Mechatronické pohonové soustavy Část 2 Rotační elektromechanické pohony

Mechatronické pohonové soustavy Část 2 – Rotační elektromechanické pohony 

Tato publikace vznikla jako součást projektu CZ.04.1.03/3.2.15.2/0285 „Inovace VŠ oborů strojního zaměření“, který je spolufinancován evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prof. Ing. Ctirad Kratochvíl, DrSc. Doc. Ing. Jaroslav Kalous, CSc. Ing. Pavel Heriban Ing. Lubomír Houfek, Ph.D. Brno, Červen 2007

1. ÚVOD Soudobá průmyslová výroba se vyznačuje vysokou intenzifikací technologických procesů a neustále se zvyšujícími požadavky na kvalitu vyráběné produkce. To se nutně odráží ve zdokonalování strojů a ostatních výrobních zařízení a v jejich sdružování do rozsáhlejších technologických celků s maximálním využitím prostředků automatického řízení a regulace. Velkou roli při řešení problémů komplexní automatizace výroby hrají regulované elektrické pohony, které jsou schopny vyhovět značně různorodým požadavkům, vyplývajícím z nároků na vlastní průběh technologického procesu. Přitom cena samotného elektrického zařízení je relativně nízká. Zvyšování rychlosti regulačních soustav technologických zařízení, podmíněné zvyšováním pracovních rychlostí strojních zařízení při zpracování výrobků, se zákonitě projevilo ve zvýšeném ovlivňování dynamiky rotačních elektromechanických pohonů (REMP) mechanickými a technologickými faktory. Provozní zkušenosti a experimentální výzkumy elektrických pohonů v řadě průmyslových odvětví, zejména pak v hutnictví a v papírenském, textilním a chemickém průmyslu především upozornily na výrazný vliv pružnosti mechanických částí pohonů i zpracovávaného materiálu na dynamiku REMP. Důsledkem toho je především vznik samovolného kmitání v soustavách automatické regulace (SAR), což se projevuje snížením přesnosti regulace, zvýšenou hlučností převodovek, výrazným jiskřením kartáčů u komutátorových elektrických strojů, častějším přetrháváním zpracovávaného materiálu u spojitých technologických zařízení. Nejméně příjemným důsledkem samovolného kmitání REMP či SAR je pak vyřazení strojního zařízení z provozu z důvodu porušení některé jeho části. Aby se odstranilo samovolné kmitání v SAR, snižuje se zesílení příslušných regulátorů, čímž se ovšem zhoršuje dynamika SAR, která v mnoha případech pak nevyhovuje požadavkům, vyplývajícím z technologických podmínek při uvažované rychlosti zpracování materiálu. Toto všechno vyplývá z ustálených a v technické praxi dosti zakořeněných představ o absolutní či alespoň dostatečné tuhosti mechanických částí pohonu.

1

2. Rotační elektromechanické pohony 2.1 Typy REMP Z metodického hlediska můžeme REMP rozčlenit do 3 skupin. Jsou to: • jednomotorové řetězové REMP, • jednomotorové rozvětvené REMP, • vícemotorové REMP. Toto rozdělení v žádném případě nevyčerpává značnou rozmanitost REMP a nečiní si tudíž nárok na úplnost. Je zde uvedeno především s ohledem na další části této práce. Jednomotorové řetězové REMP používají jediný hnací elektrický motor, který je s pracovním strojem spojen buď přímo nebo přes převodovku řetězcem rotujících částí, který se nikde nevětví (obr. 1.1). PRACOVNÍ STROJ

MOTOR

PŘEVODOVKA

Obr. 2.1 Jednomotorový řetězový REMP . Jednomotorové rozvětvené REMP se od předcházejících liší tím, že jediný hnací motor pohání současně několik strojů (obr. 1.2). Proto je vybaven tzv. rozdružovací převodovkou, která rozděluje hnací moment do příslušného počtu větví, spojených s jednotlivými stroji. Přitom mezi jednotlivými stroji a rozdružovací převodovkou může být zařazena řetězová mechanická soustava.

2

PRACOVNÍ STROJ 1

MOTOR ROZDRUŽOVACÍ PŘEVODOVKA

PRACOVNÍ STROJ 2

Obr. 2.2 Jednomotorový rozvětvený REMP Vícemotorové REMP se od jednomotorových liší tím, že potřebný hnací moment zabezpečuje pro celý systém několik motorů, které jsou mezi sebou spojeny především mechanicky, v řadě případů i elektricky. Vícemotorové REMP vykazují ve srovnání se systémy jednomotorovými řadu předností, z nichž uveďme následující: • rozsáhlé možnosti regulace rychlostí a hnacích momentů motorů podle požadavků technologického či jiného pracovního procesu, • vzájemné rezervování výkonu, • zlepšení dynamických vlastností REMP, vyplývající ze zmenšení celkového hmotného momentu setrvačnosti motorů při stejném celkovém výkonu soustavy, • možnost projektování a konstruování vysoce výkonných REMP s použitím sériově vyráběných motorů s relativně menšími výkony, • výhodnější konstrukční řešení z hlediska umístění hnacích motorů, dané menšími rozměry a hmotnostmi motorů, což se může projevit v úspoře konstrukčních materiálů pro samotné stroje i pro jejich stavební základy. Na druhé straně se však u vícemotorových REMP objevuje nebezpečí vzniku velice složitých kmitavých dějů, které mohou mít za následek: • přerozdělování celkového zatížení mezi jednotlivé motory i další části REMP, což může vyústit až v jejich přetěžování a • nesoulad úhlových rychlostí jednotlivých hnacích motorů v systému, což vyvolává problémy zejména při regulaci rychlosti a polohy pracovních orgánů stroje. 3

Jako příklad jsou dále uvedeny dvoumotorové REMP. Z konstrukčního hlediska mohou být dvoumotorové REMP uspořádány buď s motory vedle sebe nebo s motory za sebou. V této souvislosti je třeba zdůraznit, že jde o konstrukční uspořádání a nikoliv o elektrické zapojení obou motorů. Dvoumotorový REMP s uspořádáním motorů vedle sebe je znázorněn na obr. 1.3. Při tomto uspořádání se hnací momenty motorů 1 a 2 skládají ve sdružovací převodovce, jejíž výstupní hřídel je potom spojen s pracovním strojem buď přímo nebo přes doplňkovou řetězovou soustavu. MOTOR 1

PORACOVNÍ STROJ

MOTOR 2

SDRUŽOVACÍ PŘEVODOVKA

Obr. 2.3. Dvoumotorový REMP s uspořádáním motorů vedle sebe Dvoumotorový REMP s uspořádáním motorů ze sebou je znázorněn na obr. 1.4. V tomto uspořádání je výstupní hřídel motoru 1 spojen s jedním koncem hřídele motoru 2, druhý konec hřídele motoru 2 je pak spojen buď přímo nebo přes dodatečnou řetězovou soustavu s pracovním strojem. PRACOVNÍ STROJ

MOTOR 1

MOTOR 2

PŘEVODOVKA

Obr. 2.4. Dvoumotorový REMP s uspořádáním motorů za sebou

4

2.2 Základní části REMP Chceme-li studovat problematiku analýzy dynamických vlastností a chování REMP v provozních podmínkách, je účelné vycházet ze základní struktury pohonu pracovního stroje (obr. 1.1). Na základní rozlišovací úrovni obsahuje pracovní stroj především pracovní orgány. Dále je to REMP, sloužící k pohonu těchto pracovních orgánů. Konečně se k těmto dvěma hlavním částem řadí regulační a informační systémy, zahrnující dle potřeby i vazby na spolupracující stroje ap. ELEKTRICKÁ ENERGIE

NAPÁJECÍ OBVODY

HNACÍ MOTOR

PRACOVNÍ ORGÁNY

PŘEVODY

HLAVNÍ ZPĚTNÁ VAZBA

DOPLŇKOVÁ ZPĚTNÁ VAZBA

REGULACE POHONU ŽÁDANÉ HODNOTY (PŘÍKAZY)

VÝKONOVÉ VAZBY INFORMAČNÍ VAZBY

Obr. 2.5. Struktura pohonu pracovního stroje REMP obsahuje v užším slova smyslu tyto základní strukturní části: • mechanická část pohonu, která mění vzájemný poměr dvou základních složek přenášeného výkonu, tj. momentu a úhlové rychlosti, resp. rozděluje celkový vstupní výkon z elektrické části pohonu do několika větví, • hnací část pohonu zahrnuje jeden nebo několik hlavních hnacích elektrických motorů, ve kterých se vstupní elektrická energie mění na energii mechanickou, • napájecí obvody slouží k napájení hnacích motorů elektrickou energií a • regulační soustava, která řídí nebo reguluje hnací motory podle průběhu technologického procesu nebo podle požadavků na něj kladených. Uveďme nyní základní charakteristiky strukturních částí REMP. Mechanická část je co do struktury a kinematických schémat je značně rozmanitá. Je tvořena spojkami, spojovacími hřídeli, převodovkami a dalšími rotačními částmi. Můžeme ji obecně charakterizovat jako torzní soustavu s několika setrvačníky, přičemž vazby mezi jednotlivými setrvačníky mohou být buď lineární nebo nelineární. 5

Jako hnací motory jsou v REMP používány všechny druhy elektrických motorů, tj. stejnosměrné motory (s cizím buzením, se sériovým buzením, s paralelním buzením, se smíšeným buzením), střídavé motory (indukční, synchronní), krokové motory, reluktanční motory ap. Z hlediska možnosti řízení a regulace mají největší význam stejnosměrné motory s cizím buzením. V poslední době, zejména v souvislosti s dalším rozvojem polovodičové techniky, nacházejí stále širší uplatnění střídavé indukční (asynchronní) motory. Zatímco stejnosměrné motory s cizím buzením představují dominantní typ motoru u dynamicky náročných REMP středního a velkého výkonu, používají se řízené indukční motory zejména v pohonech malých a středních výkonů, přičemž s rozvojem polovodičové techniky se dá očekávat, že postupně vytlačí i stejnosměrné motory velkých výkonů. Napájecí obvody jsou výkonové elektrické obvody převážně na bázi polovodičové techniky, napájející hnací motory elektrickou energií s požadovanými parametry. Pro napájení stejnosměrných motorů se používají usměrňovače a stejnosměrné měniče (mění velikost stejnosměrného napájecího napětí), střídavé motory jsou napájeny buď přímo z rozvodné sítě nebo přes frekvenční měniče (mění frekvenci napájecího napětí motoru), popř. přes střídače (mění stejnosměrnou elektrickou energii na energii střídavou). Zapojení regulační soustavy závisí v rozhodující míře na požadavcích, kladených na statické a dynamické vlastnosti celého regulovaného REMP. Ve většině případů je základem regulační soustavy rychlostní zpětnovazební regulační smyčka, mající za úkol realizovat požadovaný rychlostní režim celého pohonu. U dynamicky náročnějších stejnosměrných pohonů je rychlostní smyčka zpravidla doplněna zpětnovazební smyčkou pro regulaci proudu kotvy motoru, a to v tzv. kaskádním zapojení. Pokud technologický proces vyžaduje i regulaci polohy pracovního orgánu stroje, vytváří se regulační soustava s kaskádní regulací polohy a rychlosti hřídele motoru, doplněná v řadě případů korekcí polohy, odvozené od skutečné polohy pracovního orgánu stroje. Vyskytují se i případy soustav s kaskádními regulacemi polohy, rychlosti a proudu kotvy. Nezbytnou součástí regulačních soustav jsou různé snímače, jejichž hlavním úkolem je měřit velikosti fyzikálních veličin (proud, rychlost, poloha atp.), potřebných pro vyhodnocení stavu pohonu. Vlastní způsob regulace REMP může být analogový, číslicový nebo kombinovaný, tj. číslicově analogový. Při použití kombinovaného způsobu se veškeré informace o stavu REMP, získané z řady snímačů, zpracovávají zpravidla v číslicovém řídícím počítači, který 6

potom prostřednictvím číslicově analogových převodníků (tzv. D/A převodníků) ovlivňuje napájecí obvody hnacích motorů.

7

3. Matematické modely hlavních částí remp 3.1 Úvodní poznámky Výpočtové modely REMP s absolutně tuhými mechanickými prvky, které se často při projektování a konstruování používají, ne vždy umožňují dostatečně přesně určit skutečný charakter formování dynamických dějů, které vznikají či probíhají v elektrických pohonech v různých provozních režimech. Řada výzkumů v této oblasti např. prokázala, že charakteristika motoru, odpovídající určitému pracovnímu režimu, podstatně ovlivňuje pružné kmitání v mechanické části pohonu. Na druhé straně pružné kmitání v mechanickém subsystému má vliv na chování elektrických subsystémů, a to řízených i neřízených.Z této charakteristiky REMP tedy vyplývá, že její matematický model a z něj odvozený simulační model by měl obsahovat následující části: • matematický model mechanického subsystému, tj. soustavu pohybových rovnic, popisující chování mechanické části pohonu, • matematický model elektrického subsystému, tj. soustavu rovnic, popisující chování elektrického hnacího motoru.a příslušných napájecích, řídících a regulačních obvodů, • soustavu rovnic či matematických vztahů, vyjadřující provozní technologická zatížení, popř. řídící zásahy nadřazeného systému regulace technologického procesu nebo od operátora, • soustavu rovnic či matematických vztahů, která vyjadřuje vnější a vnitřní parazitní budicí účinky. Vzhledem k tomu, že modely REMP sestavujeme vždy jako účelově formulované a částečně strukturované DS, nemusí každý z nich nutně obsahovat všechny výše uvedené části. Nicméně každý z těchto modelů musí obsahovat matematický model mechanické části a matematický model elektrické části. Modely vazeb na okolí, tj. vstupy a výstupy, jakož i modely parazitních buzení strukturu modelu účelovým způsobem doplňují. Pokud jsou REMP lineární, lze jejich modely formulovat ve tvaru stavových rovnic

x (t ) = A x (t ) + B u (t ) , y (t ) = C x (t ) , kde x ( t ) je vektor stavových proměnných, 8

(0.1)

u ( t ) je vektor vstupů, y ( t ) je výstupní vektor, A, B, C jsou časově invariantní matice. V případě nelineárních REMP je třeba jejich modely formulovat pomocí soustav algebro - diferenciálních rovnic. V mnoha případech je výhodné vytvářet modely ve tvaru blokových schémat s použitím standardních výpočtových bloků.

