Natura 28. u ´nora 2004
Mikroskopick´ y obraz vesm´ıru Standardn´ı model ˇ c´ astic zpracoval: Jiˇr´ı Svrˇsek
1
podle ˇcl´ anku D.P. Roye
Abstract Jedn´ım z nejvˇetˇs´ıch u ´ spˇech˚ u fyziky 20. stolet´ı je objev velmi tˇesn´eho sepjet´ı mikrokosmu a makrokosmu. Toto sepjet´ı vych´ az´ı ze dvou z´ akladn´ıch princip˚ u kvantov´e mechaniky a teorie relativity (z principu neurˇcitosti a z ekvivalence hmotnosti a energie) a ze standardn´ıho kosmologick´eho modelu velk´eho tˇresku. Jak pronik´ ame st´ ale hloubˇeji do mikrokosmu, objevujeme nov´e stavy hmoty s vyˇsˇs´ı hmotnost´ı a energi´ı, kter´e existovaly kr´ atce po vzniku vesm´ıru. Proto objevy atomov´eho j´ adra, nukleon˚ u, kvark˚ u a gluon˚ u a koneˇcnˇe intermedi´ aln´ıch boson˚ uWaZ umoˇznily v laboratoˇri vytvoˇrit formy hmoty, kter´e existovaly v poˇca ´tc´ıch vesm´ıru. D´ıky tomu m˚ uˇzeme zmapovat historii vesm´ıru aˇz do prvn´ıch nanosekund po jeho vzniku. Koneˇcnˇe objev Higgsova bosonu a supersymetrick´ ych ˇca ´stic v budoucnosti pom˚ uˇze vyˇreˇsit z´ ahadu neviditeln´e hmoty, kter´ a ve vesm´ıru existuje dodnes jako poz˚ ustatek jeho d´ avn´e historie. Tento text byl zpracov´ an v textov´em procesu LATEX. Slouˇz´ı mimo jin´e jako uk´ azka zp˚ usobu zpracov´ an´ı matematick´ ych a fyzik´ aln´ıch text˚ u, kter´e ˇcasopis Natura Plus nab´ıdne sv´ ym ˇcten´ aˇr˚ um ve form´ atu PDF (podrobnˇeji viz knihovna: Matematika, Fyzika).
1 e-mail:
[email protected], WWW: http://natura.baf.cz
References [1] D.P. Roy: Basic Constituents of the Visible and Invisible Matter – A Microscopic View of the Universe Department of Theoretical Physics. Tata Institute of Fundamental Research. Homi Bhabha Road, Mumbai, India. 10 Jul 2000, physics/0007025, e-Print archive. Los Alamos National Laboratory. US National Science Foundation. http://xxx.lanl.gov/abs/physics/0007025 [2] Kulh´ anek, Petr: Teoretick´ a mechanika. Studijn´ı text pro doktorandsk´e studium. FEL ˇ CVUT, Praha 2001. http://www.aldebaran.cz [3] Ivan Avramidi: Notes on Lie Groups. New Mexico Tech. January 2000. [4] Andrew Baker: An undergraduate approach to Lie theory. Glasgow 12/11/1999 [5] PHYSICS NEWS UPDATE. The American Institute of Physics Bulletin of Physics News. Number 668. January 9, 2004 by Phillip F. Schewe, Ben Stein and James Riordon.
1
1
´ Uvodem
Naˇse pˇredstava z´akladn´ıch sloˇzek hmoty proˇsla bˇehem 20. stolet´ı dvˇema revoluˇcn´ımi zmˇenami. K prvn´ı doˇslo v roce 1911, kdyˇz Ernst Rutherford ostˇreloval α ˇc´asticemi (j´adry atomu h´elia) tenkou zlatou f´olii. Zat´ımco vˇetˇsina α ˇc´astic f´oli´ı proˇsla bez pozorovateln´e zmˇeny, nˇekter´e ˇc´astice se od sv´e p˚ uvodn´ı dr´ahy odch´ ylily o znaˇcn´ yu ´hel. V´ ysledky tohoto experimentu naznaˇcovaly, ˇze atomy obsahuj´ı mal´e pevn´e j´adro, kolem nˇehoˇz se nach´az´ı oblak elektron˚ u. Pozdˇejˇs´ı experimenty uk´azaly, ˇze atomov´e j´adro se skl´ad´a z proton˚ u a neutron˚ u. V roce 1968 ve Stˇredisku line´arn´ıho urychlovaˇce ve Stanfordu (SLAC, Stanford Linear Accelerator Centre) byl proveden experiment, kter´ y byl v roce 1990 ocenˇen Nobelovou cenou za fyziku. V´ yzkumn´ıci ostˇrelovali pomoc´ı elektron˚ u protony. V podstatˇe opakovali Rutherford˚ uv experiment, avˇsak s mnohem vyˇsˇs´ımi energiemi. V´ ysledky naznaˇcovaly, ˇze proton uvnitˇr obsahuje tˇri kompaktn´ı objekty, pozdˇeji nazvan´e kvarky. ˇ tˇri kvarky (baryDnes jiˇz z ˇrady experiment˚ u v´ıme, ˇze jadern´e ˇc´astice (hadrony) obsahuj´ı bud 2 ony) nebo dva kvarky (mesony). Z´asadn´ım rozd´ılem mezi obˇema experimenty jsou pouˇzit´e energie. Rozmˇer atomu je typicky asi 10−10 m, zat´ımco rozmˇer protonu je asi 10−15 m (1 femtometr). Ze zn´am´eho principu neurˇcitosti kvantov´e mechaniky ∆E · ∆x > ¯hc ≈ 0, 2 GeV · fm (1) vypl´ yv´a, ˇze ˇc´ım menˇs´ı rozmˇery studujeme, t´ım vˇetˇs´ı energie potˇrebujeme. Proto studium nitra protonu (x ¿ 1 fm) vyˇzaduje energii paprsku E À 1 GeV (109 eV), kter´a odpov´ıd´a pr˚ uchodu elektronu potenci´alem miliardy volt˚ u. Teprve technologie v´ ykonn´ ych urychlovaˇc˚ u umoˇznila pˇreklenout mezeru mezi obˇema experimenty. V kvantov´e fyzice se obvykle pouˇz´ıvaj´ı tzv. pˇrirozen´e jednotky, kdy pokl´ad´ame ¯h = c = 1. Hmotnost ˇc´astice pak odpov´ıd´a jej´ı zbytkov´e energii podle vztahu mc2 . Jednotka GeV se uˇz´ıv´a jako z´akladn´ı jednotka hmotnosti, energie a hybnosti. Hmotnost protonu je pˇribliˇznˇe 1 GeV.
