MENGANALISA KESTABILAN SISTEM TENAGA DENGANMETODE LYAPUNOV RISNIDAR CHAN. Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara

MENGANALISA KESTABILAN SISTEM TENAGA DENGANMETODE LYAPUNOV RISNIDAR CHAN Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara 1. Pendahuluan. Dalam pelayanan energi listrik kepada konswnen perlu dijaga kontinuitas pelayanan Salah satu faktor yang mempengaruhinya adalah kestabilan sistem tenaga tersebut. Apabila sistem mengalami gangguan, apakah disebabkan pertambahan beban mendadak atau perlahan-lahan,kita akan melihat sistem masih stabil atau tidak. Banyak metoda yang dipakai untuk menentukan kestabilan suatu sistem tenaga, seperti metode sama luas, step by step,Lyapunov dan lain-lain.Disini akan dibahas metoda Lyapunov 2. Permasalahan: Cara -cara menentukan kestabilan sistem tenaga menurut metoda Lyapunov. 3. Pembahasan: Pada metode Lyapunov kestabilan dari suatu sistem berdasarkan pengamatan energi yang tersimpan dan dalam menganalisanya dibagi atas 2 kelompok, yaitu : 1. Metode pertama Lyapunov : semua metode dimana persamaan differensial dari sistem diselesaikan dan kestabilan ditentukan dari solusinya. 2. Metode kedua Lyapunov : kestabilan sistem ditentukan tanpa penyelesaian persamaan differensial, tetapi berdasarkan energi yang tersimpan baik energi kinetik maupun potensial. Keuntungan metode ini : • Bisa dipakai untuk sistem orde berapa saja. • Tidak dipersulit dalam penyelesaian persamaan non linear. Tetapi untuk sistem yang rumit, sulit mencari fungsi energi yang tersimpan dan juga jika susunan fisis sistem tidak diketahui. Sifat-sifat energi yang tersimpan : • harus ≥ 0 • harus sebanding dengan perkalian antara variabel atau sebanding dengan kwadrat salah satu variabel Untuk menganalisa metode Lyapunov ini perlu kita buat beberapa pengertian dasar seperti : 1. Sistem stabil : bila energi yang disimpan makin lama makin kecil sehingga osilasi diredam. 2. Sistem tidak stabil : hila energi yang disimpan makin lama makin besar sehingga osilasi juga membesar. 3. Fungsi Lyapunov : V( x, t ) ≥ 0 untuk t ≥ 0 atau V(x) ≥ 0 V( 0 ) = 0 V( 0, t ) = 0 untuk t ≥ 0 V(x, t ) → skalar V(x, t ) - perkalian variabel - kwadrat salah satu variabel dV (x,1) = V (x,1) dt

© 2004 Digitized by USU digital library

1

4. Persamaan sistem : x = f (x, u, t) x = f (x, u, t) vektor berdimensi n dengan elemen-elemennya fungsi dari x1,x2, ...xn, u1, u2, ...un, t. Dimana x = turunan x terhadap t. Untuk sistem linar invarian waktu : x1 = a11.x1 + a12.x2 + ...+ a1n.xn + b11.u1 + ...+ bnm.Um ↓ xn = an1.x1 + an2.x2 + ...+ ann.xn + b11.u1 + ...+ bnm.um dimana a11, a12, ...amn konstanta b11, b12, ...bmn Untuk menganalisa kestabilan : U = 0 → x=f (x,t)=f(x) Untuk mengetahui response: harus diketahui kondisi mula: xo Jadi solusi sistem: φ ( t, xo, to ) = xo Titik keseimbangan : f (xc,t) = o maka x = xc dan x = 0 dapat berada disembarang tempat tetapi dapat digeser kepusat koordinat dengan translasi koordinat. Ruang yang dibentuk oleh variabel-variabel x1, x2, ...xn disebut ruang Euclidian = Rn Khusus oleh x1 dan x2 saja disebut bidang phasa. (lihat gambar 1).

NORM (x– xc) = || x – xc || disebut euclidian norm. || x– xc || = [(x– x1e)2 + (x– x2e)2 + ... (x– xnc)2]1/2 Pengertian kestabilan menurut Liapunov : 1. sistem stabil jika: || xo– xe || ≤ ∂ → ∂ > 0 = jari-jari bola dengan pusat xe dan melingkupi xo atau xe 2. || φ (t, xo,to) – xe || ≤ ε → ε jari-jari bola dengan pusat di xe dan melingkupi xo dan xe Jadi titik setimbang dikatakan stabil bila untuk S(ε), ada S(∂) yang sedemikian rupa sehingga semua trayektoni yang dimulai dari S(∂) tidak pemah keluar dari S(ε) untuk waktu yang bertambah terus (gambar 2).


