit None ! ! Formális paraméterek : ! r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( NEqns ) : : sl i n t e g e r ( K i n d =4) , D i m e n s i o n ( N E l e m 6 ) : : B C o d e r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( NElem6 ) : : BValue

135

136 real real real real ! ! !

( K i n d =8) , ( K i n d =8) , ( K i n d =8) , ( K i n d =8) ,

D i m e n s i o n ( I n t N o d e ) : : xi , y i D i m e n s i o n ( N o d N u m ) : : xx , y y Dimension ( IntNode2 ) : : StrFuncSol Dimension ( IntNode3 ) : : StrSol

Saját változók : integer ( Kind =4):: & f l a g , f l a g f , f l a g s , i , i2 , ij6 , j , k , & nc , ndn , n d n 1 , n d n 2 , & nl , nd , nd1 , nd2 , nd3 , n d s c , nl1 , nl2 , & nl6 , n l 6 f , n l 6 s , n r

! r e a l ( K i n d =8) : : change r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 6 ) : : Hij , G i j r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 , 6 ) : : DijInt , SijInt i n t e g e r ( K i n d =4) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : E l m N o d e r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( N e l e m 6 ) : : E l m S t r F i n t e g e r ( K i n d =4) , P a r a m e t e r : : N R o w =2 , N d C o d e=0 ! ! ! ! ! ! !

sl és b v a l u e tömb á t r e n d e z é s e után r e n d r e a f e s z ü l t s é g f ü g g v é n y e k e t és a f e s z ü l t s é g e k e t fogja t a r t a l m a z n i a 2 tömb ( í v k o r r d i n á t á n a k megfelelően - e l l e n t é t e s e l ő j e l l e l ). ---------------------------------------ElmNode kinullázása . d o i =1 , N o d N u m E l m N o d e=0

! n r=0 d o n l =1 , N E l e m d o k =1 ,3 ! ! ! ! ! ! ! ! !

Az

if utasítás feltétele csak egyszer ( elemen belüli csomópont ) illetve kétszer ( két elem közös határpontja ) t e l j e s ü l h e t . Az E l m N o d e elsö o s z l o p a az elem számat , m á s o d i k o s z l o p a pedig az e l e m e n b e l ü l i s o r s z á m o t tartalmazza .

i f ( B E l e m N d ( nl , k ) . e q . i ) t h e n n r=n r+1 E l m N o d e ( nr , 1 ) = n l E l m N o d e ( nr , 2 ) = k endif enddo enddo ! if ( E l m N o d e ( 2 , 1 ) . eq . 0) then ! ! !

Az i - k c s o m ó p o n t csak e g y e t l e n e l e m e n f o r d u l elő . nl = E l m N o d e ( 1 , 1 ) ndn = ElmNode (1 ,2) i 2 = 2∗ i−2 do nc = 1 ,2 n l 6 =6∗nl −6 + 2∗ n d n − 2 + n c f l a g=B C o d e ( n l 6 ) if ( flag . eq . 0) then c h a n g e=s l ( i 2 + n c ) s l ( i 2+n c )= B V a l u e ( n l 6 ) B V a l u e ( n l 6 )= c h a n g e endif enddo else

! ! !

Az i - k c s o m ó p o n t két e l e m e n f o r d u l elő . nl1 = ElmNode (1 ,1) ndn1 = ElmNode (1 ,2) nl2 = ElmNode (2 ,1) ndn2 = ElmNode (2 ,2) i2 = 2∗ i − 2 do nc = 1 ,2 n l 6 f =6∗ n l 1 − 6 + 2∗ n d n 1 − 2 + n c n l 6 s =6∗ n l 2 − 6 + 2∗ n d n 2 − 2 + n c flagf = BCode ( nl6f ) flags = BCode ( nl6s ) if ( flagf . eq . 0 . and . flags . eq . 0 ) then c h a n g e = sl ( i2 + nc ) s l ( i 2+n c ) = B V a l u e ( n l 6 f ) BValue ( nl6f ) = change BValue ( nl6s ) = change e l s e i f ( flagf . eq . 0 . and . flags . eq . 1 ) then change = s l ( i 2+n c ) s l ( i 2+n c ) = BValue ( nl6f ) BValue ( nl6f ) = change e l s e i f ( flagf . eq . 1 . and . flags . eq . 0 ) then change = s l ( i 2+n c ) s l ( i 2+n c ) = BValue ( nl6s ) BValue ( nl6s ) = change endif enddo endif

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben

137

enddo ! ! !

Belső pontokban a feszültségfüggvények

és f e s z ü l t s é g e k e l ő á l l í t á s a .

d o n l =1 , N E l e m d o k =1 ,3 n d=B E l e m N d ( nl , k ) i 2 =2∗nd −2 d o n c =1 ,2 n l 6 =6∗nl −6+2∗k−2 E l m S t r F ( n l 6+n c )= s l ( i 2+n c ) enddo enddo enddo ! if ( I n t N o d e . gt . 0 ) then d o k =1 , I n t N o d e S t r F u n c S o l ( 2 ∗ k −1) = 0 . d 0 StrFuncSol (2∗ k ) = 0 . d0 !

S t r S o l ( 3 ∗ k −2) = 0 . d 0 S t r S o l ( 3 ∗ k −1) = 0 . d 0 StrSol (3∗ k ) = 0 . d0

! d o i =1 , N E l e m n d=0 n d 1=B E l e m N d ( i , 1 ) n d 2=B E l e m N d ( i , 2 ) n d 3=B E l e m N d ( i , 3 ) call GaussInt ( xi ( k ) , yi ( k ) , xx ( nd1 ) , yy ( nd1 ) , xx ( nd2 ) , yy ( nd2 ) , xx ( nd3 ) , yy ( nd3 ) , Hij , Gij , n d ) call SigmaInt ( xi ( k ) , yi ( k ) , xx ( nd1 ) , yy ( nd1 ) , xx ( nd2 ) , yy ( nd2 ) , xx ( nd3 ) , yy ( nd3 ) , DijInt , SijInt , nd ) d o j =1 ,6

& & & &

! i j 6 =6∗i−6+j !

