´ UNIVERZITA PALACKEHO V OLOMOUCI
ˇ´ ˇ ´ FAKULTA PR IRODOVEDECK A ´ ANALYZY ´ KATEDRA MATEMATICKE A APLIKAC´I MATEMATIKY
´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A Metody v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı zaloˇzen´e na minimalizaci vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty
Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: RNDr. Ondˇ rej Pavlaˇ cka, Ph.D. Rok odevzd´an´ı: 2011
Vypracovala: ˇ akov´ Kristina Z´ a ME, III. roˇcn´ık
Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem bakal´aˇrskou pr´aci zpracovala samostatnˇe pod veden´ım pana RNDr. Ondˇreje Pavlaˇcky, Ph.D. s pouˇzit´ım uveden´e literatury.
V Olomouci dne 19. dubna 2011
Podˇ ekov´ an´ı Na tomto m´ıstˇe bych chtˇela podˇekovat pˇredevˇs´ım vedouc´ımu pr´ace, panu RNDr. Ondˇreji Pavlaˇckovi, Ph.D., za odborn´e veden´ı a poskytnut´ı cenn´ ych rad a informac´ı pˇri tvorbˇe m´e bakal´aˇrsk´e pr´ace. Tak´e bych chtˇela podˇekovat sv´e rodinˇe a pˇr´atel˚ um, kteˇr´ı mˇe po celou dobu studia podporovali a motivovali.
Obsah ´ Uvod 1 Teorie rozhodov´ an´ı 1.1 Z´akladn´ı pojmy teorie rozhodov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Klasifikace rozhodovac´ıch proces˚ u (rozhodovac´ıch probl´em˚ u) 1.3 Krit´eria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 V´ahy krit´eri´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . .
6 6 9 10 13
2 Metody zaloˇ zen´ e na mˇ eˇ ren´ı vzd´ alenosti 2.1 Minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty . . . . . . . . . . . . 2.2 Maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty . . . . . . . . . . . 2.3 Metoda TOPSIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 17 19 22
3 Aplikace metod na praktick´ em rozhodovac´ım probl´ emu 3.1 Ohodnocen´ı variant standardizac´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ohodnocen´ı variant stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u . . . . . . . . . . 3.3 Porovn´an´ı jednotliv´ ych pˇr´ıstup˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 32 37 42
Z´ avˇ er
45
Seznam literatury
46
. . . .
. . . .
´ Uvod M´a bakal´aˇrsk´a pr´ace se, jak napov´ıd´a jej´ı n´azev, zab´ yv´a metodami v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı zaloˇzen´ ymi na minimalizaci vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty. My jsme vˇsak obsah bakal´aˇrsk´e pr´ace rozˇs´ıˇrili rovnˇeˇz o metody v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı zaloˇzen´e na maximalizaci vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty a metodu TOPSIS. Pro toto t´ema jsem se rozhodla, jelikoˇz mˇe na prvn´ı pohled zaujalo a chtˇela jsem prohloubit sv´e znalosti t´ ykaj´ıc´ı se jeho problematiky. Rozhodov´an´ı je bˇeˇznou a nutnou souˇc´ast´ı kaˇzdodenn´ıho ˇzivota n´as vˇsech. ˇ Ram´ık v knize [2] p´ıˇse: ”B´ yt ˇclovˇekem znamen´a ˇcinit rozhodnut´ı.”Cinit rozhodnut´ı vˇsak m˚ uˇzeme pouze za pˇredpokladu, ˇze vyb´ır´ame z vˇetˇs´ıho mnoˇzstv´ı moˇznost´ı (variant). To je logick´e, protoˇze pokud m´ame pouze jednu moˇznost, nem˚ uˇzeme mluvit o rozhodov´an´ı. Pokud ˇreˇs´ıme sloˇzitˇejˇs´ı rozhodovac´ı probl´emy, napˇr. v´ ybˇer nov´eho automobilu nebo strojn´ıho zaˇr´ızen´ı, je vhodn´e pˇri rozhodov´an´ı pouˇz´ıt matematick´e metody, kter´e jsou k tomu urˇceny. Klasick´e rozhodovac´ı metody pracuj´ı pouze s jedn´ım krit´eriem (hlediskem), podle kter´eho hodnot´ı jednotliv´e varianty. My vˇsak budeme pouˇz´ıvat v´ıcekriteri´aln´ı rozhodov´an´ı, ve kter´em uvaˇzujeme v´ıce krit´eri´ı hodnocen´ı variant. Podle m´eho n´azoru je v´ıcekriteri´aln´ı rozhodov´an´ı t´eˇz l´epe vyuˇziteln´e v praxi, ponˇevadˇz se obecnˇe rozhodujeme na z´akladˇe v´ıce hledisek. Existuje v´ıce metod (pˇr´ıstup˚ u) pro ˇreˇsen´ı v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı. Obecnˇe se rozdˇeluj´ı podle toho, zda jsou stanoveny v´ahy krit´eri´ı. Pokud nejsou stanoveny, jedn´a se napˇr. o metodu aspiraˇcn´ı u ´rovnˇe, lexikografick´a metoda atp. Jestliˇze v´ahy krit´eri´ı stanoveny jsou, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr. metodu AHP, metodu v´aˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u stupˇ n˚ u naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u, funkci utility a jin´e. My se vˇsak, jak jiˇz bylo ˇreˇceno v´ yˇse, zamˇeˇr´ıme na metody zaloˇzen´e na mˇeˇren´ı vzd´alenosti - minimalizaci vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a maximalizaci vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty. Variantu si pˇredstav´ıme jako vektor re´aln´ ych ˇc´ısel, kter´a pˇredstavuj´ı hodnocen´ı podle jednotliv´ ych krit´eri´ı, a vyuˇzijeme faktu, ˇze m˚ uˇzeme mˇeˇrit vzd´alenost dvou vektor˚ u od sebe. Intuitivnˇe je zˇrejm´e, ˇze nejlepˇs´ı vari-
4
anta by mˇela m´ıt minim´aln´ı vzd´alenost od ”ide´aln´ı”varianty, respektive nejvˇetˇs´ı vzd´alenost od ”baz´aln´ı”varianty. Ne vˇzdy vˇsak plat´ı, ˇze varianta, kter´a m´a nejmenˇs´ı vzd´alenost od ide´aln´ı varianty, m´a nejvˇetˇs´ı vzd´alenost od baz´aln´ı varianty. V pr´aci se rovnˇeˇz zamˇeˇr´ıme na metodu TOPSIS, kter´a kombinuje minimalizaci a maximalizaci vzd´alenosti. C´ılem t´eto pr´ace je sezn´amit ˇcten´aˇre s t´ımto pˇr´ıstupem k ˇreˇsen´ı u ´loh v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı. Zamˇeˇr´ıme se na porovn´av´an´ı v´ ysledk˚ u na z´akladˇe r˚ uzn´ ych metrik, jak dan´e v´ ysledky ovlivn´ı volba ide´aln´ı a baz´aln´ı varianty. Cel´a pr´ace je rozdˇelena do 3 tˇr´ı kapitol. V prvn´ı kapitole se ˇcten´aˇr sezn´am´ı s teori´ı rozhodov´an´ı - jsou zde shrnuty z´akladn´ı pojmy teorie rozhodov´an´ı, kter´e ˇcten´aˇri pomohou l´epe pochopit cel´ y rozhodovac´ı proces, d´ale klasifikace rozhodovac´ıch proces˚ u, krit´eria a stanoven´ı jejich vah, kde jsou zpracov´any tˇri nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı metody stanoven´ı vah, kter´e budeme vyuˇz´ıvat v praktick´e ˇc´asti pr´ace. Druh´a kapitola pojedn´av´a o metod´ach zaloˇzen´ ych na mˇeˇren´ı vzd´alenosti. Dozv´ıme se zde podrobnˇejˇs´ı informace o tˇrech metod´ach zaloˇzen´ ych na mˇeˇren´ı vzd´alenosti - metodˇe minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty, metodˇe maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty a metodˇe TOPSIS. Vlastnosti jednotliv´ ych metod uk´aˇzeme na n´azorn´ ych pˇr´ıkladech. V posledn´ı, tedy tˇret´ı kapitole, uvedeme rozhodovac´ı probl´em, na kter´em si uk´aˇzeme v´ ypoˇcet tˇr´ı v´ yˇse zm´ınˇen´ ych metod zaloˇzen´ ych na mˇeˇren´ı vzd´alenosti podle tˇr´ı r˚ uzn´ ych metrik, a to ˇ line´arn´ı, Euklidovsk´e a Cebyˇ sevovy metriky. Rozhodovac´ı probl´em, ve kter´em ˇ vyb´ır´ame optim´aln´ı studentsk´ y u ´ˇcet poskytovan´ y bankami v CR, je rozdˇelen na dvˇe ˇc´asti podle toho, zda ohodnocen´ı variant prov´ad´ıme standardizac´ı nebo stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u.
5
1. Teorie rozhodov´ an´ı V t´eto u ´vodn´ı kapitole se sezn´am´ıme se z´akladn´ımi pojmy teorie rozhodov´an´ı z matematick´eho hlediska, pop´ıˇseme si jednotliv´e sloˇzky a prvky rozhodov´an´ı a budeme se zab´ yvat tak´e klasifikac´ı rozhodovac´ıch proces˚ u, d´ıky n´ıˇz porozum´ıme jednotliv´ ym druh˚ um rozhodovac´ıch proces˚ u. V t´eto kapitole budu ˇcerpat z knih [1] - [4].
