Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLET, 1. rész

MIKROÖKONÓMIA II.

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Mikroökonómia II. 2. hét ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLET, 1. rész

Készítette: K®hegyi Gergely Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely

2011. február

2. hét K®hegyi Gergely

Bevezetés Robinson Crusoe-gazdaság

A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009)

Mikroökonómia.

Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (a

továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004)

Mikroökonómia el®adásvázlatok.

http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.

Tiszta cseregazdaság

Vázlat


Bevezetés Robinson Crusoe-gazdaság Tiszta cseregazdaság

1

Bevezetés

2

Robinson Crusoe-gazdaság

3


Parciális egyensúlyi elemzés Eddig parciális egyensúlyi elemzést folytattunk.



Általános egyensúlyi elemzés



Általános egyensúly


Bevezetés

Deníció Azt az elosztást és a hozzá tartozó árrendszert, amely mellett az egyéni keresleti-, kínálati-, tényez®keresleti- és tényez®kínálati-függvények egyéni optimalizálásból származnak, valamint minden termék és termelési tényez® piacon az aggregált kereslet megegyezik az aggregált kínálattal általános egyensúlynak nevezzük.

Megjegyzés Általános egyensúly nem csak tökéletes verseny mellett képzelhet® el.

Robinson Crusoe-gazdaság Tiszta cseregazdaság

Tökéletes versenyz®i gazdaság


Bevezetés

A termékek homogén, folytonosan osztható, magánjavak


Nincs id®dimenzió (nincs pénz)


Nincs bizonytalanság Tökéletes, azonnali informáltság (a piaci szepl®k között az információt CSAK az árak közvetítik) A piaci szerepl®k között csak piaci cserekapcsolat van (nincsenek küls® gazdasági hatások) A piaci szerepl®k (fogyasztók és termel®k) árelfogadók A termel® vállalatok protját teljes egészében felosztják a fogyasztók között A piaci szterepl®k racionálisak (a fogyasztók hasznomaximalizálók, a termel®k protmaximalizálók)

Lehetséges modellek

Egy szerepl®, egy termék, nincs termelés (érdektelen) Egy szerepl®, több termék, nincs termelés (érdektelen) Egy szerepl®, egy termelési tényez®, egy termék (Robinson Crusoe-gazdaság) Egy szerepl®, egy termelési tényez®, több termék Egy szerepl®, több termelési tényez®, egy termék Egy szerepl®, több termelési tényez®, több termék Több szerepl®, több termék, nincs termelés (tiszta cseregazdaság) Több szerepl®, több termék, egy termelési tényez® Több szerepl®, egy termék, több termelési tényez® Több szerepl®, több termék, több termelési tényez® (termeléssel b®vített cseregazdaság)



Egy szerepl®, két termék, nincs termelés



Készletek:

ω1 , ω2

NINCS PIAC, tehát nincs kivel cserélni Fogyasztói optimum ('ált. egyensúly'):

x1∗ = ω1 , x2∗ = ω2

2. hét


K®hegyi Gergely


1 szerepl® (Robinson), 1 termék (kókuszdió), 1 termelési tényez® (munka) kókuszdió fogyasztás (db):

c

szabadid® 'fogyasztás' (óra) : munkaid® (óra):

h

(megj.:

(megj.: 0

h = `¯ − `)

≤ ` ≤ `¯,

pl.

U (c , `) (felt.: ∂∂Uc > 0, ∂∂`U > 0) c = f (h) (felt.: f 0 > 0, f 00 < 0)

hasznossági függvény: termelési függvény:

`

`¯= ˙ 24)


Robinson Crusoe-gazdaság (folyt.)


Robinson döntési feladata: célfüggvény:

U (c , `) → maxc ,`

korlát:


c = f (h) h = `¯ − `


Lagrange-függvény:

L = U (c , `¯ − h) − λ (c − f (h)) ERF:

∂L ∂c ∂L ∂h

= =

∂U ∂c ∂U ∂h

Bevezetés

−λ=0 df = 0 + λ dh

−

∂ U /∂ h df = ∂ U /∂ c dh

MUh = MRSh,c = mph MUc ∂U ∂U df < 0, > 0, >0 ∂h ∂c dh

−


MUh = MRSh,c = mph MUc ∂U df ∂U < 0, > 0, >0 ∂h ∂c dh

−





Bevezetés

Feltevés 'Skizofrén' Robinson: Termel® és fogyasztó énje kettészakad. Árelfogadóként hozza meg termel®i és fogyasztói döntését külön-külön, majd a két énje a termék- és tényez®piacon találkozik, hogy cseréljen.

