MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 2012 Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA

i

Penyusun Drs. Slamet Wibowo Seno Soebekti, Spd. Dra. Lutfinayati

Penyunting Team MGMP Matematika DKI

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

ii

2012

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa senantiasa terpanjatkan atas rahmat dan hidayah yang terlimpah dengan terbitnya Suplemen Pembelajaran Matematika dengan media Kalkulator ini. Suplemen pembelajaran ini merupakan wujud dari visi dan misi MGMP Matematika SMA Provinsi DKI Jakarta dalam kiprahnya meningkatkan prestasi belajar siswa dalam rangka mencerdaskan kehidupan bangsa. Ucapan terimaksih kami tujukan kepada Bapak Budiana selaku Kepala seksi kurikulum Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta, atas sumbang saran dan dukungan moril sehingga suplemen ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Kami juga mengucapkan terimakasih setinggi-tinginya kepada Bapak Wicak dari Kasio Indonesia yang telah memberikan dukungan peralatan yang sangat membantu kami dalam penyusunan suplemen ini. Tak lupa kami mengucapkan terimakasih kepada Bapak Sarjito selaku ketua MGMP Matematika Provinsi DKI yang telah memberikan kepaercayaan kepada kami untuk dapat merealisasikan gagasan pembelajaran menggunakan media Kalkulator ini. Suplemen ini disusun dan diterbitkan untuk membantu para siswa SMA/MA dalam meningkatkan kompetensi siswa pada pelajaran Matematika di tingkat Sekolah Menengah Atas. Pemanfaatan Kalkulator dalam proses pembelajaran Matematika diharapkan mampu mendorong kreativitas dan motivasi belajar siswa, karena kalkulator mampu membantu memecahkan masalah yang rumit sehingga siswa dapat pacu untuk meningkatkan daya analisisnya. Dengan demikian pada akhirnya diharapkan dapat meningkatkan efisiensi dan efektivitas belajar sehingga mempertajam kesiapan dalam meraih sukses pada Ujian Nasional. Meskipun demikian tinggi harapan kami, menyadari berbagai keterbatasan, suplemen ini tentu masih banyak kekurangan dan tentu jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, mohon kiranya para pembaca dan para pengguna, khususnya teman sejawat kami sudi kiranya memberikan masukan dalam bentuk kritik dan saran untuk perbaikan dan penyempurnaannya pada edisi-edisi berikutnya. Akhirnya, semoga suplemen ini dapat digunakan buku ini dapat berguna peningkatan mutu pembelajaran pada umumnya dan matematika pada khususnya

Jakarta, Desember 2011

Tim Penulis

Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA

iii

Sambutan Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta Salah satu upaya Dinas pendidikan Provinsi DKI Jakarta adalah memacu kualitas pembelajaran yang menghasilkan lulusan yang kreatif dan inovatif. Di tengah perkembangan teknologi yang pesat, maka para pendidik harus terus mengembangkan kreatifitas dan inovasi dalam memanfaatkan teknologi untuk pembelajaran sehingga mengoptimalkan pencapaian kompetensi peserta didik dan sekaligus membangun kreatifitas dan inovasi. . Kalkulator Seri Pendidikan atau Education Series merupakan produk teknologi yang dirancang untuk membantu siswa dalam memecahkan masalah-masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari. Pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran matematika perlu dilakukan agar mengoptimalkan pencapaian kompetensi peserta didik sekaligus agar para lulusan dapat dengan cepat menyesuaikan diri dengan perkembangan teknologi. Untuk itu Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP) Matematika SMA Provinsi DKI Jakarta berkerja sama dengan Casio Indonesia telah melakukan rintisan pengintegrasian pemanfaatan kalkulator seri pendidikan ke dalam media belajar, metodologi, pendekatan dan teknik pembelajaran sejak tahun 2010, melalui serangkaian kegiatan anatar lain : workshop pemanfaatan kalkulator seri pendidikan untuk guru, lomba matematika kalkulator (Mator) untuk siswa, dan penyusunan silabus pembelajaran matematika yang mengintegrasikan pemanfaatan kalkulator seri pendidikan. Dari serangkaian uji coba pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran matematika ternyata kalkulator dapat meningkatkan rasa percaya diri bahwa setiap masalah dalam perhitungan matematika pasti dapat diselesaikan seberapa besar atau kecilnya hasil akhir. Disamping itu penggunaan kalkulator pada situasi yang tepat dapat : mempercepat pencarian pola-pola umum, MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

iv

menghilangkan ketakutan siswa akan kegagalan perhitungan, menimbulkan motivasi dan rasa percaya diri serta menghindari perhitungan rutin dan berlarut-larut. Suplemen diharapkan dapat membantu para guru matematika dalam mengintegrasikan pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran sehingga meningkatkan kualitas pembelajaran Matematika pada jenjang SMA di Provinsi DKI Jakarta. Suplemen ini ini merupakan draft pertama yang perlu terus disempurnakan sehingga mencapai hasil optimal. Ucapan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya saya sampaikan kepada PT. Casio Indonesia, MGMP Matematika SMA Provinsi DKI Jakarta, para guru serta para siswa yang telah memberikan kontribusinya dalam penyusunan suplemen ini.

Jakarta, Desember 2011 Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta

Drs. H. Budiana, MM


v

DAFTAR ISI

Kata Pengantar

i

Sambutan Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA

ii

Daftar isi

iv

Silabus Pembelajaran berbasis kalkulator

1

Menoperasikan Kalkulator

6

1. Integral

9

2. Program Linear

14

3. Notasi Sigma, Barisan dan Deret

21

4. Matrik

27

5. Vektor

34

6. Transformasi

40

7. Eksponen dan Logaritma

48

8. Kunci Jawaban

58

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

vi

SILABUS Nama Sekolah

: SMA

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Program

: XII / IPA

Semester

:1

Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/

Indikator

Pembelajaran

1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

 Integral Tak

1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana

Teknik Pengintegralan:

 Menentukan integral dengan

 Substitusi

 Menetukan integral dengan

1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar

 Luas Daerah

tentu

 Integral Tentu

 Menentukan integral tentu

Waktu

2x45’

dengan menggunakan sifatsifat integral  Menyelesaikan masalah

sederhana yang melibatkan integral tentu

 Parsial  Substitusi

Trigonometri

 Volume

Benda Putar

Sumber Belajar

Sumber: Suplemen Pembelajaran Matematika dengan kalkulator

dengan cara substitusi dengan cara parsial

 Menentukan integral dengan

dengan cara substitusi trigonometri

 Menghitung luas suatu daerah

yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.  Menghitung volume benda

putar.


vii

Standar Kompetensi : 2. Menyelesaikan masalah program linear.

Kompetensi Dasar 2.1 Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

Materi Pokok/

Indikator

Pembelajaran Solusi Program Linier

 Menentukan nilai optimum

dari fungsi objektif

Waktu 2x45’

Sumber Belajar Sumber:  Suplemen

 Menafsirkan solusi dari

Pembelajar an Matematika dengan kalkulator

masalah program linear

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar

Materi Pokok/

Indikator

Pembelajaran

3.1. Menggunakan sifatsifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain

Matriks

3.2. Menentukan determinan dan invers matriks 2x2

Determinan dan Invers matriks

3.3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

Penerapan matrik pada sistem persamaan linier

 Operasi dan

Sifat Matriks

 Matriks Persegi

Waktu

 Melakukan operasi aljabar

atas dua matriks

 Mengenal invers matriks

persegi

Sumber Belajar Sumber:

2x45’

Suplemen Pembelajaran Matematika dengan kalkulator

 Menentukan determinan

matriks 2x2

Menentukan invers dari matrks 2x2


 Menentukan persamaan

matriks dari sistem persamaan linier  Menyelesaian sistem

persamaan linear dua variabel dengan matriks invers

2

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

Indikator

3.4. Menggunakan sifatsifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah

 Pengertian

3.5. Menggunakan sifatsifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

Perkalian skalar dua Vektor

 Menentukan hasilkali skalar

3.6. Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah

Transformasi Geometri

 Menjelaskan arti geometri

Vektor

 Operasi dan

sifat vektor

 Menentukan operasi

aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

Waktu 2x45’

Sumber Belajar Sumber: Suplemen Pembelajaran Matematika dengan kalkulator

dua vektor di bidang dan ruang

2x45’

dari suatu transformasi bidang  Melakukan operasi

berbagai jenis transformasi: translasi refleksi, dilatasi, dan rotasi.