S t r F u n c S o l ( 2 ∗ k −1) = + − StrFuncSol (2∗ k ) = + −

S t r F u n c S o l ( 2 ∗ k −1) & Gij (1 , j ) ∗ BValue ( ij6 ) & Hij (1 , j ) ∗ ElmStrF ( ij6 ) StrFuncSol (2∗ k ) & Gij (2 , j ) ∗ BValue ( ij6 ) & Hij (2 , j ) ∗ ElmStrF ( ij6 )

S t r S o l ( 3 ∗ k −2) = S t r S o l ( 3 ∗ k −2) & + DijInt (1 , j ) − SijInt (1 , j ) S t r S o l ( 3 ∗ k −1) = S t r S o l ( 3 ∗ k −1) & + DijInt (2 , j ) − SijInt (2 , j ) StrSol (3∗ k ) = StrSol (3∗ k ) & + DijInt (3 , j ) − SijInt (3 , j ) enddo enddo enddo endif

∗ BValue ( ij6 ) & ∗ ElmStrF ( ij6 ) ∗ BValue ( ij6 ) & ∗ ElmStrF ( ij6 ) ∗ BValue ( ij6 ) & ∗ ElmStrF ( ij6 )

! return end subroutine IntNodRs ! ! ----------------------------------------------------------------------s u b r o u t i n e S i g m a I n t ( Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , & DijInt , SijInt , nd ) ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! ! Parameters +++ Input +++ ! xp , y p - - a k o l l o k á c i ó s p o n t k o o r d i n á t á i ! ! x1 , . . . . , y 3 - - a z e l e m c s o m ó p o n t i k o o r d i n á t á i ! ! ! ! +++ Output +++ ! ! DijInt , S i j I n t -- i n t e g r á c i ó h o z s z ü k s é g e s tömb , ! ! a feszültségeket szolgáltatja ! ! ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! ! Use Elem Use Elastica Use IntegrationPointsAndWeights ! Implicit None ! ! Formális paraméterek : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : nd r e a l ( K i n d =8) : : Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y 3 r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 , 6 ) : : D i j I n t , S i j I n t ! ! Saját változók : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : i , ir , i c r e a l ( K i n d =8) :: & A1 , B1 , A2 , B2 , Cf1 , Cf2 , Cf3 , & Eta , E t a 1 , E t a 2 , E t a 3 , W e i g h t , I n t G H , &

138 Fi1 , Fi2 , Fi3 , X c o r , Y c o r , Jax , Jay , Ja , & Ka2 ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 2 , 6 ) : : FiMat (2 ,6) r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 , 2 ) : : Dij (3 ,2) , Sij (3 ,2) r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 , 6 ) : : WorkGH (3 ,6) i n t e g e r ( K i n d =4) , P a r a m e t e r : : n r 2 =2 , n r 3 =3 , n c 6=6 c o m p l e x ( K i n d =8) : : d 1 p r o 1 , d 2 p r o 2 , & Twod1pro1square , Twod2pro2square , workvar ! ! !

DijInt , SijInt kinullázása . D i j I n t = 0 . d0 S i j I n t = 0 . d0

!

E t a 1 = −1. d 0 Eta2 = 0 . d0 Eta3 = 1 . d0 C f 1 = 1 . d 0 / ( ( E t a 1−E t a 2 ) ∗ ( E t a 1−E t a 3 ) ) C f 2 = 1 . d 0 / ( ( E t a 2−E t a 1 ) ∗ ( E t a 2−E t a 3 ) ) C f 3 = 1 . d 0 / ( ( E t a 3−E t a 1 ) ∗ ( E t a 3−E t a 2 ) ) A 1 =2. d 0 ∗ ( C f 1 ∗ x 1+C f 2 ∗ x 2+C f 3 ∗ x 3 ) B 1=−( C f 1 ∗ ( E t a 2+E t a 3 ) ∗ x 1 + C f 2 ∗ ( E t a 3+E t a 1 ) ∗ x 2 + C f 3 ∗ ( E t a 1+E t a 2 ) ∗ x 3 ) A 2 =2. d 0 ∗ ( C f 1 ∗ y 1+C f 2 ∗ y 2+C f 3 ∗ y 3 ) B 2=−( C f 1 ∗ ( E t a 2+E t a 3 ) ∗ y 1 + C f 2 ∗ ( E t a 3+E t a 1 ) ∗ y 2 + C f 3 ∗ ( E t a 1+E t a 2 ) ∗ y 3 )

! d o i =1 , N G P t ! ! !

F i M a t , Dij , S i j k i n u l l á z á s a . F i M a t =0. d 0 D i j =0. d 0 S i j =0. d 0

! ! !

Alakfüggvények

m e g h a t á r o z á s a az i n t e g r á c i ó s p o n t o k b a n .

E t a=G a P ( i ) W e i g h t=G a W ( i ) F i 1=C f 1 ∗ ( Eta−E t a 2 ) ∗ ( Eta−E t a 3 ) F i 2=C f 2 ∗ ( Eta−E t a 3 ) ∗ ( Eta−E t a 1 ) F i 3=C f 3 ∗ ( Eta−E t a 1 ) ∗ ( Eta−E t a 2 ) FiMat (1 ,1)= Fi1 FiMat (2 ,2)= Fi1 FiMat (1 ,3)= Fi2 FiMat (2 ,4)= Fi2 FiMat (1 ,5)= Fi3 FiMat (2 ,6)= Fi3 ! ! !

G e o m e t r i a i a d a t o k s z á m í t á s a az i n t e g r á c i ó s p o n t o k b a n .

! ! !

Dij , S i j m á t r i x o k e l e m e i :

X c o r = F i 1 ∗ x 1+F i 2 ∗ x 2+F i 3 ∗ x 3 Y c o r = F i 1 ∗ y 1+F i 2 ∗ y 2+F i 3 ∗ y 3 J a x = E t a ∗ A 1+B 1 J a y = E t a ∗ A 2+B 2 Ja = d s q r t ( J a x ∗ J a x+J a y ∗ J a y ) n1 = Jay / Ja n2 = −J a x / J a r _ 1 = X c o r−X p r _ 2 = Y c o r−Y p r o 1 = d c m p l x ( r_1 , 0 . d 0 ) + b e t a 1 ∗ r _ 2 r o 2 = d c m p l x ( r_1 , 0 . d 0 ) + b e t a 2 ∗ r _ 2 K a 2 = K a+K a d 1 p r o 1 = d1 / ro1 d 2 p r o 2 = d2 / ro2 T w o d 1 p r o 1 s q u a r e = 2 . d0 ∗ d1 /( ro1 ∗ ro1 ) T w o d 2 p r o 2 s q u a r e = 2 . d0 ∗ d2 /( ro2 ∗ ro2 )

Dij (1 ,1) Dij (1 ,2) Dij (2 ,1) Dij (2 ,2) Dij (3 ,1) Dij (3 ,2) IntGH ! ! !

= Ka2 ∗ dimag ( = − Ka2 ∗ dimag ( = Dij (1 ,2) = Ka2 ∗ dimag ( = Dij (2 ,2) = − Ka2 ∗ dimag ( = W e i g h t∗ Ja

d1pro1∗ beta1_cube + d2pro2∗ beta2_cube ) d1pro1∗ beta1_square + d2pro2∗ beta2_square ) d1pro1∗ beta1 + d2pro2∗ beta2 ) d1pro1 + d2pro2 )

Mátrix szorzás: WorkGH= Dij * FiMat W o r k G H = m a t m u l ( Dij , F i M a t )

! ! !