3.2 Modely mechanické části Kinematická schémata mechanických částí REMP pracovních strojů mohou být velmi složitá. Skládají se z několika rotujících setrvačných hmot, které jsou vzájemně propojeny pomocí hřídelí, spojek a převodovek. Přitom je možné řetězové, rozvětvené nebo smíšené (kombinované) uspořádání jednotlivých prvků mechanických částí REMP. Pružnost a setrvačnost jsou specifické vlastnosti každého prvku mechanické části pohonu a přitom by měly být tyto prvky považovány za objekty s rozprostřenými parametry. To samozřejmě vede na značně složitý matematický popis s použitím parciálních diferenciálních rovnic. Aby se předešlo problémům s řešením takto popsaných soustav, zavádějí se následující předpoklady: • deformace mechanických prvků jsou pružné a platí tedy pro ně Hookův zákon, • setrvačné hmoty všech prvků mechanické části pohonu jsou soustředěné do absolutně tuhých setrvačníků vzájemně spojených pružnými nehmotnými hřídeli a • vnější momenty působí výhradně na setrvačníky, nikoliv na spojovací hřídele. Z uvedeného vyplývá, že reálné soustavy jsou tedy redukovány na systémy se soustředěnými parametry. Taková redukce vnáší sice do výpočtů určité chyby, charakteristické pro užitou metodu diskretizace, které však lze v případě potřeby minimalizovat např. použitím metody konečných prvků při sestavování modelu mechanické části pohonu. Protože však výše uvedené předpoklady zjednodušují analýzu a modelování a vedou k dobře interpretovatelným výsledkům, byly akceptovány ve všech dalších úvahách a analýzách. Při matematickém popisu soustav s mnoha rotujícími setrvačníky, se obvykle používají modely, přepočítané zpravidla na hřídel motoru. Skládají se z příslušného počtu setrvačníků Ji, které jsou vzájemně mezi sebou spojeny nehmotnými pružnými vazbami, charakterizova9

nými činiteli tuhosti kij a vnitřního tlumení bij a vůlemi ψij. Pokud je to nutné, bere se v úvahu i vnější tlumení, způsobené suchým třením, odporem vzduchu při rotaci a dalšími faktory. 3.2.1 Modely řetězových soustav Modely řetězových soustav jsou založeny na kinematickém schématu na obr. 3.1. J1

J2

J3

b12, k12

b23, k23

ψ12

ψ23

ω1,ϕ1

ω2,ϕ2

Jn b34, k34

b(n-1),n k(n-1),n

ψ4

ψ(n-1),n

ω3,ϕ3

ωn,ϕn

Obr. 3.1. Řetězová soustava s n setrvačníky Za předpokladu, že dále uvažované soustavy jsou lineární, pak pro soustavu se třemi setrvačníky, na niž působí libovolné vnější momenty M1 až M3, platí následující soustava pohybových rovnic:

dω1 + b12 (ω1 − ω 2 ) + k12 (ϕ1 − ϕ 2 ) = M 1 , dt dω 2 J2 + b23 (ω 2 − ω 3 ) + k23 (ϕ 2 − ϕ 3 ) − b12 (ω1 − ω 2 ) − k12 (ϕ1 − ϕ 2 ) = M 2 , dt dω 3 J3 − b23 (ω 2 − ω 3 ) + k23 (ϕ 2 − ϕ 3 ) = M 3 , dt J1

(0.2)

kde ωi jsou úhlové rychlosti a

ϕι jsou úhlové výchylky jednotlivých setrvačníků. Zavedeme následující vektory: • stavový vektor

x ( t ) = ⎡⎣ω1 ( t ) , ω 2 ( t ) , ω3 ( t ) , ϕ12 ( t ) , ϕ 23 ( t ) ⎤⎦ ,

(0.3)

u ( t ) = ⎡⎣ M 1 ( t ) , M 2 ( t ) , M 3 ( t ) , 0, 0⎤⎦ ,

(0.4)

T

kde ϕij = ϕi − ϕ j , • vektor vstupů T

• výstupní vektor

10

y ( t ) = ⎡⎣ω1 ( t ) , ω 2 ( t ) , ω3 ( t ) , M 12 ( t ) , M 23 ( t ) ⎤⎦ , T

(0.5)

kde Mij je pružný moment ve spojovacím hřídeli mezi setrvačníky Ji a Jj. Potom pro uvažovanou lineární soustavu se třemi setrvačníky platí obecné stavové rovnice (0.1), v nichž časově invariantní matice mají následující tvary: ⎡ b12 ⎢− J ⎢ 1 ⎢ b12 ⎢ J 2 A=⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ 0

b12 J1 −

0

k12 J1

b23 J2

k12 J2

b23 J3

b − 23 J3

0

−1 1

0 −1

0 0

b12 + b23 J2

⎡1 ⎢0 ⎢ B = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0 ⎡1 ⎢0 ⎢ C = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

⎤ 0 ⎥ ⎥ k23 ⎥ − ⎥ J2 ⎥ k23 ⎥ J 3 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

0 0 0 0⎤ 1 0 0 0 ⎥⎥ 0 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 0 0⎥ 0 0 0 0 ⎥⎦ 0 0 1 0

0 0

0 1 0 0 0 k12 0 0 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ k23 ⎥⎦

(0.6)

(0.7)

(0.8)

V závislosti na počtu hnacích motorů mohou být řetězové soustavy rozděleny do dvou základních skupin. Jsou to: • jednomotorové soustavy, v nichž hnací moment motoru působí na setrvačník J1 a • vícemotorové soustavy, v nichž hnací momenty několika motorů působí současně na několik setrvačníků. 3.2.1.1 Jednomotorová soustava Jak již bylo uvedeno, v jednomotorové řetězové soustavě působí na setrvačník J1 na obr. 3.1 hnací moment motoru MM, zatímco na setrvačník J3 působí zatěžovací moment ML.

11

J1

J2

J3

b12 k12 MM

b23 k23 ML

ω1 ϕ1

ω2 ϕ2

ω3 ϕ3

Obr. 3.2. Jednomotorová řetězová soustava se třemi setrvačníky Na setrvačník J2 nepůsobí v ideálním případě žádný moment. Protože uvažujeme lineární soustavu, platí pro ni předchozí matematický model (0.3) až (0.8) s tím, že vstupní vektor (0.4) je třeba nahradit vektorem

u ( t ) = ⎡⎣ M M ( t ) , 0, − M L ( t ) , 0, 0⎤⎦ . T

(0.9)

Blokové schéma lineárního modelu řetězové soustavy se třemi setrvačníky je uvedeno na obr. 3.3. J1−1

ω1

f(t)

MM

b12

k12

J 2−1

ω2 b23

k23

J 3−1

ω3

f(t)

ML

Obr. 3.3. Lineární model řetězové soustavy se třemi setrvačníky 12

3.2.1.2 Dvoumotorová soustava s motory za sebou Ve dvoumotorové soustavě s řazením motorů za sebou působí hnací moment prvního motoru MM1 na setrvačník J1, hnací moment druhého motoru MM2 na setrvačník J2 a zatěžovací moment ML na setrvačník J3 (obr. 3.4). J1

J2 b12 k12

MM1

J3 b23 k23

MM2

ω1 ϕ1

ML

ω2 ϕ2

ω3 ϕ3

Obr. 3.4. Dvoumotorová soustava s řazením motorů za sebou Pokud soustava je považována za lineární, platí pro ni předchozí matematický model (0.3) až (0.8) s tím, že vstupní vektor (0.4) je třeba nahradit vektorem

u ( t ) = ⎡⎣ M M 1 ( t ) , M M 2 ( t ) , − M L ( t ) , 0, 0⎤⎦ . T

(0.10)

Blokové schéma lineárního modelu dvoumotorové soustavy s řazením motorů za sebou je uvedeno na obr. 3.5. J1−1

ω1

f(t)

M M1

b12

k12

J 2−1

ω2

f(t) MM2

b23

k23

J 3−1

ω3

f(t)

ML

Obr. 3.5. Lineární model dvoumotorové soustavy s řazením motorů za sebou 13

V řadě případů je vazba mezi prvním a druhým hnacím motorem velmi tuhá a v tom případě lze celou soustavu považovat za soustavu s jedním motorem, jehož hnacím moment je dán součtem hnacích momentů obou motorů. V takovém případě je vstupní vektor roven

u ( t ) = ⎡⎣ M M 1 ( t ) + M M 2 ( t ) , 0, − M L ( t ) , 0, 0⎤⎦

T

(0.11)

a blokové schéma modelu je formálně totožné s blokovým schématem na obr. 3.2. 3.2.1.3 Dvoumotorová soustava s motory vedle sebe Ve dvoumotorové soustavě s řazením motorů vedle sebe působí hnací moment prvního motoru MM1 na setrvačník J1, hnací moment druhého motoru MM2 na setrvačník J3 a zatěžovací moment ML na setrvačník J2 (obr. 3.6).

J1

J3 b13 k13

MM1

J2 b23 k23

ML

ω1 ϕ1

MM2

ω3 ϕ3

ω2 ϕ2

Obr. 3.6. Dvoumotorová soustava s řazením motorů vedle sebe V tomto setrvačníku představuje především slučovací převodovku, k jejímuž výstupnímu hřídeli může být připojena řetězová soustava. Protože soustava je považována za lineární, platí pro ni předchozí matematický model (0.3) až (0.8) s tím, že vstupní vektor (0.4) je třeba nahradit vektorem

u ( t ) = ⎡⎣ M M 1 ( t ) , − M L ( t ) , M M 2 ( t ) , 0, 0⎤⎦ . T

(0.12)

Blokové schéma lineárního modelu dvoumotorové soustavy s řazením motorů vedle sebe je uvedeno na obr. 3.7.

14

J1−1

ω1

f(t)

M M1

b12

k12

J 2−1

ω2

f(t)

ML

b23

k23

J 3−1

ω3

f(t)

MM2

Obr. 3.7. Lineární model dvoumotorové soustavy s řazením motorů vedle sebe 3.2.2 Modely rozvětvené soustavy Modely rozvětvených soustav jsou založeny na kinematických schématech na obr. 3. 8. J3

a) J1

J2 b 23

b12 k12

b

ω1 ϕ1

J1

k 23

J4

ω2 ϕ2

24

J2

b)

b 12

ω3 ϕ3

J3 b

k

ω2 ϕ2

24

k 12

13

k

13

ω4 ϕ4

Obr. 3.8. Kinematická schémata rozvětvených soustav 15

ω2 ϕ2

ω3 ϕ3

Jako příklad uvažujme soustavu se třemi setrvačníky, přičemž na setrvačník J1 působí hnací moment motoru MM, zatěžovací momenty ML2, resp. ML3 působí na setrvačníky J2, resp. J3. Zavedeme následující vektory: • stavový vektor

x ( t ) = ⎡⎣ω1 ( t ) , ω 2 ( t ) , ω3 ( t ) , ϕ12 ( t ) , ϕ13 ( t ) ⎤⎦ ,

(0.13)

u ( t ) = ⎡⎣ M M ( t ) , − M L 2 ( t ) , − M L3 ( t ) , 0, 0⎤⎦ ,

(0.14)

T

kde ϕij = ϕi − ϕ j , • vektor vstupů T

• výstupní vektor

y ( t ) = ⎡⎣ω1 ( t ) , ω 2 ( t ) , ω3 ( t ) , M 12 ( t ) , M 13 ( t ) ⎤⎦ , T

(0.15)

kde Mij je pružný moment ve spojovacím hřídeli mezi setrvačníky Ji a Jj. Potom pro uvažovanou rozvětvenou soustavu opět platí soustava stavových rovnic (0.1) , přičemž

⎡ b12 + b13 ⎢− J 1 ⎢ ⎢ b12 ⎢ J2 A=⎢ ⎢ b13 ⎢ J3 ⎢ ⎢ 1 ⎢ 1 ⎣⎢

⎡1 ⎢0 ⎢ B = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

b12 J1

b13 J1

k12 J1

b12 J2

0

k12 J2

0

b − 13 J3

0

−1 0

0 −1

0 0

−

0 0 0 0⎤ 1 0 0 0 ⎥⎥ 0 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 0 0⎥ 0 0 0 0 ⎥⎦

16

k13 ⎤ J1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ k13 ⎥ J 3 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎦⎥

(0.16)

(0.17)

⎡1 ⎢0 ⎢ C = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 k12 0 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ k13 ⎥⎦

(0.18)

Blokové schéma modelu rozvětvené soustavy je uvedeno na obr. 3.9. J 2−1

ω2

f(t)

M L2

b12

k12

J1−1

ω1

f(t) MM

b13

k13

J 3−1

ω3

f(t)

M L1

Obr. 3.9. Lineární model rozvětvené soustavy se třemi setrvačníky 3.2.3 Model vůle v pružných vazbách Modely, uvedené v předcházejících částech, byly považovány za lineární. Ve skutečných pohonech se však vyskytují v některých pružných vazbách vůle, takže modely soustav se stávají nelineárními. Pro vůle v pružných vazbách platí následující modelující rovnice: • pro pružný moment 17

⎧ ⎛ ψ ij ⎞ ⎪kij ⎜ ϕ ij − ⎟ 2 ⎠ ⎪ M ij = ⎨ ⎝ ⎪ ⎪⎩0

pro ϕ ij ≥ pro ϕ ij <

ψ ij 2

ψ ij 2

, (0.19) ,

Tímto vztahem se v modelujících diferenciálních rovnicích nahradí vztahy typu kijϕ ij . • pro tlumicí (ztrátový) moment ⎧ ⎪⎪bij (ω i − ω j ) Tij = ⎨ ⎪0 ⎪⎩

pro ϕ ij ≥ pro ϕ ij <

ψ ij 2

ψ ij 2

,

(0.20) ,

kde ψij je vůle ve vazbě. Tímto vztahem se v modelujících diferenciálních rovnicích nahradí vztahy typu bij (ω i − ω j ) . Blokové schéma modelu vůle v pružné vazbě je uvedeno na obr. 3.10. bij x

ωi ωj

Tij

ωi-ωj kij

Mij

ϕij

Obr. 3.10. Model vůle v pružné vazbě Obdobně jako v případě diferenciálních rovnic se tímto blokovým schématem nahradí příslušné modely lineárních pružných vazeb.

3.3 Modely elektrické části Zdrojem hnacího momentu v REMP mohou být neregulované nebo regulované stejnosměrné nebo střídavé elektrické motory. V této části jsou uvedeny modely tří nejběžnějších a nejpoužívanějších motorů, jmenovitě stejnosměrného motoru s cizím buzením a trojfázového indukčního (asynchronního) motoru. Modely dalších typů elektrických motorů najde zájemce ve specializované literatuře. 18

3.3.1 Model stejnosměrného motoru s cizím buzením Stejnosměrný motor s cizím buzením (CBSSM) je popsán následující soustavou algebro - diferenciálních rovnic: U b ( t ) = Rb I b ( t ) + U a ( t ) = Ra I a ( t ) + La

J

dΨ b ( t ) , dt

dI a ( t ) + Ei ( t ) , dt

(0.21) (0.22)

Ei ( t ) =Ψ b ( t ) ω ( t ) ,

(0.23)

M ( t ) =Ψ b ( t ) I a ( t ) ,

(0.24)

dω ( t ) = M (t ) − M L (t ) , dt

Ψ b = f ( Ib ) ,

(0.25) (0.26)

kde U a , resp. U b jsou napětí kotvy, resp. budící napětí,

I a , resp. Ib jsou proud kotvy, resp. budící proud,

Ra , resp. La jsou odpor, resp. indukčnost vinutí kotvy, Rb , resp. Lb je odpor, resp. indukčnost budícího vinutí, Ei je indukované elektromotorické napětí,

ω je úhlová rychlost rotoru motoru, M je hnací moment motoru (působí na rotor ve vzduchové mezeře), ML je zatěžovací moment,

Ψ b je činitel magnetického pole (spřažený magnetický tok ve vzduchové mezeře mezi statorem a rotorem),

J je hmotný moment setrvačnosti rotoru motoru. V této soustavě diferenciální rovnice (0.21) a (0.22) popisují dynamické děje v elektrických obvodech buzení a kotvy. Vztahy (0.23) a (0.24) vyjadřují vazbu mezi elektrickými a mechanickými veličinami. Diferenciální rovnice (0.25) je pohybovou rovnicí pro rotor motoru (tření v ložiskách motoru je zanedbáno). Konečně výraz (0.26) reprezentuje magnetizační charakteristiku feromagnetického obvodu motoru, modifikovanou činitelem, závislým na 19

konstrukčním řešení budícího vinutí. Protože tato charakteristika je lichou funkcí a symetrickou vůči počátku souřadné soustavy, lze ji s vyhovující přesností aproximovat buď polynomem 5. stupně s pouze lichými mocninami nebo cyklometrickou funkcí typu arctg ( x ) . Soustavu (0.21) až (0.25) je účelné upravit na následující soustavu tří diferenciálních rovnic pro proměnné M , ω , Ib , představující matematický model CBSSM, vhodný pro analýzy dynamiky REMP: Ta

dM ( t ) Ψ 2 (t ) Ψ (t ) + M (t ) + b ω (t ) = b U a , dt Ra Ra

dI b = Ub (t ) , dt

(0.28)

dω ( t ) = M L (t ) , dt

(0.29)

Rb I b ( t ) + Lb M (t ) − J

kde Ta =

(0.27)

La je elektromagnetická časová konstanta. Ra

Je zřejmé, že uvedený model je nelineární a lze jej vyjádřit blokovým schématem na obr. 3.11 .