Feltevés Árelfogadó Robinson adottnak tekinti: kókuszdió árát: p munkabért: w




Bevezetés

Algoritmus Megoldjuk a termel®i és fogyasztói optimumfeladatokat (a termel® protját kizetik a tulajdonosnak) Meghatározzuk a keresleti és kínálati, valamint tényez®keresleti és tényez®kínálati függvényeket. Felírjuk a piaci és tényez®piaci egyensúlyi feltételeket. Meghatározzuk az egyensúlyi (termék és tényez®) árakat. A keresleti és kínálati függvények segítségével meghatározzuk az egyensúlyi mennyiségeket.


2. hét

Robinson mint termel® célfüggvény: korlát:

π = pcS − whD → maxcS ,hD

cS = f (hD )

Lagrange-függvény: ERF:

K®hegyi Gergely

∂L ∂ cS ∂L ∂ hD

L = pcS − whD − λT (cS − f (hD ))

p − λT = 0 = −w + λT dhdfD = 0

=

optimum feltétel:

pmph = w w mph = p megoldás:

c pw h pw

kókuszdiókínálati függvény: S ( , ) munkakeresleti függvény: D ( , ) protfüggvény: π( , )

pw


Robinson mint termel® (folyt.)



Ismer®s optimumfeltétel pmph = w w mph = p

2. hét

Robinson mint fogyasztó

U (CD , `) → maxcD ,` pcD + w ` = w `¯ + π ∗ (π ∗ :

K®hegyi Gergely

célfüggvény: korlát:

Bevezetés

t®kejövedelem a vállalat

tulajdonosaként)


vagy

U (CD , hS ) → maxcD ,hS pcD = whS + π ∗ (whS : munkajövedelem

célfüggvény: korlát:

a vállalat

munkásaként) Lagrange-függvény: ERF:

∂L ∂ cD ∂L ∂ hS


L = U (CD , hS ) − λF (pcD − whS − π ∗ )

p w

= ∂∂cUD − λF = 0 = ∂∂hUS + λF = 0

optimum feltétel:

−

MUc p = MRSc ,h = MUh w

2. hét

Robinson mint fogyasztó (folyt.)

K®hegyi Gergely


megoldás:

c pw h pw pw

kókuszdiókeresleti függvény: D ( , ) munkakínálati függvény: S ( , ) szabaid®keresleti függvény: `( , ) = `¯ − S ( , )

h pw

Robinson mint fogyasztó (folyt.)



Ismer®s optimumfeltétel −

p MUc = MRSc ,h = MUh w

Egyensúly a Robinson Crusoe-gazdaságban

cD (p , w ) = cS (p , w ) Tényez® (munka) piac: hD (p , w ) = hS (p , w ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Megoldás (általános egyensúly): p , w , c , h , ` , π , U Termék (kókuszdió) piac:

Megjegyzés Mivel a (termék- és tényez®)keresleti és kínálat függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék, vagy tényez® ármércének választható. Legyen pl. w =˙ 1.

Következmény Az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni.



Egyensúly a Robinson Crusoe-gazdaságban (folyt.)



Mérethozadéki problémák a Robinson Crusoe-gazdaságban



Mérethozadéki problémák a Robinson Crusoe-gazdaságban (folyt.)



Konvexitási problémák a Robinson Crusoe-gazdaságban



Konvexitás hiányában az egyensúly nem feltétlenül létezik.


2. hét


K®hegyi Gergely


Példa:

U (c , `) = c 2 ` √ f (h) = h

Robinson hasznossági függvénye: Robinson termelési függvénye: Megoldás:

w ∗ = 1, p ∗ =

√

32,

h∗ = 8, `∗ = 8, c ∗ =

√

8, π

∗

=8




Felt.: két szerepl® (A és B), két termék (1 és 2), Nincs termelés (nincsenek vállalatok) A fogyasztók a készleteiket cserélik El®nyös-e a csere? Mikor el®nyös és mikor nem?

