MECHANIKA MECHANIKA. Egészségügyi mérnökképzés. A félév tartalma. Egészségügyi mérnökképzés. A fél félév tartalma

Egészségügyi mérnökképzés

MECHANIKA Előadók: Kiss Rita Németh Róbert Pandula Zoltán

A félév tartalma ●

Szilárd testek mechanikája (kb. 7 hét)

●

Áramlástan (kb. 4 hét)

●

Mozgásvizsgálatok (kb. 3 hét)

Számonkérés: Írásbeli és szóbeli vizsga

A fél félév tartalma ●

Alapfogalmak, erők és hatások

●

Egyensúlyozás

●

Igénybevételek, igénybevételi ábrák

●

Szilárdságtani alapfogalmak

●

Feszültségek, elmozdulások számítása

●

Rugalmasságtani alapfogalmak

●

Egészségügyi mérnökképzés

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert

Munka- és energiatételek, numerikus módszerek (VEM) alapjai

Szilárd testek mechanikája osztályozása

Mechanika A mechanika a

Dinamika

●

mozgásokkal

●

Kinematika (a mozgás leírása)

●

mozgást okozó hatásokkal (erőkkel)

●

Kinetika (a mozgás okainak vizsgálata)

foglalkozó tudomány Speciális eset, ha nincs mozgás: ●

●

Folyadékok és gázok mechanikája (áramlástan) Szilárd testek mechanikája (+merev testek)

Statika ●

merev testek

●

szilárd testek

Ismétlés ●

Mértékegységek, SI-rendszer: –

alapegységek: m, kg, s, A, K, mol, cd

–

származtatott egységek: N = kg m / s2

–

prefixumok: ●

●

Az erő Olyan hatás, mely a testek alakját, mozgását megváltoztathatja Kötött vektormennyiség, van:

d~, c~, m~, …, k~, M~, G~, …

Koordináta-rendszerek –

balkezes (balsodrású) krsz.: ●

hüvelykujj (x)

●

mutatóujj (y)

●

középső ujj (z)

–

nagysága

–

iránya (hatásvonala)

–

értelme

–

támadáspontja

támadáspont F

merev test

hatásvonal

(amire az erő hat) src: POV-Ray 3.6 for UNIX documentation

Az erő megadása

Az erők osztályozása

z

r = ( rx ,ry ,rz )

F r

γ β

távolba ható

●

külső erők

●

közelbe ható

●

belső erők

●

koncentrált

●

aktív erők

●

megoszló

●

F = ( Fx ,Fy ,Fz ) x

y

●

F α

(cos2α + cos2β + cos2γ =1)

Fx= F cos α

–

vonal mentén

Fy= F cos β

–

felület mentén

Fz= F cos γ

–

térfogat mentén

passzív erők (reakcióerők)

F = 0 : zéruserő

Erőrendszerek Több erő hat egy testre: erőrendszer. Jelölése felsorolással: (F1, F2, … , Fn) Spec. esetek: ●

síkbeli erőrendszer

●

térbeli erőrendszer

●

közös metszéspontú erőrendszer

●

párhuzamos erőrendszer

Általános eset: szétszórt erőrendszer

Egyenértékűség, eredő Eredő: egyetlen, az erőrendszerrel azonos hatású erő:

F 1 , F 2 , ... , F n  = ˙ R Egyenértékű erőrendszerek: F 1 , F 2 , ... , F n  = ˙ R és P 1 , P 2 , ... , P n  = ˙ R, akkor F 1 , F 2 , ... , F n  =P ˙ 1 , P 2 , ... , P n 

Egyensúly: F 1 , F 2 , ... , F n  = ˙0 Ellentett:

F ,−F  = ˙0

R ,−R = ˙0

Merev testre ható erők I.

Merev testre ható erők II.

Alaptételek

●

–

két, közös metszéspontú erő eredője a metszésponton átmenő erő, vektora a vektorösszeg

●

További tételek –

(azonos hatásvonal, nagyság, ellentétes irány)

–

a hatásvonal mentén való eltolás az erő statikai hatását nem befolyásolja

–

–

eredőt az erők egyesítésének sorrendje nem befolyásolja

–

–

egyensúlyi erőrendszer hozzáadása nem változtatja meg az erőrendszer eredőjét

Erő statikai nyomatéka egy pontra I. Legyen r a kiválasztott pontból az F erő hatásvonalának egy pontjába mutató vektor z

Def.: M=r ×F φ

r

M

d

∣M∣=M=F⋅r⋅sin

F

M=F⋅d x

Erő

kar

y

két erő egyensúlya három erő egyensúlya (közös metszéspont, zárt vektorháromszög)

hatás-ellenhatás törvénye

Erő statikai nyomatéka egy pontra

∣

M=  r y F z −r z F y  i  r z F x −r x F z  j  r x F y −r y F x  k

[

et

M

δ

Mt r

Legyen M az F erő nyomatéka a t tengely egy pontjára, et egy tvel párhuzamos egységvektor.

Def.: M t =M⋅et et F﬩

d Fǁ

M t =F×r ⋅et =M⋅cos 

M t =F×r ⋅et =r ×et ⋅F=... F

][ ]

F z r y −F y r z M x M= F x r z −F z r x = M y F y r x −F x r y M z

Erő statikai nyomatéka egy tengelyre t

∣

i j k M=r ×F= r x r y r z F x F y Fz

ha F és r az xy-síkban fekszik: Fz=0, rz=0, így Mx=0 My=0

Erőpár Két, párhuzamos, nem közös hatásvonalú, ellentétes irányú, azonos nagyságú erő eredője.

F 1 , F 2  = ˙M

M

F1

r

F2

M=r ×F

∣M∣=∣F∣⋅d

d

∣Mt∣=F ﬩⋅d

Az erőpár egyenértékű egy nyomatékkal, aminek a nagysága független a helyétől, szabad vektor.

A tengellyel párhuzamos erő nem forgat a tengely körül.

A nyomaték felbontható rá merőleges két erőre, a nagyságuk, vagy a távolságuk szabadon vehető fel.

Erő és erőpár eredője x

y

Műveletek erőkkel

d

F , M = ˙?