Integrálás .

DijInt = DijInt + IntGH ∗ WorkGH ! ! ------------------------! workvar = Twod1pro1square ∗ ( & n 2 ∗ ( −s 1 1 ∗ b e t a 1 _ f o u r t h − s 1 2 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) & − 0 . 5 d0 ∗ n1 ∗ s66 ∗ beta1_cube & − n 1 ∗ ( s 2 2 ∗ b e t a 1 + ( s 2 1+s 6 6 / 2 . d 0 ) ∗ b e t a 1 _ c u b e ) & ) + & Twod2pro2square ∗ ( &

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben n 2 ∗ ( −s 1 1 ∗ b e t a 2 _ f o u r t h − s 1 2 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) & − 0 . 5 d0 ∗ n1 ∗ ( s66 ∗ b e t a 2 _ c u b e ) & − n 1 ∗ ( s 2 2 ∗ b e t a 2 + ( s 2 1+s 6 6 / 2 . d 0 ) ∗ b e t a 2 _ c u b e ) & ) Sij ( 1 , 1 ) = Ka ∗ dimag ( w o r k v a r ) ! ---------------------------------------------------------------------workvar = Twod1pro1square ∗ ( & 0 . 5 d0 ∗ n2 ∗ ( s66 ∗ b e t a 1 _ c u b e ) + & + n1 ∗ ( s21 ∗ b e t a 1 _ f o u r t h + s22 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) & + n 2 ∗ ( s 2 2 ∗ b e t a 1 + ( s 2 1+s 6 6 / 2 . d 0 ) ∗ b e t a 1 _ c u b e ) & ) + & Twod2pro2square ∗ ( & 0 . 5 d0 ∗ n2 ∗ ( s66 ∗ b e t a 2 _ c u b e ) + & + n1 ∗ ( s21 ∗ b e t a 2 _ f o u r t h + s22 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) & + n 2 ∗ ( s 2 2 ∗ b e t a 2 + ( s 2 1+s 6 6 / 2 . d 0 ) ∗ b e t a 2 _ c u b e ) & ) Sij ( 1 , 2 ) = Ka ∗ dimag ( w o r k v a r ) ! ----------------------------------------------------------------------workvar = Twod1pro1square ∗ ( & n2 ∗ ( s11 ∗ b e t a 1 _ c u b e + s12 ∗ beta1 ) & + 0 . 5 d0 ∗ n1 ∗ ( s66 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) & − n 1 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ∗ ( ( s 1 2+s 6 6 / 2 . d 0 ) + s 1 1 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) & ) + & Twod2pro2square ∗ ( & n2 ∗ ( s11 ∗ b e t a 2 _ c u b e + s12 ∗ beta2 ) & + 0 . 5 d0 ∗ n1 ∗ ( s66 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) & − n 1 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ∗ ( ( s 1 2+s 6 6 / 2 . d 0 ) + s 1 1 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) & ) Sij (2 ,1) = Ka ∗ dimag ( w o r k v a r ) ! ------------------------------------------------------------------------workvar = Twod1pro1square ∗ ( & − 0 . 5 d0 ∗ n2 ∗ ( s66 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) & − n1 ∗ ( s21 ∗ b e t a 1 _ c u b e + s22 ∗ beta1 ) & − n 2 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ∗ ( ( s 2 1 +0.5 d 0 ∗ s 6 6 ) + s 1 1 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) & ) + & Twod2pro2square ∗ ( & − 0 . 5 d0 ∗ n2 ∗ ( s66 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) & & + n1 ∗ ( s21 ∗ b e t a 2 _ c u b e + s22 ∗ beta2 ) − n 2 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ∗ ( ( s 2 1 +0.5 d 0 ∗ s 6 6 ) + s 1 1 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) & ) Sij ( 2 , 2 ) = Ka ∗ dimag ( w o r k v a r ) ! ----------------------------------------------------------------------workvar = Twod1pro1square ∗ ( & − n2 ∗ ( s11 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e + s12 ) & − 0 . 5 d0 ∗ n1 ∗ ( s66 ∗ beta1 ) & + n 1 ∗ b e t a 1 ∗ ( ( s 1 2 +0.5 d 0 ∗ s 6 6 ) + s 1 1 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) & ) + & Twod2pro2square ∗ ( & − n2 ∗ ( s11 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e + s12 ) & − 0 . 5 d0 ∗ n1 ∗ ( s66 ∗ beta2 ) & + n 1 ∗ b e t a 2 ∗ ( ( s 1 2 +0.5 d 0 ∗ s 6 6 ) + s 1 1 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) & ) Sij ( 3 , 1 ) = Ka ∗ dimag ( w o r k v a r ) ! -----------------------------------------------------------------------workvar = Twod1pro1square ∗ ( & 0 . 5 d0 ∗ n2 ∗ ( s66 ∗ beta1 ) & + n1 ∗ ( s21 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e + s22 ) & + n 2 ∗ b e t a 1 ∗ ( ( s 1 2 +0.5 d 0 ∗ s 6 6 ) + s 1 1 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e ) & ) + & Twod2pro2square ∗ ( & 0 . 5 d0 ∗ n2 ∗ ( s66 ∗ beta2 ) & + n1 ∗ ( s21 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e + s22 ) & + n 2 ∗ b e t a 2 ∗ ( ( s 1 2 +0.5 d 0 ∗ s 6 6 ) + s 1 1 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e ) & ) Sij ( 3 , 2 ) = Ka ∗ dimag ( w o r k v a r ) ! ----------------------------------------------------------------------! Mátrix szorzás: WorkGH= Sij * FiMat ! W o r k G H=m a t m u l ( Sij , F i M a t ) ! ! Integrálás . ! S i j I n t = S i j I n t +I n t G H ∗ W o r k G H ! enddo ! return end subroutine SigmaInt ! ----------------------------------------------------------------------s u b r o u t i n e O u t p R e s ( xx , yy , R S o l , B V a l u e , xi , yi , & StrFuncSol , StrSol ) ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! Parameters +++ Input +++ ! ! RSol -- a feszültségfüggvények peremcsomópontbeli ! ! értékeit tartalmazó tömb ! ! xx -- a p e r e m c s o m ó p o n t o k x k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! yy -- a p e r e m c s o m ó p o n t o k y k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! BValue -elmozdulások deriváltjának ellentettjét ! ! tartalmazó tömb !

