! &
" '
# ( ) * +) , -
$%#
Individuální výuka – matematika Vít R ži ka, kv ten 2010
Metodika: Goniometrický tvar komplexního ísla, binomická rovnice Úvod Téma goniometrický tvar komplexního ísla je možné probírat soub žn s výkladem pojmu algebraický tvar komplexního ísla a znázorn ní komplexních ísel v Gaussov rovin , nebo na tento výklad navazovat. Ke zvládnutí této kapitoly je nutné znát: vlastnosti a hodnoty goniometrických funkcí sin x a cos x pro x
0; 2 )
znázorn ní komplexního ísla v Gaussov rovin pojem absolutní hodnota komplexního ísla a výpo et její hodnoty Studenti by m li bezpe n um t ur it k zadané velikosti úhlu x hodnoty funkcí sin x a cos x a pro zadanou hodnotu y = sin x nebo y = cos x um t ur it všechny úhly x 0; 2 ) . Hodnoty sin x a cos x pro x
0;
zpam ti.
; ; ; a jejich násobky by m li žáci znát nebo um t odvodit 6 4 3 2
Metodická poznámka Pro slabší žáky je vhodné p ed zahájením výkladu zopakovat jednoduché úlohy na funkce sin x a cos x. Pro lepší orientaci mohou žák m posloužit tabulky hodnot goniometrických funkcí, kterou si mohou opsat nebo vytisknout a použít jako pom cku p i výkladu a p i ešení úloh. Tabulka 1
Kvadrant
I.
0,
II.
0
sin x
0
+
1
+
cos x
1
+
0
–
2
2
1
IV.
3 2
3 2
3 ,2 2
0
–
–1
–
–1
–
0
+
,
,
x
2
III.
Tabulka 2
x sin x cos x
6 1 2
4 2 2 2 2
3 2
3 3 2 1 2
1. P evod komplexního ísla z algebraického na goniometrický tvar a naopak Postup p i p evodu komplexního ísla z algebraického na goniometrický tvar Je-li komplexní íslo zadáno ve tvaru z = a + bi, kde a goniometrický tvar získáme následujícím postupem:
a2
1. Vypo teme z podle vzorce z
a ; sin z
2. Zapíšeme cos
3. Ur íme znaménka ísel 4. Ur íme správn úhel 4.1. Ur íme úhel
0
4.2. Hodnotu úhlu
R, b
R , i je imaginární jednotka, pak jeho
b2
b (viz obr 1) z
a b ; , podle nich ur íme kvadrant, ve kterém je hledaný úhel z z
(viz tab.1)
(viz obr. 2)
0,
podle vzorce cos
2
a ; sin z
0
ur íme podle vzorc :
0
2 5. Zapíšeme goniometrický tvar komplexního ísla: z
(I. kvadrant) 0
(II. kvadrant)
0
(III. kvadrant) 0
z
b z
0
(IV. kvadrant)
cos
i sin
Je-li íslo z reálné nebo ryze imaginární (tj. z = a, nebo z = bi), je možné ur it jeho goniometrický tvar zpam ti. Pro z = a platí: z a , 0 (pro a > 0) nebo (pro a < 0) Pro z = bi platí: z
b,
2
(pro b > 0) nebo
3 2
(pro b < 0)
Metodická poznámka Pokud žáci hledají hodnotu úhlu na kalkula ce, zobrazí se jim jen hodnoty v I. a II. kvadrantu (cos), resp. v I. a IV. kvadrantu (sin). Z tohoto d vodu je nutné vždy nejprve ur it kvadrant a pak teprve hledat hodnotu úhlu . Postup p i p evodu komplexního ísla z goniometrického na algebraický tvar Je-li dáno komplexní íslo: z
z
cos
i sin
, postupujem takto:
1. Zpam ti nebo pomocí kalkula ky i tabulek ur íme hodnoty sin , cos 2. Dosadíme do zápisu ísla, roznásobíme závorku a p ípadn zkrátíme zlomky 2
Obr. 1: Goniometrický tvar komplexního ísla
Obr. 2: Hledání úhlu
pro r zné hodnoty sin
a cos
3
Úlohy: 1. Zapište daná komplexní ísla v goniometrickém tvaru:
2 2
a)
2 i 2
3 2
b)
1 i 2
c) – i
2. Zapište daná komplexní ísla v goniometrickém tvaru: a)
d)
2 2 .i
2 2 b) 3i c) 2
3 i
e) 1 i f) 8 – 15i
3. Zapište daná komplexní ísla v algebraickém tvaru: a) cos
4 3
b) 4
cos
i sin
7 4
4 3
c) 2
i sin
7 4
cos
5 6
i sin
d) 1,5 cos165
5 6
i sin 165
Metodická poznámka Pro snadn jší zvládnutí u iva je vhodné za ít úlohami, kde z
1 (úloha 1, 3a)
ešení:
1.
