Méréselmélet és mérőrendszerek 4 . E L ŐA DÁ S K ÉS ZÍ TET TE: DR . F Ü V ES I V I K TOR 2 0 1 6. 1 0 .
Mai témáink o Jelfeldolgozás o Fourier transzformáció o Frekvencia analízis o Jelek mintavételezése o Shannon-törvény o Aliasaing
o Szűrés o o o o o
Ideális szűrők Valós szűrők FIR IIR Szűrők fizikai megvalósítása
2
Jelfeldolgozás o Időtartományban o Az időben zajló folyamatok elemzését idősoros analízisnek (time series analysis) is nevezik, mely során az idősor karakterisztikáját próbálják leírni matematikai modellekkel. Az idősor az időben zajló folyamatokról azonos időközökben gyűjtött adatokat jelenti (mintavételezett jel), mellyel az idő függvényében lehet vizsgálni különféle folyamatokat. Az idő alapú jelfeldolgozás elején a mért jelet rektifikálják (egyenirányítás) valamint normalizálják (standardizálás). o Frekvenciatartományban o A mért jelet időtartományból frekvenciatartományba transzformálják (DFT, FFT, stb.), a jel eltérő frekvenciájú és amplitudójú periodikus jelekből álló frekvencia spektrumát vizsgálják, szűrik.
3
Jelfeldolgozás időtartományban o Az idősor mutathat: o trendet (hosszú távú tendencia), o szezonális ingadozást (rövid távú ismert periódusú ismétlődés) o ciklust (szabálytalan, ismeretlen hosszúságú hullámzás)
leírhatóak determinisztikus modellekkel
o Leginkább két hasznosítása van az idősorok elemzésének: o előrejelzés (predikció, extrapoláció) o adatpótlás (interpoláció)
4
Jelfeldolgozás - Szűrés o Időtartományban: o Átlagolással o Minta csökkentéssel o Frekvenciatartományban: o Aluláteresztő szűrő o Felüláteresztő szűrő o Sávzárő szűrő o Sáváteresztő szűrő o Egyéb szűrő felhasználásával o Mintacsökkentés itt is lehetséges o Ablakozási módszerek
5
Középértékek alkalmazása Középértékek meghatározása Cél azonos fajta adatok helyettesítése egy jellemző számértékkel o Követelmények: o közepes helyet foglaljanak el o számszerű adatok halmazának legyenek tipikus értékei o könnyű matematikai meghatározhatóság o értelmezhetőség o robosztusság – érzéketlenség kiugró adatokra
o Középértékek: o Számított átlag: számtani, harmonikus, mértani, négyzetes o Helyzeti átlag: módusz, medián
6
Számított középérték Mozgó átlag ◦ az ideális és a rekurzív átlagban az egyes tagok egyforma súllyal szerepelnek ◦ a súlyozott átlagban a súlyok nem azonosak, de egy adott átlagolás során állandóak
◦ ha az adatok időben lassan változnak, akkor az átlagolásban nem célszerű minden tagot egy forma súllyal szerepeltetni; célszerű a régebbi tagokat egyre kevésbé figyelembe venni: ◦
Abalakos átlagolás: a régi értékek elhagyása, az átlagképzést csak az utolsó meghatározott számú mérésre hajtják végre
◦
Felejtő átlagolás: a régi értékek fokozatosan (exponenciálisan) csökkenő súllyal szerepelnek az átlagolásban
7
Számított középérték
8
Számított középérték
9
Ismétlés
10
Ismétlés
11
Spektrum – Alapfogalmak
12
Spektrum – Alapfogalmak
13
Spektrum – Alapfogalmak
14
U[V]
Frekvencia analízis
T[ms]
Tvalós_jel
1 𝑇𝑣𝑎𝑙ó𝑠_𝑗𝑒𝑙
= 𝑓𝑣𝑎𝑙ó𝑠_𝑗𝑒𝑙 = 𝑓1
alapharmónikus 15
Frekvencia analízis
Tvalós_jel
Nem ismert pontosan!
T[ms]
Analízisre kijelölt regisztrátum a periódikus jel 1 periódusa!