20

f(t)

ML f(t)

J −1

−1 a

L

x

Ua

ω

M

Ra

x x

f(t)

Ψb

Ub Rb

Ib

Ib = f (Ψ b )

f(u)

Obr. 3.11. Model CBSSM Pokud je buzení motoru konstantní čili Ψ b = konst. , což odpovídá buď konstantnímu budícímu proudu nebo je motor buzen permanentními magnety, je model CBSSM lineární a platí pro něj následující stavové rovnice pro stavový vektor [M, ω]T

⎡ Ra − ⎡ M ⎤ ⎢ La ⎢ ⎥=⎢ ⎣ω ⎦ ⎢ 1 ⎢ ⎣ J

⎡Ψ b ⎥ ⎡M ⎤ ⎢ L La ⎥ a ⎢ω ⎥ + ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎦

Ψ b2 ⎤

−

⎤ 0 ⎥ ⎡U ⎤ ⎥ ⎢ a ⎥. 1 ⎥ ⎣M L ⎦ − ⎥ J⎦

(0.30)

Odpovídající blokové schéma modelu CBSSM s konstantním buzením je uvedeno na obr. .

21

f(t)

Ψb

ML

J −1

−1 a

L

f(t)

Ua

ω

M

Ra

Ψb

Obr. 3.12. Model CBSSM s konstantním buzením Úplné modely CBSSM zahrnují elektrickou část (budicí vinutí a vinutí kotvy), mechanickou část (rotor motoru) a transformační vztahy mezi elektrickými a mechanickými veličinami. Takový model je vhodné používat při modelování REMP s tuhou vazbou mezi motorem a poháněným strojem, reprezentovaným jediným setrvačníkem. Při modelování REMP s pružnými vazbami je mnohem účelnější modelovat CBSSM jako zdroj momentu, působícího na rotor motoru ve vzduchové mezeře mezi statorem a rotorem motoru (rotor je zahrnut do mechanické části celého pohonu). V takovém případě je model tvořen pouze rovnicemi (0.27) a (0.28). Jestliže má motor konstantní buzení (Ub = const.) a jeho kotevní obvod je napájen ze zdroje konstantního napětí (Ua = const), redukují se modelující rovnice (0.27) a (0.28) na jedinou diferenciální rovnici pro elektromagnetický moment ve tvaru Ta

kde ϑ =

ψ b2 Ra

dM ( t ) + M (t ) + ϑ ω (t ) = M 0 , dt

(0.31)

je směrnice statické momentové charakteristiky a

M0 =ψb

Ua je záběrový moment motoru. Ra

Statická momentová charakteristika CBSSM je dána vztahem

M (t ) + ϑ ω (t ) = M 0 , její graf je uveden na obr. 3.13. 22

(0.32)

M0

M

ω0 ω

Obr. 3.13. Statická momentová charakteristika CBSSM s konstantním buzením

3.3.2 Model trojfázového indukčního motoru Model trojfázového indukčního motoru IM lze formulovat buď v přirozených souřadnicích abc (a, b, c přísluší jednotlivým fázím) nebo v transformovaných souřadnicích dq. Výhodou modelu v přirozených souřadnicích je, že je obecný a tak umožňuje popsat i nesouměrný stroj, jehož jednotlivá vinutí jsou zapojena buď do hvězdy nebo do trojúhelníka, popř. nejsou mezi sebou vůbec spojena. Na druhé straně však takový model obsahuje složité vztahy mezi jednotlivými proměnnými a nevíc elektrické parametry stroje jsou časově proměnné v závislosti na vzájemné poloze mezi statorem a rotorem. To způsobuje potíže při integraci modelujících algebro – diferenciálních rovnic, což se projevuje přinejmenším nutností používat velmi krátký integrační krok a tím se prodlužuje doba trvání simulačních výpočtů. Protože trojfázové IM lze v převážné většině považovat za elektricky symetrické stroje, je účelné modelující soustavu rovnic v přirozených souřadnicích transformovat do ortogonální souřadné soustavy dq, čímž odpadnou časově proměnné parametry stroje a doba simulace se výrazně sníží. Nejrozšířenější je tzv. Parkova lineární a výkonově invariantní transformace. Za předpokladu, že modelovaný trojfázový IM s kotvou nakrátko je symetrický, mají modelující algebro – diferenciální rovnice v ortogonální souřadné soustavě dq následující tvary (indexem s jsou označeny statorové veličiny, indexem r jsou označeny rotorové veličiny): Rs isd ( t ) + Ls

disd ( t ) di ( t ) + Lm rd = usd ( t ) , dt dt

23

(0.33)

Rs isq ( t ) + Ls

disq ( t ) dt

+ Lm

dirq ( t ) dt

= usq ( t ) ,

dird ( t ) di ( t ) + Lm sd + p ω ( t ) ⎡⎣ Lr irq ( t ) + Lm isq ( t ) ⎤⎦ = 0, dt dt

Rr ird ( t ) + Lr

Rr irq ( t ) + Lr

dirq ( t ) dt

M (t ) =

+ Lm

disq ( t ) dt

− p ω ( t ) ⎡⎣ Lr ird ( t ) + Lm isd ( t ) ⎤⎦ = 0,

3 p Lm ⎡⎣ird ( t ) isq ( t ) − irq ( t ) isd ( t ) ⎤⎦ , 2 J

dω ( t ) = M (t ) − M L (t ) , dt

(0.34) (0.35) (0.36) (0.37) (0.38)

kde Ls, Lr jsou vlastní indukčnosti fázových vinutí statoru a rotoru, Lm je vzájemná indukčnost mezi statorovými a rotorovými fázovými vinutími, p je počet pólových dvojic, J je hmotný moment setrvačnosti rotoru.

ω je úhlová rychlost motoru, M je hnací moment motoru (působí na rotor ve vzduchové mezeře), ML je zatěžovací moment. Transformační vztahy mezi přirozenými a transformovanými napětími a proudy jsou: 2 1 usd = usa − ( usb + usc ) , 3 3 1 ⎞ ⎛1 usq = 3 ⎜ usb − usc ⎟ , 3 ⎠ ⎝2 isa = isd ,

( (

(0.39)

) )

1 isd − 3 isq , 2 1 isc = − isd + 3 isq . 2

isb = −

kde ua, ub, uc jsou fázová napájecí napětí. V tomto modelu rovnice (0.33) až (0.36) popisují děje ve statorovém a rotorovém vinutí, rovnice (0.37) reprezentuje elektromechanickou přeměnu a rovnice (0.38) je pohybovou rovnicí pro rotor.

24

Z rovnic (0.33) až (0.38) je zřejmé, že model trojfázového IM s kotvou nakrátko je nelineární (existují v něm součiny proměnných). Je samozřejmě možné model linearizovat v okolí zvoleného pracovního bodu, ovšem i takový linearizovaný model je poměrně složitý. Na obr. 3.14 je uvedeno blokové schéma nelineárního modelu trojfázového IM. f(t) ua transformace statoru abc -> dq

f(t) ub

rovnice (3.39)

usd

isd isq stroj dq

usq

f(t)

rovnice (3.33) až (3.36)

ird irq

elektromechanická přeměna

M

J −1

ω

rovnice (3.37) f(t)

uc

ML

Obr. 3.14. Blokové schéma modelu trojfázového IM Podobně jako v případě CBSSM je při modelování REMP s pružnými vazbami vhodnější modelovat trojfázový IM jako zdroj momentu a jeho rotor zahrnout do mechanické části. Diferenciální rovnice pro elektromagnetický moment, působící na rotor IM, má tvar:

Te

kde Te =

dM ( t ) 2M k + M (t ) = , ωs − ω (t ) ωs − ωk dt + ωs − ωk ωs − ω (t )

(0.40)

1 je náhradní časové konstanta, ωs − ωk

Mk je tzv. moment zvratu motoru,

ωs =

π f p

je synchronní úhlová rychlost (f je kmitočet vstupního napájecího napětí, p je počet pólových dvojic),

ωk je úhlová rychlost motoru při momentu zvratu. Tato rovnice vychází z tzv. Klossova vztahu pro statickou momentovou charakteristiku trojfázového IM při napájení čistě harmonickými (sinusovými) napětími (obr. 3.15)

M=

2M k

ωs − ω ωs − ωk + ωs − ωk ωs − ω 25

.

Mk

ωk

Obr. 3.15. Statická momentová charakteristika IM Pro ω k < ω < ω s lze Klossův vztah upravit do tvaru

M=

2M k (ω s − ω ) = M m − ϑ ω ωs − ωk

čili v tomto intervalu úhlových rychlostí, což je obvyklý provozní interval, je statická momentová charakteristika IM lineární. Pro 0 < ω < ωk lze Klossův vztah upravit do tvaru

M = 2 Mk

ωs − ωk ωs − ω

čili v tomto intervalu úhlových rychlostí (v něm se IM provozuje zcela výjimečně, protože IM je nestabilní) má statická momentová charakteristika IM hyperbolický tvar.

3.3.3 Modely vnějšího a vnitřního buzení Nedílnou a nezastupitelnou součástí popisu REMP ve smysly jeho chápání jako DS je matematický popis zatížení, tj. veškerých v úvahu přicházejících druhů buzení. Jsou to především technologická zatížení, vyplývající z technologického procesu, pro nějž je pracovní stroj s vyšetřovaným pohonem navržen. Na druhé straně ovšem nesmíme opomenout nežádoucí či parazitní zatěžování a buzení, vyplývající jak z výrobně montážních, tak i z dalších podmínek provozování pracovního stroje a jeho pohonu.

26

Technologická zatížení představují ze systémového hlediska nejdůležitější vstup. Můžeme je chápat jako momentová zatížení, vyplývající z probíhajícího technologického procesu. Mezi technologická zatížení musíme ovšem řadit i taková zatížení, která jsou výsledkem nutných či možných zásahů do průběhu technologického procesu. Jako příklady je možné uvést např. požadavek rychlého zastavení stroje (tzv. total-stop), doprovázený prudkým bržděním elektrickou i mechanickou cestou, zablokování materiálu v pracovním stroji (tzv. mechanický zkrat) ap. Rozmanitost technologických procesů i příslušných pracovních strojů dovoluje jen velmi rámcovou klasifikaci technologických účinků. Tato klasifikace vychází jednak z technologických výpočtů a jednak ze zhodnocení experimentálně zjištěných a zaznamenaných zatěžovacích procesů, doplněných o provozní zkušenosti a další informace, soustředěné u výrobců pracovních strojů. Budeme-li technologická zatížení charakterizovat zatěžovacím momentem, působícím na pracovní nástroj stroje, resp. na výstupní setrvačník mechanické části pohonu, potom se vyskytují následující druhy zatížení: • zatěžovací moment ML závislý na rychlosti otáčení ω. Existuje řada empirických vztahů pro vyjádření této závislosti, z nichž nejčastěji se používá vzorec

⎛ω ⎞ M L (ω ) = M T + ( M n − M T ) ⎜ ⎟ ⎝ ωn ⎠ kde

x

(0.41)

MT je moment tření, Mn je zatěžovací moment při jmenovité úhlové rychlosti ωn, x je exponent, charakterizující závislost zatěžovacího momentu na úhlové rychlosti ω,

Typické jsou jeho následující velikosti: x=0

těžní stroje s vyvažováním, tvářecí stroje v hutnictví, papírenské stroje ap.,

x=1

zřídka se vyskytující případ,

x=2

stroje překonávající odpor vzduchu či tekutin (ventilátory, čerpadla ap.),

x = -1

navíjecí zařízení s konstantním tahem v navíjeném pásu ap.;

• zatěžovací moment závislý na úhlu otáčení ML = f(ϕ). Typickými představiteli takových strojů jsou pístové kompresory a čerpadla; 27

• zatěžovací moment závislý na dráze ML = f(x). Jako příklad uvedeme těžní zařízení bez vyvažování lana; • zatěžovací moment závislý na čase ML = f(t). Takový způsob zatěžování je typický např. pro tvářecí stroje apod. Kromě "užitečných" technologických zatížení se při provozování REMP objevuje celá řada parazitních buzení, která způsobují více či méně intenzivní nežádoucí kmitání mechanické části pohonu, které se může díky existenci vazeb přenést i do jeho části elektrické. Toto kmitání se superponuje na užitečná technologická zatížení, čímž zvyšuje celkovou úroveň zatížení jednotlivých částí a uzlů, což se samozřejmě odráží ve zkracování jejich životnosti a v ohrožení spolehlivosti celého REMP. Nezanedbatelný je jeho vliv na regulační soustavu u pohonů řízených či regulovaných. Parazitní buzení může mít celou řadu vnitřních i vnějších, z nichž jmenujme alespoň následující: • nevyváženost rotujících hmot. Např. u kloubových či zubových spojek a u dlouhých spojovacích hřídelí dochází k přerušovanému pohybu rotujících částí v důsledku vzájemného působení gravitačních a odstředivých sil; • kinematické buzení v mechanické části REMP, způsobené výrobními a montážními tolerancemi, resp. opotřebením některých částí pohonu. Výsledkem je periodické zatěžování, odvozené od rychlostí otáčení, resp. od úhlů natočení příslušných rotujících částí (obr. 3.16).. Osvědčilo se modelovat tyto parazitní zatěžovací momenty funkcí typu sin 2 (ϕ )

⎡π ⎤ M ( t ) = M 0 + M sin 2 ⎢ ϕ ( t ) − ϕ 0 ⎥ pro 2kπ ≤ ϕ ( t ) ≤ α + 2kπ , k = 0,1, 2,... (0.42) ⎣α ⎦ kde M0 je konstantní složka momentu a

ϕ ( t ) je skutečná, nikoliv přepočítaná úhlová výchylka rotujícího setrvačníku;

28

otáčka

Obr. 3.16 Kinematické buzení • kolísání zpětnovazebního signálu rychlosti otáčení, způsobené nesouosou montáží snímače rychlosti na příslušnou rotující část. Toto buzení má rovněž periodický charakter, ovšem na rozdíl od předcházejícího případu vyvolává kolísání hnacího momentu motoru a nikoliv momentu zatěžovacího. Je možné je modelovat např. funkcí typu sin (ϕ )

⎡ δ ⎤ ωi ( t ) = ω M ⎢1 − cos ϕ M ( t ) ⎥ , ⎣

2

⎦

(0.43)

kde ω M je skutečná a ω i je indikovaná úhlová rychlost motoru,

δ je amplituda kolísání úhlové rychlosti motoru; • kolísání technologického zatížení, způsobené např. nehomogenností zpracovávaného materiálu, nerovnoměrným ohřevem ap. Toto kolísání má obvykle náhodný charakter. Řadu těchto technologických zatížení i parazitních buzení dokážeme s dostatečnou technickou přesností popsat a na základě uskutečněných simulací studovat chování REMP v podmínkách, které jsou blízké reálným provozním podmínkám.

3.4 Poznámky k matematickým modelům V aplikované mechanice strojů je jednou z nejdůležitějších etap analýzy sestavení matematického modelu, protože na přesnosti určení parametrů reálného REMP a na matematickém vyjádření fyzikálních procesů v něm probíhajících závisí přesnost dynamických a simulačních výpočtů. 29

Při sestavování modelů konkrétních REMP je základním krokem odůvodněný výběr minimálního počtu soustředěných hmot (setrvačníků), reprezentujících uvažovaný mechanický subsystém pohonu. Přitom je třeba mít na paměti, že složitost a doba trvání matematického řešení výrazně roste se zvětšováním počtu těchto hmot. V inženýrské praxi je zpravidla nutné a dostatečné brát v úvahu pouze první dvě vlastní frekvence mechanické části pohonu, tj. redukovat celý mechanický subsystém na soustavu se třemi setrvačníky. Vyplývá to ze skutečnosti, že vyšší vlastní frekvence zpravidla výrazně nepřispívají k formování dynamického zatěžování pružných členů pohonu. V těch případech, kdy máme za úkol vyšetřit a poskytnout kvalifikovaný odhad vlivu mnoha faktorů na dynamické procesy a zatěžování, jakými jsou např. charakteristika hnacího motoru včetně jeho regulační soustavy, zákonitosti změn složitých technologických zatížení ap., je dokonce možné se omezit pouze na systém se dvěma setrvačníky s jediným vlastním kmitočtem mechanické části. Je třeba mít na paměti, že v mnoha konkrétních případech závisí přesnost analýzy dynamiky složitých REMP nejen na hloubce redukce systému, ale i na správnosti popisu zákonitostí změn vnějšího i vnitřního buzení a nelineárních vazeb, na zvažování vlivu vůlí ve vazbách a dalších konstrukčních a technologických faktorů. Poznamenejme v této souvislosti, že zvětšování počtu diferenciálních rovnic při uvažování dalších hmot a vazeb v matematickém modelu nelze automaticky spojovat se zvyšováním přesnosti kvantitativních výsledků simulací, protože zpřesnění těchto výsledků do 10 % je zpravidla v mezích chyb, jimiž je zatížen výpočet parametrů modelu soustavy. Zvětšování počtu modelujících hmot je na místě v takových případech, kdy studujeme či vyšetřujeme kvalitativně nové dynamické charakteristiky, související např. s rezonancemi na vysokých vlastních frekvencích soustavy nebo s vlivem kmitání celé soustavy na technologický proces.