139

140 ! BCode -peremfeltételeket vezérlő kód ! ! xi -- a belső c s o m ó p o n t o k x k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! yi -- a belső c s o m ó p o n t o k y k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! StrFuncSol -feszültségfüggvényeket tartalmazó tömb ! ! StrSol -feszültségeket tartalmazó tömb ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! Use Elem Use Elastica Use ReadWrite Use Infinity1 ! Implicit None ! ! Formális paraméterek : ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( N o d N u m ) : : xx , y y r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( NEqns ) : : RSol r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( NElem6 ) : : BValue r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( I n t N o d e ) : : xi , y i r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( IntNode2 ) : : StrFuncSol r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( IntNode3 ) : : StrSol ! ! Sajátváltozók : ! i n t e g e r ( k i n d =4) i , k , nc , ndn , n d n 1 , n d n 2 , & nl , nl1 , nl2 , nl6 , n l 6 f , n l 6 s , n r i n t e g e r ( k i n d =4) , p a r a m e t e r : : N R o w = 2 i n t e g e r ( K i n d =4) , D i m e n s i o n ( 2 , 2 ) : : E l m N o d e real ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 4 ) : : D i s p D e r real ( Kind =8):: Str_Inf_x , Str_Inf_y , Sigma_xx , Sigma_xy , ! ! !

Feszültségfüggvények

kiirítása

Sigma_yy

--------------------------------------

w r i t e ( fwr , 1 0 0 0 ) ! d o i =1 , N o d N u m w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) x x ( i ) , y y ( i ) , R S o l ( 2 ∗ i −1) , R S o l ( 2 ∗ i ) enddo ! ! !

Elmozdulások deriváltjainak kirítása --------------------------------

! ! !

ElmNode kinullázása

w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 )

d o i =1 , N o d N u m ElmNode = 0 ! n r=0 d o n l =1 , N E l e m d o k =1 ,3 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

Az

if utasítás feltétele csak egyszer ( elemen belüli csomópont ), illetve kétszer ( két elem közös határpontja ) t e l j e s ü l h e t . Az E l m N o d e elsö o s z l o p a az elem számat , m á s o d i k o s z l o p a pedig az e l e m e n b e l ü l i s o r s z á m o t tartalmazza .

i f ( B E l e m N d ( nl , k ) . e q . i ) t h e n n r=n r+1 E l m N o d e ( nr , 1 ) = n l E l m N o d e ( nr , 2 ) = k endif enddo enddo ! if ( E l m N o d e ( 2 , 1 ) . eq . 0) then ! !

Az i - k c s o m ó p o n t csak e g y e t l e n e l e m e n f o r d u l elő . nl = E l m N o d e ( 1 , 1 ) ndn = ElmNode (1 ,2) n l 6 = 6∗ nl− 6 + 2∗ n d n − 2 do nc = 1 ,2 D i s p D e r ( nc ) = B V a l u e ( n l 6+n c ) D i s p D e r ( n c +2) = B V a l u e ( n l 6+n c ) enddo else

! ! !

Az i - k c s o m ó p o n t két elem h a t á r p o n t j a . nl1 = ElmNode (1 ,1) ndn1 = ElmNode (1 ,2) nl2 = ElmNode (2 ,1) ndn2 = ElmNode (2 ,2) d o n c =1 ,2 n l 6 f =6∗ n l 1 − 6 + 2∗ n d n 1 − 2 + n c n l 6 s =6∗ n l 2 − 6 + 2∗ n d n 2 − 2 + n c D i s p D e r ( nc ) = BValue ( nl6f ) D i s p D e r ( n c +2) = B V a l u e ( n l 6 s ) enddo endif

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben w r i t e ( fwr , 1 0 3 0 )

xx ( i ) , yy ( i ) , & DispDer (1) , DispDer (2) , DispDer (3) , DispDer (4)

enddo ! ! !

Eredmény kiiratása elemről elemre. call

! ! !

B E l m R e s ( xx , yy , R S o l ,

BValue )

Eredmények belső pontokban . S t r _ I n f _ x = 0 . d0 S t r _ I n f _ y = 0 . d0 if ( I n t N o d e . gt . 0) then w r i t e ( fwr , 1 0 4 0 ) d o k =1 , I n t N o d e if ( I n f i n i t y . gt . 0) then S t r _ I n f _ x = − S i g m a _ x y _ I n f ∗ x i ( k)+ S i g m a _ x x _ I n f ∗ y i ( k ) S t r _ I n f _ y = − S i g m a _ y y _ I n f ∗ x i ( k)+ S i g m a _ x y _ I n f ∗ y i ( k ) endif w r i t e ( fwr , 1 0 5 0 ) x i ( k ) , y i ( k ) , & S t r F u n c S o l ( 2 ∗ k −1) + S t r _ I n f _ x , & StrFuncSol (2∗ k ) + Str_Inf_y enddo w r i t e ( fwr , 1 0 6 0 ) d o k =1 , I n t N o d e S i g m a _ x x = S t r S o l ( 3 ∗ k −2) S i g m a _ x y = S t r S o l ( 3 ∗ k −1) Sigma_yy = StrSol (3∗ k ) if ( I n f i n i t y . gt . 0) then S i g m a _ x x = S i g m a _ x x _ I n f + S t r S o l ( 3 ∗ k −2) S i g m a _ x y = S i g m a _ x y _ I n f + S t r S o l ( 3 ∗ k −1) Sigma_yy = Sigma_yy_Inf + StrSol (3∗ k ) endif w r i t e ( fwr , 1 0 7 0 ) x i ( k ) , y i ( k ) , S i g m a _ x x , S i g m a _ x y , S i g m a _ y y enddo endif

! w r i t e ( fwr , 1 0 8 0 ) ! ! !