1.1. Z´ akladn´ı pojmy teorie rozhodov´ an´ı Rozhodov´an´ı je proces v´ ybˇeru varianty z mnoˇziny variant podle stanoven´eho krit´eria za u ´ˇcelem dosaˇzen´ı stanoven´ ych c´ıl˚ u. Tento proces je vˇsak moˇzn´e uskuteˇcnit jen za podm´ınky, ˇze existuje v´ıceprvkov´a mnoˇzina variant. Rozhodovac´ı procesy lze rozliˇsit podle toho, v jak´em slova smyslu o nich uvaˇzujeme, na rozhodovac´ı procesy v ˇsirˇs´ım a uˇzˇs´ım slova smyslu. Mezi jednotliv´e sloˇzky (prvky, f´aze, etapy, apod.) tvoˇr´ıc´ı n´aplˇ n rozhodovac´ıch proces˚ u v ˇsirˇs´ım slova smyslu patˇr´ı: • formulace a stanoven´ı c´ıl˚ u rozhodovac´ıho probl´emu, • volba krit´eri´ı pro rozhodov´an´ı, • tvorba souboru variant ˇreˇs´ıc´ıch dan´ y probl´em, • zhodnocen´ı d˚ usledk˚ u variant vzhledem k rozhodovac´ım krit´eri´ım, • stanoven´ı d˚ usledk˚ u variant pˇri zmˇen´ach vnˇejˇs´ıch podm´ınek, • koneˇcn´e rozhodnut´ı, tj. v´ ybˇer varianty (variant) ˇreˇsen´ı probl´emu. U rozhodovac´ıch proces˚ u v uˇzˇs´ım slova smyslu jsou jiˇz zad´any c´ıle, krit´eria i rozhodovac´ı varianty. Rozhodovac´ı proces tedy obsahuje tyto prvky: • c´ıl rozhodov´an´ı, • subjekt a objekt rozhodov´an´ı, 6
• krit´eria (vlastnosti, atributy, charakteristiky, hlediska), • varianty (tak´e moˇznosti, prvky, alternativy) a jejich d˚ usledky, • stavy svˇeta (sc´en´aˇre rozhodov´an´ı). C´ılem rozhodov´an´ı rozum´ıme urˇcit´ y budouc´ı stav syst´emu (okol´ı rozhodovatele), kter´ y plyne z nutnosti uspokojit urˇcit´e potˇreby nebo plnit jist´e funkce. C´ıle se m´a dos´ahnout realizac´ı nˇekter´e z variant rozhodov´an´ı. C´ıl rozhodov´an´ı se obvykle hierarchicky rozkl´ad´a do d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u, kter´e se transformuj´ı do podoby rozhodovac´ıch krit´eri´ı. Mezi d´ılˇc´ımi c´ıli existuj´ı mnohdy urˇcit´e vazby. Na jejich z´akladˇe m˚ uˇzeme rozliˇsovat d´ılˇc´ı c´ıle komplement´arn´ı, kter´e se vz´ajemnˇe doplˇ nuj´ı a podporuj´ı, a d´ılˇc´ı c´ıle konfliktn´ı, kdy dosaˇzen´ı vysok´ ych hodnot urˇcit´eho c´ıle je obvykle spojeno s n´ızk´ ymi hodnotami jin´ ych c´ıl˚ u. Velmi d˚ uleˇzit´a je tak´e forma vyj´adˇren´ı c´ıl˚ u, kter´e mohou b´ yt vyj´adˇreny bud’ ˇc´ıselnˇe (kvantitativn´ı c´ıle jako napˇr. cena), nebo pomoc´ı slovn´ıch popis˚ u (kvalitativn´ı c´ıle jako napˇr. barva). Hodnoty c´ıl˚ u, kter´ ych se m´a minim´alnˇe dos´ahnout ˇreˇsen´ım rozhodovac´ıho probl´emu, se oznaˇcuj´ı jako aspiraˇcn´ı u ´rovnˇe c´ıl˚ u. Rozhodovatel neboli subjekt rozhodov´ an´ı je jednotlivec nebo skupina lid´ı, kter´a vyb´ır´a z moˇzn´ ych variant rozhodnut´ı. Pokud je rozhodovatelem jednotlivec, mluv´ıme o individu´aln´ım subjektu rozhodov´ an´ı, a pokud je rozhodovatelem skupina osob, jedn´a se o kolektivn´ı subjekt rozhodov´ an´ı. V praxi rozhodov´an´ı je vˇsak tˇreba t´eˇz rozliˇsovat mezi statut´arn´ım rozhodovatelem, tj. subjektem, kter´ y je vybaven pravomocemi k volbˇe varianty urˇcen´e k realizaci a nese z´aroveˇ n odpovˇednost za dopady a u ´ˇcinky t´eto varianty, a skuteˇcn´ym rozhodovatelem, tj. subjektem, kter´ y skuteˇcnˇe rozhoduje (skuteˇcn´ y v´ ybˇer varianty, napˇr. varianty nov´eho technologick´eho procesu, probˇehne na ˇst´abn´ı u ´rovni, pˇriˇcemˇz ˇreditel jednotky jako statut´arn´ı rozhodovatel rozhodne pouze o tom, zda tuto variantu realizovat ˇci zda ji zam´ıtnout). Objekt rozhodov´an´ı pˇredstavuje syst´em, v nˇemˇz je formulov´an rozhodovac´ı probl´em, c´ıl, krit´eria a varianty rozhodov´an´ı. Krit´erium je urˇcit´e hodnot´ıc´ı hledisko, podle kter´eho jsou porovn´av´any jed7
notliv´e varianty. Krit´eria dˇel´ıme podle jejich charakteru na kvantitativn´ı, kter´a vyjadˇruj´ı kvantitu urˇcit´e vlastnosti a jejichˇz hodnoty jsou tud´ıˇz zad´any ˇc´ıselnˇe, a kvalitativn´ı, kter´a odr´aˇzej´ı rozd´ılnou kvalitu urˇcit´e vlastnosti u jednotliv´ ych variant a jejichˇz hodnoty jsou prim´arnˇe zad´any slovnˇe. Kvantitativn´ı krit´eria m˚ uˇzeme d´ale rozliˇsit na krit´eria maximalizaˇcn´ı, kdy je ˇz´adouc´ı co nejvˇetˇs´ı hodnota dan´eho krit´eria, a krit´eria minimalizaˇcn´ı, kdy je tomu naopak. Pˇrevod z minimalizaˇcn´ıho na maximalizaˇcn´ı krit´erium je n´asleduj´ıc´ı: 1. pro dan´e minimalizaˇcn´ı krit´erium urˇc´ıme nejhorˇs´ı, tj.nejvyˇsˇs´ı hodnotu, 2. od t´eto nejhorˇs´ı hodnoty odeˇcteme kriteri´aln´ı hodnoty dan´e varianty; t´ım pˇrev´ad´ıme ohodnocen´ı variant podle minimalizaˇcn´ıho krit´eria na ohodnocen´ı variant podle maximalizaˇcn´ıho krit´eria. V dalˇs´ım textu m˚ uˇzeme tedy uvaˇzovat pouze maximalizaˇcn´ı krit´eria. Pokud uvaˇzujeme klasick´e modely rozhodov´an´ı, hodnot´ıme mnoˇzinu vˇsech variant podle jednoho dan´eho krit´eria. V re´aln´em ˇzivotˇe vˇsak pˇri rozhodov´an´ı bereme vu ´vahu v´ıce krit´eri´ı. Na z´akladˇe t´eto skuteˇcnosti vznikla teorie v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı. Variantami rozum´ıme prvky, kter´e m´a smysl porovn´avat a jejichˇz realizac´ı dos´ahneme c´ıle rozhodov´an´ı. Napˇr´ıklad pˇri v´ ybˇeru automobilu se z´akazn´ık rozhoduje mezi jednotliv´ ymi typy automobil˚ u, coˇz jsou pro nˇej varianty, mezi kter´ ymi vyb´ır´a. Mnoˇzina vˇsech variant ˇreˇsen´ı dan´eho rozhodovac´ıho probl´emu b´ yv´a naz´ yv´ana rozhodovac´ı pole. D˚ usledky variant vyj´adˇren´e jako hodnoty krit´eri´ı jsou bud’ jednoznaˇcn´e, nebo z´avisej´ı na stavech svˇeta. Stavy svˇeta (sc´en´aˇre, rizikov´e situace) ch´apeme jako budouc´ı vz´ajemnˇe se vyluˇcuj´ıc´ı situace, kter´e mohou po realizaci varianty rozhodov´an´ı nastat a kter´e jsou mimo kontrolu rozhodovatele. N´ahodn´e faktory se obvykle povaˇzuj´ı za n´ahodn´e veliˇciny urˇcuj´ıc´ı stavy svˇeta. D˚ uleˇzitou roli z hlediska dalˇs´ıho postupu hraje fakt, zda zn´ame pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı stav˚ u svˇeta ˇci nikoli.
8
1.2. Klasifikace rozhodovac´ıch proces˚ u (rozhodovac´ıch probl´ em˚ u) Rozhodovac´ı procesy lze tˇr´ıdit podle cel´e ˇrady hledisek. Podle sloˇzitosti a algoritmizace ˇclen´ıme rozhodovac´ı probl´emy na dobˇre strukturovan´e rozhodovac´ı probl´emy (t´eˇz jednoduch´e, programovan´e ˇci algoritmizovan´e ), kter´e se zpravidla opakovanˇe ˇreˇs´ı na operativn´ı u ´rovni a existuj´ı pro nˇe rutinn´ı postupy ˇreˇsen´ı, a ˇspatnˇe strukturovan´e rozhodovac´ı probl´emy, kter´e jsou ˇreˇsen´e zpravidla na vyˇsˇs´ıch u ´rovn´ıch ˇr´ızen´ı a jsou sv´ ym charakterem do urˇcit´e m´ıry nov´e a neopakovateln´e. Dalˇs´ım nem´enˇe d˚ uleˇzit´ ym klasifikaˇcn´ım hlediskem je informace o stavech svˇeta a d˚ usledc´ıch variant vzhledem k jednotliv´ ym krit´eri´ım hodnocen´ı. V pˇr´ıpadˇe u ´pln´e informace, tzn. ˇze rozhodovatel v´ı s jistotou, kter´ y stav svˇeta nastane a jak´e budou d˚ usledky variant, mluv´ıme o rozhodov´ an´ı za jistoty. Pokud rozhodovatel zn´a moˇzn´e budouc´ı situace (stavy svˇeta), kter´e mohou nastat, a t´ım i d˚ usledky variant pˇri tˇechto stavech svˇeta, a souˇcasnˇe zn´a i pravdˇepodobnosti tˇechto stav˚ u svˇeta, pak se jedn´a o rozhodov´ an´ı za rizika. Pokud nejsou rozhodovateli zn´amy pravdˇepodobnosti jednotliv´ ych stav˚ u svˇeta, jde o rozhodov´ an´ı za nejistoty. Z hlediska faktoru ˇcasu lze rozhodovac´ı procesy tˇr´ıdit na procesy statick´e a procesy dynamick´e podle toho, zda se v ˇcase nemˇen´ı ˇci mˇen´ı mnoˇzina variant rozhodov´an´ı, popˇr. jejich d˚ usledky a hodnocen´ı tˇechto d˚ usledk˚ u v z´avislosti na preferenˇcn´ım syst´emu rozhodovatele. Podle poˇctu krit´eri´ı hodnocen´ı se rozhodovac´ı procesy tˇr´ıd´ı na jednokriteri´ aln´ı rozhodov´an´ı (procesy s jedin´ ym krit´eriem hodnocen´ı) a v´ıcekriteri´ aln´ı rozhodov´ an´ı (procesy s vˇetˇs´ım poˇctem krit´eri´ı). Podle toho, zda d˚ usledky variant nez´avis´ı ˇci z´avis´ı na strategii, kterou vˇedomˇe vol´ı pˇrem´ yˇslej´ıc´ı protivn´ık, rozliˇsujeme rozhodovac´ı procesy nekonfliktn´ı a konfliktn´ı (studiem konfliktn´ıch rozhodovac´ıch proces˚ u se zab´ yv´a matematick´a teorie her). My se budeme zab´ yvat probl´emem v´ıcekriteri´ aln´ıho rozhodov´ an´ı (za jistoty), kter´ ym rozum´ıme rozum´ıme u ´lohu nalezen´ı ”optim´aln´ı”varianty, kter´a by ”v co nejvˇetˇs´ı m´ıˇre”zohledˇ novala uvaˇzovan´a krit´eria (d´ılˇc´ı c´ıle). Obecn´ y postup pˇri ˇreˇse9
n´ı probl´emu v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı vypad´a n´asledovnˇe: Krok 1. Stanoven´ı c´ıle rozhodov´an´ı. Krok 2. Vyˇclenˇen´ı mnoˇziny variant A = {a1 , a2 , . . . , an } a mnoˇziny krit´eri´ı C = {f1 , f2 , . . . , fm }. Krok 3. D´ılˇc´ı vyhodnocen´ı (uspoˇr´ad´an´ı, zmˇeˇren´ı) vˇsech variant podle jednotliv´ ych krit´eri´ı. Krok 4. Agregace d´ılˇc´ıch hodnocen´ı do v´ ysledn´eho celkov´eho hodnocen´ı a v´ ybˇer ”optim´aln´ı”varianty.
