Mezei Ildik´o-Ilona
Analitikus m´ ertan – feladatgy˝ ujtem´ eny –
Kolozsv´ar 2015
Tartalomjegyz´ ek 1. Vektoralgebra 1.1. M˝ uveletek vektorokkal . . . . 1.2. Egyenes vektori´ alis egyenlete 1.3. Vektorok szorzatai . . . . . . 1.4. Kieg´esz´ıt˝ o feladatok . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3 3 5 8 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . feladatok
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
13 13 14 14 20
3. Analitikus m´ ertan s´ıkban 3.1. Der´eksz¨ og˝ u Descartes f´ele koordin´ata rendszer haszn´alata . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Affin koordin´ ata-rendszer haszn´alata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 23 26
4. K´ upszeletek 4.1. K¨ or . . . 4.2. Ellipszis . 4.3. Hiperbola 4.4. Parabola .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2. T´ erbeli egyenesek ´ es s´ıkok egyenletei 2.1. Egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. S´ıkok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. S´ıkok ´es egyenesek . . . . . . . . . . . 2.4. Koordin´ ata-rendszer megv´ alaszt´as´aval
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . megoldhat´o
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
29 29 30 32 33
5. Geometriai transzform´ aci´ ok 5.1. S´ıkizometr´ ak . . . . . . . . . 5.2. Izometri´ ak ´es sk´ al´ az´ as s´ıkban 5.3. Izometri´ ak ´es sk´ al´ az´ as t´erben 5.4. Homot´eti´ ak . . . . . . . . . . 5.5. Inverzi´ ok . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
35 35 36 37 38 39
6. M´ asodrend˝ u fel¨ uletek tanulm´ anyoz´ asa 6.1. A g¨ omb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Ellipszoid, egy-, k´etpal´ ast´ u hiperboloid, elliptikus, hiperbolikus paraboloid . . . . .
41 41 42
7. Fel¨ uletek sz´ armaztat´ asa 7.1. Hengerfel¨ ulet . . . . . 7.2. K´ upfel¨ ulet . . . . . . . 7.3. Konoidfel¨ ulet . . . . . 7.4. Forg´ asfel¨ ulet . . . . .
45 45 45 46 46
. . . .
. . . .
Irodalomjegyz´ ek
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
47
1. fejezet
Vektoralgebra 1.1.
M˝ uveletek vektorokkal
1. Adott egy ABCD tetra´eder. Hat´ arozzuk meg az al´abbi ¨osszegeket: −−→ −−→ −−→ a) AB + BD + DC; −−→ −−→ −−→ b) AD + CB + DC; −−→ −−→ −−→ −−→ c) AB + BC + DA + CD. −−→ −−→ −−→ −→ 2. Adott az ABCD tetra´eder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC. Igaz ez az ¨osszef¨ ugg´es b´ armely n´egy pontra a t´erb˝ ol? −→ −−→ −−→ 3. Legyen O az ABCDEF szab´ alyos hatsz¨og k¨oz´eppontja. Hat´arozzuk meg az OA, OB, OC −−→ −−→ −−→ ´es OD vektorokat az OE = p~ ´es OF = ~q vektorok f¨ uggv´eny´eben! 4. Legyen ABC egy tetsz˝ oleges h´ aromsz¨og ´es M a BC oldal felez˝opontja. Mutassuk ki, hogy −−→ 1 −−→ −→ AB + AC AM = 2 −−→ 5. Legyen ABC egy tetsz˝ oleges h´ aromsz¨og ´es M egy pont a BC egyenesen u ´gy, hogy M B = −−→ −→ −−→ −−→ AB − k AC . k M C, ahol k ∈ R. Igazoljuk, hogy AM = 1−k 6. Legyenek E ´es F az ABCD n´egysz¨og ´atl´oinak felez˝opontjai. Igazoljuk, hogy −−→ 1 −−→ −−→ 1 −−→ −−→ EF = (AB + CD) = (AD + CB). 2 2
7. Legyenek E ´es F az ABCD n´egysz¨og AB ´es CD oldalainak a felez˝opontjai. Igazoljuk, hogy −−→ 1 −−→ −−→ EF = 2 (AD + BC), majd innen vezess¨ uk a trap´ez k¨oz´epvonal´anak t´etel´et! 8. Adott egy C1 C2 C3 C4 C5 C6 szab´ alyos hatsz¨og. Igazoljuk, hogy −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ C1 C2 + C1 C3 + C1 C4 + C1 C5 + C1 C6 = 3C1 C4 !
4
Vektoralgebra 9. Egy ABC h´ aromsz¨ ogben megszerkesztj¨ uk az AD sz¨ogfelez˝ot ´es az AE magass´agot. Hat´arozzuk −−→ −→ −−→ −→ meg az AD ´es AE vektorokat az AB = ~c ´es AC = ~b vektorok valamint az ABC h´aromsz¨og |BC| = a,|AC| = b, |AB| = c oldalainak f¨ uggv´eny´eben. 10. Adott egy ABCD trap´ez, amelynek az AB nagyalapja k-szor nagyobb (k > 1) mint a CD −→ −−→ −−→ kisalap. Legyenek M ´es N az alapok felez˝opontjai. Bontsuk fel az AC, M N ´es BC vektorokat −−→ −−→ az AB = ~a ´es AD = ~b vektorok seg´ıts´eg´evel. 11. Legyen ABC egy tetsz˝ oleges h´ aromsz¨og ´es G az ABC h´aromsz¨og s´ ulypontja. Tekintve egy tetsz˝ oleges O pontot a t´erben mutassuk ki, hogy −−→ 1 −→ −−→ −−→ a) OG = OA + OB + OC ; 3 −→ −−→ −−→ → − a) GA + GB + GC = 0 . 12. Legyen A1 B1 C1 D1 , A2 B2 C2 D2 k´et paralelogramma a t´erben ´es A3 , B3 , C3 , D3 az A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 ´es D1 D2 szakaszok felez˝opontjai. Mutassuk ki, hogy A3 B3 C3 D3 paralelogramma! 13. Legyen O, A, B, C, D ¨ ot pont a t´erben. Mutassuk ki, hogy ABCD akkor ´es csakis akkor −→ −−→ −−→ −−→ paralelogramma, ha OA + OC = OB + OD. 14. Egy O k¨ oz´eppont´ u k¨ orben az AB ´es CD egym´asra mer˝oleges h´ urok az M pontban metszik −→ −−→ −−→ −−→ −−→ egym´ ast. Igazoljuk, hogy OA + OB + OC + OD = 2OM . 15. Legyen A1 B1 C1 , A2 B2 C2 k´et nem azonos s´ıkban fekv˝o h´aromsz¨og ´es G1 , G2 a s´ ulypontjaik. −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ Igazoljuk, hogy A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 3G1 G2 . 16. Legyen ABC egy h´ aromsz¨ og, H a magass´agpont, O a h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or ¨oz´eppontja ´es A0 az A-nak ´ atm´er˝ osen ellentett pontja. Mutassuk ki, hogy −→ −−→ −−→ −−→ a) OA + OB + OC = OH; −−→ −−→ −−→ b) HB + HC = HA0 ; −−→ −−→ −−→ −−→ c) HA + HB + HC = 2HO; −−→ −−→ −−→ −−→ d) HA + HB + HC = 3HG; −−→ −−→ e) a H, G, O pontok kolline´ arisak (Euler f´ele egyenes) ´es 2GO = HG.
17. Legyen A1 A2 ...An az O k¨ oz´eppont´ u k¨orbe ´ırt szab´alyos n oldal´ u soksz¨og. Igazoljuk, hogy n X −−→ ~ OAi = 0. i=1
18. (Euler k¨ or) Az ABC h´ aromsz¨ ogben legyen O a h´aromsz¨og k¨or´e´ırt k¨or k¨oz´eppontja, H a magass´ agok metsz´espontja ´es A0 , B 0 , C 0 , A00 , B 00 , C 00 , F a BC, CA, AB, HA, HB, HC ´es OH szakaszok felez˝ opontjai. Mutassuk ki, hogy az A0 , B 0 , C 0 , A00 , B 00 , C 00 pontok az F k¨ oz´eppont´ u k¨ or¨ on helyezkednek el. (Vektori´alis m´odszerrel!)
Egyenes vektori´ alis egyenlete
5
19. Legyen O az ABCD konvex n´egysz¨og ´atl´oinak metsz´espontja. Az OAB, OBC, OCD ´es OAD h´ aromsz¨ ogek s´ ulypontj´ at rendre G, H, I illetve K jel¨oli. Igazoljuk, hogy GHIK paralelogramma! −→ −−→ 20. Adott az ABCD paralelogramma, valamint a P, Q, R ´es S pontok, amelyeket az AP = k AB, −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ BQ = k BC , CR = k CD ´es DS = k DA egyenl˝os´egek hat´aroznak meg (k ∈ R∗ ). a) K´esz´ıts¨ unk rajzot k = −1 eset´en! b) Igazoljuk, hogy P QRS paralelogramma (∀k ∈ R∗ )! 21. Az ABCD konvex n´egysz¨ ogben legyen G a BCD h´aromsz¨og s´ ulypontja ´es H az ACD h´ aromsz¨ og magass´ agpontja. Bizony´ıtsuk be, hogy az ABGH n´egysz¨og akkor ´es csak akkor paralelogramma, ha G egybeesik az ACD h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or k¨oz´eppontj´aval. −−→ −−→ −→ 22. Az ABC h´ aromsz¨ og s´ıkj´ aban adottak a D ´es E pontok u ´gy, hogy AD = 2AB + AC ´es −−→ 1 −−→ BE = 3 BC. Igazoljuk, hogy az A, D ´es E pontok egy egyenesen helyezkednek el! 23. Bizony´ıtsuk be, hogy ha A, B, C, D, E, F egy hatsz¨og egym´as ut´ani oldalfelez´esi pontjai, akkor az AB, CD ´es EF szakaszokkal h´aromsz¨og szerkeszthet˝o! 24. Igazoljuk, hogy egy h´ aromsz¨ og oldalfelez˝oivel h´aromsz¨og szerkeszthet˝o! 25. Egy ABC h´ aromsz¨ og sz¨ ogfelez˝ oivel akkor ´es csakis akkor szerkeszthet˝o h´aromsz¨og, ha az ABC h´ aromsz¨ og egyenl˝ o oldal´ u! −−→ −−−→ −−→ −−−→ 26. Adott k´et tetsz˝ oleges h´ aromsz¨ og: ABC ´es A1 B1 C1 . Legyen AA2 = A1 B1 , BB2 = B1 C1 ´es −−→ −−−→ CC2 = C1 A1 . Bizony´ısuk be, hogy az ABC ´es A2 B2 C2 h´aromsz¨ognek k¨oz¨os s´ ulypontjuk van!
1.2.
Egyenes vektori´ alis egyenlete
27. Legyen O, A, B h´ arom nem kolline´aris pont ´es C egy tetsz˝oleges pont a t´erben. Bevezetve − −−→ − −→ → −−→ → − az OA = a , OB = b , OC = → c jel¨ol´eseket, mutassuk ki, hogy annak sz¨ uks´eges ´es el´eg´eges felt´etele, hogy: → − −c = m→ − i) C ∈ (OAB) ⇔ ∃m, n ∈ R, u ´gy, hogy → a +nb; → − −c = m→ − ii) C ∈ AB ⇔ ∃m, n ∈ R, m + n = 1 u ´gy, hogy → a + n b (az AB egyenes vektori´alis egyenlete); → − −c = m→ − iii) C ∈ [AB] ⇔ ∃m, n ∈ [0, 1], m + n = 1, u ´gy, hogy → a + n b (az [AB] szakasz vektori´ alis egyenlete).
28. Legyen O, A, B, C n´egy nem kolline´aris pont ´es D egy pont a t´erben. u ´gy, hogy az A, B, C, D − −−→ − −−→ → − −→ − −−→ → pontok nem koplan´ arisak. Bevezetve az OA = → a , OB = b , OC = → c , OD = d jel¨ol´eseket, mutassuk ki, hogy → − → − − −c ; i) D ∈ (ABC) ⇔ ∃m, n, p ∈ R, m + n + p = 1 u ´gy, hogy d = m→ a + n b + p→
6
Vektoralgebra → − → − − −c . ii) D ∈ int(ABC4 ) ⇔ ∃m, n, p ∈ (0, 1), m + n + p = 1 u ´gy, hogy d = m→ a + n b + p→ Ebben az esetben TBCD TACD TABD m= , n= , p= . TABC TABC TABC
29. Legyen O, A, B, C, D ¨ ot pont a t´erben u ´gy, hogy az A, B, C, D pontok nem koplan´arisak. Annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy egy E pont benne legyen az ABCD tetra´eder − −−→ − −→ − −−→ → belsej´eben az, hogy ~e = m~a + n~b + p~c + q d~ alak´ u legyen, ahol OA = → a , OB = b , OC = → c, − −−→ → −−→ → OD = d , OE = − e ´es m, n, p, q ∈ (0, 1), m + n + p + q = 1. Ekkor m=
VEBCD VEACD VEABD VEABC , n= , p= ,q = . VABCD VABCD VABCD VABCD
30. Legyen A1 A2 A3 A4 egy tetra´eder ´es O egy tetsz˝oleges pont a t´erben. a) Igazoljuk, hogy a szemk¨ ozti ´elek felez˝opontjai ´altal meghat´arozott egyenesek ¨osszefut´oak egy G pontban! b) Igazoljuk, hogy a cs´ ucsokat a szemk¨ozti oldallapok s´ ulypontjaival ¨osszek¨ot˝o egyenesek szint´en a G pontban futnak o¨ssze! c) Milyen ar´ anyban osztja a G pont a cs´ ucsokat a szemk¨ozti oldallapok s´ ulypontjaival osszek¨ ¨ ot˝ o szakaszokat? −−→ −−→ −−→ −−→ → − d) Igazoljuk, hogy GA1 + GA2 + GA3 + GA4 = 0 ! −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ e) Igazoljuk, hogy OA1 + OA2 + OA3 + OA4 = 4OG!
−−→ 31. Egy ABC h´ aromsz¨ og AB ´es AC oldalain felvessz¨ uk a C 0 ´es B 0 pontokat u ´gy, hogy AC 0 = −−→ −−→ −−→ λBC 0 , AB 0 = µCB 0 . A BB 0 ´es CC 0 egyenesek metszik egym´ast egy M pontban. Legyen −→ − → −−→ O egy tetsz˝ oleges pont a t´erben ´es bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: − r→ A = OA, rB = OB, → − − − −−→ −→ −−→ r A − λ→ r B − µ→ rC − → − . r→ C = OC, rM = OM . Ekkor igazoljuk, hogy r M = 1−λ−µ 32. Felhaszn´ alva a 23. feladat jel¨ ol´eseit igazoljuk, hogy → − − − rA+→ rB +→ rC a) − r→ , ahol G a h´aromsz¨og s´ ulypontja; G = 3 − − − a→ r A + b→ r B + c→ rC − b) → rI = , ahol I a h´aromsz¨ogbe ´ırt k¨or k¨oz´eppontja; a+b+c − − − tgA→ r A + tgB → r B + tgC → rC c) − r→ , ahol H a h´aromsz¨og magass´agpontja; H = tgA + tgB + tgC − − − sin 2A→ r A + sin 2B → r B + sin 2C → rC d) − r→ , O a h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or k¨oz´eppontja. O = sin 2A + sin 2B + sin 2C
33. (Pappusz t´etele) Legyen d ´es d0 k´et metsz˝o egyenes ´es A, B, C ∈ d, A0 , B 0 , C 0 ∈ d0 tetsz˝oleges pontok. Felt´etelezve, hogy l´etznek az {M } = AB 0 ∩ A0 B, {N } = AC 0 ∩ A0 C ´es {P } = BC 0 ∩ B 0 C metsz´espontok, mutassuk ki, hogy az M, N, P pontok kolline´arisak.
Egyenes vektori´ alis egyenlete
7
34. (Gauss-Newton t´etele) Legyen di , i = 1, 4 n´egy egyenes a s´ıkban u ´gy, hogy b´armelyik h´ arom k¨ oz¨ ul¨ uk nem metszi egym´ast egy pontban. Ha Aik -val jel¨olj¨ uk a di ´es dk egyenesek metsz´espontjait, ´es M, N, P -vel az A12 A34 , A14 A23 , A13 A24 szakaszok felez˝opontjait, akkor mutassuk ki, hogy az M, N, P pontok kolline´arisak. M´ask´epp fogalmazva a feladat: Az ABCD n´egysz¨ og oldalait meghosszabb´ıtva legyen E az AB ´es CD, m´ıg F a BC ´es AD egyenesek metsz´espontja. Igazoljuk, hogy az AC, BD, EF szakaszok felez˝opontjai kolline´ arisak. 35. Az ABCD paralelogramm´ aban AB = 4, BC = 2 ´es BD = 3. Legyen G az ABD h´aromsz¨og s´ ulypontja, I a BCD h´ aromsz¨ ogbe ´ırt k¨or k¨oz´eppontj´a ´es M a BC oldal C-hez k¨ozelebbi harmadol´ opontja. Bizony´ıtsuk be, hogy G, I, M kolline´aris pontok! 36. Az ABCD paraleolgramma oldalain felvessz¨ uk az E ∈ [BC] ´es F ∈ [CD] pontokat. Az ABEF D ¨ otsz¨ og oldalainak felez˝ opontjai K, L, M, N ´es O (K ∈ [AB], L ∈ [BE], M ∈ [EF ], N ∈ [F D] ´es O ∈ [DA]). Bizony´ıtsuk be, hogy AM, OL ´es KN ¨osszefut´o egyenesek!
8
Vektoralgebra
1.3.