Tvalós_jel=Tregisztrátum=T1 16
Frekvencia analízis N darab mintát fmv mintavételezési frekvenciával megmérünk, akkor a regisztrátum időtartama:
𝑓𝑟𝑒𝑔
𝑓𝑚𝑣 = = 𝑓1 𝑛
Treg a jel periódusideje
17
Frekvencia analízis Adott egy ideális szinuszjel, aminek frekvenciája f1. Amennyiben mintavételezéskor egy egész periódust, vagy annak egész számú többszörösét mérünk, a spektrum 1 komponensból áll
18
Frekvencia analízis Abban az esetben, ha nem egész periódust, vagy annak egész számú többszörösét mértük, a kivágott regisztrátumot egymás mögé illesztve nem az eredeti jelet kapjuk
Ennek következtében az eredeti jel hiába ideális szinusz, a spektrum nem egy összetevőt ad, hanem egy „sátor” jellegű spektrumképet!!
19
Frekvencia analízis Példa:
Mérendő frekvencia 50 Hz és feszültség effektív értéke 230 V. Mintavételezzük 300 Hz-es mintavételezési frekvenciával és vegyünk 200 mintát. Mennyi a regisztrátum időtartama? 𝑇1 = 𝑇𝑟𝑒𝑔 =
𝑛 200 = = 0,66 𝑠 𝑓𝑚𝑣 300
Mennyi a spektrum alapharmónikusa? 1 𝑓𝑚𝑣 300 𝑓1 = = = = 1,5 𝐻𝑧 𝑇1 𝑛 200
20
Frekvencia analízis Következtetés:
Ha a mért jel frekvenciájának és a spektrum alapharmónikusának hányadosa nem egész szám, akkor a frekvencia spektrum nem létező oldal-harmónikusok jelennek meg.
𝑓𝑗𝑒𝑙 ∈𝑍 𝑓1
EGÉSZ!!
𝑓𝑗𝑒𝑙 ∙𝑛 𝑓𝑚𝑣
= egész szám
21
Frekvencia analízis – Shannon-törvény Lehetőségek: 𝑇𝑟𝑒𝑔
𝑓𝑟𝑒𝑔
𝑓𝑚𝑣
𝑓1
Spektrum frekvencia tengelyének felbontását
Shannon-féle mintavételi törvény
22
Frekvencia analízis Példa:
Mérendő frekvencia 50 Hz és feszültség effektív értéke 230 V. Mintavételezzük 300 Hz-es mintavételezési frekvenciával és vegyünk 2000 mintát. Mennyi a regisztrátum időtartama? 𝑇1 = 𝑇𝑟𝑒𝑔 =
𝑛 2000 = = 6,66 𝑠 𝑓𝑚𝑣 300
Mennyi a spektrum alapharmónikusa? 1 𝑓𝑚𝑣 300 𝑓1 = = = = 0,15 𝐻𝑧 𝑇1 𝑛 2000
23
Frekvencia analízis
24
Frekvencia analízis - Aliasing A mintavételi frekvencia csökkentésével növekszik az un. Aliasing jelenség kockázata, nélküle is lehet ilyen jelenség.
Ha a mintavételezési törvényt nem tartjuk be, akkor a mintavételezett jelben nem létez összetevők jelenhetnek meg. Ezek az alias jelek.
25
Frekvencia analízis - Aliasing
26
Frekvencia analízis - Aliasing
27
Frekvencia analízis - Aliasing Védekezés: antialiasing szűrővel, ami egy aluláteresztő szűrő, nagy vágási meredekséggel, a mintavételi frekvencia felére beállított felső határ frekvenciával.
28
Frekvencia analízis - Aliasing Antialiasing szűrővel
Antialiasing szűrő nélkül
29
Frekvencia analízis - Aliasing 30kHz-es mintavételi frekvenciával
A rezgés frekvencia spektruma 7 kHz-es mintavételezési frekvenciával, antialiasing szűrő nélkül.
30
Frekvencia analízis - Probléma A jel frekvenciája nem állandó, időben változó, és/vagy a jel kváziperiodikus.
1. Ablakozó függvény alkalmazása 2. Szinkronizálni kell a mért jel frekvenciájához a spektrum alapharmonikus frekvenciát az f1 értékét.
31
Ablakozás Ablakozás során a regisztrátum szélet „előtorzítjuk” a minta szélein. Ekkor a jel spektruma elfogadhatóan közelít az ideálishoz. Logikusan a jelet úgy kell torzítani, hogy az időfüggvény szélei „el legyenek nyomva”.
