58
Mládež a fyzika
Kvantová optika a úlohy fyzikálních olympiád Jan Kříž, Ivo Volf, Bohumil Vybíral Ústřední komise Fyzikální olympiády, Přírodovědecká fakulta UHK, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové V roce 2012 byla udělena Nobelova cena za fyziku S. Harochovi a D. Winelandovi – fyzikům zabývajícím se především kvantovou optikou. Tato tematika není sice příliš obvyklá v úlohách fyzikálních olympiád, přesto se na mezinárodních kolech soutěží objevuje. Jako příklad můžeme jmenovat úlohy, které jsme čtenářům již na stránkách Československého časopisu pro fyziku představili, viz úloha „Laserové chlazení atomu“ [1], nebo „Studium polovodičových laserů v soutěžním experimentu Asijské fyzikální olympiády“ [2].
M
ezi nejznámější projevy kvantového charakteru interakce mezi elektromagnetickým zářením a látkou, které jsou běžně řazeny i do středoškolských učebnic fyziky, patří bezesporu Comptonův rozptyl a fotoelektrický jev. Předkládáme vám tedy dvě úlohy – jednu teoretickou z Asijské fyzikální olympiády a jednu experimentální z Mezinárodní fyzikální olympiády – které s výše uvedenými jevy úzce souvisí. Teoretická „půlúloha“ (tedy část teoretické úlohy složené ze dvou nezávislých celků) se zabývá tzv. inverzním Comptonovým rozptylem a byla zadána v roce 2007 na 8. asijské fyzikální olympiádě. Její zadání i řešení v originále je zveřejněno na webu [3]. Níže uvádíme upravený překlad této úlohy. Na 38. mezinárodní fyzikální olympiádě v témže roce byla zadána experimentální úloha na studium polovodičových tenkých vrstev optickými metodami. Experiment využívá vnitřního fotoelektrického jevu. Originální text úlohy je k dispozici na webu [4]. Předkládáme zde překlad vedoucích české delegace na 38. MFO.
Úloha z 8. asijské fyzikální olympiády: INVERZNÍ COMPTONŮV ROZPTYL Srážkou s vysokoenergetickým relativistickým elektronem může foton získat energii. Jeho energie, a tedy i frekvence, v důsledku srážky naroste. Tomuto jevu se říká inverzní Comptonův rozptyl a má velký význam v astrofyzice. Lze jím např. vysvětlit mechanismus vzniku rentgenového a gama záření v kosmu. 1. Vysoce energetický elektron o celkové energii E (jeho kinetická energie je větší než energie klidová) a nízkoenergetický foton (jeho energie je menší, než je klidová energie elektronu) o frekvenci ν se pohybují proti sobě a dojde k jejich srážce. Jak ukazuje obrázek 1 níže, srážka rozptýlí pohyb fotonu do směru svírajícího s původním směrem dopadu úhel θ (rozptýlený elektron na obrázku není). Vypočtěte energii rozptýleného fotonu v závislosti na E, ν
http://ccf.fzu.cz
hv’
θ
hv
E, p Obr. 1 Inverzní Comptonův rozptyl.
a θ a klidové energii E0 elektronu. Nalezněte hodnotu úhlu θ, pro které má rozptýlený foton maximální energii, a tuto energii vyčíslete. 2. Předpokládejte, že energie E dopadajícího elektronu je mnohem vyšší než jeho klidová energie E 0, což můžeme vyjádřit vztahem E = γE0, γ >> 1, a že energie dopadajícího fotonu je mnohem menší než E0/γ. Vyjádřete přibližně maximální energii rozptýleného fotonu. Číselně vypočtěte maximální energii a odpovídající vlnovou délku rozptýleného fotonu pro hodnoty γ = 200 a vlnovou délku fotonu λ = 500 nm. Další číselné hodnoty jsou: klidová energie elektronu E0 = 0,511 MeV, Planckova konstanta h = 6,63∙10-34 J s a hc = 1,24 ∙103 eV nm, kde c značí rychlost světla ve vakuu. 3. Relativistický vysoce energetický elektron o celkové energii E a foton se srazí. Určete energii dopadajícího fotonu pro případ, kdy rozptýlený foton získá maximální energii od dopadajícího elektronu, tuto energii vyčíslete, a to ve dvou případech: a) Elektron a foton se pohybují před srážkou v jedné přímce proti sobě. b) Elektron a foton se pohybují před srážkou ve směrech na sebe vzájemně kolmých.
