Még egyszer a Cayley-Klein modellről (Apróságok II.)
Az [1]-ben, a 3. pontban részletesen ismertettem a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljét. Az ott leírtakat most több vonatkozásban is helyesbítem, illetve kiegészítem. Hivatkozott írásomban tévesen állítottam (ld. 4. oldal legfölső bekezdését), hogy a k0 sugarú C-K-modellben a belső körlap (végpontok nélküli) húrjai közül csak az O középponton átmenő átmérők a hiperbolikus sík egyenesei. Ezzel szemben az igazság az, hogy a C-K-modellben az összes (végpontok nélküli) húr egyben hiperbolikus egyenes is. A hiperbolikus sík euklideszi síkban/térben megalkotott modelljei közül e modellben tehát a görbült hiperbolikus sík egyenesei egyúttal euklideszi egyenesek szakaszai is. (A Poincaré-féle körmodell hiperbolikus egyenesei viszont euklideszi értelemben már valóban nem egyenes szakaszok: azok ugyanis olyan körök ívei, amelyek a hiperbolikus síkot modellező belső körlap határoló körívét merőlegesen metszik. E merőlegesen metsző köröknek is természetesen csak a belső körlapba eső ívei számítanak a P-modell hiperbolikus egyeneseinek – azaz metszéspontjaik például már nem tartoznak a síkhoz; így annak hiperbolikus egyeneseihez sem.) Azt is tévesen állítottam (szintén a hivatkozott írás 4. oldalának legfölső bekezdésében), hogy a C-K-modell hiperbolikus egyenesei feleltethetők meg a fizikai téridő sebességreprezentációbeli inerciarendszereinek. Ezzel szemben az igazság az, hogy a belső körlap mint hiperbolikus sík pontjai feleltethetők meg kölcsönösen egyértelmű ráképezéssel – azaz bijekcióval – az ebben a síkban fekvő sebességvektorokkal jellemezhető inerciarendszereknek; pontosabban ezek „nyújtási transzformáció előtti előképének”. (A sebességvektorok a lokális éterhez képest nyugvó, tehát lokálisan abszolút K0 vonatkoztatási rendszerben értendők.) Ezen nincs is mit csodálkozni, hiszen a Bolyai-féle hiperbolikus geometria ugyanúgy méri a szöget, mint az euklideszi geometria: mindkettő a Riemann-féle szögmértéket használja. A körlap O középpontja nem más, mint maga a lokális K0! A C-K-modell talán legnagyobb előnye abban rejlik, hogy úgy alkotható meg a szemléletünkhöz legközelebb álló euklideszi térben/síkban, hogy e beágyazáshoz nincs szükség 1 számmal magasabb dimenziójú euklideszi térre. Magyarán a C-Kmodell szerinti hiperbolikus sík – vagyis 2-dimenziós hiperbolikus tér – megalkotásához elegendő az euklideszi sík – vagyis a 2-dimenziós euklideszi tér. (Ez például már nincs így a szintén Poincaréhoz köthető másik hiperbolikus síkmodell, a Poincaré-féle félgömb-modell esetében: ott a hiperbolikus sík megalkotásához bizony már 3-dimenziós euklideszi térre van szükségünk!) Ebből pedig a téridő-fizika számára az a roppant értékes következmény származik, hogy az emberi szemlélet számára még felfogható/”kézzelfogható”/természetes 3-dimenziós euklideszi térben megalkotható a C-K-modell háromdimenziós változata, azaz a 3-dimenziós 1
hiperbolikus tér! (Ami pedig korábbi tanulmányaink szerint – lásd sebességreprezentáció – éppen elegendő a négydimenziós fizikai téridő teljes körű tanulmányozásához.) Ehhez nem kell mást tenni, mint a 2-dimenziós C-K-modellt körbeforgatni bármelyik átmérője körül: az így nyert (k0 sugarú) „gömbhéja nélküli golyó” lesz a 3-dimenziós euklideszi térben megalkotott 3-dimenziós hiperbolikus tér Cayley-Klein-féle modellje. Gömbünk belső pontjai egy-egy olyan Kv inerciarendszernek felelnek meg, amelyek K0-beli v sebességének iránya éppen a gömb O középpontjától a megfeleltetett dv pontba húzott 3-dimenziós „vektor” irányával azonos. (A k0 sugarú gömb belső pontjai alkotta 3-dimenziós hiperbolikus tér hiperbolikus síkjait a gömböt átszelő euklideszi síkoknak a gömb belsejébe eső részei alkotják.) Iménti megjegyzésünkből már az is („hiperbolikus”) egyenesen következik, hogy az Einstein-féle speciális relativitáselmélet miért tarthatatlan és menthetetlen tévtan. Abban ugyanis a C-K-modell egy c0≡c (≡k0≡kv≡áll. minden |v|