F1

M

F

d F1

M F2

F

F2

F

Feladatok: ●

Eredő meghatározása

F i , M j  = ˙?

●

Egyensúlyozás

F i , M j , ? =0 ˙

Módszerek: F , M = ˙ R M =F ˙ 1 , F 2

∣F∣=∣F 1∣=∣F 2∣ M d= F

F 1 =−F ˙

F , F 1 , F 2  = ˙ R

–

számítással,

F , F 1  = ˙0

–

szerkesztéssel,

–

grafoanalitikusan.

F 2  = ˙ R

Közös metszéspontú erőrendszer eredője

Közös metszéspontú erőrsz. eredője grafikusan

Az eredő egy, a közös metszésponton átmenő erő. z

F1

y

F 1 , F 2 , F 3 , ... , F n  = ˙R

F2

Vetülettétel:

Rn−1 , F n  = ˙ R

F2

F2

Fi x

F1

∑ F ix : ∑ F i cos i =R cos R

=R x

∑ F iy : ∑ F i cos i =R cos R

=R y

∑ F iz : ∑ F i cos i =Rcos R

=R z

i=1 n

i=1

R=  R x R y R z 2

2

2

egyensúly: R x =R y =Rz =0

y

Fn

R2 R3

x

F3

Fn

R

Közös metszéspontú erőrendszer eredője síkban Legyen az összes erő az xy-síkban.

n

i=1 n

z

βi

z

⋮

R2

F 1 , F 2 , F 3 , ... , F n  = ˙R

αi

F1

F3

F2

i=1

R2 , F 3  = ˙ R3

Közös metszéspontú erőrsz. eredője számítással

y

∑ Fi = R

R3 , ... , F n  = ˙ R

F1

γi

n

F 1 , F 2  = ˙ R2 R2 , F 3 , ... , F n  = ˙R

x

F3

Fn

Vektortétel: F 1F 2F3...F n = R

Ekkor Fiz=0 minden i-re, így Rz=0. n

∑ F ix : ∑ F i cos i =R cos R

=R x

∑ F iy : ∑ F i cos i =R cos R

=R y

i=1 n

i=1

R=  R x R y 2

2

egyensúly: R x =R y =0

Erőpárok eredője síkbeli feladatnál

Erőpárok eredője A nyomaték szabad vektor, eltolhatók egy közös metszéspontba. Az eredő egy, a közös metszésponton átmenő nyomatékvektor.

A síkban fekvő erők nyomatékai a sík pontjaira a síkra merőleges nyomatékvektorokat eredményeznek, csak a merőleges irány

M 1 , M 2 , M 3 , ... , M m  = ˙ MR

m

∑ Mix : ∑ Mi cos i =M R cos R =MRx ∑ M iy : ∑ M i cos i =M R cos R i=1 m

m

+

∑ Miz : ∑ Mi =MR

=MRy

M1

i=1

∑ Miz : ∑ M i cos i =MR cos R i=1

x

y

i=1 m

+

M2

-

Mm

=M Rz

M R = M Rx M Ry M Rz 2

2

2

Szétszórt erőrendszer I. ●

Mi az eredő? –

Szétszórt erőrendszer II. ●

F 1 , F 2 , ... , F n , M1 ,... , M m  = ˙?

Mi az eredő? F A=0 és M A=0 Egyensúly

Társerő, társnyomaték:

F A=0 és M A≠0 Nyomaték

F 1 , F 2 , ... , F n , M1 ,... , M m =F ˙ A , M A

F A≠0 és M A=0 Erő F A≠0 és M A≠0 Erő, vagy erőpár

n

∑ F : ∑ F i =F A i=1 n

∑ M : ∑ r Ai ×F i ∑ Mi =M A i=1

II A

F A , M A  =R ,M  ˙

MA függ az A pont helyétől, de M A⋅F A=áll.

●

Az eredő: –

Egyensúly: F A=0 és M A=0

–

Nyomaték: F A=0 és M A≠0

–

Erő:

–

Erőcsavar: F A⋅M A≠0

FA

F A , M﬩A  = ˙ R

i=1

Eredő lehetséges esetei

M﬩A

M A=M IIAM﬩A

m

R

MA M

II A

MIIA

Párhuzamos térbeli erőrendszer ●

Legyen az erők iránya z

●

Felírható egyenletek:

∑ F iz ∑ Mix ∑ Miy

F A≠0 és F A⋅M A=0 ●

Az eredő lehet: –

Erő

–

Nyomaték

–

Egyensúly

Szétszórt síkbeli erőrendszer

Párhuzamos síkbeli erőrendszer

●

Legyen az erők síkja xy

●

Legyen az erők síkja xy, az erők iránya y

●

Felírható egyenletek:

●

Felírható egyenletek:

∑ F ix ∑ F iy ∑ Miz = ∑ M Oi  ●

Az eredő lehet:

∑ F iy ∑ Miz = ∑ M Oi  ●

Az eredő lehet: –

Erő

–

Erő

–

Nyomaték

–

Nyomaték

–

Egyensúly

–

Egyensúly

Síkbeli megoszló erők ●

Végtelen kicsiny erők végtelen közel egymáshoz: ΔF

xR

 F dF = dx x0  x

p x = lim

p(x)

Δx

R

x

∑ F iy :

Megoszló erők eredője –

R

állandó a/2

–

lineárisan változó

–

másodfokú parabola

R=qa

q

R=qa/2

q

R=qa/3

a/2 R

∫ p x dx=R

∑ M0i : ∫ p x  x dx =R x R

q

a/3 R

az egyik érintő vízszintes!