 Menentukan persamaan

matriks dari transformasi pada bidang.

3.7. Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya

Komposisi Transformasi Geometri

 Menentukan aturan

transformasi dari komposisi beberapa transformasi  Menentukan persamaan

matriks dari komposisi transformasi pada bidang.


3

SILABUS Nama Sekolah

: SMA

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Program

: XII / IPA

Semester

:2

Standar Kompetensi : 4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar


4.1. Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri

 Barisan

4.2. Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian

 Notasi Sigma

4.3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret

Model Matematika dari masalah deret

4.4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya

Solusi dari masalah deret

Bilangan

 Barisan dan

deret Aritmatika dan Geometri

 Induksi

Matematika

Indikator

Waktu

 Menghitung suku ke-n

dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri.


2x45’


 Menuliskan suatu

deret dengan notasi sigma.

 Mengidentifikasi

masalah yang berkaitan dengan deret. Merumuskan model matematika dari masalah deret  Menentukan

penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan deret  Memberikan tafsiran

terhadap hasil penyelesaian yang diperoleh


4

Standar Kompetensi : 5. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar


Indikator

Waktu


5.1. Menggunakan sifatsifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Fungsi eksponen dan Logaritma

5.2. Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.

Grafik Fungsi eksponen dan Logaritma

 Menentukan nilai fungsi

5.3. Menggunakan sifatsifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana

Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

 Menentukan

 Menghitung nilai fungsi

eksponen dan logaritma

2x45’

 Menyelesiakan masalah

yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma.


eksponen dan logaritma untuk menggambar grafik

penyelesaian pertidaksamaan eksponen dan syaratnya  Menentukan

penyelesaian pertidaksamaan logaritma dan syaratnya


5

MENGOPERASIKAN KALKULATOR SERI FX 991 ES 1. OPERASI DASAR

1

Menghidupkan Kalkulator

W

2

Mematikan kalkulator

qC

3

Penggunaan Tombol

4

a. Menampilkan karakter di sebelah kiri

q

b. Menampilkan karakter di sebelah kanan atas

Q

Menghapus a. Menghapus satu karakter

o

b. Menghapus semua karakter

C

c. Menghapus setup

Q9(CLR)1=C

d. Menghapus memori

2=C

e. Menghapus semua

3=C

2. MODE PERHITUNGAN Ww

Ww

1 1 : COMP

Perhitungan umum

2 2 : CMPLX

Perhitungan bilangan komplek

1: COMP 2: CMPLX

3 3 : STAT

Perhitungan statistika dan regresi

3:STAT

4: BASE-N

4 4 : BASE-N

Perhitungan dengan basis N

5:EQN

6: MATRIX

5 5 : EQN

Penyelesaian persamaan linear, persamaan kuadrat dan persamaan pangkat tiga

7:TABLE 8: VECTOR

6 6 : MATRIX

Perhitungan matrik

7 7 : TABLE

Menentukan nilai fungsi untuk domain tertentu

8 6 : VECTOR

Perhitungan Vektor


6

3. SETUP KALKULATOR qw (SETUP)

1 1: Mth IO

Format tampilan matematika

2 2.LineIO

Format tampilan linear

3 3.Deg

Menetapkan satuan sudut derajat

4 4.Rad

Menetapkan satuan sudut radian

5 5.Grad

Menetapkan satuan sudut grads

6 6.Fix

Menetapkan jumlah angka desimal

7 7. Sci

Menetapkan jumlah angka dalam bentuk baku

8 8 . Norm

Menetapkan selang display eksponensial

qw (SETUP)

qw (SETUP)R 1 1: ab/c

Format pecahan campuran

2 2. d/c

Format pecahan umum

3 3.CMPLX

Menetapkan format bilangan komplek

4 4.Stat

Menetapkan tampilan frekuensi

5 5.Disp

Menetapkan pemisah sedimal

6 6. Cont

Menetapkan kontras display (monitor)

qw (SETUP)R


7

Contoh Operasi dasar kalkulator

1.

Menghidupkan kalkulator

W

2

Menghitung operasi

2O23+13P4=

2 x 23+ 13: 4 3

hasil =

Mengubah operasi menjadi 2 x 23+ 17: 4

197 n 49.25 4

!!!o= hasil =

201 n 50.25 4

4

Menghapus memori

q9(clr)2=C

5

Menghitung operasi bentuk pecahan

a3$7$+qaA3$

3 2 4 3   7 3 5 6

2

Menghitung sin

 3

2$3$p(a4$5$)d = hasil =

1814 n 3.45523 525

qw4 jaq x10x L$3$)= hasil =

3 n 0.8660254038 2

catatan : tombol yang diketikq x10x yang muncul  7

Menentukan nilai x dari

2Q((x)p1$Qr(=)

2 X  1  512

512qr(solve)= hasil x = 256.5 L-R =0 catatan : tombol yang diketikQ( yang muncul x

8

Menentukan akar persamaan 2

2x - 3x - 5=0

Ww53 2=p3=p5== hasil x1 =

5 R 2

x2= - 1


8

BAB I INTEGRAL RINGKASAN MATERI INTEGRAL TERTENTU FUNGSI ALJABAR

Pemakaian fungsi tombol kalkulator Tombol

Kegunaan

Op+Psa

Melakukan operasi aljabar

y

Menentukan nilai integral tertentu

Qn

Menuliskan variabel y

Q)

Menuliskan variabel x

Contoh 1. HITUNGLAH

2. HITUNGLAH

Mode Matematika Tombol integral Memasukan fungsi integran Memasukan batas integrasi

Ww1

Menampilkan hasil integral

=(

3

1 x

y a1R2$Q)(x)^4$p3 $ p2E6

3764 ) 5

x 2  1 dx

Mode Matematika Tombol integral Memasukan fungsi integran Memasukan batas integrasi Menampilkan hasil integral

Ww1 y Q)(x)sQ)(x)d +1 $ $1 E3 =(= 9.598116492


9

A. INTEGRAL TERTENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh soal 1. Hitunglah



0 x

2

cos x dx

Ww1 qw4 y

Mode Matematika Setup sudut radian Tombol integral

Q)dkQ))

Memasukan fungsi integran Memasukan batas integrasi

$0$ aqK$2 ( 1,291636899)

Menampilkan hasil integral

2. Hitunglah



0 sin

3



x cos x dx   (sin x ) 3 cos x dx = 0

Mode Matematika Setup sudut radian Tombol integral Memasukan fungsi integran Memasukan batas integrasi Menampilkan hasil integral

Ww1 qw4 y jQ)(X))^3$kQ )(X)) $0EqK ( ) =(7.118403934X10-3)

C. APLIKASI INTEGRAL

Contoh Soal 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y =

, garis x = -0,5 dan x = 16

Jawab Karena antara x = - 0.5 sampai x = 16 tidak terdapat titik potong antara kurva maka luasnya adalah =

16

0.5

Mode Matematika Tombol integral Memasukan fungsi integran MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

4x  3

Ww1 y s4 Q)(X)+3$ 10

Memasukan batas integrasi Menampilkan hasil integral

2.