2
Standardn´ı model ˇ c´ astic
Podle naˇseho souˇcasn´eho ch´ap´an´ı jsou z´akladn´ımi sloˇzkami hmoty ˇc´astice s poloˇc´ıseln´ ym spinem (v jednotk´ach h ¯ , kter´e se naz´ yvaj´ı fermiony. Mezi fermiony patˇr´ı tˇri dvojice lepton˚ u (elektron e, mion µ, tauon τ , elektronov´e neutrino νe , mionov´e neutrino νµ a tauonov´e neutrino ντ ) a tˇri dvojice kvark˚ u (dvojice ”up” a ”down”, dvojice ”charm” a ”strange” a dvojice ”top” a ”bottom”) 3 νe e u d
νµ µ c s
ντ τ (2) t(175) b(5)
0 −1 2/3 −1/3
V posledn´ım sloupci tabulky je uveden elektrick´ y n´aboj. Ke kaˇzd´e ˇc´astici existuje antiˇc´astice s opaˇcn´ ym n´abojem. Hmotnosti nejtˇeˇzˇs´ıch ˇc´astic jsou uvedeny v z´avork´ach v jednotk´ach GeV. 2 Baryony se d´ ale rozdˇ eluj´ı na hyperony a nukleony, mezi nˇ eˇ z patˇr´ı proton a neutron. Mesony se d´ ale rozdˇ eluj´ı na kaony a piony. Leptony (mezi nˇ eˇ z patˇr´ı elektron, mion a tauon a odpov´ıdaj´ıc´ı neutrina) nejsou sloˇ zeny z kvark˚ u. 3 up = nahoru, dowm = dol˚ u, charm = p˚ uvabn´ y, strange = podivn´ y, top = svrchn´ı, bottom = spodn´ı
2
Neceloˇc´ıseln´ y elektrick´ y n´aboj kvark˚ u m´a v´ yznam pro jejich slabou jadernou interakci. Kromˇe eleky n´ aboj. Barevn´ trick´eho n´aboje kvarky nesou tak´e nov´ y typ n´aboje, oznaˇcovan´ y jako barevn´ y n´aboj m´a v´ yznam pro jejich silnou jadernou interakci, kter´a kvarky udrˇzuje uvnitˇr ˇc´astic. Mezi ˇca´sticemi existuj´ı ˇctyˇri silov´e interakce: siln´a, elektromagnetick´a, slab´a a gravitaˇcn´ı. Kromˇe gravitaˇcn´ı interakce, kter´a je pˇr´ıliˇs slab´a, aby mˇela v mikrosvˇetˇe nˇejak´e pozorovateln´e projevy, jsou ostatn´ı interakce kalibraˇcn´ımi interakcemi. Jsou zprostˇredkov´any vektorov´ ymi ˇc´asticemi se spinem 1, kter´e se naz´ yvaj´ı kalibraˇ cn´ı bosony. Tyto interakce jsou plnˇe pops´any pˇr´ısluˇsn´ ymi kalibraˇcn´ımi grupami. 4 interakce nosiˇ c kalibraˇ cn´ı grupa
siln´a g SU (3)
elmag. γ U (1)
slab´a W ±, Z 0 SU (2)
Elektromagnetick´a interakce mezi elektricky nabit´ ymi ˇc´asticemi (kvarky a elektricky nabit´ ymi leptony) je zprostˇredkov´ana v´ ymˇenou nehmotn´ ych foton˚ u. Vazba foton˚ u je u ´mˇern´a elektrick´emu n´aboji. Vazebn´a konstanta (konstanta jemn´e struktury) se oznaˇcuje α. Siln´a interakce mezi kvarky je zprostˇredkov´ana v´ ymˇenou nehmotn´ ych vektorov´ ych boson˚ u naz´ yvan´ ych gluony. Vazba gluon˚ u je u ´mˇern´a barevn´emu n´aboji. Vazebn´a konstanta siln´e interakce se oznaˇcuje αS . Sjednocen´a teorie elektromagnetick´e a slab´e jadern´e interakce se naz´ yv´a kvantov´ a elektrodynamika QED. Jej´ımi autory jsou Richard P. Feynman, Julian Schwinger a Sin-Itiro Tomanaga, kteˇr´ı v roce 1965 obdrˇzeli Nobelovu cenu za fyziku. Teorie siln´e jadern´e interakce se naz´ yv´a kvantov´ a chromodynamika QCD. Hlavn´ı rozd´ıl mezi QCD a QED spoˇc´ıv´a v neabelovsk´e podstatˇe kalibraˇcn´ı grupy SU (3). Proto na rozd´ıl od elektrick´eho n´aboje barevn´ y n´aboj m˚ uˇze v abstraktn´ım prostoru zaujmout tˇri r˚ uzn´e smˇery. Tyto smˇery se oznaˇcuj´ı jako ˇcerven´ a, modr´ a a ˇzlut´ a. Vz´ajemn´ ymi kombinacemi tˇechto barevn´ ych n´aboj˚ u (tˇri kvarky r˚ uzn´ ych barev v baryonech nebo dva kvarky s barvou a antibarvou v mesonech) se barevn´ y n´aboj zruˇs´ı a v´ ysledn´a ˇc´astice m´a neutr´aln´ı barevn´ y n´aboj, podobnˇe jako atomy jsou elektricky neutr´aln´ı. Dalˇs´ım podstatn´ ym d˚ usledkem neabelovsk´e povahy QCD je skuteˇcnost, ˇze samotn´e gluony nesou barevn´ y n´aboj. Na rozd´ıl od foton˚ u, kter´e nenesou ˇz´adn´ y elektrick´ y n´aboj, proto mohou samointeragovat. Kv˚ uli t´eto samointerakci siloˇc´ary pole mezi dvˇema barevn´ ymi n´aboji jsou stlaˇceny do tenk´e trubice na rozd´ıl od siloˇcar pole dvou elektrick´ ych n´aboj˚ u. Poˇcet zachycen´ ych siloˇcar barevn´ ych n´aboj˚ u je konstantn´ı a v´ ysledn´a s´ıla nez´avis´ı na vzd´alenosti. Potenci´al t´eto s´ıly proto vzr˚ ust´ a line´arnˇe se vzd´alenost´ı VS = αS r (2) Kvarky jsou proto uvˇeznˇeny uvnitˇr hadron˚ u a k jejich oddˇelen´ı za norm´aln´ıch podm´ınek je tˇreba nekoneˇcnˇe mnoho energie. Siloˇc´ary pole elektrick´ ych n´aboj˚ u jsou isotropn´ı. Poˇcet zachycen´ ych siloˇcar kles´a se vzd´alenost´ı a v´ ysledn´a s´ıla kles´a s druhou mocninou vzd´alenosti n´aboj˚ u. Potenci´al t´eto s´ıly kles´a podle vztahu α VE = (3) r Slab´a jadern´a interakce je zprostˇredkov´ana v´ ymˇenou hmotn´ ych vektorov´ ych ˇc´astic, tedy kalibraˇcn´ıch boson˚ u W + , W − a Z 0 . Slab´a jadern´a interakce prostˇrednictv´ım boson˚ u W + , W − p˚ usob´ı na vˇsechny ˇ astice W + , W − patˇr´ı k dubletov´e kvarky a leptony s vazebnou konstantou, kter´a se oznaˇcuje αW . C´ representaci grupy SU (2) a proto nesou stejn´ y kalibraˇcn´ı n´aboj. Protoˇze vektorov´e bosony slab´e 4 Podrobnˇ eji viz Pˇr´ılohy (Kalibraˇ cn´ı invariance. Lieovy grupy a maticov´ e grupy. Princip nejmenˇs´ı akce. Vˇ ety Noetherov´ e)
3
interakce maj´ı nenulovou hmotnost MW , je slab´a jadern´a interakce omezena vzd´alenost´ı. Potenci´al t´eto s´ıly kles´a podle vztahu αW −rMW VW = e (4) r Tento vztah lze snadno vysvˇetlit pomoc´ı Heisenbergova principu neurˇcitosti (1). V´ ymˇena hmotn´eho bosonu W ± totiˇz pˇredstavuje v´ ymˇenu energie ∆E = MW c2 , coˇz odpov´ıd´a dosahu ∆x = ¯h/MW c. Elektromagnetickou interakci a slabou jadernou interakci se podaˇrilo u ´spˇeˇsnˇe sjednotit do elektroslab´e teorie s kalibraˇcn´ı grupou U (1) × SU (2). Autoˇri elektroslab´e teorie Sheldon Glashow, Abdus Salam a Steven Weinberg obdrˇzeli v roce 1979 za tuto pr´aci Nobelovu cenu za fyziku. Tato teorie pˇredpovˇedˇela hmotnosti kalibraˇcn´ıch boson˚ u W ± a Z 0 z relativn´ıho pomˇeru intenzit elektromagnetick´e a slab´e interakce: MW = 80 GeV
3
MZ = 91 GeV
(5)
Objevy fundament´ aln´ıch ˇ c´ astic
