Miért lettem matematikus?

Miért lettem matematikus?

Miért lettem matematikus? Visszaemlékezések

Szerkesztette Róka Sándor

TYPOTEX Kiadó Budapest, 2003

Ez a könyv a Közoktatási Modernizációs Alapítvány támogatásával készült.

c Róka Sándor, Typotex, 2003

ISBN 963 9326 84 4

Kedves Olvasó! Önre gondoltunk, amikor a könyv el˝okészítésén munkálkodtunk. Kapcsolatunkat szorosabbra fuzhetjük, ˝ ha belép a Typoklubba, ahonnan értesülhet új kiadványainkról, akcióinkról, programjainkról, és amelyet a www.typotex.hu címen érhet el. Honlapunkon megtalálhatja az egyes könyvekhez tartozó hibajegyzéket is, mert – sajnos – hibák olykor el˝ofordulnak.

Kiadja a Typotex Kft. Elektronikus Kiadó, az 1795-ben alapított Könyvkiadók és Könyvterjeszt˝ok Egyesületének tagja http://www.typotex.hu Felel˝os kiadó Votisky Zsuzsa Felel˝os szerkeszt˝o Gerner József Muszaki ˝ szerkeszt˝o Gerner József Készült 17,5 A/5 ív terjedelemben a gyulai Dürer Nyomdában Felel˝os vezet˝o Megyik András ügyvezet˝o igazgató

Bevezeto˝

Miért lesz valakib˝ol matematikus? – hiszen annyi érdekes dolog van még a világon a matematikán kívül . . . De mégis! A matematika is érdekes, izgalmas, szép. Sokaknak az. Vajon miért? Ezek az önvallomások több oldalról megvilágítják ezt. Meghatározó hatás a feladatmegoldás élménye. Az önálló gondolkodás öröme. Egy kés˝obbi kedves gondolkodásemlékem egy 12 éves korom körül hallott feladványhoz kapcsolódik. A család egy barátja adta föl nekem azt a közismert feladatot, melyben 3 méréssel 12 érme közül kell egy kétkarú mérleg segítségével kiválasztani az egy (különböz˝o súlyú) hamisat. Ezt a feladványt hónapokkal kés˝obb sikerült a fürd˝okádban megoldanom. Mondanom sem kell, hogy hatalmas katarzist okozott a hosszú gondolkodás sikere. A mai napig hasonló katartikus örömet okoz, ha egy nehéz feladatot sikerül megoldanom. (Keleti Tamás)

Észreveszi a gyerek, hogy a matematika érdekes, érdemes vele foglalkozni. Nem kötelességtudásból teljesít, hanem azért teszi, mert nem

6 B EVEZET O˝

tud nem foglalkozni vele. A törököt fogtam, de nem ereszt szituációja ez. Ilyenkor el˝ofordul az is, hogy megálmodja egyes feladatok megoldását, amelyekkel ébren nem sikerült boldogulnia. Az meghatározó, hogy valakinek olyan legyen a természete, hogy állandóan foglalkozzék matematikával, akarjon matematikával foglalkozni. Sokan említik a KöMaL-t (Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok), amelynek megérkezése mindig esemény. A KöMaL feladatai általában érdekesek, többségük nagyon szép. Szellemi er˝ofeszítésre sarkallnak, melynek a megoldás a jutalma. Ezt az élvezetet nyújtja a folyóirat. Addig nemigen találkoztam olyan matematikai problémákkal, amiken napokig kellett gondolkoznom, hogy megoldjam. (A KöMaL-lal való találkozásig – a szerk.) Nehezen tudnám elmagyarázni annak, aki ilyet nem csinált, hogy mennyi izgalom, szenvedély és élvezet van benne. Az ember egy feladat megoldása során többször is érzi a csodát: „megvan!”, de aztán jön a csalódás, valami „kicsi” nem stimmel, a „nagyszeru˝ ötlet” mégse muködik. ˝ Amikor a tizedik ötlet se vezet eredményre, az ember úgy érzi, hogy már semmi újat nem képes kitalálni, akkor kell az er˝o a tizenegyedik ötlet kicsikarásához. Számos érzelmi „fel és le” után következik be a végleges kielégülés érzése: tényleg megoldottam a feladatot! Végül is a súlyemel˝o sportoló érzései is hasonlóak, amikor kituzi ˝ a célt, hogy egy bizonyos nagy súlyt fel kell emelnie. Az edzések, kis sikerek és sikertelenségek után végül felemeli. De a matematikában ezekhez az érzelmi élményekhez a matematika – mások számára nehezen leírható – szépsége társul.

B EVEZET O˝ 7 De be kell vallanom, a megoldás folyamatának gyötrelmes szépségén kívül volt még egy ok, amiért csináltam. Versenyezni akartam. Bizonyítani akartam, hogy a legjobbak között vagyok valamiben, amit a legfontosabb képességeim közé soroltam. Számomra még egy fontos jellegzetessége volt a matematikai problémamegoldásnak: bárhol, bármikor lehetett csinálni, a villamoson, a muhelyben, ˝ reszelés közben. Tehát mindig akadt rá id˝om. (Részlet Katona Gyula vallomásából)

Fontos lehet a KöMaL, ha egy 18 éves fiatal 1956 novemberében az osztrák határt KöMaLokkal a batyujában lépi át. „Pályaválasztásomra és pályafutásomra a KöMaL volt a legnagyobb hatással.” (Berzsenyi György) A vallomásokban gyakran szerepel a Reimanszakkör, a versenyek, a Fazekas, amelyek a matematika gyönyöruséges ˝ világába vezetnek. Megmutatják azt, hogy „a matematika nemcsak igazság, hanem fennkölt szépség is”, amint ezt Bertrand Russell megfogalmazta. Azt hiszem, mindenekel˝ott az számított, hogy elég értelmesnek és minden iránt érdekl˝od˝onek születtem. A másik alapvet˝o, hogy ez az érdekl˝odésem sok rossz tanár ellenére is megmaradt. (Fried Ervin)

Vannak jó tanárok is, akik kitun˝ ˝ oen ismerik szaktárgyukat, azt világosan el tudják magyarázni, és számonkéréskor következetesen magas mércét támasztanak. A matematika fontosságát hangsúlyozzák, s hogy az mennyire szép. Élményeket nyújtanak, nem száraz tananyagot. A memoárok olvasása közben kereshetjük a választ több fontos kérdésre is. Kinek milyen

8 B EVEZET O˝

a szerepe a felnövekv˝o gyerek életpályájának alakulásában? Melyiknek van nagyobb hatása erre: a családnak, a tanárnak, a környezetnek, a véletlennek? Milyen szerepet játszanak a versenyek, az osztálytársak, egy izgalmas matematikakönyv, egy érdekes matematikai feladat? Melyek azok a hatások, amelyek maradandók, amelyek sorsfordítók egy diák életében? Milyen élmények hatására indul el egy gyerek a matematika felé, és választja azt élethivatásnak? Mikor, milyen korban d˝olhet el, hogy valaki matematikus akar lenni? Az ifjúi években mennyire intenzív a matematikával való foglalkozás, és ez mib˝ol áll? A sokféle életút mutatja, hogy számtalan élethelyzet van, ahonnan út vezet a tudományok csúcsaira. Most már tudom, hogy aki matematikát tanul, az a tuzzel ˝ játszik. A matematika könnyen lenyugözi, ˝ elcsábítja, rabul ejti az embert. Csodálatos titkokat rejt, melyek egyike-másika kis szerencsével és kemény munkával megfejthet˝o. A megvilágosodás pillanatának katarzisa semmivel sem összehasonlítható, felemel˝o érzés . . . (Részlet Pach János vallomásából.)

A visszaemlékezéseket olvasva lehet csodálkozni azon, hogy miért dicsekszenek sokan azzal a nyilvánosság el˝ott a tévében, a lapokban, hogy diákkorukban matematikából bukásra álltak. És csak a matematikára szoktak „büszkék” lenni, más tárgyra nem. Ezek a memoárok kiváló, irodalmi értéku˝ írások. Köszönet érte a szerz˝oknek, akik hajlandók voltak megosztani velünk ifjúkoruk meghatá-

B EVEZET O˝ 9

rozó élményeit. A felkérést igyekeztünk mindenkihez eljuttatni, minden min˝osített matematikushoz. Az várható volt, hogy nem válaszol mindenki. Többen mégis vállalták, és megírták a pályaindító hatásokat. Reméljük, hogy az olvasók majd élvezettel forgatják a kötetet, s mindenki talál magának fontos mondatokat, gondolatot, történetet. A könyv elolvasása után többet megértünk abból, hogy a matematika mit˝ol érdekes, izgalmas, szép. Róka Sándor

Aczél János

Mire negyedikes gimnazista lettem (négy elemi után nyolc év gimnázium következett az akkori oktatási rendszerben), minden osztálytársam, legalábbis minden barátom tudta mi lesz bel˝ole, csak én nem. Egyszer aztán matematikai dolgozatot írtunk; annak javításakor avval jött be a tanár (Tima Lajos), hogy senki se oldotta meg a feladatokat helyesen, csak Aczél János. No, gondoltam, most már tudom: matematikus leszek. A tárgy addig is tetszett, ekkor elkezdtem falni a matematikakönyveket (RademacherToeplitz Von Zahlen und Figuren és Courant Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung jut eszembe, de egyetemi tankönyveket is olvasgattam), megoldani feladatokat. Az a matematikatanár is, a következ˝o (Bölcsházi Árpád) is (egy harmadik határozottan nem) bátorított, beszélgetett velem, de hamarosan már azt mondták szüleimnek, hogy nekem már nem tudnak újat tanítani. Én nem bántam, tudtam már magamtól tanulni, o˝ k hagyták csinálni, amit szerettem (ezt akkor tudtam igazán utólag is

