Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Műszaki Mechanikai Intézet 3515 Miskolc - Egyetemváros
Szakdolgozat
Feladat címe:
Küllős kerék végeselemes vizsgálata Készítette:
Kovács Balázs BSc szintű, gépészmérnök szakos Mérnöki modellezés szakirányos hallgató
Konzulens: Burmeister Dániel egyetemi tanársegéd Miskolci Egyetem Műszaki Mechanikai Intézet
2014
Tartalomjegyzék 1.
Bevezetés .................................................................................................................. 2 1.1
Feladat részletezése, célkitűzések ...................................................................... 2
1.2
Irodalmi áttekintés .............................................................................................. 2
2.
A küllős kerék felépítése........................................................................................... 4
3.
Különböző felni-keresztmetszetek vizsgálata ........................................................... 6
4.
5.
3.1
Szimplafalú felni ................................................................................................ 6
3.2
Duplafalú felni – egymezős ............................................................................... 8
3.3
Duplafalú felni – többmezős ............................................................................ 10
3.4
Eredmények összevetése .................................................................................. 12
A küllős kerék végeselemes modellje ..................................................................... 13 4.1
Modellalkotás ................................................................................................... 15
4.2
Eredmények kiértékelése adott terheléssel ....................................................... 17
Továbbfejlesztett modell......................................................................................... 21 5.1
Kerékmodellek összehasonlítása terhelés mellett ............................................ 23
6.
Görbült felni centírozása ......................................................................................... 26
7.
Összefoglalás .......................................................................................................... 29
8.
Summary ................................................................................................................. 30
Irodalomjegyzék ............................................................................................................. 31
1
1. Bevezetés 1.1 Feladat részletezése, célkitűzések Küllős kerekeket széles körben alkalmaznak kis súlyuk és nagy merevségük miatt. A küllős kerék használata során lényegi kérdésként vetődik fel, hogy mekkora a kerék terhelhetősége. A terhelhetőséget több tényező együttesen határozza meg. Ilyenek az egyes alkatrészei anyagának teherbírása, az alkatrészek kialakítása és a kerék összeszerelésének módja. Jelen szakdolgozat célja a kerékpárokban használt küllős kerék egy olyan mechanikai modelljének megalkotása, mely a küllőkből és felniből álló szerkezet viselkedését mutatja be. A dolgozat a kitűzött feladat célkitűzéseinek megfelelően tagolódik részekre. Az irodalmi áttekintés és a kerék felépítésének tanulmányozása után a felni, mint görbe rúd keresztmetszeti jellemzőinek vizsgálata következik. A következő fejezet a küllőkből és felniből álló rendszer térbeli végeselemes modell megalkotásának kérdéseivel kíván foglalkozni, majd a modell egy továbbfejlesztett változatának bemutatására is sor kerül. Mindkét modellhez kapcsolódóan felvetődik a kérdés, hogy az egyes szerkezeti elemekben milyen és mekkora feszültségek lépnek fel. A dolgozat további célja a számítások különböző felni keresztmetszetek esetére történő elvégzése és a kapott eredmények összehasonlítása. A diplomaterv feladat célkitűzéséhez tartozóan egy külön fejezetben a meggörbült felni centírozásának vizsgálatával kívánunk foglalkozni.
1.2 Irodalmi áttekintés Mivel kerekeket az ember ősidők óta használ, a vele kapcsolatban fellelhető irodalom is terjedelmes. Kerekek mechanikai vizsgálatával foglalkozó kutatások is hosszú múltra tekintenek vissza, habár az ezzel foglalkozó művek száma már lényegesen kisebb. A küllős kerekeket két csoportba sorolhatjuk aszerint, hogy a teherviselés miként valósul meg bennük. Eszerint lehet a küllő olyan, hogy nyomóerők ébrednek bennük, vagy előfeszítést alkalmazunk és ilyenkor húzóerők lépnek fel bennük. Az előbbinél zömök küllők a jellemzők, mint amilyeneket gépjárműveken találhatunk, míg a mai kerékpárok zöménél az utóbbi megvalósítást alkalmazzák. 2
Az első tanulmányok a küllős kerekekkel kapcsolatban a múlt század első felében jelentek meg. Nyomóerőt viselő küllős kerék esetére Piccard és Baker dolgozott ki számítást a maximális feszültség meghatározására (1), míg Coker (2), illetve Reynolds és szerzőtársa (3) optikai feszültségvizsgálattal elemezték a feszültségeloszlást a keréken belül. Piccard és Duncan egy későbbi cikkükben (4) pedig a küllőket „elkenve” és merevségüket átlagolva egy egyenértékű tárcsával helyettesítették, hogy az agy és a felni közti merevségi tulajdonságokat vizsgálják. Az előfeszített küllős kerék modellezésével szintén Piccard és szerzőtársa foglalkozott először (5), míg egy későbbi cikkében (6) az eredmények kísérleti mérésekkel is összehasonlította.
A
későbbiekben
Burgoyne
és
Dilmaghanian
(7)
kísérleti
eredményeket hasonlított össze analitikus úton előállított megoldással, melyben szintén tárcsával helyettesítették a küllőket. Minguez és Vogwell olyan analitikus modellt dolgoztak ki, melyben a küllők és a felni, továbbá az előfeszítés hatását is figyelembe vették (8). Analitikusan, numerikusan és kísérleti úton megállapított merevséget a keréknek a küllők elrendezésének függvényében Gavin (9) alatti művében. A kerék sugárirányú szerkezeti viselkedésének mérési eredményeiről Petrone és Giubilato számolnak be cikkükben (10). A hatékony számítógépes eljárások terjedésével lehetővé vált a bonyolultabb problémák vizsgálata is. Végeselemes számítási eredményeket Brandt közöl (11) alatti művében. Az idézett könyv a numerikus eredményeken kívül részletes leírást ad a küllős kerék felépítéséről és geometriájáról, illetve szerelési és javítási útmutatót is tartalmaz. Salamon és Oldham a küllők befűzési módjának hatását vizsgálta végeselemes számítással (12), míg Hartz numerikus és kísérleti eredményekről számol be (13). Jinny Ng (14) alatti tanulmányában a kerék radiális merevségét határozza meg különféle küllőszámok mellett. Az idézett művek a kereket kétdimenziós szerkezetként modellezték, így a kerék tengelyével párhuzamos terhelések és elmozdulások leírására nem alkalmasak. A kerék három dimenzióban felépített végeselemes modelljének eredményeiről a (15) weblapon találunk ismertetőt. Az idézett tanulmány a felnit téglalap szekrényszelvényből felépített síkgörbe rúdként tekinti. Végül megjegyezzük, hogy a végeselem-módszer terjedésével az előfeszítés nélküli kerekek modellezésével is számos tanulmányban foglalkoztak utóbbi időben, pl (16).