30

4. Přenosové vlastnosti REMP 4.1 Úvodní poznámky Chování REMP je obvykle popsáno diferenciálními rovnicemi. Jak bylo ukázáno v předcházející 3. kapitole, tyto rovnice jsou obecně nelineární. V řadě případů je možné je aproximovat lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty. To platí zejména tehdy, kdy rozdíl mezi chováním skutečného REMP a jeho lineární interpretací je tak malý, že vliv nelineárních vlastností není podstatný. Jako příklad lze uvést provozování REMP při ustálené rychlosti otáčení s trvalým a málo kolísajícím zatížením, kdy jsou v mechanické části pohonu vymezeny vůle a v jeho elektrické části se neprojeví vliv nelineární magnetizační charakteristiky motoru, popř. i dalších nelinearit. Jestliže se však chování skutečného systému výrazně liší, je třeba lineární řešení doplnit řešením nelineárním a tím získané výsledky zpřesnit. Cennou vlastností lineárních či linearizovaných modelů REMP je platnost principu superpozice, podle kterého je celková reakce REMP na různé druhy buzení rovna součtu reakcí na každé jednotlivé buzení. Na základě toho lze individuálně analyzovat např. vliv zatěžovacího momentu na úhlovou rychlost motoru a následně pak vliv této úhlové rychlosti na hnací moment motoru při posuzování vazby mezi elektrickou a mechanickou částí REMP. Dynamické vlastnosti lineárních REMP můžeme vyjádřit různými způsoby, které účelově napomáhají při jejich analýze. Jsou to: • přenosy systému v operátorovém tvaru spolu s rozložením jejich pólů a nul, • přechodové charakteristiky systému, tj. odezvy systému na jednotkový skok, • impulsní charakteristiky systému, tj. odezvy systému na jednotkový (Diracův) impuls, • frekvenční přenosy systému a • frekvenční charakteristiky systému (v komplexní rovině, v logaritmických souřadnicích). Všechny tyto způsoby vyjádření dynamických vlastností vycházejí z lineární diferenciální rovnice, popisující relaci mezi výstupní a vstupní veličinou. Má obecně tvar an

dny d n −1 y dy d mu d m −1u du a a a y b b + + ... + + = + + ... + ba + b0u , − 1 1 0 − 1 n m m n n −1 m m −1 dt dt dt dt dt dt

kde y je výstupní veličina, 31

(3.1)

u je vstupní veličina, ai, bi jsou konstanty, n určuje řád diferenciální rovnice, přičemž u reálných systémů je m ≤ n. Přenos v operátorovém tvaru je poměr obrazů výstupní a vstupní veličiny v Laplaceově

transformaci při nulových počátečních podmínkách. Systém popsaný diferenciální rovnicí (3.1) má přenos F (s) =

Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0 = , U ( s ) an s n + an −1s n −1 + ... + a1s + a0

(0.44)

kde s je Laplaceův operátor. Polynom ve jmenovateli přenosu (0.44), nazývaný charakteristický polynom, můžeme vyjádřit jako součin kořenových činitelů čili

an s n + an −1s n −1 + ... + a1s + a0 = an ( s − p1 )( s − p2 ) ... ( s − pn ) ,

(0.45)

kde pi jsou kořeny polynomu (0.45), nazývané póly přenosu. Protože koeficienty ai charakteristického polynomu jsou reálné, mohou být póly systému reálné nebo po dvojicích komplexně sdružené. Polynom v čitateli přenosu (0.45) můžeme rovněž vyjádřit součinem kořenových činitelů čili

bm s m + bm−1s m−1 + ... + b1s + b0 = bm ( s − n1 )( s − n2 ) ... ( s − nm )

(0.46)

kde nj jsou kořeny polynomu (0.46), nazývané nulami přenosu, které opět mohou být reálné nebo po dvojicích komplexně sdružené. Přenos (0.44) můžeme tedy vyjádřit ve tvaru F (s) = G

kde G =

( s − n1 )( s − n2 ) ... ( s − nm ) ( s − p1 )( s − p2 ) ... ( s − p0 )

(0.47)

bm je zesílení (zisk) přenosu. an

Záporně vzaté převrácené hodnoty reálných pólů a nul, resp. reálných částí komplexně sdružených pólů a nul se nazývají časovými konstantami T. Znalost pólů a nul přenosu spolu se zesílením jednoznačně určuje vnější vlastnosti systému.

32

Přechodová charakteristika je grafické znázornění řešení diferenciální rovnice

Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. při jednotkovém skoku vstupní veličiny za předpokladu nulových počátečních podmínek. Analyticky je vyjádřena zpětnou Laplaceovou transformací výstupní veličiny čili

⎡1 ⎤ h ( t ) = L−1 ⎢ F ( s ) ⎥ . ⎣s ⎦

(0.48)

Impulsní charakteristika je grafické znázornění řešení diferenciální rovnice

Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. při jednotkovém (Diracově) impulsu vstupní veličiny za předpokladu nulových počátečních podmínek. Analyticky je vyjádřena zpětnou Laplaceovou transformací přenosu (0.44) čili g ( t ) = L−1 ⎡⎣ F ( s ) ⎤⎦ .

(0.49)

Mezi přechodovou a impulsní charakteristikou platí známý vztah g (t ) =

dh ( t ) dt

(0.50)

čili impulsní charakteristika je první derivací přechodové charakteristiky podle času. Je-li systém popsán impulsní charakteristikou a chceme-li získat jeho odezvu na obecný vstupní signál u, použijeme větu o konvoluci. Protože pro obraz výstupního signálu platí

Y ( s ) = F ( s )U ( s ) ,

(0.51)

pak pro originál výstupního signálu můžeme psát vztahy t

t

y ( t ) = ∫ g ( t − τ ) u (τ ) dτ , resp. y ( t ) = ∫ g (τ ) u ( t − τ ) dτ . 0

(0.52)

0

Frekvenční přenos je dán podílem Fourierova obrazu výstupní veličiny k Fourierovu

obrazu vstupní veličiny pro čistě imaginární proměnnou (opět při nulových počátečních podmínkách) Y ( jω ) bm ( jω ) + bm −1 ( jω ) + ... + b1 ( jω ) + b0 F ( jω ) = = , U ( jω ) an ( jω )n + an −1 ( jω )n −1 + ... + a1 ( jω ) + a0 m −1

m

(0.53)

kde j = −1 je imaginární jednotka (obvykle používaný symbol i pro imaginární jednotku bude v dalším použit k označení elektrického proudu),

ω je úhlová frekvence. 33

Ze srovnání výrazů (0.44) a (0.53) vyplývá, že frekvenční přenos získáme z přenosu v operátorovém tvaru formální záměnou proměnné s za jω. Frekvenční charakteristika je grafické zobrazení frekvenčního přenosu (0.53), uprave-

ného do tvaru F ( jω ) = F ( jω ) e

j arg F ( jω )

= Re ⎡⎣ F ( jω ) ⎤⎦ + jIm ⎡⎣ F ( jω ) ⎤⎦ .

(0.54)

V komplexní rovině je to křivka, jejímž parametrem je úhlová frekvence ω. Častější je zobrazení frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích, pro něž získáme výchozí vztah logaritmováním výrazu (0.54) log F ( jω ) = log F ( jω ) + j arg F ( jω ) .

(0.55)

Vlastní zobrazení vztahu (0.55) se tak rozpadá do dvou křivek, jimiž jsou: • amplitudová frekvenční charakteristika - F [ dB ] = 20 log F ( jω ) a • fázová frekvenční charakteristika - ϕ [°] = arg F ( jω ) . Frekvenční osa je zpravidla logaritmická a proto tyto charakteristiky nazýváme logaritmickými frekvenčními charakteristikami. Dynamické vlastnosti pak charakterizují obě tyto charakteristiky společně. Ve většině uvedených způsobů vyjádření dynamických vlastností lineárních REMP se vychází ze znalosti přenosů v operátorovém tvaru. Proto se v další části této kapitoly zaměříme především na jejich odvození a analýzu pro typické případy REMP s pružnými vazbami jak pro jednomotorové, tak i pro vícemotorové pohonové systémy.

4.2 Jednomotorové řetězové REMP V této části se budeme zabývat takovým uspořádáním EMPS, kdy hnací motor má jedinou výstupní hřídelí a k ní je připojena celá mechanická část, která se nikde nevětví. Přitom budeme předpokládat, že všechny parametry i další veličiny jsou přepočítány na hřídel hnacího motoru čili střední úhlové rychlosti všech rotujících částí jsou stejně velké. Dále budeme předpokládat, že mechanická část systému není tlumená.

4.2.1 REMP se dvěma setrvačníky Uvažujme pro jednoduchost dalších úvah pohonový systém, jehož mechanická část se skládá ze dvou rotujících setrvačníků s hmotnými momenty setrvačnosti J1 a J2, spojených 34

nehmotnou pružnou hřídelí s torzní tuhostí k12 a se zanedbatelným (nulovým) tlumením (obr. 4.1). Přitom setrvačník J1 přísluší rotoru hnacího motoru, setrvačník J2 reprezentuje poháněný stroj či mechanismus. Pohyby setrvačníků jsou popsány úhlovou výchylkou ϕi, resp. úhlovou rychlostí ωi. Na setrvačník J1 působí hnací moment MM, na setrvačník J2 působí zatěžovací moment ML. J1

J2 k12

ω1

ω2

Obr. 4.1. Lineární netlumená soustava se dvěma setrvačníky 4.2.1.1 Přenosy mechanické části Pro modelový systém na obr. 4.1 můžeme napsat následující soustavu pohybových diferenciálních rovnic dω1 + k12 (ϕ1 − ϕ 2 ) = M M , dt dω 2 J2 − k12 (ϕ1 − ϕ 2 ) = − M L . dt J1

(0.56)

Pružný moment ve spojovacím hřídeli je dán vztahem

M 12 = k12 (ϕ1 − ϕ 2 ) .

(0.57)

Protože soustavu považujeme za lineární, můžeme na základě použití Laplaceovy transformace převést rovnice (0.56) a (0.57) do operátorového tvaru s ω1 ( s ) J1 + M 12 ( s ) = M M ( s ) , s ω 2 ( s ) J 2 − M 12 ( s ) = − M L ( s ) ,

(0.58)

s M 12 ( s ) = k12 ⎡⎣ϕ1 ( s ) − ϕ 2 ( s ) ⎤⎦ .

Řešením soustavy (0.58) dostaneme výrazy pro obrazy úhlových rychlostí a pružného momentu:

35

1 s 2 + κ 22 1 κ 22 ω1 ( s ) = MM (s) − M L (s), J1 s ( s 2 + ν 2 ) J1 s ( s 2 + ν 2 ) 1 κ 12 1 s 2 + κ 12 ω2 ( s ) = MM (s) − M L (s), J 2 s ( s 2 +ν 2 ) J 2 s ( s 2 +ν 2 )

(0.59)

κ 12 κ 22 M 12 ( s ) = 2 MM (s) + 2 M L (s), s +ν 2 s +ν 2 kde κ 12 =

k12 k a κ 22 = 12 jsou kvadráty parciálních úhlových frekvencí soustavy a J1 J2

ν 2 = k12

J1 + J 2 = κ 12 + κ 22 je kvadrát přirozené úhlové frekvence soustavy. J1 J 2

Přenosy momentu motoru a zatěžovacího momentu jsou potom dány následujícími vztahy: • přenosy momentu motoru

ω1 ( s )

1 s 2 + κ 22 = , M M ( s ) J1 s ( s 2 + ν 2 )

ω2 ( s )

MM (s)

=

κ 12 1 , J 2 s ( s2 +ν 2 )

M 12 ( s ) κ2 = 2 1 2; M M ( s ) s +ν

(0.60)

(0.61)

(0.62)

• přenosy zatěžovacího momentu

ω1 ( s )

M L (s)

ω2 ( s )

M L (s)

=−

κ 22 1 , J1 s ( s 2 + ν 2 )

(0.63)

=−

1 s 2 + κ 12 , J 2 s ( s2 +ν 2 )

(0.64)

M 12 ( s ) κ2 = 2 2 2. M L ( s ) s +ν

(0.65)

Přenosům (0.60) až (0.65) odpovídají následující přechodové charakteristiky: a) přechodové charakteristiky úhlové rychlosti prvního setrvačníku

⎧⎪ 1 ω1 ( s ) ⎫⎪ 1 J2 sinν t , h11 ( t ) = L-1 ⎨ t+ ⎬= ⎪⎩ s M M ( s ) ⎪⎭ J1 + J 2 ν J1 ( J1 + J 2 ) 36

(0.66)

1 1 ⎪⎧ 1 ω1 ( s ) ⎪⎫ sinν t , h12 ( t ) = L-1 ⎨ t+ ⎬=− J1 + J 2 ν ( J1 + J 2 ) ⎩⎪ s M L ( s ) ⎭⎪

(0.67)

b) přechodové charakteristiky úhlové rychlosti druhého setrvačníku

⎧⎪ 1 ω 2 ( s ) ⎫⎪ 1 1 sinν t , h21 ( t ) = L-1 ⎨ t− ⎬= ⎩⎪ s M M ( s ) ⎭⎪ J1 + J 2 ν ( J1 + J 2 )

(0.68)

⎧⎪ 1 ω 2 ( s ) ⎫⎪ 1 J1 sinν t , h22 ( t ) = L-1 ⎨ t− ⎬=− J1 + J 2 ν J 2 ( J1 + J 2 ) ⎪⎩ s M L ( s ) ⎪⎭

(0.69)

c) přechodové charakteristiky pružného momentu

J2 ⎪⎧ 1 M 12 ( s ) ⎪⎫ h31 ( t ) = L-1 ⎨ (1 − cosν t ) , ⎬= ⎪⎩ s M M ( s ) ⎪⎭ J1 + J 2

(0.70)

J1 ⎪⎧ 1 M 12 ( s ) ⎪⎫ h32 ( t ) = L-1 ⎨ (1 − cosν t ) , ⎬= ⎩⎪ s M L ( s ) ⎭⎪ J1 + J 2

(0.71)

Je zřejmé, že všechny přechodové charakteristiky obsahují netlumenou harmonickou složku, jejíž frekvence je rovna přirozené frekvenci analyzované soustavy. Na obr. 4.2 je pro ilustraci uvedena logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.62) momentu motoru do pružného momentu M12 a na obr. 4.3 příslušná přechodová charakteristika (0.70). 20

0

-20

-40

-60 -75 100m mag. in dB

500m

1

5 frequency

10

50

100

Obr. 4.2. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.62)

37

270m 250m

200m

150m

100m

50m

0 0 step resp.