Edgeworth-Box



Edgeworth-Box (folyt.)



Mindkét szerepl® által preferált allokációk halmaza



Pareto-hatékony elosztás



Pareto-hatékony elosztások halmaza A szerz®dési görbe



Adott indulókészlet mellett a végs® allokációk halmaza



Pareto-hatékony elosztások meghatározása


Bevezetés

A társadalmi tervez® feladata: célfüggvény:


UA (x1A , x2A ) → A max x ,x A ,x B ,x B 1

2

1

2

korlát:

UAB (x1B ,Bx2B ) =A U¯ B B x1A + x1B = ω1A + ω1B x 2 + x 2 = ω2 + ω2

Lagrange-függvény:

¯B − L = UA (x1A , x2A ) − λ UB (x1B , x2B ) − U µ1 x1A + x1B − ω1A − ω1B − µ2 x2A + x2B − ω2A − ω2B


Pareto-hatékony elosztások meghatározása (folyt.) ERF: 1 2 3 4

∂L ∂ x1A ∂L ∂ x2A ∂L ∂ x1B ∂L ∂ x2B

= ∂∂Ux AA − µ1 = 0 1 = ∂∂Ux AA − µ2 = 0 2 = −λ ∂∂Ux BB − µ1 = 0 1 = −λ ∂∂Ux BB − µ2 = 0 2

K®hegyi Gergely


µ

MRSA = 1 µ2 µ

MRSB = 1 µ2 A szerz®dési görbe (implicit függvény formájában):

MRSA (x1A , x2A ) = MRSB (x1A , x2A )

Megjegyzés

2. hét

Az x1A + x1B = ω1A + ω1B és x2A + x2B = ω2A + ω2B korlátozó feltételeket felhasználva a szerz®dési görbe felírható például x2A = ϕ(x1A ) alakban.

2. hét

Decentralizált döntések

K®hegyi Gergely

Bevezetés

A fogyasztó


B fogyasztó

cf.:


cf.:

UA (x1A , x2A ) → max x A ,x A 1

2

kf.:

p1 x1A + p2 x2A = p1 ω1A + p2 ω2A p opt. felt.: MRSA = − p 1

2

keresleti függvények:

x1A (p1 , p2 ), x2A (p1 , p2 )

UB (x1B , x2B ) → max x B ,x B 1

2

kf.:

p1 x1B + p2 x2B = p1 ω1B + p2 ω2B p opt. felt.: MRSB = − p 1

2

keresleti függvények:

x1B (p1 , p2 ), x2B (p1 , p2 )

2. hét

Decentralizált döntések (folyt.)

K®hegyi Gergely

p p MRSA = − 1 , MRSB = − 1 p p 2

2


2. hét

Piaci egyensúly

K®hegyi Gergely


Egyensúlyi árak

(p1∗ , p2∗ )

esetén a kereslet megegyezik a kínálkattal

minden piacon.

x A (p ∗ , p ∗ ) + x B (p ∗ , p ∗ ) = ω A + ω B |1 1 2 {z 1 1 2 } | 1 {z 1} S1 (p1∗ ,p2∗ ) D1 (p1∗ ,p2∗ ) x A (p ∗ , p ∗ ) + x B (p ∗ , p ∗ ) = ω A + ω B |2 1 2 {z 2 1 2 } | 2 {z 2} S2 (p1∗ ,p2∗ ) D2 (p1∗ ,p2∗ )


Piaci egyensúly (folyt.)



2. hét

Általános egyensúly meghatározása

K®hegyi Gergely

Kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban: ismeretlenek száma:

p1 , p2 , x1A , x2A , x1B , x2B

(2 db

Bevezetés

termékár+2*2 db fogyasztott mennyiség=6 db)


egyenletek száma (2+2+2=6 db):


MRS

optimumfeltételek ( -feltételek): 2 db (2 szerepl®, 2 termék) költségvetési korlátok: 2 db (két szerepl®) egyensúlyi feltételek: 2 db (két piac)

Következmény Az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik.

Megjegyzés Mivel a keresleti függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék ármércének választható. Legyen pl. p2 =˙ 1. Így az egyenletrendszer túlhatározottnak t¶nik (több az egyenlet, mint az ismeretlen).

Általános egyensúly meghatározása (folyt.)