Format utasítások : 1000 f o r m a t ( / , ’ ␣ ’ , 7 9 ( ’− ’ ) / / 2 7 x , ’ ␣R␣ ␣E␣ ␣S␣ ␣U␣ ␣L␣ ␣T␣ ␣S ’ & //11 x , ’−−−−−−−−−␣ ␣ ␣B␣ o ␣u␣n␣d␣ a ␣ r ␣ y ␣ ␣ ␣ ␣N␣ o ␣d␣ e ␣ s ␣ ␣ ␣ ␣−−−−−−−−−− ’ , & //48 x , ’ S t r e s s ␣ Functions ’ , & //11 x , ’ xx ␣ ’ , 1 4 x , ’ yy ’ , 1 1 x , ’X␣−␣ Component ’ , 5 x , ’Y␣−␣ Component ’ / ) 1010 f o r m a t ( 4 ( 4 x , e 1 4 . 7 ) ) 1020 f o r m a t ( / / , 45 x , ’ D e r i v a t i v e s ␣ o f ␣ D i s p l a c e m e n t s ’ , & //34 x , ’X−Component ’ , 4 x , ’Y−component ’ , 4 x , ’X−component ’ & , 3 x , ’Y−component ’ & / ,34 x , ’ Preceeding ’ ,5 x , ’ Preceeding ’ ,7 x , ’ a f t e r ’ ,9 x , ’ a f t e r ’ , & /9 x , ’ x ’ , 1 3 x , ’ y ’ , 1 0 x , ’ Nodal ␣ P o i n t ’ , 4 x , & ’ Nodal ␣ P o i n t ’ , 4 x , ’ Nodal ␣ P o i n t ’ , 2 x , ’ Nodal ␣ P o i n t ’ / ) 1030 f o r m a t ( 6 ( 1 x , d 1 4 . 6 ) ) 1040 f o r m a t ( & //11 x , ’−−−−−−−−−␣ ␣ ␣ I ␣n␣ t ␣ e ␣ r ␣n␣ a ␣ l ␣ ␣ ␣P␣ o ␣ i ␣n␣ t ␣ s ␣ ␣ ␣−−−−−−−−−− ’ , & //40 x , ’ S t r e s s ␣ F u n c t i o n s ␣ a t ␣ I n t e r n a l ␣ P o i n t s ’ & /11 x , ’ x ’ , 1 7 x , ’ y ’ , 1 2 x , ’X−Component ’ , 7 x , ’Y−Component ’ , / ) 1050 f o r m a t ( 4 ( 2 x , e 1 6 . 7 ) ) 1060 f o r m a t ( / / 5 0 x , ’ S t r e s s e s ␣ a t ␣ I n t e r n a l ␣ P o i n t s ’ , & /10 x , ’ x ’ , 1 6 x , ’ y ’ , 1 5 x , ’ Sigma−xx ’ , 1 0 x , ’ Tau−xy ’ , 1 1 x , ’ Sigma−yy ’ , / ) 1070 f o r m a t ( 5 ( 2 x , e 1 6 . 7 ) ) 1080 f o r m a t ( / , ’ ␣ ’ , 7 9 ( ’− ’ ) )

! return ! end subroutine OutpRes ! ----------------------------------------------------------------------s u b r o u t i n e B E l m R e s ( xx , yy , R S o l , B V a l u e ) ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! Parameters +++ Input +++ ! ! xx -- a p e r e m c s o m ó p o n t o k x k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! yy -- a p e r e m c s o m ó p o n t o k y k o o r d i n á t á i t ! ! tartalmazó tömb ! ! RSol -- a feszültségfüggvények peremcsomópontbeli ! ! értékeit tartalmazó tömb ! ! BValue -elmozdulások deriváltjának ellentettjét ! ! tartalmazó tömb ! ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ! Use Elem Use Elastica Use ReadWrite ! Implicit None ! ! Formális paraméterek : ! r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( N o d N u m ) : : xx , y y r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( NEqns ) : : RSol r e a l ( K i n d =8) , Dimension ( NElem6 ) : : BValue ! ! Saját változók : ! ! i n t e g e r *4 ire , iwr ,

141

142 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

real *8

NBElem , NBNodes , Nelem6 , NEqns , NIntNodes , NIntElem , BElemNd , IntElemNd G , Nue , hh_block_row , gg_block_row , r r _ b l o c k _ r o w , aa , rs , NEta11 , NEta21 , NEta31 , NEta12 , NEta22 , Neta32

c o m m o n / rw / ire , i w r common / prbdata/ NBElem , NBNodes , NElem6 , NEqns , NIntNodes , NIntElem , B E l e m N d (200 ,4) , I n t E l e m N d (100 ,6) common / elastica/ G , Nue common / matrix/ h h _ b l o c k _ r o w (2 ,600) , g g _ b l o c k _ r o w (2 ,600) , r r _ b l o c k _ r o w (2 ,600) , aa (200 ,200) , rs (200 ,2) common / nodecor/ NEta11 , NEta21 , NEta31 , NEta12 , NEta22 , Neta32 Internal variables i n t e g e r ( k i n d =4) : : real ( Kind =8)::

i , ifail A1 , A2 dN1 , dN2 Ja , Jax , r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 ) : : r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 , 3 ) r e a l ( K i n d =8) , D i m e n s i o n ( 3 , 1 ) i n t e g e r ( k i n d =4) , p a r a m e t e r : :

, k, nl , n n , B1 , B2 , Cf1 , Cf2 , Cf3 , & , dN3 , dux , duy , Eta , & Jay , Nnx , N n y D E t a , SFx , SFy , xe , y e : : StressesXY , StressesNS , aa : : rs m =3 , n=1

! w r i t e ( fwr , 1 0 0 0 ) ! d o n l =1 , N E l e m d o k =1 ,3 n n=B E l e m N d ( nl , k ) x e ( k)= x x ( n n ) y e ( k)= y y ( n n ) S F x ( k)= R S o l ( 2 ∗ nn −1) S F y ( k)= R S o l ( 2 ∗ n n ) enddo D E t a (1)= −1. d 0 D E t a (2)= 0 . d 0 D E t a (3)= 1 . d 0 !

!

! ! !

C f 1 =1. d 0 / ( ( D E t a (1) − D E t a ( 2 ) ) ∗ ( D E t a (1) − D E t a ( 3 ) ) C f 2 =1. d 0 / ( ( D E t a (2) − D E t a ( 1 ) ) ∗ ( D E t a (2) − D E t a ( 3 ) ) C f 3 =1. d 0 / ( ( D E t a (3) − D E t a ( 1 ) ) ∗ ( D E t a (3) − D E t a ( 2 ) ) A 1 =2. d 0 ∗ ( C f 1 ∗ x e (1)+ C f 2 ∗ x e (2)+ C f 3 ∗ x e ( 3 ) ) B 1=−( C f 1 ∗ ( D E t a (2)+ D E t a ( 3 ) ) ∗ x e ( 1 ) & + C f 2 ∗ ( D E t a (3)+ D E t a ( 1 ) ) ∗ x e ( 2 ) & + C f 3 ∗ ( D E t a (1)+ D E t a ( 2 ) ) ∗ x e ( 3 ) ) A 2 =2. d 0 ∗ ( C f 1 ∗ y e (1)+ C f 2 ∗ y e (2)+ C f 3 ∗ y e ( 3 ) ) B 2=−( C f 1 ∗ ( D E t a (2)+ D E t a ( 3 ) ) ∗ y e ( 1 ) & + C f 2 ∗ ( D E t a (3)+ D E t a ( 1 ) ) ∗ y e ( 2 ) & + C f 3 ∗ ( D E t a (1)+ D E t a ( 2 ) ) ∗ y e ( 3 ) ) d o k =1 ,3 E t a=D E t a ( k ) d N 1=C f 1 ∗ ( 2 . d 0 ∗ Eta−D E t a (2) − D E t a ( 3 ) ) d N 2=C f 2 ∗ ( 2 . d 0 ∗ Eta−D E t a (3) − D E t a ( 1 ) ) d N 3=C f 3 ∗ ( 2 . d 0 ∗ Eta−D E t a (1) − D E t a ( 2 ) ) J a x=E t a ∗ A 1+B 1 J a y=E t a ∗ A 2+B 2 J a=d s q r t ( J a x ∗ J a x+J a y ∗ J a y ) N n x=J a y / J a N n y=−J a x / J a Együttható mátrix előállítása . aa (1 ,1)= Nnx aa (1 ,2)= Nny aa ( 1 , 3 ) = 0 . d0 aa ( 2 , 1 ) = 0 . d0 aa (2 ,2)= Nnx aa (2 ,3)= Nny a a ( 3 , 1 ) = N n y ∗ N n y ∗ s 1 1+N n x ∗ N n x ∗ s 2 1 a a (3 ,2)= − N n y ∗ N n x ∗ s 6 6 a a ( 3 , 3 ) = N n y ∗ N n y ∗ s 1 2+N n x ∗ N n x ∗ s 2 2

! ! ! !