1

2 time

3

4

4.4

Obr. 4.3. Přechodová charakteristika pružného momentu M12 Lze samozřejmě získat průběhy logaritmických amplitudových frekvenčních charakteristik a přechodových charakteristik i pro zbývající dynamické veličiny soustavy. 4.2.1.2 Vliv hnacího motoru na přenosové vlastnosti Pokud dynamické děje v REMP probíhají relativně pomalu ve srovnání s elektromagnetickými procesy v hnacím motoru, lze hnací motor popsat jeho statickou momentovou charakteristikou ve tvaru (viz kap. 4)

M M = M 0 − ϑω ,

(0.72)

kde M0 je moment motoru při nulové úhlové rychlosti, který je ovlivnitelný např. změnou velikosti napájecího napětí motoru a

ϑ je směrnice statické charakteristiky motoru. Potom pro modelovou soustavu se dvěma setrvačníky platí následující soustava lineárních diferenciálních rovnic J1

dω1 + ϑω1 + M 12 = M 0 , dt J2

ω2 dt

− M 12 = − M p ,

dM 12 = k12 (ω1 − ω 2 ) . dt Její operátorový tvar je 38

(0.73)

s J1 ω1 ( s ) + ϑ ω1 ( s ) + M 12 ( s ) = M 0 ( s ) , s J 2ω 2 ( s ) − M 12 ( s ) = − M L ( s ) ,

(0.74)

k12 ⎡⎣ω1 ( s ) − ω 2 ( s ) ⎤⎦ − sM 12 ( s ) = 0.

Řešením soustavy (0.74) dostaneme výrazy pro obrazy úhlových rychlostí a pružného momentu: 1 s 2 + κ 22 1 1 ω1 ( s ) = M 0 ( s ) − κ 22 M L (s), J1 s 3 + ϑ s 2 + ν 2 s + κ 2 ϑ J1 s 3 + ϑ s 2 + ν 2 s + κ 2 ϑ 2 2 J1 J1 J1 J1

ϑ

s + κ 12 1 2 1 1 J1 ω2 ( s ) = κ1 M0 (s) − M L ( s ) , (0.75). ϑ 2 2 ϑ 2 2 J2 J 3 2 ϑ 3 2 ϑ 2 s + s +ν s + κ 2 s + s +ν s + κ 2 J1 J1 J1 J1 s2 +

M 12 ( s ) = κ 12

s + 3

ϑ J1

s s +ν s + κ 2

2

2 2

ϑ

M 0 ( s ) + κ 22

J1

s+ s + 3

ϑ J1

ϑ J1

s +ν s + κ 2

2

2 2

ϑ

M L ( s).

J1

Přenosy momentu motoru a zatěžovacího momentu jsou potom dány následujícími vztahy: • přenosy momentu motoru

ω1 ( s )

1 s 2 + κ 22 = , M 0 ( s ) J1 ( s + μ 0 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎣ ⎦

ω2 ( s )

M0 (s)

=

1 2 1 , κ1 2 J2 ( s + μ0 ) ⎡⎣( s + μ1 ) + ν 12 ⎤⎦

M 12 ( s ) s = κ 12 , 2 M0 (s) ( s + μ0 ) ⎡⎣( s + μ1 ) + ν 12 ⎤⎦

(0.76)

(0.77)

(0.78)

• přenosy zatěžovacího momentu

ω1 ( s )

M L (s)

= −κ 22

1 1 , J1 ( s + μ 0 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎣ ⎦

ω2 ( s )

( s + α1 ) + β12 1 , =− M L (s) J 2 ( s + μ0 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎣ ⎦

(0.79)

2

39

(0.80)

M 12 ( s ) s + α2 = κ 22 , 2 2⎤ M L (s) ⎡ + + + μ μ ν s s ( 0 ) ⎣( 1) 1 ⎦

přičemž −α1 ± j β1 jsou kořeny rovnice s 2 +

α2 =

ϑ J1

ϑ J1

(0.81)

s + κ 12 ,

je převrácená hodnota tzv. elektromechanické časové konstanty motoru,

− μ0 , − μ1 ± jν 1 jsou kořeny rovnice s 3 +

ϑ J1

s 2 + (κ 12 + κ 22 ) s + κ 22

ϑ J1

= 0.

Přenosům (0.76) až (0.81) odpovídají následující obecné tvary přechodových charakteristik: a) přechodové charakteristiky úhlových rychlostí hω ( t ) = H ω( ) + H ω( ) e − μ0 t + H ω( ) e − μ1 t cos (ν 1 t + ψ ω 1 ) , 0

1

2

(0.82)

b) přechodové charakteristiky pružného momentu hM ( t ) = H M( ) e − μ0 t + H M( ) e − μ1 t cos (ν 1 t + ψ M 1 ) , 1

2

(0.83)

Veličiny Hi závisí na parametrech mechanické části REMP a statické charakteristiky hnacího motoru. Odvození jejich obecných analytických tvarů je i v tom nejjednodušším případě dosti složité a časově náročné, proto je vhodné je určovat na základě numerických výpočtů pro každou konkrétní soustavu. Na základě výrazů (0.82) a (0.83) lze konstatovat, že přechodové charakteristiky obsahují mj. aperiodickou složku a exponenciálně tlumenou harmonickou složku, jejíž frekvence je o něco nižší, než přirozená frekvence netlumené mechanické části. Z toho vyplývá, že reálný elektrický hnací motor způsobí tlumení kmitů netlumené mechanické části REMP, přičemž intenzita tlumení závisí na parametrech statické momentové charakteristiky motoru v tom smyslu, že čím více závisí moment motoru na jeho úhlové rychlosti (čím „měkčí“ je motor), tím intenzivnější je tlumení čili kmitání se rychleji utlumí. Na obr. 4.4 a 4.5 jsou pro ilustraci uvedeny logaritmická amplitudové frekvenční charakteristiky pro přenos (0.78) a příslušná přechodová charakteristika pro pružný moment M12.

40

-30 -40

-60

-80

-100 -115 100m mag. in dB

500m

1

5 frequency

10

50

100

Obr. 4.4. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.78) 1.4m 1m

500u

0

-500u -900u 0 step resp.

1

2 time

3

4

4.6

Obr. 4.5. Přechodová charakteristika pružného momentu M12 Jestliže děje v elektrické i mechanické části REMP probíhají řádově stejně rychle, nelze zanedbat setrvačnost elektromagnetických procesů v motoru. V takových případech je třeba použít dynamickou rovnici pro moment motoru. Pro další úvahy bude použita dynamická rovnice pro elektromagnetický moment motoru ve tvaru (viz opět kap. 4) Te

M (t ) + M (t ) + ϑ ω (t ) = M 0 (t ) , dt

kde Te je elektromagnetická časová konstanta.

41

(0.84)

Potom pro modelovou soustavu se dvěma setrvačníky můžeme napsat následující soustavu lineárních diferenciálních rovnic

dM 1 + M 1 + ϑω1 = M 0 , dt dω J1 1 + M 12 − M 1 = 0, dt dω 2 J2 − M 12 = − M L , dt dM 12 = k12 (ω1 − ω 2 ) . dt

(0.85)

( sTe + 1) M1 ( s ) + ϑ ω1 ( s ) = M 0 ( s ) , s ω1 ( s ) J1 + M 12 ( s ) − M 1 ( s ) = 0 s ω 2 ( s ) J 2 − M 12 ( s ) = − M p ( s ) , k12 ⎡⎣ω1 ( s ) − ω 2 ( s ) ⎤⎦ − s M 12 ( s ) = 0

(0.86)

Te

a soustavu operátorových rovnic

Na základě řešení soustavy operátorových rovnic (0.86) lze získat následující vztahy pro přenosy momentu motoru a zatěžovacího momentu: • přenosy momentu motoru

ω1 ( s )

1 1 s 2 + κ 22 = , Fu1 ( s ) = M 0 ( s ) J1 Te ( s + μ 0 )( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦ Fu 2 ( s ) =

ω2 ( s )

M0 (s)

Fu12 ( s ) =

= κ 12

1 1 1 , J 2 Te ( s + μ 0 )( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦

M 12 ( s ) 1 s ; = κ 12 M0 (s) Te ( s + μ 0 )( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦

(0.87)

(0.88)

(0.89)

• přenosy zatěžovacího momentu

ω1 ( s )

1 s +α , J1 ( s + μ 0 )( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦

(0.90)

( s + α 2 ) ⎡⎣( s + α3 ) + β32 ⎤⎦ 1 1 , Fw 2 ( s ) = =− M L (s) J 2 Te ( s + μ0 )( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦

(0.91)

Fw1 ( s ) =

M L (s)

= −κ 22

ω2 ( s )

42

M (s) ( s + α1 ) + ν12 , Fw12 ( s ) = 12 = κ 22 2 M L (s) ( s + μ0 )( s + μ1 ) ⎡⎣( s + μ2 ) + ν 22 ⎤⎦ 2

přičemž α =

(0.92)

1 , Te

−α1 ± j β1 jsou kořeny rovnice s 2 +

1 ϑ 1 s+ = 0, Te J1 Te

−α 2 , − α3 ± j β3 jsou kořeny rovnice s 3 +

1 2 ⎛ 2 ϑ 1 s + ⎜α + Te J1 Te ⎝

⎞ 2 1 = 0, ⎟ s +α Te ⎠

− μ0 , − μ1 , − μ2 ± jν 2 jsou kořeny rovnice s4 +

1 3 ⎛ 2 ϑ 1⎞ 2 2 1 ϑ 1 s + ⎜ν + β 2 s+ β2 = 0. ⎟ s +ν Te J1 Te ⎠ Te J1 Te ⎝

Všechny přenosy (0.87) až (0.92) mají dva záporné reálné póly, fyzikálně podmíněné přítomností hnacího motoru, a dvojici komplexně sdružených pólů se zápornou reálnou částí, fyzikálně podmíněnou mechanickou částí REMP. V této souvislosti je třeba poznamenat, že přítomnost hnacího motoru může v některých případech způsobit, že místo dvou záporných reálných pólů se objeví ještě jedna dvojice komplexně sdružených pólů se zápornou reálnou částí. Je to závislé na konkrétních parametrech hnacího motoru. Přitom je však žádoucí, aby imaginární části těchto dvou dvojic komplexně sdružených pólů měly výrazně odlišné velikosti, v opačném případě hrozí nebezpečí rezonance mezi hnacím motorem a mechanickou částí REMP, což platí nejen pro tento případ. Přechodové charakteristiky pro rychlosti budou mít obecný tvar hω ( t ) = H ω( ) + H ω( ) e − μ0 t + H ω( ) e − μ1 t + Hω( ) e − μ2t cos (ν 2 t + ψ ω 2 ) 0

1

2

3

(0.93)

čili budou obsahovat kromě ustálené složky dvě složky aperiodické a jednu exponenciálně tlumenou kmitavou složku. Přechodové charakteristiky pro pružný moment budou mít obecný tvar hM ( t ) = H M( ) e − μ0 t + H M( ) e − μ1 t + H M( ) e − μ2t cos (ν 2 t + ψ M 2 ) 1

2

3

(0.94)

čili budou obsahovat dvě složky aperiodické a jednu exponenciálně tlumenou kmitavou složku.

43

4.2.2 REMP s několika setrvačníky Uvažujme nyní řetězovou lineární netlumenou soustavu s n setrvačníky J1 až Jn, které jsou navzájem spojeny nehmotnými pružnými hřídelemi s torzními tuhostmi k12 až k(n-1),n (obr. 4.6). Na setrvačník J1, příslušející rotoru motoru, působí hnací moment MM, na setrvačník Jn působí zatěžovací moment ML. Kromě toho mohou v obecném případě působit na zbývající setrvačníky poruchové momenty P2 až Pn-1. J1

J2

J3

k 12

Jn

k 23

ω1

k 34

ω2

k (n-1),n

ω3

ωn

Obr. 4.6. Lineární netlumená řetězová soustava s n setrvačníky 4.2.2.1 Přenosy mechanické části Pro soustavu na obr. 4.6 lze sestavit následující pohybové rovnice v maticovém tvaru t

dω J + K ∫ ω dt = U, dt 0

(0.95)

kde ω = [ω1 ω 2 ω 3 ... ω n ] je vektor úhlových rychlostí, T

J = diag [ J1

J 3 ... J n ] je diagonální matice hmotných momentů setrvačnosti,

J2

⎡ k12 ⎢ −k 12 K=⎢ ⎢ ... ⎢ ⎣⎢ ...

−k12 k12 + k23

U = [M M

P2

⎤ ⎥ ⎥ je matice torzních tuhostí o rozměru n x n a ... ... ⎥ ⎥ ... −k( n −1) n ⎦⎥

... ... −k23 ...

...

...

...

...

P3 ... Pn −1

... ...

− M L ] je vektor vnějších budicích momentů. T

Protože soustava je lineární, lze na pohybové rovnice (0.95) použít Laplaceovu transformaci a poté odvodit maticové rovnice pro vektor obrazů úhlových rychlostí a pro vektor obrazů pružných momentů ve spojovacích hřídelích ve tvarech

ω ( s ) = s ( s 2J + K ) U ( s ) ,

(0.96)

M ( s ) = s −1 K ∗ ω ( s ) ,

(0.97)

−1

44

T

kde M ( s ) = ⎡⎣ M 12 ( s ) M 23 ( s ) M 34 ( s ) ... M ( n −1)n ( s ) ⎤⎦ a ⎡ k12 ⎢ ... ∗ K =⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢⎣ ...

−k12 k23

⎤ ⎥ ⎥. ... ... ⎥ ⎥ ... −k( n −1)n ⎥⎦

... ... −k23 ...

...

...

...

...

... ...

Pro uvažovanou soustavu lze nalézt celou řadu přenosů jednotlivých vnějších užitečných i poruchových momentů jednak do úhlových rychlostí setrvačníků a jednak do pružných momentů ve spojovacích hřídelích. Na základě nich lze pak získat příslušné logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky a přechodové charakteristiky, a to v závislosti na potřebách jednotlivých analýz. Analytické výrazy pro přenosy jsou při větším počtu setrvačníků dosti složité a jejich odvození klasickými postupy časově značně náročné. Proto se obvykle k jejich odvození používají nejrůznější počítačové programy. Pro ilustraci jsou v dalším uvedeny analytické výrazy pro přenosy momentu motoru do rychlostí prvního a pátého setrvačníku a přenosy momentu motoru a poruchového momentu do všech pružných momentů v lineární netlumené soustavě s pěti setrvačníky. Přitom v této soustavě působí pouze moment motoru MM na první setrvačník a poruchový moment P2 na druhý setrvačník. Získané přenosy jsou doplněny zobecněnými analytickými výrazy pro přechodové charakteristiky. Kromě toho jsou pro názornost uvedeny graf logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky a korespondující přechodové charakteristiky pro jeden z přenosů. Přenosy momentu motoru MM a poruchového momentu P2 jsou v daném případě rovny: • přenosy momentu motoru 4

ω1 ( s )

M M (s)

=

1 s J1

∏(s

2

+ κ 2j )

∏(s

2

+ν

j =1 4

)

2 i

i =1

ω5 ( s )

M M (s)

=

1 4 k j ( j +1) ∏ s J 5 j =1 J j

1 4

∏(s

2

+ν

i =1

3

M 12 ( s ) k12 = M M ( s ) J1

∏(s

2

+ κ 2j )

∏(s

2

+ν

j =1

45

(0.98)

;

2 i

)

;

2 i

)

;

(0.99)

(0.100)

2

M 23 ( s ) =∏ M M ( s ) k =1 J j

k j ( j +1)

2

∏(s

2

+ κ 2j )

∏(s

2

+ν

2 i

+ν

2 i

j =1 4

i =1

4 k M 45 ( s ) j ( j +1) =∏ M M ( s ) k =1 J j

)

1 4

∏(s

2

i =1

)

;

(0.101)

;

(0.102)

• přenosy poruchového momentu 3

M 12 ( s ) k = − 12 P2 ( s ) J2

∏(s

2

+ κ 2j )

∏(s

2

+ν

j =1 4

2 i

i =1

3

M 23 ( s ) k23 = P2 ( s ) J2

)

∏(s

2

+ κ 2j )

∏(s

2

+ν

j =1 4

i =1

2

3 k M 34 ( s ) j ( j +1) =∏ P2 ( s ) Jj k =2

2 i

)

(0.104)

;

∏(s

2

+ κ 2j )

∏(s

2

+ν

j =1 4

;

(0.105)

(s +κ ) . ∏ ( s +ν )

(0.106)

2 i

i =1

4 k M 45 ( s ) j ( j +1) =∏ P2 ( s ) Jj k =2

(0.103)

;

2

4

)

2

2

2 i

i =1

Protože daná soustava je netlumená, mají všechny přenosy (0.98) až (0.106) čtyři dvojice komplexně sdružených čistě imaginárních pólů. Z toho vyplývá, že obecná řetězová soustava s n setrvačníky má ( n − 1) přirozených frekvencí ν 1 ÷ν n−1 . Pokud některé z uvedených přenosů obsahují nuly, jsou tyto nuly rovněž komplexně sdružené a čistě imaginární. Přenosům (0.98) a (0.99) momentu motoru do úhlových rychlostí setrvačníků odpovídají přechodové charakteristiky ve zobecněném tvaru 4

hω ( t ) = Hω( ) t + ∑ Hω( ) sinν i t , 0

i

(0.107)

i =1

zatímco přenosům (0.100) až (0.102) téhož momentu do pružných momentů ve spojovacích hřídelích odpovídají přechodové charakteristiky ve zobecněném tvaru 46

4

hM ( t ) = H M( ) + ∑ H M( ) cosν i t , 0

i

(0.108)

i =1

přičemž H(i) jsou reálné kladné nebo záporné konstanty. Zobecněný tvar (0.108) mají i přechodové charakteristiky, odpovídající přenosům poruchy P2 do pružných momentů ve spojovacích hřídelích. Je patrné, že přechodové charakteristiky úhlových rychlostí i pružných momentů obsahují netlumené harmonické složky, jejichž frekvence jsou rovny přirozeným frekvencím mechanické části REMP. Na obr. 4.7 je uvedena logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika, odpovídající přenosu poruchy P2 do pružného momentu M34 30

0

-50

-100 -110 100m mag. in dB

500m

1

5 frequency

10

50

100

Obr. 4.7. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.105) a na obr. 4.8 korespondující přechodová charakteristika pružného momentu M34 čili odezva tohoto pružného momentu na jednotkový skok poruchy P2.