Vektorok szorzatai
−→ −−→ 37. Adottak az OA = (4, −2, −4), OB = (2, 4, 3) vektorok. Hat´arozzuk meg az OACB paralelogramma ´ atl´ oinak hossz´ at ´es k¨ ozrez´art sz¨og¨ uket! −−→ −−→ −−→ 38. Adottak az AB(1, 2, −2), BC(2, 1, 2), CD(−1, −2, 2) vektorok. Igazoljuk, hogy ABCD n´egyzet! 39. Hat´ arozzuk meg az ~a = 2m ~ + ~n ´es ~b = m ~ − 2~n vektorokra ep´ıtett paralelogramma ´atl´oinak hossz´ at, ahol az m ~ ´es ~n vektorok hossza 1 ´es a k¨ozrez´art sz¨og¨ uk m´ert´eke 60◦ . 40. Hat´ arozzuk meg az ~a = 2m ~ + 4~n ´es ~b = m ~ − ~n vektorok sz¨og´et, ahol az m ~ ´es ~n egys´gvektorok ´es a k¨ ozrez´ art sz¨ og¨ uk m´ert´eke 120◦ . 41. Az ABCD n´egyzet A cs´ ucspontj´ at ¨osszek¨otj¨ uk a [BC ] oldal M felez˝opontj´aval ´es a [DC ] oldal N felez˝ opontj´ aval. Sz´ am´ıtsuk ki az MAN sz¨og m´ert´ek´et (vektori´alisan!). 42. Legyen ABCDA0 B 0 C 0 D0 egy kocka ´es N a CDD0 C 0 lap k¨oz´eppontja, M pedig az A0 B 0 C 0 D0 lap k¨ oz´eppontja. Sz´ am´ıtsuk ki: a) az AC ´es AD0 hajl´ assz¨ og´enek m´ert´ek´et; b) az AN ´es AM hajl´ assz¨ og´enek m´ert´ek´et. 43. Legyen ABC egy h´ aromsz¨ og ´es O egy pont a t´erben. Mutassuk ki, hogy −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ OA · BC + OB · CA + OC · AB = 0. 44. Legyen ABC egy der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨og ´es az AB ´atfog´o hossza c. Sz´am´ıtsuk ki az S = −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ AB · AC + BC · BA + CA · CB. ¨ osszeget: 45. Legyen ABC egy h´ aromsz¨ og ´es M a BC oldal felez˝opontja. Mutassuk ki, hogy −−→2 −−→2 −−→ −→ a) 4AM = BC + 4AB · AC ; b) 4AM 2 = 2AB 2 + 2AC 2 − BC 2 . 46. Legyen ABCD egy t´eglalap ´es M egy pont a t´erben. Mutassuk ki, hogy: −−→ −−→ −−→ −−→ a) M A · M C = M B · M D; b) M A2 + M C 2 = M B 2 + M D2 . → − → − → − − − 47. Adott a h = (1 − λ)→ a +λ b mer˝ olegesen a b − → a vektorra. Mutassuk ki, hogy a⊥b akkor
→
− → − →
− →
→ − − ´es csakis akkor, ha k a k · b = h · b − a . 48. Mutassuk ki vektori´ alisan, hogy egy h´aromsz¨og magass´agai egy pontban metszik egym´ast! 49. Az ABCD tetra´ederben AB ⊥CD, AD⊥BC. Mutassuk ki, hogy: a) AC ⊥BD; b) AB 2 + CD2 = AC 2 + BD2 = BC 2 + AD2 ; c) a tetra´eder magass´ agai egy pontban metszik egym´ast.
Vektorok szorzatai
9
50. Legyen ABC egy h´ aromsz¨ og ´es D, E ∈AB, F, G∈BC, H, I ∈AC u ´gy, hogy a megfelel˝o oldalakat h´ arom egyenl˝ o r´eszre ossz´ ak. Az ED, FG, HI szakaszokra mint oldalakra megszerkesztj¨ uk az EDR, FGS, HTI egyenl˝ o oldal´ u h´aromsz¨ogeket. Mutassuk ki, hogy az RST h´aromsz¨og egyenl˝ o oldal´ u. 51. Hat´ arozzuk meg a λ ∈ R val´ os sz´amot u ´gy, hogy a p~ = ~i + 2~j + λ~k ´es ~q = 3~i + ~j vektorok ◦ altal k¨ ´ ozrez´ art sz¨ og 45 -os legyen! 52. Hat´ arozzuk meg azt a p~ vektort, amely mer˝oleges az ~a = 3~i + 2~j + 2~k ´es ~b = 18~i − 22~j − 5~k vektorokra, hossza 14 ´es az Oy tengellyel tompasz¨oget z´ar be!
53. Egy p~ vektor kolline´ aris az ~a(6, −8, −15/2) vektorral ´es tompasz¨oget z´ar be az Oz tengellyel. Hat´ arozzuk meg a p~ komponenseit, ha ||~ p|| = 50. 54. Adottak az ~a(3, −1, −2) ´es ~b(1, 2, −1) vektorok. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi vektorokat: ~a × ~b, (2~a + b) × ~b, (2~a + b) × (2~a − ~b).
−−→ −→ 55. Hat´ arozzuk meg az AB(6, 0, 2) ´es AC(1.5, 2, 1) vektorokra ´ep´ıtett paralelogramma p´arhuzamos oldalai k¨ ozti t´ avols´ agokat!
56. Adottak az A(1, 2, 0), B(3, 0, −3) ´es C(5, 2, 6) pontok. Hat´arozzuk meg az ABC h´aromsz¨og ter¨ ulet´et! 57. Adottak az ~a(2, −3, 1), ~b(−3, 1, 2) ´es ~c(1, 2, 3) vektorok. Hat´arozzuk meg az (~a × ~b) × ~c ´es ~a × (~b × ~c) vektorokat. Milyen k¨ovetkeztet´est tudunk levonni a vektori´alis szorzat asszociat´ıv´ıt´ as´ aval kapcsolatosan? → − − 58. Adottak az → a (1, 0, 3)´es a b (2, 1, −1) vektorok. Adjunk meg egy vektort, amely mer˝oleges → − − az → a ´es b vektorokra ´es hossz´ us´ aga 2. → − → − − − 59. Legyen az (→ a + b ) × (→ a − b ) kifejez´es. Sz´am´ıtsuk ki az ´ert´ek´et ´es ´ertelmezz¨ uk m´ertanilag.
→ − − − −c = → 60. Mikor ´ all fenn az (→ a × b)×→ 0 egyenl˝os´eg?
61. (Gibbs-k´eplet) Mutassuk ki, hogy: → − − − → − − − − −c )→ − a) → a ×(b ×→ c ) = (→ a ·→ b − (→ a · b )→ c; → − − → − − → − −c = (→ − −c )→ b) (→ a × b)×→ a ·→ b −(b ·→ c )− a.
62. Tekints¨ uk a VABC szab´ alyos h´ aromoldal´ u g´ ul´at, melyben AB = BC = AC = a ´es V A = V B 2 2− −→ −→ −−→ −−→ = V C = b (b>a). Mutassuk ki, hogy (V A × V B) × V C = 2b 2−a AB.
10
Vektoralgebra
63. Igazoljuk az al´ abbi azonoss´ agokat:
→ −
→ −
a×b → − − a) tg(→ a, b)= → → − ; − a·b → − → − → − − − − b) (→ a × b )2 = → a 2 b 2 − (→ a b )2 (Lagrange-f´ele azonoss´ag). → − − − −−→ − −−→ − −→ → − 64. Legyen → a, b, → c h´ arom nem kolline´aris vektor. Ha BC = → a , CA = b , AB = → c , akkor igazoljuk, hogy annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy l´etezzen az ABC h´aromsz¨og az, → − → − − −c = → −c × → − hogy: → a × b = b × → a . Innen vezess¨ uk le a szinusz t´etelt. 65. (S¨ undiszn´ o t´etel) Legyen az [ABCD] tetra´eder. Igazoljuk, hogy azon kifele ir´anyul´o vektorok ¨ osszege, amelyek mer˝ olegesek a tetra´eder lapjaira, ´es nagys´aguk rendre a megfelel˝o lap ter¨ ulet´evel egyenl˝ o, a z´erus vektor. −→ − −−→ − −−→ → − − − − − 66. Adott h´ arom vektor: → r1 = OA, → r2 = OB, → r3 = OC. Igazoljuk, hogy az R = → r1 × → r2 + → r2 × → − → − → − r3 + r3 × r1 vektor mer˝ oleges az (ABC ) s´ıkra. 67. Igazoljuk, hogy az A(1, 2, −1), B(0, 1, 5) C(−1, 2, 1) ´es D(2, 1, 3) pontok egy s´ıkban vannak! 68. Hat´ arozzuk meg azon tertra´eder t´erfogat´at, amelynek cs´ ucsai A(2, −1, 1), B(5, 5, 4), C(3, 2, −1) ´es D(4, 1, 3)! 69. Egy ABCD tetra´eder eset´en A(2, 1, −1), B(3, 0, 1), C(2, −1, 3). Hat´arozzuk meg a D cs´ ucs koordin´ at´ ait, tudva, hogy a tetra´eder t´erfogata 5 ´es a D cs´ ucs az Oy tengelyen helyezkedik el. 70. Adottak az ~a(8, 4, 1), ~b(2, 2, 1) ´es ~c(1, 1, 1) vektorok. Hat´arozzuk meg azt az egys´egnyi hossz´ us´ ag´ u d~ vektort, amelyik az ~a ´es ~b vektorokkal ugyanakkora sz¨oget z´ar be, mer˝oleges a ~ rendszerekr˝ol tudjuk, hogy azonos ir´any´ıt´as´ ~c vektorra, valamint az {~a, ~b, ~c} ´es {~a, ~b, d} uak (mindkett˝ o jobb- vagy mindkett˝ o balsodr´as´ u). → − → − → − − → − − −c + → −c × → − − 71. Mutassuk ki, hogy ha → a × b + b ×→ a = 0 , akkor az → a, b, → c vektorok koplan´ arisak. − − − − − − − − − 72. Mutassuk ki, hogy ha (→ u ×→ v ,→ v ×→ w,→ w ×→ u ) = 0 akkor → u,→ v ,→ w koplan´arisak. 73. Ellen˝ orizz¨ uk az al´ abbi ¨ osszef¨ ugg´eseket: → − → − − → − → − → − − − −c × d ) = (→ − −c )(→ − a) (→ a × b ) · (→ a ·→ b · d ) − (→ a · d )( b · → c) → − → − → − → − → − → → − → → − → − − → − − → − → − → − → − → − − − − − b) ( a × b ) × ( c × d ) = ( a , c , d ) b − ( b , c , d ) a = (→ a , b , d )→ c − (→ a , b ,→ c)d. −−→ 74. Az ABC h´ aromsz¨ ogben legyenek A0 , B 0 , C 0 , a magass´agok talppontjai. Bevezetve a BC = − − → − − → − − → → − → − → − → − − → − − → → − −c , AA0 = h , BB 0 = h , CC 0 = h jel¨ol´eseket mutassuk ki, hogy: a , CA = b , AB = → a b c → − → → − − → − a) b × c = h a × a ; → − → − − − b) h = 1 → a ×(b ×→ c ); a
− 2→
a2
→ − → − → − c) a h a + b2 h b + c2 h c = 0 . → − − − 75. Adottak az → a, b, → c nem koplan´aris vektorok. Mutassuk ki, hogy → − → − − → − − (→ a − b, b −→ c , −c − → a ) = 0.
Kieg´esz´ıt˝ o feladatok
1.4.
11
Kieg´ esz´ıt˝ o feladatok
76. Az ABC h´ aromsz¨ og oldalain vegy¨ uk fel az A1 ∈ (BC), B1 ∈ (CA) ´es C1 ∈ (AB) pontokat, u ´gy hogy ezek a pontok a szakaszt ugyanolyan ar´anyban ossz´ak. Legyen {A2 } = BB1 ∩ CC1 , {B2 } = CC1 ∩ AA1 ´es {C2 } = AA1 ∩ BB1 . Mutassuk ki, hogy: a) Az ABC ´es A2 B2 C2 h´ aromsz¨ogek s´ ulypontja egybeesik. −−→ −−→ −−→ b) Az AA2 , BB2 , CC2 lehetnek egy h´aromsz¨og oldalai. 77. Adott az ABCDE ¨ otsz¨ og ´es P ∈ [DE]. Jel¨olj¨ uk rendre G1 ,G2 ,G3 ,G4 -el az ADE, AP B, ABC, AP C h´ aromsz¨ ogek s´ ulypontjait. Mutassuk ki, hogy G1 G2 G3 G4 paralelogramma akkor ´es csak akkor ha P a [DE] szakasz felez˝opontja. 78. Adott az A, B, C, D pontok egy O k¨oz´eppont´ u k¨or¨on. Ha l´etezik x, y ∈ R∗ pontok amelyekre −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ ||xOA + y OB|| = ||xOB + y OC|| = ||xOC + y OD|| = ||xOD + y OA||, akkor mutassuk ki, hogy ABCD n´egyzet. − 79. Azt mondjuk, hogy A halmaz rendelkezik az (S) tulajdons´aggal ha (∀)→ u ∈ A eset´en l´eteznek → − → − → − → − → − → − → − az v , w ∈ A vektorok, amelyekre v 6= w ´es u = v + w . a) Mutassuk ki, hogy minden n ≥ 6 l´etezik n nem nulla vektor, amelyek rendelkeznek (S) tulajdons´ aggal. b) Mutassuk ki, hogy minden (S) tulajdons´ag´ u halmaznak van legal´abb 6 eleme.
12
Vektoralgebra
2. fejezet
T´ erbeli egyenesek ´ es s´ıkok egyenletei 2.1.
Egyenesek
1. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´atmegy az M0 (1, 2, −1) ponton ´es a) az M (3, 4, 0) ponton; ~ −1, 5) vektorral; b) p´ arhuzamos a d(2, c) mer˝ oleges a 2x − y + 3z − 10 = 0 s´ıkra; 2x − y + 3z + 1 = 0 d) p´ arhuzamos az e: egyenessel; 5x + 4y − z − 7 = 0 e) p´ arhuzamos az Ox tengellyel. 2. Hat´ arozzuk meg az A(1, 2, 3), B(−2, 1, 4) pontokon ´atmen˝o egyenesnek a koordin´atas´ıkokkal val´ o metsz´espontjait. E:(0, 53 , 10 3 ), (−5, 0, 5), (10, 5, 0). 3. Adottak az u1 : x + 4y + 2z − 1 = 0, 2x − y − 2z + 4 = 0, u2 : Hat´ arozzuk meg:
x−2 l
=
y+4 m
=
z−2 n
egyenesek.
a)Annak felt´etel´et, hogy az u1 ´es u2 metsz˝o egyenesek legyenek. b)Az egyenesek mer˝ olegess´eg´enek felt´etel´et. c) Az a) ´es b) felt´etelek mellett hat´arozzuk meg a metsz´espont koordin´at´ait. d) A P2 (2, −4, 2) ∈ u2 pont u1 -re vonatkoztatott szimmetrikus´anak koordin´at´ait. 4. Az Oxyz der´eksz¨ og˝ u koordin´ ata-rendszerhez viszony´ıtva adottak az A(1, 2, 3), B(3, 4, 2) ´es C(2, 0, 1) pontok. Igazoljuk, hogy ezek a pontok lehetnek egy kocka cs´ ucspontjai ´es hat´arozzuk meg a t¨ obbi cs´ ucspont koordin´ at´ ait. E: D(4, 2, 0), E1 (2, 3, −2), F1 (1, 5, 0), G1 (−1, 3, 1), H1 (0, 1, −1), E2 (6, 1, 2), F2 (5, 3, 4), G2 (3, 1, 5), H2 (4, −1, 3). 5. Igazoljuk, hogy a t´erben elhelyezked˝o P i(xi , yi , zi ), (i = 1, 2, 3) pontok akkor ´es csak akkor z3 −z1 −x1 1 = yy32 −y kolline´ arisok, ha xx23 −x −y1 = z2 −z1 . 1 ×~ u|| 6. Igazoljuk, hogy k´et p´ arhuzamos egyenes k¨oz¨otti d t´avols´ag kisz´am´ıthat´o a d = ||~rk~ uk osszef¨ ¨ ugg´es seg´ıts´eg´evel, ahol ~r e k´et egyenes egy-egy pontj´at ¨osszekapcsol´o tetsz˝oleges vektor, ~u pedig az adott egyenesekkel p´ arhuzamos vektor. Alkalmaz´as: a k´et p´arhuzamos egyenes √ y−1 y 21 z−1 x z legyen u1 : x−1 = = ´ e s u : = = . E: 2 1 2 3 1 2 3 7 .
14
T´erbeli egyenesek ´es s´ıkok egyenletei 7. Legyenek A(−1, 1, 1), B(2, 3, −1), C(5, 2, 0) az AB alap´ u egyenl˝o sz´ar´ u trap´ez cs´ ucspontjai. Hat´ arozzuk meg a D, negyedik cs´ ucspont koordin´at´ait. E: D1 (2, 0, 2), D2 (2, − 20 17 , 2).
2.2.
S´ıkok
8. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et k¨ ul¨onb¨oz˝o form´akban, amely ´atmegy az A(2, 3, 1), B(−4, 2, −5), C(0, 1, 0) pontokon. E: −11x + 6y + 10z − 6 = 0. 9. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely ´atmegy az M0 (1, −2, 3) ponton ´es p´arhuzamos − − a→ v 1 (1, −1, 0), → v 2 (−3, 2, 4) vektorokkal. E: 4x + 4y + z + 1 = 0 10. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely az Ox, Oy, Oz koordin´atatengelyeket az A, B, C pontokban metszi, ahol A(−1, 0, 0)B(0, 3, 0), C(0, 0, −2). E: 6x − 2y + 3z + 6 = 0. 11. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely ´atmegy a P (7, −5, 2) ponton ´es a koordin´atatengelyeken ugyanakkora pozit´ıv szakaszokat hat´aroz meg. E: x + y + z − 4 = 0. 12. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely ´atmegy az A(2, −1, 3) ponton ´es p´arhuzamos a 2x + 4y − z + 5 = 0 s´ıkkal. E: 2x + 4y − z + 3 = 0 13. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely a) ´ atmegy az M1 (1, −1, 3) ´es M2 (1, 2, 4) pontokon ´es mer˝oleges a 2x − 3y + z + 1 = 0 s´ıkra; x − 2y + 3z = 0 b) ´ atmegy a P (−1, 2, 6) ponton ´es tartalmazza a d : egyenest; 2x + z − 3 = 0 2x + 3z = 0 c) ´ atmegy az A(1,1,-2) ponton ´es mer˝oleges a d : egyenesre. x−y+z−1=0 E: a) 6x + 2y − 6z + 14 = 0; b) 25x + 2y + 10z − 39 = 0; c) 3x + y − 2z − 8 = 0. 14. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely ´atmegy a P1 : 2x + y − z − 2 = 0, P2 : x−3y+z+1 = 0, P3 : x+y+z−3 = 0 s´ıkok metsz´espontj´an ´es p´arhuzamos a P4 : x+y+2z = 0 s´ıkkal. E: x + y + 2z − 4 = 0. 15. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely az A(2, −1, 3) ´es B(4, 5, −3) pontok ´altal meghat´ arozott szakasz felez˝ omer˝ oleges s´ıkja. E: x + 3y − 3z − 9 = 0. 2x + y − z − 2 = 0 ´ 16. Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely tartalmazza a d : egyenest x − 3y + z + 1 = 0 ´es a) ´ atmegy az orig´ on; b) p´ arhuzamos az Oy tengellyel.
