MENEMUKAN KONSEP PERMUTASI MELALUI DISCOVERY LEARNING BERBANTUAN KOIN BERWARNA Dana Arif Lukmana Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Lumajang Email:
[email protected] Abstrak: Permutasi adalah salah satu materi dasar dalam rumpun kombinatorik yang perlu dipahami dengan baik, terutama untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam teori peluang. Untuk memahamkan siswa tentang konsep permutasi, cara yang bisa ditempuh salah satunya adalah dengan discovery learning dengan langkah-langkah: 1) Stimulasi, 2) Identifikasi masalah, 3) Pengumpulan data, 4) Pengolahan data, 5) Verifikasi, dan 6) Generalisasi, yang penerapannya menggunkan koin berwarna sebagai media pembelajaran. Kata Kunci: Discovery Learning, Koin Berwarna.
PENDAHULUAN Anshar (2000) menyatakan bahwa dalam pembelajaran matematika perlu diberi penekanan pada aspek: pemahaman konsep dengan baik dan benar, kekuatan bernalar matematika, keterampilan dalam teknik dan metode dalam matematika, dan kemampuan belajar mandiri. Namun pentingnya pemahaman konsep matematika bagi siswa tidak berjalan seiring dengan kemampuan siswa dalam memahami konsep matematika. Salah satu konsep matematika yang sulit dipahami oleh siswa adalah konsepkonsep pada teori peluang yang meliputi, permutasi, kombinasi, dan teorema dasar peluang kejadian. Schunk (2008) menjelaskan discovery learning adalah sebuah pembelajaran konstruktifis berbasis penyelidikan, dimana siswa menggunakan pengalaman yang dimiliki sebelumnya dan pengetahuan yang ada untuk menemukan fakta, hubungan, serta kebenaran baru untuk dipelajari. Dalam discovery learning siswa dapat berinteraksi dengan lingkungan dengan mengeksplorasi benda/obyek kemudian bekerja bersama-sama untuk
membuat suatu hipotesis, siswa secara aktif dilibatkan dalam proses pengembangan keterampilan pembelajaran berbasis masalah, sehingga hasil dari suatu proses pembelajaran yang demikian, menyebabkan siswa “lebih mungkin” mengingat konsep dan pengetahuan yang ditemukan sendiri (Clabaugh, 2009). Langkah-langkah discovery learning menurut Muhibbin (2004) meliputi : (1) Stimulasi: Siswa distimulasi untuk melakukan penyelidikan dengan cara memberikan masalah sederhana untukdiselesaikan, kemudian dilanjutkan dengan memberikan sebuah tantangan berupa masalah yang lebih kompleks, (2) Identifikasi masalah: Siswa diberikan kesempatan untuk membuat hipotesis atau dugaan atas jawaban tantangan, (3) Pengumpulan data: Siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan koin berwarna maupun dadu dan mencatat hasil setiap kali eksperimen dilakukan, (4) Pengolahan data: Siswa mengolah data yang diperoleh menjadi lebih sederhana untuk
ditemukan polanya (5) Verfikasi: Siswa menguji kebenaran pola untuk data yang lainnya, dan (6) Generalisasi: Siswa membuat generalisasi dari pola yang ditemukan kemudian mempresentasikan generalisasi yang sudah dibuat. Penerapan discovery learning dalam artikel ini menggunaan koin berwarna dan dadu sebagai media pembelajaran. Koin berwarna dengan dua sisi berwarna berbeda dan dadu digunakan dalam membelajarkan konsep membelajarkan konsep permutasi. PENERAPAN DISCOVERY LEARNING BERBANTUAN KOIN BERWARNA UNTUK MENEMUKAN KONSEP PERMUTASI Berikut adalah langkah-langkah pembelajaran yang bisa digunakan untuk menemukan konsep permutasi yaitu: 1) Stimulasi, 2) Identifikasi masalah, 3) Pengumpulan data, 4) Pengolahan data, 5) Verifikasi, dan 6) Generalisasi Stimulasi Guru dapat mengawali tahap stimulasi dengan memberikan sebuah pertanyaan, yakni jika empat koin berbeda
sebut koin merah (M), koin putih (P), koin biru(B) dan koin kuning(K), disusun satusatu berapa banyakkah susunan/permutasi berbeda yang dapat dibuat. Guru menunjuk beberapa siswa untuk menjawab.Guru kembali memberi pertanyaan, jika empat koin tersebut disusun dua-dua berapa banyakkah susunan/permutasi berbeda yang dapat dibuat. Guru memberikan kesempatan pada siswa untuk berpikir, dan beberapa saat kemudian ada dua siswa menjawab secara bergantian.Guru memberikan tantangan pada siswa dengan memberikan pertanyaan jika ada 100 koin berbeda disusun tiga-tiga berapa banyak permutasi yang bisa diperoleh. Identifikasi Masalah Guru menunjuk beberapa siswa dari kelompok berbeda untuk menjawab tantangan.Setelah siswa mengemukakan dugaan jawaban tantangan secara bergantian, Guru memberikan tanggapan. Pengumpulan Data Guru menginstruksikan pada setiap kelompok untuk menyusun dua-dua dan tiga-tiga 4 koin berbeda kemudian menemukan semua permutasinya (Gambar1)
Gambar 1. Contoh Pengumpulan Data Menyusun 4 Koin Berwarna Dua-dua dan Tiga-tiga.