A CZÉL J ÁNOS 11

megbecsülni, amikor az a bizonyos harmadik tanár nem hagyott), amiért nagyon hálás voltam és vagyok nekik. Szüleim nem ellenezték érdekl˝odésemet, csak azon aggódtak, mib˝ol él meg egy matematikus. Akkor (1940) éppen megszunt ˝ a Középiskolai Matematikai (és Fizikai) Lapok (szerencsére csak ideiglenesen). A helyébe lép˝o folyóiratból (már nem emlékszem a nevére) oldogattam feladatokat és küldtem be megoldásokat, volt, ami a nevemmel meg is jelent. Alexits Györgynek a matematika megalapozásáról, halmazelméletr˝ol szóló szabadegyetemi el˝oadásaira jártam, azok nagyon érde˝ külön is foglalkozott velem is, más keltek. O én-korombeli diákkal is, különböz˝o iskolákból bementünk hozzá (a Reáltanoda utcában, a mostani MTA Rényi Matematikai Kutató Intézet helyén tanított), elmondtuk mivel foglalkozunk, kérdéseket tettünk fel, o˝ válaszolt, úgy tanított, hogy nem látszott tanításnak. Gallai Tibor többünkkel több iskolából (Fuchs Lászlóra és Lax Péterre emlékszem, az el˝obbi most a New Orleans-i Tulane University, az utóbbi a New York University professzora) rendszeresen foglalkozott, feladatokat adott, megvitattuk a megoldásokat, elmondta a hátterüket, összefüggéseket, a középiskolai anyaggal kapcsolatos, de azon messze túlmen˝o tárgyakról beszélt, nagyon sokat tanultam t˝ole. Több osztálytársam közt és a párhuzamos vagy egy-kett˝ovel fölöttem vagy alattam lév˝o osztályba járók között is volt jó matematikus, azokkal beszélgettünk matematikáról és baráti versengésfélében is voltunk. A gim-

12 A CZÉL J ÁNOS

náziumban volt matematikai kör, annak lelkes résztvev˝oje, el˝oadója, bírálója, végül elnöke voltam. Versenyen tulajdonképpen csak az Eötvös Loránd Tanulmányi (kés˝obbi Kürschák) Versenyen vettem részt és (mint egy bizottsági tag kés˝obb elmondta nekem) „majdnem díjat kaptam” (valamivel alatta maradtam a mércének). A matematikán kívül a magyar és a világirodalom is érdekelt. Bár a középiskolai „memoriterekkel” (kívülr˝ol megtanulandó versekkel) sokszor volt bajom, ami tetszett nekem, az a fülemben ragadt amint olvastam, és sokra még most is (elég) pontosan emlékszem. Édesapámmal vasárnaponként kirándulni jártunk jó id˝oben a budai hegyekbe, közben, szintén emlékezetb˝ol, magyar és német verseket mondott nekem, azokból is sokat megjegyeztem, azonkívül a sétálást, hegymászást is megszerettem. Más sportként csak síeltem és úsztam, az utóbbit még most is rendszeresen csinálom. Németül nemcsak azért tudok, mert kötelez˝o tanítási nyelv volt, hanem mert anyai nagyanyám bécsi volt és velünk lakott, úgyhogy otthon, ha o˝ is ott volt, németül beszéltünk – kivéve, ha valamit nem akartunk, hogy megértsen. Ha viszont azt nem akarták szüleim, hogy én megértsem, akkor franciául beszéltek egymással. Bosszúságomban egy barátommal együtt egy francia tanítón˝ot˝ol megtanultam franciául. Angolul szüleim taníttattak (bár o˝ k nem beszélték a nyelvet). A Berzsenyi gimnáziumban a másik idegen nyelv az olasz volt, Kardos Pál, kés˝obb az Eötvös egyetem professzora kitun˝ ˝ o tanárom volt, úgy megtanultam

A CZÉL J ÁNOS 13

olaszul, hogy kés˝obb Olaszországban olaszul (bár tört olaszsággal) tudtam el˝oadni. Mindezeken a nyelveken (és a kevésbé jól megtanult latinul is) olvastam verseket, elbeszéléseket, regényeket nagy élvezettel. Az (irodalmi) önképz˝okörben is örömmel vettem részt. Néhány más tárgyban kevésbé voltam jó, különösen azt sajnálom utólag, hogy „természetrajzból” (állatés növénytan) nem tanultam többet. Ahogy emlékszem, olvasáson, színházon, operán, mozin, a Margitszigeten fiúkkal és lányokkal sétáláson, beszélgetésen és a fenti sportokon kívül minden szabad id˝omet matematikával töltöttem. A szörnyu˝ id˝ok (és édesanyám idegállapota) ellenére tulajdonképpen kellemes, jó diákkorom volt, amit, azt hiszem, jól kihasználtam. Aczél János (1924, Budapest) professor emeritus (University of Waterloo); a Magyar Tudományos Akadémia küls˝o tagja (1990). Szülei foglalkozása: gyári képvisel˝o és háztartásbeli. Iskolái: Rácz-féle elemi iskola, budapesti angol iskola, Berzsenyi Dániel Gimnázium. 1947-ben végez matematika–fizika szakos tanárként a Pázmány Péter (ill. Eötvös Loránd) Tudományegyetemen. Munkahelyei: Szegedi Tudományegyetem, Miskolci Nehézipari Muszaki ˝ Egyetem, Kossuth Lajos Tudományegyetem, University of Waterloo. 1947-ben egyetemi doktor, 1952-ben kandidátus, 1957-ben a matematikai tudományok doktora. Díszdoktorátusok: 1990 Karlsruhe (közgazdaságtan), 1995 Graz (matematika), 1996 Katowice (matematika), 2000 Miskolc (matematika). A Royal Society of Canada Academy of Science rendes tagja. Kutatási témája: függvényegyenletek módszeres elméletének megteremtése és alkalmazása többek

14 A CZÉL J ÁNOS között geometriára, általánosított csoportokra, valószínu˝ ségi eloszlásokra, információmértékekre, mérés- és haszonelméletre, matematikai pszichológiára és matematikai közgazdaságtanra.

Ádám András

Bizonyára sokan vannak a kollégáim között, akiknek a szakmai visszapillantása magától értet˝od˝oen azzal indulna, hogy nem is o˝ k választottak pályát, hanem a pálya választotta o˝ ket; hogy tudatos létük ébredését˝ol kezdve elvont problémák megoldása volt a kedvenc id˝otöltésük; hogy – kis túlzással – felcsepered˝o gyermekként sem tudták másképp elképzelni feln˝otti tevékenységüket, mint hogy a definíciók, tételek és bizonyítások világában mozogjon a munkájuk. Énrám kevéssé illik ez a sablon. Bonyolultabb és véletlenszerubb ˝ úton jutottam el oda, hogy a matematika vált a hivatásommá. Igaz ugyan, hogy számolgatásakkal és (közlekedési vagy egyéb) hálózatokkal kapcsolatos spekulációkkal mindig is szívesen töltöttem az id˝omet, de sok minden egyéb is érdekelt. Mihelyt megtanultam olvasni, mániákus betuhabzsolóvá ˝ váltam – a súlyos függ˝oség azóta is változatlan; volt id˝oszak ennek keretében, amikor szívesen lapozgattam Sztrókay Kálmán ismeretterjeszt˝o természettudományi könyveit („A természet titkai nyomában”, „Az ember és a csillagok” stb.),

16 Á DÁM A NDRÁS

és egy ideig a csillagászatot emlegettem leend˝o foglalkozásomként. Ez azonban csak egyik ága volt a többoldalú érdekl˝odésemnek; ha pl. történelemmel foglalkozó könyvek vagy irodalmi tanulmányok kerültek a kezembe, azok tartalma éppúgy magára vonta a figyelmemet. Az értekez˝o próza mellett persze irodalmi muvekre ˝ (még tízéves kor alatt f˝oleg Verne, néhány évvel kés˝obb Jókai és mások) szintén kiterjedt az olvasási hajlandóságom. Amit eddig mondtam, abból szinte semmi sem bontakozott ki, ami a kés˝obbi pályaválasztás szempontjából dönt˝o lenne, hacsak a határozott elméleti irányultság nem: az, hogy sem a reális tárgyakkal manuálisan foglalkozó tevékenységek, sem pedig az ember és ember közötti kapcsolatok mindennapos gyakorlása iránt nem éreztem vonzalmat. Említettem az imént Sztrókay könyveit. Úgy tudom, van egy kötete, amely „Az ember és a számok” címet viseli; nem tudok rá visszaemlékezni, hogy ott lett volna az olvasmányaim sorában. (A 2. világháború utolsó id˝oszakának és a következ˝o éveknek szukös ˝ viszonyai nem kedveztek a könyvekhez való hozzájutásnak.) Egmont Colerus könyve, „Az egyszeregyt˝ol az integrálig” rövid id˝ore alighanem a kezembe került valahonnan, de nem tudott lekötni; ez múlhatott a könyv fogyatékosságain is és a túl fiatal koromon is. Péter Rózsa remekmuve, ˝ a „Játék a végtelennel” – éppen fordítva – kés˝obb jutott el hozzám, mint amikor leginkább gyümölcsöz˝oen hathatott volna.