2

Sistem stabil sistosis bila : - stabil - lim φ ( t, xo, to ) = xe Trayektori mulai dari dalam S (ε), menuju xe dan mungkin menuju tak terhingga atau limit cycle (gambar 4). Ada juga kestabilan diklasifikasikan sebagai berikut : 1. Stabil uniform : ∂ tidak tergantung pada to 2. Stabil terbatas : jika sistem kembali ke titik singular dari titik mana saja didalam daerah Rn (dimensi terbatas). 3. Stabil global: jika stabil a simptotis berlaku untuk setiap daerah paduyjhmn67a bidang Euclidian Rn (tidak ada S(ε) yang membatasi). 4. Stabil lokal : jika sisitem masih tetap didalam daerah yang terbatas disekitar titik singular ketika diberi gangguan kecil. Pada metode Lyapunov, tanda dari suatu fungsi memegang peranan penting, sehingga sifat-sifat penting dari suatu fungsi adalah sifat perubahannya terhadap waktu dan tanda nilainya positif atau negatif untuk berbagai nilai variabelnya sangat diperhatikan. Pengertian tanda fungsi V(x) adalah sebagai berikut : Pasti positif : jika - V(x) > 0 untuk x ≠ 0 - V(x) = 0 untuk x = 0 Pasti negatif: jika - V(x) < 0 untuk x ≠ 0 - V(x) = 0 untuk x = 0 Setengah pasti positif : jika – V(x) > 0 untuk x ≠ 0 - V(x) = 0 untuk x = 0 dan beberapa harga x ≠ 0 Setengah pasti negatif : jika - V(x) < 0 untuk x ≠ 0 - V(x) = 0 untuk x = 0 dan beberapa harga x ≠ 0 Tidak ada kepastian : jika - V(x) > 0 untuk x ≠ 0 - V(x) < 0 untuk x ≠ 0 Bentuk Kwadrat Fungsi Lyapunov Fungsi Lyapunov adalah bentuk fungsi yang menyatakan energi. Fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk kwadrat. Untuk fungsi Lyapunov yang dalam bentuk kwadrat dapat ditulis : 1 V(x) = xt. P.x ............................................................. x = vektor (n x 1), variabel keadaan. Dimana : V = skalar P = matrik (n x m) nyata dan simetris xt = traqnspose dari vektor x Untuk sistem orde 2 (n = 2) maka : x1 p11 p12 x= dan p = x2 p21 p22 Sehingga : V (x) = (x1 x2)

p11

p12

x1

p21

p22

x2

= P11.x1 + P22,x22 + P12.x1.x2 + P21.x1.x2 Bila P matrik V(x) Bila matrik P V(x)

diagonal maka P12 =p21 = 0, sehingga: = p11.x21 + P22.X22 adalah simetris maka p12 =p21, sehingga: = p11.x12 + P22.X22 + 2. p12.x1.x2


3

Dengan kriteria Sylvester menentukan tanda fungsi V(x) cukup dengan melihat sifat matrik P. Kriteria Sylvester menyatakan: V(x) = xt.P.x adalah 1. Pasti positif, bila determinan dari semua minor utama > 0. Bila diketahui matrik P

P=

P11 P12..................... P1n P21 Pnn.

Pn1 Pn2

Maka fungsi skalar bentuk kwadratik V(x) positif, hila P11> 0, demikian minor utamanya adalah P11 P12

>0

P21 P22 Determinan dari matrik P juga: P11 P1n Pn1 Pnn 2. 3. 4. 5.

>0

Pasti negatif, Bila determinan semua minor utama < 0 Setengah pasti positif, bila determinan minor utama > 0 dan ada = 0 Setengah pasti negatif, bila determinan minor utama ≤ 0 Tidak ada kepastian, bila determinan minor utama >0 atau < 0 atau = 0