47

400m

200m

0

-200m

-400m

-600m 0 step resp.

2

4 time

6

8

9.5

Obr. 4.8. Přechodová charakteristika pružného momentu M34 Z obr. 4.7 je zřejmé, že dominujícími frekvencemi jsou v daném případě druhá a čtvrtá přirozená frekvence mechanické časti REMP, zatímco druhá a zejména třetí frekvence mají menší vliv na formování přenosových vlastností. Kromě toho, protože všechny čtyři přirozené frekvence leží v rozmezí od 2 Hz do 9 Hz, mohou se v přechodných dějích objevit zázněje, jak je patrné v přechodové charakteristiky na obr. 4.8. 4.2.2.2 Vliv hnacího motoru na přenosové vlastnosti K posouzení vlivu statické charakteristiky elektrického motoru na přenosové vlastnosti celého REMP vyjdeme z rovnice (0.72) pro jeho statickou momentovou charakteristiku a z rovnice (0.96) pro mechanickou část REMP. Jejich úpravou se získá operátorová maticová rovnice ve tvaru

ω ( s ) = s ( s2 J + s B + K ) U ( s ) , −1

(0.109)

kde B je matice tlumení o rozměru n x n s jediným nenulovým prvkem b11 = ϑ a

U ( s ) = ⎡⎣ M 0 ( s ) P2 ( s ) P3 ( s ) ... Pn −1 ( s ) − M L ( s ) ⎤⎦ je vektor obrazů vnějších budiT

cích momentů. S použitím rovnic (0.109) a (0.97) lze odvodit vztahy pro řadu přenosů momentů a poruch do úhlových rychlostí a pružných momentů. Podobně jako v případě REMP se dvěma setrvačníky má vliv statické charakteristiky elektrického motoru obdobné účinky jako suché tření, působící na první setrvačník čili na rotor motoru. Kořeny charakteristické rovnice budou 48

zřejmě zahrnovat jeden reálný záporný kořen, dále dvojice komplexně sdružených kořenů se zápornou reálnou částí a konečně dvojice komplexně sdružených kořenů s nulovou reálnou částí. To znamená, že ve výrazech pro přechodové charakteristiky se objeví jednak aperiodický člen, exponenciálně tlumené harmonické členy a netlumené harmonické členy, jak je patrné z následujících vztahů: • obecné přechodové charakteristiky pro rychlosti

hω ( t ) = Hω( ) + Hω( ) e− μt + ∑ Hω( ) e − μit cos (ν i t + ψ ωi ) + ∑ Hω( ) cos (ν j t + ψ ω j ); (0.110) 0

1

i

j

i

j

• obecné přechodové charakteristiky pro pružné momenty

hM ( t ) = H M( ) e− μt + ∑ H M( ) e − μit cos (ν i t + ψ Mi ) + ∑ H M( ) cos (ν j t + ψ Mj ). 1

i

j

i

(0.111)

j

Z výrazů (0.110) je zřejmé, že úhlové rychlosti se po skončení přechodného děje ustálí na určité střední hodnotě H ω( ) , kolem níž budou kmitat. Naproti tomu pružné momenty budou 0

po skončení přechodného děje kmitat kolem nulové hodnoty, jak o tom svědčí vztah (0.111). Na obr. 4.9 a 4.10 jsou pro ilustraci uvedeny logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika a přechodová charakteristika pro přenos poruchy do pružného momentu M34, které demonstrují vliv statické charakteristiky motoru na uvažovanou soustavu. 30

0

-50

-100 -110 100m mag. in dB

500m

1

5 frequency

10

50

100

Obr. 4.9. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos poruchy do pružného momentu

49

400m

200m

0

-200m

-400m -550m 0 step resp.

1

2 time

3

4

4.4

Obr. 4.10. Přechodová charakteristika pružného momentu M34 Z obr. 4.9 je patrné, že přítomnost hnacího motoru způsobila v daném případě výraznější potlačení vlivu první přirozené frekvence mechanické části REMP a kromě toho kmitání celé soustavy je tlumené, jak je zřejmé z obr. 4.10. K posouzení vlivu dynamických vlastností elektrického motoru na přenosové vlastnosti celé REMP vyjdeme z dynamické rovnice motoru (0.84) a z rovnice (0.96) pro mechanickou část REMP. Jejich úpravou se získá operátorová maticová rovnice ve tvaru

ω ( s ) = s ( s 2 J + s B + K ) ⎡⎣ U ( s ) − sTe M e ( s ) ⎤⎦ , −1

(0.112)

kde M e ( s ) = [ M 1 0 ... 0] je vektor elektromagnetických momentů, obsahující v daném T

případě jediný nenulový člen. S použitím rovnic (0.112) a (0.97) lze odvodit vztahy pro řadu přenosů momentů a poruch do úhlových rychlostí a pružných momentů. Dá se předpokládat, že kořeny charakteristické rovnice čili póly konkrétního analyzovaného REMP budou značně různorodé v tom smyslu, že některé mohou být čistě reálné a záporné, některé budou komplexně sdružené se zápornou reálnou částí a některé rovněž komplexně sdružené, ale s nulovou reálnou částí. Této skutečnosti budou odpovídat i výrazy pro přechodové charakteristiky úhlových rychlostí a pružných momentů, které budou s velkou pravděpodobností dosti podobné výrazům (0.110) a (0.111). Vzhledem k jejich značné složitosti zde nejsou uvedeny.

50

4.2.3 Rozvětvené REMP Předcházející části byly věnovány přenosovým vlastnostem jednomotorových REMP, v nichž je hnací moment motoru přenášen mechanickým subsystémem k jedinému výkonnému orgánu pracovního stroje. Existuje však skupina jednomotorových rozvětvených pohonů, ve kterých se hnací moment motoru při přenosu mechanickou částí rozvětvuje k několika výkonným orgánům téhož pracovního stroje nebo je využit k pohánění několika strojů současně. Jako příklad je možné uvést pohonové systémy elektrických lokomotiv či tramvají, v nichž vždy jeden nápravový motor pohání levé a pravé kolo podvozku. V dalších úvahách se zaměříme především na lineární netlumený rozvětvený REMP na obr. 4.11. V něm na setrvačník J1 působí hnací moment motoru MM, zatímco na setrvačník J2, resp. J3 působí zatěžovací momenty ML2, resp. ML3. J2 J1

k 12

ω2 J3

ω1

k

13

ω3

Obr. 4.11. Lineární netlumená rozvětvená soustava se třemi setrvačníky 4.2.3.1 Přenosy mechanické části Pro modelovou soustavu na obr. 4.9 platí následující soustava pohybových rovnic: dω1 + M 12 + M 13 = M M , dt dω 2 − M 12 = − M L 2 , J2 dt dω 3 − M 13 = − M L 3 , J3 dt dM 12 − k12 (ω1 − ω 2 ) = 0, dt dM 13 − k13 (ω1 − ω 3 ) = 0, dt

J1

jíž odpovídá soustava operátorových rovnic 51

(0.113)

s J1 ω1 ( s ) + M 12 ( s ) + M 13 ( s ) = M M ( s ) , s J 2 ω 2 ( s ) − M 12 ( s ) = − M L 2 ( s ) , s J 3 ω 3 ( s ) − M 13 ( s ) = − M L 3 ( s ) ,

(0.114)

s M 12 ( s ) − k12 ⎡⎣ω1 ( s ) − ω 2 ( s ) ⎤⎦ = 0, s M 13 ( s ) − k13 ⎡⎣ω1 ( s ) − ω3 ( s ) ⎤⎦ = 0.

Přenosy momentu motoru a obou zatěžovacích momentů do úhlových rychlostí setrvačníků a pružných momentů ve spojovacích hřídelích, odvozené ze soustavy (0.114), mají následující tvary: • přenosy momentu motoru

ω2 ( s )

s 2 + κ 42 = , M M ( s ) J 2 s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

ω3 ( s )

M M ( s)

=

κ 12

(0.115)

κ 32

(0.116)

s 2 + κ 22 , J 3 s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

M 12 ( s ) s 2 + κ 42 2 , = κ1 2 MM (s) ( s +ν12 )( s 2 +ν 22 )

(0.117)

M 13 ( s ) s 2 + κ 22 = κ 32 2 ; MM (s) ( s +ν12 )( s 2 +ν 22 )

(0.118)

• přenosy zatěžovacího momentu ML2 2 2 2 2 1 ( s + κ 7 )( s + κ 8 ) , =− M L2 ( s ) J 2 s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

(0.119)

M 12 ( s ) s 2 + κ 32 + κ 42 = κ 22 2 , M L2 ( s ) ( s +ν12 )( s 2 +ν 22 )

(0.120)

M 13 ( s ) 1 ; = −κ 22 κ 32 2 2 M L2 ( s ) ( s +ν1 )( s 2 +ν 22 )

(0.121)

ω2 ( s )

• přenosy zatěžovacího momentu ML3 2 2 2 2 1 ( s + κ 9 )( s + κ 10 ) , =− M L3 ( s ) J 3 s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

(0.122)

M 12 ( s ) 1 , = −κ 12 κ 42 2 2 M L3 ( s ) ( s +ν1 )( s 2 +ν 22 )

(0.123)

ω3 ( s )

52

M 13 ( s ) s 2 + κ 12 + κ 22 2 = κ4 , M L3 ( s ) s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 ) kde κ 12 =

(0.124)

k12 2 k12 2 k13 2 k13 , κ2 = , κ3 = , κ4 = , J1 J2 J1 J3

2 κ 5,6 jsou kvadráty kořenů rovnice s 4 + (κ 22 + κ 42 ) s 2 + κ 22 κ 42 = 0, 2 κ 7,8 jsou kvadráty kořenů rovnice s 4 + (κ 12 + κ 32 + κ 42 ) s 2 + κ 12 κ 42 = 0, 2 κ 9,10 jsou kvadráty kořenů rovnice s 4 + (κ 12 + κ 22 + κ 32 ) s 2 + κ 22 κ 32 = 0 a 2 ν 1,2 jsou kvadráty kořenů rovnice s 4 + (κ 12 + κ 22 + κ 32 + κ 42 ) s 2 + κ 12 κ 22 + κ 22 κ 42 + κ 12 κ 42 = 0 .

Protože daná soustava je netlumená, mají všechny přenosy (0.115) až (0.124) dvě dvojice komplexně sdružených čistě imaginárních pólů. Kromě toho všechny přenosy momentů do úhlových rychlostí mají jeden pól v počátku roviny komplexní proměnné. Přenosy (0.121) a (0.123) nemají žádné nuly, přenosy (0.115) až (0.118), (0.120), a (0.124) mají jednu dvojici a přenosy (0.119) a (0.122) dvě dvojice čistě imaginárních nul. Tyto skutečnosti se projeví jednak na tvarech logaritmických amplitudových charakteristik, ale především na přenosových vlastnostech soustavy pro jednotlivé momenty. Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí mají obecný tvar hω ( t ) = H ω( ) t + Hω( ) sin ν 1t + H ω( ) sin ν 2t , 0

1

2

(0.125)

zatímco přechodové charakteristiky pružných momentů mají obecný tvar hM ( t ) = H M( ) + H M( ) cosν 1t + H M( ) cosν 2t , 0

1

2

(0.126)

přičemž nenulové konstanty H(i) mohou být kladné nebo záporné. Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí a pružných momentů tedy obsahují dvě netlumené harmonické složky, jejichž frekvence jsou rovny přirozeným frekvencím mechanické části REMP. Na obr. 4.12 a 4.13 jsou jako příklad uvedeny logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.117) momentu motoru do pružného momentu M12 a příslušná přechodová charakteristika pro případ identických větví čili pro k12 = k13 a J 2 = J 3 .

53

35 20

0

-20

-40

-60 -75 100m mag. in dB

500m

1

5 frequency

10

50

100

Obr. 4.12. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.117) 240m 200m

150m

100m

50m

0 0 step resp.

1

2 time

3

4

4.8

Obr. 4.13. Přechodová charakteristika pružného momentu M12 4.2.3.2 Vliv hnacího motoru na přenosové vlastnosti K posouzení vlivu statické charakteristiky hnacího motoru na dynamické vlastnosti rozvětveného REMP se soustava diferenciálních rovnic (0.113) doplní rovnicí statické charakteristiky (0.72). Po převedení do obrazového tvaru a úpravách lze získat následující vztahy pro hledané přenosy: • přenosy momentu motoru

54

s 2 + κ 52 )( s 2 + κ 62 ) ( 1 , = M M ( s ) J1 ( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ( s 2 + ν 32 ) ⎣ ⎦

ω1 ( s )

ω2 ( s )

(0.127)

=

κ 12

s 2 + κ 42

,

(0.128)

=

κ 32

s 2 + κ 22

,

(0.129)

s ( s 2 + κ 42 ) M 12 ( s ) 2 , = κ1 2 MM (s) ( s + μ1 ) ⎡⎣( s + μ2 ) +ν 22 ⎤⎦ ( s 2 + ν 32 )

(0.130)

s ( s 2 + κ 22 ) M 13 ( s ) ; = κ 32 2 2⎤ 2 2 MM (s) ⎡ μ μ ν ν + + + + s s s ( 1) ( 2) 2 ( 3 ) ⎣ ⎦

(0.131)

M M (s)

ω3 ( s )

M M (s)

J 2 ( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ( s 2 + ν 32 ) ⎣ ⎦ J 3 ( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ( s 2 + ν 32 ) ⎣ ⎦

• přenosy zatěžovacího momentu ML2 s 2 + κ 72 )( s 2 + κ 82 ) ( 1 , =− M L2 ( s ) J 2 ( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ( s 2 + ν 32 ) ⎣ ⎦

(0.132)

s ( s 2 + κ 32 + κ 42 ) M 12 ( s ) 2 , = κ2 2 M L2 ( s ) ( s + μ1 ) ⎡⎣( s + μ2 ) + ν 22 ⎤⎦ ( s 2 + ν 32 )

(0.133)

ω2 ( s )

M 13 ( s )

M L2 ( s )

= −κ 22 κ 32

s

2 ( s + μ1 ) ⎡⎣( s + μ 2 ) + ν 22 ⎤⎦ ( s 2 + ν 32 )

;

(0.134)

• přenosy zatěžovacího momentu ML3 s 2 + κ 92 )( s 2 + κ 102 ) ( 1 , =− M L3 ( s ) J 3 ( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ( s 2 + ν 32 ) ⎣ ⎦

ω3 ( s )

M 12 ( s )

M L3 ( s )

= −κ 12 κ 42

s

2 ( s + μ1 ) ⎡⎣( s + μ 2 ) + ν 22 ⎤⎦ ( s 2 + ν 32 )

s ( s 2 + κ 12 + κ 22 ) M 13 ( s ) 2 , = κ4 2 M L3 ( s ) ( s + μ1 ) ⎡⎣( s + μ2 ) + ν 22 ⎤⎦ ( s 2 + ν 32 ) kde − μ1 , − μ2 ± jν 22 , ± jν 32 jsou kořeny rovnice

55

(0.135)

,

(0.136)

(0.137)

s5 +

ϑ J1

s 4 + (κ 12 + κ 22 + κ 32 + κ 42 ) s 3 +

ϑ J1

(κ

2 2

+ κ 42 ) s 2 + (κ 12 κ 22 + κ 22 κ 42 + κ 12 κ 42 ) s +

ϑ J1

κ 22 κ 42 = 0.

