Metode Numerik Stepest Descent Dengan Arah Pencarian Negatif Sigma Gradien

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 T - 12

Metode Numerik Stepest Descent Dengan Arah Pencarian Negatif Sigma Gradien Rukmono Budi Utomo Universitas Muhammadiyah Tangerang [email protected] Abstrak—Penelitian ini mengkaji tentang metode numerik stepest descent dengan arah pencarian negatif sigma gradien. Penelitian dilakukan dengan memahami terlebih dahulu mengenai metode numerik Stepest Descent dengan arah pencarian negatif gradien beserta algoritmanya. Setelah itu dikonstruksi metode numerik Stepest Descent dengan arah pencarian negatif sigma gradien beserta algoritmanya. Dalam penilitian ini juga diberikan contoh penggunaan kedua metode numerik dalam menyelesaikan masalah optimisasi satu fungsi tujuan tanpa kendala beserta analisis hasilnya. Kata kunci:stepest descent, arah pencarian negatif sigma gradien

I.

PENDAHULUAN

Dalam menyelesaikan suatu masalah dunia nyata (real problem), langkah awal yang dilakukan para matematikawan adalah menyatakan masalah dunia nyata tersebut kedalam pengertian matematis. Langkah ini meliputi identifikasi variabel-variabel yang terjadi pada masalah, dan membentuk hubungan antar variabel-variabel tersebut[1]. Langkah selanjutnya adalah menjabarkan variabel-variabel, merumuskan asumsi-asumsi yang diperlukan dan membuat kerangka model sebelum akhirnya merumuskan model matematis yang dimaksud. Model matematis merupakan suatu formula matematika yang menjelaskan atau merepresentasikan sistem fisik atau masalah dalam dunia nyata dalam pernyataan matematik. Model matematik dapat berbentuk model statistik, stokastik, persamaan diferensial tergantung bidang yang digunakan dalam menyusun model matematis tersebut. Setelah memperoleh model matematis, langkah selanjutnya yang dilakukan matematikawan adalah berusaha memperoleh solusi penyelesaian dari model matematis yang telah dihasilkan. Solusi penyelesaian ini dapat berupa solusi sejati (analytic) maupun hampiran (numeric). Solusi analitik merupakan solusi sejati dari suatu model matematis sedangkan solusi numerik merupakan solusi hampiran atau pendekatan (approximate) dari solusi sejati [2]. Karena merupakan solusi hampiran, maka terdapat besarnya kesalahan atau galat dari solusi numerik terhadap solusi sejati. Besarnya kesalahan atau galat ini disimbolkan dengan konstanta positif epsilon  . Konstanta positif epsilon  yang menyatakan galat tidak boleh terlalu besar karena akan mengakibatkan solusi numerik yang dihasilkan akan jauh dari solusi sejati, untuk hal demikian besarnya epsilon  diharapkan sedekat mungkin dengan nol. Kesalahan atau galat yang dimiliki oleh solusi numerik umumnya disebabkan oleh dua faktor yakni karena pemotongan (cutting) ekspansi suku yang terlalu panjang, dan pembulatan (rounding) digit angka desimal. Meskipun memiliki galat, bukan berarti metode numerik (solusi numerik) tidak menjadi pilihan, atau hanya sekadar menjadi pilihan kedua dalam menyelesaikan model matematis. Dalam beberapa kasus, metode numerik sering menjadi pilihan utama tatkala model matematis yang dihasilkan sangat sulit ditemukan solusi sejatinya. Dalam kehidupan sehari-hari, salah satu masalah dunia nyata yang sering ditemukan adalah pengoptimalan atau masalah optimisasi. Beberapa contoh masalah optimisasi yang sering dijumpai adalah masalah pergudangan (inventory) untuk menentukan seberapa besar barang yang harus dipesan dari produsen, masalah meminimalkan biaya produksi suatu perusahaan, sampai kepada aspek yang lebih jauh dari pada itu seperti optimisasi pada jaringan listrik, kabel, dan rute perjalanan. Masalah optimisasi seperti ini jelas memerlukan model matematis yang tepat untuk memperoleh solusi yang optimal. Secara umum masalah optimisasi berdasarkan fungsi tujuan yang ingin dioptimalkan dibagi atas dua jenis yakni masalah optimisasi single objektif dan masalah optimisasi multi objektif. Masalah optimisasi single objektif hanya memiliki satu fungsi tujuan yang dioptimalkan, sedangkan masalah optimisasi multi objektif memiliki sekurangnya dua fungsi objektif yang dioptimalkan. Menurut kendala (constrain), masalah optimisasi juga dibagi atas dua, yakni masalah optmisasi dengan dan tanpa kendala.