1.3. Krit´ eria Kaˇzd´e krit´erium slouˇz´ı v rozhodovac´ı u ´loze k tomu, abychom podle nˇej dan´e varianty vyhodnocovali, eventu´alnˇe porovn´avali ˇci uspoˇra´dali. Abychom mohli pracovat s metodou minimalizace a maximalizace vzd´alenosti, potˇrebujeme podle kaˇzd´eho krit´eria varianty ohodnotit ˇc´ıselnˇe, pˇriˇcemˇz hodnocen´ı podle jednotliv´ ych krit´eri´ı by mˇela b´ yt ze stejn´e ˇsk´aly (stupnice). Chceme tud´ıˇz zkonstruovat funkce fj , j = 1, 2, . . . , n, zobrazuj´ıc´ı fj : A → ⟨0, 1⟩. Nyn´ı si uk´aˇzeme konstrukci, kter´a povede k vytvoˇren´ı v´ yˇse zm´ınˇen´eho ohodnocen´ı. Budeme uvaˇzovat situaci, kdy v souboru krit´eri´ı m´ame krit´eria jak kvalitativn´ı, tak krit´eria kvantitativn´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe mus´ıme napˇred n´ami zvolenou mnoˇzinu variant ohodnotit podle kvalitativn´ıch krit´eri´ı, abychom je tak transformovali na ˇc´ıseln´e vyj´adˇren´ı, kter´e pak d´ale m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pro v´ ypoˇcty. Pro d´ılˇc´ı ohodnocen´ı variant podle kvalitativn´ıch krit´eri´ı budeme pouˇz´ıvat bodovac´ı metodu. Pˇri pouˇzit´ı t´eto metody rozhodovatel prov´ad´ı d´ılˇc´ı ohodnocen´ı varianty vzhledem k dan´emu krit´eriu podle obvykle slovnˇe vyj´adˇren´e hodnoty kvalitativn´ı charakteristiky pˇriˇrazen´ım bod˚ u z bodov´e ˇsk´aly, kter´a je jednotnˇe stanovena pro vˇsechna uvaˇzovan´a kvalitativn´ı krit´eria. Pokud napˇr´ıklad uvaˇzujeme bodovac´ı ˇsk´alu 1-10, znamen´a 1 nejh˚ uˇre ohodnocenou variantu a 10 nejl´epe ohodnocenou variantu. Dalo by se ˇr´ıci, ˇze takto transformujeme krit´eria kvalitativn´ı na krit´eria ”kvantitativn´ı”. 10
Nyn´ı m´ame vˇsechny varianty ohodnocen´e ˇc´ıselnˇe. Abychom mohli vstupn´ı informace o ohodnocen´ı variant porovn´avat mezi sebou, je nutn´e tyto informace transformovat tak, aby mˇely stejnou vypov´ıdac´ı schopnost, tj. aby byly ze stejn´e ˇsk´aly S = ⟨0, 1⟩. Takovou transformaci lze prov´est v´ıce zp˚ usoby. My si zde uvedeme 2 zp˚ usoby transformace, kter´e vyuˇzijeme v praktick´e ˇca´sti - standardizaci a stupnˇe naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u. Standardizace transformuje informace podle n´asleduj´ıc´ıho vztahu φj (x) = (x − Dj )/(Hj − Dj ), kde standardizovan´e hodnoty φj (x) ∈ ⟨0, 1⟩, pˇriˇcemˇz x = fj (a), a ∈ A, Hj vyjadˇruje hodnotu nejlepˇs´ı varianty ze souboru variant hodnocenou dle j-t´eho krit´eria a Dj vyjadˇruje hodnotu nejhorˇs´ı varianty ze souboru variant hodnocenou dle j-t´eho krit´eria. Z toho plyne, ˇze pro standardizovan´e baz´aln´ı hodnoty dost´av´ame hodnotu 0 a pro standardizovan´e ide´aln´ı hodnoty dost´av´ame hodnotu 1. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v´ yˇse, uvaˇzujeme pouze maximalizaˇcn´ı krit´eria, takˇze pokud m´ame v souboru krit´eri´ı i krit´eria minimalizaˇcn´ı, nejprve je pˇrevedeme na maximalizaˇcn´ı a teprve pak je standardizujeme. Definujeme tedy nyn´ı nam´ısto krit´eria fj nov´e krit´erium Fj (a) = φj (fj (a)), a ∈ A. U stupˇ n˚ u naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u si rozhodovatel stanov´ı nez´avisle na souboru variant hodnot´ıc´ı ˇsk´alu dle kaˇzd´eho krit´eria (d´ılˇc´ıho c´ıle), pˇriˇcemˇz jeden krajn´ı bod znaˇc´ı naprost´e nenaplnˇen´ı d´ılˇc´ıho c´ıle a druh´ y naopak jeho u ´pln´e naplnˇen´ı. Stupeˇ n naplnˇen´ı j-t´eho d´ılˇc´ıho c´ıle variantou a je stanoven dle vzorce uj (a) =
hj (a) − h0j , h1j − h0j
kde hj (a) vyjadˇruje ohodnocen´ı varianty a podle j-t´eho d´ılˇc´ıho c´ıle, h0j je krajn´ı bod hodnot´ıc´ı ˇsk´aly reprezentuj´ıc´ı tot´aln´ı nenaplnˇen´ı j-t´eho d´ılˇc´ıho c´ıle a h1j naopak krajn´ı bod t´eto ˇsk´aly odpov´ıdaj´ıc´ı tot´aln´ımu naplnˇen´ı uvaˇzovan´eho d´ılˇc´ıho 11
c´ıle. Uveden´ y vzorec transformuje ˇsk´aly s rostouc´ı i klesaj´ıc´ı preferenc´ı na interval ⟨0, 1⟩ ch´apan´ y jako ˇsk´ala s rostouc´ı preferenc´ı. Optim´aln´ı neboli ide´aln´ı varianta je varianta, kter´a ze vˇsech variant nab´ yv´a nejlepˇs´ı ohodnocen´ı z´aroveˇ n podle vˇsech krit´eri´ı. Oznaˇcme ide´aln´ı variantu a jej´ı hodnoty jako H = (H1 , H2 , . . . , Hm ). Pokud transformujeme ohodnocen´ı variant standardizac´ı, jsou hodnoty ide´aln´ı varianty H = (1, 1, . . . , 1), jinak ˇreˇceno ide´aln´ı variantu tvoˇr´ı varianty ai , kter´e jsou nejl´epe ohodnocen´e podle j-t´eho krit´eria. Na druhou stranu jestliˇze transformuje ohodnocen´ı variant stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u, pak hodnoty ide´aln´ı varianty mnohdy nedosahuj´ı sam´ ych 1, jelikoˇz hodnoty h1j vol´ıme nez´avisle na souboru variant. Hodnoty ide´aln´ı varianty v tomto pˇr´ıpadˇe jsou H = (H1 , H2 , . . . , Hm ), kde hodnoty H1 , H2 , . . . , Hm pˇredstavuj´ı nejlepˇs´ı hodnoty jednotliv´ ych krit´eri´ı na dan´em souboru variant. Baz´aln´ı varianta je naopak varianta, kter´a podle vˇsech krit´eri´ı dosahuje nejhorˇs´ıho ohodnocen´ı. Takovou variantu oznaˇc´ıme D = (D1 , D2 , . . . , Dm ). V pˇr´ıpadˇe transformace ohodnocen´ı variant standardizac´ı jsou hodnoty baz´aln´ı varianty D = (0, 0, . . . , 0). Transformujeme-li ohodnocen´ı variant stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u, maj´ı hodnoty baz´aln´ı varianty tvar D = (D1 , D2 , . . . , Dm ), kde hodnoty D1 , D2 , . . . , Dm pˇredstavuj´ı nejhorˇs´ı hodnoty jednotliv´ ych krit´eri´ı na dan´em souboru variant. Nedominovan´a varianta je takov´a, ke kter´e neexistuje v mnoˇzinˇe variant jin´a varianta, l´epe ohodnocen´a alespoˇ n podle jednoho krit´eria a ne h˚ uˇre podle os´ ym ˇreˇsen´ım u tatn´ıch krit´eri´ı. Upln´ ´lohy v´ıcekriteri´aln´ıho hodnocen´ı variant je mnoˇzina nedominovan´ ych variant AN , kter´a ale m˚ uˇze b´ yt rozs´ahl´a a dokonce m˚ uˇze b´ yt stejn´a jako p˚ uvodn´ı mnoˇzina vˇsech rozhodovac´ıch variant A. Necht’ A = {a1 , a2 , . . . , an } je mnoˇzina variant a C = {f1 , f2 , . . . , fm } je mnoˇzina krit´eri´ı. Hodnocen´ı variant podle jednotliv´ ych krit´eri´ı b´ yv´a zad´ano ve tvaru tzv. kriteri´aln´ı matice:
y11 y21 Y = ... yn1
y12 y22 ... yn2 12
... ... ... ...
y1m y2m , ... ynm
kde yij = fj (ai ), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m pˇredstavuje ohodnocen´ı i-t´e varianty podle j-t´eho krit´eria. 1.3.1. V´ ahy krit´ eri´ı Vˇetˇsina metod v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı vyˇzaduje informaci o relativn´ı d˚ uleˇzitosti jednotliv´ ych krit´eri´ı, kterou m˚ uˇzeme vyj´adˇrit pomoc´ı vah krit´eri´ı. Obecnˇe plat´ı, ˇze v´aha je t´ım vˇetˇs´ı, ˇc´ım vˇetˇs´ı je d˚ uleˇzitost krit´eria, ke kter´emu se v´aha vztahuje. V´ahy dˇel´ıme na normovan´e a nenormovan´e. Normovan´e v´ahy, se kter´ ymi pracuje vˇetˇsina metod, jsou definov´any n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: m ∑
vj = 1,
vj ≥ 0,
j = 1, 2, . . . , m.
j=1
Pokud jsou stanoveny nenormovan´e v´ahy w1 , . . . , wm splˇ nuj´ıc´ı pouze podm´ınku wj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , m, pak normovan´e v´ahy z nich vypoˇcteme dle vzorce wj v j = ∑m k=1
wk
.
Existuje mnoho metod, jak m˚ uˇzeme zkonstruovat odhady vah, my si uvedeme ty nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı: Metfesselova alokace Pˇri pouˇzit´ı metody Metfesselovy alokace rozhodovatel pˇr´ımo zad´an´ım normovan´ ych vah vj ≥ 0,
j = 1, 2, . . . , m,
m ∑
vj = 1,
j=1
urˇcuje pod´ıly d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u hodnocen´ı na c´ıli celkov´em. Jestliˇze je napˇr. v´aha v3 tˇret´ıho d´ılˇc´ıho c´ıle stanovena ˇc´ıslem 0,2, pak to pˇri pouˇzit´ı t´eto metody znamen´a, ˇze u ´pln´e dosaˇzen´ı tohoto d´ılˇc´ıho c´ıle zaruˇcuje aspoˇ n 20% splnˇen´ı c´ıle celkov´eho a naopak, nebude-li tento d´ılˇc´ı c´ıl v˚ ubec naplnˇen, pak urˇcitˇe nebude minim´alnˇe ze 20% splnˇen celkov´ y c´ıl. 13
Bodovac´ı metoda Bodovac´ı metoda je zaloˇzen´a na pˇredpokladu, ˇze rozhodovatel je schopen kvantitativnˇe ohodnotit d˚ uleˇzitost krit´eri´ı. Rozhodovatel nejprve zvol´ı bodovac´ı stupnici a pot´e mus´ı ohodnotit j-t´e krit´erium hodnotou bj leˇz´ıc´ı v dan´e stupnici. Bodov´e ohodnocen´ı je t´ım vyˇsˇs´ı, ˇc´ım je krit´erium d˚ uleˇzitˇejˇs´ı. Bodov´e ohodnocen´ı nemus´ı b´ yt vyj´adˇreno pouze cel´ ymi ˇc´ısly a m˚ uˇze b´ yt stejn´e i pro nˇekolik krit´eri´ı. V´aha j-t´eho krit´eria se vypoˇcte podle vzorce bj v j = ∑m
j=1 bj
,
j = 1, 2, . . . , m.
Saatyho metoda p´ arov´ ych srovn´ an´ı U Saatyho metody p´arov´ych srovn´ an´ı je z´akladn´ım v´ ychodiskem pro konstrukci vah uvaˇzovan´ ych krit´eri´ı matice p´arov´ ych srovn´an´ı S, kter´e se ˇr´ık´a Saatyho matice. Pˇri vytv´aˇren´ı p´arov´ ych srovn´an´ı S = (sij ), i, j = 1, 2, . . . , m, se ˇcasto pouˇz´ıv´a stupnice 1, 2, . . . , 9 a reciprok´e hodnoty. Prvky matice S se vypoˇctou jako odhady pod´ılu vah i-t´eho a j-t´eho krit´eria vi sij ∼ = , vj
i, j = 1, 2, . . . , m.
Pro prvky matice S plat´ı
sii = 1, sji = 1/sij ,
i = 1, 2, . . . , m, i, j = 1, 2, . . . , m.
Zvolen´emu rozsahu stupnice 1, 2, . . . , 9 odpov´ıd´a vhodn´a verb´aln´ı stupnice: 1 - rovnocenn´a krit´eria i a j, 3 - slabˇe preferovan´e krit´erium i pˇred j, 5 - silnˇe preferovan´e krit´erium i pˇred j, 7 - velmi silnˇe preferovan´e krit´erium i pˇred j, 14
9 - absolutnˇe preferovan´e krit´erium i pˇred j. Hodnoty 2, 4, 6, 8 vyjadˇruj´ı mezistupnˇe. Saatyho metoda konstrukce vah uvaˇzovan´ ych krit´eri´ı spoˇc´ıv´a ve v´ ypoˇctu vlastn´ıho vektoru odpov´ıdaj´ıc´ıho maxim´aln´ımu ˇ sen´ı soustavy m rovnic o m vlastn´ımu ˇc´ıslu matice p´arov´ ych srovn´an´ı S. Reˇ nezn´am´ ych x = (x1 , x2 , . . . , xm ) vyj´adˇren´e ve vektorov´em tvaru: (S − λmax I)xT = 0, nebo jinak vyj´adˇreno: SxT = λmax xT , kde λmax je maxim´aln´ı vlastn´ı ˇc´ıslo matice S a I je jednotkov´a matice, d´av´a vlastn´ı vektor, z nˇehoˇz pak stanov´ıme v´ahy n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: xj v j = ∑m j=1
xj
,
j = 1, 2, . . . , m.
15
2. Metody zaloˇ zen´ e na mˇ eˇ ren´ı vzd´ alenosti Metody zaloˇzen´e na mˇeˇren´ı vzd´alenosti jsou jedny z mnoha druh˚ u metod vedouc´ıch k nalezen´ı optim´aln´ı varianty. V t´eto kapitole si pop´ıˇseme tˇri tyto metody: minimalizaci vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty, maximalizaci vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty a metodu TOPSIS. Pˇri psan´ı t´eto kapitoly jsem vych´azela z literatury [1] a [2]. U metod zaloˇzen´ ych na mˇeˇren´ı vzd´alenosti pˇredpokl´ad´ame, ˇze vˇsechna krit´eria jsou kardin´aln´ı, bud’ vˇsechna standardizovan´a nebo vˇsechna normalizovan´a. Pˇr´ıpadn´a kvalitativn´ı krit´eria m˚ uˇzeme t´eˇz uvaˇzovat, ale mus´ı b´ yt bodovˇe ohodnocena. My budeme uvaˇzovat vˇsechna krit´eria standardizovan´a. Pro v´ ysledn´e ohodnocen´ı variant existuj´ı dvˇe z´akladn´ı metody zaloˇzen´e na vzd´alenosti: • metoda minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty, • metoda maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty. ˇ Casto do tˇechto metod b´ yv´a ˇrazena tak´e metoda TOPSIS, kter´a je dalo by se ˇr´ıci urˇcitou kombinac´ı obou v´ yˇse zm´ınˇen´ ych z´akladn´ıch metod zaloˇzen´ ych na vzd´alenosti. U t´eto metody pˇrich´az´ı v u ´vahu i kvalitativn´ı krit´eria. Pro u ´plnost samozˇrejmˇe mus´ıme uv´est definici funkce vzd´alenosti: Definice 1. Funkci d :
Rm × Rm → R naz´yv´ ame funkc´ı vzd´alenosti v Rm
( metrikou v Rm ), splˇ nuje-li n´asleduj´ıc´ı 3 podm´ınky: d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ Rm , (”nez´apornost”),
(1)
d(x, x) = 0 ∀x ∈ Rm , (”jednoznaˇcnost”),
(2)
d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) ∀x, y, z ∈ Rm , (”troj´ uheln´ıkov´ a nerovnost”). Speci´alnˇe n´as bude zaj´ımat funkce vzd´alenosti, kter´a m´a tvar: ( d(x, y) =
m ∑
)1/n |xj − yj |n
j=1
16
,
(3)
kde vektory jsou ve tvaru x = (x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ Rm , y = (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm a n > 0, respektive jej´ı modifikovan´a podoba s normovan´ ymi v´ahami
dv (x, y) =
( m ∑
)1/n vj |xj − yj |n
,
j=1
kde v´ahy vj , j = 1, 2, . . . , m vyjadˇruj´ı d˚ uleˇzitost vzd´alenost´ı jednotliv´ ych sloˇzek vektoru.