a) cos
2.
a) 4
i sin
4
b) cos
4
5 6
cos
3 4
i sin
3 4
d) 2
b) 3 cos
1 2
i sin
1 2
e)
c) 2 cos
i sin
cos 2
cos
11 6
cos
i sin
5 4
a)
c)
3 2
i sin 298 4
3 i
1,449 0,388 i (zaokrouhlený výsledek)
d)
Postup: z1
a) z1 z 2 b)
z1 z2
z1
z1 z 2
z1 z2
cos
cos
i sin
cos
, z2
z2
cos
i sin
i sin
3 2
5 4
2. Násobení a d lení komplexních ísel v goniometrickém tvaru.
Pro ísla
i sin
11 6
i sin
f) 4 cos 298 4
1 3 i 2 2 b) 2 2 2 2 .i
3.
5 6
i sin
, z2
0 4
i sin
platí:
Pokud jsou zadaná ísla v r zných tvarech, p evedeme je nejprve ob na stejný tvar (algebraický nebo goniometrický) a pak násobíme nebo d líme.
Metodická poznámka Obsahuje-li výpo et sou in i podíl více než dvou ísel, je obvykle vhodn jší násobit i d lit v goniometrickém tvaru.
Úlohy: 4. Vypo t te, výsledek zapište v goniometrickém i v algebraickém tvaru: a) 4 cos
b)
5 3
3 cos
i sin
5 4
5 3
i sin
5 4
2 1 cos 3 2
cos
5 12
i sin
i sin
2 3
c)
2 2 cos
d)
4
2 3 5 2 cos 4
3 cos
5 12
i sin
4 cos
i sin
4
2 3 5 i sin 4 i sin
Metodická poznámka P i násobení i d lení ísel v goniometrickém tvaru nemusí být výsledný úhel (vzniklý sou tem i rozdílem) v intervalu 0; 2 ) . V t chto p ípadech je vhodné p evést výsledný úhel ode tením i p i tením jedné nebo více period na úhel v tomto intervalu (nap . v úlohách 4a, 4d).
5. Vypo t te, výsledek zapište v goniometrickém i v algebraickém tvaru: a)
b)
2 3 2i 4 4 i sin cos 3 3 5 5 i cos i sin 3 3
cos
6
i sin
c)
2 3 2i 5 5 i sin cos 3 3
2
cos
d)
4
i sin
4
3 3i
6
Metodická poznámka
5 5 i sin (viz úloha 5b) není goniometrický tvar 3 3 komplexního ísla a pro výpo et sou inu je nutné zapsat íslo i v goniometrickém tvaru. N kte í studenti 5 5 sin p i výpo tu chybují v tom, že roznásobí závorku a zapíšou uvedené íslo jako i cos . 3 3 Je d ležité upozornit studenty, že zápis:
i
cos
5
ešení: 4.
a) 2 cos b)
5.
3
3 cos
a) 4 cos
i sin
5 3
3 2
1
3
i sin
i sin
b) cos 0 i sin 0
3
5 3
3 2
3 2
3 i 2
4i
i sin
2 cos
d)
3 11 cos 3 6
c) 4
1
3 4
c)
d)
cos
6
1 cos 3 4
3 4
i sin
i sin i sin
1 i
11 6
3 i 6
2 3 2i
6
4
1 2
i 3
3. Moivreova v ta, umoc ování komplexních ísel v goniometrickém tvaru Postup: Komplexní íslo z
z
cos
i sin
z n
cos
z
n
i sin
cos n
umoc ujeme podle vzorce:
i sin n
, n
N
Metodická poznámka Pro snadn jší zvládnutí u iva je vhodné za ít úlohami, kde íslo z je komplexní jednotka, tj. z 6a, 6c)
1 (úloha
Je-li íslo z komplexní jednotka, je možné též úlohu ešit graficky v Gaussov rovin pomocí grafického s ítání úhl . Grafické ešení dob e ilustruje dv vlastnosti n-té mocniny komplexní jednotky: íslo z a všechny jeho mocniny leží na jednotkové kružnici se st edem v po átku (viz obr. 3) mocniny se periodicky opakují (podobn jako mocniny ísla i), nap .: 2 cos 3
2 i sin 3
1
2 cos 3
2 i sin 3
4
2 cos 3
2 i sin 3
7
2 cos 3
2 i sin 3
10
...
