Melegen hengerelt acélrudak szabványos teherbírásának vizsgálata valószínűségelméleti alapokon

Hidak és Szerkezetek Tanszéke

Melegen hengerelt acélrudak szabványos teherbírásának vizsgálata valószínűségelméleti alapokon PhD disszertáció

Szerző: Szalai József

Tudományos vezető: Dr. Papp Ferenc egyetemi docens

Budapest 2007. augusztus

Összefoglaló

ÖSSZEFOGLALÓ A dolgozat melegen hengerelt acél anyagú, 1. vagy 2. keresztmetszeti osztályba tartozó rúdszerkezetek stabilitási teherbírásának valószínűségelméleti alapokon nyugvó vizsgálatát mutatja be. A valószínűségelméleti eredmények alkalmazás szempontjából fontos értékét a fizikai tartalmat meghatározó determinisztikus modell, a figyelembe vett véletlen változók halmaza és ezek rendelkezésre álló statisztikái, valamint a valószínűségelméleti modell szabja meg. Ezek koherens, egységes pontosságot adó kezelése teszi lehetővé olyan valószínűségelméleti eredmények elérését, amelyek szabványos módszerek felülvizsgálatához, kalibrálásához szolgáltatják az alapot. A disszertáció témájának szempontjából fontos rugalmas-képlékeny stabilitásvesztés fizikai tartalmának kellő mélységű modellezéséhez egy 15 szabadságfokú rúdvégeselemet alkalmaztam, valódi rugalmas-képlékeny anyagmodellel, és a képlékenyedés térbeli terjedésének helyes követését lehetővé tevő speciális keresztmetszeti megoldással. Új módszert dolgoztam ki a sajátfeszültségek numerikus hibát nem okozó figyelembevételére, valamint a nemlineáris feladatok hatékony megoldásvezérlésére. Az így kialakult fejlett determinisztikus modell véletlen változók széles halmazának számításbevételét tette lehetővé. A geometriai méretek, anyagtulajdonságok és geometriai és anyagi tökéletlenségek valószínűségi paramétereit részletes irodalomkutatás és saját mérési eredményeim alapján határoztam meg. Az alkalmazott valószínűségelméleti modell minden olyan értékelhető statisztikai mintán alapuló magasabb rendű hatás figyelembevételét lehetővé tette, amely jelentős befolyással bírhat a teherbírásra. Az így kapott konzisztens modellezés valószínűségelméleti eredményeinek segítségével feltártam az EC3 szabvány stabilitásvesztés elleni méretezésének alapját képező európai stabilitási görbékben rejlő ellentmondásokat, amelyek jól kimutatható ingadozást okoznak a tönkremeneteli kockázatban, azaz a tervezés megbízhatóságában. Ebből kiindulva elméleti alapokon nyugvó megoldási javaslatokat fogalmaztam meg a kihajlási görbék megbízhatóságának egységesítése érdekében. A kifordulás esetén bemutattam az általánosított imperfekciós tényező helyes formáját, majd itt is módosító javaslatokat adtam. A javasolt módosításokkal ellátott stabilitási görbék látványosan csökkentették az ingadozást a megbízhatósági szintben.

Summary

TITLE: ANALYSIS OF THE STANDARD RESISTANCE OF STEEL BEAMCOLUMNS ON PROBABILISTIC BASIS

SUMMARY The dissertation deals with the analysis of the probabilistic stability resistance of steel, hot-rolled beam-columns with Class 1 or 2 cross section. The practical value of the probabilistic results is defined by the following three components: the deterministic model, which represents the physical meaning; the set of random variables and their available statistical data; and the probabilistic model. The coherent handling of these components results in unified accuracy which can be the base for the re-examinations or calibrations of standard design methods. In order to model adequately the inelastic stability problems I applied a 15 degree of freedom beam-column finite element with real elasto-plastic material. The spatial spread of the change in the material properties is solved by a special cross section model. I developed a new distribution for the residual stresses which does not cause numerical problems; and a new incremental-iterative solution process. Such a deterministic model allowed of considering a wide range of random variables. The probabilistic parameters of geometry, material properties and geometrical and material imperfections were determined by a detailed research in the literature and own measurements. The applied probabilistic model have taken into account all of the higher effects – based on competent statistical data – which can influence the resistance. In this manner a consistent calculation model is achieved yielding such results that were applicable to show the fluctuations and inconsistency in the reliability of the base formula in the EC 3 buckling checks. Supported by these results and the theoretical reconsiderations of the design process I proposed some modifications in the buckling curves for lateral buckling problems in order to reach a uniform safety level for the different problems. In case of lateral-torsional buckling I presented the proper deduction of the Ayrton–Perry formula with the correct form of the generalized imperfection factor. I proposed an accordingly modified curve for lateraltorsional buckling resulting in a more consistent reliability.

Abstract

TITLE: ANALYSIS OF THE STANDARD RESISTANCE OF STEEL BEAMCOLUMNS ON PROBABILISTIC BASIS

ABSTRACT The dissertation deals with the analysis of the probabilistic stability resistance of steel, hot-rolled beam-columns with Class 1 or 2 cross section. For the deterministic calculations I applied a 15 degree of freedom beam-column finite element with real elasto-plastic material and a special cross section model. I developed a new distribution for the residual stresses which does not cause numerical problems; and a new incremental-iterative solution process. The probabilistic parameters of geometry, material properties and geometrical and material imperfections were determined by a detailed research in the literature and own measurements. The applied probabilistic model have taken into account all of the higher effects – based on competent statistical data – which can influence the resistance. Supported by these results I proposed some modifications in the buckling curves for flexural, and LT buckling in order to reach a uniform safety level for the different problems.

Alulírott Szalai József kijelentem, hogy ezt a doktori értekezést magam készítettem és abban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan rész amelyet szó szerint, vagy azonos tartalomban, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen a forrás megadásával megjelöltem.

Budapest, …………………

……………………………

A dolgozat bírálatai és a védésről készült jegyzőkönyv a későbbiekben a dékáni hivatalban elérhető.

Köszönetnyílvánítás

KÖSZÖNETNYÍLVÁNÍTÁS

Elsősorban témavezetőmnek, Dr. Papp Ferencnek szeretnék köszönetet mondani, aki megismertette velem a szakma kutatói oldalát, értelmét, lehetőségeit; és a konzulensi tevékenységen jóval túlmutató, már-már baráti kapcsolatban irányította munkámat. A kalibrációs kísérletek és héjelemes numerikus vizsgálatok megtervezésében és lebonyolításában való hatékony segítségükért köszönetemet fejezem ki Dr. Tomka Pálnak és Virányi Viktornak. A házivédéshez bemutatott dolgozat gondos átolvasásával, és hozzáfűzött hasznos tanácsukkal nagy segítségemre voltak akkori bírálóim: Dr. Dunai László és Dr. Iványi Péter. Köszönettel tartozom jelenlegi munkahelyemnek, a KÉSZ Kft.-nek, és főnökömnek Schell Ferencnek, hogy fejlesztői munkám mellett támogatta a kutatásaimat is. Sokat köszönhetek néhai apósomnak, Dr. Lukovits Istvánnak, aki mindig szívesen segített a kutatói munka gyakorlati problémáiban, az eredmények hatékony bemutatásában, publikálásában. Végül köszönetet mondok feleségemnek, Klárinak, aki végig bátorított és igyekezett megteremteni számomra – gyakran a családi élet rovására is – a munkámhoz szükséges körülményeket.

Tartalomjegyzék

i

TARTALOMJEGYZÉK

1 ELŐSZÓ

1

2 ACÉL RÚDSZERKEZETEK DETERMINISZTIKUS MODELLEZÉSE

4

2.1 Bevezető

4

2.2 Az alkalmazott rúd-végeselem modell

6

2.3 Az anyagmodell

11

2.4 A keresztmetszeti modell

14

2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4

14 17 18 19

Általános leírás Az érintő keresztmetszeti jellemzők számítása Az aktuális feszültségeredők számítása A keresztmetszet sajátfeszültségei

2.5 Megoldási eljárás

27

2.5.1 Általános leírás 2.5.2 Növekményi eljárás 2.5.3 Iterációs eljárás 2.5.4 Összehasonlító példák 2.5.4.1 Változó terhelés hatása 2.5.4.2 Változó tökéletlenségek hatása

27 28 34 38 39 40

2.6 A determinisztikus model kalibrációja

43

2.7 Összefoglalás

48

3 ACÉL RÚDSZERKEZETEK VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETI MODELLEZÉSE

49

3.1 Bevezető

49

3.2 Számítási eljárás

56

3.3 Kiinduló számítások

59

3.3.1 A véletlen változók halmazának megállapítása 3.3.2 Geometriai változók 3.3.3 Anyagi változók 3.3.4 Tökéletlenségek 3.3.4.1 Geometriai tökéletlenségek 3.3.4.2 Anyagi tökéletlenségek

59 60 65 69 69 71

Tartalomjegyzék

ii

3.3.4 A tiszta teherbírásvesztési esetek összefoglalása

72

3.4 A változók közötti korreláció hatása

76

3.4.1 Valószínűségi modell 3.4.2 A vizsgálatok eredménye

76 78

3.5 A változók egymásra hatásának vizsgálata

82

3.5.1 Valószínűségi modell 3.5.2 A számítások eredménye 3.5.3 A kezdeti görbeség és a gerinc külpontosságának együttes vizsgálata

82 85 87

3.6 Az elloszlás ferdesége figyelembevételének hatása

95

3.7 Összefoglalás

99

4 A SZABVÁNYOS STABILITÁSI GÖRBÉK VIZSGÁLATA

100

4.1 A stabilitásvesztés elleni méretezés elméleti háttere

100

4.1.1 Kihajlás 4.1.2 Kifordulás

101 104

4.2 Módosító javaslatok a stabilitásvesztés elleni méretezésben

107

4.2.1 A stabilitási görbék összehasonlítása a valószínűségelméleti modell eredményeivel 4.2.2 Javaslat a stabilitási görbék egységes megbízhatósági szintre hozásához 4.2.2.1 Kihajlási görbék 4.2.2.2 Kifordulási görbék 4.2.2.3 Értékelés

107 109 110 111 114

4.3 Összefoglalás

115

5 ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK

116

IRODALOMJEGYZÉK

118

FÜGGELÉK

123

1. Előszó

1

1

ELŐSZÓ

A disszertáció acélszerkezetek tönkremenetelének részletes valószínűségelméleti vizsgálatához nyújt módszert és tartalmaz alkalmazási eredményeket. Acélszerkezeteken belül a tanulmány olyan melegen hengerelt I keresztmetszetű rúdszerkezetekkel foglalkozik, amelyek várható tönkremenetelét az alkotó elemek lokális horpadása nem befolyásolja (az EuroCode 3 szabvány szerinti 1. és 2. osztályú szelvények). Az ilyen rudak jellemző tönkremeneteli módja a rugalmas-képlékeny kihajlás, kifordulás vagy a kettő interakciója. Ha a reális, várható tönkremenetelt akarjuk meghatározni, szükséges a viselkedést befolyásoló paraméterek véletlenszerűségének figyelembevétele. Ekkor már nem egy meghatározott szerkezet tönkremeneteléről beszélünk, hanem eltérő paraméterekkel definiált szerkezetek lehetséges tönkremeneteli módjairól, amelyek sztochasztikus halmazt alkotnak, így már csak a valószínűségelmélet eszköztárával vizsgálhatók. A megoldás ezért általában egy valószínűségi eloszlás, vagy az eloszlás néhány jellemző paramétere. A kapott eredmények legfontosabb alkalmazási területe szerkezetek teherbírási tartalékának, tönkremenetel elleni biztonságának megbecslése. Konkrét szerkezetek ily módon történő közvetlen megbízhatósági vizsgálata ma még igen ritka a nagyon magas számítási idő- és költségigény miatt, az eredmények ezért a tervezési szabványok megbízhatósági koncepciójának, megkívánt biztonságot garantáló tényezőinek meghatározásában kerülnek felhasználásra. A valószínűségelméleti eredmények értékét, alkalmazhatóságát befolyásoló három, egymással szoros összefüggésben levő összetevő: a determinisztikus modell, a figyelembe vett véletlen változók halmaza és a kettőt összekapcsoló valószínűségelméleti eljárás. A determinisztikus modell határozza meg a számítások fizikai tartalmának mélységét, ezzel összhangban érdemes megállapítani a véletlen változók részletezettségét, természetesen figyelembe véve a rendelkezésre álló statisztikai adatok megbízhatóságát, amely egyben a valószínűségelméleti eljárás szükséges és elégséges pontosságát is megszabja. Az irodalomban sajnos sok helyen találkozni olyan eljárásokkal és eredményekkel, amelyek e három komponens összhangját figyelmen kívül hagyva belső ellentmondást tartalmaznak az eredmények elképzelt pontosságát illetően, melyet ilyenkor a számítás legfelületesebben kezelt eleme határoz meg. Az igényesebb módszerek elméleti kidolgozása persze indokolt lehet, remélve, hogy a statisztikai minták növekedése és szélesedése egyre inkább lehetővé teszi ezek alkalmazását is. Mindazonáltal fontos feladat a jelenlegi adathalmazra épülő, a három fő komponenst konzisztens egységbe foglaló eljárások kidolgozása és alkalmazása a lehető legnagyobb hatékonyságú és megbízhatóságú aktuális valószínűségelméleti eredmények elérése érdekében. Kutatásaim során ez volt a fő vezérfonal, így az acél anyagú, melegen hengerelt rúdszerkezetek minden jellemző, mérhető, és statisztikailag értékelhető adatsort tartalmazó paraméterét figyelembe vettem, mint véletlen változót; determinisztikus modellként egy ezeket a hatásokat

1. Előszó

2

megfelelően kezelni tudó, de mégis reális futási időt produkáló rúd végeselem modellt alkalmaztam, illetve fejlesztettem. A paraméterek tönkremenetelt befolyásoló hatását tanulmányozva, és a statisztikai adatsorokat értékelve választottam ki a valószínűségelméleti módszert, és számítottam a megbízhatósági eredményeket. Az alkalmazott módszerrel a vizsgált problémakörön belül az eddigieknél pontosabb valószínűségi eredmények érhetők el, lehetőség nyílik eddig elhanyagolt statisztikai tulajdonságok figyelembevételére, és hatásuk vizsgálatára. Az eredmények alkalmasak a szabványos eljárások felülvizsgálatára és a biztonsági koncepciók fejlesztésére, és a módszer segítségével egyszerűbb szerkezetek megbízhatósága megbecsülhető, számszerűsíthető, ami segítséget jelenthet a gyakorlatban a biztonság jobb megértésében. Mindezek tükrében a kutatás célja kettős volt: megtalálni a melegen hengerelt rúdszerkezetek valószínűségelméleti vizsgálatához szükséges említett három komponens pontos és koherens modelljét, amely alkalmas a szabványos eljárások mély valószínűségelméleti alapokon történő vizsgálatára; ez tehát a determinisztikus modell fejlesztését, statisztikai adatsorok és valószínűségelméleti módszerek kutatását jelentette; a meghatározott három összetevő használatával valószínűségelméleti számítások végzése, melyeknek egyrészt az a célja, hogy az eddigi kutatásokhoz képest mélyebben bemutassa a vizsgált szerkezetek valószínűségi viselkedését, így az egyes véletlen paraméterek hatását, magasabb rendű összefüggések befolyását (korreláció, változók egymásra hatása, magasabb rendű statisztikák alkalmazása); másrészt a számítások eredményei alapján az eddigieknél pontosabb módon megvizsgálható a szabványos méretezési eljárások biztonsági koncepciója, egységessége.

A kutatás céljai jelenleg igen aktuálisak, hiszen a mostani időszak szolgál az egységes európai szerkezeti szabványrendszerek, az Eurocode-ok (EC) megismerésére, és bevezetésére. Az Európai Szabványügyi Bizottság (CEN) 1993-ban hagyta jóvá a tartószerkezeti EC-okat ideiglenes alkalmazású, előzetes szabványként. Ezek kezdetben alternatívaként szolgálnak az egyes tagállamok (jórészt az EU tagállamai) különböző hatályban lévő szabályai mellett, végül azok helyére lépnek. 1998-tól a tartószerkezeti EC-ok honosított változatai, mint előszabványok (MSZ ENV), majd 2005-től, mint szabványok (MSZ EN) fokozatosan bevezetésre kerültek Magyarországon is, hogy végül itt is a régi Magyar Szabványt (MSZ 15012, MSZ 15020) felcseréljék. Bár az EC egy igen széleskörű nemzetközi kutatási együttműködés eredménye, természetesen az egyes nemzeteknek nem szabad a szabványt minden feltétel és tanulmányozás nélkül elfogadniuk. Ezért az előzetes időszakban az EC a Nemzeti Alkalmazási Dokumentumokkal (NAD), illetve a későbbiekben a Nemzeti Függelékekkel (NA) együtt használható. Ezek a dokumentumok kiegészítik, magyarázzák illetve értelmezik az EC szabványokat a helyi tervezési szokások, jelölések figyelembevételével. Ugyanakkor az NA-k kutatási témánk szempontjából legfontosabb feladata bizonyos tervezési tényezők – a CEN által az egységes EC-okban előre rögzített körének – meghatározása, tervezési módszerek előnyben részesítése, ezek feletti felelősségtudatos döntés csak az adott nemzet kutatási eredményei alapján történhet. Példaként hozható a feljebb említett probléma, az eltérő megbízhatósági szintek pontosabb meghatározása, a

1. Előszó

3

parciális biztonsági tényezők számszerű értékének felülvizsgálata, valószínűség-elméleti igazolása, valamint a módszer kiegészítése valószínűség-elméleti megközelítéssel. Így az EC-ot alkalmazó országok részt vehetnek, és részt is kell venniük a szabvány végleges változatának fejlesztésében. A fentiekből világos, hogy Magyarországon is fontos a honosított EC szakértő kutatási alapon történő fejlesztése, módosítása vagy jóváhagyása a szabvány végleges bevezetése előtt. Ám az elmondottak alapján a jórészt valószínűség-elméleti kiegészítések, pontosítások megkövetelik a magasabb szintű megbízhatósági módszerek alkalmazását, hiszen csak ezekkel lehet kalibrálni a szabvány értékeit. Ennek ellenére Magyarországon jelen pillanatban nemigen folyik ezzel kapcsolatos kutatás, sem magasabb rendű megbízhatósági módszerek kutatásafejlesztésében, sem pedig ezek alkalmazása, a szabványos eljárások, értékek kalibrálása terén. Ebben az előzményrendszerben kezdtem meg a melegen hengerelt acél rúdszerkezetek szabványos stabilitási ellenállásának numerikus alapokon történő valószínűségelméleti kutatását, melynek első, több ponton is újat mutató eredményeit tartalmazza a disszertációm. A dolgozat három fő részből áll: az első rész az alkalmazott determinisztikus eljárást ismerteti; a második az alkalmazott valószínűségelméleti módszert írja le, részletesen bemutatva a vizsgált véletlen paramétereket, illetve azok (leginkább irodalmi eredmények alapján meghatározott) statisztikai adatait; a harmadik rész a szabványos tervezési eljárások valószínűségelméleti felülvizsgálatát tartalmazza. Az első rész fő célja egy olyan determinisztikus eljárás kifejlesztésének bemutatása, amely alkalmas acél rúdszerkezetek magas szintű valószínűségelméleti modellezéséhez. Ennek keretében bemutatom az alkalmazott végeselem modellt, az anyagmodellt és a speciális keresztmetszeti modellt. Részletesen bemutatom a számítások hatékonysága érdekében kifejlesztett megoldási eljárást, az így teljes determinisztikus modellt általam végzett kísérleti eredményekkel vetem össze, melyekből kimutatható a modell helyessége. A második részben egy alaposabb irodalmi áttekintés után kijelölöm a számítások pontos tárgyát és célját, és bemutatom az általam alkalmazott, legmegfelelőbbnek tartott valószínűségelméleti módszert. Részletesen ismertetem a vizsgált véletlen változókat, azok hatását a teherbírási esetekre, és az azokból meghatározható fő valószínűségi paramétereket. Külön pontokban mutatom be a speciálisabb kérdéseket: a véletlen változók közötti korreláció figyelembevételének eredményeit, a változók együttes hatásának, interakciójának vizsgálatát, valamint a harmadik momentum, az eloszlás ferdeségi paraméterének hatását. Végül a valószínűségi vizsgálatok eredményeképpen meghatározom a teherbírások tervezési értékét, és összevetem azt az EC 3 acélszerkezeti szabvány módszereivel meghatározott eredménnyel. Elméleti alapokon bemutatom a szabványos eljárás gyenge pontjait, amelyet a numerikus eredményeimmel támasztok alá, és megoldási javaslatokat adok rájuk.

2. Acél rúdszerkezetek determinisztikus modellezése 2.1 Bevezető

2

ACÉL

RÚDSZERKEZETEK

4

DETERMINISZTIKUS

MODELLEZÉSE 2.1 Bevezető Szerkezetek valószínűségelméleti elemzése során a determinisztikus modell képviseli a vizsgált jelenség fizikai tartalmát. Jelen esetben ez melegen hengerelt szelvényű acél rúdszerkezetek adott terhelésre történő viselkedését jelenti. A modellnek – pusztán determinisztikus vizsgálatok esetén is – természetesen összhangban kell lennie a kitűzött célokkal, pontossági igényekkel, ezért fontos tisztában lenni a lehetőségeivel, korlátaival. Ugyanakkor minél fejlettebb, kifinomultabb eljárást választunk, annál részletezettebb, aprólékosabb előkészítést igényel a vizsgálatban résztvevő paraméterek modellezése; valamint annál nagyobb és bizonytalanabb számítások válnak szükségessé a fizikai tartalom megfelelően pontos leképezése érdekében. Mindezek még nagyobb hangsúlyt kapnak a valószínűségelméleti számítások esetében, hiszen bármilyen sztochasztikus módszert is alkalmazunk, az bizonyos, hogy a megfelelő eredmény eléréséhez a determinisztikus számításokkal szemben rendkívül kényes igények fogalmazódhatnak meg. Ezek a követelmények minden esetben két, egymással ellentétes oldalon sorakoznak, melyek a fizikai modell pontosságával, valamint a számítások gyorsaságával kapcsolatos kívánalmak. Sztochasztikus vizsgálatok esetén a determinisztikus számítások megbízhatósága és gyorsasága különös jelentőséget kap, hiszen a legegyszerűbb módszerek is igen sok determinisztikus számítást igényelnek. A célok elérése érdekében természetesen először a számítások pontosságát, részletezettségét kell definiálni, majd összhangba hozni a rendelkezésre álló számítási kapacitással. Amennyiben a számítások terjedelmének csökkentése érdekében engedményeket kell tenni a modell pontosságát illetőleg, módosítani kell a kitűzött célokat is. A fentiekből jól látható, hogy valószínűségelméleti számításoknál a determinisztikus modell pontosságával egyenrangú szempont a determinisztikus számítások ideje is. A továbbiakban az előszóban leírt célok megvalósításához szükséges determinisztikus modellel szemben támasztott követelményeket ismertetem, majd a következő pontokban bemutatom az alkalmazott és néhány részében speciálisan továbbfejlesztett modellt. Melegen hengerelt, vékony lemezelemekből felépülő – de 1., illetve 2. keresztmetszeti osztályba sorolható – szelvénnyel rendelkező rúdszerkezetek szokásos tönkremeneteli módja a rugalmas-képlékeny globális stabilitásvesztés. A megfelelő módszer kiválasztásánál feltétlenül szükséges szem előtt tartani, hogy vizsgált szerkezetek szabványos méretezési eljárása nagyobbrészt rúdszerkezeti modellek eredményein alapul, elhanyagolva az 1. és 2. keresztmetszeti osztályú szelvények lemezelemei héjjellegű viselkedésének hatásait (horpadás, alaktorzulás stb.), így a szabványos

2. Acél rúdszerkezetek determinisztikus modellezése 2.1 Bevezető

5

alapmodell rendszerint a legegyszerűbb kétcsuklós-villás rúdelem. Ez azt jelenti, hogy egyrészt a szabványos formulák fizikai tartalma csak megfelelően pontos rúdmodell, vagy annál magasabb rendű modell (héjmodell, testmodell) segítségével elemezhető, fejleszthető; másrészt az azonos szerkezeten végzett különböző méretezési eljárások egységessége, azonos tervezési biztonsága célszerűen a szabványos alapmodellen, vagyis a rúdmodellen tesztelhető, tekintve, hogy ennek sajátosságai (pontszerű támasz, és erőátadás) nehezen valósíthatók meg magasabb rendű modelleknél. Mivel kutatásom célja többek között a szabványos stabilitási méretezési alapformulák biztonságának, valamint annak egységességének vizsgálata, determinisztikus modellnek a rúdmodellt választottam. Ennek a választásnak természetesen a másik oldalról is megvan az oka, hiszen magasabb rendű modelleken végzett sztochasztikus számítások időigénye, eredményeinek koherens értékelése, alapvető statisztikai adatainak kiválasztása jóval nagyobb és hosszabb feladat lenne, ami túlmutat ezen értekezés keretein. Ahhoz, hogy a rugalmas-képlékeny stabilitásvesztést a szabványos formulák és számítások vizsgálatához megfelelő fizikai mélységgel modellezzük az alábbi jelenségek számításbavétele elengedhetetlenül szükséges:

a rúdszerkezet anyagának, az acélnak, jellegzetes rugalmas és képlékeny tulajdonságai; az anyag viselkedésének deformációhoz kötött megváltozása a rúd különböző részein, így a képlékeny részek terjedése a rúdhossz illetve a keresztmetszet mentén is; a melegen hengerelt szelvényű rúdszerkezetek jellegzetes geometriai tökéletlenségei: a keresztmetszet illetve a rudak alakjának pontatlanságai (lokális és globális alakpontatlanság); a melegen hengerelt szelvényű rúdszerkezetek jellegzetes anyagi tökéletlenségei: a gyártással járó anyagban maradó feszültségek; a stabilitási vizsgálatokhoz szükséges geometriai másodrendűség, amely rúdszerkezetek esetén nem csak a P-δ hatást, hanem a csavarási és hajlítónyomatékok másodrendű hatását is figyelembe veszi, ez a csavarást is tartalmazó stabilitási tönkremeneteli módok (elcsavarodó kihajlás, kifordulás) vizsgálatához szükséges; a vékonyfalú szelvények esetében jelentős keresztmetszeti öblösödés hatása.

A felsorolt követelményeknek megfelelő determinisztikus modellként egy 15 szabadságfokú rúd-végeselemet alkalmaztam, melynek maradó feszültségeloszlását, valamint a speciális, sztochasztikus számítások igényeinek megfelelő, megbízható és gyors növekményi-iterációs megoldási módszerét magam fejlesztettem. Végül a determinisztikus modell működését kísérletekkel igazoltam, melyekben egy 1. keresztmetszeti osztályú rúd kihajlási és kifordulási stabilitásvesztését, és deformációit hasonlítottam össze az általam végzett számítások eredményével.

2. Acél rúdszerkezetek determinisztikus modellezése 2.2 Az alap rúd-végeselem modell

6

2.2 Az alkalmazott rúd-végeselem modell

Jelen fejezet a Rajasekaran által levezetett nemlineárisan rugalmas rúd-végeselem modellt [1, 2, 3] mutatja be. A vékonyfalu rúd-végeselem általános keresztmetszeti modelljét és koordinátarendszerét mutatja az 2.1 ábra, ahol az ’O’ pontban van a szelvény súlypontja, míg a ’C’ pont a csavarási középpontot jelöli. Mivel a vékonyfalú rúdnál a hossztengelyre merőleges normál- és nyírófeszültségek elhanyagolhatók, a külső és belső virtuális munkák egyenlőségét az alábbi módon írhatjuk fel (eltekintve a tömegerőktől):

∫ (σδε + τ

xy

δγ xy + τ xz δγ xz )dV = ∫ ∑ f i δu i dS

V

S

y dy

(2.1)

i

O dz

C

z 2.1 ábra A vékonyfalú szelvény keresztmetszeti modellje ahol σ a tengelyirányú normálfeszültség, τxy és τxz a nyírófeszültségek; δε, δγxy és δγxz a megfelelő virtuális alakváltozások; V és S a rúd térfogata és felülete; fi és δui pedig a felületi terhek és a megfelelő virtuális elmozdulások. A geometriailag másodrendű alakváltozás-elmozdulás összefüggésekben a deformációnak az erőegyensúlyra gyakorolt hatása az elmozdulások első nemlineáris tagjaival kerül számításba: 2 2 2 ∂u 1   ∂u   ∂v   ∂w   ε = +   +   +    ∂x 2   ∂x   ∂x   ∂x  

γ xy =

∂v ∂u  ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w  + + + +  ∂x ∂y  ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 

γ xz =

∂w ∂u  ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w  + + + +  ∂x ∂z  ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z 

(2.2-2.4)


7

ahol az u, v, w elmozdulásfüggvények a keresztmetszet egy tetszőleges pontjának tengelyirányú (x irányú), y és z tengely irányú eltolódásait jelölik. Az (y,z) koordinátájú keresztmetszeti pont ezen elmozdulásai könnyen számíthatók a szelvény ’O’ súlypontjának ex, ey, és ez megfelelő tengelyirányú eltolódásaiból, valamint a keresztmetszet ’C’ csavarási középpont körüli θx elfordulásából, amennyiben az alábbi (a Bernoulli hipotézisnél általánosabb) feltételezéseket tesszük: (a)

a keresztmetszet lemezelemeinek középfelületén a nyírási deformáció elhanyagolható, a keresztmetszet alakja az eredeti keresztmetszet síkjára vetítve nem változik a deformáció során.

(b)

Ekkor, kis elmozdulásokat feltételezve a következő összefüggések írhatók fel: u = ex − y

∂e y

−z

∂x v = e y + ( z − d z )θ x

∂e z ∂θ + ω x = e x − ye′y − ze′z + ωθ x′ ∂x ∂x

(2.5-2.7)

w = e z − ( y − d y )θ x

ahol az eddig bemutatott jelöléseken túl ω jelöli a keresztmetszeti pont normalizált szektoriális koordinátáját. A (2.5-2.7) egyenleteket behelyettesítve (2.2-2.4)-be, a kiinduló (2.1) összefüggés az alábbiak szerint alakul:

[

]

 σδ (e′x − ye′y′ − ze′z′ + ωθ x′′ ) + τ xy δ (( z − d z )θ x′ ) + τ xz δ (− ( y − d y )θ x′ ) +     σ  2 2 ∫   δ (e′y + (z − d z )θ x′ ) + (e′z − (y − d y )θ x′ ) + τ xyδ (− θ x (e′z − (y − d y )θ x′ )) + dV = V + 2    + τ xz δ (θ x (e′y − ( z − d z )θ x′ ) )  

(

)

= ∫ ∑ f i δu i dS S

i

(2.8) A második szögletes zárójelben szereplő tagok az alakváltozást leíró (2.2-2.4) összefüggések másodrendű tagjaiból származnak. Vékonyfalú keresztmetszet esetén a feszültségeredők a következő területi integrálokkal írhatók le: N = ∫ σdA ; V y = ∫ τ xy dA = A

A

[

∂M y ∂x

= M ′y ; V z = ∫ τ xz dA = A

]

M x = ∫ τ xy ( z − d z ) − τ xz ( y − d y ) dA + TSV = A

∂M ω + TSV = M ω′ + TSV ; ∂x

M y = ∫ σ zdA ; M z = ∫ σ ydA ; M ω = ∫ σ ωdA A

A

A

∂M z = M z′ ; ∂x (2.9-2.15)


8

Megjegyzendő, hogy levezetésre kerülő rúdelem feszültségállapotát csak a tengelyirányú σ normálfeszültség határozza meg, így csupán négy feszültségeredő számítható a keresztmetszeten egyenesen: a normálerő (N), a kétirányú hajlítónyomaték (My, Mz), és a gátolt csavaráshoz tartozó öblösödési nyomaték (bimoment – Mω), a maradék három tag a rúdelem egyensúlyához szükséges származtatott mennyiség. Felhasználva a feszültségeredőkre felírt egyenleteket a virtuális munkák egyenlősége tovább részletezhető, elvégezve az integrálást a keresztmetszeti területen egy L hosszúságú egyenes tengelyű, prizmatikus rúdelem egyensúlyának variációs formáját kapjuk:

[

]

 Nδe′x − M y δe′z′ − M z δe′y′ + M ω δθ x′′ + M x δθ x′ +   N K 2 2 2   δ e′y + e′z + 2e′y d zθ x′ − 2e′z d yθ x′ + M y δ (e′yθ x′ ) − M z δ (e′zθ x′ ) + δθ x′ 2 ∫L +  2  − V y δ (θ x e′) z + V z δ (θ x e′y )

(

)

[

= Nδe x + V y δe y + V z δe z + M x δθ x − M y δe′z − M z δe′y + M ω δθ x′

   dL = −    

]

L

0

(2.16) ahol

(

)

K = ∫ σ ( z − d z ) 2 + ( y − d y ) 2 dA = ∫ σa 2 dA A

az

ún.

Wagner

tényező

A

(feszültségeredő jellegű tag, amelynek másodrendű hatása van a csavaró nyomatékra), az egyenlet jobb oldalán álló felülvonással ellátott tagok pedig a rúdelem két végpontján fellépő külső erők és nyomatékok. A (2.16) egyenletben a csavarási középpont körüli θx elfordulás és annak deriváltja szorzatát tartalmazó tagok el vannak hanyagolva. Az egyensúlyi egyenlet növekményi formában is felírható, melynek alakja teljesen megegyezik a felírt (2.16) összefüggéssel, csupán a feszültségeredő és elmozdulási függvények növekményét kell behelyettesíteni. A következő feladat az általánosított feszültség-alakváltozás összefüggések felírása. Mivel a cél egy rugalmas-képlékeny anyagú rúdelem levezetése, ezért ezeket az összefüggéseket a feszültségek és alakváltozások növekményének függvényében lehet felírni. Általánosságban a vékonyfalú rúdelem egyetlen releváns feszültségének (tengelyirányú σ normálfeszültség) és alakváltozásának növekménye között az Et érintő rugalmassági modulus teremt összefüggést:

σ& = Et ε&

(2.17)

ahol a keresztmetszeti pont tengelyirányú alakváltozás növekménye a rúdelem általánosított alakváltozásainak függvényeként írható fel:

ε& =

∂u& = e&′x − ye&′y′ − ze&′z′ + ωθ&x′′ ∂x

(2.18)


9

A kapott képletet behelyettesítve a feszültségeredő növekményére felírható (2.9-2.15) összefüggésekkel azonos formájú növekményi egyenletekbe az általánosított feszültségalakváltozás kapcsolatok az alábbi módon írhatók fel:  Et dA ∫  N&   A  M&    y =  M& z    &   M ω   szimm. 

∫ E zdA ∫ E ydA ∫ E ωdA    e&′  ω E z dA E yzdA E zdA ∫ ∫ ∫   e&′′   ω E y dA E ydA  e&′′ ∫ ∫  θ&′    ∫ E ω dA t

t

A

t

A

A

x

2

t

t

A

t

A

z

A

2

t

A

(2.19)

y

t

A

2

x

t

A

A Saint-Venant csavarási nyomaték növekménye pedig: (2.20)

T&SV = Gt I SV θ&x′

ahol Gt az érintő nyírási modulus, ISV pedig a Saint-Venant csavarási inercia, amely 1 vékony lemezelemekből felépülő keresztmetszet esetén közelítőleg I SV ≅ ∑ bi t i3 , 3 i ahol bi és ti az adott lemez szélessége és vastagsága. A rúdelem anyagi viselkedést is tartalmazó növekményi virtuális munkaegyenlete ezek után a (2.19-2.20) képletek (2.16) egyenletbe való behelyettesítésével írható fel. Az így kapott egyenlet bal oldalának – vagyis a belső virtuális munkának – első szögletes zárójeles tagja (amely az alakváltozás összefüggés lineáris tagjaiból ered) ekkor már csak a négy általánosított alakváltozásfüggvény, a négy megfelelő virtuális elmozdulásfüggvény, az érintő anyagjellemzők, valamint a keresztmetszet alakjának függvénye, míg a másodrendű tagban továbbra is jelen vannak a feszültségeredők. Ahhoz, hogy a rúdelem végcsomópontjainak elmozdulásai és külső erői közötti összefüggéseket meghatározzuk, szükséges felírni a munkaegyenletben szereplő, folytonos ex, ey, ez,és θx elmozdulásfüggvényeket a csomóponti elmozdulások függvényeként, majd az elemhossz mentén történő integrálást ezeken a függvényeken kell elvégezni. A négy elmozdulásfüggvény az alábbi formában speciális interpolációs függvények segítségével közelíthető:

[ = n [u = n [u = n [ϕ

e x = n 2 u xA ey ez

θx

[

ahol u xA

u yA

u xAB

u xB

]

T

3

A y

Lϕ zA

u yB

Lϕ zB

3

A z

Lϕ yA

u zB

Lϕ yB

3

A x

u zA ϕ xA ϕ yA ϕ zA ϕ x′ A

Lϕ x′ A ϕ xB

u xAB

u xB

u yB

] ]

T

Lϕ ′x B

u zB

(2.21-2.24)

T

]

T

ϕ xB ϕ yB ϕ zB ϕ ′x B ]az

elem A és B végcsomópontjainak elmozdulásvektora, u xAB a rúdelem középső pontjának


10

tengelyirányú eltolódása; az interpolációs függvények pedig a következő alakban írhatók fel:

n 2 = [(2 β − 1)( β − 1) − 4 β ( β − 1) β (2 β − 1)]

[

n 3 = (1 − 3β 2 + 2 β 3 ) ( β − 2 β 2 + β 3 ) (3β 2 − 2 β 3 ) ( β 3 − β 2 )

]

(2.25)

ahol β a rúdelem hosszmenti dimenziótlan koordinátája: β =x / L. Az oldalirányú eltolódások és a tengely körüli elfordulásnál alkalmazott szokásos harmadfokú polinom mellett a tengely irányú eltolódás (összenyomódás) másodfokú polinommal történő közelítésére azért van szükség, mert egy nyomott rúdelemben a (2.19) egyenletben szereplő ∫ Et dA hossz mentén való esetleges változása miatt a belső nyomóerő nem A

feltétlenül állandó. A (2.21-2.24) összefüggéseket behelyettesítve a munkaegyenletbe a négy virtuális elmozdulásfüggvény és a négy elmozdulásfüggvény differenciáljain alapuló általánosított alakváltozások helyébe a csomóponti elmozdulások és az interpolációs függvények, illetve azok deriváltjai kerülnek. Ezekután a hosszmenti integrálok az interpolációs függvényeken könnyen elvégezhetők, a (2.19) kifejezés keresztmetszeti integráljai pedig a következő fejezet speciális keresztmetszeti modellje segítségével számíthatók. A virtuális egyenletből így – kihasználva, hogy a virtuális csomóponti elmozdulások tetszőlegesek lehetnek – felírható a rúdelem külső és belső erői növekményének egyensúlya az alábbi formában:

[K&

e S

& eG +K

](

15 x15 )

u& e (15) = f& e (15)

(2.26)

& eS a rúdelem érintő elsőrendű merevségi mátrixa, K & eG a rúdelem belső ahol K

feszültségeredőitől is függő érintő geometriai (másodrendű) merevségi mátrixa, u& e és f& e a rúdelem csomóponti elmozdulásainak és megfelelő külső csomóponti terhek növekményének vektora. Az elemi merevségi mátrixok, növekményi elmozdulásvektorok és külső tehervektorok alkalmas kompilációjával összeállítható a teljes rúdszerkezet merevségi mátrixa, elmozdulás- és tehervektora, melynek megoldásával az adott tehernövekményhez tartozó elmozdulásnövekmény számítható.