3
2. A küllős kerék felépítése A
küllős
kerék,
noha
egyszerű
szerkezet,
több
alkatrészből
épül
fel.
Fő részei: kerékagy, küllők, küllőanyák (niplik), felni, belsővédő szalag, gumibelső tömlő, gumiabroncs. (17) A felni a kerék U keresztmetszetű része, amely külső élein kialakított peremeivel rögzíti a gumiabroncsot. Anyaga lehet acél, alumínium, műanyag, kompozit anyag. Keresztmetszete szerint lehet szimpla- és duplafalú. Előbbi könnyebb, utóbbi erősebb, keskenyebb keresztmetszettel is elérhető jelentősen nagyobb teherbírás. A belső tömlő szelepkialakítására is figyelmet kell fordítani, ugyanis a „tűszelepes” felnibe nem építhető autószelepes belső tömlő (csak utólagos furatbővítéssel).
1. ábra - Felni (18)
A felni általában acél küllőkkel kapcsolódik a kerékagyhoz. A küllők száma, fűzése, kereszt- és hosszmetszete változatos.
2. ábra - Kerékagy (19)
4
A küllőszám rendszerint 3-tól 36-ig terjed. A küllőfűzés történhet keresztezés nélkül, egy-, két-, három- és négykeresztesen, illetve ezek valamelyikének csavart fűzése. A küllő keresztmetszete rendszerint kör, átmérője 2–4 milliméter között változatos. A küllő hosszmetszete húzatlan (egyenes), egyszer, kétszer, vagy háromszor húzott. A küllővég kialakítása is eltérő lehet. A legjobban elterjedt a félgömb, vagy lencsefejű, hajlított végű küllő, amely ezzel a kialakítással kapcsolódik (akad) az agyperem megfelelő furatába. Léteznek azonban csavaros peremű agyak is, amelyekbe csavarmenetes szárral rögzíthető a küllőszár (ez a küllőtípus mindkét végén menetes). (17)
3. ábra - Küllők és niplik (20)
5
3. Különböző felni-keresztmetszetek vizsgálata A felnik keresztmetszeteinek kialakítása rendkívül sokféle lehet, viszont többnyire vékonyfalú szelvényként kezelhetjük őket. Jellegük a már említett U alakú, melyek peremmel vannak ellátva az abroncs rögzítésének céljából. Mechanikai tulajdonságaikat jelentősen befolyásolja, hogy ún. szimpla- vagy duplafalú keresztmetszettel rendelkeznek-e. A következőkben 3 féle, közel szabványos kerékpár-felni keresztmetszeteit fogjuk vizsgálni, melyek segítségével belátható lesz, hogy a duplafalú profilok sokkal jobban terhelhetőek. Megjegyzés: A felnik anyagát mindhárom esetben azonosnak vesszük, befoglaló méreteik is közel megegyeznek, így a különbségek szembetűnőbbek lesznek.
3.1 Szimplafalú felni A felnik keresztmetszetét az AutoCAD 2007 szoftverben rajzoljuk meg, amely képes különböző felületek, lemezek fizikai jellemzőinek meghatározására. A szimplafalú felni geometriája:
4. ábra - Szimplafalú felni
6
Keresztmetszeti jellemzők: A súlypont helyvektorát definíció szerint a következő képletből számíthatjuk: ∫ 𝑟̅ 𝑑𝐴 𝐴 Így a súlypont koordinátái a síkidomhoz kötött koordinátarendszerben: 𝑟̅𝑠 =
𝑥𝑠 =
∫ 𝑥 𝑑𝐴 𝐴
𝑦𝑠 =
∫ 𝑦 𝑑𝐴 𝐴
𝑧𝑠 = 0 , mivel a felületet a z = 0 síkban rajzoljuk meg. A síkidom másodrendű nyomatékai pedig: 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 𝐴
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 𝐴
A vékonyfalú nyitott szelvény csavarási merevségét Saint-Venant elmélete alapján (21) számíthatjuk: 𝐼𝑇 =
1 ∫ 𝑡 3 𝑑𝑠 3
ahol: t a szelvény vastagsága, s pedig a szelvény középvonalának hossza. Ha t = 2 mm állandó falvastagságot feltételezünk az egész hossz mentén, a képlet tovább egyszerűsödik: 𝐼𝑇 =
1 3 𝑡 𝑠 3
7
Az előzőek alapján számolt jellemző értékek a szimplafalú felni keresztmetszetére:
Terület: 122.7 mm2
Kerület: 123.3 mm
Súlypont koordinátái:
x = 12.5 mm y = 9.95 mm
Főnyomatékok a súlypontban:
Ix = 6422.1 mm4 Iy = 11217.8 mm4
Csavarási merevség:
IT = 144 mm4
3.2 Duplafalú felni – egymezős Az egymezős duplafalú felni geometriája:
5. ábra - Egymezős duplafalú felni
Ennél a profilnál is igazak a szimplafalú felnihez tartozó, a súlypontra és a másodrendű nyomatékokra vonatkozó összefüggések, azonban eltérés van a csavarási merevség számításában. Ebben az esetben a Bredt-elméletet használjuk, amely a következőt mondja ki vékonyfalú, egymezős zártszelvény esetén (21):
𝐼𝑇 =
(2𝐴𝑘 )2 𝑑𝑠 ∫ 𝑡
8
Itt is a falvastagság állandóságának figyelembevételével egyszerűsödik a képlet:
𝐼𝑇 =
(2𝐴𝑘 )2 1 𝑡 𝑆𝑔
Az Ak a zárt szelvény falának középvonala által határolt terület nagysága, míg az Sg ezen középvonal hossza. Az alábbi magyarázóábra szemlélteti ezen mennyiségeket.
