METRIK MEDAN GRAVITASI BENDA BERMUATAN LISTRIK SIMETRI BOLA Oleh: Bansawang BJ Lab. Fisika Teori dan Komputasi Jurusan FMIPA Unhas Abstrak Telah diperlihatkan cara perumusan persamaan medan gravitasi kovarian Einstein melalui prinsip integral aksi dan sistem yang ditinjau adalah benda bermuatan listrik simetri bola. Solusi yang diperoleh menghasilkan dua jari-jari yang masing-masing bergantung pada massa benda dan muatan total benda, sehingga metriknya tidak menghasilkan singularitas. Kata kunci: Medan gravitasi, tensor metrik I. PENDAHULUAN Salah satu tema utama dalam perkembangan fisika adalah mencari teori terpadu yang dapat menjelaskan perilaku partikel dan interksinya di alam semesta. Gravitasi menjadi salah satu topik yang sangat penting dalam fisika teori sebab mempunyai implikasi pada fisika partikel maupun pada teori medan. Oleh karena itu, relativitas umum Einstein atau teori medan gravitasi kovarian adalah salah satu teori yang sangat mendapat perhatian orang. Sehubungan dengan hasrat para fisikawan teoritik untuk menyatukan gaya-gaya fundamental alam semesta, maka beberapa dekade belakang ini, kajian medan gravitasi kovarian telah menjadi sesuatu yang sangat penting dalam fisika teori. Setelah Einstein berhasil membangun persamaan medan yang didalamnya memuat prinsip ekivalensi, telah banyak memberikan kontribusi pada kajian bidang lain, misalnya pada teori String yang belakangan ini banyak fisikawan berharap menjadi teori yang dapat menyatukan ke empat gaya fundamental yakni gravitasi, lemah, elektromagnet dan nuklir. Meskipun persamaan medan gravitasi Einstein merupakan persamaan diferensial parsial yang sangat tidak linear, namun solusi eksak maupun non-eksaknya banyak diperoleh. dari berbagai sistem fisis khusus dengan konsekuensi fisis yang ditimbulkannya. Seperti halnya persamaan dinamika dalam teori medan klasik, persamaan gravitasi kovarian umum dapat pula diturunkan dari formalisme Lagrange atau formalisme Hamilton dengan mendefenisikan suatu fungsi keadaan yang memenuhi formalisme ini.
Tulisan ini bertujuan memformulasikan persamaan medan gravitasi Einstein melalui formalisme Lagrange dan mencari penyelesaiannya (tensor metrik) untuk bermuatan listrik
benda
simetri bola. Dalam tulisan ini terdiri atas beberapa bagian, yakni
pendahuluan, integral aksi untuk medan gravitasi, tensor energi momentum medan Maxwell-Einstein, metrik simetri bola benda bermuatan dan bagian akhir berisi kesimpulan. II. TINJAUAN PUSTAKA II. 1 Integral Aksi Untuk Medan Gravitasi Dalam fisika klasik benda titik, biasanya fungsi Lagrange dipilih sebagai fungsi dari pada beberapa parameter, seperti koordinat, momentum dan waktu. Sedangkan dalam teori medan klasik yang merupakan generalisasi dari mekanika benda titik, yaitu dengan mengambil banyaknya titik-titik menjadi tak berhingga sehingga variabel-variabel yang digunakan adalah variabel kontinu dalam ruang datar , maka aksinya adalah:
I £( ( x), , ( x)) d 4 x
(2. 1)
dengan £ £( ( x), , ( x)) menyatakan fungsi kerapatan Lagrange (Lagrange density) Persamaan medan gravitasi dalam relativitas umum dapat pula diperoleh melalui prinsip variasi, dengan integral aksi diungkapkan sebagai1): I g £ G 2 K £ M d 4 x
(2. 2)
di mana £M adalah rapat Lagrangian dari materi, £G = R adalah rapat Lagrangian untuk medan gravitasi. sedang R adalah kelengkungan skalar Ricci yang diungkapkan sebagai
R g R dengan Rμν adalah tensor Ricci, yakni:
R
x
x
(2.3)
1 g 2 g g g 1 g 2 x x x
dengan
(2.4)
adalah lambang Christoffel. Kerapatan Lagragian skalar £G dinyatakan dalam lambang Christoffel jenis kedua diturunkan dari bagian gravitasional Lagrangian Hilbert, yakni:
IG g £G g g x x .