32
Ablakozó függvények Többféle ablakozó függvény létezik, például:
• A négyszögletes ablak olyan tranziens jelek vizsgálatánál hasznos, melyek rövidebb ideig tartanak, mint az ablak • A négyszögletes ablak használatos még sorrendkövetésre, ahol az effektív mintavételi sebesség arányos a forgó gépek tengelyének fordulatszámával • A sorrendkövetésnél a négyszögletes ablak érzékeli a gép rezgésének saját frekvenciáját és a felharmonikusait 33
Ablakozó függvények
34
Ablakozó függvények Kaiser-Bessel ablak 𝐼0 𝑤𝑖 =
𝑖 𝑖 2𝛽 − 𝑁−1 𝑁−1
2
0≤𝑛 ≤𝑁−1
𝐼0 𝛽 0
𝑒𝑔𝑦é𝑏𝑘é𝑛𝑡
◦ A képletben 𝐼0 𝑥 Bessel függvény: ∞
𝐼0 𝑥 = 1 + 𝑘=1
𝑥 𝑘 2 𝑘!
2
◦ Ahol i=0, 1, 2, ... N-1
35
Ablakozó függvények Kaiser-Bessel ablak ◦ rugalmas simító ablak, melynek alakja változtatható a béta tényező értékének változtatásával ◦ a feladattól függően az ablak alakja megváltoztatható és így a spektrális szóródás mértéke szabályozható ◦ Kis béta értékeknél a négyszögletes ablakhoz hasonlít (β=0 esetén négyszögletes) ◦ Ahogy β nő, az ablak 2 oldala keskenyedik ◦ használható két, közel azonos frekvenciájú, de jelentősen különböző amplitúdójú jel érzékelésére
36
Ablakozó függvények „Flat Top” ablak ◦ A legnagyobb amplitúdó pontossággal rendelkezik a simító ablakok között (±0,02 dB) az olyan jelekre, amelyek tipikusan nem egész periódusokból állnak ◦ A „flat top” ablaknak széles fő szárnya van, ezért a frekvencia felbontóképessége gyenge. Az alábbi egyenlet írja le a „flat top” ablakot: 4
𝑤 𝑖 =
−1
𝑘
∙ 𝑎𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝜔
𝑘=0
◦ Ahol 2∙𝜋∙𝑖 𝑁 ◦ És a0 = 0.215578948 a1 = 0.416631580 a2 = 0.277263158 a3 = 0.083578947 a4 = 0.006947368 Koba ezt neked mindenképp tudnod kell!Brr 3:48-van; 4:51-re végeztem vele 𝜔=
37
Ablakozó függvények Flat Top” ablak ◦ A legalkalmasabb egy frekvencia komponens amplitúdójának pontos megmérésére, olyan jeleknél ahol alacsony szomszédos spektrális energia van a jelben ◦ Részben negatív súlyozású függvény, a frekvenciatartományban a csúcs lapos
38
Ablakozó függvények Exponenciális/Poisson ablak ◦ Mint sok ablakozó függvénynek, ennek is sok fajtája létezik 𝑁−1 1 − 𝑖− 2 𝜏 𝑒
𝑤 𝑖 = Ahol 𝜏 a függvény időállandója Az exponenciális függvény e ≃ 2.71828 szerint cseng le, megközelítőleg 8.69 dB időkonstansonként. Azaz D dB értékú lecsengéshez, hogy az ablak fele alatt csengjen 𝑁 8.69 le, 𝜏 = 2 𝐷 értékű kell, hogy legyen
39
Ablakozó függvények Exponenciális ablak ◦ Egy másik megoldás exponenciális ablakozásra: 𝑖∙𝑙𝑛 𝑓 𝑁−1
◦
◦ ◦
◦
𝑖 𝑁−1
𝑤 𝑖 =𝑒 =𝑓 Az ablakfüggvény kezdő értéke 1 és fokozatosan 0-ra csökken. Az exponenciális ablak végső értéke 0 és 1 között beállítható tranziens válaszfüggvények elemzéséhez használhatók, melyek hossza nem nagyobb, mint az ablak hossza csillapítja a jel végét, ezáltal biztosítva, hogy a jel teljesen lecsengjen a minta-blokk végére olyan jeleknél is használható, melyek exponenciálisan csökkennek, mint például az alak válasz enyhe csillapítással, amit egy külső hatás, mint például egy kalapácsütés gerjeszt
40
Ablakozó függvények Blackman ablak 𝑤 ◦ ◦
◦