Á DÁM A NDRÁS 17

Miel˝ott az utolsó középiskolai évekr˝ol és az egyetemi felvételr˝ol szólnék, jó el˝orebocsátanom a matematikához nem tartozó két témát (egy személyeset és egy társadalmit). Ebben az id˝oszakban fedeztem fel, az érzelmek ébredésével párhuzamosan, a klasszikus és – talán annál is jobban – a romantikus kor kiemelked˝o zeneszerz˝oi muzsikájának szépségeit, emocionális gazdagságát. Más oldalról pedig az játszott bele a sorsom alakulásába, hogy az 1950 körüli id˝okben – Sztálin élete végs˝o szakaszában – Magyarország olyan széls˝oséges önkényuralom bilincseiben élt, amelynek légkörét a kés˝obbi korosztályok nem is tudják teljes súlyosságában felfogni (még az sem, akinek az 1960-as évekr˝ol már vannak tapasztalatai). Érdekl˝odéssel olvasgattam a számelméletr˝ol és az algebráról akkoriban kiadott népszeru˝ könyveket (Berman, Perelman), arra azonban nem gondoltam, hogy magam is képes lennék eredeti eredményeket elérni a matematika valamelyik területén. Ám – szerencsémre – volt szakember, aki bízott bennem, ha én magam nem bíztam is. Igen nagy hálával gondolok vissza Szénássy Barnára, a magyar matematika történetének kiváló kutatójára, aki a debreceni egyetem matematikai intézetének volt a tagja, ebben az id˝oben ˝ rendszeresen megfordult mint adjunktusként. O szakfelügyel˝o a hajdúszoboszlói gimnáziumban, ott felfigyelt rám, és ismételten buzdított, hogy jelentkezzem a matematikai versenyekre. Így az érettségit megel˝oz˝oen, 1952 tavaszán is részt vettem Debrecenben az országos (tehát központilag

18 Á DÁM A NDRÁS

kituzött ˝ feladatok megoldásában vetélked˝o) tanulmányi versenyen. Ezen, noha nem vagyok versenyz˝oi alkat, meglep˝oen jól szerepeltem. A verseny zsurije ˝ egy els˝o és két második díjat adott ki, továbbá tizenkét versenyz˝ot részesített els˝ofokú és ötvenegynéhányat másodfokú dícséretben. Ott voltam a komolyabban megdícsért tizenkettek sorában. Nem voltak egyértelmu˝ terveim a jöv˝omr˝ol, egyetemi jelentkezést a Muszaki ˝ Egyetem egyik karára adtam be, úgy gondolva, hogy a matematika ott kulcsszerepet játszik a jelentkez˝ok közötti válogatásban. Elképzelésem szerint az utakkal és hidakkal foglalkozó mérnöki munka érdekes tevékenység is és megfelel˝o kenyérkeresetet is biztosít majd, ami mellett a szabad id˝omben kedvemre elmélyedhetek a nagy mesterek zenéjének világában. (Kevéssé lehetett fogalmam a tervez˝oi és kivitelez˝oi mérnöki tevékenység közötti különbségr˝ol; ha úgy alakul, csak a tervezés lehetett volna nekem való.) Az egyetemi felvételek elbírálásának volt egy nyilvános és volt egy zártköruen ˝ gyakorolt rendje. A közismert szempontok szerint annak, aki kitun˝ ˝ o eredménnyel végezte a középiskolát és er˝os a matematikában, automatikusan ott a helye az els˝oéves egyetemisták között. Ténylegesen azonban – Sztálin életének utolsó évében jártunk! – a titkos válogatás érvényesült, amely keveset tör˝odött a rátermettséggel, hanem a családi háttér politikai érdemei vagy bal-érdemei szerint szelektált.

Á DÁM A NDRÁS 19

Nálam az esett súlyosan latba a mérleg negatív serpeny˝ojében, hogy édesapám az 1940-es évek elején 40 hold (23 hektár) területu˝ családi gazdaságot örökölt; ezt ugyan óhatatlanul fel kellett ajánlani a termel˝oszövetkezetnek, még 1952 el˝ott, akinek azonban ekkora földterület valaha is birtokában volt, az az úgynevezett kulákrendeletek értelmében mint „falusi kizsákmányoló” továbbra is megbélyegzett embernek min˝osült (tekintet nélkül a körülményekre). Ilyen módon az én származási besorolásom nem értelmiségi, hanem osztályidegen (röviden X-es) volt. A Muegyetem ˝ típuslevélben arról értesített (a lehet˝o legkés˝obbre halasztva), hogy helyhiány miatt nem nyertem felvételt. Ebben a helyzetben Szénássy Barna a kollegiális együttmuködés ˝ eszközéhez nyúlt, hogy az „osztályidegenek” egyetemi felvételét kizáró titkos hivatali ügyintézés megkerülésére bizalmas kiskaput találjon, és így engem mégis bejuttasson a debreceni egyetem matematika–fizika szakára. Kés˝obbi (sok évtizedes) munkahelyem els˝o igazgatója, Rényi Alfréd professzor, az ELTE-n és a kutatóintézetben végzett munkája mellett jó kapcsolatot tartott a debreceni egyetemmel mint vendégel˝oadó és mint a debreceniek szakfolyóiratának egyik alapító szerkeszt˝oje. Harmincat alig meghaladó korban már nagy tekintélyu˝ matematikusnak számított, emellett befolyása volt az ország ügyeit intéz˝o körökben. Megtudván Szénássytól az egyetemi felvételem ügyének zsákutcába kerülését, Rényi el tudta érni azt,

20 Á DÁM A NDRÁS

hogy a debreceni egyetem fels˝o üzenetet kapjon Budapestr˝ol, ami szerint az Ádámot fel kell venni. Így lehettem egyetemi hallgató 1952-ben, október tizedike táján. Rényi Alfréd anélkül járt közben az érdekemben, hogy engem személyesen ismert volna. Feltehet˝oen semmit sem tudott rólam Szénássy Barna információin kívül. (Az ellenkez˝o eset sem zárható ki teljesen. Biztosra vehet˝o, hogy Rényi apósa mint orvoskollégát ismerte apámat; kérdéses, volt-e Rényinek err˝ol tudomása.) Az 1980-as évek második felében – sok évvel Rényi korai halála után – szerezte meg az id˝os Szénássy professzor az akadémiai doktori fokozatot. A védése alkalmával tudtam meg t˝ole a felvételem kulisszatitkait, hogy az ügyem túlterjedt a debreceni egyetem berkein. Az egyetemre bejutván irányt igyekeztem adni a matematikai érdekl˝odésemnek. Els˝osorban az algebrai-kombinatorikus jellegu˝ el˝oadások érdekeltek, amelyeket – tragikusan rövid élete végén – Szele Tibor professzortól, valamint tanszékének tagjaitól, így Kertész Andor adjunktustól hallgattam. Varga Ottó professzor tárgyai közül a harmadéveseknek el˝oadott axiomatikus geometriát találtam élvezetesnek. A fels˝obb hallgatói években speciálkollégiumok felvétele, tudományos diákköri munka is hozzájárult az ismereteim gyarapításához. Az algebrai kurzusokhoz hozzáolvastam Van der Waerden modern algebráról írt könyvének egyes részeit, tanulmányoztam Kalmár László szegedi professzor halmazelméleti és matematikai logikai jegyzeteit.

Á DÁM A NDRÁS 21

(Debrecenben halmazelméletet kevéssé volt mód hallgatni, logikát szinte egyáltalán nem.) Ahhoz, hogy tudományos irányban tájékozódjam, az els˝o lökést egy negatívum adta: az, hogy a középiskolai tanári életpálya nem vonzott. Hamarosan kitunt ˝ azonban, hogy a matematikai diszciplínák lebilincsel˝o rendje és logikája nagyon is kedvemre való. Egyre határozottabbá vált a reményem, hogy akadnak olyan elméletek a modern matematika roppant területén, hogy azok egyik-másik ágának a fejl˝odéséhez hozzá tudok járulni. Ez pedig olyan színvonalú hivatásnak ígérkezett, amely az életemnek magasrendu˝ tartalmat adhat. A négy egyetemi év – úgy érzem – más emberré formált. Egyebek mellett azzal is, hogy az oktatóimra mintaképekként nézhettem fel. Nem mondhatom persze, hogy az egyoldalúságaik – annyi, amennyi mindenkiben van – észrevétlenek maradtak el˝ottem; tiszteletet ébresztettek viszont azzal, hogy öntörvényu, ˝ kreatív embereket láttam bennük, nem pedig egy bürokratikus gépezet csavarjait. Éppen azáltal volt rám nevel˝o hatásuk, hogy közvetlen értelemben nem neveltek – csak példát mutattak. Az egyetem befejezésével ismét válaszút elé került az életem. (Igaz, a kockázat most nem volt akkora, mint amikor a bármiféle egyetemi felvétel meghiúsulása fenyegetett.) Debrecenben sem oktatóként, sem aspiránsként nem volt esélyem az egyetem matematikai intézetébe kerülni. A helyzetem a debreceni és szegedi matematikusok jó személyes kapcsolata révén oldó-