Řešení 1. Nechť p a E značí hybnost a energii dopadajícího elektronu, p´ a E´ hybnost a energii rozptýleného elektronu a hν, resp. hν´ energie dopadajícího, resp. rozptýleného fotonu, viz obr. 2.
č. 1 hv’
θ
hv
E, p
Čs. čas. fyz. 64 (2014)
0,40 MeV, čemuž odpovídá vlnová délka λ´=hc/hν´ = 3,1∙10-3nm. 3. a) Je zřejmé, že si rozptýlený foton odnese maximální energii, pokud mu elektron předá veškerou svoji kinetickou energii, tedy zůstane po srážce v klidu, viz obr. 3. Pro tento případ můžeme zákony zachování energie a hybnosti psát ve tvaru hν + E = hν´+ E0, p – hν/c = hν´/c.
E’, p’
Snadno vypočteme
Obr. 2 Inverzní Comptonův rozptyl s rozptýleným elektronem.
Pro tento rozptyl platí zákon zachování energie a zákon zachování (velikosti) hybnosti hν + E = hν´+ E´, 2
2
p´ = (hν´/c) + (p – hν/c)2 + 2 hν´/c (p – hν/c) cos θ. Z těchto dvou rovnic použitím vztahů mezi energií a hybností E2 = (pc)2 + E02 a E´2 = (p´c)2 + E02 dostaneme
hν =
Energie rozptýleného fotonu bude tedy
hν ' = hν + E − E0 =
p hv/c
E + hν + ( E 2 − E02 − hν ) cosθ
E + E 2 − E02 E + 2hν − E 2 − E02
hν .
2. Dosadíme-li do vztahu pro maximální energii rozptýleného fotonu E = γE0, máme
(hν ') max =
γ E0 + E0 γ 2 − 1 γ E 0 + 2 hν − E 0 γ 2 − 1 γ + γ −1 2
γ + 2Ehν − γ 2 − 1
hν =
hν ≈
0
γ + γ − 1 / 2γ hν ≈ 4γ 2 hν . γ + 2Ehν − γ + 1 / 2γ 0
Jelikož hν = hc/λ = 2,48 eV, platí hν/E0 = 4,85∙10-6 << 1/γ = 5,0 ∙10-3 a předpoklady jsou tedy splněny. Maximální energie rozptýleného fotonu je tedy (hν´)max =
hv E, p E0
hv’/c
hν .
Jelikož jsme uvažovali, že kinetická energie dopadajícího elektronu je větší než jeho klidová energie a že energie dopadajícího fotonu hν je menší než E0, platí E 2 − E02 > hν . Rozptýlený foton bude mít tedy maximální energii pro θ = π a její hodnota bude
(hν ')max =
)
(
1 E − E0 + E 2 − E02 . 2
b) Obdobně jako v úloze a) předá elektron veškerou svoji kinetickou energii, tedy zákon zachování energie bude mít stejný tvar. Situaci pro hybnost znázorňuje obr. 4.
E + pc hν ' = hν = E + hν + ( pc − hν ) cosθ E + E 2 − E02
)
(
1 (E0 − E + pc) = 1 E0 − E + E 2 − E02 . 2 2
hv’
Obr. 3 Inverzní Comptonův rozptyl v případě, že elektron předal fotonu veškerou kinetickou energii.
Obr. 4 Zákon zachování hybnosti pro kolmý inverzní Comptonův rozptyl.
Z obr. 4 můžeme psát p2 + (hν/c)2 = (hν´/c)2. Řešením soustavy rovnic (obou zákonů zachování) dostaneme hν = E0 a tedy hν´ = hν + E – E0 = E.