2𝜋𝑖 4𝜋𝑖 𝑎 − 𝑎1 𝑐𝑜𝑠 + 𝑎2 cos 0≤𝑖 ≤𝑁−1 𝑖 = 0 𝑁−1 𝑁−1 0 𝑒𝑔𝑦é𝑏𝑘é𝑛𝑡 Általános értelmezésben a „Blackman” ablak Blackman „nem túl komoly javaslatára” vonatkozik (a0 = 0,42, a1 = 0,5, a2 = 0,08) Ez nagyban közelíti a „pontos Blackman”-t a0 = 7938/18608 ≈ 0.42659 a1 = 9240/18608 ≈ 0.49656 a2 = 1430/18608 ≈ 0.076849 Karakterisztikája hangtechnikában jó, habár nem optimális
• További hasznos információk a Blakman ablakról: http://www.ijcset.com/docs/IJCSET13-04-08-030.pdf 41
Javasolt ablakok Ablakozó függvényekből számtalan létezik, ezért a teljesség igénye nélkül került megemlítésre néhány kiemelt típus. Az alábbi táblázatban jellemző jelekhez ajánlott ablakozó függvények láthatóak
A jel típusa
Javasolt ablak függvény
Olyan tranziensek, melyek időtartama rövidebb, mint az ablak hossza
Négyszögletes
Olyan tranziensek, melyek időtartama hosszabb, mint az ablak hossza
Exponenciális, Hanning
Általános célú alkalmazások
Hanning
Spektrális analízis (frekvenciaválasz mérések)
Hanning (véletlenszerű gerjesztésre), Négyszögletes (pszeudorandom gerjesztésre)
Két nagyon közeli frekvenciájú, de nagyon különböző amplitúdójú jel szétválasztása
Kaiser-Bessel
Két nagyon közeli frekvenciájú, de majdnem azonos amplitúdójú jel szétválasztása
Négyszögletes
Pontos egy frekvenciájú amplitúdó mérés
Flat top
Szinusz hullám vagy szinusz hullámok kombinációja
Hanning
Szinusz hullám, az amplitúdó pontosság fontos
Flat top
Keskenysávú zavarjel (rezgés adatok)
Hanning
Szélessávú zavarjel (fehérzaj)
Uniform
Közeli térközű szinusz hullámok
Uniform, Hamming
Gerjesztő jelek (kalapács ütés)
Exponenciális
Válasz jelek
Exponenciális
Ismeretlen tartalom
Hanning
42
Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása Mi a szűrés? ◦ Jelet alkotó frekvencia komponensek amplitúdóinak megváltoztatása ◦ Például: mély hangszín szabályzó a sztereo rendszereken megváltoztatja a jel alacsony frekvenciáinak amplitúdóját, a magas hangszín szabályzó a magas frekvenciás komponensek amplitúdóit. A mély és magas szabályzók beállításával kiszűrhetjük vagy kiemelhetjük a különböző frekvenciájú hang jeleket ◦ A szűrési folyamat lehetővé teszi, hogy a jel számunkra lényeges részeit kiválasszuk a nyers (zajos) jelből. Egy klasszikus lineáris szűrő a frekvencia tartományban kiemeli a lényeges részeket az eredeti jelből. ◦ Két általános szűrő alkalmazás csökkenti a zajt és csonkítja a sávszélességet. A csonkítás egy aluláteresztő szűrőt tartalmaz, és csökkenti a mintavétel frekvenciáját.
43
Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása Előnyei az analóg szűréssel szemben: ◦ analóg szűrők tervezéséhez komoly matematikai ismeretek szükségesek, és ismerni kell a szűrők rendszerekben kifejtett hatásának bonyolult folyamatát is ◦ nagyobb pontosság érhető el velük, mint R-L-C áramkörökkel, ◦ olyan szűrők is megvalósíthatók, amelyeknek nem létezik valós, R-L-C elemekből készíthető megfelelőjük, ◦ paraméterei programozhatók, így könnyen változtathatók és az eredmény gyorsan tesztelhető. ◦ egyszerű számtani műveletekkel dolgoznak, amelyek az összeadás, kivonás, szorzás, osztás. ◦ nem érzékenyek a környezeti hatásokra, ezért a rendszeres utánhangolásokra nincs szükség.