22 Á DÁM A NDRÁS

dott meg. Kalmár László Szegeden az egyetemi tanársága mellett mint félállású kutatóintézeti osztályvezet˝o is muködött; ˝ rendelkezett ilyen módon Rényi (budapesti székhelyu) ˝ intézetének néhány álláshelyével. Kertész Andor ajánlására Kalmár professzor el˝oször szegedi középiskolai tanári állásba juttatott, együttmuködhettem ˝ eközben – mint küls˝o munkatárs – a kutatócsoportjával. Az els˝o közleményeim érlel˝odése nyomán 1957 o˝ szét˝ol f˝oállású kutatóként tevékenykedhettem Kalmár vezetésével (Rényi intézetének tagjaként) a szegedi egyetemen. A viharos 1956/1957. tanévben folytatott, nem valami sikeres tanári muködésemre ˝ ezután már csak mint rossz emlékre tekinthettem vissza. Az 1964-ig tartó szegedi éveim elején elmélyült a kombinatorikai érdekl˝odésem a gráfelmélet területén, és megismerkedtem az absztrakt automaták akkoriban kialakuló algebrai elméletével – két olyan tárgykörrel, amelyeket azóta is muvelek. ˝ Záró gondolatokként egy kedvez˝otlen és két igen el˝onyös körülményt említek meg a matematikusi hivatás emberi vonatkozásait illet˝oen. Egyfel˝ol – Ian Stewart szavaival – „a matematika egyik legnagyobb problémája az, hogyan magyarázza el mindenki másnak, mivel is foglalkozik”. Pollák György, a nemrég fájdalmasan elvesztett barátom és kollégám pedig így fogalmazta meg a matematikusok kapcsolatteremtési nehézségeit: „Kellett nekem számelmélet? Minden jó komám elszéledt.”

Á DÁM A NDRÁS 23

Másrészt viszont kivételes szerencse, hogy a matematika összecseng a humán tudományterületekkel abban, hogy gondolati konstrukciókat kiépít˝o tudomány, és ugyanakkor – Neumann János egy meglátását variálva – az állítások helytálló voltának benne éppen úgy (talán nem tévedhetetlen, de mégiscsak) objektív mércéje van, mint a reális tudományokban. Emellett a matematika muveléséhez ˝ csupán id˝o, nyugalom, a szakirodalomhoz való hozzájutás, íróeszközök szükségesek; nem léteznek olyan bonyodalmak, amilyenekkel – mondjuk – a helyhez kötött és költséges berendezésekkel tevékenyked˝o vegyésznek kell szembenéznie; nem is beszélve arról a korlátozottságról, amiben egy megfigyel˝o csillagásznak az égbolt borús vagy felh˝otlen volta és a távcs˝o használati idejéért való versengés folytán van része. A 20. század közepe óta a matematika gazdagodása hatalmas ütemben felgyorsult. Tartani lehet t˝ole, hogy az óriási produkciónak csak kis hányada épül be a tudomány f˝o áramlataiba, sok minden pedig mellékesnek, mulandónak bizonyul. Mégis minden matematikusban él az a – megalapozott vagy alaptalan – illúzió, hogy akad az életmuvében ˝ néhány lap, amely híven tükrözi vissza az Erd˝os Pál által sur ˝ un ˝ emlegetett örökkévaló KÖNYV gondolatait, amely lapok ideái osztoznak valamelyest Püthagorasz tételének id˝otlen igazságában, amint azt Adalbert von Chamisso verséb˝ol ismerjük:

24 Á DÁM A NDRÁS

„Die Wahrheit, sie besteht in Ewigkeit, Wenn erst die blöde Welt ihr Licht erkannt: Der Lehrsatz, nach Pythagoras benannt, Gilt heute, wie er galt zu seiner Zeit. Ein Opfer hat Pythagoras geweiht Den Göttern, die den Lichtstrahl ihm gesandt; Es taten kund, geschlachtet und verbrannt, Ein Hundert Ochsen seine Dankbarkeit. Die Ochsen seit dem Tage, wenn sie wittern, Dass eine neue Wahrheit sich enthülle, Erheben ein unmenschliches Gebrülle; Pythagoras erfüllt sie mit Entsetzen; Und machtlos, sich dem Licht zu widersetzen, Verschliessen sie die Augen und erzittern.” (Az igazság örökké megmarad, ha egyszer láttad fényét, d˝ore Föld; a tétel, melyet századok el˝ott Püthagorasz talált, ma egyre hat. Az istenek kegyéb˝ol fény fakadt, s a hála máglyatuzre ˝ készti o˝ t: letaglózott és véresen leölt ökröknek száza volt az áldozat. S ha új igazság ébredését sejti, e naptól fogva minden marha borzad: üvöltést hallat, embertelen-torzat, Püthagorasz tettét˝ol félve retten, tehetlen áll a fénysugárral szemben, csak reszket és szemét el˝ole rejti.)

Á DÁM A NDRÁS 25 Ádám András (1934, Hajdúszoboszló) a Magyar Tudományos Akadémia Rényi Alfréd Matematikai Kutató Intézetének tudományos tanácsadója, akadémiai doktor (1986). Matematika–fizika szakos tanárként végez Debrecenben. Kutatási témája: diszkrét matematika, gráfelmélet, igazságfüggvények, az absztrakt automaták elmélete. Két angol nyelvu˝ tudományos monográfia szerz˝oje (Akadémiai Kiadó, 1968 illetve 1996).

Berzsenyi György

Miért lettem matematikus? A kérdésre könnyu˝ lenne tömören válaszolnom, mert nagyszeru˝ emlékeim vannak a sok érdekes versenyfeladatról, melyekkel mint gimnazista küszködtem, a sok szép megoldásról, melyeket mint a KöMaL rendszeres olvasója megcsodáltam, és a gyönyöru˝ tételekr˝ol, melyeket a matematika terén, mint diák, megismertem. De eredetileg mégsem matematikus akartam lenni. Ezért talán jobb, ha kevésbé tömören válaszolok. Budapesten születtem 1938. augusztus 17én. Apám, szentlászlói és balatonfüredi Vargha Miklós tüzértiszt volt, és a háború befejeztéig Szombathelyen szolgált. Miután ott át kellett adnunk lakásunkat a megszálló orosz katonaságnak, Niklára költözködtünk, hol édesanyám, Berzsenyi Kornélia, visszakapott 100 holdat a hajdani Berzsenyi-birtokból, melyen apám nagyszeruen ˝ gazdálkodott pár évig. Sajnos azt is fel kellett adnunk, s˝ot ottani házunkból is kilakoltattak minket. A kés˝obbi Berzsenyi Múzeum épületébe kerültünk, hol kés˝obb anyám,

B ERZSENYI G YÖRGY 27

ki a költ˝o egyik dédunokája volt, mint gondnok dolgozhatott. Elemi iskoláimat Niklán végeztem a 6. osztály kivételével, melynek során apámmal Budapesten voltam, hol az Irányi utcai iskola tanítványa voltam. A csurgói gimnáziumban folytattam tanulmányaim, hol sok nagyszeru˝ tanárom közül a magyartanárom, Üt˝o Mihály emelkedett ki. Az o˝ hatására, valamint az iskola névadójának, Csokonainak és Berzsenyi Dániel ükapámnak a nyomdokait követve eredetileg irodalmi pályát választottam volna. De jött az 56-os forradalom, melynek mint utolsó éves gimmazista, én is aktív részese voltam – Csurgón, Niklán, valamint Budapesten is. El kellett hagynom hazámat, s minthogy Amerikában nem lett volna célszeru˝ a magyar irodalmat tanulmányozni, második kedvenc tantárgyamra, a matematikára váltottam át. Id˝oközben felvettem anyám családi nevét, de büszkén emlékszem apám örökségére is. Egyetemi diplomáimat már itt, az Egyesült Államokban szereztem, majd Louisianában és Texasban tanítottam állami egyetemeken az els˝o 21 év során. Szakterületem a komplex analízis volt, melyben több jó dolgozatom jelent meg (a Journal of Mathematical Analysis and Applications, Applicable Analysis, stb. kiadványokban). Az akadémiai ranglétrán is felkapaszkodtam a professzori rangra (1981-ben), majd 1988-ban feladtam véglegesített pozíciómat (tenure) és átvettem Indianában a Rose-Hulman Institute of Technology-n a matematika tanszék vezetését. Azt a pozíciót 6 évig töltöttem be, majd miután

28 B ERZSENYI G YÖRGY

ismét véglegesítettek, visszatértem a tanári pályára mint professzor. 1999-ben nyugdíjba mentem 32 évi tanítást követ˝oen – nem számítva több évi gyári munkát, mellyel kenyerem kerestem az emigráció els˝o éveiben. Csurgói diákkoromban f˝oleg a Középiskolai Matematilai Lapok és a különböz˝o matematikai versenyek vonzottak a matematikához, de arra csak kés˝obb jöttem rá, hogy matematikában Magyarország az egész világ részére példakép a tehetségkutatás és a tehetséggondozás terén. Mint egyetemi tanár, rádöbbentem, hogy itt nincs hasonló kultusza a feladatmegoldó versenyeknek, és (a kés˝obbi matematikai olimpiai versenyek és a Putnam Competition kivételével) még a versenyek stílusa is más. A legtöbb versenyen rengeteg feladattal kell, hogy megbirkózzanak a diákok szigorúan rövidre mért id˝o alatt. Szerencsére a legjobb feladatmegoldók gyakran gyorsak is, és e hatalmas ország sok diákja közt sok a tehetséges is. Így nem probléma összeállítani egy 6 vagy 8 tagú csapatot, mely eredményesen tudja az országot képviselni. De ha a csapatok létszáma 600 vagy 800 lenne, nem tudnánk megállni a helyünket, mert a tehetséges diákok tömegét nem készítjük fel megfelel˝oen. Több programom a KöMaL példájára épült és arra irányult, hogy a tehetséges ifjúság ezreivel ossza meg a feladatmegoldás gyönyöreit. Ezek egyike a USA Mathematical Talent Search, mely továbbra is nagyszeruen ˝ muködik ˝ a National Security Agency (NSA) vezetésével (honlap: www.nsa.gov/programs/mepp/usamts.html).