a δ euklideszi mértéke hol δ k0 th k , hol pedig bonyolultabb alakú – attól d
0
függően, hogy a d hiperbolikus szakaszt a C-K-modell valamely átmérőjén vesszük fel, avagy azt egy, az O középponttól 0.<.m hiperbolikus távolságra lévő „igazi A „kDv<1 ∀ megengedett v-re” feltételezéssel pedig már a gömb felületén is túlra/kívülre helyeznénk a fény sebességét. (A vákuumbeli fény terjedése amúgy csak a „kDv≡1 minden megengedett v-re” föltevéssel lehet izotróp bármely inerciarendszerben.) 1
2
húron”. Ez utóbbinál (d valamely „valódi tartóhúron” van) három alapeset különböztethető meg: 1. A d szakasz mindkét végpontja az O-ból a szakaszt tartó húrra bocsátott merőlegesnek – a húrral alkotott – metszéspontjától a húrnak egyazon oldalára esik (természetesen d mindkét végpontja a metszésponttól nullánál nagyobb hiperbolikus távolságban). Ekkor a d hiperbolikus szakasz euklideszi mértékének kifejezése nagyon bonyolult – most meg sem próbáljuk megadni. (Talán majd egy következő dolgozatban megkíséreljük..) 2. E második eset annyiban tér el az iménti 1. esettől, hogy a d hiperbolikus szakasz egyik végpontja egybeesik az O-ból a húrra bocsátott merőleges és a húr metszéspontjával. E speciális esetben a d hiperbolikus távolság euklideszi mértéke (ld. még [1], 3. pont): δ
d
k0 th k m
0
ch k 0
, amelynek a k th kifejezés – mivel ch(x)≥1 ∀ x
szakasz hiperbolikus mértéke; melynek µ euklideszi mértéke amúgy: µ k th .
re – már csak egy felső korlátja. Itt m az O középpontból a húrra bocsátott merőleges
3. A harmadik esetben pedig a d hiperbolikus szakasz végpontjai a metszésponttól a tartóhúr ellentétes oldalaira esnek. Ekkor a d hiperbolikus távolság euklideszi mértéke szintén rendkívül bonyolult formula; ugyanakkor különbözik az 1. esetbeli kifejezéstől is. E többarcúságnak megint csak megvan az egyértelmű és fontos fizikai jelentése/ megfelelője! Ennek föltárásához tekintsük az 1. Ábrát. A dw és dv pontok – amelyek korábbi fejtegetéseink szerint a Kw és Kv vonatkoztatási rendszereknek (pontosabban azok nyújtás előtti „előképeinek”) felelnek meg – a lokálisan abszolút K0-t reprezentáló O középponttól, euklideszi értelemben δ k th és δ k
th távolságra vannak. Ebből pedig az következik – tekintettel arra, hogy az O
középpontból induló dv „hiperbolikus vektorok” mindig valamely átmérőn fekszenek – , hogy a lokálisan abszolút K0 alaprendszerből mért valamennyi v sebesség értéke, irányától függetlenül, mindig az őt reprezentáló dv hiperbolikus szakasz euklideszi mértékével egyenlő: v δ k th . Nem így a Kv-ből mért du* esetében:
u k th ≠ δ δ m , ahol m*>0 a du* „tartóegyenesének” hiperbolikus
távolsága az O középponttól. Ha viszont w és v egy egyenesbe esik – azaz ha az általuk bezárt γ szög nulla – akkor m* is nullává válik. Magyarán arról van szó, hogy akkor egyenlő két, egyenként a lokálisan abszolút K0-ból mért sebesség (pl. w és v) különbségképzésével kapott valamely u* sebesség az őt reprezentáló du* hiperbolikus vektor euklideszi hosszával, ha w és v egyazon tartóegyenesen fekszenek (azaz ha egyező vagy ellentétes irányú sebességek). Ha w és v a 3-dimenziós térben egymással 3
γ≠0 (és persze γ≠180o) szöget zárnak be, akkor az így adódó "#
δ !