44
Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása További előnyök:
◦ nem tartalmaznak különleges pontosságot igénylő alkatrészeket ◦ különlegesen jó a teljesítmény/költség arányuk. ◦ tulajdonságaik nem függnek a gyártási verzióktól és tulajdonságaik nem "öregszenek". ◦ készíthetők ún. adaptív, vagyis a feladathoz automatikusan alkalmazkodó szűrők is ◦ nagyon alacsony frekvencián is használhatóak az analóg szűrőkkel ellentétben, ugyanis azok használata a nagyon alacsony frekvenciákon az induktivitások miatt már problémás ◦ a hardver sokszorozása nélkül is szűrhetünk több bemenő jelet ugyanazzal a szűrővel ◦ egyaránt tárolhatjuk a szűrt és a szűretlen jeleket a további feldolgozásra
45
Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása A digitális szűrők hátrányai: ◦ sebességhatár ◦ a véges szóhosszból adódó problémák ◦ tervezési idő
Egyszerűsített blokkvázlatuk:
51
Ideális szűrő jellemzői Az ideális szűrőt nem lehet megvalósítani!
Az ideális szűrők lehetővé teszik egy megadott frekvenciasáv teljes (veszteségmentes) áteresztését, míg a nem kívánt frekvenciatartomány jeleit teljes egészében (maximálisan) elnyomják. Következő csoportosításban aszerint osztályozzuk a szűrőket, hogy egy frekvenciatartomány jeleit átengedik vagy elnyomják. Aluláteresztő szűrők: átengedik az alacsony, és levágják a magas frekvenciájú jeleket Felüláteresztő szűrők: átengedik a magas, és levágják az alacsony frekvenciájú jeleket Sáváteresztő szűrők : egy bizonyos frekvenciatartomány jeleit átengedik Sávvágó szűrők: egy bizonyos frekvencia tartomány jeleit nem engedik át
47
Ideális szűrők frekvencia válaszai
Az aluláteresztő szűrő f c alatt minden frekvenciát átenged.
A felüláteresztő szűrő f c felett minden frekvenciát átenged.
A sáváteresztő szűrő f c1 és f c2 között minden frekvenciát átenged.
A sávvágó szűrő f c1 és f c2 között minden frekvenciát csillapít (levág).
48
Valóságos szűrők Ideális esetben egy szűrőnek egységnyi (0 dB) az erősítése az átviteli sávban, és nulla ( dB) az erősítése a vágási sávban. A valóságos szűrők nem tudják teljesíteni egy ideális szűrővel szemben támasztott követelményeket. A gyakorlatban mindig van egy véges átmeneti sáv az átviteli és vágási sáv között. Az átmeneti sávban a szűrő erősítése fokozatosan változik egytől (0 dB) nulláig dB) átviteli sávtól a vágási sávig.
49
Nem ideális szűrők
50
Véges impulzus válasz (FIR) szűrők Véges impulzus válasz szűrők ( FIR szűrők ) olyan digitális szűrők, amelyeknek időben véges hosszúságú impulzusválaszuk van. A véges impulzus válasz szűrők működésükkor csak az aktuális és az előző bemeneti értéket veszik figyelembe a szűrő algoritmusában. Az ilyen típusú szűrőket a legegyszerűbb megtervezni. A véges impulzus válasz szűrők más néven is ismertek, mint nem visszatérő (nem rekurzív), konvolúciós , vagy mozgó átlag (MA) szűrők . A véges impulzus válasz szűrők a szűrő-együtthatók konvolúcióját végzik a bemenő értékek egy sorozatán, és létrehozzák a kimeneti értékek (azonosan sorszámozott) sorozatát.