(2.5)
Dengan melakukan variasi terhadap R dari integral aksi pada persamaan (2.2),
maka untuk suku bagian pertama, akan diperoleh:
I G g £ G d 4 x
(2.6)
1 R g R g g d 4 x 2
di mana telah digunakan d g Sedangkan untuk
1 g g dg . 2
suku kedua persamaan (2.2), variasi integral aksinya akan
diperoleh:
I M 2 g K £ M d 4 x
g £ M g £M 2K x g , g
g
(2.7)
4
d x
di mana medan yang berkaitan dengan integral Gauss telah diambil sama dengan nol. Selanjutnya dengan memasukkan persamaan (2.6) dan (2.7) ke dalam persamaan (2.2) dan mengambil variasi aksi, I 0 , akan diperoleh persamaan medan gravitasi, yakni: 1 G R g R K T 2
(2.8)
dengan tensor energi-momentum T adalah:
T
2 g £M g £ M x g , g g
(2.9)
III. Tensor Energi-Momentum Medan Maxwell-Einstein Untuk perumusan persamaan Maxwell dalam bentuk kovarian, terlebih dahulu dengan mencari tensor kekuatan medan elektromagnet. Untuk maksud tersebut maka kita tinjau persamaan Maxwell, yakni3): 1.
.E
3.1a
2.
.B 0
3.1b
3.
B xE t
3.1c
4.
E xB 0 J 0 0 t
3.1d
0
Dengan memperkenalkan potensial skalar dan potensial vektor A , maka komponen-komponen medan magnet dan medan listrik dinyatakan dalam dan A
masing-masing adalah: Ak x j
3.2a
Ai xi t
3.2b
Bi ijk
Ei
Tensor kekuatan medan elektromagnet F A A dengan komponenkomponennya Fij ijk Bk dan
F0i Ei , i,j,k=1,2,3 masing-masing dinyatakan
bentuk kovarian dan kontravarian F dan F , yakni:
dalam
F
0 Ex E y E z
F
Ex
Ey
0
Bz
Bz
0
By
Bx
0 Ex Ey E z
Ez By Bx 0
Ex
Ey
0
Bz
Bz
0
By
Bx
3.3a
Ez By Bx 0
3.3b
Selanjutnya rapat Lagrangian medan elektromagnet tanpa arus dalam medan gravitasi dinyatakan dengan tensor kekuatan
L
F , yakni :
1 g F F 16
(3.4)
dengan F seperti pada persamaan (3.3a). Bila rapat Lagrangian medan elektromagnet pada persamaan
(3.4) di atas
disubstitusi ke dalam persamaan (2.9) maka diperoleh:
L 1 g F F 16 g g 2 g F F Dengan menggunakan hubungan
(3.5)
1 g 1 g , maka persamaan (3.5) dapat 2 g g g g
ditulis menjadi:
L 1 8 g
g
1 g F F F F 4 L 0 . g,
3.6b
3.6c
Dengan demikian diperoleh tensor energi-momentum medan elektromagnet dalam medan gravitasi, yakni:
T
1 1 g F F F F 4 4
3.7
IV. Metrik Simetri Bola Benda Bermuatan Tensor metrik simetri bola secara umum diungkapkan dalam elemen garis sebagai2):
dS 2 e c 2 dt 2 e dr 2 r 2 d 2 sin 2 d 2
4.1
di mana υ dan λ merupakan fungsi dari koordinat r dan waktu t. Tensor metriknya adalah:
e 0 g 0 0
0
0
e
0
0
r2
0
0
e 0 0 e g 0 0 0 0
0
0 0 2 2 r sin 0
4.2a
dan bentuk kontravariannya:
0 r 2 0
0 0 2 2 r sin 0
4.2b
Untuk mendapatkan solusi persamaan Einstein untuk metrik simetri bola, perlu terlebih dahulu dihitung lambang Christoffel seperti pada persamaan (2.4). Komponenkomponennya yang tidak lenyap adalah:
000 1 00
010
2
e
2 r e
1 01
1 r 1 133 r
110
1 22
122
111
2 2
e