2.3.
E: a)4x − 5y + z = 0; b) 7x − 2z − 5 = 0.
S´ıkok ´ es egyenesek
17. Igazoljuk, hogy az a paralelepipedon, amelynek nemp´arhuzamos oldallapjai a 2x+y−2z+6 = 0, 2x − 2y + z + 8 = 0 ´es x + 2y + 2z + 10 = 0 s´ıkokban vannak, der´eksz¨og˝ u.
S´ıkok ´es egyenesek
15
18. Az Oxyz der´eksz¨ og˝ u koordin´ ata-rendszerben adottak az A(α, 0, 1), B(−α, 0, 1), C(0, β, −1), D(0, −β, −1) pontok. a)´Irjuk fel az ABCD tetra´eder lapjainak ´es magass´againak egyenleteit. b) Hat´ arozzuk meg annak felt´etel´et, hogy ez a tetra´eder szab´alyos legyen.
√ √ E: b)α, β = ± 2, c) 2 3.
c) Ezen ut´ obbi esetben hat´ arozzuk meg egy lap ter¨ ulet´et.
z−zi i i 19. Adottak a P0 (x0 , y0 , z0 ) pont ´es a di : x−x = y−y arozzuk li mi = ni , (i = 1, 2) egyenesek. Hat´ meg az adott egyenesekre t´ amaszkod´o ´es adott ponton ´athalad´o egyenes egyenleteit. Alkaly+1 z+1 maz´ as: adottak a P0 (1, 1, 1) pont ´es a d1 : x−1 1 = 2 = 3 , illetve d2 : 3x−2y = 0, x−2z = 0 egyenesek. x−1 y−1 z−1 E: = = . 2 1 3 y−2 y−2 z−1 z+1 20. Legyen π a d1 : x−5 es d2 : x−6 altal meghat´arozott 0 = 1 = 1 ´ 1 = 1 = −1 egyenesek ´ 0 0 s´ık, π pedig az orig´ on ´es a P (2, 0, −1) pontokon ´athalad´o 3x − y − z + 4 = 0 s´ıkra mer˝oleges s´ık.
a) Hat´ arozzuk meg a π ´es π 0 s´ıkok hajl´assz¨og´et. b) Igazoljuk, hogy a P 0 pont ´es a d1 , d2 egyenesek metsz´espontj´ab´ol a π 0 s´ıkra bocs´atott mer˝ oleges ´ altal meghat´ arozott π 00 s´ık ´atmegy az orig´on. E: a) 60◦ ; b) π 00 : x − 5y + 2z = 0. 21. Hat´ arozzuk meg annak felt´etel´et, hogy az ui : p´ arhuzamosok legyenek ugyanazzal a s´ıkkal.
x−xi li
=
y−yi mi
=
z−zi ni ,
(i = 1, 2, 3) egyenesek
22. Igazoljuk, hogy egy tetra´eder oldal´eleinek felez˝opontjain ´athalad´o ´es a szemk¨ozti ´elekre mer˝ oleges s´ıkok egy pontban tal´ alkoznak. 23. ´Irjuk fel azon u egyenes egyenleteit, amely ´athalad a π : 3x + 2y + z = 0 s´ıknak a d : x − 2y + z + 2 = 0, x + y − z − 3 = 0 egyenessel val´o metsz´espontj´at, a π s´ıkban tal´alhat´o ´es y−1/5 mer˝ oleges a d egyenesre. E: x−3/5 = z+11/5 . −1 = 1 1 24. Adottak a P (0, 0, 1), Q(1, 2, 0) pontok ´es az u : 2x − y − z − 3 = 0, 3x − 2y − 5 = 0 egyenes. a) Hat´ arozzuk meg a Q ponton ´es a P -b˝ol u-ra bocs´atott mer˝olegesen ´athalad´o π s´ık egyenlet´et. b) Hat´ arozzuk meg az u ´es P Q egyenesek k¨oz¨os mer˝oleges´enek egyenleteit, valamint a k´et egyenes k¨ oz¨ otti minim´ alis t´ avols´ agot. 25. Adottak a d1 : x + y − 2 = 0, z + 2 = 0, d2 : x + z − 1 = 0, y − 3 = 0 egyenesek. Az u1 egyenes ´ athalad a P1 (1, 1, 1) ponton ´es mer˝oleges a d1 egyenesre, m´ıg az u2 egyenes a P2 (1, 0, 0) ponton halad ´ at ´es p´ arhuzamos d2 -vel. Hat´arozzuk meg: a) Az u1 ´es u2 egyenesek k¨ oz¨ os mer˝oleges´enek egyenleteit. b) Az u1 ´es u2 egyenesek k¨ oz¨ otti t´avols´agot. 26. Adott a π : 6x−7y−4z−9 = 0 s´ık valamint a d1 : egyenesek.
a) x = 1, z = 0; b) d = 1. x−2 1
=
y+2 −1
=
z−3 2
´es d2 :
x+7 9
=
y+10 11
=
z+9 8
a) Hat´ arozzuk meg a d1 ´es d2 egyenesek d3 k¨oz¨os mer˝oleges´enek egyenleteit ´es a k´et egyenes k¨ oz¨ otti t´ avols´ agot. b) Hat´ arozzuk meg az orig´ ob´ ol a d = A1 A2 egyenesre bocs´atott u mer˝oleges egyenes egyenleteit valamint az orig´ onak a d -t˝ ol m´ert t´avols´ag´at, ahol Ai = π ∩ di (i = 1, 2). c) Sz´ am´ıtsuk ki az A1 A2 A3 h´ aromsz¨og ter¨ ulet´et, ha A3 = π ∩ d3 . √ E: a) d3 : 2x + 4y + z + 1 = 0, x − 3y + 3z + 4 = 0, d = √514 ; b) 2.
16
T´erbeli egyenesek ´es s´ıkok egyenletei
1 1 1 27. Hat´ arozzuk meg a P0 (x0 , y0 , z0 ) ponton ´athalad´o ´es a d : x−x = y−y = z−z egyenesre l m n mer˝ oleges egyenes egyenleteit. Alkalmaz´as: hat´arozzuk meg a P0 (−1, 2, 3) ponton ´athalad´o y−4 z oleges egyenest. d : x+2 3 = 1 = 1 egyenesre mer˝
E:
x+1 1
=
y−2 26
=
z−3 −29 .
7x − y − z − 10 = 0 egyenes. Igazoljuk, hogy a 3x + y − z − 12 = 0 k´et egyenes egy s´ıkban van ´es ´ırjuk fel ennek a s´ıknak az egyenlet´et.
28. Adott a d1 : x − 3 =
y−8 3
=
z−3 4
´es d2 :
E: 7x − y − z − 10 = 0 29. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely tartalmazza a d1 : y−2 z−1 ´es p´ arhuzamos a d2 : x+5 4 = 2 = 2 egyenessel. 30. Tekints¨ uk az A(α,0,0), B (0,β,0), C (0,0,γ) pontokat u ´gy, hogy hogy az ABC s´ık ´ atmegy egy r¨ ogz´ıtett ponton.
1 α
x−3 2
=
y+4 1
1 β
+
1 γ
+
= z−2 −1 egyenest E:x − 2y − 11 = 0. = 1. Mutassuk ki,
31. Egy ortonorm´ alt koordin´ atarendszerben adottak az M1 (2, 1, −1) ´es M2 (−3, 0, 2) pontok. a) Hat´ arozzuk meg az M1 ´es M2 pontokon ´atmen˝o s´ıksor egyenlet´et. b) Hat´ arozzuk meg a s´ıksor azon P s´ıkj´at, amely mer˝oleges az xOy s´ıkra. c) Hat´ arozzuk meg a s´ıksor azon s´ıkj´at, amely mer˝oleges a P s´ıkra. E: b) x − 5y + 3 = 0 9x − 2y + 3z − 16 = 0 = y+1 = z−5 altal meg32. ´Irjuk fel a d1 : ´es d2 : x−1 2 3 −4 egyenesek ´ 5x − 2y + z − 6 = 0 hat´ arozott s´ık egyenlet´et ´es sz´ am´ıtsuk ki a d1 ´es a d2 egyenesek k¨ozti t´avols´agot. E: x + 2y + 2z − 9 = 0,
√6 . 29
33. Igazoljuk, hogy az x = −3t, y = 2 + 3t, z = 1 ´es az x = 1 + 5s, y = 1 + 13s, z = 1 + 10s egyenesek metszik egym´ ast ´es hat´arozzuk meg a metsz´espont koordin´at´ait! E: (1, 1, 1). 34. Az m param´eter milyen ´ert´ek´ere a d : x = −1 + 3t, y = 2 + mt, z = −3 − 2t egyenesnek nincs k¨ oz¨ os pontja a π : x + 3y + 3z − 2 = 0 s´ıkkal? E: m = 1. 35. Az a ´es d param´eterek milyen ´ert´ekeire helyezkedik el a d : x−2 = y+1 = z−3 3 2 −2 egyenes a π : ax + y − 2z + d = 0 s´ıkban. E: a = −2, d = 11. 3x − 2y + z + 3 = 0 36. Az a ´es c param´eterek milyen ´ert´ekeire mer˝oleges a d : egyenes a 4x − 3y + 4z + 1 = 0 π : ax + 8y + cz + 2 = 0 s´ıkra! E: a = 5, c = 1. 37. Hat´ arozzuk meg a d1 : ´es t´ avols´ ag´ at.
x−1 2
=
y+1 3
y z−1 = z ´es d2 : x+1 oz¨os u mer˝oleges´et 3 = 4 = 3 egyenesek k¨ √ E: u : 5x + 18y − 29z + 34 = 0, 3y + 2z + 3 = 0, d = 2 535 .
38. ´Irjuk fel a P (1, −1, 1) ponton ´ atmen˝o ´es az x − y + z − 1 = 0, 2x + y + z + 1 = 0 s´ıkokra mer˝ oleges s´ık egyenlet´et. E: −2x + y + 3z = 0. 39. ´Irjuk fel azon s´ık egyenlet´et, amely ´atmegy a P1 (1, 1, 1), P2 (2, 2, 2) pontokon ´es mer˝oleges az x + y − z = 0 s´ıkra. E: x − y = 0. 40. ´Irjuk fel az M1 (−3, 2, 5) pontb´ ol a 4x + y − 3z + 13 = 0, x − 2y + z − 11 = 0 s´ıkokra bocs´atott mer˝ olegesek ´ altal meghat´ arozott s´ıknak az egyenlet´et. E: 5x + 7y + 9z − 44 = 0. 41. Tanulm´ anyozzuk az α : x + y − 2z = 3, β : x − y − z = −1, γ : 3x + 3y − 6z = 5 s´ıkok k¨ olcs¨ on¨ os helyzet´et. 42. Sz´ am´ıtsuk ki az M (3, 1, −1) pontnak az α : 22x + 4y − 20z − 45 = 0 s´ıkt´ol val´o t´avols´ag´at. E: 23 .
S´ıkok ´es egyenesek
17
43. Hat´ arozzuk meg az α : x − 2y − 2z + 7 = 0 ´es a β : 2x − 4y − 4z + 17 = 0 p´arhuzamos s´ıkok k¨ ozti t´ avols´ agot! E: 21 . 44. Hat´ arozzuk meg annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely p´arhuzamos a 2x − 2y − z − 6 = 0 s´ıkkal ´es 7 egys´egnyi t´ avols´ agra van ett˝ ol a s´ıkt´ol! E: 2x − 2y − z + 15 = 0, 2x − 2y − z − 27 = 0. o P 0 vet¨ ulet´et, 45. Hat´ arozzuk meg a P (−5, 4, 1) pontnak az d : x + 3 = y5 = z−2 −3 egyenesre es˝ 00 majd a P pontnak a d egyenesre vonatkoz´o P szimmetrikus´at! 00 1 1 3 E: P 0 − 12 5 , 3, 5 , P ( 5 , 2, − 5 ). 46. Hat´ arozzuk meg a P (5,2,1) pontnak az x + y − 2z = −5 s´ıkra es˝o vet¨ ulet´et! E: A
10 1 13 3 , 3, 3
47. Hat´ arozzuk meg a Q(4, −5, 4) pont szimmetrikus´at arra a s´ıkra n´ezve, amely tartalmazza a x+y+z−3=0 d1 : x−y+z−1=0 d2 :
x+z =0 y=0 E: Q0 (−2, 7, −2).
egyeneseket! 48. Hat´ arozzuk meg a d egyenes vet¨ ulet´et a π s´ıkra, ahol x+y+z+3=0 d: ´es π : 3x + 2y − z − 2 = 0. 2x − 3y − z = 0 E:
x+2 49
=
y−1 32
=
z+6 212 .
49. Hat´ arozzuk meg a d : x + 2y − z − 1 = 0, x − 1 = 0 egyenesnek a π : x + y + z = 0 s´ıkra es˝o y+1/3 mer˝ oleges vet¨ ulet´enek egyenlet´et. E: x+1/3 = z−2/3 −1 = 0 1 . 50. Hat´ arozzuk meg a d : x+1 3 = vet¨ ulet´enek egyenleteit.
y−3 2
=
z 1
egyenesnek a π : x − y + 2z − 1 = 0 s´ıkra es˝o mer˝oleges E: x+1/6 = y−13/6 = z−5/3 1 1 0 .
51. Hat´ arozzuk meg a d egyenes π s´ık szerinti d0 szimmetrikus´at, ahol d:
x−1 y+1 z = = ´es π : x + 2y + z + 3 = 0. 2 3 1 E:π ∩ d = {A}, A( 95 , − 53 , − 29 ), d0 :
52. Hat´ arozzuk meg az M0 (3, −2, 1) pont t´avols´ag´at d :
x−1 1
=
y+2 −2
=
x−5/9 1
z−3 3
=
y+5/3 3
=
z+2/9 2 .
egyenest˝ol!
53. ´Irjuk fel a 2x + y − 3z = 5 ´es a x + 3y + 2z + 1 = 0 s´ıkok ´altal meghat´arozott lapsz¨ogek sz¨ ogfelez˝ o s´ıkjainak egyenlet´et. E: x − 2y − 5z − 6 = 0, 3x + 4y − z − 4 = 0 54. Sz´ am´ıtsuk ki az α : x + 3y + 2z + 1 = 0 ´es β : 3x + 2y − z = 6 s´ıkok hajl´assz¨og´enek m´ert´ek´et. E: 60◦ 55. Sz´ am´ıtsuk ki az xOy s´ık ´es az M1 M2 egyenes ´altal alkotott sz¨og m´ert´ek´et, ha M1 (1, 2, 3) ´es M2 (−2, 1, 4). E: sin β= √111 56. Az A1 A2 A3 A4 tetra´eder cs´ ucspontjai A1 (4, 4, 1), A2 (2, −2, 5), A3 (0, 7, −3), A4 (1, 9, 3). Sz´am´ıtsuk ki annak a sz¨ ognek a m´ert´ek´et, amelyet az A4 cs´ ucspont az A1 A2 A3 h´aromsz¨og s´ ulypontja altal meghat´ ´ arozott egyenes az (A1 A2 A3 ) s´ıkkal alkot. E: sin α= √12 205
18
T´erbeli egyenesek ´es s´ıkok egyenletei
57. Hat´ arozzuk meg k´et ¨ osszefut´ o egyenes ´altal meghat´arozott sz¨ogek sz¨ogfelez˝o egyeneseinek egyenleteit. Alkalmaz´ as: a k´et adott egyenes d1 : 3x − y − z + 2 = 0, 2x − y + 2z − 6 = 0 ´es d2 : y+5 y−18 z x−7 x+3 = E: u1 : x − 7 = y − 18 = z−5 = z−5 4 7 = 3. 2 , u2 : 15 = 7 4 . 58. Az Ox, Oy ´es Oz tengelyeken felvessz¨ uk az A, B ´es C pontokat u ´gy, hogy teljes¨ ulj¨on az 2 3 1 1 + + = o ¨ sszef¨ u gg´ e s. Igazoljuk, hogy az ABC s´ ık a ´ thalad egy r¨ o gz´ ıtett ponton, OA OB OC a ´es hat´ arozzuk meg ennek a pontnak a m´ertani hely´et, amikor az a ´ert´eke v´altozik. 59. Keress¨ uk meg annak felt´etel´et, hogy n´egy s´ık ´athaladjon egy k¨oz¨os ponton. 60. Hat´ arozzuk meg az a ´e l˝ u kocka valamely ´el´enek t´avols´ag´at egy olyan test´atl´ot´ol, amellyel √ nincsen k¨ oz¨ os pontja. E:a 2/2. 61. Adottak a d1 : 2x + y − 11 = 0, x − z + 3 = 0 ´es d2 : 4x − 19y + 83 = 0, 11y + 4z − 79 = 0 egyenesek. a) Igazoljuk, hogy az adott egyenesek rendelkeznek egy P0 k¨oz¨os ponttal ´es mer˝olegesek egym´ asra. b) ´Irjuk fel a k´et egyenes ´ altal meghat´arozott s´ık egyenlet´et ´es igazoljuk, hogy ez nem mer˝ oleges az OP0 egyenesre. E: P0 (3, 5, 6). 62. Adott a π : x + y + z + 1 = 0 s´ık ´es a d : y − z + 1 = 0, x + 2z = 0 egyenes. a) Igazoljuk, hogy az egyenes a s´ıkban fekszik. b) ´Irjuk fel a megadott s´ıkra, az egyenes ment´en mer˝olegesen emelt s´ık egyenlet´et. c) ´Irjuk fel a π s´ık d egyenesre mer˝oleges egyeneseinek egyenleteit. E: b) y − z + 1 = 0, c) x = x0 , y − y0 = −z + z0 . 63. ´Irjuk fel annak a s´ıknak az egyenlet´et, amely mer˝oleges a z = 0 s´ıkra ´es tartalmazza az A(1, −1, 1) pontb´ ol a d : x = 0, y − z + 1 = 0 egyenesre bocs´atott mer˝oleges egyenest. E: x + 2y + 1 = 0. 64. ´Irjuk fel a 3x − y + 4z − 12 = 0 s´ıkb´ol a koordin´atas´ıkok ´altal kimetszett h´aromsz¨og Oz tengelyen fekv˝ o cs´ ucs´ ahoz tartoz´ o magass´aga tart´oegyenes´enek egyenleteit ´es sz´am´ıtsuk ki a magass´ ag hossz´ at. E: 65. Adottak az u1 :
x−1 1
=
y+1 2
=
z−1 λ
´es u2 :
x+1 1
=
y−1 1
=
z 1
x −6
=
y 2
=
√ z−3 3 65 , 5 5 .
egyenesek.
a) Hat´ arozzuk meg a λ ´ert´ek´et u ´gy, hogy a k´et egyenes metsse egym´ast. b) Ha π a fenti metsz˝ o egyenesek s´ıkja, hat´arozzuk meg az A(1, 2, 0) pontnak a π szerinti szimmetrikus´ at. c) Hat´ arozzuk meg az A pontnak az u1 ´es u2 egyenesekre es˝o mer˝oleges vet¨ uletein ´athalad´o egyenes egyenleteit. 8 19 28 E: a) λ = 45 ; b) A0 (− 13 , 13 , 13 ); c)
x 181
=
y−2 −163
=
z−1 95 .