6. ábra - Ak és Sg értelmezése
Ezt a számítást alkalmazzuk a szelvény zárt részére. A két perem csavarási merevségét, amit már az ismertetett, nyitott szelvényre vonatkozó képlettel számolhatunk, ehhez adjuk még hozzá. Így az egymezős duplafalú felni keresztmetszetének jellemző adatai a következőek:
Terület: 140 mm2
Kerület: 160.2 mm
Súlypont koordinátái:
x = 12.5 mm y = 9.43 mm
Főnyomatékok a súlypontban:
Ix = 5056.7 mm4 Iy = 11006 mm4
Csavarási merevség:
IT = 2252 mm4
9
3.3 Duplafalú felni – többmezős Egy modern, hárommezős felni keresztmetszetének geometriája:
7. ábra - Hárommezős duplafalú felni
A bonyolult szelvény ellenére a súlypont és másodrendű nyomaték számítása itt se okoz gondot, hasonlóan számoljuk, mint az előző két esetben. A csavarási merevséget viszont másképp kell kalkulálni, mivel vannak egymáshoz kapcsolódó mezők. Alapösszefüggés három mező esetén: 𝐼𝑇 = 2𝐴1 𝐶1 + 2𝐴2 𝐶2 + 2𝐴3 𝐶3 A képletben szereplő C állandókat az alábbi egyenletrendszerrel számolhatjuk ki: 𝐶1
∫ 𝑔10+𝑔12
𝐶2
∫ 𝑔12+𝑔20+𝑔23
𝐶3 {
𝑑𝑠 𝑑𝑠 − 𝐶2 ∫ = 2𝐴1 𝑡 𝑡 𝑔12
𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 − 𝐶1 ∫ − 𝐶3 ∫ = 2𝐴2 𝑡 𝑡 𝑡
∫ 𝑔23+𝑔30
𝑔12
𝑔23
𝑑𝑠 𝑑𝑠 − 𝐶2 ∫ = 2𝐴3 𝑡 𝑡 𝑔23
10
Szintén egyszerűsödik a képlet, ha konstans szelvényvastagságot tekintünk: 1 1 𝐶1 (𝑠𝑔10 + 𝑠𝑔12 ) − 𝐶2 𝑠𝑔12 = 2𝐴1 𝑡 𝑡 1 1 1 𝐶2 (𝑠𝑔12 + 𝑠𝑔20 + 𝑠𝑔23 ) − 𝐶1 𝑠𝑔12 − 𝐶3 𝑠𝑔23 = 2𝐴2 𝑡 𝑡 𝑡 1 1 𝐶3 (𝑠𝑔23 + 𝑠𝑔30 ) − 𝐶2 𝑠𝑔23 = 2𝐴3 { 𝑡 𝑡 A képletekben szereplő Ai felületek és az Sgij ívhosszak az alábbi ábra alapján értelmezhetőek:
8. ábra - Többmezős szelvény
A konstansok számított értékei:
C1 = C3 = 9 mm2 C2 = 14 mm2
Ezek alapján kiszámíthatjuk a keresztmetszet hárommezős részének csavarási merevségét, amihez ennél a profilnál is hozzá kell adnunk a két perem csavarási merevségét. A hárommezős duplafalú felni keresztmetszetének jellemző adatai:
Terület: 173.8 mm2
Kerület: 173.4 mm
Súlypont koordinátái:
x = 12.45 mm y = 9.75 mm
Főnyomatékok a súlypontban:
Ix = 5875.5 mm4 Iy = 13609.1 mm4
Csavarási merevség:
IT = 5700 mm4
11
3.4 Eredmények összevetése Egymezős
Hárommezős
duplafalú felni
duplafalú felni
6422.1 ; 11217.8
5056.7 ; 11006
5875.5 ; 13609.1
144
2252
5700
Szimplafalú felni
Főnyomatékok a súlypontban: Ix; Iy [mm4] Csavarási merevség: IT [mm4]
1. táblázat – Eredmények
Az 1. táblázat adatai jól szemléltetik, hogy a duplafalú felnik sokkal jobban ellenállnak a
csavarási
igénybevételeknek.
Látható,
hogy
közel
azonos
méretek
és
anyagtulajdonságok mellett, a csavarási merevségekben nagyságrendekkel eltérő értékeket kapunk az egyes keresztmetszetekre.
12
4. A küllős kerék végeselemes modellje Az előző fejezetben tisztáztuk a felnik fontosabb mechanikai jellemzőit, amiket figyelembe veszünk a modell felépítésénél. A következőekben meg kell határozni egy kerékpár küllős kerekének konkrét paramétereit, hogy meg tudjuk alkotni a modellt. Végül egy adott terhelés mellett kiértékeljük a kapott eredményeket. A kerékagy: A gyakorlatban rengeteg féle kialakításban kaphatóak, csakúgy, mint a felnik. Vizsgálódásunk során merev testként fogjuk kezelni, így a számunkra fontos adatok: -
mekkora távolságra helyezkednek el egymástól a küllők befűzési furatait tartalmazó agyperemek
-
mekkora átmérőn vannak a furatok
-
hány darab furatot helyezünk el egy-egy peremen és milyen szögeltolódással helyezkednek el az egymással szemköztiek
A küllők: Modellünkben
rugalmas,
húzott-nyomott
rúdelemként
Jellemző adataik: -
átmérő
-
darabszám (megegyezik a furatok számával)
-
hossz
-
a fűzés során hányszor „keresztezik” egymást
A felni: A modell egyik legfontosabb része. Fontosabb paraméterei: -
átmérő
-
keresztmetszet előző fejezetben számolt jellemzői
-
furatok száma (megegyezik a küllők számával)
13
fogjuk
beépíteni
őket.
Az általam választott kerékmodell geometriája:
9. ábra - Kerék geometriája (22)
További adatok: -
küllőátmérő: dküllő = 2 mm
-
küllők száma: 2 × 18 db
-
küllők befűzése: háromkeresztes
-
küllők kezdeti nyúlása (előfeszítésből adódóan): Ɛ = 0.0076
-
furatok szögeltolódása a szemközti küllőperemeken: α = 10o
Megjegyzés: A küllők kezdeti nyúlásának meghatározásában további adatokra volt szükségünk: -
a küllők hossza: lküllő = 263.5 mm, melyet egy internetes weboldalról letölthető dokumentum segítségével számoltunk ki, a már meghatározott kerék geometriai adatainak felhasználásával. (23)
-
a küllőket a küllőanyákkal rögzíthetjük a felnihez, mely csavarkötésnek a menetemelkedése: p = 0.4 mm
-
tapasztalati úton meghatározhatjuk, hogy a küllőanyákat átlagosan 5 teljes fordulattal kell megtekerni, hogy megkapjuk a kellő előfeszítéshez szükséges erőt, így a tekerések száma: x = 5.