Protože všechny odvozené přenosy (0.127) až (0.137) mají jeden reálný záporný pól, jednu dvojici komplexně sdružených kořenů se zápornou reálnou částí a jednu dvojici komplexně sdružených čistě imaginárních kořenů, budou mít přechodové charakteristiky úhlových rychlostí obecný tvar hω ( t ) = H ω( ) + Hω( ) e − μ1t + H ω( ) e − μ2t cos (ν 2t + ψ ω 2 ) + H ω( ) cos (ν 3t + ψ ω 3 ) 0

1

2

3

(0.138)

a přechodové charakteristiky pružných momentů budou mít obecný tvar hM ( t ) = H M( ) e − μ1t + H M( ) e − μ2t cos (ν 2t + ψ M 2 ) + H M( ) cos (ν 3t + ψ M 3 ) . 1

2

3

(0.139)

Je zřejmé, že přechodové charakteristiky úhlových rychlostí i pružných momentů obsahují kromě aperiodických složek také exponenciálně tlumenou harmonickou složku a netlumenou harmonickou složku Na obr. 4.14 a 4.15 jsou jako příklad uvedeny logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.130) momentu motoru do pružného momentu M12 a odpovídající přechodová charakteristika. -40

-60

-80

-100

-115 100m mag. in dB

500m

1

5 frequency

10

50

100

Obr. 4.14. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.127)

56

1.3m 1m

500u

0

-500u -700u 0 step resp.

1

2 time

3

4

4.8

Obr. 4.15. Přechodová charakteristika pružného momentu M12 K posouzení vlivu dynamických vlastností hnacího motoru na dynamické vlastnosti rozvětveného REMP se soustava diferenciálních rovnic (0.113) doplní dynamickou rovnicí pro elektromagnetický moment motoru (0.84). Po převedení do obrazového tvaru a úpravách lze opět získat následující vztahy pro přenosy momentu motoru: s 2 + κ 52 )( s 2 + κ 62 ) ( 1 = , M M ( s ) J1 ( s + μ0 )( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ( s 2 + ν 32 ) ⎣ ⎦

ω1 ( s )

ω2 ( s )

=

κ 12

(0.141)

=

κ 32

s 2 + κ 22 , J 3 ( s + μ 0 )( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ( s 2 + ν 32 ) ⎣ ⎦

(0.142)

s ( s 2 + κ 42 ) M 12 ( s ) 2 , = κ1 2 MM (s) ( s + μ0 )( s + μ1 ) ⎡⎣( s + μ2 ) + ν 22 ⎤⎦ ( s 2 +ν 32 )

(0.143)

s ( s 2 + κ 22 ) M 13 ( s ) 2 ; = κ3 2 MM (s) ( s + μ0 )( s + μ1 ) ⎡⎣( s + μ2 ) + ν 22 ⎤⎦ ( s 2 +ν 32 )

(0.144)

M M (s)

ω3 ( s )

M M (s)

s 2 + κ 42 , J 2 ( s + μ 0 )( s + μ1 ) ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ( s 2 + ν 32 ) ⎣ ⎦

(0.140)

Tyto přenosy mají obdobný tvar jako přenosy (0.127) až (0.137) s tím rozdílem, že obsahují dva reálné záporné póly, dvojici komplexně sdružených pólů se zápornou reálnou částí a dvojici komplexně sdružených čistě imaginárních pólů. Rozložení jejich nul je zcela shodné. Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí mají obecný tvar 57

hω ( t ) = Hω + Hω( ) e − μ0t + Hω( ) e − μ1t + Hω( ) e − μ2t cos (ν 2t + ψ ω 2 ) + H ω( ) cos (ν 3t + ψ ω 3 ) (0.145) 0

1

2

3

a přechodové charakteristiky pružných momentů budou mít obecný tvar hM ( t ) = H M( ) e − μ0t + H M( ) e − μ1t + H M( ) e − μ2t cos (ν 2t + ψ M 2 ) + H M( ) cos (ν 3t + ψ M 3 ) 0

1

2

3

(0.146)

To znamená, že přechodné charakteristiky budou obsahovat nejen aperiodické složky a tlumené harmonickou složku, ale i netlumenou harmonickou složku čili rychlosti i pružné momenty budou trvale kmitat.

4.3 Dvoumotorové REMP Ve dvoumotorových REMP jsou motory z mechanického hlediska uspořádány buď vedle sebe nebo za sebou. I když jejich mechanická část může být různě složitá, bude v dalším analyzována redukovaná soustava se třemi setrvačníky, z nichž dva budou představovat rotory hnacích motorů a třetí pak poháněnou mechanickou soustavu. Takový postup značně zjednoduší potřebné analýzy. 4.3.1 Dvoumotorové REMP v uspořádání vedle sebe Na obr. 4.16 je uvedeno kinematické schéma dvoumotorového REMP v uspořádání vedle sebe. V něm setrvačníky J1 a J2 reprezentují rotory obou hnacích motorů, třetí setrvačník J3 zastupuje poháněný stroj či mechanismus. Oba rotory hnacích motorů jsou s poháněným strojem spojeny příslušnými hřídeli. Na setrvačník J1 působí hnací moment MM1 prvního motoru a na setrvačník J2 působí hnací moment MM2. Setrvačník J3 je zatěžován momentem ML. Soustava je považována za lineární a netlumenou. J1

J3 k13

ω1

J2 k23

ω3

ω2

Obr. 4.16. Lineární netlumená dvoumotorová soustava v uspořádání motorů vedle sebe

58

4.3.1.1 Přenosy mechanické části Pro modelovou soustavu na obr. 4.14 platí následující soustava pohybových rovnic: dω1 + M 13 = M M 1 , dt dω 2 + M 23 = M M 2 , J2 dt dω 3 − M 13 − M 23 = − M L , J3 dt dM 13 − k13 (ω1 − ω3 ) = 0, dt dM 23 − k23 (ω 2 − ω 3 ) = 0. dt J1

(0.147)

Protože uvažovaná soustava je lineární, lze rovnice (0.147) převést do operátorového tvaru a poté odvodit vztahy pro zvolené přenosy momentů obou motorů a zatěžovacího momentu: • přenosy momentu motoru 1

ω3 ( s )

κ 12

s 2 + κ 32 = , M M 1 ( s ) J 3 s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

(0.148)

s ( s 2 + κ 62 ) M 13 ( s ) 2 = κ1 2 , M M1 ( s) ( s +ν12 )( s 2 +ν 22 )

(0.149)

• přenosy momentu motoru 2

ω3 ( s )

κ 32

s 2 + κ 12 = , M M 2 ( s ) J 3 s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

(0.150)

s ( s 2 + κ 32 ) M 23 ( s ) 2 = κ3 , M M 2 (s) s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

(0.151)

• přenosy zatěžovacího momentu 2 2 2 2 1 ( s + κ 7 )( s + κ 8 ) , =− M L (s) J 3 s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

(0.152)

s ( s 2 + κ 32 ) M 13 ( s ) 2 = −κ 2 2 , M L (s) ( s +ν12 )( s 2 +ν 22 )

(0.153)

ω3 ( s )

59

s ( s 2 + κ 12 ) M 23 ( s ) 2 = −κ 4 2 , M L (s) ( s +ν12 )( s 2 +ν 22 )

kde κ12 =

(0.154)

k13 2 k13 2 k23 2 k23 2 J +J J + J3 , κ2 = , κ3 = , κ4 = , κ 5 = k13 1 3 , κ 62 = k23 2 , J1 J3 J2 J3 J1 J 3 J 2 J3

2 κ 5,6 jsou kvadráty kořenů rovnice s 4 + (κ 12 + κ 32 ) s 2 + κ 12 κ 32 = 0, 2 ν 1,2 jsou kvadráty kořenů rovnice s 4 + (κ 12 + κ 22 + κ 32 + κ 42 ) s 2 + κ 22 κ 32 + κ 12 κ 42 + κ 12 κ 22 = 0.

Protože daná soustava je netlumená, mají všechny přenosy (0.148) až (0.154) dvě dvojice komplexně sdružených čistě imaginárních pólů. Kromě toho všechny přenosy momentů do úhlových rychlostí mají jeden pól v počátku roviny komplexní proměnné. Všechny přenosy (0.148) až (0.154) s výjimkou přenosu (0.152) mají jednu dvojici komplexně sdružených čistě imaginárních nul, přenos (0.152) má takové dvojice dvě. Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí mají obecný tvar hω ( t ) = H ω( ) t + Hω( ) sin ν 1t + H ω( ) sin ν 2t , 0

1

2

(0.155)

zatímco přechodové charakteristiky pružných momentů mají tvar hM ( t ) = H M( ) + H M( ) cosν 1t + H M( ) cosν 2t , 0

1

2

(0.156)

přičemž nenulové konstanty H(i) mohou být kladné nebo záporné. Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí i pružných momentů tedy obsahují dvě netlumené harmonické složky, jejichž frekvence jsou rovny přirozeným frekvencím mechanické části analyzovaného REMP. Na obr. 4.17 a 4.18 jsou jako příklad uvedeny logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.149) momentu motoru do pružného momentu M13 a korespondující přechodová charakteristika.

60

40 20 0 -20 -40 -60 -75 100m mag. in dB

500m

1

5 frequency

10

50

100

Obr. 4.17. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.149) 1.1 1

800m

600m

400m

200m

0 0 step resp.

2

4

6

8

10

12

time

Obr. 4.18. Přechodová charakteristika pružného momentu M13 4.3.1.2 Vliv hnacích motorů na přenosové vlastnosti K posouzení vlivu statické charakteristiky hnacího motoru na dynamické vlastnosti dvoumotorového REMP s motory vedle sebe se soustava (0.147) doplní dvojicí rovnic pro statické charakteristiky obou hnacích motorů M M 1 = M 01 − ϑ1 ω1 , M M 2 = M 02 − ϑ2 ω 2 .

(0.157)

Po převedení výsledné soustavy pohybových rovnic do obrazového tvaru a úpravách lze získat následující vztahy pro přenosy momentů motorů: 61

• přenosy momentu motoru 1

ω3 ( s )

( s + α1 ) + β12 1 , =κ M 01 ( s ) J 3 ( s + μ0 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.158)

2 ( s + α3 ) ⎡⎣( s + α 4 ) + β 42 ⎤⎦ M 13 ( s ) 2 = κ1 ; 2 2 M 01 ( s ) ( s + μ0 ) ⎡⎣( s + μ1 ) + ν12 ⎤⎦ ⎡⎣( s + μ2 ) + ν 22 ⎤⎦

(0.159)

2

2 1

• přenosy momentu motoru 2

ω3 ( s )

( s + α 2 ) + β 22 , ≈ M 02 ( s ) ( s + μ0 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.160)

2 ( s + α5 ) ⎡⎣( s + α 6 ) + β 62 ⎤⎦ M 23 ( s ) 2 = κ3 , 2 2 2⎤⎡ 2⎤ M 02 ( s ) ⎡ μ μ ν μ ν + + + + + s s s ( 0 ) ⎣( 1) 1 ⎦ ⎣( 2) 2⎦

(0.161)

kde −α1 ± j β1 jsou kořeny rovnice s 2 +

2

ϑ2 J2

s + κ 32 = 0,

−α3 , − α 4 ± j β 4 jsou kořeny rovnice s 3 + −α 2 ± j β 2 jsou kořeny rovnice s 2 +

ϑ1 J1

ϑ2 J2

s 2 + (κ 32 + κ 42 ) s +

ϑ2 J2

κ 42 = 0,

s + κ 12 = 0,

−α5 , − α 6 ± j β 6 jsou kořeny rovnice s 3 +

ϑ1 J1

s 2 + (κ 12 + κ 22 ) s +

ϑ1 J1

κ 22 = 0,

− μ0 , − μ1 ± jν1 , − μ2 ± jν 2 jsou kořeny rovnice 4 ⎛ϑ ϑ ⎞ ⎛ϑ ϑ ⎞ ⎡ϑ ⎤ ϑ s 5 + ⎜ 1 + 2 ⎟ s 4 + ⎜ 1 2 + ∑ κ i2 ⎟ s 3 + ⎢ 1 (κ 22 + κ 32 + κ 42 ) + 2 (κ 12 + κ 22 + κ 42 ) ⎥ s 2 J2 ⎝ J1 J 2 ⎠ ⎝ J1 J 2 i =1 ⎠ ⎣ J1 ⎦ ⎡ ⎛ ϑ ϑ ⎞⎤ ϑ ϑ + ⎢κ 32 (κ 12 + κ 22 ) + κ 42 ⎜ κ 12 + 1 2 ⎟ ⎥ s + 1 κ 22κ 32 + 2 κ 12κ 42 = 0. J1 J 2 ⎠ ⎦ J1 J2 ⎝ ⎣

Všechny uvedené přenosy (0.158) až (0.161) mají jeden čistě reálný záporný pól a dvě dvojice komplexně sdružených pólů. Přenosy (0.158) a (0.160) hnacích momentů motorů do úhlové rychlosti ω3 mají vždy dvojici komplexně sdružených nul, zatímco přenosy (0.159) a (0.161) hnacích momentů motorů do pružných momentů mají vždy jednu zápornou nulu a dvojici komplexně sdružených nul. 62

Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí a pružných momentů mají obecný tvar h ( t ) = H ( ) + H ( ) e − μ0t + H ( ) e − μ1t cos (ν 1t + ψ 1 ) + H ( ) e − μ2t cos (ν 2t + ψ 2 ) . 0

1

2

3

(0.162)

Na obr. 4.19 a 4.20 jsou pro ilustraci uvedeny logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.159) momentu prvního motoru do pružného momentu M13 a odpovídající přechodová charakteristika. -40 -100

-200

-300

-380 10m mag. in dB

1

100 10k frequency

1M

100M

Obr. 4.19. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.159) 440u 400u

300u

200u

100u

0 0 step resp.