B ERZSENYI G YÖRGY 29

Az egyetemi tanítás, a kutatómunka és a szükséges adminisztrációs teend˝ok mellett pályám legf˝obb célja mindig az volt, hogy valamelyest átültessem Amerikába a magyar tehetségkutatás és tehetséggondozás módszereit és eszközeit. Ezzel továbbra is foglalkozom, de újabban sikerült visszatérnem irodalmi érdekl˝odési területeimre is. Eddigelé f˝oleg csak a matematika terén írtam sokat. Többek közt éveken át vezettem rendszeres rovatokat a következ˝o országos és nemzetközi kiadványokban: Mathematics Student, Arbelos, Consortium, Quantum, Math Horizons és a Mathematics and Informatics Quarterly. Mindegyikben a KöMaL-t tartottam szem el˝ott mint példát, de azt csak megközelíteni tudtam. Munkásságomért 1996-ban megkaptam a Word Federation of National Mathematics Competition-tól az Erd˝os-díjat. A fentieket összegezve: pályaválasztásomra és pályafutásomra a KöMaL volt a legnagyobb hatással. Amikor 1956. november 29-én átléptem az osztrák határt, batyumban annak a még el nem olvasott számait cipeltem magammal. A versenyeket is élveztem, mert iskolámban mindig els˝o voltam, és még a megyén belül is meg- megálltam a helyem. Évekkel kés˝obb nagy élvezettel olvastam Martin Gardner rovatát és könyveit is; az ifjúkori befolyások mellett o˝ volt rám a legnagyobb hatással. De sajnos az is igaz, hogy a Magyarországot tépdes˝o történelmi viharok is többször beleszóltak sorsom alakulásába, és valóban messzire sodortak h˝on szeretett szül˝oföldemt˝ol.

30 B ERZSENYI G YÖRGY Berzsenyi György (1938, Budapest) professor emeritius; PhD (1969). Szülei foglalkozása: katonatiszt és földbirtokos. Iskolái: általános iskolába Niklán (Somogy) és Budapesten jár, majd a Csokonai Gimnáziumba Csurgón, míg az egyetemet az USA-ban végzi (University of Dallas és Texas Christian University). Munkahelyei: Northeast Louisiana University, Lamar University, Rose-Hulman Institute of Technology. Kutatási témája: komplex analízis, számelmélet, matematikai versenyek szervezése, versenyproblémák összeállítása, feladatrovatok vezetése.

Bollobás Béla

Édesapám orvos volt, s már születésem el˝ott arról álmodott, hogy egyetlen fia is orvos lesz. Mindent megtett azért, hogy a sebészet érdekeljen, s szépnek tartsam az orvos munkáját. Úgy hatéves lehettem, amikor csináltatott komolyan megszerkesztett pici mut˝ ˝ oasztalt, fogászati széket és apró orvosi muszereket. ˝ Egy ideig nagyon sikeres volt ez a buzdítás, mert orvosnak készültem, s lelkesen operáltam békákon. Nyolckilenc éves koromban, elég rejtélyes módon, orvosi pályámnak durván vége szakadt, miel˝ott elkezd˝odhetett volna: valami ismeretlen vagy elfelejtett ok miatt elkezdtem irtózni a vért˝ol és a békáktól. Ez az irtózásom azóta is tart: egy béka láttára majdnem szörnyethalok. A matematika, vagy inkább a számtan iránti érdekl˝odésem is úgy nyolcéves koromban kezd˝odött. Nem emlékszem semmi drámai kezd˝opontra, csak azt vettem észre, hogy jobban szeretem, mint a többi tárgyat, s világosan jobb vagyok benne, mint osztálytársaim. Ezt id˝ovel a tanító megmondta Édesapámnak, aki maga is kipróbálta, hogy meg tudok-e oldani nehezebb

32 B OLLOBÁS B ÉLA

„szöveges” példákat. Azt hiszem, kicsit meglepve tapasztalta, hogy egészen jó voltam. Édesapám hamarosan el˝ovette gimnáziumi matematika- és fizikakönyveit, s javasolta, hogy ha úgy szeretem a számtant, olvassam azokat a könyveket. Félig-meddig együtt olvastuk el azokat a könyveket; pontosabban, én elolvastam egy-két fejezetet, s este megbeszéltük, amit olvastam. Jó lenne mondanom, hogy ezek milyen jó könyvek voltak s mennyire lelkesítettek, de ez nem volt így; sajnos elég száraz, unalmas könyvek voltak. Ennek ellenére nem volt túl nehéz elolvasnom o˝ ket, s néhány hónap múlva kifutottam ebb˝ol az anyagból. Papám gimnáziumi könyveinek legérdekesebb részei fizikai kísérletekkel és asztronómiával foglalkoztak: olyan témák merültek fel benne, mint Kopernikusz, Kepler, Galilei, Herschel, Adams és Galle kutatásai a bolygókról és a különböz˝o lencsékr˝ol, Newton törvényei és színgyur ˝ ui, ˝ hogyan készített az id˝os és ifjú Guinaud optikai üveget, hogyan becsülték meg a hang és a fény sebességét, hogyan mérték meg különböz˝o égitestek távolságát s így tovább. Ezek után talán nem meglep˝o, hogy kilenc éves koromtól néhány évig azt reméltem, hogy csillagász leszek, s majd szabad id˝omben igazi szerelmemmel, a matematikával foglalkozom. Az, hogy esetleg matematikus is lehetnék, aki nem tanítással, hanem kutatással keresi kenyerét, eszembe sem ötlött: nem hittem, hogy bárki is fizetne valakit azért, hogy állandóan csak matematikai kutatással foglalkozzon. Ez az elképzelés nem is állt olyan messze az igazságtól:

B OLLOBÁS B ÉLA 33

mint Wigner Jen˝o írta, nem sokkal korábban csak három fizikai kutatói állás volt az országban. De a különböz˝o kutatóintézetek megalapításával a helyzet teljesen megváltozott. Kilenc-tíz éves koromtól még komolyabban kezdtem foglalkozni matematikával, s hamarosan úgy négy évvel voltam matematikában osztálytársaim el˝ott. De miel˝ott erre térek, szólok egy-két szót gyerekkori taníttatásomról. Édesapám nagyon szegény szül˝ok egyetlen gyereke volt. Eléggé meglep˝o, hogy egyszeru˝ nagyszüleim milyen fontosnak tartották, hogy apám jó iskolába járjon: amikor apám tizennégy éves volt, szülei eladták házukat Karácsondon, ahol minden felmen˝o rokonukkal éltek, s elköltöztek Dunaharasztira, Budapestt˝ol néhány kilométerre, hogy egy jó pesti iskolába járhasson, a Tavaszmez˝o utcai gimnáziumba. (Érdekes módon, Erd˝os Pál egy évig járt ugyanabba az osztályba, de egy évvel Édesapám érkezése el˝ott. Amikor papám oda járt, Erd˝os már újra magántanuló volt.) Apám tizenhárom éves korától lényegében magát tartotta el: naponta több órát tanított gazdag gyerekeket, akik butaságuk ellenére, az o˝ segítségével, egészen jól levizsgáztak. Édesapám ebb˝ol azt tanulta meg egy életre, hogy a magántanárok sokat segíthetnek, s eltökélte, hogy ezt o˝ is nyújtja gyerekeinek, ha megengedheti majd magának. Így is lett. Ötéves koromtól rengeteg magántanárunk volt. A nagy különbség az volt, hogy az én tanáraim sosem foglalkoztak egy percet sem iskolai munkával. Az természetes volt, hogy az iskolai munka triviális, s mindig


mindenb˝ol ötöst kapok. Ez így is volt mindvégig, egyetlen geometriai szigorlat kivételével. De err˝ol most nem. Magántanáraim magas min˝oségét a történelmi körülményeknek köszönhetem. A háború után sok igen jól képzett ember vesztette el egzisztenciáját, s szinte éhhalálra volt ítélve. Magántanáraim zöme ilyen ember volt. Édesapám sem volt az új kommunista rendszer kegyeltje: bár a nácik majdnem kivégezték, a kommunisták is börtönbe csukták. Ennek ellenére óriási, nagyon sikeres magánprakszisa volt Dunaharasztin, és kés˝obb, Budapesten, s nagy házunkat Dunaharasztin meg tudta tölteni magántanárokkal, többek között két báróval, egy magas rangú katonatiszttel és egy volt bíróval. Ötéves koromtól tanított sok mindenre Somogyi Endre altábornagy, a Térképészeti Intézet volt vezet˝oje, aki a magyar vívás felvirágoztatásában olyan nagy szerepet játszott, f˝oleg azzal, hogy létrehozott egy edz˝oiskolát. Érdekes módon Szabó Pista sikeres filmje, A Napfény íze, két szerepl˝ore vágja Somogyi Endre alakját. „Bandi Bácsi”, ahogyan mi szólítottuk o˝ t, tanított n˝ovéremnek s nekem történelmet, magyar népies motívumokat, népi szokásokat és táncokat, szép és helyes írást és beszédet, növelte megfigyel˝oképességünket, s így tovább. Természetesen a vívás sem maradt ki: sok hónapi lábgyakorlattal kezdtük, hogy „jó alapunk legyen”, s csak utána kaptunk kezünkbe rendes t˝ort. Másik f˝o tanárunk Balda Nándor volt: o˝ els˝osorban franciát és németet tanított, de utána muvészettörténelmet, ˝ zenetör-