MT 79

ISBN. 978-602-73403-1-2

Berdasarkan variabel bebas (independent) masalah optimisasi terbagi atas dua jenis yakni masalah optimiasasi dengan satu dan banyak variabel bebas. Berbagai metode penyelesaian dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah optmisasi. Contohnya untuk menyelesaikan masalah optimisasi single objektif dengan satu variabel bebas dapat digunakan metode rasio emas (golden rato), Fibonacci, dan biseksi, sedangkan untuk menyelesaikan masalah optimiasi single objektif dengan beberapa (multi) variabel bebas dapat digunakan metode numerik Aksial, Newton, Hook and Jeeves, Roosenberg dan Stepest Descent [3]. Untuk menyelesaikan masalah optimisasi multi objektif dapat menggunakan Pengali Lagrange dan Kuhn-Tucker .Pada Masalah optimiasi multi objectif tidak dibahas dan peneliti lebih memfokuskan kajian pada masalah optimisasi single objektif tanpa kendala. Metode numerik Stepest Descent merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah optmisasi single objektif tanpa kendala dengan banyak variabel bebas. Metode numerik Stepest Descent bekerja dengan mengambil sembarang titik awal arah pencarian (direction) negatif gradient d k

X  Rn dengan menggunakan

 Z  X k  [4]. Metode numerik Stepest Descent sering

digunakan karena solusi numerik yang dihasilkan cenderung akurat dengan solusi sejati, bahkan dalam beberapa kasus, solusi numerik yang dihasilkan dapat identik dengan solusi sejati atau dengan kata lain solusi numerik tanpa galat. Meskipun demikian, penelitian lebih lanjut pada metode numerik ini terus dikembangkan, salah satunya dengan mementuk arah pencarian (direction) yang lain. Sebagaimana diketahui perbedaaan yang mendasar dari metode-metode numerik untuk menyelesaikan masalah optimisasi single tanpa kendala ada pada arah pencariannya. Metode numerik Aksial, misalnya memiliki arah pencarian verktor normal, sedangkan metode numerik arah konjugasi melibatkan matriks Hessian dalam arah pencariannya . Penelitian ini mengkaji dan membahas mengenai metode numerik Steepest Descent dengan arah pencarian (direction) berupa negatif sigma gradien d k  

n

 Z  X  . Penelitian ini bertujuan untuk k 1

k

melihat proses iterasi dalam memperoleh solusi numerik dengan menggunakan metode Stepest Descent dengan arah pencarian yang lain dalam hal ini negatif sigma gradien. Penelitian dilakukan dengan memahami terlebih dahulu mengenai metode numerik Steepest Descent dengan arah pencarian negatif gradien biasa kemudian menyusun algoritma untuk metode Steepest Descent dengan arah pencarian negatif sigma gradient.Buku-buku yang digunakan dalam menunjang penelitian antara lain An Introduction to Optimization karya Edwin K.P.Chong dan Stanislaw H Zak, Theory of Multiobjective Optimization karya Yoshikazu Sawaragi, Hirotaka Nakayama dan Tetsuzo Tanino, Nonlinear Programming Theory and Algorithm karya Mochtar S Bazaraa, Hanif D Sherali dan C.M Shetty, An Introduction to Model Building karya Wayne L Winston, Metode Numerik karya Rinaldi Munir , Diktat kuliah Optimisasi karya Salmah dan buku-buku lainnya yang dapat dilihat pada daftar pustaka. Dalam penelitian ini pulaakan diberikan contoh perhitungan numerik untuk metode Steepest Descent dengan kedua arah pencarian tersebut beserta analisis dan perbandingan keakuratan solusi antara keduanya. II.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Definisi Norm Diberikan X , Y sembarang dua vektor. Sembarang bilangan riil || X || dinamakan norm dari memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut i. | X || 0 ii. iii. iv.

