Mérnöki alapok 2. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék
1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
Kerületi sebesség, centripetális gyorsulás „r” sugár, „ ” szögsebesség: Ha =áll., |v|=áll.
v=r iránya változik
v1 sin
t v2
2
r
v/2 v1
5 fok
ha
[rad ] sin Mérnöki alapok. 2. előadás
2
v v1
acp
t
v t
2
r
2
v r
Centripetális gyorsulás Egyenletes körmozgás feltétele 2
F
v m r
Mérnöki alapok. 2. előadás
NYOMATÉK erő * erőkar (az erő merőleges az erőkarra; vektori szorzat)
A munkával szembeállítva: W skalár; Mértékegység: Nm
M vektor
(nem Joule!!!)
Mérnöki alapok. 2. előadás
TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK (Θ) Pontszerű „m” ; „r” sugáron
mr
2
Mértékegység: [kgm2] Általában „ri” sugáron „ mi” tömeg
Henger esetén
mi ri
1 2 mr 2 Mérnöki alapok. 2. előadás
2
SZÖGGYORSULÁS Időegységre eső szögsebesség-változás
t
Mértékegysége: 1/s2; rad/s2 Egyenletesen változó szögsebesség esetén:
állandó
2
1
T
Mérnöki alapok. 2. előadás
NEWTON 2. törvénye forgó mozgásra (nem bizonyítás; emlékeztető)
F
ma
F
mr
Fr
v m t
m
t
mr
2
t
M Mérnöki alapok. 2. előadás
r t
ANALÓGIA Egyenes vonalú mozgás
Forgó mozgás
idő
t [s]
idő
út, elmozdulás
s [m]
szögelfordulás
[rad]
sebesség
v [m/s]
szögsebesség
[rad/s]
gyorsulás
a [m/s2]
szöggyorsulás
[rad/s2]
erő
F=ma [N]
nyomaték
M=Θ
tömeg
m [kg]
Θ [kgm2]
teljesítmény
P=Fv [W]
Tehetetlenségi nyomaték teljesítmény
Mozgási energia mv2/2 [J]
t [s]
P=M
Nm
W
Mozgási energia Θ 2/2 [J] Mérnöki alapok. 2. előadás
GÉPEK EGYENLETES ÜZEME GÉP: anyag, információ, energia helyének és/vagy alakjának megváltoztatására szolgál Csoportosításuk nagyság működési elv: - kalorikus - hidraulikus - mechanikus - elektromos stb. felhasználás: - közlekedés - ipar - mezőgazdaság stb. Mérnöki alapok. 2. előadás
Energetikai szerep Közlőmű Erőgép
Munkagép
Hajtómű Erőgép: a gép szempontjából külső energiát átalakít, legtöbbször (forgó mozgássá) mechanikai munkává (M; ) Pl.: motor (villamos motor, belső égésű motor), vagy turbina (gázturbina, gőzturbina) Közlőmű: mechanikai munkát továbbít, átalakít (sebességváltómű, kardánhajtás, stb.) Mérnöki alapok. 2. előadás
Munkagép: mechanikai munkát egy feladat elvégzésére felhasznál (esztergagép, kávédaráló, ventilátor, stb.) Megjegyzés: Ugyanaz a gép a vizsgált környezettől függően lehet erőgép, vagy munkagép is. Például a ventilátor munkagép a motor – ventilátor kapcsolatban, de erőgép a ventilátor – csővezeték kapcsolatban
Mérnöki alapok. 2. előadás
EGYENLETES ÜZEM A jellemző mozgásforma (egyenes vonalú vagy körmozgás) időben állandó (stacionárius üzem) Legegyszerűbb példája: egyenletes vontatás lejtőn
Mérnöki alapok. 2. előadás
Egyensúly (az erők eredője zérus) A mozgás irányában: Merőlegesen:
Ft-Fs-Gt=0 N+Fn-Gn=0
Súrlódó erő: Fs= N= (Gn - Fn)=
(G cos - F sin ) ha G cos ≥ F sin Gt = G sin és Ft = F cos helyettesítésével a mozgás irányában az erőegyensúly: F cos - (G cos – F sin ) – G sin =0 A vonóerő szükséglet:
F
sin G cos
cos sin
Mérnöki alapok. 2. előadás