ténetet, filozófiát és történelmet is. Egy rettent˝o kedves munkásember sakkozott velem sokat, s tanított irodalomra és beszélt politikáról. Hatéves koromtól zongoráztam, nagyon kelletlenül. Nagyapám szórakozásnak muugrani ˝ vitt, s egy ideig én voltam Magyarország legfiatalabb muugrója. ˝ Az edz˝o csodás volt, de én nem, és sosem lettem jó muugró. ˝ Viszont komoly tériszonyom lett, ami ma is megvan. Ennek ellenére évtizedekig szerettem trambulinról ugrani a vízbe, egészen addig, amíg Baton Rougeba érkezvén egy évre, a legels˝o nap, a tervezett utolsó szaltómmal, túlpörögtem s kificamítottam vállamat. Amikor eljutottunk addig a pontig, hogy a „matematikában” mindent jobban és gyorsabban tudtam csinálni, mint Édesapám, elhatározta, hogy egy jó matematikatanár után néz. Azt hiszem, nagyjából véletlenül találta meg Báró Splényi Gábort, aki akkor egyetemistaként ˝ általában matematikusi diplomája felé haladt. O heti háromszor három órában tanított matematikát. Ezek nem „matematikaórák” voltak, hanem inkább együtt gyönyörködtünk a matematika szépségében. „Gábor Bácsival” inkább versenyeztünk, ki tud szebb megoldásokat találni; rengeteg példát oldottunk meg, s a f˝o nehézség az volt, honnan szerezzünk eléggé kihívó példákat. Gábor Bácsi azonnal felhívta figyelmemet a Középiskolai Matematikai Lapokra, s tízéves koromtól lelkes olvasója és megoldója voltam a KöMaL-nak. Mostani fejjel furcsa, hogy sohasem jutott eszembe, hogy be is lehetne küldeni a meg-


oldásokat; viszont alig vártam, hogy gimnazista legyek, és én is részt vehessek a versenyekben. Amikor végre eljött az id˝o, hogy indulhattam, mindig minden KöMaL-versenyen indultam, a fizikát is beleértve, s mindegyiket meg is nyertem. Naív gyerekként nem gondoltam arra, hogy egy-két nyerés után ne induljak. Matematikai fejl˝odésem következ˝o fordulata 1956-ban történt: februárban nagy földrengés volt Dunaharasztin, ahol laktunk, s attól kezdve Pestre jártam iskolába, az Irányi utcába. Másfél évvel kés˝obb pedig elkezdtem négyéves gimnáziumi tanulmányaimat a Czukor utcában, az Apáczai Csere János Gimnáziumban. Kiváló matematikatanárom volt, Barra György, aki komoly matematikai pontosságot követelt diákjaitól. Azonnal észrevette, hogy évekkel túl vagyok a hivatalos anyagon, s az órák alatt azt csináltam, amit akartam. Miután sok id˝ot töltöttem Pesten, matematikai tanulmányaim is ott folytattam, Reiman István irányításával. Nem tudom, Édesapám hogyan találta meg, s hogyan vette rá, hogy foglalkozzon velem, de „Pista Bácsi” nagyszeru˝ választás volt: egészen a gimnáziumi éveim végéig foglalkozott velem. A Pista Bácsival töltött sok-sok óra nemcsak nagyon hasznos volt, hanem nagyon élvezetes is. Természetesen a KöMaL-lal kapcsolatos dolgokról sosem beszéltünk: az teljesen az én dolgom volt, mit és hogyan írok le és küldök be a lapnak. Bár, mint mondtam, nagyon lelkes megoldója voltam a KöMaL-nak, miután nem tudtam gépelni, Édesanyámat vettem rá, hogy legépelje megol-


dásaimat. Szegény Édesanyám nagyon hosszú és kemény napi munka után, hullafáradtan gépelte le kézírásomat, általában jól. Borzasztó gyerek voltam: néha, mikor elbóbiskolt a gépnél, azt javasoltam, csináljon fekv˝otámaszokat, hogy felébredjen (!?!). (Plus ça change, plus c’est la même chose.) Csak azon alkalommal volt majdnem egy kis baleset, amikor minden egyenl˝otlenséget átírt egyenl˝oségre, hiszen annak volt értelme, míg az el˝oz˝onek nem. (Hyppolit és hippodrom visszhangja!) Szerencsére beküldés el˝ott észrevettem ezt a „bakit”. De attól kezdve minden szót kétszer is ellen˝oriztem, miel˝ott postára adtam a megoldásokat. Pista Bácsitól komoly és pontos matematikát tanultam: többek között axiomatikus, projektív és diszkrét geometriát, epszilon-delta analízist, ponttopológiát, csoportelméletet, mértéktant, és valószínuségszámítást. ˝ És, természetesen, sok kombinatorikát, példák megoldása által. Rengeteget tanultam Reiman Pista Bácsitól, o˝ meg, azt hiszem, kicsit miattam került közelebb a középiskolás versenyz˝okhöz, úgyhogy kés˝obb a magyar csapatot vezette sok Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára. Gimnáziumi éveim alatt írtam els˝o három matematikai cikkemet. Bár az els˝o kett˝o, a sík parkettázásáról konvex sokszögekkel, csak a KöMaLban jelent meg, azokban is volt néhány új eredmény. Természetesen a cikkek témáját Reiman Pista Bácsi inspirálta. A cikkek megírásában sok segítséget kaptam a KöMaL nagyszeru˝ f˝oszerkeszt˝ojét˝ol, Bakos Tibortól.


Erd˝os Pált el˝oször els˝oéves gimnazistaként láttam és hallottam; az Ifjúsági Matematikai Körbe jött el˝oadni, s hallottam el˝oadását a Bolyai Társulatban is. Igen nagy élmény volt látni egy világhíru˝ matematikust, aki nemcsak izgalmasan és lelkesen beszélt a matematikáról, nemcsak olyan témákról beszélt, melyeknek több része egészen érthet˝o volt, hanem – mindennek tetejében – magyar létére még Nyugatról is volt, s csodák csodájára minden nehézség nélkül elhagyhatta az országot. Néhány hónappal kés˝obb, amikor Erd˝os újra Budapesten járt, nagy szerencse ért. Ahogy szokta, érdekl˝odött, van-e egy tehetséges epszilon, fiatal matematikus, akit még nem ismer. Éppen akkor nyertem meg az Arany Dániel versenyt, bár az eredmény még nem volt kihirdetve, s ezen alkalomból Reiman István és Kárteszi Ferenc révén Erd˝os magához hívatott a patinás szállodába, a fogaskereku˝ végállomásától nem messze, ahol édesanyjával lakott azon napokban. Az ötvenes években ez volt Budapest egyik legdrágább és legel˝okel˝obb szállodája, s bár a kommunisták átkeresztelték Vörös Csillag szállodának, az én körömben mindenki csak eredeti nevén, Golf szállónak hívta. Pali Bácsi kedves szokása volt, hogy amikor egy rövid id˝ore visszalátogatott Budapestre, egy jó szállodába vitte édesanyját, hogy ne kelljen f˝oznie és takarítania, s együtt lehessenek sokat és kellemesen. Tizennégy éves voltam, s bár már voltam a Golf szállóban szüleimmel, nagy megillet˝odéssel mentem egyedül a világhíru, ˝ külföldön él˝o matematikus-


hoz. Én voltam az egyetlen „ebédvendég”, s Pali Bácsi és édesanyja, Annus Néni, nem is lehettek volna kedvesebbek: úgy fogadtak, mint egy közeli rokonukat. Pali Bácsi sok érdekes problémát mondott, s úgy kezelt, mintha én is matematikus lennék. Ezen találkozás után tø"bb napig rengeteget gondolkoztam a Pali Bácsitól hallott gyönyöru˝ megoldatlan problémákon, természetesen minden siker nélkül. Attól kezdve Pali Bácsi mindig telefonált, amikor Pesten járt, s elhívott magukhoz a Margitszigeti Nagyszállóba, vagy a Golf szállóba, ahol éppen lakott Annus Nénivel. Nemsokára akkor is jártam Annus Nénihez, amikor Pali Bácsi nem volt Pesten: Annus Néni büszkén mutatta Pali Bácsi különlenyomatait, melyeket gondosan rendben tartott. Annus Néni és n˝ovére, Irma Néni, boldogan sürögtek-forogtak körülöttem, hoztak kakaót és tortát, s németül vitatkoztak egymással, hogy mit is szeretek. Azóta sokszor gondoltam ezekre a szürreális jelenetekre az Abonyi utcában. Vagy három évvel kés˝obb elvittem Pali Bácsit és Annus Nénit szüleimhez. Azonnal nagy lett a barátság közöttük, s Édesapám Annus Néni „háziorvosa” lett, bár Pali Bácsi és Édesapám még sok évig magázódott. Pontosabban, mint jól nevelt emberek, „önösködtek”: „Hogy van Professzor Úr?”, „Anyuka egészen jól van, de meg tetszene vizsgálni?”, s így tovább. Gyakran jöttek hozzánk vasárnapi ebédre az Orlay utcába Budán, ahova akkoriban költöztünk Dunaharasztiról, s ebéd után Annus Néni általá-