|| aX || 0  X  0 || aX ||| a ||| X ||, a  R | X  Y |||| X ||  || Y ||

Definisi Kombinasi Linear [5] Misalkan X i , 1  i  m vektor-vektor di

V maka X disebut kombinasi linear dari vektor-vektor X i

m

jika

X apabila

X   ai X i i 1

MT 80

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

Definisi Bentuk Kuadratik [6]

F ( X )  c11 x12  c2 2 x22  ...  cnn xn2  c12 x1 x2  c1,3 x1 x3  ...  c23 x2 x3  ...

dengan

cij  R

,

1  i, j  n , disebut fungsi bentuk kuadratik dengan n variabel bebas x1 , x2 ,..., xn Definisi Fungsi Positif Bentuk kuadratik

X T AX disebut positif (negatif) definit jika X T AX  ()0 untuk semua X  0

dan terdapat sekurangnya satu vektor tak nol sedemikian hingga X AX  0 . Apabila tidak memenuhi keduanya, maka bentuk kuadratik tersebut dikatakan Tidak definite. T

Teorema Fungsi Definit Suatu matriks

A dikatakan

i  0

i.

Positif definit jika dan hanya jika

ii.

Negatif definit jika dan hanya jika

iii.

Positif semi definit jika dan hanya jika

iv.

Negatif semi definit jika dan hanya jika

dengan

i

i  0 i  0 i  0 A dan ketidaksamaan dicapai untuk sekurang-

merupakan nilai-nilai eigen dari matriks

kurangnya satu

j . Apabila i tidak memenuhi butir i,ii,iii, dan iv maka matriks A disebut Tidak

definite. Definisi Minimum Global [7] Fungsi F ( x) dikatakan memiliki minimum global di

x0 dalam S jika f ( x)  f ( x0 )

Definisi Minimum Lokal Relatif Fungsi F ( x) dikatakan memiliki minimum lokal di sedemikian hingga

x0 dalam S jika terdapat sekitar  dari x0

f ( x)  f ( x0 ) untuk setiap x di dalam persekitaran tersebut.

Algoritma Stepest Descent denganNegatif Gradien dan Negatif Sigma Gradien[8],[9],[10] Diberikan

suatu

fungsi

objektif

Z  F ( X )  F ( x2 , x2 ,., xn ) dan akan ditentukan nilai

X  {x1 , x2 ,., xn } yang meminimalkanatau memaksimalkan fungsi Z  F ( X ) tersebut i.

Ambil X1  {x1 , x2 ,., xn }  R n sembarang titik awal dan

  0 suatu

konstanta positif yang

menyatakan besarnya kesalahan atau galat yang ditoleransi. ii.

Dibentuk fungsi gradient

k  1, 2, iii.

 Z Z Z  X    , ,  x1 x2

,

Z   dan tentukan Z  X k  dengan xn 

, n yang menyatakan posisi iterasi

Apabila Z  X k    , k  1, 2,

, n maka iterasi berhenti, sebaliknya iterasi dilanjutkan

MT 81

ISBN. 978-602-73403-1-2

iv.

Tentukan

k

dengan cara mencari titik ekstrim

menderivatifkan fungsi negative gradien v.

Nilai

Z  X k  k dk  yakni dengan cara

Z  X k  k dk  dan menyamadengankan nol dengan arah pencarian

dk  Z  X k  , k  1, 2,

,n

X k ditentukan dengan X k  X k 1  k 1dk 1

Berdasarkan algoritma Stepest Descent dengan arah pencarian negatifgradien

k  1, 2,

dk  Z  X k  ,

, n akan dikembangkan suatu metode Stepest Descent dengan arah pencarian negatif sigma

gradient. Algoritma Stepest Descet dengan arah pencarian negative sigma gradien memiliki langkah yang sama dengan metode numerik steepest descent dengan arah pencarian negatifgradien, namun dalam hal n

ini arah pencarian didefinisikan sebagai

d k   Z  X k  dan iterasi berhenti ketika nilai norm k 1

n

 Z  X  k

k 1



Contoh Numerik [11]

Z ( x1 , x2 )  6 x12  2 x22  2 x1 x2 12 x1  2 x2  6 , dengan menggunakan metode Stepest Descent, tentukan pembuat minimum X  {x1 , x2 } apabila diberikan titik awal Diberikan suatu fungsi

X1  {0,1}  R 2 toleransi kesalahan   0.125 Solusi Stepest Descent dengan Arah Pencarian Negatif Gradien Dalam soal diketahui diambiltitik awal

X1  {0,1}  R 2 dengan toleransi kesalahan   0.125 .