Dalil Metode Lyapunov Untuk fungsi Lyapunov V(x) yang berbentuk kwadrat maka gambar akan berbentuk lingkaran atau ellips. x = ƒ(x,1) Dalil 1 : Andaikan persamaan gerak sistem adalah Dengan kondisi mula x(to) = xo dan titik kesetimbangan pada xe = 0 sehingga f(o,t) = 0 untuk semua t ≥ to. Sistem dengan xe akan bersifat stabil asimtotis secara uniform, bila : 1. V(x, t) atau V(x) pasti positif. 2. Turunan V(x.t) yaitu dV(x,t) atau dV(x,t) = V(t) dt dt Dan bila V(x,t) → ∝, dengan || x || → ∝, maka sistem mempunyai sifat stabil global. Dalil 2 : Bila persamaan gerak sistem : x = f(x, t))dimana f(0, t) = 0 untuk t ≥ to. Titik ekuilibrum xe(x = 0) stabil, bila : 1. V(x, t) pasti positif 2. V(x, t) setengah negatif V(x, t) setengah negatif, artinya pada suatu saat turunannya = 0, berarti suatu saat V(x, t) tetap (konstan), maka akan terjadi oscillasi terus menerus Dalil 3 : Bila persamaan gerak sistem x = f(x, t) dimana f(0,t) = 0 untuk t ≥ to maka titik ekuilibrum xe (V xe = 0) tidak stabil bila : 1 V(x, t) pasti positif 2 V(x, t) pasti positif juga


4

Menentukan Fungsi Lyapunov Pada metoda Lyapunov, menentukan fungsi Lyapunov dari sistem yang dianalisa merupakan proses yang penting dan sulit. 0leh sebab itu sangat diperlukan proses perhitungan yang sistematis. Disini akan diuraikan metode perhitungan untuk sistem linear dan non linear. Untuk Sistem Linear Dengan persamaan keadaan : x =A.x ................................................... Dan fungsi Lyapunov ; V(x) = xt. P.x dimisalkan pasti positif. Maka : dV(x) V(t) = -------------------- = xt.P.x + xt.P x dt t = (A.x) .P.x+xt.P.A.x ..............................................................3 = x t(At.P+P.A).x 4 Dimisalkan: V(x) = - xt. Q . x Agar V(x) pasti negatif sehingga sistem stabil asimtotis, maka matrik Q harus pasti positif. Dari Persamaan 3 dan 4 maka diperoleh : At.P + P.A = -Q............................................................ 5 Kemungkinan nilai matrik Q banyak sekali, jadi bisa diambil bentuk yang paling sederhana yaitu matrik identitas : Q= I ..............................................6 Dari persamaan 5 dan 6 dapat diperoleh matrik P simetris dan unik. Jadi fungsi Liapunov V(x) = xt.P.x dapat dihitung. Contoh : Diketahui sistem dengan diagram blok sebagai berikut :

Ditanya : dengan metode Lyaponov berapa bear K agar sistem masih stabil Penyelesaian : Agar sistem stabil haruslah : - V (x) pasti positif - v (x) pasti negatif, atau paling tidak setengah negatif Dari gambar terlihat (diperoleh) persamaan : 3


5

Dalam bentuk vektor matrik, persamaan sistem adalah :

Atau dapat ditulis dalam bentuk : x = A.x + B.u, untuk menentukan harga k agar sistem masih stabil dianggap bahwa input u = 0.Dari persamaan diatas kestabilan pada titik kesetimnbangan memerlukan syarat : - V (x) = x.P.x pasti positif. - V (x) = -xt.Q.x setengah (pasti ) negatif - Q dipilih matrik simetris yang setengah pasti positif saja, dengan demikian misalnya :

Pemilihan ini diizinkan karena tidak menyebabkan nilai V(x) menjadi 0 selain pada titik ekuili rium (xe = 0). Dari V(x) = -xt.Q.x dengan mensubstitusikan Q akan diperoleh : V (x) = -X3 2 V (x) = 0 bila x3 = 0 Pada saat x3 = 0 maka x3 = 0 masukkan ke persamaan, maka x1 = 0, sebab 0 = →kx1-0.Bila x1= 0, pada saat ini x1 = 0 → berarti x2 = 0, jadi V(x) = 0 hanya terjadi pada titik asal (xe = 0). Dengan demikian kita boleh memakai matrik Q diatas untuk analisa kestabilan. Dari persamaan : -Q = At.p + P.A atau

diperoleh :

Dengan bantuan dalil Sylvester: agar | P | pasti positif haruslah | P11 | > 0. Jadi : K>0 ;12-2k> 0, dari sini didapat bahwa syarat stabil : 0>K>6. lni merupakan syarat bagi stabil biasa. Agar stabil asimtotis maka : V(x) = 0 hanya untuk x = 0. Jadi sistem stabil asimtotis untu kharga 0 < k < 6. Untuk sistem Non Linear Ada beberapa metode yaitu : a. Metode Krasovskii b. Metode Gradient dari Schults -Gibson.