Pengolahan Data .Guru menginstruksikan pada setiap kelompok untuk memindahkan data tersebut ke dalam tabel seperti pada Gambar 2 untuk selanjutnya dicari polanya. Berdasarkan contoh di atas siswa dapat menemukan pola bahwa jika ada 4 unsur berbeda dan dari sejumlah unsur tersebut dipermutasikan sebagian. Jika dipermutasikan dua-dua maka banyak permutasi yang dihasilkan adalah . Bilangan 4 menunjukkan banyak unsur yang dapat menempati urutan I, dan 3 menunjukkan banyak unsur yang dapat menempati urutan II. Jika dipermutasikan tiga-tiga maka banyak permutasi yang dihasilkan adalah . Bilangan 4 menunjukkan
banyak unsur yang dapat menempati urutan I, 3 menunjukkan banyak unsur yang dapat menempati urutan II dan 2 menunjukkan banyak unsur yang dapat menempati urutan ke III. Disamping itu juga ditemukan bahwa bilangan terakhir dalam bentuk perkalian ( ) adalah hasil pengurangan banyaknya unsur berbeda yang di berikan (4) dengan banyak unsur yang disusun (2,3,4) yang kemudian dilanjutkan dengan menjumlahkan dengan 1. Sehingga diperoleh:
.
Gambar 2. Hasil Pengolahan Data
Verifikasi Untuk mengecek apakah pola hubungan antara banyak semua unsur berbeda, banyak unsur yang dipermutasi dan banyaknya permutasi yang dapat dibuat benar. Guru dapat menginstruksikan pada semua kelompok untuk menentukan semua hasil permutasi dua-dua dari lima koin berwarna yaitu koin merah (M), koin putih (P), koin biru (B), koin kuning (K), dan koin hitam (H) dengan menggunakan langkah serupa yang sudah dilakukan sebelumnya,
kemudian mengecek banyak permutasi yang bisa dibuat dengan menggunakan pola hubungan yang sudah ditemukan. Setelah beberapa menit akhirnya semua kelompok dapat menemukan bahwa ternyata dengan cara menentukan semua permutasi yang bisa dibuat dan menggunakan pola yang ditemukan untuk menentukan banyak permutasi dua-dua dari lima koin berbeda diperoleh hasil yang sama. Hasil Verifikasi yaitu pada Gambar 3.
Gambar 3. Hasil Verifikasi
Generalisasi Pada tahap generalisasi, siswa membuat generalisasi dari pola yang ditemukan yaitu bahwa banyak permutasi sebagian dari sejumlah unsur berbeda ( )
dapat disederhanakan menjadi Sehingga dengan mudah pula siswa menemukan bentuk sederhana yaitu :
dapat ditentukan dengan: Jika banyak unsur yang disusun sama dengan banyak unsur berbeda yang diberikan ( maka akan memunculkan
Keterangan: = Banyak unsur yang dapat menempati urutan ke-I = Banyak unsur yang dapat menempati urutan ke-II … = Banyak unsur yang dapat menempati urutan ke-
. Padahal jika banyak
unsur yang disusun sama dengan banyak unsur berbeda yang diberikan sama halnya dengan permutasi semua unsur dari sejumlah unsur berbeda . Oleh karenanya perlu mendefinisikan
Untuk menyederhanakan bentuk tersebut, Guru meminta siswa untuk mengalikan bentuk tersebut dengan yaitu:
Bentuk:
dapat disederhanakan menjadi bentuk:
pembagian dengan
dan
.
KESIMPULAN Langkah-langkah menemukan konsep permutasi melalui discovery learning adalah yaitu: 1) stimulasi, yaitu memberikan tantangan berupa pertanyaan, sehingga mendorong siswa untuk melakukan investigasi untuk menjawab tantangan yang diberikan; 2) identitifiksi masalah, yaitu menunjuk beberapa siswa untuk menjawab tantangan. Setelah siswa mengemukakan dugaan jawaban tantangan secara bergantian, guru memberikan tanggapan; 3)
pengumpulan data, yaitu dengan mengumpulkan data semua permutasi susunan dua-dua dan tiga-tiga 4 koin berbeda; 4) pengolahan data, yaitu menemukan pola hubungan antara banyak koin yang disusun, banyak koin yang dapat menempati setiap urutan dan permutasi yang dapat dibuat; 5) verifikasi, yaitu dengan menguji keberlakuan pola yang ditemukan pada kasus yang lain; 6) generalisasi, yaitu dengan membuat generalisasi dari pola yang ditemukan dengan mengubahnya ke dalam persamaan matematik. DAFTAR RUJUKAN Anshar, M & Sembiring, R.K. 2000.Hakekat Pembelajaran Matematika di Perguruan Tinggi. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi,Depdiknas. Clabaugh,
G.K. (Ed.). (2009). New foundations. Jerome Bruner‟s educational theory, (online), (http://www.newfoundations.co m/GALLERY/Bruner.) diakses Oktober 2015.
Muhibbin,
Syah .2004. Psikologi Pendidikan dengan Pendekatan Baru. Bandung: Remaja Rosdakarya.
Schunk, D.H. (2008). Learning theories (5th ed.). North Carolina: J. Pearson Education, Inc.