66. ´Irjuk fel az x+y −z −1 = 0, x−y +z +1 = 0 ´es 2x−y +z −1 = 0, x+y −z +1 = 0 egyeneseket metsz˝ o ´es az x + y + z = 0 s´ıkkal p´arhuzamos egyenesek egyenleteit. E: x0 = y1 = z+λ −1 . 67. Adottak az u1 :
x−3 6
=
y+2 −3
=
z−1 2
´es u2 :
x−3 4
=
y+2 −3
=
z−1 2
egyenesek. Hat´arozzuk meg
a) az u1 ´es u2 egyenesek ´ altal meghat´arozott sz¨ogek sz¨ogfelez˝oinek egyenleteit. b) az A(2, 3, 1) pontnak az u1 ´es u2 egyenesekre es˝o A1 ´es A2 mer˝oleges vet¨ uleteit. c) a P0 A1 A2 h´ aromsz¨ og ter¨ ulet´et, ahol P0 az u1 ´es u2 egyenesek metsz´espontja.
S´ıkok ´es egyenesek
19
68. Adottak az u1 : meg
x−1 1
=
y+1 2
=
z 1
´es u2 : x = t + 2, y = 2t − 1, z = t + 1 egyenesek. Hat´arozzuk
a) az u1 ´es u2 egyenesek k¨ oz¨ otti t´avols´agot; b) az u1 ´es u2 egyenesek ´ altal meghat´arozott s´ık egyenlet´et. E: a)
√ 2 3 3 ,
b) x − z − 1 = 0.
69. A π s´ık Ax + By + Cz + D = 0 egyenlet´eben szerepl˝o minden egy¨ utthat´o null´at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o. Igazoljuk, hogy ez a s´ık ´ athalad h´et nyolcadon a koordin´ata-s´ıkok ´altal meghat´arozott nyolcadok k¨ oz¨ ul. 70. Hat´ arozzunk meg egy olyan pontot az Oz tengelyen, amely egyenl˝o t´avols´agra fekszik a π1 : 12x + 9y − 20z − 19 = 0 ´es π2 : 16x − 12y + 15z − 9 = 0 s´ıkokt´ol. E: A1 (0, 0, − 28 5 ), A2 (0, 0, −2/7). 71. Hat´ arozzuk meg egy tetra´eder t´erfogat´at, ha oldallapjainak egyenletei x + y + z − 1 = 0, x − y − 1 = 0, x − z − 1 = 0 ´es z − 2 = 0. E: 6. 72. ´Irjuk fel azon egyenes egyenleteit, amely az x + 3y − 2z − 2 = 0 s´ıkban fekszik, az x = y = z egyenesre t´ amaszkodik ´es mer˝ oleges a 4x − y − z − 3 = 0 s´ıkra. E: 73. ´Irjuk fel azon egyenes egyenleteit, amely ´athalad az A(–1, 0, 1) pont szerinti A0 szimmetrikus´ an ´es mer˝oleges a 2x − y − z − 1 = 0 s´ıkra.
x 1
x−1 −4
=
y 1
= =
y−1 1 z−1 2
=
z−1 1 .
egyenes
E: A0 ( 23 , − 13 , 31 ). 74. Hat´ arozzuk meg a P0 (−2, 0, 0) pontnak az x = y = z egyenesre es˝o vet¨ ulet´en ´athalad´o ´es a d1 : x − y − 1 = 0, y − z − 2 = 0 valamint d2 : 2x − y = 0, x − z − 1 = 0 egyenesekre t´amaszkod´o egyenes egyenleteit. 75. Hat´ arozzuk meg azon egyenes egyenleteit, amely ´athalad az A(2, −1, 0) pont x − 2y + z = 0 s´ık szerinti A0 szimmetrikus´ an, p´arhuzamos a 2x + y + 3z − 1 = 0 s´ıkkal ´es mer˝oleges az y+1 x z = = egyenesre. 1 2 1 E: 76. Adottak a d1 :
x 1
=
y+3 2
=
z+2 3
´es d2 :
x−3 l
=
y+1 m
=
z−5 n
x−2/3 −5
=
y−5/3 1
=
z+4/3 3 .
egyenesek.
a) Milyen felt´etelek mellett metszi egym´ast a k´et egyenes. b) Hat´ arozzuk meg annak felt´etel´et, hogy a k´et metsz˝o egyenes mer˝oleges is legyen egym´asra. c)Hat´ arozzuk meg a metsz´espont koordin´at´ait. E: a) 4l + m − 2n = 0, l 6=
m 2
6=
n 3,
b) l = n, c) ( 21 , −2, − 12 ).
77. Adott a P (1, −1, 0) pont ´es a d : x − z − 3 = 0, y + 2z + 3 = 0 egyenes. a) ´Irjuk fel az orig´ on ´es a P -b˝ ol d -re bocs´atott mer˝olegesen ´athalad´o s´ık egyenlet´et. b) Hat´ arozzuk meg a d ´es OP egyenesek k¨oz¨os mer˝oleges´enek egyenleteit. E: a) x + y + z = 0, b) x − 3 = y + 3 = z. 78. ´Irjuk fel azon s´ıkok ´ altal´ anos egyenlet´et, amelyeknek az x = 0, y = 0 ´es x + y − 1 = 0 egyenlet˝ u s´ıkok a ´ltal meghat´ arozott has´abbal val´o metszete egy szab´alyos h´aromsz¨og. √ E: x − y + 3z + m = 0. 79. Igazoljuk, hogy az orig´ on ´ athalad´ o egyenes egyenletei fel´ırhat´ok az al´abbi alakban: x y z = = . sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ
20
T´erbeli egyenesek ´es s´ıkok egyenletei
80. Adottak az Ox, Oy ´es Oz tengelyeken elhelyezked˝o A, B ´es C pontok. Igazoljuk, hogy ha az AB egyenes ´ athalad egy P1 r¨ ogz´ıtett ponton ´es a BC egyenes a r¨ogz´ıtett P2 ponton, akkor az AC egyenes is ´ athalad egy r¨ ogz´ıtett P3 ponton, ´es a P1 , P2 , P3 pontok kolline´arisok. 81. Igazoljuk, hogy egy der´eksz¨ og vet¨ ulete valamely s´ıkra akkor ´es csak akkor lesz der´eksz¨og, ha a sz¨ og egyik sz´ ara p´ arhuzamos a s´ıkkal a m´asik pedig nem mer˝oleges r´a. 82. Ha egy tetra´ederben k´et szembefekv˝o ´elp´ar ´elei mer˝olegesek egym´asra, igazoljuk, hogy: a) A harmadik ´elp´ ar ´elei is mer˝ olegesek egym´asra. b) A tetra´eder magass´ agai egy pontban tal´alkoznak. c) A szembefekv˝ o ´elek k¨ oz¨ os mer˝ olegesei a magass´agok metsz´espontj´aban futnak ¨ossze. d) A szembefekv˝ o ´elek felez˝ opontjait ¨osszek¨ot˝o szakaszok kongruensek. e) Az oldallapokra azok s´ ulypontjaiban emelt mer˝olegesek ¨osszefut´o egyenesek. f) A szembefekv˝ o ´elek n´egyzet¨ osszege ´alland´o. 83. Igazoljuk, hogy egy tetsz˝ oleges tetra´ederben: a) A cs´ ucspontokat a szembefekv˝o lapok s´ ulypontjaival ¨osszek¨ot˝o, valamint a szembefekv˝o ´elek felez˝ opontjait ¨ osszek¨ ot˝ o egyenesek ¨osszefut´ok. b) Az egyes lapok bels˝ o sz¨ ogfelez˝oin kereszt¨ ul az illet˝o lapra emelt mer˝oleges s´ıkok rendelkeznek egy k¨ oz¨ os egyenessel. c) Valamely lap bels˝ o sz¨ ogfelez˝ oj´en kereszt¨ ul a lapra emelt mer˝oleges s´ık ´es a szomsz´edos k´et lap k¨ uls˝ o sz¨ ogfelez˝ oj´en kereszt¨ ul az illet˝o lapokra emelt mer˝oleges s´ıkok ugyancsak rendelkeznek egy k¨ oz¨ os egyenessel. d) Az ´elek felez˝ omer˝ oleges s´ıkjai rendelkeznek egy k¨oz¨os ponttal.
2.4.
Koordin´ ata-rendszer megv´ alaszt´ as´ aval megoldhat´ o feladatok
84. Legyen ABCDA0 B 0 C 0 D0 egy kocka, amelynek ´elhossz´ us´aga AB = a. Tekintj¨ uk az M ∈ (AB), N ∈ (AD) ´es P ∈ (AA0 ) u ´gy, hogy AM = α, AN = β ´es AP = γ. Igazoljuk, hogy az ABCDA0 B 0 C 0 D0 kock´ aba ´ırt g¨ omb akkor ´es csakis akkor ´erinti az (M N P ) s´ıkot, ha fenn´all a k¨ ovetkez˝ o¨ osszef¨ ugges: 2αβγ p = a. αβ + βγ + γα − α2 β 2 + β 2 γ 2 + γ 2 α2 85. Egy V ABCD szab´ alyos g´ ula alapj´anak az ´elhossz´ us´aga AB = BC = CD = DA = a ´es a √ ul szerkeszt¨ unk egy a V C V A = V B = V C = V D = a 2. A V A ´el M felez˝opontj´an kereszt¨ ´elre mer˝ oleges s´ıkot, amely meghat´ aroz egy s´ıkmetszetet a g´ ul´aban. Hat´arozzuk meg a s´ıkmetszet ker¨ ulet´et, ter¨ ulet´et, valamint a s´ıkmetszet ´altal meghat´arozott k´et test t´erfogat´anak ar´any´at. 86. Legyen ABCDA0 B 0 C 0 D0 egy AB = a ´elhossz´ us´ag´ u kocka, M ´es P a BC illetve AA0 ´elek 0 0 0 0 0 felez˝ opontjai, O a kocka k¨ oz´eppontja, O az A B C D als´o lap k¨oz´eppontja, S pedig az OO0 felez˝ opontja. Hat´ arozzuk meg az (M P S) s´ık ´altal meghat´arozott s´ıkmetszetet a kock´aban ´es ennek a ter¨ ulet´et. us´ag´ u kocka, M ´es P a BC illetve AA0 ´elek fe87. Legyen ABCDA0 B 0 C 0 D0 egy a ´elhossz´ 0 0 0 0 0 lez˝ opontjai,O az A B C D als´ o lap k¨oz´eppontja. Hat´arozzuk meg az (M P O0 ) s´ık ´altal meghat´ arozott s´ıkmetszetet a kock´ aban ´es ennek a ter¨ ulet´et, ker¨ ulet´et. 88. Legyen ABCDA0 B 0 C 0 D0 egy a ´elhossz´ us´ag´ u kocka. A [CD, [CB ´es [CC 0 f´elegyeneseken felvessz¨ uk az X, Y, Z pontokat u ´gy, hogy CX = a + α, CY = a + β, CZ = a + γ, ahol α, β, γ ∈ R∗+ . Igazoljuk, hogy
Koordin´ ata-rendszer megv´ alaszt´ as´ aval megoldhat´ o feladatok
21
i) az (XY Z) s´ık akkor ´es csakis akkor metszi hatsz¨ogben a kock´at, ha αβ, βγ, γα ∈ (0, a2 ); ii) ha M N P QRS az el˝ obbi alpontban meghat´arozott hatsz¨og, akkor az M Q, N R, P S ´atl´ok akkor ´es csakis akkor ¨ osszefut´ oak, ha a3 = a(αβ + βγ + γα) + 2αβγ.
22
T´erbeli egyenesek ´es s´ıkok egyenletei
3. fejezet
Analitikus m´ ertan s´ıkban 3.1.
Der´ eksz¨ og˝ u Descartes f´ ele koordin´ ata rendszer haszn´ alata
1. ´Irjuk fel annak az egyenesnek a param´eteres egyenleteit, amely (i) a´thalad az M0 (1, 2) ponton ´es p´arhuzamos a ~a(3, −1) vektorral; (ii) ´ athalad az orig´ on ´es p´ arhuzamos a ~b(3, 3) vektorral; (iii) ´ athalad az A(1, 7) ponton ´es p´arhuzamos az Oy tengellyel; (iv) ´ athalad az M1 (2, 4) ´es M2 (2, −5) pontokon. 2. Egy egyenes az x = 1 − 4t, y = 2 + t parm´eteres egyenletekkel adott. Hat´arozzuk meg az egyenes ir´ anyvektor´ at ´es ir´enyt´enyez˝oj´et. 3. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amelynek (i) ir´ anyt´enyez˝ oje m = −5 ´es ´ atmegy az A(1, −2) ponton; (ii) ir´ anyt´enyez˝ oje m = 8 ´es az Oy tengelyen egy 2 hossz´ us´ag´ u szakaszt hat´aroz meg; (iii) ´ athalad az A(−2, 3) ponton ´es az Ox tengellyel 60◦ -os sz¨oget z´ar be. (iv) ´ atmegy a B(1,7) ponton ´es mer˝oleges az n(4, 3) vektorra. 4. Adott az ABC h´ aromsz¨ og: A(1, 1), B(−2, 3), C(4, 7). ´Irjuk fel az oldalak valamint az A cs´ ucshoz tartoz´ o oldalfelez˝ o ´es magass´ag egyenleteit! E: x = 1, 3x + 2y − 5 = 0. 5. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(−2, 5) ponton ´es a koordin´ atatengelyeken egyenl˝ o hossz´ us´ag´ u szakaszokat hat´aroz meg. E: x + y ± 3 = 0, x + y ± 7 = 0. 6. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(12, 6) ponton ´es az egyenes valammint a koordin´ atatengelyek ´altal meghat´arozott h´aromsz¨og ter¨ ulete 150. E: 3x + 4y − 60 = 0, x + 3y − 30 = 0. 7. Adottak az ax + by + c = 0 ´es x = x0 + lt, y = y0 + mt egyenesek. Adjunk meg sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt ahhoz, hogy az egyenesek legyenek (1) metsz˝ oek; (2) p´ arhuzamosak. 8. Adottak egy h´ aromsz¨ og oldalainak az M1 (1, 2), M2 (3, 4), M3 (5, −1) felez˝opontjai. Hat´arozzuk meg az oldalak egyenleteit! 9. Egy paralelogramma k´et oldal´ anak egyenletei: x + y − 2 = 0 ´es 2x − y + 5 = 0. ´Irjuk fel a paralelogramma m´ asik k´et oldal´anak az egyenlet´et, ha tudjuk, hogy az ´atl´ok az M (3, 1) pontban metszik egym´ ast. E: x + y − 6 = 0, 2x − y − 3 = 0.
24
Analitikus m´ertan s´ıkban
10. Igazoljuk, hogy az a h´ aromsz¨ og , amelynek cs´ ucsai az A(3, 3), B(6, 3) ´es C(3, 6) pontok der´eksz¨ og˝ u ´es egyenl˝ osz´ ar´ u! ´Irjuk fel a h´aromsz¨og oldalfelez˝o mer˝olegeseinek az egyenleteit! E: x − y = 0, x = 29 , y = 92 11. Az orig´ ob´ ol egy d egyenesre h´ uzott mer˝oleges talppontja az A(1, 2) pont. ´Irjuk fel a d egyenes egyenlet´et! E: x + 2y − 5 = 0. 12. Hat´ arozzuk meg a B(−2, 1) pontnak a d : 2x + y + 1 = 0 egyenesre es˝o vet¨ ulet´et! 6 7 E: B 0 − , . 5 5 13. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´atmegy a C(1, 3) ponton ´es egyenl˝o t´ avols´ agra van az M1 (−1, 0) ´es M2 (1, −1) pontokt´ol! E: x + 2y − 7 = 0, −7x + 2y + 1 = 0. 14. Hat´ arozzuk meg a D(−1, 2) pont szimmetrikusainak a koordin´at´ait a d : x + y + 1 = 0 egyenesre, majd az E(−1, −4) pontra vonatkoz´oan! E: D1 (−3, 0), D2 (−1, −10). 15. Hat´ arozzuk meg a d1 : −x + 2y − 1 = 0 egyenes szimmetrikus´at a d2 : x − y = 0 egyenesre majd az A(−2, 5) pontra vonatkoz´oan! E: 2x + y − 1 = 0, x − 2y + 23 = 0. 16. Adott h´ arom, A(8, 0), B(3, 6), C(0, 3) pont. A BC egyenes az Ox tengelyt D-ben, az AB egyenes az Oy tengelyt E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az [OB], [AC], [DE] szakaszok felez˝ opontjai kolline´ arisak! E: felez˝opontok: (3/2, 3), (4, 3/2), (−3/2, 24/5). 17. Adott egy h´ aromsz¨ og k´et cs´ ucsa: A(−6, 2) ´es B(2, −2), valamint a H(1, 2) ortocentrum. Hat´ arozzuk meg a harmadik C cs´ ucs koordin´at´ait! E:C(2, 4). 18. Hat´ arozzuk meg az ABC h´ aromsz¨ og k¨or´e ´ırt k¨or k¨oz´eppontj´anak koordin´at´ait, ha A(1, 2), B(3, −2) 16 5 ´es C(5, 6). E: , . 3 3 19. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi egyenesek ´altal bez´art sz¨ogeket 1) y = 2x + 1 ´es y = −x + 2; 2) y = 3x − 4 ´es x = 3 + t, y = −1 − 2t; 3) y = 2x/5 + 1 ´es 4x + 3y − 12 = 0; 4) 2x + 3y = 0 ´es x − y + 5 = 0; 5) x − 3y + 2 = 0 ´es x = 2 − t, y = 3 + 2t.