Jak bylo uvedeno v´ yˇse, kvarky ”up” a ”down”, z nichˇz jsou sloˇzeny proton a neutron, a nejlehˇc´ı lepton elektron tvoˇr´ı veˇskerou viditelnou hmotu ve vesm´ıru. Tˇeˇzˇs´ı kvarky a tˇeˇzˇs´ı elektricky nabit´e leptony (miony a tauony) se rozpadaj´ı na lehˇc´ı ˇc´astice slabou jadernou interakc´ı, podobnˇe jako se j´adra atom˚ u rozpadaj´ı radioaktivn´ım rozpadem β. Proto tyto ˇc´astice nejsou ve vesm´ıru bˇeˇznˇe pozorov´any. Tyto ˇc´astice vˇsak lze vytvoˇrit v laboratoˇri nebo v experimentech s kosmick´ ym z´aˇren´ım. Mion a podivn´ y kvark ”strange” ve formˇe mesonu K (kaonu) byly objeveny v experimentech s kosmick´ ym z´aˇren´ım jiˇz ve 40. letech 20. stolet´ı. Prakticky nehmotn´a a stabiln´ı neutrina nebylo snadn´e objevit, protoˇze s hmotou interaguj´ı jen slabˇe. Elektronov´e neutrino νe objevil v roce 1956 v experimentech s atomov´ ym reaktorem v Los Alamos Frederic Reines, kter´ y za tento objev v roce 1995 obdrˇzel Nobelovu cenu za fyziku. Mionov´e neutrino νµ objevili v roce 1962 v protonov´em synchrotronu v Brookhavenu Leon Max Lederman, Melvin Schwartz, Jack Steinberger. Lederman a Steinberger za tento objev v roce 1988 obdrˇzeli Nobelovu cenu za fyziku. K prvn´ımu pozorov´an´ı mionov´eho neutrina v kosmick´em z´aˇren´ı doˇslo v roce 1965. D´ıky pokroku technologie sr´aˇzkov´ ych urychlovaˇc˚ u elektron˚ u s positrony a proton˚ u s antiprotony doˇslo k objevu dalˇs´ıch ˇc´astic. Pomoc´ı sr´aˇzek elektron˚ u e− s positrony e+ byl v roce 1974 objeven p˚ uvabn´ y kvark ”charm”, v roce 1975 lepton τ (tauon), v roce 1977 kvark ”botton” a v roce 1979 gluon. Pomoc´ı sr´aˇzek proton˚ u p+ s antiprotony p− v roce 1983 byly objeveny bosony W ± a Z 0 a v roce 1995 kvark ”top”. Za objev p˚ uvabn´eho kvarku ”charm” (pˇresnˇeji za objev resonanˇcn´ı ˇc´astice J/ψ) obdrˇzeli v roce 1976 Burton Richter a Samual Chao Chung Ting Nobelovu cenu za fyziku. Martin Pearl obdrˇzel Nobelovu cenu za objev tauonu a Carlo Rubbia v roce 1984 obdrˇzel Nobelovu cenu za objev boson˚ u W ± a Z 0. Typick´a doba ˇzivota tˇechto ˇc´astic je v ˇr´adu pikosekund (10−12 sekundy), coˇz pˇri relativistick´ ych energi´ıch odpov´ıd´a dr´aze tˇechto ˇc´astic v d´elce jen nˇekolika stovek mikrometr˚ u. D´ıky vysok´emu rozliˇsen´ı kˇrem´ıkov´ ych detektor˚ u lze tyto ˇc´astice detekovat jeˇstˇe pˇred jejich rozpadem. Velmi hmotn´e bosony W ± a Z 0 se rozpadaj´ı t´emˇeˇr bezprostˇrednˇe po sv´em vzniku. Tyto ˇc´astice byly objeveny jen d´ıky nezamˇeniteln´ ym stop´am jejich rozpadu. Podobnˇe tomu bylo u kvarku ”top”. Vˇsechny z´akladn´ı sloˇzky hmoty a nositele silov´ ych interakc´ı s v´ yjimkou gravitonu (nositele gravitaˇcn´ı interakce) tedy jiˇz byly detekov´any. Dosud vˇsak existuje z´asadn´ı probl´em hmotnosti. Jak bosony W ± a Z 0 slab´e jadern´e interakce (a s nimi tak´e hmotov´e fermiony) z´ıskaly hmotnost bez naruˇsen´ı kalibraˇcn´ı symetrie Lagrangi´anu?
4
4
Probl´ em hmotnosti (Higgs˚ uv boson)
V´ yznamnou vlastnost´ı kalibraˇcn´ı teorie je skuteˇcnost, ˇze dynamika vˇsech interakc´ı je zcela urˇcena symetri´ı (invarianc´ı) Lagrangi´anu pˇri urˇcit´e kalibraˇcn´ı transformaci, tedy rotaci v urˇcit´em abstraktn´ım prostoru definovan´em pˇr´ısluˇsnou kalibraˇcn´ı grupou. 5 Situace se podob´a rotaˇcn´ı symetrii (invarianci) Lagrangi´anu v bˇeˇzn´em prostoru, kter´a vede k z´akonu zachov´an´ı u ´hlov´eho momentu. V naˇsem pˇr´ıpadˇe vˇsak pˇredpokl´ad´ame, ˇze se rotaˇcn´ı u ´hly mˇen´ı bod od bodu (jsou lokalizov´any). Zm´ınˇen´a invariance Lagrangi´anu pˇredpov´ıd´a nejen zachov´an´ı kalibraˇcn´ıch n´aboj˚ u, ale tak´e pˇr´ıtomnost nehmotn´ ych vektorov´ ych ˇc´astic (kalibraˇcn´ıch boson˚ u) v souvislosti s jejich vazbou s hmotov´ ymi fermiony. Avˇsak hmotnostn´ı ˇclen kalibraˇcn´ıch boson˚ u lze ch´apat jako pˇr´ıˇcinu naruˇsen´ı kalibraˇcn´ı symetrie Lagrangi´anu. Na druh´e stranˇe hmotnosti skal´arn´ıch ˇc´astic (se spinem 0) jsou v˚ uˇci kalibraˇcn´ı transformaci invariantn´ı. Proto si lze pˇredstavit, ˇze kalibraˇcn´ı bosony W ± a Z 0 slab´e jadern´e interakce a hmotov´e fermiony z´ıskaly hmotnost absorbc´ı skal´arn´ıch ˇc´astic. To je zn´am´ y Higgs˚ uv mechanismus. Pˇredpokl´ad´a se existence skal´arn´ı ˇc´astice se z´apornou druhou mocninou hmotnosti (tj. s imagin´arn´ı hmotnost´ı). Tato ˇc´astice vede ke spont´ann´ımu naruˇsen´ı symetrie, tedy z´akladn´ı stav energie nen´ı invariantn´ı v˚ uˇci kalibraˇcn´ı transformaci. V´ ysledkem je, ˇze kalibraˇcn´ı bosony W ± a Z 0 mohou z´ıskat hmotnost. Vznik´a fyzick´a skal´arn´ı ˇc´astice s re´alnou hmotnost´ı srovnatelnou s hmotnost´ı boson˚ u W ± a Z 0 . Tato ˇc´astice se naz´ yv´a Higgs˚ uv boson, jej´ıˇz detekce by potvrdila tento mechanismus vzniku hmotnosti kalibraˇcn´ıch boson˚ u a hmotov´ ych fermionov´ ych ˇc´astic. Pˇres spont´ann´ı naruˇsen´ı symetrie vˇsak m˚ uˇze existovat konsistentn´ı kalibraˇcn´ı teorie elektroslab´e interakce, protoˇze Lagrangi´an kalibraˇcn´ı symetrii zachov´av´a, jak uk´azali Gerardus t’Hooft z Univerzity v Utrechtu a Martinus Veltman p˚ uvodnˇe z Univerzity v Michiganu, kteˇr´ı obdrˇzeli v roce 1999 Nobelovu cenu. Ve fyzice existuje ˇrada pˇr´ıklad˚ u spont´ann´ıho naruˇsen´ı symetrie. Jeden z nejzn´amˇejˇs´ıch se t´ yk´a magnetismu. Pˇri vysok´ ych teplot´ach jsou spiny elektron˚ u ve ferromagnetick´e l´atce orientov´any n´ahodnˇe. Pˇri poklesu teploty pod kritickou mez se vˇsak spiny elektron˚ u spoleˇcnˇe orientuj´ı do urˇcit´eho smˇeru, protoˇze tato orientace odpov´ıd´a niˇzˇs´ımu stavu energie (z´akladn´ımu stavu). Lagrangi´an sice dodrˇzuje rotaˇcn´ı symetrii, avˇsak z´akladn´ı stav energie nikoliv. Stejn´a situace se objevuje v Higgsovˇe mechanismu s t´ım rozd´ılem, ˇze rotace se uvaˇzuje v jist´em abstraktn´ım (f´azov´em) prostoru.
