Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

MIKROÖKONÓMIA I.

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Mikroökonómia I. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

Készítette: K®hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely

2010. június

6. hét K®hegyi - Horn

Speciális esetek

A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009)

Mikroökonómia.

Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (a

továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004)

Mikroökonómia el®adásvázlatok.

http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.

A preferenciarendezés matematikai alapjai

Vázlat


Speciális esetek A preferenciarendezés matematikai alapjai

1

Speciális esetek

2


Speciális preferenciák



A vagyontárgyak átlagos r hozama hasznos, de a hozam s kockázata káros. A preferenciairányok ezért észak és nyugat (felfelé és balra) mutatnak, ennek következtében a közömbösségi görbék növekv®k (pozitív a meredekségük).

Speciális preferenciák (folyt.)


Speciális esetek

Az 1. zónában az X jószág is, és az Y jószág is hasznos, és a közömbösségi görbék negatív meredekség¶ek. A 2. zónában az Y már telített, ezen a területen a preferenciairányok észak és nyugat (felfelé és balra), és a közömbösségi görbék pozitív meredekség¶ek. Itt már a fogyasztónak kellene zetni azért, hogy még egy szelet tortát megegyen.





Y hasznos, de X semleges jószág. A fogyasztónak mindegy, hogy több vagy kevesebb jut neki X jószágból. Az egyetlen preferenciairány a felfelé, és így a közömbösségi görbék vízszintesek.




Pl.: Arisztid izzókat szeretne venni. Úgy tudja, hogy a hagyományos izzó és az energiatakarékos izzó fényereje ugyanolyan, mindössze az élettartamukban különböznek. Az energiatakarékos izzó háromszor annyi ideig világít, mint a hagyományos. Arisztid a palotáját korlátlan számú izzóval világítaná ki a lehet® legtovább. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit?

Speciális preferenciák (folyt.) Pl.: Arisztid izzókat szeretne venni. Úgy tudja, hogy a hagyományos izzó és az energiatakarékos izzó fényereje ugyanolyan, mindössze az élettartamukban különböznek. Az energiatakarékos izzó háromszor annyi ideig világít, mint a hagyományos. Arisztid a palotáját korlátlan számú izzóval világítaná ki a lehet® legtovább. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit?

x:

hagyományos izzó,

y:

energiatakarékos izzó

U (x , y ) = x + 3y Pl.: Arisztid sonkásszendvicse mindig egy zsemléb®l és egy szelet sokából áll. Az üres zsemlét és a sonkát magában nem eszi meg. Viszont minél több sonkát fogyaszt annál jobban érzi magát. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit? Hogyan változna meg a függvény, ha ezentúl mindig két sonkával enné a szendvicset?





Pl.: Arisztid sonkásszendvicse mindig egy zsemléb®l és egy szelet sokából áll. Az üres zsemlét és a sonkát magában nem eszi meg. Viszont minél több sonkát fogyaszt annál jobban érzi magát.

x:

zsemle (db),

y:

sonka (szelet)

U (x , y ) = min{x ; y } Hogyan változna meg a függvény, ha ezentúl mindig két sonkával enné a szendvicset?

U (x , y ) = min{2x ; y } Pl.: Tasziló salátalevet készít. Víz, cukor stb. korlátlan mennyiségben állnak rendelkezésre, az egyetlen sz¶kös jószág az ecet. Egy deciliter salátaléhez vagy két kanál 10%-os (x), vagy 1 kanál 20%-os (y) ecetet használna fel. Minél több salátalevet tud készíteni, annál jobban érzi magát. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit?

y = x + 2y




Speciális esetek

Pl.: Tasziló kerti ünnepséget rendez, amihez bevásárol m¶anyag kerti bútorokat. Megállapítja, hogy egy asztalnál (x) 6 széken (y) tudnak vendégek helyet foglalni. Minél több vendéget tud fogadni Tasziló, akik (ill®en) asztalnál foglalhatnak majd helyet, annál jobban érzi magát. Kellemetlen viszont számára, ha valaki nem tud az asztalhoz ülni. Annál több vendéget semmiképpen sem hív, mint amennyi szék rendelkezésre áll. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit az asztalok és székek vonatkozásában?

y = min{6x ; y }


Nevezetes hasznossági függvények CobbDouglas hasznossági függvény

U (x , y ) = x a y b Tökéletes helyettesítés

U (x , y ) = ax + by Tökéletes kiegészítés

U (x , y ) = min{ax ; by }

Deníció Az U és U 0 hasznossági függvény által leírt skála ordinálisan ekvivalens, ha U 0 az U pozitív monoton transzformáltja, azaz köztük a következ® összefüggés áll fenn: U 0 = F (U ), ahol dF > 0 F : R → R és dU



Nevezetes hasznossági függvények (folyt.)