6

A. Metode Krasovskii Bila persamaan sistem : x = f (x) .......................................... 7 Dimana: ft = (f1,f2, ...fn) X = vektor dimensi n x t F(0) = 0 dan f(x) dapat didiffrensial terhadap x1, I = 1,2,3,.........N Sehingga matriks Jacobi F(x) adalah :

..................................... 8

didefinisikan : F (x) = Ft (x) + F (x) ........................................................ 9 dimana : Ft(x) = transpose dari F(x) Dari persamaan 7,8 dan 9 dapat disimpulkan bahwa bila F(x) adalah pasti negatif maka titik keseimbangan xe = 0 adalah stabil asimtotis, dan fungsi Liapunovnya : V(x)=ft(x).f(x) ....................................................... 10 Contoh : Diketahui : sistem nonlinear dengan persamaan : x1 = -x1 x2 = x1 – x2 x22 Ditanya : Tentukan kestabilan sistem pada titik ekuilibriumnya. Penyelesaian : Titik ekuilibriumnya pacta pusat koordinat → xe = 0, untuk sistem ini :


7

Jika dapat disimpulkan : F (x) pasti negatif . Karena F (x) pasti negatif untuk semua x ≠ 0 maka titik ekuilibrium xe = 0 stabil asimtotis. Dan fungsi Lya punov yang diperoleh :

Bila x → ∝ maka v (x) → ∝, jadi kestabilan pada titik xe = 0 adalah kestabilan global B. Metode Gradient dari Schults - Gibson Bila persamaan sistem : x = f(x,t) ................................................... 11 Dengan titik ekuilibrium : xe = 0 Fungsi Lyapunov v (x) dapat dihitung dari gradient v atau ∇v. Gradient v (x) atau ∇v adalah :

............................................................. 12

........................ 13

Dari persamaan 12 dan 13 diperoleh : V = (∇V)t.x ............................ 14 Dimana ∇Vt = transpose ∇V


8

Fungsi Liapunov V (x) diperoleh sebagai integral garis dari ∇V, yaitu :

............ 16

Agar V dari persamaan 16 dapat diperoleh, maka Gradient V harus memenuhi suatu syarat yaitu matrik Jacobi F harus simetris . Matrik Jacobi ∇V :

................................................... 17

adalah matrik simetris, Jadi dipenuhi persamaan Kurl : ................................................... 18 Jumlah persamaan 18 adalah n (n – 2)/2, untuk n = 3, ada 3 persamaan, yaitu :

Untuk memudahkan perhitungan misalkan Grad V berbentuk :

........................................ 19


9

Dimana koefisien aij harus ditentukan kemudian, yang dapat berupa fungsi waktu, variabel keadaan atau konstanta. Khusus untuk ann dipilih konstanta, biasanya = 2. Bila titik ekuilibrium xc = 0 dari sistem non linear adalah stabil asimtotis, maka fungsi Liapunov dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut : 1. Tentukan bentuk ∇V dengan persamaan 19. 2. Hitung V dari ∇V , dengan persamaan 14 3. Berikan batas koefisien ∇V sehingga V pasti negatif atau minimum setengah pasti negatif. 4. Gunakan persamaan Kurl 18 dimana F harus simetris untuk mencari koefisien ∇V pada langkah ke 3 yang belum diketahui. 5. Periksa kembali tanda V setelah koefisien ∇V dilengkapi pada langkah 4 6. Hitung V dari integral garis ∇V 7. Periksa daerah kestabilan asimtotis Fungsi Lyapunov untuk menghitung waktu transisi. Fungsi Lyapunov juga dapat dipakai untuk menghitung waktu transisi dari sistem linear dan non linear yaitu : transisi pada waktu sistem mengadakan dinamika dari suatu kondisi mula ke suatu kondisi tertentu. Fungsi Lyapunov menggambarkan posisi keadaan sistem setiap saat terhadap titik ekuilibriumnya. Misal titik ekuilibrium terletak di pusat koordinat (xe = 0) dan η = V (x)/V(x) ................................................................... 20 Dimana : V(x) = fungsi Lyapunov V(x) = turunan fungsi Lyapunov Untuk sistem yang stabil asimtotis : V(x) = pasti positif V(x) = pasti negatif sehingga η = selalu positif Misalkan pula nilai minimum -V(x)/v(x) adalah ηmin atau V (x) ηmin = min

------------

v (x)

...............................................................21

maka diperoleh ketidaksamaan differensial : V(x) ≤ - ηmin. V(x) Yang mempunyai solusi : V(x) ≤ - V(xo) .e-ηmin. (t.to)......................................................... 22 V(xo) = energi mula pada x = xo dan t = to V(x) = energi akhir pada t = konstanta waktu terbesar dari fungsi Lyapunov.