√ ◦
E: 1) arctg 3; 2) 45 ; 3) arctg(26/7); 4) arccos
26 ; 5) arctg7. 26
20. Hat´ arozzuk meg azt az A(3, 1) ponton ´athalad´o egyenest, amely 45◦ -os sz¨oget z´ar be a 2x + 3y − 1 = 0 egyenlettel megadott egyenessel. E: x − 5y + 2 = 0, 5x + y − 16 = 0. 21. Hat´ arozzuk meg az x+3y = 0, x = 3, x−2y+3 = 0 egyenesek ´altal meghat´arozott h´aromsz¨og cs´ ucsait ´es sz¨ ogeit. E: cs´ ucsok: (3, 3), (3, −1), (− 59 , 53 ). 22. Adott az A(1, −2), B(5, 4) ´es C(−2, 0) cs´ ucs´ u h´aromsz¨og . Hat´arozzuk meg az A sz¨og k¨ uls˝o ´es bels˝ o sz¨ ogfelez˝ oj´enek az egyenlet´et! E: −x + 5y + 11 = 0, 5x + y − 3 = 0. 23. Hat´ arozzuk meg az O(0, 0), A(1, 2) ´es B(−5, 7) pontok t´avols´ag´at a 6x + 8y − 15 = 0 egyenest˝ ol. E: 3 7 11 , , . 2 10 10 24. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(8, 9) ponton ´es amelynek az x − 2y + 5 = 0 valamint az x − 2y = 0 egyenesek k¨oz´e es˝o szakasz´anak hossza 5.
Der´eksz¨ og˝ u Descartes f´ele koordin´ ata rendszer haszn´ alata
25
25. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi p´ arhuzamos egyenesek k¨ozti t´avols´agot 1) x − 2y + 3 = 0 ´es 2x − 4y + 7 = 0; 2) 3x − 4y + 1 = 0 ´es x = 1 + 4t, y = 3t ; 3) x = 2 − t, y = −3 + 2t ´es x = 2s, y = 5 − 4s. 1 E: 1) √ . 2 5 26. Hat´ arozzuk meg az x + 2y − 10 = 0 ´es x − 2y + 2 = 0 egyenesek ´altal meghat´arozott sz¨og azon sz¨ ogfelez˝ oj´et, amely ´ athalad az A(1, 3) ponton. E: y = 3. 27. Egy ABC√h´ aromsz¨ og eset´en A(2, 5), B(1, 3), C(7, 0). Hat´arozzuk meg a magass´agok hossz´at! √ 3 2 √ E: 5, , 3 5. 2 28. Adottak az A(−2, 1), B(3, 1), C(1, 5) pontok. Hat´arozzuk meg a B pont t´avols´ag´at az√A cs´ ucshoz tartoz´ o oldalfelez˝ ot˝ ol! E: 5. 29. Igazoljuk, hogy az x − 3y + 1 = 0, x − 3y + 12 = 0, 3x + y − 1 = 0 ´es 3x + y + 10 = 0 egyenesek altal meghat´ ´ arozott n´egysz¨ og egy n´egyzet. Hat´arozzuk meg a ter¨ ulet´et! E: 12.1. 30. Egy n´egyzet egyik oldal´ anak egyenlete x + 3y − 5 = 0. Hat´arozzuk meg a n´egyzet t¨obbi oldal´ anak az egyenleteit, ha tudjuk, hogy a n´egyzet szimmetriak¨oz´eppontja a P (−1, 0) pontban tal´ alhat´ o. E: −3x + y + 3 = 0, −3x + y − 9 = 0, x + 3y − 7 = 0. 31. Adottak egy h´ aromsz¨ og k´et oldal´ anak egyenletei: 3x − 2y + 1 = 0 ´es x − y + 1 = 0 valamint az egyik oldalfelez˝ oj´enek az egyenlete 2x − y − 1 = 0. Hat´arozzuk meg a harmadik oldal egyenlet´et! E: 5x − 3y − 1 = 0 vagy x = 3. 32. Hat´ arozzuk meg egy h´ aromsz¨ og oldalainak egyenlet´et, ha ismerj¨ uk az egyik cs´ ucsot: B(2, −1) valamint a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o cs´ ucsokhoz tartoz´o magass´ag 3x−4y+27 = 0 ´es sz¨ogfelez˝o x−2y−5 = 0 egyenleteit! ´ 33. Allap´ ıtsuk meg, hogy az M (−1, 2) pont az x − 2 = 0, −x + y − 4 = 0, x + 2y + 2 = 0 egyenesek altal meghat´ ´ arozott h´ aromsz¨ og belsej´eben van-e. E: Igen. 34. Adottak az x + 2y − 1 = 0, 5x + 4y − 17 = 0, x − 4y + 11 = 0 egyenesek. Hat´arozzuk meg a magass´ agok egyenleteit an´elk¨ ul, hogy kisz´am´ıtan´ank a cs´ ucsok koordin´at´ait. 35. Adott egy M (3, 3) pont ´es egy ABC h´aromsz¨og az oldalak egyenleteivel: AB : x+2y −4 = 0, BC : 3x + y − 2 = 0, AC : x − 3y − 4 = 0. 1) Sz´ am´ıtsuk ki az ABC h´ aromsz¨og ter¨ ulet´et! 2) Az M pontnak az AO, OB ´es AB egyeneskre es˝o vet¨ ulet´et rendre P, Q, R-rel jel¨olve, bizony´ıtsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak. 3) ´Irjuk fel az AB ´es P Q egyenesek ´altal meghat´arozott sug´arsor egyenlet´et. Hat´arozzuk meg a sug´ arsor N (0, 5) ponton ´ atmen˝o egyenes´enek az egyenlet´et. E: 1) A(4, 0), B(0, 2), C(1, −1), T = 5, 2) P (3, 0), Q(0, 3), R(2, 1), 3) 2x + y − 5 = 0. 36. Igazoljuk, hogy b´ armely ABC h´aromsz¨ogben a H magass´agpont, a G s´ ulypont ´es az O oldalfelez˝ o mer˝ olegesek metsz´espontja egy egyenesen vannak (Euler egyenes). 37. Egy ABCD n´egysz¨ og cs´ ucsai az A(4, 3), B(5, −4), C(−1, −3), D(−3, −1) pontok. 1) Sz´ am´ıtsuk ki az E ´es F pontok koordin´at´ait, ha {E} = AB ∩ CD ´es {F } = BC ∩ AD. 2) Igazoljuk, hogy az [AC], [BD] ´es [EF ] ´atl´ok felez˝opontjai kolline´arisak. (Az ABCDEF alakzatot teljes n´egysz¨ ognek nevezz¨ uk.)
26
Analitikus m´ertan s´ıkban
38. Egy ABC h´ aromsz¨ og ter¨ ulete 3, k´et cs´ ucsa pedig az A(3,1) ´es B(1, −3) pontok. Hat´arozzuk meg a C cs´ ucs koordin´ at´ ait az al´ abbi esetekben: 1) a C cs´ ucs az Oy tengelyen van; 2) az ABC h´ aromsz¨ og s´ ulypontja az Ox tengelyen fekszik. 39. Egy paralelogramma ter¨ ulete 18, k´et cs´ ucsa az A(2, 1) ´es B(5,-3) pont. A k´et ´atl´o az Oy tengelyen metszi egym´ ast. Hat´ arozzuk meg a m´asik k´et cs´ ucs koordin´at´ait! 49 1 11 E: C1 (−2, 37 3 ), D1 (−5, 3 ); C2 (−2, 3 ), D2 (−5, 3 ).
40. ´Irjuk fel az A(1, 1) ponton ´ athalad´o ´es a B(−1, 0) ´es C(−1, −1) pontokt´ol egyenl˝o t´avols´agra lev˝ o egyenesek egyenlet´et! E: x = 1. 41. Az xOy s´ıkban adottak az A(6, 0), B(1, 5) ´es C(0, 4) pontok. a) Sz´ am´ıtsuk ki az ABC h´ aromsz¨og oldalainak hossz´at! b) Igazoljuk, hogy az OABC n´egysz¨og k¨orbe´ırhat´o! c) Igazoljuk, hogy az O-b´ ol a h´ aromsz¨og oldalaira bocs´ajtott mer˝olegesek talppontjai kolline´ arisak. √ √ √ 36 0 E: a) 5 2, 2 13, 2; b) A0 (−2, 2), B 0 ( 24 13 , 13 ), C (3, 3). 42. Egy der´eksz¨ og˝ u xOy koordin´ ata-rendszerben adottak az A(a, 0), B(b, 0) r¨ogz´ıtett pontok ´es az M (0, λ), λ ∈ R pontok. Hat´ arozzuk meg: a) az AM egyenes egyenlet´et; b) a B ponton ´ athalad´ o ´es AM -re mer˝oleges egyenes egyenlet´et; c) az el˝ oz˝ o k´et pontban meghat´ arozott egyenesek metsz´espontj´anak m´ertani hely´et! 43. Legyen ABC egy tetsz˝ oleges h´ aromsz¨og ´es M a [BC] szakasz felez˝opontja. Jel¨olj¨ unk N -nel egy olyan pontot az AB egyenesr˝ol, amelyre A ∈ (BN ). Az ABC h´aromsz¨og H orto\ illetve a CAN \ sz¨ogek sz¨ogfelez˝oire legyenek P illetve Q. centrum´ anak a vet¨ uletei a BAC Igazoljuk, hogy az M, P ´es Q pontok kolline´arisak. 44. Adottak a C1 ´es C2 k¨ or¨ ok, amelyek kiv¨ ulr˝ol ´erintik egym´ast a T pontban. Tekintj¨ uk az M illetve az N v´ altoz´ o pontokat a C1 illetve a C2 k¨or¨okr˝ol u ´gy, hogy az M T ´es N T egyenesek legyenek mer˝ olegesek egym´ asra a T pontban. Hat´arozzuk meg az [M N ] szakasz felez˝opontj´anak m´ertani hely´et!
3.2.
Affin koordin´ ata-rendszer haszn´ alata
45. (Menel´ aosz t´etele) Legyen ABC egy tetsz˝oleges h´aromsz¨og ´es A0 , B 0 C 0 h´arom kolline´aris pont u ´gy, hogy A0 ∈ BC, B 0 ∈ AC, C 0 ∈ AB. Ekkor igazoljuk, hogy A0 B B 0 C C 0 A · · = 1. A0 C B 0 A C 0 B
(3.1)
Ford´ıtva, ha az A0 , B 0 ´es C 0 pontok u ´gy helyezkednek el a BC, CA, AB egyeneseken, hogy kett˝ o k¨ oz¨ ul¨ uk a h´ aromsz¨ og oldalain ´es a harmadik pedig az egyik oldal meghosszab´ıt´as´an van, vagy mindh´ arom az oldalak meghosszab´ıt´as´an tal´alhat´o ´es fenn´all az (1) ¨osszef¨ ugg´es, akkor a h´ arom pont kolline´ aris. 46. (Ceva t´etele) Legyen ABC egy tetsz˝oleges h´aromsz¨og ´es AA0 , BB 0 CC 0 h´atom ¨osszefut´o ugg´es: egyenes, ahol A0 ∈ BC, B 0 ∈ AC ´es C 0 ∈ AB. Ekkor fenn´all a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ A0 B B 0 C C 0 A · · = 1. A0 C B 0 A C 0 B Ford´ıtva,
(3.2)
Affin koordin´ ata-rendszer haszn´ alata
27
1. ha az A0 ∈ BC, B 0 ∈ AC, C 0 ∈ AB pontok a h´aromsz¨og oldalain vannak ´es fenn´all a (2) osszef¨ ¨ ugg´es, akkor az AA0 , BB 0 ´es CC 0 egyenesek ¨osszefut´oak; 2. ha az A0 , B 0 ´es a C 0 pontok k¨oz¨ ul az egyik pont a h´aromsz¨og egyik oldal´an ´es a m´asik kett˝ o a m´ asik k´et oldal meghosszabb´ıt´as´an tal´alhat´o ´es fenn´all a (2) ¨osszef¨ ugg´es, akkor az AA0 , BB 0 ´es CC 0 egyenesek ¨ osszefut´oak vagy p´arhuzamosak. 47. Legyen ABCDEF egy teljes n´egysz¨og (ABCD n´egysz¨og ´es AB ∩ CD = {E}, AD ∩ BC = {F }). Igazoljuk, hogy az AC, BD ´es EF ´atl´ok felez˝opontjai kolline´arisak (Gauss-Newton egyenes)! 48. (Pappusz t´etele) Legyen a, b k´et metsz˝o egyenes ´es A1 , A2 , A3 ∈ a, B1 , B2 , B3 ∈ b. Igazoljuk, hogy a {C1 } = A2 B3 ∩ A3 B2 , {C2 } = A1 B3 ∩ A3 B1 ´es {C3 } = A1 B2 ∩ A2 B1 pontok kolline´ arisak! 49. Legyen ABCD egy paralelogramma ´es legyen P ∈ (AB), Q ∈ (BC), R ∈ (CD) ´es S ∈ (DA) u ´gy, hogy P R||AD, QS||AB. Igazoljuk, hogy a P Q ´es RS egyenesek vagy p´arhuzmosak az AC ´ atl´ oval vagy a metsz´espontjuk az AC ´atl´on tal´alhat´o!
28
Analitikus m´ertan s´ıkban
4. fejezet
K´ upszeletek 4.1.
K¨ or
´ 1. a) Adott a C : x2 + y 2 + 4x − 2y − 20 = 0 k¨or ´es a P (3, 1) pont. Allap´ ıtsuk meg, hogy a P pont a C k¨ or belsej´eben van-e. b)Mi a felt´etele annak, hogy egy M (a, b) pont a C : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 k¨or bels˝o illetve k¨ uls˝ o pontja legyen? 2. ´Irjuk fel annak a k¨ ornek az egyenlet´et, amely ´athalad az A, B pontokon ´es k¨oz´eppontja rajta van a d egyenesen, ha a) A(4, 1), B(0, −3), d : x − 2y − 4 = 0; b) A(1, 2), B(4,-3), d : 3x − y − 19 = 0. 1 2 ) + (y − 2 14 )2 = E: a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 8; b) (x − 7 12
2669 72 .
3. ´Irjuk fel a C k¨ or P pontj´ aba szerkesztett ´erint˝o egyenlet´et, ha a) C : x2 + y 2 = 5, P (1, −2); b) C : x2 + y 2 + 2x − 6y − 15 = 0, P (3, 6).
E: a) x − 2y − 5 = 0; b) 4x + 3y − 30 = 0.
4. Adott a C k¨ or ´es a d egyenes. ´Irjuk fel az adott egyenessel p´arhuzamos k¨or´erint˝ok egyenlet´et, ha a) C : x2 + y 2 − 13 = 0, d : 4x + 6y − 5 = 0; b) C : x2 + y 2 + 2x − 4y − 20 = 0, d : 3x + 4y = 0. E: a) e1 : 2x + 3y + 13 = 0, e2 : 2x + 3y − 13 = 0; b) e1 : 3x + 4y + 20 = 0, e2 : 3x + 4y − 30 = 0. 5. Adott a C k¨ or ´es a d egyenes. ´Irjuk fel az adott egyenesre mer˝oleges k¨or´erint˝ok egyenlet´et, ha a) C : x2 + y 2 + 5x = 0, d : 4x − 3y + 7 = 0; b) C : x2 + y 2 − 12x − 8y + 47 = 0, d : x + 2y − 4 = 0. E: a) e1 : 3x + 4y + 20 = 0, e2 : 3x + 4y − 5 = 0; b) e1 : 2x − y − 3 = 0, e2 : 2x − y − 13 = 0. 6. ´Irjuk fel a P pontra illeszked˝ o, C k¨ort ´erint˝o egyenesek egyenlet´et, ha a) C : x2 + y 2 − 5 = 0, P (−1, 3); b) C : x2 + y 2 + 4x + 6y − 12 = 0, P (−3, 4). E: a) e1 : x + 2y − 5 = 0, e2 : 2x − y + 5 = 0; b) e1 : 3x + 4y − 7 = 0, e2 : 4x − 3y + 24 = 0. √ 7. Egy k¨ or k¨ oz´eppontja M0 (3, 6) ´es sugara r = 25 85. ´Irjuk fel a P (1, −2) pontb´ol a k¨orh¨oz h´ uzott ´erint˝ ok egyenleteit! E: 7x − 6y − 19 = 0, 9x + 2y − 5 = 0.
30
K´ upszeletek 8. ´Irjuk fel az M0 k¨ oz´eppont´ u d egyenest ´erint˝o k¨or egyenlet´et, ha a) M0 (4, 7), d : 3x − 4y + 1 = 0; b) M0 (6, 7), d : 5x − 12y − 24 = 0. E: a) x2 + y 2 − 8x − 14y + 56 = 0; b) x2 + y 2 − 12x − 14y + 49 = 0. 9. ´Irjuk fel annak a k¨ ornek az egyenlet´et, amely mindk´et koordin´atatengelyt ´erinti ´es ´athalad a P (4, 8) ponton. E: (x − 20)2 + (y − 20)2 = 400, (x − 4)2 + (y − 4)2 = 16.
10. Hat´ arozzuk meg annak a k¨ ornek az egyenlet´et, amely az Ox tengelyt a (0, 0) pontban ´erinti ´es ´ athalad a P (3, 6) ponton. E: x2 + y 2 − 15 2 y = 0. 11. ´Irjuk fel annak a k¨ ornek az egyenlet´et, amely a d : 4x + 3y − 27 = 0 egyenest a 3 abszcissz´aj´ u pontban ´erinti ´es ´ athalad a P (11, 5) ponton. E: (x − 7)2 + (y − 8)2 = 25. 12. Az r = 26 sugar´ u k¨ or a d : 5x − 12y + 30 = 0 egyenest az x = 6 abszcissz´aj´ u pontban ´erinti. ´Irjuk fel ennek a k¨ ornek az egyenlet´et! E: (x − 16)2 + (y + 19)2 = 262 , (x + 4)2 + (y − 29)2 = 262 . 13. ´Irjuk fel a koordin´ ata-tengelyek sz¨ogfelez˝oit ´erint˝o k¨or¨ok ´altal´anos egyenlet´et! E: (x + a)2 + y 2 =
a2 2 ,
x2 + (y + b)2 =
b2 2 ,
a, b ∈ R.
14. Egy egyenl˝ o sz´ ar´ u h´ aromsz¨ og cs´ ucspontja C(−6, −8), a be´ırt k¨or´enek egyenlete pedig x2 + 2 ´ y = 50. Irjuk fel az egyenl˝ o sz´ ar´ u h´aromsz¨og oldalegyeneseinek egyenleteit! √ E: AB : 3x + 4y − 29 2 = 0, BC : 7x + y + 50 = 0, AC : x − 7y − 50 = 0. 15. ´Irjuk fel a d1 , d2 , d3 egyeneseket ´erint˝o k¨or¨ok egyenleteit, ha a) d1 : y = 0, d2 : 3x − 4y + 12 = 0, d3 : 5x + 12y − 100 = 0; b) d1 : 3x − 4y = 0, d2 : 3x − 4y − 6 = 0, d3 : y − 1 = 0. 36 2 36 2 2 2 2 2 2 2 E: a) (x + 40 7 ) + (y − 7 ) = ( 7 ) , (x − 11) + (y + 45) = 45 , (x − 5) + (y − 3) = 9, 152 2 60 2 60 2 23 2 2 2 9 47 2 8 2 9 (x − 7 ) + (y − 7 ) = ( 7 ) ; b) (x − 15 ) + (y − 5 ) = 25 , (x − 15 ) + (y − 5 ) = 25 .