4.3
2 r sin 2 e 1 33
332 sin cos
3 23 cot
2
Dengan menggunakan lambang Christoffel di atas, akan dihitung ungkapan tensor Ricci dan tensor Einstein masing-masing dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.8). Diperoleh komponen tensor campuran Einstein G yang tidak lenyap, memberikan persamaan medan, yakni: 1 1 e 2 2 KT00 r r r 1 e KT01 2 r 1 1 e 2 2 KT11 r r r
4.4
1 2 e 2 2 r 2 1 2 KT22 e 2 2 2
Komponen tensor G22 G33 KT33 dan yang lainnya lenyap. Potensial vektor Aμ
sangat menentukan dalam medan elektromagnet. Untuk
potensial simetri bola, maka hanya komponen A0 dan A1 yang tidak lenyap sedangkan komponen lainnya lenyap yakni
A2=A3=0 (x0=ct, x1=r, x2=θ, x3=). Disamping itu,
potensial elektromagnet berlaku pula sifat invarian terhadap transformasi
gauge yang
berbentuk: A A
x
4.5
di mana adalah fungsi skala yang bergantung pada jari-jari r dan waktu t sehingga dapat dipilih (r,t) sedemikian sehingga A1 A1
0 , dan hanya komponen A0 yang tidak r
lenyap. Sekarang kita akan menghitung tensor energi-momentum medan elektromagnet. Untuk maksud tersebut, tinjaulah tensor kekuatan medan elektromagnet pada pers.(3.3) dan komponen-komponennya yang tidak lenyap adalah: f 01
Komponen-komponen
A0 f10 r
kontravariannya
4.6
f g g f
dapat
diperoleh
dengan
menggunakan persamaan (4.2b), maka:
f 01 g 00 g 11 f 01 e
A0 r
4.7
Dan seluruh komponen yang lain lenyap. Dengan menggunakan persamaan (3.7) kita akan dapatkan ungkapan tensor energi-momentum, yakni:
T
Dengan
menguraikan
1 1 g g f f f f 4 4 komponen-komponennya,
tensor
4.8
energi-momentum
dapat
diungkapkan sebagai:
T
1 A0 e 8 r
2
1 0 0 0
0
0
1
0
0
1
0
0
0 0 0 1
4.9
Selanjutnya akan ditinjau solusi tensor metrik gabungan persamaan MaxwellEinstein. Dengan menggunakan persamaan (4.2a-42b) diperoleh determinan tensor metrik sebagai:
e g e 0
0
0
r2
0
0
4.10a
r 2 sin 2
0
e r 4 sin 2 det g g e / 2r 2 sin
4.10b
1 g f 4 J dengan x c g
Persamaan Maxwell yang diungkapkan sebagai
rapat arus J =0 dapat direduksi menjadi dua persamaan,yakni:
g f 01 / 2 2 e r sin e A0 0 r r
g f 01 e / 2 r 2 sin A0 0 t t
4.11a
4.11b
Dari persamaan (4.11a-4.11b) di atas, setelah diintegralkan diperoleh: r 2 e / 2 A0 tetapan
4.12
Konstanta sebelah kanan pada persamaan (4.12) di atas tidak bergantung pada koordinat t dan r, dan ini dapat diperiksa pada jarak yang jauh. Dalam limit fungsi eksponensial cenderung menuju ke satuan dan ini diperoleh r 2 A0 tetapan atau
dA0 e dr r 2
e sehingga A0 . Jika A0 berada dalam medan gravitasi dan e adalah muatan total benda r
sumber gravitasi, maka dapat disimpulkan bahwa konstanta tersebut sama dengan –e. Persamaan (4.12) dapat dituliskan sebagai:
A0
e / 2 e r2
4.13