Experimentální úloha z 38. mezinárodní fyzikální olympiády: STUDIUM POLOVODIČOVÝCH TENKÝCH VRSTEV OPTICKÝMI METODAMI Polovodiče lze zhruba charakterizovat jako materiály, jejichž elektronické vlastnosti spadají někam do „mezery“ mezi vlastnostmi vodičů a vlastnostmi izolantů. Abychom porozuměli elektronickým vlastnostem polovodičů, začněme s fotoelektrickým efektem, jakožto dobře známým jevem. Fotoelektrický efekt je kvantový elektronický jev – látka, která absorbuje dostatečnou energii elektromagnetického záření (tj. fotonů), emituje fotoelektrony. Minimální energie potřebná k emisi elektronu z kovu vystaveného elektromagnetickému záření (tj. fotoelektronu) je definována jako „výstupní práce“. Tedy pouze fotony s frekvencí ν vyšší než charakteristický práh, tj. s energií hν (h je Planckova konstanta) větší, než je výstupní práce daného materiálu, jsou schopny vyrazit z materiálu fotoelektrony. Podstata výstupní práce ve fotoelektrickém efektu je vlastně blízká podstatě zakázaného pásu energie polovodičového materiálu. Ve fyzice pevných látek definujeme u izolantů a polovodičů zakázaný pás energie Eg
http://ccf.fzu.cz
» Abychom
59
porozuměli elektronickým vlastnostem polovodičů, začněme s fotoelektrickým efektem, jakožto dobře známým jevem.
«
60
Mládež a fyzika 5) pravítko; 6) papírovou kartičku s otvorem v jejím středu; 7) sadu bílých samolepek. Spektrometr obsahuje goniometr (zařízení k měření úhlů) s přesností 5‘. Halogenová lampa připevněná k pevnému ramenu spektrometru je zdrojem záření.
Obr. 5 Ilustrace emise fotoelektronů z kovové desky: dopadající foton musí mít energii větší, než je výstupní práce materiálu.
jako rozdíl nejvyšší energie valenčního pásu a nejnižší energie vodivostního pásu. Valenční pás je zcela zaplněn elektrony a vodivostní pás je prázdný. Nicméně elektrony mohou přejít z valenčního do vodivostního pásu, pokud získají dostatečnou energii (minimálně rovnou velikosti zakázaného pásu energie). Vodivost polovodičů silně závisí na velikosti jejich zakázaného pásu energie (obr. 6). Technicky lze zakázaný pás energie upravovat a měnit jeho vlastnosti změnou složení polovodičových slitin. Nedávno bylo prokázáno, že změnou nanostruktur polovodičů lze manipulovat s jejich zakázanými pásy. V této experimentální úloze budeme měřit velikost zakázaného pásu energie tenké vrstvy polovodiče, který obsahuje nanočásticový řetízek oxidu železitého (Fe2O3), použitím optických metod. Abychom velikost zakázaného pásu energie změřili, budeme studovat optické absorpční vlastnosti průhledné vrstvy. Využijeme optické spektrum prošlého světla. Zhruba řečeno, absorpční spektrum vykazuje ostrý nárůst, pokud se energie dopadajících fotonů rovná velikosti zakázaného pásu energie.
Pomůcky Následující položky naleznete na vašem pracovním stole: 1) velkou bílou krabici obsahující spektrometr s halogenovou lampou; 2) malou krabičku obsahující vzorek polovodičové vrstvy, skleněnou podložku, držák na vzorek, mřížku a fotorezistor; 3) multimetr; 4) kalkulačku;
E
vodivostní pás nezaplněné pásy
zaplněné pásy
{
{
zakázaný pás energie valenční pás
Malá krabička obsahuje následující položky: 1) držák na vzorek se dvěma okénky. V jednom okénku je namontovaná skleněná podložka (sklíčko) potažená tenkou vrstvou Fe2O3, ve druhém nepotažená skleněná podložka; 2) fotorezistor připevněný do držáku – použijete jako detektor světla; 3) průsvitnou difrakční mřížku (600 vrypů/mm). Poznámka: Nedotýkejte se povrchu žádné součásti z malé krabičky! Schéma experimentálního zařízení je na obrázku 7.