∫ p x  x dx x R= ∫ p x dx

R

a/4 q

R=2qa/3

5a/8 3a/8

Szerkezetek Egy vagy több merev testből álló, kényszerekkel egymáshoz ill. a „földhöz” kapcsolt alakzatok Fő funkció alapján: –

–

Mechanizmus mozgások megvalósítása Tartó teherhordásra alkalmas ● ●

egyszerű (1 merev test) összetett (több)

Kényszerek –

Összekötött elemek egy vagy több egymáshoz képesti elmozdulását (eltolódás, vagy elfordulás) megakadályozza Meggátolt elmozdulások száma a szabadsági fok (statikai) A gátolt eltolódás(ok) irányában erő(k) lépnek fel, a gátolt elfordulás(ok) tengelye(i) körül forgatónyomaték(ok) lépnek fel. Ezeket hívjuk reakcióerőnek ill. -nyomatéknak

1 szabadságfokú kényszerek ●

egyszerű megtámasztás

●

görgős megtámasztás

●

Többszabadságfokú kényszerek ●

csukló

●

vezeték

●

merev befogás

●

egyéb (pl. gömbcsukló)

támasztórúd (kötél)

Egyszerű tartók reakcióinak számítása ●

Elv: elkülönítés elve

Megoldás menete 1.Vázlat (feladat elolvasása) 2.Elkülönítés

F

3.Egyensúlyi kijelentés

F

Ax=? Ay=?

4.Ismeretlenek számbavétele B=?

5.Egyensúlyi egyenletek felírása, megoldása (ellenőrzés)

A testre ható összes erő egyensúlyi erőrendszert alkot

Feladat megoldhatósága (statikai határozottság) ●

●

●

●

Statikailag határozott: egyértelmű megoldás

Egyszerű tartók: 1. példa ●

Kéttámaszú tartó q=1kN/m F=2kN

Statikailag határozatlan: nem egyértelmű megoldás Statikailag túlhatározott: nincs megoldás (lehet, hogy mozog a szerkezet.) Statikailag határozatlan és túlhatározott: a tehertől függ, hogy mozog-e. Független egyenletek és ismeretlenek száma segít.

5m Elkülönítés:

2m Egy. kij.:

q F

Ax

Ay

B

q , F , A , B = ˙0

Ismeretlenek: A x =? , A y =? , B=?

Egyszerű tartók: 1. példa

Egyszerű tartók: 2. példa

Q=7×1=7kN

∑ F ix : Ax =0 3,5m

A x =0kN

●

Mereven befogott konzol

3,5m

65°

∑ MiA :7⋅3,52⋅7−B⋅5=0

A y =1,300kN 

MA

q F

Ellenőrzés: Ay=1,3kN

Ax

20cm

Ax

LS =  5 20 =20,62 cm 2

2

S Ax

Ay

∑ MBi :15⋅25 A y⋅5=0 5 =0 ∑ F ix : Ax −92,79⋅20,62 A x =22,50N

Ismeretlenek: A x =? , A y =? , S=?

Az elv itt is az elkülönítés.

A megoldás menete ugyanaz, mint az egyszerű tartónál de belső reakciók is lesznek.



F

B

A y =−75,00N

Ay

„Ha minden alkotó test külön-külön egyensúlyban van, akkor az egész szerkezet és bármely része is egyensúlyban van.” ●

:6⋅sin 65°⋅2,2M A=0

S=92,79N 

F

Összetett tartók reakciói ●

∑M

20 ⋅5=0 ∑ MiA :15⋅30−S 20,62

Egy. kij.: F , A , S = ˙0

25cm

A y =5,438kN  A i

Egyszerű tartók: 3. példa

Elkülönítés: F=15N

∑ F iy :6⋅sin 65°− Ay =0

F

M A=−11,96kNm

Csuklóval és rúddal megtámasztott alkar S

65°

Ay

B=7,7kN

Egyszerű tartók: 3. példa

5

A x =−2,536kN 

Elkülönítés:

∑ MBi :−7⋅1,52⋅2 Ay⋅5=0

●

∑ F ix : 6⋅cos 65 ° A x =0

2,2m

B=7,700kN 

∑ F iy :72−1,3−7,7=0

Egy. kij.: F , A , M A  = ˙0 Ism.: A x =? , A y =? , M A=?

F=6kN

S=92,79N Ay=75N

F

Ax=22,5N

Összetett tartók: 1. példa ●

Gerber-tartó

q=1kN/m

5m

2m

Elkülönítés és egy. kijelentések: q1 Ax

Ay

5m Cx

q2 Cy

C'y B

2m

C'x

D q 2  , C , D = ˙ 0 q 1  , C ' , A , B = ˙0

Összetett tartók: 2. példa ●

Háromcsuklós tartó

●

Elk. és egy. kij.: C'y Cx Cy Ax

C'x

By

q 1  , A , C  =0 ˙

Ay

Rácsos tartók

q 2  , C ' , B =0 ˙

●

●

q 1  ,q2  , A , B = ˙ 0

●

●

–

Terhelés egy síkban

–

Jellemző elmozdulások egy síkban

Lemezek

–

terhelés a csuklókon koncentrált erővel

Megoldási módszerek: –

minden csomópont egyensúlya

–

átmetszéses módszerek

Merev befogás (közlekedési tábla)

W

Terhelés a síkjára merőlegesen

W G

G

Speciális kényszerek –

Rugalmas, külpontos stb.

G , W , A , M A  = ˙ 0

Térbeli szerkezetek II. ●

csak rudak és csuklók alkotják

Térbeli szerkezetek I.

Tárcsák

–

–

Bx

Síkbeli szerkezetek ●

Korlátozás:

Párhuzamos térbeli erők (asztallap) P

P

M

S2

M

Térbeli szerkezetek III. ●

Közös metszéspontú térbeli erők (háromlábú bakállvány) F

F

S3

S1 P , W , S 1 , S 2 , S3  = ˙0

S3 S1

S2

F , S1 , S2 , S 3  = ˙0

Térbeli szerkezetek IV. ●

Térbeli rácsos tartó

●

Lemezművek

●

Héjszerkezetek

Igénybevételek I. ●

F

Kiindulási pont: egy egyensúlyban lévő szerkezet

Fj

Fb

●

●

stb. Számítás: főként numerikus módszerek

●

Fj

Nem számít, hogy egy erő aktív, F vagy passzív A b x

Ay

Igénybevételek II. ●

●

Az eltolódásokat és elfordulást akadályozó kényszer a merev befogás

Fj Ax

Fj

K Ax

B

Ay ●

Válasszuk ki a K jelűt!

●

Ax

Fb

Kxb Ay

MKb

 A , F b , K b , M Kb  = ˙0

Kxj

MKj

B

A K-tól jobbra ill. balra lévő rész is egyensúlyban van.