16. Adott h´ arom pont P, Q, R. ´Irjuk fel a h´arom ponton ´atmen˝o k¨or egyenlet´et, ha a) P (0, 0), Q(1, −1), R(8, 0); E: a)x2 + y 2 − 8x − 6y = 0; b) x2 + y 2 − 41x − 23y = 0.
b) P (0, 0), Q(2, 3), R(−1, 2).
4.2.
Ellipszis
y2 x2 17. Igazoljuk, hogy az 2 + 2 = 1 ellipszis ´atm´er˝oj´enek v´egpontjaiba szerkesztett ´erint˝ok a b ´ er˝ p´ arhuzamosak. (Atm´ onek nevezz¨ uk azt a h´ urt, amelyik ´athalad az ellipszis k¨oz´eppontj´an.) 18. ´Irjuk fel az ellipszis kanonikus egyenlet´et, ha a) nagytengelye 8 egys´eg, kistengelye 6 egys´eg; b) a = 4, c = 3; c) b = 24, c = 7; d) az ellipszis ´ athalad a P1 (10, 5), P2 (6, 13) pontokon; e) az ellipszis f´ okuszai F (3, 0), F 0 (−3, 0) ´es egy pontja P (4, E: a)
x2 16
+
y2 9
= 1; b)
x2 16
+
y2 7
= 1; c)
x2 625
+
y2 576
= 1; d)
12 ). 5 9x2 1000
+
y2 250
= 1; e)
x2 25
+
y2 16
= 1.
Ellipszis
31
x2 y2 + = 1 ellipszishez viszony´ıtva, ha 9 25 √ 10 2 a) P (1, 2); b) P(-1,3); c) P (2, 4); d) P (−1, ). 3
19. Hat´ arozzuk meg a P pont helyzet´et az E :
E: a), b) bels˝o pont; c) k¨ uls˝o pont; d) az ellipszis pontja. y2 x2 + = 1 ellipszis P (2, −3) pontba szerkesztett ´erint˝oj´enek egyenlet´et! 20. ´Irjuk fel az 16 12 E: x − 2y − 8 = 0. 21. H´ any ´erint˝ o h´ uzhat´ o a P (1, 1), Q(5, 1), R(4, 0) pontokb´ol az
x2 y2 + = 1 ellipszishez? 16 12 E: 0,2,1.
y2 x2 + = 1 ellipszis azon ´erint˝oinek az egyenlet´et, amelyek p´arhuzamosak a 22. ´Irjuk fel az 10 5 3x + 2y + 7 = 0 egyenessel! E: 3x + 2y ± √100 = 0. 110 23. ´Irjuk fel az x2 + 4y 2 = 20 ellipszis azon ´erint˝oinek az egyenlet´et, amelyek mer˝olegesek a 2x − 2y − 13 = 0 egyenesre! E: x + y = 5, x + y = −5. x2 y2 24. ´Irjuk fel az + = 1 ellipszis azon ´erint˝oinek az egyenlet´et, amelyek p´arhuzamosak a 30 24 4x − 2y + 23 = 0 egyenessel majd hat´arozzuk meg a k¨ozt¨ uk lev˝o t´avols´agot! E: 2x − y = ±12, d =
√ 24 5 5 .
25. Az A pontb´ ol ´erint˝ oket szerkeszt¨ unk az E ellipszishez. Hat´arozzuk meg az egyenleteiket, ha a) A(4, −1), E :
x2 y2 + = 1; 6 3
b) A(2, −1), E : x2 + 9y 2 = 9. E: a) x + y − 3 = 0, x − 5y − 9 = 0; b) y + 1 = 0, 4x − 5y − 13 = 0. x2 y 2 26. A B(10, −8) pontb´ ol ´erint˝ oket szerkeszt¨ unk az + = 1 ellipszishez. Hat´arozzuk meg az 25 16 ´erintkez´esi pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o h´ ur egyenlet´et! E: 4x − 5y − 10 = 0. 27. Egy ellipszis, amelynek szimmetriatengelyei a koordin´atatengelyek, ´athalad az A(4, −1) ponton ´es ´erinti az x + 4y − 10 = 0 egyenest. Hat´arozzuk meg az ellipszis egyenlet´et! E: 5x2 + 4y 2 = 20, 5x2 + 256y 2 = 320. 28. Hat´ arozzuk meg annak az ellipszisnek az egyenlet´et, amely ´erinti a 3x − 2y − 20 = 0 ´es x + 6y − 20 = 0 egyenlettel megadott egyeneseket ´es szimmetriatengelyei a koordin´atatengelyek. E: x2 + 4y 2 = 40. 29. Igazoljuk, hogy egy ellipszis f´ okuszainak egy tetsz˝oleges ´erint˝ot˝ol m´ert t´avols´againak szorzata alland´ ´ o. 30. Adott az x2 + y 2 − 4 = 0 egyenlet˝ u k¨or ´es az A(−1, 0), B(3, 0) pontok. Egy tetsz˝oleges O ponton ´ athalad´ o egyenes metszi a k¨ort a P ´es Q pontokban. Hat´arozzuk meg az AP ´es BQ egyenesek M metsz´espontj´ anak m´ertani hely´et.
32
K´ upszeletek
4.3.
Hiperbola
31. Hat´ arozzuk meg annak a hiperbol´anak az egyenlet´et, amelynek f´okuszai az Ox tengelyen vannak, szimetrikusak az orig´ ora n´ezzve ´es teljes´ıtik az al´abbi felt´etelek k¨oz¨ ul az egyiket: 1) a tengelyeket a 2a = 10 ´es 2b = 8 egyenl˝os´egek hat´arozz´ak meg; 2) a f´ okuszt´ avols´ ag 2c = 6 ´es a numerikus excentricit´as ε = 23 ; 3) az aszimptot´ ak egyenletei y = ± 34 x ´es a f´okuszt´avols´ag 2c = 20. 32. Adott a 16x2 − 9y 2 = 144 hiperbola. Hat´arozzuk meg : 1) f´ okuszokat, 2) az aszimptot´ ak egyenleteit. √ x2 y 2 − = 1 hiperbola A(2, 0) ´es B(2 2, 3) pontokba szerkesztett ´erint˝oi 33. Hat´ arozzuk meg a 4 9 ´es a 9x + 2y − 24 = 0 egyenes ´ altal meghat´arozott h´aromsz¨og ter¨ ulet´et. √ E: 6(2 − 2). x2 y2 + = 1 ellipszis f´okuszaival. Hat´arozzuk meg a 25 16 y2 x2 hiperbola egyenlet´et, ha numerikus excentricit´asa 2. E: 9 − 27 = 1.
34. Egy hiperbola f´ okuszai egybeesnek az
4
4
x2 y2 − 2 = 1 hiperbola tetsz˝oleges pontj´anak az aszimptot´akt´ol vett 2 a b a2 b2 t´ avols´ agait ¨ osszeszorozva ´ alland´ o ´ert´eket kapunk ´es ez az ´alland´o 2 . a + b2
35. Igazoljuk, hogy az
x2 y2 36. Igazoljuk, hogy annak a paralelogramm´anak a ter¨ ulete, amelyet az 2 − 2 = 1 hipera b bola asszimptot´ ai ´es a hiperbola tetsz˝oleges pontj´an ´at a hiperbola asszimptot´aival h´ uzott ab p´ arhuzamos egyenesek alkotnak a´lland´o ´es egyenl˝o -vel! 2 x2 y2 37. ´Irjuk fel az − = 1 hiperbola azon ´erint˝oinek az egyenleteit, amelyek mer˝olegesek a 20 5 4x + 3y − 7 = 0 egyenesre. E: 3x − 4y = ±10. x2 y 2 38. ´Irjuk fel az − = 1 hiperbola azon ´erint˝oinek az egyenleteit, amelyek p´arhuzamosak az 16 64 10x − 3y + 9 = 0 egyenessel. E: 10x + 3y = ±32. √ 39. Egy hiperbola ´ athalad az A( 6, 3) ponton ´es ´erinti a 9x + 2y − 15 = 0 egyenest. Hat´arozzuk meg a hiperbola egyenlet´et, tudva, hogy szimmetriatengelyei a koordin´atatengelyek. E:
3x2 10
−
4y 2 45
2
= 1, x5 −
y2 45
= 1.
40. Az A pontb´ ol ´erint˝ oket szerkeszt¨ unk az H hiperbol´ahoz. Hat´arozzuk meg az egyenleteiket, ha x2 y2 a) A(2, 1), H : − = 1; 9 8 y2 b) A(1, 4), H : x2 − = 1. 4 E: a) x − y − 1 = 0, 9x + 5y − 23 = 0; b) x − 1 = 0, 5x − 2y + 3 = 0. x2 y 2 − = 1 hiperbola f´okuszai t´avols´againak szorzata a hiperbola b´armely a2 b2 ´erint˝ oj´et˝ ol ugyanannyi, ´espedig b2 .
41. Igazoljuk, hogy az
Parabola
33
42. Legyen H az x2 − y 2 = a2 egyenlet˝ u hiperbola. A H hiperbola egy tetsz˝oleges M pontj´anak vet¨ ulet´et az Ox tengelyre jel¨ oljuk P -vel. A P pontb´ol h´ uzunk egy ´erint˝ot ahhoz a k¨orh¨oz, amelynek ´ atm´er˝ oj´et a hiperbola cs´ ucsai hat´arozz´ak meg. Ha jel¨oljuk az ´erintkez´esi pontot T -vel, akkor igazoljuk, hogy az M P ´es P T szakaszok hossza megegyezik. 43. Legyen M (α, β) egy tetsz˝ oleges v´ atoz´o pont az M∈ / Ox. a) ´Irjuk fel az OM egyenes egyenlet´et!
x2 y2 − = 1 hiperbol´an. Fel´etelezz¨ uk, hogy 9 4
b) Legyen N az M pont vet¨ ulete az Ox tengelyre. ´Irjuk fel annak a d egyenesnek az egyenlet´et, amelyik ´ atmegy az N ponton ´es p´arhuzamos az OM egyenessel. c) Legyen P a d egyenes metsz´espontja az M ponton kereszt¨ ul az Ox tengellyel h´ uzott p´ arhuzamosssal. Hat´ arozzuk meg a P pont m´ertani hely´et. y2 x2 − = 1 egyenlet˝ u hiperbola az F1 ´es F2 f´okuszokkal ´es O k¨oz´epponttal. Ha a2 b2 M a hiperbola egy tetsz˝ oleges pontja, akkor igazoljuk, hogy OM 2 − M F1 · M F2 = a2 − b2 .
44. Adott az
4.4.
Parabola
45. Hat´ arozzuk meg annak a parabol´ anak az egyenlet´et, amelynek cs´ ucsa az orig´o, szimmetriatengelye az Ox tengely ´es ´ athalad az A(9, 6) ponton. E:y 2 = 4x. 46. Hat´ arozzuk meg az y 2 = 12x parabola azon ´erint˝oj´enek az egyenlet´et, amely p´arhuzamos a 3x − 2y + 30 = 0 egyenessel ´es sz´ am´ıtsuk ki az adott egyenes ´es ezen ´erint˝o k¨ozti t´avols´agot. √ E: 3x − 2y + 4 = 0,d = 2 13. 47. Hat´ arozzuk meg az y 2 = 64x parabola azon M pontj´at, amely a legk¨ozelebb tal´alhat´o a 4x + 3y − 14 = 0 egyeneshez ´es hat´arozzuk meg az M pont t´avols´ag´at ett˝ol az egyenest˝ol. E: M ( 49 , −24). 48. Az A(5, 9) pontb´ ol ´ertint˝ oket szerkeszt¨ unk az y 2 = 5x parabol´ahoz. Hat´arozzuk meg √ azon h´ ur egyenlet´et, amely ´ athalad az ´erint´esi pontokon! E: 5x − 18y + 25 − 72 14 = 0. 49. Hat´ arozzuk meg azon pontok m´ertani hely´et a s´ıkb´ol, ahonnan egym´asra mer˝oleges ´erint˝oket tudunk h´ uzni az y 2 = 2px parabol´ahoz! E: A parabola vez´eregyenese. 50. Az y 2 = 2px egyenlet˝ u parabol´ an felvessz¨ uk az A, B, C egym´ast´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontokat. A parabol´ ahoz az A, B, C pontokban szerkesztett ´erint˝ok meghat´aroznak egy A0 B 0 C 0 h´aromsz¨oget. Igazoljuk, hogy a) az az egyenes, amely ¨ osszek¨ oti az ABC ´es A0 B 0 C 0 h´aromsz¨ogek s´ ulypontjait p´arhuzamos az Ox tengellyel; b) a h´ aromsz¨ ogek ter¨ uletei k¨ ozt fenn´all a TABC = 2TA0 B 0 C 0 ¨osszef¨ ugg´es. 51. Adottak az y 2 = 2px ´es y 2 = 2qx egyenlet˝ u parabol´ak (0 < q < p). A m´asodik parabol´ahoz szerkesztett tetsz˝ oleges ´erint˝ o metszi az els˝o parabol´at az M1 ´es M2 pontokban. Hat´arozzuk meg az M1 M2 szakasz felez˝ opontjainak m´ertani hely´et! E: Egy parabola, amely az adott parabol´ ak k¨ ozt helyezkedik el.
34
K´ upszeletek
5. fejezet
Geometriai transzform´ aci´ ok 5.1.
S´ıkizometr´ ak
1. Legyen d egy egyenes ´es legyen A, B k´et pont a d egyenes ugyanazon az oldal´an. Hat´arozzuk meg az M helyzet´et a d egyenesen u ´gy, hogy az AM + M B ¨osszeg minim´alis legyen! 2. Legyen C egy pont AOB sz¨ og belsej´eben. Hat´arozzuk meg a P ∈ (OA ´es Q ∈ (OB pontok helyzet´et u ´gy, hogy a CP Q h´ aromsz¨ og ker¨ ulete minim´alis legyen! 3. Az ABC hegyessz¨ og˝ u h´ aromsz¨ ogbe ´ırjunk be egy minim´alis ker¨ ulet˝ u h´aromsz¨oget! 4. Legyen M, N k´et goly´ o az ABCD bili´ardasztalon. Hogyan kell az M goly´ot meg¨ utni ahhoz, hogy sorra ´erintve az AB, BC, CD ´es DA falakat meg¨ usse az N goly´ot! 5. Tekints¨ uk az ABC tetsz˝ oleges sz¨ oget ´es legyen O egy tetsz˝oleges pont a sz¨og belsej´eben. Az O ban r¨ ogz´ıtett v´ altoz´ o d egyenes az AB ´es BC egyeneseket az M ´es N pontokban metszi. Igazoljuk, hogy az M BN h´ aromsz¨ og ter¨ ulete akkor ´es csak akkor minim´alis, ha BO az M BN h´aromsz¨ogben oldalfelez˝ o! Szerkessz¨ uk meg a d egyenest ebben az esetben! 6. Bivalyr¨ ocs¨ og´et B¨ ol´enyfalv´ at´ ol k´et foly´o v´alasztja el. A helyi hagyom´anyoknak megfelel˝oen a Bivalyr¨ ocs¨ oge ”Futkosi” nev˝ u focicsapata ¨ossze szokta m´erni erej´et a B¨ol´enyfalva ”D¨ong¨ol˝o” nev˝ u csapat´ aval. Igen ´ am, de futballp´ alya csak Bivalyr¨ocs¨og´en van, a b¨ol´enyfalviak pedig szeretn´enek ´ep´ıteni k´et hidat a foly´ ok felett, hogy min´el r¨ovidebb u ´ton eljussanak Bivalyr¨ocs¨og´ere a meccsre. Hogyan tudn´ atok nekik seg´ıteni? (Felt´etelezz¨ uk, hogy a foly´ok partjai p´arhuzamos egyenesek ´es a hidak mer˝ olegesek a partokra.) 7. Egy egyenes metszi az ABCD paralelogramma AB, AD ´es AC oldalait az E, F, G pontokban AE 1 AF 1 AG 1 u ´gy, hogy = , = Mutassuk ki, hogy = . AB 3 AD 4 AC 7 8. Legyen E egy F1 , F2 f´ okuszpont´ u ellipszis ´es M egy pont az ellipszisen. Mutassuk ki, hogy az ellipszishez az M pontba h´ uzott ´erint˝ o ugyanakkora sz¨ogeket z´ar be az M F1 , M F2 egyenesekkel! 9. Legyen C(O, R) egy k¨ or ´es legyen A, B ∈ C(O, R) k´et r¨ogz´ıtett pont. Hat´arozzuk meg az ABC h´ aromsz¨ og ortocentrum´ anak m´ertani hely´et, ahol C egy v´altoz´o pont a C(O, R) k¨or¨on! 10. Szerkessz¨ unk egy trap´ezt adott hossz´ us´ag´ u oldalakkal! 11. Legyen ABC egy egyenl˝ o oldal´ u h´ aromsz¨og ´es M egy tetsz˝oleges pont a s´ıkban. a) Igazoljuk, hogy ha az M pont nincs rajta az ABC h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or¨on, akkor az M A, M B, M C szakaszokkal egy h´ aromsz¨oget lehet alkotni!