Teorie Propustnost tenké vrstvy je závislá na vlnové délce dopadajícího světla Tfilm (λ) podle vztahu Tfilm (λ) = Ifilm (λ) / Iglass(λ), kde Ifilm, resp. Iglass značí intenzitu světla prošlého potaženým sklíčkem, resp. intenzitu světla prošlého nepotaženým sklíčkem. Hodnotu I je možné měřit detektorem světla, např. fotorezistorem. Elektrický odpor fotorezistoru klesá se vzrůstající intenzitou dopadajícího světla. Intenzita I se poté vypočte z následujícího vztahu I(λ) = C(λ) / R, kde R je elektrický odpor fotorezistoru a C je koeficient závislý na vlnové délce λ. Průsvitná mřížka ve spektrometru ohýbá různé vlnové délky světla pod různými úhly. Chceme-li tedy studovat změny T v závislosti na λ, stačí měnit úhel fotorezistoru (θ´) vzhledem k optické ose (definované směrem světelného paprsku dopadajícího na mřížku), jak ukazuje obrázek 7. Ze základní rovnice difrakce na mřížce nλ = d[sin (θ´ – θ 0) + sin θ 0] je možné vypočítat úhel θ´ odpovídající určité λ; n je celé číslo reprezentující řád difrakce, d je mřížková konstanta (vzdálenost odpovídajících okrajů dvou nejbližších vrypů) a θ 0 je úhel, který svírá vektor kolmý na mřížku s optickou osou (viz obr. 8). (V tomto experimentu se budeme snažit umístit mřížku kolmo na optickou osu. Jelikož to není možné provést s perfektní přesností, odpovídající chyba bude měřena v úloze 1-e.) Experimentálně bylo ukázáno, že pro fotony s energií mírně větší než velikost zakázaného pásu energie platí následující vztah: αhν = A(hν – Eg )η, kde α je absorpční koeficient vrstvy, A je konstanta závislá na materiálu vrstvy a η je konstanta určená absorpčním mechanismem materiálu vrstvy a její strukturou. Propustnost závisí na α dle následujícího dobře známého vztahu Tfilm = exp(– αt),
Obr. 6 Schéma energetických pásů polovodiče.
http://ccf.fzu.cz
kde t je tloušťka vrstvy.
č. 1 Úlohy 1. Nastavení a měření
ohmmetr
Čs. čas. fyz. 64 (2014)
mřížka difuzní sklo 600 vrypů/mm čočka goniometr halogenová lampa optická osa
(max. rozsah 200 MΩ)
1-a
Podle stupnice nonia goniometru zapište maximální přesnost měření úhlů (Δθ).
θ
Krok 1: Zapněte halogenovou lampu a nechte ji zahřát. Raději lampu v průběhu celého experimentu nevypínejte. Jelikož se halogenová lampa zahřívá, dávejte prosím během experimentu pozor, abyste se jí nedotkli. Umístěte lampu co možná nejdále od čočky, získáte tak rovnoběžný svazek světelných paprsků. Nyní provedeme hrubé nastavení nuly goniometru bez použití fotorezistoru. Povolte fixační šroub otočného ramene (uvolněte rameno) a vizuálně nastavte otočné rameno rovnoběžně s optickou osou. Nyní pevně dotáhněte šroub, zafixujte otočné rameno. Povolte fixační šroub nonia a otočte stojan do nulové polohy na stupnici nonia. Nyní zafixujte nonius, pevně utáhněte šroub a použijte šroub jemného nastavení nonia k nastavení nuly na stupnici nonia. Připevněte mřížku do držáku. Otočte stojan mřížky tak, aby mřížka byla v poloze přibližně kolmé na optickou osu. Vložte papírovou kartičku s otvorem před zdroj světla a otvor umístěte tak, aby paprsek dopadal ze zdroje světla na mřížku. Opatrně otáčejte mřížkou, dokud světelný terč (prasátko) odraženého světla nebude dopadat na otvor. Pak odražený světelný paprsek splývá s dopadajícím. 1-b
Změřte vzdálenost mezi otvorem a mřížkou. Pomocí této vzdálenosti odhadněte přesnost nastavení mřížky kolmo na optickou osu (Δθ 0). Nyní otáčením otočného ramene určete a zapište rozsah úhlů, pro které pozorujete difrakci prvního řádu viditelného světla (od modrého světla po červené).
Krok 2: Připevněte nyní fotorezistor na konec otočného ramene. K optickému seřízení měřicího zařízení pomocí fotorezistoru povolte fixační šroub a jemně otáčejte otočným ramenem tak, aby fotorezistor měl nejmenší odpor. Pro jemné doladění pevně utáhněte fixační šroub a použijte šroub jemného nastavení otočného ramena. Pomocí šroubu jemného nastavení nastavte nulu na stupnici nonia. 1-c
Zapište naměřenou minimální hodnotu odporu (R min(0)).
vzorek vstupní otvor fotorezistor Obr. 7 Schéma experimentálního zařízení.