Berdasarkan hal tersebut dapat ditentukan nilai gradien

Z  X1   10, 2 .Karena nilai norm

Z  X1   104   maka iterasi dilanjutkan dengan arah pencarian d1  Z  X1   10, 2 

104  0.092 (Iterasi 1). Apabila dicari lebih lanjut, akan diperoleh nilai 1136 X 2  0.92,0.816 dengan nilai gradien Z  X 2   0.672,3.104 dan nilai norm

dan diperoleh

1 

Z  X 2   10.0864  3.1759   . Berdasarkan hal tersebut iterasi dilanjutkan dengan arah pencarian

d2  Z  X 2    0.672, 3.104 dan 2  0.193 (Iterasi 2).

Pada Iterasi 3 diperoleh

X 3  0.79,0.217 dengan gradien Z  X 3   2.086,0.488 dan

d3  Z  X 3    2.086, 0.448 dengan

nnorm Z  X 3   2.136   . Nilai arah pencarian

3  0.08 . Pada iterasi 4, nilai X 4  0.96,0.18 dengan nilai gradien Z  X 4   0.12,0.64 dan

nilai

norm

Z  X 4   0.651  

.

Nilai

arah

pencarian

diperoleh

d4  Z  X 3    0.12, 0.64  dengan 4  0.282 . Pada Iterasi 5, Dengan menggunakan langkah yang sama diperoleh gradien

X 5  0.994,0.0005 dengan

Z  X 5   0.071, 0.01 dan nilai norm Z  X 5   0.123   . Karena nilai norm

MT 82

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

Z  X 5    , maka iterasi berhenti dan solusi numerik untuk masalah optimisasi pada contoh ini adalah

X  {0.994,0.0005}  R2 . Penyajian perhitungan disajiikan dalam tabel 1berikut ini. TABEL 1. PERHITUNGAN NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN ARAH PENCARIAN NEGATIF GRADIEN

Iterasi k

1

Xk

Z  X k 

Z  X k 

dk

k

{0,1}

10, 2

104  

10, 2 

0.092

3.1759  

0.193

0.651  

 0.672, 3.104  2.086, 0.448  0.12, 0.64

0.282

0.123  

-

-

0.92,0.816 0.672,3.104 0.79,0.217 2.086,0.488 0.96,0.18 0.12,0.64 0.994,0.0005 0.071, 0.01

2 3 4 5

2.136  

0.08

Dari tabel di atas, terlihat bahwa solusi numerik untuk masalah optimisasi pada contoh satu adalah x1  0.994 dan x2  0.0005 . Apabila dilakukan pengecekan lebih lanjut, solusi sejati untuk masalah

x1  1 dan x2  0 , berdasarkan hal tersebut galat dari solusi numerik yang dihasilkan untuk x1 adalah 0.006 dan x2 adalah 0.005. optimisasi pada contoh ini adalah

Solusi Stepest Descent dengan Arah Pencarian Negatif Gradien Pada bagian ini akan dicoba pencarian solusi numerik masalah optimisasi ini dengan cara Stepest Descent dengan arah pencarian negatif sigma gradien. Pada iterasi 1, tetap dilakukan pengambilan titik awal diperoleh