14
Ezek segítségével már meghatározhatjuk a kezdeti nyúlást, mely a hosszváltozás (Δl) és a kezdeti hossz (lküllő) hányadosa. Ɛ=
Δl
𝑙𝑘ü𝑙𝑙ő
=
𝑝 ∗ 𝑥 0.4 𝑚𝑚 ∗ 5 = = 0.0076 = 7.6 ∗ 10−3 𝑙𝑘ü𝑙𝑙ő 263.5 𝑚𝑚
4.1 Modellalkotás A modellt az ADINA System 9.0.0. végeselemes szoftverben építjük fel. Ebben a programban megszerkeszthetjük a kerék geometriájának legfontosabb elemeit, bevihetjük a rájuk vonatkozó beállításokat, majd a futtatást követően kiértékelhetjük a kapott eredményeket. Elsőként a kerékagy pontjaira, egészen pontosan csak az agy oldalperemein található befűzési pontokra van szükségünk, ahova a küllőket fogjuk kapcsolni. Ezeket a pontokat merevnek tekintjük (merev agyat feltételezünk), ami azt takarja, hogy az összes szabadsági fokát nullának írjuk elő, így megakadályozva az elmozdulásokat és szögelfordulásokat. Második lépésben megalkotjuk a felni tulajdonságaival bíró elemeket. Itt is meg kell adnunk a felni befűzési pontjait, amiket az egyszerűség kedvéért, kezdetben a keresztmetszetek súlypontjában helyezünk el, majd körívekkel kapcsoljuk össze őket. A felnit oly módon hálózzuk, hogy az egyes küllők befűzési pontja közötti körívdarabon legalább egy hajlított-nyírt rúdelem (az Adinában: Beam elem) legyen. A rúdelemek tulajdonságainál adhatjuk meg külön-külön a három, általunk elkészített felni keresztmetszet már számolt jellemző értékeit. Ezek után az agy és a felni pontjai közé elhelyezünk 36 darab, a küllőket szimbolizáló, egyenes vonalat, melyeket szintén hálóznunk kell. Ez esetben, minden egyes küllőt 1-1 húzott-nyomott rúdelemmel (az Adinában: Truss elem) modellezünk. A küllőkre vonatkozóan ez kellően pontos eredményeket szolgáltat. A húzott-nyomott rúdelem egyik legfontosabb paramétere a keresztmetszetének területe, melyhez a küllő átmérőjéből számolt értéket rendeljük.
15
Nem utolsó sorban elő kell írnunk a küllőkre vonatkozó kezdeti nyúlásokat. Definiálunk még egy tetszőlegesen bekapcsolható, időben állandó, parabolikus terhelést is a felni egy adott ívhosszára, melynek nagysága közel megegyezik egy átlagember súlyából adódó nyomásával. Irányát tekintve a kerék síkjában, és középpontjának irányába hat. Végül, hogy a modellünk futtatásra alkalmas legyen, meg kell adnunk az elemekre vonatkozó anyagtulajdonságok értékeit, amelyek egy általános, izotróp acélanyagra nézve a következőek: a Poisson-tényező 0.3, míg a rugalmassági modulus 2*105 MPa. Mivel a kerék alkatrészeinek anyagával kapcsolatban nem rendelkezünk pontosabb információkkal, így az összes alkotóra ezt az anyagot fogjuk használni. A kerékmodell ezen intézkedések után készen áll a futtatásra, majd a program egy másik moduljában kiértékelhetőek az eredmények. Kezdetben a felni befűzési pontjai közötti körívdarabon 1-1 hajlított-nyírt rúdelemmel, terhelés nélkül, csak a küllők előfeszítéseivel futtatjuk a modellt. Valószínű, hogy további halósűrítéssel az eredmények egyre pontosabb értékeket fognak felvenni. Az alábbi táblázat jól mutatja az egyes elmozdulások konvergenciáját, különböző halófelosztás mellett, a szimplafalú keresztmetszet esetén: Felosztások száma egy körívdarabon
Elmozdulás x irányban [mm]
Elmozdulás y irányban [mm]
1
2.64*10-1
3.21*10-3
2
2.64*10-1
1.24*10-3
4
2.64*10-1
0.99*10-3
2. táblázat - Hálósűrítés
Láthatjuk, hogy az x irányú elmozdulás (a felni pontjainak sugárirányú elmozdulása) állandó, még az y irányú elmozdulás (tengelyirányú, azaz a kerék „síkjára” merőleges elmozdulás) 4 elem/ívdarab sűrűségnél már kellően pontos, ezért a továbbiakban ezt fogjuk alkalmazni.
16
4.2 Eredmények kiértékelése adott terheléssel Az előző fejezetben létrehozott, majd pontosított modellre ráhelyezzük a már előírt értékű parabolikus terhelést. Ahhoz, hogy megvizsgálhassuk, melyik típusú felnire hogyan hat ugyanazon terhelés, szükségünk van csavaró- és hajlító nyomatékokra, hogy nyíró-, normál- és ezekből redukált feszültségeket tudjunk számítani. Feszültségek számítási képletei: Az alábbiakban megadjuk azon képleteket, melyekkel az igénybevételek ismeretében, a maximális feszültségek számíthatóak. (21) Nyírófeszültség maximális értékei: -
nyitott szelvényre (szimplafalú felni): τ𝑚𝑎𝑥 =
-
egymezős zártszelvényre: τ𝑚𝑎𝑥 =
-
𝑀𝑐 𝑡 𝐼𝑇 𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑐 2𝐴𝑘 𝑡
többmezős zártszelvényre: τ𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑐 𝐶 𝐼𝑇 𝑡 𝑖,𝑚𝑎𝑥
Normálfeszültség: σ𝑧 =
𝑀ℎ𝑥 𝐼𝑥
𝑦+
𝑀ℎ𝑦 𝐼𝑦
𝑥
A redukált feszültséget a Huber-Mises-Hencky elmélet szerint számoljuk: σ𝑟𝑒𝑑 = √σ𝑧 2 + 3τ𝑚𝑎𝑥 2
17
A jellemző adatokat, a kapott maximális nyomatékokat és a számolt feszültségeket az alábbi táblázat tartalmazza: Egymezős
Hárommezős
duplafalú felni
duplafalú felni
144
2252
5700
6422.1 ; 11217.8
5056.7 ; 11006
5875.5 ; 13609.1
139.5
141.9
145.6
28534.2
27367.4
28622.2
6309.7
6398
6568.6
1.94
0.25
0.18
60.57
75.30
65.68
60.66
75.30
65.69
Szimplafalú felni Csavarási merevség: IT 4
[mm ] Főnyomatékok a súlypontban: Ix; Iy [mm4] Csavarónyomaték: Mc [Nmm] Hajlítónyomaték: Mhx [Nmm] Hajlítónyomaték: Mhy [Nmm] Nyírófeszültség: τ𝑚𝑎𝑥 [MPa] Normálfeszültség: σ𝑚𝑎𝑥 [MPa] Redukált feszültség: σ𝑟𝑒𝑑 [MPa]
3. táblázat - Kiértékelt eredmények
Az eredmények jól mutatják, hogy a redukált feszültségi értékek bár közel esnek egymáshoz, a duplafalú felnik sokkal jobban ellenállnak a csavarásból származó igénybevételeknek.