2.1. Minimalizace vzd´ alenosti od ide´ aln´ı varianty Minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty je jedn´ım z v´ ypoˇcetn´ıch princip˚ u pro nalezen´ı kompromisn´ı varianty. Tento princip spoˇc´ıv´a v ˇreˇsen´ı u ´lohy
dv (H, a) =
( m ∑
)1/n vj (Hj − Fj (ai ))n
→ min
j=1
pˇri omezen´ı ai ∈ A, kde vj , j = 1, 2, . . . , m, je normovan´a v´aha odchylky j-t´eho krit´eria od ide´aln´ı hodnoty Hj . Vzd´alenost m˚ uˇze b´ yt mˇeˇrena pomoc´ı r˚ uzn´ ych metrik, podle hodnot dosazen´ ych za exponent n. Nejˇcastˇeji jsou pouˇz´ıv´any metriky - pro n = 1, dost´av´ame line´arn´ı metriku
dvl (H, a) =
m ∑
vj | Hj − Fj (ai ) |
j=1
- pro n = 2, dost´av´ame Euklidovskou metriku
dve (H, a) =
( m ∑
)1/2 vj (Hj − Fj (ai ))2
j=1
17
ˇ - limitn´ım pˇrechodem pro n → ∞, dost´av´ame Cebyˇ sevovu (t´eˇz maximovou) metriku dvm (H, a) = max vj (Hj − Fj (ai )). j
Pro n´azornost si uvedeme jednoduch´ y pˇr´ıklad, na nˇemˇz si uk´aˇzeme, jak volba r˚ uzn´ ych metrik m˚ uˇze zp˚ usobit rozd´ıly ve v´ ysledc´ıch. Metodou stupˇ n˚ u naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u si stanov´ıme kriteri´aln´ı matici Y , kter´a m´a tvar
1 0, 6 0, 7 Y = 0 0, 5 0, 55
0, 6 0, 8 0, 8 0, 8 0, 8 0, 8
0, 2 0, 65 1 0, 7 0 0, 43
Pro jednoduchost budeme uvaˇzovat, ˇze vˇsechna krit´eria jsou stejnˇe v´ yznamn´a, tj. pro normovan´e v´ahy plat´ı vj = 1/3, j = 1, 2, 3. V tomto okamˇziku jiˇz m˚ uˇzeme metodou minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty uspoˇra´dat varianty od nejhorˇs´ı po nejlepˇs´ı. Pro porovn´an´ı si tuto metodu propoˇc´ıt´ame pro kaˇzdou z v´ yˇse uveden´ ych metrik. V´ ysledky shrneme v Tab. 1. Tabulka 1: Minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a1 a2 a3 a4 a5 a6
dvl (H, a) 0,33 0,25 0,1 0,43 0,5 0,34
dve (H, a) 0,48 0,31 0,17 0,6 0,65 0,42
dvm (H, a) 0,27 0,13 0,1 0,33 0,33 0,19
V Tab. 2 jsou zformulov´any v´ ysledky jako poˇrad´ı variant podle jednotliv´ ych metrik, tzn. varianta, kter´a je prvn´ı, je nejlepˇs´ı a naopak varianta, kter´a je posledn´ı (resp. ˇsest´a), je nejhorˇs´ı. Jak m˚ uˇzeme vidˇet na v´ ysledc´ıch v Tab. 2, nemaj´ı jednotliv´e metriky vliv na v poˇrad´ı prvn´ı a druhou variantu. Jestliˇze porovn´av´ame v´ ysledky vypoˇcten´e 18
Tabulka 2: Minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty - uspoˇra´d´an´ı variant a1 a2 a3 a4 a5 a6
dvl (H, a) 3. 2. 1. 5. 6. 4.
dve (H, a) 4. 2. 1. 5. 6. 3.
dvm (H, a) 4. 2. 1. 5.-6. 5.-6. 3.
podle line´arn´ı a Euklidovsk´e metriky, vˇsimneme si, ˇze se prohodilo poˇrad´ı variant a1 a a6 . To je zp˚ usobeno t´ım, ˇze Euklidovsk´a metrika, narozd´ıl od metriky line´arn´ı, upˇrednostˇ nuje varianty, jejichˇz vzd´alenost od ide´aln´ı varianty nevykazuje vyˇsˇs´ı odchylky, tedy konkr´etnˇe pro varianty a1 a a6 plat´ı, ˇze a6 je hodnocena l´epe, protoˇze odchylky od ide´aln´ı varianty jsou 0,45; 0; 0,57, kdeˇzto odchylky od ide´aln´ı varianty v pˇr´ıpadˇe varianty a1 jsou 0; 0,2; 0,8 a pr´avˇe posledn´ı hodnota pˇredstavuje v´ yraznou odchylku, kv˚ uli kter´e je tato varianta hodnocena h˚ uˇre. Ve srovn´an´ı s line´arn´ı metrikou je to paradoxn´ı, protoˇze souˇcet odchylek u a6 ˇ je 1,02 a u a1 je 1. Pˇri zkoum´an´ı v´ ysledk˚ u vypoˇcten´ ych Cebyˇ sevovou metrikou m˚ uˇzeme pozorovat vlastnost zm´ınˇen´e metriky, kdy na prvn´ı pohled lepˇs´ı varianta ˇ a4 vyjde stejnˇe jako a5 . K t´eto vlastnosti Cebyˇ sevovy metriky se vr´at´ıme pozdˇeji.
2.2. Maximalizace vzd´ alenosti od baz´ aln´ı varianty Dalˇs´ım v´ ypoˇcetn´ım principem pro nalezen´ı kompromisn´ı varianty je maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty, kter´a spoˇc´ıv´a v ˇreˇsen´ı u ´lohy
dv (D, a) =
( m ∑
)1/n vj (Dj − Fj (ai ))n
j=1
pˇri omezen´ı ai ∈ A,
19
→ max
kde vj , j = 1, 2, . . . , m, je normovan´a v´aha odchylky j-t´eho krit´eria od baz´aln´ı hodnoty Dj . Na z´akladˇe hodnot dosazen´ ych za exponent n m˚ uˇzeme vzd´alenost mˇeˇrit pomoc´ı r˚ uzn´ ych metrik. Mezi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı metriky patˇr´ı - pro n = 1, dost´av´ame line´arn´ı metriku
dvl (D, a) =
m ∑
vj | Dj − Fj (ai ) |
j=1
- pro n = 2, dost´av´ame Euklidovskou metriku ( dve (D, a) =
m ∑
)1/2 vj (Dj − Fj (ai ))2
j=1
ˇ - limitn´ım pˇrechodem pro n → ∞, dost´av´ame Cebyˇ sevovu (maximovou) metriku dvm (D, a) = max vj | Dj − Fj (ai ) | . j
Stejnˇe jako u pˇredchoz´ı metody si uk´aˇzeme v´ ypoˇcty s jednotliv´ ymi metrikami na pˇr´ıkladu. Budeme uvaˇzovat stejnou kriteri´aln´ı matici Y i stejn´e v´ahy jako v pˇredchoz´ı kapitole. V´ ypoˇcty metodou maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty jsou shrnuty v Tab. 3. Tabulka 3: Maximalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a1 a2 a3 a4 a5 a6
dvl (D, a) 0,4 0,48 0,63 0,3 0,23 0,39
dve (D, a) 0,59 0,52 0,71 0,42 0,31 0,42
dvm (D, a) 0,33 0,22 0,33 0,23 0,17 0,18
V Tab. 4 jsou uvedeny v´ ysledky z hlediska poˇrad´ı variant. Jak m˚ uˇzeme z v´ ysledk˚ u pozorovat, v pˇr´ıpadˇe maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty jsou 20
Tabulka 4: Maximalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty - uspoˇra´d´an´ı variant a1 a2 a3 a4 a5 a6
dvl (D, a) 3. 2. 1. 5. 6. 4.
dve (D, a) 2. 3. 1. 4. 6. 5.
dvm (D, a) 1.-2. 4. 1.-2. 3. 6. 5.
velk´e rozd´ıly ve v´ ysledc´ıch pˇri pouˇzit´ı r˚ uzn´ ych metrik. Jedin´a varianta, kter´a dos´ahla stejn´eho poˇrad´ı podle vˇsech tˇr´ı pouˇzit´ ych metrik, je v poˇrad´ı 6. nejlepˇs´ı varianta. Pokud porovn´ame v´ ysledky vypoˇc´ıtan´e dle line´arn´ı a Euklidovsk´e metriky, zjist´ıme, ˇze Euklidovsk´a metrika upˇrednostˇ nuje varianty, jejichˇz vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty vykazuj´ı vyˇsˇs´ı odchylku. V pˇr´ıpadˇe variant a1 a a2 je varianta a1 hodnocena l´epe, jelikoˇz jedna z jej´ıch vzd´alenost´ı od baz´aln´ı varianty vykazuje vysokou odchylku, narozd´ıl od varianty a2 , jej´ıˇz vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty jsou vˇsechny sice pomˇernˇe vysok´e, ale nevykazuj´ı tak v´ yraznou odchylku jako u a1 . Pokud porovn´ame chov´an´ı Euklidovsk´e metriky u minimalizace a maximalizace vzd´alenosti, zjist´ıme, ˇze je protich˚ udn´e. Takt´eˇz jsou jin´e v´ ysledky vypoˇcten´e dle tˇechto metod. Navzdory tomu u line´arn´ı metriky nez´avis´ı na volbˇe minimalizace ˇci maximalizace vzd´alenosti, protoˇze v´ ysledky jsou z hlediska poˇrad´ı variant stejn´e. ˇ Na speci´aln´ım pˇr´ıkladu budeme demonstrovat nev´ yhody Cebyˇ sevovy metriky, kter´e mohou v´ yraznˇe zkreslit vypov´ıdac´ı schopnost v´ ysledk˚ u. Stanov´ıme si kriteri´aln´ı matici Y , kter´a m´a tvar
1 0 0 Y = 1 0 1 1 0, 5 0 Provedeme v´ ypoˇcet minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a maximaˇ lizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty pˇri pouˇzit´ı Cebyˇ sevovy metriky. V´ ysledky jsou uvedeny v Tab. 5. 21
ˇ Tabulka 5: Minimalizace a maximalizace vzd´alenosti dle Cebyˇ sevovy metriky a1 a2 a3
dvm (H, a) 0,33 0,33 0,33
dvm (D, a) 0,33 0,33 0,33
Na v´ ysledc´ıch pozorujeme, ˇze vˇsechny varianty jsou ohodnoceny stejnˇe, tedy vˇsechny jsou nejlepˇs´ımi variantami. Z ohodnocen´ı variant dle jednotliv´ ych krit´eri´ı v matici Y vˇsak pozorujeme, ˇze logicky by nejlepˇs´ı variantou mˇela b´ yt varianta ˇ a2 . N´azornˇe jsme si uk´azali, ˇze pouˇzit´ı Cebyˇ sevovy metriky pˇri v´ ypoˇctu minimalizace a maximalizace vzd´alenosti m˚ uˇze podstatnˇe zkreslit re´aln´e v´ ysledky. Je to zp˚ usobeno t´ım, ˇze tato metrika bere v u ´vahu pouze krit´eria, u nichˇz je vzd´alenost hodnoty dan´e varianty od hodnoty u ide´aln´ı, resp. baz´aln´ı varianty maxim´aln´ı.
2.3. Metoda TOPSIS Metoda TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution), kter´a byla poprv´e pops´ana v knize [5], je v´ ypoˇcetn´ı princip, kter´ y je kombinac´ı dvou pˇredchoz´ıch metod, tj. minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty. Vstupn´ımi u ´daji, kter´e poˇzadujeme, jsou kriteri´aln´ı hodnoty pro jednotliv´e varianty a v´ahy jednotliv´ ych krit´eri´ı. Kriteri´aln´ı hodnoty pro jednotliv´e varianty jsou uspoˇra´d´any v kriteri´aln´ı matici Y = (yij ), kde yij je hodnota i-t´e varianty podle j-t´eho krit´eria. Kriteri´aln´ı hodnoty pro jednotliv´e varianty vˇsak lze zapsat do kriteri´aln´ı matice pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze vˇsechna krit´eria jsou kvantitativn´ı. Pokud m´ame krit´eria kvalitativn´ı, je nutno je pˇred z´apisem do kriteri´aln´ı matice transformovat na krit´eria kvantitativn´ı. Tuto transformaci lze prov´est pomoc´ı bodovac´ı metody, kterou jsme jiˇz zmiˇ novali v´ yˇse a pomoc´ı n´ıˇz pˇrevedeme ohodnocen´ı slovn´ı na ohodnocen´ı ˇc´ıseln´e. Bodovac´ı metoda bere v u ´vahu jak krit´eria maximalizaˇcn´ı, tak i minimalizaˇcn´ı. Tato metoda spoˇc´ıv´a ve v´ ybˇeru varianty, kter´a je nejbl´ıˇze k ide´aln´ı variantˇe 22
reprezentovan´e vektorem (H1 , H2 , . . . , Hm ) a nejd´ale od baz´aln´ı varianty reprezentovan´e vektorem (D1 , D2 , . . . , Dm ). Krok 1: Zkonstruujeme normalizovanou kriteri´aln´ı matici R = (rij ), kde pro v´ ypoˇcet normalizovan´ ych hodnot je navrˇzen vzorec yij
rij = ( ∑n
)1/p ,
i=1 (yij
i = 1, 2, . . . , n,
j = 1, 2, . . . , m.