!
sebességérték már nem egyenlő a du* hiperbolikus távolság euklideszi
mértékével:
X
Y O≡K0
r=k0
γ
dv
Kv
dw du*
Kw 1. Ábra
A „*” azért szerepel u jelölésében, mert a Dobó-Topa modell szerint a tényleges u számításához még egy valódi nyújtásra is szükség van (azaz kilépünk a k0 görbületi paraméterű hiperbolikus térből, és u*-hoz hozzárendeljük egy kv>k0 görbületi paraméterrel
jellemezhető – „negatívan kevésbé görbült” – másik tér u vektorát): u ⋅u $ ⋅u .
$
*** A továbbiakban bemutatjuk a hiperbolikus térbeli reprezentációban rejlő hihetetlen erőt és szépséget. Ehhez az 1. Ábra du* sebesség-reprezentánsát a hiperbolikus koszinusztétel segítségével fejezzük ki (dw, dv és γ függvényében): (1) %#
& !
%# ' %# ( ) *# ' *# ( %+*γγ . &
!
&
&
!
!
&
!
Szükségünk lesz még a hiperbolikus függvények közti, alábbi nevezetes összefüggésre is: (2) ch x
-
.-/012 3
Végezetül teremtsük meg a kapcsolatot a „sebességreprezentációs hiperbolikus tér” pontjai és a fizikai világ kapcsolódó sebességei között – azaz alkalmazzuk Dobó alapformuláját: (3) w k th , v k th , u k th
Mivel 4
ezért
(4) ch6 x ) sh6 x 1 (5) sh x .ch6 x ) 1 2 miatt < <-/012 3 th x .-/012 3 -
-
-
-/012 3
Ezek után alkalmazzuk (1)-re a (2) és (5) összefüggéseket: (6)
-
= <-/012 >
-
= <-/012 >
-
= <-/012 >
) th
) 1 <-/012 3 th x 012 3
-
= <-/012 >
th
-
=
<-/012 >
cosγ
A (6) egyenletet – átmeneti technikai/könnyítési okokból – érdemes átírni az alábbi tömör alakba: (7) Azaz
-
@
AB) -
(8) A
-
= 01 >
A
= 01 >
B
cosγ
= = -/01 01 CDEγ >
AB
>
AB = = -/01 01 CDEγ >
>
Most írjuk ismét ki az ideiglenes jelöléseket (A-t, B-t és C-t): (9) <1 )
th6
= = GH-/012 IH-/012 I >
>
= = -/01 01 CDEγ >
>
Ezt ismét átírhatjuk (3) alkalmazásával:
(10)
<1 )
2 2
2
2
GH-/ 2 IH-/ 2 I > >
-/ 2 CDEγ >
Emeljünk négyzetre:
(11)
1)
2 2
2
2
H-/ 2 IH-/ 2 I > >
2
H-/ 2 CDEγI >
Fejezzük ki (11)-ből u*2-et:
5
u6 k 6 J1 )
(12)
2 2
2
2
H-/ 2 IH-/ 2 I > >
2
H-/ 2 CDEγI >
K k 6
2 2 2 2
H-/6 2 CDEγL M CDE2 γI/H-/ 2 / 2 L M I > > > > >
H-/ 2 CDEγI >
2
2
2
2
H-/ 2 CDEγI /H-/ 2 IH-/ 2 I > > > H-/ 2 CDEγI >
2
k 6
22 2 2 22 2 2 2 2 -/6 2 CDEγL M CDE2 γ/-L 2 L 2 / M /6 2 CDEγL M NCDE2 γ/-OL 2 L 2 > > > > > > > > > 6 6 2 2 H-/ 2 CDEγI H-/ 2 CDEγI > > 2 2 2 2 N2 /6CDEγL2 O/ 2 EPQ2 γ /6CDEγL 2 NCDE2 γ/-OL2 L2 > > 2 2 H-/ 2 CDEγI H-/ 2 CDEγI > >
k
k
Végezetül vonjunk négyzetgyököt:
(13)
u
w2 v2 sin2 γ k2 0
GNw2 )2wvcosγRv2 O) wv
1) 2 cosγ k 0
Ebből a valóságos u a szokásos „térnyújtással” adódik:
(14)
u $ u
$
T(
T+
'U (U U U *VW γ !