Állítás Walras-törvény: A piacokon keresett és kínált javak összértéke megegyezik, azaz az aggregált piaci túlkereslet azonosan (minden árrendszer mellett) zérus: p1 z1 (p1 , p2 ) + p2 z2 (p1 , p2 ) ≡ 0, ahol z1 (p1 , p2 ) = x1A (p1 , p2 ) − ω1A + x1B (p1 , p2 ) − ω1B és z2 (p1 , p2 ) = x2A (p1 , p2 ) − ω2A + x2B (p1 , p2 ) − ω2B .


2. hét


K®hegyi Gergely

Bevezetés

Bizonyítás


Adjuk össze a két fogyasztó költségvetési korlátját és rendezzük át:


p1 x1A + p2 x2A ≡ p1 ω1A + p2 ω2A p1 x1B + p2 x2B ≡ p1 ω1B + p2 ω2B p1 x1A − p1 ω1A + p1 x1B − p1 ω1B + p2 x2A − p2 ω2A + p2 x2B − p2 ω2B |

{z p1 z1 (p1 ,p2 )

}

|

{z p2 z2 (p1 ,p2 )

p1 z1 (p1 , p2 ) + p2 z2 (p1 , p2 ) ≡ 0

}



Bevezetés

Következmény A Walras-törvény miatt az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni és a rendszer nem lesz túlhatározott.

Következmény A Walras-törvény miatt, ha n − 1 piac kitisztul (egyensúlyban van), akkor az n-edik is kitisztul (egyensúlyban van).


Tranzakciós (nettó) kereslet (kínálat)

Deníció Tranzakciós (nettó) kereslet: xit (p1 , p2 )=˙ xi (p1 , p2 ) − ωi > 0 kínálat: xit (p1 , p2 )=˙ xi (p1 , p2 ) − ωi < 0



Teljes és tranzakciós egyéni kereslet (kínálat)



Teljes és tranzakciós piaci kereslet (kínálat)



Az aggregált teljes kínálati görbe és az aggregált teljes keresleti görbe metszéspontja adja meg a jószágból elfogyasztott teljes mennyiséget a gazdaságban, amelynek egyenl®nek kell lennie a jószág teljes kínálatával. Az aggregált tranzakciós kínálati görbe és az aggregált tranzakciós keresleti görbe metszéspontja pedig azt a menynyiséget jelöli ki, amelyet a jószágból az eladók és a vev®k ténylegesen elcserélnek. A két görbepár metszéspontja ugyanannál az egyensúlyi árnál van.

Teljes és tranzakciós piaci kereslet (kínálat) (folyt.)



Egyensúlykeresési algoritmus tiszta cseregazdaságban



Algoritmus Egyéni (fogyasztói) optimumfeladatok felírása Egyéni optimumfeladatok megoldása (keresleti függvények meghatározása) Piaci egyensúlyi feltételek felírása (kereslet=kínálat minden piacon) Ármérce jószág kiválasztása (keresleti függvények átírása úgy, hogy az áraránytól függjenek) Egyensúlyi árarány meghatározása (egy egyensúlyi egyenlet elhagyható) Egyénileg fogyasztott mennyiségek meghatározása


Egyensúlykeresési algoritmus tiszta cseregazdaságban (folyt.)



Példa:

UA = x1A x2A , ω1A = 80, ω2A = 30 UB = x1B x2B , ω1B = 20, ω2B = 70 Megoldás:

x2A = x1A A A B B egyensúly: x1 = 55, x2 = 55, x1 = 45, x2 = 45

Szerz®dési görbe: Versenyz®i

Egyensúlykeresési algoritmus tiszta cseregazdaságban (folyt.)



Megjegyzés A fenti algoritmus N termékes, M szerepl®s tiszta cseregazdaságban is alkalmazható.

Általános egyensúly meghatározása és

N termék esetén

M szerepl®


Bevezetés

Ismeretlenek:

M ∗ N (N db fogyasztási jószág, M db szerepl®) N db fogyasztási ár Ismeretlenek száma: M ∗ N + N

Egyenletek:

M N N

∗ db egyéni optimum-feltétel (els®rend¶ feltételek+költségvetési korlátok a Lagrange-változókhoz) db egyensúlyi feltétel: összkereslet=összkínálat (összkészletek) Egyenletek száma: ∗ +

M N N

Tehát az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik. DE mivel csak a relatív árak számítanak (a keresleti függvények nulladfokon homogének), ármérce jószág (numéraire) választható (-1 ismeretlen). Azaz túlhatározottnak t¶nik a rendszer (több az egyenlet, mint az ismeretlen).