Igénybevételek elnevezése

A keresztmetszet helyén felvett befogásban ébredő reakciók a belső erők, vagy igénybevételek Kyb

K

Fb Ay

Igénybevételek IV. ●

B

Igénybevételek III.

Minden egyes keresztmetszet egy eltolódásokat és elfordulást is akadályozó belső kényszernek tekinthető

Fb

F b , F j , A , B = ˙ 0

Az igénybevételeket hatásuk alapján nevezzük el. ●

Fj

Az erő két komponensét a tartó tengelyével párhuzamos és merőleges krsz.-ben veszük fel: –

a tartó tengelyével párhuzamos komponens a normálerő, jele N (a keresztmetszet síkjának normálisával párhuzamos)

Kyj F j , B , K j , M Kj  = ˙0

–

B

a tartó tengelyére merőleges komponens a nyíróerő, jele T (a keresztmetszet síkjában fekvő erő)

●

a belső befogási nyomaték a hajlítónyomaték, jele M (a nyomaték vektora a keresztmetszet síkjában van)

Belső erők előjelei ●

●

Hajlítónyomaték előjele

Normálerő: a keresztmetszetből kifelé mutató (húzó-) erő pozitív, a befelé mutató (nyomó-) erő negatív előjelű.

–

-

Nyíróerő: a pozitív normálerő irányát 90°-kal az óramutató járásával megegyezően elforgatva kapjuk a pozitív irányt, ellenkezően a negatívat.

NKb Fb

Ax

TKj

TKb

hal.ir.

–

Fj

NKj

Ay

●

Ax

-

-

+

MKj B

Fb

-

+

NKb TKb

Ay

L-ben jobbról számolva az igbv.-ket, a jobbra levő erők a K-tól jobbra levő erők és a két km. közötti erők:

TKj MKj

Fj -

+

NKj

 A , F b , NKb , T Kb , M Kb  = ˙ 0

B

K-ban jobbról számolva az igbv.-ket, azok a jobbra levő erők eredőjével lesz egyenértékű:  N K , T K , M K  =˙  R Kj 

 N L , T L , M L  =˙  R LK , R Kj 

+

MKb

Egy L keresztmetszet igénybevételei a K km. igénybevételeinek ismeretében:

–

+

Igénybevételek számítása I.

az egész szerkezetre: N Kb , T Kb , M Kb  =F ˙ j , B

Newton III. tv.-e alapján (hatás-ellenhatás) a balról ill. jobbról számított igénybevételek számértékei azonosak

–

-

Ay

B F j , B , N Kj , T Kj , MKj  =0 ˙ F b , F j , A , B = ˙ 0 N Kj , T Kj , MKj  = ˙ A , F b

A keresztmetszettől egyik oldalra lévő erők redukálása a keresztmetszet pontjába.

Igénybevételek számítása II. ●

+

Fj

MKb

Fb

B

Az összes (balról ill. jobbról számított) igénybevétel pozitív előjellel feltételezve: Fj MKb T Kj NKb + Fb MKj hal. T + Ax Kb ir. NKj Ay

-

+

A pozitív oldalt „húzó” nyomaték előjele pozitív

Ax

Igénybevételek előjelei ●

felveszünk egy tetszőleges (de ha lehet, balróljobbra mutató) haladási irányt, ennek jobb (bal) oldala a pozitív (negatív) oldal

Igénybevételek számítása III. ●

Egy L keresztmetszet igénybevételei a K km. igénybevételeinek ismeretében: –

Behelyettesítve:

 N K , T K , M K  =˙  R Kj   N L , T L , M L  =˙  R LK , R Kj   N L , T L , M L  =˙  R LK , N K ,T K , M K 

Igénybevételi függvények ●

Egyetlen keresztmetszet igénybevételei helyett az összes keresztmetszet igénybevételeit keressük → függvények



F

N  x=F cos  T  x =F sin  M  x =−F sin ⋅l− x 

x l

Igénybevételi ábrák II. q x

●

●

●

Egyszerűbben átlátható, ha ábrázoljuk a függvényt → igénybevételi ábra Az ábrázolás tengelye a tartó tengelye, a függvényértékeket erre merőlegesen ábrázoljuk. A pozitív irány a haladási irány szerinti jobb oldal.

Igénybevételi ábrák és a teher közötti összefüggés I. ●

F

Elemi rúdszakasz a rá ható terhekkel és igénybevételekkel: y

N

F

T

q l

M

l

Igénybevételi ábrák I.

q l2 − 2

x

q

M  xdM

M  x

N  x=F T  x=ql− x

N  x

l− x M  x=−q l− x 2

qx

T  x

N  xdN T  xdT

dx

Igénybevételi ábrák és a teher közötti összefüggés II. ●

Igénybevételi ábrák és a teher közötti összefüggés III.

Az egyensúlyi egyenletek: ●

∑ F ix :− N  x q x dx N  x dN =0  dNdx x =− p x ∑ F iy :−T  x q⋅dxT  xdT =0  dTdx x  =−q −M  x −dM =0 ∑ M i A :M  xT  x dx−q⋅dx dx 2 dM  x d 2 M  x  =T  x  =−q dx dx 2

A differenciális összefüggések használata: –

Szakaszonként a függvény jellegének meghatározása

–

A szakaszra jellemző igénybevétel-érték alapján a szakasz megrajzolása

–

Kapcsolódó szakaszok közötti illesztés használata (számításra vagy ellenőrzésre)

Igénybevételek térben I.

Függvényként való ábrázolásuk axonometrikusan, vagy vetülettel oldható meg.

●

●

Szilárdságtan – bevezetés I. ●

●

Szilárd test: korlátozottan alakváltozásra képes anyag A szilárdságtan tárgya a szilárd test:

–

Normálerő: a km. síkjára merőleges

–

Nyíróerő(k): a km. síkjában (két komponens)

A nyomaték felbontása: –

Csavarónyomaték: a tartó tengelyével párhuzamos

–

Hajlítónyomaték(ok): a km. síkjában (két komponens)

Szilárdságtan – bevezetés II. ●

●

A kapcsolódó fizikai tulajdonságok a szilárdsági tulajdonságok Az anyaggal szemben támasztható szilárdságtani követelmények:

–

alakváltozások

–

elmozdulások

–

szilárdsági (teherbírási)

feszültségek

–

merevségi (használhatósági)

–

stabilitási

–

Szilárdságtan – bevezetés III. ●

Az erő felbontása:

Vizsgált változók, egyenletek

A vizsgált anyag: –

Folytonos függvényekkel leírható kontinuum, mely a teret gyűrődés- és hézagmentesen tölti ki.