X1  {0,1}  R 2 dengan   0.125 , selanjutnya

Z  X1   10, 2 dengan Z  X1   104   . Lebih lanjut arah pencarian 104  0.092 . Apabila dicari lebih lanjut, akan diperoleh nilai 1136 dengan nilai gradien Z  X 2   0.672,3.104 dan nilai norm

d1  Z  X1   10, 2  dan 1  X 2  0.92,0.816 2

 Z  X  k

k 1

 10.633   . Berdasarkan hal tersebut iterasi dilanjutkan dengan arah pencarian

2

d 2   Z  X k    9.328, 5.104  dan 2  0.0099 (Iterasi 2). k 1

Pada Iterasi 3 diperoleh

X 3  1.0123,0.7654 dengan gradien Z  X 3   1.6784,3.0862 dan 3

nilai

normdiperoleh

 Z  X  k

k 1

 11.2069   . Nilai arah pencarian

d3

diperoleh

3

d3   Z  X k    7.6496, 8.1902  dengan 3  0.017 . k 1

Pada Iterasi 4 diperoleh

X 4  1.1423,0.6261 dengan gradien Z  X 4   2.9598, 2.7890 dan 4

nilai

norm diperoleh

 Z  X  k 1

k

 11.9388   . Nilai arah pencarian d 4 diperoleh

3

d 4   Z  X k    4.6898, 10.9792  dengan 4  0.03 . k 1

MT 83

ISBN. 978-602-73403-1-2

Pada Iterasi 5, dengan menggunakan langkah yang sama diperoleh

X 5  1.2876,0.2858 dengan

Z  X 5   4.0248,1.7224 dan nilai norm Z  X 5   12.7016   .Nilai arah

gradien

5

pencarian

d 5 diperoleh d5   Z  X k    0.6650, 12.7016  dengan 5  0.031 dan nilai k 1

X 6  1.3082, 0.1085 . Hasil perhitungan disajikan dalam tabel 2 di bawah ini. TABEL 2. PERHITUNGAN NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN ARAH PENCARIAN NEGATIF SIGMA GRADIEN.

Iterasi

Xk

k

Z  X k 

 Z  X 

dk

k

104  

10, 2 

0.092

10.633  

 9.328, 5.104

0.0099

n

k

k 1

1

{0,1}

10, 2

2

0.92,0.816

0.672,3.104

3

1.0123,0.7654 1,6784,3.0862

11.2069  

 7.6496, 8.1902

0.017

4

1.1423,0.6261 2.9598,2,7890

11.9388  

 4.6898, 10.9792

0.03

5

1.2876,0.2858 4.0248,1.7224

12.7016  

 0.6650, 12.7016

0.031

6

1.3082, 0.1085

-

-

-

-

Pada tabel 2 di atas, terlihat bahwa iterasi tidak mungkin berhenti dikarenakan nilai norm n

 Z  X  k 1

k

selalu lebih besar dari epsilon. Hal ini ditandai dengan nilai gradien

semakin membesar dan nilai

k , k  1, 2,

Z  X k  yang

,5 yang semakin membesar. Hasil perhitungan nilai X k

x1 semakin menjaui dari nilai aslinya yakni x1  1 , begitupun pada x2 yang juga menjauh dari nilai aslinya yakni x2  0 meskipun sampai iterasi ke 5, terlihat nilai x2 seolah menuju nilai aslinya, namun hal demikian tidak benar dengan melihat pada iterasi selanjutnya dimana nilai x2 terlihat bahwa nilai

justru menjauhi nilai nol. III.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan Terdapat beberapa hal yang menjadi kesimpulan dalam penelitian ini, diantarnya: 1. Masalah optimisasi berdasarkan fungsi onjektifnya dibagi atas 2 jenis yakni masalah optimisasi single objektif dan masalah optimisasi multi objektif. 2. Menurut variabel bebasnya masalah optimisasi dibagi atas 2 jenis yakni masalah optimisasi dengan satu variabel bebas dan multi variabel bebas. Lebih lanjut, menurut kendalanya masalah optimisasi juga dibagi atas 2 jenis yakni masalah optimisasi dengan dan tanpa kendala 3. Masalah optimisasi single objektif tanpa kendala dengan satu variabel bebas dapat diselesaikan dengan metode numerik golden rasio, Fibonacci, biseksi dl, sedangkan masalah optimisasi single objektif tanpa kendala dengan multi variable bebas dapat diselesaikan salah satunya dengan metode numerik Stepest Descent

MT 84

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

4.

Metode numerik Stepest Descent dimulai dengan mengambil sembarang dengan arah pencarian negatif gradien

Z  X k    , k  1, 2, 5.

dk  Z  X k  . Iterasi berhenti ketika norm

,n

Metode numerik Stepset Descent dengan arah pencarian negatif sigma gradient juga dimulai dengan mengambil X  {x1 , x2 ,., xn } , namun menggunakan arah pencarian n

d k   k 1

6.