5
Standardn´ı kosmologick´ y model
Asi 10−9 sekundy po velk´em tˇresku, kdyˇz polomˇer vesm´ıru (ct) byl jen asi 30 cm, doˇslo k prvn´ımu f´ azov´ emu pˇ rechodu (QED), podobn´emu tomu, k nˇemuˇz doch´az´ı ve ferromagnetick´e l´atce pˇri jej´ım ochlazen´ı pod kritickou teplotu. Vesm´ır byl v t´e dobˇe velmi hork´ y a suprahust´ y s teplotou asi 100 GeV. Efektivn´ı hmotnost ˇc´astic z´avisela pouze na vlastnostech prostˇred´ı. Pˇri ochlazen´ı vesm´ıru pod kritickou teplotu druh´a mocnina efektivn´ı hmotnosti skal´arn´ıch ˇc´astic zaˇcala b´ yt z´aporn´a, coˇz vedlo ke spont´ann´ımu naruˇsen´ı elektroslab´e symetrie. V tomto okamˇziku kalibraˇcn´ı bosony W ± a Z 0 , leptony a kvarky z´ıskaly hmotnost. Teplota vesm´ıru rychle klesala s druhou mocninou st´aˇr´ı vesm´ıru. Kdyˇz bylo st´aˇr´ı vesm´ıru asi 10−6 sekundy a jeho polomˇer byl nˇekolik kilometr˚ u, teplota vesm´ıru klesla pod 1 GeV a doˇslo k rozpadu vˇsech kalibraˇcn´ıch boson˚ u W ± a Z 0 a tˇeˇzk´ ych kvark˚ u a lepton˚ u na lehˇc´ı ˇc´astice. V tomto okamˇziku doˇslo ke druh´ emu f´ azov´ emu pˇ rechodu (QCD), pˇri nˇemˇz byly uvˇeznˇeny lehˇc´ı kvarky ”up” a ”down” v hadronech (baryonech jako jsou proton a neutron a v mesonech). Sr´aˇzky tˇeˇzk´ ych iont˚ u ve sr´aˇzkov´ ych urychlovaˇc´ıch slouˇz´ı k vytvoˇren´ı stavu hmoty pˇred t´ımto f´azov´ ym pˇrechodem. 5 Podrobnˇ eji
viz Pˇr´ılohy (Kalibraˇ cn´ı invariance. Princip nejmenˇs´ı akce. Vˇ ety Noetherov´ e)
5
Kdyˇz bylo st´aˇr´ı vesm´ıru nˇekolik minut (102 sekund), teplota vesm´ıru klesla na nˇekolik MeV, coˇz je typick´a vazebn´a energie atomov´ ych jader. V tomto obdob´ı zaˇcala vznikat j´adra atom˚ u vod´ıku, h´elia a dalˇs´ıch lehk´ ych prvk˚ u. Asi 105 let po velk´em tˇresku teplota poklesla na nˇekolik eV , coˇz je typick´a vazebn´a energie atom˚ u. V tomto obdob´ı doˇslo k zachycen´ı elektron˚ u atomov´ ymi j´adry a ke vzniku neutr´aln´ıch atom˚ u. Proto se hmota oddˇelila od z´aˇren´ı a vesm´ır se stal pr˚ uhledn´ ym. Na hmotov´e ˇc´ astice p˚ usobila pˇritaˇzliv´a gravitaˇcn´ı interakce a zaˇcaly vznikat prvn´ı hvˇezdy, hvˇezdokupy a galaxie. St´aˇr´ı vesm´ıru se odhaduje na asi 15 miliard let a jeho teplota je asi 2, 7 Kelvin˚ u (1 eV = 12000 K). Podle nov´e studie vˇsak velk´e galaxie vznikly pˇrekvapivˇe kr´atce po velk´em tˇresku. Asi bychom oˇcek´avali, ˇze poˇcet nejvzd´alenˇejˇs´ıch a nejdˇr´ıve vznikl´ ych galaxi´ı bude v souladu s mnoˇzstv´ım menˇs´ıch, teplejˇs´ıch a namodralejˇs´ıch galaxi´ı v d˚ usledku vz´ajemn´ ych sr´aˇzek a spl´ yv´an´ı. Avˇsak pozorov´an´ı proveden´a zrcadlov´ ym dalekohledem o pr˚ umˇeru 8 metr˚ u v observatoˇri Gemini na Havajsk´ ych ostrovech naznaˇcuj´ı, ˇze relativnˇe kr´atce po velk´em tˇresku byl vesm´ır vyplnˇen velk´ ymi naˇcervenal´ ymi a v podstatˇe eliptick´ ymi galaxiemi. Pozorov´an´ı potvrzuj´ı 3 miliardy let star´e galaxie ve vesm´ıru jen 4 miliardy let po velk´em tˇresku. Na vznik velk´ ych eliptick´ ych galaxi´ı proto bylo velmi m´alo ˇcasu. Nav´ıc pozorov´an´ı potvrzuj´ı, ˇze v tˇechto galaxi´ıch se nach´az´ı znaˇcn´e mnoˇzstv´ı tˇeˇzˇs´ıch atom˚ u, kter´e vznikaj´ı v nitrech hvˇezd termonukle´arn´ımi reakcemi a do mezihvˇezdn´eho prostoru se dost´avaj´ı aˇz erupcemi supernov. Pozorov´an´ı tedy vyvol´avaj´ı znepokojivou kosmologickou ot´azku: jak mohlo b´ yt ve vesm´ıru tolik star´ ych hvˇezd tak brzy po jeho vzniku? [5] Velkorozmˇern´e struktury v mlad´em vesm´ıru jsou tak´e vˇetˇs´ı, neˇz se p˚ uvodnˇe oˇcek´avalo. Podobnˇe jako pˇr´ıtomnost pˇrekvapivˇe brzy vyspˇel´ ych galaxi´ı s rud´ ym posuvem kolem 2,00 tento objev naznaˇcuje, ˇze standardn´ı kosmologick´ y model (pˇrinejmenˇs´ım ˇc´ast t´ ykaj´ıc´ı se vzniku galaxi´ı) bude vyˇzadovat revizi. Bylo pozorov´ano 37 galaxi´ı s rud´ ym posuvem t´emˇeˇr 2,38 rozprostˇren´ ych v oblasti o pr˚ umˇeru 300 mili´on˚ u svˇeteln´ ych let. Dosud jde o nejvˇetˇs´ı pozorovanou strukturu ve vzd´alen´em vesm´ıru. Podle model˚ u, kter´e simuluj´ı, jak hork´a hmota v mlad´em vesm´ıru vytv´aˇrela s´ıˇt shluk˚ ua filament˚ u (vl´aken), takov´a velk´a struktura nemohla vzniknout tak rychle. S pravdˇepodobnost´ı 0,999 lze tvrdit, ˇze pozorovan´ y vzorek jasn´ ych galaxi´ı (slabˇs´ı galaxie nebyly pozorov´any) tvoˇr´ı skuteˇcnˇe koherentn´ı strukturu a nen´ı pouze n´ahodn´ ym shlukem. K tomuto v´ ysledku se dospˇelo pozorov´an´ım nikoliv urˇcit´eho uspoˇr´ad´an´ı galaxi´ı, ale pozorov´an´ım velikosti pr´azdn´eho prostoru mezi galaxiemi. [5]
6
Probl´ em hierarchie (supersymetrie)
S vysvˇetlen´ım hmotnosti ˇc´astic Higgsov´ ym mechanismem se objevuje dalˇs´ı probl´em, oznaˇcovan´ y jako probl´em hierarchie. Jak se udrˇzuje hmotnost Higgsova bosonu v rozsahu hmotnost´ı kalibraˇcn´ıch boson˚ u W ± a Z 0 , tedy v ˇr´adu nˇekolika stovek GeV? Hmotnost t´eto skal´arn´ı ˇc´astice m´a kvadraticky divergentn´ı kvantovou korekci na rozd´ıl od hmotnost´ı kalibraˇcn´ıch boson˚ u, protoˇze nen´ı zachov´av´ana ˇz´adnou symetri´ı (invarianc´ı). Kv˚ uli Heisenbergovu principu neurˇcitosti vakuum v kvantov´e mechanice nen´ı pr´azdn´e, ale obsahuje neomezen´e mnoˇzstv´ı energie a hmoty. Proto by hmotnost skal´arn´ı ˇc´astice mohla b´ yt neomezen´a (nebo velmi vysok´a). Jak se vˇsak dostala na u ´roveˇ n kalibraˇcn´ıch boson˚ u W ± a Z 0? Jak jiˇz v´ıme, skuteˇcnost, ˇze skal´arn´ı hmotnost nen´ı zachov´av´ana ˇz´adnou symetri´ı, umoˇznila vektorov´ ym boson˚ um a fermion˚ um z´ıskat hmotnost Higgsov´ ym mechanismem. Probl´em hierarchie se objevuje jako druh´a strana t´eˇze mince. Nejpˇritaˇzlivˇejˇs´ım ˇreˇsen´ım je nal´ezt nˇejakou symetrii - super-
6
symetrii (SUSY) mezi fermiony a bosony. Podle supersymetrick´eho modelu ke kaˇzd´emu fermionu standardn´ıho modelu existuje supersymetrick´ y boson a naopak. Superpartneˇri jsou v n´asleduj´ıc´ı tabulce vyznaˇceny vlnovkou. Existence tˇechto superpartner˚ u zajiˇsˇtuje zruˇsen´ı divergentn´ıch kvantov´ ych korekc´ı. kvarky, leptony q, l
S 1/2
kalibraˇcn´ı bosony γ, g, W, Z
S 1
Higgsovy bosony h
S 0
R-parita +1
q˜, ˜l
0
˜ , Z˜ γ˜ , g˜, W
1/2
˜ h
1/2
−1
Standardn´ı ˇc´astice jsou rozliˇseny od supersymetrick´ ych ˇc´astic multiplikativn´ım kvantov´ ym ˇc´ıslem oznaˇcovan´ ym jako R-parita, kter´a nab´ yv´a hodnot +1 pro ˇc´astice a −1 pro superˇc´astice. Proto supersymetrick´e ˇc´astice by mˇely vznikat v p´arech a nejlehˇc´ı supersymetrick´e ˇc´astice by mˇely b´ yt kv˚ uli zachov´an´ı R-parity stabiln´ı. Ve vˇetˇsinˇe supersymetrick´ ych model˚ u takovou nejlehˇc´ı supersymetrickou ˇc´astic´ı je fotino γ˜ nebo obecn´a kvantov´a superpozice γ˜ a Z˜ s hmotnost´ı asi 100 GeV. Tato superˇc´astice pouze slabˇe interaguje s hmotou a proto ji lze obt´ıˇznˇe detekovat podobnˇe jako neutrino. Nˇekteˇr´ı fyzikov´e jsou pˇresvˇedˇceni, ˇze nejlehˇc´ı supersymetrick´e ˇc´astice mohou tvoˇrit neviditelnou nebo temnou hmotu ve vesm´ıru.