Állítás Ha U és U 0 hasznossági függvény által leírt skála ordinálisan ekvivalens, akkor MRS = MRS 0 .

Bizonyítás Ha U 0 = F (U ), akkor MUx0 =

dF ∂ U dF = MUx dU ∂ x dU

MUy0 =

dF ∂ U dF = MUy dU ∂ y dU

és . Emiatt MRS 0 = .

MUx0 MUx = MRS = MUy0 MUy



Nevezetes hasznossági függvények (folyt.)


Speciális esetek

Pl.: Legyen

U (x , y ) = x 3 y 5

egy hasznossági függvény. Melyik

esetekben beszélhetünk pozitív monoton transzformációról?

F (U ) = 10U , F (U (x , y )) = 10x 3 y 5 F (U ) = −3U , F (U (x , y )) = −3x 3 y 5 F (U ) = U 2 , F (U (x , y )) = x 6 y 10 F (U ) = 1/U , F (U (x , y )) = x 1y 3

5

F (U ) = ln U , F (U (x , y )) = 3 ln x + 5 ln y F (U ) = −2/U , F (U (x , y )) = − x 2y 3

5


A jótékonyság modellezése



A jótékonyság modellezése (folyt.)


Speciális esetek

Jótékony célú adakozás 1994-ben, néhány kiemelt jövedelemsáv esetében Családi Adakozók Átlagos Átlagos adakozás jövedelem részaránya adakozás a család (dollár) (százalék) (dollár) jövedelmének arányában (százalék) 10 00019 000 64 209 1,36 30 00039 999 80 474 1,37 50 00059 999 84 779 1,44 100 000124 999 92 1846 1,71 150 000199 999 96 3546 2,09 500 000999 999 97 27 491 4,15 1 000 000-nál több 100 244 586 4,88 Átlagosan 75 960 2,14


Matematikai ismétlés



Deníció Egy A alaphalmaz esetén A × A tetsz®leges részhalmazát bináris (kétváltozós, vagy kéttagú) relációnak nevezzük: (a, b ) ∈ R ⊆ A × A ⇔ aRb .

6. hét

Matematikai ismétlés (folyt.)

K®hegyi - Horn

Pl.: 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12

H: H: H: H: H: H: H: H:

R : . . . magasabb, mint . . . R (valós számok), R :≤ R (valós számok), R := R (valós számok), R :> sík egyenesei, R : párhuzamos sík egyenesei, R : mer®leges Rn (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R := Rn (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R :≤ x ≤ y, ha xi ≤ yi , i = 1, . . . , n) H : magyarországi n®k, R : . . . testvére . . . -nak H : a Föld lakosai, R : . . . (vér)rokona. . .-nak H : magyarországi n®k, R : . . . anyja . . . -nak H : ez a csoport, R : . . . barátja . . . -nak

Speciális esetek

a Föld lakosai,


(pl.: def:



Megjegyzés

Speciális esetek

A reláció fogalma több változóra könnyen általánosítható: R ⊆ A × A × ... × A


Deníció (Relációk tulajdonságai) Legyen A alaphalmaz és rajta R egy reláció. Teljesség: ∀x , y ∈ A esetén xRy vagy yRx vagy mindkett®. Reexivitás: ∀x ∈ A-ra xRx. Tranzitivitás: ∀x , y , z ∈ A esetén, ha xRy és yRz ⇒ xRz. Szimmetria: ∀x , y ∈ A esetén, ha xRy ⇒ yRx. 1 2 3 4

Deníció Rendezési relációnak nevezünk egy relációt, ha teljes, reexív és tranzitív.




Deníció Ekvivalencia relációnak nevezünk egy relációt, ha reexív, tranzitív és szimmetrikus.

6. hét


K®hegyi - Horn

Pl.: A példaként megadott halmazok és reláció esetében döntsük el, hogy mely tulajdonságok teljesülnek. reláció+halmaz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

teljes

reexív

tranzitív

szimmetrikus


6. hét


K®hegyi - Horn

Speciális esetek

reláció+halmaz

teljes

reexív

tranzitív

szimmetrikus

1

Nem

Nem

X

3

Nem

X X

4

Nem

Nem

5

Nem

X

X X X X X

Nem

2

6

Nem

Nem

Nem

7

Nem

8

Nem

X X

X X

9

Nem

Nem

?

10

Nem

?

Nem

X X

11

Nem

Nem

Nem

Nem

12

Nem

?

Nem

?

Nem

X Nem

X X X Nem


Matematikailag kicsit precízebben

Deníció A H fogyasztási halmaz felett értelmezett ⊆ H × H bináris relációt preferenciarendezésnek nevezzük, ha teljes, reexív, tranzitív.