–

Viselkedése, mikroszerkezete szerint lehet: ●

homogén, vagy inhomogén,

●

izotróp, anizotróp vagy ortotróp,

●

időfüggetlen, vagy időfüggő

●

hőmérsékletfüggetlen, vagy hőmérsékletfüggő

●

a terhelési történettől független, vagy függő

●

stb.

Külső erők (terhek)

Elmozdulások

Alakváltozások

Egyensúlyi egyenletek

●

Az alapelv ugyanaz: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezet-részre ható erőket redukáljuk a keresztmetszetbe.

Geometriai egyenletek

●

Igénybevételek térben II.

Anyagegyenletek

Feszültségek (belső erők)

(Mechanikai) Feszültségek I. ●

A test részei egyensúlyban vannak. Az n normálisú elemi felület mentén megoszló erő:

Feszültségek II. ●

Feszültségvektor felbontása: normál- és nyírófeszültségre

pn = n  n  n∥n ,  n ⊥ n Komponensek számítása:  n = p n⋅n n= n n  n = pn − n =nt t

Feszültségvektor: Q d Q pn = lim = dA  A0  A nagysága és iránya is n irányától függ  tenzor

 nyírófeszültség indexelése: első (egyetlen) index: felület normálisa második index (ha van): irány

 A-t az eredeti, vagy a megváltozott helyzetben nézzük? (nemlinearitás)

Feszültségek III. ●

●

Feszültségállapot és -tenzor I.

Keressük egy pontban az összes irányhoz tartozó feszültségvektort. –

Ez a pont feszültségállapota.

–

A feszültségállapot leírásának eszköze a feszültségtenzor.

Az elemi hasábra ható feszültségkomponensek:

Keressük a test összes pontjában a feszültségállapotot → feszültségmező –

 M ix  yz dx dz  dy− zy dx dy dz=0  yz = zy  reciprocitás elve Hasonló elven:  xz = zx  yx = xy

Hely (és idő) függvénye

Feszültségállapot és -tenzor II. ●

●

Az elemi tetraéder egyensúlya:

Feszültségállapot és -tenzor III.

●

 F ix : p nx dA− x dA x − yx dA y − zx dA z =0  F iy : p ny dA− xy dA x − y dA y − zy dA z =0  F iz : p nz dA− xz dA x − yz dA y − z dA z =0

[ ]

dA x /dA n= dA y /dA dA z /dA

pn =F⋅n ahol F a feszültségtenzor

●

[

][ ]

 x  yx  zx n x pn =  xy  x  zy n y  xz  yz  z n z pn =F⋅n

●

●

a reciprocitás elve miatt F T =F a fenti formula koordinátarendszertől független

[

]

 x  yx  zx az F =  xy  y  zy mátrixos alakra csak a  xz  yz  z vektor komponenseinek számításához van szükség

Feszültségi főirányok, főfeszültségek I.

Feszültségkomponensek ●

Komponensek számítása:  n = p n⋅n n=  F⋅n⋅n  n=n T F n n= n n  n = pn − n =F⋅n− n n

●

 n =  F − n E ⋅n

●

Mit jelent  n =0 ? (matematikailag)

●

0=  F − n E ⋅n  hom. lin. egy.rsz., sajátértékfeladat

●

Megoldás menete: det  F − n E  =0  harmadfokú egy.

●

Három megoldás:  1≥ 2≥ 3  főfeszültségek

●

A hozzájuk tartozó n vektorok: n 1 , n 2 , n3  főirányok (A levezetésből következően:  n = n = n =0 ) 1

●

[

Feszültségi főirányok, főfeszültségek II.

●

A főfeszültségek a feszültségtenzor és így a pont feszültségállapotának jellemzői, krsz.től függetlenek Az ilyen mennyiségek a tenzor invariánsai . További invariánsok: I 1= 1 2 3, I 2=− 1  2 2  3 3  1  , I 3= 1  2  3

3

]

1 0 0 F = 0  2 0  feszültségi ellipszoid 0 0 3

n az F tenzor sajátvektora,  n az F tenzor sajátértéke.

●

2

A feszültségtenzor mátrixos alakja az {n1, n 2, n3 } vektorok által meghatározott koordinátarendszerben:

Feszültségállapotok ●

Lineáris → egyetlen nemzérus főfeszültség

●

Síkbeli → két nemzérus főfeszültség





2

  y  x − y −2  xy  1,2 ?!= x ± 2xy , tg 2 0= 2 2  x − y ●

Térbeli → három nemzérus főfeszültség

●

Hidrosztatikus →  1= 2 = 3

●

Deviátoros →

Feszültségtenzorok

 1 2 3=0  = I 1 

Főfeszültségi trajektóriák

F =F 0F d ●

Hidrosztatikus (gömbi): F0

●

Deviátoros: Fd (tiszta nyírás)

[

] [

0 0 0 F 0= 0 0 0 , 0 0 0 ●

Fd invariánsai:

J 1=0, J 2=

 x − 0  yx  zx F d =  xy  y − 0  zy  xz  yz  z − 0

●

●

]

1 2 2 2  s s s  , J =s s s , stb. 2 1 2 3 3 1 2 3

Minden pontban létezik az egymásra merőleges feszültségi főirány Egy olyan görbe, mely minden pontjában az érintő az ottani főirány → trajektória

●

Végtelen (x2) ilyen vonal van → vonalsereg

●

Használat: fotoelasztikus kísérlet

Alakváltozások I. ●

Fajlagos nyúlás:

●

 x=

●

Alakváltozások II.

 l0

Egy pont eltolódásai, és annak testen belüli változása (elmozdulásgradiens):

[

ux , y , z u x , y , z =r−r 0= v  x , y , z  w  x , y , z

Fajlagos szögtorzulás:

f  x , y , z=  xy =,xy ,,xy =

y x  lx ly

●

Alakváltozástenzor I.