7
Neviditeln´ a (temn´ a) hmota ve vesm´ıru
Existuje ˇrada nepˇr´ım´ ych d˚ ukaz˚ u, ˇze znaˇcn´a ˇc´ast hmoty ve vesm´ıru je neviditeln´a nebo temn´a hmota. Tato neviditeln´a hmota se projevuje gravitaˇcn´ı interakc´ı avˇsak v˚ ubec se neprojevuje elektromagnetickou interakc´ı. Nejsilnˇejˇs´ı nepˇr´ım´ y d˚ ukaz vych´az´ı z rychlosti rotace osamocen´ ych hvˇezd nebo vod´ıkov´ ych mraˇcen v galaktick´em halu kolem galaktick´eho j´adra. Aby byla zachov´ana rovnov´aha mezi odstˇrediv´ ym a gravitaˇcn´ım zrychlen´ım, mus´ı b´ yt tato rychlost d´ana vztahem r 2 vrot GN M (r) GN M (r) = tj. vrot = 2 r r r kde r je vzd´alenost dr´ahy hvˇezdy od galaktick´eho j´adra a M (r) je celkov´a hmotnost hmoty galaxie uvnitˇr koule o tomto polomˇeru. Pokud by kromˇe viditeln´eho disku galaxie v n´ı neexistovala ˇz´adn´ a √ hmota, pak by obˇeˇzn´a rychlost hvˇezd kolem galaktick´eho j´adra klesala u ´mˇernˇe 1/ r. Pozorovan´e obˇeˇzn´e rychlosti hvˇezd a vod´ıkov´ ych mraˇcen asi v tis´ıci galaxi´ı vˇcetnˇe naˇs´ı Galaxie vˇsak t´ımto zp˚ usobem neklesaj´ı. Proto existuje siln´a domnˇenka, ˇze v galaxi´ıch existuje kromˇe sv´ıt´ıc´ı hmoty tak´e neviditeln´a hmota. Neviditelnou hmotou samozˇrejmˇe mohou b´ yt nesv´ıt´ıc´ı tˇelesa jako jsou mal´e hvˇezdy nebo velk´e planety typu Jupiter. Avˇsak tyto objekty lze sp´ıˇse povaˇzovat sp´ıˇse za temnou neˇz neviditelnou hmotu. Tyto objekty se ˇcasto projevuj´ı jako gravitaˇcn´ı ˇcoˇcky. Podle obecn´e teorie relativity se proch´azej´ıc´ı svˇetlo od vzd´alen´ ych sv´ıt´ıc´ıch objekt˚ u kolem nich oh´ yb´a kv˚ uli lok´aln´ımu zakˇriven´ı prostoroˇcasu. Je zˇrejm´e, ˇze tyto kompaktn´ı objekty nemohou b´ yt hlavn´ım zdrojem neviditeln´e hmoty, protoˇze jich pozorujeme jen m´alo. Pˇr´ıspˇevek od nesv´ıt´ıc´ıho plynu a prachu je tak´e velmi mal´ y. Neviditelnou hmotou by v principu mohla b´ yt neutrina. Jejich hmotnost je vˇsak pˇr´ıliˇs mal´a pro poˇzadovanou hustotu neviditeln´e hmoty. Hlavn´ım kandid´atem na neviditelnou hmotu proto jsou nejlehˇc´ı supersymetrick´e ˇca´stice, kter´e slabˇe interaguj´ı s hmotou avˇsak nesou hmotnost asi 100 GeV. Tyto ˇc´astice byly v tepeln´e rovnov´aze s kalibraˇcn´ımi bosony W ± a Z 0 , Higgsov´ ymi bosony, kvarky a leptony v dobˇe, kdy vesm´ır mˇel teplotu asi 100 GeV. Kdyˇz teplota vesm´ıru poklesla o nˇekolik ˇr´ad˚ u, hustota nejlehˇc´ıch supersymetrick´ ych ˇc´astic poklesla aˇz na u ´roveˇ n, kdy rozp´ın´an´ı vesm´ıru zabr´anilo jejich dalˇs´ı anihilaci. Tyto ˇc´astice se od sebe natolik vzd´alily, ˇze jiˇz nemohly navz´ajem anihilovat. Od t´e doby celkov´e mnoˇzstv´ı nejlehˇc´ıch supersymetrick´ ych ˇc´astic ve vesm´ıru z˚ ustalo t´emˇeˇr stejn´e.
7
Tento sc´en´ aˇr pˇredpov´ıd´a hustotu neviditeln´e hmoty, j´ıˇz dnes pozorujeme. Neviditeln´a hmota zˇrejmˇe hr´ala rozhoduj´ıc´ı roli pˇri vzniku galaxi´ı. Elektricky neutr´aln´ı supersymetrick´e ˇc´astice podl´ehaly gravitaˇcn´ı interakci dlouho pˇredt´ım, neˇz vznikly prvn´ı elektricky neutr´ aln´ı atomy bˇeˇzn´e hmoty. Prvn´ı shluky neviditeln´e hmoty proto mohly vznikat jiˇz v dobˇe, kdy teprve vznikaly prvn´ı neutr´aln´ı atomy, kter´e se pozdˇeji shlukovaly do hvˇezd, hvˇezdokup a galaxi´ı. Tento sc´en´ aˇr podporuj´ı tak´e souˇcasn´a pozorov´an´ı. Neviditeln´a hmota je proto velmi d˚ uleˇzitou sloˇzkou vesm´ıru. Dnes se vynakl´ad´a znaˇcn´e experiment´aln´ı u ´sil´ı, aby byla neviditeln´a hmota detekov´ana. Pˇri experimentech hluboko pod zem´ı se pouˇz´ıvaj´ı velmi pˇresn´e detektory, kter´e zaznamen´avaj´ı interakce ˇc´astic neviditeln´e hmoty s bˇeˇznou hmotou mˇeˇren´ım odrazov´e energie c´ılov´ ych jader. V Antarktidˇe se pl´anuje vybudov´an´ı neutrinov´eho dalekohledu o ploˇse kilometru ˇctvereˇcn´eho, kter´ y by mˇel detekovat neutrina s vysokou energi´ı poch´azej´ıc´ı z anihilace neviditeln´ ych ˇc´astic ve vesm´ıru, z nichˇz znaˇcn´a ˇc´ast by mˇela b´ yt gravitaˇcnˇe ˇ ˇ ycarsku buduje zachycena v j´adru Slunce. V r´amci mezin´arodn´ı spolupr´ace se nedaleko Zenevy ve Sv´ kruhov´ y sr´aˇzkov´ y urychlovaˇc proton˚ u o d´elce oblouku asi 27 kilometr˚ u. Tento urychlovaˇc by mˇel produkovat ˇca´stice, kter´e existovaly pˇri vysok´ ych teplot´ach a energi´ıch nˇekolik nanosekund po velk´em tˇresku. Oˇcek´av´a se, ˇze by v tomto urychlovaˇci mˇel b´ yt objeven Higgs˚ uv boson a tak´e nejlehˇc´ı supersymetrick´e ˇc´astice. Tˇemito objevy by se koneˇcnˇe vyˇreˇsila z´ahada neviditeln´e hmoty ve vesm´ıru a ot´azka, jak veˇsker´a viditeln´a hmota ve vesm´ıru z´ıskala hmotnost.