)p
Krok 2: Vypoˇcteme v´aˇzenou kriteri´aln´ı matici W tak, ˇze j-t´ y sloupec normalizovan´e kriteri´aln´ı matice R n´asob´ıme odpov´ıdaj´ıc´ı v´ahou vj :
w11 w21 W = ... wn1
w12 w22 ... wn2
... ... ... ...
w1m v1 r11 w2m v1 r21 = ... ... wnm v1 rn1
v2 r12 v2 r22 ... v2 rn2
. . . vm r1m . . . vm r2m ... ... . . . vm rnm
Krok 3: Urˇc´ıme ide´aln´ı variantu H = (H1 , H2 , . . . , Hm ) a baz´aln´ı variantu D = (D1 , D2 , . . . , Dm ) vzhledem k hodnot´am ve v´aˇzen´e kriteri´aln´ı matici, kde Hj = max wij ,
j = 1, 2, . . . , m,
Dj = min wij ,
j = 1, 2, . . . , m.
i
i
Krok 4: Vypoˇcteme vzd´alenosti variant od ide´aln´ı varianty d+ i =
m (∑
(wij − Hj )p
)1/p , i = 1, 2, . . . , n,
j=1
a vzd´alenosti variant od baz´aln´ı varianty d− i
=
m (∑
(wij − Dj )
p
)1/p , i = 1, 2, . . . , n,
j=1
Krok 5: Vypoˇcteme relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı variant od baz´aln´ı varianty
ci =
d− i , i = 1, 2, . . . , n. d+ + d− i i
Pro hodnoty ci plat´ı: 23
0 ≤ ci ≤ 1, pˇriˇcemˇz ci = 0 ⇔ ai = (D1 , D2 , . . . , Dm ) a ci = 1 ⇔ ai = (H1 , H2 , . . . , Hm ). N´aslednˇe varianty uspoˇr´ad´ame podle klesaj´ıc´ıch hodnot ukazatele ci , tj. nejvyˇsˇs´ı hodnota je nejlepˇs´ı a nejniˇzˇs´ı hodnota je nejhorˇs´ı. D´ıky tomu dostaneme u ´pln´e uspoˇra´d´an´ı vˇsech variant. Metoda TOPSIS pouˇz´ıv´a pro v´ ypoˇcet Euklidovskou metriku, t´ım p´adem dosad´ıme do vzorce v 1. a 4. kroku v´ ypoˇctu p = 2. My si metodu TOPSIS modifikujeme tak, ˇze v n´ı pouˇzijeme kromˇe Euklidovsk´e metriky i metriky jin´e. Pˇri pouˇzit´ı ˇ line´arn´ı metriky dosad´ıme ve vzorc´ıch p = 1. Pro z´ısk´an´ı Cebyˇ sevovy metriky mus´ıme pouˇz´ıt limitn´ı pˇrechod pro p → ∞. Rozd´ıly ve v´ ysledc´ıch pˇri pouˇzit´ı jednotliv´ ych metrik si znovu uk´aˇzeme na pˇr´ıkladu, kde kriteri´aln´ı matice Y a v´ahy krit´eri´ı jsou stejn´e jako v kapitole 2.1. Metodu TOPSIS lze spoˇc´ıtat s pouˇzit´ım 3 r˚ uzn´ ych metrik, my zaˇcneme v´ ypoˇctem s pouˇzit´ım line´arn´ı metriky. Kriteri´aln´ı matice R m´a tvar: 0, 30 0, 13 0, 07 0, 18 0, 17 0, 22 0, 21 0, 17 0, 34 R= 0 0, 17 0, 23 0, 15 0, 17 0 0, 16 0, 17 0, 14 Matici R pron´asob´ıme s v´ahami krit´eri´ı a vznikne matice W : 0, 10 0, 04 0, 02 0, 06 0, 06 0, 07 0, 07 0, 06 0, 11 W = 0 0, 06 0, 08 0, 05 0, 06 0 0, 05 0, 06 0, 05 V posledn´ım kroku vypoˇcteme vzd´alenosti variant od ide´aln´ı varianty, vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty a z tˇechto vzd´alenost´ı pak vypoˇcteme relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı variant od baz´aln´ı varianty. Vˇsechny v´ ysledky tˇechto v´ ypoˇct˚ u jsou shrnuty v Tab. 6. 24
Tabulka 6: TOPSIS - line´arn´ı metrika d+ d− ci l il il a1 0,10 0,12 0,54 a2 0,08 0,15 0,65 a3 0,03 0,20 0,87 a4 0,13 0,09 0,41 a5 0,16 0,06 0,28 a6 0,11 0,11 0,52
V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı Euklidovsk´e metriky maj´ı matice R a 0, 65 0, 32 0, 14 0, 22 0, 11 0, 39 0, 42 0, 44 0, 13 0, 14 0, 45 0, 42 0, 68 0, 15 0, 14 R= , W = 0 0, 14 0 0, 42 0, 48 0, 32 0, 42 0 0, 11 0, 14 0, 35 0, 42 0, 29 0, 12 0, 14
W tvar 0, 05 0, 15 0, 23 0, 16 0 0, 10
Vzd´alenosti variant od ide´aln´ı a baz´aln´ı varianty a relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı jsou uvedeny v Tab. 7. Tabulka 7: TOPSIS d+ ie a1 0,22 a2 0,17 a3 0,06 a4 0,28 a5 0,34 a6 0,23
- Euklidovsk´a metrika d− ci e ie 0,26 0,54 0,31 0,65 0,41 0,87 0,19 0,41 0,14 0,30 0,25 0,53
ˇ Posledn´ı metrikou, kterou pˇri v´ ypoˇctu metody TOPSIS vyuˇzijeme, je Cebyˇ sevova metrika. Matice R a W jsou tvaru 0, 33 1 0, 75 0, 2 0, 6 1 0, 65 0, 2 0, 23 0, 7 1 1 ,W = R= 0 0 1 0, 7 0, 17 0, 5 1 0 0, 18 0, 55 1 0, 43 25
0, 25 0, 33 0, 33 0, 33 0, 33 0, 33
0, 07 0, 22 0, 33 0, 23 0 0, 14
Vypoˇcteme vzd´alenosti variant od ide´aln´ı a baz´aln´ı varianty a relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı. V´ ysledky v´ ypoˇct˚ u jsou uvedeny v Tab. 8. ˇ Tabulka 8: TOPSIS - Cebyˇ sevova metrika a1 a2 a3 a4 a5 a6
d− im 0,4 0,5 0,65 0,32 0,25 0,41
d+ im 0,35 0,25 0,1 0,43 0,5 0,34
cim 0,53 0,67 0,87 0,42 0,33 0,55
V Tab. 9 jsou shrnuty v´ ysledky ve v´ ypoˇctech dle jednotliv´ ych metrik. Tabulka 9: TOPSIS dle jednotliv´ ych metrik a1 a2 a3 a4 a5 a6
cil 0,54 0,65 0,87 0,41 0,28 0,52
cie 0,54 0,65 0,87 0,41 0,30 0,53
cim 0,53 0,67 0,87 0,42 0,33 0,55
V Tab. 10 jsou zn´azornˇeny v´ ysledky dle jednotliv´ ych metrik z hlediska poˇrad´ı variant od nejlepˇs´ı (1.) po nejhorˇs´ı (6.). Z Tab. 10 m˚ uˇzeme vyˇc´ıst, ˇze pˇri pouˇzit´ı r˚ uzn´ ych metrik pˇri v´ ypoˇctu metody TOPSIS jsou v´ ysledky velmi podobn´e, dokonce bychom mohli ˇr´ıci, ˇze se t´emˇeˇr shoduj´ı. Jedin´ y rozd´ıl m˚ uˇzeme vidˇet ve zmˇenˇe poˇrad´ı 3. a 4. nejlepˇs´ı varianty ˇ (variant a1 a a6 ) pˇri pouˇzit´ı Cebyˇ sevovy metriky. To je pravdˇepodobnˇe zp˚ usobeno ˇ jak bl´ızkost´ı v´ ysledn´eho ohodnocen´ı obou variant, tak vlastn´ı koncepc´ı Cebyˇ sevovy metriky, kter´a pˇri v´ ypoˇctu bere v u ´vahu pouze maxim´aln´ı hodnotu v r´amci variant ohodnocen´ ych dle jednotliv´ ych krit´eri´ı, narozd´ıl od metriky line´arn´ı a Euklidovsk´e, v nichˇz se tyto hodnoty sˇc´ıtaj´ı. Obecnˇe metoda TOPSIS odstraˇ nuje 26
Tabulka 10: TOPSIS dle jednotliv´ ych metrik - uspoˇr´ad´an´ı variant a1 a2 a3 a4 a5 a6
cil 3. 2. 1. 5. 6. 4.
cie 3. 2. 1. 5. 6. 4.
cim 4. 2. 1. 5. 6. 3.
rozd´ıl mezi minimalizac´ı vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a maximalizac´ı vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty. To je pochopiteln´e, jelikoˇz metoda TOPSIS je kombinac´ı obou metod zaloˇzen´ ych na mˇeˇren´ı vzd´alenosti.