GN'U )U'(%+*γγR(U O) '(
X) U %+*γγ !
Ez pontosan megegyezik a [4]-ben kapott (4) alatti formulával – és ennek így is kell lenni! (A bonyolult levezetés miatt írtuk le az alkalmazott lépéseket részletesebben!) Ha most γ=0 választással élünk – azaz w és v egyazon irányba mutatnak (így egyúttal ugyanazon tartóegyenesen is fekszenek) K0-ból nézvést –, akkor speciálisan (15)
u $
$Y
|w)v| wv 1) 2 k0
$ 1)wv
$Y
γ0
w)v
k2 0
ha a szokásos 0
u k th
sebességformula a helyes – noha ekkor e képlet nem a du* hiperbolikus távolság euklideszi mértékét adja. Vajon ha u kiszámításakor – kivételesen a 2. alatti speciális esetet (3. old.) föltételezve – a du* euklideszi mértékét használtuk volna; azaz ha a
6
(17)
u k
= 01 >
[ C1 >
összefüggéssel éltünk volna –, akkor is visszajuthatnánk a (15)-beli, korábban már helyesnek megismert, speciális (γ=0) összefüggéshez? Lássuk! A (17) alkalmazásával a (10) egyenletre ez adódna:
(18)
G1 )
C12
mu 2 k0
2
2
2
GH-/ 2 IH-/ 2 I > >
-/ 2 CDEγ >
amiből a (13) módosult alakja az alábbi lenne:
(19)
ch
u
wv
1) 2 cosγ k
Ez a formula a γ=0 speciális esetre a (20) %#
\ !
| γ]!
w2 v2 sin2 γ k2 0
GNw2 )2wvcosγRv2 O)
$
$Y
0
ch
| γ]
u ch u 1 u
T(
T+
'/(
X/
'( U !
γ0
összefüggésre vezetne, amely képlet viszont megegyezik a (15) alatti képlettel! Ezek szerint e nagyon leszűkített, speciális úton nem dönthető el, hogy nem egyazon tartóegyenesre eső w és v sebességek (vagyis amikor az általuk bezárt γ szög: 0≠γ≠180o) különbségének képzésekor adódó u (vagy u*) nagyságának meghatározásakor u*-nak a (17) alatti euklideszi mértékét, avagy e mérték u k th felső korlátját kell-e alkalmazni.
*** A majd csak egy következő – döntően Dobónak a jelen dolgozat kapcsán tett észrevételeire építő – tanulmányban közlendők szerint (majdani „2. pont”) a Bolyai féle S-rendszerben és a C-K modellben a párhuzamossági távolság (d) és a párhuzamossági szög (β) közötti matematikai összefüggés azonos, csak a távolság mértéke eltérő. Erre való tekintettel a C-K modellbe ágyazva, röviden vázoljuk Dobó ragyogó levezetését, amelyet Bolyai János talán legfontosabb formulájából kiindulva épített fel. E formula szerint a k görbületi paraméterű hiperbolikus tér alapegyenletének négyzete: (21)
ctg 6 6 e >
(22)
ctg 6 6 -/CDEβ ,
Mivel
β
β
2=
-LCDEβ
ezért
7
(23)
e > -/CDEβ . -LCDEβ
2=
Most a (23) egyenletből kifejezzük cosβ-t: (24)
cosβ
2=
` > /2= ` > L-
=
=
a `> /` >
= = a `> L` >
th .