Általános egyensúly meghatározása és

N termék esetén (folyt.)

M szerepl®


Bevezetés

DE a Walras-törvény miatt nem függetlenek az egyensúlyi egyenletek! Tehát az egyenletrendszer mégsem túlhatározott, egy egyensúlyi egyenlet elhagyásával az egyensúly meghatározható az algoritmus szerint.

Megjegyzés Az egyenletszámlálás módszere nem feltétlenül vezet eredményre, mert negatív árak is adódhatnak, ugyanis valójában a költségvetési korlátok és az egyensúlyi feltételek egyenl®tlenségek és nem egyenletek!→ Az egyensúly egzisztenciájának problémája (lásd kés®bb).


Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban



Állítás A jóléti közgazdaságtan I. tétele: A versenyz®i egyensúly Pareto-hatekony állapot (bizonyos technikai feltételek teljesülése mellett).

Bizonyítás Kéttermékes, kétszerepl®s tiszta∗cseregazdaságban∗ láttuk, hogy a piaci egyensúlyban MRSA = − pp∗ és MRSB = − pp∗ , mivel ott az egyéni döntések optimálisak. Tehát MRSA = MRSB , azaz az egyensúlyban fogyasztott jószágkosarak rajta vannak a szerz®dési görbén, így Pareto-hatékony allokációhoz tartoznak. Ez az eredmény M-szerepl®s, N-termékes gazdaságra is általánosítható. 1

1

2

2


Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban (folyt.)



Állítás A jóléti közgazdaságtan II. tétele: Ha a piaci szerepl®k preferenciái konvexek, akkor bármely Pareto-hatékony allokációhoz találunk olyan árrendszert - megfelel®en választott indulókészletek esetén amely decentralizált döntések által (piaci mechanizmus) a fenti allokációhoz juttatja a piaci szerepl®ket (bizonyos technikai feltételek teljesülése mellett).







Bevezetés

Bizonyítás


Egy kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban, ahol ω1A , ω2A , ω1B , ω2B tetsz®leges induló készletek, legyen x¯1A , x¯2A , x¯1B , x¯2B egy Pareto-hatékony allokáció. Ekkor MRSA (¯x1A , x¯2A ) = MRSB (¯x1B , x¯2B )=˙ pp alkalmas egyensúlyi áraránynak. Az ármérce legyen például p20 =˙ 1. Ha p10 x¯1A + x¯2A = p10 ω1A + ω2A (és ekkor a feltételek miatt p10 x¯1B + x¯2B = p10 ω1B + ω2B ), azaz az allokáció rajta van a (p10 , p20 ) árakkal képzett csereegyenesen, akkor a versenyz®i mechanizmus közvetlenül az x¯1A , x¯2A , x¯1B , x¯2B allokációt valósítja meg versenyz®i egyensúlyként.


0 1 0 2



Bevezetés

Bizonyítás

Ha p x¯A + x¯2A = 6 p10 ω1A + ω2A , azaz az allokáció nincs rajta a 0 (p1 , p ) árakkal képzett csereegyenesen, akkor osszuk újra az indulókészleteket a 0 1 1 0 2

∆ω1A =ω ˙ 1A − ω ¯ 1A , ∆ω2A =ω ˙ 2A − ω ¯ 2A , ∆ω1B =ω ˙ 1B − ω ¯ 1B , ∆ω2B =ω ˙ 2B − ω ¯ 2B , (¯ ωA + ω ¯ B = ωA + ωB , ω ¯A + ω ¯ B = ωA + ωB ) 1

1

1

1

2

2

2

2

újraelosztásokkal úgy, hogy p x¯1A + x¯2A = p10 ω ¯ 1A + ω ¯ 2A legyen. Ekkor a készletek újraosztása után a versenyz®i mechanizmus az x¯1A , x¯2A , x¯1B , x¯2B allokációt valósítja meg versenyz®i egyensúlyként. 0 1


Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLET, 1. rész

Recommend Documents