2. Acél rúdszerkezetek determinisztikus modellezése 2.3 Az anyagmodell

11

2.3 Az anyagmodell Az 2.1 fejezetben bemutatott végeselem modellt eredetileg nemlineárisan rugalmas, a deformációs állapothoz egyértelműen meghatározható érintő rugalmassági modulussal rendelkező anyagmodellel alkalmazták (2.2 ábra) vékonyfalú rúdszerkezetek képlékeny stabilitási problémái megoldására [1]. σ

terhelés útja

visszaterhelés útja

ε 2.2 ábra Nemlineárisan rugalmas anyagmodell az acél rugalmasképlékeny tulajdonságainak leírására Ez az anyagmodell nem tudja figyelembe venni a képlékeny alakváltozásokat, csupán monoton feszültségváltozás esetén a rugalmassági modulus megfelelő változtatásával képes az acél anyag lágyuló és felkeményedő tulajdonságait követni. Mindebből következik, hogy csak abban az esetben szolgáltat helyes eredményt, ha a feladat megoldása során fellépő deformáció történetben a deformáció megváltozásának iránya nem vált előjelet, vagy ha igen akkor csak a rugalmasnak feltételezett zónában. Az elmondottakból rögtön következik, hogy ez az anyagmodell nem alkalmas acél szerkezetek ciklikus terhelési vizsgálatára, hiszen ebben a feladatban biztosan többször is megfordul a deformáció megváltozásának iránya. Monoton növekvő terhelésre történő stabilitásvizsgálat esetén természetesen ez nem történhet, azonban nem lehet kizárni a deformáció megváltozása irányának megfordulását a vizsgált rúd bizonyos részein a tökéletlenségek és a geometriai másodrendűség hatására. Numerikus vizsgálatok alapján megállapítható, hogy ez a jelenség főleg kifordulásnál fordul elő, ahol az elsőrendű elmozdulásoknál egyre gyorsabban növekvő másodrendű elmozdulások (a keresztmetszet hossztengely körüli elfordulása és oldalirányú eltolódása) egy idő után a középső keresztmetszet valamelyik szélső szálában az alakváltozás csökkenését okozzák. Ez leginkább már csak a terhelési tetőpont utáni leszálló szakaszban történik (így nem befolyásolva a tetőponthoz tartozó teherbírási értéket, aminek meghatározása vizsgálataink célja), azonban néha már azt megelőzően


12

is, vagyis befolyással lehet a teherbírásra. Mindezek alapján a pontosabb, valóságos viselkedést minél jobban közelítő modellalkotás során kidolgoztam és implementáltam az előző fejezet végeseleméhez egy kinematikusan keményedő, tri-lineáris karakterisztikájú, rugalmas-képlékeny anyagmodellt [1]. Az anyagmodell képlékenységi feltételeit elég az egydimenziós tengelyirányú alakváltozás (ε) terében megfogalmazni. A modell alapgondolata az, hogy a teljes tri-lineáris feszültség-alakváltozás diagram leírható négy állandó és négy változó paraméterrel, utóbbiak változása a szerkezet minden pontjában nyomon követhető, és értékük szükség esetén módosítható. Így minden növekményi teherlépésben az aktuális paraméterekkel definiált anyagmodell és a számított alakváltozás érték alapján számíthatók a feszültségek az adott pontban. A módszert az 2.3 ábra és a 2.1 táblázat szemlélteti. σ

E3 E2

fy

E1 ε2új

ε2

(σ0 , ε0)

ε

εy

(σ0,új , ε0,új)

ε1

E2 E3

2.3 Ábra Az anyagmodell paramétereinek megváltozása 2.1 táblázat Az aktuális paraméterek meghatározása Feltétel

σ0,új

ε0,új

ε1,új

ε2,új

ε 0- ε y≤ ε ≤ ε 0+ ε y ε 0+ ε y< ε < ε 1 ε 0+ ε y< ε 1 ε > ε1 ε 0+ ε y> ε 1 ε 0- ε y> ε > ε 2 ε 0 - ε y> ε 1 ε < ε2 ε 0 - ε y< ε 1

σ0 σ0+ E2(ε -ε0 - εy) σ0+ E2(ε1 -ε0 - εy)+ E3 (ε - ε1) σ0+ E3 (ε - ε1) σ0 - E2(ε -ε0+ εy) σ0 - E2(ε -ε0+ εy)+ E3 (ε - ε2) σ0+ E3 (ε - ε2)

ε0 ε - εy ε - εy ε - εy ε + εy ε + εy ε + εy

ε1 ε1 ε ε

ε2 ε 2 +ε - ε y - ε 0 ε 2 +ε - ε y - ε 0 ε 2 +ε - ε y - ε 0 ε2 ε ε

ε 1 + ε +ε y - ε 0 ε 1 + ε +ε y - ε 0 ε 1 + ε +ε y - ε 0


13

A négy állandó anyagparaméter: a három rugalmassági modulus E1, E2, és E3, valamint az első folyáshoz tartozó alakváltozás εy = fy / E1, a négy változó paraméter: a rugalmas szakasz középpontját meghatározó (σ0 , ε0) feszültség-alakváltozás páros, valamint az aktuális felkeményedési szakaszok határait jelző ε1 és ε2 alakváltozás értékek (a változó paraméterek előjeles mennyiségek). A 2.3 ábrán látható, hogy miután az alakváltozás az egyik tehernövekményi lépés után meghaladta a folyáshoz tartozó alakváltozást, tulajdonképpen a feszültség-alakváltozás diagram megfelelő része elmozdul a képlékeny alakváltozás, illetve a felkeményedés nagyságával, amelyet minden esetre az 2.1 táblázat definiál. Az ábrán szintén látható, hogy amennyiben a következő teherlépcsőnél az alakváltozás iránya megfordul a hozzátartozó feszültség a rugalmas szakasznak megfelelően fog változni, ez a rugalmas visszaterhelés jelensége. Természetesen ekkor az érintő merevségi mátrix elemeiben is az aktuális rugalmassági modulus (jelen esetben Et = E1) szerepel.

2. Acél rúdszerkezetek determinisztikus modellezése 2.4 A keresztmetszeti modell

14

2.4 A keresztmetszeti modell A 2.2 fejezetben bemutatott végeselem modellhez tartozó keresztmetszeti modell speciális feladata a (2.19) egyenletben szereplő keresztmetszet területén számított integrálok (érintő keresztmetszeti jellemzők), valamint a (2.9-2.15) egyenletekkel definiált feszültségeredők minél pontosabb meghatározása. Ezek számítása a 2.3 pontban ismertetett anyagmodell felhasználásával történik, így a keresztmetszeti modellnek lehetővé kell tennie az anyag keresztmetszet mentén való eltérő viselkedésének figyelembe vételét. Melegen hengerelt szelvényű rúdszerkezetek stabilitási vizsgálatainak a 2.1 pontban bemutatott követelményei között szerepel a gyártási maradó feszültségek figyelembe vétele, amely célszerűen szintén a keresztmetszeti modell feladata. A fentiek alapján megállapítható, hogy a kitűzött pontossági célok megvalósítása nagymértékben múlik egy megfelelően kialakított keresztmetszeti modellen, amely tulajdonképpen az egydimenziós rúdelem térbeli viselkedésének leírását teszi lehetővé a rúdtengelyre merőleges síkban létrejövő jelenségek számításba vételével. A következő pontban bemutatom az alkalmazott általános keresztmetszeti modellt, ez alapján az érintő keresztmetszeti jellemzők, illetve a feszültségeredők számításának módját. Ezután egy külön pontban ismertetem az általam kifejlesztett új maradó feszültség eloszlást, annak figyelembevételét és hatását a stabilitási feladatokra. 2.4.1 Általános leírás Jelen fejezet a [3] disszertációban, valamint a [4] cikkben részletesen leírt keresztmetszeti modellezést mutatja be a teljes eljárás megértéséhez szükséges mélységben. A keresztmetszeti modellalkotás első lépésében ki lehet használni a vizsgálódási terület specialitásait (vékonyfalú keresztmetszet), és így keresztmetszet felépíthető egyenes, állandó vastagságú lemezelemek szekvenciális sorozatából (2.4 ábra). Minden lemezelem meghatározható két végpontjának koordinátáival, valamint a vastagságával, tehát a teljes keresztmetszetet meghatározza az n+1 csomópont (yi , zi) koordinátája, és az n lemezelem vi vastagsága. Az így leírt szekvenciális szelvény minden rugalmas jellemzője – még a nyírási középpont és a gátolt csavarás vizsgálatához szükséges szektoriális koordináták, az öblösödési függvény és az öblösödési inercianyomaték is – egy aránylag egyszerű eljárás szerint meghatározható, figyelembe véve a vékonyfalú lemezelemek adta egyszerűsítési lehetőségeket [1, 3]. Természetesen azok a keresztmetszetek, amelyekben egy csomóponthoz több mint két lemezelem kapcsolódik – vagyis az elágazást tartalmazó keresztmetszetek, ilyen például a munkámban vizsgálandó I profilú szelvény is – nem építhetők fel szekvenciálisan, így külön megfontolást igényelnek. A fenti modell nyújtotta számítási előnyök megtartása céljából ezek a keresztmetszetek is felépíthetők szekvenciálisan oly módon,


15

y 1 v1 2 5 v2

v4 3

z

4

v3

2.4 ábra Általános vékonyfalú keresztmetszet szekvenciális modellje hogy az elágazáshoz visszavezető lemezelem vastagságát zérusnak definiáljuk, amely így gyakorlatilag nem vesz részt a keresztmetszeti jellemzőkben, hiszen nem tartalmaz anyagot. A 2.5 ábrán bemutatom a továbbiakban részletesebben vizsgált I profilú szelvény szekvenciális modellezését zérus vastagságú lemezelemek segítségével. y 1

v1

2

v2

4

v3 = 0

3

v4

5 v5 = 0 8

v7

7

v6

z 6

2.5 ábra Az elágazó I profilú szelvény szekvenciális modellje Külön meg kell még említeni, hogy a felesleges bonyolultság elkerülése érdekében a melegen hengerelt szelvények öv-gerinc csatlakozásánál kialakuló lekerekítési sugár figyelembevételére megfelelő az a máshol is alkalmazott módszer [5], mely szerint a többlet anyag a gerinc és az öv lemezelemeinek egymásrafedése által jelentkezik (2.6 ábra). Az így modellezett keresztmetszeten számított rugalmas jellemzők kielégítő pontosságot adnak összehasonlítva a szabványos hengerelt szelvények keresztmetszeti jellemzőit tartalmazó katalógus értékeivel [3]. A leírt keresztmetszeti modell tehát alkalmas a keresztmetszeti jellemzők számítására, amíg a teljes szelvény rugalmas


16

2.6 ábra A lekerekítési sugár figyelembe vétele állapotban van, ám amint valamely része képlékeny állapotba kerül, a keresztmetszeti modell finomítására és az érintő jellemzők meghatározásának új módszerére van szükség. Ahhoz, hogy a képlékeny zónák terjedését kellő pontossággal tudjuk követni, a leírt keresztmetszeti modell lemezelemeinek további felosztására van szükség, mind a lemezelemek hossza, mind pedig a vastagsága mentén. Így a teljes keresztmetszet felosztható megfelelő számú, téglalap alakú szegmensre a 2.7 ábra szerint.

2.7 ábra A keresztmetszet finomított szegmens modellje Az így kialakított keresztmetszeti modell mindegyik szegmensében számítható minden szükséges függvényérték, így a koordináták, az alakváltozási és feszültségértékek, valamint a szektoriális koordináták. Megjegyzendő, hogy a 2.7 ábra a keresztmetszet felületjellegű – nem vékonyfalú lemezelemekből építkező – modellezését sugallja, ami az első három függvény – a koordináták, az alakváltozási és feszültségértékek – meghatározását nem érinti, azonban az öblösödési függvényből meghatározható szektoriális koordináták számítása a felületjellegű modellen bonyolult eljárást igényelne,


17

ezért a szekvenciális lemezelem-modellen meghatározott szektoriális koordinátákból interpolációval számítjuk a 2.7 ábra szegmenseinek szektoriális koordinátáit. Ez, mivel a keresztmetszet ebből a szempontból továbbra is vékonyfalú szelvénynek tekinthető, nem okoz lényeges pontatlanságot. Ezek után már minden rendelkezésre áll az anyagtulajdonságokat is figyelembe érintő keresztmetszeti jellemzők, valamint a feszültségeredők számításához, amelyek módszereit a következő két pont ismerteti. 2.4.2 Az érintő keresztmetszeti jellemzők számítása Az érintő keresztmetszeti jellemzők számításakor az egyenértékű rugalmas keresztmetszet elvét követjük, amelyben a képlékenyedéssel járó merevség-csökkenést a keresztmetszeti jellemzők megfelelő csökkentésével vesszük figyelembe, míg a merevségi mátrixban végig a kezdeti rugalmassági modulus szerepel. A (2.19) összefüggésben szereplő integráloknak megfelelő egyenértékű rugalmas keresztmetszeti jellemzők az alábbi módon alakulnak: m E E A e = ∫ i dA = ∑ i Ai A E i =1 E1 1 m E Ei zdA = ∑ i Ai z i A E i =1 E1 1

S ye = ∫

m E Ei ydA = ∑ i Ai y i A E i =1 E1 1

S ze = ∫

m Ei E ωdA = ∑ i Ai ω i A E i =1 E1 1

S ωe = ∫

m Ei 2 E z dA = ∑ i Ai z i2 A E i =1 E1 1

I ye = ∫

m Ei 2 E y dA = ∑ i Ai y i2 A E i =1 E1 1

I ze = ∫

m Ei E yzdA = ∑ i Ai yi z i A E i =1 E1 1

I yze = ∫

m Ei E ωzdA = ∑ i Ai ω i z i A E i =1 E1 1

S ωe y = ∫

m Ei E ωydA = ∑ i Ai ω i y i A E i =1 E1 1

S ωe z = ∫

m E E I ω = ∫ i ω 2 dA = ∑ i Ai ω i2 A E i =1 E1 1 e

e I SV =

s 1 Ei 3 1 m t ds = b j t rj3 ∑ ∫ 3 0 E1 3 j =1

(2.27-2.37)


18

ahol yi, zi, és ωi a keresztmetszet i-edik szegmense középpontjának y és z, valamint szektoriális koordinátája; m a keresztmetszetben lévő szegmensek száma; Ei az i-edik szegmens középpontjában számított alakváltozáshoz tartozó – a 2.3 ábrának megfelelő aktuális anyagmodellt figyelembe vevő – rugalmassági modulus, míg E1 a kezdeti rugalmas szakasz rugalmassági modulusa; Ai az i-edik szegmens területe. Magyarázatot igényel még az utolsó jellemző – ISV Saint-Venant csavarási inercia –, amely az ismert vékonyfalú szelvényekre alkalmazott formula szerint kerül meghatározásra, így az egyes lemezelemek szélességét (bj) és redukált vastagságát (trj) tartalmazza, utóbbi a következő módon határozható meg a lemezelemen lévő szegmensek aktuális rugalmassági modulusainak felhasználásával: 3

nk Ek k =1 n t rj = tj E1

∑

(2.38)

ahol tj a j-edik lemezelem teljes vastagsága, n a lemezelemen felvett szegmensek száma, nk pedig azoknak a szegmenseknek a száma, amelyekhez Ek rugalmassági modulus tartozik a középponti alakváltozás és az aktuális anyagmodell alapján (a képletben feltételeztük, hogy egy lemezelemen belül csak azonos területű szegmensek vannak).

2.4.3 Az aktuális feszültségeredők számítása Az aktuális feszültségeredők meghatározására a (2.26) egyenletben szereplő geometriai merevségi mátrix elemeinek számításához van szükség. A számítási módszer az előző pontban bemutatott numerikus eljáráshoz hasonló, a keresztmetszet szegmenseinek középpontjában meghatározható az alakváltozás a (2.18) egyenlet szerint, majd az aktuális anyagmodell segítségével a feszültségérték (σ). Ezek megfelelő összegzése szolgáltatja a kívánt feszültségeredőket az alábbi képletek szerint: m

N = ∫ σdA = ∑ Aiσ i i =1

A

m

M y = ∫ σ zdA = ∑ Aiσ i z i i =1

A

m

M z = ∫ σ ydA = ∑ Aiσ i y i

(2.39-2.43)

i =1

A

m

M ω = ∫ σ ωdA = ∑ Aiσ i ω i i =1

A

(

m

)

K = ∫ σ ( z − d z ) 2 + ( y − d y ) 2 dA = ∫ σa 2 dA = ∑ Aiσ i a i2 A

A

i =1


19

Látható tehát, hogy az így meghatározott feszültségeredők tartalmazzák a képlékenység, és felkeményedés hatását. Azt is megállapíthatjuk, hogy a (2.27-2.43) egyenletek szerinti számítások annál pontosabbak, minél sűrűbb a keresztmetszet szegmens felosztása. Az elemsűrítés mindazonáltal jelentős mértékben megnöveli a számítások idejét, hiszen minden egyes szegmensben minden növekményi lépésnél meg kell határozni az aktuális anyagmodellt, és csak azután lehet meghatározni a keresztmetszeti jellemzőket és feszültségeredőket. Numerikus vizsgálataim során ezért pontos (konvergenciatanulmány alapján [3]), de még reális futási időt biztosító felosztást alkalmaztam, a lemezelemek vastagsága mentén 4, a szélessége mentén pedig 32 elemet használtam.

2.4.4 A keresztmetszet sajátfeszültségei A hengerelt szelvények sajátfeszültségei igen jelentős mértékben befolyásolhatják a stabilitási teherbírást. Modellezésükre többféle módszert alkalmaztak [6, 7, 8, 9], eredményeik mindazonáltal nem szolgáltattak általánosan is alkalmazható, numerikusan stabil megoldást, ezért ezzel a témával munkám során részletesebben foglalkoztam. Ez a fejezet a [10] cikkre épülve mutatja be az általam kifejlesztett sajátfeszültségi modellt, melynek figyelembevétele az előző pontokban bemutatott keresztmetszeti modellben igen kifinomult, és a reális viselkedést pontosan követő stabil numerikus eljárás alkalmazását teszi lehetővé. A sajátfeszültségek gyártás során keletkeznek, például a meleghengerlés utáni egyenlőtlen lehűlés következtében [11, 12]. A gyorsabban hűlő részek (pl. az övlemezek szélei) nagyobb sebességgel zsugorodnak, mint a lassabban hűlők (pl. az öv és a gerinc kapcsolódási pontja), így az előbbiekben húzófeszültségek, az utóbbiakban nyomófeszültségek ébrednek. Ahol ezek a feszültségek elérik a magas hőmérséklet miatt alacsonyabb folyáshatárt, ott képlékeny alakváltozások jönnek létre. Mikor a szelvény teljesen kihűl a húzott képlékeny alakváltozások maradó megnyúlásokat eredményeznek, a nyomottak pedig maradó zsugorodást. Az eltérő térfogatú részek feszültségeket okoznak az anyagban, a megnyúlt részekben így nyomófeszültségek, míg a zsugorodott részekben húzófeszültségek keletkeznek. Mivel a hosszirányú alakváltozások sokkal jelentősebbek a keresztirányúaknál, utóbbiakat elhanyagoljuk, és így csak a keresztmetszet mentén eloszló maradó normálfeszültségeket vesszük számításba. Ezek eloszlására és értékére igen sok, gyakran lényegesen eltérő eredményeket szolgáltató mérést végeztek [pl. 13], az alábbiakban azonban minden vizsgálat megegyezett:

az eloszlás és a feszültségnagyság legfontosabb befolyásoló tényezője (azonos gyártási módszert feltételezve) a keresztmetszet alakja I keresztmetszeteknél az övek szélein mindig nyomás keletkezik, az öv és gerinc csatlakozásnál pedig húzás a maradó feszültségek a keresztmetszet mentén egyensúlyi rendszert alkotnak


20

a feszültségek eloszlása szimmetrikus az övön és a gerincen is A gerincek közepén is általában nyomás alakul ki, ám zömökebb szelvényeknél, ahol a gerinc is vastagabb a gerinc végig húzott maradhat. Az is vitás, hogy a maradó feszültségek értéke mennyire függ az anyag folyási feszültségétől. Egyes vizsgálatok teljesen független változóként állapították meg [8], ami azt jelenti, hogy minél nagyobb a folyáshatár, annál kisebb a sajátfeszültségek jelentősége. Ez a feltevés megkérdőjelezhető, ha arra gondolunk, hogy a maradó alakváltozások kialakulása, és mennyisége az anyag (magas hőmérsékleten megjelenő) folyáshatárának függvénye. Ezért általában a sajátfeszültségek maximális értékeit a folyáshatár függvényeként adják meg. Ezeket a feszültségértékeket természetesen nagyon befolyásolja a gyártási folyamat, a hűlési sebesség, az esetleges utókezelések, így igen tág határok között mozoghatnak. A továbbiakban megvizsgálom az IPE és HEA szelvényekhez ajánlott sajátfeszültség-eloszlásokat, ezek hatását a teherbírásra. A sajátfeszültségek egy-egy lemezelem menti eloszlására általában a konstans, lineáris, vagy parabolikus közelítés használatos. A számítási modellben feltételezett közelítő feszültségeloszlást úgy kell meghatározni, hogy kielégítse az alábbi egyensúlyi egyenleteket [13]:

N = ∫ σ x dA = 0 ; M y = ∫ σ x zdA = 0 ; M z = ∫ σ x ydA = 0 A

A

(2.44-2.46)

A

azaz a sajátfeszültségek (σx) eredője nem okozhat a keresztmetszeten nyomást vagy kétirányú hajlítást. Három különböző, a (2.44-2.46) egyenleteket kielégítő, numerikus számításokban gyakran alkalmazott sajátfeszültség eloszlást vizsgáltam meg, ezeket a 2.8 ábra mutatja be. A

B

C

2.8 ábra Különböző sajátfeszültségeloszlások: A – Young-féle [8], B – ECCS-féle [6], C – Galambos-féle [7]


21

A Young-féle feszültségeloszlás az öv és a gerinc mentén is másodfokú parabola alakot feltételez, amelynek jellemző értékeit Young mérések alapján határozta meg, az alábbi képletek szerint:   

σ c1 = −1651 −

ht w 2.4bt f



   

σ c 2 = −1001.5 −

ht w 2.4bt f



   



σ t = 100 0.7 − 

ht w 2bt f

   

(2.47-2.49)

ahol σc1, σc2 és σt az övek szélein, a gerinc közepén valamint az övek és a gerinc csatlakozási pontjában keletkező feszültségérték, melynek mértékegysége N/mm2 (a negatív előjel nyomást, a pozitív húzást jelent). Ezekkel az összefüggésekkel meghatározott feszültségeloszlás kielégíti a (2.44-2.46) egyensúlyi egyenleteket, és csak a keresztmetszet négy jellemző méretétől függenek. Az ECCS ajánlása szerinti eloszlás a legegyszerűbb, s mivel az előzőekben leírt három jellemző pontjában azonos feszültségértéket feltételez, automatikusan kielégíti az egyensúlyi egyenleteket. A Galambos-féle eloszlásnak két jellemző pontja van, mivel a gerincen állandó értékű. Az egyensúlyi egyenletek kielégítéséhez ezek között az alábbi összefüggésnek kell teljesülnie:

σt = −

bt f σ c1

(bt

f

+ ht w )

(2.50)

Mielőtt megvizsgálnánk a különböző sajátfeszültség-eloszlások teherbírásra gyakorolt hatását, meg kell jegyezni, hogy mindegyik típusú eloszlást melegen hengerelt acéloszlopok kihajlásának kutatása céljából fejlesztették ki. Ez azért fontos, mert a kihajlás esetén nem lépnek fel csavarásból származó feszültségek, de pl. az általam is vizsgált kifordulás esetén már igen. Ennek következményeként a sajátfeszültségeknek a (2.44-2.46) egyensúlyi egyenleteken felül az alábbi összefüggéseknek is eleget kell tenniük:

M ω = ∫ σ x ωdA = 0 ; Tω = K A

∂θ x =0 ∂x

(2.51-2.52)

ahol Mω az öblösödési normálfeszültségek eredője az un. binyomaték, Tω a Wagner hatás (az öblösödési normálfeszültségek irányának megváltozása) következményeként létrejövő csavarónyomaték [1], amelyben

(

2

2

)

K = ∫ a 2σ x tds = ∫ ( y − y D ) + ( z − z D ) σ x tds s

s

(2.53)


22

a Wagner tényező, a a keresztmetszet adott pontjának távolsága D csavarási középponttól, t az adott pontban a lemezelem vastagsága. Látható hogy a Wagner tényező függ a keresztmetszeten létrejövő normálfeszültségektől is, így feszültségeredő jellegű mennyiség, amely megjelenik a (2.26) szerinti geometriai merevségi mátrixban is. Amennyiben a keresztmetszetek hossztengely körüli elfordulási szöge (θx) a hossztengely mentén nem lineárisan változik, a (2.52) egyenlet csak úgy elégíthető ki, ha a Wagner tényező zérus. A bemutatott sajátfeszültség-eloszlásoknál a binyomaték a két főtengelyre való szimmetria miatt mindíg zérusra adódik, ám a (2.52) egyenlet nincs kielégítve, mivel a (2.53) szerinti Wagner tényező nem adódik zérus értékűnek. Ennek a jelenségnek – mint majd később bemutatom – jelentős hatása lehet a kifordulási teherbírásra, ezért levezettem egy olyan feszültségeloszlást, amely a Wagner tényezőt is zérussá teszi. Az eloszlást az övek és a gerinc mentén is parabolikusnak feltételeztem az alábbi formában: f(y) y f ( y) = c f + a f y 2 w( z ) = c w + a w z

z

(2.54-2.55)

2

w(z)

ahol f és w az övekhez és a gerinchez tartozó eloszlási értékek, y és z a 2.9 ábra szerint felvett tengelyek, cf, af, cw és aw pedig meghatározandó együtthatók. Mivel a tengelyek helyzetéből, valamint az f és w függvények f(y) alakjából adódóan az eloszlás szimmetrikus a kis és y nagytengelyre is, a (2.45-2.46) szerinti nyomatéki egyensúlyi egyenletek automatikusan teljesülnek. Az 2.9 ábra Az eloszláshoz együtthatók meghatározásához szükséges négy tartozó tengelyek egyenlet tehát a következő lesz: a normálerő és a Wagner tényező zérusértékét kifejező egyenletek (2.56-2.57), az övek és a gerinc csatlakozásánál létrejövő feszültségértékek egyenlősége (2.58), valamint az övek szélein megadható tetszőleges feszültségérték (2.59). Ezekután, feltételezve, hogy a vasagságok mentén állandóértékű az eloszlás a fent leírt négy egyenlet a következő formát ölti: b/2

2t f

∫

h/2

f ( y )dy + t w

−b / 2

∫ w( z )dz = 0

(2.56)

−h / 2

b/2

h/2  h2 2 2   y f ( y ) dy + t + w ∫ z w( z )dz = 0 ∫  4   −b / 2  −h / 2 f ( 0) = g ( h / 2) f (b / 2) = −αf y

2t f

(2.57) (2.58) (2.59)

A fenti egyenletekben az ismert jelöléseken túl α jelöli az övek szélein létrejövő sajátfeszültség és az fy folyáshatár hányadosát, általában ez az érték határozza meg a feszültségeloszlást. Behelyettesítve a (2.56-2.59) egyenletekbe az eloszlásfüggvények


23

(2.54-2.55) szerinti alakját, elvégezve az integrálást és néhány egyszerűsítést elvégezve az alábbi négyismeretlenes lineáris egyenletrendszerre jutunk:

1  1  c f (2bt f ) + a f  b 3t f  + c w (ht w ) + a w  h 3t w  = 0 6   12  2 2 5 3 2 c f 40 b + 3h bt f + a f 6b t f + 10b h t f + c w 20h 3 t w + a w 3h 5 t w = 0

( (

) )

(

)

(

)

(

)

(2.60-2.63)

 h2  c f − c w − a w   = 0  4   b2  c f + a f   = −αf y  4

Ezt az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a keresett együtthatókat a keresztmetszet méretei és az övek szélein definiált feszültségérték függvényében:

c f = αf y

(

bt f 3b 2 + 4h 4

2b 3t f + 8bh 2 t f + h 3 t w

a f = −αf y

20b 3t f + 48bh 2 t f + 4h 3t w

( ) bt (8b t + 3bh t + 2h t ) = −αf 2ht (2b t + 8bh t + h t ) 2bt (8b t + 9bh t + 2h t ) = αf h t (2b t + 8bh t + h t ) b 2 2b 3t f + 8bh 2 t f + h 3 t w 3

cw

f

2

f

f

2

f

w

3

w

3

w

3

f

f

3

2

f

(2.64-2.67)

w

2

3

y

3

w

3

y

w

aw

)

w

3

f

w

Így tehát megkaptuk egy olyan parabolikus sajátfeszültség-eloszlás paramétereit, amelyek a csavarást tartalmazó feladatoknál sem okozhatnak zavart a belőlük származó Wagner hatás miatt. A 2.10 ábra bemutatja a levezetett feszültségeloszlást az öveken és a gerincen a két vizsgált keresztmetszet esetén összehasonlítva a 2.8 ábra szerinti eloszlástípusokkal, 60 N/mm2 feszültséget feltételezve az övek szélein. Az ábrákon az övek esetében a függőleges tengelyen a gerincnél a vízszintes tengelyen szerepel a feszültségérték [N/mm2] a dimenzió nélküli övszélesség és gerincmagasság függvényében. Látható, hogy míg a HEA szelvény esetében az öveknél nagyjából azonos a feszültségértékek megoszlása, az IPE keresztmetszet öveinél jelentős eltérés van, főként a Young-féle eloszlás övközépen megjelenő igen nagy értéke különbözik a többitől, amely eléri a HEA értékének a kétszeresét is. Ez azért kevéssé hihető, mert az IPE keresztmetszet öve sokkal keskenyebb a HEA övénél, így inkább az a valószínűbb, hogy kisebb sajátfeszültségek keletkeznek. A gerincek esetében a Galambos-féle eloszlás alapvetően különbözik a többitől, ezt inkább vastagabb gerincű szelvényeknél alkalmazzák. Az IPE keresztmetszetnél szintén a többinél jóval nagyobb értéket mutat a


IPE240 Övek Szalai

Young

HEA200 Övek

Galambos

Szalai

ECCS

100 80

20 0

0.5

1

-1

-0.5

1

-80

Young

HEA200 Gerinc

Galambos

ECCS

Szalai

0.8 0.6 0.4

-50

0.5

-60

1

-100

-20 0 -40

IPE240 Gerinc

-150

ECCS

40

-80 -100

Szalai

Galambos

60

20 0 -20 0 -40 -60

-0.5

Young

80

60 40

-1

24

0.2 0 -0.2 0 -0.4

50

100

150

-100

-0.6 -0.8 -1

-50

Young

Galambos

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8 -1

ECCS

50

100

2.10 ábra Sajátfeszültségértékek összehasonlítása Young-féle eloszlás, ami most megmagyarázható a valamivel nagyobb gerincmagassággal. A HEA szelvénynél ugyanakkor a gerinc esetében is hasonló értékeket vesz fel a három eloszlás. Az előző pontokban bemutatott keresztmetszeti modellben igen könnyen, a keresztmetszeti szegmensek középpontjában megjelenő kezdeti alakváltozásként lehet definiálni bármilyen típusú sajátfeszültség-eloszlást. Ezután bármelyik feszültségeredő a bemutatott numerikus integrálással számítható a keresztmetszeten, ám a növekményi lépésekben egyre növekvő σ normálfeszültségekhez hozzáadódik a számítások során végig konstans σx sajátfeszültség. A keresztmetszet diszkretizálása miatt természetesen nem kapunk pontosan zérust minden feszültségeredőre, de a (2.44-2.46) valamint (2.51) egyenletek szerinti normálerő, hajlítónyomatékok, és öblösödési nyomaték elhanyagolható értéket ad mindegyik eloszlás esetén, ahogy ez várható is. Ugyanakkor a Wagner tényező numerikus meghatározásában igen nagy különbségek adódnak, ezt foglalja össze a 2.2 táblázat a két szelvény esetén az általam levezetett eloszláshoz viszonyítva.

2.2 táblázat A Wagner tényező viszonyított értékei

IPE240 HEA200

Szalai 1 1

Young 235.85 27.06

Galambos 77.58 137.37

ECCS 17.81 58.29


25

Látható, hogy a numerikus számításban szereplő értékek a Wagner tényezőre a hagyományos eloszlások esetén igen jelentősek egy-két nagyságrenddel is nagyobbak a javasolt eloszlásnál. Legnagyobb eltérést a Young-féle eloszlás IPE szelvénynél mutat a már említett nagy övközépi feszültségérték miatt. A továbbiakban vizsgáljuk meg a különböző sajátfeszültség-eloszlások numerikus számítással meghatározott teherbírásra gyakorolt hatását. A Függelék F.1-F.4 ábrái a különböző sajátfeszültség-eloszlások esetén ábrázolják a két szelvény kihajlási és kifordulási teherbírását a karcsúság függvényében, átlagos kezdeti görbeséggel, rugalmassági modulussal és folyáshatárral számolva (ezek meghatározása a 3.3 fejezetben történik). A különböző eloszlások hatásának szemléltetésére a Függelék megfelelő ábráihoz meghatároztam a relatív különbségek grafikonjait is a karcsúság függvényében, az alábbi dimenzió nélküli értéket ábrázoltam:

φ=

Lu − Lur Lur

(2.68)

ahol Lu és Lur jelenti a vizsgált elem teherbírását a sajátfeszültségek figyelembevétele nélkül, illetve az adott sajátfeszültség eloszlás figyelembevételével. Ezek a különbséggörbék a 2.11 és 2.12 ábrákon láthatók a kihajlás és a kifordulás esetére. Mint más tökéletlenségeknél a sajátfeszültségeknek is a közepes karcsúságoknál (λz = 90 – 120) van a legnagyobb teherbírás-csökkentő hatása, míg elvileg a képlékeny teherbírást (λz = 0) nem befolyásolja – mivel egyensúlyi feszültségrendszert alkot –, és úgyszintén nem lehet hatással a tisztán rugalmas teherbírásra (λz = ∞). Mindkét szelvény esetén jól megfigyelhető, hogy a kihajlásnál valóban mindegyik eloszlás esetén a két szélső karcsúságértékhez haladva csökken a sajátfeszültségek hatása. Továbbá kihajlás esetén a javasolt eloszlás szinte teljesen egyező eredményt ad a Young-féle sajátfeszültségek feltételezésével kapott görbével, legjobban a Galambos-féle eloszlás csökkenti a teherbírást. Kifordulás esetén a HEA szelvénynél szintén a Young eloszlás fut együtt a javasolttal, ami nem is meglepő, hiszen a 2.10 ábrán látható módon ennél a keresztmetszetnél igen hasonló feszültségeloszlást eredményez a két módszer, főleg a teherbírás szempontjából lényegesebb övek esetén. Ugyanakkor már itt is megfigyelhető, hogy a javasolt eloszlás kivételével a görbék jelentős eltérést mutatnak a sajátfeszültségektől mentes keresztmetszethez képest kis karcsúság esetén is. Az IPE szelvény esetén még nagyobb ez az eltérés a három hagyományos eloszlásnál. Ez az elméletileg helytelen viselkedés pontosan a sajátfeszültségekből eredő nem zérus Wagner tényezőnek köszönhető, amely a teherbírás közelében a növekvő elmozdulásoknál jelentős zavarokat okozhat a konvergenciában. Ezt a feltevést az is alátámasztja, ha megnézzük a 2.2 táblázat szerinti Wagner tényező viszonyított értékeit, hiszen pontosan ezt a sorrendet követve növekszik a kis karcsúságnál az egyes sajátfeszültség-eloszlások teherbírásra gyakorolt hatása, amelynek itt már nem lenne szabad nagy eltérést okoznia. További érdekesség, hogy a Young-féle eloszlás IPE


26

szelvény esetén a nagyobb karcsúságok felé nagyobb teherbírást eredményez, mint a sajátfeszültségektől mentes rúd teherbírása, ez az övekben megjelenő igen nagy húzófeszültségeknek köszönhető (2.10 ábra), amelyek stabilizálják a nyomott övet. A bemutatott vizsgálatok alapján megállapítottam, hogy az általános esetben a teherbírás numerikus vizsgálatához az általam kifejlesztett sajátfeszültség eloszlás szolgáltatja a legmegfelelőbb eredményt, így a további számításokban ezt alkalmaztam. ECCS

Young

Galambos

ECCS 0.12

0.1

0.1

HEA200

0.08

Young

Galambos

0.06

Szalai Proposed

IPE240

0.08

φ

φ

Proposed Szalai

0.12

0.06

0.04

0.04

0.02

0.02

0

0 0

50

100

150

200

250

300

0

350

50

100

150

200

250

300

350

λz

λz

2.11 ábra A különböző sajátfeszültségek hatása a kihajlási teherbírásra ECCS

Young

Galambos

Proposed Szalai

ECCS

Young

Galambos

Proposed Szalai

0.1

0.1

0.08 0.08

HEA200

0.06 0.04

0.06

φ

φ

0.02 0.04

0 0

50

100

150

200

250

-0.02

0.02

-0.04 0 0

50

100

150

200

250

300

350

IPE240

-0.06 -0.08

-0.02 λz

λz

2.12 ábra A különböző sajátfeszültségek hatása a kifordulási teherbírásra

300

350

2. Acél rúdszerkezetek determinisztikus modellezése 2.5 Megoldási eljárás

27

2.5 Megoldási eljárás Adott tehát a numerikus modell mechanikai leírása, amely alkalmas a kutatás során vizsgált acélszerkezetek leírására. A feladat a továbbiakban a reális teherbírás meghatározása, amely a nemlinearitások miatt explicit formában nem állítható elő, és sajátérték-feladat megoldásaként sem jöhet szóba. Ilyenkor a megoldás egy olyan folytatólagos módszer, amely végigköveti az egyensúlyi utat – kielégítve minden pontjában a (2.26) egyenletet – a csomóponti elmozdulások és erők által definiált térben. A szerkezeti analízisben legszéleskörűbben használt ilyen eljárás: a Newton-Raphson módszer. Bár ez a lépésről lépésre törénő számítási módszer elég időigényes lehet a megismételt számítások miatt, számos előnyös tulajdonsággal rendelkezik. A szerkezet egyensúlyi helyzetét leíró nemlineáris egyenletrendszernek igen sok matematikailag helyes megoldása lehet, ám ezek közül csak egynek van valós fizikai tartalma. Ha lépésről lépésre követjük az egyensúlyi állapotokat könnyebb a valós viselkedést leíró utat megkülönböztetni az esetleges helytelen megoldásoktól. Bár a teherbírásvizsgálat során tulajdonképpen csak a stabilitásvesztéshez tartozó megoldásra van szükség, az egyensúlyi út végigkövetése hasznos betekintést nyújt a szerkezet viselkedésébe, emellett képlékeny anyagmodell esetén a viselkedés nem útfüggetlen. Mindemellett fontos megjegyezni, hogy az eljárás közelítő megoldást ad, melynek pontossága sok összetevőtől függ, és gyakran nehezen megállapítható (különösen a teherbírásvesztés, azaz a szingularitás közelében). Másodsorban pedig a Newton-Raphson módszer igen érzékeny néhány vezérlő paraméterre, amelyek a megoldáskeresés gyorsaságáért és stabilitásáért felelősek, így egy megfelelően hatékony eljárás különböző problémákra való automatizálása nem könnyű feladat. Mindezekből következik, hogy sztochasztikus számításoknak igen fontos összetevője a determinisztikus megoldásokat kereső eljárás, amely nagymértékben befolyásolja az eredmények pontosságát és a teljes számítás hatékonyságát. Ezeket figyelembe véve munkám során különös gondot fordítottam a legmegfelelőbb megoldási eljárás kiválasztására illetve fejlesztésére, a továbbiakban [14, 15, 16] cikkekre épülve mutatom be az általam kifejlesztett, speciálisan rúdszerkezetek rugalmas-képlékeny stabilitásvizsgálatára szolgáló növekményi-iterációs módszert. 2.5.1 Általános leírás A továbbiakban egyparaméteres, konzervatív rendszerekről lesz szó, melyek állapota mindig jellemezhető a teljes potenciális energiával Π(u, λ), amely az elmozdulásvektor (u) és a teherparaméter (λ) függvénye. A szerkezet egyensúlyának feltétele, hogy a potenciális energia stacionárius legyen az elmozdulásmező felett, azaz: ∂Π (u, λ ) = r (u, λ ) = 0 ∂u

(2.69)


28

ahol r, a potenciális energia gradiense, jelenti a kiegyensúlyozatlan erők vektorát, amely egyensúly esetén zérus. Amennyiben a szerkezet belső feszültségei csak az elmozdulástól függnek, a külső erők nagyságát pedig csak a teherparaméter határozza meg, a (2.69) egyenlet szétbontható:

r (u, λ ) = f (λ ) − p(u )

(2.70)

tehát a kiegyensúlyozatlan erők vektora előállítható a külső erők és a belső erők különbségeként. A fenti egyenletek megoldása egy N+1 dimenziós térgörbe az elmozdulások és a teherparaméter által kifeszített térben, ha az elmozdulásvektor mérete N. A Newton-Raphson módszer a térgörbe egy adott pontjából közelíti a következő pontot, és így térképezi fel pontonként a teljes egyensúlyi utat. A szerkezeti analízisben a kezdőpont mindig az egyensúlyban lévő terheletlen szerkezet, innen indul a lépésről lépésre történő számítás. Kezdőlépésként az adott pontban linearizálja az egyensúlyi utat, ami teherparaméterrel arányos külső terhelés esetén az alábbi egyenletekre vezet: (2.71) K T ∆u = q∆λ ∂p ∂f (2.72-2.73) KT = és q = ∂u ∂λ ahol KT az elmozdulásoktól függő érintő merevségi mátrix, q pedig a külső terhelés irányát meghatározó referencia tehervektor. Ez a linearizált növekményi egyensúlyi egyenletrendszer N darab egyenletet tartalmaz, ami alapján nem lehet egyértelműen meghatározni a teherparamétert is tartalmazó N+1 ismeretlent, ezért egy további skaláregyenletre (úgynevezett kényszeregyenlet) van szükség, hogy határozottá tegyük a feladatot, ami általában szintén az elmozdulás-teherparaméter térben van értelmezve: c(u, λ ) = 0

(2.74)

Ez geometriailag egy hiperfelületet határoz meg az N+1 dimenziós térben, ez a felület metszi ki az egyensúlyi útból az aktuális megoldáspontot. Ezekután a Newton-Raphson módszer két fázisban számol: a növekményi (prediktor) és az iterativ (korrektor) fázisban [17]. A növekményi részben a linearizált egyenlet alapján meghatároz egy növekményi pontot, az iteráció során pedig ennek az egyensúlyi úttól való eltérését csökkenti adott határ alá a (2.74) hiperfelületen mozogva.