ban lepihent, én meg matematikáról beszéltem Pali Bácsival. Tizenhét éves voltam, amikor az egyik ilyen ebéd után sikerült megoldanom az egyik megoldatlan problémát, amir˝ol beszéltünk. Amikor másnap felhívtam, örült, hogy megvan, de mondta, hogy neki is sikerült megoldania a problémát. Szerencsémre hamarosan kiderült, hogy megoldásom más, mint az övé. Rettent˝oen boldoggá tett, amikor nagylelkuen ˝ felajánlotta, hogy írjunk egy közös cikket, amelyikben mind a két megoldást leírjuk. Ez volt els˝o cikkem egy feln˝ottlapban. A cikk megírásában Gallai Tibor, Pali Bácsi jó barátja segített sokat. Azt kérte, hogy segítségét azzal háláljam meg, hogy feln˝ott matematikusként én is segítem a fiatalokat. Attól a perct˝ol kezdve, hogy megismertem, Pali Bácsi egészen különleges ember volt számomra. Nemcsak világhíru˝ matematikus volt, aki sok-sok érdekes problémájáról örömmel és lelkesedéssel beszélt velem gyerekkorom óta, hanem szabadon járt külföldre. És nemcsak szabadon jött és ment, amikor akart, hanem külföldön is élt! Már több mint tíz éve szabad választások vannak Magyarországon, s mindenki szabadon utazhat külföldre, ha anyagilag megteheti. De a hatvanas években csak a kiváltságosak utazhattak: Pali Bácsi ezért nem gondolt arra sosem, hogy magyarországi lakosnak számítson. Tizennyolc éves koromban az a rettenetes bezártság különösen nyomasztóan hatott rám, s nagyon vágytam arra, hogy egy kicsit elhagyhassam az országot. Tudtam, hogy Pali Bácsi


gyakran jár Izraelbe, s ottani lakos is, ezért egyszer megkértem, nem segítene-e abban, hogy Izraelbe mehessek tanulni egy évre. Válasza meglepett. „Miért Izraelbe akarsz menni, amikor nem is vagy zsidó? Miért nem mész inkább Cambridgebe?” Természetesen azért, mert az, hogy esetleg Cambridge-be is elmehetnék, még a legmerészebb álmomban sem jutott eszembe. De Pali Bácsi mondta, hogy egyik legjobb barátja, Harold Davenport, Cambridge-ben professzor, s talán segítségével tudok ösztöndíjat kapni oda. Igy történt, hogy húszéves koromban, nagy-nagy nehézségek után, eljutottam Cambridge legnagyobb és legszínvonalasabb kollégiumába, Bacon, Newton, Byron, Cayley, Russell, Rutherford, Hardy, Littlewood, Ramanujan, és sok-sok más kiválóság otthonába, a Trinity College-ba. Cambridge-ben a tanítás legértékesebb és legkülönlegesebb része úgy folyik, mintha a diáknak magántanárai lennének: egy vagy két diákot tanít egy tanár. Ez a tanár vagy az intézet (és a kollégium) „feln˝ott” matematikusa vagy, többnyire, egy doktoriját író diák. Miután én különös helyzetben voltam, engem egyedül tanított J. W. S. Cassels, H. P. F. Swinnerton-Dyer, C. T. C. Wall és J. Polkinghorne. Ahogy Cambridgeben (de nem Oxfordban) mondják: o˝ k voltak a supervisoraim. Mindegyikük világhíru˝ matematikus volt már akkor is. Ennek ellenére nem tanítottak elég jól; gyakran, hogy legyen mit megmutatniuk, olyan megoldásokról kérdeztem o˝ ket, amiket tudtam. Magamban megfogadtam, hogy ha egyszer én is supervisor leszek, sokkal


jobb munkát végzek, s keresek érdekes és nehéz példákat diákjaimnak. Sok-sok cambridgei diákgeneráció tanúsítja, hogy érdekes és nehéz példáimból nem is volt hiány. Mint Magyarországon majdnem mindenki tudja, a hatvanas években az Eötvös Loránd Tudományegyetem matematikai oktatása egészen nagyszeru˝ volt. A Cambridge-ben töltött harmadik év kivételével oda jártam nagy lelkesedéssel, s majdnem minden percet élveztem. Olyan kiválóságok tanítottak, mint Turán Pál, Rényi Alfréd, Hajós György, Császár Ákos, T. Sós Vera és Péter Rózsa, hogy csak néhányat említsek. Rengeteg speciálel˝oadásra és szemináriumra jártam; néhány nap több mint tíz órám is volt. Gondolom, a legtöbb, Budapesten képzett matematikusnak hasonló tapasztalatai voltak. Az viszont még Budapesten sem volt gyakori, hogy egyszer még Pali Bácsi is tartott egy speciális el˝oadás-sorozatot, komplex függvényekr˝ol. A Cambridge-ben töltött év annyira tetszett, hogy a pesti egyetem elvégzése után szerettem volna visszatérni Cambridge-be, írni egy PhDt. Megint kaptam egy ösztöndíjat, de az ország bezártsága újra közbeszólt: a hatóságok nem engedtek ki, bár egy forint anyagi támogatást nem kértem. Több ilyen visszautasítás után megfogadtam, hogy ha egyszer külföldre jutok, nem térek vissza. Ezt az elhatározásomat igen fájó szívvel tettem, mert nagy magyarként sosem gondoltam volna, hogy külföldön fogok élni. Ha nincs az a nagy bezártság, ha nem mutat minden arra, hogy igazi változás még az uno-


káink életében sem lesz, egészen biztos, hogy sosem hagyom el Magyarországot „véglegesen”. De azt, hogy egy életen át tudatlan és rosszindulatú emberekt˝ol függjek, akiknek joguk van arról dönteni, hogy én mit csinálhatok és mit nem, nem tudtam elviselni. Ezen elhatározásomban megint nagyon hatott rám Pali Bácsi, aki maga semmiféle bezártságot, semmiféle szabadságkorlátozást nem tudott elviselni. Volt ösztöndíjam Párizsba, majd Oxfordba, de nem kaptam engedélyt az Akadémiától, hogy ezen ösztöndíjakat felhasználhassam. Rusznyák István, a Magyar Tudományos Akadémia elnöke, azt mondta Charles Coulsonnak, az Oxfordi Matematikai Intézet igazgatójának, hogy akkor fogadhatom el ösztöndíjukat, ha el˝oször egy évet Moszkvában töltök. Miután 1966-ban nagy szerencsémre találkoztam a Szovjetunió és a világ egyik legjobb matematikusával, Izrail Mojszejevics Gelfanddal, a Szovjet Tudományos Akadémia vendégeként hozzá mentem ki egy évre 1967-ben. Ez lényegében csodás év volt: Gelfand szinte saját fiaként nézett utánam, s nagyszeru˝ volt igazán közelr˝ol látni ennek az óriási matematikusnak igen nehéz életét. Boldog vagyok, hogy Gelfand már évek óta az amerikai Rutgers Egyetem nagyon megbecsült professzora. Gelfandtól igen sokat tanultam. Hivatalosan „feln˝ott” matematikus voltam, aki „baráti látogatáson” volt Moszkvában, de – nagyon helyesen – úgy kezelt, mint egy doktoranduszát. A fiatalabb orosz matematikusok közül f˝oleg há-


rom velem korabeli, rettent˝oen jó matematikussal voltam együtt: ez a három fiatal Dyma Kazsdan, Szerjózsa Gelfand és Oszja Bernstein volt. És negyediknek ott volt Margulisz is. Gelfand (a papa, Izrail Mojszejevics) akkoriban a kombinatorikát nemigen kedvelte, s˝ot, lenézte, nem úgy, mint most, s én komolyan tanulgattam az általa sokra tartott tárgyakat: algebrai geometriát, reprezentációelméletet, a Lie-csoportok elméletét. Egy évig nem is volt rossz Moszkvában élni: Mályusz Karcsival, Szemerédi Endrével, Gerevich Lacival és másokkal nagyon jól éreztük magunkat: voltak jó hangversenyek, operák és hokimeccsek. De azért alig vártam, hogy hazamehessek. Nem volt könnyu˝ elérni, hogy Rusznyák betartsa ígéretét, de nagy szerencsém volt, hogy Coulson óriási energiával s komoly diplomáciai érzékkel dolgozott azon, hogy felhasználjam ösztöndíjam. Bár 1968. október elején kellett volna Oxfordba érkeznem, a sok visszautasítás után csak 1969. február 13-án mehettem el Budapestr˝ol. Úgy érzem, akkor lettem „feln˝ott” matematikus. Fél évvel kés˝obb jövend˝o feleségem, Farkas Gabriella, ki tudott jönni hozzám, bár neki „disszidálnia” kellett, s azzal véglegesen eld˝olt, hogy néhány évig Cambridge-ben fogunk élni. Bár „buntettünkért”, ˝ hogy a világ egyik legjobb egyetemén maradtam, több évi szigorított börtönre ítéltek mindkett˝onket, elhatározásunkat sosem bántuk meg. Néhány évvel azután, hogy sokévi munkám jutalmaként a Trinity College örökös „Fellow”-ja lettem, az év nagy részét


Amerikában töltjük: Pali Bácsi utolsó kedvenc egyetemén, az o˝ barátai meghívásának eleget téve Memphis-ben vagyok professzor. De most, hogy Magyarországon újra demokrácia van, az ország, a rokonok, a barátok és ismer˝osök mind visszahúznak, s biztos vagyok abban, hogy több és több id˝ot fogunk tölteni Budapesten. Ennek nagy örömmel nézek elébe. Bollobás Béla (1943, Budapest) a Trinity College örökös tagja (Cambridge, Anglia) és a University of Memphis kiemelt professzora (Tenessee, USA); a Magyar Tudományos Akadémia küls˝o tagja (1990). Édesapja orvos (sebész, fül-orr-gégész, onkológus, patológus). Iskolái: Dunaharaszti és Irányi Utcai általános iskola, Czukor utcai gimnázium (Apáczai Csere János Gimnázium). Az ELTEn 1966-ban szerez matematikusdiplomát. Kutatási témája: kombinatorika, funkcióanalízis, extremális gráfelmélet, véletlen gráfok elmélete.