36
Geometriai transzform´ aci´ ok
b) Mi t¨ ort´enik, ha ha az M pont rajta van az ABC h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or¨on? Ebben az esetben milyen kapcsolat van a h´ aromsz¨og oldalai k¨oz¨ott? 12. Egy ABC h´ aromsz¨ og k¨ ulsej´eben megszerkesztj¨ uk az ABC1 , BCA1 , CAB1 egyenl˝o oldal´ u h´ aromsz¨ ogeket. Mutassuk ki, hogy: a) AA1 = BB1 = CC1 ; b) Az AA1 , BB1 , CC1 szakaszok egy T pontban metszik egym´ast (Toricelli f´ele pont); c) Az ABC1 , BCA1 , CAB1 h´ aromsz¨ogek k¨or´e ´ırt k¨or¨ok a T pontban metszik egym´ast; d) T A1 = T B + T C, T B1 = T A + T C, T C1 = T A + T B; e) T = {M : M A + M B + M C minim´alis }. 13. Egy ABC h´ aromsz¨ og oldalaira megszerkesztj¨ uk az ABM ´es ACN egyenl˝o oldal´ u h´aromsz¨ogeket u ´gy, hogy az ABM az ABC k¨ ulsej´eben legyen, az ACN pedig az AC egyenes azon oldal´an, melyen az ABC helyezkedik el. Mutassuk ki, hogy M N =BC! 14. Legyen a, b, c h´ arom p´ arhuzamos egyenes. Szerkessz¨ uk meg az ABC egyenl˝o oldal´ u h´aromsz¨oget u ´gy, hogy A ∈ a, B ∈ b, C ∈ c! 15. Legyen C1 , C2 , C3 h´ arom koncentrikus k¨or, melyeknek sugarai r1 < r2 < r3 . Szerkessz¨ unk egy egyenl˝ o oldal´ u h´ aromsz¨ oget u ´gy, hogy A ∈ C1 , B ∈ C2 , C ∈ C3 ! T´argyal´as. 16. Legyenek A0 , B 0 , C 0 , D0 egy ABCD n´egyzet BC, CD, DA, AB oldalainak felez˝opontjai. Mutassuk ki, hogy az AA0 , BB 0 , CC 0 , DD0 egyenesek metsz´es´evel kapott n´egysz¨og n´egyzet! 17. Legyen ABC egy egyenl˝ o oldal´ u h´ aromsz¨og ´es P egy pont a h´aromsz¨og belsej´eben u ´gy, hogy \ m(AP N ) = 150◦ . Mutassuk ki, hogy az AP, BP, CP szakaszok egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og oldalai!
5.2.
Izometri´ ak ´ es sk´ al´ az´ as s´ıkban
1. Alkalmazzunk egy ~v (−2, −1) vektorral val´o eltol´ast az ABCD n´egysz¨ogre, ahol A(3, 2), B(5, 2), C(4, 4) ´es D(3, 4). 2. Hat´ arozzuk meg annak a geometriai transzform´aci´onak az egyenlet´et, amely az orig´o k¨or¨ ul 3π/2 sz¨ oggel val´ o forgat´ ast ´es ezt k¨ ovet˝ oen egy sk´al´az´ast jelent az Ox tengely ment´en 3 faktorral ´es az Oy tengely ment´en 2 faktorral. 3. Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝ o feladatban szerepl˝o transzform´aci´ok egyenlet´et azzal a k¨ ul¨onbs´eggel, hogy most el˝ osz¨ or a sk´ al´ az´ ast v´egezz¨ uk el, majd ut´ana a forgat´ast. Ugyanazt a m´atrixot kapjuk? 4. Hat´ arozzuk meg annak a geometriai transzform´aci´onak az egyenlet´et, amely az orig´o k¨or¨ ul π sz¨ oggel val´ o forgat´ ast ´es ezt k¨ ovet˝ oen egy sk´al´az´ast jelent az Ox tengely ment´en 0.5 faktorral ´es az Oy tengely ment´en 4 faktorral. 5. Hat´ arozzuk meg annak a geometriai transzform´aci´onak az egyenlet´et, amely egy eltol´ast jelent az Ox tengely ir´ any´ aban 4 egys´eggel ´es ezt k¨ovet˝oen egy −π/2 sz¨oggel val´o forgat´ast a C(2, 3) pont k¨ or¨ ul. 6. Hat´ arozzuk meg a C(1, 2) pont k¨ or¨ uli 45◦ -os sz¨oggel val´o forgat´as egyenlet´et! 7. Hat´ arozzuk meg Rot(−π/3) · T (−2, 5) m´atrix´anak inverz´et. 8. Vizsg´ aljuk meg, hogy egy orig´ o k¨ or¨ uli forgat´ast majd ezt k¨ovet˝oen egy ~v vektorral val´o eltol´ast v´egezve ugyanarra az eredm´enyre jutunk-e, mintha el˝osz¨or a ~v vektorral val´o eltol´ast, majd ut´ana ugyanazt a forgat´ ast v´egezn´enk el.
Izometri´ ak ´es sk´ al´ az´ as t´erben
37
9. Igazoljuk, hogy egy P (x0 , y0 ) pont k¨or¨ uli θ sz¨oggel val´o forgat´as ¨osszet´etele egy Q(x1 , y1 ) pont k¨ or¨ uli (−θ) sz¨ oggel t¨ ort´en˝ o forgat´ assal (Q 6= P ) ekvivalens egy transzl´aci´oval. Hat´arozzuk meg a transzl´ aci´ o egyenlet´et! 10. Hat´ arozzuk meg a d : 5x − 2y + 8 = 0 egyenes szerinti t¨ ukr¨oz´es egyenlet´et, majd alkalmazzuk ezt a transzform´ aci´ ot az ABC h´ aromsz¨ogre, ahol A(1, 1), B(−1, 0) ´es C(2, 2). 11. Legyen d egy egyenes ´es legyen A, B k´et pont a d egyenes ugyanazon az oldal´an. Hat´arozzuk meg az M helyzet´et a d egyenesen u ´gy, hogy az AM + M B ¨osszeg minim´alis legyen! 12. Legyen C egy pont AOB sz¨ og belsej´eben. Hat´arozzuk meg a P ∈ (OA ´es Q ∈ (OB pontok helyzet´et u ´gy, hogy a CP Q h´ aromsz¨ og ker¨ ulete minim´alis legyen! 13. Legyen M, N k´et goly´ o az ABCD bili´ardasztalon. Hogyan kell az M goly´ot meg¨ utni ahhoz, hogy sorra ´erintve az AB, BC, CD ´es DA falakat meg¨ usse az N goly´ot! 14. Egy f´enysug´ ar indul az A(−1, 4) pontb´ol, majd a d : y = −x + 1 egyenesr˝ol val´o visszaver˝od´es ut´ an ´ athalad a B(3, 0) ponton. Hat´ arozzuk meg: a) azt az I pontot, ahol a f´enysug´ ar meg¨ utk¨ozik a d egyenesen; b) a bees´esi sz¨ oget m´ert´ek´et; c) a visszavert sugarat tartalmaz´ o egyenes egyenlet´et.
5.3.
Izometri´ ak ´ es sk´ al´ az´ as t´ erben
15. Hat´ arozzuk meg annak a geometriai transzform´aci´onak a, amely π/6 sz¨oggel val´o forgat´ast jelent az Oy tengely k¨ or¨ ul, amelyet egy T (1, −1, 2) eltol´as k¨ovet! 16. ´Irjuk fel annak a geometriai transzform´aci´onak a m´atrix´at, amely S(2, 3, 2) sk´al´az´ast jelent, amelyet egy π/2 sz¨ oggel val´ o forgat´ as k¨ ovet az Ox tengely k¨or¨ ul! Alkalmazzuk ezt a transzform´aci´ot arra az ABCDA0 B 0 C 0 D0 kock´ ara, amelynek h´arom cs´ ucsa: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0). Mi lesz a kapott test ´es melyek a cs´ ucsainak koordin´at´ai? 17. Hat´ arozzuk meg P (2, 1, 2) ´es Q(8, 3, 5) pontok ´altal meghat´arozott egyenes k¨or¨ ul 5π/6 sz¨oggel val´ o forgat´ as m´ atrix´ at! 18. Hat´ arozzuk meg P (2, 1, 5) ´es Q(4, 7, 2) pontok ´altal meghat´arozott egyenes k¨or¨ ul π/4 sz¨oggel val´ o forgat´ as m´ atrix´ at! 19. ´Irjuk fel az z = 3 s´ık szerinti t¨ ukr¨ oz´es matrix´at! 20. Hat´ arozzuk meg a α : 2x − y + 2z − 2 = 0 s´ık szerinti t¨ ukr¨oz´es m´atrix´at! 21. Legyen az O(0, 0, 0) pontban egy f´enyforr´as. Egy O pontb´ol kiindul´o f´enysug´ar r´aesik az x + 2y + 3z − 11 = 0 egyenlet˝ u t¨ uk¨ or fel¨ ulet´ere. A f´enysug´ar p´arhuzamos a ~v (2, 3, 1) vektorral. Hat´ arozzuk meg: a) azt az I pontot, ahol a fenysug´ ar meg¨ utk¨ozik a t¨ ukr¨on; b) a bees´esi sz¨ oget; c) a visszavert sugarat tartalmaz´ o egyenes egyenlet´et. y−3 z−1 M: I(2, 3, 1); sin θ = 11/14; x−2 −3 = 1 = 26 .
38
5.4.
Geometriai transzform´ aci´ ok
Homot´ eti´ ak
1. Hat´ arozzuk meg azon h´ aromsz¨ ogek s´ ulypontjainak m´ertani hely´et, melyeknek van egy k¨oz¨os oldaluk ´es a harmadik cs´ ucspontjuk: a) egy d egyenesen mozog; b) le´ır egy C(O, r) k¨ ort. 2. Legyen A ´es B k´et egym´ ast´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o pont. Hat´arozzuk meg azon homot´eti´ak k¨oz´eppontjainak m´ertani hely´et, amelyek az A pontot a B-be viszik! 3. Legyen d ´es l k´et egym´ assal p´ arhuzamos egyenes. Hat´arozzuk meg azon homot´eti´ak k¨oz´eppontjainak m´ertani hely´et, amelyek a d egyenest az l egyenesbe viszik! 4. Legyen ABCD egy trap´ez, melynek alapjai [AB] ´es [CD], {M } = AD ∩ BC, {N } = AC ∩ BD. Igazoljuk, hogy a) az ABM ´es DCM h´ aromsz¨ og ek k¨or´e ´ırt k¨or¨ok ´erintik egym´ast; b) az ABN ´es DCN h´ aromsz¨ og ek k¨or´e ´ırt k¨or¨ok ´erintik egym´ast; c) a) az ABM ´es DCM h´ aromsz¨ og ek k¨or´e ´ırt k¨or¨ok sugarainak ar´anya ugyanannyi, mint az ABN ´es DCN h´ aromsz¨ og ek k¨ or´e ´ırt k¨or¨ok sugarainak ar´anya. 5. Igazoljuk, hogy az ABCD konvex n´egysz¨og akkor ´es csakis akkor trap´ez, ha fenn´all a 2|M N | = |AB| + |CD| egyenl˝ os´eg, ahol M illetve N az [AD] ´es [BC] oldalak felez˝opontjai. 6. Adott egy ABC h´ aromsz¨ og. Szerkessz¨ unk egy KLM N n´egyzetet u ´gy, hogy a K ´es L pontok a BC szakaszon helyezkedjenek el, az M ´es N pontok pedig az AB illetve az AC szakaszokon. 7. Legyen ABC tetsz˝ oleges h´ aromsz¨ og ´es d1 , d2 , d3 tetsz˝oleges p´aronk´ent metsz˝o egyenesek. ´Irjunk be az ABC h´ aromsz¨ ogbe egy olyan h´ aromsz¨oget, melynek oldalai p´arhuzamosak a d1 , d2 , d3 egyenesekkel. 8. Az ABC der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ ogben a BC ´atfog´o r¨ogz´ıtett ´es az A cs´ ucs v´altozik. Meghosszabb´ıtjuk a BA szakaszt [AD] ≡ [BA]-val ´es ¨osszek¨otj¨ uk a BC szakasz E felez˝opontj´at D-vel. Jel¨ olj¨ uk M -mel az ED ´es AC egyenesek metsz´espontj´at. Hat´arozzuk meg az M pont m´ertani hely´et. 9. Legyen O az ABC h´ aromsz¨ og k¨ or´e ´ırt k¨or k¨oz´eppontja, G a h´aromsz¨og s´ ulypontja, H pedig a magass´ agpontja. Ekkor a) az O, H, G pontok kolline´ arisak (Euler egyenes) ´es HG = 2GO; b) az ABC h´ aromsz¨ og oldalfelez˝ opontjai, a magass´agok talppontjai ´es a magass´agpontot a cs´ uccsal ¨ osszek¨ ot˝ o szakaszok felez˝ opontjai egy k¨or¨on vannak (9 pont k¨ore vagy Euler-k¨or), amelynek az ω k¨ oz´eppontja az OH szakasz felez˝ opontja ´es sugara egyenl˝o az ABC h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or sugar´ anak fel´evel. 10. Egy ABC h´ aromsz¨ og oldalaira h´arom hasonl´o, egyenl˝o sz´ar´ u h´aromsz¨oget szerkeszt¨ unk: AP B(AP = P B), AQC(AQ = QC) ´es BRC(BR = RC), amelyek k¨oz¨ ul az els˝o kett˝o az ABC h´ aromsz¨ og k¨ uls˝ o tartom´ any´ aban, a harmadik pedig a BC nek ugyanazon az oldal´an helyezkedik el, mint az ABC h´ aromsz¨ og. Igazoljuk, hogy AP QR paralelogramma. 11. Legyen C1 (O1 , r1 ), C2 (O2 , r2 ) ´s C3 (O3 , r3 ) h´arom k¨or, amelynek k¨oz´eppontjai nem kolline´arisak ´es sugarai nem egyenl˝ oek. Ekkor a k¨ or¨ok p´aronk´ent vett k¨ uls˝o (bels˝o) homot´etia k¨oz´eppontjai kolline´ arisak.
Inverzi´ ok
5.5.
39
Inverzi´ ok
1. (Ptolemaiosz els˝ o t´etele.) Egy k¨ orbe´ırhat´o n´egysz¨ogben az ´atl´ok szorzata egyenl˝o a szemk¨ozti oldalak szorzat´ anak ¨ osszeg´evel. 2. (Ptolemaiosz m´ asodik t´etele.) Legyen ABCD egy k¨orbe´ırhat´o n´egysz¨og. Akkor: AC AB · AD + CB · CD = . AB BA · BC + DA · DC 3. Legyen ABC egy h´ aromsz¨ og ´es M egy pont a BC oldalon. Mutassuk ki, hogy az ABC h´ aromsz¨ og akkor ´es csak akkor der´eksz¨ og˝ u A-ban, ha AB 2 · M C 2 + AC 2 · M B 2 = AM 2 · BC 2 . 4. Legyen ABC egy h´ aromsz¨ og ´es O illetve I a h´aromsz¨og k¨or´e illetve a h´aromsz¨ogbe ´ırt k¨or k¨ oz´eppontjai. Mutassuk ki, hogy OI 2 = R2 − 2Rr, ahol R ´es r a h´ aromsz¨ og k¨ or´e ´ırt illetve a h´aromsz¨ogbe ´ırt k¨or sugarai. 5. (Steiner t´etele.) Legyen ABC egy h´aromsz¨og, A1 ´es A2 k´et pont a BC egyenesen u ´gy, hogy 2 A B AB A B 2 1 \ \ · = . A 1 AB ≡ A1 AC . Igazoljuk, hogy A1 C A2 C AC 2 6. Egy ABC h´ aromsz¨ ogben legyenek AA1 , BB1 , CC1 oldalfelez˝ok ´es O a h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or k¨ oz´eppontja. Ekkor igazoljuk, hogy az AOA1 , BOB1 , COC1 h´aromsz¨ogek k¨or´e ´ırt k¨or¨oknek van egy O pontt´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o k¨ oz¨ os pontjuk. 7. (T ¸ it¸eica 5 lejes p´enz´erme feladata) H´arom R sugar´ u k¨or metszi egym´ast egy pontban ´es p´ aronk´ent metszik m´eg egym´ ast az A, B, C pontokban. Ekkor az ABC h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or sugara szint´en R! 8. Legyen ABC egy tetsz˝ oleges h´ aromsz¨og, I a h´aromsz¨ogbe ´ırt k¨or k¨oz´eppontja, A1 , B1 , C1 a be´ırt k¨ or ´erintkez´esi pontjai az ABC h´ aromsz¨og oldalaival. Igazoljuk, hogy az AIA1 , BIB1 , CIC1 h´ aromsz¨ ogek k¨ or´e ´ırt k¨ or¨ oknek van egy I pontt´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨oz¨os pontjuk. 9. Az ABC ´ as DBC egyenl˝ o oldal´ u, BC-re n´ezve szimmetrikus h´aromsz¨ogek. Ha a P pont rajta van a D k¨ oz´eppont´ u BD sugar´ u k¨ or¨ on, akkor P A2 = P B 2 + P C 2 . 10. Adott az ABC h´ aromsz¨ og ´es M egy pont a s´ıkban. Igazoljuk, hogy a h´aromsz¨og H ortocentrum´ ab´ ol az M A, M B, M C egyenesekre h´ uzott mer˝olegeseknek az BC, AC, AB oldalakkal val´o A1 , B1 , C1 metsz´espontjai egy egyenesen vannak, amely mer˝oleges a HM egyenesre! 11. Hat´ arozzuk meg annak az IH,k inverzi´onak a k hatv´any´at, amely ´altal egy ABC h´aromsz¨og k¨ or´e ´ırt k¨ or az ABC h´ aromsz¨ og Euler k¨ or´ebe transzform´al´odik, ahol H a h´aromsz¨og magass´agpontja. K¨ ovetkezm´eny: Azon C(O, R) k¨ orbe ´ırt h´aromsz¨ogeknek, amelyeknek megegyezik a magass´agpontjuk, meg fog egyezni az Euler k¨ or¨ uk ´es Euler egyenes¨ uk is! ´ Utmutat´ as. A k¨ ovetkez˝ o inverzi´ okat alkalmazhatjuk p´eld´aul: 1. IA,k ; 2. IA,k ; 4. II,r2 ; 5. IA,k ; 6. IO,R2 ; 7. II,OI 2 −R2 ; 8. II,r2 ; 9. IP,k ; 10. IH,k ; 11. |k| = 2|ρH |. Pont k¨ orre vonatkoz´ o hatv´ anya 12. Adott k´et koncentrikus k¨ or: C(O1 , R1 ) ´es C(O2 , R2 ). Hat´arozzuk meg azon pontok m´ertani hely´et, amelyeknek a k´et k¨ orre vontkoz´o hatv´anyuk egyenl˝o. (A kapott m´ertani helyet a k´et k¨ or
40
Geometriai transzform´ aci´ ok
hatv´ anytengely´enek nevezz¨ uk. Ez a tengely mer˝oleges az O1 O2 egyenesre ´es ´athalad a k´et k¨or metsz´espontjain (abban az estben, ha a k´et k¨or metszi egym´ast.)) 13. Legyen ABC egy h´ aromsz¨ og ´es C(O, R) egy olyan k¨or, amely metszi a BC oldalt az A1 , A2 pontokban, az AC oldalt B1 , B2 , az AB oldalt pedig a C1 , C2 pontokban. Igazoljuk, hogy ha az AA1 , BB1 ´es CC1 egyenesek ¨ osszefut´ ok, akkor az AA2 , BB2 ´es CC2 egyenesek is ¨osszefut´ok! Alkalmaz´ as. A C(O, R) k¨ ornek tekints¨ uk az ABC h´aromsz¨og Euler k¨or´et, az AA1 , BB1 , CC1 egyenesek legyenek a h´ aromsz¨ og oldalfelez˝oi ´es AA2 , BB2 , CC2 pedig a magass´agai. 14. Legyen ABC egy h´ aromsz¨ og , M egy tetsz˝oleges pont az ABC h´aromsz¨og s´ıkj´aban. Legyenek TA1 B1 C1 |ρM | , ahol = A1 , B1 illetve C1 az M pont vet¨ uletei a BC, AC, AB egyenesekre. Ekkor TABC 4R2 ρM az M pont hatv´ anya az ABC h´ aromsz¨og k¨or´e ´ırt C(O, R) k¨orre.