2.5.2 Növekményi eljárás A növekményi eljárás során tehát a kiinduló pontban számított deriváltak alapján lehet meghatározni a növekmény irányát az elmozdulások terében:

( )

v = KT

−1

q

(2.75)


29

ahol v az aktuális érintő merevségi mátrixhoz tartozó érintő elmozdulásvektor, melynek tehát csak az iránya fontos. A növekmény nagyságát a (2.74) kényszeregyenlet határozza meg, amelyre igen sok variációt fejlesztettek ki [18, 19]. Ezek legszükségesebb feladata egy olyan pont meghatározása az elmozdulás-teherparaméter térben amely megfelelő kiindulópontja lehet az iterációknak, tehát az egyensúlyi út ún. lokális konvergenciaterében van [20]. Ez biztosítja, hogy a helyes megoldástól való eltérés az iterációval elvileg tetszőleges mértékben redukálható. Sztochasztikus teherbírás számításoknál emellett igen fontos olyan optimális növekmény keresése, amely minimalizálja a megfelelően pontos teherbírás meghatározásához szükséges összegzett iterációs számot, és azáltal teszi hatékonnyá a determinisztikus megoldást. Ez a növekmény így nem lehet sem túl nagy, mert az nagy hibát és sok iterációs lépést, esetleg divergenciát okozhat; sem túl kicsi, mert akkor szükségtelenül sok növekményi lépésben lehetne csak elérni a teherbírást. Ez az optimális növekmény nagyság természetesen a számítás során nem azonos, acél rúdszerkezeteknél a geometriai és anyagi nemlinearitások okozta lágyulás miatt jellegzetesen csökkenő tendenciájú. Helyes növekményi módszer mindezeket figyelembe véve valamilyen módon megbecsüli a szerkezet viselkedését, és ehhez szabja a következő növekményt. Ez egyrészt a (2.75) egyenlet által történik, amely az egyensúlyi utat jelentő térgörbe minden pontjában annak érintőjét határozza meg, így már figyelembe veszi a nemlinearitásokat, ám ezek változását már nem tudja követni (pl. az anyag folyásának hatására meginduló hirtelen lágyulás), ezért a (2.74) kényszeregyenlet a felelős. Az alábbiakban néhány gyakorlatban alkalmazott kényszeregyenletet mutatok be az i-edik növekmény nagyságának meghatározására (∆λi):

végig állandó tehernövekmény (2.76)

c = ∆λ1 − ∆λi

egy elmozduláskomponens egyenletes növelése

c = ∆λ1bT u1 − ∆λi bT u i

(2.77)

ahol b vektor jelöli ki a meghatározott komponenst növekmény meghatározása állandó ívhossz alapján 2

2

c = (∆λ1 ) v1T v1 − (∆λi ) vTi v i

(2.78)

növekmény meghatározása állandó ’merevségi paraméter’ alapján

c = ∆λ1 v1T q − ∆λi v Ti q

(2.79)

Az összefüggésekben ∆λ1 a legelső lépésben meghatározott tehernövekményt jelenti, amit mindig a felhasználónak kell megállapítania. Azonos tehát a módszerekben, hogy a legelső lépésben meghatároz egy mennyiséget, melyet azután állandó értéken tart a számítások során. Egyik hátránya ezeknek a módszereknek, hogy az állandó értékű mennyiség meghatározása során keveri a különböző dimenziójú elmozdulás-(és teher-)


30

komponenseket (kivéve az állandó tehernövekmény és elmozduláskomponensnél, amelyek a legkevésbé használatosak). Ennek következményeként az egyes komponensek dimenziójuktól függően különböző súllyal kerülnek be a meghatározott mennyiségbe, ami a hatások helytelen figyelembevételéhez vezethet [21] (az elfordulások általában egy-két, míg az öblösödéshez tartozó elmozdulásparaméter három-négy nagyságrenddel kisebb az eltolódásoknál). Ennek a problémának a csökkentése lehetséges az elmozdulás- és tehervektorok megfelelő skálázásával, amire számos módszert kidolgoztak [22]. Sztochasztikus számítások során a másik igen nagy hátrány, hogy a legelső teherfaktor mindig a felhasználó döntése. Ez megakadályozza a különböző kiinduló paraméterekkel terhelt szerkezet automatikus, de mégis hatékony számítását, hiszen (mint majd példákban is bemutatom) az optimális kezdőteher igen különböző lehet, vagy megfordítva egy adott kezdőteher igen különböző hatékonyságot mutathat az egyes számításoknál. Ezt a két hátrányt küszöböli ki a kifejezetten vékonyfalú rugalmas-képlékeny anyagú rúdszerkezetekre általam kifejlesztett növekményi eljárás. A módszer alapgondolatának ismertetésekor szükséges megjegyezni, hogy a kényszeregyenletek csak a növekmény nagyságát határozzák meg, irányukat mindig az érintő elmozdulásvektor adja. Tehát ezek az egyenletek nem feltétlenül kell, hogy szintén az elmozdulás-teherparaméter térben legyenek értelmezve. A módszer a kényszeregyenleteket áthelyezi az alakváltozás-teherparaméter térbe, aminek az alábbi előnyei vannak:

rúdszerkezet modellezésénél általában elég a tengelyirányú alakváltozások számításba vétele (ahogy az általam használt rúdvégeselem modellnél is) legteljesebben leírja a szerkezet viselkedését, beleértve a geometriai másodrendűséget, amely a (2.2-2.4) szerinti alakváltozás-definícióból fakad, illetve a nemlineáris anyagmodellt, ami szintén az alakváltozások terében van definiálva teljesen kiküszöböli az elmozdulás- és tehervektor komponenseinek dimenzióbeli különbségéből adódó problémákat, hiszen a hatásaik az alakváltozás szintjén koherens módon összegezhetőek

A tengelyirányú alakváltozásmező egy háromdimenziós vékonyfalú rúdelem felett kifejezhető a tengely elmozdulásfüggvényei segítségével [1]:

ε ( x, y, z ) = u ′ − zv′′ − yw′′ + ωθ x′′

(2.80)

ahol a jelölések megegyeznek az előző fejezetekben leírtakkal. Így tehát az elem folytonos elmozdulásmezője minden pontban egyértelműen meghatározza a tengelyirányú alakváltozást. Az elmozdulásmező finitizálásához hasonlóan az alakváltozásmező is finitizálható, mégpedig a már leírt módon a rúdelemek végpontjain kellő finomságban felosztott keresztmetszet szegmensei középpontjában számított alakváltozásértékeket véve alapul:

ε =

( 2 n⋅nr )

A

u

( 2 n⋅nr ×( n +1)⋅nc ) (( n +1)⋅nc )

(2.81)


31

ahol n, nr, nc a vektorok és a mátrix méretei (rúdelemek száma, alszegmensek száma egy keresztmetszetben, és az elmozdulási szabadságfokok száma egy csomóponton), ε az u elmozdulásvektorhoz tartozó alakváltozásvektor, A pedig az együttható mátrix amely csak a szerkezet geometriai jellemzői függvénye [3]. Mivel a (2.81) összefüggés lineáris kapcsolatot teremt az elmozdulások és az alakváltozás között a növekményiiterációs eljáráshoz szükséges bármelyik elmozdulásvektornak előállítható az alakváltozásvektor párja az alábbiak szerint:

ε = Au ε t = Av ε r = Au r

(2.82-2.84)

ahol ε és u a teljes, εt és v az érintő, εr és ur pedig a kiegyensúlyozatlan alakváltozásvektor és elmozdulásvektor. Továbbiakban az itt leírt alakváltozásvektorokkal és azok különböző normáival dolgozunk. Az alakváltozás vizsgálatán alapuló módszer alapja egy átlagos (tökéletlenségekkel is terhelt) rúdszerkezet egyensúlyi útjának vizsgálata. Az egyensúlyi út mindig egy közel lineáris szakasszal indul, majd a növekvő elmozdulások egyre növelik a geometriai másodrendűség hatását, ami a merevség folyamatos csökkenését okozza. Mikor a legkihasználtabb keresztmetszet szélső szálaiban a feszültség eléri a folyáshatárt, a képlékeny zónák gyors terjedésével a merevség még gyorsabban kezd csökkenni, és aszimptotikusan eléri a zérus értéket (szinguláris merevségi mátrix). Itt történik a képlékeny stabilitásvesztés, majd a posztkritikus szakaszban az elmozdulások nagyságrenddel megnőnek és a legkihasználtabb keresztmetszet teljes megfolyásával a számítás véget ér. Az alakváltozás mező megfelelő kezelésével mindezen hatások pontosan nyomon követhetőek, sőt megjósolhatóak, ami igencsak megkönnyíti a megfelelő növekmény meghatározását. Az új növekményi módszer ezért az alakváltozás mező maximumát vizsgálja, ami a finitizált alakváltozásvektor maximum vagy végtelen normájaként számítható (║ε║∞). Továbbá nem ennek a mennyiségnek az állandóértékűségéből számítja a tehernövekményeket, mint az irodalomban megtalálható módszerek, hanem az egyensúlyi utat a maximális alakváltozásteherparaméter térben a korábban kiszámított egyensúlyi pontokra és deriváltakra helyezett, megfelelő formájú függvénnyel közelíti. Így a viselkedést leginkább befolyásoló különböző hatások (első megfolyás, stabilitásvesztés) igen jól megjósolhatóak, és megkívánt számú teherlépésben elérhetőek. Gyakorlati megfontolásokból, és a bonyolult közelítő függvényalak elkerülése céljából az egyensúlyi utat három részre bontottam: a rugalmas, rugalmas-képlékeny, és a posztkritikus részekre, és külön-külön megvizsgálva ezekre állapítottam meg a megfelelő közelítő függvényt (2.13 ábra, ahol λy és λu az első megfolyáshoz és a teherbírásvesztéshez tartozó teherparaméter, εr a gyártási sajátfeszültségből származó maradó alakváltozás, εy pedig a folyáshatárhoz tartozó alakváltozás).


32

hiperbolikus közelítés a rugalmas-képlékeny és a poszt-kritikus szakaszban

λ

λu λy

egyensúlyi út

másodfokú parabola közelítés a rugalmas szakaszban

εr

║ε║∞

εy

2.13 ábra Az egyensúlyi út közelítése a maximális alakváltozás-teherparaméter térben A rugalmas részben még csak a geometriai másodrendűség hatását kell figyelembe venni. Bergan and Søreide [17] növekményi eljárásában a teherparamétert az elmozdulásvektor euklédeszi-normájának függvényében másodfokú parabolával közelíti, én is ezt az összefüggést alkalmaztam. Tehát a rugalmas szakaszban az alábbi alak közelíti az egyensúlyi utat:

λi = a i ε

2 ∞

+ bi ε

∞

(2.85)

+ ci

ahol λi a teljes teherparaméter az i-edik növekményi lépésben, ai, bi, ci pedig az aktuális együtthatók az i-edik lépésben, ezeket az utolsó két egyensúlyi pontból, és az utolsó ponthoz tartozó derivált értékéből lehet meghatározni az alábbi egyenletekből: 2

λi − 2 = a i ε

∞ ,i − 2

λi −1 = ai ε

∞ ,i −1

∂λ ∂ε∞

2

+ bi ε + bi ε

∞

=ε

ε ∞ , i −1

∞ ,i −1

1

= ε

∞ ,i − 2

t

+ ci + ci

= 2ai ε

(2.86-2.88) ∞ ,i −1

+ bi

∞ ,i −1

ahol az ismert jelöléseken túl ║ε║t∞ jelenti az érintő alakváltozásvektor (amelyet a (2.85) szerinti érintő elmozdulásvektorból lehet meghatározni, ez tehát az adott pontban az egységnyi tehernövekményhez tartozó alakváltozásvektor) végtelen normáját. Ezt a gyakorlati alkalmazáskor mindig abban a szegmensben számítjuk ahol a teljes


33

alakváltozásvektor maximuma van (általában ez megegyezik a valódi maximummal is). Az együtthatók tehát:

ai =

bi =

λi − 2 − λi −1 − ε

(ε (

2 ε

ε ci =

∞ ,i −1

2 ∞ ,i − 2

∞ ,i − 2

λi − 2 − ε

λi −1 + ε

/ε

∞ ,i − 2

2 ∞ ,i −1

∞ ,i −1

− ε

∞ ,i −1

(ε

t

+ ε

)

(λ

∞ ,i −1

) (

i−2

t ∞ ,i −1

2 2

λi −1 + ε

∞ ,i − 2

/ε

∞ ,i −1

− ε + ε

∞ ,i − 2 2

∞ ,i −1 ∞ ,i − 2

(ε

− ε

)

/ε

2 ∞ ,i −1

t ∞ ,i −1

∞ ,i − 2

)/ ε

)− ε

− ε

t

∞ ,i − 2 2

∞ ,i −1

(2.89-2.91)

∞ ,i −1

)

ε

∞ ,i −1

(2λ

i −1

+ ε

∞ ,i − 2

/ε

t ∞ ,i −1

)

Az összefüggésben a konstans együttható ci a gyártási sajátfeszültségek figyelembevétele miatt szükséges, a lineáris együttható bi képviseli a kezdeti merevséget, míg a kvadratikus tag együtthatója ai mindig negatív a merevségcsökkenés következményeként. A számítás kezdetén a közelítéshez használt első pontot zérus teherparaméter és a maradó alakváltozás maximuma adja, míg a másodikat egy tetszőlegesen kis tehernövekménynél számított eredményből nyerhetjük. Ebből a két pontból már elkészíthető az első parabolikus közelítő függvény, és a maximum alakváltozás megkívánt növeléséhez kiszámítható a teherparaméter, amely tulajdonképpen egy automatikusan meghatározott első teherlépésnek felel meg. A maximum alakváltozás lépésközeit a modell bármely teljesen különböző kezdeti paramétereivel definiált feladathoz egységesen rögzíthetjük, hiszen itt minden hatás összegződik. Gyakorlati tapasztalatok alapján a maximum alakváltozás lépésközeit a megfolyáshoz tartozó alakváltozáshoz viszonyítva az alábbiak szerint állapíthatjuk meg:

∆ε

∞

= ε

∞ ,i +1

− ε

∞ ,i

=

εy 5 ÷ 10

=

σy

(2.92)

E (5 ÷ 10)

ahol ∆║ε║∞ a lépésköz, σy a folyási feszültség és E a rugalmassági modulus. Így tehát nincs szükség a legelső megfelelő teherparaméter beállítására, hiszen az első teherlépcső után a növekményi módszer automatikusan beállítja a helyes teherlépésközt, amely az alkalmazott közelítő függvény által a megkívánt alakváltozás-növekedést okozza. A rugalmas-képlékeny részen a közelítő függvény alakját a nyomott-hajlított rugalmasképlékeny rudak általános nyomaték-elfordulás összefüggéséből kölcsönöztem [23], amely jól modellezi a képlékenyedés miatti aszimptotikus merevségcsökkenést: b λi = ai + i2 (2.93) ε∞ ahol ai, bi az előzőekhez hasonlóan szintén az alábbi egyenletrendszerből határozható meg:


λi −1 = ai + ∂λ ∂ε∞

bi ε

2 ∞ ,i −1

1

= ε

=ε ∞

34

ε ∞ , i −1

bi

=2

t

ε

∞ ,i −1

(2.94-2.95)

3 ∞ ,i −1

Az együtthatók tehát: a i = λi −1 +

1 ε 2

ε

∞ ,i −1

t ∞ ,i −1

(2.96-2.97) 1 3 t bi = ε ∞ ,i −1 ε ∞ ,i −1 2 Ebben a szakaszban a növekményi módszer folytatódik tovább az eddig leírt módon az új hiperbolikus közelítő függvény alkalmazásával. A bi együttható itt mindig negativ, így ez a függvény alulról aszimptotikusan közelíti a konstans ai együttható értékét, ami a teherbírásvesztéshez tartozó teljes teherparaméter értékét közelíti. A posztkritikus szakaszban, ahol a teher csökkenni kezd, így a növekmény negatívvá válik, szintén a (2.88) szerinti hiperbolikus közelítő függvényt alkalmaztam. A teherbírási határpont után a KT érintő merevségi mátrix negatív definitté válik, így a (2.75) képlettel értelmezett érintő elmozdulásvektorból számított érintő alakváltozásvektor normája előjelet vált, ami a bi együtthatót negatívvá teszi, így a hiperbola a határpont után automatikusan megfordul a 2.13 ábra szerint és negatív teherparamétert ad. Íly módon a posztkritikus út automatikus követése is lehetővé válik, bár a teherbírás meghatározásához a későbbiek folyamán erre nem lesz szükségünk.

2.5.3 Iterációs eljárás Nemlineáris szerkezeti analízis során a linearizált növekményi lépés után a (2.69) összefüggéssel kifejezett egyenúly nem áll fenn: r (u i + ∆λi v i , λi + ∆λi ) = ri0 ≠ 0

(2.98)

A képletben szereplő i alsó index jelenti ezentúl a növekményi lépés számát, míg a j felső index az iterációs lépés sorszámát. A Newton-Raphson iterációs eljárás az egyensúlyi rendszer Taylor-sorának elsőrendű tagjain alapul, az utolsó egyensúlyi pont körül sorbafejtve (mivel a következő egyenletek mind az i-edik növekményi lépés után vannak értelmezve, az alsó indexet a továbbiakban elhagyom): r j +1 = r j +

∂r j +1 ∂r j +1 u −uj + λ − λj = 0 ∂u ∂λ

(

)

(

)

(2.99)


35

ami, az ismert összefüggéseket felhasználva felírható az alábbi formában is:

( )

K Tj δu j − qδλ j = −r j vagy δu j = − K Tj

−1

r j + vδλ j

(2.100)

ahol KTj, a kiegyensúlyozatlan erők vektorának Jacobi mátrixa, az érintő merevségi mátrix a j-edik iterációs lépésben, v a már leírt érintő elmozdulásvektor, amelyet az iterációs lépésben aktuális merevségi mátrixból számíthatunk, δuj és δλj pedig az iterációs változás az elmozdulásvektorban és a teherparaméterben. Így tehát az elmozdulások megváltozása az iteráció során, mindig felírható a kiegyensúlyozatlan és az érintő elmozdulásvektorok lineáris kombinációjaként. A klasszikus Newton-Raphson módszer az iteráción belül is mindig újraszámolja az érintő merevségi mátrixot, míg a módosított verzióban csak az új növekményi lépésben. ∆uj meghatározásához itt is szükség van (2.74) kiegészítő egyenletre, ami jelen esetben δλj meghatározására szolgál. A legismertebbeket az alábbiakban foglalom össze:

iteráció állandó teherparaméter mellett [21]

c = δλ j

(2.101)

iteráció egy állandó elmozduláskomponens mellett [21] (2.102)

c = b T u rj + δλ j b T

iteráció állandó ívhossz mellett [24]

 j c = ∆u ∆u − l =  ∑ u rj + δλ j v  0 jT a

j a

2

(

  

T

)  ∑ (u  j

0

j r

 + δλ j v  − ∆λ2 v T v 

)

ahol ∆u a a j-edik iterációs lépésig felhalmozódott elmozdulásváltozás, l az ívhossz paraméter amelyet a növekményi lépésben határoztunk meg a képlet szerint iteráció állandó külső munka mellett [25]

c = q T u rj + δλ j q T v

(2.103)

(2.104)

iteráció minimális kiegyensúlyozatlan elmozdulásnorma mellett [26]

c=

∂ ∂δλ

(δu

jT

δu j ) = v T u rj + δλ j v T v

(2.105)

Itt is egy meghatározott mennyiség állandóértékűsége mellett történik az iteráció, amit megint csak a kényszeregyenlet által meghatározott hiperfelület határoz meg. A 2.14 ábrán a módosított Newton-Raphson iterációs eljárás általános geometriai szemléltetése látható. Ezeknek az iterációs eljárásoknak szintén megvan a már említett vektorokon belüli, dimenziókban való különbségből származó hiba, amely jelen esetben lassú konvergenciát, vagy divergenciát is okozhat.


36

Hiperfelület c = 0

λ

δλj λi ∆λi

KTi

1

egyensúlyi út

λi-1 egyensúlyi pontok

u ui-1

ui

2.14 ábra Módosított Newton-Raphson módszer Ha a kényszeregyenlet értelmezési tartományát ismét áthelyezzük az alakváltozásteherparaméter térbe, újra egy ezt kiküszöbölő, konzisztens iterációs eljárást kaphatunk. Az alábbiakban bemutatásra kerülő módszerek, tulajdonképpen a fenti egyenletek (némelyikének) alakváltozás-térben való értelmezése. Fontos tulajdonságuk újra az automatikus alkalmazhatóság, amely az alakváltozás vezérelte növekményi módszerrel együtt egy igen hatékony eljárást eredményez (pl. az első módszer esetén, amely az állandó elmozduláskomponens melletti iteráció megfelelője, nincs szükség a megfelelő komponens meghatározására, hiszen a maximális alakváltozás minden vizsgált feladatnál egyértelmű).

iteráció állandó maximális alakváltozás mellett

c = ε rj

∞

+ δλ j ε t

∞

= Au rj

∞

+ δλ j Av

iteráció állandó alakváltozás-ívhossz mellett

 j c = ∆ε ∆ε − lε =  ∑ ε rj + δλ j ε t  0 jT a

(2.106)

∞

j a

2

(

  

T

)  ∑ (ε  j

0

j r

 T + δλ j ε t  − ∆λ2 ε t ε t 

)

(2.107)

iteráció minimális kiegyensúlyozatlan alakváltozásnorma mellett

c = ε Tt ε rj + δλ j ε Tt ε t

(2.108)

Az iteratív számítások sohasem szolgáltatnak teljesen pontos megoldást, ezért addig folytatódnak, amíg a megoldás hibája nem csökken egy elfogadható szint alá. Ezt


37

minden iterációs lépést követően egy alkalmas konvergenciateszttel ellenőrizhetjük. Igen fontos, a pontosságot és a hatékonyságot nagymértékben befolyásoló összetevőik az iterációs eljárásnak ezek a tesztek. Feleslegesen szigorú kritérium jelentősen megnövelheti a szükséges iterációk számát, így a futási időt is, emellett a teherbírás kimerülése előtt leállíthatja a számításokat, míg túl gyenge kritérium pontatlan megoldáshoz vezethet. Mindegyik ellenőrzés a hibát jelentő kiegyensúlyozatlan mennyiségek valamely mértékét veszi alapul, és normalizált értékét hasonlítja össze egy előre megszabott kritériummal. Általában három különböző formulát alkalmaznak [21]:

elmozdulás teszt

u rj u

T

u u

≤γd

(2.109)

erő teszt

rj

λq

=

u rjT u rj

≤γr

(2.110)

munka teszt

r jT u rj

λ uq

≤γw

(2.111)

ahol γd, γr, γw gondosan megválasztott tolerancia értékek. Itt talán a legnagyobb mértékű a különböző dimenziók okozta hiba. Egy kifordulási problémánál például az öblösödésből származó kiegyensúlyozatlan bimoment számszerű értéke több nagyságrenddel is nagyobb lehet a többi kiegyensúlyozatlan teherfajtánál. Ez egyrészt megint a hatások nem egységes figyelembevételéhez vezet, másrészt megintcsak lehetetlenné teszi az automatikus alkalmazást, hiszen különböző feladatokra különböző konvergencia-kritériumok teszik hatékonnyá a futást. Ezt a problémát is kiküszöböli az alakváltozásmezőben értelmezett konvergencia tesztek alkalmazása:

alakváltozás végtelen normáján alapuló

ε rj ε

∞

≤ γ ε1

(1.112)

∞

alakváltozás euklédeszi normáján alapuló

ε rj ε

≤ γ ε2

(1.113)

Az iterációt még további biztonsági előírásokkal lehet stabilabbá tenni, így definiálni lehet a minimális és maximális iterációs számot, a minimális tehernövekményt,


38

vizsgálni lehet a divergenciát, visszalépést és újraszámolást lehet meghatározni a növekmény csökkentésével. Így tehát egy egységes, teljesen automatikus, alakváltozás alapú növekményi-iterációs eljárást kaptunk, amely hatékony megoldási módszere lehet az előző fejezetekben leírt rúdvégeselemes modellel való teherbírásvizsgálatnak. A módszer nem igényli a szerkezeti viselkedés megváltozásából adódóan a megoldást vezérlő paraméterek újradefiniálását, így hatékony determinisztikus futásokat tesz lehetővé a sztochasztikus számítások során.

2.5.4 Összehasonlító példák Az új alakváltozás alapú megoldási eljárás legnagyobb előnye tehát, hogy automatikusan megtalálja az optimális tehernövekményt, és mentes a dimenziókülönbségekből fakadó hibáktól. Az optimális tehernövekmény leginkább a végső teherbírástól és az egyensúlyi út alakjától függ, hiszen a növekmények az egyensúlyi térgörbe pontjai között definiálnak egyfajta állandó távolságmértéket, és ez alapján térképezik fel az egész görbét. Adott nagyságú tehernövekmény esetén nyilvánvaló, hogy minél magasabb a végső teherszint annál több teherlépcsőre van szükség. Acél rúdszerkezetek esetén a véletlen változóként kezelt keresztmetszeti méretek és anyagmodell paraméterek igen jelentősen befolyásolhatják a végső teherebírást a sztochasztikus számítások során. Ugyanakkor a legtöbb növekményi módszer valamilyen módon az egyensúlyi út mentén haladva adja meg a tehernövekményt (pl. a görbe menti ívhossz alapján), amit már jelentősen befolyásol az út alakja az elmozdulás-teherparaméter térben. Rúdszerkezetek kezdeti tökéletlenségeinek változása igen nagy befolyással lehet az egyensúlyi útra, nagyjából azonos teherbírás mellett is a majdnem tökéletes szerkezet elmozdulásainak nagysága törtrésze lehet a nagy imperfekciókat tartalmazó szerkezetének. Végül teljes valószínűségelméleti vizsgálatnál, ahol a terhelés is véletlen változó (pl. Monte-Carlo módszer alkalmazásakor), egy nyomásra igénybevett szerkezeti elemből a számítások során könnyedén hajlított, vagy csavart rúd lehet, ami természetesen (az eltérő dimenziókból is adódóan) teljesen más növekményi-iterációs vezérlő paramétereket igényel, amelyek az automatikus számítások során nem definiálhatók újra. Ezeknek a problémáknak az illusztrálására két példát mutatok be, négy különböző növekményiiterációs eljárást alakalmazva, amelyeket a 2.3 táblázat mutat be.

2.3 táblázat Alkalmazott eljárások módszer 1

növekményi eljárás ívhossz

2

merevségi paraméter

3 4

elmozduláskomponens alakváltozás

iterációs eljárás ívhossz minimum kiegyensúlyozatlan elmozd. elmozduláskomponens alakváltozás-ívhossz

kovergencia teszt munka munka munka alakváltozás norma


39

Az összehasonlítás során két utat lehet követni, vagy egy adott kiindulási teherparaméter esetén vizsgálom meg a megoldáshoz szükséges összes iterációs lépést, vagy a különböző feltételek esetén határozom meg az optimális kiinduló teherparamétert, amely egy meghatározott iterációs lépésszámot eredményez minden esetben. Én az első módszert alkalmaztam, először meghatároztam azt a legnagyobb tehernövekményt amely még minden esetben pontos eredményt ad, és a továbbiak folyamán mind a négy növekményi-iterációs módszer esetén, minden feladathoz ez lett a kiinduló teher.

2.5.4.1 Változó terhelés hatása Mindkét példában egy HEA200 melegen hengerelt szelvényű, 4 méter hosszúságú, kétcsuklós rudat vizsgáltam, a leírt trilineáris anyagmodellel. Az első példában a rudat egyenletes nyomóerő terheli változó nagyságú nagytengely körüli hajlítás mellett. A 2.15 ábra mutatja az egyensúlyi utakat a teherbírásig a különböző interakciós terhelésre, átlagos tökéletlenségeket feltételezve (jelölések: N a nyomóerő, m = M/Mcr a nyomatéki kihasználtság, uy a középső keresztmetszet oldalirányú elmozdulása). 900

m = 0.175

800 700

m = 0.35

N [kN]

600 500

m = 0.525

400 300

m = 0.70

200 100

m = 0.875

0 0

2

4

6

8

10

12

14

uy [mm]

2.15 ábra Interakciós egyensúlyi utak Látható, hogy ha a kiindulási teherparaméter a nyomóerőhöz kötött, a nyomaték hatására jelentősen lecsökken a végső érték, ugyanakkor az elmozdulások nagysága csak kissé változik. A 2.16 ábra a négy módszerhez szükséges összesített iterációs lépést ábrázolja a nyomatéki kihasználtság függvényében. Míg az alakváltozás alapú eljárás lényegében érzéketlen a terhelésváltozásra, a többi módszernél lényeges változás figyelhető meg. Mivel itt a teherbírás végső értéke a legjelentősebb változás, mind a három módszernél a legnagyobb nyomatéki terhelésnél jelentkezik a legkisebb kiinduló teher, amelyet a pontosság eléréséhez alkalmazni kell. Leginkább az


1

2

3

40

4

200 180

összes iteráció száma

160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m

2.16 ábra Az iterációs lépések változása 1. eljárás (ívhossz) esetén nőnek meg az iterációs lépések, mivel az első teherlépcsőnél kiszámított ívhossz a nyomatékok csökkenésével egyre kisebb, mégis kb. azonos görbehosszúságot kell befutnia. A 2. módszer iterációs lépései lineárisan változnak, így jelen feladatnál szinte teljesen úgy működik mintha egyenletes teherlépcsőkkel számolna. A 3. módszernél a legjobb az eredmény, de itt meg kellett találni a megfelelő elmozdulásparamétert, amely jól tükrözi a másodrendűségből adódó hatásokat (a középső keresztmetszet nagytengely irányú elmozdulása).

2.5.4.2 Változó tökéletlenségek hatása Most is az első példában ismertetett rúdat vizsgáljuk, a terhelés itt csak egyenletes nyomás, tehát egyszerű képlékeny kihajlási probléma. Két tökéletlenség hatását vizsgáltam: a kezdeti görbeségét (gyenge tengely körül), és a sajátfeszültségét. A kezdeti görbeség szinusz alakú, és a középső keresztmetszetnél mért amplitúdó változik, a sajátfeszültség pedig lineárisan változik az övekben, és konstans a gerinc mentén (Galambos-féle feszültségeloszlás), itt az övlemez szélein jelentkező feszültségérték a változó. Négy esetet vizsgáltam meg a majdnem tökéletes és az erősen tökéletlen szerkezetek között, mind a két véglet reális értékeken alapul. Egy ún. tökéletlenségi paraméter szabályozza a két imperfekciót az alábbi összefüggések alapján:

e0 = l (3500 − 500 p )

σ r , max = 0.2 pf y ahol e0 a kezdeti görbeség amplitúdója, l a rúdhossz, σr,max a sajátfeszültségérték az övlemez szélein, fy a folyáshatár és p a tökéletlenségi paraméter. A 2.17 ábra mutatja az


41

így számított összetartozó tökéletlenségekhez tartozó egyensúlyi utakat az előző példához hasonlóan. 1400

e0 = l/3500 ; σr,max = 0.0 fy 1200

e0 = l/2500 ; σr,max = 0.2 fy N [kN]

1000

e0 = l/1500 ; σr,max = 0.4 fy

800 600

e0 = l/500 ; σr,max = 0.6 fy

400 200

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

uy [mm]

2.17 ábra Különböző tökéletlenségű egyensúlyi utak Most is jelentős különbség van a teherbírási értékekben, de most már jól látható az imperfekciók okozta eltérés az egyensúlyi utak alakjában. Míg a kis tökéletlenséggel rendelkező rúd csak kis elmozdulásokat végez a tönkrementelig, az egyre nagyobb tökéletlenségek egyre növekvő elmozdulásokat eredményeznek. Ennek hatását jól látni 1

2

3

4

120

összes iteráció száma

100 80

60 40

20 0 0

1

2

p - tökéletlenségi param éter

2.18 ábra Az iterációs lépések változása

3


42

a 2.18 ábrán, ahol a görbe menti ívhosszon alapuló 1. módszer iterációs lépéseinek a száma jelentősen megnövekszik a nagyobb tökéletlenséggel rendelkező, nagyobb elmozdulásokat végző szerkezet számításánál. Ezzel szemben a 2. módszer éppen itt számol a legkevesebb iterációval, zérus tökéletlenségi paraméter esetén kétszer annyi lépésben jut el a megoldásig, mint az alakváltozás vezérelt eljárás, amely láthatóan a tökéletlenségekre sem érzékeny. Most is az előző példában alkalmazott elmozduláskomponens volt a 3. módszer alapja, amely szintén nagyjából azonos eredményt ad a különböző egyensúlyi utaknál.

2. Acél rúdszerkezetek determinisztikus modellezése 2.6 A determinisztikus modell kalibrációja

43

2.6 A determinisztikus modell kalibrációja A determinisztikus modell működésének tesztelése, igazolása céljából néhány jellegzetesebb feladatra kalibrációs futtatásokat végeztem, amelyeket kísérleti eredményekkel, és magasabb szintű numerikus modell eredményeivel hasonlítottam össze. A kalibráció végső célja annak bizonyítása, hogy a leírt determinisztikus modell alkalmas acél rúdszerkezetek teherbírásának pontos számítására. Tehát a legfontosabb a teherbírások végső értékeinek ellenőrzése, a helyes működés igazolása céljából igyekezetem a teljes egyensúlyi út összehasonlítására alkalmas példákat futtatni. Ezért kiemelten fontos volt a determinisztikus modellben paraméterként szereplő és mérhető értékek (pl. a keresztmetszet méretei, kezdeti görbeség, folyáshatár) egyezése mind a magasabb szintű numerikus modell paramétereivel, mind a kísérletnél mért adatokkal. Mivel az irodalomban nem találtam megfelelő mélységben leírt példákat, ezért saját – nem túl nagy számú, de alapos vizsgálatokon alapuló – numerikus és kísérleti eredményeket használtam a kalibrációhoz. A kísérleti eredményeket a BME Hidak és Szerkezetek Tanszékén 2002-ben elindított kísérletsorozat egy része képezte, amelyek melegen hengerelt IPE240 és HEA200 szelvényű rudak kihajlási és kifordulási interakciós vizsgálatát célozta meg. A kísérletek több karcsúság és nyomóerő-hajlítás arány mellett folytak, minden konfiguráció esetén két-két próbatesttel. A terhelés és támaszviszonyok a 2.19 ábrán látható modell szerint lettek kialakítva, tehát egyenletes nyomás és változó nyomaték terhelte a rudat, végein csuklós-villás megtámasztást alkalmaztunk, mely az alkotó lemezek öblösödését is teljes mértékben meggátolta. F N

L/2

L/2

2.19 ábra A kalibrációs feladat általános modellje Ennek megfelelően a kísérleti elrendezést mutatja a 2.20 ábra. Az egyparaméteres konzervatív erőrendszert a két sajtó (függőleges húzó, jobb oldali vízszintes nyomó) egy olajkörre kötésével, valamint a függőleges sajtónál alkalmazott un. erő-szimulátorral – a rúdközép oldalirányú elmozdulását követve mindig megtartja a függőleges irányt – biztosítottuk. Különös gonddal kellett kialakítani a csuklós-villás támaszokat (2.21 ábra).


2.20 ábra Kísérleti elrendezés

gömbcsukló tengelye

erőmérő

villák

függőleges támasz

nyomósajtó

öblösödést gátló véglemez

2.21 ábra Támaszok gyakorlati megvalósítása

44


45

A próbadarabra az erő egy vastag véglemezen keresztül adódik át, amely egyenletesen elosztja a nyomást a keresztmetszeten és természetesen az öblösödést is meggátolja. A véglemezre merőlegesen ráhegesztett két lemez tartja a 40 mm átmérőjű tengelyt, amelyen a gömbcsukló helyezkedik el, megengedve a végkeresztmetszet tengelyirányú függőleges és vízszintes síkú elfordulását. A tengelyirányú elfordulást a két lemezt szorosan közrefogó, a gömbcsukló tengelyének vonalában elhelyezkedő két villa akadályozza meg, amelyeken két-két csapágy engedi a többi elmozdulást. Végül a függőleges támaszt egy, a gömbcsukló alatt található központosított acélgömb képezi. Ezáltal – a csapágyak surlódását leszámítva – pontosan a leírt elméleti támasz került megvalósításra, azzal a kiegészítéssel, hogy az elméleti támaszköz megnőtt a próbatest vége és a gömbcsukló tengelye közötti távolság kétszeresével, amelyet a számítások során természetesen figyelembe vettem. Az erőket több módon is mértük, vagy számítottuk (erőmérő cella, nyúlásmérő bélyegek, olajnyomás mérése), továbbá a középső keresztmetszet függőleges lehajlását és az alsó és felső övek vízszintes eltolódását mértük. Kiinduló adatokként megmértük a keresztmetszet jellemző méreteit (szelvénymagasság, övszélesség, gerincvastagság, övvastagság), a próbadarab kezdeti görbeségét, illetve az övekből vett anyagmintából előállítottuk az acélanyag teljes σ-ε görbéjét. A kalibrációs feladatként kiválasztott kísérletek főbb paraméterei a következők voltak:

szelvény: HEA200 karcsúság (λz): 120 elméleti támaszköz: 6240 mm három fajta terhelés: F/N = 0.1 ; 0.2 ; 0.5

Tehát tulajdonképpen három különböző esetet vizsgáltam, mindegyiknél két-két kísérlettel. Azért a HEA szelvényt választottam, mert széles övei miatt már kisebb arányú hajlítás jelenléténél is megjelenik a kifordulás jelensége, tehát igen alkalmas az interakciós tönkrementel megfigyelésére. Így már az első teheresetnél (F/N = 0.1) is bár még a kihajlás a domináns teherbírásvesztési mód, a középső keresztmetszet jelentősen elfordul, az utolsó teheresetnél pedig szinte már csak a kifordulás figyelhető meg (2.22 ábra). A karcsúság úgy lett megválasztva, hogy a teherbírásvesztés már az első megfolyás után, tehát a képlékenység hatását is tartalmazva történjék, a numerikus számításaim is kimutatták, hogy a nyomott övnek az egyik fele már teljesen megfolyik mire a kifordulás bekövetkezik. A rúdhossz megválasztásának másik kézenfekvőbb magyarázata az elmozdulások nagyságának mérhetősége, valamint a terhelő erők nem irreálisan nagy értéke. A magasabb szintű numerikus számításokat az ANSYS [27] programmal végeztük. A SHELL143 nevű héj végeselemből építettük fel a próbatestet a valóságos, mért geometriai adatokkal. Az öveket nyolc a gerincet hat héjelem alkotta, az elemek további sűrítése nem okozott lényeges változást az eredményben. A rúdtengely számításba vett kezdeti görbeségét az első sajátalak határozta meg, amely minden esetben a kistengely körüli kihajlásnak megfelelő félszinuszhullám volt, melynek amplitudóját a mért görbeség alapján vettük fel. Az anyagmodell rugalmas-képlékeny bilineáris volt, az


46

aktuálisan mért folyáshatárral és (nem mért) E = 210000 N/mm2 rugalmassági modulussal. A nehézkes kivitelezés miatt a számítás során az ANSYS programban maradó belső feszültségeket nem vettünk figyelembe.

2.22 ábra F/N = 0.5 terheléshez tartozó kifordulás Az előzőekben leírt determinisztikus rúd-végeselem modell is ezeket a kiinduló paramétereket tartalmazta, azzal a különbséggel, hogy keresztmetszet a 2.4 pontban leírt módon finomabban lett felosztva (övek és a gerinc is 16 részre, a vastagság mentén pedig négy részre). A kísérleti, héjelemekkel és rúdelemekkel számolt eredményeket tartalmazzák a Függelék F.5-F.10 ábrái, a megfelelő terhelési esetet is megjelölve. Két egyensúlyi utat hasonlítottam össze: a rögtön kis meredekséggel induló egyenes út mindig a középső keresztmetszet lehajlása; a meredeken induló, majd a leszállóágban egyre nagyobb elmozdulásokat mutató görbe a középső keresztmetszet felső övének oldalirányú eltolódása, amely így tartalmazza a tengely oldalirányú eltolódását és a keresztmetszet elfordulását is. Az ábrákról általánosságban szólva meg kell jegyezni, hogy bár igyekeztem minden fontosabb befolyásoló hatást figyelembe venni, mindazonáltal számos eltérés egyértelműen megmagyarázható a számításba nem vett tényezők hatásával. Az egyik ilyen fontos hatás a gömbcsukló surlódása, ami tulajdonképpen egy kezdeti rugalmas befogást jelent, ezzel magyarázható, hogy a kísérleti lehajlási görbe minden esetben meredekebb a numerikus eredményeknél. Az oldalirányú elmozdulás gyakori lépcsőszerű ugrásai, illetve az F.7 ábránál a teljes beragadása is a csukló nem egyenletes forgásának köszönhető. Ezért is volt fontos, hogy


47

az elmozdulások (főleg a laterális eltolódások) kellően nagyok legyenek, hiszen akkor kisebb az esély arra, hogy a csukló surlódása jelentős hatást fejt ki az egyensúlyi útra, illetve a végső teherbírásra (mint ahogy az F.7 ábrán láthatóan a kezdeti befogás növelte meg a próbadarab teherbírását). Ezeken kívül a kísérleti eredményeket jelentősen befolyásolták a mérési bizonytalanságok is. Így, bár az erőket többféleképpen is mértük, néha igen jelentős eltérés volt tapasztalható az egyes adatsorok között. Továbbá természetesen az acélanyag σ-ε görbéjének előállítása, és ebből a bilineáris anyagmodellhez szükséges folyáshatár meghatározása sem egy egyértelmű feladat, mint azt majd a 3.3.3 pontban részletesebben bemutatom. További nem mérhető, és a numerikus számítások során így figyelmen kívül hagyott bizonytalanságot jelentett az erők esetleges külpontossága, a keresztmetszet alakjának tökéletlenségei (a modellben számítottól való eltérései) és a sajátfeszültségek. Ezek az esetek többségében valószínüleg nem okoztak jelentős különbséget a numerikus eredményekhez képest, de az F.9-F.10 ábrákon látható lényeges eltérés a teherbírásban ezekkel a bizonytalanságokkal magyarázható. Mindazonáltal az F.5, F.6 és F.8 numerikus számítással kapott grafikonjai igen jó egyezést mutatnak a kísérletekkel mind a teherbírás értékében, mind pedig az egyensúlyi út formájában, ami megengedi azt a következtetést, hogy a leglényegesebb változók megfelelően lettek modellezve a számításokban. Az F.9-F.10 ábrákon tapasztalható különbségek a kifordulás jelenségének jóval nehezebb kísérleti vizsgálatát is jelzik, nem hiába lényegesen kevesebb a megfelelő publikált eredmény ezen a téren mint pl. a kihajlásnál. Az F.9 ábrán a kísérleti oldalirányú elmozdulás végig kb. a kétszerese a számítottnak, amit a tartóközépi erő külpontossága, a rugalmassági modulus kisebb értéke, vagy sajátfeszültségek jelenléte magyarázhat. A korábban történő stabilitásvesztést az előzőeken kívül esetleg a folyáshatár alacsonyabb értéke is okozhatta. Az F.10 ábrán hasonló a helyzet, itt a rúd-végeselemes számítást kisebb rugalmassági modulussal és sajátfeszültségek figyelembevételével megismételtem (üres háromszög), jól látható a kezdeti szakasz lényegesen jobb egyezése. Végül szólni kell még a két numerikus számítás közötti különbségekről. Általában elmondható, hogy a rúdvégeselemes modell igen jól visszaadja a héjelemekkel számított eredményeket. Egyetlen lényegesebb eltérés, hogy a nagyobb hajlítási arányoknál, a teherbírásvesztés környezetében a héjelemekből épült modellnél a stabilitásvesztés hirtelen, gyorsabb módon történik, a rúdelemes modellnél egy egyenletesebben lágyuló szakasz előzi meg a tönkremenetelt, amely így magasabb teherbírást eredményez. A különbség legvalószínűbb magyarázata, hogy a rúdvégeselemekben a keresztmetszet sokkal finomabban került modellezésre, így jobban tudja követni a vastagság mentén terjedő megfolyt részeket, mint a vastagságot csak egy héjelemmel modellező számítás. Ezt támasztja alá, hogy a kísérleti eredmények is általában mutatnak egy ilyen lágyuló szakaszt a stabilitásvesztés előtt. Mivel ez kihajlás esetén kevésbé jelentős (ott a megfolyás inkább az övek szélessége mentén történik) az első ábrákon jobb az egyezés. Összefoglalva tehát elmondható, hogy a bemutatott determinisztikus rúdvégeselem modellel a kalibrációs példákban sikerült kellő pontossággal megismételni a kísérleti és magasabb szintű numerikus eredményeket, így a modell alkalmas melegen hengerelt acélrudak teherbírásának reális vizsgálatára.