51
Véges impulzus válasz (FIR) szűrők Az alábbi egyenlet a véges impulzus válasz szűrő véges konvolúcióját adja meg: Nb
Ahol:
y k bi x k i i 0
x[k-i] a szűrő bemeneti jelének értéke a [k-1]-ik időpillanatban y[k] a szűrt jel értéke a [k]-ik időpillanatban bi a szűrő (FIR szűrő) i-ik együtthatója Nb a szűrő együtthatóinak száma (fokszáma)
52
FIR szűrők A véges impulzus válasz szűrők (FIR szűrők) a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
A FIR szűrők lineáris fázismenetet valósítanak meg, mert a szűrő együtthatói szimmetrikusak. A FIR szűrők mindig stabil működésűek. A FIR szűrők a jelek szűrését a konvolúció alkalmazásával teszik lehetővé. Ezért általában a kimenő sorozat mindig tartalmaz késleltetést , amelyet a következő egyenletben láthatunk
A kimenő jel késleltetése mintavételi lépésben =
Nb 1 2
53
FIR szűrők Az ábrán a fázis-függvényben lévő szakadások akkor keletkeznek, amikor az abszolút értéket használjuk az amplitúdó függvény meghatározásához. A fázis jelleggörbe szakadásai PI (π = 3.14) egész számú többszöröseinél vannak, bár a fázisfüggvény teljesen lineáris.
FIR szűrő amplitúdó és fázis függvénye összehasonlítva a normalizált frekvenciával
54
Végtelen impulzus válasz (IIR) szűrők A végtelen impulzus válasz szűrők (IIR = Infinite Impulse Response), más néven rekurzív vagy autoregresszív mozgó átlag (ARMA) szűrők az aktuális és a korábbi bementi értékek, valamint a korábbi kimeneti értékek szerint működnek. Egy IIR szűrő impulzusválasza alatt értjük az általános IIR szűrőnek egy olyan impulzusra adott válaszfüggvényét, amelyet a következő dián lévő egyenlet definiál. Elméletileg egy IIR szűrő impulzusválasz függvénye soha nem éri el a nulla értéket, ez tehát egy végtelen válaszfüggvény.
55
Végtelen impulzus válasz (IIR) szűrők A következő általános differencia-egyenlet az IIR szűrő működését írja le:
ahol:
Na 1 Nb y k b j x k j ai y k i a0 j 0 i 1
bj az előreható szűrőegyütthatók halmaza Nb az előreható szűrőegyütthatók száma ai a visszafelé ható szűrőegyütthatók halmaza Na a visszaható szűrőegyütthatók száma
56
Másodfokú szűrés Alul-, és felüláteresztő szűrők helyett, amelyeknek egy határfrekvenciájuk van, tervezhetünk közvetlenül másodfokú szűrő fokozatokat. Az így kapható alul-, és felül áteresztő végtelen impulzusválasz ( IIR ) szűrők sorba kapcsolt másodfokú szűrőkből épülnek fel. Minden másodfokú szűrő fokozat a következő jellemzőkkel rendelkezik: • • • • • •
d = 1,2, …,Ns, ahol k a másodfokú szűrő fokozat sorszáma, Ns a fokozatok száma = (Na+1)/2. Minden másodfokú szűrő fokozatnak két visszaható együtthatója van, (a1d, a2d). Az összes visszaható együtthatók száma =2·Ns Minden másodfokú szűrő fokozatnak három előreható együtthatója van, (b0d, b1d, b2d). Az összes előreható együtthatók száma =3·Ns. 57
Negyedfokú szűrés A sáváteresztő és sávvágó szűrőknek , amelyeknek két határfrekvenciájuk van, a negyedfokú szűrő konstrukció jobb hatásfokú, mint a másodfokú szűrő fokozatok. A végtelen impulzusválasz ( IIR ) sávvágó, sáváteresztő szűrők a negyedfokú szűrők összekapcsolásával készíthetők, amelyek negyedfokú tagok sorba kapcsolásával jönnek létre. Minden negyedfokú szűrő tag a következő jellemzőkkel rendelkezik: d = 1,2, …,Ns, ahol d a negyedfokú szűrő fokozat sorszáma, Ns a fokozatok száma = (Na+1)/4. Minden negyedfokú szűrő fokozatnak négy visszaható együtthatója van, (a1d, a2d, a3d, a4d). Az összes visszaható együtthatók száma =4·Ns Minden negyedfokú szűrő fokozatnak öt előreható együtthatója van, (b0d, b1d, b2d , b3d, b4d). Az összes előreható együtthatók száma =5·Ns. 58