Vaše nastavení nuly je nyní přesnější, zapište přesnost tohoto nového nastavení (Δφ 0). Poznámka: Δφ 0 je chyba v nastavení rovnoběžnosti, tj. je mírou různoběžnosti nulové polohy otočného ramene a optické osy. Nápověda: Po skončení tohoto kroku utáhněte fixující šrouby nonia. Utáhněte také šroub v držáku fotorezistoru (pro jeho fixaci) a neodstraňujte jej během experimentu. Krok 3: Nastavte pohyblivé rameno do oblasti difrakce prvního řádu. Nalezněte úhel, ve kterém je odpor fotorezistoru minimální (tj. maximální intenzita světla). Pomocí polohovacích šroubů můžete mírně měnit sklon stojanu mřížky, abyste dosáhli ještě menší hodnoty odporu. 1-c
Zapište pozorovanou minimální hodnotu odporu (R min(1)) do příslušného rámečku.
Nyní je třeba znovu zkontrolovat kolmost mřížky na optickou osu s ohledem na nastavení nuly. K tomu musíte tedy použít metodu splynutí odraženého paprsku s dopadajícím, viz krok 1. Důležité: Provádějte všechna další měření v temnu (s uzavřeným víkem krabice). Měření: Přišroubujte držák vzorku na otočné rameno. Před tím, než začnete měřit, zkontrolujte vzhled vaší polovodičové vrstvy (vzorku). Vložte vzorek před vstupní otvor S1 na otočném rameni tak, aby stejnoměrně potažená část vzorku zakrývala otvor. Abyste se ujistili, že budete stále pracovat se stejnou částí vzorku, udělejte si značky na držáku vzorku a na otočném rameni pomocí bílých samolepek. Pozor: Při měření větších odporů je nutné ponechat fotorezistor relaxovat. Proto při každém měření v této oblasti počkejte 3 až 4 minuty před zaznamenáním výsledku měření. 1-d
mřížka
θ0
θ’
optická osa
θ0 Obr. 8 Definice úhlů užitých v rovnici difrakce.
Měřte odpor fotorezistoru pro nepotažené sklíčko a pro sklíčko potažené polovodičovou vrstvou jako funkci úhlu θ (hodnota úhlu mezi fotorezistorem a vámi určenou optickou osou odečtená ze stupnice goniometru). Poté vyplňte tabulku 1d. Budete potřebovat nejméně 20 měřicích bodů v rozsahu, který jste určili v kroku 1b. Provádějte svá měření při vhodném rozsahu ohmetru. Uvažujte chybu příslušnou každému měřicímu bodu pouze na základě odečítání ohmetru.
http://ccf.fzu.cz
61
Mládež a fyzika Krok 4: Přesnost, se kterou jsme dosud měřili, je stále omezená, neboť není možné seřídit otočné rameno s optickou osou, resp. kolmou polohu mřížky k optické ose se 100% přesností. Potřebujeme tedy nalézt asymetrii měřené prostupnosti na obou stranách od optické osy (vyplývající z odchylky kolmice k mřížce od optické osy (θ 0)). Abyste změřili tuto asymetrii, postupujte podle následujících kroků: 1-e
a zapište je do tabulky 3a pro vlnové délky okolo 530 nm a větší. Použijte správný počet platných míst založený na odhadu chyby v jednom datovém bodě. Připomeňme, že hν má být vypočteno v eV a vlnové délky v nm. Napište jednotku každé proměnné do závorek v prvním řádku tabulky. 3-b
Zakreslete graf závislosti y na x. Všimněte si, že parametr y odpovídá absorpci polovodičové vrstvy. Proložte přímkou body v lineární oblasti okolo 530 nm. Určete oblast platnosti lineárního vztahu tak, že zapíšete nejmenší a největší souřadnici x datových bodů, kterými jste prokládali přímku.
Nejprve změřte Tfilm pro θ = –20°. Poté změřte hodnoty Tfilm pro několik různých úhlů okolo +20°. Vyplňte tabulku 1e (můžete použít hodnoty z tabulky 1d). Zakreslete závislost Tfilm na θ a vizuálně proložte body křivkou.
3-c
Na vaší křivce nalezněte úhel γ, pro který je hodnota Tfilm rovna té hodnotě Tfilm, kterou jste naměřili pro θ = –20° (γ θ|Tfilm –Tfilm(-20°)). Označte odchylku tohoto úhlu od +20° jako δ, jinými slovy δ = γ – 20°.
3-d
1-e
Označte směrnici této přímky m a odvoďte výraz pro tloušťku polovodičové vrstvy t a její chybu (Δt) v závislosti na m a A (uvažujte, že konstanta A není zatížena žádnou chybou). Vypočtěte hodnoty Eg a t eV a nm. Vyplňte tabulku 3d.