2. Acél rúdszerkezetek determinisztikus modellezése 2.7 Összefoglalás

48

2.7 Összefoglalás A 2. fejezetben az acél rúdszerkezetek determinisztikus vizsgálatának általam alkalmazott és fejlesztett módszerét mutattam be. A disszertáció témájának szempontjából fontos rugalmas-képlékeny stabilitásvesztés fizikai tartalmának modellezéséhez egy 15 szabadságfokú rúd-végeselemet alkalmaztam. A végeselem alkalmas a rúd geometriai másodrendűségének leírására a vékonyfalú szelvényeknél jelentős öblösödés hatásának figyelembevételével. A végeselem modellhez rugalmasképlékeny anyagmodellt definiáltam, amely számításba veszi az anyag viselkedésének rugalmas visszaterhelés hatására beálló változását. Az anyagmodell térbeli figyelembevétele egy speciális keresztmetszeti modell alkalmazását követelte meg, amely kihasználja a vizsgált szelvények lemezelemeinek nagy karcsúságát (vékonyfalú keresztmetszet közelítései), ugyanakkor a képlékeny részek terjedésének a lemezvastagság mentén való követését is lehetővé teszi. A melegen hengerelt szelvényeknél jelentős gyártási sajátfeszültségek modellezésére új módszert dolgoztam ki. Ennek során a csavarásból származó feszültségeket is figyelembe vettem a sajátfeszültségek eloszlására felírt követelmények közt. Ezáltal egy olyan feszültségeloszlást kaptam, amely az általam vizsgált problémák esetén reálisabb módon modellezi a rugalmas-képlékeny kifordulási problémát. A rugalmas-képlékeny stabilitási feladatok hatékony megoldására egy új, kifejezetten rúdelemek számításához igazodó növekményi-iterációs megoldási eljárást fejlesztettem. A megoldási módszer különösen alkalmas változó kezdeti paraméterekkel ellátott problémák automatikus kezelésére. Ez a tulajdonság igen fontos a valószínűségi számítások esetén, hiszen ekkor a feladat paraméterei véletlen változók. Végül a bemutatott determinisztikus végeselemes eljárás megoldásait általam végzett kísérletek eredményeivel vetettem össze, mely során igazoltam a modell helyes működését.

3. Acél rúdszerkezetek valószínűségelméleti modellezése 3.1 Bevezetés

3

49

ACÉL RÚDSZERKEZETEK VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETI MODELLEZÉSE

3.1 Bevezetés Szerkezetek determinisztikus vizsgálatánál a kiinduló és számítandó paraméterek közötti fizikai kapcsolat leírása a cél. A számítások alatt minden mennyiség adott értékkel szerepel. A mérnöki tervezés során azonban – ami egy akkor még nem létező szerkezet viselkedését vizsgálja – ezeknek a mennyiségeknek a pontos értéke sohasem adható meg. Az egyes adottságokat modellező paraméterekre – pl. terhek – a mérnök természetesen még csak jelentősebb befolyással sem lehet, ezek értéke általában előzetes mérések statisztikai kiértékelése alapján határozható meg. A tervezési paramétereket – pl. geometria, anyagok – elő lehet írni, ám csak irreális költségek mellett biztosítható megfelelően pontos betartásuk, ezért ezek bizonytalanságainak előzetes figyelembevétele a gazdaságosabb. Szerkezetek valószínűségelméleti modellezése során tehát a fizikai kapcsolatokon túl a kiinduló paraméterek bizonytalanságait is számításba vesszük, így az eredmény is véletlenszerűséget fog mutatni. Ekkor már a számítandó mennyiségekhez tartozó valószínűség vagy valószínűségi eloszlás is a végeredmény fontos része. Szerkezetek valószínűségelméleti megközelítésére a gyakorlatban az ún. megbízhatósági számításoknál van szükség. Ezeknek a számításoknak a végső célja annak igazolása, hogy az építendő szerkezet tervezett élettartalma alatt végig rendelkezik megfelelő biztonsággal a tervezettől eltérő viselkedés ellen. Természetesen ennek maradéktalan bizonyítása még egyszerűbb modellek esetén is rendkívül komplex és általában megoldhatatlan feladat, ezért számos, különböző egyszerűsítő feltételezéseken alapuló eljárást fejlesztettek ki. A továbbiak során ezeket a módszereket mutatom be az egyes modelleknél bevezetett egyszerűsítések adta vezérfonal mentén. A legfontosabb egyszerűsítés az időtényező kiiktatása, tehát a szerkezetet egy adott időpontban vizsgáljuk, nem vesszük figyelembe az időnek a változókra, a bizonytalanságokra és a szerkezet működésére gyakorolt hatását. További fontos egyszerűsítés, hogy a szerkezetek biztonságát csak bizonyos határállapotokban, és azon belül is csak meghatározott tönkremeneteli módok esetén számítjuk. Ennek során feltételezzük, hogy a szerkezet teherbírásvesztése csak bizonyos módon történhet, ezt a formát írja le az úgynevezett tönkremeneteli függvény:

g (X ) = 0

(3.1)

ami az X – teher és ellenállás oldali – valószínűségi változókat tartalmazó vektortól függ. A tönkremeneteli függvény tulajdonképpen egy m-dimenziós hiperfelület, ami két részre osztja az m véletlen változó által definiált teret. Ahol pozitív értékű, tehát g(X) > 0, ott nem következik be a tönkremenetel, vagyis ebbe a térrészbe olyan valószínűségi


50

változó konfigurációk tartoznak, amelyek esetén a szerkezet teherbírása nem merül ki. Ahol a függvény nem pozitív, ott bekövetkezik a tönkremenetel. Így ha az összes változó adott értékű, akkor meg lehet határozni a vizsgált konfiguráció távolságát a tönkremeneteli hiperfelülettől, ami ennek a determinisztikus feladatnak egyfajta biztonsági mértékét jelenti, az ún. megbízhatósági rést (reliability margin, [28]). Amennyiben a változók véletlenszerűek, természetesen a megbízhatósági rés is véletlenszerű lesz, amelynek valószínűségi paramétereinek meghatározása jelenti a megbízhatósági analízis tárgyát. A legfontosabb és legtöbbször alkalmazott, mindazonáltal gyakran a legnehezebben számítható mennyiség a szerkezet adott formában történő tönkremenetelének a valószínűsége, amelyet a következő integrál definiál [29]: Pf = ∫

∫ ...∫ f (x , x X

1

2

,..., x m )dX

(3.2)

g ( X )≤0

ahol fX a véletlen változók együttes sűrűségfüggvénye. A (3.2) képlet a megbízhatósági számítások alapösszefüggése, melynek az analitikus de még a numerikus megoldása még a legegyszerűbb esetekben sem lehetséges, ezért több, különböző pontosságú közelítő módszert dolgoztak ki a tönkremeneteli valószínűség meghatározására. Ezek osztályozása több szempontból is lehetséges, az egyik elterjedt osztályozási mód a véletlen változók valószínűségelméleti kezelése alapján határozza meg a különböző szinteket [30]. Eszerint I. szintű megbízhatósági módszer, amelyeknél a változók egy bizonyos (karakterisztikus, tervezési, nominális stb.) értéke vesz részt a determinisztikus számításokban. Ebbe a kategóriába tartoznak a szabványos méretezési eljárások, ahol a megfelelő biztonságot ezek az értékek tartalmazzák. A II. szintű megbízhatósági módszereknél már két értékkel vesszük figyelembe a véletlen változókat, ezek rendszerint a középérték és a szórás, vagy a korrelációs együtthatók. Ide tartoznak a megbízhatósági indexen alapuló módszerek (FORM/SORM, elsőrendű/másodrendű megbízhatósági módszerek [28]), amelyek tulajdonképpen a megbízhatósági rés középértékét és szórását határozzák meg, és ebből számítják a megbízhatósági indexet, ami ezek hányadosa. A III. szintű megbízhatósági módszerek már egyenesen a (3.2) összefüggésben definiált tönkremeneteli valószínűséget számítják, valamilyen módon kezelve a változók együttes sűrűségfüggvényét. Ilyen módszer a Monte-Carlo szimuláció [31], ahol a véletlen változók nagy számban, megfelelően generált kombinációi által meghatározott pontok alapján történik az integrál közelítése. Természetesen rögtön látszik, hogy minél magasabb szintű az eljárás, annál pontosabb eredményt szolgáltat, ugyanakkor ennek eléréséhez annál nagyobb követelményeket támaszt mind a véletlen változók statisztikai mintái, mind a számítási költségek, mind pedig a determinisztikus modellel szemben. Ezért a gyakorlati alkalmazásoknál lényegében csak az I. szintű módszerek jelennek meg, hiszen ezek, a többihez képest rendkívül kevés – gyakorlatilag determinisztikus – számítást igényelnek. Hátrányuk ugyanakkor, hogy az egyszerűsített számítások rendkívül sok valószínűségelméleti pontatlanságot tartalmaznak, így a szerkezetek tönkremenetel elleni biztonsága valójában nem azonos a megkívánt értékkel, ami gazdaságtalan vagy nagyobb kockázatot tartalmazó tervezéshez vezethet. Emellett eltérő tönkremeneteli módokhoz,


51

amelyek azonban azonos megkívánt biztonsági szinthez tartoznak, rendszerint eltérő tönkremenetel elleni biztonságot szolgáltatnak. Mivel azonban jelenleg nem reális a magasabb szintű módszerek általános alkalmazása a tervezés során, az I. szinthez tartozó szabványos méretezési eljárások fejlesztése, finomítása az egyik legfontosabb feladata a magasabb szintű megbízhatósági eljárások kutatásának, alkalmazásának. A másik legfontosabb osztályozása a megbízhatósági módszereknek a g(X) tönkremeneteli függvény számítása alapján történik. Ez az osztályozás tehát valójában a determinisztikus modell, azaz a fizikai tartalom szerint kategorizálja a módszereket. Mivel ez igen változatos lehet, a továbbiakban csak a munkámhoz közelebb álló, és jelentősebb alkalmazásokra térek ki. A legmagasabb szintet, ahol a legtöbb véletlen változó minél kevesebb egyszerűsítést tartalmazó figyelembevétele lehetséges, általános esetben (tehát nem egy bizonyos problémára koncentrálva) a megfelelően finomított, numerikus determinisztikus modellek jelentik, amelyek az esetek többségében végeselemes eljárások. Ezeket alkalmazva a Monte-Carlo szimulációban jelenti ma a lehető legpontosabb megbízhatósági módszert, amely minden más eljárás kalibrálásaként szoglálhat [32]. Egyetlen, de igen lényeges hátránya a rendkívül nagy számítási időigény, emiatt gyakorlatilag csak kisebb problémák megoldására alkalmas. A II. szintű megbízhatósági módszerek között leggyakrabban alkalmazott FORM/SORM eljárások megkövetelik a tönkremeneteli függvény véletlen változók szerinti első illetve második parciális derváltjait. Ez igen erős követelmény a tönkremeneteli függvénnyel szemben, ezért általában csak nagy egyszerűsítéseket tartalmazó, explicit alakban leírható függvények felelnek meg. Ezen próbálnak javítani az úgynevezett sztochasztikus végeselem módszerek [32, 33, 34]. Ezek egyesíteni próbálják a végeselemes módszer pontosságát a FORM/SORM eljárásokkal, oly módon, hogy az így felépített determinisztikus modell olyan számítási folyamatokat tartalmaz, amelyek során a parciális deriváltak a lánc-szabálynak megfelelően előállíthatók [35]. A modell levezetésénél természetesen erős megkötést jelent a deriválhatóság, így ezek a modellek egyszerűbbek kell, hogy legyenek, és a számításba vett véletlen változók sem lehetnek túlságosan részletezve, mégis jóval pontosabb és általánosabb feltételekkel alkalmazható eljárást jelent, mint az explicit függvények használata. Példaként lehet említeni acél rúdszerkezetek esetén a keresztmetszet modellezését. A sztochasztikus végeselemes modellben a keresztmetszetet a jellemzőivel helyettesítjük (terület, hajlítási, csavarási inercia), mert ezek szolgálnak véletlen változóként, és a keresztmetszeti jellemzők szerinti deriváltak általában előállíthatók [35]. Természetesen így már nem követhető nyomon a keresztmetszet részleges megfolyása, csak a képlékeny csukló módszere használható a számításban. Míg ha a keresztmetszetet elemenként modellezzük (alsó, felső öv, gerinc), és ezek a véletlen változók, akkor már nem állíthatók elő a deriváltak, így nem alkalmazható a FORM/SORM analízis, bár ez a modell már sokkal pontosabban leírja az acél rúdszerkezet rugalmas-képlékeny viselkedését. Sztochasztikus végeselem modellben nem nagyon definiálhatók tökéletlenségek sem (görbeség, sajátfeszültség), mint véletlen változók, szintén deriválási nehézségek miatt, pedig gyakran (pl. a karcsúbb rúdszerkezetek esetén) igen nagymértékben befolyásolhatják a végeredményt. A deriválhatóság problémájának másik oldalról való megközelítését jelenti az úgynevezett válaszfelület módszer [36, 37,


52

38]. Itt a tönkremeneteli függvény nem implicit módon a végeselem módszer algoritmusa alapján van definiálva, hanem a végeselemes analízis bizonyos pontokban számított eredményére illesztünk valamilyen módon egy jól deriválható függvényt, és ez fogja képviselni a továbbiakban a válaszfelületet (ami ez esetben a g(X) függvény), amelyen a FORM/SORM lépései végrehajthatóak. A közelítő függvény általában valamilyen polinom szokott lenni [39], amelynek foka természetesen megszabja a minimális számát az illeszkedési pontoknak. A tönkremeneteli függvény számításánál is a szabványos, explicit formulák jelentik a legalacsonyabb szintű, legpontatlanabb, de mégis a legszélesebb körben alkalmazott eljárást. Ezek egyik legfontosabb egyszerűsítése, amely magasabb szinteken is igen gyakran figyelembe vett közelítés, hogy a terhelő hatásokat elkülönítve számítják a szerkezet ellenállásától, azaz a tönkremeneteli függvény szétbomlik két részre [28]:

g (X ) = R (X R ) − L (X L )

(3.3)

ahol L és R jelképezik a terhelést és a teherbírást, és a véletlen változók X vektora is szét van bontva a terheléshez tartozó változók XL és a teherbírást befolyásoló változók XR vektorává. Ezáltal tehát a terhelés és a teherbírás minden tekintetben külön vizsgálható, és a megfelelő, konzisztens formára hozott értékeik különbségeként állítható elő a tönkremeneteli függvény. Mivel a tönkremenetel akkor következik be mikor g(X) = 0, ennek ekvivalans megfogalmazása (3.3)-at felhasználva a tönkremenetel feltételére: (3.4) R(X R ) = L(X L ) Ez a forma egy skaláregyenlőséghez vezet (pl. meghatározott konfigurációjú erőrendszer skalár paraméterrel jellemzett nagysága és az ehhez tartozó egyparaméteres konzervatív erőrendszert feltételező teherbírás összehasonlítása), így a terheléshez és teherbíráshoz tartozó sűrűségfüggvény, és a tönkremenetel valószínűsége szemléltethető e skalárparaméter függvényében a 3.1 ábra szerint. f(λ)

λ1-hez tartozó tönkremenetel valószínűsége: A1*A2 = FR(λ1)*fL(λ1)*dλ

terhelés sűrűségfüggvénye teherbírás sűrűségfüggvénye

λ1

λ – skalár paraméter

dλ 3.1 ábra Egyparaméteres terhelés megbízhatósági modellezése


53

Tehát a tönkremenetel valószínűsége az alábbi egyszerűsített összefüggés alapján számítható, feltételezve, hogy a terhelés és a teherbírás egymástól független valószínűségi változó: ∞

Pf = P (R − L ≤ 0 ) =

∫ F (λ ) f (λ )dλ R

L

(3.5)

−∞

ahol FR és fL a teherbírás eloszlásfüggvénye és a terhelés sűrűségfüggvénye, amennyiben ezek ismertek, a tönkremenetel valószínűsége már jóval egyszerűbben számítható, mint a (3.2) egyenlet szerinti alakból. További lényeges egyszerűsítése a szabványos megbízhatósági módszereknek a szerkezeti elemek elkülönítése. Mivel a lehetséges összes szerkezeti konfigurációra nem adható méretezési eljárás, a szabvány a szerkezetet alapelemekre bontja, ezek kellő biztonságot tartalmazó méretezési eljárását adja meg. A teljes szerkezet vizsgálatakor tehát a szerkezettől – megfelelő peremfeltételek megválasztásával – el kell különíteni ezeket az alapelemeket, és ezekre kell alkalmazni a méretezési formulákat, így ezek a méretezett alapelemek biztosítják a teljes szerkezet számára a megfelelő biztonságot a vizsgált tönkremeneteli mód ellen. A terhelést – vagy tönkremeneteli módot – tekintve a szabványok ezt is alapesetekre vezetik vissza. Így definiálják a tiszta tehereseteket, és tönkremeneteli módokat, mint pl. rúdszerkezetek stabilitási teherbírása esetén a tiszta nyomóerő-kihajlás, tiszta nyomaték-kifordulás. Amikor az elkülönített szerkezeti elemre ezek kombinációja hat, akkor a tiszta esetekhez tartozó teherbírások interakciójából lehet meghatározni a teherbírást [41]. Fontos megemlíteni azt a legújabb szabványtervezetekben megjelenő [41, 42] általános méretezési eljárást, amely az adott szerkezetet vagy szerkezeti részt az azon lévő teljes terheléssel együtt egy egységként kezeli, és erre írja fel a méretezési képleteket. A módszer a ma már gyakorlati tervezés során is elterjedt végeselemes számítások eredményeit építi be formuláiba, és egy teljes szerkezetre számított globális redukált karcsúságból számítja az általánosított stabilitási csökkentő tényezőt [41, 42]. Az eljárás kulcsfontosságú része a stabilitási csökkentő tényező megfelelő megválasztása, amelynek alapjai jelenleg minden esetben az európai stabilitási görbék (European Buckling Curves). Az előzőekben bemutatott különböző szintű megbízhatósági módszereken és egyszerűsítéseken alapuló eljárások egyik végső célja mindig a legegyszerűbb módszereket alkalmazó, de ebből fakadóan legszélesebb körben alkalmazott szabványos méretezési eljárások megfelelő kalibrálása. A leírt egyszerűsítések természetesen számos problémát vetnek fel, melyekre csak magasabb szintű valószínűségelméleti vizsgálatok adhatnak választ. A terhelés és teherbírás (3.4) szerinti szétválasztása a két mennyiség külön vizsgálatát teszi lehetővé. Az egyes teherféleségek sztochasztikus leírása tulajdonképpen a szerkezeti viselkedéstől függetlenül vizsgálható, a régóta intenzíven végzett kutatások eredményeivel számos publikációban találkozhatunk [31, 43, 44]. A teherbírás esetén fontos kutatások tárgyát képezték a szerkezeti elemek elkülönítéséből fakadó kérdések [45, 46, 47]. Ennek vizsgálatához szükséges az alapelemek valószínűségi viselkedésének vizsgálata különböző peremfeltételek esetén


54

(csuklós, rugalmasan befogott, részlegesen befogott pl. öblösödés gátlása stb.), esetleg teljes szerkezetek valószínűségelméleti vizsgálata. Az igen kifinomult modellezést lehetővé tevő fejlett numerikus módszerek elterjedése az alapelemek egyre pontosabb determinisztikus viselkedésének meghatározásához, és az ezekből nyert egyre részletezettebb szabványos formulákhoz vezettek [48, 49, 50, 51, 52]. Ezek a kutatások jórészt az összetett terhelési esetek alapesetekkel történő megfelelő leírását tűzték ki célul egyre bonyolultabb interakciós képletek felhasználásával. Ugyanakkor jelenleg kezdődtek el mélyebb vizsgálatok a globális szerkezeti karcsúságon alapuló módszerek alkalmazásának kérdéseiről [53, 54]. Végezetül meg kell említeni a modern szabványok minden stabilitásvizsgálati módszerének alapelemét, a valószínűségi alapokon nyugvó stabilitási görbéket. Ezeknek leírása tulajdonképpen már régóta alapfeladatnak számít, mindazonáltal publikált egzakt kísérleti és elméleti megalapozottsága tulajdonképpen csak a sztochasztikus kihajlási teherbírásnak van [55], figyelembe véve azonban, hogy ezek a kutatások jórészt a 70-es években folytak erősen korlátozott számítási módszerek és eszközök használatával. Rúdszerkezetek kifordulása esetén a determinisztikus viselkedés még most is több hazai és nemzetközi kutatóprogram tárgya [56, 57, 58], de kellő mélységű valószínűségelméleti modellezésre nem találtam példát az irodalomban. A gyártási, szerelési, és egyéb a szerkezet működését befolyásoló eljárások változása, fejlődése miatt egyre bővülő és gyakran változó statisztikai adatsor, és az ezekből számítható magasabb szintű megbízható mennyiségek (pl. az eloszlás ferdeségi paramétere, adatok közötti korreláció) figyelembevétele mindig aktuális, ezért is ajánlott Tichy [28] szerint a szabványok formuláinak és biztonsági tényezőinek időről-időre történő egyre pontosabb felülvizsgálata és kalibrációja a megbízhatósági szintek minél hatékonyabb egységesítése érdekében. A fentiek alapján megállapítható, hogy a stabilitási vizsgálatok alapját képező európai stabilitási görbék széleskörű, naprakész statisztikákon alapuló felülvizsgálata korszerű számítási módszerekkel már igen aktuális lenne, azonban sem a nemzetközi, sem a hazai kutatás eredményeit tartalmazó publikációval nem találkoztam a munkám során. Mindezeket figyelembe véve kezdtem kutatásaimat a szabványos elkülönített szerkezeti elem sztochasztikus viselkedésének valóságot közelítő, minden fontosabb valószínűségi változót figyelembe vevő vizsgálatával. A 2. fejezetben bemutatott determinisztikus modell segítségével vizsgáltam a tiszta terhelési esetekhez tartozó stabilitásvesztési problémákat, és elemeztem a magasabb rendű statisztikák figyelembevételének hatását is. Természetesen nem lehetett célom olyan mennyiségi munka elvégzése – mind kísérleti mind numerikus – amely alapját szolgáltatta a jelenlegi stabilitási méretezési módszereknek, ezért más irányban indultam el. Kis számú, de mindenképpen reprezentatív, gyakran alkalmazott esetet vizsgáltam, ezeken a valószínűségelméleti hatások mélyebb tanulmányozása vált lehetővé, így következtetéseim természetesen nem lehetnek mindig általános érvényűek, de a szabványos eljárások elemzésére, kritikájára alkalmasak. Mivel az általam vizsgált szabványos formulák (pl. az Eurocode3-ban) jórészt melegen hengerelt I-szelvények, ezen belül is főleg IPE (Európai I-profil) és HE (Európai szélesövű profil) keresztmetszetű rudak kísérleti és


55

elméleti vizsgálatán alapulnak [55], a dolgozatom alapmodelljéül is ez a két szelvénytípus szolgált: az 2.6. fejezetben kísérleti úton is megvizsgált IPE240 és HEA200 [59]. Az alapmodell szintén a szabványéval egyező kétcsuklós-villás rúdelem, szabad öblösödéssel a végeken (3.2 ábra). Számításaimat – hogy lefedjék a gyakorlatban előforduló szerkezeti elemeket – hat különböző karcsúságnál (λz – kistengely körüli kihajláshoz tartozó) végeztem, az ezekhez tartozó megfelelő rúdhosszakat tartalmazza a 3.1 táblázat. A valószínűségelméleti eredményeimet így túlnyomó többségében a karcsúság függvényében adom meg. Az így meghatározott eredmények megteremtették az alapot az EC 3 acélszerkezeti szabvány (3.5) képletre épülő alap méretezési eljárása teherbírás oldali biztonsági koncepciójának elemzéséhez, kritikájához, illetve esetleges fejlesztési javaslatok kidolgozásához. A disszertáció eredményei továbbá megadhatják az alapot, valamint a módszert az előzőekben felsorolt feladatokhoz tartozó nagyobb volumenű és általánosabb eredményeket szolgáltató kutatások folytatásához, a szabványos és magasabb rendű méretezési elméletek megfelelő pontosításához is. 3.1 táblázat Vizsgált rúdhosszak L[mm]

λz IPE240 HEA200

30 820 1525

60 1640 3050

90 2460 4575

120 3280 6100

200 5466 10150

300 8200 15250

IPE240, HEA200 N

L

My

IPE240, HEA200

L 3.2 ábra A vizsgált rudak és teheresetei

My

3. Acél rúdszerkezetek valószínűségelméleti modellezése 3.2 Számítási eljárás

56

3.2 Számítási eljárás Jelen fejezetben a 3.1 pont megállapításait figyelembe véve bemutatom az általam alkalmazott valószínűségelméleti számítási eljárást, amely alkalmas a vizsgált problémák mélyebb feltárására kiaknázva a determinisztikus modellben rejlő részletezettséget. A paraméterek véletlenszerűségét figyelembevevő sztochasztikus számítási eljárás bemutatása elején fontos felhívni a figyelmet arra a – későbbiekben numerikus eredményekkel is alátámasztott – tényre, hogy a véletlen változók terében definiált teherbírási felület (R(X) függvény) a változók által reálisan felvehető értelmezési tartományon belül jól közelíthető egy hipersíkkal. Másként mondva a teherbírás változása az egyes véletlen változók függvényében megközelítőleg lineáris. Ekkor a teherbírás felírható az alábbi módon: R (X ) = R (X 0 ) + a T (X − X 0 )

(3.6)

ahol X a véletlen változók vektora, X0 egy adott pont a véletlen változók által definiált térben, és aT a lineáris együttható vektor transzponáltja. Az X0 pontot célszerű a változók középértékei helyén felvenni (X0 = µx), hiszen a lehetséges realizációk körülbelüli középpontja ez a pont lesz, amellett a középérték mindenféle statisztikai vizsgálódásnak alapmennyisége, tehát mindig rendelkezésre áll. Ezekután már csak az együttható vektor meghatározása a feladat, amely a teherbírásfüggvény gradiense a középértékek által meghatározott pontban:

a=

∂R(X ) ∂X X = X 0

(3.7)

Az együttható vektor elemei tulajdonképpen a teherbírás érzékenységi mérőszámai az adott változóra, ezek igen fontos elemei az alkalmazott módszernek, ezért gondosan kell meghatározni őket. A vektor elemeit a munkám során a 2. részben leírt determinisztikus modell segítségével numerikusan határoztam meg az adott változó középérték körüli reális határokon belüli változtatásával kiszámított teherbírási értékekből. Az érzékenységi faktorok igen hasznosak a véletlen változók fontosságának megállapításakor, az elhanyagolások vagy egyszerűsítések hatásának vizsgálatakor, és betekintést nyújthatanak az adott tönkremeneteli mód sztochasztikus viselkedésébe. A végső cél persze a teherbírás teljes valószínűségi leírása, vagyis a közös eloszlás vagy az eloszlás statisztikai paramétereinek meghatározása. A közös eloszlás meghatározásához pontosan tudni kell a véletlen változók eloszlását, amit illeszkedésvizsgálattal lehet megállapítani, de legtöbbször a statisztikai adathalmaz hiányosságának és mérési bizonytalanságoknak köszönhetően ez igen sok bizonytalanságot tartalmaz. Ha mégis meghatározzuk az összes kiinduló paraméter eloszlását, a (3.1) összefüggés szerinti közös eloszlás az egyes változók sűrűségfüggvényeinek konvolúciós formájából számítható, ami zárt alakban csak ritkán állítható elő. Ezért munkám során a momentumok módszerét alkalmaztam [60], amely sokkal egyszerűbb és kényelmesebb számításokat tesz lehetővé, és mégis a kiinduló statisztikai adathalmaz


57

részletezettségének megfelelő pontosságot biztosít. A módszerhez meg kell határozni a teherbírás momentumait (mérnöki alkalmazásoknál elegendő maximálisan az első négy), vagy az ezekből számítható középértéket, szórást, ferdeséget és lapultságot. Ezek zárt alakban előállíthatók a kiinduló véletlen változók alábbi statisztikai paramétereiből [61]:

várható érték :

µ=

1 n ∑ xi n i =1

szórásnégyzet : σ 2 = ferdeség :

(3.8)

1 n ( x i − µ )2 ∑ n − 1 i =1

n n  xi − µ  α=   ∑ (n − 1)(n − 2) i =1  σ 

(3.9) 3

(3.10) 4

lapultság :

2 n n(n + 1) 3(n − 1)  xi − µ  ε=   − (n − 1)(n − 2)(n − 3) ∑ σ  (n − 2 )(n − 3) i =1 

(3.11)

A fenti képletekben x az adott véletlen változó statisztikai mintája, n a minta nagysága. Megjegyzendő, hogy ha a leírt paramétereket maximálisan 15%-os relatív szórással akarjuk meghatározni, akkor a minimális mintanagyság a szóráshoz 50, a ferdeséghez 250, a lapultsághoz 400 [62]. Feltételezve a véletlen változók függetlenségét, a (3.6) lineáris összefüggéssel definiált teherbírás eloszlásának megfelelő paraméterei az alábbi összefüggésekből számíthatók [63]: várható érték:

µ R = R(X 0 ) = R(µ x )

szórásnégyzet:

σ R2 = ∑ a 2j σ 2j

m

(3.12) (3.13)

j =1

ferdeség:

αR =

lapultság:

εR =

1

σ

∑a σ

3 R j =1

1

σ

m

m

3 j

∑a σ

4 R j =1

4 j

3 j

αj

(3.14)

4 j

εj

(3.15)

ahol aj az adott véletlen változóhoz tartozó lineáris együttható; σj, αj, εj a megfelelő változó statisztikai mintájából számított szórás, ferdeség és lapultság, a figyelembe vett véletlen változók száma pedig m. Ezekután a teherbírás eloszlása közelíthető megfelelő, általában három- vagy négyparaméteres ismert eloszlással, egyenlővé téve a számított és az ismert eloszláshoz tartozó középértéket, szórást, ferdeséget és lapultságot, és ebből az egyenletrendszerből meghatározva az ismeretlen paramétereket. Ezzel meghatároztuk a teherbírás eloszlását, amelyből már minden további adat (pl. kvantilisek) számítható.


58

A kutatás során ezeket a számításokat a gyakorlatban a következőképpen valósítottam meg. Először azokat az alapszámításokat végeztem el a két vizsgált szelvényre a hat karcsúság esetén, amelyek az elkülönített alapmodellen, a két tiszta stabilitásvesztési (vagy terhelési) – kihajlás és kifordulás – formához tartoznak. Ezek során a hatások reális szemléltetése, a változók fontosságának helyes megítélése érdekében az alábbi formájú érzékenységi faktorokat határoztam meg:

Φj =

∂R( X) ∂X j

X0j R( X 0 )

X = X0

δ j = aj

µj δj µR

(3.16)

ahol tehát Φj a j-edik változóhoz tartozó érzékenységi faktor, µj a j-edik változó középértéke, δj pedig a j-edik változó relatív szórása, azaz δj = σj / µj. Ezáltal egy olyan dimenziótlan érzékenységi mérőszámot kapunk, amely tartalmazza az adott változó ”változási hajlamát” a relatív szóráson keresztül [64], vagyis az érzékenységi faktorok azt mutatják, hogy az adott paraméter megváltozása egységnyi szórásával a teherbírás milyen mértékű változását okozza. Ezek az érzékenységi faktorok egyébként nem mások, mint a teherbírás relatív szórásának összetevői, hiszen (3.13) és (3.16) alapján: m

δR =

σR = µR

∑a σ 2 j

2 j

m

j =1

µ

∑Φ

=

2 R

j =1

2 j

(3.17)

Így az érzékenységi faktorok segítségével könnyen kiszámíthatjuk a teherbírás relatív szórását, melyre további számításoknál is igen nagy szükség lesz. Az érzékenységi faktorok meghatározásához először irodalmi adatok és saját mérések (3.8-3.9) szerinti statisztikai kiértékelése alapján meg állapítottam minden valószínűségi változó középértékét és szórását. Az aj lineáris együtthatókat a determinisztikus modell többszöri futtatásának segítségével határoztam meg, így előálltak a megfelelő érzékenységi faktorok és a tiszta stabilitásvesztési esetekhez tartozó teherbírás relatív szórásai a két szelvény és a hat karcsúság esetében. Ezekból már meghatározható a tönkremenetel valószínűsége valamilyen kétparaméteres (általában normális) eloszlást feltételezve. Ugyanilyen módszerrel vizsgálható az összetett, interakciós terhelés is. Magasabb rendű statisztikák, illetve a változók korrelációjának figyelembevétele az így számított alaperedmények segítségével lehetséges, hiszen pl. a teherbírás eloszlásának ferdeségének (3.14) képlete így írható fel:

αR =

1

δ

m

∑Φ α

3 R j =1

3 j

j

(3.18)

Elegendő statisztikai adat hiánya és elhanyagolható jelentősége miatt a továbbiakban a lapultságot nem veszem figyelembe a számításokban.

3. Acél rúdszerkezetek valószínűségelméleti modellezése 3.3 Kiinduló számítások

59

3.3 Kiinduló számítások 3.3.1 A véletlen változók halmazának megállapítása A legelső feladat tehát azoknak a modellparamétereknek a meghatározása, amelyek a számítások során véletlen változóként lesznek definiálva. Ehhez szükséges, hogy az adott változót a determinisztikus eljárásban megfelelően tudjuk kezelni, vagyis az előző pontban ismertetett ai lineáris együtthatók (érzékenységi faktorok) megbízhatóan számíthatók legyenek. Fontos továbbá, hogy valamilyen szintű becslést tudjunk adni a változó statisztikai paramétereire (netán az eloszlására), különben nem tudjuk modellezni a valósághű véletlenszerűséget. Ezeket figyelembe véve érhető el a determinisztikus modell, a véletlen változók halmaza és a kettőt összekapcsoló valószínűségelméleti eljárás előszóban leírt egységes kezelése. Szerkezetek megbízhatóságának számításakor a véletlen változókat általában négy, jól elkülöníthető kategóriába lehet sorolni: a terheléshez, a szerkezeti geometriához, az alkalmazott anyaghoz és a kényszerekhez (támaszok, kapcsolatok) tartozó változók. A terhelési véletlen változók az egyes tehertípusokhoz (pl.: szélteher, hóteher, önsúly) tartozó tehereloszlás, intenzitás, a hatás helye, továbbá e tehertípusok kombinációjának mértéke [pl. 61]. A numerikus végeselemes modellezés során (legalábbis rúdszerkezetek esetén) ezek csomóponti erőkként realizálódnak. Mivel a munkámban a teherbírás valószínűségi viselkedését adott tönkremeneteli mód, azaz adott (determinisztikus) terhelés esetén vizsgáltam, a terheléshez tartozó leírt paraméterek nincsenek véletlen változóként definiálva. A geometriai változókat a valóságban a szerkezet építőelemeinek a méretei, és ezek összeállítása határozzák meg. A numerikus modellben a végeselemek csomóponti koordinátái, és a keresztmetszet alakja és méretei, vagyis az ezeket meghatározó keresztmetszeti csomópontok koordinátái által van figyelembe véve a geometria véletlenszerűsége. Vizsgálataimban meghatározott karcsúság esetén számoltam egy rúd teherbírását, így a rúd két végpontjának koordinátái (azaz a rúd hossza) nem véletlen változók, ellenben a rúd belső csomópontjainak koordinátái (azaz a rúd kezdeti alakja) igen, és természetesen a keresztmetszet alakja és méretei is. A véletlen változók között a továbbiakban – önkényes módon – meg fogom különböztetni, és tökéletlenségeknek fogom hívni azokat, amelyek ideális értéke (nem pedig középértéke) zérus. Geometriai változók tehát az ideális keresztmetszet méretei, és geometriai tökéletlenségek a rúd és a keresztmetszet kezdeti alakja. Ezek természetesen a rúd hossza mentén változhatnak, ezért ésszerű egyszerűsítések szükségesek, melyek segítségével az igazán lényeges hatásokat figyelembe véve a számítási idő mégsem nő irreálisan meg. Az anyagi változók az (2.3) ábra szerinti trilineáris anyagmodellt leíró paraméterek, amelyekből természetesen nem mindegyik befolyásolja lényegesen a teherbírást, ezért itt is jelentős egyszerűsítések érhetők el. Az anyagmodell paraméterei is változhatnak a hossz és a keresztmetszet mentén, de ennek elhanyagolása egy szerkezeti elem esetén nem okoz lényeges hibát [65]. A geometriai változókhoz hasonlóan itt is figyelembe vettem anyagi tökéletlenséget, amelyet a gyártás – melegen


60

hengerlés – során keletkező maradó feszültségek, úgynevezett sajátfeszültségek okoznak. Ezek tulajdonképpen a folyáshatárt változtatják meg a keresztmetszet mentén, tehát ennek az anyagi paraméternek az egyenlőtlen eloszlása ily módon kerül számításba. Végül a számítások során a kényszerek sem szerepeltek valószínűségi változókként, hiszen a szabvány alapmodelljét vizsgáltam, ahol meghatározott a támaszviszony, kapcsolatok pedig nincsenek. A 3.2 táblázat összefoglalja a figyelembe vett véletlen változók típusait a vizsgált melegen hengerelt I keresztmetszetű acélszelvénynél, abban a rendszerezésben, amelyben a következő fejezetek részletesen ismertetik. 3.2 táblázat Figyelembe vett véletlen változók osztályozása geometriai

anyagi

a keresztmetszet méretei: szelvénymagasság, övszélesség, lemezvastagság

az anyagmodell paraméterei: rugalmassági modulus, Poisson állandó, folyáshatár

tökéletlenségek geometriai anyagi a rúd kezdeti alakja, sajátfeszültség a a keresztmetszet keresztmetszet kezdeti alakja mentén

3.3.2 Geometriai változók A geometriai változók tehát csak a keresztmetszet méreteivel kapcsolatosak. Bár a végeselemes modellezésben tulajdonképpen csak a származtatott keresztmetszeti jellemzők – terület, inerciák – szerepelnek, a valódi véletlen változókat a gyártás befolyásolja, ezek pedig melegen hengerelt I szelvények esetén az egyes lemezelemek méretei. Mivel ezek a méretek megfelelően mérhetők, és így van is kellő számú statisztikai adat valószínűségi paramétereikre, emellett az alkalmazott determinisztikus modell is képes ezek változásának figyelembevételére a 2.3 pontban leírt keresztmetszeti modell segítségével, ezért számításaim során ezek szerepeltek geometriai véletlen változókként. A 3.3 ábra mutatja az alkalmazott keresztmetszeti modellt és a változókat: h – szelvénymagasság; b – övszélesség, amely mindkét övre azonos; tw – gerincvastagság; és tf – övvastagság, szintén azonos az övekre. A következő feladat a valószínűségi paraméterek meghatározása, kiváltképpen a relatív szórást, amely a kiindulási alapként szolgáló érzékenységi faktorok számításánál fontos. A 3.3 táblázat összefoglalja a melegen hengerelt I szelvények irodalomból vett, illetve saját mérések alapján számított főbb statisztikai adatait. A táblázatban a középértékek az egységes kezelhetőség érdekében relatív adatok, a mintaközép és az adott szelvény megfelelő nominális méretének a hányadosa.