Csákány Béla

Hogyan lesz az ember matematikus? – erre a kérdésre könnyebb válaszolni, mint arra, hogy miért lesz az. Nagy matematikusok életrajzában sok esetben olvashatjuk, hogy gyermek- és ifjúkorukban minden iránt érdekl˝odtek, temérdek tudást szívtak magukba, aztán, mint egy nagy szerelem, tört rájuk a matematika, s ennek buvö˝ letében folyt le további életük. A hasonlat annyiban is helytálló, hogy a matematika és a szerelem egyaránt titokzatos módon, egy csapásra veszi birtokba az áldozat lelkét, aki pedig annak el˝otte már sok érdekes mesterségr˝ol-muvészetr˝ ˝ ol tanult egyet-mást, illetve sok szép kislányon vagy fiún legeltette a szemét. Hogy a nagy szerelem miért indul, azt senki sem tudja, hogy hogyan kezd˝odött, arra mindenki emlékszik. Magam is a dolog könnyebbik végét fogom meg: arra próbálok válaszolni, hogyan lettem kutató matematikatanár. Bizonyos értelemben jó családban születtem. Szüleim ugyan összesen 13 osztálynyi iskolát jártak ki, de volt vagy ötven könyvük (els˝osorban

C SÁKÁNY B ÉLA 47

színvonalas szépirodalom), s örömmel bátorítottak, amikor négyévesen megtanultam olvasni, meg nyomtatott nagybetukkel ˝ írni. A szépírást azóta sem tanultam meg. Hétévesen egy id˝ore nagyszüleimhez kerültem, s nagymamámtól hallottam az els˝o igazi matematikai problémát: „Kérdezték az egyszeri legényt, hány éves vagy. Azt felelte: annyi, amennyi, apám kétszer annyi, anyám öttel kevesebb. Összesen száz évesek vagyunk.” Fejben rájöttem a megoldásra, s utána még jó néhány hasonló számtanpéldát kaptam. A transzformációkba is nagymamám vezetett be! T˝ole hallottam ugyanis olyan mondókákat, mint pl.: „Intüs iken tellek gem Tegyén ibböt aed nenevele tlenyel kacst˝ottek Netsi ajdut acóipa etlánszah lótányossza rebme Geteba sovroza idrék!” Ezt el˝obb le kellett írnom, hogy megoldhassam. Könnyebben ment az „Aru kankaru netsi s˝ore za!”, Szenczi Molnár Albert klasszikus sorának transzformáltja. A legérdekesebbek persze a szóban forgó transzformációk fixpontjai voltak. Ezek annyira megtetszettek, hogy mindmáig gyakorta szórakoztatom környezetemet egy-egy újabbal, úgymint „Ani talpa platina” vagy „Ön, Teréz, érett n˝o!” (az utóbbi nem igazi fixpont, csak „sajátszó”). Büszke is vagyok arra a palindromomra, amelynek definíciója: „Vácott raboskodó legény utolsó mondata szörnyu˝ tettének elkövetése el˝ott; aki annyira megdühödött

48 C SÁKÁNY B ÉLA

folyton csak fonó babájára, hogy ecetestormakészít˝o szerszámmal oltotta ki a szerencsétlen lány életét.” (Ez feladvány!) Az els˝o általánosítást is ebben az id˝oszakban követtem el: rájöttem, hogy a mamámtól tanult transzformáció egyben titkosírás is. Magam is találtam ki egyszeru˝ titkosírásokat, s egy-két év múltán Verne Gyula „Utazás a Föld középpontja felé” címu˝ könyvében már nem is a lávafolyón tutajozást találtam a legizgalmasabbnak, hanem a két egymás utáni permutáció segítségével történ˝o rejtjelezést, amellyel a Snaefells Jökull vulkánra vonatkozó tudását titkosította egy hajdani tudós. Ennek alapján kés˝obbi jó matematikatanárom már a csoportokkal is megismertethetett volna, ha éppen nem a fronton tölti idejét. Helyettesít˝oje pár évig egy lelkiismeretes, tekintélyes földrajztanár volt, akinél például „be kellett vágnunk” a Borosay–Holenda–Korányi tankönyv algoritmusát az els˝ofokú egyismeretlenes egyenlet megoldására: „Mindenekel˝ott az el˝oforduló törtek eltávolítása végett az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ezen törtek nevez˝oinek legkisebb közös többszörösével. . . ” stb. A következ˝o évben a kétismeretlenes els˝ofokú egyenletrendszert tanultuk. Rájöttem Cramer képletére, és meg akartam csinálni kett˝onél több ismeretlen esetére is, de belevesztem a sok különböz˝o betube ˝ – mert az indexek használatáról nem volt, ki felvilágosítson. Id˝oközben összebarátkoztam osztálytársammal, Sümegi Lacival, aki kés˝obb a debreceni egyetem matematikaoktatója lett. Náluk talál-

C SÁKÁNY B ÉLA 49

koztam az els˝o matematikai könyvvel, Colerus „Az egyszeregyt˝ol az integrálig” címu˝ népszerusít˝ ˝ o munkájával. Mi tagadás, nem tudtam meg bel˝ole, mi is az integrál. Kés˝obb nálam okosabb emberekt˝ol hallottam, hogy a hiba nem az én „készülékemben” volt. Nagyobb hatást tett rám Jeans csillagászati könyve, ugyancsak Sümegiék polcáról. Sokat tanultunk bel˝ole, s mindketten csillagászok akartunk lenni, amivel osztálytársaink jóindulatú derültségét is kiváltottuk. Csak mostanában tudtam meg, hogy a harmincas évek elején Haar Alfréd és Móra Ferenc is beszélgettek, sok egyéb mellett, Sir James Jeans könyvér˝ol. A π/4 lassan konvergáló soráról ugyancsak Sümegit˝ol hallottam el˝oször, s egy hatalmas csomagolópapír teleírásával próbáltam „igazolni”. Mire nagyobb gimnazista lettem, hazajött a hadifogságból Sziráki László, az igazi matematikatanár. Gondolkodni is tanultam T˝ole, emberségével is megkedveltette a tanári pályát. Ám a Középiskolai Matematikai Lapok híre akkor még nem jutott el városkánkba, Gyulára. Nem is gondoltam rá, hogy éppen számtantanár legyek. Többek között azért sem, mert a párhuzamos osztályban volt egy fiú, Kiss János, aki jobb számtanista volt nálam. Bel˝ole kés˝obb országos vezet˝o repül˝omérnök lett. 1950-ben érettségiztem, s a 49 o˝ szét követ˝o két évben hét [!] pálya vonzásában éltem. Miel˝ott megkezdtem tanulmányaimat a szegedi egyetem matematika–fizika szakán, felvettek vegyésznek Debrecenbe, majd jogásznak Szegedre (egyik

50 C SÁKÁNY B ÉLA

szakot sem kezdtem el), de komolyan szerepelt terveim között a történelem-földrajz szakos tanárság, a vízmesteri (azaz vízügyi technikusi), aztán a hadmérnöki pálya, s végül még a geológus szakma is. Hogy a hét közül hat terv hogyan (és miért) hiúsult meg, az hat külön történet. Egyik-másikuk a populáris abszurd nagymestere, Moldova György tollára méltó, és mindegyikbe belejátszott az akkori rendszerváltás gerjesztette történelmi er˝otér. Amikor végül 1951 novemberében Kalmárné Árvay Erzsébet, a szegedi egyetem TTK-s tanulmányi osztályának akkori vezet˝oje megfellebbezhetetlenül közölte, hogy nem enged át a matematika–fizika szakról a geológus szakra, mert csupa jeles „demonstrációt” írtam, egyáltalán nem voltam elégedett. Hamarosan megéreztem azonban, hogy a szegedi Bolyai Intézet nem lesz rossz hely számomra. Az analízist Kalmár Lászlónál hallgattam, akit els˝o vizsgámon Darboux integráltételének kissé módosított bizonyításával leptem meg, s aki ett˝ol kezdve figyelt is rám. Jómagam pedig innent˝ol fogva éreztem, hogy matematikatanár leszek. Hogy kutató matematikus lesz-e bel˝olem, abban még sokáig kételkedtem. Joggal, mert a matematikán kívül a jógától az eszperantóig temérdek dolog érdekelt, s így a matematikát nem igazán nagy szorgalommal tanultam. Mindenesetre Rédei László elegáns el˝oadásaiból készült jegyzeteimet nagy élvezettel csiszolgattam. Kés˝obb szívesen jártam Pintér Lajos valós függvénytani, meg Steinfeld Ottó absztrakt algebrai gyakorlataira is. Matemati-

Miért lettem matematikus?

Recommend Documents