6. fejezet
M´ asodrend˝ u fel¨ uletek tanulm´ anyoz´ asa 6.1.
A g¨ omb
1. Mutassuk ki, hogy az (S1 ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 4z − 10 = 0 (S2 ) : 2x2 + 2y 2 + 2z 2 − 12x − 8y − 24z + 66 = 0 (S3 ) : 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 30x − 30y − 60z + 402 = 0 g¨ omb¨ ok sugarai egyenl˝ oek ´es k¨ oz´eppontjai kolline´arisak.
E: r = 4
2. ´Irjuk fel az O(0,0,0), A(4,0,0), B(0,6,0), C(2,1,1) pontokon ´atmen˝o g¨omb egyenlet´et, ´es mutassuk √ ki, hogy ´erinti a 2x + 3y − 4z − 58 = 0 s´ıkot. E: M0 (2, 3, −4), r = 29 3. ´Irjuk fel annak a g¨ ombnek az egyenlet´et, amelynek k¨oz´eppontja a P1 : 2x − y + z − 4 = 0 s´ıkban van ´es ´erinti a P2 : 4x + 3z − 29 = 0 s´ıkot a T (5, −2, 3) pontban. E: x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 25 2 =0 4.Adott a (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a) cs´ ucspontokkal rendelkez˝o tetra´eder (a val´os param´eter). Hat´ arozzuk meg a tetra´eder k¨ or´e ´ırt g¨omb k¨oz´eppontj´anak a m´ertani hely´et. 5. Hat´ arozzuk meg annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel´et, hogy az x2 +y 2 +z 2 −2ax−2by−2cz+d = 0 ´es az x2 + y 2 + z 2 − 2a0 x − 2b0 y − 2c0 z + d0 = 0 g¨omb¨ok metszete ez ut´obbi egyik f˝ok¨ore legyen. 6. Adottak az (S1 ) : x2 + y 2 + z 2 − 9 = 0, (S2 ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y + 4z = 0 g¨omb¨ok. Hat´arozzuk meg a k´et g¨ omb metszet´enek a k¨ oz´eppontj´at ´es sugar´at. √ E: O(1/2, 1, −1), r = 3 3/2 7. ´Irjuk fel az (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 2 g¨omb ´erint˝os´ıkjait az x = y − 1 = z egyenessel val´ o metsz´espontjaiban. 8. ´Irjuk fel az A(3, −2, 5), B(−1, 6, −3), C(1, −4, 1) pontokon ´atmen˝o k¨or egyenlet´et. 9. Adott az (S) : x2 + y 2 + z 2 − 6x + 2y − 2z − 5 = 0 g¨omb ´es a (P ) : 2x + y − 2z − 2 = 0 s´ık. a) Mutassuk ki, hogy a g¨ omb metszete a s´ıkkal egy val´os k¨or ´es hat´arozzuk meg a sugar´at. b) Hat´ arozzuk meg a g¨ omb (P ) s´ıkkal p´arhuzamos ´erint˝o s´ıkjainak az egyenlet´et. √ 143 25 10 11 E: O( 9 , 9 , 9 ); r = 3 ; b)2x + y − 2z + 9 = 0; 2x + y − 2z − 15 = 0.
42
M´ asodrend˝ u fel¨ uletek tanulm´ anyoz´ asa
8x − 11y + 8z − 30 = 0 egyenesen ´at k´et ´erint˝o s´ık fektethet˝o az x − y − 2z = 0 (S)x2 + y 2 + z 2 + 2x − 6y + 4z − 15 = 0 g¨ombh¨oz. Melyek ezek? E: 3x − 4y + 2z − 10 = 0; 2x − 3y + 4z − 10 = 0. 10. Igazoljuk, hogy a d :
6.2.
Ellipszoid, egy-, k´ etpal´ ast´ u hiperboloid, elliptikus, hiperbolikus paraboloid 2
x 16
11. Hat´ arozzuk meg az
2
y 12
+
+
2
z 4
x = 4 + 2t y = −6 − 3t egyenessel − 1 = 0 egyenlet˝ u ellipszoid az z = −2 − 2t
val´ o metsz´espontjait. 2
2
2
ulethez az M(2,3,1) pontban h´ uzott ´erint˝o s´ık egyenlet´et. 12. ´Irjuk fel az x4 + y9 − z1 = 0 fel¨ Mutassuk ki, hogy ez a s´ık ´erinti a fel¨ uletet k´et egyenesben ´es hat´arozzuk meg a k´et egyenes sz¨ og´et. 13. ´Irjuk fel azon s´ık egyenlet´et, mely p´arhuzamos az x − 3y + 2z − 1 = 0 s´ıkkal ´es ´erinti az 2 2 uletet; a) x5 + y3 = z fel¨ b) x2 −
y2 4
= 3z fel¨ uletet. 2
2
14. ´Irjuk fel az x2 + y4 = 9z elliptikus paraboloid ´erint˝o s´ıkjainak egyenlet´et azokban a pontokban amelyekben a d : x = y = z egyenes metszi a paraboloidot. E: z = 0; 4x + 2y − 3z − 36 = 0 15. Hat´ arozzuk meg a √ 4x2 − 9y 2 = 36z hiperbolikus paraboloid azon egyenes alkot´oit melyek: a) ´ atmennek a P (3 2, 2, 1) ponton; b) p´ arhuzamosak a 3x + 2y − 4z = 0 s´ıkkal. 16. ´Irjuk fel az s´ıkkal.
2
y x2 36 + 9
2
− z4 = 1 fel¨ ulet azon egyenes alkot´oit, amelyek p´arhuzamosak az x+y+z = 0
17. Hat´ arozzuk meg az x2 − y 2 = z nyeregfel¨ ulet azon pontjainak a m´ertani hely´et melyben a fel¨ ulethez h´ uzott norm´ alis az Oz tengellyel egy ´alland´o sz¨oget z´ar be. 2
2
18. Hat´ arozzuk meg az x2 − y4 − z9 = 1 egypal´ast´ u hiperboloid V (2, 1, 1) cs´ ucspont´ u ´erint˝o k´ upj´at. 19. Hat´ arozzuk meg az x2 + 2
y2 4
−
z2 9
= 1 ellipszoid V (1, 2, 1) cs´ ucspont´ u ´erint˝o k´ upj´at.
2
20. ´Irjuk fel az x16 − y4 = z egyenlet˝ u paraboloid azon egyenes alkot´oinak egyenleteit, melyek p´ arhuzamosak a 3x + 2y − 4z = 0 s´ıkkal. 21. ´Irjuk fel egy kvadratikus fel¨ ulet egyenlet´et, ha ismerj¨ uk alkot´oinak az egyenleteit: y=0 x=y x=0 d1 : d : d : . z=0 2 z=1 3 z=2 E: xz + yz − 2y = 0. 22. Hat´ arozzuk meg az
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
− 1 = 0, a > b > c, egyenlet˝ u ellipszoid k¨ormetszeteit.
23. Hat´ arozzuk meg az
x2 25
+
y2 9
+
z2 4
− 1 = 0 egyenlet˝ u ellipszoid k¨ormetszeteit.
Ellipszoid, egy-, k´etpal´ ast´ u hiperboloid, elliptikus, hiperbolikus paraboloid 24. Hat´ arozzuk meg az
x2 9
+
y2 25
43
= z elliptikus paraboloid k¨ormetszteit!
25. Hat´ arozzuk meg az x2 + 2y 2 − 8z 2 − 4 = 0 egypal´ast´ u hiperboloid azon k¨ormetszteit, amelyek atmennek az A(2,3,1) ponton. ´ 26. Hat´ arozzuk meg az x2 + 2y 2 − 8z 2 + 4 = 0 k´etpal´ast´ u hiperboloid azon k¨ormetszteit, amelyek atmennek az A(6,4,3) ponton. ´ 2
2
2
27. Hat´ arozzuk meg az xa2 + yb2 + zc2 − 1 = 0, a > b > c > 0, egyenlet˝ u ellipszoid azon M0 pontj´at, amelyben az ellipszoidhoz szerkesztett ´erint˝os´ık a koordin´ata tengelyeken egyenl˝o hossz´ us´ag´ u szakaszokat hat´ aroz meg. 2
2
2
u ellipszoid azon pontjait, 28. Hat´ arozzuk meg az xa2 + yb2 + zc2 − 1 = 0, a > b > c > 0, egyenlet˝ amelyben az ellipszoidhoz szerkesztett norm´alis metszi az Oz tengelyt. 2
2
29. Hat´ arozzuk meg ay2 − zb2 = x fel¨ ulet azon pontjainak m´ertani hely´et, amelyeken kereszt¨ ul egym´ asra mer˝ oleges egyenes alkot´ ok haladnak ´at! 30. Hat´ arozzuk meg a legkisebb t´ avols´ agot az x2 +3y 2 = 12z elliptikus paraboloid ´es az x−y−2z = 0 s´ık k¨ ozt. 31. Hat´ arozzuk meg azon pontok m´ertani hely´et a t´erb˝ol, amelyeknek az F1 (3, 0, 0) ´es F2 (−3, 0, 0) pontokt´ ol vett t´ avols´ againak k¨ ul¨ onbs´ege 4.
44
M´ asodrend˝ u fel¨ uletek tanulm´ anyoz´ asa
7. fejezet
Fel¨ uletek sz´ armaztat´ asa 7.1.
Hengerfel¨ ulet
1. Adjuk meg annak a hengernek az egyenlet´et, melynek alkot´oi p´arhuzamosak az x − y = 0, y − z = 0 egyenessel ´es az xyz = 1, y + z = 3 g¨orb´ere t´amaszkodik! 2. Hat´ arozzuk meg annak a hengernek az egyenlet´et, amelyik a (C) : x+y +z = 0, x2 +y 2 +z 2 = 4 k¨ orre t´ amaszkodik ´es alkot´ oi p´ arhuzamosak a ~v (1, 2, −1) vektorral! 3. Hat´ arozzuk meg annak a hengernek az egyenlet´et, melynek alkot´oi mer˝olegesek a π : x − 4y + 3z − 26 = 0 s´ıkra ´es az x2 − 2y 2 − z 2 − 9 = 0, z = 3 g¨orb´ere t´amaszkodnak! 4. ´Irjuk fel azon hengerfel¨ uletek egyenleteit, amelyek alkot´oi p´arhuzamosak az Oz tengellyel, vez´erg¨ orb´eik pedig x2 + y 2 − 3x + 2y − 1 = 0 a) az k¨or z=0 2 x − x + 2y − 1 = 0 b) az parabola. z=0 5. Egy v´ altoz´ o (G) egyenes a t´erben v´egig p´arhuzamos marad a (e) : x = y = z egyenessel u ´gy, hogy t´ avols´ aga az A(3, 0, 0) fix pontt´ ol nem v´altozik. Hat´arozzuk meg a (G) egyenes ´altal gener´alt fel¨ ulet egyenlet´et. 6. Hat´ arozzuk meg annak a hengerfel¨ uletnek az egyenlet´et, amelynek alkot´oja p´arhuzamos az e: x − 3z = 0, y + 2z = 0 egyenessel ´es ´erinti a 4x2 + 3y 2 + 2z 2 − 1 = 0 fel¨ uletet! 7.Hat´ arozzuk meg annak a forg´ asi hengernek az egyenlet´et, amely ´athalad az orig´on ´es a tengely´enek egyenlete d : 2x − z − 2 = 0, x − 2y − z − 3 = 0. 8. Hat´ arozzuk meg annak az R sugar´ u forg´asi hengernek az egyenlet´et, amelynk forg´asi tengelye y−2 z−3 d : x−1 = = . 1 2 3
7.2.
K´ upfel¨ ulet
9. Hat´ arozzuk meg annak a k´ upnak az egyenlet´et, melynek cs´ ucspontja V (1, 1, 1) ´es alkot´oi a (C) : (x2 + y 2 )2 − xy = 0, z = 0 g¨ orb´ere t´amaszkodnak! 10. Hat´ arozzuk meg annak a k´ upfel¨ uletnek az egyenlet´et, melynek cs´ ucspontja V (0, 0, h) ´es alkot´oi a (C) :(x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ), z = 0 lemniszk´at´ara t´amaszkodnak!
46
Fel¨ uletek sz´ armaztat´ asa
11. Hat´ arozzuk meg annak a k´ upfel¨ uletnek az egyenlet´et, melynek cs´ ucspontja V (0, 0, −3) ´es y2 x2 alkot´ oi a ´erintik a Pe : 9 + 4 = 2z paraboloidot! 12. Hat´ arozzuk meg annak a V (0, 0, 0) cs´ ucspont´ u k´ upnak az egyenlet´et, amelyik a (C) : x = a cos t, y = a sin t, z = kt g¨ orb´ere t´ amaszkodik! 13. Hat´ arozzuk meg az orig´ ob´ ol az (x − 5)2 + y 2 + z 2 = 16 egyenlet˝ u g¨ombh¨oz h´ uzott ´erint˝ok m´ertani hely´et! 14. Egy r = 1 sugar´ u k¨ orlapnak, amelyik p´arhuzamos az yOz s´ıkkal a k¨oz´eppontja az (1,0,2) pontban van. A P (0, 0, 3) pontban elhelyez¨ unk egy f´enyforr´ast. Hat´arozzuk meg a k¨orlap xOy s´ıkra es˝ o´ arny´ek´ at!
7.3.
Konoidfel¨ ulet
15. Hat´ arozzuk meg azt a konoidfel¨ uletet, amelynek alkot´oi p´arhuzamosak az y = z s´ıkkal ´es metszik a d1 : x = 0, y + z = 0 ´es d2 : y + z − 2 = 0, x − 2y + 2 = 0 egyeneseket! 16. Hat´ arozzuk meg annak a fel¨ uletnek az egyenlet´et, melyet az xOy s´ıkkal p´arhuzamos, az Oz tengelyre ´es az y = p, z = ax2 + bx + c parabol´ara t´amaszkod´o egyenesek sz´armaztatnak! 17. Hat´ arozzuk meg azt a konoidfel¨ uletet, amelynek alkot´oi mer˝olegesek az Oz tengelyre, metszik az x = a cos t, y = a sin t, z = kt csavarvonalat ´es az Oz tengelyt! 18. Egy v´ altoz´ o egyenes az al´ abbi egyenesekre t´amaszkodik: d1 : x − z = 0, y − 1 = 0; d2 : x − y = 0, z + 1 = 0; d3 : x + y = 0, z − 1 = 0. ´Irjuk fel a gener´alt fel¨ ulet egyenlet´et! 19. Hat´ arozzuk meg azt a konoidfel¨ uletet, amelyet egy olyan ∆ egyenes sz´armaztat, amely t´amaszkodik egy d egyenesre ´es egy olyan C k¨ orre, amely a a d egyenessel p´arhuzamos α s´ıkban tal´alhat´o, mik¨ ozben p´ arhuzamos marad egy a d egyenesre mer˝oleges s´ıkkal.
7.4.
Forg´ asfel¨ ulet
20. Hat´ arozzuk meg annak a forg´ asfel¨ uletnek az egyenlet´et, melyet az y = sin x, z = 0 g¨orb´enek az Ox tengely k¨ or¨ uli forgat´ as´ aval nyer¨ unk! 21. Hat´ arozzuk meg annak a forg´ asfel¨ uletnek az egyenlet´et, melyet a z = 0, x2/3 + y 2/3 = a2/3 asztroid´ anak az Oy tengely k¨ ol¨ uli forgat´as´aval nyer¨ unk! 22. Hat´ arozzuk meg az (E) : kapott fel¨ ulet egyenlet´et!
x2 a2
+
y2 b2 ,
z = 0 ellipszisnek az Ox tengely k¨or¨ ul val´o forgat´as´aval
23. Hat´ arozzuk meg annak a forg´ asfel¨ uletnek az egyenlet´et, melyet a d : x = y = z egyenes Oz tengely k¨ or¨ uli forgat´ as´ aval kapunk! 24. Hat´ arozzuk meg annak a forg´ asi hengernek az egyenlet´et, amely ´athalad az orig´on ´es a tengely´enek egyenlete: d : 2x − z − 2 = 0, x − 2y − z − 3 = 0. 25. Egy xOz s´ıkban lev˝ o k¨ ort megforgatunk az Oz tengely k¨or¨ ul. Hat´arozzuk meg a kapott forg´ asfel¨ ulet (t´ orusz) egyenlet´et!
Irodalomjegyz´ ek [1] Andrica D., Varga Cs., V˘ ac˘ aret¸u D., Teme de geometrie, Promedia Plus, 1997 [2] Andrica D., Varga Cs., V˘ ac˘ aret¸u D., Teme ¸si probleme alese de geometrie, Editura Plus, 2002 [3] Duican, L., Duican, I., Transform˘ ari geometrice, Culegere de probleme, Ed. Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1991 [4] Galbur˘ a, Gh., Rad´ o, F., Geometrie, Ed. Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1979 [5] Groze, V., Rad´ o, F., Orb´ an, B., Vasiu, A., Culegere de probleme de geometrie, Litografia UBB, Cluj-Napoca, 1979. [6] Modenov, P.S., Geometrie analitic˘ a, Ed.Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1957 [7] Nicolescu, L., Boskoff, V., Probleme practice de geometrie, Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1990 [8] Olosz F., Vektorok alkalmaz´ asa a geometri´ aban, Ed. Appendix, Tg-Mures, 2003 [9] Ro¸sculet¸, M., Algebr˘ a liniar˘ a, geometrie analitic˘ a, ¸si geometrie diferent¸ial˘ a, Ed.Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1987 [10] Simionescu Gh., Not¸iuni de algebr˘ a vectorial˘ a ¸si aplicat¸ii ale calculului vectorial ˆın geometrie, Ed.Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1982 [11] Smaranda, D., Soare, N., Transform˘ ari geometrice, Ed. Academiei Republicii Socialiste Romˆ ania, 1988 [12] Strohmajer J., Geometriai p´eldat´ ar, I.-III., Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1997