27
3. Aplikace metod na praktick´ em rozhodovac´ım probl´ emu Nyn´ı si pˇredchoz´ı teorii aplikujeme na praktick´em rozhodovac´ım probl´emu. Rozhodovac´ım probl´emem je v´ ybˇer u ´ˇctu pro studenty poskytovan´eho bankami ˇ p˚ usob´ıc´ımi v CR. C´ılem je vybrat optim´aln´ı studentsk´ y u ´ˇcet, kter´ y bude co moˇzn´a nejv´ıce splˇ novat n´ami zvolen´a krit´eria. Pˇri vytv´aˇren´ı tohoto rozhodovac´ıho probl´emu a pˇri stanovov´an´ı ohodnocen´ı variant podle jednotliv´ ych krit´eri´ı jsem vych´azela z internetov´ ych zdroj˚ u [6] - [21]. Nejprve pop´ıˇsu svou ˇzivotn´ı situaci, jelikoˇz se od n´ı odv´ıj´ı zvolen´a krit´eria a takt´eˇz v´ahy tˇechto krit´eri´ı. Jsem studentka UP v Olomouci, kde m´am pronajat´ y byt, ve kter´em bydl´ım v obdob´ı pracovn´ıho t´ ydne. O v´ıkendech jezd´ım dom˚ u do Horn´ıho Mˇesta, mal´e obce v okresu Brunt´al. Pokud bych si chtˇela zaloˇzit studentsk´ yu ´ˇcet, vybrala bych si banku, kter´a m´a poboˇcku v bl´ızkosti m´eho trval´eho bydliˇstˇe. Na druhou stranu bankomat pro v´ ybˇer hotovosti bych preferovala v Olomouci, protoˇze je tam rozs´ahlejˇs´ı s´ıt’ bankomat˚ u. Krit´eria hodnocen´ı variant jsou: • f1 - dostupnost banky (krit´erium kvantitativn´ı, minimalizaˇcn´ı), • f2 - mˇes´ıˇcn´ı cena u ´ˇctu (krit´erium kvantitativn´ı, minimalizaˇcn´ı), • f3 - dostupnost bankomatu z domova (krit´erium kvantitativn´ı, minimalizaˇcn´ı), • f4 - pr˚ umˇern´a doba v´ ybˇeru z bankomatu (krit´erium kvantitativn´ı, minimalizaˇcn´ı), • f5 - sluˇzby, kter´e jsou k u ´ˇctu nab´ızeny zdarma (krit´erium kvalitativn´ı, maximalizaˇcn´ı), • f6 - reputace banky (krit´erium kvalitativn´ı, maximalizaˇcn´ı). Jelikoˇz zde hodnot´ıme varianty podle v´ıce krit´eri´ı, jedn´a se o v´ıcekriteri´aln´ı rozhodov´an´ı. Rozhodovatelem je zde jedna osoba, konkr´etnˇe autorka t´eto bakal´aˇr28
sk´e pr´ace. Dvˇe posledn´ı jmenovan´e banky sice neposkytuj´ı pˇr´ımo studentsk´e u ´ˇcty, ale my jsme je zahrnuli do souboru variant pro porovn´an´ı v´ yhodnosti jejich u ´ˇct˚ u vzhledem ke studentsk´ ym u ´ˇct˚ um ostatn´ıch bank, jelikoˇz tyto dvˇe banky standardnˇe nab´ız´ı u ´ˇcty bez poplatk˚ u. Variantami jsou, jak jiˇz bylo ˇreˇceno, produkty jednotliv´ ych bank, konkr´etnˇe • a1 - Studentsk´ yu ´ˇcet Raiffeisen Bank ˇ e Spoˇritelny Student • a2 - Osobn´ı u ´ˇcet Cesk´ ˇ • a3 - CSOB Studentsk´e konto Plus • a4 - Gaudeamus 2 nadstandard - Komerˇcn´ı banka • a5 - Genius Student - GE Money Bank • a6 - Studentsk´e Konto UniCredit Bank • a7 - mKONTO - mBank • a8 - Bˇeˇzn´ yu ´ˇcet - Fio banka. Nejprve si bl´ıˇze pop´ıˇseme jednotliv´a krit´eria. Krit´erium dostupnost banky ch´apeme jako vzd´alenost banky v kilometrech od trval´eho bydliˇstˇe rozhodovatele. Krit´erium mˇes´ıˇcn´ı cena u ´ˇctu zahrnuje cenu r˚ uzn´ ych bankovn´ıch transakc´ı, kter´e n´ami zvolen´ y rozhodovatel uskuteˇcn ˇuje v pr˚ ubˇehu jednoho mˇes´ıce, a tak´e mˇes´ıˇcn´ı u ´rok, kter´ y od t´eto souhrnn´e ceny odeˇc´ıt´ame (´ urok je vypoˇcten z pr˚ umˇern´eho z˚ ustatku na u ´ˇctu, kter´ y jsme si stanovili na 3000 Kˇc). Toto krit´erium je podrobnˇeji rozpracov´ano v Tab. 11. Krit´erium dostupnost bankomatu z domova je vyj´adˇren´ım vzd´alenosti bankomatu od bydliˇstˇe rozhodovatele, toto krit´erium je opˇet vyj´adˇreno v kilometrech. Krit´erium pr˚ umˇern´a doba v´ ybˇeru z bankomatu vyjadˇruje vzd´alenost bankomatu od pronajmut´eho bytu rozhodovatele v Olomouci a pr˚ umˇernou dobu, kterou ˇcek´ame na v´ ybˇer z bankomatu v pˇr´ıpadˇe fronty, v minut´ach. Dalˇs´ı krit´erium
29
Tabulka 11: Mˇes´ıˇcn´ı cena u ´ˇctu Poloˇzka, Banka spr´ava (veden´ı) u ´ˇctu spr´ava karty v´ ypis z u ´ˇctu el. pˇr´ım´e bankovnictv´ı 3x v´ ybˇer z vl. ATM 2x pˇr´ıchoz´ı platba 2x pˇr´ıkaz k u ´hradˇe trval´ y pˇr´ıkaz k u ´hradˇe 3x platba kartou u ´rok cena celkem
a1 30 25 0 0 9,9 0 12 6 0 0,03 82,87
a2 0 0 0 0 18 14 4 5 0 0,03 40,97
a3 0 45 0 0 0 0 0 0 0 0,03 44,97
a4 20 0 0 0 0 0 4 6 0 0,5 29,5
a5 0 0 0 0 0 0 8 3 0 0,03 10,97
a6 19 0 0 0 0 0 12 6 0 1,25 35,75
a7 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 27
a8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,25 -0,25
sluˇzby k u ´ˇctu zdarma zohledˇ nuje nejen poˇcet sluˇzeb k u ´ˇctu zdarma, ale tak´e jejich v´ yznamnost pro rozhodovatele. Posledn´ım krit´eriem je reputace banky, kter´a je vyj´adˇren´ım preference rozhodovatele v˚ uˇci jednotliv´ ym bank´am. Nyn´ı si stanov´ıme d˚ uleˇzitost jednotliv´ ych krit´eri´ı pomoc´ı 3 r˚ uzn´ ych metod stanoven´ı vah - Metfesselovy alokace, bodovac´ı metody a Saatyho metody p´arov´ ych srovn´an´ı. Ze vˇseho nejdˇr´ıve stanov´ıme v´ahy metodou Metfesselovy alokace, viz. Tab. 12. Tabulka 12: Stanoven´ı vah metodou Metfesselovy alokace Krit´erium f1 f2 f3 f4 f5 f6
∑6
V´aha 0,13 0,32 0,17 0,24 0,09 0,05
j=1
vj = 1
Nyn´ı stanov´ıme v´ahy bodovac´ı metodou, viz. Tab. 13. Posledn´ı metodou, kterou jsme si pro stanoven´ı vah vybrali, je Saatyho metoda 30
Tabulka 13: Stanoven´ı vah bodovac´ı metodou Krit´erium wj vj f1 5 0,15 f2 10 0,30 f3 6 0,18 f4 7 0,22 f5 3 0,09 f6 2 0,06 ∑6 ∑6 j=1 wj = 33 j=1 vj = 1
p´arov´ ych srovn´an´ı, viz. Tab. 14. Tabulka 14: Stanoven´ı vah Saatyho metodou S f1 f2 f3 f4 f5 f6
f1 1 6 3 6 1/3 1/5
f2 1/6 1 1/5 1/3 1/7 1/9
f3 1/3 5 1 3 1/5 1/7
f4 1/6 3 1/3 1 1/7 1/9
f5 3 7 5 7 1 1/3
f6 5 9 7 9 3 1
∑6 j=1
wj 0,67 3,94 1,18 2,29 0,41 0,23 wj = 8, 72
∑6
vj 0,08 0,44 0,14 0,26 0,05 0,03
j=1
vj = 1
Z tˇechto 3 metod stanoven´ı vah krit´eri´ı chceme vybrat tu metodu, kter´a bude nejl´epe odpov´ıdat preferenc´ım rozhodovatele z hlediska v´ yznamnosti jednotliv´ ych krit´eri´ı. Z tohoto d˚ uvodu budeme pro dalˇs´ı v´ ypoˇcty pouˇz´ıvat v´ahy stanoven´e metodou Metfesselovy alokace, jelikoˇz nejv´ıce odpov´ıdaj´ı m´emu n´azoru na ohodnocen´ı v´ yznamnosti jednotliv´ ych krit´eri´ı. Jak je uvedeno v´ yˇse, nˇekter´a z krit´eri´ı, konkr´etnˇe sluˇzby, kter´e jsou k u ´ˇctu nab´ızeny zdarma, a reputace banky, jsou krit´eria kvalitativn´ı. Tato krit´eria pˇrevedeme na krit´eria kvantitativn´ı prostˇrednictv´ım bodovac´ı metody ohodnocen´ı variant, pˇriˇcemˇz jsme zvolili bodovac´ı ˇsk´alu 1-10, kde 1 znamen´a nejh˚ uˇre ohodnocenou variantu a 10 nejl´epe ohodnocenou variantu. V t´eto f´azi rozdˇel´ıme pokraˇcov´an´ı pˇr´ıkladu na 2 ˇc´asti, jelikoˇz budeme pouˇz´ıvat 2 r˚ uzn´e moˇznosti pro ohodnocen´ı 31
variant podle jednotliv´ ych krit´eri´ı.
3.1. Ohodnocen´ı variant standardizac´ı Ohodnocen´ı vˇsech variant podle jednotliv´ ych krit´eri´ı m˚ uˇzeme zapsat do kriteri´aln´ı matice Y :
31, 2 5, 3 24, 1 5, 1 Y = 21, 6 34, 7 44, 5 31, 6
82, 88 40, 98 44, 98 29, 5 10, 98 35, 75 27 −0, 25
31, 2 5, 3 5, 9 5, 1 5, 2 37, 4 5, 1 36
3 5 3 6 4 1 1 44
3 2 1 5 5 8 6 10
9 1 7 10 8 4 6 2
Jelikoˇz m´ame v souboru krit´eri´ı i krit´eria minimalizaˇcn´ı, pˇrevedeme tato krit´eria na maximalizaˇcn´ı, abychom z´ıskali kriteri´aln´ı matici, v n´ıˇz jsou vˇsechna krit´eria maximalizaˇcn´ı. Vznikne n´am tedy matice, kter´a m´a tvar:
13, 3 39, 2 20, 4 39, 4 22, 9 9, 8 0 12, 9
0 41, 9 37, 9 53, 38 71, 9 47, 13 55, 88 83, 13
6, 2 32, 1 31, 5 32, 3 32, 2 0 32, 3 1, 4
41 39 41 38 40 43 43 0
3 2 1 5 5 8 6 10
9 1 7 10 8 4 6 2
V dalˇs´ım kroku tuto matici standardizujeme, abychom dostali l´epe porovnateln´e hodnoty:
0, 34 0, 99 0, 52 1 0, 58 0, 25 0 0, 33
0 0, 50 0, 46 0, 64 0, 86 0, 57 0, 67 1
0, 19 0, 99 0, 98 1 1 0 1 0, 04
0, 95 0, 91 0, 95 0, 88 0, 93 1 1 0
32
0, 22 0, 11 0 0, 44 0, 44 0, 78 0, 56 1
0, 89 0 0, 67 1 0, 78 0, 33 0, 56 0, 11
Po standardizaci hodnot jiˇz m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat ohodnocen´ı variant metodou minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a metodou maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty. V´ ysledky tˇechto metod jsou uvedeny v Tab. 15.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
Tabulka 15: Minimalizace a maximalizace vzd´alenosti dvl (H, a) dve (H, a) dvm (H, a) dvl (D, a) dve (D, a) dvm (D, a) 0,63 0,74 0,32 0,37 0,53 0,23 0,31 0,45 0,16 0,69 0,76 0,22 0,36 0,47 0,17 0,64 0,71 0,23 0,19 0,27 0,11 0,81 0,83 0,21 0,18 0,25 0,05 0,82 0,84 0,28 0,46 0,57 0,17 0,54 0,64 0,24 0,30 0,44 0,13 0,70 0,77 0,24 0,53 0,70 0,24 0,47 0,65 0,32
V Tab. 16 jsou uvedeny v´ ysledky z Tab. 15 z hlediska uspoˇra´d´an´ı variant. Tabulka 16: Minimalizace a maximalizace vzd´alenosti - uspoˇr´ad´an´ı variant a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
dvl (H, a) 8. 4. 5. 2. 1. 6. 3. 7.
dve (H, a) 8. 4. 5. 2. 1. 6. 3. 7.
dvm (H, a) 8. 4. 6. 2. 1. 5. 3. 7.
dvl (D, a) 8. 4. 5. 2. 1. 6. 3. 7.
dve (D, a) 8. 4. 5. 2. 1. 7. 3. 6.
dvm (D, a) 5.-6. 7. 5.-6. 8. 2. 3.-4. 3.-4. 1.