!

Az e g y e n l e t r e n d s z e r

jobb oldalának képzése .

r s ( 1 , 1 ) = ( d N 1 ∗ S F x (1)+ d N 2 ∗ S F x (2)+ d N 3 ∗ S F x ( 3 ) ) / J a r s ( 2 , 1 ) = ( d N 1 ∗ S F y (1)+ d N 2 ∗ S F y (2)+ d N 3 ∗ S F y ( 3 ) ) / J a n n =6∗( nl −1)+2∗ k−1 d u x=B v a l u e ( n n ) d u y=B v a l u e ( n n +1) r s ( 3 , 1 ) = N n y ∗ dux−N n x ∗ d u y c a l l S o l v ( rs , aa , m , n , 1 . D0 −14 , i f a i l )

! if ( ifail . ne . 0 ) then w r i t e ( fwr , 1 0 1 0 ) i f a i l !

) ) )

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben ! ! !

M ű v e l e t vége , f á l j o k bezárása , m i u t á n az egyenletrenszernek nincs megoldása close ( fre ) close ( fwr )

! stop endif ! d o i =1 ,3 S t r e s s e s X Y ( k , i )= r s ( i , 1 ) enddo S t r e s s e s N S ( k ,1)= Nnx ∗ Nnx ∗ S t r e s s e s X Y ( k ,1)+ & 2 . d0 ∗ Nnx ∗ Nny ∗ S t r e s s e s X Y ( k ,2)+ Nny ∗ Nny ∗ S t r e s s e s X Y ( k , 3 ) S t r e s s e s N S ( k ,2)=− N n x ∗ N n y ∗ S t r e s s e s X Y ( k , 1 ) + & ( N n x ∗ Nnx−N n y ∗ N n y ) ∗ S t r e s s e s X Y ( k , 2 ) + N n x ∗ N n y ∗ S t r e s s e s X Y ( k , 3 ) S t r e s s e s N S ( k , 3 ) = N n y ∗ N n y ∗ S t r e s s e s X Y ( k ,1) − 2 . d0 ∗ Nnx ∗ Nny ∗ S t r e s s e s X Y ( k ,2)+ Nnx ∗ Nnx ∗ S t r e s s e s X Y ( k , 3 ) enddo ! ! !

Eredmények fájlba iratása. w r i t e ( fwr , 1 0 2 0 ) d o k =1 ,3 if ( k . eq . 1 ) then w r i t e ( fwr , 1 0 3 0 ) nl , k , ( else w r i t e ( fwr , 1 0 4 0 ) k ,( endif enddo w r i t e ( fwr , 1 0 5 0 ) d o k =1 ,3 if ( k . eq . 1 ) then w r i t e ( fwr , 1 0 3 0 ) nl , k , ( else w r i t e ( fwr , 1 0 4 0 ) k ,( endif enddo enddo return

S t r e s s e s X Y ( k , i ) , i =1 ,3) S t r e s s e s X Y ( k , i ) , i =1 ,3)

S t r e s s e s N S ( k , i ) , i =1 ,3) S t r e s s e s N S ( k , i ) , i =1 ,3)

! 1000 f o r m a t ( & //11 x , ’−−−−−−−−−␣ ␣ ␣B␣ o ␣u␣n␣d␣ a ␣ r ␣ y ␣ ␣ ␣E␣ l ␣ e ␣m␣ e ␣n␣ t ␣ s ’ , & ’ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣−−−−−−−−−− ’ , / / ) 1010 f o r m a t ( / / 1 1 x , ’−−−−−−−−−␣ ␣ ␣ S o l u t i o n ␣ e r r o r ␣ ␣ ␣ i f a i l ␣= ’ , i 2 ) 1020 f o r m a t ( & 3 x , ’ Element ’ , 2 x , ’ Node ’ , 6 x , ’ Sigma ’ , 1 4 x , ’ Tau ’ , 1 2 x , ’ Sigma ’ , & /3 x , ’ Number ’ , 3 x , ’ Number ’ , 6 x , ’ xx ’ , 16 x , ’ xy ’ , 1 4 x , ’ yy ’ ) 1030 f o r m a t ( 5 x , i2 , 7 x , i1 , 3 ( 2 x , d 1 5 . 8 ) ) 1040 f o r m a t ( 14 x , i1 , 3 ( 2 x , d 1 5 . 8 ) ) 1050 f o r m a t ( & 3 x , ’ Element ’ , 2 x , ’ Node ’ , 6 x , ’ Sigma ’ , 1 4 x , ’ Tau ’ , 1 2 x , ’ Sigma ’ , & /3 x , ’ Number ’ , 3 x , ’ Number ’ , 6 x , ’ nn ’ , 16 x , ’ ns ’ , 1 4 x , ’ s s ’ ) ! end subroutine BElmRes ! ----------------------------------------------------------------------s u b r o u t i n e S o l v ( r , a , m , n , eps , i e r ) ! ----------------------------------------------------------------------! Program: Program sikbeli statikai feladatok számításara ! ! peremintegrál - egyenletek módszerével . ! ! Alprogram : solv ! ! Készitö: Miskolci Egyetem , Mechanikai Tanszék ! ! 3515 Miskolc - Egyetemváros ! ! Feladat: L i n e á r i s e g y e n l e t r e n d s z e r m e g o l d á s a Gauss elimi ! ! nációval teljes föelemkiválasztással . ! ! P a r a m e t e r ( ek ): +++ Input +++ ! ! r - m * n m e r e t ü v e k t o r ( B e l é p é s k o r az n szamú jobbol ! ! d a l t , v i s s z a t é r é s k o r a m e g o l d a s t t a r t a l m a z z a .) , ! ! a - m*m meretü együttható mátrix (A számítás során ! ! f e l ü l i r ó d i k .) ! ! m - az e g y e n l e t e k száma , ! ! n - a j o b b o l d a l a k száma , ! ! eps - hibakorlát a szingularitás ellenörzésére , ! ! ier - hibakód ! ! ( eq . 0 -- nincs hiba , ! ! e q . -2 - - f o r m á l i s h i b a , ! ! e q . -1 - - z é r u s f ö e l e m a z e l s ö e l i m i n á c i ó s ! ! lépésben , ! ! eq . k ( k . gt .0) ! ! -- az a mátrix szinguláris , rangja k ). ! ! Megjegyzés : A módszer Gauss elimináció teljes föelemkiválasz ! ! tással. ! ! Hivott: -! ! --------------------------------------------------------------------! ! Formális paraméterek : ! Implicit None ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : m , n , ier r e a l ( K i n d =8) : : a ( m , m ) , r ( m , n ) , eps ! ! Saját változók : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : p , q , i , j , k , k1 r e a l ( K i n d =8) : : piv , p i v i , tb , t o l !