Zapište hodnotu δ do určeného rámečku.
Pak lze pro difrakci prvního řádu zjednodušit rovnici difrakce následujícím způsobem: λ = d sin (θ – δ/2), kde θ je úhel odečtený ze stupnice goniometru. 2. Výpočty 2-a
Vyjádřete Δλ v závislosti na chybách ostatních parametrů (předpokládejte, že d je přesné a není zatíženo žádnou chybou). Vyjádřete také ΔTfilm v závislosti na R a ΔR.
Užitečné fyzikální konstanty potřebné pro vaši analýzu: rychlost světla ve vakuu c = 3,00∙108 m/s, Planckova konstanta h = 6,63∙10 -34 J s, náboj elektronu e = 1,60∙10-19 C.
Řešení Úloha 1 1a)
Δθnominal = 5´ = 0,08˚
1b)
2-b
ý
pa
pr
se
k
Zapište rozsah hodnot Δλ v oblasti difrakce prvního řádu.
Zakreslete Rglass-1 a Rfilm-1 jako funkci vlnové délky společně do stejného grafu. Povšimněte si, že nám chování těchto veličin může poskytnout rozumné indicie o chování Iglass a Ifilm. Do tabulky 2d zapište vlnové délky, pro které dosahují Rglass a Rfilm svých minimálních hodnot.
2-d
2-e
Zakreslete graf závislosti Tfilm na vlnové délce pro polovodičovou vrstvu (vzorek). Tato veličina také reprezentuje změny propustnosti vrstvy v závislosti na vlnové délce.
3. Analýza dat Dosazením za η = 1/2 a A = 0,071 eV1/2/nm lze vypočíst hodnoty Eg a t v jednotkách eV a nm. Tohoto cíle dosáhneme nakreslením vhodného grafu v souřadnicovém systému x, y a extrapolací v oblasti splňující zmíněnou rovnici.
Označme x = hν a y = (αthν)2. Pomocí svého měření v úloze 1 vypočtěte hodnoty x a y
3-a
http://ccf.fzu.cz
r
en
Na základě naměřených hodnot z úlohy 1 vypočtěte pro každé θ vlnovou délku λ, převrácené hodnoty odporů Rglass a Rfilm, propustnost Tfilm a exponent αt. Vyplňte tabulku 2c.
mřížka
ra ž
2-c
od
62
θ0 dopadající paprsek
optická osa
a Obr. 9 Nákres k odhadu přesnosti Δθ0.
Označme a vzdálenost mezi papírovou kartičkou a mřížkou a r vzdálenost mezi otvorem a stopou na kartičce. Můžeme počítat
r r tan (2θ 0 ) = . Je- li θ 0 << 1 ⇒ θ 0 = ⇒ Δθ 0 = 2a a 2
2
⎛ Δr ⎞ ⎛ r Δa ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ 2 ⎟ . ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ Jelikož chceme, aby θ 0 bylo co nejmenší, a tedy Δr r ≈ 0 ⇒ Δθ 0 = . a 2a Δr = 1 mm, a = (70 ± 1) mm => Δθ 0 = 0,007 rad = 0,4°. Difrakci prvního řádu pro viditelné světlo pozorujeme pro 13°≤ θ ≤ 26°.
č. 1 R min(0) = (21,6 ± 0,1) kΩ, Δφ 0 = 5´ = 0,08°, R min = (192 ± 1) kΩ Δφ 0 =5´, jelikož pro θ v rozsahu od –5´ do +5’ naměříme R = (21,9 ± 0,1) kΩ.
1c)
Čs. čas. fyz. 64 (2014)
2d)
(1)
6,0 5,0
sklo
4,0
1d)
R / MΩ
-1
Tabulku naměřených hodnot naleznete na webu [4].
-1
3,0 2,0
1e)
Pro θ = –20° naměříme Rglass= (132 ± 2) kΩ, Rfilm= (518 ± 5) kΩ, tedy Tfilm = 0,255. Z tabulky 1d vybereme úhly v okolí 20° a vyneseme pro ně závislost Tfilm na θ.
film
1,0 0,0 420
470
0,35
520
570
620
670
720
λ / nm
Graf 2d Závislost převrácené hodnoty odporu na vlnové délce pro oba vzorky.