Dimana : 1/ηmin

Bila V(x) diartikan jarak (posisi) dari koordinat titik ekuilibrium maka persamaan 22 merupakan kecepatan sistem mendekati titik ekuilibrium. Jelasnya dari energi mula v (x0) sistem mencapai energi akhir V(x) dalam waktu (t-to) detik.


10

Menghitung ηmin untuk Sistem Linear Misal sistem linear invariant waktu dinyatakan persamaan : x = A.x dan V(x) = xt.P.x V(x) = -xt.Q.x dimana : A = n x n matrik non singular x = vektor berdimensi n P = matrik Hermitian (matrik real simetrik)pasti positif Q = - (At.P + P.A) Sehingga dapat ditulis :

min

berarti tercapai ηmin tercapai saat x { xt.Q.t} dengan syarat xt.P.x = 1. Dengan perkataan lain fungsi diminimumkan terhadap suatu harga energi yang tertentu. Untuk mencari minimum dapat digunakan cara pengali Lagrange. Ambil =µ pengali Lagrange. Untuk membuat minimum dengan syarat xt.Q.x sama dengan - µ.xt.P.x Harga xt.P.x = 1 sama dengan membuat minimum terhadap xt.Q.x minimum dapat diperoleh saat difrensial pertama = 0 dan memperhatikan tanda pada turunan keduanya. t t Harga minimum x .Q.x - µ.x .P.x terjadi pada suatu nilai Xmin sehingga (Q - P).Xmin = 0. t t Karena x .Q.x - µ.x .P.x =xt.(Q-µ.P).maka saat minimum berarti : Xtmin .(Q-µ.P) Xmin = 0 Xtmin .Q. Xmin = µ. Xtmin. P. Xmin = > 0 (karena xt.P.x = 1) adalah minimum bila juga minimum. Dari (Q-µ.P) Xmin = 0 didapat : Q. Xmin = -µ.P.Xmin atau Q.P .Xmin = -µ.Xmin -1 Ini berarti µ adalah nilai eigen Q.P . Untuk x = A. x -1

λ= nilai eigen A.x = λ .x Jadi µ dihitung dengan metode nilai eigen sebagai berikut :

⏐Q.P-1 - Ι.µ ⏐= 0 ……………………………………………………………………. 24 Dari persamaan 24 diatas akan lebih sederhana bila Q = I, maka nilai Eigen µ = nilai eigen P-1 atau :

⏐Q.P-1 - Ι.µ ⏐= 0 atau ⏐I - P.µ ⏐= 0 ……………………………………………….. 25 jadi ηmin sama dengan µmin juga.


11

4. Kesimpulan Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa pada metode Lyapunov : Kestabilan sistem berdasarkan pengamatan energi yang tersimpan. Pengertian stabil dibatasi (diklasifikasi) atas : stabil, stabil asimtotis, tidak stabil, stabil terbatas, global dan lokal Tanda dari suatu fungsi sangat menentukan kestabilan sistem dan dikenal tanda fungsi pasti positif, pasti negatif, setengah pasti positif, setengah pasti negatif dan tidak ada kepastian. Fungsi Lyapunov dapat dinyatakan dalam bentuk kwadrat. Pada metode Lyapunov dipakai juga kriteria Sylvester untuk fungsi Lyapunov. Ada 3 dalil metode Lyapunov untuk menentukan kestabilan sistem Menentukan fungsi Lyapunov dari sistem yang dianalisa merupakan proses yang penting dan sulit. Ada 2 metode yaitu : • Metode Kravoski • Metode gradient dari Schults-Gibson Fungsi Lyapunov dapat juga dipakai untuk menentukan waktu transisi dari system linear dan non linear. Konstanta waktu minimum transisi dapat dihitung dengan metode nilai Eigen. 5. Daftar Pustaka M.A.Pai, Poer system stability : analysis by the Direct Method of Lyapunov, Vol.3. [s.l] :North-Holland ,1931 Ogata, K., Modern control engineering, [s.l] : Prentice - Hall, 1985 R.J. Widodo, Diktat kuliah sistem pengaturan modern. Bandung : ITB ,1986.


12

MENGANALISA KESTABILAN SISTEM TENAGA DENGANMETODE LYAPUNOV RISNIDAR CHAN. Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara

Recommend Documents