8
Pˇ r´ılohy
8.1
Kalibraˇ cn´ı invariance
Oznaˇcme q = (q0 , q1 , . . . , qn ) mnoˇzinu pozorovateln´ ych veliˇcin nˇejak´eho fyzik´aln´ıho syst´emu, jako je napˇr. ˇc´astice nebo soubor ˇc´astic. Tyto veliˇciny budeme ch´apat jako n-rozmˇern´ y vektor q v nˇejak´em q-prostoru. Souˇradnice prostoru a ˇcasu jsou zde ch´ap´any jako jak´ekoliv jin´e pozorovateln´e veliˇciny. Proto kaˇzd´ y vektor q lze ch´apat jako urˇcit´ y soubor mˇeˇren´ı dan´eho syst´emu. Podle zobecnˇen´eho principu kovariance fyzik´aln´ı z´akon mus´ı m´ıt stejn´ y tvar pro libovoln´ y poˇc´atek nebo orientaci vektoru q, tedy nesm´ı z´aviset na volbˇe soustavy souˇradnic. Fyzik´aln´ı z´akon lze obecnˇe zapsat ve tvaru f (q) = 0
(6)
kde f je vektor v jin´em mnohorozmˇern´em prostoru, kter´ y nazveme f -prostorem. Pˇr´ıkladem vektor˚ u v f -prostoru jsou napˇr´ıklad stavov´e vektory v kvantov´e mechanice. V f -prostoru si m˚ uˇzeme tak´e pˇredstavit soustavu souˇradnic. Rozˇs´ıˇren´ y princip kovariance poˇzaduje, aby fyzik´aln´ı z´akony nez´avisely na orientaci vektoru f v f -prostoru. Tento princip se obecnˇe naz´ yv´a kalibraˇ cn´ı invariance (symetrie).
8.2
Lieovy grupy a maticov´ e grupy
Je-li A 6= ∅, pak libovoln´e zobrazen´ı f : A × A → A se naz´ yv´a bin´ arn´ı operace na mnoˇzinˇe A. Bin´arn´ı operace kaˇzd´e uspoˇr´adan´e dvojici (x, y) ∈ A × A pˇriˇrazuje prvek a ∈ A. Obvykle pak p´ıˇseme: f (x, y) = x · y = a f (x, y) = x + y = a M´ısto o bin´arn´ı operaci pak hovoˇr´ıme o souˇcinu resp. souˇctu prvk˚ u. • Definice:
8
Nechˇt G 6= ∅ a nechˇt je definov´ana bin´arn´ı operace n´asoben´ı, pro n´ıˇz plat´ı: 1. ∀ g1 , g2 , g3 ∈ G : g1 · (g2 · g3 ) = (g1 · g2 ) · g3 asociativn´ı z´ akon 2. ∃ e∈G: ∀ g ∈G: g·e = e·g = g 3.
existence neutr´ aln´ıho prvku
∀ g ∈ G : ∃ g −1 ∈ G : g · g −1 = g −1 · g = e
existence inverzn´ıch prvk˚ u
Mnoˇzina G s operac´ı n´asoben´ı, kter´a splˇ nuje vlastnosti 1, 2, 3 naz´ yv´a grupa. Jestliˇze nav´ıc plat´ı: 4. ∀ g1 , g2 ∈ G : g1 · g2 = g2 · g1 komutativn´ı z´ akon pak se mnoˇzina G s operac´ı n´asoben´ı, kter´a splˇ nuje vlastnosti 1, 2, 3 a 4, naz´ yv´a Abelova grupa (komutativn´ı, abelovsk´ a grupa). Poˇcet prvk˚ u grupy G se naz´ yv´a ˇ r´ ad grupy. Grupa koneˇcn´eho ˇr´adu se naz´ yv´a koneˇ cn´ a grupa. Jinak se naz´ yv´a nekoneˇ cn´ a grupa. Nekoneˇcn´e grupy mohou b´ yt diskr´etn´ı nebo spojit´e. Pokud lze kaˇzd´emu prvku grupy G pˇriˇradit pˇrirozen´e ˇc´ıslo, pak se grupa G naz´ yv´a diskr´ etn´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se grupa G naz´ yv´a spojit´ a. Prvky obecn´e spojit´e grupy lze parametrizovat mnoˇzinou spojit´ ych re´aln´ ych parametr˚ u g = g(λ)
λ = (λ1 , λ2 , . . . , λn )
Pokud mnoˇzina spojit´ ych parametr˚ u je koneˇcn´a (tj. n ∈ N ), pak se spojit´a grupa naz´ yv´a koneˇ cnˇ e rozmˇ ern´ a. Poˇcet parametr˚ u n se pak naz´ yv´a dimenze grupy. Pokud je mnoˇzina spojit´ ych parametr˚ u nekoneˇcn´a, pak se spojit´a grupa naz´ yv´a nekoneˇ cnˇ e rozmˇ ern´ a. Jestliˇze parametry f k (λ, µ), f = (f 1 , f 2 , . . .), souˇcinu dvou prvk˚ u spojit´e grupy g(λ) · g(µ) = g(f (λ, µ))
λ = (λ1 , λ2 , . . .), µ = (µ1 , µ2 , . . .)
jsou analytick´e funkce vˇsech sv´ ych argument˚ u (tj. funkce f k (λ, µ) maj´ı derivace vˇsech ˇr´ad˚ u ve vˇsech ¯ ¯ = g −1 (λ) jsou analytick´e funkce vˇsech sv´ ych argumentech) a parametry λi (λ) inverzn´ıho prvku g(λ) parametr˚ u λi , pak se spojit´a grupa G naz´ yv´a Lieova grupa. Spojit´e parametry λi se naz´ yvaj´ı souˇ radnice na Lieovˇe grupˇe. Pro koneˇcnˇe rozmˇernou Lieovu grupu G souˇradnice λi vymezuj´ı jistou oblast v euklidovsk´em prostoru Rn , kde n je dimenze grupy. Pokud je tato oblast souˇradnic omezen´a nebo kompaktn´ı (tj. |λk | < +∞, pak se grupa naz´ yv´a kompaktn´ı. Kˇ rivkou (dr´ ahou) g = g(τ ), τ ∈ h0, 1i na Lieovˇe grupˇe se naz´ yv´a zobrazen´ı τ ∈ h0, 1i → g(τ ) ∈ G Jednoparametrick´a podmnoˇzina {g(τ )} Lieovy grupy G se tak´e naz´ yv´a kˇ rivka. Nechˇt G a G0 jsou dvˇe Lieovy grupy. Zobrazen´ı φ : G → G0 , pro kter´e plat´ı φ(g1 · g2 ) = φ(g1 ) · φ(g2 ) se naz´ yv´a homomorfismus.
9
Mnoˇzina M (n, R) vˇsech re´aln´ ych ˇctvercov´ ych matic typu n × n tvoˇr´ı Abelovu Lieovu grupu vzhledem k souˇctu matic. Mnoˇzina M (n, R) vˇsak obecnˇe netvoˇr´ı Lieovu grupu vzhledem k souˇcinu matic, protoˇze existuj´ı singul´arn´ı matice, kter´e nemaj´ı k sobˇe inverzn´ı matici. Dimenze Lieovy grupy M (n, R) je rovna poˇctu prvk˚ u matic, tj. dim M (n, R) = n2 . Mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych regul´ arn´ıch matic (k nimˇz existuj´ı inverzn´ı matice) GL(n, R) = {A ∈ M (n, R) : det A 6= 0} tvoˇr´ı obecnou line´ arn´ı Lieovu grupu (GL = General Linear) vzhledem k souˇcinu matic. Mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych regul´ arn´ıch matic s kladn´ ym determinantem GL+ (n, R) = {A ∈ GL(n, R) : det A > 0} tvoˇr´ı podgrupu grupy GL(n, R). Dimenze tˇechto grup je rovna dim GL(n, R) = dim GL+ (n, R) = n2 Speci´ aln´ı line´ arn´ı grupa SL(n, R) (SL = special linear) je podgrupa grupy GL(n, R), pro n´ıˇz plat´ı SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R) : det A = 1} Dimenze t´eto grupy je rovna
dim SL(n, R) = n2 − 1
Re´ aln´ a ortogon´ aln´ı grupa O(n) je podgrupa grupy GL(n, R, pro n´ıˇz plat´ı O(n) = {A ∈ GL(n, R) : AT A = E} kde E je jednotkov´a matice. Dimenze t´eto grupy je rovna dim O(n) = n(n − 1)/2 Speci´ aln´ı ortogon´ aln´ı grupa SO(n) je podgrupa grupy O(n), pro n´ıˇz plat´ı SO(n) = {A ∈ O(n) : det A = 1} Dimenze t´eto grupy je rovna dim SO(n) = dim O(n) = n(n − 1)/2 Komplexn´ı unit´ arn´ı grupa U (n) je podgrupa grupy GL(n, C, pro n´ıˇz plat´ı U (n) = {A ∈ GL(n, C) : A† A = E} kde E je jednotkov´a matice, A† = (AT )∗ , tedy komplexnˇe sdruˇzen´a matice k transponovan´e matici. Dimenze t´eto grupy je rovna dim U (n) = n2 Speci´ aln´ı unit´ arn´ı grupa SU (n) je podgrupa grupy SO(n), pro n´ıˇz plat´ı SU (n) = {A ∈ U (n) : det A = 1} Dimenze t´eto grupy je rovna
dim SU (n) = n2 − 1
10
• Grupy GL(n, C, SL(n, C, SL(n, R, SO(n), SU (n) a U (n) jsou souvisl´e. • Grupy SL(n, C a SU (n) jsou jednoduˇse souvisl´e. • Grupa GL(n, R m´a dvˇe souvisl´e komponenty. • Grupy O(n), SO(n), U (n) a SU (n) jsou kompaktn´ı. Odstavec byl zpracov´ an podle [4] a [3].