$p0.5E16 =91,23643927

Tentukan luas yang dibatasi oleh kurva y  2 x 2  2 x  1 dan y  x 2  2 x  6 Jawaban Karena luas hanya dibatasi dua kurva maka batas yang dimaksud adalah titik potong antara kedua kurva tersebut Menentukan titik potong

2x 2  2x  1  x 2  2x  6 x 2  4x  5  0 Untuk menetukan x1 dan x2 kita bisa menggunakan kalkulator mode persamaan kuadrat, tetapi pada kasus ini persamaan cukup sederhana sehingga mudah di faktorkan

x 2  4x  5  0 ( x  5)( x  1)  0 x5

x  1

Batas integrasi adalah x = -1 dan x = 5 Luas =

5

1 x

2

 4 x  5 dx

Mode Matematika Tombol integral Memasukan fungsi integran Memasukan batas integrasi Menampilkan hasil integral

Ww1 y Q)(X)d3p4Q)(X)p5 $p1E5 =-36

Jadi luasnya adalah 36


11

3.

Tentukan volume bangun ruang berikut jika diputar sumbu x sejauh 360 o

Jawaban Tentukan titik potong dua kurva y1=y2  x +7 = 9 – x2 x2 + x – 2 = 0 ( x+ 2 )(x - 1 ) =0 x = -2 dan x = 1 Batas integrasi x= -2 dan x =1 Volume = 

1

2 (9  x

)  ( x  7) 2 dx

2 2

Mode Matematika Tombol  integral Memasukan fungsi integran Memasukan batas integrasi Menampilkan hasil integral


Ww1 qK(  )y (9pQ((X)d)dp( Q)(X)+7)d $p2E1 =

333  5

12

LATIHAN SOAL INTEGRAL

1. 2.

dx

3. 4.

5. 

6.

04 x cos

2

xdx

7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva,y = - x2 + 4x sb-x, garis x = 1 dan x = 3 adalah … 8. Luas daerah yang dibatasi oleh oleh kurva y = x2 - 2x dan y = - x2 +6x +24

adalah …

9. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 2x dan garis y = 4x + 6 , sama dengan …. 10. Luas daerah yang dibatasi oleh

11. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

adalah

...… 12. Daerah yang dibatasi oleh y = 4 – x2 , sumbu x, sumbu y, dan garis x = 1, Volume benda putar yang terjadi, jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X adalah … 13. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y =

x 3,

garis y = x – 5 dan sumbux , di kuadran I diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x adalah …

14.Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

= 8x, garis

x = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah … . 15. Jika A adalah daerah yang dibatasi oleh mengelilingi sumbu y, tentukaan volume benda putar yang terjadi.


13

BAB II PROGRAM LINEAR Pemakaian fungsi dan tombol kalkulator fx-570ES Tombol

Kegunaan

w 5 1

system persamaan linear 2 variabel

A. NILAI OPTIMUM SYSTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR Contoh soal

1.

Tentukanlah nilai maksimum f(x,y) = 3x+4y dari system pertidaksamaan linear sbb: 2x +y < 50 4x + 3y < 120 x>0 y>0 Penyelesaian Perhatikan gambar daerah himpunan penyelesaian berikut :

Nilai maksimum hanya mungkin di titik A B atau C Tentukan koordinat titik C dengan kalkulator


14

Mode Persamaan linear 2 variabel

w51

Input Koefisien persamaan kuadrat Tampilkan hasilnya

2=1=50= 4=3=120= = 15R20

Koordinat titik C adalah (15,20) Dari gambar koordinat titik A(25,0) dan B(0,40) Hitung Nilai f(x,y) = 3x+4y dengan kalkulator

Mode Perhitungan

w1

Menghitung F(x,y) titik A(25,0) dan hasilnya

3O25+4O0 = 75 3O0+4O40 = 160 3O15+4O20 = 125

Menghitung F(x,y) titik B(0,40) dan hasilnya Menghitung F(x,y) titik C(15,20) dan hasilnya

Nilai maksimum dititik C adalah 160

2.

Tentukanlah nilai maksimum f(x,y) = 3x+2y dari system pertidaksamaan linear gambar berikut:

Penyelesaian Pertidaksamaan melalui (80,0) dan (0,40) adalah 40 x + 80 y < 40. 80 x + 2 y < 80 Pertidaksamaan melalui (40,0) dan (0,60) adalah 60 x + 40 y < 60. 40 3x + 2 y < 120 Tentukan koordinat titik C dengan kalkulator


15

Mode Persamaan linear 2 variabel

w51


1=2=80= 3=2=120= = 20R30

Koordinat titik C adalah (20,30) Dari gambar koordinat titik A(40,0) dan B(0,40) Hitung Nilai f(x,y) = 3x+2y dengan kalkulator

Mode Perhitungan

w1


3O40+2O0 = 120 3O0+2O40 = 80 3O20+2O30 = 120


Nilai maksimum dititik A atau C adalah 120

B. MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA 3.

Seorang pedagang minuman memiliki modal Rp. 200.000,00. Dia akan menjual 2 jenis minuman. Mimuman A dibeli denga harga Rp. 6.000,00 dan dijual Rp. 6.500,00 . Mimuman B dibeli denga harga Rp. 8.000,00 dan dijual Rp. 9.000,00. Bila tempatnya hanya mampu menampung 30 botol, tentukan laba maksimum yang diperoleh.

Penyelesaian Jenis minuman

Banyaknya

Modal

Laba

A

x

6.000

500

B

y

8.000

1.000

30

200.000


16

Pertidaksamaan Banyaknya botol Pembelian

x + y < 30

(I)

6.000 x + 8.000 y < 200.000 3 x + 4 y < 100 ( II )

Banyaknya botol A

x >0

( III )

Banyaknya botol B

y >0

( IV )

Fungsi Obyektif F(x,y) = 500 x + 1000 y

Perhatikan gambar berikut

Tentukan koordinat titik C dengan kalkulator Mode Persamaan linear 2 variabel

w51


1=1=30= 3=4=100= = 20R10

Koordinat titik C adalah (20,10) Dari gambar koordinat titik A(30,0) dan B(0,25)


17

Hitung Nilai f(x,y) = 500x+1000y dengan kalkulator

Mode Perhitungan

w1


500O30+10 00O0 = 15.000 500O0+100 0O25 = 25.000 500O20+10 00O10 = 20.000


Laba maksimum dititik A atau B adalah Rp. 25.000;

Soal-soal 1.

Daerah yang diarsir pada grafik di samping merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Tentukan nilai maksimum 5x+ 4y ! Y

2x + y = 8

X 2x+3y=12

2.

Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran z = 8x+6y dengan syarat : 4 x  2 y  60

2 x  4 y  48 x0

y0

3.

Diketahui model matematika sebagai berikut. x  2y  8 0 x7

1 y  4.


18

Tentukan nilai minimum fungsi sasaran f(x, y) = 5x + 10y ! 4.

Luas daerah parkir 176 m2, luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m2 dan bus 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 20 kendaraan, biaya parkir untuk mobil sedan Rp.1 000,00 per jam dan untuk bus Rp.2 000,00 per jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang datang dan pergi, maka hasil maksimum yang mungkin didapat oleh tempat parkir itu adalah ....

5.

Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun toko 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah adalah ....

6.

Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut-turut Rp9 000 000,00 dan Rp.8 000 000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp124 000 000, 00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut-turut Rp10 300 000,00 dan Rp9 200 000,00. Kandang yang ia miliki hanya dadpat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keumtungan maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud adalah adalah ....

7. Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar-kamar hotel untuk satu malam. Kamar yang tersedia di hotel itu adalah kamar untuk 2 orang dan untuk 3 orang. Rombongan itu akan menyewa kamar hotel sekurang-kurangnya 100 kamar. Besar sewa kamar untuk 2 orang dan kamar untuk 3 orang per malam berturut-turut adalah Rp 200.000,00 dan Rp 250.000,00. Besar sewa kamar minimal per malam untuk seluruh rombongan adalah .... 8. Pada tanah seluas 24.000 m2 dibangun perumahan dengan dua tipe. Tipe A dengan luas 150 m2 dan tipe B dengan luas 100 m2. Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 200 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp4.000.000,00 dan setiap rumah tipe B Rp3.000.000,00, maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah….