2

4

6

8

10

12

time

Obr. 4.20. Přechodová charakteristika pružného momentu M13 K posouzení vlivu dynamických vlastností hnacího motoru na dynamické vlastnosti dvoumotorového REMP s motory vedle sebe se soustava (0.147) doplní dvojící dynamických rovnic pro elektromagnetické momenty obou motorů 63

M M 1 (t ) + M M 1 ( t ) + ϑ1 ω1 ( t ) = M 01 ( t ) , dt M (t ) Te 2 M 2 + M M 2 ( t ) + ϑ2 ω 2 ( t ) = M 02 ( t ) , dt Te1

(0.163)

kde M 0 ( t ) je hnací moment motoru při nulové úhlové rychlosti,

ϑ je směrnice statické momentové charakteristiky motoru a Te je elektromagnetická časová konstanta. Po převedení výsledné soustavy pohybových rovnic do obrazového tvaru a úpravách lze získat následující vztahy pro vybrané přenosy (vzhledem ke složitosti uvedeny pouze typové tvary): • přenosy momentu motoru 1

ω3 ( s )

(s +α ) + β ∼ , M 01 ( s ) ( s + μ3 )( s + μ 4 )( s + μ5 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎡( s + μ 2 )2 + β 22 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.164)

2 ( s + α 0 ) ⎡⎣( s + α1 ) + β12 ⎤⎦ M 13 ( s ) ∼ ; M 01 ( s ) ( s + μ3 )( s + μ 4 )( s + μ5 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎡( s + μ 2 )2 + β 22 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.165)

2

• přenosy momentu motoru 2

ω3 ( s )

s + α 2 ) + β 22 ( ∼ , M 02 ( s ) ( s + μ3 )( s + μ 4 )( s + μ5 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎡( s + μ 2 )2 + β 22 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.166)

2 ( s + α 3 ) ⎡⎣( s + α 4 ) + β 42 ⎤⎦ M 23 ( s ) . ∼ M 02 ( s ) ( s + μ3 )( s + μ 4 )( s + μ5 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎡( s + μ 2 )2 + β 22 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.167)

2

Charakter pólů přenosů (0.164) až (0.167) závisí na dynamických vlastnostech použitých hnacích motorů. V uvažovaném případě se předpokládalo, že motory se chovají jako aperiodické články, což se projevilo existencí dvojice čistě reálných záporných pólů. Pokud by motory měly charakter kmitavého článku, potom se tato dvojice přemění na dvojici komplexně sdružených pólů se zápornou reálnou částí. Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí a pružných momentů mají obecný tvar 3

5

hω ( t ) = H ( ) + ∑ H ( ) e− μit + ∑ H ( ) e 0

i =1

i

j =4

64

j

− μ jt

cos (ν j t + ψ j ) .

(0.168)

Výrazy (0.162) a (0.168) pro přechodové charakteristiky svědčí o tom, že podobně jako v předcházejících případech oba hnací motory přispívají k tlumení vlastních kmitů netlumené mechanické části dvoumotorového REMP s motory vedle sebe. Přitom tyto charakteristiky vždy obsahují exponenciálně tlumené harmonické složky, jejichž frekvence jsou o něco nižší než přirozené frekvence netlumené mechanické části. V případě, kdy oba motory se chovají jako kmitavé články, objeví se ve spektrech přechodových charakteristik ještě třetí tlumená harmonická složka, jejíž kmitočet je blízký přirozené frekvenci obou motorů (oba motory jsou obvykle shodné). 4.3.2 Dvoumotorové REMP v uspořádání za sebou

Na obr. 4.14 je uvedeno kinematické schéma dvoumotorového REMP v uspořádání za sebou. V něm jsou setrvačníky J1 a J2, reprezentující rotory obou hnacích motorů, spojeny mezi sebou relativně tuhými hřídeli. Třetí setrvačník J3, reprezentující poháněný stroj či mechanismus, je se setrvačníkem J2 spojen hřídelí s nižší tuhostí. Na setrvačník J1 působí hnací moment MM1 prvního motoru a na setrvačník J2 působí hnací moment MM2. Setrvačník J3 je zatěžován momentem ML. Soustava je považována za lineární a netlumenou. J1

J2 k12

ω1

J3 k23

ω2

ω3

Obr. 4.14. Lineární netlumená dvoumotorová soustava v uspořádání motorů za sebou 4.3.2.1 Přenosy mechanické části Pro modelovou soustavu na obr. 4.14 platí následující soustava pohybových rovnic:

65

J1

dω1 + M 12 = M M 1 , dt

dω 2 − M 12 + M 23 = M M 2 , dt dω 3 − M 23 = − M L , J3 dt dM 12 − k12 (ω1 − ω 3 ) = 0, dt dM 23 − k23 (ω 2 − ω 3 ) = 0. dt

J2

(0.169)

Protože uvažovaná soustava je lineární, lze rovnice převést do operátorového tvaru a poté odvodit vztahy pro zvolené přenosy momentů obou motorů a zatěžovacího momentu: • přenosy momentu motoru 1

ω3 ( s )

M M1 ( s)

= κ 12 κ 32

M 23 ( s )

M M1 ( s)

1 1 , 2 2 J 3 s ( s + ν 1 )( s 2 + ν 22 )

= κ 12κ 32

(s

1

2

+ν

2 1

)( s

2

+ ν 22 )

;

(0.170)

(0.171)

• přenosy momentu motoru 2

ω3 ( s )

M M 2 (s)

= κ 32 κ 42

M 23 ( s )

MM 2 (s)

= κ 32

s 2 + κ 12 , s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

s 2 + κ 22 ; ( s 2 +ν12 )( s 2 +ν 22 )

(0.172)

(0.173)

• přenosy zatěžovacího momentu 2 2 2 2 1 ( s + κ 5 )( s + κ 6 ) =− , M L (s) J 3 s ( s 2 + ν 12 )( s 2 + ν 22 )

(0.174)

M 12 ( s ) 1 = κ 22 κ 42 2 , M L ( s) ( s +ν12 )( s 2 +ν 22 )

(0.175)

s 2 + (κ 12 + κ 22 ) M 23 ( s ) 2 , = κ4 2 M L ( s) ( s +ν12 )( s 2 +ν 22 )

(0.176)

ω3 ( s )

přičemž κ 12 =

k12 k k k , κ 22 = 12 , κ 32 = 23 , κ 42 = 23 , J1 J2 J2 J3 66

3

κ 52 , κ 62 jsou kvadráty kořenů rovnice s 4 + s ∑ κ i2 + κ 12 κ 32 = 0, i =1 4

ν12 ,ν 22 jsou kvadráty kořenů rovnice s 4 + s 2 ∑ κ i2 + κ 12 κ 32 = 0. i =1

Je zřejmé, že všechny odvozené přenosy (0.170) až (0.176) mají dvě dvojice komplexně sdružených čistě imaginárních pólů. Kromě toho přenosy momentů do úhlových rychlostí mají jeden pól v počátku roviny komplexní proměnné. Přenosy (0.170), (0.171) a (0.175) nemají žádnou nulu, přenosy (0.172), (0.173) a (0.176) mají vždy jednu dvojici komplexně sdružených čistě imaginárních nul a konečně přenos (0.174) má dvě dvojice komplexně sdružených čistě imaginárních nul. Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí mají obecný tvar hω ( t ) = H ω( ) t + Hω( ) sin ν 1t + H ω( ) sin ν 2t , 0

1

2

(0.177)

zatímco přechodové charakteristiky pružných momentů mají tvar hM ( t ) = H M( ) + H M( ) cosν 1t + H M( ) cosν 2t , 0

1

2

(0.178)

přičemž nenulové konstanty H(i) mohou být kladné nebo záporné. I v tomto případě přechodové charakteristiky úhlových rychlostí a pružných momentů obsahují dvě netlumené harmonické složky, jejichž frekvence jsou rovny přirozeným frekvencím mechanické části analyzovaného dvoumotorového REMP. Na obr. 4.22 a 4.23 jsou jako příklad uvedeny logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.171) momentu prvního motoru do pružného momentu M23 a odpovídající přechodová charakteristika.

67

40

0

-50

-100 -130 100m mag. in dB

500m

1

5 frequency

10

50

100

Obr. 4.22. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.171) 300m

200m

100m

0

-100m -180m 0 step resp.

1

2 time

3

4

5

Obr. 4.23. Přechodová charakteristika pružného momentu M23 4.3.2.2 Vliv hnacích motorů na přenosové vlastnosti K posouzení vlivu statické charakteristiky hnacího motoru na dynamické vlastnosti dvoumotorového REMP s motory za sebou je třeba doplnit soustavu diferenciálních rovnic (0.169) dvojicí vztahů pro statické momentové charakteristiky obou motorů ve tvaru M M 1 = M 01 − ϑ1 ω1 , M M 2 = M 02 − ϑ2 ω 2 .

(0.179)

Takto získaná nová soustava je lineární, takže po převedení do operátorového tvaru lze odvodit vztahy pro přenosy momentů motorů : 68

• přenosy momentu motoru 1

ω3 ( s )

M 01 ( s )

= κ 12 κ 32

1 1 , 2 J 3 ( s + μ 0 ) ⎡( s + μ1 ) + ν 12 ⎤ ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

M 23 ( s ) s = κ 12κ 32 ; 2 2 M 01 ( s ) ( s + μ0 ) ⎡⎣( s + μ1 ) + ν 12 ⎤⎦ ⎡⎣( s + μ 2 ) + ν 22 ⎤⎦

(0.180)

(0.181)

• přenosy momentu motoru 2

ω3 ( s )

přičemž κ 12 =

( s + α 3 ) + β32 1 =κ , M 02 ( s ) J 3 ( s + μ0 ) ⎡( s + μ1 )2 + ν 12 ⎤ ⎡( s + μ 2 )2 + ν 22 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.182)

2 s ⎡( s + α 3 ) + β 32 ⎤ M 23 ( s ) ⎣ ⎦ 2 , = κ3 2 2 2 M 02 ( s ) ( s + μ0 ) ⎡⎣( s + μ1 ) +ν 1 ⎤⎦ ⎡⎣( s + μ2 ) + ν 22 ⎤⎦

(0.183)

2

2 3

k12 k k k , κ 22 = 12 , κ 32 = 23 , κ 42 = 23 , J1 J2 J2 J3

−α1 , − α 2 ± j β 2 jsou kořeny rovnice s 3 +

−α3 ± j β3 jsou kořeny rovnice s 2 +

ϑ1 J1

ϑ2 J2

s 2 + (κ 32 + κ 42 ) s + κ 42

ϑ2 J2

= 0,

s + κ 12 = 0,

− μ0 , − μ1 ± jν1 , − μ2 ± jν 2 jsou kořeny rovnice ⎛ ϑ1 ϑ2 ⎞ 4 ⎛ ϑ1 ϑ2 4 2 ⎞ 3 ⎡ ϑ1 2 ⎤ ϑ s +⎜ + ⎟s +⎜ + ∑ κ i ⎟ s + ⎢ (κ 2 + κ 32 + κ 42 ) + 2 (κ 34 + κ 42 ) ⎥ s 2 J2 ⎝ J1 J 2 ⎠ ⎝ J1 J 2 i =1 ⎠ ⎣ J1 ⎦ ⎛ ϑ ϑ ⎞ ϑ ϑ + ⎜ κ 42 1 2 + κ 12 κ 32 + κ 12 κ 42 + κ 22 κ 42 ⎟ s + κ 22 κ 42 1 + κ 12 κ 42 2 = 0. J1 J2 ⎝ J1 J 2 ⎠ 5

Všechny uvedené přenosy (0.180) až (0.183) mají jeden čistě reálný záporný pól a dvě dvojice komplexně sdružených pólů. Přenos (0.180) hnacího momentu prvního motoru do úhlové rychlosti ω3 nemá žádnou nulu, přenos (0.182) hnacího momentu druhého motoru do úhlové rychlosti ω3 má dvojici komplexně sdružených nul. Přenos (0.181) hnacího momentu prvního motoru do pružného momentu M23 nemá žádnou nulu, přenos (0.183) hnacího momentu druhého motoru do téhož pružného momentu M23 má jednu nulu v počátku roviny komplexní proměnné a dvojici komplexně sdružených nul. 69

Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí mají obecný tvar

hω ( t ) = Hω(0) + Hω(1) e− μ0t + Hω(2) e− μ1t cos (ν 1t + ψ ω 1 ) + Hω(3) e − μ2t cos (ν 2t + ψ ω 2 )

(0.184)

a přechodové charakteristiky pružných momentů mají obecný tvar

hM ( t ) = H M(1) e− μ0t + H M(2) e − μ1t cos (ν 1t + ψ M 1 ) + H M(3) e− μ2t cos (ν 2t + ψ M 2 ) .

(0.185)

Tyto charakteristiky obsahují jednak aperiodickou složku a jednak dvě tlumené harmonické složky, jejich frekvence jsou nižší než přirozené frekvence mechanické části REMP. Na obr. 4.22 a 4.23 jsou jako příklad uvedeny logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.181) momentu prvního motoru do pružného momentu M23 a odpovídající přechodová charakteristika. -60

-100

-150

-200 -210 10m mag. in dB

50m100m

500m 1 frequency

5

10

50 100 200

Obr. 4.24. Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika pro přenos (0.181)

70

80u

60u

40u

20u

0

-20u 0 step resp.

2

4 time

6

8

9

Obr. 4.24. Přechodová charakteristika pružného momentu M23 K posouzení vlivu dynamických vlastností hnacího motoru na dynamické vlastnosti dvoumotorového REMP s motory vedle sebe se soustava (0.169) doplní již známou dvojící dynamických rovnic pro elektromagnetické momenty obou motorů (0.163). Po převedení výsledné soustavy pohybových rovnic do obrazového tvaru a po příslušných úpravách lze získat následující vztahy pro vybrané přenosy (opět vzhledem ke složitosti budou uvedeny pouze typové tvary): • přenosy momentu motoru 1

ω3 ( s )

s

,

(0.186)

M 23 ( s ) s ( s + α0 ) ∼ , M 01 ( s ) ( s + μ 0 )( s + μ1 )( s + μ 2 ) ⎡( s + μ3 )2 + ν 32 ⎤ ⎡( s + μ 4 )2 + ν 42 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.187)

M 01 ( s )

∼

2 2 ( s + μ0 )( s + μ1 )( s + μ 2 ) ⎡⎣( s + μ3 ) + ν 32 ⎤⎦ ⎡⎣( s + μ 4 ) + ν 42 ⎤⎦

• přenosy momentu motoru 2

( s + α 0 ) ⎡⎣( s + α1 )

+ β12 ⎤ ⎦ , ∼ 2 2 M 02 ( s ) ( s + μ0 )( s + μ1 )( s + μ 2 ) ⎡( s + μ3 ) + ν 3 ⎤ ⎡( s + μ 4 )2 + ν 42 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.188)

2 s ( s + α 0 ) ⎡( s + α1 ) + β12 ⎤ M 23 ( s ) ⎣ ⎦ ∼ , 2 2 M 02 ( s ) ( s + μ0 )( s + μ1 )( s + μ 2 ) ⎡( s + μ3 ) + ν 3 ⎤ ⎡( s + μ 4 )2 + ν 42 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.189)

ω3 ( s )

71

2

Všechny odvozené přenosy (0.186) až (0.189) mají tři záporné reálné póly a dvě dvojice komplexně sdružených pólů se zápornou reálnou částí. Přenos (0.186) hnacího momentu prvního motoru do úhlové rychlosti ω3 nemá žádnou nulu, přenos (0.188) hnacího momentu druhého motoru do stejné úhlové rychlosti má jednu reálnou zápornou nulu a dvojici komplexně sdružených nul se zápornou reálnou částí. Přenos (0.187) hnacího momentu motoru do pružného momentu M 23 má nulu v počátku roviny komplexní proměnné a zápornou reálnou nulu, přenos (0.189) hnacího momentu druhého motoru do stejného pružného momentu má opět nulu v počátku roviny komplexní proměnné, zápornou reálnou nulku a dvojici komplexně sdružených nul se zápornou reálnou částí. Přechodové charakteristiky úhlových rychlostí mají obecný tvar 2

4

hω ( t ) = Hω + ∑ Hω( ) e− μ0t + ∑ Hω( ) e i

i =0

j

− μ jt

j =3

cos (ν j t + ψ ω j ),

(0.190)

přechodné charakteristiky pružných momentů mají obecný tvar 2

4

hM ( t ) = ∑ H M( ) e − μit + ∑ H M( ) e i =0

i

j =3

j

− μ jt

cos (ν j t + ψ Mj ).

(0.191)

Přechodové charakteristiky obsahují tři aperiodické složky a dvě exponenciálně tlumené složky s frekvencemi, které jsou nižší než přirozené frekvence mechanické části analyzovaného dvoumotorového REMP. V případě, kdy oba motory mají charakter kmitavých článků, objeví se ve spektrech přechodových charakteristik ještě třetí tlumená harmonická složka místo dvou aperiodických složek, jejíž kmitočet je blízký přirozené frekvenci obou motorů (oba motory jsou obvykle shodné), což je důsledkem nahrazení dvou reálných záporných pólů dvojicí komplexně sdružených pólů se zápornou reálnou částí ve všech výše uvedených přenosech (0.186) až (0.189).

72