A (24) jobb oldala viszont (a Dobó-formula szerint): (25)
th .
A (21)-nek a (24)-re való átírása kellett ahhoz, hogy Dobó a (25) alatti összefüggést felismerje! Végeredményben az alábbi alakban is megadható a Dobó-Topa-féle téridőmodell alapösszefüggése: (26)
%+*β β( .
Ezzel a képlettel azonban nem lehet praktikusan számolni. *** Joggal vethető fel, hogy a Topa-féle háromosztatú modell – amelyet Dobó egyébként kezdettől fogva erősen vitat – nem tűnik összeegyeztethetőnek az 1. Ábra képével, sem az abból kiinduló, a hiperbolikus koszinusztételen alapuló (és imént bemutatott) levezetéssel. A hármasgeometriájú modellben ugyanis (a lokálisan abszolút K0-ban értelmezve a v sebességeket): (27)
k c k b c k bD
2
-/ 2 > 2
-/ 2 c
ami nyilvánvalóan csak a (28)
0 d |v| e c
v értékekre értelmezhető (úgy, hogy kv mindig létezzen, és kv>0 – sőt: kv≥ k0 – fönnálljon.) Ugyanakkor [3]-ban arra az eredményre jutottam elméleti úton, hogy (29)
k bD 2 R bD
(Ezt az értéket Dobó nem tekinti elfogadhatónak!) Ez azt jelenti az 1. Ábra, azaz a CayleyKlein hiperbolikus modell „nyelvén” – amelyben a végtelen távoli pont (a k0 sugarú kör kerülete / gömb felülete) a Topa-féle háromosztatú modell lokálisan abszolút (és R0=c0·RDo sugárral jellemezhető) K h elliptikus alaprendszerének felel meg –, hogy a C-K modell körének/gömbjének sugara: (30)
k c k bD 2c
8
Vagyis a C-K modell 1. Ábrabeli körének/gömbjének sugarát éppen felezi a lokális éterhez képest mért – és ilyen értelemben valóban egyetemes fizikai állandónak tekinthető – c0 fénysebességgel mint sugárral az O középpontból megrajzolt koncentrikus kör/gömb2. A (28) értelmében a v ennek belsejébe kell essen ahhoz, hogy a hiperbolikus koszinusztételt a bemutatott módon alkalmazhassuk u* kiszámításához! Tömören és még világosabban fogalmazva: Látszólag legalábbis, a Topa-féle háromosztatú modell – teljesen önkényesen – az 1. Ábra szerinti C-K modell (kerületétől megfosztott) k0 sugarú körlapjából / (felületétől megfosztott) gömbjéből csak a felezett (=c0) sugarú részt – pontosabban annak is csak belső pontjait – hagyja meg; legalábbis olyankor, amikor sebességkülönbségek képzésekor a kisebbik (konvencionálisan v-vel jelzett) sebességértéket tekinti. (Azért, hogy Kv még értelmezhető legyen; összhangban (27)-tel és (28)-cal.) Márpedig az 1. Ábrán, jól láthatóan, még a v-nek megfeleltethető dv is „túllóg” ezen a „képzeletbeli” és önkényes, c0 sugarú belső körön/gömbön. Akkor most hogyan is van ez..? A háromosztatú modell által felhasznált matematikai C-K modellben a k0 sugarú körlap/gömb minden belső pontjára felírható az (1) alatti hiperbolikus koszinusztétel, míg magában a fizikai jelentésű hármasgeometriájú elméletben csak a |v|
u u $ u
$
nyújtásra; amely művelet valójában egy kölcsönösen egyértelmű (injektív) transzformáció a kiindulási (k0 görbületi paraméterű) hiperbolikus terünkből (ez tartozik a lokálisan abszolút K0-hoz) az érkezési (kv≥k0 görbületi paraméterű) hiperbolikus terünkbe (ez tartozik Kv-hez). És csak ez a második lépés/művelet, ez a két különböző hiperbolikus tér közötti transzformáció az, amit valóban korlátoz a (28) alatti megkötés! (Aminek viszont már vajmi kevés közvetlen köze van a C-K modell belső viszonyaihoz.) ***
2
Annak részletes bemutatása, hogy mindez ellentmondásmentesen – azaz a (3) szerinti sebesség-definícióval tökéletesen összhangban – megtehető a C-K modellben, a Hivatkozások után csatolt MELLÉKLET-ben található.