9. Seorang penjahit membuat dua jenia pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 2 m kain katun dan 4 meter kain sutera, dan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 m kain sutera. Bahan katun yang tersedia 70 m dan sutera 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba Rp25 000, 00 / buah dan pakaian jenis II mendapat

laba Rp50 000,00 /buah. Agar ia

memperoleh laba yang sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II berturutturut adalah ...


19

10. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang A dan barang B dengan memakai dua mesin M1 dan M2. Untuk membuat barang A mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2 beroperasi selama 1 menit. Dan untuk membuat barang B mesin M1 beroperasi selama 1 menit dan M2 beroperasi selama 1 menit. Mesin M1 dan mesin M2 masing-masing beroperasi tidak lebih dari 4 jam dan 3 jam setiap hari. Keuntungan bersih untuk barang A adalah Rp250,00 dan tiap barang B adalah Rp500,00, maka keuntungan maksimum yang diperoleh adalah….


20

BAB III BARISAN DAN DERET DEFINISI 1. 1 + 2 + 3 +....+ n =

n

n i 1

2.

12 +

22 +

32 +....+

n2

n

n2

=

i 1

3. 2.12 + 2.22 + 2.32 +....+ 2.n2 =

n

 2.n 2 i 1

4. Barisan dan deret Aritmatika Rumus suku ke-n

Un = a + (n – 1 )b

Rumus jumlah n suku

Sn =

n(2a  (n  1)b 2

5. Barisan dan deret gometri Rumus suku ke-n

Un = a.r n – 1

Rumus jumlah n suku

a(r n  1) a(1  r n ) Sn =  r 1 1 r

Rumus geometri tak hingga = s ~ 

a r 1


Kegunaan

Op+Psa


q i

Menghitung deret suatu bilangan


21

Contoh 50

1.

Hitunglah deret berikut ini

 n4 n 1

Mode Matematika Mengaktifkan tombol sigma Meng-input fungsi Meng-input batas Menampilkan hasil

Ww1 q i ( ) Q) ^4$ $1E50 =(65666665)

50

 n 4 =65666665 n 1

2.

Tentukan jumlah 20 suku pertama deret bilangan 2+6+18+48+.... Jawaban Deret tersebut adalah deret Geometri dengan suku pertama a=2 dan rasio r = 3 Suku ke-n dirumuskan Un=arn-1 Un=2.3n-1 Sehingga jumlah 70 suku pertama adalah 70

Sn   2 x3n1 n 1


Ww1 q i ( ) 2O3^q((x) )p1 $1 E20 =(3486784400)

Jumlah 20 suku pertama deret bilangan 2+6+18+48+.... = 3486784400

3.

Tentukan jumlah dari : 31+37+43+49+......+ 445 jawaban adalah deret aritmetika dengan a = 31, b=6, dan l=445 l = un = a+(n-1)b = 445 31 +(n-1)6 = 445


22

31 + 6n – 6 =445 n = 70 rumus un = a + (n-1)b = 31 + (n-1)6 = 31 + 6n -6 = 25 +6n dengan notasi sigma jumlah bilangan tersebut adalah 70

 25  6i i 1


Ww1 q i ( ) 25+6Q) (x)$ $1E70 =(16660)

Jumlah bilangan itu adalah 16660 Dengan rumus jumlah

70 (a  l ) 2  35(31  445)  16660

S 70 

4.

Tentukan jumlah dari bilangan berikut : 4, 12, 36, 108 sampai 30 suku adalah deret geometri dengan : a= 4, r = 3 dan n=30 rumus suku ke-n un= arn-1 = 4.3n-1 dengan notasi sigma jumlah bilangan tersebut adalah 30

 4.3n1 i 1


23


Ww1 q i ( ) 4[3^Q) (x)p1$ $1E30 =(4.117822642 x 10 14)

Dengan rumus jumlah

a (r n  1) r 1 4(330  1) S 30  3 1  4.117822642 x 10 14 Sn 

Jumlah bilangan itu adalah 4.117822642 x 10 14

5.

Seorang siswa membaca sebuah buku dan menyadari bahwa ia membaca semakin cepat. Hari pertama ia membaca 19 halaman, hari berikutnya ia menambah 3 halaman, demikian dia lakukan selama beberapa hari. a. Tentukan banyak halaman yang dibaca selama 15 hari. b. Berapa lama yang dibutuhkan siswa tersebut jika buku yang dibacanya berisi 426 halaman? Jawab

a. adalah deret aritmetika dengan suku awal 19 dan beda 3 Un = a + (n-1)b = 19+(n-1)3 Un = 3n + 16 menghitung jumlah 15 suku pertama

Meng-input fungsi

Ww1 q i ( ) 3 Q)(x)+16

Meng-input batas Menampilkan hasil

$1 E15 =(600)

Mode Matematika Mengaktifkan tombol sigma

Banyaknya halaman yang dibaca selama 15 hari = 600 halaman


24

b. Waktu yang digunakan untuk membaca 426 halaman adalah jumlah n suku pertama dari deret aritmetika dengan jumlah 426

Sn 

n(2a  (n  1)b)  426 2

852 = n(3n + 35 ) 3n2 + 35n – 852 = 0 cari nilai n dengan kalkulator yaitu Mode persamaan kuadrat Meng-input data Meng-input batas

Ww53

Menampilkan hasil

=(12)

3 Q)+16

3=35=p852=

Waktu yang digunakan untuk membaca 426 halaman adalah 12 hari

]


25

Latihan 1. Hitunglah deret berikut 100

a.

 n 2  3n  5 n 1

100

b.



n

n 0

2. Seorang siswa membaca sebuah buku dan menyadari bahwa ia membaca semakin cepat. Hari pertama ia membaca 21 halaman, hari berikutnya ia menambah 5 halaman, demikian dia lakukan selama beberapa hari. a. Tentukan banyak halaman yang dibaca selama 14 hari. b. Berapa hari paling waktu yang dibutuhkan siswa tersebut jika buku yang dibacanya berisi 1370 halaman? 3. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut .

4. Seorang pegawai menabung pada sebuah bank. Tahun pertama setiap bulannya ia menabung Rp100.000,00.Tahun kedua, setiap bulannya ia menabung Rp125.000,00. Tahun ketiga, setiap bulannya ia menabung Rp150.000,00 dan seterusnya setiap tahun bertambah Rp25.000,00. Banyak uang pegawai itu yang ditabungnya setelah 15 tahun(bunga yang di bank tidak ikut diperhitungkan) adalah….

5. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Tentukan jumlah sembilan puluh lima suku pertama deret tersebut. 6. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, tentukan jumlah keempat bilangan tersebut. 7. Jika di antara suku pertama dan suku ke dua suatu barisan geometri disisipkan 4 bilangan, maka dapat diperoleh barisan aritmetika dengan beda 2. Jika suku ke-3 barisan geometri tersebut adalah 40. Tentukan rasio barisan geometri tersebut


26

8. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, tentukan banyak suku deret tersebut. 9. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ? 10. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Hitunglah panjang seluruh lintasan bola. 11. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, hitunglah panjang keseluruhan tali tersebut. 12. Diketahui uang Adi bertambah setiap tahunnya dengan nilai tetap. sedangkan uang Budi setiap tahunnya naik 2 kali lipat. pada tahun 2003 jumlah uang mereka Rp. 8.850. pada tahun 2004 uang mereka sama yaitu Rp. 6.400. Tentukan Selisih uang mereka pada pada tahun 1999. 13. Jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + ½2 + ½ + … adalah …. 14. Jika 1 

1 1 1  2  ....  4  341 . Tentukan nilai x x x x

15. Jika barisan geometri y+1 , 2y-2 , 7y-1,.... mempunyai rasio positif. Tentukan suku ke-4


27

BAB IV MATRIKS Pemakaian fungsi tombol kalkulator Tombol

Kegunaan

mode 6

mode matrik

q4(MATRIKS)

Menentukan matrik dan input elemen matrik.

u

invers

A. PENJUMLAHAN PENGURANGAN DAN PERKALIAN MATRIKS Untuk mengoperasikan matrik dilakukan dengan mengubah mode matriks yaitu mode 6. Kemudian menentukan matriks yang akan dioperasikan dan meng-input elemen elemennya dengan q4(MATRIKS), dilanjutkan dengan men-input operasi matrik yang dimaksudkan

Contoh soal dan jawaban

0 1 4 3 7 B C    Diketahui Matrik A     2 3 6 5 10 

1.