Feltevés RACIONALITÁSI POSZTULÁTUM: Feltesszük, hogy a fogyasztók ízlése (preferenciái) reprezentálható minden fogyasztó esetében egy preferenciarendezéssel. Ha x, y ∈ H a fogyasztási halmaz jószágkosarai, akkor az x y jelölése jelentése: A fogyasztó legalább annyira kedveli az y kosarat, mint az x kosarat.



Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)


Deníció

Speciális esetek

A ≺⊆ H × H relációt szigorú preferenciarelációnak nevezzük, ha a következ® teljesül


x ≺ y ⇔ x y, y x

Deníció A ∼⊆ H × H relációt közömbösségi preferenciarelációnak nevezzük, ha a következ® teljesül: x ∼ y ⇔ x y, y x

Állítás A preferenciareláció rendezési reláció, a közömbösségi preferenciareláció pedig ekvivalenciareláció.



Speciális esetek

Deníció Az x0 -hoz képest gyengén preferált halmaz: P (x0 ) ≡ {x|x0 x} Az x0 -hoz képest közömbös halmaz: K (x0 ) ≡ {x|x0 ∼ x} A gyengén preferált halmaz határának képét a jószágtérben közömbösségi görbének nevezzük. Az x0 -hoz képest gyengén diszpreferált halmaz: D (x0 ) ≡ {x|x0 x}



Deníció Preferenciák tulajdonságai Monotonitás: Ha xi ≤ yi , ∀i-re de valamely j-re xj < yj , akkor x≺y

Konvexitás: Ha x ∼ y esetén x t x + (1 − t )y, t ∈ [0, 1] Szigorú konvexitás: Ha x ∼ y esetén x ≺ x + (1 − t )y, t ∈ [0, 1] (ínyenceknek) Folytonosság: Ha minden x0 ∈ H esetén D (x0 ) és P (x0 ) zárt összefügg® halmazok.

Deníció Az U : H → R hasznossági függvény reprezentálja a ⊆ H × H preferenciarendezést akkor, ha U (x) < U (y) ⇔ x ≺ y U (x) = U (y) ⇔ x ∼ y





Állítás REPREZENTÁCIÓS TÉTEL (G. Debreu) Ha a ⊆ H × H preferenciarendezés folytonos és monoton, akkor létezik olyan U : H → R hasznossági függvény, amely reprezentálja.

Állítás Legyen V (z ), V : R → R egy tetsz®leges szigorúan monoton növekv® valós függvény és tegyük fel, hogy az U : H → R hasznossági függvény reprezentálja a ⊆ H × H preferenciarendezést. Ekkor a V [U (x)] összetett függvény is reprezentálja a ⊆ H × H preferenciarendezést.

Állítás Tegyük fel, hogy az U : H → R hasznossági függvény reprezentálja a ⊆ H × H preferenciarendezést. Ekkor U (x) szigorúan monoton növekv®, ha monoton.


Preferenciák eredete evolúciós megközelítésben



Pl.: Mostohák Otthoni élelmiszer-fogyasztás, 19721985 és családszerkezet (átlag

=

4305 dollár)

Változó Örökbefogadó anya gyermeke Mostohaanya gyermeke Nevel®anya és nevel®apa gyermeke

Az átlagtól való eltérés (dollár)

−204 −274 −365

Preferenciák eredete evolúciós megközelítésben (folyt.)



Pl.: Örökség

Fér

N®

végrendelkez®

végrendelkez®

Házastárs javára

69,8

42,4

Gyermekek javára

21,7

47,6

Összesen

91,5

90,0

Preferenciák empirikus meghatározása



Statisztikai-ökonometriai módszerekkel, pl.: Lineáris regresszióval Ha a hasznossági függvény pl. CobbDouglas típusú, akkor ordinális hasznosságot feltételezve logaritmikus transzformációval linearizálható:

U (x1 , x2 , . . . , xn ) = β1 x1 + β2 x2 + . . . + βn xn

Preferenciák empirikus meghatározása (folyt.)


Speciális esetek

Pl. (Varian): Ingázás hasznossága TW: teljes gyaloglási id® a buszhoz, vagy az autóhoz TT: teljes utazási id® percben C: utazás teljes költsége dollárban A/W: autók/dolgozók aránya a háztartásban R: háztartás fajtája (0, ha fekete, 1, ha fehér) Z: 1, ha fehérgalléros, 0, ha kékgalléros munkás

U = −0, 147TW −0, 0411TT −2, 24C +3, 78(A/W )−2, 91R −2, 36Z


Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

Recommend Documents