8.3
Princip nejmenˇ s´ı akce
Mechanick´ ym syst´emem rozum´ıme jakoukoliv soustavu ˇc´astic nebo tˇeles. Zobecnˇ en´ ymi souˇ radnicemi rozum´ıme jak´ekoliv parametry, kter´e popisuj´ı pohyb. Tyto souˇradnice oznaˇcujeme q = (q1 , q2 , . . .) ˇ astice se v dan´em syst´emu nem˚ ˇ ık´ame, ˇze v syst´emu existuj´ı vazby, C´ uˇze pohybovat libovolnˇe. R´ kter´e jsou pops´any vztahy mezi zobecnˇen´ ymi souˇradnicemi a okrajov´ ymi podm´ınkami. Celkov´ y poˇcet nez´avisl´ ych parametr˚ u (zobecnˇen´ ych souˇradnic), kter´e zcela popisuj´ı syst´em, se oznaˇcuje jako stupeˇ n volnosti syst´ emu f . Pro syst´em N hmotn´ ych bod˚ u s R vazbami plat´ı f = 3N − R a zobecnˇen´e souˇradnice jsou q = (q1 , . . . , qf ) Konfiguraˇ cn´ım f -rozmˇern´ ym prostorem je prostor vˇsech hodnot zobecnˇen´ ych souˇradnic dan´eho syst´emu. Kaˇzd´ y bod v konfiguraˇcn´ım prostoru popisuje jeden stav (konfiguraci) mechanick´eho ˇ syst´emu. Casov´ y v´ yvoj konfigurace syst´emu q(t) se naz´ yv´a trajektorie. D´ elkov´ y element v zobecnˇen´ ych souˇradnic´ıch m´a tvar: dl2 = gij dqi dqj kde gij je metrick´ y tenzor. Kinetick´ a energie syst´emu v zobecnˇen´ ych souˇradnic´ıch je rovna (q˙ je derivace podle ˇcasu): T (q, q) ˙ =
1 dl2 1 dqi dqj 1 m = mgij = mgij q˙i q˙j 2 dt2 2 dt2 2
Speci´alnˇe pro kart´ezsk´e souˇradnice plat´ı: T (x, ˙ y, ˙ z) ˙ =
1 m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) 2
a pro sf´erick´e souˇradnice plat´ı: ˙ θ) ˙ = 1m T (r, θ, r, ˙ φ, 2
(µ
dr dt
¶2
µ +r
2
dθ dt
¶2
µ 2
2
+ r sin θ
dφ dt
¶2 )
Podle Hamiltonova principu (principu nejmenˇs´ı akce) je kaˇzd´ y mechanick´ y syst´em charakterizov´an funkc´ı L(q1 , . . . , qs , q˙1 , . . . , q˙s , t)
11
nebo kr´atce L(q, q, ˙ t) (q˙ jsou derivace podle ˇcasu). Pohyb syst´emu splˇ nuje n´asleduj´ıc´ı podm´ınku. ych zobecnˇen´ ymi souˇradnicemi Pˇredpokl´adejme, ˇze v okamˇzic´ıch t1 , t2 je syst´em v bodech dan´ q (1) , q (2) . Pak se syst´em mezi tˇemito body pohybuje po takov´e trajektorii, ˇze integr´al Z t2 S = L(q, q, ˙ t) dt (7) t1
je minim´aln´ı. Funkce L se naz´ yv´a Lagrangi´ an a v´ yˇse integr´al (7) se naz´ yv´a akce. Lagrangeova funkce obsahuje pouze q a q˙ a ˇz´adn´e vyˇsˇs´ı derivace. Mechanick´ y stav je u ´plnˇe definov´an pouze souˇradnicemi a rychlostmi (derivacemi souˇradnic). Nyn´ı sestav´ıme diferenci´aln´ı rovnice, pomoc´ı nichˇz urˇc´ıme minimum integr´alu (7). Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme, ˇze syst´em m´a pouze jeden stupeˇ n volnosti. Proto hled´ame jedinou funkci q(t). Pˇredpokl´adejme, ˇze q = q(t) je funkce, pro nˇeˇz S je minim´aln´ı. Funkce S poroste, pokud funkci q(t) nahrad´ıme funkc´ı q(t) + δq(t) (8) kde δq(t) je mal´a funkce na intervalu t1 , t2 (tato funkce se naz´ yv´a variace funkce). V bodech t1 a t2 vˇsechny funkce (8) nab´ yvaj´ı stejn´ ych hodnot q (1) , q (2) , proto m´ame: δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0
(9)
Zmˇena S pˇri z´amˇenˇe funkce q(t) za funkci q + δq je d´ana vztahem: Z
Z
t2
t2
L(q + δq, q˙ + δ q, ˙ t) dt − t1
L(q, q, ˙ t) dt t1
Rozvoj tohoto rozd´ılu v nekoneˇcnou ˇradu v ˇclenech q a q˙ zaˇc´ın´a ˇcleny prvn´ıho ˇr´adu. Nutnou podm´ınkou minima (obecnˇe extr´emu) pro S je, aby se vˇsechny ˇcleny t´eto ˇrady bl´ıˇzily k nule. Proto lze princip nejmenˇ s´ı akce zapsat ve tvaru Z t2 δS = δ L(q, q, ˙ t) dt = 0 (10) t1
nebo pomoc´ı variace: Z
Z
t2
δS =
t2
δL(q, q, ˙ t) dt = t1
t1
µ
∂L ∂L δq + δ q˙ ∂q ∂ q˙
¶ dt = 0
Pouˇzijeme vztah
d δq dt a provedeme integraci per partes druh´eho ˇclenu. Dostaneme: ¸t2 Z t2 µ ¶ · d ∂L ∂L ∂L δq − δq dt = 0 δS = + ∂ q˙ ∂q dt ∂ q˙ t1 t1 δ q˙ =
(11)
Vzhledem k podm´ınce (9) prvn´ı ˇclen na prav´e stranˇe v´ yrazu (11) je nulov´ y. Ve v´ yrazu z˚ ustane pouze integr´al, kter´ y mus´ı b´ yt roven nule pro vˇsechny hodnoty δq, tedy integrand mus´ı b´ yt roven nule. Proto dost´av´ame diferenci´aln´ı rovnici: ∂L d ∂L − = 0 ∂q dt ∂ q˙
12
(12)
Pro v´ıce stupˇ n˚ u volnosti se r˚ uzn´e funkce qi (t) mˇen´ı nez´avisle na sobˇe. Proto lze v´ yˇse uvedenou diferenci´ aln´ı rovnici zapsat pro kaˇzdou funkci zvl´aˇsˇt ve tvaru: µ ¶ ∂L d ∂L − = 0 i = 1, . . . , s (13) dt ∂ q˙i ∂qi V teoretick´e mechanice se v´ yˇse uveden´e diferenci´aln´ı rovnice naz´ yvaj´ı Eulerovy-Lagrangeovy rovnice. Jestliˇze je Lagrangi´an dan´eho mechanick´eho syst´emu zn´am, pak rovnice (13) popisuje vztah mezi zrychlen´ımi, rychlostmi a souˇradnicemi, tedy rovnice pohybu. Z matematick´eho hlediska rovnice (13) pˇredstavuj´ı soustavu diferenci´aln´ıch rovnic druh´eho ˇr´adu pro nezn´am´e funkce qi (t). Obecn´e ˇreˇsen´ı t´eto soustavy obsahuje 2s konstant. Jejich urˇcen´ım se u ´plnˇe definuje pohyb mechanick´eho syst´emu. K tomu je nutn´e zadat poˇc´ateˇcn´ı (okrajov´e) podm´ınky, kter´e popisuj´ı syst´em v dan´em okamˇziku (napˇr´ıklad