Tentukanlah : a. 5A + 2 B b. 6 A – 3 B c. A X B d. AT X B JAWAB Masukkan semua data terlebih dahulu

Mode Matrik Menentukan matriks A dan input elemennya Menentukan matriks B dan input elemennya Menentukan matriks C dan input elemennya MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

Ww6C q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 0=1=2=3= q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) 4=3=6=5= q42(DATA)3(MatC) 6 (2 X 1) 7=10=C 28

a.

Hitung operasi 5A + 2 B Mengi-input operasi

5A + 2 B Menampilkan hasil

5q4(MATRIKS)3( Mat A )+2q4(MATRIKS )4 (Mat B) =

b. Hitung operasi 6 A – 3 B

Mengi-input operasi

6A–3B Menampilkan hasil

6 q4(MATRIKS)3( Mat A ) 3q4(MATRIKS )4 (Mat B) =

c. Hitung operasi A X B Mengi-input operasi

q43 q44=

AXB Menampilkan hasil

6 5   26 21

= 

d. Hitung operasi AT X B

Mengi-input operasi

AT X B Menampilkan hasil

2.

 1  Diketahui Matrik A   3 3   4

q48(Trn )q43(Mat A ) )q44(Mat A )

 12 10   22 18  

= 

2  4   5 B 3  5 2   3  4

2 7 7  3

Tentukan a.

A+2B

b.

AxB

c.

ATxB-1


29

Masukkan semua data terlebih dahulu

Mode Matrik Menentukan matriks A dan input elemennya Menentukan matriks B dan input elemennya

Ww6C q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 1a3=2a5=p3a4=2 a3= q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) p4a3=2a7=5a4=7 a3=C

Catatan : Untuk mendpat angkha pecahan input gunakan a.Keluaran lihat hasil kanan bawah.

a.

Hitung operasi A+2B Mengi-input operasi

A+2B Menampilkan hasil

b.

q4(MATRIKS)3( Mat A )+2q4(MATRIKS )4 (Mat B)

 7  =  3 7   4

34  35  16   3

Hitung operasi A X B Mengi-input operasi

Cq43 q44=

AXB Menampilkan hasil

c.

 1 36    =  18 35   11 169     6 126 

Hitung operasi AT X B-1

Mengi-input operasi

AT X B Menampilkan hasil


Cq48(Trn )q43(Mat A ) )q44(Mat B )u

  91  =  184  63   2185

6  23  632   2185  30

B. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Cari determinan dan invers matriks A 1.

Carilah determinan dan Invers Matriks A2X2

 2 1  (ordo 2 x 2 ) A =   5 3 a. Tentukan det A b. Tentukan invetrs A Jawab : a.

Menentukan Det A Mode Matriks Menentukan matriks A dan input elemennya

Ww6C q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 2=1=5=3=C

Menentukan determinan matriks A

q47(det (q43 (MAT A))=

Menampilkan hasil

= 1

b. Menentukan Invers matrik A atau A-1

Meng-input Invers Matriks A atau (A-1) Menampilkan hasil

q43u

3 1  2   5 

= 

C. PERSAMAAN MATRIKS Untuk menyelesaikan persamaan matrik gunakan persamaan berikut

AX  B X  A 1 B

atau XA  B X  BA 1 Contoh soal dan jawaban Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA

31

8 5  3 2  6  3  B    C    A    4 3  2  4  1  2  Tentukanlah X yang memenuhi: a. AX= B b. CX= A+B c. XA=BC Langkah-langkah Memasukan matriks Mode Matrik Menentukan matriks A dan input elemennya Menentukan matriks B dan input elemennya Menentukan matriks C dan input elemennya

a.

Menentukan matriks X dari persamaan AX= B Matrik X ditentukan dari persamaan X=A-1B Meng-input operasi A-1B Menampilkan hasil

b.

Ww6C q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 3=2=4=3= q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) 6=8=p2=p4= q42(DATA)3(MatC) 5 (2 X 2 ) 3=5=p1=p2=C

q43(MatA) u q44

  26 22    2  2

= 

Menentukan matriks X dari persamaan CX= A+B Matrik X ditentukan dari persamaan X=C-1(A+B)

Meng-input operasi -1

(q43(MatA)+q44(MatB))

C (A+B) Menampilkan hasil

 28

q45(MatC) u

 28 15     15  7 

= 

15 

 Jadi Matrik X=    15  7 


32

c.

Menentukan matriks X dari persamaan XA= BC Matrik X ditentukan dari persamaan X=(BC)A-1 (q44(MatB)

Meng-input operasi (BC)A

-1

q45(MatC))q43u

 28 15     15  7 

Menampilkan hasil

= 

 28 15     15  7 

Jadi Matrik X= 

LATIHAN SOAL

2 1   1 1  dan B    Tentukan Matrik A  2B  ....... 3  1  3 2    

1. Dikethui A  

1 2  1 1  5 2  , B   dan C    , maka bentuk yang paling 3 4  0 2  1 0

2. Jika, A  

sederhana dari (A+C)(A-B) adalah ... .

 1  5    2  3 1  dan B    2 4  , maka hasil dari 2AXB= ... . 3. Jika matriks A     4 0 4  3 6   4. Diketahui matriks

, dan matriks

, M atriks

5. Diketahui matriks

, dan matriks

, A 2 B 1 = ... .

6. Jika

3 7. Jika A   3  4

, dan matriks

 2 4  1  dan B   3   1 2  

adalah ... .

, maka ( AT  B 1 ) 2 = ... .

 5  , , maka 3  5

= ... .


33

 2 1  1 1  X    maka X =  3 2   3 2

8. Jika X adalah matriks berordo 2x2 berlaku hubungan  ... .

 2 1    1 1  4  3      maka P = ... . 2    3 2  3 1 

9. Jika P  3

10. Dikethui ,

tentukan det A2

11. Tentukan, determinan dan invers matriks

12. Sebuah perusahaan memproduksi Tiga jenis barang yang dijual di tiga kota dengan dengan hasil penjualan dan harga seperti berikut ini :

Jumlah terjual Kota Produk P

Produk Q

Produk R

A

561

435

423

B

345

543

410

C

500

550

435

Harga produk P : Rp 400.000, produk Q : Rp 450.000, Produk R : Rp 500.000 Hitung total penjualan untuk produk A , B dan C dengan matrik


34

BAB V VEKTOR Untuk mengoperasikan vektor matrik dilakukan dengan mengubah mode vektor yaitu mode 8. Kemudian menentukan matriks yang akan dioperasikan dan meng-input elemen elemennya dengan q5(MATRIKS), dilanjutkan dengan men-input operasi matrik yang dimaksudkan

Rumus Dasar 1. Hasil kali skalar vektor

  a dengan vektor b adalah a . b  a b cos 





 