61

tf tw

h

b 3.3 ábra Keresztmetszeti modell

3.3 táblázat Statisztikai adatok

paraméter

relatív mintaközép

relatív szórás

ferdeség

Fajkus et al. [66], IPE160-IPE240, mérések száma: 371, időpont: 2000. h b tw tf

1.001 1.015 1.055 0.998

0.00443 0.00961 0.04181 0.04803

-0.4063 -0.5448 1.0554 0.3303

Anslijn [68], HEA200, mérések száma: 33, időpont: 1983. h b tw tf

1.010 1.000 1.045 0.988

0.00405 0.00310 0.02533 0.01832

-0.0255 -2.4284 0.3844 2.0030

Saját, HEA200-HEA220, mérések száma: 28, időpont: 2003. h b tw tf

1.002 1.006 1.064 0.960

0.00552 0.00544 0.02500 0.02156

-0.7270 -0.7381 0.0704 0.2858

Saját, IPE220-IPE240, mérések száma: 38, időpont: 2003. h b tw tf

1.006 1.016 1.050 1.000

0.00712 0.00558 0.02779 0.03227

-0.3270 0.3635 0.0052 0.3917


62

A szelvényméretek hozzáférhető statisztikai adathalmaza igen szegényes, nincs megfelelő adatbázis, amelyet folyamatosan lehetne bővíteni, és a gyártók sem adnak ki megfelelő adatsorokat. Mindazonáltal Fajkus et al. [66, 67] nemrégen publikált adatai még a ferdeség számításához is elvileg kellő mennyiségű mérést tartalmaznak. Bár a többi adat kevés mérést tartalmaz, de jól mutat néhány eltérést a szélesebb (HEA) és a keskenyebb övű (IPE) szelvények között. Ezek közül a legfontosabbak, hogy a HEA szelvényeknél jelentősebb az övvastagság középértékének eltérése a nominális értéktől (akár – 6% is lehet), ugyanakkor a gerincvastagság átlagosan 10%-kal nagyobb a nominálisnál, továbbá az IPE szelvények lemezvastagságai nagyobb relatív szórást mutatnak. Az általam kiválasztott két szelvénytípus esetén mindezek a statisztikák összhangban vannak a gyártó ProfilArbed cég által kiadott katalógus hengerlési tolerancia adataival. A továbbiakban többször is fogok hivatkozni a JCSS (Joint Committee on Structural Safety) ajánlásaira [69], amely általánosítani és standardizálni próbálja a megbízhatósági módszereket, kezdve a véletlen változók felvétele és valószínűségi leírásától, az alkalmazható módszereken át a megfelelő gyakorlati alkalmazásokig. Melegen hengerelt szelvények geometriai bizonytalanságai esetében a JCSS nagy részben szintén a 3.3 táblázat első részében bemutatott adatok alapján adja meg a valószínűségi paraméterekre az ajánlást, ugyanakkor alkalmazásaiban jórészt csak a keresztmetszeti terület, és a keresztmetszeti modulus szerepel, tehát alacsonyabb szinten végzi vizsgálatait. Középértékként minden mennyiség esetében a nominális értéket jelöli meg, ami ugyan gyakran ellentmond a fenti táblázat adatainak, de mivel a keresztmetszeti jellemzők mindegyike a nominális érték körül mozog, így nem okoz lényeges hibát. Mindezeket figyelembe véve a 3.4 táblázat tartalmazza az alapszámításhoz szükséges geometriai értékeit a két vizsgált szelvénynek. 3.4 táblázat Alkalmazott valószínűségi értékek

paraméter

középérték [mm]

szórás [mm]

relatív szórás

1.200 1.200 0.310 0.490

0.005 0.010 0.050 0.050

0.950 2.000 0.325 0.500

0.005 0.010 0.050 0.050

IPE 240 h b tw tf

240 120 6.2 9.8 HEA 200

h b tw tf

190 200 6.5 10


63

A (3.16) összefüggés szerinti érzékenységi faktorok számításához adottak tehát a relatív szórások, így a parciális deriváltakat kell még előállítani. Mint már leírtam, ezeket az 2. fejezetben bemutatott determinisztikus modell segítségével numerikus módon határoztam meg, ami azért is kézenfekvő, mert a változók reális értelmezési tartományán belül a teherbírás jó közelítéssel lineárisan változik. Ennek illusztrálására a 3.4 ábrán mutatom be az IPE240 szelvényű rúd, kihajlási és kifordulási teherbírásának normalizált változását az övvastagság relatív megváltozásának függvényében, különböző karcsúságok esetén. 1.2

teherbírás relatív változása

1.4

λz = 30 λz = 60…200 λz = 300

1.15 1.1

λz = 30 λz = 60…200 λz = 300

1.3 1.2

1.05 1.1

1 1

0.95 0.9

0.9

0.8

0.85

0.7

0.8 0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

relatív övvastagság

1.1

1.15

1.2

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

relatív övvastagság

3.4 ábra A kihajlási (bal) és kifordulási (jobb) teherbírás megváltozása az övvastagság függvényében A fenti ábra egyeneseit minden karcsúságnál 9 pont határozza meg, az adott változó (jelen esetben az övvastagság) középértékénél, és az egyszeres, kétszeres, háromszoros és négyszeres szórás levonásával, illetve hozzáadásával kapott értéknél számított teherbírások. Jól látható, hogy még ilyen tág értelmezési tartományon belül is (annak valószínűsége, hogy az övvastagság ezen a tartományon kívül esik, normális eloszlást feltételezve 0.000064, tehát gyakorlatilag nem történhet meg) a teherbírás lineárisan változik mindegyik karcsúság esetén. Az apróbb hullámok a számítási pontatlanság miatt vannak, hiszen gyakran csak néhány százaléknyi változást kell pontosan kimutatni a teherbírásban. A munka során tehát minden változóhoz, terheléshez, szelvényhez és minden karcsúság esetén a fent leírt módon 9 pontból meghatároztam ezt az egyenest, és ez alapján a (3.6) szerinti teherbírásfüggvény lineáris együtthatóit, majd a (3.16) szerinti érzékenységi faktorokat. A továbbiakban ezeknek a számításoknak a fenti ábrához hasonló egyeneseit nem fogom bemutatni (mivel ez rengeteg ábra lenne), csupán az alapszámítások fő eredményének számító érzékenységi faktorokat a karcsúság függvényében. Jelen esetben, tehát a keresztmetszet dimenzióit tartalmazó geometriai változóknál, explicit formában felírható a két szélső esethez tartozó teherbírás – tehát a zérus, illetve a nagy karcsúsághoz, más szóval a keresztmetszet képlékeny és a tökéletes, karcsú rúd rugalmas teherbírása – e változók függvényeként, és a parciális deriválás is könnyen elvégezhető. Ezáltal az ezekhez tartozó érzékenységi faktorok egyből meghatározhatók,


64

és ez ellenőrzési lehetőséget nyújt kisebb és nagyobb karcsúságok esetében. Tiszta nyomás és nagytengely körüli tiszta hajlítás esetén a keresztmetszet képlékeny teherbírása a következő képletekkel írható le:

N pl = Af y

(3.19)

M pl = W pl , y f y

(3.20)

ahol A és Wpl,y a keresztmetszeti terület és a nagytengely körüli képlékeny keresztmetszeti modulus, fy az anyag folyáshatára. A tökéletes rúd rugalmas stabilitásvesztése pedig az alábbi erő és nyomaték esetén következik be:

N cr = M cr =

π 2 EI z

(3.21)

L2

π 2 EI z L2

I w L2 GI t + I z π 2 EI z

(3.22)

ahol Iz, Iw, It, a keresztmetszet kistengely körüli inercianyomatéka, öblösödési és csavarási inercianyomatéka, E és G a rugalmassági és nyírási modulus, L pedig a rúd hossza. A képletekben szereplő öt keresztmetszeti jellemző a 3.3 ábra szerinti keresztmetszeti modell esetén felírható a négy változó függvényeként: A = (h − 2t f )t w + 2bt w W pl , y =

twh2 + (b − t w )(h − t f )t f 4

1 2t f b 3 + (h − 2t f )t w3 12 t f b3 (h − t f )2 Iw = 24 2 1 I t = bt 3f + (h − 2t f )t w3 3 3

Iz =

(

)

(3.23-3.27)

Ezeket behelyettesítve (3.19-3.22) összefüggésekbe, a deriválás elvégezhető a négy véletlen változó szerint. A Függelék F.11-F.18 ábrái tartalmazzák a két szélső esethez analitikusan számított érzékenységi faktorokat (üres négyzet – IPE240, üres háromszög – HEA200), illetve a numerikus determinisztikus modellből számítottakat (teli négyzet – IPE240, teli háromszög – HEA200) a kistengely körüli karcsúság függvényében. Amit rögtön meg lehet állapítani, hogy a numerikus eredmények grafikonjai minden esetben közelítenek a képlékeny keresztmetszet, illetve a rugalmas rúd érzékenységi faktoraihoz, tehát a determinisztikus modell szélső esetekben visszaadja az elméleti eredményeket. A grafikonok lefutása általában monoton, a szelvény magassága és a gerinc vastagsága a


65

kis karcsúságok esetén jelentősebb, míg az övvastagság és övszélesség a karcsúbb rudak esetén. Kivételt képeznek a gerincvastagság grafikonjai kifordulás esetén, ahol nagy karcsúság esetén legnagyobbak az érzékenységi faktorok, közepes karcsúságnál veszik fel a minimális értéket, majd a képlékeny teherbírás felé ismét növekszenek. A két szelvény grafikonjai között a kihajlás és szelvénymagasság esetén legnagyobb különbség, egyébként általában nem jelentős. Az övvastagság faktorai értékre és jellegre is szinte azonosak, a szelvénymagasság és gerincvastagság az IPE240 keresztmetszetnél jelentősebb, míg az övvastagság a szélesebb övű HEA200 szelvénynél. Végül érdemes megvizsgálni, hogy milyen az értékkészlete az egyes érzékenységi faktoroknak, amely a változók jelentőségét határozza meg. Látható, hogy a legkevésbé fontos változó a gerincmagasság, hiszen a grafikonok sehol sem érik el a 0.01 értéket, ami azt jelenti, hogy amennyiban a gerincmagasság egy ”szórásnyival” megváltozik ( a nominális érték 0.5 %-ával) a teherbírás megváltozása mindig 1%-on aluli, sőt kihajlás esetén szinte teljesen elhanyagolható. Az övszélesség és a gerincvastagság változása (jórészt a nagyobb relatív szórásnak köszönhetően) már jelentősebb, 2-3%-os módosulást is eredményezhet a teherbírásban. Végül a legjelentősebb geometriai változó az övvastagság. Az érzékenységi faktorok már kihajlás esetén is 0.03-0.05 között mozognak, de nagy karcsúságú kifordulás esetén elérik a 0.08-0.09 értéket is, vagyis az övvastagság reális véletlenszerűsége akár 10% fölötti teherbírásváltozást is okozhat.

3.3.3 Anyagi változók Szerkezeti acélok anyaga esetén a JCSS a következő véletlen változók elkülönítését javasolja: E – rugalmassági modulus, ν – Poisson-állandó (harántkontrakciós tényező), fy – folyáshatár, fu – szakítószilárdság, εu – szakadási nyúlás. Mindazonáltal az általam stabilitásvesztési vizsgált feladatoknál a számításokat a szakítószilárdság és a szakadási nyúlás nem befolyásolja, hiszen a stabilitásvesztés mindig előbb történik, minthogy a szerkezeti elem bármely pontjában is a feszültség vagy az alakváltozás eljusson ezekig a határokig. A harántkontrakciós tényező a rúdelem modellben csak a G nyírási moduluson keresztül szerepel, a jól ismert összefüggés szerint: G=

E 2(1 + ν )

(3.28)

Ennek hatása csak a jelentős csavarást is tartalmazó feladatoknál jelentkezik (pl. kifordulásnál), de vizsgálataim alapján itt is elhanyagolható. Szintén megvizsgáltam az 2.3 ábra szerinti trilineáris anyagmodellben a harmadik felkeményedő szakasz hatását, de a stabilitásvesztés előtt tapasztalataim szerint az alakváltozás nem haladja meg az ehhez tartozó értéket, vagyis bilineáris anyagmodell alkalmazása nem okoz különbséget. Így ennek az anyagmodellnek a két változója maradt, mint anyagi változó: a rugalmassági modulus és a folyáshatár.


66

A rugalmassági modulus megfelelően pontos mérése nem egyszerű feladat, Galambos et al. [70] cikke tartalmaz jónéhány statisztikai adatot, amelyeket több mint 30 év alatt végzett mérésekből állapítottak meg, ezeket tartalmazza a 3.5 táblázat. 3.5 táblázat A rugalmassági modulus statisztikai adatai mérések [db] 7 50 67 67 56 94

középérték [N/mm2] 202580 205440 203820 203900 203110 215280

relatív szórás 0.010 0.038 0.010 0.010 0.014 0.060

mérés ideje 1934 1941 1957 1957 1964 1969

Galambos et al. [70] az 1941-ben készült méréseket tartja a legkörültekintőbben lebonyolított vizsgálatnak, mindamellett nagyobb relatív szórást javasol alkalmazni, mert ezeket a méréseket csak egy gyárból érkező, egy típusú szelvényen végezték. A JCSS 1970 utáni mérésekre hivatkozva már csak 3%-os relatív szórást javasol. Mindezeket figyelembevéve a munkám során a rugalmassági modulust µE = 205000 N/mm2 középértékkel és δE = 0.04 relatív szórással vettem figyelembe. A Függelék F.19-F.20 ábrái mutatják a kihajláshoz és kiforduláshoz tartozó érzékenységi faktorokat. A két szélső eset elméleti értékei most is számíthatók, a képlékeny teherbírás természetesen nem függ a rugalmassági modulustól, így itt zérus az érzékenységi faktor. A rugalmas stabilitásvesztésnél (amennyiben a nyírási modulus is a változó rugalmassági modulus (3.19) szerinti függvényeként van definiálva) pedig kihajlásnál és kifordulásnál is a δE relatív szórás az elméleti érték. Látható, hogy valóban e két érték között mozognak a grafikonok, ugyanakkor a két különböző stabilitásvesztési formánál elég eltérő a görbe alakja, míg a két keresztmetszet között nincs lényeges eltérés. A másik számításba vett anyagi véletlen változó tehát a bilineáris rugalmas-képlékeny anyagmodellhez tartozó folyáshatár. A továbbiakban csak az EC3 szerinti S235 szerkezeti acél anyagának folyási feszültségével foglalkozom. Erre a paraméterre már évek óta rengeteg mérést végeztek, így elvileg megfelelő mennyiségű adat áll rendelkezésre szinte bármilyen statisztikához. A számított statisztikák, vagy illesztett eloszlások mégsem egyértelműek, hiszen az egyes publikációk más-más hengerlőüzem termékeit tesztelték, más eljárással végezték az anyagvizsgálatokat, így gyakran igen különböző eredményeket kaptak az egyes statisztikákra. Általában kétféle kísérletet alkalmaznak a folyáshatár meghatározásához: szabványos próbapálca szakítóvizsgálatát (húzás), és adott keresztmetszetű nagyon rövid szelvény nyomási tönkremenetelének vizsgálatát [6]. Már ennek a kétfajta vizsgálatnak is rendszerint elég eltérő az eredménye, nyomás esetén magasabb folyási határt kapunk, mint a húzóvizsgálatoknál. Nem mindegy továbbá, hogy a folyási jelenség körüli feszültségek mely értékét tekintjük statisztikai adatnak. A gyakoribb és megbízhatóbb húzóvizsgálatok esetén


67

megkülönböztethetjük ugyanis a 3.5 ábra szerinti felső (fyf) és alsó (fya), valamint dinamikus (fyd) és statikus (fys) folyáshatárt [6].

σ fyf fyd fya

fys

ε 3.5 ábra S235 acélanyag jellegzetes feszültségalakváltozási görbéje A legmagasabb értékű felső folyáshatár jelenti a rugalmas tartomány végét, folytatva a húzást ezután hirtelen lecsökken a feszültség, ez az alsó folyáshatár. Növelve tovább az alakváltozást kialakul egy állandó feszültségszint, ami függ az alakváltozás növelésének a sebességétől, ez jelenti a dinamikus folyáshatárt. Amennyiben az alakváltozás sebessége zérusra csökken, a feszültségszint megállapodik a statikus folyáshatáron. Jellegzetesen statikus teherre méretezett szerkezetek esetén ez a statikus folyáshatár a legfontosabb, így ezt tekintjük a statisztikai mennyiségek alapadataként. További eltérések oka a kísérleti darab típusa. Lehet általánosan a hengerelt acél minőségét vizsgálni lemezekből vett mintával, ám ekkor sem mindegy a vizsgált lemez vastagsága. Ha meghatározott profilokat szeretnénk vizsgálni, célszerűbb, ha ezekből vesszük a mintát, de itt is jelentős eltérés adódhat a különböző helyekről vett anyagok között. Példaképpen a 3.6 ábrán bemutatom saját szakítóvizsgálataim egyik eredményét, itt egy HEA200 melegen hengerelt szevény övéből és gerincéből vett mintának allítottam elő a feszültség-alakváltozás diagramját. Jól látható, hogy míg az öv anyaga szépen visszaadja a várt, 3.5 ábrán is látható szerkezeti acélra jellemző görbét reális folyáshatárral, addig a gerinc anyaga ettől teljesen eltérő módon viselkedik. Nincs is meg tulajdonképpen a folyási tartomány, a rugalmas rész pedig jóval magasabb feszültségértékig tart. A teljes görbét vizsgálva nyilvánvaló, hogy a gerinc anyaga a gyártás során akkora alakváltozást szenvedett, hogy a képlékeny rész teljesen eltünt, és az anyag már a felkeményedő szakaszba jutott, így megváltozott az anyagmodell. Ez magyarázható a gerinc vastagságának kisebb értékével, mivel így a gerinc gyorsan hűl le és megy össze, és még meleg állapotban az övek lassabb hűlése miatt ilyen jelentős húzási feszültségek keletkeznek anyagában.


Öv

68

Gerinc

500 450 400 350 300 2

σ [N/mm ] 250 200 150 100 50 0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

ε

3.6 ábra HEA200 szelvény övének és gerincének anyagvizsgálata Mindezeket figyelembevéve állítottam össze a folyáshatár statisztikai adataira történt fontosabb méréseket összefoglaló 3.6 táblázatot. Bár saját méréseim száma nem elegendő bármiféle statisztika számításához, de eredményei még így is hasonlóak a többi mérés statisztikai értékeihez. 3.6 táblázat A folyáshatár statisztikai adatai mérések [db] 19857 [71] 153 [72] 153 [72] 33 [68] 33 [68] 33 [68] 256 [73] 5493 [67] 562 [67] 6 [saját] 6 [saját] 5 [saját] 3 [saját] 3 [saját]

középérték [N/mm2] 271.3 278.5 314.8 247.2 288.8 253.1 279.1 284.5 297.3 283.2 327.3 292.8 310.0 308.5

relatív szórás 0.1030 0.1138 0.0841 0.0825 0.1145 0.0726 0.0730 0.0756 0.0565 0.0485 0.0396 0.0815 0.0205 0.0222

ferdeség 0.5678 0.0410 0.8620 0.6024 0.3246 -

minta típusa mindenféle IPE160 öv húzott IPE160 nyomott HEA200 öv húzott HEA200 gerinc húzott HEA200 nyomott gerendaszelvény húzott acéllmez húzott IPE160-220 öv húzott HEA200 öv húzott HEA200 gerinc húzott IPE240 öv húzott IPE220 gerinc húzott HEA220 gerinc húzott


69

A JCSS a folyáshatár relatív szórására δfy = 0.07 értéket javasolja, középértékre pedig az alábbi formulával számítottat:

µ fy = f yspαe

(uδ fy )

−C

(3.29)

ahol fysp az adott szabvány által definiált karakterisztikus folyáshatár (jelen esetben 235 N/mm2), α a vizsgált helyet figyelembevevő tényező (α = 1.05 gerincnél, és α = 1.00 övnél), u Gauss-eloszlás szerinti normalizált változó, amely a megfelelő kvantilis eléréséhez kell, értékét 1.5 – 2.0 között javasolja felvenni, C pedig a statikus folyáshatárhoz tartozó csökkentő tényező (~ 20 N/ mm2). Ezeket behelyettesítve a folyáshatár középértéke µfy = 279.3 – 304.4 közé adódik övek esetén és µfy = 293.3 – 319.6 közé gerincekre. Mivel azonban a gerinc hatása a teherbírásvesztésre jóval kisebb mint az öveké, valamint a modellezés egyszerűsítése érdekében a keresztmetszet mentén a folyáshatárt állandónak tekintettem, valamint – a JCSS javaslata alapján – a rúdhossz mentén is. Mindezeket figyelembevéve a munkám során a folyáshatárt µfy = 280 N/mm2 középértékkel és δfy = 0.07 relatív szórással vettem figyelembe. A Függelék F.21-F.22 ábrái mutatják a kihajláshoz és kiforduláshoz tartozó érzékenységi faktorokat. A szélső esetek tekintetében most fordított a helyzet mint a rugalmassági modulusnál, a rugalmas tönkremenetelt tartmészetesen nem befolyásolja a folyáshatár értéke, így nagyobb karcsúság esetén zérus az érzékenységi faktor, a képlékeny teherbírásnál pedig δfy relatív szórás az elméleti érték. Ennek megfelelően itt is e két érték kötött mozognak a grafikonok, azonban míg kihajlás esetén nincs lényeges különbség a két szelvénynél, kifordulásnál már jelentős eltérés mutatkozik a görbék alakjában. Az érzékenységi faktorok értékeit tekintve látható, hogy az övvastagság mellett eddig a legjelentősebb véletlen változó a folyáshatár, természetesen főképp kisebb karcsúságú rudak esetén.

3.3.4 Tökéletlenségek

3.3.4.1 Geometriai tökéletlenségek A 3.2 táblázat szerint tehát a rúdtengely ideális egyenestől való eltérése, illetve a keresztmetszet szabványos alakjától való eltérése képviselik vizsgálataim során a geometriai tökéletlenséget, ezek értéke természetesen ideális esetben zérus. A két fajta tökéletlenség szétválasztása megint önkényes módon történik, igazodva a numerikus modellezési folyamathoz (különválik a rúdelemek, és keresztmetszetek értelmezése), hiszen a rúd – többnyire a keresztmetszet súlypontján átmenő – tengelye egy valójában nem létező, csupán a modellezés miatt kitalált attribútum. Így lényegében az egész rúd, mint egy adott formájú test ideálistól való eltérését modellezzük e két tökéletlenség összegeként. A rúdtengely közelítő alakját a súlyponti nagytengely síkjában általában az övek peremeinek vonalával azonosítják [6], amelyet aránylag könnyen mérni lehet. A kistengely irányú tökéletlenséget az övek és a gerinc csatlakozási vonalában lehet lemérni. Ezáltal többféle idealizált tengelyalakot is figyelembe lehet venni [68]. Legáltalánosabb közelítés a kihajlási sajátalakok (amelyek megfelelő számú és irányú


70

szinuszhullámok) bizonyos kombinációjának figyelembevétele a kezdeti tengely alakjának meghatározásakor. A vizsgált típusú kétcsuklós rúd esetén az első sajátalak mindig a kistengely körüli félszinuszhullám (3.7 ábra). További sajátalakok a kistengely irányú szinuszhullám, és a több hullámot tartalmazó alakok. A rúd viselkedése szempontjából fontos szerepe a y nagytengely irányú tökéletlenségeknek van, hiszen ezek indítják el a oldalirányú elmozdulásokat, amelyek növekedése végül stabilitásvesztéshez vezet. Ezek az oldalirányú elmozdulások rendszerint jóval meghaladják a kezdeti görbeség legnagyobb amplitudóját (pl. a 3.7 ábrán f0), ebből következik, hogy a görbeség pontos alakja nem gyakorol lényeges befolyást a teherbírásra. Így dolgozatomban a rúd f0 nagytengely irányú kezdeti görbeségét a 3.7 ábrán látható félszinuszhullám alak szerint vettem számításba, melynek a középső ponthoz tartozó f0 amplitúdója szerepelt véletlen változóként. Ennek statisztikai paramétereire nincsen elegendő megbízható adat. A JCSS zérus középértékkel és 0.001*L nagyságú szórással javasolja figyelembevenni (L – rúdhossz). Ennek ellenére indokolt a középértéket zérustól eltérően felvenni, x ahogy Strating és Vos [72] mérései is igazolják. 3.7 ábra A rúdtengely alakja Emellett a pozitív illetve negatív irányú kezdeti görbeség azonos hatással van a teherbírásra, így az érzékenységi faktorok számításánál (mivel a teherbírásnak zérus görbeségnél tetőponja van) zérus értéket kapnánk. Ezért, figyelembe véve Strating és Vos [72] ajánlásait, továbbá a ProfilArbed [59] toleranciahatárait a nagytengely irányú görbeség amplitudójának középértékére µf0 = 0.0008*L, relatív szórására pedig δf0 = 0.15 értéket vettem figyelembe. Mivel numerikus vizsgálataim alapján megállapítottam, hogy a kistengely irányú görbeség (reális értékek között feltételezve) szinte egyáltalán nem befolyásolja a teherbírást, ezt elhanyagoltam a számítások során. A Függelék F.23-F.24 ábrái mutatják a rúd kezdeti görbeségének a kihajláshoz és kiforduláshoz tartozó érzékenységi faktorait. Látható, hogy itt már egyértelműen a középső karcsúságokhoz tartozik a legnagyobb érték, ez (majd látni fogjuk) igaz minden típusú tökéletlenségre. Kihajlás esetén ez a maximum kb. a λz = 90 karcsúságnál van, itt a két keresztmetszet között lényegében nincs eltérés. Kifordulás esetén λz = 120 környékén van a maximum, és jól látható, hogy az IPE szelvény érzékenységi faktorai mindig kb. a kétszer nagyobbak a HEA keresztmetszeténél, tehát kifordulásnál a keskenyebb övű szelvény teherbírása érzékenyebb a kezdeti görbeségre. Megállapítható továbbá, hogy mindkét szelvénynél (persze főleg a HEA esetén) kihajlás esetén jóval jelentősebb a kezdeti görbeség hatása, mint kifordulásnál. A keresztmetszeti alak tökéletlenségeivel általában nem foglalkoznak főleg modellezési nehézségek miatt, így nincsenek is mérési adatok ezekre a változókra. Mindazonáltal fontosnak láttam megvizsgálni hatásukat, hiszen a profilkatalógusok megemlítik, mint


71

hengerlési pontatlanságból származó hibákat, és toleranciákat is megállapítanak értékükre. Ezek alapján a 3.8 ábra szerinti keresztmetszeti tökéletleségeket vizsgáltam meg. A ProfilArbed [59] szerinti toleranciák a vizsgált két szelvénynél az A esetben k < 2 mm, a B esetben e0 = (b1+b2)/2 < 3.5 mm, és a C esetben f < 1.5 mm, ezek az értékek adták a kiindulási alapot a reális tartományokon belül való vizsgálatokhoz. A

B

C

k

k

b1

b2

f

3.8 ábra A keresztmetszeti alak tökéletlenségei: A – nem párhuzamos övek, B – gerinc külpontossága, C – gerinc kardossága A 3.3 pont szerinti keresztmetszeti modell lehetőséget ad mindegyik tökéletlenség vizsgálatára, ezek alapján megállapítottam, hogy az A és a C típusú tökéletlenség az előzőekben meghatározott tartományon belüli hatása jelentéktelen, ezért elhanyagolható. A B típusú tökéletlenség ugyanakkor részletesebb elemzést kíván, mivel jelentősebb befolyással van a teherbírásra, azonban hatása (mint majd látni fogjuk) nem különíthető el a kezdeti görbeség hatásától és így nem kezelhető a független változókból felírt lineáris modellen belül, ezért vizsgálatát egy későbbi pontban (3.5.3) mutatom be, jelen részben nem veszem figyelembe. 3.3.4.2 Anyagi tökéletlenségek Egyetlen anyagi tökéletlenséget vizsgáltam, a keresztmetszet mentén megjelenő sajátfeszültségeket. Ezek hatását a teherbírásra, illetve eloszlásukat a keresztmetszet mentén a 2.4.4 pontban ismertettem, ahol bemutattam a valószínűségi számításokban is alkalmazott modellt. Az ehhez tartozó egyetlen véletlen változó az övszéleken megjelenő feszültségérték – vagyis a (2.65-2.68) képletekben szereplő α, amely a folyási feszültség függvényében adja meg ezt –, hiszen ez teljesen meghatározza az egész eloszlást. Ennek valószínűségi paramétereire nem áll rendelkezésre elégséges megbízható adat, és ezek az adatok is nagyrészben régi méréseken alapulnak, így nem tartalmazzák az esetleges fejlődéseket a gyártási technológiákban, amelyek jelentősen befolyásolhatják a sajátfeszültségeket [74]. Strating és Vos [72] munkájában áttekinti az addigi méréseket, és IPE szelvényre egy nem túl konzervatív középértéket javasol, a bizonytalanságok miatt aránylag nagy relatív szórással. Munkámban az IPE240


72

keresztmetszetnél ezeket a valószínűségi jellemzőket alkalmaztam, tehát a sajátfeszültség folyási feszültséghez viszonyított α paraméterére µαIPE = 0.2 középértéket és δα = 0.25 relatív szórást vettem figyelembe. HEA200 szelvény esetén a szakirodalom a szélesebb övek miatt magasabb sajátfeszültséget javasol [8], ezért a ECCS [9] ajánlását követve itt µαHEA = 0.3 középértékkel és δα = 0.25 relatív szórással vettem számításba. A Függelék F.25-F.26 ábrái mutatják a sajátfeszültség paraméterének a kihajláshoz és kiforduláshoz tartozó érzékenységi faktorait. A görbék jellegükben igen hasonlóak a kezdeti görbeség eredményeihez, kihajlás esetén a maximum itt is kb. a λz = 90 karcsúságnál van, kifordulás esetén pedig a λz = 120 karcsúság környékén. A kihajlásnál nagyjából megegyezik a két szelvény viselkedése, kifordulásnál vannak jelentősebb eltérések. Az érzékenységi faktorok értékkészlete nagyjából azonos, így megállapítható, hogy mindkét stabilitásvesztésnél csak a maximum környékén jelentősebb a sajátfeszültségek hatása.

3.3.5 A tiszta teherbírásvesztési esetek összefoglalása A 3.8 táblázat összefoglalja a kiindulási számításoknál figyelembe vett véletlen változók fentiekben megállapított valószínűségi paramétereit. 3.8 táblázat Véletlen változók valószínűségi paraméterei változó h – szelvénymagasság b – övszélesség tw – gerincvastagság tf – övvastagság E – rugalmassági modulus fy – folyáshatár e0 – kezdeti görbeség α − sajátfeszültségi paraméter

középérték IPE240 HEA200 240 mm 190 mm 120 mm 200 mm 6.2 mm 6.5 mm 9.8 mm 10 mm 205000 N/mm2 280 N/mm2 0.0008*L 0.2 0.3

relatív szórás 0.005 0.01 0.05 0.05 0.04 0.07 0.15 0.25

A számítások során tehát négy geometriai, két anyagi változó és két tökéletlenség véletlenszerűségét vettem figyelembe. A kiinduló számításokban a változókat függetlennek tekintem, továbbá több változó együttes megváltozásának hatását is elhanyagolom a teherbírásvizsgálat során. A változó legfontosabb valószínűségi értéke a bizonytalanságukat kifejező relatív szórásuk. Ezen egyszerűsítéseket szem előtt tartva a két szelvény kihajlási és kifordulási teherbírásának relatív szórása kiszámítható a véletlen változók érzékenységi faktoraiból a 3.17 képlet szerint. A 3.9 ábra mutatja be a teherbírások relatív szórását az érzékenységi faktorokhoz hasonlóan a karcsúság függvényében (N – kihajlási teherbírás, M – kifordulási teherbírás).


N_IPE240

N_HEA200

M_IPE240

73

M_HEA200

0.1 0.095 0.09 0.085 0.08

δg 0.075 0.07 0.065 0.06 0.055 0.05 0

50

100

150

200

250

300

λz

3.9 ábra A teherbírás relatív szórása A teherbírás relatív szórása igen látványos képet ad az egyes tönkremeneteli módok valószínűségi viselkedéséről. Értékét tekinve a relatív szórások kb. 7-10% között változnak a vizsgált esetekben. Rögtön szembetűnik, hogy a kifordulásnak a közepes és nagy karcsúságoknál lényegesen nagyobb a relatív szórása (még a 30%-os különbséget is eléri), mint a kihajlásnak, valamint itt a legnagyobb a különbség a két szelvény között. Ez lényegében annak köszönhető, hogy az övvastagság bizonytalanságai jóval nagyobb mértékben befolyásolják a kifordulást nagyobb karcsúságoknál, főként a szélesebb övű szelvényeknél. Ebből adódóan a kifordulási teherbírás bizonytalanságai nagyobb karcsúságnál megnőnek, míg a kihajlási teherbírásé inkább csökkennek, itt a keresztmetszet képlékeny teherbírásának szóródása a legnagyobb. Hasznos eredmény még az egyes változók jelentőségének megállapítása. Ennek számítására többféle mód lehetséges, jelen esetben azt fogom vizsgálni, hogy az adott változó mennyire befolyásolja a teherbírás szórásnégyzetét. Ezt igen egyszerű kifejezni, hiszen a 3.17 képlet szerint a teherbírás relatív szórásnégyzete nem más, mint a véletlen változókhoz tartozó érzékenységi faktorok négyzetösszege.


74

3.9 táblázat A változók jelentőségének százalékos mérőszámai

λz 0 30 60 90 120 200 300

h 0.064 0.066 0.039 0.011 0.001 0.000 0.000

b 0.620 0.860 3.004 7.416 12.581 16.914 17.341

tw 5.819 5.962 4.135 1.179 0.179 0.003 0.001

0 30 60 90 120 200 300

h 0.022 0.019 0.015 0.005 0.002 0.000 0.000

b 0.908 1.248 2.632 6.882 12.877 17.150 17.804

tw 1.955 1.927 1.379 0.435 0.078 0.001 0.000

0 30 60 90 120 200 300

h 0.639 0.689 0.587 0.448 0.254 0.070 0.008

b 0.925 1.145 1.798 2.670 4.423 5.769 4.874

tw 2.099 1.743 1.458 1.368 1.267 1.543 2.079

0 30 60 90 120 200 300

h 0.538 0.499 0.454 0.324 0.162 0.030 0.006

b 1.131 1.682 1.604 2.307 3.018 4.806 4.425

tw 0.608 0.635 0.341 0.421 0.555 0.653 0.768

λz

λz

λz

N – IPE240 tf 14.508 15.905 24.449 35.863 46.061 50.252 50.395 N – HEA200 tf 22.105 23.414 27.718 37.027 47.202 51.645 51.571 M – IPE240 tf 19.885 20.854 25.129 38.610 55.450 75.631 74.178 M – HEA200 tf 24.508 27.455 29.506 37.019 47.627 79.728 78.924

α

E 0.000 0.167 1.436 6.901 15.939 26.789 30.004

fy 78.988 76.814 60.579 29.401 9.885 1.232 0.090

e0 0.000 0.084 3.405 12.704 11.826 4.098 1.776

0.000 0.143 2.952 6.525 3.528 0.712 0.393

E 0.000 0.002 0.218 3.557 13.358 25.010 28.445

fy 75.010 72.419 56.558 28.663 9.437 1.252 0.416

e0 0.000 0.231 2.740 11.418 10.795 3.547 1.338

0.000 0.740 8.740 12.015 6.252 1.395 0.425

E 0.000 0.005 0.084 1.326 4.992 12.342 18.529

fy 76.451 73.865 66.363 47.283 24.280 3.717 0.003

e0 0.000 0.006 1.257 2.861 4.358 0.756 0.323

0.000 1.695 3.325 5.434 4.976 0.172 0.007

E 0.000 0.003 0.069 0.628 2.925 9.843 15.837

fy 73.215 68.320 61.404 46.538 31.617 0.606 0.000

e0 0.000 0.004 0.035 0.403 0.953 0.203 0.040

0.000 1.404 6.587 12.360 13.144 4.131 0.000

α

α

α

Ezek után a százalékosan kiszámítható, hogy az i-edik változó mennyire befolyásolja a teherbírás szórásnégyzetét, az alábbi képlet szerint:

∆ i [%] = 100

Φ i2 m

∑ Φ 2j j =1

(3.30)


75

Ez a mérőszám természetesen különböző a két szelvénynél, és a két stabilitásvesztési módnál, valamint a karcsúságtól is függ (akárcsak az érzékenységi faktorok). A 3.9 táblázat összefoglalja ezeket a százalékos ”jelentőség-mérőszámokat”. A táblázatban a jobb áttekinthetőség kedvéért vastagon szedve és bekeretezve vannak azok az értékek, amelyek meghaladják az 5%-ot, továbbá minden karcsúságnál a legjelentősebb érték szürke háttérrel jelenik meg. Így rögtön látszik, hogy a két legjelentősebb változó az övvastagság, és a folyáshatár, ezek együtt kihajlásnál kiteszik a szórásnégyzet minimum 50%-át, kifordulásnál pedig minimum a 74%-át. Tulajdonképpen csak ez a két jellemző felelős a 60-nál kisebb karcsúságok esetén a teherbírás bizonytalanságaiért. A szelvénymagasság elhanyagolása lényegében nem okoz hibát, a gerincvastagság is csak az IPE szelvénynél éri el az 5%-os határt. Legjobban a kihajlásnál és közepes karcsúságoknál oszlik meg a változók hatása, itt az előbb említett két változón kívül mindegyiknek jelentős befolyása van a teherbírásra. További érdekesség, hogy a kihajlás esetén jóval nagyobb a kezdeti görbeség hatása, mint kifordulásnál, továbbá a rugalmassági modulus is jelentősebb. A tökéletlenségeket tekintve, az IPE szelvény esetén jelentősebb a kezdeti görbeség, míg a HEA keresztmetszetű rúd a sajátfeszültségekre érzékenyebb.

3. Acél rúdszerkezetek valószínűségelméleti modellezése 3.4 Változók közötti korreláció hatása

76

3.4 Változók közötti korreláció hatása Az eddig tárgyalt módszerek és eredmények egyik alapvető feltételezése az volt, hogy a valószínűségi változók függetlenek. Bár ez igen sok esetben elfogadott közelítés [pl.: 33, 35, 72], acélszerkezetek teherbírás-vizsgálatánál még csak megalapozatlan sejtések utaltak a változók közötti statisztikai összefüggés lehetséges hatására [72]. Ennek legfőbb oka természetesen most is – mint minden pontosabb valószínűségelméleti vizsgálatnál – a véletlen változók valószínűségi leírására rendelkezésre álló adatsornak a hiányossága. Annyi mindenesetre valószínűsíthető, hogy jelentősebb korreláció csak az azonos kategórián (geometriai, anyagi, tökéletlenségi) belüli változók esetén állhat fenn, hiszen a gyártás során ezek kialakulását befolyásolják hasonló tényezők. Ezek alapján jelen fejezet sem pontos eredményt ad a korreláció hatásáról, hanem az eddig tárgyalt valószínűségi modellen belül megadja a kiinduló paraméterek közötti korreláció figyelembevételének módszerét, és ezt alkalmazva megmutatja a korreláció lehetséges előfordulása hatásának jelentőségét a teherbírás valószínűségelméleti leírásában.

3.4.1 Valószínűségi modell

A változók közötti korreláció elemzéséhez megtartjuk a (3.6) szerinti linearizált összefüggést, ám az ebből számított a teherbírás statisztikáira kapott (3.12-3.15) képletek megváltoznak, hiszen ezeknél feltételezés volt a változók függetlensége. Pontosabban a várható érték nem változik, ám a többi statisztikát megváltoztatja a korreláció. A szórásnégyzet az alábbiak szerint alakul (D() – a szórás általános jele, E() – a várható érték általános jelölése):

σ R2 = D 2 (R(X )) = D 2 (R(X 0 ) + a T (X − X 0 )) = E (R(X ) − E (R(X )))2 =

(

)

2

(

)

= E R(X 0 ) + a T (X − X 0 ) − R(X 0 ) = E a T (X − X 0 )a T (X − X 0 ) =  m  m m   2 2 = E  ∑ a j (x j − x0 j ) + ∑∑ a j a k (x j − x0 j )(x k − x0 k ) = a T C a j =1 k =1  j =1  k≠ j  

(3.31)

A levezetés végén tehát megjelentek a vegyes tagok, melyek az egyes változók közötti korrelációt jelentik, ami a függetlenség miatt az eddigiek során zérus volt. A végeredményben a C a változók közötti kovariancia kétdimenziós mátrixa (csak két változó összefüggését vizsgáljuk), amely főátlójában megjelennek az egyes változók szórásnégyzetei. A gyakorlati számítás során most is a relatív szórást számítjuk a megfelelő érzékenységi faktorok segítségével. Mivel a változók közötti kovariancia – a szórásnégyzettel ellentétben – negatív is lehet, ezért a korrelációs érzékenységi faktor a teherbírás relatív szórásnégyzetéhez kapcsolódik, és az alábbi formát ölti:


Φ corr = a j a k C jk jk

1

µ R2

= aj

77

µj µ δ j a k k δ k ρ jk = Φ j Φ k ρ jk µR µR

(3.32)

ahol felhasználtuk a két változó covarianciája (Cjk) és korrelációja (ρ jk) között fennálló ismert összefüggést: C jk ρ jk = (3.33)

σ jσ k

Ezek alapján a változópárok közötti korrelációt is figyelembe vevő linearizált teherbírásmodell (3.17) szerinti relatív szórásnégyzete az alábbi formára változik: m

m

m

j =1

j =1 k =1 k≠ j

δ g2 = ∑ Φ 2j + ∑∑ Φ corr jk

(3.34)

ahol tehát a korrelációs érzékenységi faktorok negatív értéket is felvehetnek, ami csökkenti a teherbírás szórását. Fontos megjegyezni, hogy két adott változóra számított korrelációs érzékenységi faktor kétszeres értékkel szerepel a relatív szórásnégyzet (3.34) szerinti kifejezésben, j és k felcserélhetősége miatt (a kovariancia és a korrelációs mátrix is szimmetrikus). A teherbírás eloszlásának ferdeségére vonatkozó (3.18) összefüggés pedig az alábbiak szerint alakul:

αR =

1

σ

3 R

E (R (X ) − E (R(X ))) = 3

1

σ R3

(

)

E a T (X − X 0 )a T (X − X 0 )a T (X − X 0 ) =

m m  m 3  3 2  ∑ a j (X j − X 0 j ) + 3∑∑ a 2j a k (X j − X 0 j ) ( X k − X 0 k ) +  j =1 k =1  j =1  1  k≠ j = = 3 E m m m  σR   6∑∑∑ a j a k a l (X j − X 0 j )( X k − X 0 k )( X l − X 0l )   j =1 kj <=k2 lk=<3l   

  m m m m m 1  m 3 3 2 2 ,1 1,1,1  = 3  ∑ a j α j σ j + 3∑∑ a j a k C jk + 6∑∑∑ a j a k al C jkl  σ R  j =1 j =1 k =1 j =1 k = 2 l = 3  k≠ j j < k k
(3.35)

ahol az utolsó két tag származik a változók közötti korrelációból. Itt Cjk2,1 és Cjkl1,1,1 többváltozós statisztikában jelöli a vegyes magasabbrendű centrális momentumokat. Mivel ezek értékeire nincsen semmiféle statisztikai adat, a korreláció ferdeségre gyakorolt hatásával a továbbiakban nem foglalkozom, az eredmények így csupán a relatív szórás megváltozását tartalmazzák.