X  {x1 , x2 ,., xn }

Z  X k  . Iterasi berhenti ketika nilai norm

n

 Z  X  k 1

k

  , k  1, 2,

,n

Pada contoh dalam penelitian ini, terlihat bahwa untuk masalah optimisasi single objektif tanpa kendala meminimalkan kesalahan

  0.125 ,

Z ( x1 , x2 )  6 x12  2 x22  2 x1 x2 12 x1  2 x2  6 dengan toleransi solusi numerik yang dihasilkan melalui Stepest Descent dengan arah

negatif gradient akan berhenti pada iterasi ke 5 yakni dengan nilai

x1  0.994 dan

x2  0.0005 dengan nilai norm Z  X 5   0.123   . Galata atau kesalahan yang dihasilkan untuk 7.

x1 adalah 0.006 dan x2 adalah 0.005.

Berbeda dengan solusi numerik yang dihasilkan oleh Stepest Descent dengan arah pencarian negatif gradient, solusi numerk yang dihasilkan dengan metode numerik negaif sigma gradient justru tidak akan berhenti untuk nilai iterasi berapapun. Hal ini dapat disebabkan nilai gradien

Z  X k  dan k , k  1, 2,

, n akan semakin membesar seiring bertambahnya iterasi. Hal

demikan terlihat contoh di atas dengan nilai X k yang semakin menjaui dari nilai aslinya. Saran Terdapat beberapa hal yang menjadi saran dalam penelitian ini, diantarnya: 1. Umumnya metode numerik Stepest Descent dengan arah pencarian negatif gradien sudah cukup baik dalam menyelesaikan masalah optimisasi single objektif tanpa kendala, namun penelitian untuk mengembangkan arah pencarian yang lain tetap diperlukan agar langkah iterasi untuk mencari solusi numerik menjadi lebih singkat dan menjadi semakin akurat. 2.

Berkaca pada hasil Stepest Descent dengan arah pencarian negatif sigma gradien yang justu menghasilkan solusi yang tidak optimal, maka perlu dikembangkan lagi arah pencarian yang lain agar solusi numerik dari masalah optmiasi menjadi lebih akurat dan dengan langkah yang lebih sedikit.

UCAPAN TERIMA KASIH Ucapan terimakasih penulis ucapkan kepada Rektorat Universitas Muhammadiyah Tangerang dan Departemen S3 Matematika ITB atas bantuan finansial sehingga penulis dapat menyelesaikan paper dan mengikuti seminar nasional matematika dan pembelajaran matematika UNY pada tanggal 5 November 2016

DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

Widowati, Sutimin, “ Pemodelan Matematika: Analisis danAplikasinya”, Semarang, Penerbit Undip Press: 2013 Munir, Rinaldi. “Metode Numerik”, Bandung, Informatika: 2008 Epperson, James,”An Introduction to Numerical Methods and Analysis”, New York: John Willey and Sons. Inc: 2013 Otto, S.R. and Denier, J.P,”An introduction to Programming and Numerical Methods in Matlab “, London, Springer-Verlag: 2005 Anton, Howard,“Aljabar Linier Elementer: Penerjemah Pantur Silaban, Jakarta, Erlangga: 1991 Bazaraa, S. Mochtar,Nonlinear Programming Theory and Algorithms”, London, John-Willey Inter Science: 2006 Salmah, “Diktat Optimisasi”, Yogyakarya, FMIPA UGM: 2011

MT 85

ISBN. 978-602-73403-1-2

Bober, William,“An Introduction to Numerical and Analytical Methods with Matlab for Engineers and Scientist”, London: Taylor and Francis Group: 2014 [9] K.P.Chong,Edwin,“An Introduction to Optimization”, New York, John Wiley & Sons: 2001 Inc. [10] Corless, Robert, M, and Fillion, Nicholas.“A Graduate Introduction to Numerical Methods”,London, Springer-Verlag:2013 [11] Linna, “ Metode Numerik Stepest Descent: Soal UAS FKIP UMT”, 2016 [8]

MT 86