18
Nyomatéki ábrák: A következőekben a kerékre ható különböző nyomatékokat szemléltetjük.
A küllők előfeszítéséből adódóan, a felni középvonalán, sugárirányú tengely mentén működő hajlítónyomatékot az alábbi ábra szemlélteti. Látható, hogy az egyes küllők között váltakozó előjelű, fűrészfog-szerű a lefutása.
10. ábra – Sugárirányú nyomatékok
A 11. ábra a kerék tengelyével párhuzamos hajlítónyomatékot ábrázolja a felni középvonala mentén, amely a küllők előfeszítéséből és a felnire ható vonalon megoszló terhelésből adódik.
11. ábra - Hajlítónyomatékok a kerék síkjában
19
A 12. ábra a csavarónyomaték eloszlását szemlélteti 4 elem/ívdarab sűrűség esetén. Megfigyelhető, hogy az egymást követő küllők befűzési pontjai között szintén szabályos módon alternálnak:
12. ábra – Csavarónyomatékok
20
5. Továbbfejlesztett modell A 4.2 pontban már felépítettük az alapmodellt, amit a következőkben valamelyest korrigálni szeretnénk, így pontosítva az eredményeket. Azonban azt tudnunk kell, hogy a
valós
értékeket
sosem
érhetjük
el,
mivel
a
modellezés
során
mindig
egyszerűsítésekkel élünk, elhanyagolunk egyes tényezőket és a szoftverek is numerikus hibával számolnak. Egyik lehetőségünk a modell pontosítására az, hogy a felni esetében a küllők befűzési pontjai között növeljük a halósűrűséget. Valószínűsíthető, hogy ettől a változtatástól nem fognak nagyságrendekkel eltérni a kapott számértékek, de a numerikus hiba értékét minimálisra csökkentjük. A modellezésből származó hiba nagyobb mértékű javulását eredményezheti, ha nem a felni-keresztmetszetek súlypontjaiba kötjük a küllőket, hanem a tényleges befűzési helyükre. Ettől a lépéstől radikálisabb változásokat várunk, hiszen figyelembe vesszük, hogy
az
előfeszítésekből
származó
húzó
erőknek
erőkarja
van
a
felni
keresztmetszetének súlypontjára, melynek révén pótlólagos csavarónyomaték jelenik meg. Ennek a megvalósítására újabb pontokat kell létrehoznunk. Minden egyes keresztmetszeti súlypont alá, azonos sugáron megalkotjuk a valós befűzési pontokat, majd ezekhez kapcsoljuk az így módosított küllőket. Az új befűzései helyek és a súlypontok közé, úgynevezett merev kapcsokat (az Adinában: Rigid links) létesítünk. Modellünkön több változtatást nem hajtunk végre, ezekkel a modifikálásokkal az ismét futtatásra alkalmas.
21
Az alábbi ábrán láthatóak a tényleges befűzési pontok (kékkel), a felni-keresztmetszetek súlypontjai (pirossal) és közöttük a merev kapcsok.
13. ábra - Módosított modell
Vizsgálódásunkat a következőképpen folytatjuk: a szimplafalú felni eredeti és továbbfejlesztett modelljében fokozatosan növeljük a hálósűrűséget. Terhelést itt még nem
alkalmazunk,
kizárólag
a
kezdeti
nyúlások
vannak
jelen.
Mivel
a
szögelfordulásokban észlelhetjük a legszembetűnőbb változásokat, ezeket fogjuk kiértékelni, méghozzá a felnihez kötött hengerkoordináta-rendszerben. Az értékeket a következő táblázat tartalmazza: Elem/ívdarab 4
8
16
Szögelfordulás
ϕR [10-7] ϕZ [10-5] ϕφ [10-4] ϕR [10-7] ϕZ [10-5] ϕφ [10-4] ϕR [10-7] ϕZ [10-5] ϕφ [10-4]
Eredeti modell 1.2079
Módosított modell 4.5469
1.2807
5.8509
4.7760
54.3518
1.2084
4.5902
1.2913
5.8667
4.3212
54.7508
1.2118
4.6010
1.2999
5.8707
4.2829
54.8505
4. táblázat - Összehasonlítás szimplafalú modellek esetén
22
A kapott eredmények szépen igazolják a feltételezéseinket: növekvő halósűrűség mellett, mindkét modellváltozatnál konvergálnak az elfordulások, a ϕR , ϕZ és ϕφ értékei kis léptékben növekednek, illetve csökkennek. Szembetűnőbb különbségeket mutat viszont, hogy a merev kapcsokat tartalmazó, bővített modellben nagyságrendekkel nagyobbak a szögelfordulások, mint a kezdetleges változatban. Legkiemelkedőbbek a
ϕφ értékeinek növekedése, melyek átlagosan 12-szeresére nőttek az egyszerűbb modellhez képest. Figyeljük meg, hogy fenti módosítások hasonlóképpen hatnak-e a duplafalú felnikeresztmetszetekre is. Mivel a halósűrítés csak elenyészően befolyásolta modellünket, ezért a következő futtatásokat már egyből 16 elem/ívdarab beállítás mellett végezzük el. Íme, a duplafalú kerekekre kapott eredmények: Duplafalú felni
Szögelfordulás
ϕR [10 ] ϕZ [10-5] ϕφ [10-4] ϕR [10-7] ϕZ [10-5] ϕφ [10-4] -7
Egymezős
Többmezős
Eredeti modell 0.5059
Módosított modell 1.1903
1.6641
7.5482
0.2983
3.5554
0.3357
1.0295
1.4730
6.6813
0.1297
1.4913
5. táblázat - Duplafalú kerékmodellek összehasonlítása
Ebben az esetben is láthatjuk, hogy a kapott adatok a fejlesztett modellnél sokkal nagyobbak. Modellünk helyességét is bizonyítani kívánja, hogy a ϕφ elfordulások itt is megközelítőleg 12-szeresére nőttek.