Bontsuk fel f-t szimmetrikus és antimetrikus tagok összegére: f  x , y , z = A x , y , z  f m  x , y , z  T

A x , y , z =

f  x , y , z  f  x , y , z  , 2



f m=

f−f 2

T



●

Az A mátrix az alakváltozás-tenzort ábrázolja.

●

Elemei:

[ ] x

A=

 xy 2  xz 2

 yx 2 y

 yz 2

 zx 2  zy 2

●

Alakváltozás-tenzor elemei:

du x , y , z  du  x , y , z dv  x , y , z ,  xy = yx =  dx dy dx dv  x , y , z  dv  x , y , z  dw  x , y , z   y= ,  yz = zy =  dy dz dy dw  x , y , z  dw  x , y , z  du  x , y , z   z= ,  zx = xz =  dz dx dz x=

z

Alakváltozástenzor II. ●

d u x , y , z dx

Az f gradiens tartalmazza a merevtest-szerű elfordulásokat is!

Alakváltozások III. ●

]

Tenzor, tehát: –

Irányfüggőség: (nyúlási) főirányok, főnyúlások

–

Invariánsok

–

Alakváltozásállapotok

Vizsgált tartomány, mezők, egyenletek u x , y , z v  x , y , z wx , y , z

px  x , y , z  p y  x , y , z p z  x , y , z

lineáris, síkbeli, térbeli ● gömbi, deviátoros ●

 x  x , y , z , xy  x , y , z  y  x , y , z  ,  yz  x , y , z  z  x , y , z , zx  x , y , z 

 x  x , y , z ,  xy  x , y , z  y  x , y , z  ,  yz  x , y , z   z  x , y , z ,  zx  x , y , z

Egyensúlyi egyenletek I. ●

Egyensúlyi egyenletek II.

Az elemi hasáb egyensúlya egy irányban:

●

Mezőegyenletek: ∂  x ∂  yx ∂  zx    p x =0 ∂x ∂y ∂z ∂  xy ∂  y ∂  zy    p y =0 ∂x ∂y ∂z ∂  xz ∂  yz ∂  z    p z =0 ∂x ∂y ∂z

 F ix :

  



∂x dx dy dz− ∂x ∂ − yx dx dz  yx  yx dy dx dz− ∂y ∂  zx − zx dx dy  zx  dz dx dy ∂z  p x dx dy dz=0 − x dy dz  x 

●

(nyomatéki egyensúly a reciprocitás elvéből)

 

●

Peremfeltételek: Az S perem azon S  részén, ahol feszültség van előírva: F⋅n=q

∂  x ∂  yx ∂  zx    p x =0 ∂x ∂y ∂z

Geometriai egyenletek I. ●

Geometriai egyenletek II.

Mezőegyenletek: du x , y , z  du  x , y , z dv  x , y , z  ,  xy  x , y , z =  dx dy dx dv  x , y , z  dv  x , y , z  dw  x , y , z  y  x , y , z = ,  yz x , y , z =  dy dz dy dw  x , y , z dw  x , y , z  du x , y , z   z  x , y , z = ,  zx  x , y , z=  dz dx dz  x  x , y , z=

●

L*⋅  p=0

●

Az alakváltozások nem vehetők fel tetszőlegesen → kompatibilitás: 2

2

2

2

∂  xy ∂  x ∂  y =  ∂ x ∂ y ∂ y2 ∂ x2 2 2 ∂  yz ∂  y ∂2  z =  ∂ y ∂ z ∂ z2 ∂ y 2 2 2 2 ∂ zx ∂  z ∂  x =  ∂ z ∂ x ∂ x2 ∂ z2

Peremfeltételek: Az S perem azon S u részén, ahol eltolódás van előírva:

  

∂ x ∂ ∂ ∂ ∂ = − yz  zx  xy ∂y∂z ∂x ∂x ∂y ∂z 2 ∂ y ∂  yz ∂ zx ∂  xy ∂ 2 =  −  ∂ z∂x ∂x ∂x ∂y ∂z 2 ∂ z ∂  ∂  ∂  xy ∂ yz zx 2 =   − ∂ x∂ y ∂ x ∂x ∂y ∂z 2

  

u x u , y u , z u =u 0

Anyagegyenletek I. ●

●

Anyag –

homogén

–

izotróp

–

lineárisan rugalmas

–

időfüggetlen anyag

Teher –

statikus, kvázi-statikus

Anyagegyenletek II. ●

Hooke-törvény: engedékenység

merevség

 = H⋅

[]

 = D⋅

[ ]

x y z =  xy  yz  xz

1 E − E − E

− E 1 E − E

0

− E − E 1 E

0

1 G

0

0

1 G

0

0

[ ] [ ][

x y z 0  xy  yz 0  xz

1 G

x y z =  xy  yz  xz



1− 





1−  



 0



][ ]

x y z 1−   xy  G 0 0  yz 0 G 0  xz 0 0 G 

0

Anyagállandók ●

E: rugalmassági modulusz

●

G: nyírási modulusz

●

 : Poisson-tényező (harántkontrakció)

●

 : Lamé-féle állandó

Egyenletek összefoglalva

Nem függetlenek, pl.: G=

E E , = 21 11−2

= H⋅  =D⋅

Megoldás II. (elmozdulásmódszer)

Megoldás I. (erőmódszer) ●

Elmozdulások kiküszöbölésével 2

ahol =∇ 2 =

(és p=0) 2

∂ s =0 2 ∂x 2 ∂ s 1 y  2 =0 ∂y ∂2 s 1 z  2 =0 ∂z

∂ s =0 ∂x∂ y 2 ∂ s 1  yz  =0 ∂ y∂ z 2 ∂ s 1 zx =0 ∂ z∂x

1 x 

●

●

2

2

∂e G  u p x =0 ∂x ∂e G  G  v p y =0 ∂y ∂e G  G  w p z =0 ∂z G 

2

∂ ∂ ∂  2  2 , s= x  y  z 2 ∂x ∂ y ∂z

ahol e= x y  z  fajlagos térfogatváltozás ●

Beltrami-egyenletek

●

Cél a feszültségek és alakváltozások közötti kapcsolat pontosabb leírása ●

Időfüggés szerint lehet: Statikus kapcsolat

–

Dinamikus kapcsolat    , ˙  Rugalmas anyagmodell

–

Rugalmatlan anyagmodell

Általános rugalmas modell: függvényében felírhatók:  x   x , y ,  z ,  xy ,  yz ,  xz  ,  xy   x , y ,  z ,  xy ,  yz ,  xz  , stb.