2. Sudut antara 2 vektor yaitu cos  

a.b ab

3. Proyeksi vektor a. Proyeksi skalar ortogonal vektor 

a b

pada vektor

 



a.b b

b. Panjang proyeksi skalar ortogonal vektor 

a b

a

pada vektor

yaitu

 



a.b b

Proyeksi vektor ortogonal vektor 

yaitu

pada vektor

yaitu

   b



a.b  b b


Kegunaan

Op+Psa


Ww8

Memulai operasi pada vektor

q5

Menghitung operasi pada vektor


35

Contoh 1. Diketahui a = 3i + 7j – 4k dan b = i – 5j + 8k. Tentukan a) Besar masing-masing vektor b) a + 2b c) a.b d) axb e) Sudut antara vektor a dan b f) Proyeksi vektor a pada vektor b jawab

Masukkan semua data terlebih dahulu Mode Vektor

Ww8C

Menentukan Vektor a dan input elemennya Menentukan Vektor b dan input elemennya

q5111 3=7=p4=C q5121 1=p5=8=C

a. Menentukan besar vektor a dan vektor b Menentukan besar Vektor a

qcq53)= 8.602325

Menentukan besar Vektor b

qcq54)= 9.486832

Besar Vektor a =8.602325 dan besar vektor b = 9.486832 b. Menentukan vektor a + 2b Meng-input operasi a + 2b

Menentukan hasil

q53(VctA)+ 2q54(VctB) = 5  3 12

vektor a + 2b = 5i -3j +12k


36

c. Menentukan vektor axb Menentukan besar Vektor aXb

Cq53(VctA)O q54(VctB)

Menentukan hasil

=

36

 28  22

vektor a x b = 36i -28 j -22k

.

d. Menentukan hasil a b Menentukan besar Vektor

.

a b Menentukan hasil

C q53 q57 (.)q54= =-64

.

a b = -64  

e. Sudut antara vektor a dan b gunakan rumus cos  

a.b ab

  a.b    cos    ab   1 

Meng-input operasi

 

 a.b  cos 1    ab  

Menentukan hasil

Cqk(cos-1)( q53(VctA) q57 (.)q54(VctB)) P(qcq53(VctA) )qcq54(VctB) )) = 141.6494199

Sudut antara vektor a dan b = 141.6494199 derajat


37



f. Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b gunakan rumus

Meng-input operasi  

a.b b Menentukan hasil

a

   b



a.b b

C( q53(VctA) q57 (.)q54(VctB)) Pqcq54(VctB) ) =-6.746192234

Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b = -6.746192234

Latihan 1. Diketahui a = 13i +17j – 14k dan b = 9i – 15j +1 8k. Tentukan a. Besar masing-masing vektor b. 2a - b c. a.b d. axb 2. Diketahui a =

2 3 i + 5j – 6k dan b = i – 5j -15k. Tentukan 5 7

b. 3a + 2b c. Besar vektor a+3b d.

sudut antara vektor a dan b

e.

vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor a dan b

3. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Tentukan besar sudut PRQ . 4. Diketahui a  2 , b  9 , a  b  5 . Tentukan besar sudut antara vector a dan vector b

  12   23      5. Tentukan besar sudut antara a   12  dan b   30  .  3    4    


38

6. Jika a  2 , b  3 , dan sudut ( a, b ) = 120°, maka 3a  2b  .... 7. Diketahui a  13 , b  1 1, a  b  1 0. Tentukan panjang vector a + b . 8. Diketahui a  6 ; ( a – b ).( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Tentukan besar sudut antara vector

a dan b . 9. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(12,2 2, 0) dan C(0,- 2,-12). Tentukan proyeksi orthogonal ____

____

AB pada AC .

10. Diketaui vector a  3i  4 j  4k , b  2i  j  3k , dan c  4i  3 j  5k . Tentukan panjang proyeksi vector (a  b ) pada c . 11. Diketahui vector u  21i  42 j  6k dan v  2i  2 j  4k . Tentukan Proyeksi vector orthogonal

u pada v .

1 2     2 12. Diketahui vector a   x  , b   1  , dan proyeksi a pada b adalah . Sudut antara a dan 6  2  - 1     b adalah α, tentukan nilai cos α . 13. Panjang proyeksi orthogonal vector a  3i  2 j  5k pada vektor b  3i  2 j  pk , pada adalah 5 Tentukan nilai p . 14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : ____

3.Tentukan panjang PB . 15. Diketahui titik A(2,3,-4) B(-4,6,-7) dan C(0,-4,1) tentukan luas segitiga ABC


39

BAB VI TRANSFORMASI

Beberapa jenis transformasi : pencerminan (refleksi), perputaran (refleksi), perkalian (dilatasi) JENIS

MATRIKS TRANSFORMASI

Pencerminan terhadap sb. X

1 0     0  1

Pencerminan terhadap sb. Y

  1 0    0 1

Pencerminan thd. grs y = x

0 1   1 0

Pencerminan thd. grs y = – x

 0  1    1 0 

Rotasi sebesar 90o thd. O(0,0)

 0  1   1 0 

Rotasi sebesar 180o thd. O(0,0) (refleksi thd O(0,0)) Rotasi sebesar 

Dilatasi k thd. O(0,0)

Refleksi terhadap garis y = mx

Dilatsi dengan Pusat O(0,0) dan skala k


 1 0     0  1  cos    sin 

k  0 

1  m2  1  m2  2m  1  m2

 sin    cos  

0  k 

2m   1  m2  1  m2   1  m2 

k 0   0 k 

40

A. Transformasi titik Kita menggunakan operasi matrik untuk menentukan banyangan satu atau beberapa titik Contoh 1.

Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu x [Matrik transformasi] [titik]=[Banyangan titik] Secara umum dapat digmbarkan

 Matrik  Titik  Titik  Transformanasih  Asal  =  Akhir      

 1 0   3 2  3  x 'A x B'  =  '    '  1  5 4 0 1   y' A y B   

xC'   1  yC 

Langkah langkah

Mode matrik

Ww6

Menentukaan matrik A

15

Mengisi koefisien matrik A

1=0=0=p1=C

Menentukaan matrik B

q124

Mengisi koefisien matrik B

3=2=p3=1=p5 =4=C

Mengalikan matrik A dengan q43Oq44 Matrik B Menampilkan hasil

 3 2  3   1 5  4  

= 

Bayangan titik A adalah A’(3,-1) Bayangan titik B adalah B’(2,5) Bayangan titik C adalah C’(-3,-4)


41

2. Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu Rotasi dengan pusat 0(0,0) sejauh 60o

 cos 60   sin 60

 sin 60   3 2  3   x 'A =  cos 60   1  5 4   y ' 'A

x B' y B'

xC'   y C1 

Langkah langkah

Setup sudut dalam derajat

Wqw3

Mode matrik

Ww6


15


k60)=pj60)= j60)=k60)=C


q4124


3=2=p3=1=p5 =4=C

Mengalikan matrik A dengan q43Oq44= Matrik B Menampilkan hasil

 0.6339 5.3301  4.965    3.098  0.767  0.598 

= 

Bayangan titik A adalah A’(0.6339;3.098) Bayangan titik B adalah B’(5.3302;-0767) Bayangan titik C adalah C’(-4.965,-0.598)

Transformasi Kurva secara umum tranformasi kurva y=f(x) dilakukan dengan cara

 Matrik   x   Transforma si  x  y        x   Matrik   y    Transforma si     

x'   ' y 

x'   ' y 


42

Hasil x dan y disubtitusikan ke kurva asal contoh 1. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh pencerminan garis y = x

0 1   1 0 

Matrik pencerminan y = x adalah M=  Menentukan invers Matrik M Mode matrik

Ww6


15


0=1=1=0=C

Menentukan invers Matriks A Menampilkan hasil

Invers Matriks A adalah

(q43)u

0 1   1 0 

= 

0 1  1 0  

Tentukan bayangan dari persamaan berikut

 x  0 1   x '       '   y  1 0  y  x= 0x+1.y ’= y’ y= 1.x’ +0y’ = x’ bayangan adalah x’=2y’+3 atau x=2y+3 atau y= -