Butterworth-szűrők A Butterworth-szűrők a következő jellemzőkkel rendelkeznek: Csillapított amplitúdó függvény minden frekvencián Az amplitúdó függvény monoton csökkenő egy adott határfrekvenciától Maximális laposság, az átviteli sávban a válaszfüggvény egységnyi értékű, a vágási sávban pedig nulla. Fél-teljesítmény frekvencia vagy 3 dB-s csökkenési frekvencia összefüggés-ben van a vágási frekvenciával. A Butterworth-szűrők előnyei, a simaságuk és monoton csökkenő frekvencia függvényük. Aluláteresztő Butterworth-szűrő amplitúdó-frekvencia függvénye 59
Csebisev-szűrők A Csebisev szűrőknek a következő jellemzőik vannak:
Minimális csúcshiba az átviteli sávban Egyenletes ingadozású amplitúdó függvény az átviteli sávban Monoton csökkenő amplitúdó függvény a vágási sávban Élesebb frekvencia levágású, mint a Butterworthszűrők
Aluláteresztő Csebisev-szűrő amplitúdó-frekvencia függvénye
A Butterworth-szűrőhöz hasonlítva egy Csebisev-szűrő élesebb frekvencia levágás valósít meg az átviteli és vágási sáv között, alacsonyabb fokú szűrővel. A Csebisev-szűrő éles átmenete kisebb abszolút hibát, gyorsabb végrehajtást eredményez, mint egy Butterworth-szűrőé. 60
Csebisev II-szűrők A Csebisev II szűrőknek a következő jellemzői vannak: Minimális csúcshiba a vágási sávban Egyenletes ingadozású amplitúdó függvény a vágási sávban Monoton csökkenő amplitúdó függvény az átviteli sávban Élesebb frekvencia levágású, mint a Butterworth-szűrők
A Csebisev II - szűrők hasonlítanak a Csebisev-szűrőkre. A következőkben viszont eltérnek a Csebisevszűrőktől : - A Csebisev II - szűrők az átviteli sáv helyett a vágási sávban csökkentik a csúcshibát. A Csebisev-II szűrőknek egyenletes ingadozású amplitúdó függvénye van az átviteli sáv helyett a vágási sávban.
A Csebisev-II szűrőknek monoton csökkenő amplitúdó függvénye van az átviteli sávban a vágási sáv helyett.
61
Csebisev II-szűrők
Aluláteresztő Csebisev II -szűrő amplitúdó-frekvencia függvénye 62
Elliptikus szűrők Az elliptikus szűrők jellemzői: Minimális csúcshiba a vágási és átviteli sávban
Egyenletes ingadozású amplitúdó függvény a vágási és átviteli sávban Összehasonlítva a Butterworth vagy Csebisevszűrőkkel, az Elliptikus szűrők adják a legélesebb átmenetet az átviteli és vágási sáv között, amely megmagyarázza, hogy miért annyira elterjedtek. Aluláteresztő Elliptikusszűrő amplitúdófrekvencia függvénye
63
Bessel szűrők Egy aluláteresztő Besselszűrő amplitúdó-frekvencia függvénye
A Bessel-szűrők a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
Maximálisan lapos amplitúdó- és fázisfüggvény Közel lineáris fázisfüggvény az átviteli sávban A Bessel-szűrőket arra használhatjuk, hogy az összes IIR szűrőre jellemző nemlineáris fázistorzítást lecsökkentsük a segítségével. A nagy rendszámú IIR szűrőknek határozott, meredek lefutású nemlineáris fázistorzításuk van, különösen a szűrők átmeneti tartományában. Előállíthatjuk a lineáris fázisfüggvényt FIR szűrőkkel is.
64
Szűrők fizikai megvalósítása RL és RLC szűrőáramkörök
Aluláteresztő szűrők
65
Szűrők fizikai megvalósítása RL és RLC szűrőáramkörök
Felüláteresztő szűrők
66
Szűrők fizikai megvalósítása RL és RLC szűrőáramkörök
Párhuzamos rezgőkör előtét ellenálással
Sáváteresztő szűrők
67
Szűrők fizikai megvalósítása RL és RLC szűrőáramkörök
Soros rezgőkör előtétellenállással
Sávzáró szűrők
68
Köszönöm a figyelmet! TALÁLKOZUNK JÖVŐHÉTEN!
69