Terheléstörténet szerint –

Rugalmas (elasztikus): egy terheléstehermentesítés ciklus után nincsenek maradó alakváltozások a feszültségek az alakváltozások

  

–

Lamé-egyenletek

Rugalmas anyagmodellek I. ●

●

Feszültségeket, alakváltozásokat kiküszöbölve

1 xy 

Anyagmodellek ●

∂  x ∂  yx ∂  zx    p x =0 ∂x ∂y ∂z ∂ xy ∂  y ∂  zy    p y =0 ∂x ∂y ∂z ∂  xz ∂  yz ∂  z    p z =0 ∂x ∂y ∂z

du du dv , =  dx xy dy dx dv dv dw  y = ,  yz =  dy dz dy dw dw du z = , =  dz zx dx dz x =

●

Pl.:  x   x =C⋅nx

Rugalmas anyagmodellek II. ●

●

A kapcsolat esetenként megfordítható Pl.: Ramberg-Osgood modell: n=1

n1

lineáris

nemlineáris

●

 

x  x 3  x =  0  0 7  0

n

n∞

●

A számítás során a nemlinearitás miatt nem érvényes az egymásrahalmozás elve → iteratív, ill. növekményes eljárást kell használni Többirányú feszültségek vizsgálatánál a függvények felvétele során biztosítani kell, hogy zárt vonalon körbehaladva az energiamérleg 0 legyen.

?

Hiperelasztikus anyagmodellek I. ●

Rugalmas anyagmodellek III.

Energetikai megközelítés

Hiperelasztikus anyagmodellek II. ●

Lineárisan rugalmas anyag: 1     =  T C −1   =C -1  ,  =C  2

Alakváltozási energiasűrűség-függvény    

C független elemei (anyagi paraméterek): ∂    ∂    ∂     x= , y = , z = ∂ x ∂ y ∂ z  xy = yx =

∂    ∂    ∂   , yz = zy = ,  xz= zx = ∂  xy ∂  yz ∂  xz ●

●

–

9x9 = 81

–

Szögtorzulások → 6x6 = 36

–

A kvadratikus alak szimmetriái → 21

Ortotróp anyag: 3 merőleges szimmetriasík → további zérus elemek C-ben, marad Izotróp anyag: 2 anyagi paraméter    =

Hiperelasztikus anyagmodellek III. ●

Az alakváltozási energiasűrűség-függvény változói az alakváltozás-tenzor elemei –

A tenzor elemei koordinátarendszer-függők, de a pont alakváltozás-állapotát írják le.

–

Felírható az energiafüggvény a tenzor invariánsaival is (más változók, más fv.):

Nemlineáris, hiperelasztikus anyagmodellek ●

NL-alakváltozások –

Nagy elmozdulásoknál az elmozdulások, alakváltozások nem lineárisan változnak → más (nemlineáris) alakváltozástenzor kell → más energiafüggvények

Neo-Hookean:   =  I1 −3  J −12 2 2

–

Mooney-Rivlin: =

   1 , 2 , 3  =    I '1, I '2 , I '3      =   x , y ,  z ,  xy ,  yz ,  xz  = ●

1  12322 G 1222 23  2

1    I −3 2  I2 −3  J −12 2 1 2 2

J - deformációgradiens determinánsa I - deviátoros alakváltozástenzor módosított invariánsa –

Összenyomhatalan anyagok

Képlékeny anyagmodellek I. Képlékeny:

●

Képlékeny anyagmodellek II. ●

–

terhelés-tehermentesítés más útvonalon

–

maradó alakváltozások

Fémek hidrosztatikus feszültségállapotban nem folynak: 1 f =   x − y 2  y − z 2 z − x 2 2xy 2yz 2zx −2f 6 – a főfeszültségek terében egy henger

Mikor van az anyag képlékeny állapotban? –

képlékenységi (folyási) feltétel:

●

Tresca: A középső főfeszültség hatása kisebb, tiszta nyírásra hamarabb folyik meg:

f = f  ij , k  f 0  rugalmas f =0  képlékeny –

Huber-Mises-Hencky:

f 1= 2 − 3 2 −4 2f , f 2 = 3 − 1 2 −4 2f , f 3= 1 − 2 2−4 2f –

kifejezhető a főfeszültségekkel is

Képlékeny vizsgálat ●

Viszkózus anyagok

A pont állapota:

●

f 0 , df tetszőleges  rugalmas f =0 , df 0  rugalmas (tehermentesítés) f =0 , df =0  (aktív) képlékeny állapot ●

e

Aktív képlékeny állapotban: d =d  d  –

p

●

Drucker-féle posztulátum f  ij , k =0 konvex felület d  p merőleges az f  ij , k =0 felületre

●

●

Növekmények számítása: –

Jelenségek –

kúszás:

–

ernyedés: =állandó,  t 

Alapvető modellek: –

rugalmas

= E 

–

képlékeny

 f  =0 = f  ˙ 0

–

viszkózus

= ˙

Prandtl-Reuss egyenletek

További modellek

Maxwell-féle v.e. modell (sorba kapcsolva)  e = v = = ev

˙  ˙ =  E 

●

képlékeny és viszkozus modell összekapcsolása –

sorba

Kelvin-Voigt-féle v.e. modell (párhuzamos)

–

párhuzamosan (Bingham-modell)

= e  v  e=v =

= E  ˙ ●

– ●

Viszkoplasztikus modell

ernyedést jól írja le, kúszást kevésbé

– ●

=állandó, t 

A válasz a terhelés módjától és sebességétől is függhet

Viszkoelasztikus modellek ●

hatszög keresztmetszetű hasáb

kúszás leírására jobb, ernyedésre kevésbé

Kapcsolt modell –

legjobb eredmény, legbonyolultabb számítás

Elaszto-viszkoplasztikus –

Amint a neve mutatja...