5.1 Kerékmodellek összehasonlítása terhelés mellett Továbbfejlesztett
kerékmodelljeink
részletekbe
menően
precízebb
adatokat
szolgáltattak. Ebben az esetben érdemes összevetni a kiindulási modellekkel, hogy láthassuk, mennyire mérvadóak módosításaink. A mérnöki gyakorlatban a feszültségek és maximális értékeik meghatározása a leglényegesebb feladat, így jelen tanulmányunk során is, ezek bemutatására helyezzük a hangsúlyt. A kapott eredmények kiváló összehasonlítási alapot szolgáltatnak.
23
Fejlesztett modelljeinket is ugyanazon parabolikus terhelésnek vetjük alá, amit már 4.1 pontban részleteztünk. Futtatást követően, a programban kilistáztathatjuk a felnikeresztmetszetekre ható csavaró- illetve hajlítónyomatékokat. Ezek után kiszámolhatjuk a feszültségeket 4.2 pontban ismertetett képletek szerint. A kapott nyomatékokat és feszültségeket az alábbi táblázatban hasonlítjuk össze a szimpla modell megfelelő eredményeivel: Egymezős duplafalú felni
Szimplafalú felni Modell
Többmezős duplafalú felni
szimpla
módosított
szimpla
módosított
szimpla
módosított
139.5
2727.7
141.9
2782.4
145.6
2847
28534.2
31390.4
27367.4
30313.1
28622.2
31668.1
6309.7
6776.6
6398
6914
6568.6
7075.7
1.94
37.88
0.25
4.97
0.18
3.5
60.57
66.45
75.30
83.21
65.68
72.50
60.66
93.39
75.30
83.65
65.69
72.75
Csavarónyomaték: Mc [Nmm] Hajlítónyomaték: Mhx [Nmm] Hajlítónyomaték: Mhy [Nmm] Nyírófeszültség: τ [MPa] Normálfeszültség: σ [MPa] Redukált feszültség: σ𝑟𝑒𝑑 [MPa]
6. táblázat - Modellek összehasonlítása
Megfigyelhetjük, hogy a merev kapcsok és a halósűrítés együttes hatása számottevő különbségeket
eredményez
a
számított
értékekben.
Legfőbbképpen
a
csavarónyomatékokban és ennek kapcsán a nyírófeszültségekben tapasztalhatunk jelentős növekedést.
24
Az új modell már sokkal reálisabb képet ad az egyes felnik közötti differenciákról. Ezt jól mutatja, hogy a redukált feszültség a szimplafalú felniben a legnagyobb, míg a többmezős duplafalú felniben a legkisebb. 100
93,39
Redukált feszültség [MPa]
90
83,65
80
75,3
72,75
70 60
65,69
60,66
50
Szimpla modell
40
Módosított modell
30 20 10 0 Szimplafalú felni
Duplafalú egymezős felni
Duplafalú többmezős felni
1. diagram - Redukált feszültségek változása
25
6. Görbült felni centírozása Ebben a fejezetben egy hétköznapi problémát fogunk vizsgálni. Küllős kerekek, általában kerékpárok kerekei, gyakran kapnak akkora mértékű terhelést, hogy rugalmas alakváltozás helyett, maradandó alakváltozást szenvednek. A felni deformációja nagymértékben befolyásolja a bicikli vezethetőségét, romlik az úttartás. A terhelő hatások lehetnek időben állandóak (statikusak), avagy időben változóak (dinamikusak). Általában mozgó állapot jellemző a kerékpárra, így a dinamikus változások hatnak többnyire a mindennapokban. A felni középvonala az ideális kör alakhoz képest megváltozik ̶ úgynevezett „ütés” keletkezik rajta. Kétféle hibatípust különböztetünk meg, melyek: a felni radiális irányban változik, ellipszis alakja lesz, vagy egy nagyobb oldalirányú erő hatására axiális irányban görbül meg, egy tetszőleges ívhossz mentén. Esetünkben ez utóbbi deformációval kívánunk foglalkozni, annak is a helyreállításával. Tételezzük fel, hogy a felni egy rövid szakaszon axiális ütéssel rendelkezik, melynek maximális értéke 1 milliméter. Ekkora mértékű kitérést még korrigálhatunk, ha állítjuk a küllők előfeszítéseit. Azt szeretnénk kideríteni, hogy küllőanyák feszítésével illetve lazításával mekkora mértékben küszöbölhetjük ki a kerék ütését. Elemzésünk során felhasználjuk a szimplafalú felni továbbfejlesztett modelljét, kizárólag terhelés nélkül és átalakítjuk azt a következőképpen: kiválasztunk 3 tetszőleges, egymás melletti felni-keresztmetszeti súlypontot, majd a középsőt (y2) 1, a két szélsőt (y1 és y3) 0.5 milliméterrel kimozdítjuk a kerék síkjából ugyanabba az irányba. Ezzel létrehoztunk egy leegyszerűsített deformációt.