78

3.4.2 A vizsgálatok eredménye

A vizsgálatokhoz nincs szükség újabb számításokra, csupán a korrelációs mátrixot kellene ismerni, és a meglévő érzékenységi faktorok alapján a korrelációs érzékenységi faktorok és a relatív szórás megváltozott értéke számítható. Mint a bevezetőben már utaltam rá, legtöbb változó esetén nincs elegendő koherens adatsor korreláció számításához, az egyetlen, kellő számú mintán alapuló statisztikát IPE szelvények geometriai méreteire találtam az irodalomban [66], ebből számítható a korrelácis mátrix, amely a következő értékeket tartalmazza:

h

ρ geo

b

tw

tf

1 0.0534 0.0399 − 0.0989 h   0.0534 1 − 0.2142 − 0.2681 b  =  0.0399 − 0.2142 1 0.2451  t w   1 − 0.0989 − 0.2681 0.2451 tf

(3.36)

Bár ezek az értékek sem tekinthetők minden I szelvénytípusra általános érvényűnek, a következő valószínű összefüggéseket lehet levonni: a szelvénymagasság nincs statisztikai összefüggésben egyik geometriai mérettel sem, enyhe negatív korreláció áll fenn az övszélesség és a lemezvastagságok között (minél szélesebb az öv, annál vékonyabbak a lemezek), enyhe pozitív korreláció áll fenn a gerincvastagság és az övvastagság között. A teherbírás szórását tehát az övszélesség és lemezvastagságok közötti korreláció csökkenti, míg a gerincvastagság és az övvastagság közötti korreláció növeli. Az anyagi változókat tekintve a JCSS [69] ajánlása szerint nincsen korreláció a folyáshatár és a rugalmassági modulus között és az irodalomkutatás során máshol sem találtam erre vonatkozó utalásokat, mindazonáltal meg fogom vizsgálni a negatív és pozitív korreláció hatását. A tökéletlenségek esetén is hasonló a helyzet, bár Strating és Vos [72] munkájában utalt – pusztán feltételezés szintjén – a kezdeti görbeség és a sajátfeszültségek nagysága közötti statisztikai összefüggésre, ezt is mind negatív és pozitív értékkel megvizsgálom. A vizsgálatoknál a geometriai változók esetén a (3.36) szerinti korrelációs értékekkel fogok számolni, míg az anyagi változóknál és tökéletlenségeknél a +/- 0.30 feltételezett korreláció hatását vizsgálom meg. Most is érdemes az előző fejezetben is használt ∆jk mérőszámot kiszámítani, ami azt vizsgálja, mennyire befolyásolja az adott változók korrelációja (százalékosan) a teherbírás relatív szórásnégyzetét. Ezt a mérőszámot jelen esetben tehát az alábbi összefüggés szerint lehet számítani:


corr jk

∆

[%] = 100

Φ corr jk m

m

m

∑ Φ + ∑∑ Φ 2 j

j =1

= 100

j =1 k =1 k≠ j

corr jk

79

Φ j Φ k ρ jk m

m

∑ Φ + ∑∑ Φ j =1

(3.37)

m

2 j

j

Φ k ρ jk

j =1 k =1 k≠ j

3.10 táblázat A változók közötti korreláció jelentőségének százalékos mérőszámai

λz 0 30 60 90 120 200 300

b-tf -1.634 -2.023 -4.817 -9.583 -14.821 -18.529 -18.837

b-tw -0.820 -0.979 -1.533 -1.283 -0.647 -0.098 -0.047

0 30 60 90 120 200 300

b-tf -2.461 -2.985 -4.800 -9.360 -15.233 -18.988 -19.400

b-tw -0.574 -0.669 -0.823 -0.746 -0.430 -0.058 -0.012

0 30 60 90 120 200 300

b-tf -2.354 -2.691 -3.739 -5.757 -9.167 -12.613 -11.353

b-tw -0.601 -0.609 -0.698 -0.826 -1.024 -1.295 -1.383

0 30 60 90 120 200 300

b-tf -2.905 -3.782 -3.830 -5.213 -6.870 -11.727 -11.136

b-tw -0.357 -0.445 -0.318 -0.424 -0.558 -0.765 -0.796

λz

λz

λz

N – IPE240 tw-tf E-fy (-) 4.310 0.000 4.556 -2.194 4.697 -5.928 3.089 -9.345 1.387 -8.145 0.193 -3.571 0.091 -0.995 N – HEA200 tw-tf E-fy (-) 3.122 0.000 3.188 -0.205 2.941 -2.153 1.928 -6.449 0.930 -7.223 0.114 -3.475 0.023 -2.108 M – IPE240 tw-tf E-fy (-) 3.070 0.000 2.870 -0.351 2.882 -1.434 3.441 -4.987 3.946 -7.072 5.030 -4.236 5.738 -0.136 M – HEA200 tw-tf E-fy (-) 1.857 0.000 2.005 -0.255 1.531 -1.251 1.898 -3.354 2.459 -6.123 3.415 -1.487 3.677 0.000

E-fy (+) 0.000 2.102 5.300 7.874 7.004 3.333 0.976

e0-α (-) 0.000 -0.066 -1.939 -5.778 -4.032 -1.035 -0.504

e0-α (+) 0.000 0.066 1.867 5.180 3.731 1.014 0.499

E-fy (+) 0.000 0.204 2.064 5.712 6.311 3.249 2.022

e0-α (-) 0.000 -0.248 -3.025 -7.559 -5.185 -1.353 -0.455

e0-α (+) 0.000 0.247 2.852 6.566 4.698 1.317 0.451

E-fy (+) 0.000 0.349 1.394 4.535 6.196 3.905 0.135

e0-α (-) 0.000 -0.059 -1.242 -2.423 -2.875 -0.217 -0.028

e0-α (+) 0.000 0.059 1.212 2.311 2.718 0.216 0.028

E-fy (+) 0.000 0.254 1.221 3.143 5.455 1.444 0.000

e0-α (-) 0.000 -0.042 -0.289 -1.357 -2.170 -0.552 0.000

e0-α (+) 0.000 0.042 0.287 1.321 2.080 0.546 0.000


80

Ez a mérőszám tehát negatív értéket is adhat, amennyiben az egyes érzékenységi faktorok előjele különbözik és pozitív a korreláció, illetve azonos előjelű érzékenységi faktorok és negatív korreláció esetén. Jelen vizsgálatoknál csak a második eset fordulhat elő, így negatív korreláció esetén lesz a mérőszám is negatív, azaz csökken a teherbírás szórása. A 3.10 táblázat a 3.3 fejezet összefoglalójához hasonlóan mutatja az egyes változópárok korrelációjához tartozó százalékos jelentőségi mérőszámot a két szelvényés két teheresetnél. A táblázatban ismét kiemeltem az 5%-nál nagyobb értékeket, ezek alapján megállapítható, hogy a számításba vett korrelációs értékek mellett az övszélesség és övvastagság közötti korrelációnak igen nagy (jótékony) hatása van a teherbírás szórására, főleg közép és nagy karcsúságnál, ahol kihajlási probléma esetén 20%-kal is csökkentheti a teherbírás szórásnégyzetét. A másik két geometriai korrelációnak nincs jelentős hatása, míg a folyáshatár és a rugalmassági modulus közötti feltételezett +/-0.3 értékű korreláció közepes karcsúságoknál lényeges. Mivel az anyagi változók közötti korreláció inkább pozitív értékűnek feltételezhető, ezért valószínűbb a közepes karcsúságoknál a teherbírás szórásának enyhe növekedése. A tökéletlenségek statisztikai összefüggése szintén közepes karcsúságok és kihajlás esetén a legnagyobb hatású, ám itt is alig haladja meg az 5%-ot. Megállapítható továbbá, hogy általában a változók közötti korrelációra a kihajlási teherbírás jóval érzékenyebb, mint a kifordulás. A továbbiakban, tekintettel a megfelelő statisztikai adatok hiányára valamint a kisebb jelentőségre, az anyagi változók és a tökéletlenségek közötti korrelációt nem veszem figyelembe, míg a geometriai változók közötti korreláció hatásával korrigálom a teherbírás relatív szórásának értékeit. Ezt a változást szemléltetik a 3.10-3.11 ábrák. IPE240

HEA200

0.1

0.095

0.09

0.085

korreláció figyelembevétele nélkül

0.08

δg 0.075 0.07

0.065

0.06

korreláció figyelembevételével

0.055

0.05 0

50

100

150

200

250

λz

3.10 ábra A kihajlási teherbírás relatív szórása a karcsúság függvényében a geometriai változók közötti korreláció figyelembevételével és anélkül

300


IPE240

81

HEA200

0.1

korreláció figyelembevétele nélkül

0.095

0.09

0.085

0.08

δg 0.075 0.07

0.065

korreláció figyelembevételével 0.06

0.055

0.05 0

50

100

150

200

250

300

λz

3.11 ábra A kifordulási teherbírás relatív szórása a karcsúság függvényében a geometriai változók közötti korreláció figyelembevételével és anélkül Az ábrákból jól látható, hogy a figyelembe vett korreláció minden esetben jelentős mértékben csökkenti a teherbíráshoz tartozó relatív szórást. A legnagyobb változást a rugalmas stabilitásvesztési formához tartozó nagyobb karcsúságok felé lehet megfigyelni, a korreláció elhanyagolása tehát ebben a szakaszban növeli leginkább a biztonságot.

3. Acél rúdszerkezetek valószínűségelméleti modellezése 3.5 A változók egymásra hatásának vizsgálata

82

3.5 A változók egymásra hatásának vizsgálata A (3.6) összefüggésen alapuló linearizált modell, és az ebből származtatott (3.12-3.15) képletekkel leírt valószínűségi jellemzők a vizsgált elemek szerkezeti viselkedésének csupán azt a tulajdonságát veszik figyelembe, hogy a teherbírás külön-külön az egyes véletlen változók reális határokon belüli függvényeként lineárisan változik. Ez a modell nem ad semmiféle felvilágosítást arra nézve, hogyan változik a teherbírás több véletlen változó együttes megváltozásának hatására. Jelen fejezetben ezt a hatást vizsgálom meg, bemutatva befolyását a teherbírás valószínűségi paramétereire, illetve az elhanyagolásából származó hibát.

3.5.1 Valószínűségi modell A vázolt probléma vizsgálata megkívánja, hogy a teherbírási felület közelítésére alkalmazott függvényben megjelenjenek a vegyes magasabb rendű tagok. Így a teherbírás egyes változók szerinti deriváltja a középértékek által meghatározott pontban továbbra is konstans marad (hiszen nincs tiszta magasabbrendű tag), de megjelennek a vegyes magasabbrendű deriváltak, amelyek változók együttes hatását jelképezik. Csak másodrendű tagokat vizsgálva (ennél magasabbrendű tagok vizsgálata már igen megnövelné a számítási igényeket) ekkor a teherbírási felület az alábbi alakban írható fel:

R(X ) = R(X 0 ) + a T (X − X 0 ) + (X − X 0 ) B(X − X 0 ) T

(3.38)

ahol B m×m – es mátrix (m – a véletlen változók száma) a másodrendű tagok együtthatómátrixa, melynek főátlójában zérus elemek vannak, így csak a vegyes tagok maradnak meg. Ez a mátrix tulajdonképpen a teherbírási függvény Hesse-mátrixának 0.5-szöröse a középértékek által meghatározott pontban, a főátló elemek nélkül, azaz: B jk =

1 ∂ 2 R(X ) 2 ∂X j ∂X k

(3.39) X = X0

(Azért a 0.5-szöröse, mert a teherbírásfüggvény Taylor sorában a másodrendű tagnál megjelenik az ½ szorzó, amit a (3.38) összefüggésnél az egyszerűség kedvéért belevontam a B mátrixba.) Az így pontosított (3.38) szerinti modellből újra kiszámíthatók a (3.12-3.15) összefüggésekhez hasonlóan a teherbírás fontosabb valószínűségi jellemzői a véletlen változók megfelelő statisztikái függvényében. A középérték továbbra is a változók középértékeivel számított teherbírás, így a (3.12) képlet nem változik meg. A szórásnégyzetet és a ferdeséget azonban befolyásolja a teherbírás új alakja, ezekre a következő összefüggések adódnak [63]:


szórásnégyzet:

m

m

j =1

j =1 k =1

83

(3.40)

m

σ R2 = ∑ a 2j σ 2j + 4∑∑ B 2jk σ 2j σ k2 αR =

ferdeség:

m m  1  m 3 3 2 2   a σ α 12 a a B σ σ + ∑ ∑∑ j j j j k jk j k  σ R3  j =1 j =1 k =1 

(3.41)

A gyakorlati számításban a linearizált modellhez hasonlóan (3.16 képlet) itt is meghatározható a változók interakciója fontosságának helyes megítélése érdekében egy vegyes másodrendű (vagy interakciós) érzékenységi faktor az alábbi alakban (a szokásos jelölésekkel): Φ intjk =

∂ 2 R ( X) ∂X j ∂X k

X 0 j X 0k X= X0

R( X 0 )

δ j δ k = 2 B jk

µ j µk δ jδ k µg

(3.42)

Így megint egy olyan dimenziótlan mérőszámot kapunk, amely megmutatja, hogy adott változó hatására a teherbírás relatív értékének megváltozása mennyire módosul, amennyiben a másik vizsgált változó nem középértékkel szerepel a számításokban. Ezzel az interakciós érzékenységi faktorral (valamint a 3.16 szerinti lineáris érzékenységi faktorral) felírható a relatív szórás és a ferdeség pontosított értéke:

m

relatív szórás: δ R =

ferdeség:

σR = µR

∑a σ 2 j

j =1

2 j

m

j =1 k =1

µ

αR =

m

+ 4∑∑ B 2jk σ 2j σ k2 2 R

=

m

m

m

j =1

j =1 k =1

∑ Φ 2j + ∑∑ Φ intjk

m m  1  m 3  Φ α + 6 Φ j Φ k Φ intjk  ∑∑ j j 3 ∑ δ R  j =1 j =1 k =1 

2

(3.43)

(3.44)

A bemutatott mennyiségek számítása a lineáris érzékenységi faktorok meghatározásához hasonló módon, különböző paraméterek esetén számított teherbírásokból numerikus módon történt. Így jelen modellnél a teherbírás egy hiper-nyeregfelületként képzelhető el a véletlen változók m – dimenziós terében, amelyből a koordinátatengelyeket tartalmazó síkok egyeneseket metszenek ki (ez jelenti azt, hogy az egyes változók lineáris függvénye), ugyanakkor a többi metszete nem feltétlen egyenes, hanem a vegyes másodrendű tagok miatt hiperbola alakú, mely görbeségének nagysága utal az egyes változók interakciójának fontosságára (3.12 ábra). Az ábrán a teherbírási felület egy háromdimenziós metszete látható két véletlen változó függvényeként, érzékeltetve a felület nyereg jellegét.


84

R(X)

R1

R2 R(X0)

µj - 2σj

R4

µk - 2σk

µj

µk

µj + 2σj µk + 2σk

Xj

R3 Xk 3.12 ábra A (3.46) szerinti teherbírási felület háromdimenziós metszete

Adott két véletlen változó esetén a B együtthatómátrix elemeit (a vegyes deriváltakat a középérték pontban) a 3.12 ábra szerinti négy – a változók középértékétől negatív és pozitív irányban kétszeres szórással eltérő helyeken számolt – teherbírási függvényértékből számoltam az alábbi képlet szerint:

B jk =

1 ∂ 2 R(X ) 2 ∂X j ∂X k

= X = X0

1 (R1 − R2 ) − (R4 − R3 ) 2 4σ j 4σ k

(3.45)

A képletből következik természetesen, hogy a B mátrix szimmetrikus, így elegendő csak az átló feletti részt vizsgálni. Ezekután a (3.42) szerinti interakciós érzékenységi faktor előállítható a numerikus eredményekből:

Φ intjk =

(R1 − R2 ) − (R4 − R3 ) 16 R(X 0 )

(3.46)


85

majd a (3.43-3.44) mennyiségek már könnyen számíthatók, és összevetve a lineáris modellhez tartozó értékekkel megállapítható a paraméterek együttes hatásának jelentősége.

3.5.2 A számítások eredménye Az első feladat annak meghatározása, mely változók esetén végezzük el a számításokat, amelyek előreláthatólag jelentősebb hatással lesznek a teherbírás valószínűségelméleti leírására. Természetesen a változók együttes hatására nem nagyon lehet előre következtetni, de a (3.42) képletből jól látható, hogy azoknál a paramétereknél, amelyek változásának hatása eleve kicsi a teherbírásra, az interakciós érzékenységi faktor sem lehet túl nagy, hiszen tartalmazza a két változó variációs tényezőit. Más szavakkal egy kis hatásnak relatív nagy megváltozása sem lesz jelentős, így ezek vizsgálatát elhanyagoltam. Ezek alapján az alábbi mátrix szemlélteti mely paraméterpárokat vizsgáltam (!), és melyeket nem (X):

h b tf

tw

0 X X X  0 ! X   0 X  0 B=      

E

fy

X X ! X ! ! X X 0 ! 0

e0 α X X ! X ! ! 0

X X  !  X !  ! !  0 

h b tf tw E fy

(3.47)

e0

α

A szelvénymagasságot (h) és a gerincvastagságot (tw) tehát elhanyagolható hatásuk miatt egyáltalán nem vizsgáltam, míg az övszélességet (b) csak a nagyobb karcsúságoknál jelentősebb változókkal (övvastagság (tf) és rugalmassági modulus (E)). Az eredmények az egyes változók érzékenységi faktoraihoz hasonlóan a karcsúság függvényében értelmezhetőek a két szelvényhez illetve teheresethez. A vizsgált paraméterpárok (3.46) alapján számított interakciós érzékenységi faktorokaiból az F.11-F.26 ábráihoz hasonló görbék állíthatók elő, ezek nagy száma (összesen 48) miatt ezeket külön-külön nem mutatom be, hasznosabb először a (3.45) összefüggéshez hasonló alakban megvizsgálni a változók együttes változásának teherbírásra gyakorolt hatásának jelentőségét. Ez a mérőszám tehát azt vizsgálja, mennyire befolyásolja az adott hatás (százalékosan) a teherbírás relatív szórásnégyzetét. A változók interakciójának vizsgálatakor ezt a mérőszámot az alábbi képlet határozza meg:


int jk

∆

[%] = 100

Φ intjk m

m

2 m

(3.48)

∑ Φ + ∑∑ Φ 2 j

j =1

86

int 2 jk

j =1 k =1

A mérőszámok alapján megállapítható, hogy egyik vizsgált paraméterpár együttes változásának hatása sem jelentős a teherbírás megváltozásának szempontjából, hiszen minden esetben az 1%-os határ alatt maradnak. A legnagyobb mérőszámot az övvastagság-folyáshatár esetén kifordulásnál kaptam, de ez is csak 0. 98%. Ezekután megvizsgáltam még az összes paraméterpár együttes hatását, vagyis az összes vegyes másodrendű tag figyelembevételének jelentőségét, amelynek százalékos mérőszáma a (3.48) szerinti ∆jk – k összegzéséből adódik. IPE240 szelvény esetén ezt a mérőszámot mutatja a 3.13 ábra. Kihajlás

Kifordulás

1.6

1.4

1.2

1

Σ∆ jk

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

3.13 ábra Az összes vizsgált paraméterpár együttes változása figyelembevételének százalékos hatása a teherbírás relatív szórására Az ábrából jól látható, hogy a paraméterek együttes változása hatásának teljes elhanyagolásával gyakorlatilag nem okozunk hibát a számított modellek esetén a teherbírás valószínűségelméleti vizsgálatában (a szórásnégyzetben jelentkező legnagyobb eltérés sem éri el a 1.5%-ot). Mindezek alapján kimondhatjuk, hogy az egyes valószínűségi paraméterek teherbírásra gyakorolt hatása mellett ezek együttes változásának hatása elhanyagolható, így a további vizsgálatokban nem is veszem figyelembe, azaz a teherbírási felületet továbbra is a (3.6) szerinti hipersíkkal modellezem.


87

3.5.3 A kezdeti görbeség és a gerinc külpontosságának együttes vizsgálata Mint arra a 3.3.4.1 pontban utaltam e két tökéletlenség nem kezelhető külön-külön, csak abban az esetben, ha az egyiket zérus értékkel veszem figyelembe, így ez a fejezet a két véletlen paraméter egységes kezelésének módját mutatja be. Ez főként azért szükséges, mert nem mindegy, hogy a kétfajta tökéletlenség egymáshoz képest milyen előjelű, azaz arra görbül-e a rúd, amerre a gerince külpontos vagy ellentétes irányba. Ettől függően ugyanis a teherbírásra gyakorolt hatás mértéke illetve az előjele is megváltozhat, amit megfelelően figyelembe kell venni a valószínűségi elemzésnél. A probléma szemléltetésére tekintsük a 3.14 ábrát, amely λz = 90 karcsúságnál ábrázolja a két szelvény kihajlási teherbírását a gerinclemez e0 külpontosságának a függvényében, különböző f0 amplitúdójú kezdeti görbeség esetén.

f0 = 2 mm

IPE240

f0 = 1 mm

HEA200

1200

f0 = 0 mm

1100

1000

f0 = 1 mm

900

Nu [kN] 800

f0 = 2 mm

f0 = 0 mm

700

600

500 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

e0 [mm]

3.14 ábra A kezdeti görbeség és a gerinc külpontosságának együttes hatása a kihajlási teherbírásra Az ábra alapján, valamint több numerikus vizsgálat elvégzése után az alábbi megfigyeléseket tettem: a teherbírás a gerinc külpontossága vagy a kezdeti görbeség függvényében jellegzetes sátor formájú, szimmetrikus görbe adott amplitúdójú kezdeti görbeségek esetén a gerinc külpontosságának függvényében egybevágó, adott távolsággal vízszintesen eltolt görbéket kapunk, valamint igaz ez megfordítva is, vagyis a két változó függvényében a


88

teherbírást egy sátor alakú görbe meghatározott vezérgörbe mentén való vízszintes (a két változó síkjával párhuzamos) eltolásával létrejött felület határozza meg (3.15 ábra) ez a vezérgörbe változók vizsgált tartományán belül egy origón átmenő egyenes. Nu sátor-görbe

e0 f0

vezéregyenes 3.15 ábra A teherbírási felület alakja a gerinc külpontossága (e0) és a kezdeti görbeség (f0) függvényében Ezek után a számítások menete a következő volt: először kerestem egy a teherbírási felületet a vizsgált tartományban pontosan leíró analitikus függvényformát, ennek paramétereit a numerikus számítások eredményeit felhasználva számítottam, majd az így matematikai formában is leírt teherbírásfüggvény, valamint a két véletlen változó valószínűségi paraméterei alapján meghatároztam a teherbírás középértékét, szórását és ferdeségét, amely már tartalmazza a két változó fentiekben vázolt egymásra való befolyásának hatását. A teherbírási függvény alakjának meghatározásakor – a feladat hasonlósága miatt – a rugalmas stabilitáselméletből ismert, tökéletlenség-érzékenységre levezetett képletek egyikét vettem alapul. Ez a formula egy kezdeti ferdeséggel terhelt, végtelen merev anyagból készült, nyomott rúd teherbírását írja le a kezdeti ferdeség nagyságának függvényében. A rúd alsó támasza csuklós, felső csomópontjához pedig egy ferde rugó csatlakozik (3.16 ábra). A levezetés mellőzésével a fenti modell tökéletlenség okozta teherbírás-csökkenése az alábbi formulával írható le [75]: Pmax = a + b ϕ 0 + cϕ 0

(3.49)


89

ahol Pmax a modell teherbírása (a maximális nyomóerő), ϕ0 a kezdeti ferdeség szöge, a,b és c pedig a geometriától és a rugómerevségtől függő függvényparaméterek. A (3.49) képlet természetesen csak nem-negatív kezdeti ferdeség esetén van értelmezve, P

ϕ0

3.16 ábra A tökéletlenség érzékenységi formula rugalmas mintamodellje ugyanakkor a kétfajta tökéletlenség vizsgálata éppen az egymáshoz viszonyított előjel miatt szükséges, így a kezdeti görbeség és a gerinc külpontossága lehet negatív is. Mindezeket figyelembevéve a teherbírásra az alábbi összefüggést alkalmaztam:

R(e0 , f 0 ) = a − be0 + cf 0 + d be0 + cf 0

(3.50)

ahol a, b, c és d a függvény meghatározandó paraméterei, ezeket megfelelő számú numerikus számítás eredményéből határoztam meg. Példaképpen az IPE szelvényű λz = 90 karcsúsághoz tartozó rúd numerikus számításokkal meghatározott kihajlási teherbírását és az erre illesztett közelítő függvény két függőleges koordinátasíkkal (Nue0, Nu-f0) való metszetét mutatom be a 3.17 ábrán. Látható, hogy a közelítő függvény igen jól egyezik a numerikus számítások eredményeivel a vizsgált tartományban. Ha már megvan a determinisztikus viselkedést leíró modell, akkor lehet a két vizsgált véletlen változó valószínűségi paraméterei alapján számítani a teherbírás megfelelő valószínűségi értékeit, illetve a már meghatározott paraméterek korrigálását. A teherbírás relatív szórása számításának eddig megszokott módja ez esetben nem tartható, mivel a teherbírás a két változó függvényében már nem tekinthető lineárisnak, sőt törése van. Több nem lineáris függvényalakra léteznek képletek a függvényérték valószínűségi paramétereinek analitikus leírására [28], azonban a (3.50) alak speciális formája miatt nem volt lehetséges még a szórásnégyzet levezetése sem, ezért a Monte Carlo módszert alkalmaztam, melynek lépései az alábbiak voltak:


IPE240

90

közelítő függvény

1000 900 800 700 600

Nu [kN]

500 400 300 200 100 0 -10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

e0 [mm] és f0 [mm]

3.17 ábra Az alkalmazott közelítő függvény metszetei 1. a kezdeti görbeség és gerinc külpontosság valószínűségi eloszlásának meghatározása, 2. a kezdeti görbeség (f0) és gerinc külpontosság (e0) értékének generálása az 1. lépésben meghatározott eloszlás szerint [76], 3. a (3.50) képlet kiértékelése, a kapott aktuális teherbírási érték mentése (Ri), 4. a 2. és 3. lépés ismétlése kellően nagy számban (n) 5. a kapott n számú eredményből a teherbírás valószínűségi paramétereinek (középérték, szórás, relatív szórás, ferdeség) meghatározása. Számításaim során n = 100000 volt a futások száma, ami elegendő a teherbírás első három momentumának meghatározására. A korábbi vizsgálatokhoz képest még az a lényeges különbség, hogy a Monte Carlo módszerhez szükség van a véletlen változó teljes valószínűségi eloszlására, nem elég az eloszlás momentumainak ismerete. Erre nem találtam megbízható statisztikai adatsort, egyedül [72] cikkben fordul elő elfogadható számú mérésen alapuló sűrűség-hisztogram a kezdeti görbeség amplitúdójára, valamint a gerinc külpontosságára (a cikkben a nyomóerő külpontosságaként szerepel). A pontos eloszlás ismeretének a hiánya mégsem okoz lényeges problémát, hiszen végeredményként nem a teherbírás valószínűségi eloszlására vagyunk kíváncsiak, csupán az eloszlás első három momentumára, a teljes eloszlás, csak a számítási eszközként használt Monte Carlo módszerhez szükséges. A feladat tehát a továbbiakban egy olyan kétdimenziós eloszlás keresése, amely megfelelően kezeli a két véletlen változó – az alfejezet elején már ismertetett – jellegéből fakadó előjelproblémát. Rögtön le kell szögezni, hogy helytelen az a –


91

irodalomban gyakran alkalmazott – megközelítés, amely mindkét változót adott, nem zérus érték körül szóródó tökéletlenségként kezeli, egyértelműen teherbírás-csökkentő jelleggel felruházva (vagyis a véletlen változó növekedésével a teherbírás mindig csökken). Ez a modellezés annak az eredménye, hogy a mérések során természetesen nem figyeltek a kétfajta alakhiba egymáshoz viszonyított előjelére, vagyis tulajdonképpen a tapasztalati hisztogramokat a változó abszolút értékei alapján állították össze. Így természetesen a mérési eredmények egy pozitív középérték körül szóródtak. Az ebből fakadó hiba jól látható a 3.14 ábrán is, hiszen egy adott kezdeti görbeség esetén nem a zérusértékű gerinc külpontosságnál van a teherbírásnak maximuma, vagyis a gerinc külpontosság abszolút értékben való növekedése nem feltétlenül a teherbírás csökkenésével jár. Mindezeket figyelembe véve mégis érdemes szemügyre venni a [72] cikkben közölt sűrűségi hisztogramok alakját. A gerinc külpontossága esetén jelentős baloldali ferdeséggel rendelkező Gamma eloszlást illesztettek a mérési eredményekre, hiszen a sűrűség hisztogram csúcsa a zérus értékhez nagyon közel esett. Ez, az előző meggondolások alapján jól magyarázható azzal, hogy a gerinc külpontossága valójában egy zérus középértékű normális jellegű eloszlást követ, így az abszolutértékek eloszlása természetesen egy fél-normális, vagyis nagy baloldali ferdeséggel rendelkező eloszlás. A kezdeti görbeség mérési eredményeinél más a helyzet, az abszolutértékek eloszlása is egy pozitív középértékű normális eloszlással közelíthető legjobban, így a valódi eloszlás ez esetben bi-normális eloszlással modellezhető, mely sűrűségfüggvényének két, zérus értékre szimmetrikusan elhelyezkedő csúcspontja van. Ezek alapján a két alakhiba együttes eloszlását a 3.18 ábrán látható kétdimenziós bi-normális eloszlással modelleztem, melynek valószínűségi paraméterei a következők voltak: µe0 = 0.00, σe0 = 1.5 mm; a kezdeti görbeség bi-normális eloszlása haranggörbéinek paraméterei pedig maradtak a 3.3.4.1 pontban felvett értékek: µf0 = ±0.0008*L, relatív szórása δf0 = 0.15.

0.04 10 0.02 5 0 0 -4 -2 -5

0 2 4 -10

3.18 ábra Az alkalmazott kétváltozós eloszlás sűrűségfüggvénye A (3.50) közelítő függvény négy együtthatójának meghatározásához négy numerikus teherbírási eredményre van szükség, ezek számítási helyének megválasztásakor figyelemmel voltam a két változó alkalmazott eloszlására. Így a számításokat – a többi


92

változó középértéke mellett – a kezdeti görbeség és a gerinc külpontosságának alábbi értékeinél végeztem el: (0 , 0), (0.0008*L , 0), (0.00092*L , 1.5), (0.00068*L , -1.5), ezek elhelyezkedése látható a 3.19 ábrán, ahol a két véletlen változó síkjában a Monte Carlo számítás során generált pontok is láthatók.

e0

(0.00092*L , 1.5) (0 , 0)

(0.0008*L , 0)

f0 (0.00068*L , -1.5)

3.19 ábra A Monte Carlo szimuláció során generált pontok, valamint a közelítő függvény számításához felvett négy pont helyzete a véletlen változók síkjában A számítások eredményeit foglalja össze a 3.11 táblázat. A két szelvény és terhelési eset oszlopai jobbról a következő értékeket jelöli: karcsúság (λz), kezdeti görbeséghez tartozó érzékenységi faktor (Φf0), jelen számításokkal meghatározott kezdeti görbeség és gerinc külpontosság hatását tartalmazó érzékenységi faktor (Φf0+ e0), a teherbírás régi középértéke (µR(f0)), a teherbírás új középértéke (µR(f0+ e0)), a teherbírás régi relatív szórása (δR(f0)), a teherbírás új relatív szórása (δR(f0+ e0)), ferdeség (αR(f0+ e0)). A táblázatból látható, hogy a gerinc külpontosságának figyelembevételéből származó hatások is a közepes karcsúságok esetén jelentősebbek. Míg a teherbírások középértéke csak kis mértékben változott, az érzékenységi faktorok igen jelentős növekedése a relatív szórás számottevő megváltozását okozza. Ez tehát azt jelenti, hogy a gerinc (vagy a teher) külpontosságának számításba vétele a közepes karcsúságú elemek esetén nagy mértékben megnöveli a relatív szórást, ahogy ezt a 3.20 és 3.21 ábra bemutatja. Ez a növekedés természetesen jelentősebb az IPE szelvény esetén, hiszen ennek azonos mértékű gerinckülpontossága a nagyobb szelvénymagasság és keskenyebb övek miatt nagyobb befolyással van a teherbírásra. A gerinckülpontosság hatásának a figyelembe vételére a szabványos teherbírás meghatározásakor még visszatérek a 4. fejezetben, ebben a pontban mindenesetre megmutattam a két hatás együttes modellezésének módját, és az ebből fakadó következményeket.


93

3.11 táblázat A kezdeti görbeség és a gerinc külpontosságának együttes kezelésével végzett számítások eredményei

N – IPE240

λz 0 30 60 90 120 200 300

Φf0

Φf0+ e0

µR(f0)

µR(f0+ e0)

δR(f0)

δR(f0+ e0)

αR(f0+ e0)

0 0.002225 0.013086 0.025106 0.023648 0.01399 0.009333

0 0.004 0.04 0.054 0.032 0.011 0.005

1058.187 1030.4 892.5 656.3 440 176.13 80.78

1058.187 1025.13 892.01 660.75 442.13 177.65 80.79

0.079578 0.077493 0.070491 0.067994 0.064456 0.063511 0.064264

0.079578 0.077565 0.079986 0.083119 0.067966 0.06292 0.063779

0 -0.9 -0.158 0.954 0.284 0.032 0

N – HEA200

λz 0 30 60 90 120 200 300

Φf0

Φf0+ e0

µR(f0)

µR(f0+ e0)

δR(f0)

δR(f0+ e0)

αR(f0+ e0)

0 0.003819 0.012755 0.024925 0.022944 0.01306 0.008054

0 0. 005 0.016 0.028 0.021 0.01 0.006

1447.6 1383.1 1182.8 880.6 593.8 240.5 110.5

1447.6 1390.841 1186.536 881.6683 594.8513 240.9256 110.7388

0.080924 0.079433 0.076138 0.071008 0.065244 0.06359 0.063717

0.080924 0.079498 0.076748 0.072145 0.064586 0.063033 0.06349

0 0.092 0.026 0.23 0.089 0.025 0.034

M – IPE240

λz 0 30 60 90 120 200 300

Φf0

Φf0+ e0

µR(f0)

µR(f0+ e0)

δR(f0)

δR(f0+ e0)

αR(f0+ e0)

0 0.000578 0.008525 0.012555 0.015766 0.006731 0.005212

0 0.05 0.051 0.046 0.059 0.005 0.005212

98.7988 91 89.5 81 69 43.25 28

98.7988 85.31 85.2 80.52 68.57 42.68 28

0.080166 0.076786 0.075534 0.073225 0.07349 0.074564 0.089141

0.080166 0.091628 0.09074 0.085559 0.092915 0.074428 0.089141

0 -0.55 -0.767 0.002 0.387 0.237 0

M – HEA200

λz 0 30 60 90 120 200 300

Φf0

Φf0+ e0

µR(f0)

µR(f0+ e0)

δR(f0)

δR(f0+ e0)

αR(f0+ e0)

0 0.000463 0.001481 0.005165 0.00817 0.003977 0.001973

0 0.027 0.026 0.023 0.029 0.003977 0.001973

115.542 110 105.1 98 89.5 60.3 38.5

115.542 104.9658 102.7819 97.58277 89.31715 60.3 38.5

0.081281 0.077302 0.078199 0.079959 0.081792 0.084804 0.095393

0.081281 0.08188 0.082395 0.083041 0.086396 0.084804 0.095393

0 -1.012 -0.793 -0.143 -0.063 0 0


IPE240

94

HEA200

0.1

0.095

A gerinc külpontosságának figyelembevételével

0.09

0.085

0.08

δg 0.075 0.07

0.065

0.06

A gerinc külpontosságának figyelembevétele nélkül

0.055

0.05 0

50

100

150

200

250

300

λz

3.20 ábra A kihajlási teherbírás relatív szórása a karcsúság függvényében a gerinc külpontosságának figyelembevételével és anélkül IPE240

HEA200

A gerinc külpontosságának figyelembevételével

0.1

0.095

0.09

0.085

0.08

δg 0.075 0.07

0.065

A gerinc külpontosságának figyelembevétele nélkül

0.06

0.055

0.05 0

50

100

150

200

250

300

λz

3.21 ábra A kifordulási teherbírás relatív szórása a karcsúság függvényében a gerinc külpontosságának figyelembevételével és anélkül

3. Acél rúdszerkezetek valószínűségelméleti modellezése 3.6 Az eloszlás ferdesége figyelembevételének hatása

95

3.6 Az eloszlás ferdesége figyelembevételének hatása Az eddigiek során a sztochasztikus teherbírás első két momentumát, a középértéket és a szórást számítottam, ugyanakkor a 3.2 fejezetben utaltam rá, hogy a vizsgálati módszer magasabb rendű momentumok vizsgálatára is alkalmas. A 3.5.3 pontban továbbá látszott, hogy a kezdeti görbeség és a gerinc külpontosságának együttes kezelése jelentős ferdeséget eredményez a teherbírás eloszlásában. Ebben a fejezetben részletesen foglalkozom a teherbírás eloszlásának ferdeségével, annak lehetséges okaival, illetve a teherbírás – szabványos tervezés során leginkább használt – kvantiliseire gyakorolt hatásával. A vizsgálódások legelején már megállapítható, hogy az általánosan felírt R(X) teherbírásfüggvény eloszlásának ferdeségét két elkülöníthető jelenség okozhatja: 1. A teherbírást befolyásoló Xi véletlen változók eloszlásnak ferdesége, 2. A R(X) függvénykapcsolat speciális nemlinearitása, amely az adott szimmetrikus eloszlású Xi véletlen változó esetén is ferdeséget eredményez a teherbírás eloszlásában. Az első jelenség a (3.6) összefüggéssel definiált linearizált teherbírásfüggvény alkalmazása esetén jól modellezhető, a változók szórásának és ferdeségi paraméterének (αi) megállapítása után a teherbírás eloszlásának ferdesége a (3.18) képlet szerint számítható. Itt az egyetlen nehézség a véletlen változók ferdeségi paraméterének kellően pontos meghatározása, amelyhez a 3.2 fejezetben már említett módon legalább 250 darabos mintanagyság szükséges [62]. Ez a mintanagyság csupán a keresztmetszeti méretek (3.3 táblázat) és a folyáshatár (3.6 táblázat) esetén áll rendelkezésre. A (3.18) összefüggésből az is látható, hogy amely változók érzékenységi faktora kicsi, azok hatása a teherbírás ferdeségére elhanyagolható (hiszen az érzékenységi faktor a harmadik hatványon szerepel). Mindezek alapján csupán két változót vizsgáltam: az övvastagság ferdeségét αtf = +0.4, a folyáshatárét pedig αfy = +0.6 értékkel vettem figyelembe a 3.3 és 3.6 táblázatok alapján. Ezeknél a változóknál a pozitív ferdeség mindenképpen indokolt, hiszen a minőségbiztosítás során a kisebb keresztmetszeti mérettel vagy folyáshatárral rendelkező szelvények közül selejteznek, ami a sűrűségfüggvény balra ferdülését, azaz pozitív ferdeséget okoz. A második jelenség tehát szimmetrikus eloszlású változók esetén is ferdeséget okoz, feltétele azonban a nemlineáris összefüggés. Ez, a korábbi vizsgálataim alapján csupán az együttesen kezelt kezdeti görbeség és gerinc-külpontosság esetén áll fenn, ahol a 3.5.3 pontban bemutatott számításnál megfigyelhető, hogy a két változó eloszlásának szimmetriája ellenére jelentős ferdeség adódott a teherbírás eloszlásában. A teherbírás valószínűségi eloszlásának ferdesége ez eddigi eredményeket, vagyis az első két momentumot nem befolyásolja, így az előző fejezetben meghatározott középértéket és relatív szórást fogom számításba venni a továbbiakban is. A 3.12 táblázat tartalmazza az övvastagság és folyáshatár ferde eloszlásából, illetve geometriai


96

tökéletlenségből fakadó ferdeséget, valamint a (3.18) képlet szerint kiszámított teljes ferdeséget az egyes vizsgált esetekben. A táblázatban két összegzett ferdeséget tüntettem fel (a Σ1 és Σ2 sorokban), a másodiknál figyelembe vettem a az előző fejezetben ismertetett gerinc külpontosságából származó változást a relatív szórásban, illetve a ferdeségben, az elsőnél nem. Ennek magyarázatát a 4. fejezetben adom meg. A teherbírás eloszlásának Σ1 szerinti teljes ferdeségét szemléltetik a Függelék F.27 – F.28 ábrái is. 3.12 táblázat A teherbírás eloszlásának ferdeségei (αR) λz tf fy e0 – f0

Σ1 Σ2 λz tf fy e0 – f0



Σ1 Σ2

0 0.4 0.6 0 0.429813 0.429813

30 0.4 0.6 -0.9 0.417841 0.417717

0 0.4 0.6 0 0.429753 0.429753

30 0.4 0.6 0.092 0.416777 0.4168

0 0.4 0.6 0 0.434782 0.434782

30 0.4 0.6 -0.55 0.420695 0.268838

0 0.4 0.6 0 0.43273 0.43273

30 0.4 0.6 -1.012 0.408813 0.365691

N – IPE240 60 90 0.4 0.4 0.6 0.6 -0.158 0.954 0.337194 0.201867 0.308325 0.679748 N – HEA200 60 90 0.4 0.4 0.6 0.6 0.026 0.23 0.325046 0.204248 0.325287 0.21835 M – IPE240 60 90 0.4 0.4 0.6 0.6 -0.767 0.002 0.382361 0.303239 0.146268 0.303735 M – HEA200 60 90 0.4 0.4 0.6 0.6 -0.793 -0.143 0.366192 0.295713 0.337046 0.29231

120 0.4 0.6 0.284 0.174492 0.209244

200 0.4 0.6 0.032 0.184621 0.184787

300 0.4 0.6 0 0.185255 0.185255

120 0.4 0.6 0.089 0.180383 0.183351

200 0.4 0.6 0.025 0.193583 0.19368

300 0.4 0.6 0.034 0.193447 0.193476

120 0.4 0.6 0.387 0.257125 0.457377

200 0.4 0.6 0.237 0.299022 0.299093

300 0.4 0.6 0 0.278058 0.278058

120 0.4 0.6 -0.063 0.255017 0.252209

200 0.4 0.6 0 0.321544 0.321544

300 0.4 0.6 0 0.312682 0.312682

A Függelék ábráiból látható, hogy a teherbírás eloszlásában jelentkező Σ1 szerinti ferdeség minden esetben pozitív, és sehol nem haladja meg a 0.45 értéket, és a keresztmetszeti teherbírás esetén a legjelentősebb (itt csak a folyáshatár ferdesége okozza az aszimmetrikus eloszlást). Fontos megvizsgálni még az eloszlásban jelentkező ferdeség figyelembevételének lehetőségeit a következő fejezetben tárgyalásra kerülő teherbírási kvantilisek számításánál. A szakirodalom több lehetőséget is kínál erre, az Eurocode valószínűségi számításokra vonatkozó fejezete [77] például kétparaméteres lognormális illetve Gumbel eloszlás figyelembevételét javasolja, amennyiben a


97

ferdeséget számításba kívánjuk venni. Ennek hátránya, hogy mindkét ajánlott eloszlás ferdesége fix értékű, így a különböző ferdeségek hatása nem számítható. Számos cikk jelent meg az ún. megbízhatósági index (β, ahol Pf = Φ(−β), Pf – a tönkremenetel valószínűsége, Φ - standard normális eloszlás) számítási módszereiről figyelembe véve az eloszlás első három momentumát [60, 78, 79]. Ezek általában egy háromparaméteres lognormális eloszlást tekintenek, és különböző egyszerűsítések után adnak egy közelítő formulát. A lognormális eloszlás azért is általánosan alkalmazott megbízhatósági indexek meghatározásánál, mert pozitív ferdesége mellett alsó határértéke van, így logikusnak tűnik a tönkremeneteli függvény (amelynél szintén mindig megállapítható egy fizikailag még lehetséges alsó határ) eloszlását ezzel modellezni. Fontos még megemlíteni, hogy a teherbírásra kapott 3.12 táblázat szerinti ferdeségi értékek viszonylag alacsonyak, valamint általánosan elfogadott közelítés a teherbírás eloszlására valamely normálishoz hasonló eloszlás feltételezése [72, 77]. Mindezek alapján én még megvizsgáltam az egyszerűen alkalmazható háromparaméteres Gamma eloszlást is [80, 81]. Az alábbiakban a három megvizsgált számítási módszert ismertetem.