0,30
Tfilm|θ = – 20°
Z grafu odečteme hodnoty λmax(Rglass) = (564 ± 5) nm a λmax(Rfilm) = (573 ± 5) nm.
Tfilm
0,25
2e)
0,20
0,50 0,45
0,15
0,40 0,35
0,10
Graf 1e
19,5
20,0 θ [°]
20,5
21,0
Tfilm
0,30
19,0
0,25 0,20
Závislost propustnosti na úhlu.
0,15 0,10
Z grafu odečteme Tfilm(θ = 20,25˚) = Tfilm (θ = –20˚), tedy δ = (0,25 ± 0,08)°.
0,05 0,00 470
420
520
Úloha 2
620
670
720
Graf 2e Závislost propustnosti na vlnové délce.
2a)
⎛ ⎝
λ = d sin ⎜θ −
δ⎞
⎟ ⇒ Δλ = 2⎠
Úloha 3 3a)
δ ⎞ ⎛ 2 Δδ 2 ⎞ ⎛ Δd ⎞ 2⎛ ⎟≈ λ ⎜ ⎟ + cot ⎜θ − ⎟ ⎜Δθ + 2 ⎠⎝ 4 ⎟⎠ ⎝ d ⎠ ⎝ 2
kde Δ θ = Δδ = 5’ = 0,08° a d = 1/600 mm. Tedy Δλ = 2,9 cos(θ) nm.
R film =
2
⎞ ⎛ ΔR ⎟ + ⎜ glass ⎟ ⎜ R ⎠ ⎝ glass
⇒ ΔT = T film
⎛ ΔR film ⎜ ⎜ ⎝ R film
Rglass ⎛ ΔR film ⎜ R film ⎜⎝ R film
⎞ ⎛ ΔRglass ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ R ⎠ ⎝ glass
2
(α t) = − ln(T film )⇒ Δ(α t) = ⎛ ΔR film ⎜ ⎜ ⎝ R film
2
⎞ ⎛ ΔRglass ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ Rglass
2
ΔT = T film 2
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
Jelikož je 13°≤ θ ≤ 26°, máme 2,6 nm ≤ Δλ ≤ 2,8 nm.
2b)
λ
⇒
Δ x Δλ = , λ x
Δy ⎛ Δx ⎞ ⎛ Δ(αt ) ⎞ ⇒ = 2 ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ y ⎝ x ⎠ ⎝ (αt ) ⎠ 2
2
2
3b)
Tabulka s vypočtenými parametry je k dispozici na webu [4].
2
⎞ ⎟ = ⎟ ⎠
⎞ ⎟ . ⎟ ⎠
hc
3c) 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1,7 1,8
(αthν)2/ eV 2
Rglass
x = hν =
y = ( x (αt ))
⎛ 0,1π ⎞ d cos(θ ) ⎜ ⎟, ⎝ 180 ⎠
Tfilm =
570 λ/ nm
Graf 3c
2,0
2,2 2,4 hν /eV
2,6
2,8
3,0
Závislost parametru y na parametru x
2c)
Tabulka vypočtených hodnot je k dispozici na webu [4].
Z grafu odečteme xmin = 2,24 eV a xmax = 2,68 eV.
http://ccf.fzu.cz
63
64
Mládež a fyzika 3d)
α hν = A ( hν − Eg ) ⇒ (α t hν) = ( A t) ( hν − Eg ) 1 2
⇒ y = ( A t)
2
2
2
g
⇒
⇒t =
Δt Δm = t 2m
m A
i
δ x≈
2
( x − E ) ⇒ m = ( A t)
∑δ x i
N
Δ Eg =
1 m
R ∑ xi2 − N x 2
≈
i
=
2 i
∑x
2 i
−N x 2
i
N
.
1 m
=
⎛ ⎛ δ xy 2 ⎞ ⎛ y ⎞ 2 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ Δm ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎝⎝ N ⎠ ⎝ m ⎠ ⎠
ΔEg ≈ 0,02 eV
i
Literatura
(δ xy) 2
∑x
(δ y) 2 + (m δ x)2
2
i
⎛ ⎛ m 2δ x 2 + δ y 2 ⎞ ⎛ y ⎞ 2 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ Δm ⎟ = ⎟ ⎜ ⎜⎝ N ⎠ ⎝m⎠ ⎠ ⎝
2
Δm =
, δy =
∑δ y
Tedy δx ≈ 0,014 eV, δy ≈ 0,9 (eV)2. Δm ≈ 10 eV => Δt = t Δm/(2 m) ≈ 5 nm.