D´ale provedeme v´ ypoˇcet metodou TOPSIS. Nejdˇr´ıve provedeme v´ ypoˇcet metodou TOPSIS, ve kter´e vyuˇzijeme line´arn´ı metriku. Matice R a W jsou tvaru:
33
0, 08 0, 25 0, 13 0, 25 R= 0, 15 0, 06 0 0, 08
0, 01 0, 03 0, 02 0, 03 W = 0, 02 0, 01 0 0, 01
0 0, 11 0, 1 0, 14 0, 18 0, 12 0, 14 0, 21
0, 04 0, 19 0, 19 0, 19 0, 21 0 0, 19 0, 01
0, 14 0, 14 0, 14 0, 13 0, 14 0, 15 0, 15 0
0, 06 0, 03 0 0, 13 0, 13 0, 22 0, 16 0, 28
0, 21 0 0, 15 0, 23 0, 18 0, 08 0, 13 0, 03
0 0, 03 0, 03 0, 04 0, 06 0, 04 0, 05 0, 07
0 0, 03 0, 03 0, 03 0, 03 0 0, 03 0
0, 03 0, 03 0, 03 0, 03 0, 03 0, 04 0, 04 0
0, 01 0 0 0, 01 0, 01 0, 02 0, 01 0, 03
0, 01 0 0, 01 0, 01 0, 01 0 0, 01 0
Vypoˇcteme vzd´alenosti variant od ide´aln´ı varianty, vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty, z tˇechto vzd´alenost´ı n´aslednˇe vypoˇcteme relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı variant od baz´aln´ı varianty. V´ ysledky v´ ypoˇct˚ u jsou uvedeny v Tab. 17. Tabulka 17: TOPSIS - line´arn´ı metrika d+ d− ci l il il a1 0,14 0,07 0,33 a2 0,07 0,13 0,65 a3 0,08 0,12 0,59 a4 0,04 0,16 0,79 a5 0,04 0,16 0,80 a6 0,1 0,11 0,52 a7 0,07 0,14 0,66 a8 0,1 0,11 0,52
V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı Euklidovsk´e metriky maj´ı matice R a W tvar
34
0, 2 0, 59 0, 31 0, 59 R= 0, 34 0, 15 0 0, 19
0, 03 0, 08 0, 04 0, 08 W = 0, 04 0, 02 0 0, 03
0 0, 27 0, 25 0, 35 0, 47 0, 31 0, 36 0, 54
0, 09 0, 45 0, 44 0, 45 0, 45 0 0, 45 0, 02
0, 38 0, 36 0, 38 0, 35 0, 37 0, 4 0, 4 0
0, 14 0, 07 0 0, 29 0, 29 0, 51 0, 36 0, 65
0, 49 0 0, 37 0, 55 0, 43 0, 18 0, 31 0, 06
0 0, 09 0, 08 0, 11 0, 15 0, 1 0, 12 0, 17
0, 01 0, 08 0, 07 0, 08 0, 08 0 0, 08 0
0, 09 0, 09 0, 09 0, 08 0, 09 0, 1 0, 1 0
0, 01 0, 01 0 0, 03 0, 03 0, 05 0, 03 0, 06
0, 02 0 0, 02 0, 03 0, 02 0, 01 0, 02 0
Vypoˇcteme vzd´alenosti variant od ide´aln´ı a baz´aln´ı varianty a relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı. V´ ysledky jsou uvedeny v Tab. 18. Tabulka 18: TOPSIS d+ ie a1 0,2 a2 0,1 a3 0,12 a4 0,07 a5 0,05 a6 0,12 a7 0,1 a8 0,13
- Euklidovsk´a metrika d− ci e ie 0,1 0,34 0,16 0,61 0,15 0,56 0,18 0,72 0,2 0,79 0,15 0,54 0,17 0,63 0,18 0,58
ˇ Posledn´ı metrikou, kterou pˇri v´ ypoˇctu metody TOPSIS vyuˇzijeme, je Cebyˇ sevova metrika. Matice R a W jsou tvaru
35
0, 34 1 0, 52 1 R= 0, 58 0, 25 0 0, 33
0, 04 0, 13 0, 07 0, 13 W = 0, 08 0, 03 0 0, 04
0 0, 5 0, 46 0, 64 0, 86 0, 57 0, 67 1
0, 19 0, 99 0, 98 1 1 0 1 0, 04
0, 95 0, 91 0, 95 0, 88 0, 93 1 1 0
0, 22 0, 11 0 0, 44 0, 44 0, 78 0, 56 1
0, 89 0 0, 67 1 0, 78 0, 33 0, 56 0, 11
0 0, 16 0, 15 0, 21 0, 28 0, 18 0, 22 0, 32
0, 03 0, 17 0, 17 0, 17 0, 17 0 0, 17 0, 01
0, 23 0, 22 0, 23 0, 21 0, 22 0, 24 0, 24 0
0, 02 0, 01 0 0, 04 0, 04 0, 07 0, 05 0, 09
0, 04 0 0, 03 0, 05 0, 04 0, 02 0, 03 0, 01
Opˇet vypoˇcteme vzd´alenosti variant od ide´aln´ı a baz´aln´ı varianty a relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı. V Tab. 19 jsou uvedeny v´ ysledky pˇredchoz´ıch v´ ypoˇct˚ u. ˇ Tabulka 19: TOPSIS - Cebyˇ sevova metrika a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
d+ im 0,32 0,16 0,17 0,11 0,05 0,17 0,13 0,24
d− im 0,23 0,22 0,23 0,21 0,28 0,24 0,24 0,32
cim 0,42 0,58 0,57 0,65 0,84 0,59 0,65 0,57
Pro pˇrehlednost si uvedeme v´ ysledky ve v´ ypoˇctech dle jednotliv´ ych metrik. Ty jsou shrnuty v Tab. 20. V Tab. 21 jsou shrnuty v´ ysledky jako poˇrad´ı jednotliv´ ych variant.
36
Tabulka 20: TOPSIS dle jednotliv´ ych metrik cil 0,33 0,65 0,59 0,79 0,8 0,52 0,66 0,52
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
cie 0,34 0,61 0,56 0,72 0,79 0,54 0,63 0,58
cim 0,42 0,58 0,57 0,65 0,84 0,59 0,65 0,57
Tabulka 21: TOPSIS dle jednotliv´ ych metrik - uspoˇr´ad´an´ı variant a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
cil 8. 4. 5. 2. 1. 7. 3. 6.
cie 8. 4. 6. 2. 1. 7. 3. 5.
cim 8. 5. 7. 2. 1. 4. 3. 6.
3.2. Ohodnocen´ı variant stupni naplnˇ en´ı d´ılˇ c´ıch c´ıl˚ u Nejprve si opˇet zap´ıˇseme ohodnocen´ı variant dle jednotliv´ ych krit´eri´ı do kriteri´aln´ı matice Y :
31, 2 5, 3 24, 1 5, 1 Y = 21, 6 34, 7 44, 5 31, 6
82, 88 40, 98 44, 98 29, 5 10, 98 35, 75 27 −0, 25
31, 2 5, 3 5, 9 5, 1 5, 2 37, 4 5, 1 36
3 5 3 6 4 1 1 44
3 2 1 5 5 8 6 10
9 1 7 10 8 4 6 2
Stanov´ıme hodnot´ıc´ı ˇsk´alu, kterou potˇrebujeme pro transformaci ohodnocen´ı variant, viz. Tab. 22. 37
Tabulka 22: Hodnot´ıc´ı ˇsk´ala - ohodnocen´ı variant stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u h1j h0j
f1 0 40
f2 -5 80
f3 0 10
f4 0 15
Ohodnocen´ı variant podle krit´eri´ı transformujeme stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u:
0, 22 0, 87 0, 40 0, 87 0, 46 0, 13 0 0, 21
0 0, 46 0, 41 0, 59 0, 81 0, 52 0, 62 0, 94
0 0, 47 0, 41 0, 49 0, 48 0 0, 49 0
0, 8 0, 67 0, 8 0, 6 0, 73 0, 93 0, 93 0
0, 22 0, 11 0 0, 44 0, 44 1 0, 56 1
0, 89 0 0, 67 1 0, 78 0, 33 0, 56 0, 11
Vypoˇcteme ohodnocen´ı variant metodou minimalizace a maximalizace vzd´alenosti. V´ ysledky jsou uvedeny v Tab. 23. V Tab. 24 jsou uvedeny v´ ysledky z Tab. 23 z hlediska uspoˇra´d´an´ı variant.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
Tabulka 23: Minimalizace a maximalizace vzd´alenosti dvl (H, a) dve (H, a) dvm (H, a) dvl (D, a) dve (D, a) dvm (D, a) 0,58 0,66 0,30 0,29 0,45 0,19 0,35 0,46 0,16 0,51 0,56 0,16 0,38 0,47 0,17 0,48 0,53 0,19 0,24 0,31 0,11 0,62 0,64 0,19 0,21 0,26 0,05 0,66 0,67 0,26 0,35 0,44 0,14 0,51 0,63 0,22 0,28 0,4 0,11 0,58 0,65 0,22 0,44 0,59 0,22 0,42 0,62 0,30
D´ale provedeme v´ ypoˇcet metodou TOPSIS. Nejdˇr´ıve provedeme v´ ypoˇcet metodou TOPSIS, ve kter´e vyuˇzijeme line´arn´ı metriku. Matice R a W jsou tvaru:
38
Tabulka 24: Minimalizace a maximalizace vzd´alenosti - uspoˇr´ad´an´ı variant a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
dvl (H, a) 8. 5. 6. 2. 1. 4. 3. 7.
dve (H, a) 8. 5. 6. 2. 1. 4. 3. 7.
0, 07 0, 27 0, 13 0, 28 R= 0, 15 0, 04 0 0, 07
0, 01 0, 04 0, 02 0, 04 W = 0, 02 0, 01 0 0, 01
dvm (H, a) 8. 5. 6. 2. 1. 4. 3. 7.
dvl (D, a) 8. 5. 6. 2. 1. 4. 3. 7.
dve (D, a) 8. 6. 7. 3. 1. 4. 2. 5.
0 0, 11 0, 09 0, 14 0, 19 0, 12 0, 14 0, 22
0 0, 2 0, 18 0, 21 0, 21 0 0, 21 0
0, 15 0, 12 0, 15 0, 11 0, 13 0, 17 0, 17 0
0, 06 0, 03 0 0, 12 0, 12 0, 26 0, 15 0, 26
0, 21 0 0, 15 0, 23 0, 18 0, 08 0, 13 0, 03
0 0, 03 0, 03 0, 04 0, 06 0, 04 0, 05 0, 07
0 0, 03 0, 03 0, 04 0, 03 0 0, 04 0
0, 04 0, 03 0, 04 0, 03 0, 03 0, 04 0, 04 0
0, 01 0 0 0, 01 0, 01 0, 02 0, 01 0, 02
0, 01 0 0, 01 0, 01 0, 01 0 0, 01 0
dvm (D, a) 5.-6. 8. 5.-6. 7. 2. 3.-4. 3.-4. 1.
Stejnˇe jako v pˇredchoz´ı kapitole n´aslednˇe vypoˇcteme vzd´alenosti variant od ide´aln´ı varianty, vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty, z tˇechto vzd´alenost´ı n´aslednˇe vypoˇcteme relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı variant od baz´aln´ı varianty. V´ ysledky tˇechto v´ ypoˇct˚ u jsou uvedeny v Tab. 25. V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı Euklidovsk´e metriky maj´ı matice R a W tvar
39
Tabulka 25: TOPSIS - line´arn´ı metrika d+ d− ci l il il a1 0,16 0,06 0,28 a2 0,08 0,14 0,62 a3 0,1 0,12 0,55 a4 0,05 0,16 0,75 a5 0,05 0,17 0,76 a6 0,1 0,11 0,52 a7 0,08 0,14 0,65 a8 0,11 0,1 0,47
0, 16 0, 61 0, 28 0, 62 R= 0, 33 0, 09 0 0, 15
0, 02 0, 08 0, 04 0, 08 W = 0, 04 0, 01 0 0, 02
0 0, 27 0, 24 0, 35 0, 47 0, 3 0, 36 0, 55
0 0, 45 0, 39 0, 47 0, 46 0 0, 47 0
0, 38 0, 32 0, 38 0, 29 0, 35 0, 45 0, 45 0
0, 13 0, 07 0 0, 27 0, 27 0, 6 0, 33 0, 6
0, 49 0 0, 37 0, 55 0, 43 0, 18 0, 31 0, 06
0 0, 09 0, 08 0, 11 0, 15 0, 1 0, 12 0, 18
0 0, 08 0, 07 0, 08 0, 08 0 0, 08 0
0, 09 0, 08 0, 09 0, 07 0, 08 0, 11 0, 11 0
0, 01 0, 01 0 0, 02 0, 02 0, 05 0, 03 0, 05
0, 02 0 0, 02 0, 03 0, 02 0, 01 0, 02 0
Vzd´alenosti variant od ide´aln´ı a baz´aln´ı varianty a relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı jsou uvedeny v Tab. 26. ˇ Posledn´ı metrikou, kterou pˇri v´ ypoˇctu metody TOPSIS vyuˇzijeme, je Cebyˇ sevova metrika. Matice R a W jsou tvaru
40
Tabulka 26: TOPSIS d+ ie a1 0,21 a2 0,11 a3 0,12 a4 0,08 a5 0,06 a6 0,13 a7 0,1 a8 0,15
0, 25 0, 99 0, 46 1 R= 0, 53 0, 15 0 0, 24
0, 03 0, 13 0, 06 0, 13 W = 0, 07 0, 02 0 0, 03
- Euklidovsk´a metrika d− ci e ie 0,1 0,32 0,16 0,59 0,14 0,54 0,18 0,68 0,2 0,77 0,16 0,54 0,18 0,63 0,19 0,55
0 0 0, 86 0, 22 0, 49 0, 96 0, 71 0, 11 0, 44 0, 84 0, 86 0 0, 63 1 0, 64 0, 44 0, 86 0, 98 0, 79 0, 44 0, 55 0 1 1 0, 66 1 1 0, 56 1 0 0 1
0, 89 0 0, 67 1 0, 78 0, 33 0, 56 0, 11
0 0, 16 0, 14 0, 2 0, 28 0, 18 0, 21 0, 32
0, 04 0 0, 03 0, 05 0, 04 0, 02 0, 03 0, 01
0 0, 16 0, 14 0, 17 0, 17 0 0, 17 0
0, 21 0, 17 0, 21 0, 15 0, 19 0, 24 0, 24 0
0, 02 0, 01 0 0, 04 0, 04 0, 09 0, 05 0, 09
Opˇet vypoˇcteme vzd´alenosti variant od ide´aln´ı a baz´aln´ı varianty a relativn´ı ukazatel vzd´alenost´ı. V´ ysledky jsou zaps´any v Tab. 27. V´ ysledky metody TOPSIS dle jednotliv´ ych metrik jsou shrnuty v Tab. 28. V Tab. 29 jsou shrnuty v´ ysledky jako poˇrad´ı jednotliv´ ych variant.