3. momentum módszer

Az adott kvantilis számítása az alábbi módon történik [78]:

Q p = Φ −1 (Φ(− β 3M ), µ , σ )

β 3M = −

α

−

6

 1  ln 1 − αβ 2 M  α  3  3

(3.51-3.52)

ahol Qp a kívánt p valószínűséghez tartozó kvantilis értéke, µ és σ az eloszlás középértéke és szórása, α a ferdeség, és β2M pedig az első két momentumból számított megfelelő valószínűséghez tartozó megbízhatósági index, azaz p = Φ(−β2Μ).

háromparaméteres lognormális eloszlás

Az eloszlás sűrűségfüggvénye, középértéke, szórása és ferdesége a három paraméter (λ, ξ, ε) függvényében [81]:

1 e ( x − ε )ξ 2π

f Lognormal ( x) =

µ =ε +e σ =e

λ+

λ+

ξ2

(3.53-3.56)

2

ξ2

α = eξ

eξ

2 2

−1

 1  ln( x −ε ) − λ  2  −     2  ξ   

2

−1

(2 + e ) ξ2


98

Az első három momentum megfeleltetésével a paraméterek számíthatók, ezután a megfelelő kvantilis a meghatározott eloszlás inverzéből számítható.

háromparaméteres Gamma eloszlás

Az eloszlás sűrűségfüggvénye, középértéke, szórása és ferdesége a három paraméter (λ, ξ, ε) függvényében [81]: f Gamma ( x) =

µ = ξλ + ε σ =ξ λ α=

1 e −( x −ε ) / ξ ( x − ε ) λ −1 ξ Γ(λ ) λ

(3.57-3.60)

2

λ

∞

ahol Γ(λ ) = ∫ e −u u λ −1du az ún. Gamma függvény. Itt is az első három momentum 0

megfeleltetésével számíthatók a paraméterek, ezután a megfelelő kvantilis a meghatározott eloszlás inverzéből számítható. A vizsgált három módszer esetén megállapítottam, hogy az alsó kvantilisek pozitív ferdeség esetén mindig emelkednek a szimmetrikus normál eloszlásból számított kvantilisekhez képest. Ennek a növekedésnek a mértéke függ a kvantilishez tartozó valószínűségtől, a ferdeségtől és az eloszlás relatív szórásától, valamint eltérő az egyes módszerek esetén is. A következőkben két ábrán szemléltetem a relatív növekményt: a Függelék F.29 ábra δ = 0.07 relatív szórás esetén ábrázolja a p = 0.001 valószínűséghez tartozó kvantilisek megváltozását a három módszer esetén a ferdeségi paraméter függvényében, a F.30 ábrán pedig ugyanezt ábrázolom a relatív szórás függvényében α = 0.4 rögzített ferdeség esetén. Látható, hogy mindig a Gamma eloszlás szerinti számítás adja a legnagyobb növekedést, a 3. momentum módszer pedig a legkisebbet. A 3. momentum módszer nagyobb ferdeség esetén jelentősen elhajlik a lognormális eloszlásból kapott eredménytől is, ami a közelítés hibájára utal. Megállapítható továbbá, hogy az általam vizsgált esetekben Gamma eloszlás feltételezésénél 6% körüli a maximális növekedés (α ≈ 0.45, δ ≈ 0.08), valamint hogy a három módszer között nincsen lényegi eltérés. Mivel a Gamma eloszlás közelíti legjobban a normál eloszlást (zérus ferdeséghez közelítve), így a továbbiakban ezzel az eloszlással jellemzem a teherbírást.

3. Acél rúdszerkezetek valószínűségelméleti modellezése 3.7 Összefoglalás

99

3.7 Összefoglalás A 3. részben az acél rúdszerkezetek stabilitási teherbírásának magas szintű valószínűségelméleti alapokon történő vizsgálatát mutattam be. Egy részletes irodalmi áttekintés után rögzítettem a vizsgálandó kérdések körét, és kijelöltem a kutatás fő célját: egy jelenleg elérhető statisztikai adathalmazra épülő, mély fizikai tartalmat képviselő determinisztikus eljárást alkalmazó kutatás végrehajtása, melynek eredménye egyrészt korszerű és részletes képet ad az acél rúdszerkezetek sztochasztikus viselkedéséről, másrészt alkalmas a szabványos teherbírási formulák megbízhatósági ellentmondásainak feltárására. A kitűzött cél figyelembevételével kiválasztottam az alkalmas valószínűségelméleti módszert, amely a teherbírási felületet a véletlen változók terében a determinisztikus számítással kapott eredménypontokra illeszkedve közelíti, majd a momentumok módszerével határozza meg a teherbírás valószínűségi paramétereit. Kijelöltem az eredmények pontosságához elengedhetetlenül szükséges véletlen változók halmazát, és részletes irodalomkutatás valamint saját mérések alapján meghatároztam ezek minden értékelhető valószínűségi paraméterét. Bemutattam az elvégzett számítások alaperedményeit: a teherbírások egyes véletlen változókra való érzékenységét, ez alapján az egyes változók jelentőségét és a teherbírások relatív szórásának változását a rúdkarcsúság függvényében. Ezután az alaperedmények felhasználásával magasabbrendű valószínűségi számításokat végeztem. Kimutattam, hogy a rendelkezésre álló, véletlen változók közötti statisztikai korreláció figyelembevétele jelentős mértékben csökkenti a teherbírás szórását. Bemutattam, hogy az egyes változók együttes hatásának figyelembevétele elhanyagolható mértékben van hatással a teherbírásra, így a valószínűségelméleti számításokból kihagyható. Egy új, az eddigieknél reálisabb módszert dolgoztam ki a rúd kezdeti görbeségének és a keresztmetszet gerince külpontosságának együttes figyelembevételére. Bemutattam a szabványos megbízhatósági analízisekben jelentős kvantilisek harmadik valószínűségi momentumot (az eloszlás ferdeségét) is számításba vevő meghatározását.

4. A szabványos stabilitási görbék vizsgálata 4.1 A stabilitásvesztés elleni méretezés elméleti háttere

4

100

A SZABVÁNYOS STABILITÁSI GÖRBÉK VIZSGÁLATA

Az előző fejezetekben ismertetett módon tehát rendelkezésre áll a vizsgált feladatok esetében a szerkezeti ellenállás valószínűségi leírása. Az eredmények az általam ismert kutatásoknál jóval részletesebb módon mutatják be a kihajlási és kifordulási tönkremenetelt befolyásoló véletlenszerű paramétereket, azok hatását a teherbírásra, illetve a teherbírás valószínűségi eloszlásának paramétereit. Mindezek alapján számos megfigyelést rögzítettem a figyelembe vett véletlen változók, illetve valószínűségi paramétereik jelentőségére vonatkozólag, ami az egyszerűbb és gyorsabb módszerek használatában, eredményeik értékelésében nyújthat segítséget. Az egyes elkülöníthető esetek (terhelés vagy karcsúság alapján) várható viselkedésében jelentkező különbségek alapján pedig fontos megfigyeléseket tettem a teherbírás megbízhatóságának változása tekintetében. Az eredmények legfontosabb alkalmazása – ami egyben a kutatás fő célja is – azonban a szabványos tervezési módszerek mély alapokon nyugvó felülvizsgálata, a tapasztalt ellentmondások feltárása, amely lehetőséget ad a tervezés megbízhatóságának javítására, egységesítésére. Ebben a fejezetben tehát az egységes európai szabványrendszer, az Eurocode, ide vonatkozó méretezési előírásait – vagyis a kihajlási és kifordulási tervezési ellenállás meghatározását (EC3 1.1 [77]) – vizsgálom meg megbízhatósági szempontból. Először ismertetem a szabványos méretezés módszerét és elméleti hátterét, majd összevetem a valószínűségelméleti vizsgálatok eredményeinek felhasználásával számított tervezési értékekkel.

4.1 A stabilitásvesztés elleni méretezés elméleti háttere A korszerű acélszerkezeti szabványok rúdszerkezetek stabilitásvesztési ellenállásának számítására egy egyszerű, nem csupán tapasztalati, hanem fizikai alapokon nyugvó, gyakorlatban könnyen kezelhető modellt alkalmaznak. Ennek alapján a szerkezeti elemek ellenállása abból a teherszintből számítható, amelynél egy megfelelő kezdeti görbeséggel rendelkező rúdelem bármely pontjában a feszültség először eléri a folyáshatárt. Ez a feladat egyszerű alapmodellek esetében (mint amilyen modellt én is alkalmaztam a vizsgálatok során) általában analitikusan jól leírható, és a két paraméterének (a kezdeti görbeség nagysága és a folyáshatár) segítségével megbízhatósági szempontok alapján kalibrálható. A könnyű alkalmazhatóság természetesen megköveteli az alapmodell egyszerűségét, így bonyolultabb tervezési esetekben egyéb eljárások és tényezők is szükségesek a szerkezeti elemek méretezéséhez, ám a tervezés alapja stabilitásvizsgálat esetében mindig a leírt alapmodell, melynek megfelelő megbízhatósági kalibrációja ezért alapvető követelmény. A továbbiakban részletesebben ismertetem a stabilitási kérdések alapmegoldását szolgáltató kihajlást, és az ebből származtatható kifordulási problémát.


101

4.1.1 Kihajlás Nyomott rúdelemek méretezése a kihajlási csökkentő tényezők segítségével történik, melyek analitikus alakja az ún. Ayrton-Perry formulából származik [83], amely egy kétcsuklós, kezdeti görbeséggel terhelt nyomott rúd első folyásához tartozó terhet adja meg. Az első sajátalaknak megfelelő félszínusz-hullám alakú görbeség esetén az L hosszúságú rugalmas anyagú rúd középső keresztmetszetének oldalirányú eltolódása az alábbi alakban írható le (4.1 ábra):

v=

v0 1 − N N cr

(4.1)

N

L

v

v0

4.1 ábra A kezdeti tökéletlenséggel terhelt rúd alapmodellje ahol v0 a kezdeti görbeség amplitúdója a rúd közepén, Ncr a nyomott rúd rugalmas kritikus tönkremeneteléhez tartozó nyomóerő, N pedig az aktuális nyomóerő. A középső keresztmetszet szélső szálában a feszültség akkor éri el a folyáshatárt, amikor a következő egyenlet teljesül: N N ⋅v + = fy A W

(4.2)

ahol A a keresztmetszeti terület, W a rugalmas keresztmetszeti modulus, fy pedig a folyáshatár. Behelyettesítve (4.2)-be (4.1)-t, majd végrehajtva néhány átrendezést jutunk el az Ayrton-Perry formula eredeti alakjához:

(σ cr − σ b )( f y − σ b ) = σ bσ crη

(4.3)


102

ahol σcr a rugalmas kritikus nyomóerőhöz tartozó feszültség, σb az aktuális A nyomóerőhöz tartozó feszültség (σb = N / A). A képletben az η = v0 általánosított W imperfekciós tényező veszi figyelembe a rúd kezdeti (anyagi és geometriai) tökéletlenségeit. Bevezetve az általánosított karcsúság fogalmát λ = f y σ cr , a (4.3) egyenlet fizikai tartalmat leíró megoldása adja az ismert kihajlási csökkentő tényező alakját:

χ=

1

φ + φ2 −λ

[

φ = 0 .5 1 + η + λ

2

2

(4.4-4.5)

]

mely segítségével a nyomott rúd NRk karakterisztikus ellenállása (vagyis az 5%-os alulmaradási kvantilishez tartozó ellenállás) az alábbiak szerint számítható: (4.6)

N Rk = χN Pl

Az analitikus formát az 1960-as évektől kezdve elvégzett nagyszámú kihajlási kísérlet eredményének valószínűségelméleti kiértékelésével igyekeztek igazolni [55]. A kísérleteket többfajta szelvényen, változó karcsúság mellett végezték, az esetek többségében rögzítve a vizsgált elem lényeges tulajdonságait [68] (geometriai, anyagi paramétereit, tökéletlenségeit). Az eredmények tulajdonképpen a (4.4-4.5) formula által az általánosított karcsúság függvényében felírt kihajlási görbe két paraméterének kalibrálására szolgáltak, ezek pedig a folyáshatár (fy) és az általánosított imperfekciós tényező (η). A folyáshatár kalibrációja történhet egyenesen a szabványos szakítóvizsgálatok kiértékeléséből, az imperfekciós tényező meghatározása mindazonáltal bonyolultabb, hiszen ez a tényező képviseli az elem geometriai (kezdeti görbeség, torzult profil stb.) és anyagi (anyagminőség nem egyenletes eloszlása, maradó feszültségek) tökéletlenségeit is. Utóbbi tényező éppen ezért nem a tökéletlenségek méréseiből lett meghatározva, hanem abból a feltételből, hogy a kihajlási görbe tartalmazza a megkívánt karakterisztikus biztonságot a kísérleti eredmények alapján. Ez egy hibaminimalizálási feladatra vezetett [84], ahol a kísérleti eredményekből számított megfelelő kvantilis és a kihajlási görbéből meghatározott teherbírási érték közötti különbség minimalizálása a cél az imperfekciós tényező függvényében. Így alakult ki a jelenlegi, a rúdkarcsúságtól lineárisan függő forma:

(

η = α λ − 0 .2

)

(4.7)

ahol az α tényező tartalmazza az adott szelvényre jellemző, kísérleti eredményekből kiolvasott tökéletlenség mértékét, ez jórészt a keresztmetszet típus feltételezett sajátfeszültségének nagyságától függ. A teherbírás tervezéshez ténylegesen használt tervezési értékét ezek után a karakterisztikus ellenállás egy megfelelő γM1 biztonsági tényezővel osztott értéke adja, amely esetén a tönkremenetel legnagyobb valószínűsége 0.1% lehet, ezt az értéket egy meghatározott módszer szerint állították be a szabványalkotók [55]. Ez adja tehát a tervezés során az ellenállás oldal megkívánt szabványos biztonságát. Ez a kvantilis természetesen meghatározható az előző


103

fejezetekben kiszámított valószínűségi jellemzők segítségével, és így összevethető a szabványos formulával kapott teherbírással, amelyből a szabványos módszer biztonságára vonatkozó következtetéseket vonhatunk le. Mindenek előtt azonban érdemes megvizsgálni az előzőekben bemutatott kihajlási formulában, illetve kalibrálási eljárásban rejlő – jórészt egyszerűsítésekből, általánosításokból, az akkori kutatások során tett elhanyagolásokból fakadó – pontatlanságokat, amelyek okai a későbbiekben bemutatásra kerülő megbízhatósági rendellenességeknek. 1. A görbék alapképlete, az Ayrton-Perry formula, a legjobban kihasznált keresztmetszet első folyását adja meg, mint a teherbírás kimerülését. A kísérleteknél – melyek alapján a formula paramétereit kalibrálták – ugyanakkor természetesen a vizsgált elem végső tönkremenetelét tekintették a teherbírás kimerülésének. A két megközelítésből adódó különbség a közepes karcsúságú elemeknél a legnagyobb, amelyek a legnagyobb képlékeny tartalékkal bírnak, így ezeknél nagyobb a biztonság is. 2. A formula megbízhatósági kalibrációjához tulajdonképpen csak a folyáshatár és a kezdeti görbeség – mint általánosított tökéletlenség – hatását vették figyelembe. A kísérleti eredmények természetesen minden más, lényeges paramétert is (keresztmetszeti geometria eltérései, rugalmassági modulus, egyéb tökéletlenségek: pl. sajátfeszültség) tartalmaznak, amelyek változásának hatása a teherbírásra különböző karcsúságok esetén eltérő lehet, így nem lehet csupán a folyáshatár és kezdeti görbeség hatásába általánosan besűríteni. 3. A statisztikai kalibráció folyamata során az összes vizsgált valószínűségi változót függetlennek tekintették, ugyanakkor, mint láttuk bizonyos változók között egyértelműen kimutatható korreláció, ami jelentős befolyással lehet a teherbírás valószínűségi paramétereire. 4. Az eloszlás pozitív ferdeségét úgy vitték be a kalibrációs számításokba, hogy minden véletlen változónál – még ott is, ahol ez nem lenne indokolt – kétparaméteres lognormális eloszlást feltételeztek, ahol a ferdeség értéke nem szabályozható. 5. Minden paraméter kalibrálásánál feltételezték, hogy elegendő számú kísérlet áll rendelkezésre a statisztikai kiértékeléshez, ez messze nem mindig teljesült. Ezen felül az azonos kategóriába sorolt kísérletek nem mindig elégítették ki a homogenitás és teljesség feltételeit, hiszen általában különböző helyeken, különböző kísérleti elrendezés mellett, más és más módon mért paraméterekkel, valamint csak bizonyos gyártók bizonyos szelvényeit tartalmazó kísérletek folytak. Mindezt átgondolva, bár valóban nem kevés az a több mint ezer kísérlet, amelynek eredményeire épülnek az európai kihajlási görbék, a kitűzött célt a teljesség igényével nem érhették el. 6. Számos elméleti kutatás is folyt a kísérleti eredmények megerősítésére [13, 72], ezek azonban a korlátozott számítási kapacitás miatt, még a kísérleti kutatásoknál is több egyszerűsítéssel éltek, így nem szolgáltathatták az eredmények megfelelő kritikáját. Ezt a hiányt is próbálja pótolni disszertációm.


104

Az 5. ponthoz tartozóan kell megemlíteni az előző fejezetekben már bemutatott gerinckülpontosság kérdését. A kísérletek abban az esetben tartalmazták a gerinc külpontosságából fakadó hatást, – amit legtöbbször a teher külpontosságával modelleztek – ha a terhelést a gerincen adták az elemre. Erre legjobb példa az IPE 160 szelvényű elemeken végzett kihajlási kísérletek, amelyek eredményei a kihajlási ”b” görbe alapját szolgáltatták [55]. A kísérletek során a kétcsuklós rúd helyes modellezése miatt a nyomóerőt a két végkeresztmetszet gerincének középpontjában adták át, így az eredmények – és így a ”b” jelű kihajlási görbe is – természetesen terheltek lettek a gerinc külpontosságának hatásával. Valóságos mérnöki szerkezetekben azonban a nyomóerőt tanácsosabb inkább az öveken átadni, hiszen melegen hengerelt I szelvények esetén azok adják a keresztmetszet 60-90%-át, valamint jóval zömökebbek, mint a gerinc, így kevésbé érzékenyek a horpadásra. Nyomatéki terhelésnél ez méginkább igaz, ezért döntöttem úgy, hogy a szabványos görbék vizsgálatánál a gerinc külpontosságának hatását – mind a szórásra, mind a ferdeségre – nem veszem figyelembe.

4.1.2 Kifordulás Az érvényben lévő Eurocode 3 [41] kifordulás esetén is ugyanazt a formát alkalmazza, mint amit a kihajlás esetére bemutattam, egyedül a (4.7) szerinti α imperfekciós tényező értelmezése új, de itt is a már kihajlási esetekben beállított értékeket használja. A formula levezetését a kezdeti tökéletlenségek konzekvens értelmezésével sehol nem találtam meg a szakirodalomban, csupán különböző egyszerűsítések árán kapott közelítő megoldások születtek [85, 86], ezért megadom a teljes levezetést. Kétcsuklós-villás, kezdeti tökéletlenséggel terhelt rúd egyenletes nagytengely körüli hajlítása (M) esetén a három tengelyre felírt külső és belső nyomatékok egyensúlya az 2.2 fejezet jelölésrendszerét alkalmazva az alábbi egyenletrendszerrel írható le:

∂2w = −M ∂x 2 ∂ 2v EI z 2 + M (θ x + θ x 0 ) = 0 ∂x ∂ 3θ x ∂θ x  ∂v ∂v  − EI ω + GI SV + M + 0  = 0 2 ∂x ∂x  ∂x ∂x  EI y

(4.8-4.10)

ahol v0 és θx0 a rúd kistengely irányú és hossztengely körüli elfordulási kezdeti görbesége, amit az alábbi szokásos módon modellezünk:

v0 ( x) = v0 sin

πx L

θ x 0 ( x) = θ x 0 sin

πx L

(4.11-4.12)


105

Itt a v0 és θx0 értékek az L hosszúságú rúd középső keresztmetszetében lévő elmozdulásértékek. A (4.8) egyenlet szolgáltatja a rúd lehajlását, ez függetleníthető a (4.9-4.10) egyenletektől. A stabilitási kérdések szempontjából csak a (4.9-4.10) egyenletek megoldása lényeges, ami az alábbi formában írható fel:

 1 v( x ) =  2 1 − (M / M cr )

  πx M  v 0 + θ x 0  sin N cr L  

 1 θ x ( x) =  2 1 − (M / M cr )

 N M  πx θ x 0 + cr 2 v0  sin   L M cr  

(4.13-4.14)

ahol Ncr és Mcr a tökéletes rúd (3.21-3.22) szerinti rugalmas kritikus nyomóereje és nyomatéka. A nyomott rúdhoz hasonlóan a kifordulási görbe levezetéséhez most is azt az állapotot tekintjük tönkremenetelnek, amikor a fent leírt tökéletlenségekkel terhelt rúd legkihasználtabb keresztmetszetének szélső szálában a feszültség először éri el a folyáshatárt. Ezt a feltételt az alábbi, (4. 2)-höz hasonló egyenlet írja le: M M ⋅ v M ⋅θ x + + = fy Wy Wω Wz

(4.15)

Az egyenletben Wy, Wz, és Wω a nagytengely körüli, kistengely körüli és az öblösödési rugalmas keresztmetszeti modulus. A legkihasználtabb keresztmetszet jelen esetben a rúd középső szelvénye, ahol az elmozdulásértékek a (4.13-4.14) egyenletek szerintiek a Lπ szinuszos tag nélkül ( sin = 1 ). Ezeket az elmozdulásokat (4.15)-be behelyettesítve 2L nem kapjuk meg a (4.3) alatti Ayrton-Perry formulát – ami pedig a szabványos kifordulási görbének is alapját képezi –, ezért általában vagy az egyik (4.11), vagy a másik (4.12) kezdeti tökéletlenséget elhanyagolták, és néhány kisebb egyszerűsítés útján jutottak el ehhez az alapformához. Valójában ezek az egyszerűsítések nem szükségesek, ha követjük azt az elvet, hogy az analitikus modellben mindig az első sajátalak határozza meg a kezdeti tökéletlenségek alakját. A hajlított rúd első sajátalakját megkaphatjuk, ha megoldjuk a kezdeti tökéletlenségek (v0 és θx0) nélkül felírt (4.8-4.10) egyenleteket. Kimutatható [1], hogy az így kapott első sajátalak elmozduláskomponensei között mindig fennáll a következő egyszerű összefüggés:

v0 ( x) =

M cr θ x 0 ( x) N cr

(4.16)

Amennyiben ezt az összefüggést alkalmazzuk a kezdeti tökéletlenségekre, a középső keresztmetszetre felírt (4.13-4.14) megoldások az alábbi alakra egyszerűsödnek:


v=

1 1 − (M / M cr )

θx =

2

 v0 M N cr   v 0 + v0  = N cr M cr  1 − M / M cr 

1 1 − (M / M cr )

2

  N M M cr θ x0 θ x 0 + cr 2 θ x 0  =  M cr N cr   1 − M / M cr

106

(4.17-4.18)

A kapott összefüggések nagyon hasonlók a nyomott rúd esetén felírt (4.11) egyenlethez, ezeket behelyettesítve a (4.15) egyenletbe az Ayrton-Perry formula általános alakja már levezethető:

v0 θ x0 M M M + + = fy ⇒ W y Wω 1 − M / M cr W z 1 − M / M cr

σ bM +

σ bM 1 − σ bM / σ crM

Wy  Wy  v0 + θ x0 Wz  Wω

  = f y ⇒ 

(4.19-4.21)

(σ crM − σ bM )( f y − σ bM ) = σ bM σ crM η LT ahol tehát σcrM a rugalmas kritikus nyomatékhoz tartozó feszültség, σbM az aktuális nyomatékhoz tartozó feszültség (σbM = M / Wy), az általánosított imperfekciós tényező pedig a következő összefüggés szerinti:

η LT = v0

Wy Wω

+ θ x0

Wy Wz

Itt is bevezetve az általánosított karcsúság fogalmát λ LT =

(4.22) f y σ crM , a (4.21) egyenlet

(4.14-4.15) alakú megoldása lesz a kifordulási probléma csökkentő tényezője. A kifordulás karakterisztikus és tervezési ellenállásának meghatározása is a kihajlásnál ismertetett módon történik, az általánosított imperfekciós tényezőt is a (4.17) képlet szerint adja meg a szabvány, az αLT kiforduláshoz tartozó imperfekciós tényező meghatározása természetesen különbözik a kihajlásnál alkalmazottól. Fontos azonban hangsúlyozni, hogy mivel az Ayrton-Perry formulát csak közelítő általános alakként alkalmazták a kifordulásra, így az általánosított imperfekciós tényező (4.22) szerinti alakja sem volt ismert, a tényezőt a kihajlással azonos alakúnak feltételezve, kísérleti eredményekhez kalibrálták értékét. Azonban kifordulásra még hangsúlyosabban igazak az előző pontban bemutatott pontatlanságok a statisztikai kalibrálásban, hozzátéve, hogy közel nem állt annyi megbízható kísérleti eredmény rendelkezésre, mint a kihajlásnál. A kifordulás analitikus megközelítésének bonyolultsága pedig az elméleti kutatásokat limitálta erőteljesen.

4. A szabványos stabilitási görbék vizsgálata 4.2 Módosító javaslatok a stabilitásvesztés elleni méretezésben

107

4.2 Módosító javaslatok a stabilitásvesztés elleni méretezésben 4.2.1

A stabilitási görbék összehasonlítása a valószínűségelméleti modell eredményeivel

Az összehasonlítás alapjául a jelenleg érvényben lévő MSZ EN szabvány [41] több helyen is megváltozott formuláit tekintettem. A 3.3-3.6 fejezetek valószínűségi eredményeit felhasználva számítottam a tervezés végértékének tekinthető 0.1%-os alsó kvantilishez tartozó teherbírásértékeket, és ezeket vetettem össze a szabványos tervezési ellenállás értékeivel. A véletlen változók középértékeit felhasználva számítottam a teherbírások középértékét, az ismertetett módon meghatároztam a teherbírás relatív szórását, valamint még figyelembe vettem a korreláció, és a ferdeség hatását is a kvantilisek számításakor. Mivel azonban a ferdeséget a megszokottól eltérő módon vettem számításba, a kvantiliseket a ferdeség figyelembevétele nélkül is meghatároztam [87]. Az előbbi esetben háromparaméteres (ferde) Gamma eloszlást használtam, míg az utóbbiban kétparaméteres (szimmetrikus) Gauss eloszlást. A Függelék F.31 ábrája tartalmazza a kihajlás Gamma eloszlás szerinti eredményeit, valamint a szabványos kihajlási görbéket (IPE240 szelvény esetén ”b” jelű, HEA200 szelvénynél ”c” jelű görbe), az F.32 ugyanezt Gauss eloszlás esetén. Az F.33-F.34 ábrák a kifordulási eredményeket mutatják a két eloszlás alkalmazásával, a szabvány speciálisan melegen hengerelt I szelvényekre alkalmazott 6.3.2.3 pontja szerint itt mindkét szelvény szabványos kifordulási görbéje ”b” jelű. Az eredmények szemléletesebb ismertetéséhez kiszámítottam az EC 3 szabványos görbéivel való tervezéssel járó kockázatot, vagyis a tönkremenetel valószínűségét, ami ideális esetben 0.001. Ezt a kockázatot szabványos eredmények numerikus számításokból kapott kvantilisekhez viszonyított különbségéből határoztam meg, szintén Gamma és Gauss eloszlás feltételezésével is. A kockázati értékeket mutatják be a két keresztmetszet és két tönkremeneteli mód esetén a Függelék F.35-F.38 ábrái. Az ábrákon logaritmikus skála szerint ábrázoltam a kockázatot, vastag vízszintes vonallal feltüntettem a szabványosan előirányzott 0.001 értéket. Itt szükséges megjegyezni, hogy a legújabb – jelenleg Magyar Szabványként is érvényben levő – EC 3 az eddigi stabilitási vizsgálatokhoz elfogadott biztonsági tényező (γM1) értékét 1.1-ről 1.0-ra csökkentette. A korábbi érték alapos valószínűségelméleti vizsgálatokon alapult [55], így egy ilyen mértékű változtatáshoz nyomós indok, és valószínűségelméleti alátámasztás szükséges. Mivel az elmúlt évek vonatkozó szakirodalmában semmiféle nyomát nem találtam egy ilyen kutatásnak, nem tudtam kideríteni a változás elméleti hátterét, ezért az összehasonlítást mindkét biztonsági tényező használatával elvégeztem. Így a függelék már leírt tönkremeneteli kockázatot bemutató F.35-F.38 ábrái négy görbét ábrázolnak minden esetnél: a folytatólagos vonalak a Gamma eloszlás szerinti, a szaggatottak a Gauss eloszlás szerinti kockázatot ábrázolják, a biztonsági tényező a négyzettel jelölt vonalak esetén 1.1 míg a háromszöggel jelölteknél 1.0. Elöljáróban fontos azt is megjegyezni, hogy a következőkben leírt elemzések, javaslatok természetesen nem tekinthetők általános érvényűnek a csekély számú vizsgált szelvény


108

miatt, mindazonáltal melegen hengerelt 1. és 2. osztályú I szelvényekre mindenképpen irányadóak. A kockázati grafikonokat két szempontból érdemes elemezni: a görbék alakját (mennyire közelít az egyeneshez), ami a megbízhatósági szint egységességét vagy ingadozását mutatja; illetve a görbék felvett értékét, ami az előírt biztonsági szinttel való összevetésre ad lehetőséget. Az utóbbi vizsgálattal kezdve rögtön látható, hogy az 1.0 biztonsági tényezőhöz tartozó kockázatok gyakorlatilag minden esetben – néhány helyen jelentős mértékben – meghaladják az előírt szintet. Ez mindenképpen megkérdőjelezi a biztonsági tényező csökkentésének valószínűségelméleti megalapozottságát, hiszen látható, hogy az 1.1 értékkel számított kockázat közelebb áll az előírt szinthez. Az eloszlásbeli ferdeségről általánosságban elmondható, hogy elhanyagolása minden esetben a biztonság javára szolgál, hiszen megemeli az alsó kvantiliseket, ezért vannak a ferdeséget nem tartalmazó Gauss eloszlás szerint számított kockázati görbék mélyebben, mint a Gamma eloszláshoz tartozók. Az is látható, hogy ez a különbség főleg kis karcsúságnál mutatkozik, nagy karcsúság esetén nincsen lényeges különbség, ami annak is köszönhető, hogy ebben a tartományban kisebb a ferdeség, valamint a kvantilisek egyre közelebb vannak a középértékhez (~50%-hoz tartozó kvantilis). A szelvények közötti különbség nem jelentős (kihajlásnél az IPE240 szelvényhez enyhén nagyobb kockázati értékek tartoznak), kifordulás esetén azonban lényegesen nagyobb kockázati értékek adódnak, mint kihajlásnál. A kockázati görbék alakját tekintve az ábrák igen szemléletes módon bemutatják a szabványos vizsgálatokban rejlő inkonzisztenciákat, azaz a különböző karcsúságoknál változó kockázatot. A görbék alakja mind a négy esetben igen hasonló, a kis karcsúság esetén felvett közepes érték után közepes karcsúságnál csökken, majd a nagy karcsúság felé meredeken növekszik. A leírt jellegzetes alak okaként könnyen felismerhető a szabványos görbék előző fejezetben hat pontba szedett pontatlansága, hiszen közepes karcsúság esetén – relatíve – jelentős többletbiztonságot tartalmaznak, ami a képlékeny teherbírási többlet elhanyagolásának, és a tökéletlenségek felnagyított értékének köszönhető (1., 2. és 5. pont). Ugyanakkor a nagyobb karcsúságok felé a kockázati szint lényegesen az előírt fölé emelkedik. Ennek oka szintén a 2. pont, hiszen nagy karcsúságnál – amint ezt bemutattam a 3.3 fejezetben – sem a folyáshatár, sem a tökéletlenségek nincsenek lényeges befolyással a teherbírásra, azonban a keresztmetszeti méretekben és a rugalmassági modulusban mutatkozó eltérések igen. Mivel ezeket nem vették figyelembe a kalibráció során, nagy karcsúság esetén a szabványos görbe pontosan a nominális (középérték körüli) méretekkel és rugalmassági modulussal meghatározott rugalmas kihajlási (Euler) görbéhez tart, amely természetesen nem tartalmazhatja az előírt biztonságot. Mivel a stabilitási görbék alapjai bármily hengerelt 1. és 2. osztályba tartozó keresztmetszetű rúdszerkezet stabilitásvesztéssel kapcsolatos méretezésnek, ezekre megállapítható, hogy a karcsú szerkezetek tervezése nem tartalmazza a szabványosan előírt biztonságot. Összefoglalva a vizsgált esetekben a szabványos stabilitási tervezés egyrészt mindig nagyobb kockázatot tartalmaz, mint az előírt, ezenkívül a karcsúság függvényében jelentős ingadozás mutatkozik a megbízhatósági szintben.