Metodická poznámka Komplexního íslo zadané v algebraickém tvaru je možné umoc ovat pomocí vzorc pro mocninu dvoj lenu nebo pomocí binomické v ty. P i výpo tu vyšších mocnin tímto zp sobem vznikají složité a nep ehledné výrazy a je zde v tší riziko chyby, proto je vhodné vyšší mocniny komplexních ísel po ítat p evedením na goniometrický tvar pomocí Moivreovy v ty. Pro ilustraci je vhodné za adit nap . výpo et mocniny
6
1 2
3 i 2
100
Obr. 3. Znázorn ní mocnin komplexní jednotky z v Gaussov rovin
Úlohy: 6. Umocn te, výsledek zapište v algebraickém tvaru:
2 2
a)
2 i 2
3 i
b)
5
4
c)
3 2
1 i 2
d) 2 3 2i
5
4
Metodická poznámka Podobn jako p i násobení i d lení ísel v goniometrickém tvaru nemusí být výsledný úhel (vzniklý vynásobením) v intervalu 0; 2 ) . V t chto p ípadech je vhodné p evést výsledný úhel ode tením i p i tením jedné nebo více period na úhel v tomto intervalu.
ešení: 6.
a)
1;
b) 16 3 16i ;
c)
7
3 2
1 i; 2
d)
128 128 3 i
4. Binomická rovnice Binomická rovnice se nazývá rovnice ve tvaru: px n
q
n
0 , kde p
C, q C, n N C , z C , n N . Tento tvar binomické
Každou binomickou rovnici lze p evést na tvar x z , kde x rovnice budeme používat v našem textu. ešení binomické rovnice vychází ze vzorce pro umoc ování komplexního ísla v goniometrickém tvaru. Postup p i ešení binomické rovnice: Binomickou rovnici ve tvaru x n 1.
z , kde x C , z C , n N , ešíme následujícím postupem: íslo z p evedeme na goniometrický tvar: z z cos i sin .
2. Vypo teme
n
z .
3. Každá binomická rovnice x n z má práv n komplexních ko en x0 , x1 , x 2 , x 3 , ... , x n 1 . Jednotlivé ko eny xk vypo teme podle vzorce: 2k 2k , kde za íslo k postupn dosazujeme 0, 1, 2, 3, ..., n – 1. x k n z cos i sin n n 4. Vypo tené ko eny p evedeme na požadovaný tvar. Všechny body Gaussovy roviny, které zobrazují ko eny binomické rovnice x n st edem v po átku a polom rem
n
z , leží na kružnici se
z a tvo í vrcholy pravidelného n-úhelníku (viz obr 4)
Obr. 4. Znázorn ní ko en binomické rovnice v Gaussov rovin ( ešení úlohy 1).
8
Metodická poznámka
2k 2k je nutné upozornit na výraz i sin 2k , kde p i n n postupném dosazování za k vypo teme jednotlivé ko eny binomické rovnice. Pokud bychom p i výpo tu nevzali v úvahu další periody, vyšlo by pouze jedno (správné) ešení místo n ešení. n
Ve vzorci x k
cos
z
Úlohy: 7.
ešte rovnici pro neznámou x C , výsledky a) – e) zapište v algebraickém tvaru a zakreslete do Gaussovy roviny. Výsledek f) zapište v goniometrickém tvaru. a) x 6 b) x
3
c) x
6
d) x 3
1 125
e) x
64
f) x
4
5
8i 2 2 3 i
1 i
Metodická poznámka Pro p esn jší zakreslení výsledk binomické rovnice je vždy vhodné zakreslit kružnici se st edem v po átku a polom rem n z a na ní pak zobrazit vypo tené body.
ešení: 7.
3 2
a)
5;
b)
1 i; i; 2 5 2
3 2
1 i; 2
5 3 5 i; 2 2 3 i; 1
d) 2i ;
3 i; 3 i
6 2
f)
10
10
2 i; 2
2 cos 2 cos
20
1 3 i; i; 2 2
1 i 2
5 3 i 2
c) 2 ; 1
e)
3 2
3 i ; 2; 1
i sin
6 i; 2
3 i;
2 2 6 i; i; 2 2 2 17 9 9 i sin i sin ; 10 2 cos ; 10 2 cos 20 20 20 20
25 20
2 2
3i;1
6 2
25 33 ; 10 2 cos 20 20
i sin
i sin
17 ; 20
33 20
Literatura Calda E. Matematika pro gymnázia – Komplexní ísla. Prometheus. Praha 2008 Petáková, J. Matematika – p íprava k maturit a k p ijímacím zkouškám na VŠ. Prometheus. Praha 1998
P ílohy 1. Tabulky a obrázky 2. Úlohy a jejich ešení 9