Munka- és energiatételek I. ●

Általánosított erők

●

Általánosított elmozdulások

Munka- és energiatételek II. ●

Teljes munka: külső + belső

W =W k W b

W k =∫ f T d e∫ ∫ q T d u dS ∫ ∫ g T d u dV e

S u

V

u

W b =−∫ ∫  d  dV T

●

Statikailag lehetséges erőrendszer –

●

egyensúly

V 

●

Geometriailag lehetséges elmozdulásrendszer –

Kiegészítő munka: külső + belső W =W k  W b W k =∫ eT d f ∫ ∫ uT d q dS ∫ ∫ u T d g dV f

folytonosság, peremfeltételek

S

q

V

g

W b =−∫ ∫  T d  dV V 

Virtuális elmozdulások és a virtuális elmozdulások tétele ●

●

Virtuális elmozdulás: a tényleges elmozdulás egy geometriailag lehetséges variációja Tétel: egy statikailag lehetséges erőrendszer bármely virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkája 0:

Virtuális erők és a virtuális erők tétele ●

●

 W = f T  e∫ q T  u dS∫ g T u dV −∫  T   dV =0 S

●

●

V

S

●

●

V

V

Jelentése egyensúly

●

Jelentése geometriai kompatibilitás

Használata: merev testek egyensúlya

●

Használata: elmozdulások számítása

Teljes potenciál: külső + belső  k =−W k

●

Tétel: egy geometriailag lehetséges elmozdulásrendszer bármely virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkája 0:  =e T  f ∫ uT  q dS∫ u T  g dV −∫  T  dV =0 W

V

Potenciális energia és szélsőértéktétele ●

Virtuális erők: a tényleges erőrendszer egy statikailag lehetséges variációja

Kiegészítő potenciális energia és minimumtétele ●

Tétel: a geometriailag lehetséges elmozdulásrendszerek közül az a tényleges, ahol a potenciális energiának stacionaritási pontja van. Változói elmozdulások (elmozdulásfüggvények) → elmozdulásmódszer A változók szerinti (parciális) derivált, illetve variáció eltűnésére felírt egyenletek: egyensúlyi egyenletek

Teljes kiegészítő potenciál: külső + belső 1 T T T T  =− e f −∫ u  q dS −∫ u g dV  ∫  H  dV 2 V S V

1 T ,  b = ∫    dV 2 V

u

●

●

●

Tétel: a statikailag lehetséges erőrendszerek közül az a tényleges, ahol a kiegészítő potenciális energiának minimuma van. Változói erők → erőmódszer A változók szerinti (parciális) derivált, illetve variáció eltűnésére felírt egyenletek: geometriai egyenletek

Stabilitásvizsgálat ●

Egyensúlyi helyzet minősítése: Mi történik, ha a testet kicsit kitérítjük belőle?

●

Végeselem-módszer I. ●

Visszatér → stabil egyensúlyi helyzet

–

Geometriai egyenlet

=Lu

–

Tovább mozog → instabil egyensúlyi helyzet

–

=D

Helyben marad → kritikus egyensúlyi helyzet

Anyagegyenlet

–

–

Egyensúlyi egyenlet

LT   p=0

A stabilitás vizsgálata: –

Definíció alapján

–

Potenciális energia vizsgálatával ●

●

●

Instabil → nyereg, vagy maximum

●

Kritikus → eltűnő második derivált

A geometriai egyenletet behelyettesítve: T 1  u=∫  L u  D L u− pT u dV =stac. V

●



V

●

V



●



1 T T v B D B v− p T N v dV =stac. 2

n

i=1

●

Véges méretű elemek (csomópontok) n

V =∑ V i i=1

n

K =∫ BT D B dV =∑ ∫ BT D B dV =∑ K i V

●

i=1 V i

n

 

n

i

i



n

K i v−∑ qi =0 i=1

Megoldás K v−q=0  K v=q  v= K -1 q

Geometriai finizitzálás

n



Integrálás elvégzése elemenként:

∑ 

∂  v =∫  BT D B v− p T N  dV =0 ∂ vi V

●



Geometriai finitizálás:



L u x , y , z= L N  x , y , z v=B  x , y , z v  v =∫



1 T 1   − p T u dV =∫  T D  − p T u dV =stac. 2 V 2

∂  v = ∑ ∫ B T D B dV v− ∑ ∫ pT N dV =0 ∂ vi i=1 V i=1 V

Függvénytér finitizálása: u x , y , z = N  x , y , z v



Végeselem-módszer III.



2

Potenciális energia stacionaritási tétele  u , =∫

Stabil → minimum

Végeselem-módszer II. ●

Differenciálegyenlet-rendszer

–

i=1

N bázisfüggvények felvétele: –

Legtöbb elemen 0

–

Ha nem 0, akkor 1 csp.-ban 1, a többiben 0

–

Folytonosság ( C(0), C(1) )

–

Következmény: vi fizikai jelentése

Geometriai finizitzálás - példa ●

Rúd felbontása és néhány bázisfüggvénye

Bázisfüggvények ●

N felvétele → következmény –

Merevségi mátrix ●

Ki-t csak olyan bázisfüggvények befolyásolják, melyek csomópontja az i-edik elemen van

K számításához elemenként számoljuk Ki-t, majd a szerkezet merevségi mátrixához adjuk hozzá az elem merevségi mátrixát. (kompilálás)

+ +

●

Megoldás ●

●

●

+

+

Tehervektort hasonló módon, elemenként kompiláljuk

Elemi szilárdságtan

K v=q megoldása: v= K -1 q Majd a másodlagos mennyiségek (alakváltozások, feszültségek) Rudak, tárcsák, lemezek héjak esetén a térfogat mentén való integrálást részben előre elvégezzük, így más lesz az elmozdulás, alakváltozás, L operátor-mátrix, anyagi merevségi mátrix stb. Csak a fő lépések maradnak.

●

Feszültségek, elmozdulások kézi számítása rudakban