109

4.2.2 Javaslat a stabilitási görbék egységes megbízhatósági szintre hozásához Huzamosabb ideje érvényben lévő szabványos alapformula megváltoztatása hosszú és széleskörű kísérleti és elméleti kutatást igényelne. (Ennek némileg ellentmond az előző pontban taglalt legújabb szabványban [41] bevezetett γM1 =1.0 biztonsági tényező, ami 10%-kal megemeli az elvileg részletes kutatásokkal igazolt eredeti tervezési értéket, valamint a kifordulási görbének determinisztikus számításokon alapuló jelentős megváltoztatása). Mivel a magam eredményeit kísérleti vizsgálatokkal nem volt módom igazolni, valamint a számításokat is csak két szelvényre alkalmazhattam, ezért a szabványos görbék változására megfogalmazott javaslataim sem tekinthetők teljesen igazoltnak. Ennek ellenére a szabványos görbékben feltárt pontatlanságokat a limitált számú számítási példáim igen jól igazolták, így helytállónak tartom néhány általánosságban is kimondható változtatásról szóló javaslatomat. Ezeknek főleg egy – a szabványos tervezésnél még mindig érvényben levő – irányelv szabhat határt: a szabványos formulák egyszerűségének és jelenleg elfogadott metódusának megtartása. Mindezt figyelembe véve az alábbi öt lényeges kérdésben látom a szabványos stabilitási görbék legfőbb hátrányát: 1. A véletlen változók közötti korreláció elhanyagolása, valamint az eloszlások ferdeségének nem megfelelő számításba vétele alacsonyabb teherbírási értéket eredményez; 2. A közepes karcsúságú elemeknél a felnagyított tökéletlenségek és a képlékeny többletteherbírás elhanyagolása okoz hibát; 3. Nagy karcsúság esetén a karakterisztikus teherbírási érték tulajdonképpen az 5%-os küszöbérték helyett az 50%-os küszöbhöz (középértékhez) tart, ami lényeges kockázatnövekedést eredményez; 4. A kifordulási görbék nem konzekvens módon modellezik a (4.22) szerinti általánosított imperfekciós tényezőt; 5. Nem megalapozott az 1.0 biztonsági tényező alkalmazása. Az 1. kérdéshez – a statisztikai adatsorok elégtelensége és bizonytalansága miatt – nem érzem kellően széleskörűnek a kutatásaimat, eredményeim a vizsgált két szelvény esetében helytállóak, de nem tekinthetők általános érvényűnek, ezért – hangsúlyozva, hogy a probléma létezik, kimutatható, és megoldása további kutatásokat igényel – ezen a területen nem fogalmazok meg javaslatot. A maradék négy kérdés azonban általánosabb érvényű, és bizonyos esetekben súlyosabb hibát is okozhat, ezért erre a négy problémára megoldási javaslatot adok a következőkben. A 2. kérdésben a tökéletlenségek kezelésének és a képlékeny többletteherbírás problémáját azért fogalmaztam meg együtt, mert a karcsúság függvényében hasonló a hatásuk jellege, azaz a tökéletlenségek csökkenése és a képlékeny többletteherbírás is a közepes karcsúságok esetén okozza a legnagyobb emelkedést a tervezési értékben, kicsi és nagy karcsúságok esetén mindkét hatás jelentéktelen. Ez azt jelenti, hogy mindkét


110

hatás jól kezelhető az imperfekciós tényező segítségével, hiszen ennek is éppen a közepes karcsúságok esetén van a legnagyobb hatása a stabilitási görbére. A 3. kérdésben, a nagy karcsúságú elemek esetén arra lenne szükség, hogy a rugalmas kritikus teher is tartalmazza a karakterisztikus értékre előírt biztonságot, azaz a stabilitási görbe nagy karcsúságok esetén is az 5%-os teherbírási kvantilishez tartson. Ezt úgy lehet elérni, hogy a rugalmas kritikus teherhez tartozó relatív szórásból meghatározzuk azt a csökkentő szorzótényezőt, amellyel a karakterisztikus értéket megkapjuk, és ezt az értéket visszük be a stabilitási görbébe. Ezáltal egy olyan formulához jutunk, amelyik a két szélső esetben – zéró illetve végtelen karcsúságnál – a folyáshatár és a rugalmas kritikus teher definiálásában tartalmazza a karakterisztikus biztonságot, közepes karcsúságnál pedig az imperfekciós tényező helyes megfogalmazása és kalibrált értéke által. Mivel ezek egymásra kölcsönösen hatással vannak a stabilitási görbék képletében, ezért nem vizsgálhatók külön-külön, egységes kalibrálási eljárást igényelnek. Ezt úgy oldottam meg, hogy először a két szélső eset megfelelő beállítását végeztem el, majd az imperfekciós tényezőt szabályoztam be úgy, hogy a közepes karcsúságnál a numerikus számításokból kapott 0.1%-os kvantilishez képest a hiba minimális legyen. A 4. kérdésben megvizsgáltam a kifordulási imperfekciós tényezőt, és ebből következő módosításokat javasoltam, végül biztonsági tényezőként a részemről megalapozottnak vélt 1.1 értéket vettem figyelembe. Hangsúlyozni kell, hogy ezek az értékek természetesen függenek a stabilitási görbék alakjától amit az érvényben lévő (EC 3 EN [41]) szabvány szerint tételeztem föl. Az eljárás menetét és eredményeit először az egyszerűbb kihajlás esetén mutatom be. 4.2.2.1 Kihajlási görbék Mint már írtam, a kis karcsúságok esetén a folyáshatár szabványos karakterisztikus értéke megadja a kellő biztonságot. A nagy karcsúság esetén releváns rugalmas kritikus teher a stabilitási görbében az általánosított karcsúság fogalmán keresztül van jelen. Kihajlás esetén az általánosított karcsúságot az alábbi összefüggés határozza meg:

λ =

Af y N cr

(4.23)

A képletben tehát a nevezőben lévő kritikus nyomóerőhöz kell definiálni egy megfelelő csökkentő szorzótényezőt. A kritikus nyomóerő csak a szelvény geometriájától és a rugalmassági modulustól, mint véletlen változóktól függ, a Függelék F.11-F.14 valamint F.19 ábráin láthatók ezek érzékenységi faktorai. Megállapítható, hogy nagy karcsúság esetén mindkét szelvénynél mindegyik egy konstans értékhez tart, az ezekből összetevődő – korrelációval korrigált – relatív szórás így szintén egy állandó értékhez tart, ez az érték a 3.10 ábra szerint ~0.065. Ezt tekinthetjük tehát a rugalmas kritikus nyomóerő relatív szórásának, amely független a szelvény alakjától (I profilok esetén). A Függelék F.27 ábráján pedig az látható, hogy a teherbírás ferdesége is egy állandó, vizsgálataink szempontjából elhanyagolható értékhez tart, így követjük azt a szabványos


111

elvet a karakterisztikus érték meghatározásakor, hogy a rugalmas kritikus nyomóerő közel szimmetrikus eloszlású, így Gauss eloszlással modellezhető. Ekkor az 5%-os alulmaradási kvantilist a nominális értékből (ami egyben a középérték is – Ncr,n) valamint a relatív szórásból (δNcr) az alábbi képlet szerint számíthatjuk: N cr ,5% = N cr ,n − 1.64 N cr ,nδ Ncr = N cr , n (1 − 1.64δ Ncr ) = 0.89 ⋅ N cr ,n

(4.24)

Megvan tehát a csökkentő szorzótényező, amellyel módosíthatjuk a (4.23) szerinti karcsúságot. Mivel a (4.4-4.5) képletek szerint kihajlási csökkentő tényezőben a karcsúság mindig második hatványon szerepel, ezért a (4.23)-ben szereplő értéknek a reciproka lesz az a módosító tényező, amelyet a javasolt kihajlási görbébe beviszünk az alábbi módon:

χ=

1

φ + φ2 −ελ

[

φ = 0 .5 1 + η + ε λ

2

2

(4.25-4.26)

]

ahol tehát a javasolt módosító tényező a biztonság javára szolgáló kerekítéssel: ε = 1.12. Ezek után már csak az imperfekciós tényezők kalibrálására van szükség. Ennek (4.7) szerinti alakjától, valamint a keresztmetszetek típusokba sorolásától való eltérést nem tartottam indokoltnak, így csak az α tényező beállítása volt a feladat a ”b” típusba tartozó IPE240 szelvényhez illetve a ”c” típusba tartozó HEA200 szelvényhez, ezekre a következő értékeket javaslom: αb = 0.22, αc = 0.24. 4.2.2.2 Kifordulási görbék Kifordulás esetén is ugyanazt az utat kell bejárni, mint kihajlásnál, azonban a probléma összetettebb jellege miatt bonyolultabb összefüggések alkalmazása szükséges. Kifordulásnál az általánosított redukált karcsúság a következő alakban írható fel:

λ LT =

W pl , y f y M cr

(4.27)

A Függelék F.15-F.18 valamint F.20 ábráin láthatók a rugalmas kritikus nyomatékot meghatározó geometriai jellemzők és rugalmassági modulus érzékenységi faktorai. Megállapítható, hogy ezek – a kihajlással ellentétben – nagy karcsúságok felé nem egy konstans értékhez tartanak, ez a (3.22) képlettel felírt kritikus nyomaték bonyolultabb alakjának köszönhető. A 3.9 táblázat alapján az is kimondható, hogy a kritikus nyomatékot leginkább az övvastagság, és a rugalmassági modulus befolyásolja, ezek érzékenységi faktorai pedig egyértelműen nőnek a karcsúság függvényében, ez az oka annak, hogy a kifordulási teherbírás – korrelációval korrigált – relatív szórása a nagy


112

karcsúságok felé meredeken növekszik (3.11 ábra). Ez azt jelenti, hogy itt már nem tartható a kihajlásnál felírt egyszerű (4.24) képlet, hiszen a δMcr relatív szórást mindenképpen a karcsúság függvényében kell definiálni. Ezért – feltételezve itt is a Gauss eloszlást – az alábbi lineáris összefüggést javaslom a rugalmas kritikus nyomaték karakterisztikus értékének számítására: M cr ,5% = M cr ,n − 1.64 M cr ,n (c LT λ LT δ Mcr ) = M cr ,n (1 − ε LT λ LT )

(4.28)

ahol tehát εLT a kiforduláshoz tartozó módosító tényező. Ennek segítségével a kifordulási görbe az alábbi alakot ölti:

1

χ LT = 2 − φ LT + φ LT

1 1 − ε LT λ LT



1



1 − ε LT λ LT

φ LT = 0.51 + η LT +

2

λ LT 2

(4.29-4.30)



λ LT  

Azt is észre kell venni, hogy kifordulásnál a 3.11 ábra szerint jelentős különbség van a két szelvény között nagy karcsúságnál (ennek oka, hogy a szélesebb övű HEA szelvény F.18 ábrán látható módon érzékenyebb az övvastagságra), ezért a módosító tényezőket a kihajlás kategóriáinak megfelelően itt is két csoportra bontottam, εLT,b = 0.07 és εLT,c = 0.11. Az imperfekciós tényező helyes kezelése szintén bonyolultabb feladat a (4.22) szerinti összetettebb alak miatt. Itt is elfogadom a (4.7) szerinti általános alakot, azzal a módosítással, hogy a felkeményedés jelentősége miatt [88, 89] 0.4-es relatív karcsúságig a kifordulási csökkentő tényező értéke 1 (eddig a karcsúságig nincsen stabilitási probléma), így az alábbi képlet adódik:

η LT = α LT (λ LT − 0.4)

(4.31)

Az általános alak tehát ugyanaz, mint a kihajlásnál, az αLT tényező azonban az általánosított imperfekciós tényező (4.22) szerinti alakja miatt szükségszerűen más tartalommal rendelkezik. Ennek leírásához felhasználva a kihajlási általánosított A imperfekciós tényező η = v0 alakját, valamint a (4.16) összefüggést, a (4.22) formát Wz az alábbiak szerint rendezhetem át (a jelölések továbbra is megegyeznek az 2. és a 3.3 fejezetben használtakkal):


113

λ2 N W f W W   N cr W y W y  1 i y   = η  cr y y + y z  = η  LT2 + + =  Af M λ  Wω A  2 h cr  M cr W z Wω   y  

η LTB = v0 

  λ LT  2  = η  + 0.32   λ    

(4.32)

ahol az öblösödési keresztmetszeti modulusra felhasználtam a következő I szelvényekre vonatkozó egyszerűsítést: Wω =

Iω

ω 0max

I z h 2 4 2I z h = = hb 8 b

(4.33)

1 iy értéke 2 h mindig 0.32 körüli értékre adódik. A (4.32) összefüggés a kihajlási és kifordulási általánosított imperfekciós tényező között adja meg a kapcsolatot az első sajátalak formájú kezdeti geometriai tökéletlenséggel terhelt rúd eredményei alapján. Amennyiben belátjuk, hogy a (4.7) és (4.31) általános alakok egységesen felírhatók η gen = α gen λ red formában, ahol λred a tökéletlenségek szempontjából releváns, stabilitási Továbbá felhasználtam azt is, hogy melegen hengerelt I szelvényeknél a

problémát tartalmazó karcsúsági mértéket jelöli, úgy a (4.32) összefüggés az α tényezőkre is igaz:

α LT , gen

  λ LT  2  = α LT    + 0.32   λ    

(4.34)

Fontos azonban belátni, hogy ez egy az egyben nem igaz, hiszen a Függelék F.23-F.26 ábráiból világosan látszik, hogy a két stabilitási probléma nem ugyanolyan mértékben érzékeny a sajátfeszültségekre, mint a kezdeti görbeségre; a fenti forma mindazonáltal mindkettőt a kezdeti tökéletlenségekkel próbálja leírni, így a kihajláshoz tartozó α tényező nem vihető át a kifordulás esetére a (4.34) képletbe. Így a kalibrációs vizsgálataim során mindkét szelvényhez az αLT = 0.62 értéket javaslom. Tehát a javasolt kifordulási görbe teljes alakja a következő lesz :

1

χ LT = 2 − φ LT + φ LT



1 − ε LT λ LT

2

λ LT

   λ LT   1 2 λ LT   + 0.32  +  λ   1 − ε LT λ LT   

φ LT = 0.51 + α LT   

1 2

(4.35-4.36)


114

4.2.2.3 Értékelés A javított stabilitási görbékkel a már ismertetett módon meghatározott kockázati értékeket ábrázolják a Függelék F.39-F.40 ábrái ferde Gamma illetve szimmetrikus Gauss eloszlás feltételezésével. Az ábrák látványosan mutatják, hogy a kockázati értékek mindkét eloszlás feltételezésével, minden esetben közelebb simultak az előirányzott 0.1%-os értékhez. Gamma eloszlásnál a kis karcsúság esetén megmaradt túlzott biztonság a 4.2.2 pont elején 1. fő hátrányként megjelölt nagy ferdeségi értékből fakad, ezt nem küszöböltem ki a javaslatomban az ismertetett okok miatt. A többi problémára az elméleti eredményeken alapuló módosító tényezők megadták a választ. Közepes karcsúságnál az imperfekciós tényezők helyes meghatározása gazdaságosabb eredményt adott, míg nagy karcsúságnál a rugalmas kritikus teher karakterisztikus értékének bevitele a helyes mértékre csökkentette a kockázatot. Fontos itt is megemlíteni, hogy a javasolt értékek véglegesítése szélesebb körű, átfogóbb kutatásokat igényel. Jelen fejezet fő célja az acélszerkezetek méretezésének alapját képező stabilitási görbék gyenge pontjainak elméletileg megalapozott kimutatása, és megoldási irányok kijelölése volt.

4. A szabványos stabilitási görbék vizsgálata 4.3 Összefoglalás

115

4.3 Összefoglalás A szerkezetépítés szakterületén végzett elméleti kutatásoknak végső célja valamilyen formában mindig a gyakorlati tervezés folyamatának javítása, gyorsítása, gazdaságosabbá és megbízhatóbbá tétele. A determinisztikus és valószínűségelméleti modell részletes kidolgozásának – a 2. és 3. pontban bemutatott kutatási eredményeknek – fő célja ezért tulajdonképpen a szabványos tervezés megbízhatóságának mély elméleti alapokon nyugvó vizsgálata volt, így ez a fő fejezet képezi az eredmények legfontosabb részét. A stabilitásvesztés elleni szabványos méretezés elméleti alapjainak bemutatása után, összefoglaltam az eljárás valószínűségelméleti megfogalmazásában rejlő pontatlanságokat, amelyek jól kimutatható ingadozást okoznak a tönkremeneteli kockázatban, ezeket numerikus számításaim eredményeivel is igazoltam. Kifordulás esetére megadtam az általánosított imperfekciós tényező helyes formáját, és levezetésének módszerét. A vizsgált esetekre bemutattam a szabványos tervezés megbízhatósági görbéit Gamma és Gauss eloszlással számolva, illetve biztonsági tényezőként 1.1 és 1.0 értéket figyelembe véve. A bemutatott vizsgálatokból kiindulva elméleti alapokon nyugvó megoldási javaslatokat fogalmaztam meg a stabilitási görbék megbízhatóságának egységesítése érdekében. Kihajlásnál a nagy karcsúságú elemek megfelelő megbízhatósága eléréséhez új tényező bevezetését javasoltam, az egységes biztonsági szinthez új értékeket javasoltam az imperfekciós tényezőkhöz. Ezeken túlmenően kifordulás esetében az imperfekciós tényező új formáját vezettem be. A javasolt módosításokkal ellátott stabilitási görbék látványosan csökkentették az ingadozást a megbízhatósági szintben. A fejezet fő célja nem általános érvényű megoldások szolgáltatása, hanem az acélszerkezetek méretezésének alapját képező stabilitási görbék gyenge pontjainak elméletileg megalapozott kimutatása, és megoldási irányok kijelölése volt.

5. Új tudományos eredmények

5

116

ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK

1. Tézis Melegen hengerelt I szelvények gyártási sajátfeszültségeire új eloszlást vezettem le. A levezetés során figyelembe vettem a sajátfeszültségek egyensúlyára felírt egyenletekben az eddig elhanyagolt csavarás hatását. A kapott parabolikus eloszlás ennek következtében nem okoz numerikus zavarokat kifordulási problémáknál a stabilitásvesztés közelében, továbbá hatása a kis és nagy karcsúságokhoz közelítve – az elméleti megfontolásoknak megfelelően – egyre csökken, így alkalmasabb a sajátfeszültség hatásának numerikus modellben való vizsgálatára. 2. Tézis Acél rúdszerkezetek rugalmas-képlékeny teherbírásának vizsgálatához új növekményiiterációs módszert adtam. Az eljárás különösen alkalmas változó kezdeti paraméterekkel rendelkező feladatok automatikus, mégis hatékony megoldásvezérlésére. A módszer három fázisát a rúdelem aktuális alakváltozási állapotának vizsgálatára építettem: a. A növekményi módszer az egyensúlyi út különböző részeit az alakváltozások terében közelítve állapítja meg az aktuális tehernövekményt. Nagy előnye a legelső tehernövekmény automatikus meghatározása. b. Az iteráció esetén több létező módszer alakváltozás alapú verzióját javasoltam. Iterációnál az alakváltozások vizsgálata megszünteti a különböző dimenziók keveredéséből származó problémákat (skálázási problémák). c. A konvergencia vizsgálatát szintén alakváltozás alapra helyeztem, így itt is megszűntek a skálázási problémák. 3. Tézis Bemutattam acél rúdszerkezetek kihajlásának és kifordulásának valószínűségi alapokon nyugvó koherens vizsgálatát; a véletlen változók és azok statisztikai adatsora, a determinisztikus modell, és a valószínűségi modell egységes pontosságot adó kezelésével. Vizsgálataim első részeként egy igen széleskörű, valószínűségelméleti alapokon nyugvó érzékenységi analízist hajtottam végre, megállapítottam az egyes véletlen változók különböző terhelési és rúdkarcsúságú esetekhez tartozó jelentőségét, valamint a kihajlási és kifordulási teherbírás szórásának alakulását a rúdkarcsúság függvényében. 4. Tézis A kialakított valószínűségelméleti modell segítségével magasabb rendű összefüggések pontos, létező méréseken alapuló vizsgálatát végeztem el: a. Kimutattam a véletlen változók közötti korreláció hatását a teherbírás szórására. Megállapítottam, hogy a mérések alapján felvett övszélesség és övvastagság

5. Új tudományos eredmények

117

között fennálló negatív korreláció jelentős mértékben csökkenti a teherbírás szórását főként nagyobb karcsúságok esetén. b. Bemutattam a véletlen változók együttes hatásának vizsgálati módszerét, és megállapítottam, hogy ez a hatás minden esetben elhanyagolható mértékű, eltekintve a kezdeti görbeség és gerinckülpontosság (vagy teher külpontossága) együttes hatásától. Utóbbi problémára új modellezési módszert javasoltam, melynek alkalmazásával kimutattam, hogy a kezdeti görbeség és gerinckülpontosság csak együtt vizsgálható, és igen nagy mértékben befolyásolja a teherbírás valószínűségi paramétereit. c. Megmutattam a folyáshatár és az övvastagság statisztikai adatsoraiból kimutatható lényeges eloszlásbeli ferdeség hatását a teherbírás kvantiliseire. Megállapítottam, hogy a vizsgált pozitív ferdeség minden esetben az alsó kvantilisek emelkedését eredményezi, ennek mértéke kisebb karcsúságok esetén jelentősebb. 5. Tézis Bemutattam a kihajlási görbék alapját képező Ayrton-Perry formula, a szabványos valószínűségi kalibrációs folyamat, valamint a stabilitási görbékkel történő méretezés hiányosságait, amelyek a megbízhatósági szint ingadozását okozzák. Ezt az ingadozást numerikus eredményeimmel is igazoltam. Elméleti megfontolásokon nyugvó korrekciót javasoltam a kihajlási görbékre, amelyek numerikus eredményeim szerint valóban egységesebb megbízhatóságot eredményeztek. 6. Tézis Kifordulás esetére is levezettem az általános Ayrton-Perry formulát, ezzel megmutatva az általánosított imperfekciós tényező helyes felírását is. Itt is bemutattam a megbízhatósági szint ingadozását, és annak okait, melyeket numerikus eredményeimmel is igazoltam. Az általános elméleti megfontolásokon túl az imperfekciós tényező levezetett alakjának felhasználásával módosításokat javasoltam a kifordulási görbékben, ezekkel egységesebb megbízhatóságot kaptam.

Irodalomjegyzék

118

IRODALOMJEGYZÉK

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]

[16] [17]

Chen WF, Atsuta T. Theory of beam-columns. Volume 2: Space behaviour and design. McGraw-Hill, 1977. Rajasekaran S, Murray DW. Finite element solution of inelastic beam equations. Journal of the Structural Division 1973. ASCE, 99(6):1024-1042. Papp F. Computer aided design of steel beam-column structures. Thesis for PhD degree. Edinburgh, 1994. Papp F, Iványi M, Jármai K. Unified object-oriented definition of thin-walled steel beam-column cross-sections. Computers and Structures 2001; 79:839-852. Maljaars J, Stark JWB, Steenbergen HMGM, Abspoel R. Numerical simulation of lateral-torsional buckling of coped girders. Proceedings of the 15th ASCE Engineering Mechanics Conference. 2002, New York. European Convention for Constructional Steelwork. Manual on stability of steel structures. 1976. Galambos TV, Ketter RL. Columns under combined bending and thrust. Journal of Engineering Mechanics Division 1959. ASCE, 85:1-30. Young BW. Residual stresses in hot-rolled members. IABSE International Colloquium on Column Strength, Paris. 1972. Ultimate limit state calculation of sway frames with rigid joints. Technical Committee 8 – Structural Stability Technical Working Group 8.2 – System Publication No. 33. European Convention for Constructional Steelwork. 1984. Szalai J, Papp F. A new residual stress distribution for hot-rolled I-shaped section. Journal of Constructional Steel Research 2005. 61/6, pp. 845-861. Prime MB. Residual stress measurement by successive extension of a slot: The crack compliance method. Applied Mechanics Reviews 1999. 52(2): 75-96. Totten G, Howes M, Inoue T. Handbook of residual stress and deformation of steel. ASM International. 2002. Fukumoto Y, Aoki T, Kajita N. Evaluation of column curves based on probabilistic concept. Proceedings of the International Conference on Stability. Preliminary Report, Tokyo. 1976. Szalai J, Papp F. An automatic strain-based incremental-iterative technique for elasto-plastic beam-columns. Structural Mechanics 2005. 38(1): 28-44. Szalai J, Papp F. Simulation of beam-column stability with automatic strain incrementation. In: Topping BHV, Bittnar Z, editors. Proceedings of the third international conference on engineering computational technology. Stirling, United Kingdom: Civil-Comp Press, 2002. Szalai J. Steel beam-column stability simulation using automatic strain incrementation. Stability and ductility of steel structures. Edited by Miklós Iványi. Akadémiai Kiadó 2002. pp. 111-118. Budapest. Clarke MJ, Hancock J. A study of incremental-iterative strategies for nonlinear analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1990; 29:1365-1391.

Irodalomjegyzék

[18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37]

119

Eriksson A. On improved predictions for structural equilibrium path evaluations. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1993; 36:201-220. Kim JH, Kim YH. A predictor-corrector method for structural nonlinear analysis. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering 2001; 191:959-974. Blaheta R. Convergence of Newton-type methods in incremental return mapping analysis of elasto-plastic problems. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering 1997; 147:167-185. Felippa CA. Lecture notes in nonlinear finite element methods. College of Engineering, University of Colorado, 1999. Eriksson A, Kouhia R. On step size adjustments in structural continuation problems. Computers and Structures 1995; 55(3):495-506. Chen WF, Atsuta T. Theory of beam-columns. Volume 1: Planar behaviour and design. McGraw-Hill, 1977. Crisfield MA. A fast incremental/iterative solution procedure that handles “snapthrough”. Computers and Structures 1981; 13:55-62. Powell G, Simons J. Improved iteration strategy for nonlinear structures. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1981; 17:14551467. Chan CL. Geometric and material nonlinear analysis of beam-columns and frames using the minimum residual displacement method. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1988; 26:2657-2669. ANSYS 7.0 Documentation. Canonsburg, PA, USA. 2002. Tichy M . Applied methods of structural reliability. Kluwer Academic Publ. 1993. Mahadevan S, Haldar A. Efficient algorithm for stochastic structural optimization. Journal of Structural Engineering 1989; ASCE, 115(5):13931412. Madsen, HO, Krenk S, Lind NC. Structural safety. Prentice-Hall, Englewood cliffs, NJ 07632. 1986. Marek P, Gustar M, Anagnos T. Simulation-based reliability assessment for structural engineers. CRC Press. 1996. Falsone G, Impollonia N. A new approach for the stochastic analysis of finite element modelled structures with uncertain parameters. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering 2002; 191:5067-5085. Mahadevan S, Haldar A. Stochastic FEM-based evaluation of LRFD. Journal of Structural Engineering 1991; ASCE, 117(7):1579-1598. Ramu SA, Ganesan R. Response and stability of a stochastic beam-column using stochastic FEM. Computers and Structures 1995; 54:207-221. Gao L, Haldar A. Safety evaluation of frames with PR connections. Journal of Structural Engineering 1995; ASCE, 121(7):1101-1109. Faravelli L. Response surface approach for reliability analysis. Journal of Engineering Mechanics 1989; ASCE, 115(12):2763-2781. Bucher CG, Bourgund U. A fast and efficient response surface approach for structural reliability problems. Structural Safety 1990;7(1): 57–66.

Irodalomjegyzék

[38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55]

120

Guan XL, Melchers RE. Multitangent-plane surface method for reliability calculation. Journal of Engineering Mechanics 1997; ASCE, 123, 996-1002. Guan XL, Melchers RE. Parametric study on the response rurface rethod, Proceedings of the 8th ASCE Specialty Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability. 2000. European Prestandard, EuroCode 3. Design of Steel Structures, Part1.1: General Rules and Rules for Buildings, ENV 1993-1-1, 1992. Magyar Szabvány MSZ EN 1993-1-1:2005, Eurocode 3: Acélszerkezetek tervezése. 1-1 rész: Általános és az épületekre vonatkozó szabályok.2005. European Standard Final Draft, EuroCode 3. Design of Steel Structures, Part1.5: Plated Structural Elements, preEN 1993-1-5, 2003 September. O’Rourke M, Speck R, Stiefel U. Drift snow loads on multilevel roofs. Journal of Structural Engineering 1985; ASCE, 111(2): 290–306. Simiu E, and Scanlan RH. Wind effects on structures, 3rd ed., Wiley, New York, 1996. Nagy Sz, Tarnai T. Szerkezetek stabilitásvizsgálata valószínűségelméleti és statisztikai megközelítéssel. Kutatási jelentés I-IV rész, ÉTI, Budapest. 1983. Oanh NN. Acéloszlopok teherbírása rugalmas-képlékeny anyagtulajdonságok és kezdeti imperfekciók figyelembevételével. Kandidátusi értekezés, Budapesti Műszaki Egyetem. 1987. Chen WF. End-restraint and column stability. Journal of the Structural Division 1980; ASCE, 106:2279-2295. Papp F. An advanced CAD formula for automatic design of steel beam-column structures. BME Hidak és Szerkezetek Tanszék kiadványa, Budapest. 2002. Boissonade N, Jaspart JP, Muzeau JP, Villette M. New interaction formulae for beam-columns in Eurocode 3: the french-belgian approach. Proceedings of the Third European Conference on Steel Structures (Volume 1), Coimbra. 2002. Boissonade N, Jaspart JP, Muzeau JP, Villette M. Improvement of the interaction formulae for beam columns in Eurocode 3. Computers and Structures 2002; 80:2375-2385. Boissonade N, Jaspart JP, Muzeau JP, Villette M. New interaction formulae for beam-columns in Eurocode 3: The French-Belgian approach. Journal of Constructional Steel Research 2004. 60, pp. 421-431. Greiner R. Recent developments of the new rules for member stability in Eurocode 3. Stability and ductility of steel structures, Akadémiai Kiadó, Budapest. 2002. Müller C. Zum Nachweis ebener Tragwerke aus Stahl gegen seitliches Ausweichen. Phd Dissertation, Shaker Verlag, Aachen, 2003. Sedlacek G, Müller C. Zur Vereinheitlichung der Stabilitatsregeln im Eurocode 3. Stahlbau 2004; 73: 733-744. Janns J, Sedlacek G, Maquoi R, Ungermann D, Kuck J. Evaluation of test results on columns, beams and beam-columns with cross-sectional classes 1-3 in order to obtain strength functions and suitable model factors. Background report to Eurocode 3 “Common unified rules for steel structures” 1992.

Irodalomjegyzék

[56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65]

[66]

[67] [68] [69] [70] [71]

[72] [73]

121

Trahair NS. Lateral buckling strengths of steel angle section beams. Journal of Structural Engineering 2002; ASCE, 129(6):784-791. Mohebkhah A. The moment-gradient factor in lateral–torsional buckling on inelastic castellated beams. Journal of Constructional Steel Research 2004. 60, pp. 1481-1494. Fernezey S, Hegyi D, Vígh A. Approximation for the critical moment for lateraltorsional buckling of hot-rolled sections. Poster Session of the 4th European Conference on Steel and Composite Structures. Eurosteel 2005, Maastricht. ProfilArbed. Sales programme: structural shapes. Luxembourg. 1995. Zhao YG, Ono T. Third-moment standardization for structural reliability analysis. Journal of Structural Engineering 2000; ASCE, 126(6):724-732. Marek P, Brozetti J, Gustar M. Probabilistic assessment of structures using Monte Carlo Simulation. Institut of Theoretical and Applied Mechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic. Praha. 2001. Mistéth E. Erőtani méretezés valószínűségelméleti alapon. Építésügyi Tájékoztatási Központ, Budapest. 1974. Mistéth E. Méretezéselmélet. Akadémiai Kiadó, Budapest. 2001. Szalai J. Overall sensitivity analysis of hot-rolled beam-columns. Metal structures: design, fabrication, economy. Edited by Károly Jármai and József Farkas. Millpress, Rotterdam. 2003. Kala Z, Kala J. The statistical correlation of material characteristics – Experimental and theoretical results of hot-rolled steel beam. Metal structures: design, fabrication, economy. Edited by Károly Jármai and József Farkas. Millpress, Rotterdam. 2003. Fajkus M, Melcher J, Holicky M, Rozlivka L, Kala Z. Design characteristics of structural steels based on statistical analysis of metallurgical products. Proceedings of the Third European Conference on Steel Structures (Volume 2), Coimbra. 2002. Melcher J, Kala Z, Holicky M, Fajkus M, Rozlivka L. Design characteristics of structural steels based on statistical analysis of metallurgical products. Journal of Constructional Steel Research 2004. 60, pp. 795-808. Anslijn R. Tests on steel I beam-columns subjected to thrust and biaxial bending. Construction Metallique, Centre de Nercherches Scientifiques et Techniques de L’Industrie des Fabrications Metalliques. 1983. Joint Comitee of Structural Safety (JCSS). Probabilistic model code. Internet Publication. 2002. Galambos TV, Ravindra MK. Properties of Steel for Use in LFRD, Journal of the Structural Division 1978; ASCE, 104:1459-1468. Alpsten GA. Variations in mechanical and cross-sectional properties of steel. Tall building criteria and loading (Volume 1b), Proceedings of the International Conference on Planning and Design Tall Buildings; Lehigh University, Bethlehem, PA. 1972. Strating J, Vos H. Computer Simulation of the E.C.C.S. Buckling Curves using a Monte-Carlo Method, HERON, 19(2). 1973. Agostini N, Ballio G, Poggi C. Statistical analysis of the mechanical properties of structural steel. Costruzioni Metalliche 1994; Numero 2 Anno XLVI:31-39.

Irodalomjegyzék

[74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]

122

Weber L. HISTAR – a new generation of high performance steel. Metal structures: design, fabrication, economy. Edited by Károly Jármai and József Farkas. Millpress, Rotterdam. 2003. Kollár L. A mérnöki stabilitáselmélet különleges problémái. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1990. Deák I. Random Number Generators and Simulation. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1990. Magyar Szabvány MSZ EN 1990:2005, Eurocode: A tartószerkezetek tervezésének alapjai, 2005. Tichy M. First-order third-moment reliability method. Structural Safety 1994; ASCE, 16:189-200. Zhao YG, Ang AHS. System reliability assessment by method of moments. Journal of Structural Engineering 2003; ASCE, 119(10):1341-1349. Reimann J. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika mérnököknek. Tankönyvkiadó, Budapest, 1992 Szalai J. Acélszerkezetek sztochasztikus teherbírását számító program. IV. díjat nyert pályázati munka az Ipar Műszaki Fejlesztéséért Alapítvány által kiírt "Az év kiemelkedő fiatal műszaki alkotója" című pályázatán. 2002. Magyar Előszabvány MSZ ENV 1993-1-1:1995, Eurocode 3: Acélszerkezetek tervezése. 1-1 rész: Általános és az épületekre vonatkozó szabályok.1995. Ayrton WE, Perry J. On struts. The Engineer. 1886. Maquoi R, Rondal J. Mise en Equation des Nouvelles Courbes Européennes de Flambement. Revue Construction Métalique, no. 1, 1978 Boissonnade N, Villette M, Muzeau JP. About amplification factors for lateraltorsional buckling and torsional buckling. Festschrift Richard Greiner. Technical University of Graz. October, 2001. p:724-732. Villette M. Instability of doubly symmetric I-members under biaxial bending. To be published. Szalai J, Papp F. Szabványos stabilitási görbék felülvizsgálata. Acélszerkezetek. I. évfolyam. 4. szám. pp.31-39. 2004. Kemp AR, Byfield MP, Nethercot DA. Effect of strain hardening on flexural properties of steel beams. The Structural Engineer 2002; 80: 29–34. Byfield MP, Dhanalakshmi M. Analysis of strain hardening in steel beams using mill tests. Advances in steel structures. 2002. p. 139–146.

Függelék

123

FÜGGELÉK F.1 A sajátfeszültség eloszlások hatása Nincs sajátfeszültség

ECCS

Young

Galambos

Szalai

1200

1000

NR [kN]

800

600

400

200

0 0

50

100

150

200

250

300

350

300

350

λz

F.1 ábra IPE240 szelvény kihajlási teherbírása Nincs sajátfeszültség

ECCS

Young

Galambos

Szalai

1600

1400

1200

NR [kN]

1000

800

600

400

200

0 0

50

100

150

200

250

λz

F.2 ábra HEA200 szelvény kihajlási teherbírása

Függelék

Nincs sajátfeszültség

ECCS

124

Young

Galambos

Szalai

100

90

80

70

MR [kNm]

60

50

40

30

20

10

0 0

50

100

150

200

250

300

350

300

350

λz

F.3 ábra IPE240 szelvény kifordulási teherbírása

Nincs sajátfeszültség

ECCS

Young

Galambos

Szalai

120

100

MR [kNm]

80

60

40

20

0 0

50

100

150

200

250

λz

F.4 ábra HEA200 szelvény kifordulási teherbírása

Függelék

125

F.2 A determinisztikus modell kalibrációja

Kísérlet

Héjelem

Rúdelem

450

400

350

erő [kN]

300

250

200

150

100

50

0 0

10

20

30

40

50

60

eltolódás [mm]

F.5 ábra Az F/N=0.1 terheléshez tartozó egyensúlyi utak – 1.

Kísérlet

Héjelem

Rúdelem

450

400

350

erő [kN]

300

250

200

150

100

50

0 0

10

20

30

40

50

eltolódás [mm]


60

Függelék

Kísérlet

Héjelem

126

Rúdelem

350

300

250

erő [kN]

200

150

100

50

0 0

10

20

30

40

50

60

eltolódás [mm]


Kísérlet

Héjelem

Rúdelem

300

250

erő [kN]

200

150

100

50

0 0

10

20

30

40

50

eltolódás [mm]


60

Függelék

Kísérlet

Héjelem

127

Rúdelem

90

80

70

erő [kN]

60

50

40

30

20

10

0 0

10

20

30

40

50

60

eltolódás [mm]


Kísérlet

Héjelem

Rúdelem

Rúdelem_sajátfeszültség

90

80

70

erő [kN]

60

50

40

30

20

10

0 0

10

20

30

40

50

eltolódás [mm]


60

Függelék

F.3

128

Geometriai változók érzékenységi faktorai

Ncr_IPE

Npl_IPE

IPE240

Ncr_HEA

Npl_HEA

HEA200

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

Φ

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.11 ábra Az szelvénymagasság (h) érzékenységi faktorai kihajlás esetén Ncr_IPE

Npl_IPE

IPE240

Ncr_HEA

Npl_HEA

HEA200

0.03

0.025

0.02

Φ 0.015

0.01

0.005

0 0

50

100

150

200

250

λz

F.12 ábra Az övszélesség (b) érzékenységi faktorai kihajlás esetén

300

Függelék

Ncr_IPE

Npl_IPE

IPE240

129

Ncr_HEA

Npl_HEA

HEA200

0.02

0.018

0.016

0.014

0.012

Φ

0.01

0.008

0.006

0.004

0.002

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.13 ábra A gerincvastagság (tw) érzékenységi faktorai kihajlás esetén

Ncr_IPE

Npl_IPE

IPE240

Ncr_HEA

Npl_HEA

HEA200

0.05

0.045

0.04

0.035

0.03

Φ

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

0 0

50

100

150

200

250

λz

F.14 ábra Az övvastagság (tf) érzékenységi faktorai kihajlás esetén

300

Függelék

Mcr_IPE

Mpl_IPE

IPE240

130

Mcr_HEA

Mpl_HEA

HEA200

0.007

0.006

0.005

0.004

Φ 0.003

0.002

0.001

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.15 ábra Az szelvénymagasság (h) érzékenységi faktorai kifordulás esetén

Mcr_IPE

Mpl_IPE

IPE240

Mcr_HEA

Mpl_HEA

HEA200

0.03

0.025

0.02

Φ 0.015

0.01

0.005

0 0

50

100

150

200

250

λz

F.16 ábra Az övszélesség (b) érzékenységi faktorai kifordulás esetén

300

Függelék

Mcr_IPE

Mpl_IPE

IPE240

131

Mcr_HEA

Mpl_HEA

HEA200

0.014

0.012

0.01

0.008

Φ 0.006

0.004

0.002

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.17 ábra A gerincvastagság (tw) érzékenységi faktorai kifordulás esetén

Mcr_IPE

Mpl_IPE

IPE240

Mcr_HEA

Mpl_HEA

HEA200

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

Φ 0.04

0.03

0.02

0.01

0 0

50

100

150

200

250

λz

F.18 ábra Az övvastagság (tf) érzékenységi faktorai kifordulás esetén

300

Függelék

F.4

132

Anyagi változók érzékenységi faktorai

IPE240

HEA200

0.04

0.035

0.03

0.025

Φ

0.02

0.015

0.01

0.005

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.19 ábra A rugalmassági modulus (E) érzékenységi faktorai kihajlás esetén

IPE240

HEA200

0.04

0.035

0.03

0.025

Φ

0.02

0.015

0.01

0.005

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.20 ábra A rugalmassági modulus (E) érzékenységi faktorai kifordulás esetén

Függelék

IPE240

133

HEA200

0.07

0.06

0.05

0.04

Φ 0.03

0.02

0.01

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.21 ábra A folyáshatár (fy) érzékenységi faktorai kihajlás esetén

IPE240

HEA200

0.07

0.06

0.05

0.04

Φ 0.03

0.02

0.01

0 0

50

100

150

200

250

λz

F.22 ábra A folyáshatár (fy) érzékenységi faktorai kifordulás esetén

300

Függelék

F.5

134

Tökéletlenségek érzékenységi faktorai

IPE240

HEA200

0.03

0.025

0.02

Φ 0.015

0.01

0.005

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.23 ábra A kezdeti görbeség (f0) érzékenységi faktorai kihajlás esetén

IPE240

HEA200

0.02

0.018

0.016

0.014

0.012

Φ

0.01

0.008

0.006

0.004

0.002

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.24 ábra A kezdeti görbeség (f0) érzékenységi faktorai kifordulás esetén

Függelék

IPE240

135

HEA200

0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014

Φ 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.25 ábra A sajátfeszültség (α) érzékenységi faktorai kihajlás esetén

IPE240

HEA200

0.032 0.03 0.028 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018

Φ 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0

50

100

150

200

250

λz

F.26 ábra A sajátfeszültség (α) érzékenységi faktorai kifordulás esetén

300

Függelék

F.6

136

A teherbírások eloszlásának ferdesége és figyelembevétele IPE240

HEA200

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

αR 0.25 0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.27 ábra A kihajlási teherbírás eloszlásának ferdesége

IPE240

HEA200

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

αR 0.25 0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

50

100

150

200

250

λz

F.28 ábra A kifordulási teherbírás eloszlásának ferdesége

300

Függelék

Gamma

137

3. momentum

Lognormális

1.12

a kvantilis relatív megváltozása

1.1

1.08

1.06

1.04

1.02

1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

α

F.29 ábra A ferdeség hatása az eloszlás 0.001 valószínűséghez tartozó kvantilisére, δ =0.07

Gamma

3. momentum

Lognormális

a kvantilis relatív megváltozása

1.1

1.08

1.06

1.04

1.02

1 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

δ

F.30 ábra A ferdeség hatása az eloszlás 0.001 valószínűséghez tartozó kvantilisére, α =0.4

Függelék

F.7

138

A szabványos stabilitási görbék felülvizsgálata IPE240_közép

HEA200_közép

IPE240_0.1%

HEA200_0.1%

EC3 IPE

EC3 HEA

1.2

1

NR/Npl

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.31 ábra A numerikus valószínűségi számítások középértékhez és 0.1%-os kvantilishez tartozó eredményei Gamma eloszlást feltételezve, valamint a szabványos kihajlási görbék

IPE240_közép

HEA200_közép

IPE240_0.1%

HEA200_0.1%

EC3 IPE

EC3 HEA

1.2

1

NR/Npl

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.32 ábra A numerikus valószínűségi számítások középértékhez és 0.1%-os kvantilishez tartozó eredményei Gauss eloszlást feltételezve, valamint a szabványos kihajlási görbék

Függelék

IPE240_közép

HEA200_közép

IPE240_0.1%

139

HEA200_0.1%

EC3 IPE

EC3 HEA

1.2

1

MR/Mpl

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.33 ábra A numerikus valószínűségi számítások középértékhez és 0.1%-os kvantilishez tartozó eredményei Gamma eloszlást feltételezve, valamint a szabványos kifordulási görbék

IPE240_közép

HEA200_közép

IPE240_0.1%

HEA200_0.1%

EC3 IPE

EC3 HEA

1.2

1

MR/Mpl

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.34 ábra A numerikus valószínűségi számítások középértékhez és 0.1%-os kvantilishez tartozó eredményei Gauss eloszlást feltételezve, valamint a szabványos kifordulási görbék

Függelék

Gamma - 1.1

140

Gamma - 1.0

Gauss - 1.1

Gauss - 1.0

100

10

kockázat [%]

1

0,1 0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.35 ábra A kihajlási feladat tönkremeneteli kockázatai IPE240 szelvény esetén

Gamma - 1.1

Gamma - 1.0

Gauss - 1.1

Gauss - 1.0

100

10

kockázat [%]

1

0,1 0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.36 ábra A kihajlási feladat tönkremeneteli kockázatai HEA200 szelvény esetén

Függelék

Gamma - 1.1

141

Gamma - 1.0

Gauss - 1.1

Gauss - 1.0

100

10

kockázat [%]

1

0,1 0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.37 ábra A kifordulási feladat tönkremeneteli kockázatai IPE240 szelvény esetén

Gamma - 1.1

Gamma - 1.0

Gauss - 1.1

Gauss - 1.0

100

10

kockázat [%]

1

0,1 0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.38 ábra A kifordulási feladat tönkremeneteli kockázatai HEA200 szelvény esetén

Függelék

IPE_N

142

HEA_N

IPE_M

HEA_M

100

10

kockázat [%]

1

0,1 0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001 0

50

100

150

200

250

300

λz

F.39 ábra A javasolt stabilitási görbék alapján meghatározott tönkremeneteli kockázatok Gamma eloszlás alkalmazásával

IPE_N

HEA_N

IPE_M

HEA_M

100

10

kockázat [%]

1

0,1 0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001 0

50

100

150

200

250

λz

F.40 ábra A javasolt stabilitási görbék alapján meghatározott tönkremeneteli kockázatok Gauss eloszlás alkalmazásával

300

Melegen hengerelt acélrudak szabványos teherbírásának vizsgálata valószínűségelméleti alapokon

Recommend Documents