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (4.9), akhirnya kita peroleh tensor energi-momentum medan elektromagnet dalam medan gravitasi benda, yakni :
1 e2 0 T 8 r 4 0 0
0
0
1
0
0
1
0
0
Dengan memasukkan tetapan K
0 0 0 1
4.14
8G dan tensor energi-momentum medan c4
elektromagnet persamaan (4.14) ke dalam persamaan medan gravitasi (4.4), maka diperoleh persamaan medan, yakni: Ge2 1 1 e 2 2 4 4 c r r r r
4.15a
Ge2 1 1 e 2 2 4 4 c r r r r
4.15b
0
4.15c
Dengan menjumlahkan dua persamaan pertama (4.15a-4.15b) pada persamaan di atas akan memberikan persamaan, yakni:
0
4.16
f ( x0 )
4.17
atau
dimana f(x0) adalah tetapan integrasi yang hanya fungsi dari x0. Sekarang kita dapat membuat sebuah transformasi koordinat masih memuat bentuk elemen garis tidak berubah bentuk (invarian). Dalam hal ini koordinat waktu berbentuk x 0 h( x 0 ) dan ruang x k x k dengan k=1,2,3. Dapat ditandai bahwa tensor metrik g bertransformasi sebagai:
g
x x g x x
4.18
Komponen waktunya diperoleh 2
g 00
x 0 0 g 00 h 2 g 00 x
4.19
f (x0 ) dx 0 dengan Sekarang jika dipilih fungsi h 0 exp 2 dx
f ( x 0 ) sama dengan
persamaan (4.17), maka kita dapatkan g 00 e e . Selanjutnya bila persamaan (4.15a) diintegralkan dengan menuliskannya dalam bentuk integral, yaitu: Ge 2 d re c 4 r 2 1dr Ge 2 re 4 r C rc
4.20
sehingga diperoleh e e 1
C Ge 2 r r 2c 4
4.21
Dengan C adalah konstanta integrasi, yang dalam relativitas dikenal sebagai jari-jari Schwarschild yakni rS
2Gm dengan m adalah massa total dari benda sumber gravitasi. c2r
Tensor metrik ini dikenal sebagai metrik Reissner-Nodstrom. Akhirnya diperoleh solusi persamaan medan gravitasi untuk benda bermuatan listrik simetri bola yang dinyatakan dalam elemen garis berikut: 2Gm Ge 2 2Gm Ge 2 1 2 0 2 )( dx ) ( 1 ) dr c 2r r 2c 4 c 2r r 2c 4 r 2 d 2 sin 2 d 2
dS 2 (1
4.21
V. Kesimpulan Persamaan medan gravitasi kovarian dalam relativitas umum dapat pula diperoleh melalui variasi prinsip aksi dengan merumuskan rapat Lagrangiannya. yang terdiri atas dua bagian yakni rapat Lagrangian meteri dan rapat Lagrangian medan gravitasi Solusi medan gravitasi benda bermuatan listrik simetri bola yang telah diperoleh menunjukkan hasil yang mirip dengan solusi Schwarschild, namun metriknya ada suku tambahan
yang bergantung pada muatan total benda. Dengan suku tambahan ini
menunjukkan metriknya tidak menuju singularitas seperti pada solusi Schwarschild.
Daftar Pustaka 1. Cameli, M, 1990, “ Gravitation: SL(2,C) Gauge Theory And Conservation Laws” , World Scientific, Singapore. 2. Cameli, M, 1982, “ Classical Field: General Relativity and Gauge Theory, John Wiley & Sons Inc., New York 3. Jackson, J.D (1988), Classical Electrodynamics, Wiley Eastern Limited, New Delhi 4. Bose, S.K, 1980; An Intoduction to General Relativity, Wiley Eastern Limited, New Delhi