14. ábra - Deformáció értelmezése
26
A vizsgált típusú hibánál a javítás célja az, hogy a kerék pontjait, melyek ideális esetben egy síkban helyezkednek el, az eredeti helyzetükbe, de legalábbis annak közelébe állítsuk vissza. A centrírozás minőségének nyomon követésére egy mérőszámot alkotunk (δ), melynél a következőket vettük figyelembe. Az egymást követő előfeszített küllők a felni középvonalát az eredeti síkjából eltérő irányba húzzák, így a kerékmodellben a felni hullámalakot vesz fel. Ez azt jelenti, hogy ideális esetben a felni egymást követő befűzési pontjainak a kerék síkjához ( y = 0 ) képest váltakozó előjelű y elmozdulásai vannak. Ilyenkor ezen pontok y koordinátáinak összege zérus, azaz felninek a kerék tengelyével párhuzamos elmozdulása átlagban szintén zérus. Vizsgálatunk során a három kitérített pont elmozdulásait ̶
pontosabban a ráadott
terhelést követően elfoglalt y koordinátáját ̶ tekintjük. A kiválasztott három pont közül a kettő szélsőnek ellentétes előjele lesz centrírozás után, mint a középsőnek. Célunk a centírozással az, hogy ezek összege zérus legyen. Ennek okán a két szélső pont elmozdulását fele súllyal vesszük figyelembe a mérőszám megalkotásánál. Az előbb elmondottak alapján, a három kiválasztott pont súlyozott elmozdulásának összegéből alkotott mérőszámot tekintve az 1 1 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 0 2 2 egyenlet teljesülését kívánjuk a centírozással elérni. Összehasonlítás kedvéért megemlítjük, hogy az eredetileg nem deformált alakon alkalmazva a küllőkön előfeszítéseket, a tökéletesnek tekintett felnin is jelen voltak y irányú, minimális elmozdulások. Ekkor a kiválasztott három pont koordinátái: y1 = 0.003248 y2 = -0.003248 y3 = 0.003217 Behelyettesítve ezen értékeket nem pontosan zérust kapunk, de jó közelítéssel annak tekinthetjük. 27
Centírozás során a küllők előfeszítését oly módon változtatják, hogy a felni kitérésének irányába mutató küllőket kiengedik, míg a vele ellentett irányba mutató küllőt meghúzzák. Ezt a modellünkben a küllők kezdeti nyúlásának variálásával érhetjük el. Vizsgálódásunk során a kiválasztott három pont egybeesik három küllő befűzésének helyével, amely küllők előfeszítéseit kívánjuk változtatni. A három küllő kezdeti nyúlását első közelítésben azonos mértékben növeljük illetve csökkentjük, azaz a szerelés során úgy járunk el, hogy azonos mértékben forgatjuk el a küllőanyákat vagy az egyik vagy a másik irányba. Ebben az értelemben egy változó függvényében változik a tekintett mérőszám. A kiválasztott pontokba befutó küllők kezdeti nyúlásait, a pontok terhelés után elfoglalt helyzetét, a vizsgált mérőszámot, és az előfeszítés eléréséhez szükséges anyák körbeforgatásának mértékét a 7. táblázat tartalmazza. A küllőanyák szükséges elfordítását a kezdeti nyúlás megváltozásából és a menetemelkedésből számíthatjuk. A kezdeti nyúlásokat az egyes számítások során úgy módosítjuk egyre kisebb mértékben, hogy a megalkotott mérőszám minél jobban közelítsen nullához. A táblázatból kitűnik, hogy a kezdeti nyúlások mely értékénél tekinthető legjobbnak a centrírozás. Az eredmények szerint az 1 mm kitérés javításához az anyáknak kb. 0,8 fordulatnyi megfeszítése, illetve megengedése szükséges. Adott pontba befutó küllő kezdeti nyúlása ε1 = ε3
ε2
Pont y-koordinátája terhelés után y1
y2
y3
Küllőanyák Mérőszám körbeforgatásának mértéke δ q1 = q3 q2
0.0091
0.0061
-0.50711
-0.00645
-0.50379
-0.5118987
0.99
-0.98
0.0086
0.0066
-0.06352
0.459856
-0.06009
0.3980522
0.67
-0.65
0.0087
0.0065
-0.15224
0.366596
-0.14883
0.2160635
0.73
-0.72
0.0086
0.0061
-0.22208
0.292017
-0.21871
0.0716225
0.67
-0.98
0.00885
0.00635
-0.28532
0.226705
-0.28194
-0.0569215
0.83
-0.82
0.0088
0.0064
-0.24096
0.273335
-0.23757
0.034073
0.80
-0.78
0.00881
0.00639
-0.24983
0.264009
-0.24644
0.015874
0.80
-0.79
0.008825
0.006375
-0.26314
0.25002
-0.25975
-0.0114245
0.81
-0.80
0.0088125
0.0063875
-0.25205
0.261677
-0.24866
0.011324
0.81
-0.79
0.81
-0.80
0.00881875
0.00638125
-0.25759
0.255849
-0.25421
7. táblázat - Centírozás
28
-4.95*10
-5
7. Összefoglalás A jelen dolgozat legfőbb célja az volt, hogy gépészmérnöki szempontból egy általános képet nyújtson a főleg kerékpárokban használt küllős kerekekről. Megismerhettük, hogy ezek milyen alkatrészekből állnak és közülük melyek azok, amelyekre nagyobb hangsúlyt kell fektetnünk tanulmányozásunk során. A felni és a felnit az agyhoz rögzítő küllők tulajdonságai és kialakításai alapvetően befolyásolják, hogy a kerék milyen mechanikai teherbírással rendelkezik. Irodalomkutatásunk során is megfigyelhettük, hogy már a múlt század óta foglalkoztatja a kutatókat a különféle kerékkialakítások vizsgálata és elemzése. Modellezési
feladatunk
első
lépéseként
megalkottunk
3 teljesen
különböző,
gyakorlatban is alkalmazott felni-keresztmetszetet egy tervezőprogram segítségével, majd kiszámoltuk azok jellemző szilárdságtani adatait. Mindezek után rögzítettük az általunk választott kerék geometriai paramétereit, és egy végeselemes szoftverben fel is építettük az ennek megfelelő modellt. A szükséges beállításokat követően, statikus terhelés mellett futtattuk a modellt és kiértékeltük a kapott eredményeket. A felnik közötti különbségek már ekkor is jól észrevehetőek voltak, de további módosításokra volt szükségünk, hogy igazoljuk feltételezéseinket, miszerint a duplafalú felnik jobban ellenállnak a külső igénybevételeknek. Fejlesztéseinknek köszönhetően kiküszöböltük a kezdetben alkalmazott egyszerűsítéseket. Újbóli futtatást követően, összevetve a két modellre kapott értékeket megbizonyosodhattunk, hogy a módosított modell sokkal pontosabb és szemléletesebb különbségeket mutat az egyes felni-keresztmetszetek között. Végezetül egy hétköznapi probléma megoldására kerestük a megfelelő megoldást. Megpróbáltunk egy kismértékben görbült felnit a küllők feszítésével illetve megengedésével visszaállítani eredeti állapotába.