poˇc´ateˇcn´ı souˇradnice a rychlosti). Lagrangeovy rovnice je nutn´e doplnit o poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky: qi (t0 ) = qi0 q˙i (t0 ) = q˙i0 Lagrangeovu funkci nelze urˇcit jednoznaˇcnˇe. Dvˇe funkce se mohou odliˇsovat o nˇekter´e funkce zobecnˇen´ ych souˇradnic a rychlost´ı a pˇritom vedou ke stejn´ ym rovnic´ım. Volba Lagrangeovy funkce patˇr´ı mezi z´akladn´ı axiomy kaˇzd´e fyzik´aln´ı teorie. Zpravidla se za tuto funkci vol´ı skal´arn´ı funkce, jej´ıˇz hodnota nez´avis´ı na volbˇe soustavy souˇradnic. Pro jednoduch´e mechanick´e syst´emy existuj´ı dvˇe d˚ uleˇzit´e skal´arn´ı funkce: kinetick´a a potenci´aln´ı energie. V pˇr´ıpadˇe klasick´eho mechanick´eho syst´emu n´asleduj´ıc´ı line´arn´ı kombinace tˇechto funkc´ı vede ke spr´avn´ ym pohybov´ ym rovnic´ım: L(t, q, q) ˙ = T (q, q) ˙ − V (t, q) Pro sloˇzitˇejˇs´ı syst´emy je rozdˇelen´ı Lagrangeovy funkce na kinetickou a potenci´aln´ı energie znaˇcnˇe obt´ıˇzn´e a zbyteˇcn´e. Uvaˇzujme nyn´ı jako jednoduch´ y pˇr´ıklad pohyb hmotn´eho bodu v potenci´aln´ım poli V (x, y, z). Hmotn´ y bod m´a tˇri stupnˇe volnosti. Za zobecnˇen´e souˇradnice poloˇz´ıme: q1 = x, q2 = y, q3 = z, Kinetick´a energie je rovna: 1 T (x, ˙ y, ˙ z) ˙ = m 2
(µ
dx dt
¶2
µ +
dy dt
¶2
µ +
dz dt
¶2 ) =
¢ 1 ¡ 2 m x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 2
Lagrangi´ an m´a tvar: ¢ 1 ¡ 2 m x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 − V (x, y, z) 2 Pˇr´ısluˇsn´e Eulerovy-Lagrangeovy maj´ı tvar (pro souˇradnici x): L(x, y, z, x, ˙ y, ˙ z) ˙ = T −V =
d ∂L ∂L − = 0 dt ∂ x˙ ∂x d ∂V (mx) ˙ + = 0 dt ∂x Celkem dost´av´ame: m
tj. m
d2 x = F dt2
d2 x ∂V = − dt2 ∂x
F = −∇V
Odstavec byl zpracov´ an podle [2].
13
8.4
Vˇ ety Noetherov´ e
Nˇemeck´a matematiˇcka Emmy Noether (narozena 23. bˇrezna 1882 v Erlangenu, zemˇrela 14. dubna 1935 v Bryn Mawr) ve sv´em ˇcl´anku ”Invariante Variationsprobleme” (Nachr. d. K¨ onig. Gesellschaft d. Wiss. zu G¨ ottingen, Math-phys. Klasse (1918), 235-257) uk´azala, ˇze z´akony zachov´an´ı energie, hybnosti a momentu hybnosti plynou ze symetrie prostoru a ˇcasu. Pˇripomeˇ nme, ˇze tyto symetrie (invariance) lze popsat spojit´ ymi Lieov´ymi grupami. Emmy Noether obecnˇe uk´azala, ˇze s kaˇzdou symetri´ı (invarianc´ı) pˇr´ırodn´ıho jevu souvis´ı nˇejak´ a zachov´avaj´ıc´ı se fyzik´aln´ı veliˇcina. Tato veliˇcina je danou symetri´ı definov´ana a zachov´av´a se pouze tehdy, pokud v´ ychoz´ı symetrie plat´ı. Pˇredpokl´adejme, ˇze Lagrangeova funkce nez´avis´ı na nˇekter´e zobecnˇen´e souˇradnici, napˇr. qk . Tedy plat´ı: ∂L L = L(t, q1 , . . . , qk−1 , qk+1 , . . . , qf , q˙1 , . . . , q˙f ) ⇔ = 0 (14) ∂qk Zobecnˇen´ a souˇradnice, kter´a se v Lagrangeovˇe funkci nevyskytuje, se naz´ yv´a cyklick´ a souˇ radnice. Na t´eto souˇradnici nebudou z´aviset pohybov´e rovnice a tedy ani v´ ysledky experiment˚ u. Situace je symetrick´a v˚ uˇci prostorov´ e translaci v zobecnˇen´e souˇradnici. Z pohybov´e rovnice pro tuto souˇradnici dost´av´ame: d ∂L ∂L − = 0 dt ∂ q˙k ∂qk
⇒
d ∂L = 0 dt ∂ q˙k
⇒
∂L = konst. ∂ q˙k
(15)
Zobecnˇ enou hybnost´ı odpov´ıdaj´ıc´ı zobecnˇen´e souˇradnici qk nazveme pk =
∂L ∂ q˙k
k = 1, . . . , f
(16)
Tato veliˇcina se zachov´av´a, pokud je zobecnˇen´a souˇradnice qk cyklick´a (nevyskytuje se v Lagrangeovˇe funkci L), tedy fyzik´aln´ı jev je symetrick´ y (invariantn´ı) v˚ uˇci prostorov´e translaci v zobecnˇen´e souˇradnici qk . Pˇredpokl´adejme, ˇze Lagrangeova funkce nez´avis´ı explicitnˇe na ˇcase t, tj. L = L(q1 , . . . , qf , q˙1 , . . . , q˙f )
⇔
∂L = 0 ∂t
(17)
Situace je symetrick´a v˚ uˇci ˇcasov´e translaci. Nalezneme u ´plnou ˇcasovou derivaci Lagrangeovy funkce: f f X X dL ∂L ∂L ∂L d = + q˙k + (q˙k ) dt ∂t ∂qk ∂ q˙k dt k=1
(18)
k=1
Protoˇze podle pˇredpokladu je prvn´ı ˇclen na prav´e stranˇe uveden´eho vztahu nulov´ y, vyj´adˇr´ıme ∂L/∂qk pomoc´ı Lagrangeovy rovnice (13) µ ¶ ∂L d ∂L − = 0 i = 1, . . . , s dt ∂ q˙i ∂qi a pro vztah (18) dostaneme µ ¶ f f X X dL d ∂L ∂L d = q˙k + (q˙k ) dt dt ∂ q˙k ∂ q˙k dt k=1
k=1
14
(19)
a podle vztahu pro derivaci souˇcinu funkc´ı m´ame: Ã f ! d X ∂L dL = q˙k dt dt ∂ q˙k
(20)
k=1
Po pˇreveden´ı na jednu stranu rovnosti dost´av´ame: Ã f ! d X ∂L q˙k − L = 0 ⇒ dt ∂ q˙k k=1
f X ∂L q˙k − L = konst. ∂ q˙k
(21)
k=1
Zobecnˇ enou energi´ı nazveme E =
f X ∂L q˙k − L ∂ q˙k
(22)
k=1
Tato veliˇcina se zachov´av´a, pokud Lagrangeova funkce explicitnˇe nez´avis´ı na ˇcase, tedy fyzik´aln´ı jev je symetrick´ y (invariantn´ı) v˚ uˇci ˇcasov´e translaci. Z´akladn´ı z´akony zachov´an´ı v mechanice jsou pˇr´ım´ ym d˚ usledkem symetri´ı prostoroˇcasu, jak ukazuje n´asleduj´ıc´ı tabulka. homogenita prostoru isotropie prostoru nemˇennost v ˇcase
zachov´an´ı hybnosti zachov´an´ı momentu hybnosti zachov´an´ı energie
Odstavec byl zpracov´ an podle [2].
15