143

144 ! !

Paraméter hiba . if ( m . le . 0 i e r=−2 return endif

! ! !

. or . n . le . 0 ) then

A legnagyobb elem megkeresése . i e r=0 p i v =0. d 0

! d o 10 q =1 , m d o 10 p =1 , m t b=d a b s ( a ( p , q ) ) if ( piv . le . tb ) then p i v=t b i=p j=q endif 10 c o n t i n u e !

t o l=e p s ∗ p i v

! ! !

Az e l i m i n á c i ó k e z d e t e . if ( piv . le . 0 . d0 ) then i e r=−1 return endif

! k=0 20 k=k+1 if ( ier . eq . 0

. a n d . p i v . l e . t o l ) i e r=k−1

! p i v i =1. d 0 / a ( i , j ) ! ! !

R e d u k c i ó és s o r c s e r e a j o b b o l d a l o n .

30 ! ! !

d o 30 q =1 , n tb =p i v i ∗ r ( i , q ) r ( i , q)=r ( k , q ) r ( k , q)= t b continue Az e l i m i n á c i ó . if ( k . ne . m ) then

! if ( j . ne . k ) then ! ! !

O s z l o p c s e r e az

a

mátrixban .

d o 40 p=k , m tb =a ( p , j ) a ( p , j)=a ( p , k ) a ( p , k)= t b continue

40 !

endif ! ! !

S o r c s e r e az

50

a

mátrixban .

d o 50 q=k , m tb =p i v i ∗ a ( i , q ) a ( i , q)=a ( k , q ) a ( k , q)= t b continue

! a ( k , k)= d b l e ( f l o a t ( j ) ) ! p i v =0. d 0 ! ! !

R e d u k c i ó és a k ö v e t k e z ö f ö e l e m m e g k e r e s é s e .

60

k 1=k+1 d o 80 p=k1 , m p i v i=−a ( p , k ) d o 60 q=k1 , m a ( p , q)=a ( p , q )+ p i v i ∗ a ( k , q ) t b=d a b s ( a ( p , q ) ) if ( tb . gt . piv ) then p i v=t b i=p j=q endif continue

70 80

d o 70 q =1 , n r ( p , q)=r ( p , q )+ p i v i ∗ r ( k , q ) continue continue

!

! endif ! i f ( k . l t . m ) g o t o 20 ! if ( m . gt . 1 ) then d o 100 i =2 , m

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben

90 100

p=m−i+1 j=i f i x ( s n g l ( a ( p , p ) + 0 . 5 d 0 ) ) k 1=p+1 d o 100 q =1 , n t b=r ( p , q ) d o 90 k=k1 , m t b=tb−a ( p , k ) ∗ r ( k , q ) continue r ( p , q)=r ( j , q ) r ( j , q)= t b continue

! endif ! return end subroutine Solv ! End Module My_Procedures1 ! =========================================================================== ! Program Main ! Use numerical_libraries Use My_Procedures1 Use ReadWrite Use Matrix Use Elastica Use Elem ! Implicit None ! ! Saját változók : ! i n t e g e r ( K i n d =4) : : ndeg i n t e g e r ( K i n d =4) : : NRSides , ifail , i , j r e a l ( K i n d =8) : : Xp , Yp , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , D , DD , DD2 , b1 , b2 , & difference , lambda , lambda2 , lambdacosdelta , lambdasindelta r e a l ( K i n d =8) : : e p s = 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 ! c o m p l e x ( K i n d =8) : : p o l 1 , p o l 2 , p o l 3 , p o l 4 c o m p l e x ( K i n d =8) , d i m e n s i o n ( 4 ) :: roots c o m p l e x ( Kind = 8 ) : : detd1 , detd2 , I_first , I _ s e c o n d r e a l ( K i n d =8) , a l l o c a t a b l e , dimension ( : ) : : rs , r s o l , R S p r b r e a l ( K i n d =8) , a l l o c a t a b l e , dimension ( : , : ) : : RsEqn ! write (∗ ,1030) read (∗ ,1040) inpfn write (∗ ,1050) read (∗ ,1040) outfn ! o p e n ( u n i t=fre , f i l e=i n p f n , s t a t u s= ’ unknown ’ ) o p e n ( u n i t=fwr , f i l e=o u t f n , s t a t u s= ’ unknown ’ ) ndeg = 4 ! call DataInp ! if ( nstp . ne . 0) then ! ! Kezdeti értékek beállitása . ! D D = 0 . 5 d 0 ∗ ( s 2 1+s 2 1+s 6 6 ) / s 1 1 DD2 = DD ∗ DD lambda2 = s22/ s11 lambda = dsqrt ( lambda2 ) D = DD2 − lambda2 s 2 1 p s 6 6 o t w o = s 2 1 +0.5∗ s 6 6 ! if ( D > eps ) then b1 = dsqrt ( DD − dsqrt ( D ) ) b e t a 1 = d c m p l x ( 0 . d0 , b1 ) b e t a 1 h = d c m p l x ( 0 . d0 , −b 1 ) b2 = dsqrt ( DD + dsqrt ( D ) ) b e t a 2 = d c m p l x ( 0 . d0 , b2 ) b e t a 2 h = d c m p l x ( 0 . d0 , −b 2 ) elseif ( D < − eps ) then l a m b d a c o s d e l t a = dsqrt ( 0 . 5 d0 ∗ ( l a m b d a + DD ) ) l a m b d a s i n d e l t a = dsqrt ( 0 . 5 d0 ∗ ( l a m b d a − DD ) ) b e t a 1 = d c m p l x(− l a m b d a s i n d e l t a , lambdacosdelta ) b e t a 1 h = d c m p l x(− l a m b d a s i n d e l t a , −l a m b d a c o s d e l t a ) beta2 = beta1 beta2h = beta1h endif ! c a l l d e t d 1 d e t d 2 ( d1 , d 2 ) twod1 = d1 + d1 twod2 = d2 + d2 ! I _ f i r s t = F o u r P i ∗ ( d 1 / ( 1 . d 0+b 1 ) ) ∗ ( s 2 2+s 1 2 ∗ b1−b 1 ∗ b 1 ∗ ( s 2 1+s 6 6 )− s 1 1 ∗ b 1 ∗ b 1 ∗ b 1 ) I _ s e c o n d = F o u r P i ∗ ( d 2 / ( 1 . d 0+b 2 ) ) ∗ ( s 2 2+s 1 2 ∗ b2−b 2 ∗ b 2 ∗ ( s 2 1+s 6 6 )− s 1 1 ∗ b 2 ∗ b 2 ∗ b 2 ) ! Ka = 1 . d0 / dimag ( I _ f i r s t + I _ s e c o n d ) ! beta1r = dreal ( beta1 ) beta2r = dreal ( beta2 ) beta1i = dimag ( beta1 ) beta2i = dimag ( beta2 )

145

146 ! beta1_square beta1_cube beta1_fourth beta2_square beta2_cube beta2_fourth !