V lineární oblasti odečteme z grafu m = 213 eV, Eg = 2,17 eV. Navíc víme, že A = 0,071 eV1/2/nm, nalezneme tedy t = 206 nm.
(δ y) 2 + m 2 (δ x)2
2
, (δ xy) = (δ y) + (m δ x) , 2
−N x 2
2
2
i
[1] J. Kříž, I. Volf, B. Vybíral: Čs. čas. fyz. 63, 68 (2013). [2] J. Kříž, I. Volf, B. Vybíral: Čs. čas. fyz. 63, 385(2013). [3] http://apho.phy.ntnu.edu.tw/papho2009.html
kde δx a δy jsou směrodatné odchylky veličin x a y
Abstracts of review articles Serge Haroche: Controlling photons in a box and exploring the quantum to classical boundary (Nobel lecture) Abstract: Microwave photons trapped in a superconducting cavity constitute an ideal system to realize some of the thought experiments imagined by the founding fathers of quantum physics. The interaction of these trapped photons with Rydberg atoms crossing the cavity illustrates fundamental aspects of measurement theory. The experiments performed with this “photon box“ at Ecole Normale Supérieure (ENS) belong to the domain of quantum optics called “cavity quantum electrodynamics“. We have realized the nondestructive counting of photons, the recording of field quantum jumps, the preparation and reconstruction of “Schrödinger cat“ states of radiation and the study of their decoherence, which provides a striking illustration of the transition from the quantum to the classical world. These experiments have also led to the demonstration of basic steps in quantum information processing, including the deterministic entanglement of atoms and the realization If quantum gates using atoms and photons as quantum bits. This lecture starts by an introduction stressing the connection between the ENS photon box and the ion-trap experiments of David Wineland, whose accompanying lecture recalls his own contribution to the field of single particle control. I give then a personal account of the early days of cavity quantum electrodynamics before describing the main experiments performed at ENS during the last 20 years and concluding by a discussion comparing our work to other researches dealing with the control of single quantum particles.
http://ccf.fzu.cz
[4] http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions.html
David J. Wineland: Superposition, entanglement, and raising Schrödinger’s cat (Nobel lecture) Abstract: Experimental control of quantum systems has been pursued widely since the invention of quantum mechanics. In the first part of the 20th century, atomic physics helped provide a test bed for quantum mechanics through studies of atoms’ internal energy differences and their interaction with radiation. The advent of spectrally pure, tunable radiation sources such as microwave oscillators and lasers dramatically improved these studies by enabling the coherent control of atoms’ internal states to deterministically prepare superposition states, as, for example, in the Ramsey method. More recently this control has been extended to the external (motional) states of atoms. Laser cooling and other refrigeration techniques have provided the initial states for a number of interesting studies, such as Bose-Einstein condensation. Similarly, control of the quantum states of artificial atoms in the context of condensed-matter systems is achieved in many laboratories throughout the world. To give proper recognition to all of these works would be a daunting task; therefore, I will restrict these notes to experiments on quantum control of internal and external states of trapped atomic ions.
fařík (1829–1902) who thoroughly studied the dry process. Photographic work in the Institute of Physics (IP) of the Czech part of “Carlo-Ferdinand University” was initiated due to studies of X-rays (from 1895) and later the Institute of Photochemistry and Scientific Photography was founded within IP by Professor Viktorin Vojtěch (1879–1948). In 1950-s this institute disappear and splitted into chemical part (colloidal chemistry and photochemistry) at Faculty of Natural Sciences and physical part (photophysics, studies of latent image and silver halogenides) at Faculty of Mathematics and Physics under leadership of Professor Ladislav Zachoval (1906-1982). His follower Professor Karel Vacek then turned interest from scientific photography into modern subjects of chemical physics and biophysics.
Jan Valenta: Concise review of history of scientific photography at Charles University in Prague Abstract: Photography started to be applied in sciences shortly after the announcement of the daguerreotype in 1839 and become one of the most important supporting disciplines for science. This review concentrates on the history of scientific research on photographic processes which was conducted at Charles University. The most important was development of sensitometry which started by work of Vojtěch Ša-
Název snímku: Matematiku zvládám pravou zadní, autorka: Dominika Krejčí. Blíže viz následující článek.