9
További félreértések merülhetnek föl az 1. Ábra alapján azzal kapcsolatosan is, hogy abban a háromszög szögeinek összege „továbbra is 180o-nak tűnik” – holott, tudvalevőleg, a hiperbolikus terek háromszögeinek összege mindig kisebb 180o-nál. Megnyugtatásul: A látszat ellenére az 1. Ábra szerinti háromszögnek is kisebb a belső szögösszege 180o-nál – ám ennek részletes magyarázata, kiegészítve Dobónak a jelen dolgozathoz fűzött további mélyenszántó észrevételeivel, már egy következő dolgozatra marad. (Annyit azért már most, elöljáróban elárulok, hogy megmutatható, miszerint a C-K modellben – az euklideszi geometria szerint egybevágó szögtartományok közül – a C-K modell O középpontjával egybeeső csúcsú szögtartomány a legnagyobb; egyben egyenlő az euklideszi geometria szerinti értékével. Ebből aztán már rögtön adódik, hogy az 1. Ábra háromszögének belső szögösszege kisebb π-nél.) ***
Fentiek fényében bátran kijelenthető, hogy Einstein téridőelmélete (speciális relativitáselmélete) éppen úgy és olyan mértékben fogyatékos a fizikában, mint az általa lényegében – bár leginkább ösztönösen – alapmodellként használt Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometria fogyatékos a Dobó-Topa-féle téridőelmélet sziklaszilárd talapzatául szolgáló Bolyai-féle „k görbületi paraméterű” hiperbolikus geometriához képest a matematikában. Budapest, 2011. március 15., kedd
Topa Zsolt fizikus, szakközgazdász
Hivatkozások [1]
Topa Zsolt: Apróságok (Kézirat, Budapest, 2004. július 17.)
[2]
Topa Zsolt: A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése (Kézirat, Budapest, 2009. április 23.)
[3]
Topa Zsolt: Első kísérlet kDo számértékének elméleti meghatározására (Kézirat, Budapest, 2010. október 3.)
[4]
Dobó Andor: A Dobó-Topa-féle formulákról (Kézirat, Budapest, 2009. június 23.)
MELLÉKLET Most pedig ellenőrizzük, hogy a c0=k0/2 sugarú koncentrikus kör/gömb kerülete/héja valóban az [1]-ben (a 3. pontban) leírt dC hiperbolikus távolságdefiníció szerint is éppen a c0 sebességnek felel meg a lokálisan abszolút K0-ban – már ha Dobó szokásos sebességformuláját használjuk. Nos lássuk: 10
%! \VW" i
dC k ? k th H I 2 k kiírva a hiperbolikus dC távolság "kettősviszonyos" deinícióját k 3c 1 2 ln 1c K 2c th H ln 3 I 2c thNln√3O 2c th J 2 k
+W%jW"kV * lö\n "pér#+**sWtV" uvwxyx
2c 2c
eQ√ ) e/Q√ eQ√ R e/Q√
2c
√3 ) e √3 R
Q √
Q √ e
1 √3 2c 2c 1 √3 R √3
2 %! \VW" i pér#+**sWtV * lák#+s "ik"+só j 4
√3 )
3)1 √3 3R1 √3
rV&j*sV \ék"é /x uuuéw
Azaz valóban teljesül jogos elvárásunk – a Cayley-Klein-féle hiperbolikus tér-modell ezúttal is meggyőző ellentmondás-mentességet, csodálatos belső harmóniát mutat!
11