29
8. Summary Wire-spoked bycicle wheels are widely used because of their lightweight and stiffness. Understanding their unusual strength is an interesting and impotant issue. The present degree thesis deals with the mechanical analysis of wire-spoked bycicle wheels. Altough the bycicle wheels consist of many parts, the present work focuses on modelling of the structural building of the rim and the spokes. At first the mechanical properties of the cross-sections were calculated. The second moment of area with respect to the principal axes can be determined on the basis of their definition. The values were carried out by a 2D CAD program. Three different cross-section geometries were considered and investigated as thin-walled sections. The torsional rigidities of the cross-sections were determined based upon the Saint-Venant Torsion Theory for open section beams or respectively Bredt’s formula for closed section beams. The finite element model was created in ADINA as a 3D structure. The spokes were modelled as pretensioned truss elements while the rim was modelled as beam elements. We made a mesh refinement for the rim where each segment between two spokes was subdivided into 1, 2, 4, 8 and 16 elements, respectively. After we obtained the bendingand torsional moments, the normal and shear stresses and also the effective stress could be calculated for each cross-section. The section centroid and the spoke holes in a rim could not always taken as same. A second more accurate model was developed to take this condition into account. The results carried out were compared to those from the former model. The conclusion was, that development of the new model had been necessary. We have also analysed how to repair small lateral errors in the rim by tightening and loosening opposing spokes. This was done by altering the pretension applied to them. The results showed that about a half to a whole turn was required on nipples of spoke, which is in good agreement with practical experience.
30
Irodalomjegyzék 1. On the stresses in a spoked wheel under loads applied to the rim. Pippard, A. J. és Baker, J. F. 12, Philosophical Magazine and Journal of Science , 1926., 2. kötet. 2. Stresses in Wheels. Coker, E. G. Nature : 1931., 128. kötet, old.: 174-175. 3. Reynolds, J. B. és Ehasz, F. L. Loaded spoked vehicle wheels. Bethlehem, Pennsylvania : Lehigh University, 1936. 4. The stresses in an artillery wheel. Pippard, A. J. és Duncan, J. E. 4, The Quarterly Journal of Mechanics & Applied Mathematics , 1949., 2. kötet, old.: 398-411. 5. On a theoretical and experimental investigation of the stresses in a radially spoked wire wheel under loads applied to the rim. Pippard, A. J. és Francis, W. E. 69, Philosophical Magazine and Journal of Science , 1931., 11. kötet, old.: 235-285. 6. The stresses in a wire wheel with non-radial spokes under loads applied to the rim. Pippard, A. J. és White, M. J. 90, Philosophical Magazine and Journal of Science , 1932., 14. kötet. 7. Bicycle Wheel as Prestresses Structure. Burgoyne, C. J. és Dilmaghanian, R. 3, Journal of Engineering Mechanics : ASCE, 1993., 119. kötet, old.: 439-455. 8. An analytical model to study the radial stiffness and spoke load distribution in a modern racing bicycle wheel. Minguez, J. M. és Vogwell, J. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers : Opus: University of Bath Online Publication Store, 2008. 9. Bicycle Wheel Spoke Patterns and Spoke Fatigue. Gavin, Henri P. 8, ASCE Journal of Engineering Mechanics , 1996., 122. kötet, old.: 736-742. 10. Methods for evaluating the radial structural behaviour. Petrone, N. és Giubilato, F. Procedia Engineering , 2011., 13. kötet, old.: 88-93. 11. Brandt, Jobst. Bicycle Wheel. Palo Alto : Avocet Inc., 1993.
31
12. Analysis for design of spoked bicycle wheels. Salamon, N. J. és Oldham, R. A. 4, Finite Elements in Analysis and Design : Elsevier, 1992., 10. kötet, old.: 319-333. 13. Hartz, Andrew D. Finite Element Analysis of the Classic Bicycle Wheel. Indianapolis : Rose-Hulman Institute of Technology, 2002. 14. Ng, Jinny. Finite Element Analysis of a Bicycle Wheel: The Effects of the Number of Spokes on the Radial Stiffness. Hartford : Rensselaer Polytechnic Institute, 2012. 15. Bicycle Wheel Analysis. www.astounding.org.uk. [Online] [Hivatkozva: 2014. 11 11.] http://www.astounding.org.uk/ian/wheel/index.html. 16. Design and Analysis of Wheel Rim using. Meghashyam, P., Girivardhan Naidu, S. és Sayed Baba, N. 8, International Journal of , 2013., 2. kötet, old.: 14-20. 17. A bicikli története. DIRT. [Online] [Hivatkozva: 2014. 11 11.] http://tpdhdirt.5mp.eu/web.php?a=tpdh-dirt&o=EnKvCTyixN. 18. BringaBoard Webshop. BringaBoard. [Online] [Hivatkozva: 2014. 11 11.] http://www.bringaboard.hu/product/info/egyeb-felni-20x175-2125-alu-48h-feherszegecselt-406x24. 19. KERÉKPÁR DISZKONT. KERÉKPÁR DISZKONT. [Online] [Hivatkozva: 2014. 11 11.] http://www.kerekpardiszkont.hu/category.php?id_category=52. 20. Hogyan számoljunk küllőhosszt? Revomag. [Online] Revomag, 2013. 2 7. [Hivatkozva: 2014. 11 11.] http://revomag.hu/2013/hogyan-szamoljunk-kullohosszt/. 21. Kozák, Imre. Szilárdságtan V. Budapest : Tankönyvkiadó, 1970. 22.
eBIKE.hu
webshop.
eBIKE.hu.
[Online]
[Hivatkozva:
2014.
11
11.]
http://ebike.hu/images/kullo_hu.jpg. 23.
Bringa,
Bázis.
Bringa
Bázis.
http://www.bringabazis.com/.
[Online]
http://www.bringabazis.com/?blog-bejegyzes=kullohossz-szamitas-keplet-xls. 24. ADINA R & D Inc. ADINA System Online Manuals. Watertown, MA : ADINA R & D Inc., 2013.
32