Adott és esetén milyen irányban ( =?) érdemes húzni, ahol a legkisebb a vonóerő? Adott és esetén a vonóerő képlet számlálója állandó, így Fmin ott adódik, ahol a nevező maximális nevező( ) = cos +
sin
Vizsgáljuk egyenlőre grafikusan: Mérnöki alapok. 2. előadás
A nevező elemeinek vizsgálata: G =1N súlyú test vontatása =30fokos emelkedőn. ( =0.1) 0,2 0,18
1
0,16 0,14 0,12
0,998
cos
0,996 0,994
0,1 0,08 0,06 0,04
0,992 0,99 0,988 0,986
0,02 0
0,984 0
2
4
6
8
10
12
fok]
Mérnöki alapok. 2. előadás
sin ; sin
1,002
Számítási példa: egységnyi súlyú test =30 -os hajlásszögű emelkedőn felfelé mozgatása. F=f( , , ) paramétereknek G =1N súlyú test vontatása =30fokos emelkedőn. ( =0.1) 1,006 1,005
nevező
1,004 1,003 1,002 1,001 1 0,999 0
2
4
6
8
10
12
fok]
Mérnöki alapok. 2. előadás
Számítási példa: egységnyi súlyú test =30 -os hajlásszögű emelkedőn felfelé mozgatása. F=f( , , ) paramétereknek G =1N súlyú test vontatása =30fokos emelkedőn. ( =0.1) 0,587 0,5865
F [N]
0,586 0,5855 0,585 0,5845 0,584 0,5835 0
2
4
6
8
10
fok]
Mérnöki alapok. 2. előadás
12
A számpélda adatai szerint ha =30 és =0.1, akkor a minimum kb. ≈ 6 -nál adódik és Fmin ≈ 0.995F =0 Ha már deriválni tudnának, akkor dnevező d sin cos opt
sin opt
tg
cos
0
opt
opt
arctg
o
arctg 0.1 5.71
Mérnöki alapok. 2. előadás
Nézzük meg a vízszintes síkon való mozgatást ( =0)
Húzás: ha 0
Tolás: ha
2
cos >0; sin >0
F
G cos
sin
cos <0; sin >0
2 Tolás esetén ugyanakkora -hoz nagyobb F erő tartozik
< 0 (ferde rúddal tolom a testet) cos > 0; sin < 0; sin < 0, tehát a nevező kisebb mint 1; azaz nehezebb tolni, mint húzni. Ennek ellenére, ha az üzembiztonság fontos: gyermekkocsit mindig tolunk, sohasem húzunk.
Ha
Mérnöki alapok. 2. előadás
Munkavégzés Wö
Ft L
Hatásfok:
Gt
Fs L GL sin Wh Wö
Fs L G h Fs L Wh Wv
GL sin 1 GL sin Fs L
Kérdés: hol maximális a hatásfok? = ( ) , , G adott
F Fs
sin cos
cos sin
G cos
F sin
G
Mérnöki alapok. 2. előadás
A szélsőértékhez tartozó megoldás levezetése
1
max
G cos
F sin
ha Fs=0 sin G cos
cos sin osztunk Gcos -val sin
tg 1 tg 1 tg
1
tg
tg tg
tg
1 tg tg
tg
1 tg
Megoldás: ha =30 , akkor =60 Mérnöki alapok. 2. előadás
Tervezzünk sífelvonót! Számítandó a vonóerő szükséglet: Adatok: m=80kg =0.05 =20 =30 sin cos F1 mg cos sin o
o
sin 20 0.05 * cos 20 80kg * 9.81m / s * o o cos30 0.05 * sin 30 2
342 .6 N
Mérnöki alapok. 2. előadás
Kötélerő: K1=F1cos =296.7N≈300N Ha csákányos, akkor egy csákányra két ember jut, 50 csákány esetén az eredő vonóerő: K=100*K1=3*104N
Mérnöki alapok. 2. előadás
Lejtőn magára hagyott kocsi (erőegyensúly alapján) Egy lejtős földúton magára hagyott kocsi milyen esetben mozog egyenletes sebességgel lefelé? A felfújható gumitömlő és a földút közötti ellenállás-tényező értéke: µ=0.045.
Gt
G sin tg
mg sin arctg
Fs Gn G cos o arctg 0.045 2.58
mg cos
Mérnöki alapok. 2. előadás
(Az energia megmaradási törvény alapján)
Eh
mg h mgs sin
Ws
Fs s
mg cos s
Természetesen az eredmény azonos az előző megoldásban adódottal:
tg
arctg
arctg 0.045
Mérnöki alapok. 2. előadás
2.58
o