1 3 x 2 2

 2 5   1 3

3. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh matrik transformasi M=  Menentukan invers Matrik M


43

Mode matrik

Ww6


15


3=5=1=3=C (q43)u

Menentukan invers Matriks A

 3  5   1 2 

Menampilkan hasil

Invers Matriks A adalah

= 

 3  5  1 2   

X dan y ditentukan oleh persamaan

 x   3  5  x '       '   y   1 2   y  sehingga x = 3 x’ -5 y’ y = -x’ +2 y’ Bayangan y = 2x + 3 menjadi -x’ + 2y’ =2(3x’ – 5y’) +3 x + 2y = 6x - 10 y + 3 12y = 5x + 3

y

5 3 x 12 12

Komposisi transformasi suatu titik A(x,y) ditransformasikan oleh matrik M1 dilanjutkan oleh matrik M2 digambaran

 x   x' 

M2.M1   =    y   y ' Contoh 1. Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 3

 3 0    1 0   3 2  3  '    =  x A     y' '  0 3  0 1  1  5 4   A

x B' y B'

xC'   y C1 

Langkah langkah MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

44

Mode matrik

Ww6


15


3=0=0=3=C


q4125


3=2=p3=1=p5= 4=C

Menentukaan matrik C

q4124

Mengisi koefisien matrik C

3=2=p3=1=p5= 4=C

Mengalikan matrik A dengan q43Oq44Oq45= Matrik B dan Matrik C Menampilkan hasil

  9  6 9    9  6 9

= 

Bayangan titik A adalah A’(-9;-9) Bayangan titik B adalah B’(-6;-6) Bayangan titik C adalah C’(9;9)

 2 3  dilanjutkan oleh dengan  1 2

4. Tentukan bayangan garis y = 6X - 4 0leh matrik transformasi M=  dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 2

 2 0  2 3  2 6    =    0 2  1 2  2 4

M = M2 M1= 

Menentukan invers Matrik M


45

Mode matrik

Ww6


15


2=6=2=34C

Menentukan invers Matriks A

(q43)u

  1 1.5   0.5  0.5

Menampilkan hasil

=

  1 1.5   0.5  0.5

Invers Matriks M adalah 

x dan y ditentukan dari persamaan berikut : Mengisi koefisien matrik

 x    1 1.5   x '       '   y  0.5  0.5  y  sehingga x = - x’ – 1.5 y’ y = 0.5 x’ – 0.5 y’ Bayangan y = 6x + 3 menjadi - x’ – 1.5 y’=6(0.5 x’ – 0.5 y’) - 4 x – 1.5y = 3x - 3 y - 4 1.5 y = 2x – 4 kalikan 2 3 y = 6x – 8

y  2x 


8 3

46

Soal-soal 1.

Tentukan bayangan titik A(2,1) B(-6,3) dan C(5,-4) oleh a. Pencerminan garis y = - x b. Dilatasi dengan pusat O(0,0) skala = 4 c. Matrik Transformasi

 1  2   4 3 

d. Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 120o e. Garis y = - 2x+3

2.

Tentukan bayangan garis 2 x + 3y = 10 dicerminkan y = - x

3.

Tentukan bayangan garis y = 4 x + 3 Dilatasi dengan pusat O(0,0) skala = 4

4.

Tentukan bayangan garis y = x 2 oleh Matrik Transformasi

5.

Tentukan bayangan garis 4 x + 3y = 12 Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 120o

6.

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 oleh pencerminan garis y = 3x

7.

Tentukan bayangan garis x2 + y2 - 2x - 6y - 6 = 0 percerminan garis x = 3

8.

Tentukan bayangan garis 3x + 5y = 15 jika dicerminkan sumbu x dilanjutakan rotasi 90o dengan puast O(0,0)

 1  2   4 3 

9. Tentukan bayangan garis y = 2x +4 jika dicerminkan garis y = x dilanjutkan oleh  2 1  matrik   5 3 10. Tentukan bayangan garis y = 3x +5 jika ditransformasikan berturut-turut oleh matrik

 1 1  2 1  dan   matrik   2 3  5 3


47

BAB VII FUNGSI, PERSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA

FUNGSI EKSPONEN

Bentuk umum f ( x)  a U ( x ) , a > 0 a≠ 1 disebut fungsi eksponen dengan bilangan pokok a Untuk menggambar dapat digunakan fungsi tabel pada kalkulator Contoh. 1. Gambarlah grafik fungsi y = 2X+1 , pada interval

-4 < x < 4

Langkah langkah 2) Masukan persamaan

Mode tabel Meng-input fungsi Meng-input stars , step dan end Menampilkan hasil

Ww7 2^$Q)(x)+1 =p 4=4=1= =

1 2 3 4 5 6 7 8 9


X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

F(X) 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32

48

Gambar seperti berikut ini

1 2. Gambarlah grafik fungsi y =   3

x 1

, pada interval

-4 < x < 3

Langkah langkah

Mode tabel Meng-input fungsi

Ww7 (a$3$)^$Q)(x)+1

Meng-input stars , step dan end Menampilkan hasil

=p 4=3=1= =

1 2 3 4 5 6 7

X -4 -3 -2 -1 0 1 2


F(X) 27 9 3 1 0.333 0.111 0.037

49

Gambar seperti berikut ini

Persamaan eksponen A. Bentuk a f ( x )  b

Untuk f(x) linear gunakan fungsi solve untuk menyelesaian persamaan tanpa harus menyamakan bilangan pokok dahulu, karena hasilnya hanya ada satu x yang memenuhi Contoh . 1. Tentukan x yang memenuhi persamaan 3 2 x 1  27 Langkah-langkah Mode Matematika

Ww1

Meng-input persamaan

3^2Q((x)p1$Qr(=)27

Menggunakan fungsi solve

qr(solve)

Menampilkan hasil

= 2

Yang memenuhi persamaan 3 2 x 1  27 adalah x = 2

Untuk f(x) tidak linear kita harus ubah sehingga bilangan pokoknya sama, persamaan f(x) = a log n kita selesaikan dengan kalkulator MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

50

Contoh 2. Tentukan x yang memenuhi persamaa 2 x

2 4 x

5

Kita ubah

2x

2 4 x

2

2 log 5

x 2  4 x  2 log 5 x 2  4 x  2 log 5  0 Selesaikan dengan persamaan kuadrat Mode Persamaan

Ww53

Meng-input koefisien persamaan kuadrat

1=4=i2)(5)=

Menampilkan hasil

= x1 = - 0.4249 R x2 = - 53.579

yang memenuhi persamaa 2 x

2 4 x

 5 adalah x1 = - 0.4249 x2 = - 53.579

af(x)= ag(x) Untuk f(x) linear gunakan fungsi solve untuk menyelesaian persamaan tanpa harus menyamakan bilangan pokok dahulu, untuk f(x) atau g(x) tidak linear samakan bilangan pokoknya, selesaikan dengan persamaan kuadrat Contoh

3. Tentukan x yang memenuhi persamaa 4 2 x

2

 3 x 1

 16 2 x 5

Kita ubah menjadi

42x

2

 3 x 1

 (4 2 ) 2 x 5

42x

2

 3 x 1

 4 4 x 10

2 x 2  3x  1  4 x  10 2x 2  x  9  0


51

Mode Persamaan kuadrat Meng-input koefisien persamaan kuadrat

Ww53

Menampilkan hasil

=

2=p1=p9===

x1 

1  73 4

x2 

1  73 4

R

Yang memenuhi persamaa 4 2 x

2

 3 x 1

 16 2 x 5 adalah x1 

1  73 1  73 dan x2  4 4

h( x) f ( x )  h( x) g ( x )