41
ˇ Tabulka 27: TOPSIS - Cebyˇ sevova metrika a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
d+ im 0,32 0,16 0,18 0,12 0,06 0,17 0,13 0,24
d− im 0,21 0,17 0,21 0,2 0,28 0,24 0,24 0,32
cim 0,39 0,51 0,53 0,63 0,82 0,59 0,65 0,57
Tabulka 28: TOPSIS dle jednotliv´ ych metrik a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
cil 0,28 0,62 0,55 0,75 0,76 0,52 0,65 0,47
cie 0,32 0,59 0,54 0,69 0,77 0,54 0,63 0,55
cim 0,39 0,51 0,53 0,63 0,82 0,59 0,65 0,57
3.3. Porovn´ an´ı jednotliv´ ych pˇ r´ıstup˚ u V t´eto kapitole shrneme a porovn´ame v´ ysledky praktick´eho rozhodovac´ıho probl´emu. V´ ypoˇcet rozhodovac´ıho probl´emu jsme si v poˇc´atku rozdˇelili na dvˇe ˇc´asti podle toho, zda jsme ohodnocen´ı variant dle jednotliv´ ych krit´eri´ı transformovali standardizac´ı nebo stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u. Pˇri porovn´an´ı v´ ysledk˚ u vypoˇcten´ ych na z´akladˇe tˇechto dvou rozd´ıln´ ych transformac´ı ohodnocen´ı variant vid´ıme, ˇze v´ ysledky z hlediska poˇrad´ı variant dle jednotliv´ ych metrik i metod se liˇs´ı. Pˇresnˇeji ˇreˇceno kdyˇz srovn´ame v´ ysledky pˇri pouˇzit´ı standardizace a v´ ysledky pˇri pouˇzit´ı stupˇ n˚ u naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u, zjist´ıme, ˇze v´ ysledn´e uspoˇr´ad´an´ı variant se ani v jednom pˇr´ıpadˇe stoprocentnˇe neshoduje. Napˇr´ıklad varianta a6 pˇri pouˇzit´ı metody minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a line´arn´ı metriky je 42
Tabulka 29: TOPSIS dle jednotliv´ ych metrik - uspoˇr´ad´an´ı variant a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
cil 8. 4. 5. 2. 1. 6. 3. 7.
cie 8. 4. 7. 2. 1. 6. 3. 5.
cim 8. 7. 6. 3. 1. 4. 2. 5.
pˇri ohodnocen´ı variant standardizac´ı hodnocena jako 6. nejlepˇs´ı, zat´ımco u ohodnocen´ı variant stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u je hodnocena jako 4. nejlepˇs´ı. To je zp˚ usobeno rozd´ıln´ ymi vlastnostmi ve v´ ypoˇctu obou transformac´ı ohodnocen´ı variant. Standardizace totiˇz prov´ad´ı ohodnocen´ı variant na z´akladˇe souboru variant, kdeˇzto metoda stupˇ n˚ u naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u prov´ad´ı toto ohodnocen´ı nez´avisle na souboru variant. Nyn´ı zhodnot´ıme jednotliv´e metriky, kter´e jsme v rozhodovac´ım probl´emu pouˇzili. Pokud porovn´av´ame line´arn´ı a Euklidovskou metriku, m˚ uˇzeme pozorovat drobn´e odchylky ve v´ ysledc´ıch dle tˇechto metrik. Tyto odchylky jsou zp˚ usobeny t´ım, ˇze Euklidovsk´a metrika, narozd´ıl od metriky line´arn´ı, klade vˇetˇs´ı d˚ uraz na vyˇsˇs´ı hodnoty odchylek hodnot jednotliv´ ych krit´eri´ı od hodnot ide´aln´ıch nebo baz´aln´ıch, jak jiˇz bylo zjiˇstˇeno v kapitole 2. V´ yˇse zm´ınˇen´e odchylky m˚ uˇzeme pozorovat napˇr´ıklad pˇri pouˇzit´ı line´arn´ı a Euklidovsk´e metriky u maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty a u TOPSIS a to jak pˇri ohodnocen´ı variant stanˇ daridizac´ı, tak pˇri ohodnocen´ı variant stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u. U Cebyˇ sevovy ˇ metriky maj´ı na v´ ysledky vliv pouze maxim´aln´ı odchylky. Tato vlastnost Cebyˇ sevovy metriky m˚ uˇze zp˚ usobit zcela odliˇsn´e v´ ysledky oproti pˇredchoz´ım metrik´am, jak m˚ uˇzeme pozorovat u maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty pˇri ohodnocen´ı variant standardizac´ı. Zde vid´ıme, ˇze poˇrad´ı variant pˇri v´ ypoˇctu line´arn´ı ˇ a Euklidovskou metrikou je podobn´e, avˇsak v´ ysledky vypoˇcten´e Cebyˇ sevovou metrikou se od pˇredchoz´ıch dvou metrik v´ yraznˇe liˇs´ı. 43
Porovn´ame-li metody zaloˇzen´e na mˇeˇren´ı vzd´alenosti, tedy minimalizaci a maximalizaci vzd´alenosti, vid´ıme i zde drobn´e rozd´ıly ve v´ ysledc´ıch. Tyto rozd´ıly potvrzuj´ı, ˇze varianta, kter´e m´a minim´aln´ı vzd´alenost od ide´aln´ı varianta, nemus´ı m´ıt nutnˇe vˇzdy maxim´aln´ı vzd´alenost od baz´aln´ı varianty. Pˇri pouˇzit´ı line´arn´ı metriky u minimalizace a maximalizace vzd´alenosti je vˇsak poˇrad´ı variant u obou metod totoˇzn´e. M˚ uˇzeme zkonstatovat, ˇze ˇc´ım vyˇsˇs´ı je mocnina pouˇzit´a ve vzorci pro v´ ypoˇcet metriky, t´ım v´ıce se liˇs´ı v´ ysledky vypoˇcten´e minimalizac´ı vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a v´ ysledky vypoˇcten´e maximalizac´ı vzd´alenost´ı od baz´aln´ı varianty. Pokud porovn´ame oba pˇr´ıstupy ohodnocen´ı variant, je podle m´eho n´azoru lepˇs´ı ohodnocen´ı stupni naplnˇen´ı d´ılˇc´ıch c´ıl˚ u. U tohoto pˇr´ıstupu ohodnocen´ı variant transformujeme na z´akladˇe bodovac´ı ˇsk´aly, kterou si rozhodovatel s´am stanov´ı dle sv´ ych poˇzadavk˚ u. Pro pouˇzit´ı ve v´ ypoˇctech bych si osobnˇe vybrala line´arn´ı metriku, jelikoˇz neklade d˚ uraz na vyˇsˇs´ı hodnoty odchylek, narozd´ıl od Eukliˇ dovsk´e nebo Cebyˇ sevovy metriky. Podle m´eho n´azoru je nejlepˇs´ı metodou pro v´ ypoˇcet optim´aln´ı varianty metoda TOPSIS, kter´a je dalo by se ˇr´ıci kombinac´ı minimalizace vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty a maximalizace vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty. Tud´ıˇz ruˇs´ı rozd´ıly mezi tˇemito dvˇema metodami zaloˇzen´ ymi na mˇeˇren´ı vzd´alenosti.
44
Z´ avˇ er V pr´aci jsme si pˇredstavili tˇri metody v´ıcekriteri´aln´ıho rozhodov´an´ı zaloˇzen´e na mˇeˇren´ı vzd´alenosti, a to minimalizaci vzd´alenosti od ide´aln´ı varianty, maximalizaci vzd´alenosti od baz´aln´ı varianty a metodu TOPSIS. Na dvou pˇr´ıkladech, jednom jednoduch´em a druh´em sloˇzitˇejˇs´ım, jsme aplikovali tyto metody a pozorovali zmˇeny ve v´ ysledc´ıch. Nav´ıc jsme kaˇzdou z metod propoˇc´ıtali pro tˇri r˚ uzn´e ˇ metriky - line´arn´ı, Euklidovskou a Cebyˇ sevovu metriku. Z proveden´ ych v´ ypoˇct˚ u jsme zjistili, ˇze v´ ysledky z´avis´ı jak na zvolen´e metrice, tak na metodˇe, kterou pro v´ ypoˇcet pouˇzijeme. Hlavn´ım pˇr´ınosem bakal´aˇrsk´e pr´ace je shrnut´ı metod zaloˇzen´ ych na mˇeˇren´ı vzd´alenosti a z´aroveˇ n porovn´an´ı v´ ysledk˚ u pˇri v´ ypoˇctech dle tˇechto metod, d´ıky kter´emu jsme objevili z´avislost mezi v´ ysledky, zvolenou metodou v´ ypoˇctu a metrikou.
45
Literatura [1] Fiala, P., Modely a metody rozhodov´ an´ı, 2. pˇrepracovan´e vyd´an´ı, Vysok´a ˇskola ekonomick´a v Praze, Nakladatelstv´ı Oeconomica, 2008, ISBN 978-80245-1345-4 [2] Ram´ık, J., Analytick´y hierarchick´y proces (AHP) a jeho vyuˇzit´ı v mal´em a stˇredn´ım podnik´an´ı, 1. vyd´an´ı, Slezsk´a univerzita, OPF Karvin´a, 2000, ISBN 80-7248-088-X [3] Fotr, J., a Dˇedina, J., Manaˇzersk´e rozhodov´ an´ı, 1. vyd´an´ı, EKOPRESS s.r.o, Praha, 1997, ISBN 80-901991-7-8 [4] Talaˇsov´a, J., Fuzzy metody v´ıcekriteri´ aln´ıho hodnocen´ı a rozhodov´ an´ı, 1. vyd´an´ı, Univerzita Palack´eho v Olomouci, Olomouc, 2003, ISBN 80-2440614-4 [5] Hwang, C.L., Yoon, K., Multiple attribute decision making: methods and applications: a state-of-the-art survey, 1. vyd´an´ı, Springer-Verlag, Berlin, 1981 [6] Studentsk´ y
u ´ˇcet
Raiffeisen
Bank
[online],
dostupn´e
z:
http://www.rb.cz/osobni-finance/bezne-ucty/ostatni-ucty, [citov´ano 13. 3. 2011] [7] Raiffeisen Bank - Cen´ık produkt˚ u a sluˇzeb pro soukrom´e osoby [online], dostupn´e z: http://www.rb.cz/attachements/pdf/obecne-dokumenty/cenikpi/cenik-produktu-sluzeb-soukrome-os 2010.pdf, [citov´ano 6. 11. 2010] [8] Osobn´ı
u ´ˇcet
ˇ e Cesk´
Spoˇritelny
Student
[online],
dostupn´e
z:
http://www.csas.cz/banka/nav/osobni-finance/osobni-ucet-cs-student/oproduktu-d00013124, [citov´ano 13. 3. 2011] ˇ Student [online], dostupn´e z: [9] Produktov´ y sazebn´ık - Osobn´ı u ´ˇcet CS http://www.csas.cz/banka/content/inet/internet/cs/product loc 2980.xml? 46
navid=cs/lide/nav00001 osobni finance grp 10419 prod 2980 prchr, [citov´ano 6. 11. 2010] ˇ [10] CSOB
Studentsk´e
konto
Plus
[online],
dostupn´e
z:
http://www.csob.cz/cz/Lide/Ucty-a-platby/Stranky/CSOB-Studentskekonto-Plus.aspx, [citov´ano 13. 3. 2011] ˇ [11] CSOB Sazebn´ık pro fyzick´e osoby – obˇcany [online], dostupn´e z: http://www.csob.cz/cz/Csob/Sazebniky/Stranky/Sazebnik-pro-fyzickeosoby-obcany.aspx, [citov´ano 6. 11. 2010] [12] KB
Studentsk´e
konto
G2
[online],
dostupn´e
z:
http://www.kb.cz/cs/lide/mladez-a-studenti/g2.shtml, [citov´ano 13. 3. 2011] [13] Sazebn´ık KB pro obˇcany [online], dostupn´e z: http://www.sazebnikkb.cz/file/cms/cs/sazebniky/kb-sazebnik-1.pdf?20110307, [citov´ano 6. 11. 2010] [14] GE Money Bank Studentsk´ y u ´ˇcet Genius Student [online], dostupn´e z: http://www.gemoney.cz/ge/cz/1/ucty/genius-student, [citov´ano 13. 3. 2011] [15] GE pro
Money fyzick´e
Bank
Sazebn´ık
osoby
–
cen
za
penˇeˇzn´ı a
nepodnikatele
[online],
obchodn´ı sluˇzby dostupn´e
z:
http://www.gemoney.cz/documents/cz/GEMB-sazebnik-fon.pdf, [citov´ano 6. 11. 2010] [16] UniCredit
Bank
Studentsk´e
konto
[online],
dostupn´e
z:
http://www.unicreditbank.cz/cz/obcane/ucty/studentske-konto.html, [citov´ano 13. 3. 2011] [17] UniCredit Bank Sazebn´ık pro obˇcany (fyzick´e osoby nepodnikaj´ıc´ı) [online], dostupn´e z: http://www.unicreditbank.cz/cz/sazebnik/obcane/osobnikonta.html, [citov´ano 6. 11. 2010] 47
[18] mBank mKonto [online], dostupn´e z: http://www.mbank.cz/osobni/mkonto/, [citov´ano 13. 3. 2011] [19] mBank
Sazebn´ık
bankovn´ıch
poplatk˚ u
[online],
dostupn´e
z:
http://www.mbank.cz/pruvodce/sazebnik/, citov´ano [6. 11. 2010] [20] Fio banka Bˇeˇzn´ y u ´ˇcet [online], dostupn´e z: http://www.fio.cz/bankovnisluzby/bankovni-ucty/bezny-bankovni-ucet, [citov´ano 13. 3. 2011] [21] Fio banka Nab´ıdka u ´ˇct˚ u a sazebn´ık poplatk˚ u pro fyzick´e osoby [online], dostupn´e z: http://www.fio.cz/docs/cz/urokove sazby FO.pdf, [citov´ano 13. 3. 2011]
48