= beta1 ∗ beta1 = beta1_square ∗ beta1 = beta1_cube ∗ beta1 = beta2 ∗ beta2 = beta2_square ∗ beta2 = beta2_cube ∗ beta2

Pij (1 ,1) Pij (1 ,2) Pij (2 ,1) Pij (2 ,2)

= − d1 ∗ b e t a 1 _ s q u a r e = d1 ∗ beta1 = Pij (1 ,2) = − d1

Qij (1 ,1) Qij (1 ,2) Qij (2 ,1) Qij (2 ,2)

= − d2 ∗ b e t a 2 _ s q u a r e = d2 ∗ beta2 = Qij (1 ,2) = − d2

!

! P i j P l Q i j = P i j+Q i j ! allocate allocate allocate allocate allocate

( ( ( ( (

hh_block_row (2 , NElem6 ) , gg_block_row (2 , NElem6 ) ) rs ( NEqns ) , rsol ( NEqns ) , RSprb ( NEqns ) ) HMprb ( NEqns , NEqns ) , h h m a t r ( NEqns , NEqns ) ) StrsSol ( IntNode3 ) ) StrsFuncSol ( IntNode2 ) )

! c a l l h m t e s t ( xx , yy , xi , y i ) ! c a l l G m H m E q n s ( xx , yy , h h _ b l o c k _ r o w , & g g _ b l o c k _ r o w , h h m a t r , rs , b v a l u e , b c o d e ) ! ! !

Az e g y e n l e t r e n d s z e r

megoldása .

N R S i d e s=1 a l l o c a t e ( RsEqn ( NEqns , N R S i d e s ) ) d o i =1 , N E q n s R s E q n ( i , N R S i d e s )= r s ( i ) enddo ! HMprb = hhmatr ! call Solv ( RsEqn ,

hhmatr

, N E q n s , N R S i d e s , eps , i f a i l )

! w r i t e ( fwr , 1 0 6 0 ) d o i =1 , N E q n s r s o l ( i )= R s E q n ( i , N R S i d e s ) w r i t e ( fwr , 1 0 6 5 ) i , r s o l ( i ) enddo ! ! !

A végrehajtás befejezése szinguláris mátrix esetén. if ( ifail . ne . 0 ) then w r i t e ( fwr , 1 0 7 0 ) i f a i l

! ! !

F á j l o k l e z á r á s a s z i n g u l á r i s ER e s e t é n . if ( fre . ne . inp ) if ( fwr . ne . out )

! ! !

close ( fre ) close ( fwr )

Futás b e f e j e z é s e s z i n g u l á r i s ER e s e t é n . stop endif

! ! !

A megoldás ellenőrzése . d o i =1 , N E q n s d i f f e r e n c e = 0 . d0 d o j =1 , N E q n s difference = difference + HMprb (i , j ) ∗ RSol ( j ) enddo RSprb ( i ) = difference enddo w r i t e ( fwr , 1 0 9 0 ) d o i =1 , N E q n s d i f f e r e n c e = RSprb ( i ) − rs ( i ) w r i t e ( fwr , 1 1 0 0 ) i , R S ( i ) , R S p r b ( i ) , d i f f e r e n c e enddo

! ! !

Feszültségszámítás

belsö pontokban .

c a l l I n t N o d R s ( R S o l , B V a l u e , B C o d e , xi , yi , & xx , yy , S t r s F u n c S o l , S t r s S o l ) w r i t e ( fwr , 1 1 1 0 ) d o i =1 , I n t N o d e w r i t e ( fwr , 1 1 2 0 ) i , x i ( i ) , y i ( i ) , S t r s F u n c S o l ( 2 ∗ i −1) , S t r s F u n c S o l ( 2 ∗ i ) enddo ! ! !

Eredmények kiiratása . c a l l O u t p R e s ( xx , yy , R S o l , B V a l u e , xi , yi , & StrsFuncSol , endif

! ! !

Program vége . stop

StrsSol )

E. Programlista ortotrop testre duál rendszerben ! ! !

Format utasítások : 1030 f o r m a t ( & ’ ␣Az␣ a d a t o k a t ␣ t a r t a l m a z ó ␣ f á j l ␣ n e v é n e k ␣ o l v a s á s a ’ , / , & ’ ␣ ( 6 ␣ k a r a k t e r+t i p u s ) ’ , / , & ’−−−−−−.d a t ’ ) 1040 f o r m a t ( a 1 0 ) 1050 f o r m a t ( & ’ ␣Az␣ o u t p u t o t ␣ t a r t a l m a z o ␣ f á j l ␣ n e v é n e k ␣ o l v a s a s a ’ , / , & ’ ␣ (10␣ karakter ) ’ ,/ , & ’−−−−−−.d a t ’ ) 1060 f o r m a t ( / 2 x , ’ Az␣ER␣ m e g o l d a sa ␣ k ö v e t k e z i k ’ , / ) 1065 f o r m a t ( 2 x , i2 , d 1 6 . 5 ) 1070 f o r m a t ( ’ ␣ ∗∗∗ ␣ Hiba ␣ a z ␣ER␣ m e g o l d á s a ␣ so r a n , ␣ IFAIL ␣=␣ ’ , i3 , ’ ␣ ∗∗∗ ’ ) 1080 f o r m a t ( 2 x , i3 , d 1 6 . 8 ) 1090 f o r m a t ( / / , 5 x , ’−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−␣A␣ m e g o l d á s ␣ e l l e n ö r z é s e ’ , & / / , 5 x , ’−−−−−−−−−−−−−−−−−−−␣ J o b b o l d a l a k ’ , 1 7 x , ’A␣ k ü l ö n b s é g ’ , / ) 1100 f o r m a t ( 1 0 x , i5 , 3 d 1 6 . 8 ) 1110 f o r m a t ( / / , 5 x , ’−−−−−−−−−−−−−−−−−−−␣ F e s z ü l t s é g f ü g g v é n e k ’ , / ) 1120 f o r m a t ( 1 0 x , i5 , 4 d 1 6 . 8 ) ! end

147