( x  2) x

2

3 x

 ( x  2) 2 x 6

 


52

y

Mode Persamaan

Ww53


1=p1=p6=

Menampilkan hasil

= x1 = 3 R x2 = - 2

1 x2 3 4

y  3 x  2  2 x 1

 1     64 

3 x 1

 32

35 x1  27 x3 9

2 x 2  3 x 5

1    3

x 3

x x  3  2 2    3  2 2   3     2

3x  10x

2

 3x  10

2 x 3

2 2 x  3.2 x  32  0 32 x  5.34 x1  6  0

2 p 3q  3 5 2 p q  2

2 p 3q  3 5 2 p 9  2


53

FUNGSI LOGARITMA Bentuk umum f ( x) a log x , a > 0 a≠ 1 disebut fungsi logaritma bilangan pokok a Untuk menggambar dapat digunakan fungsi tabel pada kakulator Contoh. 1. Gambarlah grafik fungsi y = 2 log 3x , pada interval

0< x < 15

Langkah langkah Daerah interval dari 0.125 sampai 1 dengan step 0.25   Mode tabel Meng-input fungsi

Ww7 i2$3Q)(x)

Meng-input

=0.25=1=0.25=

Menampilkan hasil

= 1 2 3

X 0.125 0.375 0.625 0.875

F(X) -1 0.5849 1.3 1,8

Daerah interval dari 1 sampai 18 dengan step 1


Ww7 i2$3Q)(x)

Meng-input

=1=18=1=

Menampilkan hasil (dipilih yang bulat saja)

=

1 2 3 8 16


X 1 2 4 8 16

F(X) 2 3 4 5 6

54

1 3

2.Gambarlah grafik fungsi y = log 3x , pada interval

0< x < 15

Langkah langkah Daerah interval dari

1 sampai 1 dengan step 0.25 (dapat menggunakan ketentuan lain) 27


Ww7 i2$3Q) (x)=

Meng-input

a1$27=1=0.25=


=

1 2 3

X 0.37 0.287 0.787

F(X) 0.371 -0.488 -0.819

Daerah interval dari 1 sampai 18 dengan step 0.25


55


Ww7 i2$3Q) (x)=

Meng-input

1=27=1=


=

1 3 9 20

a

X 1 3 9 20

F(X) -1 -2 -3 -3.726

log u( x)  n

2


log( 2 x  1)  6

56

ModeMatematika

Ww1

Meng-input persamaan

i22$Q( $Qr

qr(solve)

Menampilkan hasil

= 32.5

log( 2 x  1)  6 2

a

6

Menggunakan fungsi solve

2

p1

log( 2 x 2  3x)  3

log a n

2

log( 2 x 2  3x)  3

2

log( 2 x 2  3x) 2 log 2 3 2 x 2  3x  2 3 2 x 2  3x  8  0 Mode Persamaan kuadrat

Ww53


2=p3=p8=

Menampilkan hasil

=

x1 

3  73 4

x2 

3  73 4

R

a

log f ( x) a log g ( x)


57

3

32

log( x 2  1)  1 9 log( x  1)

log( x 2  1) 2  9 log 9 9 log( x  1)

9

log( x 2  1) 2  9 log 9 9 log( x  1)

9

log( x 2  1) 2  9 log 9( x  1)

( x 2  1) 2  9( x  1) x 2  2x  1  9x  9 x 2  7 x  10  0

Mode Persamaan kuadrat

Ww53


1=p7=+10=

Menampilkan hasil

=

x1  5 x2  2

5

log( x  1)  1 5 log( x  1)

2

log( x  1) 

log x

2

6 5 log( x  1)

x2 2x  log x  log( ) 1 x 1 x

log( x 2  3x  9) 

1 2 3 log

 x

1 3 5 log

2

log x( 2 log x  3)  4

4

log( x  1)  3.

3

log( x 2  1).5 log 3  5 log( x  21)

 x

1 5 2 log

x

x 1

log 4  2


58

2

3 log( 2 x  3) 4 log( x  )  1 2

 x2  2x    log x  log log   1 x  1 x 

 3 log( x  3 y  5)  1 2 2  log( x  4)  1  2 log y


59

JAWABAN SOAL BAB I INTEGRAL

1.

2730

5 12

9. 4 3 10. 32

2. 98

3. -4,469442089

11. 3

4. 2 5. 1

12. 13

1 3

8.

7

1 3

170

8  15

13. ( 29

6. 0.2255621096 7.

47 48

1 ) 3

3 14. 25  5 2 3

15. 59.5086162 

BAB II PROGRAM LINEAR

1. 2. 3. 4. 5.

23 180 10 Rp 26 000,00 Rp 700.000.000,00

6. 4 sapi dan 11 kerbau 7. Rp 22.000.000,00 8. Rp 680.000.000,00 9. 15 dan 8 10. Rp 90.000,00

BAB III DERET

1 a. 353000 b. 671.4629471

2.

a. 749 b. 20


3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

660 Rp 49.500.000,00 230 78 2 21 Rp. 185.000.000 70 60

11. 762 12. Rp. 2.450

14.

13. 2 + 2 2

15. – 108

1 4

BAB IV MATRIK

 4 1   9  5

8. 

 36 14    28 10 

9. 

 1 0    3 1

1. 

  14 9     45 28 

2. 

 22  32    16 88 

10. 2.50694444

3. 

13 4   13 6 

4. 

11. determinan =

 25   107 37 invers =   214  15   107

 5.25  2.5    3.25  1.5 

5. 

 223  6.  6  171   16

57   8  45   8 

 107 5

 10 107 14 107 6 107

70   107  125  214   65   107 

12. Rp 31.1650.000, Rp. 58.7350.000 , Rp 66.5000.000

  0.194 2.8703     0.351 3.7654 

7. 

BAB V VEKTOR 1. a. a  25.57342371 b  19.23538406 b . 17i+49j-36k

c. 58.2065566o b. -0.9986910838 i + 0.0326103211 j – 0.039404138 k

c. -250 d. -74 i -2309j – 348 k 2. a.

72 i  5 j  48k 35

b. 51.998447721

3. 4. 5. 6. 7.

90o 135o 83,5287o 12 14.605o


61

8. 60o 9. 0i +6.7272 j +40.3636 k 10. 4.2426

6 9

12. 13. 6

17 6 11. 2

14.

3 77 2

15. 30.14962686

BAB VI TRANSFORMASI

1.

a. A ' (1,2), B ' (3,6), C ' (4,5)

3.

y = 4 x + 12

A ' (8,4), B ' (24,12), C ' (20,16)

4.

y

c. A ' (0,11), B ' (12,15), C ' (13,8)

5.

 (4  3 3) x  (4 3  3) y  24

6.

x + 18y = 30

b.



1 9 x 2  44 x  12 xy  4 y 2 11



d. A ' (1.866 ,1.2321), B ' (0.4019 ,  6.696), C ' (02.9641 , 6.33012) 7. x + y2 - 10x - 6y +18 = 0

 7 11 69 139 8 e. A ' ( , ), B ' ( ,3, C ' ( , ) 10 5 10 20 5

8.

5x + 3y = - 15

9.

13x - 5y - 4 =0

10. 53x - 19y + 5 =0 2.

2 x + 3y = -10

BAB VII EKSPONEN 1. a


b.

62

2. a. 

2 9

e. -1, 3,

b. 5

10 11 , 3 3

f. 2 dan 3

c. X1= 1.128902443 , X2= -2.878902443

g.

d. 0.371522536

1 2

 log 2  1  0.184535123 3

j 0.7864499969

BAB VIII LOGARITMA

6  2.449489743

1.

2. 

1 dan 63 2

6. 

7. - 4 dan 5

1 3

8.

5 2

4. 2

9.

1 3

3.

3 dan 63 4

5. 65539 10. x = 2.372281324 , y = 1.457427108


63

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

Recommend Documents